高三数学基本不等式考点分类自测试题理

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高三数学基本不等式试题答案及解析

高三数学基本不等式试题答案及解析1.若且（I）求的最小值；（II）是否存在，使得？并说明理由.【答案】（1）最小值为;（2）不存在a，b，使得.【解析】（1）根据题意由基本不等式可得：，得，且当时等号成立，则可得：，且当时等号成立.所以的最小值为;（2）由（1）知，，而事实上，从而不存在a，b，使得.试题解析：（1）由，得，且当时等号成立.故，且当时等号成立.所以的最小值为.（2）由（1）知，.由于，从而不存在a，b，使得.【考点】1.基本不等式的应用;2.代数式的处理2.已知点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，则2m＋4n的最小值为________．【答案】2【解析】因为点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，所以有m＋2n＝1；2m＋4n＝2m＋22n≥2＝2＝2，当且仅当m＝2n时“＝”成立．3.已知,且,成等比数列,则xy( )A．有最大值e B．有最大值C．有最小值e D．有最小值【答案】C【解析】解:因为，所以又,成等比数列，所以（当且仅当即时等号成立）所以，故选C．【考点】1、基本不等式的应用；2、对数函数的性质．4.设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0B．C．2D．【答案】C【解析】∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故选C．5.若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A．[0，2]B．[﹣2，0]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]【答案】D【解析】∵1=2x+2y≥2•（2x2y），变形为2x+y≤，即x+y≤﹣2，当且仅当x=y时取等号．则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选D．6.设是半径为的球面上的四个不同点，且满足，，，用分别表示△、△、△的面积，则的最大值是 .【答案】2【解析】设则有即的最大值为2.【考点】基本不等式7.若（其中，)，则的最小值等于.【答案】.【解析】，因此的最小值等于.【考点】基本不等式8.已知正数满足，则的最小值为．【答案】9【解析】由，得，当且仅当，即，也即时等号成立，故最小值是9．【考点】基本不等式．9.若正实数满足，且恒成立，则的最大值为.【答案】1【解析】,恒成立，那么,即,所以的最大值为1.【考点】基本不等式求最值10.已知，且，则的最小值是.【答案】【解析】∵，∴==≥=，当且仅当=取等号，故最小值为.【考点】1.利用基本不等式求最值；2.转化与化归思想.11.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()A．B．C．5D．6【答案】C【解析】因为x>0,y>0,x+3y=5xy,所以+=1,所以（+）(3x+4y)=++++≥+2×=5,当且仅当=时,等号成立,所以选C.12.设，，若，则的最小值为A．B．6C．D．【答案】A【解析】因为，，，所以，；所以，当且仅当时，“=”成立，故答案为A.【考点】基本不等式13.在平面直角坐标系xoy中，过坐标原点的一条直线与函数的图像交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是＿＿＿＿【答案】【解析】因为过坐标原点的一条直线与函数的图像交于P、Q两点，则线段PQ长，由对称性只要研究部分，设，所以,所以当且仅当时取等号.所以的最小值为.故填.【考点】1.直线与双曲线的关系.2.两点间的距离.3.基本不等式的应用.14.在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，.则函数的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意可得，当且仅当时“=”成立，所以函数的最小值为，选.【考点】基本不等式，新定义问题.15.已知函数f(x)＝.(1)若f(x)>k的解集为{x|x<－3，或x>－2}，求k的值；(2)对任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．【答案】（1）k＝－（2）【解析】(1)f(x)>k⇔kx2－2x＋6k<0.由已知{x|x<－3，或x>－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2，由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－.(2)∵x>0，f(x)＝＝≤＝.当且仅当x＝时取等号，由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立，故t≥.即t的取值范围是.16.(－6≤a≤3)的最大值为 ()．A．9B．C．3D．【答案】B【解析】由于－6≤a≤3，所以＝≤，当且仅当a＝－时等号成立．17.若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则＋的最小值为________．【答案】16【解析】直线平分圆，∴直线过圆心，又圆心坐标为(－4，－1)，∴－4a－b＋1＝0，∴4a＋b＝1，∴＋＝(4a＋b) ＝4＋＋＋4≥16，当且仅当b＝4a，即a＝，b＝时等号成立，∴＋的最小值为16.18.在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，则为定值；②用表示两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知三点不共线，则必有.A．②③B．①④C．①②D．①②④【答案】C【解析】①；②【考点】1.基本不等式；2.三角函数的性质.19.设均为正数，且证明：（1）；（2）.【答案】（1）证明：见解析；（2）证明：见解析.【解析】（1）利用基本不等式，得到，，，利用，首先得到，得证；（2）为应用，结合求证式子的左端，应用基本不等式得到，，，同向不等式两边分别相加，即得证.试题解析：（1），，， 2分所以 4分所以 5分（2），， 7分10分【考点】基本不等式，不等式证明方法.20.已知，，则的最小值为____________.【答案】【解析】由得，当且仅当时取等号；两边平方得，，当且仅当时取等号.【考点】基本不等式求最值.21.已知函数的定义域为，则实数的取值范为 .【答案】【解析】由函数定义域可知为正数，根据均值不等式，恒成立即可.【考点】均值不等式求最值.22.在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且.(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆：+=1上；(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点；并求△GMN面积的最大值.【答案】详见解析；直线MN过定点(0,-3),△GMN面积的最大值.【解析】先计算出E、R、G、R′各点坐标，得出直线ER与GR′的方程，解得其交点坐标代入满足椭圆方程即可; 先讨论直线MN的斜率不存在时的情况；再讨论斜率存在时，用斜截式设出直线MN方程.与椭圆方程联立，用“设而不求”的方法通过韦达定理得出b为定值-3或1，又当b=1时，直线GM与直线GN的斜率之积为0，所以舍去.从而证明出MN过定点（0，-3）.最后算出点到直线的距离及MN的距离，得出△GMN面积是一个关于的代数式，由及知：，用换元法利用基本不等式求出△GMN面积的最大值是.试题解析：（Ⅰ）∵，∴， 1分又则直线的方程为① 2分又则直线的方程为②由①②得∵∴直线与的交点在椭圆上 4分（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，设不妨取∴ ,不合题意 5分②当直线的斜率存在时，设联立方程得则7分又即将代入上式得解得或（舍）∴直线过定点 10分∴，点到直线的距离为∴由及知：，令即∴当且仅当时， 13分【考点】1.直线的方程；2.解析几何；3.基本不等式.23.设,若直线与轴相交于点,与轴相交于点,且坐标原点到直线的距离为,则的面积的最小值为A．B．2C．3D．4【答案】C【解析】原点到直线的距离，，在直线的方程中，令可得，即直线与轴交于点，令可得，即直线与轴交于点，，当且仅当时上式取等号，由于，故当时，面积取最小值.【考点】原点到直线的距离，，在直线的方程中，令可得，即直线与轴交于点，令可得，即直线与轴交于点，，当且仅当时上式取等号，由于，故当时，面积取最小值.24.已知正数满足，，则的取值范围是______．【答案】【解析】由，,又，得，所以，故.【考点】不等式性质，基本不等式的应用.25.设若是与的等比中项，则的最小值【答案】4【解析】根据题意，由于若是与的等比中项，则可知，则，当a=b时等号成立故答案为4.【考点】不等式的运用点评：主要是考查了均值不等式来求解最值的运用，属于中档题。

高考数学模拟题：基本不等式训练试题(带答案)

高考数学模拟题：基本不等式训练试题（带答案）高考数学模拟题：基本不等式训练试题（带答案）1.(2010•茂名市模拟)“a＝14”是“对任意的正数x，均有x＋ax≥1”的() A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件[答案] A[解析]∵a＝14，x>0时，x＋ax≥2x•ax＝1，等号在x＝12时成立，又a＝4时，x＋ax＝x＋4x≥2x•4x＝4也满足x＋ax≥1，故选A.2．(2011•兰州一模)已知p＝a＋1a －2，q＝(12)x2－2，其中a>2，x∈R，则p、q的大小关系为()A．p≥qB．p>qC．p0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值等于()A．1B．2C．22D．23[答案] B[解析]由条件知(b2＋1)－ab 2＝0，∴a＝b2＋1b2，∴ab＝b2＋1b＝b＋1b≥2，等号在b ＝1，a＝2时成立．(理)(2011•太原部分重点中学联考)若正实数a，b满足a＋b＝1，则() ＋1b有最大值4 B．ab有最小值14＋b有最大值2 D．a2＋b2有最小值22[答案] C[解析]由基本不等式，得ab≤a2＋b22＝a＋b2－2ab2＝12－ab，所以ab≤14，故B错；1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4，故A错；由基本不等式得a＋b2≤a＋b2＝12，即a＋b≤2，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×14＝12，故D错．故选C.4．(文)(2011•湖北八校第一次联考)若00，b>0，a，b的等差中项是12，且α＝a＋1a，β＝b＋1b，则α＋β的最小值为()A．2B．3C．4D．5[答案] D[解析]∵12为a、b的等差中项，∴a＋b＝1.α＋β＝a＋1a＋b＋1b⇒1＋1a＋1b＝1＋a＋bab＝1＋1ab，∵ab≤a＋b2，∴ab≤a＋b24＝14.当a＝b＝12时取等号．∴α＋β＝1＋1ab≥1＋4＝5.∴α＋β的最小值为5.故选D.5．(文)(2011•沈阳模拟)若实数x，y 满足1x2＋1y2＝1，则x2＋2y2有() A．最大值3＋22B．最小值3＋22C．最大值6D．最小值6[答案] B[解析]x2＋2y2＝(x2＋2y2)•(1x2＋1y2)＝3＋x2y2＋2y2x2≥3＋22，等号在x2y2＝2y2x2，即x2＝2y2时成立．(理)(2011•厦门二检)若直线ax－by ＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值为()＋2＋22[答案] C[解析]圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a＋b＝1，1a＋1b＝(12a ＋b)(1a＋1b)＝32＋ba＋a2b≥32＋2，当且仅当ba＝a2b，即a＝2(2－1)，b＝2－2时取等号，故选C.6．(2011•北京文，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件[答案] B[解析]由题意知仓储x件需要的仓储费为x28元，所以平均费用为y＝x8＋800x≥2x8×800x＝20，当且仅当x＝80等号成立．7．已知c是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的半焦距，则b＋ca的取值范围是________．[答案](1，2][解析]由题设条件知，a1，∵a2＝b2＋c2，∴b＋c2a2＝b2＋c2＋2bca2≤2b2＋c2a2＝2，∴b＋ca≤2.8．(文)(2011•温州一检)已知直线x ＋2y＝2与x轴、y轴分别相交于A、B 两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为__ ．[答案]12[解析]由题意知A(2,0)，B(0,1)，所以线段AB的方程用截距式表示为x2＋y＝1，x∈[0,2]，又动点P(a，b)在线段AB上，所以a2＋b＝1，a∈[0,2]，又a2＋b≥2ab2，所以1≥2ab2，解得0≤ab≤12，当且仅当a2＝b＝12，即P(1，12)时，ab 取得最大值12.(理)(2010•江苏无锡市调研)设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则AB的最小值为______．[答案] 2[解析]由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为xa＋yb＝1，则aba2＋b2＝1，∴a2b2＝a2＋b2≥2ab，切线与两轴交于点A(a, 0)和(0，b)，不妨设a>0，b>0，∴ab≥2，则AB＝| AB|＝a2＋b2≥2ab≥2.9．(文)(2011•山东日照调研)在等式“1＝1＋9”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是____．[答案]4和12[解析]设两个括号中的正整数分别为x，y，则x>0，y>0，1x＋9y＝1，x ＋y＝(x＋y)(1x＋9y)＝10＋yx＋9xy≥10＋2yx•9xy＝16，等号在yx＝9xy，即y ＝3x时成立，由1x＋9y＝1y＝3x解得x ＝4，y＝12.(理)(2010•山东平度一中一模)设OA→＝(1，－2)，OB→＝(a，－1)，OC→＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则1a＋2b的最小值是________．[答案]8[解析]AB→＝OB→－OA→＝(a －1,1)，AC→＝OC→－OA→＝(－b－1 ,2)，∵AB→与AC→共线，∴2(a－1)＋b ＋1＝0，即2a＋b＝1.∵a>0，b>0，∴1a＋2b＝(1a＋2b)(2a ＋b)＝4＋ba＋4ab≥4＋2ba•4ab＝8，当且仅当ba＝4ab，即b＝12，a＝14时等号成立．10．(文)(2011•洛阳模拟)若直线ax ＋by＋1＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，求1a＋4b的最小值．[解析]由x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0得(x＋4)2＋(y＋1)2＝16，∴圆的圆心坐标为(－4，－1)，∴－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，∴1a＋4b＝b＋4aab＝1ab，由1＝4a＋b≥24ab＝4ab，得ab≤116，∴1ab≥16，∴1a＋4b的最小值为16.(理)(2010•江苏盐城调研)如上图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB＝30米，AD＝20米．记三角形花园APQ的面积为S.(1)当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值．(2)要使S不小于1600平方米，则DQ的长应在什么范围内？[解析](1)设DQ＝x米(x>0)，则AQ＝x＋20，∵QDDC＝AQAP，∴x30＝x＋20AP，∴AP＝30x＋20x，则S＝12×AP×AQ＝15x＋202x＝15(x＋400x＋40)≥1200，当且仅当x＝20时取等号．(2)∵S≥1600，∴3x2－200x＋1200≥0，∴00，A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0得A>B，C－A＝11＋a－(1＋a2)＝－a a2＋a＋11＋a＝－aa＋122＋341＋a>0，得C>A，∴B0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx ＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．9[答案] D[解析] f ′(x)＝12x2－2ax－2b＝0的一根为x＝1，即12－2a－2b＝0.∴a＋b＝6，∴ab≤(a＋b2)2＝9，当且仅当a＝b＝3时“＝”号成立．13．(文)(2011•湛江调研)已知x>0，y>0，若2yx＋8xy>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥4或m≤－2B．m≥2或m≤－4C．－20，y>0，∴2yx＋8xy≥22yx•8xy＝8，由条件知m2＋2m0，a7＝a6＋2a5，设{an}的公比为q，则a6q＝a6＋2a6q，∴q2－q－2＝0，∵q>0，∴q＝2，∵aman＝4a1，∴a21•qm＋n－2＝16a21，∴m＋n－2＝4，∴m＋n＝6，∴1m＋4n＝16(m＋n)1m＋4n＝165＋nm＋4mn≥165＋2nm•4mn＝32，等号在nm＝4mn，即n＝2m＝4时成立．14．(2011荆州二检)函数y＝loga(x ＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则1m＋2n的最小值为________．[答案]8[解析]函数y＝loga(x＋3)－1的图象经过的定点为A(－2，－1)，∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴2m＋n＝1.∴1m＋2n＝(2m＋n)1m＋2n＝4＋nm＋4mn.∵mn>0，∴nm>0，4mn>0，∴nm ＋4mn≥2nm•4mn＝4，当且仅当n2＝4m22m＋n＝1，即m＝14n＝12时等号成立．于是，1m＋2n≥4＋4＝8，即1m＋2n的最小值为8.15．(文)(2011•安徽合肥联考)合宁高速公路起自安徽省合肥西郊大蜀山，终于苏皖交界的吴庄，全长133千米．假设某汽车从大蜀山进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶到吴庄．已知该汽车每小时的运输成本y(以元为单位)由固定部分和可变部分组成；固定部分为200元；可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比．当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元．(1)把全程运输成本f(v)(元)表示为速度v(千米/时)的函数；(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？[解析](1)依题意488＝200＋k×1202⇒k＝f(v)＝133v(200＋)＝133(200v ＋)(60≤v≤120)．(2)f(v)＝133(200v＋)≥133×2200v×＝532，当且仅当200v＝，即v＝100时，“＝”成立，即汽车以100千米/时的速度行驶，全程运输成本最小为532元．(理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝3x＋1x＋1(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？[解析](1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q＋3)万元，每万件销售价为32Q＋3Q×150%＋xQ×50%，∴年销售收入为(32Q＋3Q×150%＋xQ×50%)•Q＝32(32Q＋3)＋12x，∴年利润W＝32(32Q＋3)＋12x－(32Q＋3)－x＝12(32Q＋3－x)＝－x2＋98x＋352x＋1(x≥0)．(2)令x＋1＝t(t≥1)，则W＝－t－12＋98t－1＋352t＝50－t2＋32t.∵t≥1，∴t2＋32t≥2t2•32t＝8 ，即W≤42，当且仅当t2＝32t，即t＝8时，W有最大值42，此时x＝7.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．16．已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinαcos(α＋β)．(1)当α＋β＝π4，求tanβ的值；(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值．[解析](1)∵由条件知，sinβ＝22sinπ4－β，整理得32sinβ－12cosβ＝0，∵β为锐角，∴tanβ＝13.(2)由已知得sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ，∴tanβ＝sinαcosα1＋sin2α＝sinαcosα2sin2α＋cos2α＝tanα2tan2α＋1＝12tanα＋1tanα ≤122＝24.当且仅当1tanα＝2tanα时，取“＝”号，∴tanα＝22时，tanβ取得最大值24，此时，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2.1．若a、b、c、d、x、y是正实数，且P＝ab＋cd，Q＝ax＋cy•bx＋dy，则()A．P＝QB．P≥QC．P≤QD．P>Q[答案] C[解析]Q＝ax＋cy•bx＋dy＝ab＋cd＋adxy＋bcyx≥ab＋cd＋2abcd＝ab＋cd＝P.[点评]可用特值法求解，令所有字母全为1，则P＝2，Q＝2，∴P＝Q，排除D；令a＝b＝c＝d＝1，x＝1，y＝4，则P＝4，Q＝5，∴P0，b>0，1a＋2b＝1，所以(2a＋b)•1＝(2a＋b)(1a＋2b)＝2＋2＋ba＋4ab≥8，当且仅当ba＝4ab，即2a＝b＝4时等号成立，所以(4a2＋b2)(1＋1)≥(2a＋b)2≥64.所以4a2＋b2≥32，当且仅当2a1＝b1＝4时等号成立．所以(4a2＋b2)min＝32.3．若不等式x2＋a x＋1≥0对一切x ∈0，12成立，则a的最小值为() A．0B．－2C．－52D．－3[答案] C[分析]将不等式进行变形，变为不等式的一边为参数，另一边为含x的代数式a≥－x－1x，x∈0，12，a只要大于或等于y＝－x－1x，x∈0，12的最大值就满足题设要求．[解析]若x2＋ax＋1≥0，x∈0，12恒成立，则a≥－x－1x，x∈0，12恒成立．令y＝－x－1x，x∈0，12，则y′＝－1＋1x2，当x∈0，12时y′>0，∴y＝－x －1x，x∈0，12为增函数，∴ymax＝y′|x＝12 ＝－52，当a≥－52时，a≥－x－1x恒成立，即x2＋ax＋1≥0，x∈0，12恒成立，∴选C.4．(2010•广东揭阳一模)若函数f(x)＝logmx的反函数的图象过点(－1，n)，则3n＋m的最小值是()A．22B．2C．23[答案] C[解析]函数f(x)＝logmx的反函数为y＝mx，∵该函数图象过点(－1，n)，∴n＝1m.∵m>0，且m≠1，∴n>0且n≠1.∴3n＋m＝3n＋1n≥23，当且仅当n ＝33时等号成立．5．(2010•广东省高考调研)如下图在等腰直角△ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则mn的最大值为()B．1C．2D．3[答案] B[解析]以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC的腰长为2，则P点坐标为(1,1)，B(0,2)、C(2,0)，∵AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，∴AM→＝AB→m，AN→＝AC→n，∴M0，2m、N2n，0，∴直线MN的方程为my2＋nx2＝1，∵直线MN过点P(1,1)，∴m2＋n2＝1，∴m＋n＝2，∵m＋n≥2mn，∴mn≤m＋n24＝1，当且仅当m＝n＝1时取等号，∴mn的最大值为1.。

高三复习基本不等式练习题

高三复习基本不等式练习题不等式作为高中数学中的一个重要内容，占据了复习的重要一部分。

本文将提供一些基本不等式的练习题，供高三学生复习使用。

练习题1：解不等式组：{x+2>0, x-3<0}练习题2：求解不等式：(x+1)(x-3)<0练习题3：解不等式组：{x^2 - 4>0, x-1<0}练习题4：求解不等式：x^2 - 5x + 6>0练习题5：解不等式组：{x^2-4x+3>0, x^2+6x+8>0}练习题6：求解不等式：(x-2)(x+3)(x-7)<0练习题7：解不等式组：{x^3-9x^2+20x-12>0, x^2-4x+4>0}练习题8：求解不等式：(x-2)^2(x+4)>0练习题9：解不等式组：{x^3-x^2+4x-4>0, x^2 + 3x + 2>0}练习题10：求解不等式：(x-1)^3+8>0以上是关于高三复习基本不等式的一些练习题。

希望同学们能够认真思考，按照正确的解题步骤解答。

复习不等式时，应重点掌握不等式的基本性质和解不等式的方法，如辨别二次不等式的判别式、区间法等。

在解题过程中，也要注意进行化简和因式分解，以便于对不等式进行分类讨论。

基本不等式是高中数学中一个重要的内容，对于加深对不等式的理解和掌握不等式的解法有着重要的意义。

因此，同学们要多进行基本不等式的练习，理解和掌握不等式的性质和方法，为高考做好充分准备。

希望以上的练习题能够帮助到高三的同学们，祝大家能够在高三阶段取得优异的成绩！。

高考数学复习的基本不等式及其应用测试题和答案

高考数学复习的基本不等式及其应用测试题和答案高考数学复习的基本不等式及其应用测试题和答案学习目标：1。

了解基本不等式的证明过程。

2.用基本不等式求解X的简单大(小)值问题。

(3)如果x，(0，)和2x 8-x=0，求x的最小值。

变体迁移2被称为x0，0，z0。

转型3 (2011广州月考)为了获得更多的市场份额，一家国际化妆品制造商计划在2012年伦敦奥运会期间开展一系列促销活动。

据市场调研计算，化妆品年销量为1万件，年推广费1万元与3-x、t 1成反比。

如果不进行促销活动，化妆品的年销量只能是1万件。

据了解，2012年化妆品生产设备折旧维护固定成本为3万元，每万件化妆品需要32万元的生产成本。

如果把每件化妆品的售价定为其生产成本的150%和每件平均促销成本的一半之和，当年生产的化妆品正好可以销售一空。

一、选择题(每题5分，共25分)案例36基本不等式及其应用自梳理1.(1)a0，b0 (2)a=b 2。

(1)2ab (2)2 (4)3.两个正数A B2AB的算术平均值不小于它们的几何平均值4。

(1) X=较小的2p (2) X=较大的p24自测1.A 2。

A 34.大-22-1 5。

[15, )教室活动区例1解题引导基本不等式的作用在于“和与积”的相互转化。

用基本不等式计算X的值时，给定的形式可能并不直接适用于基本不等式，但往往需要进行分、加项或匹配因子(一般和或积的形式是固定值)来构造基本不等式的形式，然后求解。

基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，以及“三相等”意味着它必须被验证。

解(1)x0，0，1x 9=1，x+=(x+)1x+9=x+9x+106+10=16。

当只有x=9x时，上述等式成立，1x 9=1，当x=4，=12时，(x ) in=16。

(2)x54,5-4x0.=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3-2 5-4x15-4x+3=1，当只有5-4x=15-4x时，即当x=1时，上述方程成立，所以当x=1时，ax=1。

高考数学《基本不等式》真题练习含答案

高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ），∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ）＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。

2020届高三(文理)数学一轮复习《基本不等式》专题测试(含解析)

《基本不等式》专题题型一基本不等式的判断 1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R D.1x 2＋1＜1(x ∈R) 题型二利用基本不等式求最值类型一直接法或配凑法利用基本不等式求最值1．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为 2.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于3.函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为4．若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ·⎝⎛⎭⎫1＋4a b 的最小值为 5．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为6．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为7．已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________. 8．已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．9．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为10．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.11．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是类型二常数代换法利用基本不等式求最值1.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b 的最小值为2．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．3.若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为4.若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是5.设x >0，y >0，若x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列，则1x ＋9y的最小值为6．已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n的最大值为________．7.已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为8．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为 9．若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c 的最小值是10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图像在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则8a ＋bab 的最小值是 11.已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y 的最小值.类型三通过消元法利用基本(均值)不等式求最值1．正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 2.设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________. 3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．类型四：利用基本不等式求参数值或取值范围1．若对于任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．2．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．3．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 4．已知函数y ＝x ＋m x －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．题型二基本不等式的综合问题类型一基本不等式的实际应用问题1．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．2.若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 类型二基本不等式与函数的交汇问题1.已知A ，B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是类型三基本不等式与数列的交汇问题1.设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7－S 5＝3(a 4＋a 5)，则4a 3＋9a 7的最小值为________.2.已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为类型四基本不等式与解析几何的交汇问题1.直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是2.当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时，M 的渐近线方程为《基本不等式》专题题型一基本不等式的判断 1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R D.1x 2＋1＜1(x ∈R)解析：当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．题型二利用基本不等式求最值类型一直接法或配凑法利用基本不等式求最值1．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为解析：∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81. 2.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于解析：当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.3.函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为解析：f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥24＝4，当且仅当x ＝±2时，等号成立.4．若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ·⎝⎛⎭⎫1＋4a b 的最小值为解析：∵a ，b 都是正数，∴⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab ≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号．5．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为解析：依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立．因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab ，即ab ≥22，所以ab 的最小值为2 2.6．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为解析：由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，得ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立． 7．已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________.解析：x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，取等号. 8．已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．解析：因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2(5－4x )·15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.9．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为解析： y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.10．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.解析：∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.11．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是解析：因为x ＋y ＋1x ＋1y ＝x ＋y ＋x ＋y xy ≥x ＋y ＋x ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝x ＋y ＋4x ＋y ，所以x ＋y ＋4x ＋y ≤5.令x ＋y ＝t .则t 2－5t ＋4≤0，解得1≤t ≤4. 类型二常数代换法利用基本不等式求最值1.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b 的最小值为解析：由题意知，正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫4a ＋1b (a ＋b )＝4＋1＋4b a ＋ab≥5＋24b a ·ab＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝23，b ＝13时等号成立，所以4a ＋1b 的最小值为9.2．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________．解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2 a 3b ·4b3a＝83.当且仅当a ＝2b ＝32时取等号．3.若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为解析：由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4.4.若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是解析：由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ＝15⎝⎛⎭⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3y x ＝12xy，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.5.设x >0，y >0，若x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列，则1x ＋9y 的最小值为解析：∵x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列，∴2lg 2＝(x ＋y )lg 2，∴x ＋y ＝1. ∴1x ＋9y＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ≥10＋2y x ·9x y ＝10＋6＝16，当且仅当x ＝14，y ＝34时取等号. 6．已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为________．解析:∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0，∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝－⎝⎛⎭⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·m n ＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n取得最大值－4. 7.已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n的最小值为解析：令x ＋3＝1，得x ＝－2，故A (－2，－1)．又点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝3＋n m ＋2mn ≥3＋2 n m ·2mn＝3＋2 2.当且仅当m ＝12＋2，n ＝12＋1时等号成立，所以1m ＋1n 的最小值为3＋2 2.8．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为解析：∵x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y ＝(x ＋2＋y ＋2)－4＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2＋1y ＋2(x ＋2＋y ＋2)－4＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x ＋2y ＋2＋y ＋2x ＋2－4 ≥6×2＋2x ＋2y ＋2·y ＋2x ＋2－4＝20，当且仅当x ＝y ＝10时取等号．∴x ＋y 的最小值为20. 9．若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c 的最小值是解析:∵a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，∴a ＋b ＋c ＋1＝3，且a ＋1>0，b ＋c >0. ∴4a ＋1＋1b ＋c ＝13·(a ＋1＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1＋1b ＋c ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4(b ＋c )a ＋1＋a ＋1b ＋c ≥13(5＋4)＝3. 当且仅当a ＋1＝2(b ＋c )，即a ＝1，b ＋c ＝1时，等号成立.10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图像在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则8a ＋bab 的最小值是解析: 由函数f (x )＝ax 2＋bx ，得f ′(x )＝2ax ＋b ，由函数f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线斜率为2,所以f ′(1)＝2a ＋b ＝2，所以8a ＋b ab ＝1a ＋8b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋8b (2a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎫10＋b a ＋16a b ≥12⎝⎛⎭⎫10＋2b a ·16a b ＝12(10＋8)＝9，当且仅当b a ＝16a b ，即a ＝13，b ＝43时等号成立，所以8a ＋b ab的最小值为9.11.已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值.解析: (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立.因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 类型三通过消元法利用基本(均值)不等式求最值1．正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．解析 ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，解得ab ≥3，即ab ≥9. 2.设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________. 解析:由xy ＋x －y －10＝0，得x ＝y ＋10y ＋1＝9y ＋1＋1，∴x ＋y ＝9y ＋1＋1＋y ≥29y ＋1·(1＋y )＝6，当且仅当9y ＋1＝1＋y ，即y ＝2时，等号成立.3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．解析：令t ＝x ＋2y ，则2x ＋4y ＋xy ＝1可化为1＝2x ＋4y ＋xy ≤2(x ＋2y )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2t ＋t 28.因为x >0，y >0，所以x ＋2y >0，即t >0，t 2＋16t －8≥0，解得t ≥62－8.即x ＋2y 的最小值是62－8.类型四：利用基本不等式求参数值或取值范围1．若对于任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析:x x 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x，因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x ≤13＋2＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 2．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析:因为a ＞0，b ＞0，1a ＋9b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9ab≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.3．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为解析:已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋ay 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4. 4．已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．解析:∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋mx －2＋2≥2(x －2)·mx －2＋2＝2m ＋2，当且仅当x ＝2＋m时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4.题型二基本不等式的综合问题类型一基本不等式的实际应用问题1．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．解析:设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x (k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝⎛⎭⎫5x ＋20x 万元，∵5x ＋20x ≥25x ×20x＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．2.若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 解析:设矩形的一边为x m ，面积为y m 2，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 类型二基本不等式与函数的交汇问题1.已知A ，B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是解析:设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨设x 1<x 2.函数y ＝2x 为单调增函数，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则12－y 1＝y 2－12，即y 1＋y 2＝1，即2x 1＋2x 2＝1.由基本不等式得1＝2x 1＋2x 2≥22x 1·2x 2，当且仅当x 1＝x 2＝－1时取等号，则2x 1＋x 2≤14，解得x 1＋x 2<－2(因为x 1≠x 2，等号取不到).类型三基本不等式与数列的交汇问题1.设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7－S 5＝3(a 4＋a 5)，则4a 3＋9a 7的最小值为________.解析:设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)， ∵S 7－S 5＝a 7＋a 6＝3(a 4＋a 5)，∴a 7＋a 6a 5＋a 4＝q 2＝3.∴4a 3＋9a 7＝4a 3＋9a 3q 4＝4a 3＋1a 3≥24a 3·1a 3＝4，当且仅当4a 3＝1a 3，即a 3＝12时等号成立.∴4a 3＋9a 7的最小值为4.2.已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为解析:∵1a ，12，1b 成等差数列，∴1a ＋1b ＝1，∴a ＋9b ＝(a ＋9b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝10＋a b ＋9b a ≥10＋2a b ·9b a ＝16，当且仅当a b ＝9b a 且1a ＋1b ＝1，即a ＝4，b ＝43时等号成立. 类型四基本不等式与解析几何的交汇问题1.直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是解析:圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5.因为b ，c >0，所以4c b ＋b c≥2 4c b ·b c ＝4.当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即当b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9.2.当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时，M 的渐近线方程为解析:由题意得m >0，e ＝1＋m 2＋4m＝1＋m ＋4m≥1＋2m ·4m＝5，当且仅当m11 / 11＝4m ，即m ＝2时等号成立，所以双曲线的方程为x 22－y 28＝1，所以渐近线方程为y ＝±2x .。

(完整版)高中数学基本不等式知识点归纳及练习题(可编辑修改word版)

W＞0，W2＝3x＋2y＋2 3x· 2y＝10＋2 3x· 2y≤10＋( 3x)2·( 2y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20
∴ W≤ 20＝2 5
变式: 求函数 y
2x 1
5
2x
1 (
x
5 )
的最大值。
2
2
解析：注意到 2x 1与 5 2x 的和为定值。
y2 ( 2x 1 5 2x )2 4 2 (2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8
3
1
1
当 x＜0 时， y＝x＋ = －（－ x－）≤－2 x·=－2
x
x
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解：因 4x 5 0 ，所以首先要“调整”符号，又 (4x 2)A 1 不是常数，所以对 4x 2 要进行拆、凑项，
4x 5
x
5 4
,5
4
x
0
，
y
4
x
2
4
1 x
5
5
4x
5
1 4x
2
2
2
巧和公式等号成立的条件等．
两个变形
( ) a2＋b2 a＋b
(1)
≥
2≥ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时取等号)；
2
2
a2＋b2 a＋b
2
(2)
≥ ≥ ab≥ (a＞0，b＞0，当且仅当 a＝b 时取等号)．
2
2
11
＋
ab
这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．
三个注意
1
(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中 “正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．

高三复习基本不等式基础测试题

第四节基本不等式基础测试题知识梳理1、基本不等式ab b a ≥+22、常用的几个重要不等式（1）),(222R b a ab b a ∈≥+（2）),()2(2R b a b a ab ∈+≤ （3）),()2(2222R b a b a b a ∈+≥+ （4）2≥+ba ab （b a ,同号且不为零） 3、算术平均数与几何平均数4、利用基本不等式求最值（1）如果积xy 是定值p ,那么当y x =时，和y x +有最小值________.（2）如果y x +是定值S ，那么当y x =时，积xy 有最大值__________. 第一部分基础自测1、下列不等式不一定成立的是（）A. ),(222R b a ab b a ∈≥+B. )(232R a a a ∈>+C. )(21R x xx ∈≥+D. ),(2222R b a b a b a ∈+≤+ 2、已知,0,0>>b a 则ab ba 211++的最小值是____________.3、当1>x 时，关于函数,11)(-+=x x x f 下列叙述正确的是（） A.函数)(x f 有最小值2 B.函数)(x f 有最大值2C.函数)(x f 有最小值3D.函数)(x f 有最大值34、已知,1,=>ab b a 则ba b a -+22的最小值是__________.5、已知关于x 的不等式722≥-+ax x 在),(+∞∈a x 上恒成立，则实数a 的最小值为_________. 第二部分课堂考点讲解 1、已知,0>t 则函数tt t y 142+-=的最小值为____________. 2、已知,,+∈R y x 且满足,143=+y x则xy 的最大值为_________. 3、已知,0<t 则函数tt t y 142+-=的最值为____________. 4、已知,,+∈R y x 且满足,143=+y x求yx z 11+=的最值_________. 5、已知,1,0,0=+>>b a b a 求证：（1）;8111≥++abb a（2）.9)11)(11(≥++b a 6、某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为)10(≥x x 层，则每平方米的平均建筑费用为x 48560+（单位：元）.（1）写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；（2）该楼房应建造多少层时，可使楼房平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？第三部分考题演练1、已知,822,0,0=++>>xy y x y x 则y x 2+的最小值是__________.2、若对任意a x x x x ≤++>13,02恒成立，则a 的取值范围是________. 3、已知y x ,为正实数，且,12=+y x 则yx 12+的最小值是_________.4、若直线)0,0(1>>=-b a by a x过圆02222=+-+y x y x 的圆心，则b a +3的最小值为_______________.5、已知所有点))(,(*N n a n A n n ∈都在函数)1,0(≠>=a a a y x 的图象上，则73a a +与52a 的大小关系是（）。

高中《不等式》测考试试题

高中《不等式》测考试试题(总5页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-第三章《不等式》测试题一．选择题1．设a<b<0，则下列不等式中不能成立的是（） A ．1a >1b B ．１a-b ＞1a C ．ab D ．22b a >2．关于x 的不等式(x-2)(ax-2)＞0的解集为｛x ︱x ≠2,x ∈R ｝，则a=( ) A ．2 B ．-2 C ．-1 D ．13．不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则b a -的值等于（）A ．－14B ．14C ．－10D ．10 4．若实数a 、b 满足a+b=2，是3a +3b 的最小值是（）A ．18B ．6C ．23D ．2435．已知直角三角形的周长为2，则它的最大面积为（） A ．3－2 2 B ．3＋2 2 C ．3－ 2 D ．3＋ 26．f x a x a x ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是（） A a ≤0 B a <-4 C -<<40a D -<≤40a 7．如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于?1，另一个大于1，那么实数 m 的取值范围是（）A )22(，-B （－2，0）C （－2，1）D （0，1）8．若角α，β满足－2π＜α＜β＜2π，则2α－β的取值范围是（）A （－π，0）B （－π，π）C （－23π，2π） D （－π23，23π） 9．下列不等式的证明过程正确的是 ( )A 若,,R b a ∈则22=⋅≥+b aa b b a a b B 若+∈R y x ,,则y x y x lg lg 2lg lg ≥+C 若,-∈R x 则4424-=⋅-≥+xx x x D 若,-∈R x 则222x x -+>=10．设M=)11)(11)(11(---cb a ,且a+b+c=1，(a 、b 、c ∈R +)，则M 的取值范围是（）A [0,81]B [81,1]C [1,8]D [8,+∞）11.若11,(lg lg ),lg(),22a b a b P Q a b R +>>==+=则 A R<P<Q B P<Q<R C Q<P<R D P<R<Q12、下列不等式中解集为实数集R 的是02111044222><->>++-x D xx C x B x x A 、、、、13若01a <<，则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是（）A ．1a x a< D ．1x a<或x a >二．填空题14．设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>>15．若x ，y 为正实数，且2x ＋5y ＝20，则lgx ＋lgy 的最大值为 16．若函数2()68f x kx kx k 的定义域是R ，则实数k 的取值范围是17．若二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R)的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是。

高三数学不等式检测题理试题

高三理科数学不等式检测题制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅…… 日期：2022年二月八日。

一、选择题〔一共10个小题，每一小题只有一个正确答案，每一小题6分〕 1.不等式xx 1<的解集是 ( ) A .{}11|-<>x x x 或 B. {}11|<<-x x C.{}10|<<x x D. {}110|-<<<x x x 或 2．设a 、b 、c 都为正数，那么三个数ac c b b a 1,1,1+++ 〔〕A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于25．定义在R 上的偶函数)(x f 在),0[+∞上为减函数，且0)21(=f ，那么满足0)(log 21<x f 的x 的取值范围是〔〕A. )1,0(B.),2()2,1(∞+⋃C.),2(+∞D.),2()22,0(∞+⋃ 6．假设关于x 的不等式组⎩⎨⎧>+->01a x ax 的解集不是空集，那么实数a 的取值范围是( ).A. 0a <B. 0a =C. 10a -<<D. 1->a7．函数)0()(2>++=a c bx ax x f 的图象经过点)3,1(-和)1,1(，假设10<<c ，那么a 的取值范围是( )A. 21a -<<-B. 2a <C. 21<<aD. 2a >8.函数2()log 3xf x x =+，正实数,,a b c 成公差为正数的等差数列，且满足()()()0f a f b f c <，且实数d 是函数()f x 的一个零点。

给出以下四个不等式：其中有可能成立的不等式有( )①d a <；②d b >；③d c <；④d a >.A ①②③④B ②③④C ①②③D ①③④ 9．假设方程)sin 2(cos 2x m x +=+有解，那么整数m 的值只能有〔〕A 1个B 2个C 3个D 4个10．设,m k ，方程220mx kx -+=在区间〔0,1〕内有两个不同的根，那么m k +的最小值为A ．8-B ．8C ．12D ．13二、填空题〔一共4个小题，每一小题4分〕 11.〔2021文〕不等式2560xx 的解集为______.12.〔2021文〕不等式2902x x ->-的解集是___________. 13.〔2021理〕在实数范围内，不等式21216x x -++≤的解集为__________.14．假设不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，那么b 的取值范围 . 15．在等差数列{}n a 中,,4,1201-==d a 假设)2(≥≤n a S n n ，那么n 的最小值为三、解答题〔一共6个小题，满分是74分〕17．〔12分〕设a x x f |,lg |)(=、b 是满足)2(2)()(ba fb f a f +==的实数，其中b a <<0. ⑴求证：b a <<1； ⑵求证：3422<-a ，解关于x 的不等式 11log 2<-x ax.19．〔12分〕设f(x)是定义在上]1,1[-的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x =1对称，而当]3,2[∈x时，44)(2-+-=x x x g ．〔1〕求f(x)的解析式；〔2〕对于任意的,]1,0[,2121x x x x ≠∈且求证：;2)()(1212x x x f x f -<- 〔3〕对于任意的,]1,0[,2121x x x x ≠∈且求证：.1)()(12≤-x f x f 〔14分〕21.(14分)〔2021文〕a 为正实数，n 为自然数，抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A .设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距. ⑴用a 和n 表示()f n ； ⑵求对所有n 都有()1()11f n nf n n -≥++成立的a 的最小值；⑶当01a <<时，比拟111(1)(2)(2)(4)()(2)f f f f f n f n ++⋅⋅⋅+---与(1)(1)6(0)(1)f f n f f -+-的大小，并说明理由.第六章? 不等式检测题一、选择题〔一共10个小题，每一小题只有一个正确答案，每一小题6分〕 1. 【解析】0)1)(1(1<+-⇒<xx x x x 110-<<<⇒x x 或故答案选D 2．【解析】D3. 【解析】用均值不等式求解错误率高。

高三数学单元测试(不等式5理科)

高三数学单元测试〔不等式5理科〕一、选择题1．假设不等式02<++q px x 的解集是{}21<<x x ，那么不等式06522>--++x x q px x 的解〔〕A ．)2,1(B ．),6()1,(+∞⋃--∞C )6,2()1,1(⋃-D ．),6()2,1()1,(+∞⋃⋃--∞2．假设不等式n a n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，那么实数a 的取值范围是〔〕A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,2 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,2 C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,3 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,3 3．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是〔〕A ．22-B ．335-C ．－3D ．27- 4．假设x ，y 是正数，那么22)21()21(xy y x +++的最小值是〔〕 A ．3 B ．27 C ．4 D ．29 5．以下结论正确的选项是〔〕A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>xx x x 时且 B ．21,0≥+>x x x 时当 C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值二、填空题6．不等式|x 2-2x+3|<|3x-1|的解集为__________。

7．假设y x y x -=+则,422的最大值是 .8．集合∈=<--∈=x B x x R x A {},06|{2R| }2|2|<-x ，那么B A = .三、解答题9．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y 〔千辆/小时〕与汽车的平均速度υ〔千米/小时〕之间的函数关系为：)0(160039202>++=υυυυy ．〔1〕在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？〔精确到1.0千辆/小时〕〔2〕假设要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，那么汽车的平均速度应在什么范围内？10．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：543210,,,,,a a a a a a ，其中00=a ．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记510a a a T +++= ，5n x n =， )(110n n a a a Ty +++= ，作函数)(x f y =，使其图象为逐点依次连接点 )5,,2,1,0)(,( =n y x P n n n 的折线．〔1〕求)0(f 和)1(f 的值；〔2〕设n n P P 1-的斜率为)5,4,3,2,1(=n k n ，判断54321,,,,k k k k k 的大小关系；〔3〕证明：当)1,0(∈x 时，x x f <)(；〔4〕求由函数x y =与)(x f y =的图象所围成图形的面积〔用54321,,,,a a a a a 表示〕．。

高中不等式的基本知识点和练习题(含答案)doc资料

各种情况如下表：
2、简单的一元高次不等式的解法：
标根法：其步骤是：（ 1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意
奇穿偶不
穿；（ 3）根据曲线显现 f ( x) 的符号变化规律，写出不等式的解集。如： x 1 x 1 2 x 2 3 0
1. 设 a 2 ， p a 1 ， q 2 a2 4a 2 ，试比较 p, q 的大小 a2
（二）解不等式题型三：解不等式
解不等式 ( x 1)( x 2) 2 0 。
5x 3 .x2 2x 3 1
2. 不等式 ax2 bx 12 0 的解集为 {x|-1 ＜ x＜ 2} ，则 a =_____, b=_______
ab 2．如果 a,b 是正数，那么
2
ab(当且仅当 a b时取 " "号).
2
变形：有 :a+b≥ 2 ab ；ab≤ a b ,当且仅当 a=b 时取等号 . 2
3．如果 a,b∈R+ ,a·b=P(定值 ),当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值 2 P ;
如果 a,b∈R+ ,且 a+b=S(定值 ),当且仅当 a=b 时 ,ab 有最大值 S2 . 4
高中不等式的基本知识点和练习题( 含答案)
不等式的基本知识
（一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系；
不等式的主要性质：
(1) 对称性： a b b a
精品文档
(2) 传递性： a b, b c a c
(3) 加法法则： a b a c b c ； a b, c d a c b d ( 同向可加 )

高中数学基本不等式综合测试题(附答案)

高中数学基本不等式综合测试题（附答案）
高中数学基本不等式综合测试题（附答案）
基本不等式的最大最小值问题随堂练习
1、在下列函数中，最小值是的是
且）
2、已知正数满足，则的最小值为
3、若，则的最大值。

4、设时，则函数的最小值。

三、解答题
5、为迎接北京奥运会，北京市决定在首都国际机场粘贴一幅“福娃”宣传画，要求画面面积为，左、右各留米，上、下各留米，问怎样设计画面的长和宽才能使宣传画
所用纸张面积最小？
6、函数的值域
7、若是正数，且，则有最值=
8、已知，则的最小值是。

9、已知，求的最值及相应的的值。

10、正数、满足则的最小值是
11、已知函数f(x)满足2f(x)－f( 1x ) = 1| x | ，则f(x)的最小值是
12、函数若恒成立，则b的最小值为＿
13、函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为
4、解：
当且仅当，即时取等号，故当时，有最小值。

高中数学不等式单元测试题含有详细答案

高中数学不等式综合测试题一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共60分)1．(文)设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是( )A ．d b c a ->-B ．bd ac >C ．d b c a +>+D ．c b d a +>+ (理)已知a <0，-1>B ．2ab ab a >>C ．2ab ab a >>D ．2ab a ab >>2．“0>>b a ”是“222b a ab +<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( )A ．RB ．φC ．),(+∞a bD ．(,)b a-∞ (理)不等式b ax >的解集不可能．．．是( ) A ．φ B ．R C ．),(+∞ab D ．),(ab --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则b a -的值等于( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．105．(文)不等式|1|2x -<的解集是( )A ．{|03}x x ≤(理)不等式||x x x <的解集是( )A ．{|01}x x <6．(文)若0b a <<，则下列结论不正确．．．的是( ) A ．11a b +ba ab D ．||||||b a b a +>+ (理)若011<+ba ab D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为( )A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f =C ．)()(x g x f <D ．随x 值变化而变化8．下列各式中最小值是2的是( )A ．y x ＋x yB ．4522++x xC ．tan x ＋cot xD ．x x -+22 9．下列各组不等式中，同解的一组是( )A ．02>x 与0>xB ．01)2)(1(<-+-x x x 与02<+x C ．0)23(log 21>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x10．(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是( )A ．}8|{<a aB ．}8|{>a aC ．}8|{≥a aD ．}8|{≤a a(理)函数y =log a (x +3)-1(a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在函数1mx y n n=--的图像上，其中mn >0,则n m 21+的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．211．(文)已知()f x 是奇函数，且在(－∞，０)上是增函数，(2)0f =，则不等式()0xf x <的解集是( )A ．{|20,2}x x x -<<>或B ．{|2,02}x x x <-<<或C ．}22|{>-<x x x 或D ．{|20,02}x x x -<<<<或(理)已知()f x 是奇函数，且在(－∞，０)上是增函数，(2)0f =，则不等式2(1)()0x f x -<的解集是( )A ．{|10}x x -<<B ．{|2,12}x x x <-<<或C ．{|2112}x x x -<<<<或D ．{|210,12}x x x x <--<<<<或或12．(文)已知不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．16625B ．16C ．254D ．18 (理)已知不等式()()25x ay x y xy ++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．16625B ．16C ．254D ．18 二、填空题(每小题4分，共16分)13．(文)若+∈R b a ,，则b a 11+与ba +1的大小关系是____________． (理)不等式|21|1x x --<的解集是_____________．14．函数121lg +-=x x y 的定义域是_____________． 15．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =_____________吨．16．已知0()1,0x x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，，则不等式3)2(≤+x f 的解集____________．三、解答题(共74分)17．解不等式122log 1815x x x ⎛⎫≤- ⎪-+⎝⎭18．解关于x 的不等式22x a x -+>--． 20．(本小题满分12分)(文)对任意[1,1]x ∈-，函数a x a x x f 220)4()(2-+-+=的值恒大于零，求a 的取值范围．19.如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器．已知喷水器的喷水区域是半径为5m 的圆．问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？22．(本小题满分14分)已知函数b ax x x f ++=2)(．(1)若a =0，且对任意实数x ，都有a x x f +≥2)(，求b 的取值范围；(2)当]1,1[-∈x 时，)(x f 的最大值为M ，求证：1+≥b M ；(3)若)21,0(∈a ，求证：对于任意的]1,1[-∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是.142a b a -≤≤- 参考答案一、选择题1、（文）C （理）C2、A3、（文）D （理）D4、C5、（文）C （理）C6、（文）D （理）D 7、A 8、D 9、B10、（文）A （理）A11、（文）D （理）D 12、（文）B （理）B二、填空题13、ba b a +>+111 14、{|02}x x << 15、)21,1(- 16、20 17]3,(-∞三、解答题18、解：原不等式等价于：21582≥+-x x x 3250)5)(3()52)(6(<≤⇔≤----⇔x x x x x 或65≤<x ∴原不等式的解集为]6,5()3,25[ 19、解：变形得：(4)02x a x -->- 当(4-a )>2，即a <2时，24x x a <>-或当(4-a )<2，即a >2时，42x a x <->或当(4-a )=2，即a =2时，2x ≠综上所述：当a <2时，原不等式的解集为{|24}x x x a <>-或当a ≥2时，原不等式的解集为{|42}x x a x <->或20、325≤a 21、解：设花坛的长、宽分别为xm ，ym ，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界．依题意得：25)2()4(22=+y x ，(0,0>>y x ) 问题转化为在0,0>>y x ，100422=+y x 的条件下，求xy S =的最大值．法一：100)2(2222=+≤⋅⋅==y x y x xy S ，由y x =2和100422=+y x 及0,0>>y x 得：25,210==y x 法二：∵0,0>>y x ，100422=+y x ，41002x x xy S -==∴=10000)200(41)4100(2222+--=-⋅x x x ∴当2002=x ，即210=x ，100max =S 由100422=+y x 可解得：25=y ．答：花坛的长为m 210，宽为m 25，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，则符合要求．21、解(1):由题得022≥++b x x 恒成立1044≥⇔≤-=∆⇔b b对任意的R x ∈，0)()2(2≥-+-+a b x a x 0)(4)2(2≤---=∆⇔a b a)(1412R a b a b ∈≥⇔+≥⇔ ∴),1[+∞∈b ． (2)证明：∵,1)1(M b a f ≤++=,1)1(M b a f ≤+-=-∴222+≥b M ，即1+≥b M ．(3)证明：由210<<a 得，0241<-<-a ∴)(x f 在]2,1[a --上是减函数，在]1,2[a -上是增函数． ∴当1||≤x 时，)(x f 在2a x -=时取得最小值42ab -，在1=x 时取得最大值b a ++1．故对任意的]1,1[-∈x ，.1414111|)(|22a b a a b b a x f -≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤++⇔≤。

高三数学历届高考中的不等式试题精选A,B两份试卷自我测试试题

历届高考中的不等式试题精选〔自我测试〕〔A 卷〕一、选择题：〔每一小题5分，计50分。

请将正确答案的代号填入下表〕1．〔2021理〕不等式201x x -+≤的解集是〔〕 A ．(1)(12]-∞--，， B ．[12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞，， D ．(12]-，2．〔2021文、理〕a 、b 、c 满足c b a <<，且ac <0，那么以下选项里面一定成立的是( )A. ab ac >B. c b a ()-<0C. cb ab 22< D. ac a c ()->03.〔2021文〕不等式112x <的解集是〔〕 A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．()0,∞-⋃(2,)+∞4.〔2021全国卷Ⅱ文、理〕集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，那么集合M ∩N ＝〔〕〔A 〕{x |x ＜－2} 〔B 〕{x |x ＞3} 〔C 〕{x |－1＜x ＜2} 〔D 〕{x |2＜x ＜3}5．〔2021文、理〕假设不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，成立，那么a 的最小值为〔〕Ａ．0 Ｂ．2-Ｃ．52-Ｄ．3-6．〔2021文〕设x 、y 为正数，那么有(x+y)(1x ＋4y)的最小值为〔〕A ．15B ．12C ．9D ．67. (2021理)假设对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，那么实数a 的取值范围是〔〕(A)a ＜-1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 〔D 〕a ≥18.(2021理)函数()⎩⎨⎧≥-<+-=0101x x x x x f ，那么不等式()()111≤+++x f x x 的解集是〔〕(A) {}121|-≤≤-x x (B) {}1|≤x x(C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x9. (2021文、理)设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，那么目的函数yx z +=5的最大值为〔〕(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 510.〔2021理〕某厂消费甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为11a b 、千克，消费乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为22a b 、千克。

基本不等式高考数学真题分类题库2020解析版考点27

考点27基本不等式一、填空题1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)（多选题）已知a>0,b>0,且a+b=1,则()A.a2+b2≥12B.2a-b>12C.log2a+log2b≥-2D.+≤2【命题意图】本题考查基本不等式的应用,考查利用基本不等式求最值,体现了数学抽象和逻辑推理等核心素养.【解析】选ABD.因为a+b=1,所以由2(a2+b2)≥(a+b)2(当且仅当a=b时,等号成立),得a2+b2≥12,故A项正确;由题意可得0<b<1,所以-1<a-b=1-2b<1,所以2a-b>12,故B项正确;因为a+b≥2B(当且仅当a=b时,等号成立),所以ab≤14,所以log2a+log2b≤log214=-2,故C项错误;由2(a+b)≥+2(当且仅当a=b时,等号成立),得+≤2,故D项正确.2..(2020·天津高考·T14)已知a>0,b>0,且ab=1,则12+12+8r的最小值为.【命题意图】本题考查应用基本不等式求最值,“1”的合理变换是解题的关键,属于基础题.【解题指南】根据已知条件,将所求的式子化为r2+8r,利用基本不等式即可求解.【解析】因为a>0,b>0,所以a+b>0,又ab=1,所以12+12+8r=B2+B2+8r=r2+8r≥2a+b=4时取等号,结合ab=1,解得a=2-3,b=2+3,或a=2+3,b=2-3时,等号成立.答案:4【易错提醒】使用基本不等式求最值时一定要验证等号能否成立.3.(2020·江苏高考·T12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是.【命题意图】本题主要考查不等式,利用消元法结合基本不等式求最值.【解析】因为5x2y2+y4=1(x,y∈R),所以y≠0,所以x2=1-452,则x2+y2=152+45y2=45,152=45y2时,即y2=12,x2=310时,x2+y2的最小值是45.答案:45【光速解题】4=(5x2+y2)·4y2=254(2+2)2,故x2+y2≥45,当且仅当5x2+y2=4y2=2,即x2=310,y2=12时,取等号.所以(2+2)min=45.答案:45。