操作型问题选
2022学年中考数学操作型问题冲刺专题训练【含答案】
2022学年中考数学操作型问题冲刺专题训练一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．如图，直线m，n相交于O，所夹的锐角是53°，点P，Q分别是直线m，n上的点，将直线m，n按照下面的程序操作，能使两直线平行的是A．将直线m以点O为中心，顺时针旋转53°B．将直线n以点Q为中心，顺时针旋转53°C．将直线m以点P为中心，顺时针旋转53°D．将直线m以点P为中心，顺时针旋转127°2．在6×6方格中，将图①中的图形N平移后位置如图②所示，则图形N的平移方法中，正确的是图①图②A．向下移动1格B．向上移动1格C．向上移动2格D．向下移动2格3．把一张长方形纸片按如图①，图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（）A．B．C．D．4．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.OA OB O O C这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）OC CD DE ==D E 75BDE ∠=︒CDE ∠A ．60°B ．65°C ．75°D ．80°5．如图，的斜边在轴上，角的顶点与原点重合，直角顶点在第二象限，Rt OCB ∆y OC 30︒C 将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是（ ）Rt OCB ∆120︒'OC B ∆'B B ′A ．B ．C ．D ．1)-(1,(2,0)6．用一条直线m 将如图1的直角铁皮分成面积相等的两部分．图2、图3分别是甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是A ．甲正确，乙不正确B ．甲不正确，乙正确C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都不正确7．将一条宽度为的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为，重叠部分为（图中阴影部分），2cm AB ABC ∆若，则重叠部分的面积为（ ）45ACB ∠=︒A ．B ．C ．D ．2224cm 28．如图，一张三角形纸片ABC ，其中∠C =90°，AC =4，BC =3．现小林将纸片做三次折叠：第一次使点A落在C处；将纸片展平做第二次折叠，使点B落在C处；再将纸片展平做第三次折叠，使点A落在B 处．这三次折叠的折痕长依次记为a，b，c，则a，b，c的大小关系是A．c>a>b B．b>a>c C．c>b>a D．b>c>a二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9．如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转角为__________．10．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是__________．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，cos B=0.6，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A'B'C，其中点B'正好落在AB上，A'B'与AC相交于点D，那么B′D∶CD=__________．12．已知：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、AC上，将△AMN沿直线MN折叠，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上，当△PNC 为直角三角形时，PN 的长为__________．三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．如图，是的角平分线．AD ABC △（1）作线段的垂直平分线，分别交、于点、；（用直尺和圆规作图，标明字母，AD EF AB AC E F 保留作图痕迹，不写作法．）（2）连接、，四边形是________形．（直接写出答案）DE DF AEDF 14．按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.（1）如图1，A 为圆E 上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：①如图2，在□ABCD 中，E 为CD 的中点，作BC 的中点F;②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC 的高AH15．如图，点，分别在正方形的边，上，且，点在射线上（点E F ABCD CD BC DE CF =P BC 不与点重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，垂足为P F EP E 90︒EG E GD QH点，交射线于点．H BC Q（1）如图1，若点是的中点，点在线段上，线段，，的数量关系为 ．E CD P BF BP QC EC （2）如图2，若点不是的中点，点在线段上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，E CD P BF 请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）正方形的边长为6，，，请直接写出线段的长．ABCD 3AB DE =1QC =BP2022学年中考数学操作型问题冲刺专题训练一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．如图，直线m，n相交于O，所夹的锐角是53°，点P，Q分别是直线m，n上的点，将直线m，n按照下面的程序操作，能使两直线平行的是A．将直线m以点O为中心，顺时针旋转53°B．将直线n以点Q为中心，顺时针旋转53°C．将直线m以点P为中心，顺时针旋转53°D．将直线m以点P为中心，顺时针旋转127°【答案】C【解析】将直线m以点O为中心，顺时针旋转53°，有交点不平行，故错误；将直线n以点Q为中心，顺时针旋转53°，有交点不平行，故错误；将直线m以点P为中心，顺时针旋转53°，平行，正确；将直线m以点P为中心，顺时针旋转127°，同位角不相等不平行，故错误，故选C．2．在6×6方格中，将图①中的图形N平移后位置如图②所示，则图形N的平移方法中，正确的是图①图②A．向下移动1格B．向上移动1格C．向上移动2格D．向下移动2格【答案】D【解析】由图可知，图①中的图形N 向下移动2格后得到图②。
例说高考数学中的“操作型”问题
NM N 1 D 1B 1 BD AC O A 1 C 1M 1 例说高考数学中的“操作型”问题江苏省姜堰中学 张圣官（225500）新一轮课程改革的重点之一是如何促进学生学习方式的变革。
新的数学课程标准倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手。
在做（实验）中学习数学（简称“做数学”）已经逐渐成为一种新的教学理念顺应着时代发展的步伐，是鼓励学生积极参与数学活动的一种有效的数学学习方式。
而近年来高考数学中出现的“操作型”问题，以新颖的视角诠释着新课标、新理念，成为具有一定深度和明确导向的创新题型，使高考试题充满了活力。
例1（2005年上海春季高考数学试题）(1)求右焦点坐标是（2，0），且经过点（-2，2-）的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C 的方程是)0(12222>>=+b a b y a x ，设斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，AB 的中点为M ，证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上； （3）利用（2）所揭示的椭圆的几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心。
解析：（1）所求椭圆的标准方程为14822=+y x （过程略）； （2）设直线l 的方程为y=kx+m ，与椭圆C 的交点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，（图1）则有⎩⎨⎧=++=12222b y a xm kx y ，解得02)(22222222=-+++b a m a kmx a x k a b ∵0>∆，∴2222k a b m +< ，即222222k a b m k a b +<<+-则2222221k a b kma x x +-=+ ，2222221212)(k a b m b m x x k y y +=++=+ ，∴AB 中点M 的坐标为（2222k a b km a +-，2222k a b mb +）， 易知当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线022=+ky a x b 上。
2021中考数学冲刺专题训练操作型问题含解析
操作型问题一、选择题（本大题共8个小题.每小题5分.共40分．在每小题给出的四个选项中.只有一个选项是符合题目要求的）1．如图.直线m.n相交于O.所夹的锐角是53°.点P.Q分别是直线m.n上的点.将直线m.n按照下面的程序操作.能使两直线平行的是A．将直线m以点O为中心.顺时针旋转53°B．将直线n以点Q为中心.顺时针旋转53°C．将直线m以点P为中心.顺时针旋转53°D．将直线m以点P为中心.顺时针旋转127°【答案】C【解析】将直线m以点O为中心.顺时针旋转53°.有交点不平行.故错误；将直线n以点Q为中心.顺时针旋转53°.有交点不平行.故错误；将直线m以点P为中心.顺时针旋转53°.平行.正确；将直线m以点P为中心.顺时针旋转127°.同位角不相等不平行.故错误.故选C．2．在6×6方格中.将图①中的图形N平移后位置如图②所示.则图形N的平移方法中.正确的是图①图②A．向下移动1格B．向上移动1格C．向上移动2格D．向下移动2格【答案】D【解析】由图可知.图①中的图形N向下移动2格后得到图②。
故选D。
3．把一张长方形纸片按如图①.图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③.再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔.则重新展开后得到的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】 重新展开后得到的图形是C.故选C ．4． “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA .OB 组成.两根棒在O 点相连并可绕O 转动.C 点固定.OC CD DE ==.点D .E 可在槽中滑动.若75BDE ∠=︒.则CDE ∠的度数是（ ）A ．60°B ．65°C ．75°D ．80°【答案】D【解析】∵OC CD DE ==. ∴O ODC ∠=∠.DCE DEC ∠=∠.设O ODC x ∠=∠=.∴2DCE DEC x ∠=∠=.∴180CDE DCE DEC ∠=︒-∠-∠1804x =︒-.∵75BDE ∠=︒.∴180ODC CDE BDE ∠+∠+∠=︒.即180475180x x +-+=︒︒︒.解得：25x =︒.180480CDE x ︒∠=-=︒.故答案为：D.5．如图.Rt OCB ∆的斜边在y 轴上.3OC ＝.含30︒角的顶点与原点重合.直角顶点C 在第二象限.将Rt OCB ∆绕原点顺时针旋转120︒后得到'OC B ∆'.则B 点的对应点B ′的坐标是（ ）A ．(3,1)-B ．(1,3)-C ．(2,0)D ．(3,0)【答案】A【解析】如图.在Rt OCB ∆中.30BOC ∠=︒.333133BC OC ∴==⨯=. Rt OCB ∆绕原点顺时针旋转120︒后得到'OC B ∆'.3,1,90OC OC B C BC B C O BCO ∴====''''∠'=∠=︒.∴点B ′的坐标为(3,1)-．故选：A ．6．用一条直线m 将如图1的直角铁皮分成面积相等的两部分．图2、图3分别是甲、乙两同学给出的作法.对于两人的作法判断正确的是A ．甲正确.乙不正确B ．甲不正确.乙正确C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都不正确【答案】C 【解析】如图2中.直线m 经过了大长方形和小长方形的对角线的交点.所以两旁的图形的面积都是大长方形和小长方形面积的一半.所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分.即甲做法正确；图形3中.经过大正方形和图形外不添补的长方形的对角线的交点.直线两旁的面积都是大正方形面积的一半减去添补的长方形面积的一半.所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分.即乙做法正确．故选C ．7．将一条宽度为2cm 的彩带按如图所示的方法折叠.折痕为AB .重叠部分为ABC ∆（图中阴影部分）.若45ACB ∠=︒.则重叠部分的面积为（ ）A ．222cmB ．223cmC ．24cmD ．242cm【答案】A【解析】解：如图.过B 作BD AC ⊥于D .则90BDC ∠=︒.∵45ACB ∠=︒.∴45CBD ∠=︒.∴2BD CD cm ==.∴Rt BCD ∆中.)222222BC cm =+=. ∴重叠部分的面积为)1222222cm ⨯=. 故选：A.8．如图.一张三角形纸片ABC.其中∠C=90°.AC=4.BC=3．现小林将纸片做三次折叠：第一次使点A落在C 处；将纸片展平做第二次折叠.使点B落在C处；再将纸片展平做第三次折叠.使点A落在B处．这三次折叠的折痕长依次记为a.b.c.则a.b.c的大小关系是A．c>a>b B．b>a>c C．c>b>a D．b>c>a【答案】D【解析】第一次折叠如图1.折痕为DE.由折叠的性质得：AE=EC=12AC=2.DE⊥AC.∵∠ACB=90°.∴DE∥BC.∴a=DE=12BC=12×3=32．第二次折叠如图2.折痕为MN.由折叠的性质得：BN=NC=12BC=12×3=32.MN⊥BC.∵∠ACB=90°.∴MN∥AC.∴b=MN=12AC=12×4=2．第三次折叠如图3.折痕为GH.由勾股定理得：AB2234+=5.由折叠的性质得：G=BG=12AB=12×5=52. GH⊥AB.∴∠AGH=90°.∵∠A=∠A.∠AGH=∠ACB．∴△AGH∽△ACB.∴AG GHAC CB=.∴5243c=.∴158c=．∴b c a>>.故选D．二、填空题（本大题共4个小题.每小题6分.共24分）9．如图.点A、B、C、D都在方格纸的格点上.若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置.则旋转角为__________．【答案】90°【解析】∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置.∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角.∴旋转的角度为90°．故答案为：90°．10．如图.在边长为1的小正方形组成的网格中.建立平面直角坐标系.△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心.画△A1B1C1.使它与△ABC的相似比为2.则点B的对应点B1的坐标是__________．【答案】（4.2）或（4-.2-）【解析】符合题意与△ABC相似.且相似比为2的三角形有2个.如图所示.△A1B1C1和△A′B′C′均与△ABC 的相似比为2.点B的对应点B1的坐标是：（4.2）.点B的对应点B′的坐标是：（4-.2-）.故答案为：（4.2）或（4-.2-）．11．在Rt△ABC中.∠C=90°.cos B=0.6.把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A'B'C.其中点B'正好落在AB上.A'B'与AC相交于点D.那么B′D∶CD=__________．【答案】0.35【解析】作CH⊥AB于H.先在Rt△ABC中.根据余弦的定义得到cos B=BCAB=0.6=35.设BC=3x.则AB=4x.再根据勾股定理计算出AC=4x.在Rt△HBC中.根据余弦的定义可计算出BH=95 x.接着根据旋转的性质得CA′=CA=4x.CB′=CB.∠A′=∠A.所以根据等腰三角形的性质有B′H=BH=95x.则AB′=75x.然后证明△ADB′∽△A′DC.再利用相似比可计算出B′D与DC的比值720=0.35.故答案为：0.35．12．已知：Rt△ABC中.∠B=90°.AB=4.BC=3.点M、N分别在边AB、AC上.将△AMN沿直线MN折叠.点A落在点P处.且点P在射线CB上.当△PNC为直角三角形时.PN的长为__________．【答案】209或207【解析】在Rt△ABC中.∠ABC=90°.AB=3.BC=4. ∴22345AC=+=.设AN=PN=x.则CN=5=x.①当∠NPC=90°时.如图1.∵∠NPC=∠B=90°.∠C=∠C. ∴△NPC∽△ABC.∴PN CNAB AC=.∴545x x-=.209x=.即209PN=．②当∠PNC=90°时.如图2.∵∠PNC=∠ABC=90°.∠C=∠C.∴△NPC∽△ABC.∴PN NCAB AC=.∴543x x-=.207x=.即207PN=．综上.PN的长为209或207.故答案为：209或207．三、解答题（本大题共3个小题.每小题12分.共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．如图.AD是ABC△的角平分线．（1）作线段AD的垂直平分线EF.分别交AB、AC于点E、F；（用直尺和圆规作图.标明字母.保留作图痕迹.不写作法．）（2）连接DE、DF.四边形AEDF是________形．（直接写出答案）【答案】（1）见解析；（2）菱形.【解析】（1）如图.直线EF即为所求作的垂直平分线．△的角平分线.且EF是AD的垂直平分线.可知四边形AEDF的对角线互相垂直.（2）根据AD是ABC因此为菱形.14．按要求作图.不要求写作法.但要保留作图痕迹.（1）如图1.A为圆E上一点.请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；（2）我们知道.三角形具有性质.三边的垂直平分线相交于同一点.三条角平分线相交于一点.三条中线相交于一点.事实上.三角形还具有性质：三条高交于同一点.请运用上述性质.只用直尺（不带刻度）作图：①如图2.在□ABCD中.E为CD的中点.作BC的中点F;②图3.在由小正方形组成的网格中.的顶点都在小正方形的顶点上.作△ABC的高AH【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析.【解析】(1)如图所示.四边形ABCD即为所求；(2)①如图所示.点F即为所求；②如图所示.AH 即为所求.15．如图.点E .F 分别在正方形ABCD 的边CD .BC 上.且DE CF =.点P 在射线BC 上（点P 不与点F 重合）．将线段EP 绕点E 顺时针旋转90︒得到线段EG .过点E 作GD 的垂线QH .垂足为点H .交射线BC 于点Q ．（1）如图1.若点E 是CD 的中点.点P 在线段BF 上.线段BP .QC .EC 的数量关系为 ．（2）如图2.若点E 不是CD 的中点.点P 在线段BF 上.判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立.请写出证明过程；若不成立.请说明理由．（3）正方形ABCD 的边长为6.3AB DE =.1QC =.请直接写出线段BP 的长．【答案】（1）BP QC EC +=；理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立.理由见解析；（3）线段BP 的长为3或5．【解析】（1）BP QC EC +=；理由如下：四边形ABCD 是正方形.BC CD ∴=.90BCD ∠=︒.由旋转的性质得：90PEG ∠=︒.EG EP =.90PEQ GEH ∴∠+∠=︒.QH GD ⊥.90H ∴∠=︒.90G GEH ∠+∠=︒.PEQ G ∴∠=∠.又90EPQ PEC ∠+∠=︒.90PEC GED ∠+∠=︒.EPQ GED ∴∠=∠.在PEQ ∆和EGD ∆中.EPQ GED EP EGPEQ G ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩.()PEQ EGD ASA ∴∆≅∆.PQ ED ∴=. BP QC BC PQ CD ED EC ∴+=-=-=.即BP QC EC +=； 故答案为：BP QC EC +=；（2）（1）中的结论仍然成立.理由如下：由题意得：90PEG ∠=︒.EG EP =.90PEQ GEH ∴∠+∠=︒.QH GD ⊥.90H ∴∠=︒.90G GEH ∠+∠=︒.PEQ G ∴∠=∠.四边形ABCD 是正方形.90DCB ∴∠=︒.BC DC =.90EPQ PEC ∴∠+∠=︒.90PEC GED ∠+∠=︒.GED EPQ ∴∠=∠.在PEQ ∆和EGD ∆中.EPQ GED EP EGPEQ G ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩.()PEQ EGD ASA ∴∆≅∆.PQ ED ∴=.BP QC BC PQ CD ED EC ∴+=-=-=.即BP QC EC +=；（3）分两种情况：①当点P 在线段BF 上时.点Q 在线段BC 上.由（2）可知：BP EC QC =-.36AB DE ==.2DE ∴=.4EC =.413BP ∴=-=；②当点P 在射线FC 上时.点Q 在线段BC 的延长线上.如图3所示： 同（2）可得：()PEQ EGD AAS ∆≅∆.PQ ED ∴=.BC DC =.DC EC DE =+.BP BC PC DC PC EC DE PC EC PQ PC EC QC ∴=+=+=++=++=+. 145BP QC EC ∴=+=+=；综上所述.线段BP 的长为3或5．。
操作设计型问题(含解析)
2012年中考数学二轮复习考点解密操作设计型问题第一部分讲解部分一．专题诠释操作设计型中考题是指与设计几何图案有关的问题，它把代数计算与几何作图融为一体，新颖独特，是中考试卷中一道亮丽的风景．这类问题格调清新，不但有利于考查学生的识图能力、计算能力、动手操作能力和空间想象能力，而且能够充分体现义务教育阶段《数学课程标准（修订稿）》倡导的“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的”新课程理念．二．解题策略和解法精讲平移、轴对称、旋转、位似等图形变换知识是解决图案设计型问题的重要理论工具．因此，要想圆满地解答这类问题，必须要掌握几种图形变换的相关知识。
解决图案设计类问题，关键是要学会自觉地运用平移、轴对称、旋转、位似等图形变换知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，使实际问题转化为我们熟悉的数学问题，从而达到问题的解决．三．考点精讲纵览2011年全国各地中考题，图案设计型问题主要是通过两种形式来表现的，一是给出设计好的图案，让考生指出图案的特征或求出图案的性质；二是让考生利用图形的变换知识设计出和谐、丰富、美观的几何图形．考点一：辨别图案的对称类型这类中考题，给出设计好的图案，让考生辨别它是平移变换图形、轴对称图形、中心对称图形和位似变换图形中的哪一种图形或哪几种图形．这类题通常以选择题的形式出现，属于基础题．例1 （2011·浙江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）.解读：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，图案1是轴对称图形，但不是中心对称图形；图案2和图案3是中心对称图形，不是轴对称图形；图案4是轴对称图形，又是中心对称图形．因此本题选择D ．【评析】这道中考题取材于现实生活中的图案，这一极富现实情景的几何图形，对学生来说并不陌生，但他们能否有一双慧眼来发现生活中的数学问题，是解决问题的关键．因此，教师的教案应该密切联系蕴涵丰富数学思想的现实生活，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力．考点二：判断图案变换后的位置这类中考题，题面提供一个图案，给出变换的条件，要求考生根据心智操作活动来变换图案，并判断出图案的最终位置．这类题在中考试卷中通常是以选择题和填空题的形式出现，属于中等题．例 2 (2011·内蒙古乌兰察布)将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）A ．6B ．5C ．3D ．2解读：根据骰子的变换规则，骰子每次变换后朝上一面的点数的变化是这样的：3（开始）→ 5→ 6→ 3→ 5→ 6→ 3 ……这就是说，连续变换3次后，朝上一面的点数就会重复出现，而13310⋅⋅⋅⋅⋅⋅=÷，所以10次变换后骰子朝上一面的点数是5．【评析】这道中考题设计新颖、独特，以骰子的翻转、旋转为载体，将变换的规律（三次变换为一周期）蕴含其中．当然学生在解答问题时，不可能在考场上实际操作实物来完成，只能通过心智操作活动来进行图形的变换操作，从中发现规律，得出结论．本题考查了学生的阅读理解能力和空间想象能力，具有很强的探索性和创造性，能较好地激发学生的探究欲望．这道新颖而不怪癖的中考题，为我们编制试卷提供了一种切实可行的方案．考点三：探求设计的图案性质这一类中考题，通常是先描述一个图案的设计过程，然后让我们根据图案的设计过程来探求它蕴涵的数学性质．这类试卷一般难度不太大，但具有一定的综合性，属于中等难度图1 图2题．例3 （2011·山东聊城）将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC ＝∠B ′A ′C ＝30°）按图①方式放置，固定三角板A ′B ′C ，然后将三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB 与A ′C 交于点E ，AC 与A ′B ′交于点F ，AB 与A ′B ′相交于点O ．（1）求证：△BCE ≌△B ′CF ；（2）当旋转角等于30°时，AB 与A ′B ′垂直吗？请说明理由．解读：（1）因∠B ＝∠B /，BC ＝B /C ，∠BCE ＝∠B /CF ，所以△BCE ≌△B ′CF ； （2）AB 与A ′B ′垂直，理由如下：旋转角等于30°，即∠ECF ＝30°，所以∠FCB /＝60°，又∠B ＝∠B /＝60°，根据四边形的内角和可知∠BOB /的度数为360°－60°－60°－150°＝90°，所以AB 与A ′B ′垂直。
第18讲 操作类问题
【边学边练】用10 条直线，最多能把长 方形分成几块？
【例6 】一个长方体木块，锯去一个角，还剩几个角？ 思路点拨：找到规律，全面考虑问题。注意沿着棱切 就会新增角。
8-1+3=10（个）
8-1+2=9（个）
8-1+1=8（个）
8-1=7（个）
第十八讲 操作类问题
操作题是开放性习题，一般没有固定的解题 模式，对于同学们来说有一定的难度，需要 多动手（实际操作或画示意图）、多思考， 积累一定的解题经验。
【例1】有6 个杯子放成一排，前三个杯子中盛 了一些水，而后三个杯子是空的，要使得盛水的 杯子和空杯子相互交叉排成一排。 （1）最少要移动几个杯子？ （2）最少要动几个杯子？
思路点拨： “移动”和“动”有什么区别呢？同学们自己 想想。然后从结果出发考虑，要使盛水的与空 杯子交叉，那么2 号杯子与5 号杯子的位置就 不对。那么方法就出来啦。 （1）2 号与5 号交换 （2）将2 号杯子的水倒入5 号杯子
【边学边练】下图中有3 行棋子，至少移动 几次，使每行棋子数相同？ A ○○○○○○○○○○○ B ○○○○○○○ C ○○○○○○
【边学边练】把一根线绳对折，对折， 再三折，然后把折后的绳子平均剪成3 段，即剪2 刀，这个线绳被剪成了多少 段？
剪绳子总结： 圈绳剪1 刀：有几层就几段 圈绳剪几刀：段数=层数×刀数
线绳剪1 刀：段数=层数+1 线绳剪几刀：段数=层数×刀数+1
【例4 】平面内的5 条直线最多有多少交点？
思路点拨： 每条直线都与之前的直线逐条相交（交点不要重复） 找规律：直线 新增交点 共计交点 1条 0 0 2条 1 1 3条 2 1+2 4条 3 1+2+3 5条 4 1+2+3+4=10 规律： n 条 n-1 1+2+3+……+（n-1）= n（n-1）÷2
中考数学试题汇编专题13操作性问题含解析
专题13 操作性问题一、选择题1．（2020年贵州省毕节地区第11题）把直线y=2x﹣1向左平移1个单位，平移后直线的关系式为（）A．y=2x﹣2 B．y=2x+1 C．y=2x D．y=2x+2【答案】B.考点：一次函数图象与几何变换2．（2020年贵州省毕节地区第14题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（）A．△AEE′是等腰直角三角形B．AF垂直平分EE'C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F是等腰三角形【答案】D.【解析】试题分析：因为将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，∴AE′=AE，∠E′AE=90°，∴△AEE′是等腰直角三角形，故A正确；∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，∴∠E′AD=∠BAE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠E′AD+∠FAD=45°，∴∠E′AF=∠EAF，∵AE′=AE，∴AF垂直平分EE'，故B正确；∵AF⊥E′E，∠ADF=90°，∴∠FE′E+∠AFD=∠AFD+∠DAF，∴∠FE′E=∠DAF，∴△E′EC∽△AFD，故C正确；∵AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAE′，∴△AE′F不一定是等腰三角形，故D错误；故选D．考点：旋转的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性质；相似三角形的判定．3．（2020年湖北省十堰市第8题）如图，已知圆柱的底面直径BC=6π，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（）A．32B．35C．65D．62【答案】D.【解析】考点：最短路径问题4.（2020年湖北省宜昌市第8题）如图，在AEF∆中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧相交于,G H两点，作直线GH，交EF于点O,连接AO，则下列结论正确的是（）A．AO平分EAFB．AO垂直平分EFC. GH垂直平分EF D．GH平分AF【答案】C考点：1、作图—基本作图；2、线段垂直平分线的性质5．（2020年山东省东营市第7题）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=8，AB=5，则AE的长为（）A．5 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】考点：1、作图﹣基本作图，2、平行四边形的性质，3、勾股定理，4、平行线的性质6. （2020年山东省潍坊市第5题）用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于（）之间.A.B与CB.C与D C、E与F D、A与B【答案】A【解析】试题分析：在计算器上依次按键转化为算式为﹣2=-1.414…；计算可得结果介于﹣2与﹣1之间．故选：A．考点：1、计算器—数的开方；2、实数与数轴二、填空题1. （2020年湖北省荆州市第17题）如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上.请在这个网格中作线段AB的垂直平分线. 要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留必要的作图痕迹.【答案】图形见解析【解析】试题分析：以AB为边作正方形A BCD，正方形ABEF，连接AC，BD交于O，连接AE，BF交于O′，过O，O′作直线OO′于是得到直线OO′．考点：1、作图—应用与设计作图；2、段垂直平分线的性质2. （2020年湖北省荆州市第18题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在轴的负半轴、轴的正半轴上，点B在第二象限.将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y=kx（x＜0）的图象交AB于点N，的图象交AB于点N, S矩形OABC=32，tan∠DOE=12,,则BN的长为______________.【答案】3考点：1、坐标与图形变化﹣旋转；2、反比例函数系数k的几何意义；3、解直角三角形3．（2020年江西省第10题）如图，正三棱柱的底面周长为9，截去一个底面周长为3的正三棱柱，所得几何体的俯视图的周长是．【答案】8考点：1、简单组合体的三视图；2、截一个几何体三、解答题1．（2020年江西省第16题）如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（1）在图1中，画出一个以AB 为边的平行四边形； （2）在图2中，画出一个以AF 为边的菱形． 【答案】作图见解析 【解析】试题分析：（1）连接AF 、BE 、CG ，CG 交AF 于M ，交BE 于N ．四边形ABNM 是平行四边形． （2）连接AF 、BE 、CG ，CG 交AF 于M ，交BE 于N ，连接DF 交BE 于H ，四边形MNHF 是菱形 试题解析：（1）连接AF 、BE 、CG ，CG 交AF 于M ，交BE 于N ．四边形ABNM 是平行四边形． （2）连接AF 、BE 、CG ，CG 交AF 于M ，交BE 于N ，连接DF 交BE 于H ，四边形MNHF 是菱形．考点：1、作图—复杂作图；2、平行四边形的性质；3、菱形的性质2. （2020年内蒙古通辽市第25题）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……依次类推，若第n 次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n 阶准菱形，如图1，□ABCD 为1阶准菱形. （1）猜想与计算邻边长分别为3和5的平行四边形是 阶准菱形；已知□ABCD 的邻边长分别为b a ,（b a >），满足r b a +=8，r b 5=，请写出□ABCD 是 阶准菱形. （2）操作与推理小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把□ABCD 沿BE 折叠（点E 在AD 上），使点A 落在BC 边上的点F 处，得到四边形ABEF .请证明四边形ABEF 是菱形.【答案】（1）3，12（2）证明见解析试题解析：（1）如图1，利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形：如图2，∵b=5r，∴a=8b+r=40r+r=8×5r+r，利用邻边长分别为41r和5r的平行四边形进行8+4=12次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为41r和5r的平行四边形是12阶准菱形：故答案为：3，12考点：四边形综合题3. （2020年贵州省六盘水市第22题）如图，在边长为1的正方形网格中，ABC △的顶点均在格点上. (1)画出ABC △关于原点成中心对称的'''A B C △，并直接写出'''A B C △各顶点的坐标. (2)求点B 旋转到点'B 的路径(结果保留).【答案】(1) )31()33()04(，，，，，C B A ''' ;(2) 32π. 【解析】考点：坐标与图形变化-旋转（中心对称）；弧线长计算公式．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP，作射线PD，使∠APD=60°，PD交AC于点D，已知AB=a，设CD=y，BP=x，则y与x函数关系的大致图象是（）A． B．C．D．【答案】C【解析】根据等边三角形的性质可得出∠B=∠C=60°，由等角的补角相等可得出∠BAP=∠CPD，进而即可证出△ABP∽△PCD，根据相似三角形的性质即可得出y=- 1ax2+x，对照四个选项即可得出．【详解】∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AB=a，PC=a-x．∵∠APD=60°，∠B=60°，∴∠BAP+∠APB=120°，∠APB+∠CPD=120°，∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD，∴CD PCBP AB=,即y a xx a-=，∴y=- 1ax2+x.故选C. 【点睛】考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出y=-1ax2+x是解题的关键．2．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（）A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800xC．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x【答案】C【解析】试题分析：此题等量关系为：2×螺钉总数=螺母总数.据此设未知数列出方程即可【详解】.故选C.解：设安排x名工人生产螺钉，则（26-x）人生产螺母，由题意得1000（26-x）=2×800x，故C答案正确，考点：一元一次方程.32的值应该在（）A．﹣1﹣0之间B．0﹣1之间C．1﹣2之间D．2﹣3之间【答案】A【详解】解：∵12，∴1-22＜2-2，∴-12＜0在-1和0之间．故选A．【点睛】4．A、B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A、B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为A．1801801(150%)x x-=+B．1801801(150%)x x-=+C．1801801(150%)x x-=-D．1801801(150%)x x-=-【答案】A【解析】直接利用在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h，利用时间差值得出等式即可．【详解】解：设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为：180 x ﹣180150%x+（）=1．故选A．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题的关键．5．如图，△ABC 在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC 的面积为10，且sinA ＝55，那么点C 的位置可以在（ ）A ．点C 1处B ．点C 2处 C ．点C 3处D ．点C 4处【答案】D【解析】如图：∵AB=5,10ABC S =△, ∴D 4C =4, ∵5sin 5A =, ∴545DC AC AC ==,∴AC=45, ∵在RT △AD 4C 中，D 44C =,AD=8, ∴A 4C =228445+=,故答案为D.6．把边长相等的正六边形ABCDEF 和正五边形GHCDL 的CD 边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG 交AF 于点P ，则∠APG ＝（ ）A ．141°B ．144°C ．147°D ．150°【答案】B 【解析】先根据多边形的内角和公式分别求得正六边形和正五边形的每一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式求得∠APG 的度数．【详解】(6﹣2)×180°÷6＝120°，(5﹣2)×180°÷5＝108°，∠APG ＝(6﹣2)×180°﹣120°×3﹣108°×2 ＝720°﹣360°﹣216°＝144°，故选B．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形内角和定理：(n﹣2)•180 (n≥3)且n为整数)．7．将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于（）A．75°B．90°C．105°D．115°【答案】C【解析】分析：依据AB∥EF，即可得∠BDE=∠E=45°，再根据∠A=30°，可得∠B=60°，利用三角形外角性质，即可得到∠1=∠BDE+∠B=105°．详解：∵AB∥EF，∴∠BDE=∠E=45°，又∵∠A=30°，∴∠B=60°，∴∠1=∠BDE+∠B=45°+60°=105°，故选C．点睛：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．8．下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是A．8a2b=2a·4ab B．-ab3-2ab2-ab=-ab(b2+2b)C．4x2+8x-4=4x12-xx⎛⎫+⎪⎝⎭D．4my-2=2(2my-1)【答案】D【解析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．9．已知电流I（安培）、电压U（伏特）、电阻R（欧姆）之间的关系为UIR=，当电压为定值时，I关于R的函数图象是（）A．B． C．D．【答案】C【解析】根据反比例函数的图像性质进行判断．【详解】解：∵UIR=，电压为定值，∴I关于R的函数是反比例函数，且图象在第一象限，故选C．【点睛】本题考查反比例函数的图像，掌握图像性质是解题关键．10．如图，扇形AOB中，OA=2，C为弧AB上的一点，连接AC，BC，如果四边形AOBC为菱形，则图中阴影部分的面积为（）A．233π-B．2233π-C．433π-D．4233π-【答案】D【解析】连接OC，过点A作AD⊥CD于点D，四边形AOBC是菱形可知OA=AC=2，再由OA=OC可知△AOC是等边三角形，可得∠AOC=∠BOC=60°，故△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形，再根据锐角三角函数的定义得出AD=OA•sin60°=2×32=3，因此可求得S阴影=S扇形AOB﹣2S△AOC=21202360π⨯﹣2×12×2×3=43π﹣23．故选D．点睛：本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为_____．【答案】32或34【解析】试题分析：如图4所示；点E与点C′重合时．在Rt△ABC中，BC=22AB AC-=4．由翻折的性质可知；AE=AC=3、DC=DE．则EB=2．设DC=ED=x，则BD=4﹣x．在Rt△DBE中，DE2+BE2=DB2，即x2+22=（4﹣x）2．解得：x=32．∴DE=32．如图2所示：∠EDB=90时．由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°．∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°，∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC=AC′，∴四边形ACDC′为正方形．∴CD=AC=3．∴DB=BC﹣DC=4﹣3=4．∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA．∴14 DE DBAC CB==，即134ED=．解得：DE=34．点D在CB上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．考点：翻折变换（折叠问题）．12．化简：2222-2-2+1-121x x xx x x x-÷-+=_____.【答案】1 x【解析】先算除法，再算减法，注意把分式的分子分母分解因式【详解】原式=2 22(11(11)(2)x xx x x x x---⨯++--））（=212(1)1(1)(1)x x xx x x x x-----=+++=1 x【点睛】此题考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题关键13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______．【答案】1【解析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．【详解】解：∵OD⊥BC，∴BD=CD=12BC=3，∵OB=12AB=5，∴在Rt△OBD中，OD=22OB BD-=1．故答案为1．【点睛】本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．14．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于____________．【答案】58°【解析】如图,∠2=180°−50°−72°=58°，∵两个三角形全等，∴∠1=∠2=58°.故答案为58°.15．关于x的方程2230mx x-+=有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是__________．【答案】13m<且0m≠【解析】分析：根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=4-12m ＞1且m≠1，求出m 的取值范围即可．详解：∵一元二次方程mx 2-2x+3=1有两个不相等的实数根，∴△＞1且m≠1，∴4-12m ＞1且m≠1，∴m ＜13且m≠1， 故答案为：m ＜13且m≠1． 点睛：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=1（a≠1，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．16．如图，菱形OABC 的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数()y x 0xk =<的图象经过点C ，则k 的值为 ．【答案】－6【解析】分析：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，∴A （﹣3，2）.∵点A 在反比例函数()y x 0x k =<的图象上， ∴23k =-，解得k=－6. 【详解】请在此输入详解！17．某一时刻，测得一根高1.5m 的竹竿在阳光下的影长为2.5m ．同时测得旗杆在阳光下的影长为30m ，则旗杆的高为__________m ．【答案】1．【解析】分析：根据同一时刻物高与影长成比例，列出比例式再代入数据计算即可．详解：∵竹竿的高度竹竿的影长= 1.52.5∴旗杆的高度，旗杆的影长=30旗杆的高度，解得：旗杆的高度=1.52.5×30=1． 故答案为1．点睛：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为A(1,0)，等腰直角三角形ABC 的边AB 在x 轴的正半轴上，∠ABC=90°，点B 在点A 的右侧，点C 在第一象限。
九下中考数学第二轮复习专题6 操作型问题
D A C B
E
F
二、展开与折叠
折叠和展开是认识、研究立体图形的 一个重要方法。折叠和展开是一个互逆的 操作过程过程，解决这类问题可以直接操 作，也可以通过头脑想象操作的过程（思 维实验），从而解决问题。
操作型问题是指通过动手实验，获得 数学结论的研究性活动。这类活动采用以 动手为基础，手脑结合的科学研究形式， 需要动手操作、合理猜想和验证，有助于 实践能力和创新能力的培养，更有助于养 成实验研究的习惯，符合新课程标准特别 强调的发现式学习、探究式学习和研究式 学习要求。
二、问题分类解析
（一）基本作图和格点作图
练习5： 已知矩形ABCD的长AB=4,宽AD=3,按
如图放置在直线AP上,然后不滑动地转动, 当它转动一周时( A到A/),顶点A所经过的 路线长等于 6π 。
A1
A2
C1
四、图形割补
分割图形和图形的重新组合问题由于解 题策略多样，方法多样，剪裁线的不定性， 使得组合图形变得多姿多彩。分割和组合 其实是思考的结果，理性的思考是解题的 关键。解决问题的方法有实验法、分析法、 类比法、联想法和验证法。
练习6：
已知△ABC中AB＝AC,AD⊥BC于D且 AD＝BC＝4，若将此三角形沿AD剪开成两 个三角形，在平面上把这两个三角形再拼成 一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四 边形吗？画出你所拼的四边形的示意图(标 出图中直角),并分别写出所拼四边形对角线 的长(只写结果)。
化工原理 精馏操作型问题题解
1一操作中的精馏塔,若保持D q x F 、、、F 不变,增大回流比R ,试分析W D x x W V L V L 、、、、、、''的变化趋势。
解：据题α、、、、、、1F N N D q x F 不变,R 增大,共已知8个条件,因此可分析W D x x 、等的变化趋势。
<1>W V L V L 、、、、''的变化趋势分析⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=↑--='↑+='↑+=↑=不变D F W F q V V qF L L D R V RD L )1()1( <2>W D x x 、的变化趋势分析利用M-T 图解法分析W D x x 、的变化趋势可先假设x D 不变,则W Dx Fx x /)(D F W -=也不变,结合R 增大,作出新工况下的二操作线,如图1-1所示的二虚线<原工况为实线,下同>,可知要完成新工况下的分离任务所需的理论板数比原来的要少<记为N 减小>,不能满足N 不变这个限制条件,因此"x D 不变"的假设并不成立,但已不难推知：若要满足N 不变,必有x D 增大,又从物料衡算关系得x W 减小,其结果如图1-2所示。
结论： ↓↑W D x x 、2某分离二元混合物的精馏塔,因操作中的问题,进料并未在设计的最佳位置,而偏下了几块板。
若V R q x F '、、、、F 均同设计值,试分析W D x x W V L V L 、、、、、、''的变化趋势<同原设计时相比>。
解：根据已知条件,α、、、、、、N V R q x F 'F 不变,精馏段理论板数N 1增大,也已知8个条件,因此可分析W D x x 、等的变化趋势。
<1>W V L V L 、、、、''的变化趋势分析⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+='-=-=+=-+'=不变不变不变不变不变qF L L D V L D F W R V D F q V V )1/()1( <2>W D x x 、的变化趋势分析本题易于发生一种错觉：加料板下移使N 1增大、提馏段理论板数N 2减小,单从二段的分离能力来看,似乎应有x D 增大、x W 增大,但这个推论显然不符合物料衡算式W Dx Fx x /)(D F W -=。
操作型问题选
操作型问题选操作型问题能让学生经历观察，操作，实验，猜想，验证的探究过程．不仅能考查学生的空间观念，对图形的认识，图形的变换，图形的设计，图形的直觉判断能力，而且还能考查学生的分析综合，抽象概括逻辑推理的能力，是学生展示个体思维发散创新的好平台．操作型问题一般包括作图问题，分割组合图形问题，图形的折叠问题和图形移动等问题．解决这类问题，要理解掌握轴对称轴、中心对称及点的轨迹的基本性质，审清题意，学会运用图形的平移变换、翻折变换和旋转变换. 注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法，灵活地解决问题．在平时的学习中，要注重操作习题解题训练，提高思维的开放性，培养创新能力.典型例题例１如图9-1，在正方形网络上有一个△ABC.（１）作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；（２）若网络上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积.（2003年浙江绍兴市中考试题）分析：(1)观察图形,先作出点A、B、C关于直线MN的对称点A1、B1、C1，连结A1B1、、B1C1、C1A1得△A1B1C1．(2)Ｓ△ABC三个直角三角形面积和的差.解：（1）作图（略）.（2）此三角形面积为：Ｓ△ABC＝2×3－2×（21×1×2）－21×1×3=6－2－23=25说明：本题利用轴对称性质来作图. 常见的作图题依据着轴对称、中心对称及点的轨迹的性质来作图.例2某地板厂要制作正六边形形状的地板砖，为了适应市场多样化需求，要求在地板砖上设计的图案能够把正六边形6等分，请你帮助他们设计等分图案（至少设计两种）.2003年甘肃省中考试题）分析：由题意得：本例属于等分分割图形问题，正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形.设计图案的关键：以正六边形的6个顶点和正六边形的中心为顶点分割设计成6等分图案.解：（答案不惟一，在下图9-2中任选两种）.说明：本例属于等分分割图形问题，与此例类似的如将平行四边形、矩形、正方形分割成4等分等.这类问题解决，只有抓住被分割图形的中心及图形的顶点后，发挥个人的想象力，才能创造性地设计出图案. 例3如图9-3，把一个等腰直角三角形ABC 沿斜边上的高CD （裁剪线）剪一刀，从这个三角形中裁下一部分，与剩下部分能拼成一个平行四边形A ′BCD （见示意图a ）. (以下探究过程中有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明.) 探究一：（1）想一想——判断四边形A ′BCD 是平行四边形的依据是 ；（2）做一做——按上述的裁剪方法，请你拼一个与图（a ）位置或形状不同的平行四边形，并在图（b ）中画出示意图.探究二：在直角三角形ABC 中，请你找出其他的裁剪线，把分割成的两部分拼出不同类型的特殊四边形.（1）试一试——你能拼得不同类型的特殊四边形有 ，它们的裁剪线分别是 ；（2）画一画——请在图（c ）中画出一个你拼得的特殊四边形示意图.（2003年浙江省丽水市中考试题）分析：探究二：本例属于分割图形后，再重新组合图形问题.由于裁剪线的不定性，使组合图形变得更加多姿多彩.重新组拼图形的关键是找出不同类型的特殊四边形：平行四边形、矩形、等腰梯形、直角梯形再用实验和类比的方法来寻找答案.解：探究一： （1）CD A ′B （或A ′DBC 等）. (2)(只要画出图9-4（1），（2）之一的 示意图).（注：若写出直角梯形，并指出这条裁剪线是“把一条直角边分成2：1的两段，且平行于另一条直角边（或斜边）的线段”，才算正确.）(2)只要画出图9-5中（1）~（6）之一的示意图.// = A ′// = B B D 图9-2 B 图9-3B A(5) 图9-5说明：本例探究二中，由于裁剪线的不定性，给重新组合图形留下较大的创新空间.解答此类问题，常用的方法有实验法、分析法、类比法、联想法和验证法.想一想：探究一中，能否拼成菱形？请说明理由. 例4阅读下面短文：如图9-6（1）所示，△ABC 是直角三角形，∠C=900，现在△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两端点，第三个顶点落在矩形这一边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图9-6（2）所示）.解答问题：（1）设图9-6（2）所示矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为S 1、S 2，则S 1 S 2（填“＞”、“=”、“＜”）（2）如图9-6（3）所示， △ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个 ，利用图9-6（3）把画出来.（3）如图9-6（4）所示，△ABC 是锐角三角形三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个，利用图9-6（4）把它出来. （4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？（2002年陕西省中考试题）分析：（2）只能以AB 为一边，作一个矩形；（3）可以锐角△ABC 的三边作三个矩形；（4）由（1）类推（3）中的三个矩形的面积相等，设其面积为S ，用S 与a 、b 、c 三边分别表示三个矩形的周长L 1、L 2、L 3，用作差法类比三个矩形的周长的大小. 解：（1）S 1=S 2；（2）一个（如图9-6（5））；（3）三个（如图9-6（6））；(4)以AB 为边的矩形周长最小. 设矩形BCED 、ACHQ 、ABGF 的周长分别为L 1、L 2、L 3，BC=a,AC=b,AB=c.易知这三个矩形的面积相等.令其面积为S ，则有，L 1=a S 2+2a ，L 2=b S 2+2b ，L 3=c S 2+2c.∵L 1－ L 2=aS2+2a －(b S 2+2b)=2(a －b)·abSab . 而ab ＞S ，a ＞b ，∴L 1－ L 2＞0，即L 1＞ L 2，同理L 2＞ L 3. ∴以AB 为边的矩形周长最小.说明：本例要求在熟悉按要求补图、组合图形的基础上，分析、归纳、类比一此量的变化.另外通过解答可以发现本例有三个规律：一是所画矩形个数的规律（一个、二个、三个）.二是符合要求的矩形的面积的规律（各图中矩形面积均为原三角形面积的2倍等）. 三是矩形周长的规律（以短边为矩形一边的矩形周长最短）.例5已知两个等圆⊙O 1和⊙O 2相交A 、B 两点，⊙O 1经过O 2，点C 是2上任一点（不与A 、O 2、B 重合），连结BC 并延长交⊙O 2于D ，连结AC 、AD.图9-6（1）C(1) 图9-7（1）供操作测量用，（测量时使用刻度尺和圆规）将图9-7（1）按题中叙述补充完整，并观察或度量AC 、CD 、AD 三条线段的长短，通过观察和度量，说出三条线段的长度之间存在怎样关系？ (2) 猜想结论（求证部分），并证明你的猜想，在补充完整图9-7（1）中进行证明. (3) 如图9-7（2），若C 点是BO 2的中点，AC 与O 1O 2相交于点E. 连接O 1C 、O 2C ，求证CE 2= O 1O 2·E O 2.图9-7（2002四川眉山市中考试题）分析：（1）画图测量，易得AC=CD=AD. （2）欲证△ACD 为正三角形，可利用圆周角定理及其推论证明△ACD 每一个内角都等于600即可.（3）欲证CE 2= O 1O 2·C ∽△CO 2E.解：（1）补充完整图形如图9-7（3），三条 线段AC 、CD 、AD 相等.（2）结论：△ACD 是正三角形. 证明：连结AO 1、AO 2、BO 2、O 1O 2.∵⊙O 1、⊙O 2是等圆，且⊙O 1过O 2点，∴A O 2= O 1O 2=A O 1. ∴ ∠AO 2 O 1=600, ∴∠AO 2B=1200. ∴ ∠D=21∠AO 2B=21×1200=600. ∵∠ACB=∠AO 2B=1200, ∴∠ACD=600. ∴△ACD 是正三角形.（3）（如图9-7（2））∵C 是BO 2的中点, ∴∠C O 1O 2=300. ∵∠ACO 2=300. ∴ ∠C O 1O 2=∠ACO 2∵∠O 1O 2C=∠CO 2E ∴ △O 1O 2C ∽△CO 2E. ∴CO O O 221=22EO CO . ∵O 1O 2=O 1C ， ∴∠O 1O 2 C =∠O 1CO 2=∠CEO 2 ∴CO 2=CE. ∴CE 2= O 1O 2·E O 2.说明：本例是一道以相交两圆为背景，集操作、测量、猜想、证明于一体探究性问题,着重考查动手操作变换图形和推理论证的能力.本例以留空回填命题的思路，解答时应顺向．．逐层进行. 例6取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，如图9-8（1）；第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为B ′，得Rt △A B ′E ，如图9-8（2）；第三步：沿E B ′线折叠得折痕EF ，如图9-8（3）. 利用展开图9-8（4）探究：(2)(1)（1） △AEF 是什么三角形？证明你的结论.（2） 对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由.分析：（1）经过操作测量易判定△AEF 是正三角形.再运用平行线等分线段定理、直角三角形的性质来证明△AEF 是正三角形；(2) 不一定.运用由特殊到一般的思路来解答：若矩形恰好能折出等边三角形，先找出矩形长a 与宽b 的关系，再按b ≤23a 、23a ＜b ＜a 的情形分类讨论. 解：（1）△AEF 是正三角形.证法一：（如图右图）由平行线等分线段定理知：PE=PA ，∴B ′P 是Rt △A B ′E 斜边上的中线， ∴PA=P B ′，∠1=∴∠2=∠3.而∠BAF=2∠1+∠2=900， ∴∠1=∠2=300. ∴在Rt △A B ′E ，∠1+∠AEF=900， ∴∠AEF=600，∠EAF=∠1+∠2=600，∴△AEF 是正三角形.证法二：∵△ABE 与△A B ′E 完全重合， ∴△ABE ≌△A B ′E ，∠BAE=∠1. 由平行线等分线段定理知 ∴EB ′=B ′F. 又∠A B ′E=900，∴△AB ′E ≌△A B ′F ， AE=AF. ∴∠1=∠2=31∠BAD=300.∴△AEF 是正三角形. （2）不一定.由上推证可知当矩形的长恰好等于△AEF 的边AF 时，即 矩形的宽：长AB ：AF=sin600=3：2时正好能折出. 如果设矩形的长为a ，宽为b ,可知当b ≤23a 时，按此法一定能折出等边三角形；当23a ＜b ＜a 时，按此法无法折出完整的等边三角形.说明：折叠图形问题，着重考察动手操作和分析推理能力、图形的直觉判断能力和书面表述的数学素养等. 折叠图形的常见类型：对角线折叠问题；角平分线折叠问题；轴对称折叠问题；两点重合折叠问题等. 想一想本例属于哪种折叠问题？例7 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=10，OC=6.（1）如图9-9（1），在OA 上选取一点G ，将△COG 沿CG 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E ，求折痕CG 所在直线的解析式.(2)如图9-9（2），在OC 上选取一点D ，将△AOD 沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上，记为 E ′. ①求折痕AD 所在直线的解析式.②再作E ′F//AB ，交AD 于点F ，若抛物线y=－121x 2+h 过点F ，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD 的交点的个数.（3）如图9-9（3），一般地，在OC 、OA 上选取适当的点D ′、G ′，使纸片沿D ′G ′翻折后，点O 落在BC 边上，记为E 〞. 请你猜想：折痕D ′G ′所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想.（2003年江苏省苏州市中考试题）分析：（1）由折法易知：G （6，0）、C （0，6）. 求得折痕CG 的解析式为y=－x+6； （2）①由勾股定理易求得D E ′=310，则折痕AD 的 解析式为：y=－31x+310； ②由题意设F （2，y F ），点F 在AD 上，∴F 的坐标为（2，38），求出抛物线为y=－121x 2+3. 再联立方程组，判定直线AD 与抛物线只有一个交点.解：（1）由折法知，四边形OCEG 是正方形，∴OG=OC=6，∴G （6，0）、C （0，6）.设直线CG 的解析式为：y=kx+b ，则0=6k+b, 6=0+b. ∴k=－1,b=6 ∴直线CG 的解析式为：y=－x+6.(2) ①在Rt △ABE ′中，BE ′=22610 =8，∴CE ′=2. 设OD=s ，则DE ′=s ， CD=6－s ，∴在Rt △DCE ′中，s 2=(6－s)2+22, s=310.则D （0，310）. 设AD ：y=k ′x+310.由于它过A （10，0），∴k ′=－31. ∴AD ：y=－31x+310. ②∵E ′F//AB, ∴E ′(2,6) ,∴设F （2，y F ），∵F 在AD 上，∴y F =－31×2+310=38， ∴F （2，38）.又F 在抛物线上，∴38=－121×22+h. ∴抛物线的解析式为：y=－121x 2+3. 将y=－31x+310代入y=－121x 2+3. 得－121x 2+31x －31=0. ∵△=(31)2－4×(－121)×(－31)=0. ∴直线AD 与抛物线只一个交点.（3） 例如可以猜想：折痕所在直线与抛物线y=－121x 2+3只有一个交点；验证：在图1 中折痕为CG. 将y=－x+6 代入y=－121x 2+3.得－121x 2+x －3=0. ∵△=1－4 (－3)×(－121)=0, ∴折痕CG 所在直线的确与抛物线y=－121x 2+3只有一个交点. 说明：本例在直角坐标系中，以轴对称折叠为变化情境，探究折痕的动态变化，引其函数变化，并用特殊的（1）中的情形加以验证.若不用（1）中的情形验证，请猜想：D ′G ′所在直线与②中的抛物线会有什么位置关系？【习题9】1． 只．利用一把有刻度．．．的直尺，用度量的方法，按下列要求画图： （1）在图9-10（1）中用下面的方法画等腰三角形ABC 的对称轴：①量出底边BC 的长度，将线段BC 二等分，即画出BC 的中点D ； ②画直线AD ，即画出等腰三角形ABC 的对称轴.（2）在图9-10（2） 中画出∠AOB 的对称轴，并写出画图和方法.（2003年江苏省南京市中考试题）2．如图9-11，107国道OA 和国道OB 在我市相交于O 点，在∠AOB 的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使P 到OA 、OB 的距离相等且PC=PD ，用尺规作货站P 的位置（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）.(2003年湖南省湘谭市中考试题)3.C=900，AB=BC=4.今要从这种三角形中剪出一种扇形， 做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半.（2002年湖北省黄冈市中考试题）4. 如图9-13.下面左边的两个图案是设计示例，请你在右面的两个正方形中设计两个不同的图案. 示例： 请你设计：图9-13 （2003年江苏省苏州市中考试题）5. 已知，如图9-14，△ABC 中，AB=AC ，∠A=360.仿照图（a ），请你再设计两种．．不同的分法，将△ABC 分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形. (图（b ）、图(c)供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求证明；要求标出．．所分得的每个等腰三角形三个内角的度数). （2003年江苏省镇江市中考试题）O图9-10（1）图9-11(a) (b) (c)图9-14如图9-15，把一个边长为2cm 的的正方形剪成四个全等的直角三角形. 请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照右图按实际大 小画在方格纸内（方格为1cm×1cm ）.(1)不是正方形的菱形（一个）；（2）不是正方形的矩形（一个）.(3)梯形（一个）. (4)不是矩形和菱形的平行四边形（一个） (5)不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）.7.已知，AB 为⊙O 的直径，P 为AB 延长上的一个动点，过点P 作⊙O 的切线,设切点为C.（1） 当点P 在AB 延长线上，如图9-16（1）时，连结AC ，作∠APC 的平分线，交AC 于D ，请你测量∠CDP 的度数. （2） 当点P 在AB 延长线上，如图9-16（2）和（3）所示时，连结AC ，请你分别在这两个圆中用尺规作∠APC 的平分线（不写作法，保留痕迹），设此角平分线交AC 于点D ，然后在这两个图中分别测量出∠CDP 的度数. 猜想：∠CDP 的度数是否随点P 在AB 延长线上位置的变化而变化？请对你加以证明.（2002年北京市要城区中考试题）8. 操作：如图9-17，在正方形ABCD 中，P 是CD 上一动点（与C 、D 不重合），使三角尺的直角顶点与P 重合，并且一条直角边始终经过点B ，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E.探究：（1）观察操作结果，哪一个三角 形与△BPC 相似？并证明你的结论；（2）当点P 位于CD 的中点时，你找到的三角形与△BPC 的周长比是多少？ （2003年云南省昆明市中考试题）【习题9】参考答案1．（1）略；（2）画图略.画图方法：①利用有刻度的直尺，在∠AOB 的边OA 、OB 上分别截取OC 、OD ，使OC=OD. ②连结CD ，量出CD 的长，将线段CD 二等分，画出线段CD 的中点 E. ③画直线OE.直线OE 即为∠AOB 的对称轴.2． 画图略.提示：作∠AOB 的平分线OP ，再作CD 的垂直平分线PQ 与OP 相交于点P.∴点P 就是货站的位置.3． 9-19A图9-154．（任选图9-19中两个图案，答案不惟一.）5．本题答案有多种，这里图9-20提供了3种参考答案.如果学生画出的两个图形是同一类型的对称图形视6．(1) (2)(3)(两个图形任画一个)（4）(四个图形任画一个)（5(两个图形任画一个)7. （1）测量结果：∠CDP=450.（2）作图略，题图中测量结果均为∠CDP=450.猜想：∠CDP=450为确定值，∠CDP的度数不随点P在AB的延长线上位置的变化而变化.CABD图9-19CC图9-20(3)证明 如图9-16（3），连结CB ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=900，∴∠A+∠ABC=900又PC 为⊙O 的切线，∴∠A=∠PCB.又∵PD 平分∠APC ，∴∠BPD=∠CPD.又∵∠ABC=∠APC+∠PCB ，∴2∠A+2∠BPD=900. ∠CDP=∠A+∠BPD=450. 8. 解：（1）如图9-21（1），另一条直角边与AD 交于点，则△PDE ∽△BCP.证明：在△PCE 和△BCP 中，∵∠1+∠3=900 ∠2+∠3=900 ∴∠1=∠2 又∠PDE=∠BCP=900∴△PCE ∽△BCP.或如图9-21（2），若一条直角边与BC 的延长线交于点E ，同理可证△BPE ∽△BCP.（2）如图9-21（3），当点P 位于CD 的中点时，若另一条直角边与AD 交于点E ，则BC PD =21又∵△PDE ∽△BCP ∴△PDE 和△BCP 的周长比是1：2. 或：如图9-21（4），若另一条直角边与BC 的延长线交于点E ，同理可证△PCE 与△BCP 的周长是1：2，或若另一条直角边与BC 的延长线交于点E ∵BP BE =25，又△BPE ∽△BCP ，∴△PCE 与△BCP 的周长比是5：2.。
《大学计算机基础》选择型操作题n道
《大学计算机基础》选择型操作题n道1.在Visual Basic开发环境中，有一个窗体名为form1的工程，已创建控件对象Label1和命令按钮Command1，要求将Command1的标题属性为“结束”，字体为楷书，字号为18磅，下划线，且单击”结束”按钮关闭该应用程序，如图所示，应进行的操作步骤为__________。
A 选择Command1的属性Caption → 输入“结束” → 单击其属性Font → 在其“字体”对话框中设置字体楷体、大小18、下划线→ 双击Command1打开代码窗口→ 在其Command1_Click( )过程中添加代码：End → 按F5执行mand1和Command2，要求将这两个命令按钮的标题分别设为“转华氏”和“转摄氏”，在摄氏输入框Text2中输入37，单击“转华氏”命令按钮，则在华氏输入框Text1中显示98.6，如下2图分别表示设计时与运行时窗体状态，应进行的操作步骤为__________。
A 分别单击Command1和Command2的属性窗口的Caption属性→ 输入“转华氏”和“转摄氏”→ 在form1中双击Command1打开代码窗口→ 在其Command1_Click( )过程中添加代码：Text1 = 9 / 5 * Text2 + 32 → 单击“运行|启动”菜单项执行B 分别单击Command1和Command2的属性窗口的Caption属性→ 输入“转华氏”和“转摄氏”→ 在form1中双击Command2打开代码窗口→ 在其Command2_Click( )过程中添加代码：Text1 = 9 / 5 * Text2 + 32 → 单击“运行|启动”菜单项执行C 分别单击Command1和Command2的属性窗口的Caption属性→ 输入“转华氏”和“转摄氏”→ 在form1中双击Command1打开代码窗口→ 在其Command1_Click( )过程中添加代码：Text2 = 5 / 9 * (Text1 - 32) → 单击“运行|启动”菜单项执行D 分别单击Command1和Command2的属性窗口的Caption属性→ 输入“转华氏”和“转摄氏”→ 在form1中双击Command1打开代码窗口→ 在其Command2_Click( )过程中添加代码：F = 5 / 9 * (C - 32) → 单击“运行|启动”菜单项执行参考答案A5.在Visual Basic开发环境中，有一个窗体名为form1的工程，已有TextBox控件对象Text1、Text2，和命令按钮对象Command1和Command2，要求将这两个命令按钮的标题分别设为“转华氏”和“转摄氏”，在华氏输入框Text1中输入98.6，单击“转摄氏”命令按钮，则在摄氏输入框Text2中显示37，如图所示，应进行的操作步骤为__________。
专题7 实验操作型问题
(2)过点 O 作 OH⊥CD 于点 H. 由(1)△ OBC≌△OED，OE＝OB， ∵BC＝x，则 AD＝DE＝x，∴CE＝8－x，∵OC＝OD， ∠COD＝90°∴CH＝12 CD＝21 AB＝12 ×8＝4，OH＝12 CD ＝ 4 ， ∴ EH ＝ CH － CE ＝ 4 － (8 － x) ＝ x － 4 ， 在 Rt△ OHE 中，由勾股定理得 OE2＝OH2＋EH2，即 OB2 ＝42＋(x－4)2，∴y 关于 x 的关系式：y＝x2－8x＋32.
专题7 实验操作型问题
专题解读
实验操作问题主要包括剪纸、折叠、展开、拼图 、作图(不包括统计图表的制作)、称重、测量、空间想 象等．
解答操作型试题，关键是审清题意，学会运用图形 的平移变换、翻折变换和旋转变换、位似变换，注意 运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法 ，在平时的学习中，要注重操作习题解题训练，提高 思维的开放性，培养创新能力，要学会运用数学知识 去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其 数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题．
(3)推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形；
(4)拓展：在(2)的条件下，在射线BN上截取NE＝NM，
连结EQ，EM(如图3).当tan
∠NBM＝
3 4
时，猜想
∠QEM的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
(1)解：如图 1 中，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC， ∴PBNC ＝AADE ，即P6N ＝4－4PN ，解得 PN＝152 ； (2)能画出这样的正方形，如图 2 中，正方形 PNMQ 即为 所求；
( D)
A．2 2 C．3 2 5
B． 5 D． 10
操作类问题
操作类问题第九讲：操作类问题操作类问题加强篇1、把一根线绳对折5次，然后从对折后的中间处剪开，这根线绳被剪成了多少段？答：2×2×2×2×2+1=33（段）2、一个长方形木板有四个角，沿直线剪去一个角后，还剩下几个角？答：3,4,5个3、有3个白球和3个黑球这样放着：○○○●●●，现在想把白球和黑球相间排放，每次只许对换2个球，至少对换几次就可以按要求排好？答：1次4、河里有一行鸭子，2只前面有2只，2只后面有2只，2只中间还有2只，共有几只鸭子？答：4只5、用数字1，1，2，2，3，3拼凑出一个六位数，使两个1之间有1个数字，两个2之间有2个数字，两个3之间有3个数字。
答：3121326、黑板上写着1～15共15个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个数的和减1。
例如，擦掉5和11，要写上15。
经过若干次后，黑板上就会只剩下一个数，这个数是几？答：15-1=14次（1+2+。
15）-14=1067、黑板上写着8,9,10,11,12,13,14七个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个数的和减1.例如,擦掉9和13,要写上21.经过几次后,黑板上就会只剩下一个数,这个数是___71__.答：8+9+。
+14-6=718、口袋里装有101张小纸片，上面分别写着1～101。
每次从袋中任意摸出5张小纸片，然后算出这5张小纸片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。
经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张纸片，这张纸片上的数是几？答：1+2+。
+101=5151这张纸片上的数是和的后两位51。
9、6条直线分一个圆怎么分?最多能分多少份？1+1+2+。
6=22（份）操作类问题巩固篇1、把一根线绳对折5次，然后剪两刀，这根线绳被剪成了多少段？答：2×2×2×2×2×2+1=65（段）2、在1,2,3,4,5,…,59,60这60个数中,第一次从左向右划去奇数位上的数；第二次在剩下的数中，再从左向右划去奇数位上的数；如此继续下去，最后剩下一个数时，这个数是_____.答：323、在圆周上写上数1,2,4然后在每两个相邻的数之间写上它们的和(于是共得到6个数:1,3,2,6,4,5)再重复这一过程5次,圆周上共出现192个数,则所有这些数的和是_____.答：找规律。
2018中考数学专题复习 操作性问题(无答案)
专题13 操作性问题一、选择题1.（2017浙江衢州第7题）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P 作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④2. （2017湖北武汉第10题）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，以ABC ∆的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）A ．4B ．5C ． 6D ．73.（2017甘肃兰州第13题）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB (顶端A 到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE (0.5DE BC ==米，,,A B C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得15CG =米，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得3CG =米，小明身高 1.6EF =米，则凉亭的高度AB 约为( )A.8.5米B.9米C.9.5米D.10米4.（2017浙江嘉兴第9题）一张矩形纸片ABCD ，已知3AB =，2AD =，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段DG 长为（ ）.A B．C．1D．2二、填空题1. （2017浙江衢州第14题）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是．2. （2017浙江衢州第16题）如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限。
△ABO 沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__________；翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为__________3.（2017贵州黔东南州第16题）把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为（0，1），∠ABO=30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2C垂直且交y轴于点B3；…按此规律继续下去，则点B2017的坐标为．4.（2017山东烟台第15题）运行程序如图所示，从“输入实数x ”到“结果是否18<”为一次程序操作，若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x 的取值范围是 .5. （2017山东烟台第18题）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB .已知6=OA ，取OA 的中点C ，过点C 作OA CD ⊥交弧AB 于点D ，点F 是弧AB 上一点，若将扇形BOD 沿OD 翻折，点B 恰好与点F 重合.用剪刀沿着线段FA DF BD ,,依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为 .6.（2017江苏徐州第18题）如图，已知1OB =，以OB 为直角边作等腰直角三角形1A BO .再以1OA 为直角边作等腰直角三角形21A AO ，如此下去，则线段n OA 的长度为 ．7.（2017浙江嘉兴第15题）如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得1tan 1BAC ∠=，21tan 3BA C ∠=，31tan 7BA C ∠=，计算4tan BA C ∠= ，……按此规律，写出tan n BA C ∠=（用含n 的代数式表示）．三、解答题1.（2017浙江衢州第23题）问题背景如图1，在正方形A BCD 的内部，作∠DAE =∠ABF =∠BCG =∠CDH ，根据三角形全等的条件，易得△DAE ≌△ABF ≌△BCG ≌△CDH ，从而得到四边形EFGH 是正方形。
中考数学试题分项版解析汇编第03期专题13操作性问题含解析
——教学资料参考参考范本——中考数学试题分项版解析汇编第03期专题13操作性问题含解析______年______月______日____________________部门一、选择题1．（20xx广西四市）如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（）A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC【答案】D．考点：1．作图—复杂作图；2．平行线的判定与性质；3．三角形的外角性质．2．（20xx河北省）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5【答案】C．【解析】试题分析：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于0.5小于等于1，故选C．考点：1．正多边形和圆；2．旋转的性质；3．操作型；4．综合题．3．（20xx湖北省襄阳市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（）12A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B．考点：1．作图—基本作图；2．含30度角的直角三角形．二、填空题4．（20xx山东省××市）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N 为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是．12【答案】a+b=0．考点：1．作图—基本作图；2．坐标与图形性质；3．点到直线的距离．5．（20xx河北省）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α= °．【答案】56．【解析】试题分析：∵四边形ABCD的矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=68°．∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∴∠EAF=∠DAC=34°．12∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°﹣34°=56°，∴∠α=56°．故答案为：56．考点：1．作图—基本作图；2．操作型．6．（20xx浙江省××市）以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB、AC各相交于一点，再分别以两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D．若∠ADB=60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为．【答案】．23考点：1．作图—尺规作图的定义；2．角平分线的性质．三、解答题7．（20xx四川省××市）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C 的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）P（0，2）．【解析】试题分析：（1）根据A点坐标建立平面直角坐标系即可；（2）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；（3）作出点B关于y轴的对称点B2，连接B2交y轴于点P，则P点即为所求．试题解析：（1）如图所示；（2）如图，即为所求；考点：1．作图﹣轴对称变换；2．勾股定理；3．轴对称﹣最短路线问题；4．最值问题．8．（20xx山东省××市）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．12【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，sin∠A2C2B2=．1010【解析】试题分析：（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；考点：1．作图﹣位似变换；2．作图﹣平移变换；3．解直角三角形．9．（20xx广东省）如图，在△ABC中，∠A＞∠B．（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B=50°，求∠AEC的度数．【答案】（1）作图见见解析；（2）100°．【解析】试题分析：（1）根据题意作出图形即可；（2）由于DE是AB的垂直平分线，得到AE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠B=50°，由三角形的外角的性质即可得到结论．试题解析：（1）如图所示；（2）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠EAB=∠B=50°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=100°．考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质．10．（20xx广西四市）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．（1）把△ABC向上平移3个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1并写出点B1的坐标；（2）已知点A与点A2（2，1）关于直线l成轴对称，请画出直线l及△ABC关于直线l对称的△A2B2C2，并直接写出直线l的函数解析式．【答案】（1）作图见解析；（2）y=﹣x．【解析】试题分析：（1）根据图形平移的性质画出△A1B1C1并写出点B1的坐标即可；（2）连接AA2，作线段AA2的垂线l，再作△ABC关于直线l对称的△A2B2C2即可．试题解析：（1）如图，△A1B1C1即为所求，B1（﹣2，﹣1）；（2）如图，△A2B2C2即为所求，直线l的函数解析式为y=﹣x．考点：1．作图﹣轴对称变换；2．待定系数法求一次函数解析式；3．作图﹣平移变换．11．（20xx江苏省××市）如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．【答案】（1）作图见解析；（2）．153（2）如图2，圆心O的运动路径长为，过点O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分别为点D、F、G，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，连接O2B，过点O2作O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分别为点H、I，在Rt△ABC中，∠ACB=90°、∠A=30°，∴AC===，AB=2BC=18，∠ABC=60°，∴C△AB C=9++18=27+，∵O1D⊥BC、O1G⊥AB，∴D、G为切点，∴BD=BG，在Rt△O1BD和Rt△O1BG中，∵BD=BG，O1B=O1B，∴△O1BD≌△O1BG（HL），∴∠O1BG=∠O1BD=30°，在Rt△O1BD中，∠O1DB=90°，∠O1BD=30°，∴BD= ==，∴OO1=9﹣2﹣=7﹣，∵O1D=OE=2，O1D⊥BC，OE⊥BC，∴O1D∥OE，且O1D=OE，∴四边形OEDO1为平行四边形，∵∠OED=90°，∴四边形OEDO1为矩形，同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，又OE=OF，∴四边形OECF为正方形，∵∠O1GH=∠CDO1=90°，∠ABC=60°，∴∠GO1D=120°，又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°，∴∠OO1O2=360°﹣90°﹣90°=60°=∠ABC，同理，∠O1OO2=90°，∴△OO1O2∽△CBA，∴，即，∴ =，即圆心O 运动的路径长为．12OO O C ∆tan 30BC 9339393931tan 30O D2332323231212OO O ABC C O O C BC ∆∆=1272392793OO O C ∆-=+12OO O C ∆153+153+考点：1．轨迹；2．切线的性质；3．作图—复杂作图；4．综合题．12．（20xx 浙江省××市）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程，操作步骤是：2520x x -+=第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A （0，1），B （5，2）；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A ，另一条直角边恒过点B ；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x 轴上点C 处时，点C 的横坐标m 即为该方程的一个实数根（如图1）；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x 轴上另一点D 处时，点D 的横坐标n 即为该方程的另一个实数根．（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D （请保留作出点D 时直角三角板两条直角边的痕迹）；（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m 就是方程的一个实数根；2520x x -+=（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程 （a≠0，≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；20ax bx c ++=24b ac -（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a ，b ，c 之间满足怎样的关系时，点P （m1，n1），Q （m2，n2）就是符合要求的一对固定点？【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析；（3）A （0，1），B （﹣，）或A （0，），B （﹣，c ）等；（4），=．b ac a 1a b a 12b m m a +=-1212m m n n +c a【解析】试题分析：（1）根据“第四步”的操作方法作出点D 即可；（3）方程（a≠0）可化为，模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标；20ax bx c ++=20b c x x a a++= （4）先设方程的根为x ，根据三角形相似可得，进而得到1212n m x x m n -=- 2121212()0x m m x m m n n -+++=，再根据，可得，最后比较系数可得20ax bx c ++=20b c x x a a++= m1，n1，m2，n2与a ，b ，c 之间的关系．试题解析：（1）如图所示，点D 即为所求；（2）如图所示，过点B 作BD⊥x 轴于点D ，根据∠AOC=∠CDB=90°，∠ACO=∠CBD，可得△AOC∽△CDB，∴，∴，∴m（5﹣m ）=2，∴，∴m 是方程的实数根；AO OC CD BD =152m m =-2520m m -+=2520x x -+=（3）方程（a≠0）可化为 ，模仿研究小组作法可得：A （0，1），B （﹣，）或A （0，），B （﹣，c ）等；20ax bx c ++=20b c x x a a ++=b a c a 1ab a （4）如图，P （m1，n1），Q （m2，n2），设方程的根为x ，根据三角形相似可得，上式可化为，又∵，即，∴比较系数可得，=．1212n m x x m n -=-2121212()0x m m x m m n n -+++=20ax bx c ++=20b c x x a a ++=12b m m a +=-1212m m n n +c a考点：1．三角形综合题；2．一元二次方程的解；3．相似三角形的判定与性质；4．阅读型；5．操作型；6．压轴题．。
中考数学试题分项版解析汇编(第02期)专题13 操作性问题(含解析)(2021年整理)
2017年中考数学试题分项版解析汇编（第02期）专题13 操作性问题（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年中考数学试题分项版解析汇编（第02期）专题13 操作性问题（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017年中考数学试题分项版解析汇编（第02期）专题13 操作性问题（含解析）的全部内容。
专题13:操作性问题一、选择题1。
（2017福建第10题)如图,网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A B''和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是( ）A．1区 B．2区 C．3区 D．4区【答案】D【解析】如图，根据题意可得旋转中心O，旋转角是90°,旋转方向为逆时针，因此可知点P 的对应点落在了4区，故选D.2。
(2017广东广州第2题）如图2,将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到图形为（）【答案】A【解析】试题分析：顺时针90°后，AD 转到AB 边上，所以,选A 。
考点：旋转的特征3.（2017湖南长沙第12题）如图，将正方形ABCD 折叠,使顶点A 与CD 边上的一点H 重合（H 不与端点D C ,重合），折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ，设正方形ABCD 的周长为m ，CHG ∆的周长为n ，则m n 的值为（ ) A ．22 B ．21 C ．215- D ．随H 点位置的变化而变化【答案】B【解析】试题分析:设正方形ABCD 的边长为2a ，正方形的周长为m=8a ，设CM=x ，DE=y ，则DM=2a-x ，EM=2a-y ，∵∠EMG=90°，∴∠DME+∠CMG=90°．∵∠DME+∠DEM=90°，∴∠DEM=∠CMG，又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，∴CG CM MGDM DE EM==,即22CG x MGa x y a y==--∴CG=(2)(2)=,x a x x a y CG MGy y--=△CMG的周长为CM+CG+MG=2 4ax xy-在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2即（2a—x)2+y2=(2a-y）2整理得4ax—x2=4ay∴CM+MG+CG=2444ax x ayay y-===n．所以12 nm=故选：B．考点：1、正方形,2、相似三角形的判定与性质，3、勾股定理4.（2017山东青岛第5题）如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°则顶点B的对应点B1的坐标为( ）A.)2,4(- B.)4,2(- C. )2,4(- D.)4,2(-【答案】B【解析】试题分析：将△ABC绕点O逆时针旋转90°后，图形如下图所以B1的坐标为)4,2(-故选：B二、填空题1。
小学奥数训练题操作问题_通用版(无答案)
操作问题1、黑板上有5和7两个数。
现在规定操作：将黑板上的任意两个数相加的和写在黑板上。
问：经过若干次操作后，黑板上能否出现23？2,、有一台古怪的计算器，只有两个运算键，红键把给的数乘以2，黄键把给的数的最后一个数字去掉。
例如，给出234，按红键得468，按黄键得23。
如果开始给的数是28，为了得到数17，那么除了按若干次黄键外，至少要按红键多少次？3、黑板上写着8，9，10，11，12，13，14七个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个数的和减1。
例如，擦掉9和13，要写上21。
经过几次后，黑板上就会只剩下一个数？这个数是几？4、在黑板上任意写一个自然数，然后用与这个自然数互质并且大于1的最小自然数替换这个数，称为一次操作。
问：最多经过多少次操作，黑板上就会出现2？5、在黑板上写出三个自然数，然后擦去一个换成其它两数之和减1，这样继续操作下去，最后得到32，45，76。
如果要求原来写的三个自然数的和尽量小，那么它们是哪三个自然数？6、在上题中，若把最后得到的三个数改为15，35，49呢？7、对任意两个不同的自然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一次变换。
如对18和42可作这样的连续变换：18，42→18，24→18，6→12，6→6，6直到两数相同为止。
问：对1234和4321作这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是几？8、对任一自然数n作变换：如果n为奇数，则加上99；如果n为偶数，则除以2。
现在对300连续作这种变换，在变换过程中是否可能出现100？为什么？9、口袋里装有99张小纸片，上面分别写着1～99。
从袋中任意摸出若干张小张片，然后算出这些纸片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。
经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张纸片，这张纸片上的数是几？10、将40以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下五项工作叫做一次操作：(1)将右边第一个数码移到数字串的最左边；(2)从左到右两位一节组成若干个两位数；(3)划去这些两位数中的合数；(4)如果所剩的两位质数中有相同的，那么只保留左边的一个，其余的划去；(5)所剩的两位质数，保持数码次序又组成一个新的数字串。
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操作型问题选操作型问题能让学生经历观察，操作，实验，猜想，验证的探究过程．不仅能考查学生的空间观念，对图形的认识，图形的变换，图形的设计，图形的直觉判断能力，而且还能考查学生的分析综合，抽象概括逻辑推理的能力，是学生展示个体思维发散创新的好平台．操作型问题一般包括作图问题，分割组合图形问题，图形的折叠问题和图形移动等问题．解决这类问题，要理解掌握轴对称轴、中心对称及点的轨迹的基本性质，审清题意，学会运用图形的平移变换、翻折变换和旋转变换. 注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法，灵活地解决问题．在平时的学习中，要注重操作习题解题训练，提高思维的开放性，培养创新能力.典型例题 例１如图9-1，在正方形网络上有一个△ABC.（１）作△ABC 关于直线MN 的对称图形 （不写作法）；（２）若网络上的最小正方形的边长为1， 求△ABC 的面积.（2003年浙江绍兴市中考试题） 分析：(1)观察图形,先作出点A 、B 、C 关 于直线MN 的对称点A 1、B 1、C 1，连结A 1B 1、、 B 1C 1、C 1A 1得△A 1B 1C 1．(2)Ｓ△ABC 等于点Ａ、Ｂ、Ｃ所在边的矩形面积与三个直角三角形面积和的差.解：（1）作图（略）.（2）此三角形面积为：Ｓ△ABC ＝2×3－2×（21×1×2）－21×1×3=6－2－23=25说明：本题利用轴对称性质来作图. 常见的作图题依据着轴对称、中心对称及点的轨迹的性质来作图.例2某地板厂要制作正六边形形状的地板砖，为了适应市场多样化需求，要求在地板砖上设计的图案能够把正六边形6等分，请你帮助他们设计等分图案（至少设计两种）.2003年甘肃省中考试题）分析：由题意得：本例属于等分分割图形问题，正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形.设计图案的关键：以正六边形的6个顶点和正六边形的中心为顶点分割设计成6等分图案. 解：（答案不惟一，在下图9-2中任选两种）.说明：本例属于等分分割图形问题，与此例类似的如将平行四边形、矩形、正方形分割成4等分等.这类问题解决，只有抓住被分割图形的中心及图形的顶点后，发挥个人的想象力，才能创造性地设计出图案.例3如图9-3，把一个等腰直角三角形ABC 沿斜边上的高CD （裁剪线）剪一刀，从这个三角形中裁下一部分，与剩下部分能拼成一个平行四边形A ′BCD （见示意图a ）. (以下探究过程中有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明.) 探究一：（1）想一想——判断四边形A ′BCD 是平行四边形的依据是 ；（2）做一做——按上述的裁剪方法，请你拼一个与图（a ）位置或形状不同的平行四边形，并在图（b ）中画出示意图.探究二：在直角三角形ABC 中，请你找出其他的裁剪线，把分割成的两部分拼出不同类型的特殊四边形. （1）试一试——你能拼得不同类型的特殊四边形有 ，它们的裁剪线分别是 ；（2）画一画——请在图（c ）中画出一个你拼得的特殊四边形示意图.（2003年浙江省丽水市中考试题）分析：探究二：本例属于分割图形后，再重新组合图形问题.由于裁剪线的不定性，使组合图形变得更加多姿多彩.重新组拼图形的关键是找出不同类型的特殊四边形：平行四边形、矩形、等腰梯形、解：探究一： （1）CD A ′B（或A ′D BC 等）. (2)(只要画出图9-4（1），（2）之一的 示意图).（注：若写出直角梯形，并指出这条裁剪线是“把一条直角边分成2：1的两段，且平行于另一条直角边（或斜边）的线段”，才算正确.）// = A ′// = B B D 图9-2 B 图9-3B A(5) 图9-5(2)只要画出图9-5中（1）~（6）之一的示意图.说明：本例探究二中，由于裁剪线的不定性，给重新组合图形留下较大的创新空间.解答此类问题，常用的方法有实验法、分析法、类比法、联想法和验证法.想一想：探究一中，能否拼成菱形？请说明理由.例4阅读下面短文：如图9-6（1）所示，△ABC 是直角三角形，∠C=900，现在△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两端点，第三个顶点落在矩形这一边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图9-6（2）所示）.解答问题：（1）设图9-6（2）所示矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为S 1、S 2，则S 1 S 2（填“＞”、“=”、“＜”）（2）如图9-6（3）所示， △ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个 ，利用图9-6（3）把画出来.（3）如图9-6（4）所示，△ABC 是锐角三角形三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个，利用图9-6（4）把它出来. （4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？（2002年陕西省中考试题）分析：（2）只能以AB 为一边，作一个矩形；（3）可以锐角△ABC 的三边作三个矩形；（4）由（1）类推（3）中的三个矩形的面积相等，设其面积为S ，用S 与a 、b 、c 三边分别表示三个矩形的周长L 1、L 2、L 3，用作差法类比三个矩形的周长的大小. 解：（1）S 1=S 2；（2）一个（如图9-6（5））；（3）三个（如图9-6（6））；(4)以AB 为边的矩形周长最小. 设矩形BCED 、ACHQ 、ABGF 的周长分别为L 1、L 2、L 3，BC=a,AC=b,AB=c.易知这三个矩形的面积相等.令其面积为S ，则有，L 1=a S 2+2a ，L 2=bS 2+2b ，L 3=c S 2+2c.∵L 1－ L 2=a S 2+2a －(b S 2+2b)=2(a －b)·abSab . 而ab ＞S ，a ＞b ，∴L 1－ L 2＞0，即L 1＞ L 2，同理L 2＞ L 3. ∴以AB 为边的矩形周长最小.说明：本例要求在熟悉按要求补图、组合图形的基础上，分析、归纳、类比一此量的变化.另外通过解答可以发现本例有三个规律：一是所画矩形个数的规律（一个、二个、三个）.二是符合要求的矩形的面积的规律（各图中矩形面积均为原三角形面积的2倍等）. 三是矩形周长的规律（以短边为矩形一边的矩形周长最短）.例5已知两个等圆⊙O 1和⊙O 2相交A 、B 两点，⊙O 1经过O 2，点C是AO 2B 上任一点（不与图9-6（1）C 9-6（3） CA 、O 2、B 重合），连结BC 并延长交⊙O 2于D ，连结AC 、AD.(1) 图9-7（1）供操作测量用，（测量时使用刻度尺和圆规）将图9-7（1）按题中叙述补充完整，并观察或度量AC 、CD 、AD 三条线段的长短，通过观察和度量，说出三条线段的长度之间存在怎样关系？ (2) 猜想结论（求证部分），并证明你的猜想，在补充完整图9-7（1）中进行证明. (3) 如图9-7（2），若C 点是2的中点，AC 与O 1O 2相交于点E. 连接O 1C 、O 2C ，求证CE 2= O 1O 2·E O 2.图9-7（2002四川眉山市中考试题）分析：（1）画图测量，易得AC=CD=AD. （2）欲证△ACD 为正三角形，可利用圆周角定理及其推论证明△ACD 每一个内角都等于600即可.（3）欲证CE 2= O 1O 2C ∽△CO 2E.解：（1）补充完整图形如图9-7（3），三条线段AC 、CD 、AD 相等.（2）结论：△ACD 是正三角形. 证明：连结AO 1、AO 2、BO 2、O 1O 2.∵⊙O 1、⊙O 2是等圆，且⊙O 1过O 2点，∴A O 2= O 1O 2=A O 1. ∴ ∠AO 2 O 1=600, ∴∠AO 2B=1200. ∴ ∠D=21∠AO 2B=21×1200=600. ∵∠ACB=∠AO 2B=1200, ∴∠ACD=600. ∴△ACD 是正三角形.（3）（如图9-7（2））∵C 是2的中点, ∴∠C O 1O 2=300. ∵∠ACO 2=300. ∴ ∠C O 1O 2=∠ACO 2∵∠O 1O 2C=∠CO 2E ∴ △O 1O 2C ∽△CO 2E. ∴CO O O 221=22EO CO . ∵O 1O 2=O 1C ， ∴∠O 1O 2 C =∠O 1CO 2=∠CEO 2 ∴CO 2=CE. ∴CE 2= O 1O 2·E O 2.说明：本例是一道以相交两圆为背景，集操作、测量、猜想、证明于一体探究性问题,着重考查动手操作变换图形和推理论证的能力.本例以留空回填命题的思路，解答时应顺向．．逐层进行. 例6取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，如图9-8（1）；第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为B ′，得Rt △A B ′E ，如图9-8（2）；第三步：沿E B ′线折叠得折痕EF ，如图9-8（3）.(2)利用展开图9-8（4）探究：（1） △AEF 是什么三角形？证明你的结论.（2） 对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由.分析：（1）经过操作测量易判定△AEF 是正三角形.再运用平行线等分线段定理、直角三角形的性质来证明△AEF 是正三角形；(2) 不一定.运用由特殊到一般的思路来解答：若矩形恰好能折出等边三角形，先找出矩形长a 与宽b 的关系，再按b ≤23a、23a ＜b ＜a 的情形分类讨论. 解：（1）△AEF 是正三角形.证法一：（如图右图）由平行线等分线段定理知：PE=PA ，∴B ′P 是Rt △A B ′E 斜边上的中线， ∴PA=P B ′，∠1=∴∠2=∠3.而∠BAF=2∠1+∠2=900， ∴∠1=∠2=300. ∴在Rt △A B ′E ，∠1+∠AEF=900， ∴∠AEF=600，∠EAF=∠1+∠2=600，∴△AEF 是正三角形.证法二：∵△ABE 与△A B ′E 完全重合， ∴△ABE ≌△A B ′E ，∠BAE=∠1. 由平行线等分线段定理知 ∴EB ′=B ′F. 又∠A B ′E=900，∴△AB ′E ≌△A B ′F ， AE=AF. ∴∠1=∠2=31∠BAD=300.∴△AEF 是正三角形. （2）不一定.由上推证可知当矩形的长恰好等于△AEF 的边AF 时，即 矩形的宽：长AB ：AF=sin600=3：2时正好能折出. 如果设矩形的长为a ，宽为b ,可知当b ≤23a 时，按此法一定能折出等边三角形；当23a ＜b ＜a 时，按此法无法折出完整的等边三角形. 说明：折叠图形问题，着重考察动手操作和分析推理能力、图形的直觉判断能力和书面表述的数学素养等. 折叠图形的常见类型：对角线折叠问题；角平分线折叠问题；轴对称折叠问题；两点重合折叠问题等. 想一想本例属于哪种折叠问题？例7 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=10，OC=6.（1）如图9-9（1），在OA 上选取一点G ，将△COG 沿CG 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E ，求折痕CG 所在直线的解析式.(2)如图9-9（2），在OC 上选取一点D ，将△AOD 沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上，记为 E ′. ①求折痕AD 所在直线的解析式.②再作E ′F//AB ，交AD 于点F ，若抛物线y=－121x 2+h 过点F ，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD 的交点的个数.（3）如图9-9（3），一般地，在OC 、OA 上选取适当的点D ′、G ′，使纸片沿D ′G ′翻折后，点BBO 落在BC 边上，记为E 〞. 请你猜想：折痕D ′G ′所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想.（2003年江苏省苏州市中考试题）分析：（1）由折法易知：G （6，0）、C （0，6）. 求得折痕CG 的解析式为y=－x+6； （2）①由勾股定理易求得D E ′=310，则折痕AD 的 解析式为：y=－31x+310； ②由题意设F （2，y F ），点F 在AD 上，∴F 的坐标为（2，38），求出抛物线为y=－121x 2+3. 再联立方程组，判定直线AD 与抛物线只有一个交点.解：（1）由折法知，四边形OCEG 是正方形，∴OG=OC=6，∴G （6，0）、C （0，6）.设直线CG的解析式为：y=kx+b ，则0=6k+b, 6=0+b. ∴k=－1,b=6 ∴直线CG 的解析式为：y=－x+6.(2) ①在Rt △ABE ′中，BE ′=22610 =8，∴CE ′=2. 设OD=s ，则DE ′=s ， CD=6－s ，∴在Rt △DCE ′中，s 2=(6－s)2+22, s=310.则D （0，310）. 设AD ：y=k ′x+310.由于它过A （10，0），∴k ′=－31. ∴AD ：y=－31x+310. ②∵E ′F//AB, ∴E ′(2,6) ,∴设F （2，y F ），∵F 在AD 上，∴y F =－31×2+310=38， ∴F （2，38）.又F 在抛物线上，∴38=－121×22+h. ∴抛物线的解析式为：y=－121x 2+3. 将y=－31x+310代入y=－121x 2+3. 得－121x 2+31x －31=0. ∵△=(31)2－4×(－121)×(－31)=0. ∴直线AD 与抛物线只一个交点.（3） 例如可以猜想：折痕所在直线与抛物线y=－121x 2+3只有一个交点；验证：在图1 中折痕为CG. 将y=－x+6 代入y=－121x 2+3.得－121x 2+x －3=0. ∵△=1－4 (－3)×(－121)=0, ∴折痕CG 所在直线的确与抛物线y=－121x 2+3只有一个交点. 说明：本例在直角坐标系中，以轴对称折叠为变化情境，探究折痕的动态变化，引其函数变化，并用特殊的（1）中的情形加以验证.若不用（1）中的情形验证，请猜想：D ′G ′所在直线与②中的抛物线会有什么位置关系？【习题9】1． 只．利用一把有刻度．．．的直尺，用度量的方法，按下列要求画图： （1）在图9-10（1）中用下面的方法画等腰三角形ABC 的对称轴：①量出底边BC 的长度，将线段BC 二等分，即画出BC 的中点D ； ②画直线AD ，即画出等腰三角形ABC 的对称轴.（2）在图9-10（2） 中画出∠AOB 的对称轴，并写出画图和方法.（2003年江苏省南京市中考试题）2．如图9-11，107国道OA 和国道OB 在我市相交于O 点，在∠AOB 的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使P 到OA 、OB 的距离相等且PC=PD ，用尺规作货站P 的位置（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）.(2003年湖南省湘谭市中考试题)3.C=900，AB=BC=4.今要从这种三角形中剪出一种扇形， 做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意.（2002年湖北省黄冈市中考试题）4. 如图9-13.下面左边的两个图案是设计示例，请你在右面的两个正方形中设计两个不同的图案. 示例： 请你设计：图9-13 （2003年江苏省苏州市中考试题）5. 已知，如图9-14，△ABC 中，AB=AC ，∠A=360.仿照图（a ），请你再设计两种．．不同的分法，将△ABC 分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形. (图（b ）、图(c)供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求证明；要求标出．．所分得O图9-10（1）图9-11的每个等腰三角形三个内角的度数). （2003年江苏省镇江市中考试题）图9-14如图9-15，把一个边长为2cm的的正方形剪成四个全等的直角三角形. 请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照右图按实际大小画在方格纸内（方格为1cm×1cm）.(1)不是正方形的菱形（一个）；（2）不是正方形的矩形（一个）.(3)梯形（一个）. (4)不是矩形和菱形的平行四边形（一个）(5)不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）.7.已知，AB为⊙O的直径，P为AB延长上的一个动点，过点P作⊙O的切线,设切点为C.（1）当点P在AB延长线上，如图9-16（1）时，连结AC，作∠APC的平分线，交AC于D，请你测量∠CDP的度数.（2）当点P在AB延长线上，如图9-16（2）和（3）所示时，连结AC，请你分别在这两个圆中用尺规作∠APC的平分线（不写作法，保留痕迹），设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数.猜想：∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上位置的变化而变化？请对你加以证明.（2002年北京市要城区中考试题）8. 操作：如图9-17，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角尺的直角顶点与P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E.探究：（1）观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似？并证明你的结论；（2）当点P位于CD的中点时，你找到的三角形与△BPC的周长比是多少？（2003年云南省昆明市中考试题）【习题9】参考答案1．（1）略；（2）画图略.画图方法：①利用有刻度的直尺，在∠AOB的边OA、OB上分别截取OC、OD，使OC=OD. ②连结CD，量出CD的长，将线段CD二等分，画出线段CD的中点E.③画直线OE.直线OE即为∠AOB的对称轴.2．画图略.提示：作∠AOB的平分线OP，再作CD的垂直平分线PQ与OP相交于点P.C C(1)A图9-15∴点P就是货站的位置. 39-194．（任选图9-19中两个图案，答案不惟一.）5．本题答案有多种，这里图9-20提供了3种参考答案.如果学生画出的两个图形是同一类型的对称1.6．(1) (2)(3)(两个图形任画一个)（4）(四个图形任画一个)（5(两个图形任画一个)BB图9-19CC图9-20BB图9-187. （1）测量结果：∠CDP=450.（2）作图略，题图中测量结果均为∠CDP=450.猜想：∠CDP=450为确定值，∠CDP 的度数不随点P 在AB 的延长线上位置的变化而变化. (3)证明 如图9-16（3），连结CB ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=900，∴∠A+∠ABC=900又PC 为⊙O 的切线，∴∠A=∠PCB.又∵PD 平分∠APC ，∴∠BPD=∠CPD.又∵∠ABC=∠APC+∠PCB ，∴2∠A+2∠BPD=900. ∠CDP=∠A+∠BPD=450. 8. 解：（1）如图9-21（1），另一条直角边与AD 交于点，则△PDE ∽△BCP.证明：在△PCE 和△BCP 中，∵∠1+∠3=900 ∠2+∠3=900 ∴∠1=∠2 又∠PDE=∠BCP=900∴△PCE ∽△BCP.或如图9-21（2），若一条直角边与BC 的延长线交于点E ，同理可证△BPE ∽△BCP.（2）如图9-21（3），当点P 位于CD 的中点时，若另一条直角边与AD 交于点E ，则BC PD =21又∵△PDE ∽△BCP ∴△PDE 和△BCP 的周长比是1：2. 或：如图9-21（4），若另一条直角边与BC 的延长线交于点E ，同理可证△PCE 与△BCP 的周长是1：2，或若另一条直角边与BC 的延长线交于点E ∵BP BE =25，又△BPE ∽△BCP ， ∴△PCE 与△BCP 的周长比是5：2.。