17.1勾股定理1
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2
2
a c b
2
C
b= c2-a2
2
c a b
a
B
检
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
一个直角三角形的三边长为三个连续偶数, 则它的三边长分别为 ( B )
A、 2 、 4 、 6 Ｃ 4、 6、 8
Ｂ 6、8、10
我国著名数学家华罗庚在多年前曾提出这样的 设想：向太空发射一种图形，因为这种图形在几千 年前就已经被人类所认识，如果他们是“文明人”， 也必定认识这种图形.
那么这到底是 一种什么样的图形 呢？它真的有那么 大的魅力吗？ 下面就让我们通过时光隧 道，和古希腊的数学家毕达哥 拉斯一起来研究这种图形吧。
SA+SB=SC
（图中每个小方格是1个单位面积）
我们猜想：
命题1：如果直角三角形的两直角边长分 别为a，b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.
a
c
b
三、拼图证明
是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？ 光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚。 这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．下 面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是 怎样证明这个命题的．
八年级数学下册(人教版)
第十七章 勾股定理
学习目标： 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股
定理的 内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律
的意识和能力。
创设情境
除地球外，别的星球上有没有生命呢？
自古以来，人类就不断发出这样的疑问，特别 是近年来不断出现的UFO事件，更让人们相信有 外星人的说法，如果真的有，那我们怎么和他们交 流呢？
Ｄ 8、10、12
（1）两锐角之间的关系： ∠A+∠B=90° （2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：
1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）
2、
A
3
x 4
C
B 5 A
12 13
B
C
量得AB的长是5cm
量得AB的长是13cm
观察：32 + 42与52 ，52 +122和132的关系， 即 32 + 4 2 = 5 2 52 +122 = 132
毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲学家、数学 家、天文学家。相传有一次他在朋友家做客时，发现朋友 家用砖铺成的地面中反映了A、B、C三者面积之间的数量 关系，进而发现直角三角形三边的某种数量关系．
我们也来观察右图的地面， 你能发现A、B、C面积之间 有什么数量关系吗？
A
B
C
SA+SB=SC
每块砖都是等腰直角三角形哦
探究：你能发现图1中正方形A、B、C的面积之间有什 么数量关系吗？ 9 个小方格， 1.A中含有____ C
即A的面积是 9 个单位面积． B的面积是 9 个单位面积． C的面积是 18 个单位面积． A
结论：图1中三个正方
B
图1
形A，B，C的面积之间 的数量关系是:
1 S 梯 形 (a b )( a b ) 2 1 1 1 2 S S梯 形 ab ab c 2 2 2
a
∴
b
a 2 + b2 = c 2
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么 c 2 2 2 a
a b c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。 弦 c 勾a 在西方又称毕达 哥拉斯定理耶！ b
注意：在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形
的斜边和直角边；另外不论是否是直角三角形就用勾 股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同学 们一定要找准直角边和斜边，同时要弄清楚解题中的 三角形是否为直角三角形。
(三）迁移应用
1.已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边的
长。
注意：若题目中的条件找不到斜边，则需要运用分类
讨论思想求解
3.如图，在∆ABC中，∠ACB=90°，CD是高，若 AB=13㎝，AC=5㎝，求CD的长
4.如图，在∆ABC中，，如图在ΔABC中， AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高． 求 ①AD的长； ② ΔABC的面积
学上，经过证明被确认为正确的命题叫做定理，所 以命题1在我国叫做勾股定理。
3、下列说法正确的是（D
）
A.若a,b,c是ΔABC的三边，则a2 +b2=c2 B.若a,b,c是RtΔABC的三边,则a2 +b2=c2 C.若a,b,c是RtΔABC的三边,∠A=90° ,则a2 +b2=c2 D.若a,b,c是RtΔABC的三边,∠C=90° ,则a2 +b2=c2
赵爽拼图证明法：
以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方 形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它 拼成图2的样子。你能做到吗？试试看。
b
c
a
图1
朱实 朱实 黄实 朱实
c
Hale Waihona Puke Baidu
b
a
图2
朱实
小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀， 将两个连体正方形，拼成一个新的正方形.
“赵爽弦图”
朱实 朱实
股
思
1.看课本22--24页（3min），画出书上的知识点
(5min)。
2.利用书上的知识完成导学提纲(7min)。
议
1、两两互议
（1）、互对导学提纲的答案(4min)。 （2）、找出不会和不懂的题目(2min)。
2、组组互议
（1）、完成导学提纲上对议没有消灭的题(3min)。
展：
（一）、了解感知
3、
A的面积（单位面积） B的面积（单位面积） C的面积（单位面积)
图1
4
9
13
图2
9
25
34
2、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)如果a=3,b=4,则c= 5 （2）如果a=6,b=8,则c= 10 （3）如果a=5,b=12,则c= 13 （4）如果a=15,b=20,则c= 25
评： 现在，我们已经证明了命题1的正确性，在数
勾股定理：如果直角三角形两直角
边长分别为a、b,斜边长为c，那么
2 a
+
2 b
=
2 c
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方。
A
勾股定理给出了直角三角形三边之间的 关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方。
c2=a2 + b2 b c a2=c2－b2 b2 =c2-a2
黄实
c
b
朱实
a
朱实
证法一：
现在我们一起来探 索“弦图”的奥妙吧！
c a
b
S大正方形＝c2 S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4· S三角形＋S小正方形
弦图
1 即：c 2=4 ab+(b-a) 2 2 C2=2ab+a2-2ab+b2
2 2 a +b
=
2 c
证法二：
a b c
c
伽菲尔德证法:
2
a c b
2
C
b= c2-a2
2
c a b
a
B
检
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
一个直角三角形的三边长为三个连续偶数, 则它的三边长分别为 ( B )
A、 2 、 4 、 6 Ｃ 4、 6、 8
Ｂ 6、8、10
我国著名数学家华罗庚在多年前曾提出这样的 设想：向太空发射一种图形，因为这种图形在几千 年前就已经被人类所认识，如果他们是“文明人”， 也必定认识这种图形.
那么这到底是 一种什么样的图形 呢？它真的有那么 大的魅力吗？ 下面就让我们通过时光隧 道，和古希腊的数学家毕达哥 拉斯一起来研究这种图形吧。
SA+SB=SC
（图中每个小方格是1个单位面积）
我们猜想：
命题1：如果直角三角形的两直角边长分 别为a，b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.
a
c
b
三、拼图证明
是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？ 光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚。 这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．下 面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是 怎样证明这个命题的．
八年级数学下册(人教版)
第十七章 勾股定理
学习目标： 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股
定理的 内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律
的意识和能力。
创设情境
除地球外，别的星球上有没有生命呢？
自古以来，人类就不断发出这样的疑问，特别 是近年来不断出现的UFO事件，更让人们相信有 外星人的说法，如果真的有，那我们怎么和他们交 流呢？
Ｄ 8、10、12
（1）两锐角之间的关系： ∠A+∠B=90° （2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：
1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）
2、
A
3
x 4
C
B 5 A
12 13
B
C
量得AB的长是5cm
量得AB的长是13cm
观察：32 + 42与52 ，52 +122和132的关系， 即 32 + 4 2 = 5 2 52 +122 = 132
毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲学家、数学 家、天文学家。相传有一次他在朋友家做客时，发现朋友 家用砖铺成的地面中反映了A、B、C三者面积之间的数量 关系，进而发现直角三角形三边的某种数量关系．
我们也来观察右图的地面， 你能发现A、B、C面积之间 有什么数量关系吗？
A
B
C
SA+SB=SC
每块砖都是等腰直角三角形哦
探究：你能发现图1中正方形A、B、C的面积之间有什 么数量关系吗？ 9 个小方格， 1.A中含有____ C
即A的面积是 9 个单位面积． B的面积是 9 个单位面积． C的面积是 18 个单位面积． A
结论：图1中三个正方
B
图1
形A，B，C的面积之间 的数量关系是:
1 S 梯 形 (a b )( a b ) 2 1 1 1 2 S S梯 形 ab ab c 2 2 2
a
∴
b
a 2 + b2 = c 2
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么 c 2 2 2 a
a b c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。 弦 c 勾a 在西方又称毕达 哥拉斯定理耶！ b
注意：在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形
的斜边和直角边；另外不论是否是直角三角形就用勾 股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同学 们一定要找准直角边和斜边，同时要弄清楚解题中的 三角形是否为直角三角形。
(三）迁移应用
1.已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边的
长。
注意：若题目中的条件找不到斜边，则需要运用分类
讨论思想求解
3.如图，在∆ABC中，∠ACB=90°，CD是高，若 AB=13㎝，AC=5㎝，求CD的长
4.如图，在∆ABC中，，如图在ΔABC中， AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高． 求 ①AD的长； ② ΔABC的面积
学上，经过证明被确认为正确的命题叫做定理，所 以命题1在我国叫做勾股定理。
3、下列说法正确的是（D
）
A.若a,b,c是ΔABC的三边，则a2 +b2=c2 B.若a,b,c是RtΔABC的三边,则a2 +b2=c2 C.若a,b,c是RtΔABC的三边,∠A=90° ,则a2 +b2=c2 D.若a,b,c是RtΔABC的三边,∠C=90° ,则a2 +b2=c2
赵爽拼图证明法：
以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方 形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它 拼成图2的样子。你能做到吗？试试看。
b
c
a
图1
朱实 朱实 黄实 朱实
c
Hale Waihona Puke Baidu
b
a
图2
朱实
小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀， 将两个连体正方形，拼成一个新的正方形.
“赵爽弦图”
朱实 朱实
股
思
1.看课本22--24页（3min），画出书上的知识点
(5min)。
2.利用书上的知识完成导学提纲(7min)。
议
1、两两互议
（1）、互对导学提纲的答案(4min)。 （2）、找出不会和不懂的题目(2min)。
2、组组互议
（1）、完成导学提纲上对议没有消灭的题(3min)。
展：
（一）、了解感知
3、
A的面积（单位面积） B的面积（单位面积） C的面积（单位面积)
图1
4
9
13
图2
9
25
34
2、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)如果a=3,b=4,则c= 5 （2）如果a=6,b=8,则c= 10 （3）如果a=5,b=12,则c= 13 （4）如果a=15,b=20,则c= 25
评： 现在，我们已经证明了命题1的正确性，在数
勾股定理：如果直角三角形两直角
边长分别为a、b,斜边长为c，那么
2 a
+
2 b
=
2 c
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方。
A
勾股定理给出了直角三角形三边之间的 关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方。
c2=a2 + b2 b c a2=c2－b2 b2 =c2-a2
黄实
c
b
朱实
a
朱实
证法一：
现在我们一起来探 索“弦图”的奥妙吧！
c a
b
S大正方形＝c2 S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4· S三角形＋S小正方形
弦图
1 即：c 2=4 ab+(b-a) 2 2 C2=2ab+a2-2ab+b2
2 2 a +b
=
2 c
证法二：
a b c
c
伽菲尔德证法: