三角函数最值求解策略教案

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三角函数最值的求解策略(解析版)

三角函数最值的求解策略【高考地位】三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。

解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。

求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。

在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 【方法点评】方法一化一法使用情景：函数表达式形如 f (x )a sin 2 xb cos 2 xc sin x cos xd 类型解题模板：第一步运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如 ya sin xb cos xc 形式；第二步利用辅助角公式a sin x b cos xa sin(x) 化为只含有一个函数名的形式；第三步利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.x4x cos4例1 已知函数 fx 在 x 0 ，2上的最x，则 f大值与最小值之差为．【答案】3i n 2 2 s i n x2x66 , 76，即为换元思想，把2x6 看作一个整体，利用 ysin x 的单调性即可得出最值，这是解决 y a sin xb sin x 的常用做法．【变式演练1】设当x时，函数 f (x )2sin xcos x 取得最大值，则cos__________．【变式演练2】已知函数 f (x ) 4cos x sin(x )1(0) 的最小正周期是．6(1)求 f (x ) 的单调递增区间；3(2)求 f (x ) 在[ ， ]上的最大值和最小值．【答案】58 8【答案】(1) 6 k , 3k k Z ； (2) 最大值2 、最小值 622所以 f x 在8 , 38上的最大值和最小值分别为2 、 6 2 2 .考点：1、三角函数的恒等变换；2、函数 yA sinx 的性质；【变式演练3】已知函数 f (x ) sin xa cos x 图象的一条对称轴是 x，且当 x(2) 当 3,88x时， 72,612 12x2sin 262fx x,4时，函数g(x) sin x f (x) 取得最大值，则cos．【答案】5【解析】考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角恒等变换．2 x sin2 x) 2cos2(x ) 1的定义域为[0,]. 【变式演练4】已知 f (x) 3(cos4 2 (1)求 f (x) 的最小值.(2)ABC中, A 45 ,b 32 ,边a的长为函数3 3 f (x) 的最大值,求角 B 大小及ABC的面积.【答案】(1)函数 f (x) 的最小值 3 ；(2) ABC的面积S 9(3 1) .【解析】考点：1、三角恒等变形；2、解三角形.x x) 3cos 2 x 3 .【变式演练5】已知函数 f (x) cos(2（I）求 f (x) 的最小正周期和最大值；2（II）求 f (x) 在[ , ]上的单调递增区间．6 3【答案】（I） f (x) 的最小正周期为，最大值为1；（II）[, 5]．6 12【解析】试题分析：（I ）利用三角恒等变换的公式，化简 f x sin(2x ) ，即可求解 f (x )35的最小正周期和最大值；（II ）由 f (x ) 递增时，求得kx k(kZ )，12125即可得到 f (x ) 在[ , ]上递增．6 12 试题解析： f (x ) （-cos x )()31cos2x 3221sin2x3 cos2x sin(2x)223（I ） f (x ) 的最小正周期为，最大值为1；（II ）当 f (x ) 递增时，2k2x 2k (k Z )，2 325即kxk(kZ ),12125 所以， f(x ) 在[ ,]上递增 6 12 25即 f (x ) 在[ , ]上的单调递增区间是[ , ]6 3 6 12考点：三角函数的图象与性质．方法二配方法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步利用函数单调性求解三角函数的最值. 第三步得出结论.例2 函数 f (x ) cos 2x2sin x 的最小值为．函数 ycos 2 xa sin xa 22 a5有最大值2，【变式演练6】已知求实数a 的值．【答案】 a【解析】试题分析： ysin 2 x a sin x a 2 2 a 6 ，令sin x t ,t 1,1，则 yt 2ata 22 a6 ，对称轴为ta ，【答案】考点：三角函数的最值．【点评】解本题的关键是利用换元法转化为关于sin x的二次函数，根据sin x 的取值范围[－1，1]，利用对称轴进行分类讨论求出最大值，解出a的值．【变式演练7】函数 f x sin x cos x 2sin x cos x x4, 4 的最小值是__________．【答案】1【解析】f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈ 4 , 4 ，化简f（x）=（sinx+cosx）2+sinx+cosx﹣1设sinx+cosx=t，则t=２sin（x）x+ ，那么函数化简为：g（t）=t2+t﹣1．∵x∈ 4 , 4t 1．∵函数g（t）=t2+t﹣1．∴x+ ∈[0，]，所以：04 ２１开口向上，对称轴t=－，∴0 t 1是单调递增．２当t=0时，g（t）取得最小值为-1．求函数y 74sin x cos x4cos2 x4cos4 x的最大值与最小值.方法三直线斜率法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步利用函数单调性求解三角函数的最值.第三步得出结论.【点评】若函数表达式可化为形如 yat t 21（其中t 1，t 2 为含有三角函数的式子）， b则通过构造直线的斜率，通过数与形的转化，利用器几何意义来确定三角函数的最值.【高考再现】） f (x )1.【2017全国III 文，6】函数的最大值为（例 3 求函数2 sin2 cosx yx的最值 .【答案】2 sin 2 cosx y x的最大值为4 3，最小值为 4 3.【变式演练 8 】求函数 21sin 1 sinx yx在区间 [0,) 2上的最小值 . 【答案】 1sin(x )cos(x )A． B．1C．D．【答案】A所以选A.【考点】三角函数性质【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y A sin(x )B的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征2.【2016高考新课标1卷】已知函数 f (x )sin(x+)(0，),x 为24418，536单调,则的最大 f (x ) 的零点, x为 y f (x ) 图像的对称轴,且 f (x ) 在值为( )（A ）11 （B ）9（C ）7 （D ）5【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖, 是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:① fx A sin x A 0,0的单调区间长度是半个周期;②若 f xA sinx A0,0的图像关于直线 xx 0 对称,则 fx 0A 或fx 0A .3. 【2016年高考北京理数】将函数 ysin(2x ) 图象上的点P ( ,t ) 向左平移s3 4（s 0 ）个单位长度得到点P '，若P '位于函数 ysin2x 的图象上，则（）A.t1 ，s 的最小值为B.t 3，s 的最小值为2626C.t1，s 的最小值为D.t3，s 的最小值为2 323【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，t sin(2) 1，故此时P '所对应的点为(,1) ，此4 3212 2时向左平移 - 个单位，故选A.4 126考点：三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换4.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 y 3sin(x )k ，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值6为（）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C5.【2015高考安徽，理10】已知函数 f xsinx（，，均为正的常数）的最小正周期为，当 x2时，函数 fx取得最小值，则下列结论正3 确的是（）（A ） f2f2f（B ） f 0 f 2 f2（C ） f2ff2（D ） f 2 f 0 f2【答案】A【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出，通过最值判断出，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可.6.【2015高考湖南，理9】将函数f (x) sin 2x的图像向右平移(0 )个单2位后得到函数g(x) 的图像，若对满足 f(x1) g(x2) 2 的x1，x2，有x1x2 min ，3 则（）5 A. B. C. D.12 3 4 6【答案】D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以f (x) A sin(x ) 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.7.【2017全国II文，13】函数f (x) 2cos x sin x 的最大值为 .【答案】1 【解析】试题分析：化简三角函数的解析式：f x 1cosx 3cosxcos x 3cos x14 cos x2321，x 0,2可得：cos x0,1，当cos x3时，函数 f x 取得最大值1。

三角函数最值问题常见的求解策略

三角函数最值问题常见的求解策略三角函数最值问题是三角函数学习中的难点之一．求三角函数的最值，往往要涉及二次函数、不等式等其他重要知识，是历年高考考查的热点之一．本文试对常见三角函数最值问题作归纳、梳理．１．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ，化为求一次函数ｙ＝ａｔ＋ｂ在闭区间上的最值．例１　求函数ｙ＝－３ｓｉｎｘ＋２的最值．解　令ｔ＝ｓｉｎｘ，则原式化为ｙ＝－３ｔ＋２，ｔ∈［－１，１］，得－１≤ｙ≤５．故ｙｍｉｎ＝－１，ｙｍａｘ＝５．２．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＋ｃ型应对策略：引进辅助角φｔａｎφ＝ｂ（）ａ，化为ｙ＝ａ２＋ｂ槡２ｓｉｎ（ｘ＋φ）＋ｃ，再利用正弦、余弦函数的有界性．例２　已知ｘ∈－π２，π［］２，求函数ｆ（ｘ）＝５ｓｉｎｘ＋槡５３ｃｏｓｘ的最值．解　ｆ（ｘ）＝５ｓｉｎｘ＋槡５３ｃｏｓｘ＝１０ｓｉｎｘ＋π（）３，令ｔ＝ｘ＋π３，则ｙ＝１０ｓｉｎｔ，ｔ∈－π６，５π［］６．故当ｔ＝－π６时，ｓｉｎｔ有最小值－１２，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝－５；当ｔ＝π２时，ｓｉｎｔ有最大值１，ｆ（ｘ）ｍａｘ＝１０．３．ｙ＝ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘ＋ｃ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ，化为求二次函数ｙ＝ａｔ２＋ｂｔ＋ｃ在闭区间上的最值．例３　求ｙ＝２ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎｘ＋３－π２≤ｘ≤π（）６的最值．解　令ｔ＝ｓｉｎｘ，则由－π２≤ｘ≤π６，得ｔ［∈－１，］１２．于是ｙ＝２ｔ２＋ｔ＋３＝２ｔ＋（）１４２＋２３８．当ｔ＝－１４时，ｙｍｉｎ＝２３８；当ｔ＝－１或１２时，ｙｍａｘ＝４．４．ｙ＝ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｃｏｓ２ｘ型应对策略：降次，整理化为类型２，求ｙ＝Ａｓｉｎ２ｘ＋Ｂｃｏｓ２ｘ＋ｃ的最大值、最小值．例４　函数ｆ（ｘ）＝６ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋８ｃｏｓ２ｘ，求ｆ（ｘ）的周期与最大值．解　ｆ（ｘ）＝３ｓｉｎ２ｘ＋４ｃｏｓ２ｘ＋４＝５ｓｉｎ（２ｘ＋φ）＋４．故周期Ｔ＝π，ｆ（ｘ）最大值为９．５．ｙ＝ａｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｂ（ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ）＋ｃ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ，化为求二次函数ｙ＝±ａ２（ｔ２－１）＋ｂｔ＋ｃ在ｔ∈［－槡２，槡２］上的最值．例５　求函数ｙ＝（１＋ｓｉｎｘ）（１＋ｃｏｓｘ）的最值．解　ｙ＝１＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ），令ｔ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ，则ｙ＝１＋ｔ＋ｔ２－１２＝１２（ｔ＋１）２，ｔ∈［－槡２，槡２］．当ｔ＝槡２时，ｙｍａｘ＝３＋槡２２２；当ｔ＝－１时，ｙｍｉｎ＝０．６．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｓｉｎｘ＋ｄ型应对策略：反解出ｓｉｎｘ，利用正弦函数的有界性或用分析法来求解．例６　求函数ｙ＝ｓｉｎｘ－３ｓｉｎｘ＋３的最值．解法一：解出ｓｉｎｘ＝３（ｙ＋１）１－ｙ，由｜ｓｉｎｘ｜≤１，得－２≤ｙ≤－１２．解法二：（“部分分式”分析法）原式＝１－６ｓｉｎｘ＋３，再由｜ｓｉｎｘ｜≤１，解得－２≤ｙ≤－１２．故ｙｍｉｎ＝－２，ｙｍａｘ＝－１２．７．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｃｏｓｘ＋ｄ型十种特殊条件下的三角恒等变换□韩玉宝三角变换的关键在于发现题目中条件与结论之间在角、函数名称、次数这三方面的差异及联系，然后通过角变换、函数名称变换、升降幂变换等方法找到已知式与所求式之间的联系．三角变换的方法很多，本文将课本中出现的特殊条件下的一些变换方法归纳如下：一、条件或所求中出现“ｓｉｎα＋ｃｏｓα”，将其平方．例１　设α∈（０，π），ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝７１３，求ｔａｎα的值．解　将ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝７１３两边平方，得ｓｉｎαｃｏｓα＝－６０１６９，两式联立解得ｓｉｎα＝１２１３，ｃｏｓα＝－５１３，从而ｔａｎα＝－１２５．二、已知ｔａｎα，求ａｓｉｎ２α＋ｂｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｃｏｓ２α的值，先将ａｓｉｎ２α＋ｂｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｃｏｓ２α除以（ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α）（即１），然后分子、分母同除以ｃｏｓ２α．例２　已知ｔａｎα＝２，求ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４的值．解　ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４＝ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝ｔａｎ２α＋３ｔａｎα＋４ｔａｎ２α＋１＝１４５．三、化简１＋ｓｉｎ槡α，１－ｓｉｎ槡α，１＋ｃｏｓ槡α，１－ｃｏｓ槡α，引用倍角公式或将１用平方代换．应对策略：化归为ｙ′＝Ａｓｉｎｘ＋Ｂｃｏｓｘ型求解或用数形结合法（常用到直线斜率的几何意义）．例７　求函数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２的最大值及最小值．解法一：将原式ｙｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＋２ｙ＝０化为ｙ２＋槡１ｓｉｎ（ｘ＋φ）＝－２ｙ，即ｓｉｎ（ｘ＋φ）＝－２ｙｙ２＋槡１，由｜ｓｉｎ（ｘ＋φ）｜≤１，得－２ｙｙ２＋槡１≤１，解得－槡３３≤ｙ≤槡３３．故ｙｍｉｎ＝－槡３３，ｙｍａｘ＝槡３３．解法二：函数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２的几何意义为点Ｐ（－２，０）与点Ｑ（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）连线的斜率ｋ，而点Ｑ的轨迹为单位圆，如右图，可知－槡３３≤ｋ≤槡３３．故ｙｍｉｎ＝－槡３３，ｙｍａｘ＝槡３３．８．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｓｉｎｘ型应对策略：转化为利用函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ的单调性求最值．例８　求函数ｙ＝ｓｉｎｘ＋４ｓｉｎｘｘ∈０，π（］（）２的最小值．解　令ｔ＝ｓｉｎｘ，ｘ∈０，π（］２，则ｙ＝ｔ＋４ｔ，ｔ∈（０，１］．利用函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ的单调性得，函数ｙ＝ｔ＋４ｔ在ｔ∈（０，１］上为单调递减函数．故当ｔ＝１时，ｙｍｉｎ＝５．巩固练习１．若函数ｙ＝２ｓｉｎｘ＋槡ａｃｏｓｘ＋４的最小值为１，求ａ的值．２．求函数ｙ＝－２ｃｏｓ２ｘ＋２ｓｉｎｘ＋３的值域．３．求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋槡３）（ｃｏｓｘ＋槡３）的最值．（参考答案见第４１页）由π４－α＝π１２－（）α＋π６，可得ｃｏｓα－π（）４＝－槡３＋４３１０．故所求值为：槡－３３＋２０３５０．《常见三角函数最值问题的求解策略》１．ａ＝５．　２．ｙ∈１２，［］５．　３．ｙｍａｘ＝７２槡＋６，ｙｍｉｎ＝７２槡－６．《十种特殊条件下的三角恒等变换》１．略．　２．１１６．《“整体思维”巧解三角恒等变换题》１．５９７２．　２．±７１２．　３．５６６５．　４．１４．　５．１．《例谈构造法在三角问题中的妙用》１．提示：解析式看作是动点Ｐ（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）与定点Ｑ（３，０）连线的斜率，为此构造直线斜率这一几何模型处理．ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ－３最小值为－槡２４，最大值为槡２４．２．提示：已知条件可视为关于ｓｉｎα２的一元二次方程模型去证明．３．提示：构造几何模型将条件化为（１－ｃｏｓβ）ｃｏｓα－ｓｉｎβｓｉｎα＋ｃｏｓβ－３２＝０．因为点（ｃｏｓα，ｓｉｎα）在直线（１－ｃｏｓβ）ｘ－ｓｉｎβｙ＋ｃｏｓβ－３２＝０上，同时也在圆ｘ２＋ｙ２＝１上，所以直线和圆有公共点，故ｄ≤ｒ，即ｃｏｓβ－３２（１－ｃｏｓβ）２＋ｓｉｎ２槡β≤１，整理得ｃｏｓβ－（）１２２≤０，即ｃｏｓβ＝１２．又β为锐角，所以β＝π３．同理α＝π３．《向量问题的几何解法》１．ａ２１＋ａ２２＝ｂ２１＋ｂ２２．　２．１２０°．　３．槡６．《一道课本向量题的探究与应用》１．设→ＡＧ＝→ ｍＧＣ，→ ＦＧ＝→ ｎＧＥ，则→ ＢＧ＝→ ＢＡ＋→ｍＢＣ１＋ｍ．又→ＢＧ＝→ ＢＦ＋→ ｎＢＥ１＋ｎ＝→ ＢＡ＋→ ＡＦ＋→ｎＢＥ１＋ｎ＝→ＢＡ＋１３→ ＡＤ＋ｎ２→ ＢＣ１＋ｎ＝→ ＢＡ＋１３＋ｎ（）２→ＢＣ１＋ｎ．故１１＋ｍ＝１１＋ｎ，ｍ１＋ｍ＝１３＋ｎ２１＋烅烄烆ｎｍ＝ｎ＝２３．从而→ＡＧ＝２３→ ＧＣ，→ ＡＧ＝２５→ ＡＣ．单元测试参考答案１．１　２．５６６５　３．③　４．槡４５９　５．１１６　６．［槡－３，槡３］　７．２　８．π２　９．槡２－１２　１０．ｄ１ｄ２１１．因为ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡｓｉｎＢ，所以ｓｉｎＡｃｏｓＢ＝ｃｏｓＡｓｉｎＢ，即ｓｉｎ（Ａ－Ｂ）＝０．所以三角形是等腰三角形．１２．原式＝２ｓｉｎ５０°＋２ｓｉｎ８０°ｃｏｓ１０°１２ｃｏｓ１０°＋槡３２（）ｓｉｎ１０°槡２ｃｏｓ５°＝２ｓｉｎ５０°＋２ｓｉｎ８０°ｃｏｓ１０°ｃｏｓ（６０°－１０°）槡２ｃｏｓ５°＝２槡２２ｓｉｎ５０°＋槡２２（）ｃｏｓ５０°ｃｏｓ５°＝２ｃｏｓ（５０°－４５°）ｃｏｓ５°＝２．１３．因为ｔａｎα＋β２＝槡６２，所以ｃｏｓ（α＋β）＝１－ｔａｎ２α＋β２１＋ｔａｎ２α＋β２＝－１５，即ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ＝－１５．①又因为ｔａｎαｔａｎβ＝１３７，所以ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ＝１３７，即１３ｃｏｓαｃｏｓβ－７ｓｉｎαｓｉｎβ＝０②联立①、②，解得ｃｏｓαｃｏｓβ＝７３０，ｓｉｎαｓｉｎβ＝１３３０．。

三角函数的最值求解策略

三角函数的最值求解策略四川省武胜飞龙中学梁洪斌(638402)求三角函数的最值(值域)是近几年高考的热点之一，解决这类问题不仅需要用到三角函数的定义域，值域、单调性，图象和三角函数的恒等变形，而且还常涉及到函数，不等式、方程、几何等众多知识，概念性强，具有一定的综合性和灵活性。

学生常难以掌握，现就其常见类型做一归类求解，以便于学生掌握。

一、对于)cos (sin b x a y b x a y +=+=或型直接利用三角函数的值域求解，须注意对字母进行讨论。

例1：求函数)31( 2sin )13(-≠-+=a x a y 的最值。

解：当时即则当时即)(221sin ,31013Z k k x x a a ∈++==->>+ππ)1(3 )(22 1sin 13min max +-=∈-=-=-=a y Z k k x x a y 时即当ππ);1(3 ,)(221sin 31 03max +-=∈-=-=-<<+a y Z k k x x a a 时即时，则当即当ππ13 )(22 1sin min -=∈+==a y Z k k x x 时，即当ππ二、对于)0(cos sin ≠++=ab c x b x a y 型，常引进辅助角))cos(()sin(2222ϑϑ-+=++=x b a y x b a y 或再利用正(余)弦函数的有界性求解。

例2、求函数1)cos 3(sin sin ++=x x x y 的最值。

12sin 2322cos 11cos sin 3sin 1cos sin 3sin 1)cos 3(sin sin 22++-=++=++=++=x x x x x x x x x x x y解：23)62sin(232cos 212sin 23+-=+-=πx x x21)(6)(2262 1)62sin( 25)(3)( 22621)62sin(min max =∈-=∴∈-=--=-=∈+=∴∈+=-=-∴y Z k k x Z k k x x y Z k k x Z k k x x 时，即当时，即当ππππππππππππ三、对于dx c b x a y ++=cos sin 型，可转化为x B x A y cos sin +='型求解或用数形结合法求解(常利用直线斜率的几何意义) 例3、求函数xxy sin 2cos 3+=的最大值。

三角函数最值的求解策略

解法１原式即为ｓｘｙｏｘ２２，ｉ（：ｉ－ｃｓ＝ — ｙ即ｓｎｎ
．
）２２Ｖ＿－一二二＿＇＿
－
，
ｙａｉ＋ｃｓ＝ｓｎｘｂｏ型
，
Ｖ十１）
特点是含有正余弦函数，并且是一次式．求解策略：利用ａｉｘｂｏ－ｓ＋ｃｓ、ｎ
点在圆内则构成的角为钝角：该点在圆外则构成的角为锐角．若
解：如图９以０，为圆心、／、一为半径作圆．
因为、＞，以该圆与椭圆有四个交点Ｐ、２、／２所Ｉ＇／、
解法２诱（，）ＰｃＳ，ｎ，：２２，（Ｏｓ）则＝坠．ｉ二
例当詈时求数（ｓ＋－Ｏ的１一 ≤≤ ，函厂）ｎ￣－Ｓ最２ｉｖＣＸ＝／３
大值和最小值．
即为过，用丽４点的斜率．、所以要求函数ｙ＝＝二
成的角为直角．椭圆上点Ｐ、间以及Ｉ之
、
Ｐ之间的点同时在圆内，４
ｐ／一
要的作用，它们让我们很清晰的观察到了点尸从不存在到存在、
从少到多的过程，把原本不太容易下手的问题变得简洁．
故以它们为顶点连接、构成的角为钝角，符合题意．
２１０２年４月
课程解读
材法
三角函数的最值问题是三角函数知识的综合应用，是对ｉ角
函数的概念、图像和性质，以及对诱导公式、同角ｉ角函数基本
三、＝—ｓｎｘ＋ｃ型ｖａｉ

利用三角函数求解最值问题解读

利用三角函数求解最值问题一、教学目标1、知识技能目标：以圆的内接矩形的最大面积的求法作为引例，使学生逐步探究在半圆，四分之一圆的内接矩形相关最值问题，学会用三角函数求得内接矩形面积的最大值，能够总结求解最值问题基本思路。

2、过程方法目标：在恰当引进自变量、建立函数关系式的过程中，不断加强图形，文字，符号这三种数学语言的联系，培养学生讲实际问题抽象为数学问题的化归能力。

同时增强学生数形结合、分类讨论的数学思想，逐步提高学生应用意识和创新意识。

3、情感态度目标：在探究活动中提高学生的学习兴趣，提高学习数学的信心，通过每个问题的解决，培养学生积极主动的探索精神；通过加强学生的环保意识，增强学生的社会责任感4、教材分析：（1）教材的知识结构：本节课是一节复习课，是以三角函数中的三角公式、三角函数的图象、三角函数的性质为必要基础。

属于人教版高中《数学》第四册（必修B）第一、三章内容。

（2）教材的地位和作用：三角函数作为一种基本的初等函数，教材中主要介绍了各种三角公式及三角函数的图象与性质，对三角函数的具体应用涉及较少。

而新课程标准提倡在学生生活经验的基础上，教师尽可能多地提供各种机会让他们体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的应用价值。

本课为此联系生活实际提出问题，设计层层探究，促使学生出于证明或求解需要而思考引进自变量的特点，通过对常量和变量的分析，让学生体会三角函数的优势所在。

（3）对知识的处理：本节课在设计上以“创设情景、揭示矛盾（提出数学问题）——自主探索、展开讨论（形成数学概念）——反思总结、归纳提升（获得数学结论）——巩固深化、学以致用（运用数学知识）”为教学模式。

本课从教材中的一道习题出发，以最常见、最熟悉的例子—锯木料为切入点，对教学内容层层分析挖掘，促使学生思考探究，给学生提供了观察、操作、表达等机会。

同时帮助学生对所学内容进行加工处理，使之条理化，系统化便于存储记忆，并通过解题运用不断加深对知识本质的认识。

第9课时三角函数的最值教案

第9课时三角函数的最值基础过关题1．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标．2．函数与方程两个函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标就是方程()()f x g x =的解；反之，要求方程()()f x g x =的解，也只要求函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标．3．二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(,)m n ，则必有()()0f m f n ⋅<，再取区间的中点2m n p +=，再判断()()f p f m ⋅的正负号，若()()0f p f m ⋅<，则根在区间(,)m p 中；若()()0f p f m ⋅>，则根在(,)p n 中；若()0f p =，则p 即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．典型例题例1. 求下列函数的最值．⑴ y ＝xx x cos 1sin 2sin -⋅； ⑵ y ＝2 cos(3π＋x)＋2cosx ； ⑶ xx y cos 3sin 1++=．解：(1) y ＝x x x x x x cos 2cos 2cos 1sin cos sin 22+=-⋅⋅ ＝21)21(cos 22-+x∴ 当cosx ＝21-时，y min =21-∵ cosx ≠1∴ 函数y 没有最大值。

(2) y ＝2cos(x +π)+2cosx=2cos x x x cos 2sin 3sin 2cos 3+-ππ =3cosx －3sinx =23cos(6π+x )∴当cos(6π+x )＝－1时，y min ＝－32 当cos(6π+x )＝1时，y max ＝32 (3) 由xx y cos 3sin 1++=得sinx －ycosx ＝3y －1 ∴)sin(12ϕ++x y ＝3y －1 (tan ϕ＝－y)∵|sin(x ＋ϕ)|≤1 ∴|3y －1|≤12+y解得0≤y≤43故xx y cos 3sin 1++=的值域为[0，43] 注：此题也可用其几何意义在求值域．变式训练1：求下列函数的值域：（1）y=xx x cos 1sin 2sin -; （2）y=sinx+cosx+sinxcosx;（3）y=2cos )3(x +π+2cosx. 解（1）y=x x x x cos 1sin cos sin 2-=x x x cos 1)cos 1(cos 22-- =2cos 2x+2cosx=22)21(cos +x -21. 于是当且仅当cosx=1时取得y max =4,但cosx≠1,∴y ＜4，且y min =-21,当且仅当cosx=-21时取得. 故函数值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-4,21. （2）令t=sinx+cosx,则有t 2=1+2sinxcosx,即sinxcosx=212-t . 有y=f(t)=t+212-t =1)1(212-+t . 又t=sinx+cosx=2sin )4(π+x ， ∴-2≤t≤2.故y=f(t)=1)1(12-+t (-2≤t≤2),从而知：f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤2+21. 即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-212,1. （3）y=2cos )3(x +π+2cosx =2cos 3πcosx-2sin 3πsinx+2cosx =3cosx-3sinx =23⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x sin 21cos 23 =23cos )6(π+x . ∵)6cos(π+x ≤1 ∴该函数值域为［-23，23］.例2. 试求函数y ＝sinx ＋cosx ＋2sinxcosx ＋2的最大值与最小值，又若]2,0[π∈x 呢？解：令t ＝sinx ＋cosx 则t ∈[－2，2]又2sinx ＋cosx ＝(sinx ＋cosx)2－1＝t 2－1∴y ＝t 2＋t ＋1＝(t ＋21)2＋43，显然y max ＝3＋2若x ∈[0，2π] 则t ∈[1，2] y ＝(t ＋21)＋43在[1，2]单调递增．当t ＝1即x ＝0或x ＝2π时，y 取最小值3．当t ＝2即x ＝4π时，y 取最大值3＋2．变式训练2：求函数3()cos (sin cos ),44f x x x x x x ππ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值．点拔：三角函数求最值一般利用三角变形求解，此题用常规方法非常困难，而用导数求最值既方便又简单．解：f(x)＝x －21(sin2x ＋cos2x)－21∴f´(x)＝1＋2sin(2x －4π)∵x ∈[－4π，43π] ∴2x －4π∈[－43π，π45] 令f´(x)＝0 得sin(2x －4π)＝－22 ∴x ＝0，－4π，π43 ∵f(0)＝－1，而f(－4π)＝－4π f(π43)＝43π ∴当x ＝π43时，[f(x)]max ＝43π 当x ＝0时，[f(x)]min ＝－1例3. 已知sinx ＋siny ＝31，求siny －cos 2x 的最大值．解：∵sinx ＋siny ＝31 ∴siny ＝x sin 31- ∴siny －cos 2x ＝x sin 31-－(1－sin 2x) ＝x x 2sin sin 32+-- ＝1211)21(sin 2--x 又∵－1≤siny ≤1 ∴1sin 311≤-≤-x 而－1≤sin x ≤1 ∴32-≤sin x ≤1∴当sinx ＝32-时，siny －cos 2x 取得最大值94。

三角函数最值问题的求解策略

ＡＢｃＤ｛吾．．２４
分析：子分母都是关于ＣＳ、ｉｘ的齐次式，办法化为分ＯＸｓｎ想
时，ｉ× ｉｙ取得最小值２／２ｓ２ｎ＋ｓ￣ｎ、２— 。
四、考查利用ｓｎｉｘ＋ＣＳＯＸ与ｓｎｃｓｉｘｏｘ的关系。通过换元法求
函数的最值
正切，利用正切函数的值域求出原函数的最小值。
例４求函数ｖ２２ｉｃｓ＋０ｘｓ ×的最值。＝＋ｓｘ０ｘｃｓ＋ｉｎｎＯｘ＜＜４分析：利用（ｉ＋ｏｘ＝＋ｓｘｏｘ沟通ｓｘｃｓｓｘｃｓ）１２ｉｃｓｎｎｉ＋ｏｘ与ｎｓｘｏｘ之间的关系，ｉｃｓｎ通过换元使原函数转化为二次函数求解。
角度考虑点（ｏｘｉ）位圆上。这样一类既含有ｓｘ又含ｃｓ，ｎ在单ｓｘｉｎ
有ＣＳＯＸ的分式函数的最值问题可考虑用数形结合法求解。
解：＝２ｎ＝ｙ＋ｓｘｉ这可以看做是定点Ａ（３一），２
一
一一
分析：由０ｘ－得：ｓｘ０原函数式化为ｙ９ｓｓ＜＜ｒｒｘｉ＞，ｎ＝ｘｉ＋ｎ
ｋ的切线方程为：＝ｘ－１ｋｙｋＶ＋ ‘．由于该切线过点Ａ（３一）故４一，２，
一
是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。文将从具体的实例出发，本分析并介绍问题转换、形结合、数变量替换、消元法、利用均值不等式等几种比较典型的解题方法。出一般的解题策略与技巧。找

与三角函数有关的最值问题(教案)

《与三角函数有关的最值》教学设计执教者杨进堂一、学情、考情分析三角函数的最值与值域问题，是历年高考重点考查的知识点之一。

三角函数的最值与值域问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与前面复习过的函数、不等式、联系密切，综合性强，解法灵活，能力要求高，在复习完三角公式后，把三角函数的最值与值域作为专题复习，不仅可以帮助学生灵活运用三角公式，而且可以帮助学生掌握求最值和值域的方法，综合能力得到增强。

二、教学三维目标1．（知识结构）会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域；2．（能力方法）运用转化思想，通过变形、换元、数形结合等方法转化为代数问题求其给定区间内的值域和最值。

3．（情感态度）通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。

体现数学思想方法在解决三角最值问题中的作用。

三、教学重点：求三角函数的最值与值域四、教学难点：求三角函数的最值与值域的方法多样，针对题目，如何在最短的时间内灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域五、教学过程设计1、复习提问：求函数最值与值域有哪些常用的方法？2、自主探究：（1）在下列说法中：（1）函数x y cos 2-=的最大值为3；（2）函数x xy sin sin 4+=最小值是4；（3）函数322+-=x x y 在区间[]4,2的最小值是2；(4) 函数]32,6[,s i n ππ∈=x x y 的值域为]1,21[．正确的是（） A ．（1）（2） B ．（2）（4） C ．（1）（3） D ．（1）（4）（2）函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=2,0cos 23sin 21πx x x y 在区间的最小值为（3）函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=36,cos 3sin ππ，在区间x x y 的最大值设计意图：这3道检测题难度不大，但涵盖了三角函数求最值和值域的一些基本方法，通过批改学生的作业，在课前充分了解学生的掌握程度，为课堂上重点解决学生的薄弱点和盲点做好准备。

三角函数最值问题教案

最值的求解 )sin(B x A y ++=ϕω（复习课）授课人：许其威班级：111教学目标：1. 知识与技能：利用三角函数的单调性和有界性求解的最值问题.2. 过程与方法：体会并学会运用整体代换、数形结合的思想方法.3. 情感态度与价值观：进一步培养学生主动参与、独立思考的学习习惯. 教学重点：整体法求教学难点：求教法学法：讲练结合，教师引导，学生独立思考.教学过程：一、知识回顾：正弦余弦函数的单调性与最值二、例1 求函数y ＝3sin2x 的最值并求出相应的x 值..1________x ,1________x ____________________________cosx y .2.1________x ,1__________x ____________________________sinx y .1min max min max -=====-=====y y y y 时，当时，当上递减；上递增，在在余弦函数时，当时，当上递减；上递增，在在正弦函数上的最值问题在函数R B )x Asin(y ++=ϕωB )x Asin(y ++=ϕω函数的最值函数B )x Asin(y ++=ϕω在闭区间上的最值函数B )x Asin(y ++=ϕω变式求函数1)3sin(++-=πx y 的最值并求出相应的x 值.方法总结：三、例2变式方法总结：四、技能提升课后思考题：若把上题中的a>0 改为 a ≠0，又应该怎样求解？五、课堂小结,y ,y1cosx 1,-1sinx 1- R B )x Asin(y min max B A B A +-=+=≤≤≤≤++=可以得出以下结论：有界性利用正弦、余弦函数的整体法求解，上的最值问题，可以用在对于函数ϕω[]上的最值问题在函数b a,B )x Asin(y ++=ϕω. 20, )32sin(x y 的最值，求函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=ππx .301-sin2x y 上的最值，在求函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=π[] . , x ,B )x Asin(y 像求出函数的最值的取值范围，再借助图并求解出看成一个整体整体代换的思想，把以应用上的最值问题，同样可在对于函数z z b a ϕωϕω+++=.,1260),0(,sin 的值，求出，最小值为上的最大值为，在若函数b a a b x a y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡>+=π六、自我检测七、课后作业：232D. 02C. 01B. 1-1A. . 12sin 125,0x 2.2-D. 34-C. 32-B. 32A. . 1sin 31m M, .1，最小值最大值，最小值最大值，最小值最大值，最小值最大值）有（时，当）等于（则的最大值和最小值，分别表示设+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=x y m M x y π.sin sin y .2 2值时的的最值并求解取得最值求函数x x x +=.201)3sin(21y 1.上的最值，在求函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=ππx。

三角函数最值求法的常用策略

２０１３年第１期
福建中学数学
３７
ＣＯＳＹ的最大值和最小值．
—
解设２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｙ＝ａ，
则与３ｓｉｎｘ＋２ｃｏｓｙ＝４联立方程组，
ｎｘ＋２ｃｏｓｓｉ１，．寻＿１［３
即ｓｉｎｘ＝ ÷ 时等号成立．
１所以当ｓｉｎ＝二时，．（）＝２５．５策略６巧用三角函数有界性
又ｉｎｘ－ｃｏｓｘ＝ｓｉｎ（一三），Ｒｏ＿ ≤ 兀，
例６已知３ｓｉｎｘ＋２ｃｏｓｙ＝４，求Ｚ＝２ｓｉｎｘ＋
．
．
ｓｉｎ（２＋竺１
托【Ｈ —Ｊ，
６
４，
因为［＿，一争，
－－
ＩＺｓｉｎｘ＋ｃｏｓ：ａ，
ａ＜２由ｌｓｉｎ１『，Ｉｃ。ｓ１，，侍．［１１
一
４＜１
，
所以２＋等ｊＺ ∈ ［三，ｊ，＋０ ∈ ［＿ ‘ ＋０
＝
（ｓｉｎｘ－１）
一
，
ｌ７＋１一ｓｉｎＸ１６ｓｉｎＸ
Ｉ￣ｔ－ｌ＜ｓ＿ｉｎ
１，ｓｉｎｙ＝
ｎ，
＝
＋
Ｓｌｎ
１一ｓｉｎ ’
得一１ ≤ ＿ｓｉｎ＜ｌ，即一三＜ｓｉｎｘ＜一４
两边平方并整理，得３一４ｙ≤０，解之得０ ≤Ｙ，所以Ｙ＝，Ｙ。＝０．

高三数学第33课时三角函数的最值教案

课题：三角函数的最值教学目标：掌握三角函数最值的常见求法，能运用三角函数最值解决一些实际问题．教学重点：求三角函数的最值．（一）主要知识：求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：①sin y a x b =+，设s i n t x =化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]t ∈-上的最值求之； ②sin cos y a x b x c =++，引入辅助角(cos ,sin )ϕϕϕ==，化为)y x c ϕ=++求解方法同类型①；③2sin sin y a x b x c =++，设s i n t x =，化为二次函数2y at bt c =++在[1,1]t ∈-上的最值求之；④sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+，设s i nc o t x x =±化为二次函数2(1)2a t y bt c -=++±在闭区间[t ∈上的最值求之；⑤tan cot y a x b x =+，设tan t x =化为2at by t+=用∆法求值；当0ab >时，还可用平均值定理求最值； ⑥sin sin a x by c x d+=+根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”．（二）主要方法：①配方法；②化为一个角的三角函数；③数形结合法；④换元法；⑤基本不等式法；⑥导数法（三）典例分析：问题1．求函数的最大值和最小值：()1sin cos()6y x x π=+-； ()2(sin 2)(cos 2)y x x =--问题2．求下列各函数的最值：()1求函数213sin y θθ=+(0,)x π∈的最大值；()22sin sin y x x=+(0,)x π∈的最小值．()32cos (0)sin xy x xπ-=<<的最小值．问题3．()1（95全国文）函数cos cos 3y x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值是()2()()()3sin 105sin 70f x x x =+︒++︒的最大值是 .A 5.5 .B 6.5.C 7.D 8()3 ( 05全国Ⅰ文) 当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x xf x x++=的最小值为.A 2 .B .C 4 .D（四）课后作业：1.2cos y x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取得最大值时，x 的值是 .A 0.B 6π.C 3π.D 2π2.函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值3.已知sin sin αβ+=，则cos cos y αβ=+的最大值是4.当函数213sin cos 22y x a x a =+--的最大值为1时,求a 的值.（五）走向高考：5. (04全国)函数()1cos cos 22f x x x =-的最大值是6.已知1sin sin ,3x y +=求2sin cos y x -的最大值.7.（07全国Ⅱ）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =设内角B x =，周长为y ． ()1求函数()y f x =的解析式和定义域；()2求y 的最大值．8.(06重庆)设函数2()cos sin cos f x x x x aωωω=++ (其中0ω>,a R ∈),且()f x 的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为6x.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ上的最小值为3，求a 的值.9.（07湖北文）已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．（Ⅰ）求()f x 的最大值和最小值；（Ⅱ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．。

三角函数求最值教学设计

“三角函数求最值”复习教学设计高三数学组李伟一、教材分析：三角函数的最值（值域）是历年高考重点考查的内容之一，是对三角函数的概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数间的关系、两角和与差公式的综合考查，是函数最值的一个重要组成部分.它不仅与三角变换直接相关，而且与二次函数、解不等式等知识密切相关，是数形结合思想，函数和方程的思想的具体体现.由于三角函数的知识占了高一（下）教材一个大的章节，所以在中学数学中占有重要的地位和广泛的应用，而三角函数最值问题的求解又恰好是对其综合能力的运用.对高一学生来说是一个难点.要克服它，首先得要求学生将基本知识点掌握牢固，然后教师应求解三角函数最值的方法进行归纳整理，并引导学生综合运用所学过的知识，总结解题规律，提高分析问题的能力，培养其创新能力.二、教学目的：1．认知目标：正确理解三角函数的有关概念，掌握三角函数的基本概念、公式、图象及性质，并能综合运用这些概念，公式及性质解决实际问题.2．能力目标：在教学过程中，让学生学会运用数形结合思想、函数和方程的数学思想来分析解决数学问题；培养学生的观察能力、动手能力、创新能力和归纳能力.3．情感目标：通过例题的分析，方法的归纳，激发学生主动参与、主动探索的意识，使学生始终在动态过程中去感受知识、巩固知识、运用知识，提高40分钟的效率.三、重点、难点分析：1．教学重点：求三角函数的最大、最小值.2．教学难点：针对各题，会观察题中特点，正确运用相应方法求三角函数最值.四、课型及课时安排：高三复习课，2课时：第1课时.五、教学方法：综合启发教学，边教边让学生参与，学会对知识的归纳；强调教师为主导、学生为主体的互动原则，充分调动学生的积极性，发挥学生的主动性和创造性.六、学生情况分析：（1）高三学生对三角函数这部分知识比较熟悉.但学生对知识的前后联系，有效方法的选择，分析问题的内涵，综合运用知识的能力还很薄弱.（2）学生对知识的归纳整理能力比较欠缺，所以对三角函数最值的几个基本类型需要进行归纳和整理，以便学生能够更好的掌握.七、教学设想：为了讲清重点、突破难点，本节课准备充分调动学生积极参与.如何求三角函数最值问题是一综合性的知识.怎样将普遍性的方法熟练掌握，并导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题的解决，一个问题解决后，及时提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生思维步步引向深入，直至完成本节课的教学任务.总之，本节课的教学安排是让学生思维从问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态，并教会学习的方法要学会对一个知识点进行归纳.从一道练习的解决，通过学生的不同的方法给老师以很大的启迪，起到了“教学相长”效果.。

最全面三角函数值域的求法(教案)2021

y，【教学目标】三角函数值域地求法第二课时1. 会根据正、余弦函数地有界性与单调性求简单三角函数地最值与值域；2. 运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内地值域与最值。

3. 通过对最值问题地探索与解决，提高运算能力，增强分析问题与解决问题能力。

体现数学化归、转换、类比等重要地思想方法在解决三角最值问题中地作用。

【教学重点】求三角函数地最值与值域【教学难点】灵活选取不同地方法来求三角函数地最值与值域知识回顾求下列函数地值域1y sin x cos xx [ , ]2 y cosx sin x cos xx [0, ]积 -sin x 极+sin x向上问题：求函数地值域探索例自己 -sin x +cos x本 ? 方法（利用函数地有界性）身价解： y 值 sin x 可化为cosx， sin x y cosx 学 y 业即 y有成sin( x sin(x) y )y又 sin( x) 即 yyy4 74 7 y ，故所求函数地值域为：4 7 4 7 ，y方法（运用模型、数形结合）解析：函数地值域可看作求过点 P(,)地单位圆切线地斜率 k 地最大、最小值设切线 PA 地方程为： y-=k(x-)即： kx-y-k+=0设原点到切线地距离 d, 则d=即： d= k-即k8k 04- 7 k4 7k解得：故所求函数地值域为：4 7 47 ，求下列函数地值域例： y=sin x c os x cos x 例 : y cos x sin x 且 x解： -cos x 0cos x又sin x cos x 解： y cos xsin x 可化为cos xysin x sin x=sin x cos x 5cos x(sin x )4 cos x( cosx)积又 xcos x极 cos x( cos x)向上 - sin x(cos x)，探索即-y5又 - cosx<自 44己本故原函数地值域为 [y 4 - 5 , ] 身 4 4 价值例4: y=sinx+cosx+sinxcosx ，故原函数地值域为 [, 4]学解：设sin x 业有t成cos x=t 即t= sin( x) 4又 sin x cos x=t 可化为 +sin x cosx=t即sinx cos xtt原函数可化为 f (t)又 t(t ( t))ty原函数地值域为 [-,]2探思考题求函数 y=cos x+(-a)sinx地最大值小结:求三角函数地值域问题，主要有以下几种(1) y asin x bcos x 型，可用辅助角转化为y a b sin( x)(tan b) a(2) y asin x b ( y a cosx b )型， c sin x d c cosx d可用分离常数法或由 sin x （ cosx ）来解。

【公开课教学设计】必修4：三角函数的值域与最值

三角函数的值域与最值一、教材、学情分析本节课作为必修4第三章三角恒等变换的复习课．学生对三角函数值域有了初步的认识及应用，但缺乏系统性的认知．本节课通过列举几种常见的求三角函数值域类型，以帮助学生加深理解．二、教学目标1．掌握求解与三角函数有关的值域问题；2．理解并运用化归与转化思想；3．通过对最值问题的探索与解决，培养数学运算、逻辑推理能力．三、教学重、难点重点：求三角函数的最值与值域；难点：化归与转化思想的运用．四、教学过程（一）检测导入1. 求函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=32,6,sin ππx x y 的值域. 2. 若函数cos y a x b =+的最大值是1，最小值是7-，求a 、b .（二）问题导学问题一复合型三角函数例1 求函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=4,0),42sin(2ππx x y 的值域．变式函数[]2sin(2),0,4y x x πα=+∈的值域为2]，求α的取值范围．小结：问题二辅助角公式例2 求函数3sin cos y x x =+的最值．变式当6x π=时，函数sin cos y a x x =+取得最大值，则a = ．小结：问题三三角换元.例3 求函数2sin 2sin 3y x x =++的最值．变式求函数x x x x y cos sin cos sin ⋅++=的值域．小结：问题四分式型例4 求函数sin sin 2x y x =+的值域．变式求函数sin cos 2x y x =-的值域．小结：（三）课堂小结1．复合型三角函数2．辅助角公式3．三角换元4．分式型（四）课后作业1．求函数)cos 3)(sin 3(x x y ++=的值域.2．函数的最小值等于______． 3. 函数2()sin 2cos f x x x =+在区间2[,]3πθ-上的最大值为1，θ则的值是多少？4．函数的最大值为_______，最小值为________.以问题导学为主线贯穿整个教学设计，让学生在互动交流中思考并掌握问题的实质．在内容的安排上采用逐层递进的方式，一步步引领学生去发现内涵．同时为了让学生专注思考，在题型的设计上有意识避开繁杂运算过程，题干精要以达提高课堂效率的目的．另在每个问题的设置上采用了一题一得方式，及时地梳理了知识内涵及外延，让知识脉络更加清晰．))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππsin cos 2x y x =+。

三角函数中最值求法教案

三角函数中最值求法教案（一轮复习）一教学目标1知识与技能：正确掌握三角函数的有关公式；会将三角函数化简成标准形式；熟练掌握b wx a y ++=)sin(ϕ型最值求法；二次函数型()02≠++=a c bx ax y 最值求法。

2 过程与方法：引导学生整理，化简，求最值的过程，及能熟练地应用五点法画出正，余弦函数图象和二次函数图象。

3 情感态度与价值观：培养学生数形结合的思想，及解决实际问题的基本技能。

二教学重点和难点：怎样把复杂的函数化为b wx a y ++=)sin(ϕ型和c bx ax y ++=2的形式。

三教学工具：多媒体四教学过程复习引入：（基本知识复习）（1）几个诱导公式： =+）x 2sin(π ；=+)sin(x π ；=-)cos(x π ；=+)23cos(x π； =-)23c o s (x π ； )2sin(x -π= ；（2）两角和与差的正余弦公式：=±)s i n (βα ；=±)cos(βα ；=±)tan(βα ;（3）二倍角公式及半角降幂公式：=α2sin ; =α2cos = = ; =α2tan ； =2s i n 2x; =2cos 2x;题型（一）：形如b wx a y ++=)sin(ϕ型例1：已知函数1cos 2cos sin 32)(2-+=x x x x f )(R x ∈ ，求函数)(x f 在区间]2,0[π上的最大值和最小值。

分析：运用二倍角的正余弦公式将其变形为θθcos sin b a y +=形式，则提出22b a +把上式整理成b wx A y ++=)sin(ϕ的标准形式; 解题思路：由1cos 2cos sin 32)(2-+=x x x x f ，得)1cos 2()cos sin 2(3)(2-+=x x x x f)62s i n (22c o s 212s i n 23(22c o s 2s i n 3π+=+=+=x x x xx ）令 62π+=x t 即t y sin 2=， ]67,6[ππ∈t再观察t y sin =图象，)2,6(ππ上单调递增，)6,2(ππ上单调递减，所以最大值是2)2(=πf ；最小值是1)67(-=πf ；总结：本题主要考察二倍角，两角和的正余弦公式及同角三角函数的基本关系等基础知识，考察学生基本能力，此题一般思路先整理再化简成b wx a y ++=)sin(ϕ形式，再利用换元的思想解决出最值问题。

数学面试试讲真题《三角函数的最值》教案、教学设计

数学面试试讲真题《三角函数的最值》教案、教学设计一、教学目标
【知识与技能】
掌握三角函数的单调性以及三角函数值的取值范围。

【过程与方法】
经历三角函数的单调性的探索过程，提升逻辑推理能力。

【情感态度价值观】
在猜想计算的过程中，提高学习数学的兴趣。

二、教学重难点
【教学重点】
三角函数的单调性以及三角函数值的取值范围。

【教学难点】
探究三角函数的单调性以及三角函数值的取值范围过程。

三、教学过程
(一)引入新课
提出问题：如何研究三角函数的单调性?
(二)探索新知
(四)小结作业
提问：今天学习了什么?
引导学生回顾：基本不等式以及推导证明过程。

课后作业：
思考如何用三角函数单调性比较三角函数值的大小。

四、板书设计。

高考数学一轮复习教案第29课三角函数的最值问题

一、教学目标1．会通过三角恒等变形，将函数关系式化为一个角的一种三角函数形式（即()sin()f x A x B ωϕ=++），然后借助于三角函数的图像和性质，求三角函数的最值和值域；2．能利用换元、求导、数形结合等方法求三角函数的最值和值域。

二、基础知识回顾与梳理1、函数()sin ,[,]63f x x x ππ=∈的值域为【教学建议】本题主要是帮助学生回顾三角函数的图像和性质，并进一步让学生知道连续函数的最大值和最小值不一定在端点处取得！2、函数2()3sin(2)3f x x π=-的最大值是，此时x 的值为。

【教学建议】本题选自必修四第44页习题1.3第四题，主要是复习三角函数的最值、周期性，有了第1题的铺垫，不妨令23t x π=-，则转化为()3sin f t t =的最值问题，故问题迎刃而解。

3、函数()sin cos f x a x b x =+（,a b 均为正数）的最大值是【教学建议】本题选自必修四第99页习题3.1第13题，是求三角函数最值（或值域）问题中的一种基本模型。

处理方法：引入辅助角ϕ，化为())f x x ϕ=+,利用函数|sin()|1x ϕ+≤即可求解。

形如22()sin sin cos cos f x a x b x x m x n =+++型亦可以化为此类。

4、函数()sin cos 2f x x x =+的值域是。

【教学建议】如何化简原函数？方向是什么？减少角的个数，将2x x →，得到2()2sin sin 1f x x x =-++ 再换元得2()21f t t t =-++，强调[1,1]t ∈-，结合二次函数的图像求解。

三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成，并将解题过程扼要地写在学习笔记栏。

教师通过课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。

教师课上作适当点评，点评要精要，准确把握重、难点，揭示其中所蕴含的数学方法、思想，给学生以启迪、思考和指导。