人教版初中数学数与式版块基础知识点及例题分析

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初中数学知识点总结人教版

初中数学知识点总结人教版初中数学知识点总结（人教版）一、数与代数1. 有理数- 整数和小数- 有理数的加法、减法、乘法、除法- 有理数的比较大小- 绝对值- 有理数的运算律2. 整式与分式- 单项式与多项式- 同类项与合并同类项- 整式的加减乘除- 因式分解- 分式的基本性质- 分式的乘除法- 分式的加减法3. 代数方程- 一元一次方程- 二元一次方程组- 解方程的基本方法- 列方程解应用题4. 函数- 函数的概念- 线性函数- 反比例函数- 函数的图像和性质- 解析式的应用二、几何1. 平面图形- 点、线、面的基本性质- 角的概念和分类- 三角形的分类和性质- 四边形的分类和性质- 圆的基本性质- 相似图形- 平行线与平行线的性质2. 几何变换- 平移- 旋转- 轴对称（镜像对称）3. 几何计算- 线段、角的计算- 三角形、四边形的面积计算- 圆的周长和面积计算- 体积和表面积的计算（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球）三、统计与概率1. 统计- 数据的收集和整理- 频数和频率- 统计图表（条形图、折线图、饼图）- 平均数、中位数、众数2. 概率- 随机事件- 概率的初步认识- 可能性的计算四、应用题1. 列方程解应用题- 行程问题- 工作问题- 利润问题- 比例问题2. 几何应用题- 面积问题- 体积问题- 角度计算问题3. 统计与概率应用题- 调查与统计分析- 可能性与预测请注意，以上内容是根据人教版初中数学教材的一般结构和知识点进行的总结，具体的教学内容可能会根据不同年份的教材版本和教学大纲有所变化。

教师和学生应参考最新的教材和教学指南来确定具体的教学内容和要求。

初中数学中考一轮复习专题1数与式重点、考点知识、方法总结及真题练习

在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）仸何一个实数 a 的绝对值是非负数，即| a |≥0；（2）仸何一个实数 a 的平方是非负数，即 a2 ≥0；（3）仸何非负数的算术平方根是非负数，即 a 0 ( a 0 ).
非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数乊和仍是非负数；（3）几个非负数乊和等于 0，则每个非负数都等于 0. 4.实数的运算
a a (a 0, b 0) bb
②.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数丌变，
即合并同类二次根式.
【典例】
1.计算：5 +
﹣×+ ÷．
【答案】【解析】解：原式= + ﹣
+3 ÷
=2 ﹣1+3
=2 +2．
x xy xy y
2.若 x 0 ，化简
注：单独一个字母戒一个数也是代数式.
2.代数式的分类：
3.代数式的书写规则：（1）数字不字母相乘戒字母不字母相乘，通常把乘号写作“ ”戒省略丌写，字母乊间的
顺序可以交换，但一般按字母表中的先后顺序写.数字应在字母乊前.如： 3b 丌要写成 b3 （2）在代数式中出现除法运算时，一般都变成分数和乘法来计算.如： 2a b 写成 2a
x
2
0
即
x
1 且x 2
2
.
【难度】易
【结束】
2.若
，则 ( )
A. b＞3B. b＜3C. b≥3D. b≤3
【答案】D.
【解析】
3 b = 3 b ,所以 3 b ≥0,即 b 3 .

新人教版初中数学[中考总复习：数与式综合复习--知识点整理及重点题型梳理](基础)

新人教版初中数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：数与式综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】(1) 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的倒数、相反数与绝对值．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算；（2）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应；会用根号表示数的平方根、立方根．了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；（3）了解整式、分式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算．会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算．【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的有关概念、性质1．实数及其分类实数可以按照下面的方法分类：实数还可以按照下面的方法分类：要点诠释：整数和分数统称有理数．无限不循环小数叫做无理数．有理数和无理数统称实数．2．数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数和数轴上的点是一一对应的关系．要点诠释：实数和数轴上的点的这种一一对应的关系是数学中把数和形结合起来的重要基础．3．相反数实数a和-a叫做互为相反数．零的相反数是零．一般地，数轴上表示互为相反数的两个点，分别在原点的两旁，并且离原点的距离相等．要点诠释：两个互为相反数的数的运算特征是它们的和等于零，即如果a和b互为相反数，那么a+b＝0；反过来，如果a+b＝0，那么a和b互为相反数．4．绝对值一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即如果a＞0，那么|a|＝a；如果a＜0，那么|a|＝-a；如果a＝0，那么|a|＝0．要点诠释：从绝对值的定义可以知道，一个实数的绝对值是一个非负数．5．实数大小的比较在数轴上表示两个数的点，右边的点所表示的数较大．6．有理数的运算(1)运算法则(略)．(2)运算律：加法交换律 a+b＝b+a；加法结合律 (a+b)+c ＝a+(b+c)；乘法交换律 ab ＝ba ；乘法结合律 (ab)c ＝a(bc)；分配律 a(b+c)＝ab+ac ．(3)运算顺序：在加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算中，加、减是第一级运算，乘、除是第二级运算，乘方、开方是第三级运算．在没有括号的算式中，首先进行第三级运算，然后进行第二级运算，最后进行第一级运算，也就是先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减．算式里如果有括号，先进行括号内的运算．如果只有同一级运算，从左到右依次运算． 7．平方根如果x 2＝a ，那么x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根)．要点诠释：正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根． 8．算术平方根正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．零的算术平方根是零．要点诠释：从算术平方根的概念可以知道，算术平方根是非负数． 9．近似数及有效数字近似地表示某一个量准确值的数，叫做这个量准确值的近似数．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字． 10．科学记数法把一个数记成±a ×10n的形式(其中n 是整数，a 是大于或等于1而小于10的数)，称为用科学记数法表示这个数．考点二、二次根式、分式的相关概念及性质 1．二次根式的概念≥0) 的式子叫做二次根式．2．最简二次根式和同类二次根式的概念最简二次根式是指满足下列条件的二次根式： (1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．要点诠释：把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式：（1（2）a a +-互为有理化因式；一般地a a +-（3. 3．二次根式的主要性质（1）0(0)a a ≥≥；（2）()2(0)a a a =≥；（3）2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩；（4）积的算术平方根的性质：(00)ab a b a b =⋅≥≥，；（5）商的算术平方根的性质：(00)a aa b b b=≥>，. 4．二次根式的运算(1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并． (2)二次根式的乘除二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变．要点诠释：二次根式的混合运算：1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果. 5．代数式的有关概念(1)代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值．代数式的分类：(2)有理式：只含有加、减、乘、除、乘方运算(包含数字开方运算)的代数式，叫做有理式． (3)整式：没有除法运算或者虽有除法运算但除式里不含字母的有理式叫做整式．整式包括单项式和多项式．(4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式．分式的分母取值如果为零，分式没有意义． 6．整式的运算(1)整式的加减：整式的加减运算，实际上就是合并同类项．在运算时，如果遇到括号，根据去括号法则，先去括号，再合并同类项．(2)整式的乘法：①正整数幂的运算性质：m n m n a a a +=；()m n mn a a =；()m mm ab a b =；m n m n a a a -÷=(a ≠0，m ＞n)．其中m 、n 都是正整数．②整式的乘法：单项式乘单项式，用它们的系数的积作为积的系数，对于相同字母，用它们的指数的和作为积里这个字母的指数，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．③乘法公式：22()()a b a b a b +-=-； 222()2a b a ab b ±=±+．④零和负整数指数：在mnm na a a-÷=(a ≠0，m ，n 都是正整数)中，当m ＝n 时，规定01a =；当m ＜n 时，如m-n ＝-p(p 是正整数)，规定1pp a a-=． 7．因式分解（1）因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．在因式分解时，应注意：①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内分解．②因式分解以后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简．（2）因式分解的方法①提公因式法：ma+mb+mc ＝m(a+b+c)．②运用公式法：22()()a b a b a b -=+-；2222()a ab b a b ±+=±；③十字相乘法：2()x a b x ab +++()()x a x b =++．（3）因式分解的步骤①多项式的各项有公因式时，应先提取公因式； ②考虑所给多项式是否能用公式法分解．要点诠释：因式分解时应注意:①在指定数（有理数、实数）的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解；②因式分解后，如果有相同因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时每个因式的首项不含负号；③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形. 8．分式（1）分式的概念形如AB的式子叫做分式，其中A 和B 均为整式，B 中含有字母，注意B 的值不能为零．（2）分式的基本性质分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．A A MB B M ⨯=⨯，A A MB B M÷=÷．(其中M 是不等于零的整式) （3）分式的运算 ①加减法：a b a b c c c ±±=，a c ad bcb d bd ±±=． ②乘法：ac acb d bd=． ③除法：a c a d adb d bc bc÷==． ④乘方：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）．要点诠释：解分式方程的注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤： (1)审——仔细审题，找出等量关系； (2)设——合理设未知数； (3)列——根据等量关系列出方程； (4)解——解出方程； (5)验——检验增根； (6)答——答题．【典型例题】类型一、实数的有关概念及运算1．实数2-，0.3，172，π-中，无理数的个数是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【思路点拨】常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，24ππ、等都是无理数，而不是分数；（2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（33256、、，…都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.【答案】A ；【解析】本题主要考查无理数的概念.无理数是指无限不循环小数，2，π-都是无限不循环小数，故共有2个无理数.【总结升华】无理数通常有以下几类：①开方开不尽的数；②含π的数；③看似循环但实际不循环的小数；④三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.抓住这几类无理数特征，则可以轻松解决有关无理数的相关试题. 举一反三：【课程名称：数与式综合复习 402392 ：例1—2】【变式】如图，数轴上A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为( )．A ．32--B ．－31-C ．32+-D ．31+【答案】A.2．计算：(1)23220.2549403⎡⎤⎛⎫-⨯-÷-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦； (2)85(2)25-⨯ ．【思路点拨】注意在第（1）题中，32-与3(2)-的不同运算顺序和4499÷⨯的运算顺序. 【答案与解析】(1)23220.2549403⎡⎤⎛⎫-⨯-÷-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦480.2549409⎛⎫=-⨯-÷⨯- ⎪⎝⎭9249402(8140)4⎛⎫=--⨯⨯-=--- ⎪⎝⎭24143=--=-．(2)85(2)25-⨯444442525(425)25100252500000000=⨯⨯=⨯⨯=⨯=．【总结升华】在进行有理数运算时，要注意运算的顺序，要有灵活运用运算律、运算法则和相反数、倒数、0、1的运算特性的意识，寻求简捷的运算途径．举一反三：【变式】2517( 2.4)58612⎛⎫-+-+⨯- ⎪⎝⎭；【答案】2517( 2.4)58612⎛⎫-+-+⨯- ⎪⎝⎭21.50.4 1.4 1.5 1.42.95=--+-=--=- ．3．若x-3+x-y+1=0，计算322x y+xy +4y .【思路点拨】几个非负数相加和为0，则这几个非负数必定同时为0，进而求出x 、y 的值. 【答案与解析】依题意得30,10,x x y -=⎧⎨-+=⎩解得3,4,x y =⎧⎨=⎩∴3222224x y+xy +y(x +xy+)y(x+)(x+)(3)410.44222y y y y y ====+⨯=【总结升华】2a ,(a 0)a a ≥，这三个非负数中任意几个相加得0，则每一个都得0.举一反三：【变式】已知|1|80a b ++-=，则a b -= ．【答案】本题考查绝对值与算数平方根的非负性，两个非负数的和为0，所以这两数都为0.因为|1|80a b ++-=，所以a=-1,b=8. a b -=﹣9.类型二、分式的有关运算4．对于分式211x x -+，当x 取何值时，(1)分式有意义? (2)分式的值等于零?【思路点拨】当分母等于零时，分式没有意义，此外，分式都有意义；当分子等于零，并且分母不等于零时，分式的值等于零. 【答案与解析】(1)由分母x+1＝0，得x ＝-1．∴ 当x ≠-1时，分式211x x -+有意义．(2)由分子210x -=，得1x =或1x =-．而当x ＝-1时，分母x+1＝0；当x ＝1时，分母10x +=．∴ 当x ＝l 时，分式211x x -+的值等于零．【总结升华】讨论分式有无意义时，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式．类型三、二次根式的运算5．（2014春•平泉县校级期中）已知a=，求﹣的值．【思路点拨】先利用因式分解原式进行化简，再进行约分和利用二次根式的性质计算，由于a==4﹣2，则a ﹣4＜0，所以原式可化简为a ﹣3+，然后把a 的值代入计算即可．【答案与解析】解：原式=﹣=a ﹣3﹣， ∵a==4﹣2， ∴a ﹣4＜0， ∴原式=a ﹣3+=a ﹣3+， =4﹣2﹣3+=2﹣．【总结升华】本题考查了二次根式的化简求值：一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．也考查了分式的混合运算．举一反三：【变式】计算：2(1848)(212)(23)+---；【答案】2(1848)(212)(23)+---(3243)(223)(2263)=+---+646662452623=+---+=-．6．当x 为何值时，下列式子有意义？（1）32x -；（2）125xx -+．【思路点拨】第（1）题中，根号外的负号与根号是否有意义无关；第（2）题中，因为与分式有关，因此要综合考虑x 的取值范围．【答案与解析】（1）320x -≥，即32x ≤． ∴ 当32x ≤时，32x --有意义．（2）120x -≥，且x+5≠0，∴ 当12x ≤，且x ≠-5时，125x x -+有意义．【总结升华】要使偶次根式有意义，被开方数为非负数；分式有意义分母不为0.举一反三：【课程名称：数与式综合复习 402392 ：例1—2】【变式】下列说法中，正确的是( )A ．3的平方根是3B ．5的算术平方根是5C ．－7的平方根是7-±D ．a 的算术平方根是a【答案】B.类型四、数与式的综合运用7．（2014秋•崂山区校级期末）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地面：（1）观察图形，填写下表：图形（1）（2）（3）… 黑色瓷砖的块数 4 7… 黑白两种瓷砖的总块数 15 25… （2）依上推测，第n 个图形中黑色瓷砖的块数为；黑白两种瓷砖的总块数为（都用含n 的代数式表示）（3）白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多2015块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由．【思路点拨】找规律题至少要推算出三个式子的值，再去寻求规律，考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力. 【答案与解析】解：（1）填表如下：图形（1）（2）（3）… 黑色瓷砖的块数 4 7 10… 黑白两种瓷砖的总块数 15 25 35 …（2）第n 个图形中黑色瓷砖的块数为3n+1；黑白两种瓷砖的总块数为10n+5；（3）能，理由如下：10n+5﹣（3n+1）﹣（3n+1）=2015，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用解得：n=503答：第503个图形．【总结升华】本题考查数形结合、整理信息，将图形转化为数据，猜想规律、探求结论．抓住其中的黑色瓷砖数目的变化规律，结合图形，观察其变化规律．举一反三：【变式】如图所示的是一块长、宽、高分别为7cm ，5cm 和3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面爬到和顶点A 相对的顶点B 处吃食物，那么它要爬行的最短路径的长是多少？22(57)3153++=(cm).【答案】路径①的长为路径②的长为22(37)5125++=22(35)7113++=(cm). 113。

初中数学数与式知识点归纳

初中数学数与式知识点归纳数与式是初中数学的基础知识，它们在解决实际问题和推导逻辑关系中起着重要的作用。

本文将对初中数学中数与式的相关知识点进行归纳总结，包括数的类型、数的性质、数的运算规律以及代数式和方程等内容。

一、数的类型1. 自然数：自然数包括0和比零大的整数，表示为{0, 1, 2, 3, ...}。

2. 整数：整数包括零、正整数和负整数，表示为{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}。

3. 有理数：有理数包括整数和分数，可以表示为两个整数的比值。

例如，2/3、-5等都属于有理数。

4. 无理数：无理数是不能用两个整数的比值来表示的数，例如π、√2等。

二、数的性质1. 数的比较：对于任意两个数a和b，可以进行大小比较。

如果a > b，表示a大于b；如果a < b，表示a小于b；如果a = b，表示a等于b。

2. 数的相反数：对于任意一个数a，它的相反数是-b，满足a + (-a) = 0。

3. 数的绝对值：对于任意一个数a，它的绝对值表示为|a|，满足|a| = a（a ≥ 0），|a| = -a（a < 0）。

4. 数的倒数：对于任意一个非零数a，它的倒数表示为1/a，满足a ×(1/a) = 1。

5. 数的分数运算：对于两个分数a/b和c/d，可以进行加减乘除运算，并按照分数的运算规律进行化简和约分。

6. 数的幂运算：对于任意一个数a和正整数n，a的n次幂表示为an，满足an= a × a × ... × a（n个a相乘）。

三、数的运算规律1. 加法和减法的交换律：对于任意两个数a和b，有a + b = b + a，a - b ≠ b - a。

2. 加法和减法的结合律：对于任意三个数a、b和c，有(a + b) + c = a + (b + c)，(a - b) - c ≠ a - (b - c)。

3. 乘法和除法的交换律：对于任意两个数a和b，有a × b = b × a，a ÷ b ≠ b ÷ a。

(人教版)初中数学各章节详细知识点

各章节详细知识点七年级上册第一章《有理数》1.正数与负数的概念2.正数与负数的实际意义3.有理数的概念4.数轴的概念5.相反数的概念6.绝对值的概念7.有理数的大小比较8.有理数的加法法则9.有理数的减法法则10.有理数的乘法法则11.有理数的运算律12.有理数的除法法则13.有理数的混合运算法则14.有理数的乘方相关概念（乘方、幂、底数、指数）15.有理数的乘方法则16.科学记数法17.近似数（有效数字）第二章《整式的加减》1.单项式及其相关概念（单项式、系数、次数）2.多项式及其相关概念（多项式、项、常数项、次数）3.整式4.同类项的概念5.合并同类项的法则6.去括号法则7.整式加减的运算法则第三章《一元一次方程》1.方程的概念2.一元一次方程的概念3.方程的解4.等式的性质5.一元一次方程的解法（步骤）6.一元一次方程的应用问题（和差倍分问题、数字问题、行程问题、工程问题、劳动力调配问题、增长率问题、商品利润问题）第四章《图形的初步认识》1.几何图形的概念2.立体图形的概念3.平面图形的概念4.立体图形的三视图5.立体图形的展开图6.点、线、面、体的概念7.直线的相关概念（直线、相交线、交点）8.两点确定一条直线9.点与直线的位置关系10.线段的中点11.两点之间线段最短12.两点之间的距离13.角及其相关概念14.角平分线15.余角的概念16.补角的概念17.余角（补角）的性质七年级下册第五章《相交线与平行线》1.相交线的相关概念（邻补角、对顶角）2.对顶角的性质3.垂线的相关概念（垂直、垂线、垂足）4.过一点画垂线5.垂线段最短6.点到直线的距离7.“三线八角”的相关概念8.平行的概念9.平行公理10.平行线的判定11.平行线的性质12.命题及其相关概念（命题、真命题、假命题）13.定理的概念14.平移的概念15.平移的性质第六章《平面直角坐标系》1.有序实数对的概念2.平面直角坐标系及其相关概念（平面直角坐标系、横轴、纵轴、原点、坐标、象限）3.特殊点坐标（象限符号、坐标轴上点的特征、坐标轴角平分线上点的特征、对称点坐标特征、平行于坐标轴的点的特征）4.直角坐标系的实际应用5.平移的坐标特征第七章《三角形》1.三角形的概念2.三角形的分类3.三角形的三边关系4.三角形的“三线”（高线、中线、角平分线）5.三角形的稳定性6.三角形的内角和定理7.三角形的外角8.三角形的外角性质定理9.多边形及其相关概念（多边形、对角线、正多边形）10.多边形的内角和定理11.多边形的外角和定理第八章《二元一次方程组》1.二元一次方程的概念2.二元一次方程（组）的解3.解二元一次方程（代入消元法、加减消元法）4.二元一次方程的应用5.三元一次方程组的概念6.三元一次方程组的解法第九章《不等式与不等式组》1.不等式的概念2.不等式的解3.解集4.一元一次不等式的概念5.不等式的性质6.一元一次不等式的解法7.一元一次不等式的应用8.一元一次不等式组的概念9.一元一次不等式组的解法第十章《数据的收集、整理与描述》1.收集数据（问卷）2.整理数据（表格）3.描述数据（条形统计图、扇形统计图）4.抽样调查的概念5.总体、个体、样本、样本容量6.简单随机抽样的概念7.直方图及其相关概念（直方图、组距、频数）8.画直方图的步骤八年级上册第十一章《全等三角形》1.全等形的概念2.全等三角形的相关概念（全等三角形、对应顶点、对应边、对应角）3.全等三角形的性质4.全等三角形的判定5.角平分线的性质6.角平分线的判定第十二章《轴对称》1.轴对称图形的概念2.关于直线对称的相关概念3.轴对称的性质4.线段垂直平分线的性质5.线段垂直平分线的判定6.作轴对称图形7.关于坐标轴对称点的特征8.等腰三角形的概念9.等腰三角形的性质10.等腰三角形的判定11.等边三角形的概念12.等边三角形的判定13.等边三角形的性质第十三章《实数》1.算术平方根的概念2.平方根的概念3.平方根的性质4.立方根的概念5.立方根的性质6.实数的概念7.实数的分类8.实数的相反数、绝对值9.实数与数轴的关系第十四章《一次函数》1.变量与常量2.函数与自变量3.函数的图像4.正比例函数的解析式5.正比例函数的图象及其性质6.一次函数的解析式7.一次函数的图象及其性质8.一次函数与一元一次方程的关系9.一次函数与一元一次不等式关系10.一次函数与二元一次方程组的关系第十五章《整式的乘除与因式分解》1.同底数的幂的乘法公式2.幂的乘方公式3.积的乘方公式整式的乘法法则4.单项式与多项式相乘的乘法法则5.多项式相乘的乘法法则6.平方差公式7.完全平方公式8.添括号法则9.同底数幂的除法法则10.单项式除单项式的法则11.多项式除以单项式法则12.因式分解的概念13.因式分解的方法（提取公因式法、公式法）八年级下册第十六章《分式》1.分式的概念2.分式的基本性质3.约分与通分4.最简分式5.分式乘除的法则6.分式加减的法则7.整数指数幂的运算性质8.分式方程的概念9.分式方程的解法10.分式方程的应用第十七章《反比例函数》1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及其性质3.反比例函数的应用第十八章《勾股定理》1.勾股定理2.勾股定理的逆定理第十九章《四边形》1.平行四边形的概念2.平行四边形的性质3.平行四边形的判定4.两条平行直线之间的距离5.矩形的概念6.矩形的判定7.矩形的性质8.菱形的概念9.菱形的性质10.菱形的判定11.正方形的概念12.正方形的性质与判定13.梯形概念14.梯形的分类15.等腰梯形的性质16.等腰绞刑的判定第二十章《数据的分析》1.平均数与加权平均数2.中位数3.众数4.方差九年级上册第二十一章《二次根式》1.二次根式的概念2.二次根式的两个重要公式3.代数式的概念4.二次根式的乘法法则5.二次根式的除法法则6.最简二次根式7.二次根式的加减法法则第二十二章《一元二次方程》1.一元二次方程的概念2.一元二次方程的根3.一元二次方程的解法（直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法）4.根的判别式5.一元二次方程根与系数的关系6.一元二次方程的应用（面积问题、连续增长问题）第二十三章《旋转》1.旋转的相关概念（旋转、旋转中心、旋转角）2.旋转的性质3.中心对称的相关概念（中心对称、对称中心、对称点）4.中心对称的性质5.中心对称图形的概念6.关于原点对称的点的坐标的特征第二十四章《圆》1.圆的相关概念（圆的两种定义、圆心、半径、弦、直径、圆弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧）2.垂径定理及其推论3.弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系定理4.圆周角的概念5.圆周角定理及其推论6.圆内接多边形的概念7.圆内接四边形的性质8.点与圆的位置关系9.三点确定一个圆10.三角形的外接圆及外心11.直线与圆的位置关系及其相关概念12.切线的性质及判定定理13.切线长定理14.圆与圆的位置关系及其相关概念15.正多边形与圆的相关概念（正三角形与圆、正方形与圆、正六边形与圆）16.弧长公式及扇形面积公式17.圆锥及圆柱的侧面积及表面积第二十五章《概率》1.随机事件、不可能事件、必然事件的概念2.随机事件的性质3.概率的概念4.概率的计算公式5.用列表法、树形图计算概率6.频率与概率的关系。

初中数与式知识点整理

初中数与式知识点整理数与式是数学学科中的重要基础知识，它们是数学思维、逻辑思维和推理能力的锻炼对象。

在初中数学学习中，数与式是我们必须要掌握的知识点之一。

本文将围绕初中数与式知识点展开，为大家系统整理相关内容。

一、数与式的基本概念和表示方法1. 数的概念：数是对事物数量的概括和表示。

数可以是自然数、整数、有理数、无理数和实数。

2. 式的概念：式是数与运算符号所组成的代数表达式。

式的基本组成部分有数字、变量、运算符号和符号间的关系。

3. 表示方法：a) 数的表示方法：使用阿拉伯数字进行表示，如1、2、3等。

b) 式的表示方法：使用数、运算符号和等号组成的表达式，如3+4=7。

c) 变量的表示方法：使用字母表示，如x、y等。

二、数与式的运算1. 加法和减法a) 加法运算：将两个数相加得到的结果称为和，加法运算可满足交换律和结合律。

b) 减法运算：从一个数中减去另一个数得到的结果称为差，减法运算没有交换律。

2. 乘法和除法a) 乘法运算：将两个数相乘得到的结果称为积，乘法运算可满足交换律和结合律。

b) 除法运算：将一个数除以另一个数得到的结果称为商，除法运算没有交换律和结合律。

3. 数的乘方和开方a) 乘方运算：将一个数自身连乘若干次称为乘方，乘方运算可满足指数法则。

b) 开方运算：将一个数的平方根或立方根等找出来，称为开方运算。

三、数与式的性质和性质的运用1. 数与式的性质a) 交换律：数的加法和乘法满足交换律，即a+b=b+a，a×b=b×a。

b) 结合律：数的加法和乘法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，(a×b)×c=a×(b×c)。

c) 分配律：乘法对加法满足分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。

2. 性质的运用a) 同底数的幂相乘：a^m × a^n = a^(m+n)。

b) 同底数的幂相除：a^m ÷ a^n = a^(m-n)。

初一数学辅导：数与式的基础知识讲解

初一数学辅导：数与式的基础知识讲解1、有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。

②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。

④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。

正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。

两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。

②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

③一个数与0相加不变。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

②任何数与0相乘得0。

③乘积为1的两个有理数互为倒数。

除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。

②0不能作除数。

乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。

混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。

2、实数无理数：无限不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。

②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。

③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。

④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。

立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。

②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。

③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。

人教版初中数学知识点精讲(含例题讲解)

七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章有理数一．知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a . 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。

初三数学复习_数与式(知识点讲解)

千里之行，始于足下。

初三数学复习_数与式(知识点讲解)数与式是初中数学中的一个重要知识点，也是数学学习的基础。

数与式的学习内容包括数的分类和表示，式的概念及运算。

下面将详细介绍数与式的知识点。

一、数的分类和表示数的分类是指根据数的性质和特点将其划分为不同的类别。

常见的数的分类有：自然数、整数、有理数和无理数等。

其中，1. 自然数是指从1开始，没有上限的整数集合。

2. 整数是指自然数、0和自然数的相反数所组成的集合。

3. 有理数是指可以表示为两个整数之商的数。

数的表示有多种方式，常用的表示方法有阿拉伯数字表示法和汉字表示法。

在阿拉伯数字表示法中，数是由10个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9组成，可以通过位权法进行表示。

在汉字表示法中，一般使用整数个位和数位进行表示。

二、式的概念及运算1. 式是指由数、变量和运算符号组成的一种数学表达式。

式是数与数之间的关系的代数表示，可以用来表示数的运算和关系。

2. 式的运算包括算术运算和代数运算两种。

a. 算术运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。

其中，加法和乘法具有交换律和结合律，减法和除法不具有交换律和结合律。

b. 代数运算包括整式的加减和乘除运算，以及方程的运算。

三、数与式的应用第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

数与式在数学学习中是非常重要的基础知识，它们在实际生活中也有广泛的应用。

1. 在数与式的学习中，可以通过数的分类和表示，帮助我们更好地理解数的性质和特点，从而提高解决实际问题的能力。

2. 在数与式的运算中，可以通过代数运算的知识，更好地理解和应用数字运算的规律和方法，例如简化运算、解方程等。

3. 数与式的应用也广泛存在于实际生活中的问题中，例如计算、测量、金融等领域，通过数与式的运算，能够更好地解决实际生活中的各种问题。

综上所述，数与式是初中数学的重要知识点，通过学习数的分类和表示，能够更好地理解数的性质和特点；通过学习式的概念和运算，能够更好地应用数学知识解决实际问题。

初一数与式知识点归纳总结

初一数与式知识点归纳总结在初一数学学习的过程中，数与式是我们最基础的内容之一。

它们是数学思维的起点，对于我们后续学习的数学知识具有重要的影响。

本文将对初一数与式的知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和应用这些知识。

一、整数与自然数整数是由自然数、0以及负数构成的集合。

自然数是指从1开始的正整数，包括1、2、3、4……。

整数的运算有加法、减法、乘法和除法。

1.1 加法加法满足交换律（a+b=b+a）和结合律（（a+b）+c=a+（b+c））。

同时，0是加法的单位元，即对于任意整数a，a+0=a。

1.2 减法减法是加法的逆运算，对于任意整数a，a减去自己的结果为0。

减法满足并不满足交换律和结合律。

1.3 乘法乘法满足交换律（a×b=b×a）和结合律（（a×b）×c=a×（b×c））。

同时，1是乘法的单位元，即对于任意整数a，a×1=a。

1.4 除法除法是乘法的逆运算，对于任意非零整数a，a除以它自己的结果为1。

除法满足并不满足交换律和结合律。

二、有理数与小数有理数包括整数和分数，它们可以表示为有限小数或无限循环小数。

小数是用数码表示的有限或无线循环数。

2.1 有理数的加法与减法有理数的加法和减法可以通过数轴上的移动来理解，同号相加减取绝对值进行运算，异号相加减取绝对值进行运算后，结果取负号。

2.2 有理数的乘法与除法有理数的乘法和除法可以通过数轴上的放大或缩小来理解。

同号相乘除结果为正数，异号相乘除结果为负数。

三、代数式与方程式代数式是由数字、变量和运算符号组成的式子，方程式是代数式中含有等号的式子。

3.1 代数式的化简化简代数式是通过运用加法和乘法的性质，将其简化为最简单的形式。

例如，3a+2a可以化简为5a。

3.2 方程式的解方程式是含有未知数的等式，解方程就是求出未知数的值。

解方程的方法包括移项、合并同类项、因式分解、配方法等。

初中数与式的知识点

初中数与式的知识点初中数学中，数与式是非常重要的基础知识点。

它们是数学学习的基础，也是后续学习的桥梁。

本文将从不同的角度探讨数与式的相关知识。

一、数与式的基本概念数是用来计量事物数量的概念，可以是具体的或抽象的。

而式是由数及数的运算符号和代数字母组成的算式，是数的运算及表示的工具。

二、数与式的基本运算1. 加法运算：加法是数与式中最基本的运算之一，可以将两个数或式子相加得到和。

例如，2+3=5。

2. 减法运算：减法是数与式中常用的运算，它表示将一个数或式子减去另一个数或式子。

例如，7-4=3。

3. 乘法运算：乘法是数与式中的基本运算之一，可以将两个数或式子相乘得到积。

例如，3×4=12。

4. 除法运算：除法是数与式中常用的运算，它表示将一个数或式子除以另一个数或式子。

例如，8÷2=4。

三、数与式的应用数与式不仅仅用于数学运算中，还广泛应用于实际生活和其他学科中。

1. 代数方程式：代数方程式是数与式的重要应用之一。

它反映了数学与现实生活中的问题之间的关系。

通过解方程，可以求得未知数的值，解决实际问题。

例如，求解一元一次方程3x+1=7，可以得到x=2。

2. 几何问题：数与式在几何中也起到非常重要的作用。

例如，根据周长和面积的关系可以求解各种几何图形的特征。

3. 统计问题：数与式在统计学中有重要的应用。

通过统计数据，可以分析和描述事物的特征，得出相应的结论和推断。

四、数与式的拓展1. 立体几何：数与式也广泛应用于立体几何中。

通过数与式，可以计算立体图形的体积、表面积等。

2. 数据分析：数与式的应用还延伸到数据分析中。

通过统计学知识和数据处理技巧，可以分析和解释各种数据，进行有效的决策。

3. 函数关系：数与式还与函数关系密切相关。

通过数与式，可以建立复杂的函数关系，并进行各种数学操作和推算。

总结起来，数与式是初中数学中的基本概念和运算，不仅在数学中有广泛应用，还涉及到其他学科中的问题。

数与式知识点(初中)

数与式知识点(初中)数与式是数学中的基础知识之一，不仅在初中数学中经常会出现，而且在高中和大学的学习中也会有所拓展和延伸。

本文将简要介绍数与式的一些基本知识点，供初中学生参考。

一、自然数、整数、有理数和实数自然数：自然数是最基本的数，用符号1，2，3，4，5…表示，它们是最早由人类发明出来的数。

在数学中，自然数通常被表示为N，即：N={1，2,3,4,5,…}。

整数：整数是包括自然数、0和负整数的集合，用符号……，-3，-2，-1，0，1，2，3，……表示。

在数学中，整数通常被表示为Z，即：Z={…，-3，-2，-1，0，1，2，3，……}。

有理数：有理数是可以表示为两个整数之商（分子除以分母）的数，包括正有理数、负有理数和0，用符号表示。

在数学中，有理数通常被表示为Q，即Q={a/b| a，b∈Z，且<b}。

二、运算法则1.加减法则：两个相同符号的数相加，保留原来的符号，两个不同符号的数相加，先取绝对值，再根据大小确定符号，差的符号与被减数相同。

2.乘除法则：同号得正，异号得负，除尽与约分顺序颠倒不影响结果。

3.指数幂法则：同底数相乘，指数相加；同底数相除，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘。

4.平方和差公式：平方和差公式是一种求平方根的公式，它是由勾股定理衍生出来的。

平方和差公式分为两种情况，一种是：a²+b²=(a+b)²-2ab；另一种是a²-b²=(a+b)(a-b)。

5.分配律、结合律、交换律：分配律适用于加减乘除任何一种运算，即a(b+c)=ab+ac，同理于减、乘、除运算。

结合律是指同一运算中三个或以上的数，可以任意加括号而不改变结果，即(a+b)+c=a+(b+c)。

交换律是指同一运算下两个数可以互相交换位置而不改变结果，即a+b=b+a。

三、代数式和方程代数式：代数式是用字母和数字及其加减乘除等运算符号表示的式子，其中字母用来表示某些数量或数，例如：ax²+bx+c，其中a、b、c是常数，x是不确定量。

初中数学知识点数与式知识点

初中数学是每个学生必须学习的重要学科之一。

在初中数学中，数与式是一项基础而又重要的知识点。

本文将通过逐步思考的方式介绍数与式的相关知识点。

1. 数的基本概念在数学中，我们首先要了解数的概念。

数是用来计算和表示数量的工具。

数可以分为自然数、整数、有理数和实数等不同的类型。

自然数指的是从1开始的正整数，例如1、2、3等。

整数包括正整数、负整数和零，例如-3、0、5等。

有理数是可以表示为两个整数的比值，例如1/2、2/3等。

实数则包括有理数和无理数，例如根号2、π等。

2. 数的运算了解了数的概念后，我们需要学习数的运算。

数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

加法是将两个数相加的操作，例如 2 + 3 = 5。

减法是将一个数减去另一个数的操作，例如 5 - 3 = 2。

乘法是将两个数相乘的操作，例如 2 × 3 = 6。

除法是将一个数除以另一个数的操作，例如 6 ÷ 2 = 3。

3. 式的概念在数与式的学习中，我们需要了解式的概念。

式是由数和运算符号组成的代数表达式。

在式中，我们可以使用字母来代表未知数，例如 x、y等。

通过代入具体数值，我们可以求解未知数的值。

4. 简单的代数式学习了式的概念后，我们可以开始学习一些简单的代数式。

例如，3x表示3乘以未知数x，2y表示2乘以未知数y。

我们可以对这些代数式进行加法、减法、乘法和除法运算。

例如，3x + 2y表示3x和2y的和。

5. 一元一次方程在代数式的基础上，我们可以进一步学习一元一次方程。

一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程。

例如，2x + 3 = 7就是一个一元一次方程。

我们可以通过移项和合并同类项的方式解方程，求出未知数的值。

6. 二元一次方程除了一元一次方程，我们还可以学习二元一次方程。

二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程。

例如，2x + 3y = 7就是一个二元一次方程。

解二元一次方程需要使用联立方程的方法，通过消元或代入的方式求解出两个未知数的值。

初中数学数与式模块1-2 实数讲义(含答案解析)

实数题型练题型一平方根例1.16的平方根是（）．A .±8B .±4C .4D .－4【解析】因为（±4）2＝16，所以16的平方根是±4变式1.若a ＋1和－5是实数m 的平方根，则a 的值是（）．A.1B.2C.3D.4或－6【答案】D【解析】【分析】根据平方根的定义可得两个关于a 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】解：由题意得：15a +=-或1(5)0a ++-=，解得6a =-或4a =，故选：D ．【点睛】本题考查了平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的定义是解题关键．题型二算术平方根（2）非负数a 的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a 是非负数；②算术平方根a 本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．例2.2.81的算术平方根为（）．A.9B.－9C.－3D.27【答案】A【解析】【分析】根据算术平方根的定义即可得．【详解】解：2981=Q ，81\的算术平方根为9，故选：A ．【点睛】本题考查了算术平方根，熟记定义是解题关键．变式3.下列式子错误的是（）．A.2=±B.1=±C.3=- D.32=【答案】B【解析】【分析】根据算术平方根和平方根的定义求解即可．【详解】A.2=±，故该选项正确，不符合题意；B.1=，故该选项错误，符合题意；C.3=-，故该选项正确，不符合题意；D.32==，故该选项正确，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查算术平方根和平方根的定义，熟练掌握相关定义是解答本题的关键．题型三非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．例3.4.下列说法正确的是（）A.﹣81平方根是﹣9B.9C.平方根等于它本身的数是1和0D.一定是正数【答案】D【解析】【分析】根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根进行分析即可．【详解】A 、﹣81没有平方根，故A 选项错误；B 9的平方根是±3，故B 选项错误；C 、平方根等于它本身的数是0，故C 选项错误；D 一定是正数，故D 选项正确，故选D ．【点睛】本题主要考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的性质．变式5.0=，则x y +的值为（）A.10B.不能确定C.6-D.10-【答案】C【分析】根据算术平方根的非负性得到x 和y 的值，再代入计算．0=，∴x-2=0且y+8=0，∴x=2，y=-8，∴x y +=-6，故选C ．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，解题的关键是掌握被开方数是非负数．题型四立方根例4.－8的立方根等于．【解析】∵（－2）3＝－8，∴－8的立方根是－2变式6.若519x +的立方根是4，则27x +的平方根是________.【答案】5±【分析】首先利用立方根的定义可以得到关于x 的方程，解方程即可求出x ，然后利用平方根的定义即可求解．【详解】∵5x+19的立方根是4，∴5x+19=64，解得x=9则2x+7=2×9+7=25，∴25的平方根是±5故答案±5．【点睛】此题主要考查了利用立方根的概念解题．牢牢掌握灵活运用．如果一个数x 的立方等于a ，即x 的三次方等于a （x 3=a ），那么这个数x 就叫做a 的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a 叫做被开方数，3叫做根指数．题型五计算器—数的开方正数a 的算术平方根a 与被开方数a 的变化规律是：当被开方数a 的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a 每扩大（或缩小）100倍，a 相应扩大（或缩小）10倍．例5.7.用计算器计算：≈_____．（精确到0.01）【答案】15.63【解析】【分析】根据计算器的使用方法、精确度的定义即可得．15.63≈，故答案为：15.63．【点睛】本题考查了计算器的使用、精确度，熟练掌握计算器的使用方法是解题关键．变式8.利用计算器，得7.071≈≈≈≈，按此规【答案】22.36【解析】【分析】从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.7.071≈≈≈≈，不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，因此得到第三个数的估值扩大1022.36≈.故答案为22.36.【点睛】本题是规律题，主要考查找规律，即各数之间的规律变化，在做题时，学会观察，利用已知条件得到规律是解题的关键.题型六无理数（1）定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．例6.9.在2π，3.14，0，0.1010010001…，23中，无理数有______个.【答案】2【解析】【分析】根据无理数的种类即可判断出上述题目中无理数的个数.【详解】无理数是无限不循环小数，在2π，3.14，0，0.1010010001…，23中，2π，0.1010010001…两个数是无理数.【点睛】此题重点考察学生对无理数的理解，掌握无理数的定义是解题的关键.变式10.下列说法正确的是（）A.9的算术平方根是﹣3B.带根号的数是无理数C.无理数是无限小数D.的算术平方根是2【答案】C【解析】【分析】根据算术平方根的概念、无理数的概念进行判断即可．【详解】解：A 、9的算术平方根是3，故此选项错误；B 、带根号的数不一定是无理数，如，故此选项错误；C 、无理数是无限小数，故此选项正确；D 故选：C ．【点睛】本题考查算术平方根、无理数，理解无理数的概念，会求一个数的算术平方根是解答的关键，注意D 选项是易错点．题型七实数（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．（2）实数的分类：①可分为：有理数和无理数；②可分为：正实数、0和负实数．例7.11.在−，0，2270.1010010001…−2π中，负实数集合：{________________}．【答案】−2π【解析】【分析】先根据二次根式的性质，立方根的运算，负整指数幂的运算，将各数进行化简，再根据负实数的定义，进行判断即可．【详解】0-=-<，是负实数；0不是负实数；227>，不是负实数；50=-<，是负实数；0.1010010001…＞0，不是负实数；110==>，不是负实数；2π-<，是负实数，综上所述，负实数有：−2π，故填：−2π．【点睛】此题主要考查了负实数的定义，二次根式的性质，立方根的计算，负整指数幂的计算，解题关键是掌握负理数的定义，二次根式的性质，立方根的计算，负整指数幂的运算法则．变式12.我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点；②带根号的数不一定是无理数；③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数．其中说法错误的有_____（注：填写出所有错误说法的编号）【答案】⑤【解析】【详解】分析：根据每种说法所涉及的数学知识进行分析判断即可.详解：（1）“数轴上有无数多个表示无理数的点”的说法是正确的，故①正确；（2）“带根号的数不一定是无理数”是正确的，如带有根号，但它是有理数，故②正确；（3）“每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示”的说法是正确的，故③正确；（4）“数轴上的每一个点都表示唯一的实数”的说法是正确的，故④正确；（5）“没有最大的负实数，但有最小的正实数”的说法是错误的，因为没有最小的正实数，故⑤错误；（6）“没有最大的正整数，但有最小的正整数”的说法是正确的，故⑥正确.综上所述，上述说法中，只有⑤中说法是错误的.故答案为：⑤.点睛：熟悉“每种说法中所涉及的相关数学知识”，知道“实数和数轴上的点是一一对应的关系”是正确解答本题的关键.题型八实数的性质（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）－a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0.并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．实数的倒数乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．例8.13.的绝对值是________，相反数是________，倒数是________．【答案】①.②.③.【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值；根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．的绝对值是倒数是故答案为(1).(2).(3).【点睛】本题考查的是绝对值、相反数和倒数的知识，熟知绝对值的性质、相反数的定义及倒数的定义是解答此题的关键．变式14.23﹣π的绝对值是_____．【答案】①.﹣②.π﹣3【解析】【分析】根据相反数和绝对值的计算方法解答．【详解】解：2的相反数：﹣（2|3﹣π|＝π﹣3．故答案是：﹣π﹣3．【点睛】本题考查了相反数、绝对值,熟练掌握相反数、绝对值的定义是解题的关键．题型九实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a 的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．例9.15.如果正实数a在数轴上对应的点到原点的距离是a=______．【解析】【分析】根据数轴的特点即可求解．【详解】∵实数a在数轴上对应的点到原点的距离是，∴a∵a为正∴a=．【点睛】此题主要考查实数与数轴，解题的关键是熟知数轴的特点．变式16.如图，在数轴上找到表示－3的点B，过点A作AB⊥OB，AB＝2，以O为圆心，OA为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C在数轴上表示的数是__．【答案】【解析】OB=，再利用勾股定理可得OA=从而可得【分析】先根据数轴的定义可得3OC==，【详解】解：设点C在数轴上表示的数是a，则OC aOB=--=，由题意得：0(3)3，⊥=AB OB AB,2∴===，OA由作图可知，OC OA==，即a=解得a=a<-<，由数轴的定义得：30∴=，a即点C在数轴上表示的数是，故答案为：．【点睛】本题考查了实数与数轴、勾股定理，熟练掌握实数与数轴的关系是解题关键．题型十实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．例10.17.将实数，π-，0，1由大到小用“>”连起来，可表示为__________．【答案】10π>>>-解：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解析】【详解】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．-≈-．解：∵ 2.6≈-，π 3.14∴10π>>>-变式18.比较大小：（1）－100___0.3；（2___3；（3）－3.14___－π．【答案】①.<②.<③.>【解析】【分析】（1）根据负数小于正数即可得；（2）根据无理数的估算方法即可得；（3）根据负数绝对值大的反而小即可得．【详解】解：（1）由负数小于正数得：1000.3-<，故答案为：<；（2）79< ，<3<，故答案为：<；（3） 3.1415926 3.14π≈> ，3.14π∴->-，故答案为：>．【点睛】本题考查了实数的大小比较、无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法是解题关键．题型十一估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．例11.＜a ，且a 是整数，则a ＝．＜2＜a ∴a ＝2变式19.3-最接近的整数是___．【答案】1【解析】【分析】先根据无理数的估算可得34<<，再比较3-与4的大小，由此即可得出答案．【详解】解：91416<< ，<<，即34<<，--=--+3(434=-，7=-，3.5)=>，->-，34最接近的整数是4，-=，3-最接近的整数是431故答案为：1．【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．题型十二实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．例12.（−5）2＝．解：（−5）2＝25−4＋2＝23变式20.计算+【答案】7．【解析】【分析】先计算立方根、算术平方根，再计算有理数的加减即可得．【详解】解：原式27=-++，52=+，7=．【点睛】本题考查了立方根、算术平方根等知识点，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键．实战练21.若9x2－16＝0，则x＝_______．【答案】4 3±【解析】【分析】先将方程变形为216 9x=，然后方程两边同时开平方即可得到x的值．【详解】解：由题意可知：216 9x=，等式两边同时开平方，得到：43x=±，故答案为：43±．【点睛】本题考查了利用平方根的定义解方程，计算过程中细心，注意正数开平方后有两个平方根．22.的算术平方根是_______．【解析】=10，然后再根据算术平方根的定义可得答案．=10，10，，．【点睛】此题主要考查了实数和算术平方根，相反数，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．23.0+=，则22012a b --=______．【答案】109-【解析】【详解】分析：先由非负性的性质得出3a +1=0，b ﹣1=0，求出a ，b 代入式子计算即可．=0，∴3a +1=0，b ﹣1=0，∴a =﹣13，b =1，∴﹣a 2﹣b 2012=﹣（13）2﹣12012=﹣19﹣1=﹣109．故答案为﹣109．点睛：本题是非负数的性质：算术平方根，主要考查了一元一次方程的解法，有理数的运算，解答本题的关键是求出a ，b ．24.若一个正数的平方根是3m +和215m -，n 的立方根是2-，则2n m -+的算术平方根是______．【答案】4【解析】【分析】首先根据平方根的定义，求出m 值，再根据立方根的定义求出n ，代入-n+2m ，求出这个值的算术平方根即可．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是m+3和2m-15，∴m+3+2m-15=0，解得：m=4，∵n 的立方根是-2，∴n=-8，把m=4，n=-8代入-n+2m=8+8=16，所以-n+2m 的算术平方根是4．故答案为：4．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根．解题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方根的定义，能够利用定义求出m 、n 值，然后再求-n+2m 的算术平方根．25.如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点C共__个．【答案】4【解析】【分析】本题需根据直角三角形的定义和图形即可找出所有满足条件的点．【详解】解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且三边都为无理数，满足这样条件的点C共D,E,F,H4个点．故答案为8．26.若|a，则的相反数是____．【答案】2【解析】【分析】先化简绝对值可得a=26a=，再根据算术平方根的定义、相反数的定义即可得．，【详解】解：a=∴=，a26∴=，a===-，2则的相反数是2，故答案为：2．【点睛】本题考查了化简绝对值、算术平方根、相反数，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键．27.①点M在数轴上与原点相距M表示的实数为____，②数轴上到的点所表示的数是___．【答案】①.②.0或-【解析】【分析】①根据实数与数轴的关系建立等式，再化简绝对值即可得；②根据实数与数轴、数轴两点间的距离公式即可得．【详解】解：①设点M表示的实数为m，m-=，则0解得m=即点M表示的实数为故答案为：②设这个点所表示的数是a，-=，则aa=或a=-解得0即这个点所表示的数是0或-，故答案为：0或-．【点睛】本题考查了实数与数轴，正确建立含绝对值的等式是解题关键．28.比较大小：________（填“＞”或“＜”＝）．【答案】>【解析】【分析】先将两个数进行平方再比大小【详解】∵22==1812（，（又18>12∴>故答案为>【点睛】此题主要考查二次根式的大小比较29.已知a的整数部分，b则（－a）3＋（2＋b）2=________；【答案】0【解析】【分析】根据4＜8＜9的整数部分，表示出小数部分，确定出a与b 的值，代入所求式子计算即可求出值．【详解】∵4＜8＜9，∴23，的整数部分a=2，小数部分，则原式=-8+8=0．故答案为0.【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分与小数部分．30.+2＝________．【答案】5【解析】【分析】由立方根、算术平方根的性质化简．2=3+2=5故答案为：5．【点睛】本题考查实数的运算，涉及立方根、算术平方根等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．31.若一个正数的两个平方根分别为2－a与3a＋6，则这个正数为（）A.2B.－4C.6D.36【答案】D【解析】【分析】根据平方根的定义可得一个关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，再计算有理数的乘方即可得．【详解】解：由题意得：2(36)0a a -++=，解得4a =-，则这个正数为222(2)(24)636a -=+==，故选：D ．【点睛】本题考查了平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的定义是解题关键．32.下列说法正确的是（）A.－4是（－4）2的算术平方根B.±4是（－4）2的算术平方根C.2D.－2【答案】D【解析】【分析】根据算术平方根、平方根的定义逐项判断即可得．【详解】A 、2(4)16-=，16的算术平方根是4，则此项错误，不符题意；B 、2(4)16-=，16的算术平方根是4，则此项错误，不符题意；C 4=，4的平方根是2±，则此项错误，不符题意；D 4=，4的平方根是2±，则2-故选：D ．【点睛】本题考查了算术平方根、平方根，掌握理解定义是解题关键．33.0+=，则x －y 的值为（）A.3B.－3C.1D.－1【答案】D【解析】【分析】先根据算术平方根的非负性可得10,20x y -=-=，从而可得1,2x y ==，再代入计算即可得．【详解】解：由题意得：10,20x y -=-=，解得1,2x y ==，则121x y -=-=-，故选：D ．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题关键．34.2=-，则的值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先根据立方根的定义求出a 的值，再根据算术平方根的定义即可得．【详解】解：2=-，18a ∴-=-，解得9a =，3==，故选：C ．【点睛】本题考查了立方根与算术平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握立方根与算术平方根的定义是解题关键．35.下列说法正确的是（）A.实数可分为有理数和无理数B.无限小数都是无理数C.只有0的立方根是它本身D.1的任何次方根都是1【答案】A【解析】【分析】根据实数的概念，立方根的概念，无理数的概念逐个求解即可．【详解】解：选项A ：实数分为有理数和无理数，故选项A 正确；选项B ：无限不循环的小数是无理数，无限循环小数可以写成分数的形式，是有理数，故选项B 错误；选项C ：立方根等于它本身的数有-1，0，1，故选项C 错误；选项D ：1的平方根为±1，故选项D 错误；故选：A ．【点睛】本题考查实数的分类，无理数的定义，立方根，平方根的性质，解题的关键是熟记这些基本概念．36.若a，b ，c 的相反数、绝对值、倒数，则下列结论正确的是（）A.a b> B.b c < C.a c > D.2b c =【答案】D【解析】【分析】根据题意分别列出a ，b ，c 分别表示的数，然后比较即可得出结论．【详解】由题意，a =b =，2c ==，∴2b c =，故选：D ．的倒数求出是解题关键．37.如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A 所表示的数为（）A.1-B.1-+C.D.1【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理，结合数轴即可得出结论．【详解】解：∵在Rt △BCD 中，BD=2，CD=1，∴∵根据图中的标注和作图痕迹可知，∴∴点A 表示的实数是1--故选A ．【点睛】本题考查勾股定理，以及数轴与实数，关键是求出BC 的长．38.1-的值（）A.在4和5之间B.在5和6之间C.在6和7之间D.在7和8之间【答案】B【解析】【分析】根据无理数的估算即可得．【详解】解：364149<< ，<<，即67<<，61171∴-<-<-，即516<-<，故选：B ．【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．39.实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么a b -的结果是（）A.2aB.2bC.2a -D.2b-【答案】D【解析】【分析】由数轴可得到0b a <<a b =+和绝对值的性质，即可得到答案．【详解】解：根据题意，则0b a <<，∴0a b ->，0a b +<，∴a b -+=a b a b-++=a b a b---=2b -；故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质，绝对值的意义，数轴的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到0b a <<．40.已知一个正数m 的两个不同的平方根是2a ＋3和1－3a ，求m 的值．【答案】121【解析】【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据它们的和为0，求出a 的值，然后求出这个数的平方根，最后根据平方根的平方即可求出m 的值．【详解】解：根据题意得：(2a +3)+(1-3a )=0，2a +3+1-3a =0，解得：a =4，∴这个数的其中一个平方根为2×4+3=11∴m =112=121．【点睛】本题考查平方根的定义，熟练掌握正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为0．41.互为相反数，求（x+y）2016的平方根.【答案】±1【解析】【详解】试题分析：根据相反数的性质列出算式，根据非负数的性质列出二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，根据平方根的概念解答即可．=0，则3020x yx y-+⎧⎨+⎩＝＝，解得，21xy-⎧⎨⎩＝＝，∴（x+y）2016=1，∴（x+y）2016的平方根是±1．42.正数x的两个平方根分别为3﹣a和2a+7．（1）求a的值；（2）求44﹣x这个数的立方根．【答案】(1)a＝﹣10;(2)4－x的立方根是﹣5【解析】【分析】（1）理解一个正数有几个平方根及其两个平方根间关系：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值；根据a的值得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，计算出44-x的值，再根据立方根的定义即可解答.【详解】解：（1）由题意得：3﹣a＋2a＋7＝0，∴a＝﹣10,（2）由（1）可知x＝169，则44－x＝﹣125，∴44－x的立方根是-5.【点睛】此题考查了立方根，平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．43.判断下面两句话是否正确.若正确请说明理由；若不正确，请举例说明.（1）两个实数的和一定大于每一个加数.（2）两个无理数的积一定是无理数.【答案】(1)、答案见解析；(2)、答案见解析【解析】【分析】(1)、当两个加数为负数时，则和小于任何一个加数；(2)、当两个数为同一个无理数时，则两数的积为有理数.【详解】(1)、错误.例子：（-1）+（-2）=-3,-3<-1,-3<-2;(2)、错误.是无理数，而2是有理数.44.实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，其中c 为8的立方根，求代数式2b a b +--的值．【答案】2．【解析】【分析】先根据数轴的定义可得0b a c <<<，从而可得0,0b a b c -<-<，再根据立方根的定义可得2c =，然后根据算术平方根的定义、化简绝对值即可得．【详解】解：由数轴的定义得：0b a c <<<，0,0b a b c ∴-<-<，c 为8的立方根，2c ∴=，()()()22b a b a a b c b b +--=-+-+---，2a a b c b b =-+-+-+，c =，2=．【点睛】本题考查了实数与数轴、立方根与算术平方根等知识点，熟练掌握数轴的定义是解题关键．45.（1）用“<”、“>”或“=”（2）由以上可知：①1-=________________=_____________；（3）计算：1-+ .（结果保留根号）【答案】(1)＜,＜；（21-；（31-【解析】【分析】（1）当被开方数越大时算数平方根越大，依此判断即可；（2）依据（1）知次数为负数，而负数的绝对值等于它的相反数即可化简；（3）依据（2）将化简的结果相加即可.【详解】解：(1)＜,＜（21-（3）原式1-+-+-+1【点睛】此题是考察算数平方根的大小比较，准确解得（1）是关键，为后两问做基础.46.已知：31a +的立方根是2-，21b -的算术平方根3，c（1）求,,a b c 的值；（2）求922a b c -+的平方根．【答案】（1）3,5,6a b c =-==；（2）其平方根为4±．【解析】【分析】（1）根据立方根，算术平方根，无理数的估算即可求出,,a b c 的值；（2）将（1）题求出的值代入922a b c -+，求出值之后再求出平方根．【详解】解：（1）由题得318,219a b +=--=．3,5a b ∴=-=．<<，67∴<<．6c ∴=．3,5,6a b c ∴=-==．（2）当3,5,6a b c =-==时，()99223561622a b c -+=⨯--+⨯=．∴其平方根为4=±．【点睛】本题考查了立方根，平方根，无理数的估算．正确把握相关定义是解题的关键．47.计算下列各题：（1+（2）7π--，（3(21+--+．【答案】（1）118；（2）π-；（3）8．【解析】【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再计算有理数的加减即可得；（2）先化简绝对值、计算算术平方根，再计算实数的加减即可得；（3）先计算算术平方根、化简绝对值、立方根、实数的平方，再计算实数的加减即可得．【详解】解：（1）原式14(3)2+-+=-11143228=--++，118=；（2）原式(7π=--，77π=，π=-；（3）原式)125=+-+，613=+，8=．【点睛】本题考查了算术平方根与立方根、实数的加减运算、化简绝对值，熟练掌握各运算法则是解题关键．培优练48.先阅读，然后解答提出的问题：设a，b是有理数，且满足a b=3﹣，求b a的值．解：由题意得（a﹣3）+（b+2=0，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，是无理数，所以a﹣3=0，b+2=0，所以a=3，b=﹣2，所以b a=（﹣2）3=﹣8．问题：设x，y都是有理数，且满足x2﹣2y x+y的值．【答案】8或0．【解析】【分析】根据所给信息，先移项，然后将有理数和无理数分组，从而可得（x2-2y-8）y-4）=0，结合所给信息即可得出x、y的值，代入代数式即可得出答案．【详解】解：移项得（x2-2y-8）+（y-4，∴y-4=0，x2-2y-8=0∴y=4，x=±4，故x+y=8或0．【点睛】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是仔细审题，得到题目所给的解题思路，然后套用这个思路解题，正确理解题意、熟练掌握实数的性质是关键．。

初三数学复习_数与式(知识点讲解)

千里之行，始于足下。

初三数学复习_数与式(学问点讲解)数与式是数学中的重要概念，它们是数学运算的基础。

在初三数学复习中，复习数与式的学问点是格外重要的，下面是关于数与式的学问点的讲解。

一、数的概念数是人们用来计数、比较和度量的工具。

数可以分为整数、分数、小数和无理数等不同的类型。

整数包括正整数、负整数和零，分数是整数的比例形式，小数是分数的小数形式，无理数是不能被表示为分数或小数的数。

二、式的概念式是由数、运算符号和运算符组成的代数表达式。

式可以是简洁的数字、字母或它们的组合，也可以是包含了运算符的简单表达式。

一个式可以表示一个数、一种关系或一个命题。

三、代数式与方程式代数式是由系数、变量和运算符组成的表达式，它可以通过运算得到一个确定的结果。

代数式没有等号，它只是表示一个数或一个关系。

方程式是一个包含等号的代数式，它表示一个等式，左右两边的表达式是相等的。

方程式中一般会包含未知数，求解方程式就是找到未知数的值，使得方程式成立。

四、数与式的四则运算1. 加法：两个数或式相加，结果称为和。

例如：3 + 5 = 8。

2. 减法：一个数或式减去另一个数或式，结果称为差。

例如：8 - 5 = 3。

3. 乘法：两个数或式相乘，结果称为积。

例如：2 × 3 = 6。

4. 除法：一个数或式除以另一个数或式，结果称为商。

例如：6 ÷ 3 = 2。

第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

五、数与式的运算性质1. 交换律：加法和乘法满足交换律，即a + b = b + a，a × b = b ×a。

2. 结合律：加法和乘法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)，(a × b) × c = a × (b × c)。

3. 安排律：乘法对加法满足安排律，即a × (b + c) = a × b + a ×c。

初中数学数与式模块1-4 整式讲义(二)(含答案解析)

整式（二）题型练题型一同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a m•a n＝a m＋n（m，n是正整数）（2）推广：a m•a n•a p＝a m＋n＋p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x－y）2与（x－y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．例1.计算：计算x6•x2的结果等于．【解析】解：x6•x2＝x6＋2＝x8变式1.已知2x＝8，则2x＋3的值为________．【答案】11【解析】【分析】直接代入求值即可．【详解】解：∵2x＝8，∴2x＋3=8+3=11，故答案为：11．【点睛】此题主要考查了代数式求值，熟练掌握含字母的式子求值的方法是佌题的关键．题型二幂的乘方幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n＝a mn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．例2.计算：（y 3）2＝．【解析】解：（y 3）2＝y 6变式2.已知340m n +-=，则28m n ⋅的值为_________．【答案】16【解析】【分析】用n 表示出m ，得43m n =-，将m 代入到28m n ⋅即可求解．【详解】解：∵340m n +-=，∴43m n =-，34334222216282m n n n m n -===∴⋅= ．故答案为：16【点睛】本题考查了求代数式的值，同底数幂的乘法，正理解同底幂的乘法法则是解题的关键．题型三积的乘方积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab ）n ＝a n b n （n 是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．例3.计算（x 2y ）3的结果等于．【解析】解：（x 2y ）3＝（x 2）3•y 3＝x 6y 3变式3.2m a =，5m b =，则()=mab ____．【答案】10．【解析】【分析】根据()=mm m ab a b ，将2m a =，5m b =代入求解即可．【详解】解：()=m m m ab a b∵2m a =，5m b =∴()=2510m m m ab a b =?，故答案是：10．【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，熟悉相关知识点是解题的关键．题型四同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．a m ÷a n ＝a m －n （a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n ）①底数a ≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a 可是单项式，也可以是多项式．例4：计算：m 3÷m ＝．【解析】解：m 3÷m ＝m 3－1＝m 2变式4.已知33,36x y ==，则23x y -的值为______．【答案】32【解析】【分析】根据幂的乘方运算及同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减即可求出答案．【详解】解：2223(3)333x x x y y y -==，33,36x y == ，222(3)333362x x y y -∴===，故答案是：32．【点睛】本题考查了幂的乘方运算及同底数幂的除法法则的逆运算，解题的关键是：掌握幂的乘方运算及同底数幂的除法法则．题型五单项式乘单项式运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．例5.计算：－3a•2ab＝．【解析】解：－3a•2ab＝（－3×2）•（a•a）•b＝－6a2b．变式5.已知单项式3x2y3与﹣5x2y2的积为mx4y n，那么m﹣n＝_____．【答案】﹣20.【解析】【分析】将两单项式相乘后利用待定系数即可取出m与n的值．【详解】解：3x2y3×（﹣5x2y2）＝﹣15x4y5，∴mx4y n＝﹣15x4y5，∴m＝﹣15，n＝5∴m﹣n＝﹣15﹣5＝﹣20故答案为﹣20【点睛】本题考查单项式乘以单项式，解题关键是熟练运用整式的乘法法则，本题属于基础题型．题型六单项式乘多项式（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．例6：计算2a （5a ＋3a 2）的结果是（）．A .10a ＋6a 3B .10a 2＋6a 3C .10a 2＋3a 3D .5a 2＋6a 2【解析】解：2a （5a ＋3a 2）＝10a 2＋6a 3变式6.计算：()2221623a ab b a b a b ⎛⎫--- ⎪⎝⎭．【答案】224a b -【解析】【分析】利用乘法分配律展开括号，再合并同类项．【详解】原式=3222232622a b a b a b a b --+=224a b -．【点睛】此题考查整式的混合运算，掌握单项式乘以多项式法则，去括号法则是解题的关键．题型七多项式乘多项式（1）多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．例7：计算（a ＋3）（b －2）【解析】解：（a ＋3）（b －2）＝ab －2a ＋3b －6变式7.已知：实数m ，n 满足：m ＋n ＝3，mn ＝4，则（1＋m ）（1＋n ）的值等于_______．【答案】8【解析】【分析】将()()11m n ++按照多项式乘以多项式展开得1m n mn +++在将m n +的值和mn 的值代入即可求解．【详解】 ()()11m n ++=1m n mn+++又3,4m n mn +== ∴()()11m n ++=1348++=故答案为：8．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运算，熟练掌握其运算法则以及整体代入得思想是解题关键．题型八平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a 和b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．例8：计算（y ＋2）（y －2）的结果等于．【解析】解：（y ＋2）（y －2）＝y 2－4变式8.若a 2－b 2＝1，a －b ＝12，则a ＋b 的值为________．【答案】2【解析】【分析】由a2－b2＝1可得（a+b）（a-b）=1，结合，a－b＝12求解即可．【详解】a2-b2=1，即（a+b）（a-b）=1，因为a－b＝12，所以a+b=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．题型九平方差公式的几何背景（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．例9.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（）A.a2－b2＝（a＋b）（a－b）B.a2－ab＝a（a－b）C.a2－b2＝（a－b）2D.a2－2ab＋b2＝（a－b）2【解析】解：第一个图形阴影部分的面积是a2－b2，第二个图形的面积是（a ＋b ）（a －b ）．∴a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）．变式9.从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是．（请选择正确的选项）A .()()22a b a b a b -=+-B .()2222a ab b a b -+=-C .()2a ab a a b =+＋（2）若2216a b -=，8a b +=，求-a b 的值；（3）用你选的等式进行简便计算：199992－199982【答案】（1）A ；（2）2a b -=；（3）39997．【解析】【分析】（1）图1剩余部分的面积拼成了图2的长方形，所以面积相等，根据面积相等列出等式即可；（2）根据平方差公式进行计算即可；（3）根据（1）的公式进行计算．【详解】解：（1）图1得剩余部分的面积为：22a b -，图2把剩余部分拼成一个长方形，长为()a b +，宽为()a b -，面积为()()a b a b +-，∴()()22a b a b a b -=+-．故选：A ．（2）∵8a b +=，∴()()()22816a b a b a b a b -=+-=-=，∴2a b -=；（3）199992－199982()()19999199981999919998=+-399971=?39997=．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟悉相关性质是解题的关键．题型十完全平方公式（1）完全平方公式：（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a ，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．例10.利用完全平方公式计算：（m ＋3）2＝．【解析】解：（m ＋3）2＝m 2＋2×3•m ＋32＝m 2＋6m ＋9变式10.若21()3,2x y xy +==，则2()x y -=___．【答案】1【解析】【分析】利用完全平方和公式和完全平方差公式展开，由条件求出22xy +的值，即可求出答案．【详解】解：222()23x y x xy y +=++=，12xy = ，2232312x y xy ∴+=-=-=，222()2x y x y xy-=+- 1222=-⨯1=故答案是：1．【点睛】本题考查了完全平方和与差的公式，解题的关键是：熟练掌握完全平方和与差的公式．题型十一完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2（用大正方形的面积等于边长为a 和边长为b 的两个正方形与两个长宽分别是a ，b 的长方形的面积和作为相等关系）例11.如图，用不同的代数式表示阴影部分的面积，可以表示下面哪个等式（）A .（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2B .（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2C .（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2D .a （a ＋b ）＝a 2＋ab【解析】解：阴影部分面积：方法一：（a －b ）2，方法二：大正方形面积为：a 2，小正方形面积为b 2，两个矩形面积为2（a －b ）b ＝2ab －2b 2，∴阴影部分面积为：a 2－b 2－（2ab －2b 2）＝a 2－2ab ＋b 2，∴（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2变式11.(1)如图，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么?(用含有x 、y 的等式表示)；(2)若2(32)5x y -=，2(32)9x y +=，求xy 的值；(3)若25,2x y xy +==，求2x y -的值．【答案】（1）224()()xy x y x y =+--；（2）16xy =；（3）23x y -=±．【解析】【分析】（1）阴影部分的面积可以由边长为x+y 的大正方形的面积减去边长为x-y 的小正方形面积求出，也可以由4个长为x ，宽为y 的矩形面积之和求出，表示出即可；（2）先利用完全平方公式展开，然后两个式子相减，即可求出答案；（3）利用完全平方变形求值，即可得到答案．【详解】解：（1）图中阴影部分的面积为：224()()xy x y x y =+--；故答案为：224()()xy x y x y =+--；（2）∵2(32)5x y -=，∴2291245x xy y -+=①，∵2(32)9x y +=，∴2291249x xy y ++=②，∴由②-①，得24954xy =-=，∴16xy =；（3）∵25,2x y xy +==，∴222(2)4425x y x xy y +=++=，∴224254217x y +=-⨯=，∴222(2)4417429x y x y xy -=+-=-⨯=；∴23x y -=±；【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，以及完全平方公式变形求值，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键．题型十二完全平方式完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A ，如果存在另一个实系数整式B ，使A ＝B 2，则称A 是完全平方式．a 2±2ab ＋b 2＝（a ±b ）2完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用＋，完全平方差公式就用－，后边的符号都用＋）”例12.若关于x 的二次三项式x 2＋kx ＋81是完全平方式，则k 的值是．【解析】解：∵x 2＋kx ＋81是关于x 的完全平方式，∴k ＝±18，解得：k ＝±18变式12.多项式291x +加上一个单项式后﹐使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是（）A.6x± B.-1或4814x C.29x - D.6x ±或1-或29x -或4814x 【答案】D【解析】【分析】根据完全平方公式计算解答．【详解】解：添加的方法有5种，分别是：添加6x ，得9x 2+1+6x=（3x+1）2；添加﹣6x ，得9x 2+1﹣6x=（3x ﹣1）2；添加﹣9x 2，得9x 2+1﹣9x 2=12；添加﹣1，得9x 2+1﹣1=（3x ）2，添加4814x ，得242819+91142x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，故选：D ．【点睛】此题考查添加一个整式得到完全平方式，熟记完全平方式的特点是解题的关键．题型十三整式的除法整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．例13.计算：（1）24a3b2÷3ab＝；（2）（12a3＋6a2－3a）÷3a＝．【解析】解：（1）24a3b2÷3ab＝8a2b；（2）原式＝4a2＋2a－1变式13.已知7x3y2与一个多项式之积是28x4y2+7x4y3﹣21x3y2，则这个多项式是______．【答案】4x+xy-3【解析】【分析】根据7x3y2与一个多项式之积是28x4y2+7x4y3﹣21x3y2，用28x4y2+7x4y3﹣21x3y2除以7x3y2，用多项式除以单项式的法则，即可得到答案.【详解】解：∵7x3y2与一个多项式之积是28x4y2+7x4y3﹣21x3y2，∴(28x4y2+7x4y3﹣21x3y2)÷7x3y2=(4x+xy-3)(7x3y2)÷7x3y2=4x+xy-3【点睛】本题主要考查了多项式的除法、多项式除以单项式的法则，关键是根据已知条件得到这个多项式是(28x4y2+7x4y3﹣21x3y2)÷7x3y2.题型十四整式的混合运算（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．例14.计算：（－a）3•a2＋（2a4）2÷a3【解析】解：（1）原式＝－a3•a2＋4a8÷a3＝－a5＋4a5＝3a5变式14.计算：（y ＋3）（y －3）－（2y －1）2【答案】−3y 2+4y −10【解析】【分析】利用平方差公式，完全平方公式计算，在合并同类项即可求解．【详解】解：()()()23321y y y +---229441y y y =--+-23410y y =-+-【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握其运算法则是解题关键．题型十五整式的混合运算—化简求值先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．例15.计算：先化简，再求值：（x －2y ）2－x （x －4y ），其中，x ＝1，y ＝－1解：原式＝x 2－4xy ＋4y 2－x 2＋4xy＝4y 2，当x ＝1，y ＝1时，原式＝4×1＝4变式15.已知210x x +-=，求代数式()()2312x x x +--的值【答案】9【解析】【分析】根据完全平方公式展开所求代数式，把已知式子代入求解即可；【详解】解：2(31)(2)x x x +--，229612x x x x =++-+，2881x x =++，210x x +-= ，21x x ∴+=，∴原式()2818119x x =++=⨯+=．【点睛】本题主要考查了代数式求值，结合完全平方公式化简是解题的关键．题型十六因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．例16.16.下列由左边到右边的变形，是因式分解的有_______（填序号）①a （x ＋y ）＝ax ＋ay ；②10x 2－5x ＝5x （2x －1）；③y 2－4y ＋4＝（y －2）2；④t 2－16＋3t ＝（t －4）（t ＋4）＋3t ．【答案】②③．【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】解：①a （x +y ）=ax +ay ，等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意；②10x 2-5x =5x （2x -1），等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意；③y 2-4y +4=（y -2）2，等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意；④t 2-16+3t =（t -4）（t +4）+3t ，等式从左边到右边的变形不属于因式分解，故不符合题意；即等式从左边到右边的变形，属于因式分解的有②③，故答案为：②③．【点睛】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．变式17.下列等式中，从左到右的变形属于因式分解且分解彻底的是（）A.a3＋2a2＋a＝a（a＋1）2B.a（a﹣b）＝a2﹣abC.x4﹣1＝（x2＋1）（x2﹣1）D.ax2﹣abx＋a＝a（x2﹣bx）＋a【答案】A【解析】【分析】根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可；【详解】A、从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意；B、从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C、从左到右的变形属于因式分解但分解不彻底，故本选项不符合题意；D、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解；题型十七公因式1、定义：多项式ma＋mb＋mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．例17.多项式x3y－xy的公因式是【解析】解：多项式x3y－xy的公因式是xy．变式18.多项式3a2b－6a3b各项的公因式是________．【答案】23a b【解析】【分析】根据公因式的寻找方法：先确定系数：最大公约数，再找同底的幂：指数最低的；即可确定答案.【详解】∵()23236312a b a b a b a -=-，∴公因式为23a b .故答案为：23a b .【点睛】本题考查公因式的确定方法：如果各项都是单项式，先确定系数：最大公约数，再找同底的幂：指数最低的；如果是多项式，就需要先因式分解.题型十八因式分解－提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“－”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．例18.因式分解：3mx －9my ＝【解析】解：3mx －9my ＝3m （x －3y ）．变式19.因式分解：（1）2015a ax--（2）()()2326a a ---【答案】（1）()543a x -+；（2）()()35--a a 【解析】【分析】（1）直接提取公因式−5a ，进而得出即可；（2）直接提取公因式（a −3），进而得出即可．【详解】解：（1）2015a ax --=5453a a x -⨯-⋅()543a x =-+；（2）()()2326a a ---=()()2323a a ---=()3(32)a a ---()()35a a =--【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式得出是解题关键．题型十九因式分解－运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）；完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝（a ±b ）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．例19.下列分解因式不正确的是（）A .a 4＋1－2a 2＝（a －1）2（a ＋1）2B .4y 2－1＝（4y ＋1）（4y －1）C .94x 2－x ＋19＝（32x －13）2D .－16＋a 4＝（a 2＋4）（a －2）（a ＋2）【解析】解：A ．a 4＋1－2a 2＝（a2）2－2a2＋1＝（a2－1）2＝[（a＋1）（a－1）]2＝（a＋1）2（a－1）2，正确，不符合题意；B．4y2－1＝（2y）2－12＝（2y＋1）（2y－1），错误，符合题意；C．94x2－x＋19＝＝（32x）2－2•32x•13＋（13）2＝（32x－13）2，正确，不符合题意；D．－16＋a4＝（a2）2－42＝（a2＋4）（a2－4）＝（a2＋4）（a＋2）（a－2），正确，不符合题意．变式20.因式分解：（a2+4）2-16a2．【答案】(a+2)2(a−2)2【解析】【分析】原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式分解即可．【详解】原式=(a2+4+4a)(a2+4−4a)=(a+2)2(a−2)2.故答案为(a+2)2(a−2)2.【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，掌握运算法则是解题关键题型二十因式分解－十字相乘法借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．①x2＋（p＋q）x＋pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x 2＋（p ＋q ）x ＋pq ＝（x ＋p ）（x ＋q ）②ax 2＋bx ＋c （a ≠0）型的式子的因式分解这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1•a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1•c 2，并使a 1c 2＋a 2c 1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：ax 2＋bx ＋c ＝（a 1x ＋c 1）（a 2x ＋c 2）．例20.分解因式：x 2＋3x －10＝．解：原式＝（x －2）（x ＋5）．变式21.分解因式：(4)(1)6p p -++．【答案】()()12p p --．【解析】【分析】先去括号，再用十字相乘法因式分解．【详解】解：原式232p p =-+()()12p p =--【点睛】考核知识点：因式分解．掌握十字相乘法是关键．题型二十一因式分解－分组分解法1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．例如：①ax ＋ay ＋bx ＋by＝x （a ＋b ）＋y （a ＋b ）＝（a ＋b ）（x ＋y ）②2xy －x 2＋1－y 2＝－（x 2－2xy ＋y 2）＋1＝1－（x －y ）2＝（1＋x－y）（1－x＋y）例21.因式分解：9－x2＋2xy－y2解：9－x2＋2xy－y2＝9－（x2－2xy＋y2）＝9－（x－y）2＝（3＋x－y）（3－x＋y）．变式22.观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：甲：x2－xy+4x－4y=(x2－xy)+(4x－4y)(分成两组)=x(x－y)+4(－y)（直接提公因式）=(x－y)(x+4).乙：a2－b2－c2+2b c=a2－(b2+c2－2bc)(分成两组)=a2－(b－c)2（直接运用公式）=(a+b－c)(a－b－c).请你在他们的解法的启示下，完成下面的分解因式：（1）m3－2m2－4m+8；（2）x2－2xy+y2－9.【答案】ሺ1ሻሺm－2ሻ2ሺm൅2ሻ;ሺ2ሻሺx－y൅3ሻሺx－y－3ሻ.【解析】【分析】（1）将原式进行分组，再分别因式分解即可求解；（2）先利用完全平方公式把前面部分因式分解，再利用平方差公式进行因式分解.【详解】（1）原式=(m3-2m2)+(－4m+8)=m2(m－2)－4(m－2)=(m－2)(m2－4)=(m－2)2(m+2).(2)原式=(x2－2xy+y2)－9=(x－y)2－9=(x－y+3)(x－y－3).【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键根据材料灵活使用提取公因式法与公式法进行因式分解.题型二十二因式分解的应用1、利用因式分解解决求值问题．2、利用因式分解解决证明问题．3、利用因式分解简化计算问题．【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用1.因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．2.用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．例22.若x ＋2y ＝6，xy ＝－3，则2x 2y ＋4xy 2＝．解：∵x ＋2y ＝6，xy ＝－3，∴2x 2y ＋4xy 2＝2xy （x ＋2y ）＝2×（－3）×6＝－36变式23.若ABC 的三边长是a 、b 、c ，且222a b c ab bc ac +=++＋，则这个三角形形状是_________角形．【答案】等边【解析】【分析】先等式两边同乘以2，再移项，利用完全平方公式，即可得到答案．【详解】∵222a b c ab bc ac ++=++，∴222222222a b c ab bc ac ++=++，∴2222222220a b c ab bc ac ++---=，∴222()()()0a b a c b c -+-+-=，∵222()0,()0,()0a b a c b c -≥-≥-≥，∴222()0,()0,()0a b a c b c -=-=-=，∴a=b=c，∴这个三角形是等边三角形，故答案是：等边【点睛】本题主要考查完全平方公式，偶数次幂的非负性以及等边三角形的定义，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．实战练24.已知2x+3y-5=0，则9x•27y的值为______．【答案】243【解析】【分析】先将9x•27y变形为32x+3y，然后再结合同底数幂的乘法的概念和运算法则进行求解即可．【详解】∵2x+3y−5=0，∴2x+3y=5，∴9x⋅27y=32x⋅33y=32x+3y=35=243.故答案为243.【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握同底数幂乘法的概念和运算法则.25.已知x2n＝3，则（x3n）2－（x2）2n的值为_____．【答案】18【解析】【分析】根据幂的乘方的公式的逆用，对指数进行变形，然后整体带入求值即可．【详解】解：（x3n）2－（x2）2n=x6n-x4n=（x2n）3-（x2n）2=33-32=27-9=18．故答案为：18．【点睛】本题考查了幂的乘方，会对公式进行逆用是解题的关键．26.（－0.25）100×4101＝_________．【答案】4【解析】【分析】逆用积的乘方进行求解即可．【详解】解：1001010().254⨯－100100=(4144⨯⨯－10014=()44⨯⨯－100=()14⨯－=14⨯=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了积的乘方的逆用，掌握住积的乘方运算公式是解答此题的关键．27.已知146a b ab -==，，则22a b +＝__________．【答案】208【解析】【分析】将14a b -=两边平方，即可得出222196a ab b -+=，再根据6ab =，即可求出22a b +的值．【详解】∵14a b -=，∴2()196a b -=，即222196a ab b -+=，∵6ab =，∴2226196a b +-⨯=，∴2219612208a b +=+=．故答案为：208．【点睛】本题考查完全平方式和代数式求值．掌握完全平方公式并能够进行灵活变形是解答本题的关键．28.我们知道，同底数幂的除法法则为m n m n a a a -÷=（其中a ≠0，m ，n 为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m ，n 的一种新运算：()()()f m n f m f n -=÷其中f （m ），f （n ）都为正数），请根据这种新运算填空：（1）若f （2）＝4，f （3）＝8，则f （1）＝_______；（2）若f （2000）＝k ，f （2）＝4，那么f （500）＝______（用含k 的代数式表示，其中k ＞0）．【答案】①.2②.7504k 【解析】【分析】（1）由新运算法则直接求解；（2）同过新定义的运算法则，推导出前几项的结果，同过前几项发现规律，利用规律来解答．【详解】解：（1）根据新运算：()()()f m n f m f n -=÷，(1)(32)(3)(2)842f f f f ∴=-=÷=÷=，故答案是：2．（2）(1998)(20002)44kf f k =-=÷= 2(1996)(200022)(19982)4kf f f =-⨯=-=3(1994)(200023)(19962)4k f f f =-⨯=-=750(500)(20002750)(5022)4k f f f =-⨯=-=根据规律得：750(500)4k f =，故答案是：7504k ．【点睛】本题考查了新定义运算法则，解题的关键是：理解新定义的运算法则，从运算中找到规律，用来解答．29.观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-；432(1)(1)x x x x x -++++51x =-……；则20082007200622+2+2++2+2+1 ＝_____．【答案】200921-【解析】【分析】观察其右边的结果：第一个是x 2−1；第二个是x 3−1；…依此类推，得出第n 个的结果，从而得出要求的式子的值．【详解】根据给出的式子的规律可得：（x −1）（x n ＋x n −1＋…x ＋1）＝x n ＋1−1，则22008＋22007＋22006＋……＋22＋2＋1=（2-1）×（22008＋22007＋22006＋……＋22＋2＋1）=22009−1；故答案为：22009−1．【点睛】本题考查了平方差公式，发现规律：右边x 的指数正好比前边x 的最高指数大1是解题的关键．30.下列计算正确的是（）A.a 3÷a 2＝aB.a 3•a 2＝a 6C.a 3＋a 2＝a 5D.（－a 3）2＝a 5【答案】A【解析】【分析】直接利用同底数幂的乘除法、合并同类项以及积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可判断．【详解】解：A .3232a a a a -÷=＝，计算正确，故此选项符合题意；B .3253+2•=a a a a ＝，原选项计算错误，故不符合题意；C .325a a a ≠＋，原选项计算错误，故不符合题意；D .362()a a －＝，原选项计算错误，故不符合题意；故选：A【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法、合并同类项以及积的乘方和幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解答此题的关键．31.要使()()22524x x x ax -+--展开式中不含2x 项，则a 的值等于（）。

数与式知识点初中

数与式知识点初中在初中数学学习中，数与式是非常重要的基础知识点。

它们是学习其他数学概念和技巧的基础，也是解决数学问题的关键。

在这篇文章中，我们将介绍数与式的基本概念和相关的知识点。

首先，数是一种用于计数、度量和表示数量的概念。

在初中数学学习中，我们接触到了整数、分数、小数、百分数等不同类型的数。

了解不同类型的数的性质和运算规律对于解决数学问题至关重要。

例如，整数有正数和负数之分，我们需要掌握整数的取反和相反数，以及加法、减法、乘法和除法等运算规律。

分数和小数则涉及到两个数的比较和运算，我们需要掌握分数和小数之间的转化、约分和通分等基本技巧。

百分数经常用于表示比例关系和增减幅度，我们需要掌握百分数与分数、小数之间的转化，并熟练运用百分数的相关计算方法。

其次，式是由数和代数符号组成的有意义的表达式。

在初中数学学习中，我们接触到了一元一次方程、一元一次不等式、两个变量间的关系等式等不同类型的式。

了解式的结构和运算规律对于解决方程和不等式问题至关重要。

例如，一元一次方程是由一个未知数和系数构成的等式，我们需要掌握解一元一次方程和应用方程解决实际问题的方法。

一元一次不等式则涉及到不等关系和解集表示，我们需要掌握一元一次不等式的解集求解和图示方法。

两个变量间的关系等式则涉及到二元一次方程，我们需要掌握解二元一次方程组和应用方程组解决实际问题的方法。

除了数和式的基本概念，初中数学学习还涉及到数与式的运算。

数与式的运算是指对数和式进行加、减、乘、除和指数运算等操作。

了解数与式的运算规律和技巧对于解决复杂问题至关重要。

例如，我们需要掌握加法、减法、乘法和除法的基本原理和运算法则，以及在运算过程中的优先级和计算顺序。

指数运算涉及到幂运算和根号运算，我们需要掌握幂运算的基本性质和计算方法，以及根号运算的计算规律和应用方法。

综上所述，数与式是初中数学学习的基本知识点。

通过掌握数与式的基本概念、相关知识点和运算规律，我们能够建立数学思维和解决问题的能力。

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