新北师大版九年级数学下册第一章《从梯子的倾斜程度谈起》学案
北师大九年级数学教案-从梯子的倾斜程度谈起
第一章解直角三角形課題：§1、1從梯子的傾斜程度談起——第一課時一、教學目標：1、通過具體問題情境,抽象出銳角的正切的概念，並讓學生進一步體會用直角三角形兩直角邊的比值來刻畫梯子的傾斜程度即傾斜角的大小。
2、使學生理解從特殊到一般是認識事物的基本方法。
重點：通過豐富的實例，抽象出銳角的正切的概念。
難點：使學生理解：在直角三角形中，當銳角A固定時，它的對邊與鄰邊的比值也是一個固定值。
二、教學和活動過程：（一）教學準備：制做相應的課件（二）教學過程：第一環節：引入新課：課件播放1分鐘的錄像，說明梯子是我們日常生活中常見的物體第二環節：新課講解課件展示梯子實物，提問下列問題：實例1：（1）在圖1-1中，梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？你有幾種判斷方法？實例2：2.5m2m5m 5mFEDCBA（2）在圖1-2中，梯子AB 和EF 哪個更陡？ 你是怎樣判斷的？學生四人小組討論 設計意圖：1、課件展示梯子實物，教師應引導學生分析後，抓出關鍵的直角三角形。
2、實例1學生還可能有的思路： 1）測量∠B,∠F 的大小2）在DF 上截取DM=CB,然後比較∠EMD 與∠F 的大小。
3、實例2學生也會有許多自己的想法，教師應給學生充分的發揮空間，讓他們各抒己見，從而使課堂氣氛達到第一次高潮。
實例3： 想一想：如圖(見課本)：如果現在有一個梯子搭在城牆上， 我們手頭只有皮尺與計算器，請同學們思考我們可以通過測量哪些資料來刻畫梯子的傾斜程度呢？ 學生答：過B 1點沿著牆面向地面引垂線B 1C 1，連接AC 1，測量B 1C 1與AC 1的長度，計算B 1C 1與AC 1的比值，來刻畫梯子的傾斜程度。
假設我們的皮尺比較短，或不想爬到城牆上，還可以測量哪些資料來刻畫梯子的傾斜程度呢？為什麼？(1) 直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2是什麼關係?1.3m 1.5m3.5m 4mFEDCBA C 2B 2C 1B 1A(2)111AC C B 和222AC CB 有什麼關係? (3) 如果改變B 2在梯子上的位置呢?由此你能得到什麼結論? 設計意圖：原來教材上的問題是：小明想通過測量B 1C 1及AC 1,算出他們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則認為通過測量B 2C 2及AC 2,算出他們的比,也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎? 教師做了適當的改編，以實際測量的問題的形式給出，增強趣味性。
九年级数学下册 1.1从梯子的倾斜程度谈起 教案 北师大版【教案】
活动——交流
教学活动过程设计
一、提出问题
直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。
二、形成概念
1、梯子的倾斜程度
在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。
六小结
正切函数的定义。
七作业ห้องสมุดไป่ตู้
书本P 6习题1.1 1、2。
板书设计
1．1从梯子的倾斜程度谈起（一）
1．正切函数
2．tanA的值越大，梯子越陡
3.讲解例题
作业布置
教学反思
备注：教案可有改动痕迹，教学反思手写完成。
2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.
3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.
情感价值观
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
教学重点
理解tanA的数学含义.
教学难点
现实情境中理解tanA的数学含义
教学内容
1．1从梯子的倾斜程度谈起（一）
设计者
沈晓丽
第1课时/总2课时
设计日期
教学目标
知识与能力
1．经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系
2．能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.
北师大版九年级数学下册全套教案
第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）学习目标:1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 学习重点:1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点:理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法:引导—探索法. 学习过程:一、生活中的数学问题:1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论?三、例题：例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.四、随堂练习：1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗?2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001)3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)五、课后练习：1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.6、如图,在菱形ABCD 中,AE⊥BC 于E,EC=1,tanB=125, 求菱形的边长和四边形AECD 的周长.7、已知:如图,斜坡AB 的倾斜角a,且tan α=34,现有一小球从坡底A 处以20cm/s 的速度向坡顶B 处移动,则小球以多大的速度向上升高?8、探究:⑴、a 克糖水中有b 克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c 克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.⑵、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA 的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________.⑶、如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA 、BC,使AE=CD=c, 直线CA 、DE 交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.§1.1从梯子的倾斜程度谈起（第二课时）学习目标：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义. 学习重点：1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 学习难点：用函数的观点理解正弦、余弦和正切. 学习方法：探索——交流法. 学习过程：一、正弦、余弦及三角函数的定义 想一想：如图(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系?E DBACB AC BDA C E F(2) 211122BA C A BA C A 和有什么关系? 2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 请讨论后回答.二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系：三、例题：例1、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长.例2、做一做：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.四、随堂练习：1、在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.2、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周长和面积.3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21，则sinA= .4、已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)DB ACB A C1、在Rt△ABC 中,∠ C=90°,tanA=34,则sinB=_______,tanB=______. 2、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,则AC=______,BC=_______.3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=45,则BC=_____.4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )A.sinA=34B.cosA=35C.tanA=34D.cosB=355、如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,则BC AC等于( ) A.34 B.43 C.35 D.456、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=35,那么tanA 等于( )A.43B.34C.45D.547、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是A ．135B ．1312C ．125D ．5128、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( ) A.tan α<tan β B.sin α<sin β; C.cos α<cos β D.cos α>cos β9、如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A.CD ACB.DB CBC.CB ABD.CDCB10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )mA.100sin βB.100sin βC.100cos βD. 100cos β11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.12、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.13、在Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD 和tan∠ACD.14、在Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA 和cosB 有什么关系?15、如图,已知四边形ABCD 中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos ∠ABD=45.求：s △ABD ：s △BCDDC§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值学习目标：1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 学习重点：1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小.学习难点： 进一步体会三角函数的意义. 学习方法： 自主探索法 学习过程： 一、问题引入[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度. 二、新课[问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢?[问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?(1)sin30°+cos45°； (2)sin 260°+cos 260°-tan45°.[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)三、随堂练习 1.计算：(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；(3) 22sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷13230sin 1+-︒；⑸(2+1)-1+2sin30°-8； ⑹(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1；⑺sin60°+︒-60tan 11； ⑻2-3-(0032+π)0-cos60°-211-.2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)四、课后练习：1、Rt △ABC 中，8,60=︒=∠c A ，则__________,==b a ；2、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ；3、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） （A ）600（B ）900（C ）1200（D ）1505、有一个角是︒30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ） （A ）cm 41 （B ）cm 21（C ）cm 43 （D ）cm 23 6、在ABC ∆中，︒=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）． （A ）3 （B ）33 （C ）23 （D ）217、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．（A ）21 （B ）22（C ）23 （D ）18、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元9、计算：⑴、︒+︒60cos 60sin 22⑵、︒︒-︒30cos 30sin 260sin⑶、︒-︒45cos 30sin 2⑷、3245cos 2-+︒︒15020米30米⑸、045cos 360sin 2+ ⑹、 130sin 560cos 30-⑺、︒30sin 22·︒+︒60cos 30tan tan60° ⑻、︒-︒30tan 45sin 2210、请设计一种方案计算tan15°的值。
北师大版初中数学九年级下册《§1.1从梯子的倾斜程度谈起》2课时教案设计
第一章直角三角形的边角关系§1.1 从梯子的倾斜程度谈起课时安排2课时从容说课直角三角形中边角之间的关系是现实世界中应用广泛的关系之—.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边与角的关系问题.本节首光从梯子的倾斜程度谈起。
引入了第—个锐角三角函数——正切.因为相比之下，正切是生活当中用的最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是类比正切的概念得到的.所以本节从现实情境出发，让学生在经历探索直角：三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数的意义，并能够举例说明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算.本节的重点就是理解tanA、sinA、cosA的数学含义.并能够根据它们的数学意义进行直角三角形边角关系的计算，难点是从现实情境中理解tanA、sim4、cosA的数学含义.所以在教学中要注重创设符合学生实际的问题情境，引出锐角三角函数的概念，使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地进行表达和思考，特别关注他们对概念的理解.第一课时课题§ 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)教学目标(一)教学知识点1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.(二)能力训练要求1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点.2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.教学难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比.教学方法引导—探索法.教具准备FLASH演示教学过程1.创设问题情境，引入新课用FLASH课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现：[问题1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?[问题2]随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗?你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗?通过本章的学习，相信大家一定能够解决.这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起.(板书课题§1.1.1从梯子的倾斜程度谈起).Ⅱ.讲授新课用多媒体演示如下内容：[师]梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的?“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?[生]梯子AB比梯子EF更陡.[师]你是如何判断的?[生]从图中很容易发现∠ABC>∠EFD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡. [生]我觉得是因为AC ＝ED ，所以只要比较BC 、FD 的长度即可知哪个梯子陡.BC<FD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡. [师]我们再来看一个问题(用多媒体演示)(2)在下图中，梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的?[师]我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了.能不能从第(1)问中得到什么启示呢?[生]在第(1)问的图形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的，而水平宽度BC 和FD 不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡.[师]这位同学的想法很好，的确如此，在第(2)问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子AB 和EF 的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.那么请同学们算一下梯子AB 和EF 哪一个更陡呢？[生]385.14==BC AC , 13353.15.3==FD ED . ∵133538〈=, ∴梯子EF 比梯子AB 更陡. 多媒体演示： 想一想如图，小明想通过测量B 1C 1：及AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系?(2)和111AC C B 222AC CB 和有什么关系? (3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?[师]我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度.下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法.[生]在上图中，我们可以知道Rt △AB 1C 1，和Rt △AB 2C 2是相似的.因为∠B 2C 2A ＝∠B 1C 1A ＝90°，∠B 2AC 2＝∠B 1AC 1，根据相似的条件，得Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2. [生]由图还可知：B 2C 2⊥AC 2，B 1C 1⊥AC 1，得 B 2C 2//B 1C 1，Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2.[生]相似三角形的对应边成比例，得2221111212211,AC CB C A C B C A AC C B C B ==即. 如果改变B 2在梯子上的位置，总可以得到Rt △B 2C 2A ∽Rt △Rt △B 1C 1A ，仍能得到222111AC C B AC C B =因此，无论B 2在梯子的什么位置(除A 外)， 222111AC CB AC C B =总成立.[师]也就是说无论B 2在梯子的什么位置(A 除外)，∠A 的对边与邻边的比值是不会改变的.现在如果改变∠A 的大小，∠A 的对边与邻边的比值会改变吗? [生]∠A 的大小改变，∠A 的对边与邻边的比值会改变. [师]你又能得出什么结论呢?[生]∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系，而与它所在直角三角形的大小无关.也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定.[师]这位同学回答得很棒，现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何评价?[生]小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度，因为图中直角三角形中的锐角A 是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一确定的，与B 1、B 2在梯子上的位置无关，即与直角三角形的大小无关.[生]但我觉得小亮的做法更实际，因为要测量B 1C 1的长度，需攀到梯子的最高端，危险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成.[师]这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起，值得提倡.我们学习数学就是为了更好地应用数学.由于直角三角形中的锐角A 确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义：(多媒体演示)如图，在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tanA ，即tanA=的邻边的对边A A ∠∠ .注意：1.tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”.2.tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比.3.tanA 不表示“tan ”乘以“A ”.4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切. 思考：1.∠B 的正切如何表示?它的数学意义是什么?2.前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1—3，梯子的倾斜程度与tanA 有关系吗?[生]1.∠B 的正切记作tanB ，表示∠B 的对边与邻边的比值，即tanB=的邻边的对边B B ∠∠.2.我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，在图1—3中，梯子越陡，tanA 的值越大；反过来，tanA 的值越大，梯子越陡. [师]正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等.正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度. 如图，有一山坡在 水平方向上每前进100 m ，就升高60 m ，那么山 坡的坡度(即坡角α的正 切——tan α就是tan α=α5310060=.这里要注意区分坡度和坡角.坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度.坡度越大，坡面就越陡. Ⅲ.例题讲解 多媒体演示[例1]如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tan α、tan β的值，比较大小，越大，扶梯就越陡. 解：甲梯中， tan α=125513522=-=∠∠的邻边的对边αα.乙梯中，tan β=4386==∠∠的邻边的对边ββ.因为tan β＞tan α，所以乙梯更陡.[例2]在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值. 分析：要求tanA ，tanB 的值，根据勾股定理先求出直角边AC 的长度. 解：在△ABC 中，∠C ＝90°，所以AC=22221220-=-BC AB =16(cm),tanA=,431612===∠∠AC BC A A 的邻边的对边tanB=.341216===∠∠BC AC B B 的邻边的对边所以tanA=43，tanB=34. Ⅳ，随堂练习 1.如图，△ABC是等腰直角三角形， 你能根据图中所给 数据求出tanC 吗?分析：要求tanC.需从图中找到∠C 所在的直角三角形，因为BD ⊥AC ，所以∠C 在Rt △BDC 中.然后求出∠C 的对边与邻边的比，即DC BD的值.解：∵△ABC 是等腰直角三角形，BD ⊥AC ， ∴CD ＝21AC ＝21×3＝1.5. 在Rt △BDC 中，tanC ＝DCBD =5.15.1＝1. 2.如图，某人从山 脚下的点A 走了200m 后 到达山顶的点B ，已知点 B 到山脚的垂直距离为55m ，求山的坡度.(结果精确到0.001)分析：由图可知，∠A 是坡角，∠A 的正切即tanA 为山的坡度. 解：根据题意：在Rt △ABC 中，AB=200 m ，BC ＝55 m ，AC=46.385147955520022⨯≈=-=192.30(m).TanA=.286.030.19255≈=AC BC 所以山的坡度为0.286. Ⅴ.课时小结本节课从梯子的倾斜程度谈起，经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在“Rt △”中定义了tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠.接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的一个很重要的概念. Ⅵ.课后作业1.习题1.1第1、2题.2.观察学校及附近商场的楼梯，哪个更陡. Ⅶ.活动与探究 (2003年江苏盐城) 如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面 图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)[过程]要求DB 的长，需分别在Rt △ABC 和Rt △ACD 中求出BC 和DC.根据题意，在Rt △ABC 中，∠ABC=45°，AB ＝12 m ，则可根据勾股定理求出BC ；在Rt △ADC 中，坡比为1：1.5，即tanD=1：1.5，由BC ＝AC ，可求出CD. [结果]根据题意，在Rt △ABC 中，∠ABC=45°，所以△ABC 为等腰直角三角形.设BC=AC ＝xm ，则 x 2+x 2＝122，x=62，所以BC ＝AC=62.在Rt △ADC 中，tanD=5.11=CD AC , 即5.1126=CD CD=92. 所以DB ＝CD-BC ＝92-62=32(m).板书设计§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)1.当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定.2.正切的定义：在Rt △ABC 中，锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠. 注：(1)tanA 的值越大.梯子越陡.(2)坡度通常表示斜坡的倾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.3.例题讲解(略)4.随堂练习5.课时小结备课资料[例1](2003年浙江沼兴)若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.分析：根据题意(如图)：在Rt △ABC中AC ：BC ＝3：4，AB ＝10米.设AC ＝3x ，BC ＝4x ，根据勾股定理，得(3x)2+(4x)2＝10，∴x ＝2.∴AC ＝3x=6(米).因此某人沿斜坡前进10米后，所在位置比原来的位置升高6米. 解：应填“6 m ”.[例2](2003年内蒙古赤峰)菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tan θ＝______.分析：如图，菱形ABCD ，BD ＝16，AC ＝12，∠ABO ＝θ，在Rt △AOB 中，AO=21AC=6， BO=21BD=8. tan θ=4386==OB OA . 解：应填“43”.第二课时课题§1.1.2 从梯子的倾斜程度谈起(二)教学目标(一)教学知识点1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义.(二)能力训练要求1.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.2.体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成合作交流的意识以及独立思考的习惯.教学重点1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.教学难点用函数的观点理解正弦、余弦和正切.教学方法探索——交流法.教具准备多媒体演示.教学过程Ⅰ.创设情境，提出问题，引入新课[师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.现在我们提出两个问题：[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗?[问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系? Ⅱ.讲授新课1.正弦、余弦及三角函数的定义多媒体演示如下内容：想一想：如图(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系? (2) 211122BA C A BA C A 和有什么 关系?2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?请同学们讨论后回答.[生]∵A 1C 1⊥BC 1，A 2C 2⊥BC 2，∴A 1C 1//A 2C 2.∴Rt △BA 1C 1∽Rt △BA 2C 2.211122BA C A BA C A 和 2112BA BC BA BC 和 (相似三角形对应边成比例). 由于A 2是梯子A 1B 上的任意—点，所以，如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置，上述结论仍成立.由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关.[生]如果改变梯子A 1B 的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变.[师]我们会发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢?[生]函数关系.[师]很好!上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示)在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即sinA ＝斜边的对边A ∠ ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即 cosA=斜边的邻边A ∠ 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数(trigonometricfunction).[师]你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA 、cosA 、tanA 都是之A 的三角函数”呢?[生]我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A 确定时.∠A 的对边与斜边的比值，∠A 的邻边与斜边的比值，∠A 的对边与邻边的比值也都唯一确定.在“∠A 的三角函数”概念中，∠A 是自变量，其取值范围是0°<A<90°；三个比值是因变量.当∠A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.2.梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系[师]我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA 有关系：tanA 的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA 、cosA 有关系呢?如果有关系，是怎样的关系?[生]如图所示，AB ＝A 1B 1，在Rt △ABC 中，sinA=AB BC ，在19Rt △A 1B 1C 中，sinA 1=111B A C B . ∵ AB BC ＜111B A C B , 即sinA<sinA 1，而梯子A 1B 1比梯子AB 陡，所以梯子的倾斜程度与sinA 有关系.sinA 的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.[生]同样道理cosA=AB AC cosA 1＝111B A C A , ∵AB=A 1B 1 AB AC ＞111B A C A 即cosA>cosA 1， 所以梯子的倾斜程度与cosA 也有关系.cosA 的值越小，梯子越陡.[师]同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉!从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切.3.例题讲解多媒体演示.[例1]如图，在Rt △ABC中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC的长.分析：sinA 不是“sin ”与“A ”的乘积，sinA 表示∠A 所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知sinA ＝0.6，ACBC ＝0.6. 解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，即=ACBC 0.6，BC ＝AC ×0.6＝200×0.6=120.思考：(1)cosA ＝?(2)sinC ＝？ cosC ＝?(3)由上面计算，你能猜想出什么结论?解：根据勾股定理，得AB ＝2222120200-=-BC AC =160.在Rt △ABC 中，CB ＝90°.cosA ＝54200160==AC AB ＝0.8， sinC= 54200160==AC AB =0.8， cosC ＝53200120==AC BC ＝0.6， 由上面的计算可知sinA ＝cosC ＝O.6，cosA ＝sinC ＝0.8.因为∠A+∠C ＝90°，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”.[例2]做一做：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透sin(90°-A)＝cosA ，cos(90°-A)=sinA.解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=10，cosA ＝1312，cosA ＝ABAC , ∴AB=6651213101310cos =⨯==A Ac ,sinB ＝1312cos ==A AB Ac 根据勾股定理，得BC 2＝AB 2-AC 2＝(665)2-102=2222625366065=- ∴BC ＝625. ∴cosB ＝1356525665625===AB BC ,sinA ＝135=AB BC 可以得出同例1一样的结论.∵∠A+∠B=90°，∴sinA ：cosB=cos(90-A)，即sinA ＝cos(90°-A)；cosA ＝sinB ＝sin(90°-A)，即cosA ＝sin(90°-A).Ⅲ.随堂练习多媒体演示1.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.分析：要求sinB ，cosB ，tanB ，先要构造∠B 所在的直角三角形.根据等腰三角形“三线合一”的性质，可过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足.解：过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足.∴AB=AC ，∴BD=DC=21BC=3. 在Rt △ABD 中，AB ＝5，BD=3，∴AD ＝4.sinB ＝54=AB AD cosB ＝53=AB BD , tanB=34=BD AD . 2.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周长和面积. 解：sinA=AB BC ，∵sinA=54，BC ＝20， ∴AB ＝5420sin =ABC ＝＝25. 在Rt △BC 中，AC ＝222025-=15，∴ABC 的周长＝AB+AC+BC ＝25+15+20＝60，△ABC 的面积：21AC ×BC=21×15×20＝150. 3.(2003年陕西)(补充练习)在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21， 则sinA= .解：如图，tanA=AC BC =21. 设BC=x ，AC=2x ，根据勾股定理，得 AB=x x x 5)2(22=+.∴sinA=55515===x x AB BC . Ⅳ.课时小结本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角A 的三角函数概念中，∠A 是自变量，其取值范围是0°<∠A<90°；三个比值是因变量.当∠A 确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题.Ⅴ.课后作业习题1、2第1、2、3、4题Ⅵ.活动与探究已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)[过程]根据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一个直角三角形中，在Rt △ABC 中，CD ⊥AB.所以图中含有三个直角三角形.例如∠B 既在Rt △BDC 中，又在Rt △ABC中，涉及线段BC 、BD 、AB ，由正弦、余弦的定义得cosB ＝AB BC ，cosB= BCBD . [结果]在Rt △ABC 中，cosB ＝ABBC 又∵CD ⊥AB.∴在Rt △CDB 中，cosB ＝BC BD ∴AB BC =BCBD BC 2＝AB ·BD. 板书设计§1.1.2 从梯子倾斜程度谈起(二)1.正弦、余弦的定义在Kt △ABC 中，如果锐角A 确定.sinA ＝斜边的对边A ∠ cosA ＝斜边的对边A ∠ 2.梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 有关吗?sinA 的值越大，梯子越陡cosA 的值越小，梯子越陡3.例题讲解4.随堂练习。
北师大九年级数学教案-从梯子的倾斜程度谈起
第一章直角三角形的邊角關係第一課時從梯子的傾斜程度談起(一)直角三角形中邊角之間的關係是現實世界中應用廣泛的關係之—.銳角三角函數在解決現實問題中有著重要的作用.如在測量、建築、工程技術和物理學中，人們常常遇到距離、高度、角度的計算問題，一般來說，這些實際問題的數量關係往往歸結為直角三角形中邊與角的關係問題.本節首光從梯子的傾斜程度談起。
引入了第—個銳角三角函數——正切.因為相比之下，正切是生活當中用的最多的三角函數概念，如刻畫物體的傾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是類比正切的概念得到的.所以本節從現實情境出發，讓學生在經歷探索直角：三角形邊角關係的過程中，理解銳角三角函數的意義，並能夠舉例說明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比，並能夠根據直角三角形的邊角關係進行計算.本節的重點就是理解tanA、sinA、cosA的數學含義.並能夠根據它們的數學意義進行直角三角形邊角關係的計算，難點是從現實情境中理解tanA、sim4、cosA的數學含義.所以在教學中要注重創設符合學生實際的問題情境，引出銳角三角函數的概念，使學生感受到數學與現實世界的聯繫，鼓勵他們有條理地進行表達和思考，特別關注他們對概念的理解.教學目標知識與能力目標1.經歷探索直角三角形中邊角關係的過程.理解正切的意義和與現實生活的聯繫.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進行簡單的計算.過程與方法目標經歷觀察、猜想等數學活動過程，體驗數形之間的聯繫，逐步學習利用數形結合的思想分析問題和解決問題.提高解決實際問題的能力.情感與價值觀目標積極參與數學活動，對數學產生好奇心和求知欲，形成實事求是的態度以及獨立思考的習慣.教學重點1.探索直角三角形的邊角關係.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數學意義，密切數學與生活的聯繫.教學難點理解正切的意義，並用它來表示兩邊的比.教學過程創設情境，引發探究[問題1]在直角三角形中，知道一邊和一個銳角，你能求出其他的邊和角嗎?[問題2] 想一想,你能運用所學的數學知識測出這座古塔的高嗎?這節課，我們就先從梯子的傾斜程度談起.師生互動，探索新知小明的問題在圖中，梯子AB和EF哪個更陡?你是怎樣判斷的?你有幾種判斷方法?提示：1、從圖中很容易發現∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡.2、因為AC＝ED，所以只要比較BC、FD的長度即可知哪個梯子陡.BC<FD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡. 小穎的問題在下圖中，梯子AB 和EF 哪個更陡?你是怎樣判斷的?提示：第(1)問的圖形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的，而水準寬度BC 和FD 不一樣長，由此我們想到梯子的垂直高度與水準寬度的比值越大，梯子應該越陡. ∵385.14==BC AC , 13353.15.3==FD ED 133538〈, ∴梯子EF 比梯子AB 更陡。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系1.1.1从梯子的倾斜程度谈起教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与直角三角形边角关系相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用三角板和量角器来测量并计算物体的高度。
2.教学难点
-理解锐角三角函数的定义及其在直角三角形中的应用。
-解决实际问题时，如何将问题转化为直角三角形的边角关系，并运用锐角三角函数进行计算。
-掌握直角三角形中边角关系在不同情境下的灵活应用。
举例解释：难点之一是理解锐角三角函数在直角三角形中的应用。例如，当学生在面对一个具体问题时，可能难以将问题抽象为直角三角形的边角关系，从而无法运用锐角三角函数进行计算。教师需要通过具体案例，引导学生逐步学会这一转化过程。
在今后的教学中，我还需要注意以下几点：
1.注重培养学生的几何直观和空间想象能力，通过丰富多样的教学手段，让学生更好地理解几何概念。
2.加强与学生的互动，鼓励他们提问和表达自己的观点，提高课堂氛围。
3.关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在课堂上获得收获。
4.不断更新教学方法和手段，紧跟教育改革的步伐，提高教学质量。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形的边角关系，特别是锐角三角函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
《从梯子的倾斜程度谈起》学案.doc
《从梯子的倾斜程度谈起》学案九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》1.《从梯子的倾斜程度谈起》第一课时学案一、学习目标：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tan表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.二、学习重难点：重点：1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.三、教学过程（一）知识要点1.如图，在RtAABC中，如果锐角A确定，那么ZA的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做ZA的正切（tangent）,记作tanA,即tanA= A的对边.A的邻边注意：1.tanA是一个完整的符号，它表示ZA的正切，记号里习惯省去角的符号2.tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中ZA的对边与邻边的比.3.tanA不表示“tan”乘以“A” .4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，ZA是锐角的正切.梯子越陡，tanA的值越大；反过来，tanA的值越大，梯子越陡.（二）例题评析练习一:1.在 RtAABC 中，ZC=90° , AC=6. BC=8，则 tanA=2.在ZkABC 中，ZC=90° , BC = 16 cm, AC = 20 cm,贝I] tan A=, tan B=3._________________________________________________________ 在ZABC 中，ZC = 90° , BC= 12 cm, AB = 20 cm,则 tan A= _____________________________ , tanB=4如图，AABC是等腰直角三角形，你能根据图中必额箱，求出tanC吗cm,求底角的正切D C练习二 1.在 RtAABC 中，ZC=90° , BC： AB=3： 5,则 tan A=, tanB= __________知三角形三边的比是25 ： 24 ： 7,则最小角的正切值为例 3.在 RtAABC 中，ZC=90° , BC=3, tan A=练习三：1.已知 tan A=2 3 .如图，在等腰梯形 ABCD 中，CD = 4 cm, DE = 6 cm, AB = 8 cm,求 tan A 的值.5,求AC。
北师大九年下第一章学案
第一章直角三角形的边角关系§1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）学习目标:1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.学习重点:1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.学习难点:理解正切的意义，并用它来表示两边的比.学习方法:引导—探索法.学习过程:一、生活中的数学问题:1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论?三、例题：例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.四、随堂练习：1、如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗?2、如图，某人从山脚下的点A 走了200m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为55m ，求山的坡度.(结果精确到0.001)3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)五、课后练习：1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.6、如图,在菱形ABCD 中,AE⊥BC 于E,EC=1,tanB=125, 求菱形的边长和四边形AECD 的周长.7、已知:如图,斜坡AB 的倾斜角a,且tan α=34,现有一小球从坡底A 处以20cm/s 的速度向坡顶B 处移动,则小球以多大的速度向上升高?8、探究:⑴、a 克糖水中有b 克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c 克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.⑵、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA 的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________.⑶、如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA 、BC,使AE=CD=c, 直线CA 、DE 交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.§1.1从梯子的倾斜程度谈起（第二课时）E DB ACBC BD A CE F学习目标：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义. 学习重点：1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 学习难点：用函数的观点理解正弦、余弦和正切. 学习方法：探索——交流法. 学习过程：一、正弦、余弦及三角函数的定义 想一想：如图(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系?(2) 211122BA C A BA C A 和有什么关系? 2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 请讨论后回答.二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系：三、例题：例1、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长.例2、做一做：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.四、随堂练习：1、在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.2、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周长和面积.3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21，则sinA= .4、已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)五、课后练习：DBA CB AC 1、在Rt△ABC 中,∠ C=90°,tanA=34,则sinB=_______,tanB=______. 2、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,则AC=______,BC=_______.3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=45,则BC=_____.4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )A.sinA=34B.cosA=35C.tanA=34D.cosB=355、如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,则BCAC等于( ) A.34 B.43 C.35 D.456、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=35,那么tanA 等于( ) A.43 B.34 C.45 D.547、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是A ．135B ．1312C ．125D ．5128、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( ) A.tan α<tan β B.sin α<sin β; C.cos α<cos β D.cos α>cos β 9、如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是( ) A.CD AC B.DB CB C.CB AB D.CDCB10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m A.100sin βB.100sin βC.100cos βD. 100cos β11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.12、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.13、在Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD 和tan∠ACD.14、在Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA 和cosB 有什么关系?15、如图,已知四边形ABCD 中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=45. 求：s △ABD ：s △BCDBDAC§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值学习目标：1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.学习重点：1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小.学习难点：进一步体会三角函数的意义.学习方法：自主探索法学习过程：一、问题引入[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.二、新课[问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?[问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.[问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢?[问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?(1)sin30°+cos45°； (2)sin260°+cos260°-tan45°.[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)三、随堂练习 1.计算：(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；(3) 22sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷13230sin 1+-︒；⑸(2+1)-1+2sin30°-8； ⑹(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1；⑺sin60°+︒-60tan 11； ⑻2-3-(0032+π)0-cos60°-211-.2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)四、课后练习：1、Rt △ABC 中，8,60=︒=∠c A ，则__________,==b a ；2、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ；3、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） （A ）600（B ）900（C ）1200（D ）1505、有一个角是︒30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ） （A ）cm 41 （B ）cm 21（C ）cm 43 （D ）cm 23 6、在ABC ∆中，︒=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）． （A ）3 （B ）33 （C ）23 （D ）217、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）． （A ）21 （B ）22（C ）23 （D ）18、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a︒15020米30米（A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元9、计算：⑴、︒+︒60cos 60sin 22⑵、︒︒-︒30cos 30sin 260sin⑶、︒-︒45cos 30sin 2⑷、3245cos 2-+︒⑸、045cos 360sin 2+ ⑹、 130sin 560cos 30-⑺、︒30sin 22·︒+︒60cos 30tan tan60° ⑻、︒-︒30tan 45sin 2210、请设计一种方案计算tan15°的值。
北师大版九年数学从梯子的倾斜程度谈起学案
A B C 学科： 数 学 编码：10039 授课时间： 学生姓名： 课题从梯子的倾斜程度谈起（1） 课型 新授课 主备人苗启春审核 李秀敏 授课年级班级 九年 课时 1学习目标 1．理解正切的意义和与现实生活的联系2．能够利用tanA 表示三角形中两边的比，表示生活中的倾斜程度、坡度等；另外能够利用正切进行简单的计算。
学习重点 理解正切、倾斜程度、坡度的数学与生活的联系学习难点 理解正切的意义，并用它来表示直角三角形中两边比学习过程预习检测一、知识要点 正切的定义：tan A A A ∠=∠的( )的( ) tanA 的值 ，梯子越陡 如图，在△ACB 中，∠C = 90°， （1）tanA = ；tanB = ； （2）若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ； （3）若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ；师 生 标 注课堂二、例题讲解 （一）应知应会 例1如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?研讨课堂研讨对应训练：在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值正切也常用来描述山坡的坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)例2若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.对应训练：如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)课堂检测1．在Rt△ABC中，如果各边长都扩大原来的2倍，则锐角A的正切值（）A、扩大2倍B、缩小2倍C、扩大4倍D、没有变化2．在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=3，AB=5，则tanB=( )A.54B.53C.34D.433.在Rt△ABC中，∠C=90º，tanA·tanB的值（）A．等于1 B.大于1 C.小于1 D.不确定4.如图所示:在坡度为1:2的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离是5m,斜坡上相邻两树间的坡面距离是( )米.5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,求tanA.6.在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,求 tanA.课堂检测7.在Rt△ABC中,∠C=90°,6,2=+=bac.(1)求tanA+tanB的值.(2)若CD为斜边上的高,求CD的长.8.已知:如图,斜坡AB的倾斜角a,且坡度为3：4，现有一小球从坡底A处以20cm/s 的速度向坡顶B处移动,则小球以多大的速度向上升高?9．如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，∠DBC=45º，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交AB、AC于F、E，若AD=2，BC=8，求：（1）BE的长（2）∠CDE的正切值学后反思B AαC。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系第一章：从梯子的倾斜程度谈起课时一课程设计
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系第一节：梯子的倾斜程度与角度的关系课程目标•了解梯子倾斜角度与梯子在地面上的夹角之间的关系•学会利用三角函数解决实际问题教学内容1.什么是三角形及其特殊的直角三角形2.三角函数的定义与基本初等函数的关系3.梯子倾斜程度与角度的计算及问题求解教学重点1.学会理解梯子倾斜角度与梯子在地面上的夹角之间的关系2.学会利用三角函数解决实际问题教学难点1.理解角度的概念，学会进行角度的换算2.懂得如何通过三角函数解决实际问题教学方法1.以文字和图片形式演示梯子的倾斜成度与角度之间的关系2.以实际问题为例，引导学生理解三角函数的应用3.以小组讨论方式，引导学生探究角度的换算方法教学过程一、导入新知教师通过图片和实物展示，引导学生认识直角三角形及其特殊性质，并介绍角度的概念和角度的换算方法。
二、讲解三角函数定义1.引导学生认识三角函数的定义及其基本初等函数之间的关系2.通过图示和文字描述，让学生理解正弦、余弦和正切这三种三角函数的基本意义及计算方法三、介绍直角三角形的应用1.通过图片和实例，引导学生了解在现实生活中三角形常见的应用场景，例如梯子、棱镜等2.以梯子为例，讲解梯子倾斜程度与角度之间的关系，引导学生理解三角函数的应用方法四、实际问题求解1.通过实际问题解决的方式，引导学生应用三角函数计算问题2.以梯子问题为例，让学生通过计算得出梯子与垂直墙壁的夹角，加强他们对三角函数的理解和应用能力五、总结回顾1.回顾本节课所学内容，并强调梳理关键点2.鼓励学生进行思考、发言和讨论，加深对本节课知识的理解和记忆。
课堂练习1.某人站在高楼上往下看，他的视线方向与地面为45度角，高楼的楼顶距他56米，那么这个人距高楼底部多少米？2.一根长12米的梯子倚在一面墙上，梯子与水平平面的夹角为60度，请问梯子的顶端离地面多远？作业布置1.完成课堂练习2.搜集三角形在现实生活中的应用案例，并写一篇短文介绍。
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新北师大版九年级数学下册第一章《从梯子的倾斜程度谈起》学案（1）在图1中梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?(2)在图2中，梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的?想一想：如图，小明想通过测量B 1C 1：及AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2有什么关系? (2)和111AC C B 222AC CB 和有什么关系? (3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论? 如图，在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tanA ，即 tanA=的邻边的对边A A ∠∠ .议一议：梯子的倾斜程度与tanA 有关系吗?tanA 的值越大，梯子越陡；反过来，梯子越陡，tanA 的值越大.因为tan β＞tan α，所以乙梯更陡.正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度. 如图，有一山坡在水平方向上每前进100m ，就升高60 m ，那么山坡的坡度 (即tan α)就是 tan α=α5310060=. 随堂练习1.如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗?2.如图，某人从山脚下的点A 走了200m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为55 m ，求山的坡度.(结果精确到0.001) 习题1.11.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =5，AB =13，求tan A 和tan B 的值.2.在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC=3，tan A =125，求AC .当Rt △ABC 中的锐角A 确定时，∠A 的对边 与斜边的比也随之确定. 此时，其他边之间的比也确定吗？在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即sinA ＝斜边的对边A ∠∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即（1） （2）例1如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?乙梯中， tan β=4386==∠∠的邻边的对边ββ.cosA=斜边的邻边A ∠锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数.想一想：前面的梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 有关系吗？sinA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越小，梯子越陡例2 如图在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长. 解：在Rt △ABC 中，∵ sin A ＝AC BC，即sin A ＝ACBC0.6，∴BC ＝200×0.6=120.做一做：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，cos A ＝1312，AC ＝10，AB 等于多少?sin B 呢? 随堂练习：1.在等腰三角形ABC 中，AB =AC ＝5，BC =6，求sinB ，cosB ，tanB.2.在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝54，BC =20，求△ABC 的周长和面积. 习题1.21.如图，分别求α∠和β∠的正弦、余弦和正切.2.在△ABC 中，AB =5，BC =13，AD 是BC 边上的高，AD =4，求CD 和sinC.3. 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，CD 是中线，BC =8，CD =5， 求sin ∠ACD ，cos ∠ACD 和tan ∠ACD .4. 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，sin A 与cos B 有什么关系？§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?（1）sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. （2）cos30°等于多少?tan30°呢?做一做（1）60°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?（2）45°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?（3）完成下表：解：(1)sin30°＋cos45°=2212221+=+； (2)sin 260°＋cos 260°-tan45°=43＋41－1 = 0. 例2一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01 m).解：如图，根据题意可知，∠AOD ＝21×60°＝30°，OD =2.5 m ， ∴OC =OD cos30°=2.5×23≈2.165(m). ∴AC ＝2.5-2.165≈0.34(m).所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34 m. 随堂练习：1.计算：(1)sin60°-tan45°；(2)cos60°+tan60°；536(3)22sin45°+sin60°-2cos45°. 2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?习题1.3 1.计算：（1）tan45°-sin30°；(2)cos60°+ sin45°-tan30°； (3) 6sin 230°-3sin60°-2cos45°.2.如图，河岸AD ，BC 互相平行，桥AB 垂直于两岸，桥长12 m ，在C 处看桥两端A ，B ，夹角∠BCA =60°，求B ，C 间的距离(结果精确到1 m).3.如图，身高1.75 m 的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知它与树之间的距离为5 m ，那么这棵树大约有多高？§1.3 三角函数的有关计算如图，当登山缆车的吊箱经过点A 到达点B 时,它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？在Rt △ABC 中,BC =AB sin16°.你知道sin16°等于多少吗？我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值.怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢? 用科学计算器求三角函数值,要用到三个键:例如：求︒16sin ，︒42cos ，︒85tan 和528372sin '''︒的按键顺序如下表所8对于本节一开始的问题,利用科学计算器可以求得:BC =AB sin16°≈200×0.2756≈55.12.想一想：对于本节一开始的问题中，当缆车继续从点B 到达点D 时,它又走过了200m.缆车由点B 到点D 的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°,由此你还能计算什么?随堂练习：1.用计算器求下列各式的值:(1)sin56°； (2) sin15o49′； (3)cos20o；(4)tan29o；(5)tan44o 59/59″； (6)sin15o ＋cos61o ＋tan76o .2.一个人由山底爬到山顶,需先爬40 o 的山坡300m,再爬30o的山坡100m,求山高(结果精确到0.01m). 3.求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m). 习题1.41.用计算器求下列各式的值：(1)tan32o； (2)sin24.53o； (3)sin62o11′；(4)tan39o 39/39″.2.如图,物华大厦离小伟家60m,小伟从自家的窗中眺望大厦,并测得大厦顶部仰角是45o,而大厦底部的俯角是37o,求该大厦的的高度(结果精确到0.1m).为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m 高的天桥两端修建40m 长的斜道. 这条斜道的倾斜角是多少?在Rt △ABC 中，sin A ＝414010AB BC ==，那么∠A 是多少度呢？ 要解决这个问题，我们可以借助于科学计算器.已知三角函数求角度，要用到“sin ”、“cos ”、“tan ”键的第二功能 -1-1-12ndf sin . 2 2ndf .2ndf 6 上表的显示结果是以“度”为单位的.再按键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.例1 如图，工件上有一V 形槽.测得它的上口宽加20mm ，深19.2mm 。
求V 形角(∠ACB )的大小.(结果精确到1°)解：tan ∠ACD =2.1910=CD AD ≈0.520 8， ∴∠ACD ≈27.5°，∠ACB ＝2∠ACD ≈2×27.5°＝55°.例2 如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下6.3 cm 的A 处，射线从肿瘤右侧9.8cm 的B 处进入身体，求射线的入射角度，解：如图，在Rt △ABC 中，AC ＝6.3 cm ，BC =9.8 cm ，∴tan B =8.93.6=BC AC ≈0.642 9. ∴∠B ≈314432'''︒.因此，射线的入射角度约为314432'''︒.随堂练习：1.已知sin θ＝0.829 04.求∠θ的大小.2.一梯子斜靠在一面墙上.已知梯长4m ，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5m ，求梯子与地面所成的锐角. 习题1.51.根据下列条件求锐角θ的大小：(1)tan θ=2.988 8 ；(2)sin θ=0.395 7；(3)cos θ=0.785 0；(4)tan θ=0.897 2. 2.一辆汽车沿着一山坡行驶了1000m ，其铅直高度上升了50 m ．求山坡与水平面所成的锐角的大小．3．图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，每个三角形都以点O 为一顶点． （1）求∠10OA A ，∠21OA A ，∠32OA A 的大小； （2）已知∠n n OA A 1-是一个小于20o的角，求n 的值.§1.4 船有触礁的危险吗海中有一个小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续往东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流. 想一想：如图，小明想测量塔CD 的高度.他在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m 至B 处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m) 做一做：某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4m ，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m )随堂练习：1.如图，一灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成40°夹角，且DB ＝5m ，现再在C 点上方2m 处加固另一条钢缆ED ，那么钢缆ED 的长度为多少? (结果精确到0.0l m )2.如图，水库大坝的截面是梯形ABCD ，坝顶AD ＝6 m ，坡长CD ＝8m .坡底BC ＝30m ，∠ADC =135°. (1)求∠ABC 的大小：(2)如果坝长100m .那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01m 3)习题1.6 1.如图，有一斜坡AB 长40m ，坡顶离地面的高度为20m ，求此斜坡的倾斜角.2.有一座建筑物，在地面上A 点测得其顶点C 的仰角为30°.向建筑物前进50m 到B 点，又测得C 的仰角为45°，求建筑物的高度（结果精确到0.1m ）. 3.如图，燕尾槽的横断面是一个等腰梯形，其中燕尾角∠B =55°，外口宽AD =188mm ，燕尾槽深度是70mm ，求它的里口宽BC （结果精确到1mm ）.1.5 测量物体的高度活动课题：利用三角尺的边角关系测量物体的高度. 活动方式：分组活动、全班交流研讨. 活动工具：测倾器（或经纬仪、测角仪等）、皮尺等测量工具. 活动一：测量倾斜角.测量倾斜角可以用测倾器.简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成（如图）.使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：1.把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ 在水平位置.2.转动度盘，使度盘的直径对准目标M ，记下此时铅垂线所指的度数.根据测量数据，你能求出目标M 的仰角或俯角吗？说说你的理由. 活动二：测量底部可以到达的物体的高度. 所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离.如图1-18，要测量物体MN 的高度，可按下列步骤进行：1.在测点A 处安置测倾器，测得M 的仰角α=∠MCE .2.量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN =l .3.量出测倾器的高度AC =a （即顶线PQ 成水平位置时，它与地面的距离）. 根据测量数据，你能求出物体MN 的高度吗？说说你的理由.活动三：测量底部不可以到达的物体的高度. 所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离.如图1-19，要测量物体MN 的高度，可按下列步骤进行：1.在测点A 处安置测倾器，测得此时M 的仰角α=∠MCE .2.在测点A 与物体之间的B 处安置测倾器（A ，B 与N 在一条直线上），测得此时M 的仰角β=∠MDE .3.量出测倾器的高度AC =BD =a ，以及测点A ，B 之间的距离AB =b . 根据测量数据，你能求出物体MN 的高度吗？说说你的理由. 议一议：（1）到目前为止，你有哪些测量物体高度的方法？ （2）如果一个物体的高度已知或容易测量，那如何测得某测点到该物体的水平距离？ 习题1.71.分组制作简单的测倾器.2.选择一个底部可以到达的物体，测量它的高度，并撰写一份活动报告，阐明活动课题、测量示意图、测得数据和计算过程等.3.选择一个底部不可以到达的物体，测量它的高度，并撰写一份活动报告.。