高一数学平面向量教案27 苏教版

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27.苏教版·高中数学必修Ⅳ教案_§2.2.2向量的减法

§2.2 向量的线性运算§2.2.2 向量的减法教学目标：掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量，能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量，了解向量方程，并会用几何法解向量方程.教学重点：向量减法的三角形法则.教学难点：对向量减法定义的理解.教学过程：Ⅰ.复习回顾1.(向量的概念练习4) 把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ;若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是 .2. (向量的加法练习3) 下列各等式或不等式中，一定不能成立的个数是（）① +<+< ② +=+=-③ +<+= ④ =+<-A. 0B. 1C. 2D. 33. (向量的加法练习4)若O 是ABC ∆内一点，=++，则O 是ABC∆的（）A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心4.(向量的加法练习5)一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速答案:1.直线两个点2.A3.D4. 2/km h上一节，我们一起学习了向量的加法，并熟悉了求解向量和的向量加法的平行四边形法则与三角形法则，并进行了简单应用.这一节，我们来继续学习向量的减法.Ⅱ.讲授新课1.向量减法的定义向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b ). 求两个向量差的运算，叫向量的减法.从向量减法的定义中，我们可以体会到向量减法与向量加法的内在联系.2.向量减法的三角形法则以平面内的一点作为起点作a 、b ，则两向量终点的连线段，并指向a 终点的向量表示a －b .说明：向量减法可以转化为向量加法，如图b 与a －b 首尾相接，根据向量加法的三角形法则有b ＋（a －b ）＝a即a －b ＝BC.AC AB BC -= (如何记忆!)放到平行四边行中研究可得 a －b 与a +b 是以a 与b 为邻边作出的平行四边形的两条对角线. 下面我们通过例题来熟悉向量减法的三角形法则的应用.Ⅲ.例题讲解例1如图，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a －b 和c －d．分析：根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量.作法：如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d .作BA →，DC →，则BA →＝a －b ，DC →＝c －d ．变式一：当a 、b满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？（｜a ｜=｜b ｜且非零不共线时．）变式二：当a 、b满足什么条件时，｜a ＋b ｜=｜a －b ｜？（a 、b 互相垂直时．）变式三：a ＋b 与a －b可能是相等向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同．）如果例2判断题：(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同.(2)三角形ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0. (3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点. (4)｜a ＋b ｜≥｜a －b ｜.分析：(1)a 与b 方向相同，则a ＋b 的方向与a 和b 方向都相同；若a 与b 方向相反，则有可能a 与b 互为相反向量，此时a ＋b ＝0 的方向不确定，说与a 、b 之一方向相同不妥；(2)由向量加法法则AB→＋BC →＝AC →，AC →与CA →是互为相反向量，所以有上述结论；(3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →＋BC →＋AC →＝0，而此时构不成三角形；(4)当a 与b 不共线时，｜a ＋b ｜与｜a －b ｜分别表示以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定；当a 、b 为非零向量共线时，同向则有｜a ＋b ｜＞｜a －b ｜，异向则有｜a ＋b ｜＜｜a －b ｜；当a 、b 中有零向量时，｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜.综上所述，只有(2)正确.例3(1)化简AB →－AC →＋BD →－CD →；(2)化简OA →＋OC →＋BO →＋CO →.解(1)：原式＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0 ；解(2)：原式＝(OA →＋BO →)＋(OC →＋CO →)＝(OA →－OB →)＋0 ＝BA →．例4(课本P64例2)如图，Ｏ是平行四边形ABCD 的对角线的交点，若AB a = ，DA b = ，OC c = ，试证明：b c a OA +-=．分析：要证b c a OA +-= ，只要证b c OA a +=+．证法一：因为b c DA OC OC CB OB +=+=+= ，OA a OA AB OB +=+= ，所以b c OA a +=+ ，即b c a OA +-=．证法二：OA OC CA c CB BA c b a =+=++=+-∴b c a OA +-= ．点评：因为相等的向量比较多，所以证明的途径也比较灵活，只要能通过向量的相等，以及运算法则的运用，形成等式成立的证明途径即可．途径是较多的．课本上就提出：你还可以用其他方法来证明吗？同学们可以去试一试．练习：课时训练Ｐ43例3如图，Ｏ是 ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若AB a = ，BC b = ，OD c = ，求证：c a b OB +-=.分析:此题与例4本质是一样的，故不再重复讲解，希望同学们也能够识别一些只是改变一下叙述方法的问题的本质，做到真正理解题意，抓住问题的本质．练习:1.下列等式:①a +0 =a ②b +a =a +b ③-(-a )=a ④a +(-a)=0 ⑤a +(-b )=a -b 正确的个数是( )A.2 B .3 C.4 D.52.下列等式中一定能成立的是( )A. AB +AC =BC B . AB -AC =BCC. AB +AC =CBD. AB -AC =CB3.化简OP -QP +PS +SP 的结果等于( )A. QP B . OQ C. SP D. SQ4.已知OA =a , OB =b ,若|OA |=12,|OB |=5,且∠AOB =90°,则|a -b |= .5.在正六边形ABCDEF 中, AE =m , AD =n ,则BA = .6.已知a 、b 是非零向量,则|a -b |=|a |+|b |时,应满足条件 .Ⅳ.课堂练习课本P 65练习1，2，3，4，5，6.Ⅴ.课时小结通过本节学习，要求大家在理解向量减法定义的基础上，掌握向量减法的三角形法则，并能加以适当的应用.Ⅵ.课后作业1.课时训练P43第3课时向量的减法;2.课本P 68习题 4，8，11．。

苏教版数学高一必修4教案 2.1向量的概念及表示

2．1向量的概念及表示●三维目标1．知识与技能(1)理解、掌握向量的概念．(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等的概念．2．过程与方法在理解向量等有关概念的基础上，充分联系实际，培养学生解决生活实际问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过对向量的学习，使学生对现实生活中的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生对现实生活中的真善美的识别能力．(2)对学生进行辩证思维的教育.●重点难点重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示．难点：向量的概念和共线向量的概念．●教学建议1．关于向量概念的教学教学时，建议教师从向量的物理背景出发，借助物理学中的位移、速度、力等矢量引出向量的概念，并指出向量具有“数”和“形”的双重特征．2．关于零向量、单位向量、相等向量和共线向量的教学教学时，建议教师类比数及向量的概念给出零向量、单位向量的概念；结合向量的两要素给出相等向量的定义；强调指出共线向量未必是在同一直线上的向量．由于零向量、单位向量、相等向量和共线向量是研究向量的基础，为增加学生对上述概念的感性认识，学习时建议教师对该知识点进行适当训练．●教学流程创设问题情境，引入向量的概念.⇒引导学生结合物理学中的位移、速度、力等矢量理解向量具有“数”和“形”的双重特征.⇒通过类比数与向量的概念，引导学生理解零向量、单位向量、相等向量、共线向量等概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用向量有关概念判断有关命题真假的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用有向线段表示向量的方法，并注意向量模的大小.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握写出图形中的相等共线向量的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．2.理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义．(重点、难点)3.理解向量的几何表示.向量及其有关概念(1)火车向正南方向行驶了50 km，行驶速度的大小为120 km/h，方向是正南．(2)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．1．上述两个实例中涉及的物理量的特点是什么？【提示】它们的大小和方向都是确定的．2．上述实例中的速度和力，如何表示？【提示】可以用有向线段表示，也可以用字母表示．1．向量的概念向量：既有大小，又有方向的量叫向量．2．向量的表示(1)用有向线段表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．以A 为起点、B 为终点的向量记作AB →.向量AB →的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|AB →|. (2)用字母表示向量通常在印刷时，用黑体小写字母a ，b ，c …表示向量，在手写时用带箭头的小写字母a →， b →， c →…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB →，CD →. 3．与向量有关的概念(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0.(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (4)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫相反向量．(5)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量平行.向量的有关概念(1)单位向量一定相等； (2)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(3)若AB →＝CD →，则点A 与点C 重合，点B 与点D 重合； (4)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； (5)若向量a ＝b ，则a ∥b ； (6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .【思路探究】从概念的理解出发，结合具体实例进行判断．【自主解答】 (1)不正确．向量有大小和方向两个要素，单位向量的模一定是1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等．(2)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .(3)不正确．这是因为AB →＝CD →时，应有|AB →|＝|CD →|及由A 到B 与由C 到D 的方向相同，但不一定有A 与C 重合，B 与D 重合．(4)不正确．“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的．(5)正确．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．(6)不正确．对于非零向量命题正确，但当b ＝0时，满足a ∥b ，b ∥c ，但a 与c 不一定共线．1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量． 3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．下列说法：①方向相同或相反的向量是平行向量；②零向量的长度是0；③长度相等的向量叫相等向量；④共线向量是在一条直线上的向量．其中正确的命题是________．(填序号)【解析】方向相同或相反的非零向量才是平行向量，所以①不正确；长度相等，方向相同的向量才叫相等向量，所以③不正确；共线向量也叫平行向量，它们不一定在一条直线上，也可能在平行直线上，所以④不正确；零向量的长度为0，所以②正确．【答案】 ②向量的表示50°行驶了200千米到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D.(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【思路探究】解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解．【自主解答】 (1)如图．(2) 由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD. 又∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD. ∴四边形ABCD 为平行四边形．∴|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量．在如图2－1－1的方格纸中，画出下列向量．图2－1－1(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向； (2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向．【解】取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，相应的向量如图所示：相等向量与共线向量图2－1－2如图2－1－2所示，在△ABC 中，三边长均不相等，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 这6点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与EF →共线的向量； (2)与EF →长度相等的向量； (3)与EF →相等的向量．【思路探究】 (1)与EF →共线的向量即与之方向相同或相反的向量；(2)与EF →长度相等即表示向量的线段与EF 长度相等；(3)与EF →相等的向量即与之共线且长度相等的向量．【自主解答】 (1)∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴EF ∥BC ， ∴与EF →共线的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)∵D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，∴BD ＝DC ＝12BC ，EF ＝12BC.∵AB ，BC ，AC 均不相等，∴与EF →长度相等的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量为DB →，CD →.1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．图2－1－3如图2－1－3，D ，E ，F 分别是△ABC 各边上的中点，四边形BCMF 是平行四边形，请分别写出：(1)与CM →模相等且共线的向量； (2)与ED →相等的向量； (3)与BF →相反的向量．【解】 (1)DE →，ED →，BF →，FB →，FA →，AF →，MC →. (2)FB →，AF →，MC →. (3)FB →，AF →，ED →，MC →.对向量的有关概念理解不透彻致误判断下列说法是否正确： (1)向量就是有向线段； (2)AB →＝BA →；(3)若向量AB →与向量CD →平行，则线段AB 与CD 平行； (4)若|a |＝|b |，则a ＝±b ；(5)若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形．【错解】以上说法都正确．【错因分析】 (1)向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．因此，有向线段是向量的一种表示方法，不能说向量就是有向线段．(2)AB →与BA →的长度相等，但方向相反，故当AB →是非零向量时，AB →与BA →不相等． (3)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，故若AB →与CD →平行，则线段AB 与CD 可能平行，也可能共线．(4)由|a |＝|b |，仅能说明两向量的模相等，但方向却不能确定，故(4)不正确．而(5)中，A ，B ，C ，D 可能落在同一条直线上，故(5)不正确．【防范措施】首先，要清楚向量的两要素：大小和方向；其次，要对共线向量、单位向量、相等向量、零向量有深入的理解，考虑问题要全面，注意零向量的特殊性．【正解】以上说法都不正确．1．如果有向线段AB 表示一个向量，通常我们就说向量AB →，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．2．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．1．下列说法正确的是________． ①若|a |＝0，则a ＝0； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③向量AB →与向量BA →是相反向量； ④若a ∥b ，则a ＝b .【解析】 ①不正确，若|a |＝0，则a ＝0；由于相等向量的长度相等且方向相同，故②④不正确；③显然正确．【答案】 ③图2－1－42．如图2－1－4所示，E ，F 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，则与向量EF →共线的向量有________(将图中适合条件的向量全写出来)．【解析】 ∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC ， ∴适合条件的向量为FE →，BC →，CB →. 【答案】 FE →，BC →，CB →3．若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中不正确的是________． ①AB →与CD →共线；②AC →与BD →相等；③AD →与CB →是相反向量；④AB →与CD →的模相等．【解析】 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，故①，④正确； AC ＝BD ，但AC →与BD →的方向不同，故②不正确； AD ＝CB 且AD ∥CB ，AD →与CB →的方向相反，故③正确．【答案】 ②4．在直角坐标系中，画出下列向量，使它们的起点都是原点O. (1)|a |＝2，a 的方向与x 轴正方向成60°，与y 轴正方向成30°；(2)|a |＝4，a 的方向与x 轴正方向成30°，与y 轴正方向成120°. 【解】所求向量及其向量的终点坐标如图所示：一、填空题1．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1；⑤a |a |＝b .其中正确的是________．(填序号)【解析】 |a |不一定大于1，|b |＝1，∴①④不正确；a 和b 不一定平行.a|a |是与a 方向相同的单位向量，所以②⑤不正确；a 为非零向量，显然有|a |＞0. 只有③正确．【答案】 ③2．若a ＝b ，且|a |＝0，则b ＝________. 【解析】 ∵a ＝b ，且|a |＝0，∴a ＝b ＝0. 【答案】 0图2－1－53．如图2－1－5所示，四边形ABCE 为等腰梯形，D 为CE 的中点，且EC ＝2AB ，则与AB →相等的向量有________．【解析】易知四边形ABDE 为平行四边形，则AB →＝ED →，又∵D 是CE 的中点，则ED →＝DC →. 【答案】 DC →，ED →4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进1003米，则此人位移的方向是________．【解析】如图所示，此人从点A 出发，经点B ，到达点C ，则tan ∠BAC ＝1003100＝3，∴∠BAC ＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°.【答案】南偏东30°5．给出以下4个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0，其中能使a 与b 共线成立的是________．【解析】两向量共线只需两向量方向相同或相反．①a ＝b ，两向量方向相同；②|a |＝|b |两向量方向不确定；④|a |＝0或|b |＝0即为a ＝0或b ＝0 ，因为零向量与任一向量平行，所以④成立．综上所述，答案应为①③④. 【答案】 ①③④图2－1－66．如图2－1－6，已知正方形ABCD 边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________. 【解析】正方形的对角线长为22， ∴|OA →|＝ 2. 【答案】27．四边形ABCD 满足AD →＝BC →且|AC →|＝|BD →|，则四边形ABCD 的形状是________．【解析】由四边形ABCD 满足AD →＝BC →可知，四边形ABCD 为平行四边形．又|AC →|＝|BD →|，即平行四边形ABCD 对角线相等，从而可知四边形ABCD 为矩形．【答案】矩形8．设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有表示正确的序号为________．【解析】如图，正方形的对角线互相平分，∴AO →＝OC →，①正确；AO →与AC →的方向相同，所以AO →∥AC →，②正确；AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，然而AO →与BO →的方向不相同，所以AO →≠BO →，④不正确．【答案】 ①②③二、解答题图2－1－79．设在平面上给定了一个四边形ABCD ，如图2－1－7所示，点K ，L ，M ，N 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：KL →＝NM →.【证明】 ∵N ，M 分别是AD ，DC 的中点，则NM →＝12AC →，同理KL →＝12AC →，故KL →＝NM →.图2－1－810．如图2－1－8所示菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为起点与终点的向量中，(1)写出与DA →平行的向量；(2)写出与DA →模相等的向量．【解】由题意可知，(1)与DA →平行的向量有：AD →，BC →，CB →；(2)与DA →模相等的向量有：AD →，BC →，CB →，AB →，BA →，DC →，CD →，BD →，DB →.11．一架飞机从A 点向西北飞行200 km 到达B 点，再从B 点向东飞行100 2 km 到达C 点，最后从C 点向南偏东60°飞行50 2 km 到达D 点，求飞机从D 点飞回A 点的位移．【解】如图所示，由|AB →|＝200 km ，|BC →|＝100 2 km ，知C 在A 的正北100 2 km 处．又由|CD →|＝50 2 km ，∠ACD ＝60°，知∠CDA ＝90°，所以∠DAC ＝30°，所以|DA →|＝50 6 km.故DA →的方向为南偏西30°，长度为50 6 km.如图，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又AB →＝DC →.求证：CN綊MA.【思路探究】要证CN ∥MA 且CN ＝MA ，只需证四边形AMCN 是平行四边形，而四边形AMCN 是平行四边形，可以通过AN →＝MC →得证．【自主解答】由条件AB →＝DC →可知AB ＝DC 且AB ∥DC ，从而四边形ABCD 为平行四边形，从而AD →＝BC →.又M ，N 分别是BC ，AD 的中点，于是AN →＝MC →，所以AN ＝MC 且AN ∥MC ，所以四边形AMCN 是平行四边形，从而CN ＝MA 且CN ∥MA ，即CN 綊MA.1．若AB →＝DC →，且四点A ，B ，C ，D 不共线，则四边形ABCD 为平行四边形，反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →＝DC →.2．利用向量相等或共线证明平行、相等问题：(1)证明线段相等，只需证明相应向量的长度(模)相等．(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →，证明：四边形DNBM 是平行四边形．【证明】 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ，BC 平行且相等．又∵CN →＝MA →，∴四边形CNAM 为平行四边形，∴AN ，MC 平行且相等，∴DN ，MB 平行且相等，∴四边形DNBM 是平行四边形．。

江苏省高一数学下册第二单元《平面向量》全套教案

江苏省高一数学教学案必修4_02 向量的概念及表示班级姓名目标要求1．了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示；2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念．重点难点重点：向量、相等向量、共线向量及向量的几何表示；难点：向量、共线向量的概念．教学过程：一、问题情境二、数学建构1.向量的概念：2.向量的表示方法：3.零向量、单位向量概念：4.平行向量定义：5.相等向量定义：6.共线向量与平行向量关系：三、典例剖析例1 已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图2-1-6所标出的向量中：（1）试找出与FE共线的向量；（2）确定与FE相等的向量；（3）OA与BC相等吗？C例2 在图2-1-7中的45⨯方格纸中有一个向量AB ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB 相等的向量有多少个？与AB 长度相等的共线向量有多少个（AB 除外）？图2-例3 判断下列各题是否正确：（1）向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）若a 与b 是平行向量，则a b =；（4）若//,//a b b c ，则//a c ．（5）已知四边形ABCD ，当且仅当AB DC =时，该四边形是平行四边形．例4 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后向西偏北走了450m 到达C 点，最后向东走了200m 到达D 点（1）作出向量,,AB BC CD （2）求A 到D 的位移例5 下列各种情况中，向量终点各构成什么图形：（1）把所有单位向量起点平移到原点；（2）把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一点；（3）把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点．A四、课堂练习1、在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？2、在下列结论中，哪些是正确的？（1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；（3）若a 和b 都是单位向量，则a b =；（4）两个相等向量的模相等．3、关于零向量的说法正确的是____________ ①零向量没有方向 ②零向量长度为０ ③零向量与任一向量平行 ④零向量的方向任意4、如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形（1）写出与向量相等的向量__________________ （2）写出与向量共线的向量__________________ （3）23=，则向量EC 的长度______________ 高一数学作业(52)班级姓名得分1、下列说法中正确的是___________．①若||||a b >，则a b >； ②若||||a b =，则a b =；③若a b =，则//a b ； ④若a b ≠，则a 与b 不是共线向量．2、下面给出的五个命题：（１）单位向量都相等；（２）若DC AB =则=且//AB CD ；（３）若=且=，则=；（４）若//a b r r ，//b c r r ，则//a c r r；（５）若四边形ABCD 是平行四边形，则=．其中真命题有 3、如图，ABC ∆和111C B A ∆是在各边的31处相交的两个全等正三角形，设正ABC ∆的边长是a ，图中列出了长度均为3a的若干个向量，则（1）与向量CH 相等的向量是_____________（2）与向量GH 共线且模相等的向量有_________个 CDBCB1A1（3）与向量EA 平行且模相等的向量有________个4、若e 是a 方向上的单位向量，则||aa 与e 的方向长度．5、在直角坐标系中，已知||2OA =，那么点A 构成的图形是_____________．6、给出以下5个条件：①b a =；②a b =；③a 与b 的方向相反；④||0a =或||0b =；⑤与都是单位向量，其中能使与共线成立的是．7、如图，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：（１）分别写出与,AO BO 相等的向量；（２）写出与AO 共线的向量；（３）写出与AO 的模相等的向量；（４）向量AO 与CO 是否相等？8、已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东 30°的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？FE方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有9、如图，以13多少种不同的方向？必修4_02 向量的加法班级姓名目标要求1．理解向量加法的含义，能熟练运用平行四边形法则、三角形法则作两个向量的和2．掌握向量加法的交换律、结合律，并能熟练运用3．通过向量的加法运算，让学生感受数形结合的思想重点难点重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则难点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则教学过程：一、问题情境二、建构数学1. 向量加法的定义：2. 向量加法的三角形法则：3. 向量加法的平行四边形法则：4. 向量加法所满足的运算律：三、典例剖析例 1 如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：（1）OA OC +；（2）BC FE +；（3）OA FE +例2 在长江南岸某渡口处，江水以12.5/km h 的速度向东流，渡船的速度为25km/h ，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？例3如图，在正六边形OABCDE 中，若,OA a OE b ==试用,a b 将,,OB OC OD 表示出来例4 点D ，E ，F 分别是⊿ABC 三边AB ，BC ，CA 的中点，求证：（1）1()2AE AB AC =+；（2）0EA FB DC ++=例5 点M 是ABC ∆的重心，F E D ,,分别是CA BC AB ,,的中点，则++=_________课堂练习1、以下四个命题中不正确的是_____________①若是任意非零向量，则a ∥0 ② +=+③≠⇔≠或，方向不同 ④任一非零向量的方向都是唯一的 2、在四边形ABCD 中，+=，则四边形ABCD 的形状是______________ 3、下列各等式或不等式中，可以成立的个数是______________（1+<+<- （2+=+=-（3+<+=- （4+=+< 4、化简：AB DF CD BC FA ++++=____________5、一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，则飞行的路程为_______，两次位移的和的方向为_____________，大小为_______高一数学作业(53)班级姓名得分1、,a b 是两向量，不等式a b a b +<+成立仅当（） A 、a 与b 共线时成立 B 、a 与b 不共线时成立C 、a 与b 反向共线时成立D 、a 与b 不共线，或a 与b 均非零且反向共线时成立2、已知O 是ABCD 对角线的交点，则以下结论正确的序号是_____________ ． ①AB AC BC += ②AB CB AC +=③AO OB AB += ④ CB CD CA += ⑤ A O C OD O B O+=+ 3、在四边形ABCD 中，AB CA BD ++等于______________．4、若O 是ABC ∆内一点，=++，则O 是ABC ∆的__________心．5、正方形ABCD 的边长为1， =，=，=++= ．6、当不共线向量a ，b 满足条件________________时，使得b a +平分a ，b 间的夹角．7、若向量AB 与BC 反向共线，且2006AB =，2007BC =，则AB BC +=___________ ．8、设表示“向东走10km ”，表示“向西走5km ”，c 表示“向北走10km ”，试说明下列向量的意义：（1）a b +________________________________________________．（2）a c +________________________________________________． 9、根据图形填空：b c +=______________；a d +=______________ b c d ++=______________；f e +=______________；eg +=______________．abc def gh10、设A ，B ，C 是平面内任意三点，求证：0AB BC CA ++=．11、如图在矩形ABCD 中，||43AD =设A B a =，BC b =，BD c =，求||a b c ++．12、一架飞机从甲地按北偏东20的方向飞行1500km 到达乙地，再从乙地按南偏西80的方向飞行1500km 到达丙地。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.3.2 平面向量的坐标运算》1

平面向量的坐标表示教案【教学设计设想】1表达知识的发生、开展过程；本节课的核心知识是“平面向量正交分解条件下坐标表示〞，学生正确建构了向量的坐标表示，才能真正理解向量的“代数化〞，进而从代数的角度理解向量的运算，所以本节课的设计，力图呈现平面向量坐标表示的发生、开展过程。

2将知识的数学形态转化为教学形态；教材中对本节内容的介绍只有本页之多，却内涵丰富，承前启后，不能以自己的想法代替学生的想法，不能简单地告诉学生定义、结论，通过问题的设置来引导学生操作、思考、讨论交流，推进教学的进程。

3教学重心前移；对于本节课的知识，如果学生记住向量坐标表示的结论，学生也能解决一系列的问题，以往的教学，是将重心放在如何强化学生的解题训练上，注重解题的方法与技巧，在题的难度上和解法技巧上进行设计，本次教学的重心放在学生对向量坐标表示的意义理解上。

4还学生自主学习的空间与时间；在学生的“最近开展区内〞设置有思考价值的问题，形成学生认知上的冲突，才是给学生提供学习的空间；在对学生设置好探究问题后，要舍得给学生独立思考，与同伴交流的时间。

【教材内容地位】本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示〞，向量根本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑根底，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。

节平面向量的根本定理及坐标表示主要四局部内容1平面向量的根本定理，2平面向量的坐标表示，3平行向量的坐标运算，4平面向量共线的坐标表示。

本节教学的内容是本单元的第2节。

【目标与目标解析】知识与技能：1掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：〔1〕能写出给定向量的坐标；〔2〕给出坐标能画出表示向量的有向线段；2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：〔1〕知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；〔2〕向量的坐标等于终点减去起点坐标。

高三数学平面向量苏教知识精讲

高三数学平面向量苏教【本讲教育信息】一. 教学内容：平面向量二. 考试大纲：理解平面向量的有关概念、平面向量的线性运算、平面向量的坐标表示、掌握平面向量的数量积；理解平面向量的平行与垂直；了解平面向量的应用。

三. 教学重点、难点：重点：平面向量的数量积。

难点：向量共线定理。

四. 基本内容：1、向量的概念：（1）→⇒→⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎫⎧⎧⎨⎬⎨⎭⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩零向量大小模单位向量相等向量向量平行（共线）相反向量方向垂直夹角　（2）→→→⎧⎨⎩向量形式向量共线定理表示坐标形式平面向量基本定理基底（3）⇒⎧⎧⎫⎧⎨⎬⎨⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩三角形法则共线几何形式平行四边形法则不共线运算运算律坐标形式数量积共线（平行） a ∥⇔b a b λ=()0b ≠或0b ＝垂直若,a b 为非零向量，⇔⊥b a __________ 线段定比分点若P 分12PP 所成的比为λ即12PP PP λ=则121OP OP OP λλ+=+中点公式OABP=OP平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使4、两个向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，过O 点作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB ＝θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的．当θ＝0°时，a 与b ；当θ＝180°时，a 与b ；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作．5、两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量__________叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝．规定零向量与任一向量的数量积为0．若a ＝（x 1， y 1），b ＝（x 2， y 2），则a ·b ＝．6、向量的数量积的几何意义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影（θ是向量a 与b 的夹角）．a ·b 的几何意义是，数量a ·b 等于7、向量数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与b 的夹角．（1）e ·a ＝a ·e ＝（2）a ⊥b ⇔（3）当a 与b 同向时，a ·b ＝；当a 与b 反向时，a ·b ＝．（4）cos θ＝．（5）|a ·b |≤ 8、向量数量积的运算律：（1）a ·b ＝；（2）（λa ）·b ＝＝a ·（λb ）（3）（a ＋b ）·c ＝五. 基础训练：1、（福建理4文8）对于向量，,,,a b c 和实数，下列命题中假命题是 ①③④ ①若0a b ⋅=，则0a =或0b = ② 若0a λ=，则00a λ==或 ③ 若22a b =，则a b a b ==-或 ④ 若c b a c ⋅=⋅，则b c = 2、已知向量a ＝（4，2），向量b ＝（x ，3），且a //b ，则x ＝ 63、（全国2 理5）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2，CD ＝CA λ+31，则＝23。

平面向量教案3篇

平面向量教案3篇平面向量教案1一、教学目标：1. 理解平面向量的定义及相关术语；2. 掌握平面向量的基础运算和性质，如向量的加、减、数乘、模长等；3. 能够利用向量解决几何、三角学以及力学等问题。

二、教学重难点：教学重点：向量的基础运算和性质；教学难点：向量问题的解答。

三、教学方法：讲述法、举例法、实验法。

四、教学过程：1. 前置知识概括为了有利于学生对本次课程的学习，首先需要对平面向量有一定的了解。

向量是运用在三角学以及计算机科学中的一个概念，它表示一个方向和一个大小。

在二维空间中，向量通常用一个有序数对(x, y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

然而，在本课程中，我们将会介绍另一种同样重要的表现向量的方式：平面向量。

2. 讲解平面向量的定义及相关术语平面向量即为有向线段，表示为 $\vec{a}$，具有大小和方向。

平面向量有以下几个重要的术语：（1）起点：向量 $\vec{a}$ 的起点是线段的始点，表示为 $A$。

（2）终点：向量 $\vec{a}$ 的终点是线段的末点，表示为 $B$。

（3）长度：向量 $\vec{a}$ 的长度等于线段 $AB$ 的长度，可以用$|\vec{a}|$表示。

（4）方向角：向量 $\vec{a}$ 的方向角是向量与$x$轴正方向的夹角，通常用 $\theta$表示。

（5）方向余弦：向量 $\vec{a}$ 的方向余弦分别是向量在$x$和$y$轴上的投影与向量长度的比值，分别用 $\cos\alpha$ 和$\cos\beta$表示。

（6）坐标表示：用有序数对 $(a_x, a_y)$ 表示向量 $\vec{a}$，其中 $a_x$ 和 $a_y$ 分别表示向量在$x$轴和$y$轴上的分量。

3. 讲解向量的基本运算及性质（1）向量的加法：设 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为两个向量，它们的和记为 $\vec{a}+\vec{b}$，可通过作一平行四边形得到。

高三数学一轮复习平面向量的概念于运算教案苏教版

1.在△ABC中,有命题：① ；② 0;③（ )（）=0；则△ABC为等腰三角形；④若 >0，则△ABC为锐角
三角形,上述命题正确的是。
A.①②B.①④C .② + + 的模
等于。
变式：将正方形ABCD变为有一角为60度的菱形ABCD呢？
教学难点
理解向量和向量的模、零向量、单位向量、平行向量（共线向量）向量相等等有关的概念的含义，掌握向量的几何表示。
教学方法
讲练结合法
教具准备
直尺、三角板
教学课件
实物投影仪
教学过程
教师主导活动
学生主体活动、修改、备注
一、基础扫描：知识梳理
1．向量：
2．几个重要的概念：
（1）零向量；(2)单位向量；
（3）平行向量（共线向量）；(4)相等向量：；
3.(05山东)已知向量、 ,且 = +2 , =-5 +6 ,
=7 -2 ,则一定共线的三点是。
A．A、B、D B. A、B、C C. B、C、D D. A、C、D
4.（04全国）已知满足| |=1，| |=2，| - |=2，则| + |等于
A．1 B. C. D.
三、典型例题讲解：
1）向量的概念
（5）向量的模。
3．向量的加法：
4．向量的减法：
5．实数与向量的积：
6．两个向量共线的充要条件：
7．平面向量的基本定理:
８．一些常用结论：
①O是任意一点，M是线段AB的中点 M是△ABC的重心
②对任意非零向量，，则有|| |-| || | | | |+| |
③证明A、B、C三点共线（或）
二、基础训练：
平面向量的概念

苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算教案理解析版

１．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称错误!）平面向量是自由向量零向量长度为错误!的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于１个单位的向量非零向量a的单位向量为±错误!平行向量方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量）0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0２．向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：a＋b＝b＋a；结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）减法求a与b的相反向量—b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a—b＝a＋（—b）数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0λ（μ a）＝（λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μ a；λ（a＋b）＝λa＋λb时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.[小题体验]１．在△ABC中，错误!＝c，错误!＝b，若点D满足错误!＝２错误!，则错误!＝________.解析：如图，因为在△ABC中，错误!＝c，错误!＝b，且点D满足错误!＝２错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!b＋错误!c.答案：错误!b＋错误!c１若a∥b，则a＝b；２若|a|＝|b|，则a＝b；３若|a|＝|b|，则a∥b; ４若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确命题的序号是________．答案：４３．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋２b平行，则实数λ＝________.解析：因为向量λa＋b与a＋２b平行，所以λa＋b＝k（a＋２b），则错误!所以λ＝错误!.答案：错误!１．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．２．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．３．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．[小题纠偏]１．若菱形ABCD的边长为２，则|错误!—错误!＋错误!|＝________.解析：|错误!—错误!＋错误!|＝|错误!＋错误!＋错误!|＝|错误!|＝２．答案：２２．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）．解析：若a＝b，则|a＋b|＝|２a|＝２|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝２|a|，即p⇒q.若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即a＝λb，且λ＞0，故q p．所以p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要３．已知向量i与j不共线，且错误!＝i＋m j，错误!＝n i＋j.若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是________．（填序号）１m＋n＝１；２m＋n＝—１；３mn＝１；４mn＝—１．解析：由A，B，D共线可设错误!＝λ错误!，于是有i＋m j＝λ（n i＋j）＝λn i＋λj.又i，j不共线，因此错误!即有mn＝１．答案：３错误!错误![题组练透]１两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；２若|a|＝|b|，则a＝b；３若错误!＝错误!，则A，B，C，D四点构成平行四边形；４在平行四边形ABCD中，一定有错误!＝错误!；５若m＝n，n＝p，则m＝p；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.其中错误的命题是________．（填序号）解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等，但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故１不正确；|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故２不正确；错误!＝错误!，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，故３不正确；零向量与任一向量平行，故当a∥b，b∥c时，若b ＝0，则a与c不一定平行，故⑥不正确．答案：１２３⑥１对于实数p和向量a，b，恒有p（a—b）＝p a—p b；２对于实数p，q和向量a，恒有（p—q）a＝p a—q a；３若p a＝p b（p∈R），则a＝b；４若p a＝q a（p，q∈R，a≠0），则p＝q.其中正确的命题是________．（填序号）解析：根据实数与向量乘积的定义及其运算律，可知１２４正确；当p＝0时，p a＝p b＝0，而不一定有a＝b，故３不正确．答案：１２４[谨记通法]有关平面向量概念的6个注意点（１）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．（２）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．（３）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．（４）非零向量a与错误!的关系：错误!是与a同方向的单位向量，—错误!是与a反方向的单位向量．（５）两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．（6）两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．错误!错误![题组练透]１．如图，在△ABC中，错误!＝错误!＝错误!，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ＝________.解析：由题意，错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，∴错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!.又错误!＝λ错误!＋μ错误!，∴λ＝μ＝错误!，λ＋μ＝错误!.答案：错误!２．（２0１9·苏州调研）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝________错误!.解析：因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以错误!＋错误!＝２错误!，错误!＋错误!＝２错误!，所以错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝４错误!.答案：４３．（２0１9·海门中学检测）在等腰梯形ABCD中，错误!＝—２错误!，M为BC的中点，则错误!＝________（用错误!，错误!表示）．解析：因为错误!＝—２错误!，所以错误!＝２错误!.又M是BC的中点，所以错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（错误!＋错误!＋错误!）＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.答案：错误!错误!＋错误!错误![谨记通法]１．平面向量的线性运算技巧（１）不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．（２）含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．２．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路（１）没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．（２）利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．（３）比较、观察可知所求．错误!错误![典例引领]设两个非零向量a与b不共线，（１）若错误!＝a＋b，错误!＝２a＋8b，错误!＝３（a—b），求证：A，B，D三点共线；（２）试确定实数k，使k a＋b和a＋k b同向．解：（１）证明：因为错误!＝a＋b，错误!＝２a＋8b，错误!＝３a—３b，所以错误!＝错误!＋错误!＝２a＋8b＋３a—３b＝５（a＋b）＝５错误!.所以错误!，错误!共线，又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．（２）因为k a＋b与a＋k b同向，所以存在实数λ（λ＞0），使k a＋b＝λ（a＋k b），即k a＋b＝λa＋λk b.所以（k—λ）a＝（λk—１）b.因为a，b是不共线的两个非零向量，错误!解得错误!或错误!又因为λ＞0，所以k＝１．[由题悟法]共线向量定理的３个应用（１）证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．（２）证明三点共线：若存在实数λ，使错误!＝λ错误!，则A，B，C三点共线．（３）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值．[提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[即时应用]１．（２0１8·南京第十三中学测试）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝４，且错误!＝错误!错误!＋λ错误!（λ∈R），则AD的长为________．解析：因为B，D，C三点共线，所以错误!＋λ＝１，解得λ＝错误!，如图，过点D 分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，由AB＝４，得AN＝AM＝３，又因为错误!＋错误!＝错误!，所以（错误!＋错误!）２＝|错误!|２，所以AD２＝２7，AD＝３错误!.答案：３错误!２．（２0１9·天一中学检测）如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设错误!＝a，错误!＝b.（１）试用a，b表示错误!，错误!，错误!；（２）证明：B，E，F三点共线．解：（１）在△ABC中，∵错误!＝a，错误!＝b，∴错误!＝错误!—错误!＝b—a，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝a＋错误!（b—a）＝错误!a＋错误!b，错误!＝错误!＋错误!＝—错误!＋错误!错误!＝—a＋错误!b.（２）证明：∵错误!＝—a＋错误!b，错误!＝错误!＋错误!＝—错误!＋错误!错误!＝—a＋错误!错误!＝—错误!a＋错误!b＝错误!（—a＋错误!b），∴错误!＝错误!错误!，∴错误!与错误!共线，且有公共点B，∴B，E，F三点共线．一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若错误!＋错误!＝λ错误!，则λ＝________.解析：根据向量加法的运算法则可知，错误!＋错误!＝错误!＝２错误!，故λ＝２．答案：２２．（２0１9·海门中学检测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，则错误!＝________.解析：因为错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，所以错误!＝错误!—错误!＝—错误!错误!＋错误!错误!＝错误!（错误!—错误!），所以错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!.答案：错误!３．（２0１8·启东期末）在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ＝________.解析：由已知，得错误!＝错误!＋错误!错误!，所以错误!＝错误!—错误!错误!，又错误!＝λ错误!＋μ错误!，所以λ＝１，μ＝—错误!，则λ＋μ＝错误!.答案：错误!４．（２0１8·扬州模拟）在△ABC中，N是AC边上一点且错误!＝错误!错误!，P是BN上一点，若错误!＝m错误!＋错误!错误!，则实数m的值是________．解析：如图，因为错误!＝错误!错误!，P是错误!上一点．所以错误!＝错误!错误!，错误!＝m错误!＋错误!错误!＝m错误!＋错误!错误!，因为B，P，N三点共线，所以m＋错误!＝１，则m＝错误!.答案：错误!５．（２0１9·张家港模拟）如图所示，向量错误!，错误!，错误!的终点A，B，C在一条直线上，且错误!＝—３错误!，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，若c＝m a＋n b，则m—n＝________.解析：由向量错误!，错误!，错误!的终点A，B，C在一条直线上，且错误!＝—３错误!，得错误!＝错误!＋错误!＝错误!—３错误!＝错误!—３（CO―→＋错误!），即错误!＝错误!＋３错误!—３错误!，则c＝—错误!a＋错误!b.又c＝m a＋n b，所以m＝—错误!，n＝错误!，所以m—n＝—２．答案：—２6．（２0１8·江阴高级中学测试）已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b ＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝________.解析：依题意，设a＋b＝m c，b＋c＝n a，则有（a＋b）—（b＋c）＝m c—n a，即a—c＝m c—n a.又a与c不共线，于是有m＝—１，n＝—１，a＋b＝—c，a＋b＋c＝0.答案：0二保高考，全练题型做到高考达标１．已知△ABC和点M满足错误!＋错误!＋错误!＝0．若存在实数m，使得错误!＋错误!＝m错误!成立，则m＝________.解析：由错误!＋错误!＋错误!＝0得点M是△ABC的重心，可知错误!＝错误!（错误!＋错误!），即错误!＋错误!＝３错误!，则m＝３．答案：３２．（２0１9·江阴期中）若a，b不共线，且a＋m b与２a—b共线，则实数m的值为________．解析：∵a＋m b与２a—b共线，∴存在实数k，使得a＋m b＝k（２a—b）＝２k a—k b，又a，b不共线，∴１＝２k，m＝—k，解得m＝—错误!.答案：—错误!３．下列四个结论：１错误!＋错误!＋错误!＝0；２错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝0；３错误!—错误!＋错误!—错误!＝0；４错误!＋错误!＋错误!—错误!＝0，其中一定正确的结论个数是________．解析：１错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝0，１正确；２错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!，２错；３错误!—错误!＋错误!—错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝0，３正确；４错误!＋错误!＋错误!—错误!＝错误!＋错误!＝0，４正确．故正确的结论个数为３．答案：３４．（２0１8·南汇中学检测）已知△ABC中，点D在BC边上，且错误!＝２错误!，错误!＝r错误!＋s错误!，则r＋s＝________.解析：如图，因为错误!＝２错误!，所以错误!＝错误!错误!.又因为错误!＝错误!—错误!，所以错误!＝错误!错误!—错误!错误!.又错误!＝r错误!＋s错误!，所以r＝错误!，s＝—错误!，所以r＋s＝0．答案：0５．（２0１8·海安中学检测）如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝________（用a，b表示）．解析：连结CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且错误!＝错误!错误!＝错误!a，所以错误!＝错误!＋错误!＝b＋错误!a.答案：错误!a＋b6．（２0１9·常州调研）已知矩形ABCD的两条对角线交于点O，点E为线段AO的中点，若错误!＝m错误!＋n错误!，则m＋n的值为________．解析：如图所示，因为点E为线段AO的中点，所以错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!＝—错误!错误!＋错误!错误!—错误!错误!＝错误!错误!—错误!错误!，又错误!＝m错误!＋n错误!，所以m＝错误!，n＝—错误!，故m＋n＝错误!—错误!＝—错误!.答案：—错误!7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，错误!２＝１6，|错误!＋错误!|＝|错误!—错误!|，则|错误!|＝________.解析：由|错误!＋错误!|＝|错误!—错误!|可知，错误!⊥错误!，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|错误!|＝错误!|错误!|＝２．答案：２8．（２0１9·启东期中）在△ABC中，D为边AB上一点，M为△ABC内一点，且满足错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!错误!，则错误!＝________.解析：如图，∵错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!，∴AD＝错误!AB，DM＝错误!BC，且DM∥BC，∴错误!＝错误!×错误!＝错误!.答案：错误!9．如图所示，在△OAB中，点C是以点A为对称中心的点B的对称点，点D是把错误!分成２∶１的一个三等分点，DC交OA于点E，设错误!＝a，错误!＝b.（１）用a和b表示向量错误!，错误!；（２）若错误!＝λ错误!，求实数λ的值．解：（１）依题意，A是BC的中点，所以２错误!＝错误!＋错误!，即错误!＝２错误!—错误!＝２a—b，错误!＝错误!—错误!＝错误!—错误!错误!＝２a—b—错误!b＝２a—错误!b.（２）若错误!＝λ错误!，则错误!＝错误!—错误!＝λa—（２a—b）＝（λ—２）a＋b.因为错误!与错误!共线．所以存在实数k，使错误!＝k错误!.即（λ—２）a＋b＝k错误!，因为a，b是不共线的两个非零向量，所以错误!解得错误!１0．设e１，e２是两个不共线的向量，已知错误!＝２e１—8e２，错误!＝e１＋３e２，错误!＝２e１—e２.（１）求证：A，B，D三点共线；（２）若错误!＝３e１—k e２，且B，D，F三点共线，求k的值．解：（１）证明：由已知得错误!＝错误!—错误!＝（２e１—e２）—（e１＋３e２）＝e１—４e２，因为错误!＝２e１—8e２，所以错误!＝２错误!.又因为错误!与错误!有公共点B，所以A，B，D三点共线．（２）由（１）可知错误!＝e１—４e２，因为错误!＝３e１—k e２，且B，D，F三点共线，所以错误!＝λ错误!（λ∈R），即３e１—k e２＝λe１—４λe２，得错误!解得k＝１２．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１9·汇龙中学检测）如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D.若错误!＝x错误!＋y错误!，则x＋y的取值范围是________．解析：由于A，B，D三点共线，设错误!＝α错误!，则错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋α错误!＝错误!＋α（错误!—错误!）＝（１—α）错误!＋α错误!.由于O，C，D三点共线，且点D在圆内，点C在圆上，错误!与错误!方向相反，则存在λ＜—１，使得错误!＝λ错误!＝λ[（１—α）·错误!＋α错误!]＝λ（１—α）错误!＋λα错误!＝x错误!＋y错误!，因此x＝λ（１—α），y＝λα，所以x＋y＝λ＜—１．答案：（—∞，—１）２．已知O，A，B是不共线的三点，且错误!＝m错误!＋n错误!（m，n∈R）．（１）若m＋n＝１，求证：A，P，B三点共线；（２）若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝１．证明：（１）若m＋n＝１，则错误!＝m错误!＋（１—m）错误!＝错误!＋m（错误!—错误!），所以错误!—错误!＝m（错误!—错误!），即错误!＝m错误!，所以错误!与错误!共线．又因为错误!与错误!有公共点B，所以A，P，B三点共线．（２）若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使错误!＝λ错误!，所以错误!—错误!＝λ（错误!—错误!）．又错误!＝m错误!＋n错误!.故有m错误!＋（n—１）错误!＝λ错误!—λ错误!，即（m—λ）错误!＋（n＋λ—１）错误!＝0．因为O，A，B不共线，所以错误!，错误!不共线，所以错误!所以m＋n＝１．。

高一数学平面向量概念教案3篇

高一数学平面向量概念教案3篇高一数学平面向量概念教案篇1一、教材分析1、教材的地位和作用：函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。

本课中对函数概念理解的程度会直接影响其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。

2、教学目标及确立的依据：教学目标：(1) 教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。

(2) 能力训练目标：通过教学培养的抽象概括能力、逻辑思维能力。

(3) 德育渗透目标：使懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。

教学目标确立的依据：函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。

加强函数教学可帮助学好其他的内容。

而掌握好函数的概念是学好函数的基石。

3、教学重点难点及确立的依据：教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。

教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。

重点难点确立的依据：映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的来说不易理解。

而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。

二、教材的处理：将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。

函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。

为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使真正对函数的概念有很准确的认识。

高中数学平面向量教案(精选6篇)

高中数学平面向量教案（精选6篇）为大家收集的高中数学平面向量教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

高中数学平面向量教案精选篇1教学目标1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。

会用基底表示平面内任一向量。

2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。

学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。

如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备重点难点重点：对平面向量基本定理的探究难点：对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】情景设置火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j。

活动2【活动】探究已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）做法：作OA＝e1，OB＝e2，OC＝c，过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交OB于N，则有且只有一对实数l1，l2，使得OM＝l1e1，ON＝l2e2。

因为OC＝OM＋ON，所以c＝6 e1＋6e2。

向量c＝__6__e1＋___6__e2活动3【练习】动手做一做请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2。

活动4【活动】思考问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗?生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量活动5【讲授】平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2。

苏教版数学高一苏教版必修4教学设计平面向量基本定理

教学设计2．3.1平面向量基本定理作者：杨周萍，江苏省羊尖高级中学教师．整体设计教学目标知识目标(1)了解平面向量基本定理．(2)掌握平面内任何一个向量都可以用不共线的两个向量表示，能够在具体问题中选取合适的基底，使其他向量都能用这组基底来表示．能力目标(1)培养学生用向量解决实际问题的能力．(2)培养学生观察、抽象概括、合作交流的能力．情感目标(1)增强学生的数学应用意识．(2)激发学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：平面向量基本定理．教学难点：对平面向量基本定理的理解及应用．教学过程(1)复习回顾师：如果向量a与非零向量b共线，那么a与b满足怎样的关系？生：a＝λb.师：当a，b确定时，λ的值有几个？结论：如果向量a与非零向量b共线，那么有且只有一个实数λ，使a＝λb.(2)引导探究师：如果a与b不共线，则上述结论还成立吗？(学生讨论)结论：不成立．师：你能否添加恰当的条件使得能够表示？学生回答．师：设e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，怎样用e 1、e 2表示a?图1 图2(学生活动)根据前面所学的向量平行四边形法则，两向量共线定理得：方法：平移(已知向量、未知向量)——构造((共起点)平行四边形)OC →＝OM →＋ON →＝λ1OA →＋λ2OB →，即OC →＝λ1e 1＋λ2e 2.其中实数λ1，λ2都是惟一存在的．设计意图：重在探究定理得出的三点，一是为何要用两个不共线的向量e 1，e 2来表示，二是怎样表示，三是表示的惟一性．(3)意义建构平面向量基本定理：(学生描述)如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a 有且只有一对实数λ1，λ2，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2.师：定理中应关注哪些关键词？这些关键词如何理解？生：不共线、有且只有．师：我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．基底是否惟一？图3OC →＝ON →＋OM →＝OE →＋OF →.结论：对于同一向量，可以找到无数组基底来表示．在处理问题时经常选取最合适的一组基底．基底不惟一，关键是要不共线．(4)定理再认识①若a ＝0，则有且只有：λ1＝λ2＝0使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2.②若a 与e 1(或e 2)共线，则有λ2＝0(或λ1＝0)，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2.③一个平面向量用一组基底e 1，e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，称它为向量a 的分解．特别地，当e 1，e 2互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解．事实上，物理中速度、力的分解就是向量分解的物理原型．在接下来的向量运算中，将要用到向量a 的正交分解．图4例1如图5，D 是△ABC 中BC 边的中点，AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示(1)DC →，(2)AD →.解：(1)DC →＝12(b －a )． (2)AD →＝12AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )．图5设计意图：通过构造平行四边形或三角形，利用平行四边形法则和三角形法则，把所求的量转化到已知量上，从而达到解题的目的．例2设e 1，e 2是平面内的一组基底，OA →＝e 1＋e 2，OB →＝3e 1－e 2，OC →＝m e 1－5e 2且A 、B 、C 三点共线，(1)求实数m 的值；(2)试用向量OA →，OB →来表示OC →.解：(1)∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →＝λBC →.又AB →＝OB →－OA →＝(3e 1－e 2)－(e 1＋e 2)＝2e 1－2e 2，BC →＝OC →－OB →＝(m e 1－5e 2)－(3e 1－e 2)＝(m －3)e 1－4e 2，∴2e 1－2e 2＝λ[(m －3)e 1－4e 2]，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ(m －3)－2＝－4λ ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝7，λ＝12.(2)由上知，OC →＝7e 1－5e 2 ，根据平面向量基本定理，存在惟一的实数s ，t ，使得OC →＝sOA →＋tOB →.∴7e 1－5e 2＝s(e 1＋e 2)＋t(3e 1－e 2)．⎩⎪⎨⎪⎧ 7＝s ＋3t －5＝s －t ⇒⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－2，t ＝3. ∴OC →＝－2OA →＋3OB →.解题反思：①三点共线的等价条件是什么？②向量相等，对应向量的系数相等．设计意图：体现解方程组、待定系数法的数学思想，对前面所学知识(任意共线三点A ，B ，C ，满足OC →＝sOA →＋tOB →，则s ＋t ＝1)的进一步理解．(5)小结：a ．平面向量基本定理的内容．b．对基本定理的理解：实数对λ1，λ2的存在性和惟一性，基底的不惟一性．c．基本定理的作用是什么？d．定理中蕴涵着哪些数学思想？。

2017-2018学年高中数学苏教版必修4教案：第二章平面向量第1课时 2.1向量的概念及表示

第1课时§2.1 向量的概念及表示【教学目标】一、知识与技能1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向），能正确地表示向量；2．注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）；3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念。

二、过程与方法（1）从对不同问题的思考中感受什么是向量。

（2）通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质.三、情感、态度与价值观（1）通过向量包含大小和方向，概念的学习感知数学美。

（2）向量的方向包含正反两方面，正反关系的对照培养学生辨证唯物主义思维【教学重点难点】：1．向量、相等向量、共线向量等概念；2．向量的几何表示【教学过程】一、问题情境：问题1、湖面上有3个景点O，A，B，如图所示.一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后，游艇再将游客送至景点B，从景点O到景点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移.位移与距离这两个量有什么不同？问题2、下列物理量中，那些量分别与位移和距离这两个量类似：（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功；（2）物体所受重力；（3）物体的质量为a千克；（4）1月1日的4级偏南风的风速。

问题3、上述的物理量中有什么区别吗？二、新课讲解：（一）概念辨析：（1）向量的定义：（2）向量的表示：（3）向量的大小及表示（4）零向量：（5）单位向量：（二）向量的关系：问题4：在平行四边形ABCD中，向量与，与有什么关系？（1）平行向量（2）相等向量（3）相反向量说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作0//a；；（2）零向量与零向量相等，记作00（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。

问题5：1.向量能否平移？2. 要确定一个向量必须确定什么？要确定一个有向线段必须确定什么？两者有何区别？二、例题分析：例1、已知O为正六边形ABCDEF的中心，如图，所标出的向量中：（1）试找出与FE共线的向量；（2）确定与FE相等的向量；（3）OA与BC向量相等么？例2、判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？例3、如图，在4×5的方格纸中有一个向量AB ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB 相等的向量有多少个？与AB 长度相等的共线向量有多少个？（AB 除外）课时小结：（1）向量是既有大小又有方向的量，向量有两个要素：方向和长度，称为自由向量；有向线段具有三个要素：起点，方向和长度；（2）数量（标量）与向量的区别与联系：向量不同于数量。

苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第五章平面向量第二节平面向量的基本定理及坐标表示教案理解析版

１．平面向量基本定理如果e１，e２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ１，λ２，使a＝λ１e１＋λ２e２.其中，不共线的向量e１，e２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．２．平面向量的坐标运算（１）向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a＋b＝（x１＋x２，y１＋y２），a—b＝（x１—x２，y１—y２），λa＝（λx１，λy１），|a|＝错误!.（２）向量坐标的求法：１若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．２设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!＝（x２—x１，y２—y１），|错误!|＝错误!.３．平面向量共线的坐标表示设a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），其中b≠0，则a∥b⇔x１y２—x２y１＝0.[小题体验]１．已知M（３，—２），N（—５,２），且错误!＝错误!错误!，则点P的坐标为________．解析：设P（x，y），则错误!＝（x—３，y＋２），又错误!错误!＝错误!（—8,４）＝（—４,２），∴错误!解得错误!故点P的坐标为（—１,0）．答案：（—１,0）２．已知向量a＝（m,４），b＝（３，—２），且a∥b，则m＝________.解析：因为a∥b，所以—２m—４×３＝0，解得m＝—6．答案：—6３．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若错误!＝５e１，错误!＝３e２，则错误!＝________.（用e，e２表示）１解析：在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（５e１＋３e２）＝错误!e１＋错误!e２.答案：错误!e１＋错误!e２１．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．２．若a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a∥b的充要条件不能表示成错误!＝错误!，因为x２，y２有可能等于0，所以应表示为x１y２—x２y１＝0．[小题纠偏]１．已知平行四边形ABCD的顶点A（—１，—２），B（３，—１），C（５,6），则顶点D的坐标为________．解析：设D（x，y），则由错误!＝错误!，得（４,１）＝（５—x,6—y），即错误!解得错误!故顶点D 的坐标为（１,５）．答案：（１,５）２．已知向量m＝（λ—１,１），n＝（λ—２,２），若m∥n，则λ＝________，此时|n|＝________.解析：由m∥n可得２（λ—１）＝λ—２，解得λ＝0，此时|n|＝错误!＝２错误!.答案：0 ２错误!错误!错误![题组练透]１．如图，向量e１，e２，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e１，e２表示为________．解析：以e１的起点为坐标原点，e１所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由题图可得e１＝（１,0），e２＝（—１,１），a＝（—３，１），因为a＝x e１＋y e２＝x（１,0）＋y（—１,１）＝（x—y，y），则错误!解得错误!故a＝—２e１＋e２.答案：a＝—２e１＋e２２．如图，在△ABC中，错误!＝错误!错误!，P是BN上的一点，若错误!＝m错误!＋错误!错误!，则实数m的值为________．解析：设错误!＝k错误!，k∈R.因为错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋k错误!＝错误!＋k（错误!—错误!）＝错误!＋k错误!＝（１—k）错误!＋错误!错误!，又错误!＝m错误!＋错误!错误!，所以错误!解得k＝错误!，m＝错误!.答案：错误!３．（易错题）如图，以向量错误!＝a，错误!＝b为邻边作▱OADB，错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，用a，b表示错误!，错误!，错误!.解：因为错误!＝错误!—错误!＝a—b，错误!＝错误!错误!＝错误!a—错误!b，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!a＋错误!b.因为错误!＝a＋b，所以错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＝错误!a＋错误!b，所以错误!＝错误!—错误!＝错误!a＋错误!b—错误!a—错误!b＝错误!a—错误!b.综上，错误!＝错误!a＋错误!b，错误!＝错误!a＋错误!b，错误!＝错误!a—错误!b.[谨记通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路（１）先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．（２）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．错误!错误![题组练透]１．已知向量a，b满足a＋b＝（—１,５），a—b＝（５，—３），则b＝________.解析：由a＋b＝（—１,５），a—b＝（５，—３），得２b＝（—１,５）—（５，—３）＝（—6,8），所以b＝错误!（—6,8）＝（—３,４）．答案：（—３,４）２．已知点M（５，—6）和向量a＝（１，—２），若错误!＝—３a，则点N的坐标为________．解析：错误!＝—３a＝—３（１，—２）＝（—３,6），设N（x，y），则错误!＝（x—５，y＋6）＝（—３,6），所以错误!即错误!故N（２,0）．答案：（２,0）３．已知A（—２,４），B（３，—１），C（—３，—４）．设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，且错误!＝３c，错误!＝—２b，（１）求３a＋b—３c；（２）求满足a＝m b＋n c的实数m，n；（３）求M，N的坐标及向量错误!的坐标．解：由已知得a＝（５，—５），b＝（—6，—３），c＝（１,8）．（１）３a＋b—３c＝３（５，—５）＋（—6，—３）—３（１,8）＝（１５—6—３，—１５—３—２４）＝（6，—４２）．（２）因为m b＋n c＝（—6m＋n，—３m＋8n），所以错误!解得错误!（３）设O为坐标原点，因为错误!＝错误!—错误!＝３c，所以错误!＝３c＋错误!＝（３,２４）＋（—３，—４）＝（0,２0）．所以M（0,２0）．又因为错误!＝错误!—错误!＝—２b，所以错误!＝—２b＋错误!＝（１２,6）＋（—３，—４）＝（9,２），所以N（9,２），所以错误!＝（9，—１8）．[谨记通法]平面向量坐标运算的技巧（１）向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．（２）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．错误!错误![典例引领]已知O为坐标原点，向量错误!＝（３，—４），错误!＝（５，—３），错误!＝（４—m，m＋２）．（１）若D错误!，求证：对任意实数m，都有错误!∥错误!；（２）若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足什么条件？解：（１）证明：由题意，错误!＝错误!—错误!＝（２,１），错误!＝错误!—错误!＝错误!.因为２错误!—１·（m—４）＝0，所以错误!∥错误!.（２）错误!＝错误!—错误!＝（２,１），错误!＝错误!—错误!＝（１—m，m＋6）．若点A，B，C能构成三角形，则A，B，C三点不共线．当A，B，C三点共线时，存在λ使错误!＝λ错误!，即（２,１）＝λ（１—m，m＋6），得错误!解得m＝—错误!.所以当m≠—错误!时，点A，B，C能构成三角形．[由题悟法]１．平面向量共线的充要条件的２种形式（１）若a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a∥b的充要条件是x１y２—x２y１＝0．（２）若a∥b（b≠0），则a＝λb.２．共线问题解含参，列出方程求得解向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．[即时应用]１．（２0１8·海安期末）若A（２,３），B（３,２），C错误!三点共线，则实数m的值为________．解析：∵A（２,３），B（３,２），C错误!，∴错误!＝（１，—１），错误!＝错误!，又∵A，B，C三点共线，∴错误!＝错误!，解得m＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·苏州中学检测）已知向量m＝（λ＋１,１），n＝（λ＋２,２），若（m＋n）∥（m—n），则λ＝________.解析：因为m＋n＝（２λ＋３,３），m—n＝（—１，—１），又（m＋n）∥（m—n），所以（２λ＋３）×（—１）＝３×（—１），解得λ＝0．答案：0３．（２0１9·连云港调研）已知向量a＝（１,２），b＝（—２，x），若a∥b，则实数x＝________.解析：由向量a＝（１,２），b＝（—２，x），且a∥b，可得x＝—２×２＝—４．答案：—４一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·南通检测）已知点A（—１,２），B（２,8）．若错误!＝—错误!错误!，错误!＝错误!错误!，则错误!的坐标为________．解析：∵A（—１,２），B（２,8），∴错误!＝（—３，—6），则错误!＝—错误!错误!＝（１,２），错误!＝错误!错误!＝（２,４），∴错误!＝错误!—错误!＝（２,４）—（１,２）＝（１,２）．答案：（１,２）２．（２0１8·南京学情调研）设向量a＝（１，—４），b＝（—１，x），c＝a＋３b.若a∥c，则实数x的值是________．解析：因为a＝（１，—４），b＝（—１，x），所以c＝a＋３b＝（—２，—４＋３x）．又a∥c，所以—４＋３x—8＝0，解得x＝４．答案：４３．（２0１8·苏州中学测试）已知A（２,１），B（３,５），C（３,２），错误!＝错误!＋t错误!（t∈R），若点P在第二象限，则实数t的取值范围是________．解析：设点P（x，y），则由错误!＝错误!＋t错误!（t∈R），得（x—２，y—１）＝（１,４）＋t（１,１）＝（１＋t,４＋t），所以错误!解得错误!由点P在第二象限，得错误!所以—５＜t＜—３．答案：（—５，—３）４．（２0１8·苏州期末）已知向量错误!＝（m,５），错误!＝（４，n），错误!＝（7,6），则m＋n的值为________．解析：∵向量错误!＝（m,５），错误!＝（４，n），∴错误!＝错误!—错误!＝（４—m，n—５），又错误!＝（7,6），∴错误!解得m＝—３，n＝１１，∴m＋n＝8．答案：8５．（２0１9·启东月考）已知向量a＝错误!，b＝（x,１），其中x＞0，若（a—２b）∥（２a＋b），则x的值为________．解析：a—２b＝错误!，２a＋b＝（１6＋x，x＋１），由（a—２b）∥（２a＋b），得（8—２x）（x＋１）＝错误!（１6＋x），解得x＝４（负值舍去）．答案：４6．（２0１8·泰州期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且AB＝２，若点P（２，错误!），则|错误!＋错误!＋错误!|的取值范围是________．解析：因为AB＝２，所以AB的中点M在以原点为圆心，１为半径的圆上运动（如图所示），则|错误!＋错误!＋错误!|＝|２错误!＋错误!|，当M点为射线OP与圆的交点时，|２错误!＋错误!|的最小值为7，当M点为射线OP的反向延长线与圆的交点时，|２错误!＋错误!|的最大值为１１，所以|错误!＋错误!＋错误!|的取值范围是[7,１１]．答案：[7,１１]二保高考，全练题型做到高考达标１．已知向量a＝（５,２），b＝（—４，—３），c＝（x，y），若３a—２b＋c＝0，则c＝________.解析：由题意可得３a—２b＋c＝（２３＋x,１２＋y）＝（0,0），所以错误!解得错误!所以c＝（—２３，—１２）．答案：（—２３，—１２）２．已知A（—３,0），B（0，错误!），O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝３0°，错误!＝λ错误!＋错误!，则实数λ的值为________．解析：由题意知错误!＝（—３,0），错误!＝（0，错误!），则错误!＝（—３λ，错误!），由∠AOC＝３0°，知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为１５0°，所以tan １５0°＝错误!，即—错误!＝—错误!，所以λ＝１．答案：１３．已知点A（２,３），B（４,５），C（7,１0），若错误!＝错误!＋λ错误!（λ∈R），且点P在直线x—２y＝0上，则λ＝________.解析：设P（x，y），则由错误!＝错误!＋λ错误!，得（x—２，y—３）＝（２,２）＋λ（５,7）＝（２＋５λ，２＋7λ），所以x＝５λ＋４，y＝7λ＋５．又点P在直线x—２y＝0上，故５λ＋４—２（7λ＋５）＝0，解得λ＝—错误!.答案：—错误!４．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝________（用a，b表示）．解析：如图，因为错误!＝a，错误!＝b，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!a＋错误!b.因为E是OD的中点，所以错误!＝错误!，所以|DF|＝错误!|AB|.所以错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!—错误!）＝错误!×错误!＝错误!错误!—错误!错误!＝错误!a—错误!b，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!a＋错误!b＋错误!a—错误!b＝错误!a＋错误!b.答案：错误!a＋错误!b５．已知a，c是同一平面内的两个向量，其中a＝（１,２），|c|＝２错误!，且a∥c，则向量c＝________.解析：设向量c＝（x，y），因为a，c是同一平面内的两个向量，其中a＝（１,２），|c|＝２错误!，且a∥c，可得２x＝y，并且x２＋y２＝２0，解得x＝２，y＝４或x＝—２，y＝—４．所以c＝（２,４）或c＝（—２，—４）．答案：（２,４）或（—２，—４）6．（２0１8·白蒲中学高三期末）若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ（x，y∈R），则称（x，y）为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝（１，—１），q＝（２,１）下的坐标为（—２，２），则a在另一组基底m＝（—１,１），n＝（１,２）下的坐标为________．解析：因为a在基底p，q下的坐标为（—２,２），即a＝—２p＋２q＝（２,４），令a＝x m＋y n＝（—x＋y，x＋２y），所以错误!即错误!所以a在基底m，n下的坐标为（0,２）．答案：（0,２）7．（２0１8·溧水高级中学测试）如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若错误!＝m错误!＋n错误!，则m＋n的取值范围是________．解析：由题意得，错误!＝k错误!（k＜0），又|k|＝错误!＜１，所以—１＜k＜0．又因为B，A，D 三点共线，所以错误!＝λ错误!＋（１—λ）错误!，所以m错误!＋n错误!＝kλ错误!＋k（１—λ）错误!，所以m＝kλ，n＝k（１—λ），所以m＋n＝k，从而m＋n∈（—１,0）．答案：（—１,0）8．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则错误!＝________.解析：以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系（设每个小正方形边长为１），则A（１，—１），B（6,２），C（５，—１），所以a＝错误!＝（—１,１），b＝错误!＝（6,２），c＝错误!＝（—１，—３）．因为c＝λa＋μb，所以（—１，—３）＝λ（—１,１）＋μ（6,２），即—λ＋6μ＝—１，λ＋２μ＝—３，解得λ＝—２，μ＝—错误!，所以错误!＝４．答案：４9．（２0１9·淮安一模）已知a＝（１,0），b＝（２,１）．（１）当k为何值时，k a—b与a＋２b共线；（２）若错误!＝２a＋３b，错误!＝a＋m b，且A，B，C三点共线，求m的值．解：（１）k a—b＝k（１,0）—（２,１）＝（k—２，—１），a＋２b＝（１,0）＋２（２,１）＝（５,２）．∵k a—b与a＋２b共线，∴２（k—２）—（—１）×５＝0，解得k＝—错误!.（２）∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得错误!＝λ错误!，即２a＋３b＝λ（a＋m b）＝λa＋λm b，又a与b不共线，∴错误!解得m＝错误!.１0．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝（２,１），A（１,0），B（cos θ，t），a∥错误!.（１）若|错误!|＝错误!|错误!|，求向量错误!的坐标；（２）求y＝cos２θ—cos θ＋t２的最小值．解：（１）因为错误!＝（cos θ—１，t），又a∥错误!，所以２t—cos θ＋１＝0．所以cos θ＝２t＋１．１又因为|错误!|＝错误!|错误!|，所以（cos θ—１）２＋t２＝５．２由１２得，５t２＝５，所以t２＝１．所以t＝±１．当t＝１时，cos θ＝３（舍去），当t＝—１时，cos θ＝—１，所以B（—１，—１），所以错误!＝（—１，—１）．（２）由（１）可知t＝错误!，所以y＝cos２θ—cos θ＋错误!＝错误!cos２θ—错误!cos θ＋错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!错误!２—错误!，所以，当cos θ＝错误!时，y min＝—错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．已知△ABC是边长为４的正三角形，D，P是△ABC内的两点，且满足错误!＝错误!（错误!＋错误!），错误!＝错误!＋错误!错误!，则△APD的面积为________．解析：法一：取BC的中点E，连接AE，由于△ABC是边长为４的正三角形，则AE⊥BC，错误!＝错误!（错误!＋错误!），又错误!＝错误!（错误!＋错误!），所以点D是AE的中点，AD＝错误!.取错误!＝错误!错误!，以AD，AF为邻边作平行四边形，可知错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!.而△APD是直角三角形，AF＝错误!，所以△APD的面积为错误!×错误!×错误!＝错误!.法二：以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为等边三角形ABC的边长为４，所以B（—２，—２错误!），C（２，—２错误!），由题知错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误![（—２，—２错误!）＋（２，—２错误!）]＝（0，—错误!），错误!＝错误!＋错误!错误!＝（0，—错误!）＋错误!（４,0）＝错误!，所以△ADP的面积为S＝错误!|错误!|·|错误!|＝错误!×错误!×错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·启东中学检测）在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数λ，使得错误!＝λ错误!＋（１—λ）错误!成立，此时称实数λ为“向量错误!关于错误!和错误!的终点共线分解系数”．若已知P１（３，１），P２（—１,３），P１，P２，P３三点共线且向量错误!与向量a＝（１，—１）共线，则“向量错误!关于错误!和错误!的终点共线分解系数”为________．解析：设错误!＝（x，y），则由错误!∥a，知x＋y＝0，于是错误!＝（x，—x），设错误!＝λ错误!＋（１—λ）错误!，则有（x，—x）＝λ（３,１）＋（１—λ）（—１,３）＝（４λ—１,３—２λ），即错误!于是４λ—１＋３—２λ＝0，解得λ＝—１．答案：—１３．已知三点A（a,0），B（0，b），C（２,２），其中a＞0，b＞0．（１）若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；（２）若A，B，C三点共线，试求a＋b的最小值．解：（１）因为四边形OACB是平行四边形，所以错误!＝错误!，即（a,0）＝（２,２—b），错误!解得错误!故a＝２，b＝２．（２）因为错误!＝（—a，b），错误!＝（２,２—b），由A，B，C三点共线，得错误!∥错误!，所以—a（２—b）—２b＝0，即２（a＋b）＝ab，因为a＞0，b＞0，所以２（a＋b）＝ab≤错误!２，即（a＋b）２—8（a＋b）≥0，解得a＋b≥8或a＋b≤0．因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥8，即a＋b的最小值是8．当且仅当a＝b＝４时，“＝”成立．。

平面向量基本定理教案

平面向量基本定理教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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2019-2020年高考数学专题6 平面向量教案苏教版

2019-2020年高考数学专题6 平面向量教案苏教版【课标要求】【典型例题】例1 给出下列命题：①若向量与同向，且||＞||，则＞．②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件． ③向量∥，则向量与方向相同或相反．④向量与向量共线，则A,B,C,D 四点在一条直线上． ⑤起点不同，方向与模相同的几个向量是相等向量．其中正确的序号是_________ ．解析：①不正确．向量与数量不同，它由大小和方向两个要素确定，两个向量不能比较大小．②正确．∵ ，∴ 且，又 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD 为平行四边形；若四边形ABCD 为平行四边形，则且，因此，．③不正确．∵ 与若有一个为，则其方向不确定．④不正确．向量与向量共线，则向量与向量所在的直线平行或重合，因此A,B,C,D 四点不一定在一条直线上．⑤正确．只要大小与方向相同则两向量相等，与其起点位置无关．综上所述，正确命题的序号是②⑤．例2.在中，，．若点满足，则_______ 解析：由可得2()AD AB AC AD -=-uu u r uu r uu u r uu u r ,21213333AD AC AB a b =+=+uuu r uu u r uur r r例3已知是不共线的非零向量，若1212,2a e e b e e λλ=+=--r u r u r r u r u r，且共线，则解析：因为共线，所以可设，则1212(2)2e e k e ek e kλλλ+=--=--u r u r u r u ru r212k k λλλ-=⎧∴∴=±⎨-=⎩ 例4. 已知(2,1),(,3)a b λ=-=r r. 若与的夹角为,则λ的取值范围是________.若与的夹角为钝角,则λ的取值范围是________. 解析：与的夹角为，则，230,3/2λλ∴-==与的夹角为钝角，则，且不共线，又当共线时，，因此λ的取值范围是3/2λλ<≠,且-6例5已知1a b c ===r r r，且两两夹角为，则()____a b c-=r r r g ，若1k a b c ++>r r r，则的取值范围是___________.解析：()cos120a b c a c b c a c -=⋅-⋅=⋅o r r r r r r r r r g —cos120b c ⋅or r =0；若1ka b c ++>r r r ，则21k abc ++>r rr，即22222221k a b c k a b k a c b +++⋅+⋅+⋅>r r r r u ru r r r ，化简得220,20k k k k ->∴><或例6. 已知的重心为G ，若,,AB m AC n ==uur u r uu u r r，则=__________解析：如图因为G 是的重心，所以22()33CG CE AE AC ==-u r =211212()323333AB AC AB AC m n -=-=-uur uu u r uur uu ur u r r例7、设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-r rr（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：//解析：（1）由与垂直，(2)20a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅=r r r r r r r，即4sin()8cos()0,tan()2αβαβαβ+-+=+=；（2）(sin cos ,4cos 4sin )b c ββββ+=+-r r2222sin 2sin cos cos 16cos 32cos sin 16sin b c ββββββββ+=+++-+r r=1730sin cos 1715sin 2,βββ-=-最大值为32，所以的最大值为（3）由tan tan 16αβ= 得sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0,αβαβ⋅-=，所以例8、如图，平面四边形ABCD 中，AB=13，AC=10，AD=5，3cos ,5DAC AB AC ∠=⋅uur uu ur =120．（1）求cos ∠BAD ；（2）设AC x AB y AD x y =⋅+⋅，求、uu u r uu r uu u r 的值．解析：（1）设∠，120123cos ,cos 130135||||AB AC AB AC αβ⋅====⋅uur uu u r uur uu u r 54sin ,sin ,135αβ∴==cos cos()cos cos BAD αβαβ∴∠=+=1235416sin sin 13513565αβ-=⋅-⋅=．（2）由AC x AB y AD =⋅+⋅得uu u r uu r uu u r22:AC AB xAB y AD AB AC AD xAB AD y AD⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩uu u r uur uur uuu r uur uu u r uuu r uur uuu r uuu r12016916301625x y x y=+⎧∴⎨=+⎩解得：4050,6363x y ==．例9、已知两点()()1,0,1,0M N -，且点使，，成公差小于零的等差数列（1）点P 的轨迹是什么曲线？（2）若点P 坐标为，记为与的夹角，求.解析：（1）设(,),(1,0),(1,0)P x y M N -由得(1,),(1,),(2,0)PM MP x y PN NP x y MN NM =-=---=-=--=-=uuu r uuu r uu u r uuruuu r uuu r222(1),1,2(1)MP MN x PM PN x y NM NP x ∴⋅=+⋅=+-⋅=-uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uur。

苏教版数学高一《平面向量的基本定理》同步学案

【举一反三、能力拓展】
１１．当ｋ为何值时，向量＝４ +２，＝ｋ＋共线，其中、是同一平面内两个不共线的向量。
１２．已知：、是不共线的向量，当ｋ为何值时，向量＝ｋ + 与＝＋ｋ共线？
【名师小结、感悟反思】
１．平面向量的基本定理告诉我们，平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的。
2.不共线向量的夹角
显然，不共线的向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量，作，则叫做向量与的夹角。如果则的取值范围是。当时，表示与同向；当时，表示与反向。
3.垂直向量
如果，就称 .设是同一平面内两个不共线的向量，不能以下各组向量中作为基底的是（）
§2．3平面向量的基本定理及坐标表示
§2．3.1平面向量的基本定理
编者：刘凯
【学习目标、细解考纲】
1.了解平面向量的基本定理及其意义;
2.运用平面向量的基本定理解决相关问题.
【知识梳理、双基再现】
1.平面向量的基本定理:如果 , 是同一平面内两个的向量，是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数使。其中，不共线的这两个向量叫做表示这一平面内所有向量的基底。
4.设 = +5 ， =-2 +8 ， =3 -3 ，那么下列各组的点中三点一定共线的是（）
A. A，B，C B. A，C，D C. A，B，D D. Ｂ，Ｃ，Ｄ
【基础训练、锋芒初显】
５．下列说法中，正确的是（）
①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量。

平面向量基本定理教学设计-苏教版高中数学必修第二册

第九章平面向量9.3.1平面向量基本定理教材用数学的方法研究向量及其运算的性质，再运用数学模型去解决实际问题．这样处理体现了数学知识产生和发展的过程，突出了数学的来龙去脉，有助于学生理解数学的本质，形成对数学完整的认识，达到培养学生的创新思维和理性思维的目的．课程目标学科素养1.理解平面向量基本定理及其意义，2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.a逻辑推理: 通过用向量方法证明平面几何问题，提升逻辑推理素养.b数学建模:通过用向量方法解决平面几何问题，培养数学建模素养.1.教学重点：会用向量方法计算或证明几何中的相关问题.2.教学难点：体会向量在解决数学和实际问题中的作用.多媒体调试、讲义分发。

音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此.在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？问题1如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？提示能.依据是数乘向量和平行四边形法则.问题2 如果e 1，e 2是共线向量，那么向量a 能否用e 1，e 2表示？为什么？提示不一定，当a 与e 1共线时可以表示，否则不能表示.平面向量基本定理定理中要特别注意向量e 1与向量e 2是两个不共线的向量条件 e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2基底不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底题型一平面向量基本定理的理解【例1】如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)若λ，μ满足λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0；(2)对于平面α内任意一个向量a ，使得a ＝λe 1＋μe 2成立的实数λ，μ有无数对； (3)线性组合λe 1＋μe 2可以表示平面α内的所有向量； (4)当λ，μ取不同的值时，向量λe 1＋μe 2可能表示同一向量.解 (1)正确.若λ≠0，则e 1＝－μλe 2，从而向量e 1，e 2共线，这与e 1，e 2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.(2)不正确.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定.(3)正确.平面α内的任一向量a 可表示成λe 1＋μe 2的形式，反之也成立.(4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe 1和μe 2确定后，其和向量λe 1＋μe 2便唯一确定.规律方法 (1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e 1，e 2是基底，则必有e 1≠0，e 2≠0且e 1与e 2不共线，【训练1】设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )考查两向量是否能构成基底主要看两向量是否不共线 A.e 1＋e 2和e 1－e 2 B.3e 1－4e 2和6e 1－8e 2C.e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D.e 1和e 1＋e 2解析选项B 中，6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)，∴6e 1－8e 2与3e 1－4e 2共线，∴不能作为基底，选项A ，C ，D 中两向量均不共线，可以作为基底.故选B. 答案 B题型二用基底表示向量【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC →＝a ，BD →＝b ，试用基底a ，b 表示AB →，BC →.解法一由题意知， AO →＝OC →＝12AC →＝12a ，BO →＝OD →＝12BD →＝12b .所以AB →＝AO →＋OB →＝AO →－BO →＝12a －12b ，BC →＝BO →＋OC →＝12a ＋12b .法二设AB →＝x ，BC →＝y ，则AD →＝BC →＝y ，又⎩⎪⎨⎪⎧AB →＋BC →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，y －x ＝b ，所以x ＝12a －12b ，y ＝12a ＋12b ，即AB →＝12a －12b ，BC →＝12a ＋12b .规律方法用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.【训练2】如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB ＝k ，设AD→＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.解法一 ∵AB →＝e 2，DC AB ＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0， ∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2. 又MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →，∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC →＝k ＋12e 2.法二同法一得DC →＝k e 2， BC →＝e 1＋(k －1)e 2.连接MB ，MC ，由MN →＝12(MB →＋MC →)得MN →＝12(MA →＋AB →＋MD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝k ＋12e 2.题型三平面向量基本定理的综合应用【例3】如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值.解设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1， BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2.∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2.故BA →＝BP →＋P A →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.∴AP →＝45AM →，BP →＝35BN →，∴AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.【迁移】 (变设问)在本例条件下，若CM →＝a ，CN →＝b ，试用a ，b 表示CP →. 解由典例解析知BP ∶PN ＝32，则NP →＝25NB →，CP →＝CN →＋NP →＝CN →＋25NB →＝b ＋25(CB →－CN →)＝b ＋45a －25b ＝35b ＋45a .规律方法若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.【训练3】如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.答案 43二、检测反馈1.若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A.e 1－e 2，e 2－e 1B.2e 1－e 2，e 1－12e 2C.2e 2－3e 1，6e 1－4e 2D.e 1＋e 2，e 1－e 2解析选项A ，B ，C 中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底. 答案 D2.如图所示，矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e －3e 2) C.12(2e 2＋5e 1)D.12(5e 2＋3e 1) 解析 OC →＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(BC →＋AB →)＝12(5e 1＋3e 2). 答案 A3.设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，又∵AB →与AC →不共线，∴λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝－16＋23＝12.答案 124.在△ABC 中，点D ，E ，F 依次是边AB 的四等分点，试以CB →＝e 1，CA →＝e 2为基底表示CF →.解 AB →＝CB →－CA →＝e 1－e 2，因为D ，E ，F 依次是边AB 的四等分点，所以AF →＝34AB →＝34(e 1－e 2)，所以CF →＝CA →＋AF →＝e 2＋34(e 1－e 2)＝34e 1＋14e 2..向量既是代数的对象，又是几何的对象．作为代数对象，向量可以运算．作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、角度等几何对象；向量有大小，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题．向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量“数”的特征，方向反映了向量“形”的特征，是数学中数形结合思想的典型体现．。

高中数学第二章平面向量2.5向量的应用教案苏教版必修420170824339

2.5 向量的应用整体设计教学分析1．在生产和日常生活中，有时会遇到既有大小，又有方向的量，这就为采用向量法解决问题提供方便，向量是既有大小又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁．这样向量又为解决几何问题提供了理论基础，本节主要在于让学生了解向量来源于实际又为解决实际问题及几何问题提供方便，教学中注意难度的控制，同时还要注意，向量也是解决许多物理问题的有力工具．2．本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性．对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”．这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果．代数方法的流程图可以简单地表述为：则向量方法的流程图可以简单地表述为：这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”，也是本节的重点．3．研究几何可以采取不同的方法．这些方法包括：综合方法——不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行讨论；解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；向量方法——以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；分析方法——以微积分为工具，对几何元素及其关系进行讨论，等等．前三种方法都是中学数学中出现的内容．有些平面几何问题，利用向量方法求解比较容易．使用向量方法的要点在于用向量表示线段或点，根据点与线之间的关系，建立向量等式，再根据向量的线性相关与无关的性质，得出向量的系数应满足的方程组，求出方程组的解，从而解决问题．使用向量方法时，要注意向量起点的选取，选取得当可使计算过程大大简化．①通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；②认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；④利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型．例如，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．三维目标1．通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．理解并掌握用向量方法解决平面几何问题的步骤．明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示．2．通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义．教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段．重点难点教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．教学难点：如何将实际问题化归为向量问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算．这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便．本节专门研究平面几何中的向量方法．思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题．下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用．推进新课新知探究一、向量在几何中的应用1．证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的条件a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(b ≠0)．2．证明垂直问题，常用向量垂直的条件a ⊥b a ·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0.3．求夹角问题利用夹角公式cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 4．求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2或|AB|＝|AB →|＝2－x 12＋2－y 12. 5．用向量处理其他代数或几何问题．二、用向量法解决几何问题的“三步曲”1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；2．通过向量运算，研究几何元素之间的关系；3．把运算结果“翻译”成几何关系．引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤．由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题．解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系．最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．即：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．这个“三步曲”用流程图表示为：应用示例思路1例1课本本节例2.变式训练1.如图1，连结平行四边形ABCD 的顶点B 至AD 、DC 边的中点E 、F ，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？图1活动：为了培养学生的观察、发现、猜想能力，让学生能动态地发现图形中AR 、RT 、TC 之间的相等关系，教学中可以充分利用多媒体，作出上述图形，测量AR 、RT 、TC 的长度，让学生发现AR ＝RT ＝TC ，拖动平行四边形的顶点，动态观察发现，AR ＝RT ＝TC 这个规律不变，因此猜想AR ＝RT ＝TC.事实上，由于R 、T 是对角线AC 上的两点，要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可．又因为AR 、RT 、TC 、AC 共线，所以只需判断AR →，AT →与AC →之间的关系即可．探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论．第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AR ＝RT ＝TC.解：如图1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AR →＝r ，AT →＝t ，则AC →＝a ＋b .由于AR →与AC →共线，所以，我们设r ＝n(a ＋b )，n∈R ，又因为EB →＝AB →－AE →＝a －12b ，ER →与EB →共线，所以我们设ER →＝mEB →＝m(a －12b )．因为AR →＝AE →＋ER →，所以r ＝12b ＋m(a －12b )．因此n(a ＋b )＝12b ＋m(a －b )，即(n －m)a ＋(n ＋m －12)b ＝0. 由于向量a 、b 不共线，要使上式为0，必须⎩⎪⎨⎪⎧ n －m ＝0，n ＋m －12＝0.解得n ＝m ＝13. 所以AR →＝13AC →.同理TC →＝13AC →. 于是RT →＝13AC →，所以AR ＝RT ＝TC. 2.如图2，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高．求证：AD 、BE 、CF 相交于一点．图2证明：设BE 、CF 相交于H ，并设AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ，则BH →＝h －b ，CH →＝h －c ，BC →＝c －b .因为BH →⊥AC →，CH →⊥AB →，所以(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0，即(h －b )·c ＝(h －c )·b ，化简得h·(c －b )＝0.所以AH →⊥BC →.所以AH 与AD 共线，即AD 、BE 、CF 相交于一点H.例2课本本节例3.思路21如图3，已知在等腰△ABC 中，BB′、CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A 的余弦值．图3活动：教师可引导学生思考探究，上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题．可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系，找出所需点的坐标．如果能比较方便的建立起平面直角坐标系，如本例中的图形，很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标，然后让学生独立完成．解：建立如图3所示的平面直角坐标系，取A(0，a)，C(c,0)，则B(－c,0)，OA →＝(0，a)，BA →＝(c ，a)，OC →＝(c,0)，BC →＝(2c,0)，因为BB′、CC′为两中线，所以BB′→＝12(BC →＋BA →)＝12[(2c,0)＋(c ，a)]＝(3c 2，a 2)．同理CC′→＝(－3c 2，a 2)．因为BB′⊥CC′，所以－94c 2＋a 24＝0，a 2＝9c 2. 所以cosA ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45. 变式训练如图4，在Rt△ABC 中，已知BC ＝a.若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问：PQ →与BC→的夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．图4解：方法一：如图4.∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0.∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →，∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →)＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC →＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP →＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ，故当cos θ＝1，即θ＝0，PQ →与BC →的方向相同时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.方法二：如图5.图5以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB|＝c ，|AC|＝b ，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且|PQ|＝2a ，|BC|＝a.设点P 的坐标为(x ，y)，则Q(－x ，－y)，∴BP →＝(x －c ，y)，CQ →＝(－x ，－y －b)，BC →＝(－c ，b)，PQ →＝(－2x ，－2y)．∴BP →·CQ →＝(x －c)(－x)＋y(－y －b)＝－(x 2＋y 2)＋cx －by.∵cos θ＝PQ →·BC →|PQ →||BC →|＝cx －by a 2，∴cx－by ＝a 2cos θ. ∴BP →·CQ →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1，即θ＝0，PQ →与BC →的方向相同时，BP →·CQ→最大，其最大值为0.知能训练课本本节练习2、3、4.课堂小结1．由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些：平行四边形向量加、减法的几何模型，用向量方法解决平面几何问题的步骤，即“三步曲”．特别是这“三步曲”，要提醒学生理解领悟它的实质，达到熟练掌握的程度．2．本节都学习了哪些数学方法：向量法，向量法与几何法、解析法的比较，将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法，深切体会向量的工具性这一特点．作业课本习题2.5 3、4、6、7.设计感想1．本节是对研究平面几何方法的探究与归纳，设计的指导思想是：充分使用多媒体这个现代化手段，引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动．本节知识方法容量较大，思维含量较高，教师要把握好火候，恰时恰点的激发学生的智慧火花．2．由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现，特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题，因此在实际授课时注意引导学生关注向量知识、向量方法与本书的三角、后续的解析几何内容等知识的交汇，提高学生综合解决问题的能力．3．平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的条件及定比分点的向量式等，它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．备课资料一、利用向量解决几何问题的进一步探讨用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处，特别是处理线段相等，线线平行，垂直，点共线，线共点等问题，往往简单明了，少走弯路，同时避免了复杂，烦琐的运算和推理，可以收到事半功倍的效果．现举几例以供教师学生进一步探究使用．1．证明线线平行例1如图6，在梯形ABCD 中，E ，F 分别为腰AB ，CD 的中点．图6求证：EF∥BC，且|EF →|＝12(|AD →|＋|BC →|)．证明：连ED ，EC ，∵AD∥BC，可设AD →＝λBC →(λ>0)．又E ，F 是中点，∴EA →＋EB →＝0.且EF →＝12(ED →＋EC →)，而ED →＋EC →＝EA →＋AD →＋EB →＋BC →＝AD →＋BC →＝(1＋λ)BC →， ∴EF →＝1＋λ2BC →.EF 与BC 无公共点，∴EF∥B C. 又λ>0，∴|EF →|＝12(|BC →|＋|λBC →|)＝12(|AD →|＋|BC →|)． 2．证明线线垂直例2如图7，在△ABC 中，由A 与B 分别向对边BC 与CA 作垂线AD 与BE ，且AD 与BE 交于H ，连结CH ，求证：CH⊥AB.图7证明：由已知AH⊥BC，BH⊥AC，有AH →·BC →＝0，BH →·AC →＝0，又AH →＝AC →＋CH →，BH →＝BC →＋CH →，故有(AC →＋CH →)·BC →＝0，且(BC →＋CH →)·AC →＝0，两式相减，得CH →·(CB →－CA →)＝0，即CH →·AB →＝0，∴CH →⊥AB →，即CH⊥AB.3．证明线共点或点共线例3求证：三角形三边中线共点，且该点到顶点的距离等于该中线长的23. 解：已知：△ABC 的三边中点分别为D ，E ，F(如图8)，图8求证：AE ，BF ，CD 共点，且AG AE ＝BG BF ＝CG CD ＝23. 证明：设AE ，BF 相交于点G ，AG →＝λ1GE →，由定比分点的向量式有BG →＝BA →＋λ1BE →1＋λ1＝11＋λ1BA →＋λ1＋λ1BC →，又F 是AC 的中点，BF →＝12(BA →＋BC →)，设BG →＝λ2BF →，则11＋λ1BA →＋λ1＋λ1BC →＝λ22BA →＋λ22BC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 11＋λ1＝λ22，λ1＋λ1＝λ22.∴11＋λ1＝λ1＋λ1 λ1＝2，λ2＝23，即AG AE ＝BG BF ＝23. 又CG →＝CA →＋λ1CE →1＋λ1＝13(CA →＋2CE →)＝23·12(CA →＋CB →)＝23CD →， ∴C，G ，D 共线，且AG AE ＝BG BF ＝CG CD ＝23. 二、备用习题1．有一边长为1的正方形ABCD ，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a －b ＋c |＝________.2．已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，则使λb －a 与a 垂直的λ＝________.3．在等边△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且|a |＝1，则a·b ＋b·c ＋c·a ＝________.4．已知三个向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k)，且A ，B ，C 三点共线，则k＝________.5．如图9所示，已知矩形ABCD ，AC 是对角线，E 是AC 的中点，过点E 作MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ，试运用向量知识证明AM ＝CN.图96．已知四边形ABCD 满足|AB →|2＋|BC →|2＝|AD →|2＋|DC →|2，M 为对角线AC 的中点．求证：|MB →|＝|MD →|.7．求证：如果一个角的两边平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．参考答案：1．2 2.2 3.－324.－2或11 5解：建立如图10所示的直角坐标系，设BC ＝a ，BA ＝b ，则C(a,0)，A(0，b)，E(a 2，b 2)．图10又设M(x 2，b)，N(x 1,0)，则AM →＝(x 2,0)，CN →＝(x 1－a,0)，∵ME →∥EN →，ME →＝(a 2－x 2，－b 2)，EN →＝(x 1－a 2，－b 2)，∴(a 2－x 2)×(－b 2)－(x 1－a 2)×(－b 2)＝0.∴x 2＝a －x 1.∴|AM →|＝x 22＝|x 2|＝|a －x 1|＝|x 1－a|.而|CN →|＝1－2＝|x 1－a|，∴|AM →|＝|CN →|，即AM ＝CN.6．解：设AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，∵a ＋b ＋c ＋d ＝0，∴a ＋b ＝－(c ＋d )．∴a 2＋b 2＋2a·b ＝c 2＋d 2＋2c·d .①∵|AB →|2＋|BC →|2＝|AD →|2＋|DC →|2，∴a 2＋b 2＝(－d )2＋(－c )2＝c 2＋d 2.②由①②得a·b ＝c·d .∵M 是AC 的中点，如图11所示，则DM →＝12(d －c )，BM →＝12(b －a )，图11∴|MB →|2＝BM →2＝14(b 2＋a 2－2a·b )，|MD →|2＝DM →2＝14(d 2＋c 2－2c·d )．∴|MB →|2＝|MD →|2.∴|MB →|＝|MD →|.7．解：已知OA∥O′A′，OB∥O′B′，求证：∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝π.证明：∵OA∥O′A′，OB∥O′B′，∴可设OA →＝λO′A′→(λ∈R ，λ≠0)，OB →＝μO′B′→(μ∈R ，μ≠0)．∴cos∠AOB＝OA →·OB →|OA →||OB →|， cos∠A′O′B′＝O′A′→·O′B′→|O′A′→||O′B′→|＝λOA →·μOB →|λOA →||μOB →|＝λμOA →·OB →|λμ||OA →||OB →|＝±OA →·OB →|OA →||OB →|. 当OA →与O′A′→，OB →与O′B′→均同向或反向时，取正号，即cos∠AOB＝cos∠A′O′B′. ∵∠AOB，∠A′O′B′∈(0，π)，∴∠AOB＝∠A′O′B′.当OA →与O′A′→，OB →与O′B′→只有一个反向时，取负号，即cos∠AOB＝－cos∠A′O′B′＝cos(π－∠A′O′B′)．∵∠AOB，π－∠A′O′B′∈(0，π)，∴∠AOB＝π－∠A′O′B′.∴∠AOB＋∠A′O′B′＝π.∴命题成立．第2课时导入新课(问题导入)你能举出物理中的哪些向量？比如力、位移、速度、加速度等，既有大小又有方向，都是向量，学生很容易就举出来．进一步，你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗？你是怎样解决的？教师由此引导：向量是有广泛应用的数学工具，对向量在物理中的研究，有助于进一步加深对这方面问题的认识．我们可以通过对下面若干问题的研究，体会向量在物理中的重要作用．由此自然的引入新课．推进新课新知探究向量在物理中的应用1．向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用．2．向量在速度的分解与合成中的应用．如何用向量法来解决物理问题1．将相关物理量用几何图形表示出来．2．将物理问题抽象成数学模型，转化为数学问题．3．最后将数学问题还原为物理问题．应用示例例1课本本节例1.图12在教学中要尽可能地采用多媒体，在信息技术的帮助下让学生来动态地观察间在变化过程中所产生的相互影响．由学生独立完成本例后，与学生共同探究归纳出向量在图13例2在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？解：如图14，船航行的方向是与河岸垂直方向成30°夹角，即指向河的上游．图14知能训练1．一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3小时，该船实际航程为( )A ．215 kmB ．6 km C.84 km D ．8 km2．如图15，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________ N ；若在图示坐标系中，用坐标表示合力F ，则F ＝________.图153．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而该船实际航行的方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度的大小．参考答案：1．B点评：由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理，所以要通过作高来求． 2.41 (5,4)3．解：如图16所示，设OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的速度，OC →表示船的实际速度，∠AOC＝30°，|OB →|＝5 km/h.图16因为四边形OACB 为矩形，所以|OA →|＝|AC →|cot30°＝|OB →|cot30°＝5 3 km/h ，|OC →|＝|OA →|cos30°＝5332＝10 km/h. 答：水流速度的大小为5 3 km/h ，船的实际速度的大小为10 km/h.点评：转化为数学模型，画出向量图，在直角三角形中解出．课堂小结1．与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤．①问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；②模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．2．与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型．①力、速度、加速度、位移都是向量；②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减；③动量m v 是数乘向量，冲量Δt F 也是数乘向量；④功是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s .作业1．习题2.5 1、2、5、8.2．归纳总结物理学中哪些地方可用向量．设计感想1．本教案设计的指导思想是：由于本节重在解决两个问题，一是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上．而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上，也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系．通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题，然后利用向量知识解决这个向量问题．2．经历是最好的老师．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而且简捷．教科书中对本节的两个例题的处理方法，都不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法，就足以说明这一点．3．突出数形结合的思想．教科书例题都是先画图进行分析的，本教案的设计中也突出了这一点．让学生在活动的时候就先想到画图，并在这个活动中，体会数形结合的应用，体会数学具有广泛的应用，体会向量这个工具的优越性．。