高中数学 第四章 正弦 余弦的诱导公式(3)教案

正弦、余弦的诱导公式（三）
教学目的：
能熟练掌握诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，同时学会关于90︒ k ± α, 270︒ ± α四套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。

教学重点：诱导公式
教学难点：诱导公式的灵活应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
诱导公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成
ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+k
ααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+k
ααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+k
公式二： 用弧度制可表示如下：
αα-sin 180sin(=+︒） ααπ-sin sin(=+）
αα-cos 180cos(=+︒） ααπ-cos cos(=+）
ααtan 180tan(=+︒） ααπtan tan(=+）
公式三： αα-sin sin(=-）
ααcos cos(=-）
ααtan tan(-=-）
公式四： 用弧度制可表示如下：
ααsin 180sin(=-︒） ααπsin sin(=-）
αα-cos 180cos(=-︒） ααπ-cos cos(=-）
ααtan 180tan(-=-︒） ααπtan tan(-=-）
公式五： 用弧度制可表示如下：
αα-sin 360sin(=-︒） ααπ-sin 2sin(=-）
ααcos 360cos(=-︒） ααπcos 2cos(=-）
ααtan 360tan(-=-︒） ααπtan 2tan(-=-）
二、讲解新课：
诱导公式6：
sin(90︒ -α) = cos α, cos(90︒ -α) = sin α
tan(90︒ -α) = cot α, cot(90︒ -α) = tan α sec(90︒ -α) = csc α, csc(90︒ -α) = sec α 诱导公式7： sin(90︒ +α) = cos α, cos(90︒ +α) =
-sin α. tan(90︒ +α) = -cot α, cot(90︒ +α) =
-tan α.
sec(90︒ +α) = -csc α, csc(90︒+α) = sec α
如图所示 sin(90︒ +α) = M’P’ = OM = cos α
cos(90︒ +α) = OM’ = PM = -MP = -sin α
或由6式：sin(90︒ +α) = sin[180︒- (90︒ -α)] = sin(90︒ -α) = cos α
cos(90︒ +α) = cos[180︒- (90︒ -α)] = -sin(90︒ -α) = -cos α
诱导公式8：
sin(270︒ -α) = -cos α, cos(270︒ -α) = -sin α.
tan(270︒ -α) = cot α, cot(270︒ -α) = tan α.
sec(270︒ -α) = -csc α, csc(270︒-α) = sec α
诱导公式9：
sin(270︒ +α) = -cos α, cos(270︒ +α) = sin α.
tan(270︒ +α) = -cot α, cot(270︒ +α) = -tan α.
sec(270︒ +α) = csc α, csc(270︒+α) = -sec α
三、讲解范例：
例1)2
cos()5cos()2sin()4sin()cot()2tan()23cos()2sin(απαπαπαπαπαπαπαπ+-+--=+-+---+k k k 求证： 证：α
-ααα=α+α-α+α=sin cos cos sin cot tan sin cos 左边 α
-ααα=α+α-αα-=sin cos cos sin sin cos cos sin 右边 左边 = 右边 ∴等式成立
例2的值。

求)4
(cos )4(cos 22α+π+α-π 解：1)4(cos )4(sin )4(cos )]4(2[cos 2222=+++=+++-=απ
απ
απ
απ
π
原式
例3 )2sin(,
1)sin(31sin β+α=β+α=β求，已知 解：)(221)sin(Z k k ∈+=+∴=+π
πβαβα
从而31sin )4sin(])22(2sin[)2sin(=β=β-π+π=β-π+
π=β+αk k 例4 )(sin ,17cos )(cos x f x x f 求若=
解： )]90(17cos[)]90[cos()(sin x x f x f -=-=
x x 17sin )1790cos()17903604cos(=-=-+⨯=
四、课堂练习：
1．计算：sin315︒-sin(-480︒)+cos(-330︒)
解：原式 = sin(360︒-45︒) + sin(360︒+120︒) + cos(-360︒+30︒)
= -sin45︒ + sin60︒ + cos30︒ =2
23- 2．已知的值。

，求)6
5cos(33)6cos(α-π=α+π
解： 3
3)6cos()]65(cos[)65cos(-=α+π-=α-π-π-=α-π
3．求证：Z k k k k k ∈-=α+π+α+π+α+πα-π,1]
)1cos[(])1sin[()cos()cos( 证：若k 是偶数，即k = 2 n (n ∈Z) 则：
1)
cos (sin cos sin )](2cos[)](2sin[)2cos()2cos(-=---=+++++-=αααααππαππαπαπn n n n 左边 若k 是奇数，即k = 2 n + 1 (n ∈Z) 则：
1cos sin )cos (sin )])1(2cos[)])1(2sin[)](2cos[)](2cos[-=α
αα-α=α+π+α+π+α+π+πα-π+π=n n n n 左边 ∴原式成立
4．已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求)sin()2
3sin(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值。

解： ∵sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π) ∴- sin(3π - α) = 2cos(4π - α)
∴- sin(π - α) = 2cos(- α) ∴sin α = - 2cos α 且cos α ≠ 0
∴
4
3cos 4cos 3cos 2cos 2cos 5cos 2sin cos 2cos 5sin -=-=--+-=+-+=αααααααααα原式 5．已知的值。

求)cos(1
,cos |)cos(|,)tan(2απααπαπ+-=-=-a 解：由题设： 0cos ,cos |cos |,0tan 2≤αα-=α≤-=α即a 由此：当a ≠ 0时，tan α < 0, cos α < 0, α为第二象限角，
421tan 1sec cos 1a +=α+=α-=α
-=∴原式 当a = 0时，tan α = 0, α = k π, ∴cos α = ±1，
∵0cos ≤α ∴cos α = -1 ,
)0(11cos 14=+==α
-=∴a a 原式 综上所述：21)
cos(1a +=α+π 6．若关于x 的方程2cos 2(π + x ) - sin x + a = 0 有实根，求实数a 的取值范
围。

解：原方程变形为：2cos 2x - sin x + a = 0 即 2 - 2sin 2x - sin x + a = 0 ∴8
17)41(sin 22sin sin 222-
+=-+=x x x a ∵- 1≤sin x ≤1 ∴81741sin min -=-=a x 时，
当； 11sin m ax ==a x 时，当 ∴a 的取值范围是[1,8
17-] 五、小结 应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1︒用“- α”公式化为正角的三角函数；2︒用“2k π + α”公式化为[0，2π]角的三角函数；3︒用“π±α”或“2π - α”公式化为锐角的三角函数
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：。