2012高一数学竞赛辅导(一)一元二次不等式与集合

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高考数学复习点拨集合与一元二次不等式综合问题例析

集合与一元二次不等式综合问题例析集合，是现代数学中的一个最基本的概念．集合概念渗透到数学各个分支中，对于培养运用集合观念解题的能力，提高数学素养是大有好处的．集合问题多与不等式等有关，解答此类问题时要注意各类知识的相互转化、融会贯通与综合运用．下面就与集合与不等式有关问题选解评析几例，供读者参考．例1 已知全集U ={x | x 2－3x + 2≥0}，A ={x || x －2|＞0}，B ={x |21--x x ＞0}，求A ðU B ，(ðU A )B ．解：U ={ x |x ≤1或x ≥2}，A ={ x |x ＜1或x ＞3}，B ={x |x ＞2或x ＜1}，故A ðU B =φ，(ðU A )B =U ．评析：本题中把二次不等式、绝对值不等式、分式不等式的解集，与集合的交、并、补运算相结合，既考察了不等式的几种类型的解法，又考察了集合运算．这里准确解出不等式的解集很重要．例2 已知A ={x |x －a ＞0}，B ={ x | x 2－2ax －3a 2＜0}，求AB 及A B ．解：A ={x |x ＞a }，B ={ x | (x + a )(x －3a )＜0}，考虑集合B 中－a 与3a 的大小关系，对字母a 进行分类讨论：⑴当a ＞0时，－a ＜3a ，B ={ x | －a ＜x ＜3a }，∵－a ＜a ＜3a ，∴A B ={ x | a ＜x ＜3a }，A B ={ x | x ＞－a }．⑵当a = 0时，A ={x |x ＞0}，B =φ，此时，AB =φ，A B ={ x | x ＞0}． ⑶当a ＜0时，－a ＞3a ，B ={ x | 3a ＜x ＜－a }，∵3a ＜a ＜－a ，∴A B ={ x | a ＜x ＜－a }，A B ={ x | x ＞3a }．评析：分类讨论时，要求既不重复讨论，也不遗漏某些特殊情况，往往是数形结合、分类讨论交叉进行．本题还应注意到－a 与3a 的大小比较．常常可见到方程两根都含字母且不只是一次式时，比较这两根大小之后，再写出不等式的解集．而作差比较的不同情况，往往就是讨论的不同步骤．例3 关于x 的不等式| x －2)1(2+a |≤2)1(2-a 及x 2－3(a + 1)x + 2(3a +1)≤0的解集依次记为A 和B ，求使A ⊆B 时a 的取值范围．解：由| x －2)1(2+a |≤2)1(2-a 得：－2)1(2-a ≤x －2)1(2+a ≤2)1(2-a ， ∴2a ≤x ≤a 2+ 1，即A ={ x |2a ≤x ≤a 2+ 1}，由x 2－3(a + 1)x + 2(3a + 1)≤0得：(x －2)[x －(3a + 1)]≤0，① 当3a + 1≥2，即a ≥31时，B ={ x |2≤x ≤3a + 1}，欲使A ⊆B ，需有 ⎩⎨⎧+≥+≤.113,222a a a ⇒ 1≤a ≤3 ， ② ② 当3a + 1＜2，即a ＜31时，B ={ x |3a + 1≤x ≤2}，欲使A ⊆B ，需有⎩⎨⎧+≥≤+.12,2132a a a ⇒ a =－1 ． ∴使A ⊆B 时a 的取值范围为1≤a ≤3或a =－1 ．评析：对于含有参数的不等式应考虑到：⑴参数a 对不等式方向的影响；⑵参数a 对根的大小的影响．例4 已知集合A ={x |x 2－2x + a ≤0} ，B ={x | x 2－3x + 2≤0}，且A ≠⊂B ，求实数a 的取值范围．解：B ={x |1≤x ≤2}，A ={x |x 2－2x + a ≤0}，由于A ≠⊂B ，所以：① 当A =φ时满足A ≠⊂B ，即x 2－2x + a ≤0无解，所以△= (－2)2－4a ＜0⇒a ＞1 ．② 当A ≠φ时，由于不等式x 2－2x + a ≤0对应二次函数y = x 2－2x + a 的对称轴是x = 1 ．要保证A ≠⊂[1，2] ，当且仅当A ={1}，即△= 0，解得 a = 1 ．由①、②知当a ≥1时，A ≠⊂B ．评析：将集合语言转化为图形语言，便使a 的取值范围显而易见．所以，数形结合是求含参数集合问题常用的思想方法．。

高中数学竞赛知识点整理

高中数学竞赛知识点整理
一、代数知识
1.一元二次方程：
（1）一元二次方程的解法：
a、利用求根公式：解一元二次方程的根：
若ax2 + bx + c = 0，则x1 = (-b + √(b2 - 4ac))/2a，x2 = (-b -
√(b2 - 4ac))/2a
b、利用因式分解法：
将一元二次方程化为两个一元一次方程，求解。

2.一元一次方程：
（1）一元一次方程的解法：
a、利用移项法：把一元一次方程化为一元一次不等式，求解。

b、利用乘除法：将一元一次方程的系数化简，求解。

3.二元一次方程组：
（1）二元一次方程组的解法：
a、利用消元法：把二元一次方程组化为一元一次方程组，求解。

b、利用代入法：将一个方程的解代入另一个方程，求解。

4.不等式：
（1）一元一次不等式的解法：
a、利用移项法：将一元一次不等式化为一元一次方程，求解。

b、利用乘除法：将一元一次不等式的系数化简，求解。

二、几何知识
1.直线与圆：
（1）直线与圆的位置关系：
a、直线与圆有共点：直线与圆相切；
b、直线与圆无共点：直线与圆相交；
c、直线与圆有共线：直线与圆相离；
2.三角形：
（1）三角形的性质：
a、直角三角形：有两条直角边；
b、等腰三角形：有两条等长边；
c、等边三角形：三条边。

1.一元二次不等式和集合(艺术)

1.一元二次不等式解法【例1】解不等式：(1)2280x x --< (2) (2)(3)6x x +-<练习：解不等式（1）2560x x -++> （2）062<+-x x(3)220x x +<(4) 23180x x --≤【例2】解不等式：(1)2301x x -<+ (2)112≥-x练习：解不等式 (1)132x ≤+ (2) 11>x(3) 101x x +≥- (4)31221x x +<-【例3】解不等式(1) 23<-x (2)23>-x练习：解不等式(1)223<-x (2)112>-x2.集合集合1.定义：一般地，某些指定对象集在一起就成为一个集合（集）。

集合中每个对象叫做这个集合的元素. 一般地来讲，用大括号表示集合,也可以用大写的字母表示集合。

2.元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A ；（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作．3.集合元素的三个特征⑴确定性：集合中的元素必须是确定的，也就是说，对于一个给定的集合，其元素的意义是明确的. ⑵互异性：集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的. ⑶无序性：集合中的元素是无先后顺序，也就是说，对于一个给定集合，它的任何两个元素都是可以交换的.4.常见的集合N ：非负整数集（或自然数集） N*或N+：正整数集（非负整数集N 内排除0的集合） Z ：整数集（全体整数的集合） Q ：有理数集（全体有理数的集合） R ：实数集（全体实数的集合） Φ表示空集，既不含任何元素的集合.5.集合的表示方法有哪些？列举法：把集合中元素一一列举出来的方法描述法：{}代表元素元素都具有的性质6.子集定义：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 。

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学海无涯
(二) 二次函数
一、二次函数的解析式:①定义式：f(x)=ax2+bx+c.②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k.
③零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2).(a≠0)
二、二次函数的最值:当自变量的取值范围为闭区间[p,q]时，其最值在 f(p)、f(q)、f(-b/2a)
三者中取得，最值情况如下表：
求集合 A。三．容斥原理基本公式 :(1)card(A ∪ B) ＝ card(A) ＋ card(B) － card(A ∩ B) ； (2)card(A ∪ B ∪
C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)
学海无涯 (1)求证:A B; (2)若 A={-1，3}时，求集合 B. 二、集合中待定元素的确定例 2．已知集合 M＝{X，XY，lg(xy)}，S＝{0，∣X∣，Y}，且 M＝S，则(X＋1/Y)＋(X2＋1/Y2) ＋……＋(X2002＋1/Y2002)的值等于( ). 分析：解题的关键在于求出 X 和 Y 的值，而 X 和 Y 分别是集合 M 与 S 中的元素。这一类根据集合的关系反过来确定集合元素的问题，要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集合之间的基本关系(子、全、补、交、异、空、等)有本质的理解，对于两个相等的有限集合(数集)，还会用到它们的简单性质：(a)相等两集合的元素个数相等；(b)相等两集合的元素之和相等；(c)相等两集合的元素之积相等. 解：由 M＝S 知，两集合元素完全相同。这样，M 中必有一个元素为 0，又由对数的性质知，0 和负数没有对数，所以 XY≠0，故 X，Y 均不为零，所以只能有 lg(XY)＝0，从而 XY＝1.∴M＝{X，1， 0}，S＝{0，∣X∣，1/X}.再由两集合相等知

高一数学竞赛知识点

高一数学竞赛知识点在高中阶段，数学竞赛成为了学生们展示才华和水平的重要途径之一。

参加数学竞赛不仅可以考验学生的数学能力，还可以培养他们的思维逻辑和问题解决能力。

然而，能够在数学竞赛中脱颖而出并不容易，需要学生们掌握一些重要的数学知识点。

本文将介绍高一数学竞赛的一些重要知识点，帮助学生们在竞赛中取得优异的成绩。

一、函数与方程在数学竞赛中，函数与方程是最基本也是最重要的知识点之一。

学生们应该熟悉各种类型的函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等，以及它们的性质与图像。

此外，掌握方程的解法也非常重要。

学生们需要理解方程的基本概念和性质，能够灵活地应用不同的解法求解各种类型的方程。

二、排列与组合排列与组合是高一数学竞赛中常见的题型。

学生们需要了解排列与组合的基本定义和计算公式，并能够熟练地应用到各种实际问题中。

在解答排列与组合问题时，学生们应该注意题目中的条件限制，灵活运用计数原理和容斥原理等方法，确保得出正确的结果。

三、数列与数列极限数列与数列极限也是高一数学竞赛中常见的考点。

学生们需要对数列的概念和性质有清晰的认识，能够计算数列的通项公式和前n项和。

此外，理解数列极限的概念和性质也非常重要。

学生们需要学会判断数列的收敛性，并能够计算收敛数列的极限值。

四、不等式不等式在高一数学竞赛中也扮演着重要的角色。

学生们需要熟悉不等式的基本性质和解法，并能够应用到各种实际问题中。

掌握不等式的加减乘除运算规则、平方与开方不等式、绝对值不等式等是解决不等式问题的关键。

五、平面几何平面几何是数学竞赛中常见的另一大考点。

学生们需要掌握平面几何中的基本定义和性质，能够灵活运用各种几何定理和公式解决各种几何问题。

熟练掌握平面几何的计算方法以及对称性质和相似性质等是高中数学竞赛中得分的关键。

六、立体几何除了平面几何，立体几何也是高一数学竞赛中重要的考点之一。

学生们需要了解立体几何中的基本概念和性质，能够运用立体几何的公式和计算方法解决各种立体几何问题。

高中数学竞赛辅导第一讲集合概念及集合上的运算

高中数学竞赛辅导第4讲集合概念及集合上的运算(1)高中一年级数学（上）（试验本）课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件（或具有某种性质）的对象集中在一起就成为一个集合.在此基础上，介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、无限集，集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题，形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，表面平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等综合型题目.Ⅰ．集合中待定元素的确定充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系，往往能解决某些以集合为背景的高中数学竞赛题.请看下述几例.例1：求点集}lg lg )9131lg(|),{(33y x y x y x +=++中元素的个数. 【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之. 【略解】由所设知,9131,0,033xy y x y x =++>>及由平均值不等式，有,)91()31()(3913133333xy y x y x =⋅⋅≥++ 当且仅当333331,91,9131====y x y x 即（虚根舍去）时，等号成立. 故所给点集仅有一个元素.【评述】此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌握之.例2：已知.}.,22|{},,34|{22B A x x x y y B x x x y y A ⋂∈+--==∈+-==求R R【略解】,11)2(2≥--=x y 又.33)1(2≤++-=x y∴A=}.31|{},3|{},1|{≤≤-=⋂≤=-≥y y B A y y B y y 故【评述】此题应避免如下错误解法：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=.22,3422x x y x x y 消去.0122,2=+-x x y 因方程无实根，故φ=⋂B A .这里的错因是将A 、B 的元素误解为平面上的点了.这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛物线的值域.例3：已知集合|}.|||1|||),{(},0,|||||),{(y x xy y x B a a y x y x A +=+=>=+= 若B A ⋂是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a 的值为 .【略解】点集A 是顶点为（a ，0），（0，a ），（－a ，0），（0，－a ）的正方形的四条边构成（如图Ⅰ－1－1－1）.将||||1||y x xy +=+，变形为,0)1|)(|1|(|=--y x 所以，集合B 是由四条直线1,1±=±=y x 构成.欲使B A ⋂为正八边形的顶点所构成，只有212<<>a a 或这两种情况.（1）当2>a 时，由于正八形的边长只能为2，显然有,2222=-a 故 22+=a .（2）当21<<a 时，设正八形边长为l ，则,222,2245cos -=-=︒l l l 这时，.221=+=l a 综上所述，a 的值为,222或+如图Ⅰ－1－1－1中).0,22(),0,2(+B A 【评述】上述两题均为1987年全国高中联赛试题，题目并不难，读者应从解题过程中体会此类题目的解法.Ⅱ．集合之间的基本关系充分应用集合之间的基本关系（即子、交、并、补），往往能形成一些颇具技巧的集合综合题.请看下述几例.例4：设集合},|613{},|21{},|{},|2{Z Z Z Z ∈+=∈+=∈=∈=n n D n n C n n B n n A 则在下列关系中，成立的是（）A ．D CB A ≠≠≠⊂⊂⊂ B ．φφ=⋂=⋂DC B A , C ．D C C B A ≠⊂⋃=, D ．φ=⋂=⋃D C B B A , 【思路分析】应注意数的特征，即.,612613,21221Z ∈+=++=+n n n n n 【解法1】∵},|613{},|21{},|{},|2{Z Z Z Z ∈+=∈+=∈=∈=n n D n n C n n B n n A ∴D C C B A ≠⊂⋃=,.故应选C. 【解法2】如果把A 、B 、C 、D 与角的集合相对应，令图Ⅰ－1－1－1}.|63{},|2{},|{},|2{Z Z Z Z ∈+=∈+='∈='∈='n n D n n C n n B n n A ππππππ 结论仍然不变，显然A ′为终边在坐标轴上的角的集合，B ′为终边在x 轴上的角的集合，C ′为终边在y 轴上的角的集合，D ′为终边在y 轴上及在直线x y 33±=上的角的集合，故应选（C ）.【评述】解法1是直接法，解法2运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的的角的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解.例5：设有集合B A B A x x B x x x A ⋃⋂<==-=和求和},2|||{}2][|{2（其中[x ]表示不超过实数x 之值的最大整数）.【思路分析】应首先确定集合A 与B.从而 .2,.21A x ∈≤≤-显然∴}.22|{≤<-=⋃x x B A 若 },2,1,0,1{][,2][,2--∈+=⋂∈x x x B A x 则从而得出 ).1]([1)1]([3-=-===x x x x 或于是 }3,1{-=⋂B A【评述】此题中集合B 中元素x 满足“|x |<3”时，会出现什么样的结果，读者试解之.例6：设})],([|{},),(|{),,()(2R R R ∈==∈==∈++=x x f f x x B x x f x x A c b c bx x x f 且，如果A 为只含一个元素的集合，则A=B.【思路分析】应从A 为只含一个元素的集合入手，即从方程0)(=-x x f 有重根来解之.【略解】设0)(},|{=-∈=x x f A 则方程R αα有重根α，于是,)()(2α-=-x x x f )],([..)()(2x f f x x x x f =+-=从而α即 ,)()]()[(222x x x x x +-+-+-=ααα 整理得,0]1)1[()(22=++--ααx x 因α,x 均为实数 .,01)1(2αα=≠++-x x 故即.}{A B ==α【评述】此类函数方程问题，应注意将之转化为一般方程来解之.例7：已知N N M a y x y x N x y y x M =⋂≤-+=≥=求}.1)(|),{(},|),{(222成立时，a 需满足的充要条件.【略解】.M N N N M ⊆⇔=⋂由).1()12(1)(22222a y a y y x a y x -+-+-≤≤-+得于是，若0)1()12(22≤-+-+-a y a y ①必有.,2M N x y ⊆≥即而①成立的条件是 ,04)12()1(422m a x ≤-----=a a y 即 ,0)12()1(422≤-+-a a 解得 .411≥a【评述】此类求参数范围的问题，应注意利用集合的关系，将问题转化为不等式问题来求解. 例8：设A 、B 是坐标平面上的两个点集，}.|),{(222r y x y x C r ≤+=若对任何0≥r 都有B C A C r r ⋃⊆⋃，则必有B A ⊆.此命题是否正确？【略解】不正确.反例：取},1|),{(22≤+=y x y x A B 为A 去掉（0，0）后的集合. 容易看出,B C A C r r ⋃⊆⋃但A 不包含在B 中.【评述】本题这种举反例判定命题的正确与否的方法十分重要，应注意掌握之.Ⅲ．有限集合中元素的个数有限集合元素的个数在课本P 23介绍了如下性质：一般地，对任意两个有限集合A 、B ，有 ).()()()(B A card B card A card B A card ⋂-+=⋃我们还可将之推广为：一般地，对任意n 个有限集合,,,,21n A A A 有)(1321n n A A A A A card ⋃⋃⋃⋃⋃-)]()([)]()()()([3121321A A card A A card A card A card A card A card n ⋂+⋂-++++= )]()]([)]()(1232111n n n n n n A A A card A A A card A A card A A card ⋂⋂++⋂⋂+⋂++⋂++--- ).()1(311n n A A A card ⋂⋂⋂⋅-+--应用上述结论，可解决一类求有限集合元素个数问题.【例9】某班期末对数学、物理、化学三科总评成绩有21个优秀，物理总评19人优秀，化学总评有20人优秀，数学和物理都优秀的有9人，物理和化学都优秀的有7人，化学和数学都优秀的有8人，试确定全班人数以及仅数字、仅物理、仅化学单科优秀的人数范围（该班有5名学生没有任一科是优秀）.【思路分析】应首先确定集合，以便进行计算.【详解】设A={数学总评优秀的学生}，B={物理总评优秀的学生}，C={化学总评优秀的学生}. 则.8)(,7)(,9)(,20)(,19)(,21)(=⋂=⋂=⋂===A C card C B card B A card C card B card A card ∵)()()()()()()(A C card C B card B A card C card B card A card C B A card ⋂-⋂-⋂-++=⋃⋃),(C B A card ⋂⋂+ ∴.3689201921)()(=--++=⋂⋂-⋃⋃C B A card C B A card 这里，)(C B A card ⋃⋃是数、理、化中至少一门是优秀的人数，)(C B A card ⋂⋂是这三科全优的人数.可见，估计)(C B A card ⋃⋃的范围的问题与估计)(C B A card ⋂⋂的范围有关.注意到7)}(),(),(min{)(=⋂⋂⋂≤⋂⋂A C card C B card B A card C B A card ，可知 7)(0≤⋂⋂≤C B A card . 因而可得.43)(36≤⋃⋃≤C B A card 又∵.5)(),()()(=⋃⋃=⋃⋃+⋃⋃C B A card U card C B A card C B A card 其中 ∴.48)(41≤≤U card 这表明全班人数在41~48人之间. 仅数学优秀的人数是).(C B A card ⋃⋂ ∴)()()()()(B card C B A card C B card C B A card C B A card -⋃⋃=⋃-⋃⋃=⋃⋂ .32)()()(-⋃⋃=⋂+-C B A card C B card C card 可见,11)(4≤⋃⋂≤C B A card 同理可知 ,10)(3≤⋃⋂≤C A B card.12)(5≤⋃⋂≤A B C card故仅数学单科优秀的学生在4~11之间，仅物理单科优秀的学生数在3~10之间，仅化学单科优秀的学生在5~12人之间.【评述】根据题意，设计这些具有单一性质的集合，列出已知数据，并把问题用集合中元素数目的符号准确地提出来，在此基础上引用有关运算公式计算，这是解本题这类计数问题的一般过程.针对性练习题1．设S={1，2，…，n}，A 为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在S 中，且添加S 的其他元素于A 后均不能构成与A 有相同公差的等差数列.求这种A 的个数，（这里只有两项的数列也看做等差数列）.2．设集合S n ={1，2，…，n}，若X 是S n 的子集，把X 中的所有数的和为X 的“容量”.（规定空集的容量为0），若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为S n 的奇（偶）子集.（1）求证：S n 的奇子集与偶子集个数相等.（2）求证：当3≥n 时，S n 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等.（3）当3≥n 时，求S n 的所有奇子集的容量之和.3．设M={1，2，3，…，1995}，A 是M 的子集且满足条件：当A x ∈时，A x ∉15，则A中元素的个数最多是多少个.4．集合*},2110log 1|{1N ∈-<≤-x x x 的真子集的个数是多少个？ 5．对于集合}.3,2,1,3|{},4,3,2,1,3|{======k x x N n n x x M k 若有集合S 满足 N M S N M ⋃⊆⊆⋂，则这样的S 有多少个？6．求集合方程有序解的个数}.,,2,1{n Y X =⋃7．设E={1，2，3，…，200}，E a a a a G ≠⊂=},,,,{100321 ，且G 具有下列两条性质：（Ⅰ）对任何1001≤≤≤j i ，恒有 ;201≠+j i a a（Ⅱ）.100801001=∑=i i a试证：G 中的奇数的个数是4的倍数，且G 中所有数字的平方和为一个定数.。

高一数学同步辅导讲义(专题讲解)

高一寒假数学同步辅导讲义（专题讲解）第一章集合与简易逻辑专题讲解一、集合的概念、运算与不等式1．在解题过程中，要善于理解和识别集合语言（即符号和图形语言），并会用集合语言准确地叙述。

2．特别要注意在集合中表示关系的两类符号∈、∉与⊆、⊆的区别，元素与集合间的从属关系用∈、∉表示，集合与集合之间的包含与相等的关系用⊂、⊂、⊆、⊆、=表示.3．给定两个集合A ，B ，它们的运算意义为：A ∩B={}B x A x x ∈∈且，A ∪B={}B x A x x ∈∈或，C S A={}A x S x x ∉∈且,.这些运算都是同逻辑连词“且”与“或”紧密相连的，“且”表示两条件要同时成立，“或”表示两条件中要至少有一个成立.理解好这些逻辑连词是思考、表达事件之间关系并正确推理的基础.集合的运算有时要用关系：C s (A ∪B)=（C s A ）∩（C sB ），C s （A ∩B ）=（C s A ）∪（C s B ），与此有关问题的运用韦恩图有示更直观.见表1—9.4．集合M={}n a a a ,,,21 的子集个数为2n ，真子集个数为2n －1，非空子集个数为2n—1，非空真子集个数为2n －2.含绝对值的不等式和一元二次不等式的解法不仅为今后学习提供了工具，同时也为研究集合与命题间的逻辑关系提供了具体的数学模型.表1 命题或且否定┐ 蕴涵⇒ 等价⇔ 集合并集∪ 交集∩ 补集C 子集⊆ 相等=关键字词或且非若……则……当且仅当必须且只须自反性 A ∪A=A A ∩A=A C U (C U )A=A A ⊆A 真子集无 A=A 对称性A ∪B=B ∪AA ∩B=B ∩AC B A=C A BA=A 若A=B 则B=A传递性若A ⊆B ，B ⊆C 则A ⊆C若A=B ，B=C ，A=C 结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C)(A ∩B) ∩C=A ∩(B ∩C)【例1】已知集合M=R x x y y ∈+=,12，N={}R x x y y ∈+=,1，则M ∩N=（） A ．（0，1）（1，2） B ．{})2,1(),1,0( C ．{}21==y y y 或 D ．{}1≥y y分析集合M 、N 是用描述法表示的，元素是实数y 而不是实数对（x ，y ），因此M ，N 分别表示函数y=x 2+1（x ∈R ），y=x+1（x ∈R ）的值域，求M ∩N 即求两函数值域的交集.解 M={}R x x y y ∈+=,12={}1≥y y ，N={}R x x y y ∈+=,1={}R y y ∈. ∴M ∩N={}1≥y y ∩{}R y y ∈={}1≥y y ，故选D.说明（1）本题求M ∩N.经常发生解方程组⎩⎨⎧-=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧==21y x 从而选B 错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么，事实上M ，N 的元素是数而不是点，因此M 、N 是数集而不是点集.（2）集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{}R x xy x ∈+=,12，{}R x x y y ∈+=,12，{}R x x y y x ∈+=,1),(2这三个集合是不同的.【例2】给出下面元素与集合或集合之间的关系：（1）0⊂{}0；（2）0∈{}0；（3）Φ∈{}Φ；（4）a ∈{}a ；（5）Φ={}0；（6）{}0∈Φ；（7）Φ∈{}0；（8）Φ⊂{}0，其中正确的是（）A ．（2）（3）（4）（8）B ．（1）（2）（4）（5）C ．（2）（3）（4）（6）D ．（2）（3）（4）（7）分析依次判断每个关系是否正确，同时用排除法筛选.解（1）应为0∈{}0；（2）（3）（4）正确，排除B ，再看（6）（7）（8）哪个正确，由Φ是{}0的子集，因此（8）正确，故选A.说明 0与{}0只有一种关系：0∈{}0 ；R 与{}R ；Φ与{}0也只有一种关系：Φ⊂{}0. 【例3】已知集合A={}R x x m x x ∈=+++,01)2(2，若A ∩R +=Φ，则实数m 的取值范围是__________.分析从方程观点看，集合A 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+(m+2)x+1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A ∩R +=Φ可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m 的不等式，并解出m 的范围.解由A ∩R +=Φ又方程x 2+(m+2)x+1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，即⎩⎨⎧<+-≥-+=∆.0)2(04)2(2m m或△=(m+2)2－4＜0.解得m ≥0或－4＜m ＜0，即m ＞－4.说明此题容易发生的错误是由A ∩R +=Φ只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因此方程无零根），而把A=Φ漏掉，因此要全面正确理解和识别集合语言.【例4】已知集合A={}0232=+-x x x ，B={}012=-+-a ax x x ，且A ∪B=A ，则a 值为__________.分析由A ∪B=A ⇔B ⊆A 而推出B 有四种可能，进而求出a 的值. 解 ∵A ∪B=A ， ∴B ⊆A ，∵A={}2,1，∴B=Φ或B={}1或B={}2或B={}2,1. 若B=Ø，则令△＜0得a ∈Ø；若B ={}1，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；若B={}2，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根.∴a ∈Ø ；若B={}2,1，则令△＞0得a ∈R 且a ≠2，把x=1代入方程得a ∈R ，把x=2代入方程得a=3，综上a 的值为2或3.说明本题不能直接写出B=（），因为a （）可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B 有可能是空集，还有可能是单元素集的情况.【例5】命题甲：方程x 2+mx+1=0有两个根异负根；命题乙：方程4x 2+4(m －2)x+1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m 的取值范围.分析使命题甲成立的m 的集合为A ，使命题乙成立的m 的集合而为B ，有且只有一个命题成立是求A ∩C R B 与C R A ∩B 的并集.解因使命题甲成立的条件是△1=m 2－4＞0，且－m ＜0，所以解得m ＞2，即集合A={}2>m m ；因使命题乙成立的条件是△2=16(m －2)2－16＜0，所以解得1＜m ＜3，即集合B={}31<<m m .若命题甲、乙有且只有一个成立，则m ∈A ∩C R B 或m ∈C R A ∩B ，而A ∩C R B={}2>m m ∩{}31≥≤m m m 或={}3≥m m ，C R A ∩B={}2>m m ∩{}31<<m m ={}21≤<m m ，所以综上所求m 的范围是{}321≥≤<m m m 或.说明（1）本题体现了集合语言、集合思想的重要作用；（2）用集合语言来表示m 的满园即准备又简明.二、一元二次方程实根的分布【例1】关于x 的方程3x 2－5x+a=0，实数a 在什么范围内，一个根大于－2，而小于0，另一个根大于1，而小于3？解由题意，a 应满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯-⨯=<+-=<=>+-⨯--⨯=-03533)3(053)1(0)0(0)2(5)2(3)2(22a f a f a f a f 解得－12＜a ＜0.【例2】关于x 的方程2x 2+3x －5m=0，有两个小于1的实根，求实根m 的取值范围. 解二次函数图像是开口向上的抛物线，对称轴x=－43，在x=1的左侧.这样抛物线与x 轴有两个交点的横坐标都小于1，所以应满足的条件是：⎩⎨⎧≥-=∆>-+=04090532)1(m m f 解得－409≤m ＜1. 【例3】关于x 的方程x 2―2tx+t 2―1=0的两个根介于―2和4之间，求实数t 的取值范围.解由题意可知，t 需满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<=-<->=--=∆>+-=>++=-42204)1(440158)4(034)2(2222t a b t t t t f t t f 解得－1＜t ＜3.说明讨论二次方程实根的分布，常有以下一些结论（设方程f(x)=ax 2+bx+c=0（a ＞0）两实根为x 1，x 2）：（1）若m ＜x 1＜n ＜p ＜x 2＜q ，则方程系数应同时满足下列不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++=<++=<++=>+=0)(0)(0)(0)(2222c bq aq q f c bp ap p f c bn an n f c bm am m f 特别地，当方程f(x)=0有一正根，一负根，即x 1＜0，x 2＞0，则应用f(0)=c ＜0；若方程f(x)=0有一个根大于k ，一个根小于k ，则应有f(k)＜0.（2）若二次方程f(x)=0的两面根在区间（m ，n ）内，则应同时满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>n a b m n f m f 200)(0)( 特别地，若f(x)=0两根都大于k 时，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≥∆>.2,0,0)(k ab k f三、四种命题与充要条件1．所谓命题，是指可以判断其真假的陈述语句，一个陈述语句所叙述的事情符合事实，我们称它为真命题，反之，一个陈述语句所叙述的事情违反事实，我们称它为假命题.2．命题有四种形式，即原命题、逆命题、否命题、逆否命题，其中原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题是等价的。

不等式高中数学竞赛教案

不等式高中数学竞赛教案
一、教学目标：
1. 掌握不等式的基本性质和解不等式的方法；
2. 提高解决实际问题中的不等式的能力；
3. 增强学生对数学竞赛题型的理解和应对能力。

二、教学重点：
1. 不等式的基本性质；
2. 解不等式的方法；
3. 实际问题中的不等式应用。

三、教学内容：
1. 不等式的定义和基本性质；
2. 不等式的解法及解不等式的常用技巧；
3. 实际问题中的不等式应用。

四、教学步骤：
1. 引入不等式的概念，引导学生理解不等式与等式的区别和联系；
2. 教授不等式的基本性质和常见不等式的性质；
3. 演示解不等式的方法，包括一元一次不等式、一元二次不等式等；
4. 给学生布置练习题，巩固所学内容；
5. 引导学生尝试解决实际问题中的不等式，并与同学分享解题思路。

五、教学工具：
1. 教材《高中数学竞赛教程》；
2. 黑板、彩色粉笔；
3. 习题册、试卷。

六、教学评价：
1. 根据学生的课堂表现和作业完成情况评定成绩；
2. 鼓励学生多参加数学竞赛，提高解决问题的能力。

七、教学反思：
1. 随着教学内容的不断深入，要及时调整教学方法，关注学生的学习情况；
2. 在课堂上鼓励学生提问和讨论，促进学生之间的互动和合作。

以上是一份高中数学竞赛不等式教案范本，希望对您有所帮助。

祝您教学顺利！。

高一数学必修1一元二次不等式及其解法

专题讲解:一元二次不等式及其解法知识点一:一元二次不等式的定义我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.知识点2:一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意:一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式.知识点3:一元二次不等式、一元二次方程以及二次函数的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系. 一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是: （1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点.（2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围. 表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:由上表可知:一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点4:一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意:一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,①当0>∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;②当0=∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅;③当0<∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅.知识点5:一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a . 例1. 解下列不等式:（1）03722>++x x ; （2）542--x x ≤0. 解:（1）∵02532472>=⨯⨯-=∆∴方程03722=++x x 的两个根为3,2121-=-=x x∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<->321x x x 或;（2）∵()()03651442>=-⨯⨯--=∆∴方程0542=--x x 的两个根为1,521-==x x ∴原不等式的解集为{}51≤≤-x x . 一元二次不等式的解法,可借助于因式分解. 另解:（1）()()0123>++x x∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<->321x x x 或;（2）()()51-+x x ≤0∴原不等式的解集为{}51≤≤-x x .例2. 解下列不等式:（1）91242-+-x x ≥0; （2）053212>-+-x x . 解:（1）原不等式可化为91242+-x x ≤0 ∴()232-x ≤0∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=23x x ;（2）原不等式可化为01062<+-x x∵()04101462<-=⨯⨯--=∆∴方程01062=+-x x 无实数根 ∴原不等式的解集为∅.例3. 解不等式:02322<-+-x x .解:原不等式可化为02322>+-x x ∵()0722432<-=⨯⨯--=∆∴方程02322=+-x x 无实数根 ∴原不等式的解集为R .习题1: 解下列不等式:（1）0652>--x x ; （2）672>+-x x ;（3）()()032<+-x x ; （4）()()x x x x ->+-412242.习题2. 不等式()02>-x x 的解集为【】（A ）{}0>x x （B ）{}2<x x （C ）{}02<>x x x 或（D ）{}20<<x x习题3. 已知集合{}{}06,028322>--=≤--=x x x N x x x M ,则=N M ____________. 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,一般情况下均需要进行分类讨论.根据讨论对象的不同,分为以下三种情形:一、二次项系数含有参数,对二次项系数的讨论例4. 解不等式:()0122>+++x a ax .解:当0=a 时,原不等式为012>+x ,其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->21x x ;当0≠a 时,()044222>+=-+=∆a a a解方程()0122=+++x a ax 得:aa a x a a a x 242,2422221+---=++--= ①当0>a 时,原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 24224222或;②当0<a 时,原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 24224222.例5. 解不等式:()00652≠>+-a a ax ax . 解:∵0≠a∴()0245222>=--=∆a a a解方程0652=+-a ax ax 得:3,221==x x 分为以下两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为{}23<>x x x 或; ②当0<a 时,原不等式的解集为{}32<<x x .二、对判别式∆的符号的讨论例6. 解不等式042>++ax x . 解:162-=∆a当0>∆,即4>a 或4-<a 时方程042=++ax x 的两根分别为21621-+-=a a x ,21622---=a a x ,显然21x x >,所以原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---<-+->21621622a a x a a x x 或;当0=∆,即4±=a 时原不等式可化为()022>+x 或()022>-x ,所以原不等式的解集为{}2-≠x x 或{}2≠x x ;当0<∆,即44<<-a 时方程042=++ax x 无实数根,所以原不等式的解集为R . 例7. 解不等式()14122+-+x x m ≥0()R m ∈. 解:∵2m ≥0 ∴012>+m()()222412144m m -=+--=∆当0>∆,即33<<-m 时,原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--≤+-+≥1321322222m m x m m x x 或; 当0=∆,即3±=m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21x x ; 当0<∆,即3>m 或3-<m 时,原不等式的解集为R . 三、对一元二次方程两根大小的讨论例8. 解不等式0112<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x a a x ()0≠a .解:原不等式可化为:()01<⎪⎭⎫ ⎝⎛--a x a x当aa 1=,即1±=a 时,原不等式的解集为∅; 当aa 1>,()()()()011,011,012>-+>-+>-a a a a a a a a ,即101><<-a a 或时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1;当a a 1<,即101<<-<a a 或时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1. 例9. 解不等式()006522≠>+-a a ax x . 解:原不等式可化为:()()032>--a x a x 方程()()032=--a x a x 的解为a x a x 3,221== ∵0≠a ,∴21x x ≠.当a a 32>,即0<a 时,原不等式的解集为{}a x a x x 32<>或; 当a a 32<,即0>a 时,原不等式的解集为{}a x a x x 23<>或. 例10. 解关于x 的不等式:()0112<---x a ax . 解:当0=a 时,原不等式为01<-x ,其解集为{}1<x x ;当0≠a 时,原不等式可化为:()()011<-+x ax ,方程()()011=-+x ax 的根为1,121=-=x ax当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧<<-11x a x ;当0<a 时,①若11=-a,即1-=a ,则原不等式的解集为{}1≠x x ; ②若11>-a ,即01<<-a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->11x a x x 或;③若11<-a ,即1-<a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>a x x x 11或.注意:一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有着直接的关系. 知识点:一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解.例11. 已知关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为{}21<<x x ,解关于x 的不等式012>++ax bx 的解集.解:∵02<++b ax x 的解集为{}21<<x x∴2,121==x x 是方程02=++b ax x 的两个根由根与系数的关系定理可知:⎩⎨⎧⨯=+=-2121b a ,解之得:⎩⎨⎧=-=23b a代入不等式012>++ax bx 得:01322>+-x x ∴()()0112>--x x ,解之得:211<>x x 或 ∴012>++ax bx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>211x x x 或. 习题4. 已知方程022=++bx ax 的两根为21-和2. （1）求b a 、的值;（2）解不等式012>-+bx ax .例12. 若关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<212x x x 或,求02>+-c bx ax 的解集.解:∵02<++c bx ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<212x x x 或∴0<a ,且2-和21-是方程02=++c bx ax 的两个根由根与系数的关系定理可知:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=--=-212212ac a b ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==125a c a b∵0<a∴02>+-c bx ax 可化为:02<+-acx a b x ∴01252<+-x x ,解之得:221<<x∴02>+-c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x .习题5. 已知关于x 的不等式02<++q px x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ,求关于x 的不等式012>++px qx 的解集.习题6. 若不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-221x x ,则=a _________,=b _________.习题7. 解下列不等式:（1）()x x -7≥12; （2）()122->x x .知识点: 一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a . 例13. 关于x 的不等式()1122+<+++x m mx x m 对∈x R 恒成立,求实数m 的取值范围. 解:原不等式可化为:012<-++m mx mx 当0=m 时,01<-,符合题意; 当m 0≠时,则有:()⎩⎨⎧<--=∆<01402m m m m ,解之得:0<m 综上所述,实数m 的取值范围为{}0≤m m .注意:若二次项系数中含有参数,不要忽略对二次项系数的讨论. 重要结论:（1）对于一元二次不等式02>++c bx ax ,它的解集为R 的条件为:⎩⎨⎧<∆>00a ;（2）对于一元二次不等式c bx ax ++2≥0,它的解集为R 的条件为: ⎩⎨⎧≤∆>00a ;（3）对于一元二次不等式02>++c bx ax ,它的解集为∅的条件为:⎩⎨⎧≤∆<00a .习题8. 若关于x 的不等式0222>++x ax 在R 上恒成立,求实数a 的取值范围.习题9. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是【】（A ）[]4,4- （B ）()4,4-（C ）]([)∞+-∞-,44, （D ）()()+∞-∞-,44,习题10. 已知函数()422)(2+-+=x a x x f ,如果对一切∈x R 恒成立,求实数a 的取值范围.第11页例14. 若函数344)(2++-=x mx x x f 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是【】（A ）()+∞∞-, （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛34,0 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,34 （D ⎢⎣⎡⎪⎭⎫34,0 分析:本题仍是与不等式有关的恒成立问题. 函数344)(2++-=x mx x x f 的定义域为R ,即分母0342≠++x mx 恒成立.此时,当0≠m 时,方程0342=++x mx 无实数根或二次函数342++=x mx y 的图象与x 轴无交点.不要忽略对m 的讨论.解:当0=m 时,函数344)(+-=x x x f ,其定义域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,4343, ,不符合题意; 当0≠m 时,则有01216<-=∆m ,解之得:34>m ∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,34. 习题11. 已知函数1)(2++=mx mx x f 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是【】（A ）](4,0 （B ）][1,0 （C ）[)∞+,4 （D ）[]4,0习题12. 已知函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-,则=a _________,=b _________. 习题13. 已知函数13122+++=kx x k kx y 的定义域为R ,则实数k 的值为_________. 习题14. 函数()()6131)(22+-+-=x a x a x f .（1）若)(x f 的定义域为[]1,2-,求实数a 的值;（2）若)(x f 的定义域为R ,求实数a 的取值范围.。

高一数学竞赛知识点大全

高一数学竞赛知识点大全数学是一门重要的学科，对于学生来说，提前熟悉并掌握数学竞赛的知识点是非常重要的。

本文将为大家总结高一数学竞赛的知识点，帮助大家更好地备战竞赛。

一、代数与函数1. 初步的代数运算：四则运算、分配律、合并同类项等基础运算法则。

2. 整式与分式的乘除：整式与分式的乘法展开、整式与分式的除法。

3. 因式分解：公因式提取法、差平方、完全平方等因式分解方法。

4. 分式运算：分式的加减、化简、乘除等常用运算规则。

5. 线性方程与不等式：一元一次方程与不等式的解法、二元一次方程组的解法和应用。

6. 二次方程与不等式：求根公式、韦达定理、二次不等式的解法和应用。

7. 指数与对数：指数的运算法则、对数的运算法则、指数方程与对数方程的解法。

8. 函数的概念与性质：函数的定义、函数的性质、函数的图像与性质。

9. 函数的运算：函数的加减、乘、除等运算法则。

10. 函数的图像与性质：一次函数、二次函数、反比例函数的图像与性质。

11. 幂函数与指数函数：幂函数与指数函数的图像与性质、幂指对函数的运算法则。

二、几何与立体几何1. 二维图形的性质：重心、垂直、平行、三角不等式等性质。

2. 三角形的性质：角平分线定理、中线定理、垂心与垂足等性质。

3. 四边形的性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形等性质。

4. 圆的性质：圆心角定理、弧长、扇形等性质。

5. 直线与圆的位置关系：点到直线、直线到圆的距离、切线等。

6. 空间几何图形的性质：球的表面积和体积、立体几何图形的面积与体积。

三、概率与统计1. 概率的基本概念：随机事件、样本空间、事件概率等。

2. 概率的计算：频率、古典概型、几何概型等概率计算方法。

3. 统计的基本概念：总体、样本、频数等统计学基本概念。

4. 统计图表的制作与分析：条形图、折线图、饼图等常见统计图的制作与分析方法。

四、数列与数表1. 数列的定义与性质：数列的概念、等差数列、等比数列等性质。

2. 数列的运算与运算规律：数列的加减、乘除等运算法则。

高一数学竞赛辅导

高一数学竞赛10.141.已知集合**410x x M x N N ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭且，集合40x N x Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，则（）A. M N =B. N M ⊆C. 20x M N x Z ⎧⎫⋃=∈⎨⎬⎩⎭D. *40x M N x N ⎧⎫⋂=∈⎨⎬⎩⎭2.（2021年全国高中数学联赛）设{}{}{}1,2,3=2,,,2,,A B x y x y A x y C x y x y A x y =+∈=+∈，＜＞，则B C ⋂的所有元素之和为_______________。

3.设集合{}{}222,,12A x xB y y x x =-≤==--≤≤，则A B⋂=_________________.4.设条件():0:14p x m m q x ≤-≤≤＞，，若p 是q 的充分条件，则m 的最大值为_______,若p 是q 的必要条件，则m 的最小值为________。

5.若非空集合A,B,C 满足A B C ⋃=，且B 不是A 的子集，则""x C ∈是""x A ∈的___________________条件。

高一数学竞赛10.14-------基本不等式“1”的巧用1.若正数,a b 满足121a b +=，则2b a+的最小值为_________________。

2.若00x y ＞，＞，且211x y+=，227x y m m ++＞恒成立，则实数m 的取值范围是_________________________。

基本不等式的构造3.已知0a b ＞＞，则412a a b a b+++-的最小值为_______________。

4.设a b ＞＞c ，n N ∈，且218n a b b c a c +≥---恒成立，则n 的最大值是______________。

5.设010,x a b ＜＜，＞＞0，,a b 为常数，则221a b x x +-的最小值是___________________.基本不等式的综合运用6.已知4a b ab =＞0,＞0,，则11a b b a+++的最小值为________________。

年高一数学衔接09一元二次不等式的解法

高一暑假衔接09：一元二次不等式的解法教学案一、主讲知识【知识点讲解1】一元二次不等式1 、一元二次不等式的概念(1)只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为不等式．(2)能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解．(3)不等式所有解的集合称为解集．2、“三个二次”的关系一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表.有两相等实根3、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：(1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；(3)有根求根；(4)根据图象写出不等式的解集．【讲透例题1】一元二次不等式的解法例1、（1）求不等式4x 2－4x ＋1>0的解集．（2）解不等式－x 2＋2x －3>0.【相似题练习1】1、求不等式2x 2－3x －2≥0的解集．2、求不等式－3x 2＋6x >2的解集．3、求解下列一元二次不等式 (1)求不等式2560x x -+>的解集．(2)求不等式29610x x -+>的解集．(3) 求不等式2230x x -+->的解集．4、已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>，则A B 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．6D ．85、已知集合{}2280P x x x =-->，{}Q x x a =≥，若PQ R =，则实数a 的取值范围是______，若P Q Q ⋂=，则实数a 的取值范围是______【知识点讲解2】含参数的二次不等式形如()22120x a x a +--≤，除了主元变量x 以外，还含有其他的变量（参变量）a 的不等式，我们称为含参数的一元二次不等式．规律方法：在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：（1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数a >0，a =0，a <0；（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(∆>0)，一根(∆=0)，无根(∆<0)；在有根的前提下，恰当的使用十字相乘可有效简化运算．（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：121212,,x x x x x x >=<．【讲透例题2】含参数的二次不等式例1、解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.【相似题练习2】1、已知0a <，关于x 的一元二次不等式()2220ax a x -++>的解集为（）A ．{2|x x a<，或}1x > B ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{|1x x <，或2x a ⎫>⎬⎭D ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2、（多选）下列四个不等式中，解集为∅的是（） A ．210x x -++≤B ．22340x x -+<C ．23100x x ++≤D ．2440(0)x x a a a ⎛⎫-+-+>> ⎪⎝⎭3、解关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0.4、解关于x的不等式()() 21100 ax a x a-++>>．5、解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.【讲透例题3】“三个二次”间对应关系的应用例1、已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．【相似题练习3】1、已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值．3、关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a =（）A ．52B ．72C ．154D ．1524、若关于x 的不等式2260tx x t -+<的解集(,)(1,)a -∞+∞，则a 的值为______．【知识点讲解4】一元二次不等式恒成立问题不等式的解集为R (或恒成立)的条件【讲透例题4】一元二次不等式恒成立问题例1、要使函数2(1)y mx mx m =++-的值恒为负值，求m 的取值范围．2、不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不为空集，则a 的取值范围是_______3、“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”的充要条件是（） A ．m >14B ．m <14C ．m <1D ．m >14、对任意实数x ，不等式()()222240a x a x -+--<恒成立，则a 的取值范围是（）． A ．22a -<≤B ．22a -≤≤C ．2a <-或2a ≥D ．2a ≤-或2a ≥5、已知命题“x R ∃∈，210mx x -+<”是假命题，则实数m 的取值范围是_________.6、不等式x 2−kx +1>0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是__________．7、已知关于x 的不等式2260,(0)kx x k k -+<≠（1）若不等式的解集是{}|32x x x <->-或，求k 的值；（2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围；（3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．二、课堂总结三个“二次”的关系b三、课堂练习1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( ) A ．{x |x <－1或x >2} B ．{x |x ≤－1或x ≥2} C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2}2．若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )(x －1t)>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1t 或x <tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1t 或x >tD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t <x <1t3．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2)B ．(－2,2]C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2)4．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是__________．5．若不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________．6．解关于x 的不等式：x 2＋(1－a )x －a <0.7．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231|x x ，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．8．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.。

第一讲集合与一元二次不等式解法

第一讲集合与一元二次不等式解法一、基础知识1、正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集、空集分别用什么符号表示？并用符号“⊆”把它们连接起来：2、五种常用集合的意义及化简方程的解集：如2{|10}x x -== 不等式的解集：如2{|10}x x ->= 函数的定义域：如2{|1}x y x =-= 函数的值域：如2{|1}y y x =-=平面点集：如2{(,)|1}x y y x =-表示的图形是又如{M|MO = 4}(O 是定点) 表示的图形是 3、解一元二次不等式的步骤：（1）求对应的一元二次方程的解——（公式法或因式分解法，你都熟悉吗？）4、集合的运算：子、交、并、补（1）对于两个集合A,B ，如果，则称A 是B则称A=B ；如果，则称A 是B 的真子集，记作；（2）由所有的元素组成的集合，称为A 和B 的并集，AB = ；（3）由所有的元素组成的集合，称为A 和B 的交集，AB = ；（4）对于一个集合A ，由全集U 中的元素组成的集合，称为集合A 相对于全集U 的补集，C U A= ；二、典型例题例1、设全集U 为不大于10的自然数，集合A 为10以内的正奇数，集合B 为10以内的质数，求,,(),*()U U A B A B C A B A C B ;例2、已知集合22{|0},{|9610}A x x x B x x x =+>=--<，求,,*()U A BA B CB A*例3、已知集合2112{|(21)(1)0},{|,[,),0}27A x x a x a aB x x t t t =-+++≤==∈-≠，若A B =Φ,求实数a 的取值范围。

三、过关练习1、写出下列不等式的解集：（1）2230x x --<：（2）2210x x ++>：（3）2780x x -+>：（4）2251010x x ++≤： 2、设{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3}{3,4,5,6}B C ==，，则A B = ；A C = ；()A B C = ；()A B C ；3、已知集合22{|160},{|430}A x x B x x x =-<=-+<，则A B = ，A B = ；4、A={长方形}，B={菱形}，则A B = ；A B = ，5、用适当的符号填空：（∈∉⊆⊇=，，，，） 0 N, 2 {x|x 是素数}， {0,1} 2{|0}x x x -=，Φ 2{|10}x x +> 3 2{|430}x x x ++= 2{|}y y x = N 6、已知集合2{(,)|25},{(,)|4}A x y y x x B x y y x ==-+==，则A B = ；*7、设{|12},{|},{|}A x x B x x a C x x b =≤<=>=< （1）若A B ⊆,则实数a 的取值范围是（2）若A C ⊆,则实数b 的取值范围是 *8、{|33},{|12},A x a x a B x x x =-<<+=<-≥或（1）,A B R =则实数a 的取值范围是 (2) ,AB =Φ则实数a 的取值范围是(3) A B ⊆,则实数a 的取值范围是*9、已知集合22{|320},{|10}A x x x B x x ax =-+==++=，若A B ⊇,求实数a 应满足的条件。

数学知识竞赛知识点总结

数学知识竞赛知识点总结一、代数1. 一元一次方程和一元一次不等式一元一次方程和一元一次不等式是基础的代数知识点，在数学知识竞赛中经常出现。

解一元一次方程和一元一次不等式需要掌握方程式的移项变形、因式分解、等式的性质等基本技巧。

2. 一元二次方程和一元二次不等式一元二次方程和一元二次不等式是代数中的重要内容。

解一元二次方程和一元二次不等式需要掌握配方法、公式法、图像法等多种解法，并且要理解方程有实根的条件和二次不等式的性质。

3. 多项式多项式是代数中的一个基本概念，掌握多项式的加减乘除、多项式的因式分解、多项式的性质和应用都是数学知识竞赛中的考查点。

4. 分式分式的加减乘除、分式方程的解法、分式不等式的解法等都是代数中的重要内容，也是数学知识竞赛的考查重点。

5. 线性方程组线性方程组的解法有高斯消元法、矩阵法、克拉默法则等，理解线性方程组的解的存在唯一性和解的结构是解决线性方程组问题的关键。

6. 不定方程不定方程的解法主要是化归法、代数法、整数解的条件等，掌握不定方程问题的解法能够应对数学知识竞赛中的各种问题。

7. 数列等差数列、等比数列和通项公式等数列的性质和基本问题都是代数中的重要内容，对于数学知识竞赛来说，还要掌握一些不常见的数列问题的解法。

8. 绝对值绝对值问题在数学知识竞赛中常常出现，解绝对值方程和不等式需要区分绝对值的几何意义和符号函数的性质。

二、几何1. 三角形三角形的基本要素包括边长、角度、面积等，掌握三角形的几何性质，特别是角平分线、中位线、高线、中心、外心和内心等点的性质，对于解决数学知识竞赛中的三角形问题非常重要。

2. 圆圆的性质和圆的相关线段的长度、面积等问题是几何中的基础知识点，解决圆的问题需要掌握圆的基本性质、弧长和扇形面积等公式，以及与圆相关的其他几何概念。

3. 直角三角形直角三角形是数学竞赛中常见的一个几何图形，解决直角三角形的问题需要掌握勾股定理、正弦定理、余弦定理等基本原理，并能够灵活运用这些定理解决问题。

高一数学一元二次不等式及其解法2

有事尽管说，这话还真让陈师傅说着了。五一节放假前的最后一天，我急着要已经交验的两个门卫室的工程款。早上八点半，工程负责人却突然来电话说门卫室卫生间的水箱帮忙安上，还有外面的洗脸盆，中午十一点前必须完成，安好了拍个图片发过去，否则财务不付款。挂了电话我赶紧联系陈师傅，让他带上工具，顺便将水箱、洗脸盆买过来，陈师傅二话没说立马答应。我急忙赶到门卫室做准备工作，将插座接好送上电，时不时焦急的看看时间，九点，陈师傅过来，我俩忙从车上搬东西。陈师傅说：“学校那边正在招呼干活，接你电话我就往这边赶，还好买水箱、脸盆顺道。”我松了一口气笑说：“这回真搞了个突然袭击。”“没事，干这点活快。”东西都卸下来，陈师傅一样样检查却发现脸盆的下水软管没拿，他立马开上车，走时对我说：“真是越忙越乱，没事，我转来很快。” 我的心立马又提了起来，可是毫无办法。十点多，陈师傅赶回来，看着我着急的样子笑着说：“没事的，十一点前能干好。”看着他从容不迫地开始忙活，嘴里仍然衔着烟明灭不停，飘散出袅袅蓝雾，烟气中他的双手不停地用卷尺在墙上量着，用记号笔作着标记，然后用电锤在标记好的位置打孔，上膨胀螺丝，我就配合着递些东西，心也慢慢放松下来。脸盆装好后陈师傅说：“你把脸盆先拍照发过去，告诉甲方说水箱正在装。”我按照他的话做，甲方负责人过会儿回信说：“好的，注意细节，安装好。”便没再催问。十一点十分，陈师傅把活顺利的干完，认真的检查了一遍，才开始一件件收拾工具。我非常诚恳地说：“已经中午了，一起吃顿饭吧，今个太谢谢陈师傅了！”他很平静地扔掉手中的烟头说：“客气啥，不用吃饭，我还得回学校一辆电动三轮车，时间长了有些破损，车拦板脱焊严重，后拦板已经掉了，马上粉刷就要用到，我正发愁没人修理。陈师傅过来看见问：“有焊机焊条吗？”我立马说：“有。”他接好焊机，找来一些钢筋头，将车拦板脱焊处锈蚀的部分用锤子细细地敲打干净，然后熟练的对上钢筋头焊接起来。我赶忙问：“要戴遮光镜吗？”“不用，不用，这点儿活，一会儿就完了。普通电动三轮车铁皮薄，不结实，你以后再干活拉材料就买专用运料电动车，耐用。”我连声说：“好的。”然后由衷的赞叹说：“陈师傅真是能干，什么都会！”“长期干活学的呗，自己会方便。什么钱都难挣，带几个弟兄不容易，多会几样活好找些。”车焊好了，我留他吃中午饭，陈师傅客气地拒绝说：“不啦，我离家近，回去快，有事尽管说。”他边说边吸着烟又一陈风似的走了。茗彩娱乐平台

2012年高考试题分类考点27 一元二次不等式及其解法

考点27 一元二次不等式及其解法一、选择题1.（2012·天津高考文科·Ｔ5）设x R ∈，则“12“x> ”，是“22+-10x x >” 的（）(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【解题指南】理解充要条件，求出22+-10x x >的解集是关键.【解析】选A.212x x 10,(2x 1)(x 1)0x 1>2+->∴-+>⇔<- 或x .显然A 正确.2.（2012·陕西高考文科·Ｔ1）与（2012·陕西高考理科·Ｔ1）相同集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =…,则M N = ( )(A)(1,2) (B)[1,2) (C)(1,2] (D)[1,2]【解题指南】对于集合与不等式的综合,描述法表示集合通常是先化简集合,再结合数轴求交集.【解析】选C. ∵lg 0x >,∴1x >.∵24x…,∴22x -剟,∴{|12}M N x x =< …,即(1,2]M N = . 二、填空题3.（2012·江苏高考·Ｔ13）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈的值域为[)0,+∞，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(,6)m m +，则实数c 的值为 .【解题指南】以一元二次不等式的解法为主，兼顾二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等知识.解题关键是不等式解集的端点是对应方程的两根.【解析】由题意240-=a b ，所以()f x c <，可换为【答案】94.（2012·湖南高考文科·Ｔ12）不等式2x -5x+6≤0的解集为______.【解题指南】先求方程x 2-5x+6=0的两根，再取两根之间.【解析】由x 2-5x+6≤0，得(3)(2)0x x --≤，从而得不等式x 2-5x+6≤0的解集为{}23x x ≤≤. 【答案】{}x x 23剟5.（2012·山东高考理科·Ｔ13）若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤，则实数k =__________. 【解题指南】本题可将绝对值不等式两边平方，即可得到一元二次不等式，由解集来求对应的系数.【解析】不等式42kx -≤两边平方可得012822≤+-kx x k 即012822≤+-kx x k 的解集为{}13x x ≤≤，所以012822=+-kx x k 的两根为1,3.由一元二次方程根与系数的关系知解得k=2.【答案】26.（2012·天津高考理科·Ｔ11）已知集合={x R||x+2|<3},B=A ∈∈ 集合3},B={x R|(x-m)(x-2)<0}∈∈，且B={-1A ⋂，（-1，n ），则________________,.m n ==【解题指南】化简集合，求出x的取值范围，根据B={-1（-1，n）求得,m n.A⋂，【解析】由已知可解得={x R|-5<x<1},B={x R|m<x<2}（-1，n），借A∈∈，又B={-1A⋂，助数轴可得-1, 1.==m n【答案】-1 1。