人教A版数学必修四1.3.2《三角函数的图象与性质》word导学案(3)

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《三角函数的图象与性质》高二数学必修四教案

《三角函数的图象与性质》高二数学必修四教案自己整理的《三角函数的图象与性质》高二数学必修四教案相关文档，希望能对大家有所帮助，谢谢阅读！教案[1]教学准备教学目标1、知识和技能(1)了解现实中普遍存在的周期性现象；(2)感受周期现象对实际工作的意义；(3)理解周期函数的概念；(4)能熟练判断简单应用题的循环；(5)周期函数的定义可以简单使用。

2.流程和方法通过创设情境：单摆运动、时钟圆周运动、潮汐、波浪、季节变化等。

学生能感知周期性现象；从数学的角度分析这个现象，就可以得到周期函数的定义。

根据周期性的定义，将其应用于实践。

3.情感态度和价值观通过这一节的学习，学生可以对周期现象有一个初步的认识，感受到数学在生活中无处不在，从而激发学生的学习热情，培养学生学好数学的信心，学会从联系的角度去理解事物。

教学重点和难点Focus :感受到周期现象的存在，会判断是否是周期现象。

难点：周期函数概念理解及简单应用。

教学工具投影仪教学过程[创设情境，揭示话题]学生：我们住在海南岛很开心。

我们可以经常看海，陶冶情操。

众所周知，潮汐现象发生在海水中，潮汐每天昼夜涨落两次。

这个现象就是我们今天要学的周期现象。

再比如，我们发现时钟上的时针、分针、秒针每周都会重复，这也是一种周期性现象。

所以我们这节课要学习的主要内容是周期现象和周期函数。

(板书)[探索新知识]1.我们已经知道潮汐和时钟是周期性的现象。

请观察钱塘江潮汐的图片(投影图)，注意海浪是如何变化的。

可以看出，波浪会以一定的间隔重复出现，这也是一种周期性现象。

请举例说明你生命中循环的存在。

(单摆运动，季节变化等。

)(板书：一、我们生活中的周期性现象)2.那么我们如何从数学的角度研究周期现象呢？教师指导学生独立学习教材P3——P4，思考回答以下问题：(1)如何理解“散点图”？图1-1中横坐标和纵坐标代表什么？如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？你对周期函数定义的理解是什么？以上问题均由学生回答，老师指出并总结：理解周期函数定义有三个条件，即存在不为零的常数t；x必须是域中的任何值；f(x T)=f(x).(板书：ii。

人教A版高中数学必修四人教三角函数的图象与性质教案(3)

三角函数的图象与性质（一）知识要点12sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图像和性质（1）定义域（2）值域（3）周期性（4）奇偶性（5）单调性（二）学习要点 1会求三角函数的定义域 2会求三角函数的值域3会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法。

如x y sin =与x y cos =的周期是π. 4会判断三角函数奇偶性 5会求三角函数单调区间6对sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>函数的要求（1）五点法作简图（2）会写sin y x =变为sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的步骤（3）会求sin()y A x ωϕ=+的解析式（4）知道cos()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+的简单性质 7知道三角函数图像的对称中心，对称轴 8能解决以三角函数为模型的应用问题（三）例题讲解例1求函数3tan(2)4y x π=--的定义域，周期和单调区间。

例2已知函数()2sin(2)4f x x π=-（1）求函数的定义域；（2）求函数的值域；（3）求函数的周期；（4）求函数的最值及相应的x 值集合；（5）求函数的单调区间；（6）若3[0,]4x π∈，求()f x 的取值范围；（7）求函数()f x 的对称轴与对称中心；（8）若()f x ϕ+为奇函数，[0,2)ϕπ∈，求ϕ；若()f x ϕ+为偶函数，[0,2)ϕπ∈，求ϕ。

例3．（1）将函数1sin(2)24y x π=-的图象向______平移_______个单位得到函数1sin 22y x =的图象(只要求写出一个值)(2)要得到1cos(2)24y x π=-的图象,可以把函数sin()cos()66y x x ππ=--的图象向______平移_______个单位(只要求写出一个值). 例 4.设x R ∈,函数21()cos ()2f x x ωϕ=+-(0,)2o πωϕ><<,已知()f x 的最小正周期为π,且1()84f π=. (1)求ω和ϕ的值; (2)求的单调增区间.例5.如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b (1)求这段时间的最大温差(2)写出这段曲线的函数解析式（四）练习题一、选择题1.将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移6π个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是 A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=- 2.设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值 3.函数y =1+cos x 的图象（A ）关于x 轴对称（B ）关于y 轴对称（C ）关于原点对称（D ）关于直线x =2π对称 4.已知函数f (x )=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,4π]上的最小值是－2，则ϖ的最小值等于 A.32 B.23C.2D.35.设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，则)(x f 的最小正周期是 A ．2π B . π C.2π D . 4π 6.已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝( )（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±17为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）8.已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是(A)[]1,1- (B) 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C)1,2⎡-⎢⎣⎦(D)1,2⎡--⎢⎣⎦9.函数1|sin(3)|2y x =+的最小正周期是（）Ａ．π2Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π10.函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间为 A ．,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．()(),1,k k k Z ππ+∈C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭11.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（A ）sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（B ）sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（C ）cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（D ）cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭12.已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 13设ππ22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，，那么“αβ<”是“tan tan αβ<”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件14.函数y=21sin2+4sin 2x,x R ∈的值域是 (A)［-21,23］ (B)［-23,21］ (C)［2122,2122++-］ (D)［2122,2122---］二、填空题 15.sin()4y x π=-+在[0,2]x π∈的增区间是16.2cos 0()x x R ≥∈的x 的集合是17.8sin()48x y π=-的振幅,初相,相位分别是 18.tan 1x ≤,且x 是直线的倾斜角,则x ∈19.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值是＿＿＿＿。

新人教A版高中数学(必修4)1.4《三角函数的图象与性质》教案2课时

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象教学目的：1、用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图；3、正弦函数图象与余弦函数图象的变换关系。

教学重点、难点重点：会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像难点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象教学过程：一、复习引入：正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有 MP r y ==αsin ，OM r x ==αcos向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．二、讲授新课：1、正弦函数图象的几何作法采用弧度制， x 、y 均为实数，步骤如下：（1）在 x 轴上任取一点 O 1 ，以 O l 为圆心作单位圆；（2）从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份；（3）过圆上各点作x 轴的垂线，可得对应于0、6π、3π、、2π的正弦线；（4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这0～2π这段分成 12 等份；（5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合；（6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。

2、五点法作图描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，y sin x,x [0,2]=∈π的图象上有五点起决定作用，它们是描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了。

因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22πππ-π接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。

注意：（1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确。

（2）几何法作图较为精确，但画图时较繁。

（3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好。

（4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在 x 轴、 y 轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。

人教A版高中数学必修4《一章三角函数 1.4 三角函数的图像与性质探究与发现》优质课教案_18

1.4.2正弦、余弦函数的性质学习目的：1、要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；2、掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。

学习重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；学习难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用授课类型：新授课学习模式：启发、诱导发现学习．教具：多媒体、实物投影仪学习过程：一、讲解新课：1．奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。

例如： f(-3π)=21,f(3π)=21 ,即f(-3π)=f(3π)；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x)．以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。

定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

例如：函数f(x)=x 2+1, f(x)=x 4-2等都是偶函数。

(2)正弦函数的图形观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。

也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。

定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有 f(－x)=－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。

例如：函数y=x, y=x1 都是奇函数。

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。

注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。

人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.4 三角函数的图象与性质导学案

1．4三角函数的图象与性质1．4．1 正弦函数、余弦函数的图象学习目标1、会用“五点法”和“几何法”画正弦函数、余弦函数的图，体会“几何法”作正弦函数图象的过程，提高动手能力；2、通过函数图象的应用，体会数形结合在解题中的应用；3、三角函数图象和图象的应用；自主梳理1．正弦函数（或余弦函数）的概念任意给定一个实数x ，有唯一确定的值x sin （或x cos ）与之对应，由这个对应法则所确定的函数x y sin =（或x y cos =）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域为。

2．正弦曲线或余弦曲线正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做和。

3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：（1）正弦函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象中，五个关键点是：，，，。

（2）余弦函数[]π2,0,cos ∈=x x y 的图象中，五个关键点是：，，，。

预习检测1、函数)3sin(π+=x y 的定义域为____________________；值域为____________________；2、函数)3cos(2π-=x y 的定义域为__________________；值域为____________________；互动课堂问题探究1：【例】作出函数x y cos 31-1=在]2,2[ππ-上的图像；【变式】)23sin(π+=x y ；问题探究2：【例】已知]23,2[ππ-∈x ，解不等式23sin -≥x ；【变式】已知R x ∈，解不等式23sin -≥x ；问题探究3：【例】求下列函数的值域：（1）x x y sin |sin |+= （2）]6,6[),32sin(2πππ-∈+=x x y（3）1cos 2cos --=x x y【变式】求函数],3[,1sin 4sin 32ππ∈+-=x x x y 的值域；问题探究4：【例】（1）讨论方程x x sin lg =解的个数；（2）若函数]2,0[|,sin |2sin )(π∈+=x x x x f 与直线k y =有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围；【变式】当k 为何值时，方程k x x =+|sin |2sin 有一解、三解、四解？课堂练习1、在同一坐标系内的函数x y sin =与x y cos =的图象的交点坐标是（） A ． Z k k ∈),0,(π B Z k k ∈+),1,22(ππC Z k k k∈-+),)1(,2(ππ D Z k k k∈-+),2)1(,4(ππ2、下面有四个判断：① 作正、余弦函数的图象时，单位圆的半径长与x 轴上的单位长可以不一致； ② []π2,0,sin ∈=x x y 的图象关于)0,(πP 成中心对称； ③ []π2,0,cos ∈=x x y 的图象关于直线π=x 成轴对称； ④ 正、余弦函数的图象不超过两直线1,1-==y y 所夹的范围。

人教A版高中数学必修四三角函数的图象和性质教案新(2)

基本初等函数Ⅱ（三角函数）【专题要点】任意角的概念和弧度制、任意角的三角函数的定义（重点是任意角的正弦、余弦和正切的定义）、周期函数的概念、三角函数（正弦函数、余弦函数和正切函数）的图象与性质、函数sin()y A wx φ=+的图象和性质、同角三角函数的基本关系式和诱导公式【考纲要求】（1）任意角的概念、弧度制①了解任意角的概念，②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的转化（2）三角函数①理解任意角的三角函数的定义； ②能利用单位圆中的三角函数线推导出,2ππ±∂±∂的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出正、余弦函数、正切函数的图象，了解三角函数的周期性； ③理解正、余弦函数在]0，2π]，正切函数在（-2π，2π）的性质，如单调性、最大值与最小值、周期性，图象与x 轴的交点； ④理解同角三角函数的基本关系式；⑤了解sin()y A x ωϕ=+的物理意义，能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数A 、ω、ϕ对函数图象变化的影响；⑥了解三角函数是描述周期性变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的问题。

【知识纵横】【教法指引】高考对三角函数的考查内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，注重创新。

因此，我们在复习中应首先立足课本，打好基础，从数形两方面理解三角函数的定义，在牢固图象的基础上，把握三角函数的性质，通过认识整个体系的推导和形成过程，掌握公式的本质和规律，领会其中的数学思想，形成清晰的知识结构，明确各部分的基本知识，基本题型，基本方法和规律，强化易混、易漏、易错点的反思和感悟和针对性训练；其次，在学习过程中不断总结、反思提炼解题规律，学会观察差异，寻找联系，分析综合，合理转化，会从三角函数的名称、角和运算三个方面寻求解题思路；另外，注意重点问题的变式、拓展和延伸，突出复习的针对性和有效性，在解题时，注意在条件和结论中建立联系，讲求算理，就能立足基础、发展能力、决胜高考【典例精析】例1.若角α的终边落在直线0=+y x 上，求ααcos sin +的值解析：【解法一】分类讨论①角α的终边在第二象限 22cos ,22sin -==αα 则0cos sin =+αα； ②角α的终边在第二象限 22cos ,22sin =-=αα 则0cos sin =+αα. 【解法二】也可以按照课本上三角函数的定义，求出终边与单位圆的交点。

高中数学必修四教案：1.4三角函数的图象与性质(3)

格一课堂教学方案22章节：课时： 2 备课人：二次备课人：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

人教版高中数学高一A版必修4 第一章第四节三角函数的图象与性质(第三课时)

第一章第四节三角函数的图象与性质第三课时导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究．思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sin x，y＝cos x是函数，我们当然也要探讨它们的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．推进新课新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线，观察它们的形状及在坐标系中的位置；②观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？③观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么？由值域又能得到什么？④观察正弦曲线和余弦曲线，函数值的变化有什么特点？⑤观察正弦曲线和余弦曲线，它们都有哪些对称？(1)(2)图2活动：先让学生充分思考、讨论后再回答．对回答正确的学生，教师可鼓励他们按自己的思路继续探究，对找不到思路的学生，教师可参与到他们中去，并适时的给予点拨、指导．在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须熟练掌握的基本功．因此，在研究正弦、余弦函数性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．对问题①，学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋势．对问题②，学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R〔或(－∞，＋∞)〕．对问题③，学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明．∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，∴|sin x |≤1，|cos x |≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1.也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．对于正弦函数y ＝sin x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. (2)当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 对于余弦函数y ＝cos x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.(2)当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对问题④，教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？如图3，通过学生充分讨论后确定，选图象上的[－π2，3π2](如图4)这段．教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理，其他类似．图3图4就是说，函数y ＝sin x ，x ∈[－π2，3π2]．当x ∈[－π2，π2]时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1；当x ∈[π2，3π2]时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 类似地，同样可得y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调变化情况．教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图5，为什么选[－π，π]，而不是选[0,2π]．图5结合正弦函数、余弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.对问题⑤，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．在R 上，y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？由诱导公式：∵sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，∴y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x ＝π2对称，余弦曲线还关于点(π2，0)对称等等，这是由它的周期性而来的．教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习埋下伏笔．讨论结果：①略．②定义域为R .③值域为[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1.④单调性(略)．⑤奇偶性(略)．当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同，都为R ，值域也相同，都是[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y 轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是2π；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴．但是由于y 轴的位置不同，对称中心及对称轴与x 轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y 轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变．应用示例思路1例1下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ；(2)y ＝－3sin2x ，x ∈R .活动：通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质．容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．课堂上可放手让学生自己去探究，教师适时的指导、点拨、纠错，并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个．解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合{x |x ＝2k π，k ∈Z }；使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最小值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合{x |x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }．函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2，最小值是－1＋1＝0.(2)令z ＝2x ，使函数y ＝－3sin z ，z ∈R 取得最大值的z 的集合是{z |z ＝－π2＋2k π，k ∈Z }，由2x ＝z ＝－π2＋2k π，得x ＝－π4＋k π. 因此使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是{x |x ＝－π4＋k π，k ∈Z }．同理，使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合是{x |x ＝π4＋k π，k ∈Z }．函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 的最大值是3，最小值是－3.点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但对应的自变量x 的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质，对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的函数，一般通过变量代换(如设z ＝ωx ＋φ化归为y ＝A sin z ＋B 的形式)，然后进行求解．这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用．例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin(－π18)与sin(－π10)；(2)cos(－23π5)与cos(－17π4)．活动：学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移，有利于学生能力的快速提高．本例的两组都是正弦或余弦，只需将角化为同一个单调区间内，然后根据单调性比较大小即可．课堂上教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生给予帮助指导．解：(1)因为－π2<－π10<－π18<0，正弦函数y ＝sin x 在区间[－π2，0]上是增函数，所以sin(－π18)>sin(－π10)． (2)cos(－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos(－17π4)＝cos 17π4＝cos π4. 因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减函数，所以cos π4>cos 3π5，即cos(－23π5)<cos(－17π4)．点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，cos π4>0，cos 3π5<0，显然大小立判．例3求函数y ＝sin(12x ＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间．活动：可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间．教师要引导学生的思考方向：把12x ＋π3看成z ，这样问题就转化为求y ＝sin z 的单调区间问题，而这就简单多了．解：令z ＝12x ＋π3.函数y ＝sin z 的单调递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π]．由－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π3＋4k π≤x ≤π3＋4k π，k ∈Z .由x ∈[－2π，2π]可知，－2π≤－5π3＋4k π且π3＋4k π≤2π，于是－112≤k ≤512，由于k ∈Z ，所以k ＝0，即－5π3≤x ≤π3.而[－5π3，π3]⊂[－2π，2π]，因此，函数y ＝sin(x 2＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－5π3，π3]．点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x 的不等式问题．然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化．思路2例1求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋sin x；(2)y ＝cos x . 活动：学生思考操作，教师提醒学生充分利用函数图象，根据实际情况进行适当的指导点拨，纠正出现的一些错误或书写不规范等．解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1，即x ≠3π2＋2k π(k ∈Z )． ∴原函数的定义域为{x |x ≠3π2＋2k π，k ∈Z }． (2)由cos x ≥0，得－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )． ∴原函数的定义域为[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )．点评：本例实际上是解三角不等式，可根据正弦曲线、余弦曲线直接写出结果．本例分作两步，第一步转化，第二步利用三角函数曲线写出解集．例2在下列区间中，函数y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间是( ) A ．[π2，π] B ．[0，π4] C ．[－π，0] D ．[π4，π2] 活动：函数y ＝sin(x ＋π4)是一个复合函数，即y ＝sin[φ(x )]，φ(x )＝x ＋π4，欲求y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间，因φ(x )＝x ＋π4在实数集上恒递增，故应求使y 随φ(x )递增而递增的区间．也可从转化与化归思想的角度考虑，即把x ＋π4看成一个整体，其道理是一样的．解析：∵φ(x )＝x ＋π4在实数集上恒递增，又y ＝sin x 在[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上是递增的，故令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2. ∴2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4. ∴y ＝sin(x ＋π4)的递增区间是[2k π－3π4，2k π＋π4]．取k ＝－1、0、1分别得[－11π4，7π4]、[－3π4，π4]、[5π4，9π4]，故选B.答案：B点评：像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，若本题运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法．当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出．解题规律：求复合函数单调区间的一般思路是：(1)求定义域；(2)确定复合过程，y ＝f (t )，t ＝φ(x )；(3)根据函数f (t )的单调性确定φ(x )的单调性；(4)写出满足φ(x )的单调性的含有x 的式子，并求出x 的范围；(5)得到x 的范围，与其定义域求交集，即是原函数的单调区间．知能训练课本本节练习解答：1．(1)(2k π，(2k ＋1)π)，k ∈Z ；(2)((2k －1)π，2k π)，k ∈Z ；(3)(－π2＋2k π，π2＋2k π)，k ∈Z ；(4)(π2＋2k π，3π2＋2k π)，k ∈Z . 点评：只需根据正弦曲线、余弦曲线写出结果，不要求解三角不等式，要注意结果的规范及体会数形结合思想方法的灵活运用．2．(1)不成立．因为余弦函数的最大值是1，而cos x ＝32>1. (2)成立．因为sin 2x ＝0.5，即sin x ＝±22，而正弦函数的值域是[－1,1]，±22∈[－1,1]．点评：比较是学习的关键，反例能加深概念的深刻理解．通过本题准确理解正弦、余弦函数的最大值、最小值性质．3．(1)当x ∈{x |x ＝π2＋2k π，k ∈Z }时，函数取得最大值2；当x ∈{x |x ＝－π2＋2k π，k ∈Z }时，函数取得最小值－2.(2)当x ∈{x |x ＝6k π＋3π，k ∈Z }时，函数取得最大值3；当x ∈{x |x ＝6k π，k ∈Z }时，函数取得最小值1.点评：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，结合本节例题巩固正弦、余弦函数的性质，快速写出所给函数的最大值、最小值．4．B点评：利用数形结合思想认识函数的单调性．这是一道选择题，要求快速准确地选出正确答案．数形结合是实现这一目标的最佳方法．5．(1)sin250°>sin260°；(2)cos 15π8>cos 14π9；(3)cos515°>cos530°；(4)sin(－54π7)>sin(－63π8)．点评：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．6．[k π＋π8，k π＋5π8]，k ∈Z . 点评：关键是利用转化与化归的思想将问题转化为正弦函数的单调性问题，得到关于x 的不等式，通过解不等式求得答案．课堂小结1．由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识，学习了哪些数学思想方法．这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质．重点是掌握正弦函数的性质，通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了上节课所学的正弦函数，余弦函数的图象的画法．2．进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点．作业判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x sin(π＋x )；(2)f (x )＝－1＋sin x ＋cos 2x 1－sin x. 解答：(1)函数的定义域为R ，它关于原点对称．∵f (x )＝x sin(π＋x )＝－x sin x ，f (－x )＝－(－x )sin(－x )＝－x sin x ＝f (x )，∴函数为偶函数．(2)函数应满足1－sin x ≠0，∴函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠2k π＋π2，k ∈Z }． ∵函数的定义域关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．设计感想1．本节是三角函数的重点内容，设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动．作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数．但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．2．在讲完正弦函数性质的基础上，应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识，并在解题中突出数形结合思想，在训练中降低变化技巧的难度，提高应用图象与性质解题的力度．较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想方法．3．学习三角函数性质后，引导学生对过去所学的知识重新认识，例如sin(α＋2π)＝sin α这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到了，它表明正弦函数的周期性，以提升学生的思维层次．备课资料一、近几年三角函数知识的变动情况三角函数一直是高中固定的传统内容，但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998年4月21日，国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容，其中的调整意见第(7)条为：“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式，不要求记忆”.1998年全国高考数学卷中，已尽可能减少了这8个公式的出现次数，在仅有的一次应用中，还将公式印在试卷上，以供查阅．而当时调整意见尚未生效(应在1999年生效)，这不能不说对和积互化的8个公式的要求是大大降低了．但是，如果认为这次调整的仅仅是8个公式，仅仅是降低了对8公式的要求，那就太表面、太肤浅了．我们知道，三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一，相当部分的三角题都是围绕它们而设计的，它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力．现在要求降低了，有关的题目已不再适合作为例(习)题选用了．这样一来，三角部分还要我们教些什么呢？又该怎样教？立刻成了部分教师心头的一大困惑．有鉴于此，我们认为很有必要重新审视这部分的知识体系，理清新的教学思路，以便真正落实这次调整的意见，实现“三个有利于(有利于减轻学生过重的课业负担，有利于深化普通高中的课程改革，有利于稳定普通高中的教育教学秩序)”的既定目标．1．是“三角”还是“函数”应当说，三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的．三角本是几何学的衍生物，起始于古希腊的希帕克，经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科，历史上的很长一段时期，只有《三角学》盛行于世，却无“三角函数”之名．“三角函数”概念的出现，自然是在有了函数概念之后，从时间上看距今不过300余年．但是，此概念一经引入，立刻极大地改变了三角学的面貌，特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作，致使三角函数可以完全独立于三角形之外，而成为分析学的一个分支，其中的角也不限于正角，而是任意实数了．有的学者甚至认为可将它更名为角函数，这是有见地的，所以，作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在．现行中学教材也取消了原来的《代数》《三角》《几何》的格局，将三角并入了代数内容．这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重．从《代数学》的历史演变来看，在相当长的历史时期内，“式与方程”一直是它的核心内容，那时的教材都是围绕着它们展开的，所以，书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍，所在皆是．这是由当时的数学认知水平决定的．而现在，函数已取代了式与方程成为代数的核心内容，比起运算技巧和变形套路来，人们更关注函数思想的认识价值和应用价值.1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时，首要强调的是“形式演算能力”，1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”．现行高中《代数》课本中，充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质及应用，对这三种代数式的变形却轻描淡写．所以，三角函数部分应重在“函数的图象和性质”是无疑的，这也是国际上普遍认可的观点．2．是“图象”还是“变换”现行高中三角函数部分，单列了一章专讲三角函数，这是与数学发展的潮流相一致的．大多数师生头脑中反映出来的，还是“众多的公式，纷繁的变换”，而三角函数的“图象和性质”倒是在其次的，这一点，与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差．调整以后，降低这部分的要求，大面积地减少了题量．把“函数”作为关键词，将目光放在“图象和性质”上，应当是正确的选择，负担轻了，障碍小了，这更方便于我们将注意力转移到对函数图象和性质的关注上，这才是“三个有利于”得以贯彻的根本．3．国外的观点及启示下面来看一下美国和德国的观点：美国没有全国统一的教材和《考试说明》，只有一个《课程标准》，在《课程标准》中，他们对三角函数提出了下面的要求：“会用三角学的知识解三角形；会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象；掌握三角函数图象；会解三角函数方程；会证基本的和简单的三角恒等式；懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系”．他们还特别指出，不要在推导三角恒等式上花费过多的时间，只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了，比较复杂的恒等式就应该完全避免了．德国在10到12年级(相当于中国的高一到高三)每年都有三角内容，10年级要求如下：(1)一个角的弧度；(2)三角函数sin x 、cos x 、tan x 和它们的图象周期性；(3)三角形中角和边的计算；(4)重要关系(特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系)．另外，在11年级和12年级的“无穷小分析”中，继续研究三角函数的图象变换、求导、求积分、求极限．从以上罗列，我们可以看出下面的共同点：第一，突出强调三角函数的图象和性质；第二，淡化三角式的变形，仅涉及同角变换，而且要求较低，8个公式根本不予介绍；第三，明确变换的目的是为了三角形中的实际计算；第四，注意三角函数和其他知识的联系．这带给我们的启示还是很强烈的，美国和德国的中学教育以实用为主，并不太在乎教材体系是否严谨，知识系统是否完整；我国的教材虽作调整，怎样实施且不去细说，有一个意图是可猜到的，那就是要让学生知道教材是严谨与完整的．现在看来严谨的东西，在更高的观点下是否还严谨？在圈内看是完整的，跳出圈子看，是否还完整？在一个小地方钻得太深，在另外更大的地方就可能无暇顾及．人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分，我们却热衷于在个别地方穷追不舍，这早已引起行家的注意，从这个意义上说，此次调整应当只是第一步．在中学阶段即试图严谨与完整，其实是受前苏联教育家赞可夫的三高(高速度、高难度、高理论)影响太深的缘故．二、备用习题1．函数y ＝sin(π3－2x )的单调减区间是( ) A ．[2k π－π12，2k π＋5π12](k ∈Z ) B ．[4k π－5π3，4k π＋11π3](k ∈Z ) C ．[k π－5π12，k π＋11π12](k ∈Z ) D ．[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z ) 答案：D2．满足sin(x －π4)≥12的x 的集合是( ) A ．{x |2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z } B ．{x |2k π－π12≤x ≤2k π＋7π12，k ∈Z } C ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z } D ．{x |2k π≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z }∪{x |2k π＋5π6≤x ≤(2k ＋1)π，k ∈Z } 答案：A3．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝lgsin x ；(2)y ＝2cos3x .答案：解：(1)由题意得sin x >0，∴2k π<x <(2k ＋1)π，k ∈Z .又∵0<sin x ≤1，∴lgsin x ≤0.故函数的定义域为[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z ，值域为(－∞，0]．(2)由题意得cos3x ≥0，∴2k π－π2≤3x ≤2k π＋π2，k ∈Z . ∴2k π3－π6≤x ≤2k π3＋π6，k ∈Z . 又∵0≤cos x ≤1，∴0≤2cos3x ≤2.故函数的定义域为[2k π3－π6，2k π3＋π6]，k ∈Z ，值域为[0,2]．。

高中数学人教A版必修4第一章《1.4 三角函数的图像与性质(通用)》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

高中数学人教A版必修4第一章《1.4 三角函数的图像与性质（通用）》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案1教学目标
1.了解周期函数的概念,会判断一些简单的、常见的函数的周期性,并会求一些简单三角函数的周期。

2.了解周期现象在现实中广泛存在;感受周期现象对实际工作的意义;
3.培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力。

2学情分析
1. 培养数学来源于生活的思维方式,体会从感性到理性的思维过程,理解未知转化为已知的数学方法。

2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物。

3重点难点
重点:周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性难点:周期函数的概念的理解4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】引入
1. 每年都有春、夏、秋、冬,每星期都是从星期一到星期日,地球每天都绕着太阳自转,海水会发生潮汐现象,大约在每一昼夜的时间里,潮水会涨落两次,公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返……,这一些都给我们循环、重复的感觉,可以用“周而复始”来描述,这就叫周期现象。

【问题】:(1)今天是星期二,则过了七天是星期几?过了十四天呢?…… (2)物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢?
2【讲授】课堂实录
2.通过前面三角函数线的学习,我们知道每当角增加或减少时,所得角的终边与原来角的终边相同,因而两角的正弦函数值也相同,正弦函数的这种性质叫周期性.不但正弦函数具有这。

人教A版高中数学必修四人教三角函数的图象与性质教案(1)

三角函数的图象与性质一．课标要求：1．能画出y=sin x, y=c os x, y=t a n x的图像，了解三角函数的周期性；2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；3．结合具体实例，了解y=A sin（w x+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=A sin（w x+φ）的图像，观察参数A，w，φ对函数图像变化的影响。

二．命题走向近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。

在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。

预测07年高考对本讲内容的考察为：1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=A sin（w x+φ）的图象及其变换；三．要点精讲1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.4 三角函数的图象与性质导学案(3)

2019-2020年高考数学三角函数的图像与性质导学案新人教版一、课标、考纲解读1、能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象，2、了解三角函数的周期性.3、借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；4、命题走向近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。

在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.5、学习重点、难点三角函数的性质，特别是单调性和周期性以及最值是重中之重。

二、基础知识梳理1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像（请自己在对应图像后面画出任意一个周期的图象）小结：用“五点法”作正弦、余弦函数的图象．“五点法”作图实质上是选取函数的一个，将其四等分，分别找到图象的点，点及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状．、三角函数的性质函数y＝sinx y＝cosx y＝tanx定义域值域奇偶性对称性有界性周期性单调性最大(小)值⑴若相邻两条对称轴为x＝a和x＝b，则T＝．⑵若相邻两对称点(a，0)和(b，0) ，则T＝．⑶若有一个对称点(a，0)和它相邻的一条对称轴x＝b，则T＝．那么该结论可以推广到其它函数吗？三、典例精析例2. 已知函数f (x)＝(sinx －cosx)⑴ 求它的定义域和值域； ⑵ 求它的单调区间； ⑶ 判断它的奇偶性；⑷ 判定它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．考点一、三角函数的定义域问题 1．与三角函数有关的函数的定义域(1)与三角函数有关的函数的定义域仍然是使函数解析式有意义的自变量的取值范围．(2)求此类函数的定义域最终归结为用三角函数线或三角函数的图象解三角不等式．变式训练：求函数y ＝－2cos 2x ＋3cos x －1＋lg(36－x 2)的定义域：【分析】本题求函数的定义域．(1)需注意对数的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解．(2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零，然后利用函数的图象或三角函数线求解．【解析】 (1)函数定义域即下面不等式组的解集： ⎩⎨⎧－2cos 2x ＋3cos x －1≥036－x 2＞0解得：－6＜x ≤－53π或－π3≤x ≤π3或5π3≤x ＜6；所以函数定义域为(－6，－53π]∪[－π3，π3]∪[5π3，6小结：1、用三角函数线解sin x ＞a (cos x ＞a )的方法(1)找出使sin x ＝a (cos x ＝a )的两个x 值的终边所在位置． (2)根据变化趋势，确定不等式的解集．2、用三角函数的图象解sin x ＞a (cos x ＞a ，tan x ＞a )的方法． (1)作直线y ＝a ，在三角函数的图象上找出一个周期内(不一定是[0,2π])在直线y ＝a 上方的图象．(2)确定sin x ＝a (cos x ＝a ，tan x ＝a )的x 值，写出解集．考点二、三角函数单调区间的求法1．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间(－π2，π2)内的单调性．2．准确记忆三角函数的单调区间是求复合三角函数单调区间的基础．变式训练：已知函数f (x )＝sin2x ＋2sin x cos x ＋3cos2x ，x ∈R .求：(1)函数f (x )的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (2)函数f (x )的单调增区间．【解析】 (1)法一 ∵f (x )＝1－cos 2x 2＋sin 2x ＋3(1＋cos 2x )2＝2＋sin 2x ＋cos 2x ＝2＋2sin(2x ＋π4)．∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2＋ 2.因此，f (x )取得最大值的自变量x 的集合是{x |x ＝k π＋π8，k ∈Z }．法二 ∵f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )＋sin 2x ＋2cos 2x＝1＋sin 2x ＋1＋cos 2x ＝2＋2sin(2x ＋π4)．∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2＋ 2.因此，f (x )取得最大值的自变量x 的集合是{x |x ＝k π＋π8，k ∈Z }．(2)f (x )＝2＋2sin(2x ＋π4)．由题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．因此，f (x )的单调增区间是{x |k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )}小结：1、形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx ＋φ看作一个整体，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的减区间．2、形如y ＝A sin(－ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数，可先利用诱导公式把x的系数变为正数，得到y ＝－A sin(ωx －φ)，由－π2＋2k π≤ωx －φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的减区间，由π2＋2k π≤ωx －φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的增区间．2019-2020年高考数学三角函数的性质导学案新人教版一、课标、考纲解读1、三角函数的值域与最值以及性质的综合应用2、重点：三角函数的最值以及性质的综合应用二、典例精析：考点三、三角函数的值域与最值例3 求下列函数的值域：（要注意总结方法）(1)y ＝2cos 2x ＋2cos x ； (2)y ＝3cos x －3sin x ； (3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x .【解析】 (1)y ＝2cos 2x ＋2cos x ＝2(cos x ＋12)2－12. 当且仅当cos x ＝1时得y max ＝4，当且仅当cos x ＝－12时得y min ＝－12，故函数值域为[－12，4]．(2)y ＝3cos x －3sin x ＝23(32cos x －12sin x )＝23cos(x ＋π6)．∵|cos(x ＋π6)|≤1，∴该函数值域为[－23，23]． (3)y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x ＝(sin x ＋cos x )2－12＋2sin(x ＋π4)＝sin 2(x ＋π4)＋2sin(x ＋π4)－12＝[sin(x ＋π4)＋22]2－1，所以当sin(x ＋π4)＝1时，y 取最大值1＋2－12＝12＋ 2.当sin(x ＋π4)＝－22时，y 取最小值－1，∴该函数值域为[－1，12＋2]．求三角函数的值域(或最值)的常见题型及解法为：(1)y ＝a sin x ＋b cos x 型可引用辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中tan φ＝ba )．(2)y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型可通过降次整理化为y ＝A sin 2x ＋B cos 2x . (3)y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 型可换元转化为二次函数． (4)sin x cos x 与sin x ±cos x 同时存在型可换元转化．(5)y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫或y ＝a cos x ＋b c cos x ＋d 型，可用分离常数法或由|sin x |≤1来解决． (6)y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d型，可用斜率公式来解决．变式训练：已知函数f (x )＝2a sin(2x －π3)＋b 的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．考点四、三角函数性质的综合问题已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(3，－1)，m·n ＝1，且A 为锐角． (1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R )的值域．小结：1.从内容上看，主要有三种类型： ①自身综合，即将三角公式、图象和性质结合在一起．②三角函数与其他函数，如二次函数、指数函数等结合在一起．③与实际问题结合在一起，综合向量、几何等知识解决实际问题． 2．从题型上看，一般为解答题，难度为中档 3．从能力要求上看，要求学生具备一定的知识迁移能力与解决综合问题的能力．三、当堂检测1．(xx·高考天津卷)设函数f (x )＝sin(2x －π2)，x ∈R ，则f (x )是 ( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数【解析】 f (x )＝sin(2x －π2)＝－cos2x .∴f (x )是最小正周期为π的偶函数，故选B.2．下列函数，在[π2，π]上是增函数的是 ( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin 2x D ．y ＝cos 2x 【答案】 D3．(xx·福建省厦门外国语学校第三次月考)下列命题正确的是()A．y＝sin(2x＋π3)在区间(－π3，π6)内单调递增B．y＝cos4x－sin4x的最小正周期为2πC．y＝cos(x＋π3)的图象是关于点(π6，0)对称D．y＝tan(x＋π3)的图象是关于直线x＝π6对称【解析】可验证y＝sin(2x＋π3)在区间(－π3，π6)内不单调；y＝cos4x－sin4x的最小正周期为π；y＝tan(x＋π3)的图象不关于任何直线对称；经验证C对．4．比较大小，sin(－π18)________sin(－π10)．【解析】因为y＝sin x在[－π2，0]上为增函数且－π18＞－π10，故sin(－π18)＞sin(－π10)．5．函数y＝3－2cos(x－π4)的最大值为________，此时x＝________.【解析】当x－π4＝2kπ＋π(k∈Z)，即x＝2kπ＋5π4(k∈Z)时，y的最大值5.。

人教版数学必修四：1.3.2三角函数的图象与性质(三)(教师版)

课题：§1.3.2三角函数的图象与性质（三）总第____课时班级_______________姓名_______________【学习目标】1．能借助正切线画出正切函数的图象；2．借助图象理解正切函数的性质；3．利用正切函数的性质解题．【重点难点】学习重点：正切函数的图像和性质；学习难点：正切函数的单调性.【学习过程】一、问题情境问题1 如何由用正弦线和余弦线得到正弦、余弦函数图象？利用正余弦函数图象得到它们有哪些性质？问题2 如何在单位圆中画出正切线？如何利用正切线研究正切函数的图象？二、学生活动问题3 正切函数是周期函数吗？问题4 正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？问题5 当角无限接近2π 时，正切值如何变化？当角无限接近2π 时，正切值又如何变化？直线的作用是什么？问题6 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？三、建构数学22调性、对称性），注意平行直线2ππx k =+（k ∈Z ）与图象的关系．观察函数x y tan =的图象得到其性质：（1）定义域：__________________________；（2）值域：____________________________；（3）周期性：__________________________；（4）奇偶性：__________________________；（5）单调性：__________________________；（6）对称中心为：______________________.四、例题例1 求函数)42tan(π-=x y 的定义域和单调增区间.例2 比较下列各题中两个三角函数的值的大小.O(1)tan()5π-与3tan()7π- (2) 7tan 8π与tan 16π例3 求函数3tan 3+=x y 的定义域.五、巩固练习1.观察正切函数的图象，分别写出满足下列条件的x 的集合：（1）0tan =x ；（2）0tan <x .2.函数)33tan(π+=x y 的定义域为___________________.3.不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：（1）0tan138与0tan143；（2）13tan()4π-与17tan()5π-．六、回顾反思：七、作业批改情况记录及分析。

人教版高二数学必修四《三角函数的图象与性质》教案

教案【一】教學準備教學目標1、知識與技能(1)瞭解週期現象在現實中廣泛存在;(2)感受週期現象對實際工作的意義;(3)理解週期函數的概念;(4)能熟練地判斷簡單的實際問題的週期;(5)能利用週期函數定義進行簡單運用。

2、過程與方法通過創設情境：單擺運動、時鐘的圓周運動、潮汐、波浪、四季變化等，讓學生感知週期現象;從數學的角度分析這種現象，就可以得到週期函數的定義;根據週期性的定義，再在實踐中加以應用。

3、情感態度與價值觀通過本節的學習，使同學們對週期現象有一個初步的認識，感受生活中處處有數學，從而激發學生的學習積極性，培養學生學好數學的信心，學會運用聯繫的觀點認識事物。

教學重難點重點:感受週期現象的存在，會判斷是否為週期現象。

難點:週期函數概念的理解，以及簡單的應用。

教學工具投影儀教學過程【創設情境，揭示課題】同學們：我們生活在海南島非常幸福，可以經常看到大海，陶冶我們的情操。

眾所周知，海水會發生潮汐現象，大約在每一晝夜的時間裏，潮水會漲落兩次，這種現象就是我們今天要學到的週期現象。

再比如，[取出一個鐘錶,實際操作]我們發現鐘錶上的時針、分針和秒針每經過一周就會重複，這也是一種週期現象。

所以，我們這節課要研究的主要內容就是週期現象與週期函數。

(板書課題)【探究新知】1.我們已經知道，潮汐、鐘錶都是一種週期現象，請同學們觀察錢塘江潮的圖片(投影圖片)，注意波浪是怎樣變化的?可見，波浪每隔一段時間會重複出現，這也是一種週期現象。

請你舉出生活中存在週期現象的例子。

(單擺運動、四季變化等)(板書：一、我們生活中的週期現象)2.那麼我們怎樣從數學的角度研究週期現象呢?教師引導學生自主學習課本P3——P4的相關內容，並思考回答下列問題：①如何理解“散點圖”?②圖1-1中橫坐標和縱坐標分別表示什麼?③如何理解圖1-1中的“H/m”和“t/h”?④對於週期函數的定義，你的理解是怎樣?以上問題都由學生來回答，教師加以點撥並總結：週期函數定義的理解要掌握三個條件，即存在不為0的常數T;x必須是定義域內的任意值;f(x+T)=f(x)。

高中数学必修四人教A版教案1-4三角函数的图象与性质-

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正弦函数、余弦函数的性质(一)1.知识与技能(1)理解周期函数、周期函数的周期和最小正周期的定义.(2)掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周期.(3)会判断三角函数的奇偶性.2.过程与方法让学生通过观察正、余弦线以及正、余弦函数图象得出正、余弦函数的周期性,并借助诱导公式一给予代数论证这一过程,使学生学会由具体形象到抽象概括这一研究问题的方法.3.情感、态度与价值观让学生自己探究学习正、余弦函数的图象性质,领会从特殊推广到一般的数学思想,体会三角函数图象所蕴涵的和谐美,激发学生学习数学的兴趣.重点:周期函数的定义,以及求函数y=A sin(ωx+φ)和y=A cos(ωx+φ)的周期.难点:正弦函数和余弦函数的周期性,以及周期函数、(最小正)周期的意义.1.已知函数f(x)是周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=lg x,设a=f,b=f,c=f,则()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b解析:a=f=f=f=-f,b=f=f=f=-f,c=f=f=f.∵当0<x<1时,f(x)=lg x,∴c<0,0<a<b.答案:D2.已知函数f(x)=sin,使f(x)的周期在内,求正整数k的最小值和最大值分别是多少?解:函数f(x)的最小正周期为,故,解得<k<9π,所以k的最小值为15,最大值为28.3.设有函数f(x)=a sin和g(x)=b cos(a>0,b>0,ω>0),若它们的最小正周期之和为,且f=g,f=--1,求这两个函数的解析式.解:∵f(x)的周期T1=,g(x)的周期T2=,∴T1+T2=.∴ω=2.∴f(x)=a sin,g(x)=b cos.又f=a sin a,f=a sin,g=b cos b,g=b cos=- b.又∵f=g,f=--1, ∴有解得a=b=1.∴f(x)=sin,g(x)=cos.。

新人教版高中数学1-3-2三角函数的图象与性质(第1课时)教案必修四

高中数学 1.3.2 三角函数的图象与性质（第1课时）教案新人教版必修4教学目标：1．掌握正弦函数的图像和性质；2．培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力；3．培养数形结合和化归转化的数学思想方法．教学重点：“五点法”画正弦函数图象；正弦函数的性质．教学难点：运用几何法画正弦函数图象．教学过程：一、问题情境问题1 如何精确的作出点C )3sin ,3(ππ. 问题2 能否借用作点C )3sin ,3(ππ的方法，作出[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象呢？二、学生活动学生分组讨论研究，总结交流成果．一方面分组合作探究，展示动手结果，上黑板板演，同时回答同学们提出的问题．问题3 如何得到sin ,R y x x =∈的图象？问题4 如何更加快捷地画出正弦函数的图象呢？问题5 请同学们观察，在[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象上，起关键作用的点有几个？引导学生自然得到五个关键点．三、建构数学1．课件演示：正弦函数图象的几何作图法：2．五点法作图：描出五个点，并用光滑的曲线连接起来，很自然得到函数的简图．小结作图步骤：1．列表． 2．描点． 3．连线．四、数学运用例1 利用“五点法”画出函数[]π2,0,1sin ∈+=x x y 的简图．变式一：[]π2,0,2sin ∈=x x y问题6 正弦函数有哪些主要性质？函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性（学生总结）．例2 已知函数2)32sin(++=πx y（1）求函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合．（2）求函数的单调增区间五、小结1．正弦曲线：（1）几何画法．（2）五点法．2．注意与三角函数线等知识的联系；3．正弦函数的性质及应用．仅此学习交流之用谢谢。

2020秋人教A版数学必修四1.3.2三角函数的图象与性质word导学案3

【学习目标】1、能正确作出正切函数图像；2、借助图像理解正切函数的性质；【重点难点】正切函数的图像与性质一、预习指导1、利用正切线来画出tan ((,))22y x x ππ=∈-的图像.2、正切函数的图像：3、定义域：；4、值域：；5、周期性：；6、奇偶性：tan y x = 是函数，其图像关于对称，它的对称中心为__________ 7、单调性：正切函数在每一个开区间上是单调增函数。

思考：正切函数在整个定义域内是单调增函数吗？答：二、典型例题例1、求函数tan(2)4y x π=-的定义域、周期和单调区间.例2、已知2()tan 5tan (),4f x x x x π=+求()f x 的最小值。

变式：已知2()tan tan ()4f x x a x x π=+的最小值-4，求a 的值。

例3、已知函数tan()(0,0,)2y A x A πωϕωϕ=+>><的图象与x 轴相交于两个相邻点的坐标为(,0)6π和5(,0),6π且经过点(0,3)-，求其解析式.三、课堂练习1、观察正切函数的图像，分别写出满足下列条件的x 的集合：（1）tan 0x = （2）tan 1x <2、求下列函数的定义域:（1）tan 3y x =（2）tan()3y x π=+3、求函数tan()(0)266y x x x πππ=--≠且的值域。

4、函数sin y x =与tan y x =的图像在[]1,1-上有个交点。

5、函数tan 1cos x y x =+的奇偶性是。

四、拓展延伸若函数213sin cos 22y x a x a =+--的最大值为1，求实数a 的值。

【课堂小结】。

人教A版数学必修四导学案：1.3.2三角函数的图象与性质(1)

【课堂研讨】
例1、用五点法画出下列函数的简图：
（1），（2），
解：（1）先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
0
描点画图，然后由周期性得整个图象；
（2）列表：

描点画图，然后由周期性得整个图象
【学后反思】
课题:1.3.2三角函数的图象和性质(一)
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1、画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正弦曲线的区别和联系：
（1）（2）
2、画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与余弦曲线的区别和联系：
（1）（2）
【课后巩固】
1．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图:
(1) (2)
(3) （4）
课题:1.3.2三角函数的图象和性质(一)
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1、能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象
（1）（2）
【课后巩固】
1．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图:
(1) (2)
(3) （4）
（1）几何画法：利用余弦线来作出余弦函数的图象
（2）由正弦函数的图象依据诱导公式变换可得到
由可知将的图象向平移个单位得到的图象。
(3)五点法：在函数，的图象上，五个关键点为，利用此五点作出的简图。
【课堂研讨】
例1、用五点法画出下列函数的简图：
（1），（2），
解：（1）先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
2、掌握五点法作正、余弦函数图象的方法，并会用此方法画出上的正弦曲线、余弦曲线
【课前预习】
1、正弦函数图象的画法