2017年高考数学文黄金易错点：专题15-椭圆、双曲线、抛物线含答案

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高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)

高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。

椭圆-双曲线-抛物线练习题及答案

1、已知椭圆方程为2212332x y +=,则这个椭圆的焦距为〔〕A ．6B ．3C ．D ．2、椭圆22421xy +=的焦点坐标是〔〕A ．(B ．(0,C ．11(0,),(0,)22-D ．(22- 3、12F F ，是定点,且12FF =6,动点M 满足12MF +MF 6=,则M 点的轨迹方程是〔〕A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段 4、已知方程221xmy +=表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值X 围是〔〕A ．m ＜1B ．-1＜m ＜1C ．m ＞1D ．0＜m ＜1 5、过点〔3,-2〕且与椭圆224936xy +=有相同焦点的椭圆方程是〔〕A ．2211510x y += B ．222211510x y += C ．2211015x y += D ．222211015x y += 6、若直线1y mx =+与椭圆2241x y +=只有一个公共点,那么2m 的值是〔〕A ．12 B ．34 C ．23 D ．457、已知椭圆C ：22192x y +=,直线l ：110xy +=,点P 〔2,-1〕,则〔〕 A ．点P 在C 内部,l 与C 相交 B ．点P 在C 外部,l 与C 相交 C ．点P 在C 内部,l 与C 相离 D ．点P 在C 外部,l 与C 相离8、过椭圆C ：22221x y a b+=的焦点引垂直于x 轴的弦,则弦长为〔〕A ．22b aB ．2b aC ．b a D ．2b a9、抛物线220xy +=的准线方程是〔〕A ．18x =B ．18x =-C ．14x =-D ．14x = 10、抛物线22(0)y px p =＞上一点M 与焦点F 的距离MF =2p ,则点M 的坐标是〔〕A ．3()2p B ．3(,)2p C ．3,)2p D ．3(,)2p 11、若抛物线214y x =上一点P 到焦点F 的距离为5,则P 点的坐标是〔〕A ．(4,4)±B ．(4,4)±C ．79(168±， D ．79()816±， 12、已知抛物线24xy =,过焦点F,倾斜角为4π的直线交抛物线于A,B 两点,则线段AB 的长为〔〕A ．8B ．C ．6D ．13、抛物线260x ay-=的准线方程是34x =-,则a 等于〔〕 A ．2 B ．-2 C ．3 D ．-314、以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是〔〕A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定15、已知直线l 是抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A,B 两点,12AB =,P 为C 准线上一点,则ABPS=〔〕A ．18B ．24C ．36D ．48 16、已知抛物线C ：24y x =的焦点为F,直线24y x =-与C 相交于A 、B 两点,则cos AFB ∠=〔〕A ．115 B ．35 C ．45- D ．35- 17、设抛物线28y x =的焦点为F,准线为l ,P 为抛物线上一点,PA ⊥l ,A 为垂足,如果直线AF 的斜率为则PF =〔〕A ．B ．8C ．D ．1618、设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF 〔O 为坐标原点〕的面积为4,则抛物线方程为〔〕 A ．24y x =± B ．28y x =± C ．24y x = D ．28y x =19、若点O 和点F 〔-2,0〕分别是双曲线2221(0)x y a a-=＞的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上任意一点,则OP FP ⋅的取值X 围是〔〕A ．)3⎡-+∞⎣B ．)3⎡++∞⎣ C ．7,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭20、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞,斜率为1的直线l 与椭圆相交,截得的弦长为正整数的直线l 恰有3条,则b 的值为〔〕A B C D 21、已知方程2213+2x y k k+=-表示椭圆,则k 的取值X 围为〔〕 22、22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值X 围是〔〕23、若椭圆2215x y m+=的离心率5e =,则m 的值是〔〕24、已知直线1y x =-+与椭圆22221x y a b+=〔0a b ＞＞〕相交于A 、B 两点,且线段AB 的中点在直线L ：20x y-=上,则此椭圆的离心率为〔〕25、若椭圆221369x y +=的弦被点A 〔4,2〕平分,那么这条弦所在的直线方程是〔〕 26、以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为〔〕 27、若,x y R ∈,且22326xy +=,则x y +的最大值是〔〕,22x y +的最小值是〔〕答案：1~5：ACDDA 6~10：BAAAB 11~15：BAABC 16~20：CBBBC21、11(3,)(,2)22k ∈--⋃-22、3(,1)(1,)2-∞-⋃-23、3或25324225、x+2y-8=026、27；2双曲线习题1、在平面直角坐标系中,已知双曲线221412x y -=上一点M 的横坐标为3,则点M 到此双曲线的右焦点距离为〔〕2、设12,F F 为双曲线2214x y -=的两个焦点,点P 在双曲线上,且满足12120F PF ∠=,则12F PF S △=〔〕3、双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为〔〕4、过双曲线22221(00)x y a b a b-=＞，＞的右顶点A 作斜率为-1的直线,该直线与双曲线两渐近线的交点分别为B,C,若1AB=BC 2,则双曲线的离心率是〔〕 5、已知1F ：2210240xy x +++=,2F ：221090x y x +-+=,动圆M 与定圆12,F F 都外切,求动圆圆心M 的轨迹方程.6、已知点B 〔6,0〕,C 〔-6,0〕,过B 的直线l 与过点C 的直线m 相交于点A,设l 的斜率为1k ,直线m 的斜率为2k 〔1〕若1249k k =,求点A 的轨迹方程,并说明此轨迹是何种曲线？〔2〕若12k k a =,其中0a ≠,求点A 的轨迹方程,并根据a 的取值讨论此轨迹是何种轨迹？7、中心在原点,焦点在x 轴上的一个椭圆与双曲线有共同的焦点12,F F ,且12F F =,椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4,离心率之比为3:7 〔1〕求两曲线方程〔2〕若P 为这两双曲线的一个交点,求12cos F PF ∠的值8、已知双曲线的中心在原点,焦点12,F F 在坐标轴上,,且过点（4，〔1〕求双曲线方程；〔2〕若点M 〔3,m 〕在双曲线上,求证：12MF MF ⊥ 〔3〕求2F MF S △9、若一个椭圆长轴长,短轴长和焦距成等差数列,则椭圆离心率为e =〔〕10、椭圆中心在原点,左右焦点12,F F 在x 轴上,A,B 是椭圆顶点,P 是椭圆上一点<点P 在第二象限>,且1PF x ⊥轴,2PF ∥AB,则e =〔〕11、已知椭圆22221(00)x y a b a b+=＞，＞的左右焦点分别为12-c,0,(,0)F F c （）.椭圆上存在点P 〔异于长轴的端点〕,使得1221sin sin c PF F a PF F ⋅∠=∠,则该椭圆的离心率X 围是〔〕12、已知P 是以12,F F 为焦点的椭圆22221(00)x y a b a b +=＞，＞上一点,若120PF PF ⋅=,121tan 2PF F ∠=,则离心率e =〔〕 13、已知P 为椭圆2214x y +=上任意一点,12,F F 是椭圆的两个焦点,求〔1〕12PF PF ⋅的最大值〔2〕2212PF +PF 的最小值答案：1、4 2 3、3 4 5、22441(0)991x y x -=＜ 6、略7、〔1〕椭圆：2214936x y +=双曲线：221494x y -=〔2〕458、〔1〕22166x y -=〔2〕略〔3〕6 9、3510 1 1、1,1) 1213、4；8。

易错点17 双曲线答案-备战2023年高考数学易错题

易错点17 双曲线易错点1：焦点位置不确定导致漏解要注意根据焦点的位置选择双曲线方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：易错点2：双曲线的几何性质，渐近线、离心率、焦半经、通径；易错点3：直线与双曲线的位置关系（1）忽视直线斜率与渐近线平行的情况；（2）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.题组一：定义与标准方程1．（2015福建理）若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（）A ．11B ．9C ．5D ．3 【答案】B【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B ． 2．（2019年新课标1卷）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( ) A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解答】∵22||2||AF F B =，∴23AB BF =，又1||||AB BF =，∴|BF 1|＝3|BF 2|，又|BF 1|+|BF 2|＝2a ，∴|BF 2|＝2a ， ∴|AF 2|＝a ，|BF 1|＝32a ，在Rt △AF 2O 中，cos ∠AF 2O ＝1a， 1226PF PF a -==236PF -=29PF =在△BF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠BF 2F 1＝223422222a a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯，根据cos∠AF 2O +cos∠BF 2F 1＝0，可得214202a a a-+=，解得a 2＝3，∠a =b 2＝a 2﹣c 2＝3﹣1＝2．所以椭圆C 的方程为22132x y +=故选：B ．3．（2017新课标Ⅲ理）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 【答案】B【解析】由题意可得：b a =3c =，又222a b c +=，解得24a =，25b =，则C 的方程为2145x y 2-=，故选B ． 4.（2016年新课标1卷）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（） A.(-1,3) B.(-1,3) C.(0,3) D.(0,3) 【答案】A【解析】由题意知c=2,()()2224=3,1m n m n m ++-=解得,因为方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，所以()()()()2230,130m n m n n n +->+->可得解得-1<n<3,故选A.题组二：焦点三角形5．（2020·新课标∠文）设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（） A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，∵121||1||2OP F F ==，∴点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =△121||||32PF PF =，故选B ． 6．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点12,F F ，离心率为5．P 是C 上的一点，且P F P F 21⊥．若21F PF ∆的面积为4，则=a （）A ．1B ．2C ．4D ．8 【答案】A 【解析】解法一：5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan 221θb S F PF =．∴︒45tan 2b =4，则2=b ，又∵5==ace ，∴1=a ．解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+ace c n m ，求的1=a ．7.（2015全国1卷）已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是（）A.⎛⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎛ ⎝⎭D.⎛ ⎝⎭【答案】A【解析】法1：根据题意12,F F的坐标分别为()),，所以()()1002003,,3,,MF x y MF xy =---=--所以()()2221200000003,,3310MF MF x y x y x y y ⋅=-⋅-=-+=-<所以033y -<<.故选A. 秒杀法2：012==90F MF θ∠当当由等面积得：33y ⇒y 212tan00212===F F b S θ 因为120MF MF <，所以12F MF ∠为钝角，根据变化规律，可得3333-0<<y 故选A.8．(2016全国II 理)已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（）AB ．32C D ．2 【答案】A【解析】设1(,0)F c -，将x c =-代入双曲线方程，得22221c y a b -=，化简得2by a=±，因为211sin 3MF F ∠=，所以222212112||tan ||222b MF b c a a MF F F F c ac ac -∠=====12222c a e a c e -=-=，所以210e --=，所以e =A ．题组三：渐进线9．（2019全国3卷）双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为22:142x y C -=F P C O坐标原点，若，则的面积为ABC．D．【答案】A【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程为：，不妨设点在第一象限，可得，，所以的面积为：,故选A．10．(2018全国2卷)双曲线22221(0,0)-=>>x ya ba bA．=y B．=yC．2=±y x D．=y x【答案】A【解析】解法一由题意知，==cea，所以=c，所以==b，所以=ba=±=by xa，故选A ．解法二由===cea，得=ba，所以该双曲线的渐近线方程为=±=by xa．故选A．11．（2017天津理）已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点为F，．若经过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A．22144x y-=B．22188x y-=C．22148x y-=D．22184x y-=【答案】B【解析】设(,0)F c-，双曲线的渐近线方程为by xa=±，由44PFkc c-==-，由题意有4bc a=，又ca=222c a b=+，得b=，a=，故选B．12．（2015新课标1文）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲||||PO PF=PFO∆()22:142x yC-=F2y x=±P tan2POF∠=P PFO△124=)3,4(xy21±=线的标准方程为．【答案】2214x y -=【解析】∵双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线的方程为22(0)4x y λλ-=>，又双曲线过点，∴2244λ-=，∴1λ=，故双曲线的方程为2214x y -=．题组四：离心率13．(2021年高考全国甲卷理科)已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为 ( )A．2B．2CD【答案】A 【解析】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =．故选：A14．(2021全国乙卷理科)设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是( )A．2⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C．0,2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32bb c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合x y 21±=)3,4(题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即202e <≤；当32b b c->-，即22b c <时，42222max b PB a b c =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220cb-≤，显然该不等式不成立．故选：C ．15．（2019全国1卷）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B =，则C 的离心率为．【答案】2【解析】如图，1F A AB =，120F B F B =，∴OA ⊥F1B ，则F 1B ：()a y x c b =+①，渐近线OB 为by x a=② 联立①②，解得B 22222,a c abc b a b a ⎛⎫⎪--⎝⎭，则222212222a c abc F B c b a b a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 222222222a c abc F B c b a b a ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，又2221212F B F B F F +=，所以2222222222222224a c abc a c abc c c c b a b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 整理得：22222223,3,4b a a a a c 所以c 即=-==，故C 的离心率为2ce a== 16．（2019全国2卷）设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为( ). A ．B ．C ．2D ．【答案】AF 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>O OF 222x y a +=P Q ||||PQ OF =C【解析】法1：由题意，把代入，得，再由，得，即，所以，解得.故选A ．法2：如图所示，由可知为以为直径圆的另一条直径，所以，代入得，所以，解得.故选A ．法3：由可知为以为直径圆的另一条直径，则，.故选A ．题组五：距离17．【2020年高考北京卷12】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是__________．【答案】(3,0)，3【解析】∵双曲线22163x y -=，∴26a =，23b =，222639c a b =+=+=，∴3c =，∴右焦点坐标为(3,0)，∵双曲线中焦点到渐近线距离为b ，∴3b =．18．【2018·全国Ⅲ文】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为 A ．2B ．2C ．322D ．22【答案】D 【解析】21()2c b e a a==+=，1b a ∴=，∴双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，∴2c x =222x y a +=2224c PQ a =-PQ OF =2224ca c -=222a c =222c a=2c e a ==PQ OF =PQ OF ,22cc P ⎛⎫±⎪⎝⎭222x y a +=222a c =222c a=2c e a ==PQ OF =PQ OF 12222OP a OF c==⋅=2c e a ==点(4,0)到渐近线的距离d ==，故选D ． 19.（2018全国1卷）已知双曲线C ：x 23 - y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若ΔOMN 为直角三角形，则|MN|=____. 【答案】3【解析】因为双曲线2213-=x y的渐近线方程为=±y x ，所以60∠=MON ．不妨设过点F 的直线与直线3=y x 交于点M ，由∆OMN 为直角三角形，不妨设90∠=OMN ，则60∠=MFO ，又直线MN 过点(2,0)F ，所以直线MN的方程为2)=-y x ，由2)⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x，得322⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y，所以3(2M ，所以||==OM|||3==MN OM ． 20．【2020年高考浙江卷8】已知点()()()0,0,2,0,2,0O A B -．设点P 满足–2PA PB =，且P为函数y =OP =（）A．2 B．5CD【答案】D【解析】由条件可知点P 在以,A B 为焦点的双曲线的右支上，并且2,1c a ==，∴23b =，方程为()22103y x x -=> 且点P 为函数y =上的点，联立方程()22103y x x y ⎧-=>⎪⎨⎪=⎩，解得：2134x =，2274y =，OP ∴==，故选D ．1.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为（）B. 4 D.8 【答案】C【解析】设等轴双曲线C:2220x y a a ，x y 162=的准线:4l x因为C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB = 所以4,23,4,23AB ,将A 点代入双曲线方程得2224234,2,24a a a 所以，故选C.2.双曲线的渐进线方程为x y 21±=，且焦距为10，则双曲线方程为（） A.152022=-y x B.120522=-y x 或152022=-y x C.120522=-y x D.1|520|22=-y x 【答案】D【解析】当焦点在x 轴时，渐进线方程为x y 21±=，所以2221,210,2b c a b c a 又，解得25,5a b，所以双曲线的方程为221205x y .焦点在y 轴时，渐进线方程为x y 21±=，所以2221,210,2a c abc b 又，解得5,25a b，所以双曲线的方程为221205x y .故选D.3.已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为( )A.22136x y -=B.22145x y -=C.22163x y -= D.22154x y -= 【答案】B【解析】由双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点可设双曲线的方程为2222221(9)x y a b a b -=+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，即 2222112222221,1x y x y a b a b -=-= 则22121222121212015115312y y x x b b x x a y y a -+-+=⋅=⋅==-+-+，则22225,5,44b b a a ===，故E 的方程式为22145x y -=．应选B ． 4. 已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为( )A.x y 41±=B.x y 31±=C.x y 21±= D.x y ±= 【答案】C【解析】由题意22511,22c b b e a a a 得==+==，所以C 的渐近线方程为,21x a b y ±=±=故选C. 5. 已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A.3B.3C.3mD.3m 【答案】A【解析】由C:223(0)x my m m -=>得2221,33,33,33x y c m c m m -==+=+ ()33,0,Fm 设+33y x m一条渐近线为=即0x m y -=，则点F 到C 得一条渐近线得距离333,1m d m+==+故选A.6.P 是双曲线右支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则的内切圆的圆心的横坐标为 . 【答案】x=a【解析】如图所示：()()12,0,,0F c F c -，设内切圆与x 轴的切点是点H ，PF 1,PF 2与内切圆的切点分别为M 、N ，由双曲线定义有|PF 1|-|PF 2|=2a ，由圆的切线长定理知， |PM|=|PN|,所以|MF 1|-|NF 2|=2a ,即|HF 1|-|HF 2|=2a,设内切圆的圆心横坐标为x ，)0,0(12222>>=-b a by a x 21F PF ∆则点H 的横坐标为x ，所以（x+c)-(c -x)=2a ,得x=a.7.已知F 1、F 2为双曲线C ：122=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则P 到x 轴的距离为________.【解析】法1：设12,,PF m PF n m n 不妨设==>，可知1,1,a b c ===,根据双曲线定义222,24m n a m n mn 即-=+-=①，在ΔPF 1F 2中，根据余弦定理22201212122cos60,F F PF PF PF PF =+-228m n mn 即+-=②联立①②得4mn =，设P 到x 轴得距离为h ，则011sin 60,22h mn h ⨯==所有秒杀法2：由等面积得：4⇒3πsin 2132θtan 21212====PF PF PF PF b S设P 到x 轴得距离为h ，01211sin 60,22h PF PF h 所有⨯==8.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为_____.【解析】根据题意，设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，不妨设点M 在第一象限，所以|AB|=|BM|=2a,∠MBA=1200,作MH ⊥x 轴于点H ，则∠MBH=600，故|BH|=a,(),2,MH M a =将点M 代入()222210,0x y a b a b-=>>得a=b,所以e =9.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为___.【答案】2【解析】双曲线C 的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心(2,0)到渐近线的距离为2bd c==，圆心(2,0)到弦的距离也为d ==所以2b c =222c a b =+，所以得2c a =，所以离心率2ce a== 10．设F 1，F 2是双曲线C: x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|=6|OP|，则C 的离心率为_____.【解析】法1：不妨设一条渐近线的方程为by x a=，则2F 到by x a =的距离d b ==，在2Rt F PO ∆中，2||F O c =，所以||PO a =，所以1||PF =，又1||F O c =，所以在1F PO ∆与2Rt F PO ∆中，根据余弦定理得22212)cos cos 2a c aPOF POF ac c+-∠==-∠=-，即2223)0a c +-=，得223a c =．所以ce a==．法2：选C 设P(t,- b a t),∵PF 2与y=- ba x 垂直，∴-bt a(t-c)=a b ，解得t=a 2c 即P(a 2c ,- abc ) ∴|OP|=(a 2c )2+(-ab c)2=a ，|PF 1|=(a 2c +c)2+(-ab c)2，依题有(a 2c +c)2+(- ab c )2=6a 2，化简得c 2=3a 2，即c e a ==。

椭圆、双曲线(含答案)

2017-11-11【双曲线】1.双曲线方程为，则它的右焦点坐标为（）CA 、B 、C 、D 、【解析】双曲线的，，，所以右焦点为. 【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用求出c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为或，从而得出错误结论.2.已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为 (B ) （A（B（C ） 2 （D ） 33.若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程式为y=，则ｂ等于。

【答案】1 【解析】由题意知，解得b=1。

【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。

4.已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。

答案：（，0）【提高】5.已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P 在C 上，∠=，则（） (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得cos ∠P =4【解析2】由焦点三角形面积公式得：46.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（C ）A ．2132a =B ．213a =C ．212b = D ．22b =7.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（A ）（B ）（C ）（D ）解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案选C ，本题主2221x y -=2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭)2211,2a b ==232c =2c =⎫⎪⎪⎝⎭222c a b =+21b =22b =22y b 2x 41x 2±122b =22221x y a b-=4±0y =1F 2F 221x y -=1F P 2F 06012||||PF PF =1F 2F 222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-()(22221212121212122221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=12||||PF PF = 1202201216011cot 1cot sin 602222F PF S b PF PF PF PF θ∆====12||||PF PF = 1F 2F 22221(0,0)x y a b a b-=＞＞P 212PF FF =2F 1PF 340x y ±=350x y ±=430x y ±=540x y ±=要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题 8.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）（A（B（C（D 解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，则一个焦点为一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，，，解得. 9.设O 为坐标原点，,是双曲线（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠P =60°，∣OP ∣,则该双曲线的渐近线方程为（）（A ）（B y=0 （C ）=0 （D ±y=0解析：选D ，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题【椭圆】10.已知椭圆x y +=221169的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 9411．已知椭圆C 的方程x y +=22143，试确定m 的取值范围，使得对于直线yx m =+4，椭圆C 上有不同两点关于直线对称．分析：椭圆上两点(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，相减得31212()()x x x x +-+412()y y +()y y 120-=又x x x +=122，y yy +=122，y y k x x -==--121214，代入得y x =3。

专题15 椭圆、双曲线、抛物线易错练兵-2018年高考数学文备考黄金易错点含解析精品

1．已知k <4，则曲线x 29＋y 24＝1和x 29－k ＋y 24－k ＝1有( )A ．相同的准线B ．相同的焦点C ．相同的离心率D ．相同的长轴解析：∵k <4，∴曲线x 29＋y 24＝1和x 29－k ＋y 24－k ＝1都是椭圆．又9－4＝9－k －(4－k )，∴两曲线的半焦距相等，故两个椭圆有相同的焦点．答案：B2．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.25 B.45 C.255 D.455解析：双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x2，即x ±2y ＝0，所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为25＝255.答案：C3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．(x －2)2＋y 2＝2 D ．(x －1)2＋y 2＝24．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x解析：双曲线的离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .答案：B5．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率为( )A.306B.7C.306或7 D.56或76．已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，设A (x 1，x 1)、B (x 2，－x 2)，∴AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1－x 22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 222＝2，即x 1x 2＝2，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 1|·|2x 2|＝x 1x 2＝2，故选C. 答案：C7．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，138．点F 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，若椭圆上存在点A 使△AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为( ) A.22 B.32C.2－12D.3－1答案 D解析如图所示，设F 为椭圆的右焦点，点A 在第一象限，由已知得直线OA 的斜率为k＝tan60°＝3，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，32c .∵点A 在椭圆上，∴c 24a 2＋34c2b2＝1，即c 24a 2＋3c 24b2＝1. ∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，又∵b 2＝a 2－c 2，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0， ∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4±23，又∵e ∈(0,1)，∴e ＝3－1.故选D.9．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞0)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( ) A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1 D ．m ＜n 且e 1e 2＜1答案 A解析由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2，又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1. 10．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q两点，且点P 的横坐标为2，则△PF 1Q 的周长为( ) A.1633 B ．5 3 C.1433D ．4 311．设抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 为抛物线E 上一点，|MF |的最小值为3，若点P 为抛物线E 上任意一点，A (4,1)，则|PA |＋|PF |的最小值为( ) A ．4＋32B ．7C ．4＋2 3D ．1012．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则点F 到双曲线的渐近线的距离为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．3答案 A解析 ∵抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，∴双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 的坐标为(2,0)，∴c 2＝a 2＋b 2＝4.①∵P 是两曲线的一个交点，且|PF |＝5， ∴x p ＋2＝5，∴x p ＝3，∴y 2p ＝24.∵P (x p ，y p )在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴9a 2－24b2＝1.②联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b2＝1，解得a 2＝1，b 2＝3.∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.又双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， ∴点F (2,0)到渐近线的距离为 3.13．已知点A (2,4)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为____________．答案 x 2－y 23＝1解析 ∵点A (2,4)在抛物线y 2＝2px (p >0)上， ∴16＝4p ，解得p ＝4. ∴抛物线的准线方程为x ＝－2.又抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，∴c ＝2，又e ＝ca＝2，∴a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， ∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1. 14．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为__________．答案x 225＋y 216＝115．过椭圆x25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB的面积为________．答案 53解析由已知得直线方程为y ＝2(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，4x 2＋5y 2－20＝0，得3y 2＋2y －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－23，y 1y 2＝－83，∴|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝49＋323＝103， ∴S △AOB ＝12×1×103＝53.16．已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围．解 (1)由双曲线y 22－x 2＝1得其焦点为(0，±3)，∴b ＝ 3.又由e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝4，c ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3，∴y 1y 2＝k 2(x 1－4)(x 2－4) ＝k 2x 1x 2－4k 2(x 1＋x 2)＋16k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)·64k 2－124k 2＋3－4k 2·32k 24k 2＋3＋16k 2＝25－874k 2＋3. ∵0≤k 2<14，∴－29≤－874k 2＋3<－874，∴OA →·OB →∈[－4，134)．故OA →·OB →的取值范围为[－4，134)．17.如图所示，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，动点T (－1，m )，过F 作TF 的垂线交抛物线于P ，Q 两点，弦PQ 的中点为N .(1)证明：线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)； (2)若m ＞0且|NF |＝|TF |，求m 的值及点N 的坐标．(2)解已知|NF |＝|TF |，在△TFN 中，tan ∠NTF ＝|NF ||TF |＝1⇒∠NTF ＝45°，设A 是准线与x 轴的交点，则△TFA 是等腰直角三角形，所以|TA |＝|AF |＝2，又动点T (－1，m )，其中m ＞0，则m ＝2.因为∠NTF ＝45°，所以k PQ ＝tan45°＝1，又焦点F (1,0)，可得直线PQ 的方程为y ＝x －1，由m ＝2得T (－1,2)，由(1)知线段NT 平行于x 轴，设N (x 0，y 0)，则y 0＝2，代入y ＝x －1，得x 0＝3，所以N (3,2)．18．如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．解析：(1)由已知得抛物线的焦点为F (1,0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x22，y 0＝y 1＋y22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.19．已知椭圆与抛物线y 2＝42x 有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (0,1)的直线与该椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AP →＝2PB →，求△AOB 的面积．解析：(1)依题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可得c ＝2，又e ＝ca ＝22，∴a ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 21－y 1＝y 2－.设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1·x 2＝－22k 2＋1. 将x 1＝－2x 2代入上式可得，(4k 2k 2＋1)2＝12k 2＋1，解得k 2＝114.∴△AOB 的面积S ＝12|OP |·|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 22＝12·28k 2＋22k 2＋1＝3148. 20．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，求k 的取值范围．(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0. 由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧ 1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k 2＝－k 2，∴k 2<1且k 2≠13.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1.。

2017年高考数学(四海八荒易错集)专题15椭圆、双曲线、抛物线理

c2 由 e＝ a＝ 2 ，得 a＝ 2c. ① 由 A→F· B→F＝－ 1，得 ( c＋ a, 0) ·（c－ a, 0) ＝ c2 －a2＝－ 1. ②
联立①②，解得 a＝ 2， c＝ 1，
所以 b2＝ 1，
故椭圆
C 的标准方程为
x2 2＋
y2＝
1.
因为点 P，N在椭圆上，所以 x21＋ 2y21＝2， x22＋ 2y22＝ 2，⑥
x2 y2
1
3
8．已知椭圆 C： a2 ＋b2＝ 1( a>b>0) 的离心率为 2，且点 (1 ， 2) 在该椭圆上．
(1) 求椭圆 C的方程；
62
(2) 过椭圆 C的左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 C相交于 A， B 两点，若△ AOB的面积为
，求圆心在原点 O
7
且与直线 l 相切的圆的方程．
a－ c
b2
b2
＋ a，
【名师点睛】
(1) 明确圆锥曲线中 a， b，c， e 各量之间的关系是求解问题的关键．
F1、 F2，过 F1 作圆 x2＋ y2＝ a2 的切线分别交双曲线的左、
右两支于点 B、 C，且 | BC| ＝| CF2| ，则双曲线的渐近线方程为 (
)
A． y＝±３x
B． y＝±２ 2x
C． y＝±（ 3＋ 1) x D． y＝±（ 3－ 1) x
答案 (1) 3－ 1 (2)C
a
b
易得直线 BC的斜率为 b，cos∠ CF1F2＝ c，
设△ MF1F2 的内切圆的半径为 r ， 3
由题意可得 2π r ＝3π ，解得 r ＝ 2.
5．已知圆 x2＋y2＝ a2 上点 E 处的一条切线 16

例析椭圆、双曲线、抛物线解题误区

椭圆、双曲线与抛物线是高考考查平面解析几何的重点内容，在每年的高考中都占有较大的比例，初学者容易在它们定义的理解、焦点的位置及性质运用等方面出现错误，有的错误还不易察觉。

下面对几个常见错误进行错因分析，帮助学生少犯错误，提高解题的准确率。

误区一、忽视了圆锥曲线的严格定义而致误例1已知动点P与定点(11)F，和直线:340l x y+-=的距离相等，则点P的轨迹是（）Ａ．椭圆Ｂ．双曲线Ｃ．抛物线Ｄ．直线【错解】由抛物线的定义可知选（Ｃ）。

【错因分析】抛物线的定义中，定点一定不在定直线上，而本题中的定点(11)F，在定直线:340l x y+-=上．【正解】设动点P的坐标为()x y，，则。

整理，得320x y-+=．所以动点P的轨迹为直线，选（Ｄ）。

误区二、忽视了焦点的多种情况而致误例2求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点(24)P--，的抛物线的标准方程．【错解】设抛物线22(0)y p x p=>，将点(24)P--，代入得4p=．故抛物线的标准方程为28y x=-．【错因分析】错解只考虑了抛物线方程的焦点在x的正半轴这一种情况，焦点也可能在y轴的负半轴上。

【正解】当抛物线焦点在x的正半轴时，设抛物线为22(0)y px p=>，将(24)P--，代入得4p=．得标准方程为28y x=-．当抛物线焦点在y轴的负半轴时，设抛物线为)0(22>-=ppyx,则可得标准方程为2x y=-．故满足条件的抛物线的标准方程为28y x=-或2x y=-。

误区三、忽视了参数的取值范围而致误例3已知双曲线方程为221x y-=，双曲线左支上一点(,)P a b到直线y x=试求a b+的值。

【错解】由于点(,)P a b到直线y x=的距离是，故=，则2a b-=±，又因为221a b-=，则()()1a b a b+-=，故12a b+=±。

【错因分析】错解忽视了条件点(,)P a b在双曲线的左支上，当点(,)P a b在双曲线的左支上时，有0a b-<=2a b-=-。

圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲详细答案

【椭圆】一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。

这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。

二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a 、b ，焦点为c ）（1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；（2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；2、两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 三、椭圆的性质（以12222=+by a x )0(>>b a 为例）知能梳理1、对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

2、范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。

3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。

③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。

a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

椭圆、双曲线、抛物线习题(有答案)

1．双曲线222x y -=的焦距为（）A. 1B. 4C. 2D. 2．抛物线22y x =的焦点坐标是（）A. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C. 108⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 108⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 3．椭圆22143x y +=的焦距为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．双曲线2214x y -=的渐近线方程为（）A. 2xy =±B. 2y x =±C. 2y x =±D. y = 5．方程22121x y m m +=-为椭圆方程的一个充分不必要条件是（） A. 12m >B. 12m >且1m ≠ C. 1m > D. 0m >6且过点()2,0的椭圆的标准方程是( ) A. 2214x y += B. 2214x y +=或2214y x += C. 2241x y += D.2214x y +=或221416x y +=7．若点(P m 为椭圆22:12516x y C +=上一点，则m =（） A. 1± B. 12±C. 32±D. 52± 8．若坐标原点到抛物线2y mx = 的准线的距离为2 ，则m = （） A. 1+8 B. 1+4C. 4±D. 8±9．【2018届福建省福州市高三3月质量检测】已知双曲线的两顶点间的距离为4，则的渐近线方程为( ) A.B.C.D.10．已知m 是2，8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（） A.32或52 B. 32 C. 5 D. 32或5 11．若圆22:2210M x y x y +-++=与x 轴的交点是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，则p =（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 812．已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最大值为（）A.B. 9C.D. 1013.【2018届山东省泰安市高三上学期期末】若抛物线24x y =上的点A 到焦点的距离为10，则A 到x 轴的距离是_________.14．已知椭圆的两焦点坐标分别是()20-，、()20，，并且过点(233，，则该椭圆的标准方程是__________．15．【2018届河北省武邑中学高三上学期期末】已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．16．【2018届北京市朝阳区高三第一学期期末】已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线方程为0x y +=，则双曲线C 的方程是________． 1.【答案】B【解析】双曲线的标准方程即： 22122x y -=，则：222222,4,2a b c a b c ==∴=+==，双曲线的焦距为： 24c =. 本题选择B 选项. 2．【答案】D【解析】转化为标准方程， 212x y =，所以焦点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选D.3．【答案】B【解析】在椭圆22143x y +=中， 224,3a b ==，所以21,1c c == ，故焦距22c =，选B.4．【答案】A【解析】Q 双曲线2214x y -=∴渐近线方程为2204x y -=，即2x y =±故选A . 5．【答案】C【解析】方程22121x y m m +=-表示椭圆的充要条件是0{210 21m m m m >->≠-，即12m >且1m ≠，所以方程22121x y m m +=-为椭圆方程的一个充分不必要条件是1m >，故选C.6．【答案】D【解析】当椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由离心率为3，∴222214b a c a =-=∵椭圆过点（2，0），∴2222201a b +=，∴a2=4，∴b2=1，∴椭圆标准方程为2214x y += 当椭圆的焦点在y 轴上，同理易得： 221416x y += 故选D.7．【答案】D【解析】由题意可得： (22312516m+=，则： 22125,2544m m ==，据此可得： 52m =±. 本题选择D 选项. 8．【答案】A9．【答案】B【解析】由双曲线的方程可知：，即，∴，解得：令，得到故选：B.10．【答案】D【解析】由m 是2，8的等比中项得2264m m =⨯∴=±因此当4m =时,342,413,,c a c e a ===-===当4m =-时, 1,415,5,ca c e a ==+===所以离心率是3或5,选D.11．【答案】B【解析】圆M 的方程中，令0y =有： 2210,1x x x -+=∴=，据此可得抛物线的焦点坐标为()1,0，则： 1,22pp =∴=. 本题选择B 选项.12．【答案】A【解析】连接P 点和另一个焦点即为E ，=. 故答案为：A.13.【答案】9【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标为()0,1，准线方程为1y =-∵抛物线24x y =上的点A 到焦点的距离为10 ∴点A 到x 轴的距离是1019-= 故答案为9.14．【答案】2211612x y +=15．【答案】2【解析】抛物线的准线为2p x =-，与圆相切，则342p+=， 2p =．16．【答案】22122x y -=【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为20（，），所以双曲线C 的右焦点坐标为20（，），因为双曲线的一条渐近线方程为0x y +=，所以a b = ，所以224a a += ，所以22a = ，所以双曲线方程为22122x y -=．。

高考数学复习专题15解析几何椭圆的定义及标准方程易错点

1 椭圆的定义及标准方程易错点主标题：椭圆的定义及标准方程易错点副标题：从考点分析椭圆的定义及标准方程在高考中的易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。

关键词：椭圆的定义，椭圆标准方程,椭圆几何性质，易错点
难度：3
重要程度：5
内容：
一、焦点位置不确定导致漏解【例1】► 已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过点P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，则该椭圆的方程为________．
答案 x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25
＝1 解析设椭圆的两个焦点为F 1，F 2，且|PF 1|＝453，|PF 2|＝253
.由椭圆的定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，即a ＝ 5.又|PF 1|>|PF 2|，所以∠PF 2F 1＝90°，sin ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12
，所以∠PF 1F 2＝30°.所以2c ＝|PF 1|cos 30°＝2153，b 2＝a 2－c 2＝103
. 所以当焦点在x 轴上时，椭圆的方程为x 25＋3y 2
10
＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆的方程为3x 210＋y 25＝1. 警示因为椭圆焦点的位置没有确定，所以应该考虑两种情况，即焦点在x 轴上与焦点在y 轴上．而这也正是考生常常出现错误的地方，会因考虑不全面而犯“对而不全”的错误．。

高考数学专题复习《椭圆、双曲线、抛物线》突破解析

第2讲　椭圆、双曲线、抛物线【要点提炼】考点一　椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a(2a>|F 1F 2|)．(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a(0<2a<|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l 为抛物线的准线，点F 不在定直线l 上，PM ⊥l 于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．【热点突破】【典例】1　(1)(2020·广州四校模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的离心率为35，两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M 的周长为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 216＋y 225＝1 B.x 225＋y 29＝1C.x 29＋y 225＝1 D.x 225＋y 216＝1【答案】　D【解析】　椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M的周长为16，可得2a ＋2c ＝16，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的离心率为35，可得c a ＝35，解得a ＝5，c ＝3，则b ＝4，所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)(2020·全国Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP|＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A.72 B ．3 C.52 D ．2【答案】　B【解析】　方法一　由题意知a ＝1，b ＝3，c ＝2，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，如图，因为|OF 1|＝|OF 2|＝|OP|＝2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上，故PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c)2＝16.由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4，所以|PF 1||PF 2|＝6，所以△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|＝3.方法二　由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F 1，F 2在x 轴上，且|F 1F 2|＝21＋3＝4.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则Error!解得|y 0|＝32.所以△PF 1F 2的面积为12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×32＝3.易错提醒　求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a 2＝b 2＋c 2，双曲线中的关系式为c 2＝a 2＋b 2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．【拓展训练】1　(1)设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x【答案】　C【解析】　方法一　因为以MF 为直径的圆过点(0,2)，所以点M 在第一象限．由|MF|＝x M ＋p 2＝5，得x M ＝5－p2，即M (5－p2，2p (5－p2)).从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为(52，122p (5－p2)).因为点N 的横坐标恰好等于圆的半径，所以圆与y 轴相切于点(0,2)，从而2＝122p (5－p2)，即p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x.方法二　由已知得抛物线的焦点F (p2，0)，设点A(0,2)，点M(x 0，y 0)，则A F → ＝(p 2，－2)，A M →＝(y 202p ，y 0－2).由已知，得A F → ·A M →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，解得y 0＝4，M (8p，4).由|MF|＝5，得(8p －p2)2＋16＝5.又因为p>0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x.(2)已知椭圆C ：x 2m ＋y 2m －4＝1(m>4)的右焦点为F ，点A(－2,2)为椭圆C 内一点，若椭圆C上存在一点P ，使得|PA|＋|PF|＝8，则实数m 的取值范围是( )A ．(6＋25，25] B ．[9,25]C ．(6＋25，20]D ．[3,5]【答案】　A【解析】　椭圆C ：x 2m ＋y 2m －4＝1(m>4)的右焦点F 的坐标为(2,0)．设左焦点为F ′，则F ′(－2,0)．由椭圆的定义可得2m ＝|PF|＋|PF ′|，即|PF ′|＝2m －|PF|，可得|PA|－|PF ′|＝|PA|＋|PF|－2m ＝8－2m .由||PA|－|PF ′||≤|AF ′|＝2，可得－2≤8－2m ≤2，解得3≤m ≤5，所以9≤m ≤25.①又点A 在椭圆内，所以4m ＋4m －4<1(m>4)，所以8m －16<m(m －4)(m>4)，解得m<6－25(舍)或m>6＋25.②由①②得6＋25<m ≤25，故选A.【要点提炼】考点二　圆锥曲线的几何性质1．求离心率通常有两种方法(1)求出a ，c ，代入公式e ＝ca.(2)根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，消去b 后，转化为关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．2．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay ＝0的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．【热点突破】【典例】2　(1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且A F 1→ ·A F 2→ ＝0，A F 2→ ＝2F 2B →，则椭圆E 的离心率为( )A.23 B.34 C.53 D.74【答案】　C【解析】　∵A F 2→ ＝2F 2B →，设|BF 2|＝x ，则|AF 2|＝2x ，∴|AF 1|＝2a －2x ，|BF 1|＝2a －x ，∵A F 1→ ·A F 2→＝0，∴AF 1⊥AF 2，在Rt △AF 1B 中，有(2a －2x)2＋(3x)2＝(2a －x)2，解得x ＝a3，∴|AF 2|＝2a3，|AF 1|＝4a3，在Rt △AF 1F 2中，有(4a 3)2＋(2a 3)2＝(2c)2，整理得c 2a 2＝59，∴e ＝c a ＝53.(2)(2020·莆田市第一联盟体联考)已知直线l ：y ＝x －1与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，M 是AB 的中点，则点M 到抛物线准线的距离为( )A.72 B ．4 C ．7 D ．8【答案】　B【解析】　由题意可知直线y ＝x －1过抛物线y 2＝4x 的焦点(1,0)，如图，AA ′，BB ′，MM ′都和准线垂直，并且垂足分别是A ′，B ′，M ′，由图象可知|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)，根据抛物线的定义可知|AA ′|＋|BB ′|＝|AB|，∴|MM ′|＝12|AB|，联立Error!得x 2－6x ＋1＝0，设A ，B 两点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝6，∴|AB|＝x 1＋x 2＋2＝8，∴|MM ′|＝4.二级结论　抛物线的有关性质：已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则(1)|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝2ps i n 2α(α为直线l 的倾斜角)．(2)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)1|A F |＋1|B F |＝2p .【拓展训练】2　(1)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点，抛物线C 的准线与双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则Γ的离心率e 等于( )A.32B.233C.217D.213【答案】　D【解析】　抛物线的焦点坐标为(p 2，0)，准线方程为x ＝－p 2，联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程得Error!解得y ＝±p b 2a ，可得|AB|＝p ba，由△ABF 为等边三角形，可得p ＝32·p ba ，即有b a ＝23，则e ＝ca＝1＋b 2a 2＝1＋43＝213.(2)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M(x 0,22)(x 0>p 2)是抛物线C 上一点，圆M与线段MF 相交于点A ，且被直线x ＝p2截得的弦长为3|MA|，若|M A ||A F |＝2，则|AF|等于( )A.32 B ．1 C ．2 D ．3【答案】　B【解析】　如图所示，由题意知，|MF|＝x 0＋p2.∵圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线x ＝p2截得的弦长为3|MA|，∴|MA|＝2|DM|＝2(x 0－p2).∵|M A ||A F |＝2，∴|MF|＝32|MA|，∴x 0＝p.又∵点M(x 0,22)在抛物线上，∴2p 2＝8，又∵p>0，∴p ＝2.∴|MA|＝2(x 0－p2)＝2，∴|AF|＝1.【要点提炼】考点三　直线与圆锥曲线的位置关系解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题要点如下：(1)设直线与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)；(2)联立直线的方程与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为含有x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的式子，进而求解即可．【热点突破】【典例】3　(2020·全国Ⅲ)已知椭圆C ：x 225＋y 2m 2＝1(0<m<5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【解析】解　(1)由题设可得25－m 25＝154，得m 2＝2516，所以C 的方程为x 225＋y 22516＝1.(2)设P(x P ，y P )，Q(6，y Q )，根据对称性可设y Q >0，由题意知y P >0.由已知可得B(5,0)，直线BP 的方程为y ＝－1y Q(x －5)，所以|BP|＝y P1＋y 2Q，|BQ|＝1＋y 2Q .因为|BP|＝|BQ|，所以y P ＝1.将y P ＝1代入C 的方程，解得x P ＝3或－3.由直线BP 的方程得y Q ＝2或8，所以点P ，Q 的坐标分别为P 1(3,1)，Q 1(6,2)；P 2(－3,1)，Q 2(6,8)．所以|P 1Q 1|＝10，直线P 1Q 1的方程为y ＝13x ，点A(－5,0)到直线P 1Q 1的距离为102，故△AP 1Q 1的面积为12×102×10＝52；|P 2Q 2|＝130，直线P 2Q 2的方程为y ＝79x ＋103，点A 到直线P 2Q 2的距离为13026，故△AP 2Q 2的面积为12×13026×130＝52.综上，△APQ 的面积为52.规律方法　解决直线与圆锥曲线位置关系的注意点(1)注意使用圆锥曲线的定义．(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组．(3)注意用好圆锥曲线的几何性质．(4)注意几何关系和代数关系之间的转化．【拓展训练】3　(1)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B|，|AB|＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1【答案】　B【解析】　由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，连接F 1A ，令|F 2B|＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m.由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A|＝a ＝|F 1A|，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝ca ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos2θ＝ 2m 2＋ 3m 2－ 3m 22×2m ·3m ＝13，因为cos 2θ＝1－2sin 2θ，所以13＝1－2(1a)2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设F 为抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，斜率为k(k>0)的直线过F 交抛物线于A ，B 两点，若|FA|＝3|FB|，则直线AB 的斜率为( )A.12B．1 C.2 D.3【答案】　D【解析】　假设A在第一象限，如图，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形，由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，又∵|FA|＝3|FB|，∴|AD|＝|CE|＝3|BE|，即B为CE 的三等分点，设|BF|＝m，则|BC|＝2m，|AF|＝3m，|AB|＝4m，即|AC|＝|A B|2－|B C|2＝16m2－4m2＝23m，则tan∠ABC＝|A C||B C|＝23m2m＝3，即直线AB的斜率k＝3.专题训练一、单项选择题1．(2020·福州模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±23x，则此双曲线的离心率为( )A.134B.132C.133D.134【答案】　C【解析】　因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±23x，所以ba＝23，所以双曲线的离心率e＝ca＝1＋(b a)2＝1＋(23)2＝133.2．(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于( )A．2 B．3 C．6 D．9【答案】　C【解析】　设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋p2＝12.又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋p2＝12，解得p＝6.3．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为43，且直线AM与AN的斜率之积为－23，则C的方程为( )A.x212＋y28＝1 B.x212＋y24＝1C.x23＋y22＝1 D.x23＋y2＝1【答案】　C【解析】　由△AF1B的周长为43，可知|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，解得a ＝3，则M (－3，0)，N(3，0)．设点A(x 0，y 0)(x 0≠±3)，由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，可得y 0x 0＋3·y 0x 0－3＝－23，即y 20＝－23(x 20－3)，①又x 203＋y 20b 2＝1，所以y 20＝b 2(1－x 203)，②由①②解得b 2＝2.所以C 的方程为x 23＋y 22＝1.4．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为( )A.2 B.3 C ．2 D.5【答案】　A【解析】　如图，由题意，知以OF 为直径的圆的方程为(x －c2)2＋y 2＝c 24，①将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的公共弦所在直线的方程为x ＝a 2c，所以|PQ|＝2a 2－(a 2c)2.由|PQ|＝|OF|，得2a 2－(a 2c )2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝2.5．(2020·潍坊模拟)已知点P 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)右支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，直线PF 1与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若|PF 1|＝4|HF 1|，则该双曲线的离心率为( )A.153 B.213 C.53 D.73【答案】　C【解析】　如图，取PF 1的中点M ，连接MF 2.由条件可知|HF 1|＝14|PF 1|＝12|MF 1|，∵O 是F 1F 2的中点，∴OH ∥MF 2，又∵OH ⊥PF 1，∴MF 2⊥PF 1，∴|F 1F 2|＝|PF 2|＝2c.根据双曲线的定义可知|PF 1|＝2a ＋2c ，∴|HF1|＝a＋c 2，直线PF1的方程是y＝ab(x＋c)，即ax－by＋ac＝0，原点到直线PF1的距离|OH|＝|a c|a2＋b2＝a，∴在△OHF1中，a2＋(a＋c2)2＝c2，整理为3c2－2ac－5a2＝0，即3e2－2e－5＝0，解得e＝53或e＝－1(舍)．二、多项选择题6．(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( ) A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为nC．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±－m n xD．若m＝0，n>0，则C是两条直线【答案】　ACD【解析】　对于A，当m>n>0时，有1n>1m>0，方程化为x21m＋y21n＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确．对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝1n，表示半径为1n的圆，故B错误．对于C，当m>0，n<0时，方程化为x21m－y2－1n＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝1m，b ＝－1n ，渐近线方程为y ＝±－m nx ；当m<0，n>0时，方程化为y 21n －x 2－1m ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线，其中a ＝1n ，b ＝－1m ，渐近线方程为y ＝±－mn x ，故C 正确．对于D ，当m ＝0，n>0时，方程化为y ＝±1n，表示两条平行于x 轴的直线，故D 正确．7．已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( )A ．C 的方程为x 23－y 2＝1B ．C 的离心率为3C ．曲线y ＝e x －2－1经过C 的一个焦点D ．直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点【答案】　AC【解析】　因为渐近线方程为y ＝±33x ，所以可设双曲线方程为x 29－y 23＝λ，代入点(3，2)，得λ＝13，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1，选项A 正确；该双曲线的离心率为233，选项B 不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线y ＝e x －2－1经过双曲线的焦点(2,0)，选项C 正确；把x ＝2y ＋1代入双曲线方程，得y 2－22y ＋2＝0，解得y ＝2，故直线x －2y －1＝0与曲线C 只有一个公共点，选项D 不正确．8．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D.若|AF|＝8，则下列结论正确的是( )A ．p ＝4 B.D F → ＝F A →C ．|BD|＝2|BF|D ．|BF|＝4【答案】　ABC【解析】　如图所示，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为E ，M ，连接EF.抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF|＝p ，由于直线l 的斜率为3，则其倾斜角为60°.又AE ∥x 轴，∴∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF 为等边三角形，∴∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p ＝8，解得p ＝4，故A 正确；∵|AE|＝|EF|＝2|PF|，PF ∥AE ，∴F 为线段AD 的中点，则D F → ＝F A →，故B 正确；∵∠DAE ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C 正确；∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝13|DF|＝13|AF|＝83，故D 错误．三、填空题9．(2019·全国Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．【答案】　(3，15)【解析】　不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M|＝2c ＝8，所以|F 2M|＝2a －8＝4.设M(x ，y)，则Error!得Error!所以M 的坐标为(3，15)．10．(2020·全国Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________．【答案】　2【解析】　如图，A(a,0)．由BF ⊥x 轴且AB 的斜率为3，知点B 在第一象限，且B (c ，b 2a )，则k AB ＝b 2a －0c －a ＝3，即b 2＝3ac －3a 2.又∵c 2＝a 2＋b 2，即b 2＝c 2－a 2，∴c 2－3ac ＋2a 2＝0，∴e 2－3e ＋2＝0.解得e ＝2或e ＝1(舍去)．故e ＝2.11．设双曲线mx 2＋ny 2＝1的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为________．【答案】　3【解析】　∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，∴mx 2＋ny 2＝1的一个焦点为(0,2)，∴焦点在y 轴上，∴a 2＝1n ，b 2＝－1m，c ＝2.根据双曲线三个参数的关系得到4＝a 2＋b 2＝1n －1m，又离心率为2，即41n ＝4，解得n ＝1，m ＝－13，∴此双曲线的方程为y 2－x 23＝1，则双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为d ＝|23|1＋3＝3.12.如图，抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：(x －p 2)2＋y 2＝p 24，其中p>0，直线l 经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于A ，D ，B ，C 四点，则A B → ·C D → 的值为________．【答案】　p 24【解析】　易知A B → ·C D →＝|AB|·|CD|，圆C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F ，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝p 2，所以A (p 2，p )，B (p 2，p 2)，C (p 2，－p 2)，D (p 2，－p )，|A B →|＝|C D → |＝p 2，所以A B → ·C D → ＝p 2·p 2＝p 24；当直线l 的斜率存在时，设A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则|AB|＝|FA|－|FB|＝x 1＋p 2－p2＝x 1，同理|CD|＝x 2，设l 的方程为y ＝k (x －p 2)，由Error!可得k 2x 2－(pk 2＋2p)x ＋k 2p 24＝0，则A B → ·C D → ＝|AB|·|CD|＝x 1·x 2＝p 24.综上，A B → ·C D →＝p 24.四、解答题13．(2020·全国Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD|＝43|AB|.(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF|＝5，求C 1与C 2的标准方程．【解析】解　(1)由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ，其中c ＝a 2－b 2.不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b 2a；C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故|AB|＝2b 2a ，|CD|＝4c.由|CD|＝43|AB|得4c ＝8b 23a，即3×ca＝2－2(ca )2，解得ca ＝－2(舍去)，ca ＝12.所以C 1的离心率为12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x 24c 2＋y 23c 2＝1.设M(x 0，y 0)，则x 204c 2＋y 203c 2＝1，y 20＝4cx 0，故x 204c 2＋4x 03c＝1.①由于C 2的准线为x ＝－c ，所以|MF|＝x 0＋c ，而|MF|＝5，故x 0＝5－c ，代入①得 5－c 24c 2＋4 5－c 3c＝1，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝－1(舍去)，c ＝3.所以C 1的标准方程为x 236＋y 227＝1，C 2的标准方程为y 2＝12x.14．已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E 上，且到原点的距离为23.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF 交抛物线于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．【解析】(1)解　由题意可得Error!解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x.(2)证明　设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨取A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，联立Error!得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B (12，－2).所以直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，易知直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r＝|22＋22|8＋9＝4217.因为点F到直线GB的距离d＝|22＋22|8＋9＝4217＝r，所以以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．。

2017高考数学文新课标版考前冲刺复习讲义：第2部分专题五第2讲椭圆、双曲线、抛物线含答案精品

第2讲椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线的定义及标准方程[学生用书P48]共研典例类题通法1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后定量”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“定量”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．(1)(2016·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 (2)设F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|PF 1→＋PF 2→|＝23，则∠F 1PF 2＝( )A.π6B.π4C.π3D.π2(3)设抛物线y ＝14x 2上的一点P 到x 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为________．【解析】 (1)由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)法一：设∠F 1PF 2＝θ，根据余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ，即12＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ.由|PF 1→＋PF 2→|＝23，得12＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|cos θ.两式相减得4|PF 1|·|PF 2|cos θ＝0，cos θ＝0，θ＝π2.法二：因为PF 1→＋PF 2→＝2PO →，O 为坐标原点，|PF 1→＋PF 2→|＝23，所以|PO →|＝3，又|OF 1|＝|OF 2|＝3，所以P ，F 1，F 2在以点O 为圆心的圆上，且F 1F 2为直径，所以∠F 1PF 2＝π2.(3)抛物线的标准方程为x 2＝4y ，准线方程为y ＝－1，x 轴与准线间的距离为1，故点P 到抛物线准线的距离为4＋1＝5，所以点P 到该抛物线焦点的距离为5.【答案】 (1)A (2)D (3)5(1)圆锥曲线定义的应用①已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解． ②应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解．(2)圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．①定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． ②计算．即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．[题组通关]1．(2016·贵州适应性考试)在一次导弹实验中，为了确定爆炸点的位置，设立了A ，B ，C 三个观测点．已知B 在A 的正西方向4a 米处，C 在A 的正南方向a 米处．实验中，在B ，C 两点听到导弹着地时的爆炸声比在A 点分别晚2秒和1秒，且声速v ＝a 米/秒，则此导弹爆炸点离A 点的距离为( )A ．a 米 B.2a 米 C ．3a 米D.4a 米C [解析] 以BA 所在直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (2a ，0)，B (－2a ，0)，C (2a ，－a )，设爆炸点为P (x ，y )(x >0)，由|PB |－|P A |＝2a ，得点P 的轨迹方程是x 2a 2－y 23a 2＝1(x >0)，则由|PC |－|P A |＝a 得（x －2a ）2＋（y ＋a ）2－（x －2a ）2＋y 2＝a ，化简得x ＝2a ，则P A ⊥x 轴，|P A |＝b 2a＝3a ，选项C 正确．2．(2016·兰州实战考试)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线C 的渐近线交于A ，B 两点，△OAB (O 为坐标原点)的面积为42，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B.y 2＝4x C ．y 2＝2xD.y 2＝43xA [解析] 因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，所以b ＝2a ，故双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .又抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，故|AB |＝2p .又△OAB 的面积为42，x 轴是∠AOB 的角平分线，所以12×p2×2p ＝42，得p ＝4.则抛物线的方程为y 2＝8x ，故选A.圆锥曲线的几何性质[学生用书P49]共研典例类题通法 1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．(1)(2016·呼和浩特模拟)已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝c 2(c ＝a 2＋b 2)交于A ，B ，C ，D 四点，若四边形ABCD 是正方形，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±1＋2x B.y ＝±2x C ．y ＝±22xD.y ＝±－1＋2x(2)(2016·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．【解析】 (1)由题意可得，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝c 2(c ＝a 2＋b 2)在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎫22c ，22c ，代入双曲线方程得c 2a 2－c 2b 2＝2，得b 2a 2－a 2b 2＝2，令t ＝a 2b 2，可得t 2＋2t －1＝0，t ＝－1＋2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±－1＋2x ，所以选 D.(2)由题意可得B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，F (c ，0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫c ＋32a ，－b 2·⎝⎛⎭⎫c －32a ，－b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝0，化简得3c ＝2a ，则离心率e ＝c a ＝23＝63. 【答案】 (1)D (2)63圆锥曲线性质的应用(1)分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．[注] 求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到．[题组通关]1．(2016·湖南十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与直线x ＝a 2c 分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB ＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，2) B.(2，2) C ．(1，2)D.(2，＋∞)B [解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，x ＝a 2c 时，y ＝±abc ，不妨设A ⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c ，B ⎝⎛⎭⎫a 2c ，－ab c ，因为60°＜∠AFB ＜90°，所以33＜k FB ＜1，所以33＜abc c －a 2c＜1，所以33＜a b ＜1，所以13＜a 2c 2－a2＜1，所以1＜e 2－1＜3，所以2＜e ＜2.故选 B.2．(2016·兰州实战考试)椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为________． [解析] 由题设知抛物线的焦点为(0，23)，所以椭圆中b ＝2 3.因为e ＝c a ＝12，所以a＝2c ，又a 2－b 2＝c 2，联立解得c ＝2，a ＝4，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.[答案] x 216＋y 212＝1直线与圆锥曲线[学生用书P49]高频考点多维探明判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线的方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．研究直线与圆锥曲线的位置关系(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |； (2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p .因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．由直线与圆锥曲线的位置关系研究直线或圆锥曲线的方程及性质(2016·河北三市第二次联考)已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A 、B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C 、D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1，0)，求k 的值．【解】 (1)设焦距为2c ，因为e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，所以b a ＝33，因为b 2a ＝33，所以b ＝1，a ＝3，所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0，解得k 2>1.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2，若以CD 为直径的圆过E 点，则EC →·ED →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，则(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5 ＝9（k 2＋1）1＋3k 2－12k （2k ＋1）1＋3k 2＋5＝0，解得k ＝76，满足k 2>1.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)； (3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． [跟踪训练]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，且经过点(6，1)，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)圆O 是以椭圆E 的长轴为直径的圆，M 是直线x ＝－4在x 轴上方的一点，过M 作圆O 的两条切线，切点分别为P 、Q ，当∠PMQ ＝60°时，求直线PQ 的方程．[解] (1)由题意可得e ＝c a ＝22，因为椭圆E 经过点(6，1)，所以6a 2＋1b2＝1，又a 2－b 2＝c 2，解得a ＝22，b ＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)法一：连接OM ，OP ，OQ ，OM 与PQ 交于点A ，依题意可设M (－4，m )．由圆的切线性质及∠PMQ ＝60°，可知△OPM 为直角三角形且∠OMP ＝30°，因为|OP |＝22，所以|OM |＝42，所以（－4）2＋m 2＝42，又m >0，解得m ＝4，所以M (－4，4)，所以直线OM 的斜率k OM ＝－1，由MP ＝MQ ，OP ＝OQ 可得OM ⊥PQ ，所以直线PQ 的斜率k PQ ＝1，设直线PQ 的方程为y ＝x ＋n ，因为∠OMP ＝30°，所以∠POM ＝60°，所以∠OP A ＝30°，由|OP |＝22知|OA |＝2，即点O 到直线PQ 的距离为2，所以|n |12＋（－1）2＝2，解得n ＝±2(舍去负值)，所以直线PQ 的方程为x －y ＋2＝0. 法二：同法一求得M (－4，4)，设P (x 1，y 1)，则由圆的切线性质知∠OPM 为直角，故有k OP ·k PM ＝－1，即y 1x 1·y 1－4x 1＋4＝－1，整理得x 21＋y 21＝4y 1－4x 1，又点P (x 1，y 1)在圆O ：x 2＋y 2＝8上，故有x 21＋y 21＝8，所以4y 1－4x 1＝8，即y 1－x 1＝2，同理设Q (x 2，y 2)，则有y 2－x 2＝2，所以直线PQ 的方程为x －y ＋2＝0.课时作业[学生用书P128(独立成册)]1．(2016·贵阳模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (4，3)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 264－y 236＝1 D.x 236－y 264＝1 A [解析] 因为双曲线的焦距为10，点P 在渐近线上，所以c ＝5，b a ＝34，因为a 2＋b 2＝25，所以a ＝4，b ＝3，所以C 的方程为x 216－y 29＝1.2．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为x ±3y ＝0，则C 1与C 2的离心率之积为( )A.154 B.32C.65D.223D [解析] 由题意得，b a ＝13，所以椭圆与双曲线的离心率之积为1－b 2a2·1＋b 2a2＝223，故选D.3．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12B.1C.32D.2D [解析] 易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝kx(k >0)得k ＝2.4．(名师原创)已知双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，过双曲线上一点M作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2.若直线AB 过原点，则k 1k 2的值为( )A ．2 B.3 C. 3D. 6B [解析] 由题意知e ＝ca ＝2，则b 2＝3a 2，双曲线方程可化为3x 2－y 2＝3a 2，设A (m ，n )，M (x ，y )，则B (－m ，－n )，k 1k 2＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝3x 2－3a 2－3m 2＋3a 2x 2－m 2＝3.5．(2016·高考全国卷丙)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34A [解析] 由题意，不妨设点P 在x 轴上方，直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )(k ＞0)，分别令x ＝－c 与x ＝0，得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ，设OE 的中点为G ，由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||BF |，即ka 2k （a －c ）＝a a ＋c，整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13，故选A. 6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若△AOB 的面积为3，则抛物线的准线方程为( )A ．x ＝－2 B.x ＝2 C ．x ＝1D.x ＝－1D [解析] 因为e ＝ca ＝2，所以c ＝2a ，b ＝3a ，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，又抛物线的准线方程为x ＝－p2，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A ⎝⎛⎭⎫－p 2，3p 2，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－3p 2，在△AOB 中，|AB |＝3p ，点O 到AB 的距离为p 2，所以12·3p ·p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的准线方程为x ＝－1，故选 D. 7．(2016·石家庄第一次模考)已知椭圆x 2a 2＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点F 1关于直线y ＝－x 的对称点P 仍在椭圆上，则△PF 1F 2的周长为________．[解析] 椭圆左焦点F 1(－c ，0)关于直线y ＝－x 的对称点P (0，c )仍在椭圆上，则c ＝b ＝1，a ＝2，则△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝22＋2.[答案] 2＋2 28．(2016·武汉模拟)双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为54，焦点到渐近线的距离为3，则C 的实轴长等于________．[解析] 因为e ＝c a ＝54，所以c ＝54a ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ab x ，即ax －by ＝0，焦点为(0，c )，所以bc a 2＋b2＝b ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2516a 2－9，所以a 2＝16，即a ＝4，故2a ＝8.[答案] 89．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.[解析] 由题意可知，抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p2，联立错误!，解得x ＝±1＋p 24.因为△ABF 为等边三角形，所以p 2＋x 2＝2|x |，即p 2＋⎝⎛⎭⎫1＋p 24＝4⎝⎛⎭⎫1＋p 24，解得p ＝23或－23(舍去)．[答案] 2 310．(2016·山西重点中学协作体模拟)若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C 的内接正方形的面积为________．[解析] 由已知得，a ＝1，b ＝c ＝22，所以椭圆C 的方程为x 2＋y 212＝1，设A (x 0，y 0)是椭圆C 的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x 0＝y 0，所以1＝x 20＋2y 20＝3x 20，解得x 20＝13，所以椭圆C 的内接正方形的面积S ＝(2x 0)2＝4x 20＝43. [答案] 4311．(2016·高考全国卷丙)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．[解] 由题知F ⎝⎛⎭⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2 . 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 设AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a ||x 1－12|，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得2×12|b －a ||x 1－12|＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)，x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.12．(2016·东北四市教研联合体模拟)椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长等于圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径，且C 1的离心率等于12.直线l 1和l 2是过点M (1，0)，且互相垂直的两条直线，l 1交C 1于A ，B 两点，l 2交C 2于C ，D 两点．(1)求C 1的标准方程；(2)当四边形ACBD 的面积为12714时，求直线l 1的斜率k (k >0)． [解] (1)由题意得2a ＝4，即a ＝2.因为c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝3，所以椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)直线AB ：y ＝k (x －1)，则直线CD ：y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）3x 2＋4y 2＝12，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）3＋4k 2. 因为圆心(0，0)到直线CD ：x ＋ky －1＝0的距离d ＝1k 2＋1，又|CD |24＋d 2＝4，所以|CD |＝24k 2＋3k 2＋1，因为AB ⊥CD ，所以S 四边形ACBD ＝12|AB |·|CD |＝12k 2＋14k 2＋3，由12k 2＋14k 2＋3＝12147，解得k ＝1或k ＝－1，由k >0，得k ＝1. 13．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)因为过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.①因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0.整理，得2k ＋1＝0，解得k ＝－12. 所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32.。

椭圆双曲线抛物线答案

椭圆双曲线抛物线答案椭圆双曲线抛物线答案椭圆&period;双曲线&period;抛物线答案椭圆、双曲线、抛物线1、答案d解析由题意知：抛物线的焦点为(－2,0)．又顶点在原点，所以抛物线方程为y2＝－8x.32、答案b解析双曲线中c＝3，e＝，故a＝2，bc－a＝5，222xy故双曲线方程为1.45⎧⎧2k－1>2－k，3、答案c解析⎧∴10，⎧4、答案b解析由题知|af1|＋|af2|＝2a(设a为椭圆的长半轴)，|af1|－|af2|＝2，而|f1f2|2＝|f1a|＝4，因此可得2×|f1a|＝2a＋2，∴8＝2a＋2，∴a＝3，又c＝2，故c2的离心率e＝.3cc5、答案a解析由题意言e1＝e2＝aacccc3∴e1·e2＝.aaa222222又∵a2＝b2＋c2c21，c2＝a＋b，∴1＝a－b，2a4－b4b4c2c1－⎧⎧a，aab43即1－⎧⎧a4b2b2解得＝＝.a2a222xy令－0，解得bx±ay＝0，ab∴x2y＝0.6、答案b解析联立已知条件和双曲线的定义，建立关于a，b，c的方程，求离心率．不妨设p为双曲线右支上一点，|pf1|＝r1，|pf2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，3b＋2a3b－2a又r1＋r2＝3b，故r1＝r2＝.223b＋2a3b－2a99又r1·r2ab，所以ab，4224b4解得＝(负值舍去)．a3a＋bc⎧2＋1＝⎧2＋15b.故e＝＝＝⎧a⎧3a a3227、答案9解析∵pf1⊥pf2，∴|pf1|＋|pf2|＝|f1f2|2，由椭圆方程言a＝5，b＝3，∴c⎧|pf1|2＋|pf2|2＝4c2＝64，⎧⎧∴⎧|pf|＋|pf|＝2a＝10.⎧12Champsaur|pf1||pf2|＝18，11∴△pf1f2的面积为|pf1|·|pf2|＝18＝9.228、答案3－1解析由直线方程为y3(x＋c)，知∠mf1f2＝60°，又∠mf1f2＝2∠mf2f1，所以∠mf2f1＝30°，mf1⊥mf2，所以|mf1|＝c，|mf2|＝3c，所以|mf1|＋|mf2|＝c＋3c＝2a.c即e＝＝3－1.ap4330，，解析经过第一象限的双曲线的渐近线为y＝x.抛物线的焦点为f⎧⎧2332x01313x0，处的切线斜率为x0，双曲线的右焦点为f2(2,0)．y′＝x，由题意前颌m⎧2p⎧p3p3ppp－0262p333p⎧⎧0，⎧，f2(2,0)，m所以x0＝p，点f⎧共线，所以，即p＝.，⎧2⎧336⎧0－2⎧33p－0310、答案b解析9、答案短果直线ab的方程，用分割法则表示出来△abo的面积，将s△abo＋s△afo则表示为某一变量的函数，选择适当方法求其最值．设立直线ab的方程为x＝ny＋m(例如图)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，→→∵oa·ob＝2，∴x1x2＋y1y2＝2.22又y1＝x1，y2＝x2，∴y1y2＝－2.2⎧⎧y＝x，联立⎧得y2－ny－m＝0，⎧x＝ny＋m，⎧∴y1y2＝－m＝－2，∴m＝2，即点m(2,0)．11又s△abo＝s△amo＋s△bmo＝om||y1|＋om||y2|＝y1－y2，2211s△afo＝|of|·|y1|＝y1，28192∴s△abo＋s△afo＝y1－y2＋y1＝y1＋＝3，88y181y14当且仅当y1311、答案5解析由未知可以得，△pf1f2为直角三角形，且|pf1|2＋|pf2|2＝4c2，又|pf1|－|pf2|＝2a，∴(|pf1|－|pf2|)2＋2|pf1|·|pf2|＝|pf1|2＋|pf2|2，即2|pf1|·|pf2|＝4c2－4a2＝4b2，把|pf1|＝2|pf2|代入得，|pf2|＝b，|pf1|＝2b，代入|pf1|2＋|pf2|2＝4c2得5b2＝5c2－5a2＝4c2，c∴c2＝5a2，e＝5.ab2b2⎧a3⎧12、求解(1)根据ca－b及题设知m⎧c，a⎧，＝，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝2c4c1c13ac，解得，＝－2(舍去)．故c的离心率为a2a2(2)由题意，原点o为f1f2的中点，mf2∥y轴，所以直线mf1与y轴的交点d(0,2)是线段mf1的中点，b2故＝4，即b2＝4a.①a由|mn|＝5|f1n|得|df1|＝2|f1n|.设n(x1，y1)，由题意言y13⎧⎧⎧x1＝－2c，⎧－c－x1＝c，则⎧即⎧⎧－2y1＝2，⎧⎧⎧y1＝－1.29c1代入c的方程，得1.②4aba2－4a1将①及c＝a－b代入②得＋＝1.4a4a解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝7.13、求解(1)设立椭圆右焦点f2的座标为(c,0)．3由|ab|＝|f1f2|，可得a2＋b2＝3c2.2c21222又b＝a－c，则＝.a22所以，椭圆的离心率e＝22222(2)由(1)言a＝2c，b＝c.故椭圆方程为1.2cc设p(x0，y0)．由f1(－c,0)，b(0，c)，→→有f1p＝(x0＋c，y0)，f1b＝(c，c)．→→由未知，存有f1p·f1b＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①22xy因为点p在椭圆上，故＝1.②2cc由①和②只须3x20＋4cx0＝0.4而点p不是椭圆的顶点，故x0＝－c，34ccc－⎧.代入①得y0＝，即点p的座标为⎧⎧33⎧3设圆的圆心为t(x1，y1)，－c＋0＋c3322则x1＝c，y1＝c，23235所以圆的半径r＝x1－＋y1－c＝c.3222由未知，存有|tf2|＝|mf2|＋r，225c⎧2＋⎧0－c⎧2＝8＋2，解得c2＝3.又|mf2|＝2，故有⎧⎧3⎧⎧3⎧9x2y2所以，所求椭圆的方程为1.63x2214、解(1)设点c的坐标为(x，y)，则y＝1，a→→→→→→→→相连接cg，由ca＝cg＋ga，cb＝cg＋gb＝cg－ga，又g(0,2)，997→→→2→22只须ca·cb＝cg－ga＝x＋(y－2)2－＝a(1－y2)＋(y－2)2－＝－(a －1)y2－4y＋a＋其444中y∈[－1,1]．4因为a>1，故当y≤－1，即1727→→取y＝－1，得ca·cb有最大值－(a－1)＋4＋a＋＝，与条件矛盾；447a＋－16－a⎧⎧44→→当y＝－1，即a>3时，ca·cb的最大值就是－a－a7a－16－a⎧⎧431＝，即a2－7a＋10＝0，解得a＝5或a＝2(舍去)．4－ax22综上所述，椭圆ω的方程就是y＝1.5(2)设点p(x1，y1)，q(x2，y2)，pq的中点坐标为(x0，y0)，2x1x222则满足y1＝1＋y22＝1，两式相减，55y2－y1x2＋x1x整理得＝－5y0x2－x1y2＋y1x从而直线pq的方程为y－y0＝－x－x0)，5y0又右焦点f2的座标就是(2,0)，x将点f2的坐标代入pq的方程得－y0＝－(2－x0)，5y0因为直线l与x轴不横向，2故2x0－x0＝5y20>0，从而0假设在线段of2上存有点m(m,0)(05y则线段pq的垂直平分线必过点m，而线段pq的垂直平分线方程是y－y0＝(x－x0)，将x05y点m(m,0)代入得－y0＝m－x0)，x04⎧0，8.得m0，从而m∈⎧55。

专题15椭圆、双曲线、抛物线高考数学(理)备考易错点专项复习

专题15椭圆、双曲线、抛物线高考数学（理）备考易错点专项复21.【2017课标1,理10】已知F为抛物线C： y =4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l 1, I2,直线11与C交于A B两点，直线丨2与C交于D E两点，贝U |AB+| DE的最小值为A. 16B. 14C. 12D. 10【答案】A【解析】设/（羽』）/（花宀）（画小（无Ju），直线6的方程为尸冉（兀-L）,联立方程｛匕:得旳—加抚—的斥®二码+皆—电•同理直线右与删y =k[1J Aj Aj线的交点满足可十E二峯，由抛牧除定义可知也|十»迟|=可十花十码十斗十2卩=程其十冒*十却=吉十舟十葩十*=16」当且仅当说=—血=[（或一1〉B寸.取等号一rv F KQ rua ■丁ill Jrui2.【2017课标2 2II，理9】若双曲线C:笃爲1（a 0, ba b0）的一条渐近线被圆4所截得的弦长为2,则C的离心率为（）A. 2 2.3 3【答案】【解析】由几何关系可得，双曲线---=l(a > 0r b > 0)的渐近线方程为bx ±ay = 0，圆心R0)到渐近线距离为•梓「1?二、m,则点2。

至U直线bx +■的距离为|2b + a xO| 2b , "=4(c -a )N整理可得J = 4a?,双曲线的离心率.故选A.2 23.【2017浙江，2】椭圆 1 _L 1的离心率是 9 4C.D.【答案】【解析】 5，选 B.32 2X V4.【2017天津，理5】已知双曲线—2 1(aa b0,b 0)的左焦点为F ,离心率为、2 .2 2 /“X V ’ 2 2 X V 2 X 2 V “2 2 X V ’ (A )(B 1 (C ) 1 (D 1 4 4 8 8 4 8 8 4 【答案】B4 1 2 2【解析】由题意得 a b, c 4,a b 2& X -二1 ,选 B.c 8 82 5.【2017北京，理 9】若: 双曲线x 2 I 1的离心率为 ■3 ,则实数m= m【答案】2 【解析】a 2 1,b 2 m ，所以- 1 m .3，解彳得m 2 . a 1 若经过F 和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 2 26.【2017课标1，理】已知双曲线 C ： -yy 1 ( a >0， b >0)的右顶点为代以A 为圆心，b a b 为半径作圆代圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于 M N 两点.若/ MAN 60。