2018版高考数学考点37双曲线试题解读与变式

考点37 双曲线

【考纲要求】

（1）了解双曲线的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； （2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质； （3）了解双曲线的简单应用； （4）理解数形结合的思想． 【命题规律】

双曲线是历年高考命题的重点热点，多与直线、圆、椭圆、抛物线、平面向量等综合命题，尤以考查双曲线的离心率与渐近线为最常见，常以选择题、填空题的形式呈现，较少考查直线与双曲线的位置关系，在解答题不考双曲线．

预计2018年高考对双曲线的考查会以双曲线的定义、标准方程、几何性质为主，在客观题中进行考查，难度中等偏低． 【典型高考试题变式】 （一）双曲线的定义

【例1】【2015新课标Ⅰ】已知F 是双曲线C ：2

2

18

y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(

A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为＿＿＿＿＿＿．

【答案】【解析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，12PF a PF =+，∴APF ∆的周长为12PA PF AF PA a PF AF ++=+++＝12PA PF AF a +++．由于2AF a +

是定值，要使APF ∆的周长最小，则1PA PF +最小，即1,,P A F

共线，∵(A ，()

13,0F -，∴直线1AF 的方程为13x +

=-，即3x =-代入22

18y x -=整理得

2900y +-=，解得y =y =-舍)，所以P 点的纵坐标为，∴

11APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-＋11

6622

⨯⨯⨯⨯=．

【方法技巧归纳】双曲线定义的主要应用方面：（1）判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进行根据要求可求出双曲线方程；（2）在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合122PF PF a -=，运用平方的方法，建立与12PF PF ⋅的联系．

【变式1】【变为利用定义求距离】已知双曲线

22

1259

x y -=上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，则点M 到左焦点2F 的距离是（ ） A ．8 B ．28 C ．12 D ．8或28 【答案】D

【解析】根据双曲线的定义可知点 M 到两焦点的距离的差的绝对值为2a ，即

12210,MF MF a -==又118,MF =则 2828MF =或，故选D ．

【变式2】【变为利用余弦定理结合定义处理焦点三角形】已知M 为双曲线22

22:1

x y C a b

-=右支上一点，,A F 分别为双曲线C 左顶点和的右焦点， MF AF =，若60MFA ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6 【答案】C

（二）双曲线的标准方程

【例2】（1）【2017天津卷】已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点为F ，离心率为

2．若经过F 和()0,4P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为

（ ）

A ．22144x y -=

B ．22188x y -=

C ．22148x y -=

D ．22

184

x y -= 【答案】B 【解析】由题意得

2c a =，且4

b a c

=，结合222a b c +=可解得22a b ==，所以双曲线的方程为22188

x y -=，故选B ． （2）【2016全国新课标Ⅰ卷】已知方程22

2

213x y m n m n

-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）

A ．(–1,3)

B ．(–1,3)

C ．(0,3)

D ．(0,3) 【答案】A

【方法技巧归纳】求双曲线标准方程的思路：（1）如果已知双曲线的中心在原点，且确定焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于,,a b c 的方程，解出2

2

,a b 即可求得双曲线的标准方程（求得的方程可能是一个，也可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解）；（2）当焦点的位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设 双曲线的一般方程为()2

2

10mx ny mn +=<．

【变式1】【变为利用双曲线定义求方程】双曲线22221(,0)x y a b a b

-=>3焦点分别为12,F F ， P 为双曲线右支上一点， 12F PF ∠的平分线为l ，点1F 关于l 的对称

点为2,2Q F Q =，则双曲线方程为（ ）

A ．2212x y -=

B ．2212y x -=

C ．22

13y x -= D ．2213

x y -= 【答案】B

【解析】由题意，得直线l

是线段1F Q

的中垂线，则

122222a PF PF PQ PF F Q =-=-==，即1a =，又因为该双曲线的离心率为3c

a

=，所以2

3,2c b ==，双曲线的方程为2

2

12

y x -=，故选B ． 【变式2】【变为根据双曲线的几何性质与平面图形面积求方程】已知O 为直角坐标系的坐

标原点，双曲线:C 22

221(0)x y b a a b

-=>>上有一点(

)

5,P

m （0m >），点P 在x 轴上

的射影恰好是双曲线C 的右焦点，过点P 作双曲线C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A ， B ，若平行四边形PAOB 的面积为1，则双曲线的标准方程是（ ）

A ． 22

14y x -

= B ．22123

x y -= C ．22

16y x -= D ．2213722

x y -= 【答案】A

（三）双曲线的几何性质

【例2】（1）【2017新课标Ⅱ卷】若1a >，则双曲线22

21x y a

-=的离心率的取值范围是

（ ）