2020年最新高考数学--以数列或集合为背景的解答题(原卷版)

专题二 压轴解答题

第五关 以数列或集合为背景的解答题

【名师综述】

以数列、集合为背景的数列解答题是上海高考常考题型之一，也是上海高考必考的重要考点．解答这类问题的思路依据题设条件，综合运用所学的知识和数学思想方法去分析问题和解决问题．本题的解答过程中，所有计算与求解都是推理论证能力的体现和数学思想方法的运用．

中学研究的特殊数列只有等差数列与等比数列，一个是线性数列，一个是类指数数列，但数列性质却远远不止这些，因此新数列的考查方向是多样的、不定的，不仅可考查函数性质，而且常对整数的性质进行考查．明确考查方向是解决以新数列为背景的解答题的前提，恰当运用对应性质是解决问题思想方法．

【典例解剖】

类型一 运用反证法处理排序数列问题

典例1．（2020·上海高三月考）有限个元素组成的集合为，，集合中的元素个数记为，定义，集合的个数记为，当

，称集合具有性质．

（1）设集合具有性质，判断集合中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由； （2） 设正数列的前项和为，满足，其中，数列中的前项：组成的集合记作，将集合中的所有元素

从小到大排序，即满足，求；

（3） 已知集合，其中数列是等比数列，，且公比是有理数，判断集合是否具有性质，说明理由．

{}12,,,n A a a a =L *n N ∈A ()d A {}

,A A x y x A y A +=+∈∈A A +()d A A +()()()()

12

d A d A d A A ⋅++=

A Γ{}1,,M x y =ΓM {}n d n n S 1123n n S S +=+

11

3

d ={}n d 20201232020,,,,d d d d L {}1232020,,,,d d d d L D D D +()*123,,,,k t t t t k N ∈L 123,,,,k t t t t L 123k t t t t <<<C Γ

【举一反三】

1．（2020·上海华师大二附中高三月考）已知数列是以为公差的等差数列，数列是以为公比的等比数列．

（1）若数列的前项和为，且，，求整数的值；

（2）若，，，试问数列中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中

连续项的和？请说明理由；

（3）若，，（其中，且是的约数），求证：数列中每一项都是数列中的项．

2．已知数列{}n a 满足11a =，2

14

2

n n n n a a a a λμ+++=

+，其中*N n ∈，λ，μ为非零常数．

（1）若3λ=，8μ=，求证： {}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列． ①求实数λ，μ的值；

②数列{}n a 的前n 项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列．试问：是否存在首项为1S 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．

{}n a d {}n b q {}n b n n S 112a b d ===31003252010S a b <+-q *

,p q ∈N 3p ≥2q ≥{}n b k b k b p 1r b a =2s r b a a =≠3t b a =t s r >>()s r -()t r -{}n b {}n a

类型二 不定子数列性质探究问题

典例2．（2020·上海曹杨二中高三期中考试）已知数列和，记

．

(1)若，求；

(2)若，求关于m 的表达式；

(3)若数列和均是项数为项的有穷数列．，现将和中的项一一取出，并按照从小到大的顺序排成一列，得到．求证：对于给定的，的所有可能取值的奇偶性相同．

【举一反三】

已知数列{}n a 的前n 项和n S ，对任意正整数n ，总存在正数,,p q r 使得1

n n a p -=，n n S q r =-恒成立：

数列{}n b 的前n 项和n T ，且对任意正整数n ，2n n T nb =恒成立． （1）求常数,,p q r 的值； （2）证明数列{}n b 为等差数列； （3）若12b =，记3

1222224n n n n n b n b n b P a a a +++=

++ 1212222n n n n n n

n b n b a a ---+++⋯++，是否存在正整数k ，使得对任意正整数n ，n P k ≤恒成立，若存在，求正整数k 的最小值，若不存在，请说明理由．

{}n a {}n b ()1122...m m m S a b a b a b =-+-++-21,2n n a n b n =-=-()()13,S S 1

2,213n n n a b n -==-()m S {}n a {}n b *(3,)m m m N ≥∈{}n a {}n b 1,2,3,...,2m m ()m S

类型三 新数列中定义理解与应用问题

典例3．（2020上海闵行中学高三期中考试）对于数列，把作为新数列的第一项，把或（）作为新数列的第项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列的一个生成数列是．已知数列为数列的生成数列，为数

列的前项和． （1）写出的所有可能值； （2）若生成数列满足，求数列的通项公式； （3）证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为．

【举一反三】

设数列A ：1a ，2a ，…N a (N ≥)．如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”．记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合． （1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；

（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2，3，…，N ），则)(A G 的元素个数不小于N a -1a ．

{}n a 1a {}n b i a i

a -234i n =L ，

，，，{}n b i {}n b {}n a 12345，，，，12345--，，，，{}n b 1()2n n N *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭

n S {}n b n 3S {}n b 311

(1)78

n n S =

-{}n b n N *∈n S 121

{|2}2

n n k x x k N k ，，*--=∈≤