揭阳二模理科数学试题及答案
高三数学第二次模拟试题理揭阳二模,扫描版新人教A版
广东省揭阳市高三数学第二次模拟试题理（揭阳二模，扫描版）揭阳市 高中毕业班高考第二次模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一．选择题：BCDA DACC解析：1．由210x -≥得0x ≥，[0,)A ∴=+∞，故选B ．2．由(12)1ai i bi +=-得1,12a b ⇒=-=-||a bi ⇒+==选C ．3．设(,)B x y ，由3AB a =u u u r r 得1659x y +=⎧⎨-=⎩，所以选D ．4．由129m a a a a =+++L 得5(1)93637m d a d m -==⇒=，选A ．5．依题意可知该几何体的直观图如右上图，其体积为.3112322111323-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选D.6．令()ln(1)g x x x =-+，则1'()111x g x x x =-=++，由'()0,g x >得0,x >即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，由'()0g x <得10x -<<，即函数()g x 在(1,0)-上单调递减，所以当0x =时，函数()g x 有最小值，min ()(0)0g x g ==，于是对任意的(1,0)(0,)x ∈-+∞U ，有()0g x ≥，故排除B 、D,因函数()g x 在(1,0)-上单调递减，则函数()f x 在(1,0)-上递增，故排除C,所以答案选A.7．四名学生中有两名分在一所学校的种数是24C ，顺序有33A 种，而甲乙被分在同一所学校的有33A 种，所以不同的安排方法种数是23343330C A A -=．故选C. 8. 因21(3)(2)()55(3)(2)1n n n a f f n n n n ⎛⎫+-+== ⎪++++-⎝⎭11()()23f f n n =-++，故81ii a =∑128111111()()()()()()34451011a a a f f f f f f =+++=-+-++-L L 111131()()()()31111314f f f f -=-==⨯-，故选C.二．填空题：；10. 43200x y --=；11.34；12. 12a >（或1(,)2a ∈+∞）；13.2； 14. cos sin 20ρθρθ+-=（或cos()4πρθ-=；. 解析：9．依题意得3a =，则4tan a π=4tan 3π= 10．双曲线221916x y -=的右焦点为(5,0)，渐近线的方程为43y x =±，所以所求直线方程为4(5),3y x =-即43200x y --=． 11．两个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N 得：两个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为12p =，则该部件使用寿命超过1000小时的概率为：2131(1)4P p =--=12．由“∃)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ”是真命题，得(0)(1)0f f ⋅<⇒(12)(4||21)0a a a --+<0(21)(21)0a a a ≥⎧⇔⎨+->⎩或0(61)(21)0a a a <⎧⎨--<⎩⇒12a >13．令,x y u y v +==，则点(,)Q u v 满足01,0 2.u v u ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，在uov 平面内画出点(,)Q u v 所构成的平面区域如图，易得其面积为2.14．把)4πρθ=-化为直角坐标系的方程为2222x y x y +=+，圆心C 的坐标为（1，1），与直线OC 垂直的直线方程为20,x y +-=化为极坐标系的方程为cos sin 20ρθρθ+-=或cos()4πρθ-=15.依题意知30DBA ∠=o ,则AD=2，过点D 作DG AB ⊥于G ，则AG=BE=1，所以3BF =. 三．解答题：16．解：（1）函数()f x 要有意义，需满足：cos 0x ≠， 解得,2x k k Z ππ≠+∈，------------2分 即()f x 的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈-------------------------------------4分（2）∵1)4()cos x f x xπ-=122)22cos x x x =1cos 2sin 2cos x x x +-=--------6分22cos 2sin cos cos x x x x -=2(cos sin )x x =--------------------------------------------------8分 由4tan 3α=-，得4sin cos 3αα=-, 又22sin cos 1αα+= ∴29cos 25α=，∵α是第四象限的角∴3cos 5α=，4sin 5α=----------------------10分 ∴14()2(cos sin )5f ααα=-=．-----------------------------------------------------------12分 17. 解：（1）设A 表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次（每次一件），恰有两次取到二等品”，依题意知，每次抽到二等品的概率为25，------------------------------2分 故2232336()()55125P A C =⨯=. ------------------------------------------5分 (2)ξ可能的取值为0，1，2，3．----------------------------------6分P (ξ＝0)＝C 24C 25·C 23C 25＝18100＝950， P (ξ＝1)＝C 14C 25·C 23C 25＋C 24C 25·C 13·C 12C 25＝1225， P (ξ＝2)＝C 14C 25·C 13·C 12C 25＋C 24C 25·C 22C 25＝1550， P (ξ＝3)＝C 14C 25·C22C 25＝125．-----------------------------10分 ξ的分布列为--------------------------------11数学期望为E ξ＝1×1225+2×1550+3×125=1.2．-------------------------------------------------------12分N 1M 1E A B C D FN M18．解：（1）13a =，23a c =+，333a c =+， --------------------------------1分∵1a ，2a ，3a 成等比数列，∴2(3)3(33)c c +=+， --------------------------------2分解得0c =或3c =． --------------------------------3分当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故3c =．-------------------------------4分（2）当2n ≥时，由21a a c -=，322a a c -=，……1(1)n n a a n c --=-， 得1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=L ．--------------------------------6分 又13a =，3c =，∴2333(1)(2)(23)22n a n n n n n =+-=-+=L ，，．-------------------------8分 当1n =时，上式也成立，∴23(2)()2n a n n n N *=-+∈．--------------------------------9分 （3）由2013n a ≥得23(2)20132n n -+≥，即213400n n --≥--------------------------10分∵n N ∈*,∴12n +≥141813622+⨯>=--------------------------------11分 令37n =，得3720012013a =<，令38n =得3821122013a =>----------------------13分∴使2013n a ≥成立的最小自然数38n =．--------------------------------14分19．解：（1）依题意得,,EF DE EF AE EF ⊥⊥∴⊥平面ADE ，DEA ∠=θ-------2分由45θ=o得，1sin 4524ADE S DE EA ∆=⋅=o ,∴4BCF ADE ADE V S EF -∆=⋅=----------------------------------------------------------------------4分 （2）证法一：过点M 作1MM BF ⊥交BF 于1M ，G E AB CD F N M QE A B C D FN M过点N 作1NN CF ⊥交BF 于1N ，连结11M N ,------------5分∵11//,//MM AB NN EF ∴11//MM NN又∵11MM NN FM CN AB FA CE EF === ∴11MM NN =--------------------------------7分∴四边形11MNN M 为平行四边形，--------------------------------------------------------8分11//MN N M ∴,11,,MN BCF N M BCF ⊄⊂又面面//.MN BCF ∴面--------------------10分【法二：过点M 作MG EF ⊥交EF 于G ，连结NG ，则,CN FM FG NE MA GE== //NG CF ∴--------------------------------------------------------------6分 ,,//NG BCF CF BCF NG BCF ⊄⊂∴又面面面，------------7分 同理可证得//MG BCF 面，又MG NG G =I , ∴平面MNG//平面BCF-------------9分∵MN ⊂平面MNG,//MN BCF ∴面．----------------------------------------------------10分】（3）法一：取CF 的中点为Q ，连结MQ 、NQ ，则MQ//AC ，∴NMQ ∠或其补角为异面直线MN 与AC 所成的角，--------11分 ∵090θ=且2a =∴12NQ =,2MQ ==2MN ∴=---------------------------------------------------------------------12分222cos 2QM MN NQ NMQ MN QM +-∴∠==⋅ 即MN 与AC所成角的余弦值为3--------------------------------14分 【法二：∵090θ=且2a = 分别以FE 、FB 、FC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. --------------11分则111111(1,1,0),(0,0,1),(,,0),(,0,),(1,1,1),(0,,),222222A C M N AC MN =--=-u u u r u u u u r 得----12分cos ,AC MN ∴<>==u u u r u u u u r 13分 所以与AC所成角的余弦值为14分】 20. 解：(1)∵1cos602122p OA ==⨯=o ，即2p =， ∴所求抛物线的方程为24y x = --------------------------------2分∴设圆的半径为r ，则122cos 60OB r =⋅=o ，∴圆的方程为22(2)4x y -+=.--------------4分(2) 设()()1122,,,G x y H x y ，由0OG OH ⋅=u u u r u u u r 得02121=+y y x x∵2211224,4y x y x ==，∴1216x x =， --------------------------------6分 ∵12GOH S OG OH ∆=u u u r u u u r ,∴()()222222*********GOH S OG OH x y x y ∆==++u u u r u u u r =()()2211221444x x x x ++ =()()21212121214164x x x x x x x x ⎡⎤+++⎣⎦≥()212121214164x x x x x x ⎡⎤+⋅⎣⎦=256 ∴16GOH S ∆≥,当且仅当122x x ==时取等号，∴GOH ∆面积最小值为16.-------------------------------------------9分(3) 设()()4433,,,y x Q y x P 关于直线m 对称，且PQ 中点()00,y x D∵ ()()4433,,,y x Q y x P 在抛物线C 上，∴2233444,4y x y x ==两式相减得：()()()3434344y y y y x x -+=---------------------------------11分 ∴343434444PQx x y y k y y k -+=⋅==--，∴02y k =- ∵()00,y x D 在()():10m y k x k =-≠上∴010x =-<，点()00,y x D 在抛物线外--------------------------------13分∴在抛物线C 上不存在两点Q P ,关于直线m 对称. --------------------------14分 21．解：（1）解法1：∵121'()(1)2(1)(1)[(1)2]n n n n f x nx x x x x x n x x --=---=----------1分当1n =时，1'()(1)(13)f x x x =--当1[,1]2x ∈时，1'()0f x ≤，即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减， ∴1111()28a f ==，--------------------------------------------------3分当2n =时，2'()f x 2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时，2'()0f x ≤，即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减， ∴2211()216a f ==---------------------------------------------------5分【解法2：当1n =时，21()(1)f x x x =-，则21'()(1)2(1)(1)(13)f x x x x x x =---=--当1[,1]2x ∈时，1'()0f x ≤，即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减，∴1111()28a f ==， 当2n =时，222()(1)f x x x =-，则222'()2(1)2(1)f x x x x x =---2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时，2'()0f x ≤，即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减，∴2211()216a f ==】（2）令'()0n f x =得1x =或2n x n =+，∵当3n ≥时，1[,1]22n n ∈+且当1[,)22nx n ∈+时'()0n f x >，当(,1]2nx n ∈+时'()0n f x <，-----------------------7分故()n f x 在2nx n =+处取得最大值，即当3n ≥时，22()()()222n n n n n a f n n n ==+++24(2)n n n n +=+,------（*）------------------9分当2n =时（*）仍然成立，综上得21,184.2(2)n nn n a n n n +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩-------------------------------------10分 （3）当2n ≥时，要证2241(2)(2)n n n n n +≤++，只需证明2(1)4n n +≥-------------------11分∵01222(1)()()n nnn n n C C C nnn+=+++L 2(1)41212142n n n-≥++⋅≥++= ∴对任意*n N ∈（2n ≥）,都有21(2)n a n ≤+成立.--------------------------------14分。
广东省揭阳市高考数学二模试卷(理科)
详细信息
16.难度：中等
已知函数 ，
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）设α是第四象限的角，且 ，求f（α）的值．
详细信息
17.难度：中等
某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，设取出的3箱中，第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
（1）在取出的3箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3次（每次一件），求恰有两次抽到二等品的概率；
A．18
B．24
C．30
D．36
详细信息
8.难度：中等
设f（x）是定义在（0，1）上的函数，对任意的y＞x＞1都有 ，记 ，则 =（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
详细信息
9.难度：中等
若点（a，-1）在函数 的图象上，则 的值为．
详细信息
10.难度：中等
过双曲线 的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是．
（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；
（3）当θ=90且 ．时，求异面直线MN与AC所成角的余弦值．
详细信息
20.难度：中等
如图已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角为 的直线t，交l于点A，交圆M于点B，且|AO|=|OB|=2．
已知点A（-1，5）和向量 =（2，3），若 ，则点B的坐标为（ ）
A．（7，4）
B．（7，14）
C．（5，4）
D．（5，14）
详细信息
4.难度：中等
在等差数列{an}中，首项a1=0，公差d≠0，若am=a1+a2+…+a9，则m的值为（ ）
揭阳市2024届高三二模数学试题与答案
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的揭阳市2024届高三二模数学试题.1.已知复数z 在复平面内对应的点为(),a b ，且i 4z +=，则（ ） A.()2214a b ++= B.()22116a b ++= C.()2214a b ++=D.()22116a b ++=2.已知函数()21f x x ax =−++在()2,6上不单调，则a 的取值范围为（ ）A.()2,6B.(][),26,−∞+∞C.()4,12D.(][),412,−∞+∞3.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（ ）4.把函数()3sin 3f x x =的图象向左平移14个最小正周期后，所得图象对应的函数为（ ）A.33sin 34y x=+B.33sin 34y x=−C.3cos 3y x =D.3cos 3y x =−5.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l α⊂，m β⊂，下列命题为真命题的是（ ）A.若//l m ，则//αβB.若//αβ，则//l βC.若l m ⊥，则l β⊥D.若αβ⊥，则//l m6.如果方程(),0Fx y =能确定y 是x 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程(),0Fx y =中，把y 看成x 的函数()y y x =，则方程可看成关于x 的恒等式()(),0F x y x =，在等式两边同时对x 求导，然后解出()y x ′即可.例如，求由方程221x y +=所确定的隐函数的导数y ′，将方程221xy +=的两边同时对x 求导，则220x y y +′⋅=（()y y x =是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得xy y′=−（0y ≠）.那么曲线ln 2xy y +=在点()2,1处的切线方程为（ ）A.310x y −+=B.350x y +−=C.350x y −−=D.2370x y +−=7.如图，正四棱台容器1111ABCD A B C D −的高为12cm ，10cm AB =，112cm A B =，容器中水的高度为6cm .现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm ，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（ ）8.在研究变量x 与y 之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，()55,x y ，()6,28，()0,28，利用此样本数据求得的经验回归方程为7ˆ101667yx =+，现发现数据()6,28和()0,28误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为ˆ4yx m =+，且51140ii y==∑，则m =（ ） A.8B.12C.16D.20二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若表示集合M 和N 关系的Venn 图如图所示，则M ，N 可能是（ ）A.{}0,2,4,6M=，{}4N =B.{}21Mx x=<，{}1N x x =>−C.{}lg M x y x ==，{}e 5x N y y ==+ D.(){}22,M x y x y==，(){},N x y y x ==10.已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，O 为ABC △的重心，1cos 5A =，2AO =，则（ ）A.1144AOAB AC=+B.3AB AC ⋅≤C.ABC △的面积的最大值为D.a 的最小值为11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()224f x f x x +−−=.若()23f x −的图象关于点()2,1对称，且()00f =，则（ ） A.()f x 的图象关于点()1,1对称B.函数()()2gx f x x =−的图象关于直线2x =对称C.函数()()2gx f x x =−的周期为2 D.()()()12502499f f f ++⋅⋅⋅+=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器、自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共______有种不同的选择方案.13.已知2sin sin 2αα=，则tan α=______，tan 4πα+=______.14.已知1F ，2F 分别是双曲线E ：221412x y −=的左、右焦点，M 是E 的左支上一点，过2F 作12F MF ∠角平分线的垂线，垂足为N ，O 为坐标原点，则ON =______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分） 在等差数列{}n a 中，26a =，且等差数列{}1n n a a ++的公差为4.（1）求10a ；（2）若2111n n n n b a a a −+=+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：21228n S n n <++. 16.（15分）为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100.整理得到如下频率分布直方图.（1）求a 的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）从成绩在[)30,40，[)80,90内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在[)80,90内的村民人数为X ，求X 的分布列与期望.17.（15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=°，2AB=，E CD 的中点.（1）证明：平面PBC ⊥平面PAE . （2）求二面角D AP E −−的余弦值. 18.（17分） 设抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，已知点F 到圆E ：()2231x y ++=上一点的距离的最大值为6.（1）求抛物线C 的方程. （2）设O 是坐标原点，点()2,4P ，A ，B 是抛物线C 上异于点P 的两点，直线PA ，PB 与y 轴分别相交于，NM 两点（异于点O ），且O 是线段MN 的中点，试判断直线AB 是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.19.（17分）已知函数()ln ex axf x x =−. （1）当1a =时，证明：()f x 是增函数.（2）若()f x x ≤恒成立，求a 的取值范围.（3）证明：()e 1e ln 2ln 3ln 23e 1nnn n −−++⋅⋅⋅+≤−−（2n ≥，n ∈N ）.i 揭阳市2024届高三二模数学试题答案=+，1.B 由题意得z a b 所以()1i 4a b ++=，则()22116a b ++=. 2. C ()22124a a f x x =−−++，则262a <<，得412a <<. 3. D 设该椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b，由题意得a =，则ce a==. 4. C 由题意得()f x 的最小正周期为23π，则所求函数为213sin 33sin 33cos3342y x x x ππ=+×=+=.5. B 若//l m ，则α与β的位置关系不确定，A 不正确.若//αβ，则//l β，B 正确.若l m ⊥，则l 与β的位置关系不确定，C 不正确.若αβ⊥，则l 与m 的位置关系不确定，D 不正确.6. B 由ln 2xy y +=，得()()ln 2xy y ′′+=′，则10y xy y y′+′+⋅=，将点()2,1的坐标代入，得120y y ′+′+=，即13y ′=−，所以所求切线的方程为()1123y x −=−−，即350x y +−=. 7. A 由题意得未放入小铁球之前，水位所在正方形的边长为1026cm 2+=，放入57个小铁球之后，水位所在正方形的边长为624cm 2+=，所以57个小铁球的体积之和为()31316243676cm 3××++=.设小铁球的半径为R ，则3345776cm 3R π××=，得R =.8. C 设未剔除这两对数据前的x ，y 的平均数分别为x ，y ，剔除两对数据后的x ，y 的平均数分别为x ′，y ′.因为51140i i y ==∑，所以511285i i y y =′==∑，则2844y m m x ′−−′==.因为这两对数据为()6,28和()0,28，所以()114056287y =×+=，所以()17166310xy =×−=，所以()76028354x mx −−−′===，解得16m =. 9. ACD 由图可得N M ，{}{}40,2,4,6 ，{}(){}()e 55,lg 0,x y yx y x =+=+∞==+∞ ，A ，C正确.{}{}211x x x x >−< ，(){}(){}22,,x y y x x y x y == ，B 错误，D 正确.10. BC 取BC 的中点D ，连接AD （图略），则211333AOAD AB AC ==+，A 错误. 由1133AO AB AC =+ ，得22292AC AB AC AB AC =++⋅ ，则222212362555c b bc bc bc bc =++≥+=，即15bc ≤，当且仅当b c ==时，等号成立，所以1cos 35AB AC bc A bc ⋅==≤ ，B 正确.由1cos 5A =，得sin A =1sin 2ABCS bc A ==≤△，C 正确. 由222365c b bc =++，得222365c b bc +=−，所以22242cos 36245a b c bc A bc =+−=−≥，得a ≥，D 错误.11. ABD 因为()23f x −的图象关于点()2,1对称，所以()()()232432f x f x −+−−=，即()()23522f x f x −+−=，从而()()352f x f x −+−=，则()f x 的图象关于点()1,1对称，A 正确. 由()()224f x f x x +−−=，可得()()()()222222f x x f x x +−+=−−−，则()()22g x g x +=−，所以()g x 的图象关于直线2x =对称，B 正确.()()()()()()()()111211211142g x g x f x x f x x f x f x ++−=+−++−−−=++−−=−，则()gx 的图象关于点()1,1−对称，故()g x 是以4为周期的函数，即()()4g x g x +=，C 错误. 因为()()00200gf =−×=，()11g =−，()()2202g g =−−=−，()()311g g ==−，所以()()()()()()()1250125021250f f f g g g ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+4121225502499=−×−−+=，D 正确.12. 150 不同的选择方案共有2365C C 150=种.13. 0或2；1或3− 由题意得2sin 2sin cos ααα=，得sin 0α=或sin 2cos 0αα−=，即tan 0α=或2，所以tan tan 144ππα+==或tan 1tan 341tan πααα+ +==− − . 14. 2 延长2F N ，1MF ，使它们交于点P （图略）.因为MN 平分12F MF ∠，2F NMN ⊥，所以2MP MF =，则112124PF MP MF MF MF a =−=−==.故1122ON PF ==.15.（1）解：设{}n a 的公差为d ，由题意得()23123124a a a a a a d +−=+−==，得2d =，所以102822a a d =+=.（2）证明：由（1）得()2222na a n d n =+−=+，()()111144412412nb n n n n n n=+=−+ ++++，则()11111111442334122n n n S n n + =−+−+⋅⋅⋅+−+×++ 2211122228488n n n n n =++−<+++.16.解：（1）由图可知，()1030.010.0150.0321a +++×=，解得0.005a =. 该村村民成绩的平均数约为()()3545950.0555650.3750.15850.164.5++×++×+×+×=（2）从成绩在[)30,40，[)80,90内的村民中用分层抽样的方法选取6人，其中成绩在[)30,40内的村民有0.05620.050.1×=+人，则成绩在[)80,90内的村民有4人.从中任选3人，则X 的取值可能为1，2，3，()212436C C 11C 5P X ===，()122436C C 32C 5P X ===，()232436C C 13C 5P X ===故()1311232555E X =×+×+×=.17.（1）证明：连接AC .因为底面ABCD为菱形，60ABC ∠=°.所以ACD △是正三角形. 又E 为CD 的中点，所以AE CD ⊥，则AEAB ⊥.因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =，所以AE ⊥平面PAB . 因为PB ⊂平面PAB ，所以AE PB ⊥.因为2AB=，所以222PA PB AB +=，则PA PB ⊥.因为PA AE A = ，所以PB ⊥平面PAE . 又PB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAE . （2）解：取AB 的中点O ，连接OC ，OP .以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A−，()1,0,0B ，()0,0,1P，()0D −，所以()1,0,1AP =，()AD =− ，()1.0,1BP =−设平面PAD 的法向量为(),,m x y z = .则由0,0,m AP m AD ⋅=⋅=可得0,0,x z x += −= 令1y =，得m=.由（1）可知，BP是平面PAE 的一个法向量，所以cos ,m BPm BP m BP⋅===由图可知，二面角D AP E −−为锐角，所以二面角D AP E −−. 18.解：（1）F 点的坐标为,02p点F 到圆E ：()2231x y ++=上一点的距离的最大值为3162p++=，解得4p =， 则抛物线C 的方程为28yx =.（2）直线AB 经过定点()0,2−，理由如下：设直线AB 的方程为xty m =+，()11,A x y ，()22,B x y .联立方程组2,8,x ty m y x =+= 整理得2880y ty m −−=， 则264320m ι∆=+>，128y y t +=，128y y m =−.直线PA 的方程为()114422y y x x −−=−−，令0x =，得111422Mx y y x −=−，同理可得222422N x y y x −=−.因为O 是线段MN 的中点，所以112212424202x y x y x x −−+=−， 整理得()()()121212211288240x x x x x y x y y y −+−+++=，即()()()()22121212121212124084i y y y y y y y y y y y y −++−+++=， 则2282240m t m tm t −−++=，所以()()2420m t m t −+−=. 若420m t +−=，则直线AB 经过点P ，不符合题意. 若20m t −=，则直线AB 的方程为2x ty t =+，经过定点()0,2−.19.（1）证明：当1a =时，()ln ex x f x x =−，则()211e e e xxx x x x f x x x ′−+−=−=. 令()2e x g x x x =+−，则()e 210x g x x +−>′在()0,+∞上恒成立，则()g x 在()0,+∞上单调递增，则()()01gx g >=，故()0f x ′>在()0,+∞上恒成立，()f x 是增函数. （2）解：当0x >时，()f x x ≤等价于n e e l x x x a x−>令()e ln e x xx x h x x −=，则()()()2e 1ln 1x x x x h x x ′−−−=，令()ln 1x x x ϕ=−−，则()1x x xϕ′−=， 当()0,1x ∈时，()0x ϕ′>，()x ϕ单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ′<，()x ϕ单调递减，所以()()12x ϕϕ≤=−. 所以当()0,1x ∈时，()0h x ′>，()h x 单调递增，当()1,x ∞∈+时，()0h x ′<，()h x 单调递减，则()()1e hx h ≤=−，所以()max a h x ≥，即e a ≥−，故a 的取值范围为[)e,−+∞. （3）证明：由（2）可知，当e a =−时，有1ln e x x x x −+≤，则1ln 11ex x x −≤−， 所以1ln 2112e ≤−，…，1ln 11en n n −≤−，故()()1e 1e ln 2ln 3ln 11123ee e 1nnn n n n −−++⋅⋅⋅+≤−−+⋅⋅⋅+=−−.。
2019-2020学年广东省揭阳市高考第二次模拟考试数学(理)模拟试题有答案
揭阳市高中毕业班高考第二次模拟考试数学(理科)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|2A x y x ==-，{}|31x B x =≥，则（ ）A ．AB = B ．A B ⊆C ．A B R =UD ．A B φ=I2.已知复数z 满足()123i z i +⋅=+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.平面直角坐标系xOy 中，i r ，j r 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，向量2a i =r r ，b i j =+r r r，以下说法正确的是（ ）A ．1a b ⋅=r rB ．a b =r rC ．()a b b -⊥r r rD ．//a b r r4.已知直线a 、b ，平面α、β、γ，下列命题正确的是（ ）A ．若αγ⊥，βγ⊥，a αβ=I ，则a γ⊥B ．若a αβ=I ，b αγ=I ，c βγ=I ，则////a b c C.若a αβ=I ，//b a ，则//b α D ．若αβ⊥，a αβ=I ，//b α，则//b a 5.已知直线430x y a -+=与22:40C x y x ++=e 相交于A 、B 两点，且120AOB ∠=o ，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．10 C. 11或21 D ．3或136.已知()511x ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为40-，则a 的值为（ ）A ．2B ．2- C. 2± D ．47.已知函数()()()sin 0,0,02f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<的部分图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A ．3π或23π B ．23π C. 43π D ．3π或43π8.在如图的程序框图中，输出的n 值为（ ）A ．14B ． 32 C. 46 D ．539.已知双曲线的焦距为4，A 、B 是其左、右焦点，点C 在双曲线右支上，ABC △的周长为10，则AC 的取值范围是（ ）A ．()2,5B ．()2,6 C. ()3,5 D ．()3,610.如图是某几何体的三视图，图中每个小正方形的边长为1，则此几何体的体积为（ ）A ．83 B ．163 C.4 D ．20311.过抛物线22x y =上两点A 、B 分别作切线，若两条切线互相垂直，则线段AB 的中点到抛物线准线的距离的最小值为（ ） A ．12 B ．1 C.32D ．2 12.把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1 C.61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.曲线1y x=在点()1,1处的切线方程为 ． 14.题库中有10道题，考生从中随机抽取3道，至少做对2道算通过考试.某考生会做其中8道，有2道不会做，则此考生能通过考试的概率为 ．15.已知等差数列{}n a 中，2416a a +=，11a +、21a +、41a +成等比数列，把各项如下图排列：则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为 ．16.平面四边形ABCD 中，60A ∠=o ，AD DC ⊥，3AB =2BD =，则BC 的最小长度为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，满足21a =，1631n n S a +=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b a =，数列{}n b 的前n 项和与积分别为n R 与n T ，求n R 与n T . 18. 如图，在四面体ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=o ,22BC BD ==. （Ⅰ）求证：AD BD ⊥；（Ⅱ）若AB 与平面BCD 所成的角为60o，点E 是AC 的中点，求二面角C BD E --的大小.19. 甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工.其计酬方式有两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天250元；方式而：雨天每天120元，晴天出工每天200元；三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（30天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数（10天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近9年此月的下雨天数（n ）的频数分布表（见下表）后，乙以频率最大的n 值为依据作出选择，丙以n 的平均值为依据作出选择.n8 9 10 11 12 13 频数31221（Ⅱ）根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？（Ⅲ）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率.20. 已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，圆2C 经过椭圆1C 的两个焦点和两个顶点，点P 在椭圆1C 上，且122PF =222PF =（Ⅰ）求椭圆1C 的方程和点P 的坐标；（Ⅱ）过点P 的直线1l 与圆2C 相交于A 、B 两点，过点P 与1l 垂直的直线2l 与椭圆1C 相交于另一点C ，求ABC △的面积的取值范围. 21. 已知函数()()()ln 22x mf x ex ax x m +=-+++-，（Ⅰ）若0a >，且()1f -是函数的一个极值，求函数()f x 的最小值； （Ⅱ）若0a =，求证：[]1,0x ∀∈-，()0f x ≥.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的圆心为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为12，现以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）设M ，N 是圆C 上两个动点，满足23MON π∠=，求OM ON +的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x x x m =++++，m R ∈，（Ⅰ）若不等式()2f x m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）求不等式()2f x m -<的解集.试卷答案一、选择题1-5:BACAD 6-10:CCDCB 11、12：B C 二、填空题13.20x y +-= 14.141515.275 16.2三、解答题（17）解：（Ⅰ）1361-=+n n a S Θ，1361-=∴-n n a S )2(≥n ， 两式相减，得n n n a a a 3361-=+)2(≥n ，n n a a 31=∴+)2(≥n ，又12=a ，所以当2≥n 时，}{n a 是首项为1，公比为3的等比数列，22233--=⋅=n n n a a ，由13621-=a a 得311=a ，满足上式， 所以通项公式为23-=n n a *)(N n ∈；（Ⅱ）122293--===n n n n a b ，得11=b ，公比为9， 8199191-=--=n n n R ，1213219991-⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=n n n b b b b T ΛΛ)1(2)1(121399---+++===n n n n n Λ．（18）解：（Ⅰ）由已知得222CD BD BC =+，BC BD ⊥∴，又BC AB ⊥，B AB BD =I ，ABD BC 平面⊥∴，AD BC ⊥∴，又AD CD ⊥，C CD BC =I ，BCD AD 平面⊥∴，BD AD ⊥∴.（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）知，AB 与平面BCD 所成的角为ABD ∠，即︒=∠60ABD ， 设BD ＝2，则BC ＝2，在ADB Rt ∆中，AB ＝4，由（Ⅰ）中ABD BC 平面⊥，得平面ABC ⊥平面ABD ，在平面ABD 内，过点B 作AB Bz ⊥，则Bz ⊥平面ABC ，以B 为原点，建立空间直角坐标系xyz B -，则)0,0,0(B ，)0,0,4(A ，)0,2,0(C ，)0,1,2(E ，由160cos ||=︒=BD x D ， 360sin ||=︒=BD z D ，得)3,0,1(D ，∴)0,1,2(=BE ，)3,0,1(=BD ， 设平面BDE 的法向量为),,(z y x m =ρ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0302z x BD m y x BE m ρρ，取1=z ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=323y x ，∴)1,32,3(-=m ρ是平面BDE 的一个法向量，又)3,0,3(-=是平面CBD 的一个法向量． 设二面角E BD A --的大小为θ，易知θ为锐角，则2132434|||||,cos |cos =⨯==><=AD m m ρρρθ，∴60θ=o ，即二面角C BD E --的大小为60o ．【解法2：由（Ⅰ）知，AB 与平面BCD 所成的角为ABD ∠，即60ABD ∠=o， 分别取CD 、BD 的中点F 、G ，连EG 、FG ，在Rt ABC ∆和Rt ADC ∆中，E 为斜边AC 中点，故12BE DE AC ==， ∴EG BD ⊥；又∵BC ⊥平面ABD ，∴BC BD ⊥，又∵//BC FG ∴FG BD ⊥； ∴EGF ∠为二面角C BD E --的平面角， 由（Ⅰ）知AD ⊥平面BCD ，又//AD EF ， 故EF ⊥平面BCD ，从而EF FG ⊥，∴12tan 12ADEF EGF FG BC ∠====60EGF ∴∠=o ，即二面角C BD E --的大小为60o ．（19）解：（Ⅰ）按计酬方式一、二的收入分别记为)(n f 、)(n g ，(10)250(3010)5000f =⨯-=，52002020010120)10(=⨯+⨯=g ，所以甲选择计酬方式二； 由频数分布表知频率最大的n=8，5500)830(250)8(=-⨯=f ， 5360222008120)8(=⨯+⨯=g ，所以乙选择计酬方式一；n 的平均值为10)1132122101938(91=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯，所以丙选择计酬方式二；（Ⅱ）甲统计了1个月的情况，乙和丙统计了9个月的情况， 但乙只利用了部分数据，丙利用了所有数据， 所以丙的统计范围最大， 三人中丙的依据更有指导意义；（Ⅲ）任选一年，此月下雨不超过11天的频率为3296=，以此作为概率，则未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率为94)321()32(223=-⨯C . （20）解：（I ）设)0,(1c F -，)0,(2c F ， 可知圆2C 经过椭圆焦点和上下顶点，得c b =， 由题意知4||||221=+=PF PF a ，得2=a ，由222a c b =+，得2==c b ，所以椭圆1C 的方程为12422=+y x ， 点P 的坐标为)0,2(.（II ）由过点P 的直线l 2与椭圆1C 相交于两点，知直线l 2的斜率存在， 设l 2的方程为)2(-=x k y ，由题意可知0≠k ， 联立椭圆方程，得0488)12(2222=-+-+k x k x k ，设),(22y x C ，则12482222+-=⋅k k x ，得1224222+-=k k x ，所以1214|2|1||2222++=-+=k k x k PC ； 由直线l 1与l 2垂直，可设l 1的方程为)2(1--=x ky ，即02=-+ky x 圆心)0,0(到l 1的距离212kd +=，又圆的半径2=r ，所以1)1(2142)2||(222222+-=+-=-=k k k d r AB ， 1122||22+-⋅=k k AB ， 由r d <即2122<+k ，得12>k ，112||||2122+-⋅==∆k k PC AB S ABC1212412142222+-⋅=++⋅k k k k ，设12-=k t ，则0>t ，2ABC S t t∆==≤=+当且仅当2t =2k =±时，取“＝”，所以△ABC 的面积的取值范围是(0,． （21）解：（I ）m ax ax x ex f mx -+++-=+2)2ln()(2，定义域为),2(∞+-，a ax x e x f m x 2221)('+++-=+． 由题意知0)1('=-f ，即011=--m e ，解得1=m ，所以1)2()2ln()(1-+++-=+x ax x e x f x ，a ax x e x f x 2221)('1+++-=+， 又1+=x ey 、21+-=x y 、a ax y 22+=（0>a ）在),2(∞+-上单调递增， 可知)('x f 在),2(∞+-上单调递增，又0)1('=-f ，所以当)1,2(--∈x 时，0)('<x f ；当),1(∞+-∈x 时，0)('>x f ． 得)(x f 在)1,2(--上单调递减，)(x f 在),1(∞+-上单调递增， 所以函数)(x f 的最小值为a a f -=--=-11)1(． （II ）若0=a ，得m x ex f mx -+-=+)2ln()(，21)('+-=+x e x f m x 由)('x f 在]0,1[-上单调递增，可知)(x f 在]0,1[-上的单调性有如下三种情形： ①当)(x f 在]0,1[-上单调递增时，可知0)('≥x f ，即0)1('≥-f ，即011≥--m e ，解得1≥m ，m e f m -=--1)1(，令m e m g m -=-1)(，则01)('1≥-=-m e m g ，所以)(m g 单调递增，0)1()(=≥g m g ，所以0)()1()(≥=-≥m g f x f ； ②当)(x f 在]0,1[-上单调递减时， 可知0)('≤x f ，即0)0('≤f ，即021≤-m e ，解得2ln -≤m ， 得02ln 2ln 2ln )0(>=+-≥--=mmmee m ef ，所以0)0()(>≥f x f ；[或：令2ln )(--=m e m h m，则0211)('<-≤-=m e m h ， 所以)(m h 单调递减，021)2ln ()(>=-≥h m h ，所以0)()0()(>=≥m h f x f ；] ③当)(x f 在]0,1[-上先减后增时，得)('x f 在]0,1[-上先负后正， 所以)0,1(0-∈∃x ，0)('0=x f ，即2100+=+x emx ，取对数得)2ln(00+-=+x m x ， 可知)()(0min x f x f =m x e mx -+-=+)2ln(0002)1(2102000>++=++=x x x x ，所以0)(>x f ；综上①②③得：]0,1[-∈∀x ，0)(≥x f ． 【或：若0=a ，得m x ex f mx -+-=+)2ln()(，21)('+-=+x e x f m x 由)('x f 在]0,1[-上单调递增，分如下三种情形： ①当0)('≥x f 恒成立时，只需0)1('≥-f ，即011≥--m e ，解得1≥m ，可知)(x f 在]0,1[-上单调递增，m e f m -=--1)1(，令m e m g m -=-1)(，则01)('1≥-=-m em g ，所以)(m g 单调递增，0)1()(=≥g m g ，所以0)()1()(≥=-≥m g f x f ；②当0)('≤x f 恒成立时，只需0)0('≤f ，即021≤-m e ，解得2ln -≤m ，可知)(x f 在]0,1[-上单调递减时，02ln 2ln 2ln )0(>=+-≥--=mm m e e m e f ，所以0)0()(>≥f x f ；③当)('x f 在]0,1[-上先负后正时，)(x f 在]0,1[-上先减后增， 所以)0,1(0-∈∃x ，0)('0=x f ，即2100+=+x emx ，取对数得)2ln(00+-=+x m x ， 可知)()(0min x f x f =m x e mx -+-=+)2ln(0002)1(2102000>++=++=x x x x ，所以0)(>x f ；综上①②③得：]0,1[-∈∀x ，0)(≥x f . 】（22）解：（I ）圆C 的直角坐标方程为221124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，化为极坐标方程为sin ρθ=； （II ）设()122,,,3M N πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 122sin sin 3OM ON πρρθθ⎛⎫+=+=++⎪⎝⎭1sin sin 223πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 由0203θππθπ≤≤⎧⎪⎨≤+≤⎪⎩，得03πθ≤≤，2333πππθ≤+≤，故sin 123πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即OM ON +的最小值为2． (23)解：（I ）|||)1(1||1||1|)(m m x x m x x x f =++-+≥++++=， 由题意知|2|||-≥m m ，得22)2(-≥m m ，解得1≥m ；（II ）不等式为m x m x 2|1||1|<-++-，即m m x x 2|)1(||1|<+-+- 若0≤m ，显然不等式无解； 若0>m ，则11>+m ．①当1≤x 时，不等式为m x m x 211<-++-，解得21mx ->， 所以121≤<-x m； ②当11+<<m x 时，不等式为m x m x 211<-++-，恒成立， 所以11+<<m x ；.... ③当1+≥m x 时，不等式为m m x x 2)1(1<+-+-，解得123+<m x ， 所以1231+<≤+m x m ； 综上所述，当0≤m 时，不等式的解集为空集， 当0>m 时，解集为}12321|{+<<-m x m x ．。
广东省揭阳市高三第二次模拟考试数学(理)试题含答案【精选】.doc
6 23 正视图俯视图左视图图1绝密★启用前揭阳市高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）函数()1lg(63)f x x x =+-的定义域为（A ）(,2)-∞ （B ）(2,)+∞ （C ）[1,2)- （D ）[1,2]- （2）已知复数iia z 213++=(R a ∈，i 是虚数单位)是纯虚数，则||z 为 （A ）32（B ）152（C ）6 （D ）3（3）“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）已知1sin cos 3αα-=，则cos(2)2πα-= （A ）89- （B ）23 （C ）89（D 17 （5）已知01a b c <<<<，则（A ）b a a a >（B ）a b c c >（C ）log log a b c c > （D ）log log b b c a >（6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图1 所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升） （A ）14（B ）212π+（C ）π+12（D ）π238+ （7）设计如图2的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数 （用j 表示），则判断框中应填入的条件是 （A ）?58<i （B ）?58≤i （C ）?59<j（D ）?59≤j（8）某微信群中四人同时抢3 则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为 （A ）14 （B ）34 （C ）53 （D ）21 （9）已知实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-+≥+-a y y x y x 003202，若 y x z 2-=的最小值为-3，则a 的值为（A ）1（B ）23（C ）2（D ）37（10）函数x x x f 21()(2-=的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ） （11）已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为O P QQD E F COBAP 图4图3F E DBCA（A ）64 （B ）128 （C ）192 （D ）384 （12）已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内有零点，则ω的取值范围是（A ）155(,)(,)484+∞U （B ）)1,85[]41,0(Y （C ）1155(,)(,)8484U （D ）115(,)(,)848+∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题:第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题:第(23)题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知向量(1,2),(2,1)a x b x =-=-r r 满足||||a b a b ⋅=-⋅r r u u r r，则 x = .（14）已知直线3460x y --=与圆2220()x y y m m R +-+=∈相切，则m 的值为 .（15）在△ABC 中，已知AB u u u r 与BC uuur 的夹角为150°，||2AC =u u u r ，则||AB uuu r 的取值范围是 .（16）已知双曲线2221(0)4x y b b-=>的离心率为1F 、2F 是双曲线的两个焦点，A为左顶点、B (0,)b ，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r的最小值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，1)1(21+++=+n na n a nn ． （I ）求证：数列}1{+nan 是等比数列；（II ）求数列}{n a 的前n 项和为n S ． (18)（本小题满分12分）已知图3中，四边形 ABCD 是等腰梯形，CD AB //，CD EF //，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，OQ 与EF的交点为P ，OP =1，PQ =2，现将梯形ABCD 沿EF 折起，使得3=OQ ，连结AD 、BC ，得一几何体如图4示．(Ⅰ)证明：平面ABCD ⊥平面ABFE ；(Ⅱ)若图3中，45A ∠=o ，CD=2，求平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值． （19）（本小题满分12分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智 力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n *)(N n ∈关者奖励12-n 件小奖品（奖品都一样）．图5 是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估 计概率．(Ⅰ)估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值； (Ⅱ)估计小明在3 次游戏中至少过两关的平均次数； (Ⅲ)估计小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率． （20）(本小题满分12分)已知椭圆()012222>>=+b a by a x 与抛物线)0(22>=p px y 共焦点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，且椭圆与抛物线的交点Q 满足25||2=QF ． （I ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II ）过抛物线上的点P 作抛物线的切线=+y kx m 交椭圆于A 、B 两点，设线段AB 的中点为),(00y x C ，求0x 的取值范围．(21)（本小题满分12分）设函数2)()(a x x f -=（a R ∈），x x g ln )(=，(Ⅰ) 试求曲线)()()(x g x f x F +=在点))1(,1(F 处的切线l 与曲线)(x F 的公共点个数；(Ⅱ) 若函数)()()(x g x f x G ⋅=有两个极值点，求实数a 的取值范围． （附：当0<a ，趋近于0时，xax -ln 2趋向于∞+） 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x y ⋅=αtan （πα<≤0，2πα≠），抛物线C ：⎩⎨⎧-==ty t x 22（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l 1 和抛物线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 1 和抛物线C 相交于点A （异于原点O ），过原点作与l 1垂直的直线l 2，l 2和抛物线C 相交于点B （异于原点O ），求△OAB 的面积的最小值．(23) (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-． （Ⅰ）求不等式()1f x ≤的解集A ；（Ⅱ）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+．揭阳市高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（6）易得该几何体为一底面半径为2、高为2的圆柱与一长、宽、高分别为4、3、1的长方体的组合，故其体积为： 21()24311222ππ⨯⨯+⨯⨯=+.（8）3个红包分配给四人共有34A 种分法，“甲、乙两人都抢到红包”指从3个红包中选2个分配给甲、乙，其余1个分配给另外二人，其概率为2213223432214322C A A A ⋅⨯⨯==⨯⨯． （9）如右图，当直线y xz 2-=过点(2,)A a a -时，取得最小值，即2231a a a --=-⇒=.（10）由(0)1f =-可排除（D ），由044)2(=-=-f ，01616)4(=-=-f ，可排（A ）（C ），故选（B ）. （11）以投影面为底面，6=，设长方体底面边长分别为,a b ，则2264a b +=，6V ab =223()192a b ≤+=．(12) 1cos sin 1())2224x x f x x ωωπω-=+-=-，由(41)()0()4k f x x k Z πω+=⇒=∈令2ω=得函数)(x f 有一零点98x π=(,2)ππ∈，排除（B ）、（C ），令38ω=得函数()f x 在(0,)+∞上的零点从小到大为：12210,,33x x ππ==L ，显然1x ∉)2,(ππ，2x ∉)2,(ππ可排除（A ），故答案为（D ）【法二：)4sin(22)(πω-=x x f ，由0)(=x f 得ππωk x =-4，当)2,(ππ∈x 时，)42,4(4πωππωππω--∈-x ，由题意知存在Z k ∈，)42,4(πωππωππ--∈k ，即)412,41(--∈ωωk ，所以41)41(21+<<+k k ω，由0>ω知0≥k ，当Λ,2,1,0=k 时，4181<<ω，4585<<ω，4989<<ω，…，所以选D ．】 二、填空题：解析：(15) 由AB u u u r 与BC uuur 的夹角为150°知30B ∠=o ,由正弦定理得： ||||4sin sin 30ABAC C ==ou u u r u u u r||4sin AB C ⇒=u u u r ,又0150C <<o得0||4AB <≤u u u r . （16）易得1c b ==，设(,)P x y 则12(,),)PF PF x y x y ⋅=-⋅-u u u r u u u u r225x y =+-，显然，当OP AB ⊥时，22x y +取得最小值， 由面积法易得22min4()5x y +=，故12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的最小值为421555-=-. 三、解答题：（17）解：（I ）证法1：由已知得1211+⋅=++nan a n n ，-----------------------------1分 ∴)1(2111+=+++nan a n n ，--------------------------------------------------------3分 又211=+a ，得01≠+na n，∴21111=++++na n a n n ，---------------------------------------5分 ∴数列}1{+na n是首项为2，公比为2的等比数列．-----------------------6分 【证法2：由1)1(21+++=+n na n a nn 得12(1)(1)n n na n a n n +=+++，----------------1分Q D EF COBAP由01>a 及递推关系，可知0>n a ，所以01≠+na n， ∴111(1)2(1)2(1)12(1)(1)(1)(1)1n n n n n n a na n n n a n n n a n a n n n a n n n+++++++++===+++++++，------------------5分∴数列}1{+na n是首项为2，公比为2的等比数列．----------------------------------6分】 （II ）由（I ）得n n nna 22211=⋅=+-，∴n n a n n -⋅=2，---------------------------8分 23122232(1)22n n n S n n -=+⨯+⨯++-+⋅L ])1(321[n n +-++++-Λ，设23122232(1)22n nn T n n -=+⨯+⨯++-+⋅L ，-------------① 则2341222232(1)22n n n T n n +=+⨯+⨯++-+⋅L ，---------② ①式减去②式得23122222n n n T n +-=++++-⋅L12(12)212n n n +-=-⋅-22)1(1---=+n n ，得22)1(1+-=+n n n T ，------------------------------------------------------------------10分又(1)123(1)2n n n n +++++-+=L ， ∴1(1)(1)222n n n n S n ++=--+．-----------------------------------------------------12分 （18）解：(Ⅰ)证明：在图3中，四边形ABCD 为等腰梯形，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，∴OQ 为等腰梯形ABCD 的对称轴，又AB//CD EF //， ∴OP ⊥EF 、PQ ⊥EF ，①---------------------2分 在图4中，∵222PQ OP OQ =+，∴OP OQ ⊥--------------3分 由①及P PQ OP =I ，得EF ⊥平面OPQ ，∴EF ⊥OQ ，----------------4分 又OP EF P =I ，∴OQ ⊥平面ABFE ，----------------------------------5分又⊂OQ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABFE ；-------------------------------------6分 (Ⅱ)在图4中，由45A ∠=o，CD=2，易得PE=PF=3，AO=OB=4，----------------7分以O 为原点，PO 所在的直线为轴建立空间直角坐标系xyz O -，如图所示， 则)0,4,0(B 、)0,3,1(-F、C得)0,1,1(--=BF，(0,BC =-u u u r-------8分 设(,,)m x y z =r是平面BCF 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥BC m BFm ρρ，得030m BF x y m BC y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u r r ， 取=3，得(m =u r---------9分同理可得平面ADE的一个法向量(n =r-------------------------------------10分设所求锐二面角的平面角为θ，则|||||||,cos |cos n m n m n m ρρρρρρ⋅⋅=><=θ35= 所以平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值为35．-------------------------------12分 （19）解：(Ⅰ)设小明在1次游戏中所得奖品数为ξ，则ξ的分布列为-------------------2分ξ的期望值41.0161.082.043.022.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；----------------4分(Ⅱ)小明在1 次游戏中至少过两关的概率为0.7，-----------------------------5分 设小明在3 次游戏中至少过两关的次数为，可知)7.0,3(~B X ， 则的平均次数1.27.03)(=⨯=X E ；------------------------------------------7分(Ⅲ)小明在3 次游戏中所得奖品超过30件含三类：恰好一次16=ξ和两次8=ξ，恰好二次16=ξ，恰好三次16=ξ，---------------------------------------------------------------8分213)8()16(=⋅=ξξP P C 003.01.01.032=⨯⨯=，---------------------------------9分)16()16(223≠⋅=ξξP P C =027.0)1.01(1.032=-⨯⨯，------------------------10分333)16(=ξP C 001.01.03==------------------------------------------------------------11分所以小明在 3 次游戏中所得奖品超过30件的概率为031.0001.0027.0003.0=++．------12分（20）解：（I ）∵抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，∴点M 到直线1-=x 的距离等于点M 到焦点2F 的距离，----------------1分 得1-=x 是抛物线px y 22=的准线，即12-=-p， 解得2=p ，∴抛物线的方程为x y 42=；-----------------------------------3分 可知椭圆的右焦点)0,1(2F ，左焦点)0,1(1-F ， 由25||2=QF 得251=+Q x ，又Q Q x y 42=，解得)6,23(±Q ，-------4分 由椭圆的定义得||||221QF QF a +=62527=+=，----------------------5分 ∴3=a ，又1=c ，得8222=-=c a b ，∴椭圆的方程为18922=+y x ．-----------------------------------------------------6分 （II ）显然0≠k ，0≠m ，由⎩⎨⎧=+=xy m kx y 42，消去，得0442=+-m y ky ， 由题意知01616=-=∆km ，得1=km ，-----------------------------------7分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x m kx y ，消去y ，得072918)89(222=-+++m kmx x k ， 其中4)18(22-=∆km 0)729)(89(22>-+m k ，化简得08922>+-m k ，-------------------------------------------------------9分 又mk 1=，得09824<--m m ，解得902<<m ，--------------------10分 设A (1，y 1)，B (2，y 2)，则89922210+-=+=k x x x <0， 由91122>=m k ，得10->x ，∴0x 的取值范围是)0,1(-．--------------12分 （21）解：（Ⅰ）∵2)1()1(a F -=，xa x x F 1)(2)('+-=，切线l 的斜率为a F 23)1('-=，---------------------------------------------1分∴切线l 的方程为)1)(23()1(2--=--x a a y ，即2)23(2-+-=a x a y ，-----2分联立x a x x F y ln )()(2+-==，得02ln 32=++-x x x ； 设2ln 3)(2++-=x x x x h ，则x x x h 132)('+-=xx x )1)(12(--=，----------3分 由0)('>x h 及0>x ，得210<<x 或1>x ， ∴)(x h 在)21,0(和),1(∞+上单调递增，可知)(x h 在)1,21(上单调递减，----4分 又0)1(=h ，031)1(242<-=ee e h ，所以∈∃0x )21,0(，0)(0=x h ，-----------5分∴方程02ln 32=++-x x x 有两个根：1和0x ，从而切线l 与曲线)(x F 有两个公共点．--6分(Ⅱ)由题意知0)1ln 2)(()('=-+-=xax a x x G 在),0(∞+至少有两不同根，----------------7分设xa x x r -+=1ln 2)(，①当0>a 时，a x =1是0)('=x G 的根，由1ln 2+=x y 与x a y =（0>a ）恰有一个公共点，可知01ln 2=-+xa x 恰有一根2x ，由a x x ==12得a =1，不合题意，∴当0>a 且1≠a 时，检验可知a x =1和2x 是)(x G 的两个极值点；-----------------8分②当0=a 时，0)1ln 2()('=+=x x x G 在),0(∞+仅一根，所以0=a 不合题意；--9分③当0<a 时，需01ln 2)(=-+=x a x x r 在),0(∞+至少有两不同根， 由02)('2>+=x a x x r ，得2a x ->，所以)(x r 在),2(∞+-a 上单调递增， 可知)(x r 在)2,0(a -上单调递减， 因为0<a ，趋近于0时，)(x r 趋向于∞+，且1>x 时，0)(>x r ，由题意知，需0)(min<x r ，即03)2ln(2)2(<+-=-a a r ，解得232-->e a ，------11分 ∴0223<<--a e ． 综上知，32(2,0)(0,1)(1,)a e -∈-+∞U U ．---------------------------------------------------12分选做题：（22）解：（Ⅰ）可知l 1是过原点且倾斜角为α的直线，其极坐标方程为αθ=(,)2R παρ≠∈---------------------------------------------------------2分抛物线C 的普通方程为x y 42=，-------------------------------------------3分其极坐标方程为θρθρcos 4)sin (2=，化简得θθρcos 4sin 2=．-----------------------------------------------------5分（Ⅱ）解法1：由直线l 1 和抛物线C 有两个交点知0α≠，把αθ=代入θθρcos 4sin 2=，得ααρ2sin cos 4=A ，-----------------6分 可知直线l 2的极坐标方程为2παθ+=)(R ∈ρ，-----------------------7分 代入θθρcos 4sin 2=，得ααρsin 4cos 2-=B ，所以ααρ2cos sin 4-=B ，----8分 ||||21||||21B A OAB OB OA S ρρ⋅=⋅=∆|cos sin 2|16αα=16|2sin |16≥=α， ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分【解法2：设1l 的方程为(0)y kx k =≠，由24,.y x y kx ⎧=⎨=⎩得点244(,)A k k ，------6分 依题意得直线2l 的方程为1y x k=-，同理可得点2(4,4)B k k -，-------------7分故1||||2OAB S OA OB ∆=⋅=-------------------------8分21816||k k +==⋅≥，（当且仅当1k =±时，等号成立） ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分】（23）解：（Ⅰ）由211x -≤，得1211x -≤-≤，即||1x ≤，--------------3分解得11x -≤≤，所以[]1,1A =-；----------------------------------------------5分 （Ⅱ）法一：()22222211m n mn m n m n +-+=+--()()2211m n =--------------------------------------7分因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，--------8分 故()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+又显然10mn +≥，故1m n mn +≤+．-------------------------------------------------1 0分【法二：因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，----------------6分而()()()1110m n mn m n +-+=--≤------------------------------7分 ()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，-------------------------8分即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+．------------------------------------10分】。
2019-2020学年广东省揭阳市高三第二次模拟考试数学模拟试题(理)有答案
6 23 正视图俯视图左视图图1揭阳市高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）函数()1lg(63)f x x x =+-的定义域为（A ）(,2)-∞ （B ）(2,)+∞ （C ）[1,2)- （D ）[1,2]- （2）已知复数iia z 213++=(R a ∈，i 是虚数单位)是纯虚数，则||z 为 （A ）32（B ）152（C ）6（D ）3（3）“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）已知1sin cos 3αα-=，则cos(2)2πα-= （A ）89- （B ）23 （C ）89（D 17 （5）已知01a b c <<<<，则（A ）b aa a >（B ）a bc c >（C ）log log a b c c > （D ）log log b b c a >（6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图1 所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升）（A ）14 （B ）212π+（C ）π+12（D ）π238+（7）设计如图2的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数 （用j 表示），则判断框中应填入的条件是 （A ）?58<i （B ）?58≤i （C ）?59<j（D ）?59≤j（8）某微信群中四人同时抢3 则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为 （A ）14 （B ）34 （C ）53 （D ）21 （9）已知实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-+≥+-a y y x y x 003202，若y x z 2-=的最小值为-3，则a 的值为（A ）1（B ）23 （C ）2（D ）37（10）函数x x x f )21()(2-=的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ）（11）已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为（A ）64 （B ）128 （C ）192 （D ）384 （12）已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内有零点，则ω的取值范围是（A ）155(,(,)484+∞U （B ）)1,85[]41,0(Y （C ）1155(,)(,8484U （D ）115(,(,)848+∞U第Ⅱ卷O P QQD E F COBAP 图4图3F E DBCA本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题:第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题:第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知向量(1,2),(2,1)a x b x =-=-r r 满足||||a b a b ⋅=-⋅r r u u r r，则 x = .（14）已知直线3460x y --=与圆2220()x y y m m R +-+=∈相切，则m 的值为 .（15）在△ABC 中，已知AB u u u r 与BC uuur 的夹角为150°，||2AC =u u u r ，则||AB uuu r 的取值范围是 .（16）已知双曲线2221(0)4x y b b-=>的离心率为2，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，A 为左顶点、B (0,)b ，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r的最小值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，1)1(21+++=+n na n a nn ． （I ）求证：数列}1{+nan 是等比数列；（II ）求数列}{n a 的前n 项和为n S ． (18)（本小题满分12分）已知图3中，四边形 ABCD 是等腰梯形，CD AB //，CD EF //，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，OQ 与EF 的交点为P ，OP =1，PQ =2，现将梯形ABCD 沿EF 折起，使得3=OQ ，连结AD 、BC ，得一几何体如图4示．(Ⅰ)证明：平面ABCD ⊥平面ABFE ；(Ⅱ)若图3中，45A ∠=o ，CD=2，求平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值． （19）（本小题满分12分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智 力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n *)(N n ∈关者奖励12-n 件小奖品（奖品都一样）．图5 是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估 计概率．(Ⅰ)估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值； (Ⅱ)估计小明在3 次游戏中至少过两关的平均次数； (Ⅲ)估计小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率．（20）(本小题满分12分)已知椭圆()012222>>=+b a by a x 与抛物线)0(22>=p px y 共焦点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，且椭圆与抛物线的交点Q 满足25||2=QF ． （I ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II ）过抛物线上的点P 作抛物线的切线=+y kx m 交椭圆于A 、B 两点，设线段AB 的中点为),(00y x C ，求0x 的取值范围．(21)（本小题满分12分）设函数2)()(a x x f -=（a R ∈），x x g ln )(=，(Ⅰ) 试求曲线)()()(x g x f x F +=在点))1(,1(F 处的切线l 与曲线)(x F 的公共点个数； (Ⅱ) 若函数)()()(x g x f x G ⋅=有两个极值点，求实数a 的取值范围． （附：当0<a ，x 趋近于0时，xax -ln 2趋向于∞+） 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x y ⋅=αtan （πα<≤0，2πα≠），抛物线C ：⎩⎨⎧-==ty t x 22（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l 1 和抛物线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 1 和抛物线C 相交于点A （异于原点O ），过原点作与l 1垂直的直线l 2，l 2和抛物线C 相交于点B （异于原点O ），求△OAB 的面积的最小值．(23) (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-． （Ⅰ）求不等式()1f x ≤的解集A ；（Ⅱ）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+．揭阳市高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（6）易得该几何体为一底面半径为2、高为2的圆柱与一长、宽、高分别为4、3、1的长方体的组合，故其体积为： 21()24311222ππ⨯⨯+⨯⨯=+.（8）3个红包分配给四人共有34A 种分法，“甲、乙两人都抢到红包”指从3个红包中选2个分配给甲、乙，其余1个分配给另外二人，其概率为2213223432214322C A A A ⋅⨯⨯==⨯⨯． （9）如右图，当直线y x z 2-=过点(2,)A a a -时，z 取得最小值，即2231a a a --=-⇒=.（10）由(0)1f =-可排除（D ），由044)2(=-=-f ，01616)4(=-=-f ，可排（A ）（C ），故选（B ）.（11）以投影面为底面，6=，设长方体底面边长分别为,a b ，则2264a b +=，6V ab =223()192a b ≤+=．(12) 1cos sin 1())22224x x f x x ωωπω-=+-=-，由(41)()0()4k f x x k Z πω+=⇒=∈令2ω=得函数)(x f 有一零点98x π=(,2)ππ∈，排除（B ）、（C ），令38ω=得函数()f x 在(0,)+∞上的零点从小到大为：12210,,33x x ππ==L ，显然1x ∉)2,(ππ，2x ∉)2,(ππ可排除（A ），故答案为（D ）【法二：)4sin(22)(πω-=x x f ，由0)(=x f 得ππωk x =-4，当)2,(ππ∈x 时，)42,4(4πωππωππω--∈-x ，由题意知存在Z k ∈，)42,4(πωππωππ--∈k ，即)412,41(--∈ωωk ，所以41)41(21+<<+k k ω，由0>ω知0≥k ，当Λ,2,1,0=k 时，4181<<ω，4585<<ω，4989<<ω，…，所以选D ．】 二、填空题：(15) 由AB u u u r 与BC uuur 的夹角为150°知30B ∠=o ,由正弦定理得： ||||4sin sin 30AB AC C ==ou u u r u u u r||4sin AB C ⇒=u u u r ,又0150C <<o得0||4AB <≤u u u r . （16）易得1c b ==，设(,)P x y 则12(,),)PF PF x y x y ⋅=-⋅-u u u r u u u u r 225x y =+-，显然，当OP AB ⊥时，22x y +取得最小值， 由面积法易得22min4()5x y +=，故12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的最小值为421555-=-. 三、解答题：（17）解：（I ）证法1：由已知得1211+⋅=++nan a n n ，-----------------------------1分 ∴)1(2111+=+++nan a n n ，--------------------------------------------------------3分 又211=+a ，得01≠+na n，∴21111=++++na n a n n ，---------------------------------------5分 ∴数列}1{+na n是首项为2，公比为2的等比数列．-----------------------6分 【证法2：由1)1(21+++=+n na n a nn 得12(1)(1)n n na n a n n +=+++，----------------1分 由01>a 及递推关系，可知0>n a ，所以01≠+na n，Q D E F COBAP∴111(1)2(1)2(1)12(1)(1)(1)(1)1n n n n n n a na n n n a n n n a n a n n n a n n n+++++++++===+++++++，------------------5分∴数列}1{+na n是首项为2，公比为2的等比数列．----------------------------------6分】 （II ）由（I ）得n n nna 22211=⋅=+-，∴n n a n n -⋅=2，---------------------------8分 23122232(1)22n n n S n n -=+⨯+⨯++-+⋅L ])1(321[n n +-++++-Λ，设23122232(1)22n nn T n n -=+⨯+⨯++-+⋅L ，-------------① 则2341222232(1)22n n n T n n +=+⨯+⨯++-+⋅L ，---------② ①式减去②式得23122222n n n T n +-=++++-⋅L12(12)212n n n +-=-⋅-22)1(1---=+n n ，得22)1(1+-=+n n n T ，------------------------------------------------------------------10分又(1)123(1)2n n n n +++++-+=L ， ∴1(1)(1)222n n n n S n ++=--+．-----------------------------------------------------12分 （18）解：(Ⅰ)证明：在图3中，四边形ABCD 为等腰梯形，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，∴OQ 为等腰梯形ABCD 的对称轴，又AB//CD EF //， ∴OP ⊥EF 、PQ ⊥EF ，①---------------------2分在图4中，∵222PQ OP OQ =+，∴OP OQ ⊥--------------3分 由①及P PQ OP =I ，得EF ⊥平面OPQ ，∴EF ⊥OQ ，----------------4分 又OP EF P =I ，∴OQ ⊥平面ABFE ，----------------------------------5分又⊂OQ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABFE ；-------------------------------------6分 (Ⅱ)在图4中，由45A ∠=o，CD=2，易得PE=PF=3，AO=OB=4，----------------7分以O 为原点，PO 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系xyz O -，如图所示， 则)0,4,0(B 、)0,3,1(-F、C得)0,1,1(--=，(0,BC =-u u u r-------8分 设(,,)m x y z =r是平面BCF 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥BC m BFm ρρ，得030m BF x y m BC y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u r r ， 取z =3，得(m =u r---------9分同理可得平面ADE的一个法向量(n =r-------------------------------------10分设所求锐二面角的平面角为θ，则|||||||,cos |cos n m n m n m ρρρρρρ⋅⋅=><=θ35= 所以平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值为35．-------------------------------12分 （19）解：(Ⅰ)设小明在1次游戏中所得奖品数为ξ，则ξ的分布列为-------------------2分ξ的期望值41.0161.082.043.022.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；----------------4分(Ⅱ)小明在1 次游戏中至少过两关的概率为0.7，-----------------------------5分 设小明在3 次游戏中至少过两关的次数为X ，可知)7.0,3(~B X ，则X 的平均次数1.27.03)(=⨯=X E ；------------------------------------------7分 (Ⅲ)小明在3 次游戏中所得奖品超过30件含三类：恰好一次16=ξ和两次8=ξ，恰好二次16=ξ，恰好三次16=ξ，---------------------------------------------------------------8分213)8()16(=⋅=ξξP P C 003.01.01.032=⨯⨯=，---------------------------------9分)16()16(223≠⋅=ξξP P C =027.0)1.01(1.032=-⨯⨯，------------------------10分333)16(=ξP C 001.01.03==------------------------------------------------------------11分所以小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率为031.0001.0027.0003.0=++．------12分 （20）解：（I ）∵抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，∴点M 到直线1-=x 的距离等于点M 到焦点2F 的距离，----------------1分 得1-=x 是抛物线px y 22=的准线，即12-=-p， 解得2=p ，∴抛物线的方程为x y 42=；-----------------------------------3分 可知椭圆的右焦点)0,1(2F ，左焦点)0,1(1-F ， 由25||2=QF 得251=+Q x ，又Q Q x y 42=，解得)6,23(±Q ，-------4分由椭圆的定义得||||221QF QF a +=62527=+=，----------------------5分 ∴3=a ，又1=c ，得8222=-=c a b ，∴椭圆的方程为18922=+y x ．-----------------------------------------------------6分 （II ）显然0≠k ，0≠m ，由⎩⎨⎧=+=xy m kx y 42，消去x ，得0442=+-m y ky ， 由题意知01616=-=∆km ，得1=km ，-----------------------------------7分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x m kx y ，消去y ，得072918)89(222=-+++m kmx x k ， 其中4)18(22-=∆km 0)729)(89(22>-+m k ，化简得08922>+-m k ，-------------------------------------------------------9分 又mk 1=，得09824<--m m ，解得902<<m ，--------------------10分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则89922210+-=+=k x x x <0， 由91122>=mk ，得10->x ，∴0x 的取值范围是)0,1(-．--------------12分 （21）解：（Ⅰ）∵2)1()1(a F -=，xa x x F 1)(2)('+-=， 切线l 的斜率为a F 23)1('-=，---------------------------------------------1分 ∴切线l 的方程为)1)(23()1(2--=--x a a y ，即2)23(2-+-=a x a y ，-----2分 联立x a x x F y ln )()(2+-==，得02ln 32=++-x x x ； 设2ln 3)(2++-=x x x x h ，则x x x h 132)('+-=xx x )1)(12(--=，----------3分 由0)('>x h 及0>x ，得210<<x 或1>x ， ∴)(x h 在)21,0(和),1(∞+上单调递增，可知)(x h 在)1,21(上单调递减，----4分 又0)1(=h ，031)1(242<-=ee e h ，所以∈∃0x )21,0(，0)(0=x h ，-----------5分 ∴方程02ln 32=++-x x x 有两个根：1和0x ，从而切线l 与曲线)(x F 有两个公共点．--6分(Ⅱ)由题意知0)1ln 2)(()('=-+-=xax a x x G 在),0(∞+至少有两不同根，----------------7分设xa x x r -+=1ln 2)(， ①当0>a 时，a x =1是0)('=x G 的根， 由1ln 2+=x y 与x a y =（0>a ）恰有一个公共点，可知01ln 2=-+xax 恰有一根2x ， 由a x x ==12得a =1，不合题意，∴当0>a 且1≠a 时，检验可知a x =1和2x 是)(x G 的两个极值点；-----------------8分 ②当0=a 时，0)1ln 2()('=+=x x x G 在),0(∞+仅一根，所以0=a 不合题意；--9分 ③当0<a 时，需01ln 2)(=-+=xax x r 在),0(∞+至少有两不同根， 由02)('2>+=x a x x r ，得2a x ->，所以)(x r 在),2(∞+-a上单调递增， 可知)(x r 在)2,0(a-上单调递减， 因为0<a ，x 趋近于0时，)(x r 趋向于∞+，且1>x 时，0)(>x r ， 由题意知，需0)(min <x r ，即03)2ln(2)2(<+-=-aa r ，解得232-->e a ，------11分∴0223<<--a e．综上知，32(2,0)(0,1)(1,)a e -∈-+∞U U ．---------------------------------------------------12分选做题：（22）解：（Ⅰ）可知l 1是过原点且倾斜角为α的直线，其极坐标方程为αθ=(,)2R παρ≠∈---------------------------------------------------------2分抛物线C 的普通方程为x y 42=，-------------------------------------------3分 其极坐标方程为θρθρcos 4)sin (2=，化简得θθρcos 4sin 2=．-----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）解法1：由直线l 1 和抛物线C 有两个交点知0α≠，把αθ=代入θθρcos 4sin 2=，得ααρ2sin cos 4=A ，-----------------6分 可知直线l 2的极坐标方程为2παθ+=)(R ∈ρ，-----------------------7分代入θθρcos 4sin 2=，得ααρsin 4cos 2-=B ，所以ααρ2cos sin 4-=B ，----8分.. ||||21||||21B A OAB OB OA S ρρ⋅=⋅=∆ |cos sin 2|16αα=16|2sin |16≥=α， ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分【解法2：设1l 的方程为(0)y kx k =≠，由24,.y x y kx ⎧=⎨=⎩得点244(,)A k k ，------6分 依题意得直线2l 的方程为1y x k =-，同理可得点2(4,4)B k k -，-------------7分故1||||2OAB S OA OB ∆=⋅=分21816||k k +==⋅≥，（当且仅当1k =±时，等号成立） ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分】（23）解：（Ⅰ）由211x -≤，得1211x -≤-≤，即||1x ≤，--------------3分解得11x -≤≤，所以[]1,1A =-；----------------------------------------------5分 （Ⅱ）法一：()22222211m n mn m n m n +-+=+--()()2211m n =--------------------------------------7分因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，--------8分故()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+又显然10mn +≥，故1m n mn +≤+．-------------------------------------------------1 0分【法二：因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，----------------6分而()()()1110m n mn m n +-+=--≤------------------------------7分 ()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，-------------------------8分即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+．------------------------------------10分】。
广东省揭阳市2020届高三第二次模拟考试数学试题(理)有答案(已审阅)
6 23 正视图左视图图1绝密★启用前揭阳市2019年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）函数()1lg(63)f x x x =+-的定义域为（A ）(,2)-∞ （B ）(2,)+∞ （C ）[1,2)- （D ）[1,2]- （2）已知复数iia z 213++=(R a ∈，i 是虚数单位)是纯虚数，则||z 为 （A ）32（B ）152（C ）6（D ）3（3）“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）已知1sin cos 3αα-=，则cos(2)2πα-= （A ）89- （B ）23 （C ）89（D 17（5）已知01a b c <<<<，则（A ）b aa a >（B ）a bc c >（C ）log log a b c c > （D ）log log b b c a >（6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图1所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升） （A ）14（B ）212π+（C ）π+12（D ）π238+ （7）设计如图2的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数 （用j 表示），则判断框中应填入的条件是 （A ）?58<i （B ）?58≤i （C ）?59<j（D ）?59≤j（8）某微信群中四人同时抢3 则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为（A ）14 （B ）34 （C ）53 （D ）21（9）已知实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-+≥+-a y y x y x 003202，若 y x z 2-=的最小值为-3，则a 的值为（A ）1（B ）23 （C ）2 （D ）37（10）函数x x x f )21()(2-=的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ）（11）已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为（A ）64 （B ）128 （C ）192 （D ）384 （12）已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内有零点，则ω的取值范围是（A ）155(,)(,)484+∞U （B ）)1,85[]41,0(Y （C ）1155(,(,)8484U （D ）115(,)(,)848+∞U第Ⅱ卷O P QQD E F COBAP 图4图3F E DBCA本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题:第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题:第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知向量(1,2),(2,1)a x b x =-=-r r 满足||||a b a b ⋅=-⋅r r u u r r，则 x = .（14）已知直线3460x y --=与圆2220()x y y m m R +-+=∈相切，则m 的值为 .（15）在△ABC 中，已知AB u u u r 与BC uuur 的夹角为150°，||2AC =u u u r ，则||AB uuu r 的取值范围是 .（16）已知双曲线2221(0)4x y b b-=>的离心率为2，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，A 为左顶点、B (0,)b ，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r的最小值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，1)1(21+++=+n na n a nn ． （I ）求证：数列}1{+nan 是等比数列；（II ）求数列}{n a 的前n 项和为n S ． (18)（本小题满分12分）已知图3中，四边形 ABCD 是等腰梯形，CD AB //，CD EF //，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，OQ 与EF的交点为P ，OP =1，PQ =2，现将梯形ABCD 沿EF 折起，使得3=OQ ，连结AD 、BC ，得一几何体如图4示．(Ⅰ)证明：平面ABCD ⊥平面ABFE ；(Ⅱ)若图3中，45A ∠=o ，CD=2，求平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值． （19）（本小题满分12分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智 力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n *)(N n ∈关者奖励12-n 件小奖品（奖品都一样）．图5 是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估 计概率．(Ⅰ)估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值； (Ⅱ)估计小明在3 次游戏中至少过两关的平均次数； (Ⅲ)估计小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率．（20）(本小题满分12分)已知椭圆()012222>>=+b a by a x 与抛物线)0(22>=p px y 共焦点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，且椭圆与抛物线的交点Q 满足25||2=QF ． （I ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II ）过抛物线上的点P 作抛物线的切线=+y kx m 交椭圆于A 、B 两点，设线段AB 的中点为),(00y x C ，求0x 的取值范围．(21)（本小题满分12分）设函数2)()(a x x f -=（a R ∈），x x g ln )(=，(Ⅰ) 试求曲线)()()(x g x f x F +=在点))1(,1(F 处的切线l 与曲线)(x F 的公共点个数； (Ⅱ) 若函数)()()(x g x f x G ⋅=有两个极值点，求实数a 的取值范围． （附：当0<a ，x 趋近于0时，xax -ln 2趋向于∞+） 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x y ⋅=αtan （πα<≤0，2πα≠），抛物线C ：⎩⎨⎧-==ty t x 22（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l 1 和抛物线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 1 和抛物线C 相交于点A （异于原点O ），过原点作与l 1垂直的直线l 2，l 2和抛物线C 相交于点B （异于原点O ），求△OAB 的面积的最小值．(23) (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-． （Ⅰ）求不等式()1f x ≤的解集A ；（Ⅱ）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+．揭阳市2019年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（6）易得该几何体为一底面半径为2、高为2的圆柱与一长、宽、高分别为4、3、1的长方体的组合，故其体积为： 21()24311222ππ⨯⨯+⨯⨯=+.（8）3个红包分配给四人共有34A 种分法，“甲、乙两人都抢到红包”指从3个红包中选2个分配给甲、乙，其余1个分配给另外二人，其概率为2213223432214322C A A A ⋅⨯⨯==⨯⨯． （9）如右图，当直线y x z 2-=过点(2,)A a a -时，z 取得最小值，即2231a a a --=-⇒=.（10）由(0)1f =-可排除（D ），由044)2(=-=-f ，01616)4(=-=-f ，可排（A ）（C ），故选（B ）. （11）以投影面为底面，6=，设长方体底面边长分别为,a b ，则2264a b +=，6V ab =223()192a b ≤+=．(12) 1cos sin 1())22224x x f x x ωωπω-=+-=-，由(41)()0()4k f x x k Z πω+=⇒=∈令2ω=得函数)(x f 有一零点98x π=(,2)ππ∈，排除（B ）、（C ），令38ω=得函数()f x 在(0,)+∞上的零点从小到大为：12210,,33x x ππ==L ，显然1x ∉)2,(ππ，2x ∉)2,(ππ可排除（A ），故答案为（D ） 【法二：)4sin(22)(πω-=x x f ，由0)(=x f 得ππωk x =-4，当)2,(ππ∈x 时，)42,4(4πωππωππω--∈-x ，由题意知存在Z k ∈，)42,4(πωππωππ--∈k ，即)412,41(--∈ωωk ，所以41)41(21+<<+k k ω，由0>ω知0≥k ，当Λ,2,1,0=k 时，4181<<ω，4585<<ω，4989<<ω，…，所以选D ．】 二、填空题：(15) 由AB u u u r 与BC uuur 的夹角为150°知30B ∠=o ,由正弦定理得： ||||4sin sin 30ABAC C ==ou u u r u u u r||4sin AB C ⇒=u u u r ,又0150C <<o得0||4AB <≤u u u r . （16）易得1c b ==，设(,)P x y 则12(,),)PF PF x y x y ⋅=-⋅-u u u r u u u u r 225x y =+-，显然，当OP AB ⊥时，22x y +取得最小值， 由面积法易得22min4()5x y +=，故12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的最小值为421555-=-. 三、解答题：（17）解：（I ）证法1：由已知得1211+⋅=++nan a n n ，-----------------------------1分 ∴)1(2111+=+++nan a n n ，--------------------------------------------------------3分 又211=+a ，得01≠+n a n ，∴21111=++++na n a nn ，---------------------------------------5分 ∴数列}1{+nan 是首项为2，公比为2的等比数列．-----------------------6分【证法2：由1)1(21+++=+n na n a nn 得12(1)(1)n n na n a n n +=+++，----------------1分 由01>a 及递推关系，可知0>n a ，所以01≠+na n， ∴111(1)2(1)2(1)12(1)(1)(1)(1)1n n n n n n a na n n n a n n n a n a n n n a n n n+++++++++===+++++++，------------------5分∴数列}1{+nan 是首项为2，公比为2的等比数列．----------------------------------6分】（II ）由（I ）得n n nna 22211=⋅=+-，∴n n a n n -⋅=2，---------------------------8分 23122232(1)22n n n S n n -=+⨯+⨯++-+⋅L ])1(321[n n +-++++-Λ，设23122232(1)22n nn T n n -=+⨯+⨯++-+⋅L ，-------------①Q D EF COBAP则2341222232(1)22n n n T n n +=+⨯+⨯++-+⋅L ，---------② ①式减去②式得23122222n n n T n +-=++++-⋅L12(12)212n n n +-=-⋅-22)1(1---=+n n ，得22)1(1+-=+n n n T ，------------------------------------------------------------------10分又(1)123(1)2n n n n +++++-+=L ， ∴1(1)(1)222n n n n S n ++=--+．-----------------------------------------------------12分 （18）解：(Ⅰ)证明：在图3中，四边形ABCD 为等腰梯形，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，∴OQ 为等腰梯形ABCD 的对称轴，又AB//CD EF //，∴OP ⊥EF 、PQ ⊥EF ，①---------------------2分 在图4中，∵222PQ OP OQ =+，∴OP OQ ⊥--------------3分 由①及P PQ OP =I ，得EF ⊥平面OPQ ，∴EF ⊥OQ ，----------------4分 又OP EF P =I ，∴OQ ⊥平面ABFE ，----------------------------------5分又⊂OQ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABFE ；-------------------------------------6分 (Ⅱ)在图4中，由45A ∠=o ，CD=2，易得PE=PF=3，AO=OB=4，----------------7分以O 为原点，PO 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系xyz O -，如图所示， 则)0,4,0(B 、)0,3,1(-F、C得)0,1,1(--=BF，(0,BC =-u u u r-------8分 设(,,)m x y z =r是平面BCF 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥m BF m ρρ，得030m BF x y m BC y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u rr ， 取z =3，得(m =u r ---------9分同理可得平面ADE的一个法向量(n =r-------------------------------------10分 设所求锐二面角的平面角为θ，则|||||||,cos |cos n m n m n m ρρρρρρ⋅⋅=><=θ35= 所以平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值为35．-------------------------------12分 （19）解：(Ⅰ)设小明在1次游戏中所得奖品数为ξ，则ξ的分布列为-------------------2分ξ的期望值41.0161.082.043.022.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；----------------4分(Ⅱ)小明在1 次游戏中至少过两关的概率为0.7，-----------------------------5分 设小明在3 次游戏中至少过两关的次数为X ，可知)7.0,3(~B X ，则X 的平均次数1.27.03)(=⨯=X E ；------------------------------------------7分(Ⅲ)小明在3 次游戏中所得奖品超过30件含三类：恰好一次16=ξ和两次8=ξ，恰好二次16=ξ，恰好三次16=ξ，---------------------------------------------------------------8分213)8()16(=⋅=ξξP P C 003.01.01.032=⨯⨯=，---------------------------------9分)16()16(223≠⋅=ξξP P C =027.0)1.01(1.032=-⨯⨯，------------------------10分333)16(=ξP C 001.01.03==------------------------------------------------------------11分所以小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率为031.0001.0027.0003.0=++．------12分 （20）解：（I ）∵抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，∴点M 到直线1-=x 的距离等于点M 到焦点2F 的距离，----------------1分 得1-=x 是抛物线px y 22=的准线，即12-=-p， 解得2=p ，∴抛物线的方程为x y 42=；-----------------------------------3分 可知椭圆的右焦点)0,1(2F ，左焦点)0,1(1-F ， 由25||2=QF 得251=+Q x ，又Q Q x y 42=，解得)6,23(±Q ，-------4分 由椭圆的定义得||||221QF QF a +=62527=+=，----------------------5分 ∴3=a ，又1=c ，得8222=-=c a b ，∴椭圆的方程为18922=+y x ．-----------------------------------------------------6分 （II ）显然0≠k ，0≠m ，由⎩⎨⎧=+=xy m kx y 42，消去x ，得0442=+-m y ky ， 由题意知01616=-=∆km ，得1=km ，-----------------------------------7分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x m kx y ，消去y ，得072918)89(222=-+++m kmx x k ， 其中4)18(22-=∆km 0)729)(89(22>-+m k ，化简得08922>+-m k ，-------------------------------------------------------9分又mk 1=，得09824<--m m ，解得902<<m ，--------------------10分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则89922210+-=+=k x x x <0， 由91122>=mk ，得10->x ，∴0x 的取值范围是)0,1(-．--------------12分（21）解：（Ⅰ）∵2)1()1(a F -=，xa x x F 1)(2)('+-=，切线l 的斜率为a F 23)1('-=，---------------------------------------------1分∴切线l 的方程为)1)(23()1(2--=--x a a y ，即2)23(2-+-=a x a y ，-----2分联立x a x x F y ln )()(2+-==，得02ln 32=++-x x x ； 设2ln 3)(2++-=x x x x h ，则x x x h 132)('+-=xx x )1)(12(--=，----------3分 由0)('>x h 及0>x ，得210<<x 或1>x ， ∴)(x h 在)21,0(和),1(∞+上单调递增，可知)(x h 在)1,21(上单调递减，----4分 又0)1(=h ，031)1(242<-=ee e h ，所以∈∃0x )21,0(，0)(0=x h ，-----------5分∴方程02ln 32=++-x x x 有两个根：1和0x ，从而切线l 与曲线)(x F 有两个公共点．--6分 (Ⅱ)由题意知0)1ln 2)(()('=-+-=xax a x x G 在),0(∞+至少有两不同根，----------------7分 设xa x x r -+=1ln 2)(， ①当0>a 时，a x =1是0)('=x G 的根，由1ln 2+=x y 与x a y =（0>a ）恰有一个公共点，可知01ln 2=-+xax 恰有一根2x ， 由a x x ==12得a =1，不合题意，∴当0>a 且1≠a 时，检验可知a x =1和2x 是)(x G 的两个极值点；-----------------8分 ②当0=a 时，0)1ln 2()('=+=x x x G 在),0(∞+仅一根，所以0=a 不合题意；--9分③当0<a 时，需01ln 2)(=-+=xax x r 在),0(∞+至少有两不同根， 由02)('2>+=x a x x r ，得2a x ->，所以)(x r 在),2(∞+-a上单调递增，可知)(x r 在)2,0(a-上单调递减，因为0<a ，x 趋近于0时，)(x r 趋向于∞+，且1>x 时，0)(>x r ，由题意知，需0)(min <x r ，即03)2ln(2)2(<+-=-aa r ，解得232-->e a ，------11分∴0223<<--a e．综上知，32(2,0)(0,1)(1,)a e -∈-+∞U U ．---------------------------------------------------12分选做题：（22）解：（Ⅰ）可知l 1是过原点且倾斜角为α的直线，其极坐标方程为αθ=(,)2R παρ≠∈---------------------------------------------------------2分抛物线C 的普通方程为x y 42=，-------------------------------------------3分 其极坐标方程为θρθρcos 4)sin (2=，化简得θθρcos 4sin 2=．-----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）解法1：由直线l 1 和抛物线C 有两个交点知0α≠，把αθ=代入θθρcos 4sin 2=，得ααρ2sin cos 4=A ，-----------------6分可知直线l 2的极坐标方程为2παθ+=)(R ∈ρ，-----------------------7分代入θθρcos 4sin 2=，得ααρsin 4cos 2-=B ，所以ααρ2cos sin 4-=B ，----8分 ||||21||||21B A OAB OB OA S ρρ⋅=⋅=∆|cos sin 2|16αα=16|2sin |16≥=α， ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分【解法2：设1l 的方程为(0)y kx k =≠，由24,.y x y kx ⎧=⎨=⎩得点244(,)A k k ，------6分依题意得直线2l 的方程为1y x k=-，同理可得点2(4,4)B k k -，-------------7分故1||||2OAB S OA OB ∆=⋅=分21816||k k +==⋅≥，（当且仅当1k =±时，等号成立） ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分】 （23）解：（Ⅰ）由211x -≤，得1211x -≤-≤，即||1x ≤，--------------3分解得11x -≤≤，所以[]1,1A =-；----------------------------------------------5分（Ⅱ）法一：()22222211m n mn m n m n +-+=+--()()2211m n =--------------------------------------7分因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，--------8分 故()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+又显然10mn +≥，故1m n mn +≤+．-------------------------------------------------1 0分 【法二：因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，----------------6分而()()()1110m n mn m n +-+=--≤------------------------------7分()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，-------------------------8分即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+．------------------------------------10分】。
广东省揭阳市高考数学二模试卷(理科)
广东省揭阳市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·宜春期中) 在复平面内，复数 ( 是虚数单位)的共轭复数对应的点位于（）A . 第四象限B . 第三象限C . 第二象限D . 第一象限2. （2分） (2020高三上·长春月考) 若集合，，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二下·高青开学考) “α= +2kπ（k∈Z）”是“cos2α= ”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）(2020·天津模拟) 抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p的值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二下·湖南期中) （）A .B .C .D .6. （2分） (2015高三上·盘山期末) 已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A . 3B . 2C . ﹣2D . ﹣37. （2分）已知一个几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为（）A . 4B . 8C .D .8. （2分） (2016高二下·宜春期中) 吉安市高二数学竞赛中有一道难题，在30分钟内，学生甲内解决它的概率为，学生乙能解决它的概率为，两人在30分钟内独立解决该题，该题得到解决的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）(2019·和平模拟) 若函数的图象关于对称，则函数在上的最小值是（）A .B .C .D .10. （2分）(2016·河北模拟) 如图是一个程序框图，则输出的S的值是（）A . 0B . 1C . 2D . 411. （2分） (2017高二上·临淄期末) 已知向量，，则的最小值为（）A . 2B .C .D .12. （2分） (2016高一上·沽源期中) 已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x，则 =（）A . 2B . 1C . ﹣1D . ﹣2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在产品检验时，常采用抽样检查的方法．现在从100件产品（已知其中有3件不合格品）中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有________ 种．（用数值作答）14. （1分） (2017高三上·泰安期中) 函数在x=1处的切线的斜率为________．15. （1分） (2019高二下·上海期末) 若的展开式中的第项等于，则的值为________．16. （1分） (2017·东城模拟) 已知双曲线G以原点O为中心，过点，且以抛物线C：y2=4x的焦点为右顶点，那么双曲线G的方程为________．三、解答题 (共7题；共45分)17. （5分）解答下列各题（Ⅰ）求﹣2sin10°•tan80°的值．（Ⅱ）已知cosα= ，cos（α﹣β）= ，且0＜β＜α＜．求β的值．18. （5分） (2019高二下·宁德期末) 夏天喝冷饮料已成为年轻人的时尚. 某饮品店购进某种品牌冷饮料若干瓶，再保鲜.（Ⅰ）饮品成本由进价成本和可变成本（运输、保鲜等其它费用）组成.根据统计，“可变成本” （元）与饮品数量（瓶）有关系. 与之间对应数据如下表：饮品数量（瓶）24568可变成本（元）34445依据表中的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；如果该店购入20瓶该品牌冷饮料，估计“可变成本”约为多少元？（Ⅱ）该饮品店以每瓶10元的价格购入该品牌冷饮料若干瓶，再以每瓶15元的价格卖给顾客。
广东省揭阳市高三数学第二次模拟考试 理
揭阳市2011年高中毕业班第二次高考模拟考数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题将答案代号填在答题卡的选择题答案栏中，不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =,其中S 表示底面积，h 表示高． 乘法公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|11,}M x x x Z =-≤≤∈,{|02}N x x =≤≤，则MN 为A. {1}B. {0,1,2}C. {|01}x x ≤≤D. {0,1} 2．设(12)34i z i -=+，则||z 为A ．3 B ．5C ．5 3. 为了解某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）的关系，统计了（ｘ，ｙ）的10组值，并画成散点图如图１，则其回归方程可能是 A . 10198y x ∧=-- B. 10198y x ∧=-+ C. 10198y x ∧=+ D.10198y x ∧=-图1图２主视图C 1B 1A 1CB A4．要得到函数sin(2)4y x π=+的图象，只要将函数sin 2y x =的图象A.向左平移4π单位 B.向右平移4π单位 C.向右平移8π单位 D.向左平移8π单位5．已知命题p ：x R ∃∈，5cos 4x =；命题q ：2,10x R x x ∀∈-+>.则下列结论正确的是A ．命题p q ∧是真命题B ．命题p q ∧⌝是真命题C ．命题p q ⌝∧是真命题D ．命题p q ⌝∨⌝是假命题 6．如图2，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱1AA ⊥底面ABC ，其主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为A ．16 B． C．．7．已知点(,)M x y 满足1,10,220.x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若ax y +的最小值为3，则a 的值为A ．1B ．2C ．3D ．48．已知平面区域0{(,)|y x y y ≥⎧⎪Ω=⎨≤⎪⎩，直线2y mx m =+和曲线y =有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若01m ≤≤，则()P M 的取值范围为 A ．2(0,]2ππ- B ．2(0,]2ππ+ C ．2[,1]2ππ+ D ．2[,1]2ππ- 二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30（一）必做题（9～13题） 9．函数()ln(2)xf x x =- 的定义域为 .10．双曲线29x －216y =1的离心率e = ；焦点到渐近线的距离为 . 11．在Rt ABC ∆中，0C=90∠，AB AC ⋅= .12．根据图3所示的程序框图，若0514231,5,10,a a a a a a ======3DEB A男女6432性别人数科别甲科室乙科室则输出的V 值为 ．13．在平面直角坐标系中，定义点11(,)P x y 、22(,)Q x y 之间的直角距离为1212(,)||||d P Q x x y y =-+-若点(,1),(1,2),(2,5)A x B C ，且(,)(,)d A B d A C >，则x 的取值范围为 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题, 两题全答的，只计前一题的得分）14．（几何证明选做题）如图4，BD ⊥AE ，90C?o ，AB ＝4, BC ＝2,AD ＝3,则DE ＝ ；CE ＝ . 图415．(坐标系与参数方程选做题) 设M 、N 分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()42in πρθ+=上的动点，则M 与N 的最小距离是 .三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. （本小题满分12分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，△ABC 的面积S满足cos S A =. （1）求角A 的值；（2）若a =B 的大小为,x 用x 表示c ，并求c 的取值范围．17.(本小题满分12分)某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见右表.现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个 科室中共抽取3名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查.（1）求从甲、乙两科室各抽取的人数；（2）求从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率； （3）记ξ表示抽取的3名工作人员中男性的人数，求ξ的分布列及数学期望.18. （本小题满分14分）已知数列{}n a 是首项11a =，公差大于０的等差数列，其前ｎ项和为n S ，数列{}n b 是首项12b =的等比数列，且2216b S =,3372b S =．DCBA(1) 求n a 和n b ；(2) 令11c =，221k k c a -=，212k k k c a kb +=+（⋅⋅⋅=,3,2,1k ），求数列{}n c 的前12+n 项和12+n T ．19．（本小题满分14分）已知如图5，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为矩形，且PA=AD=1,AB=2,120PAB ∠=,90PBC ∠=.(1)求证：平面PAD ⊥平面PAB ；(2)求三棱锥D －PAC 的体积；(3)求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值． 图520．（本小题满分14分）已知：向量(3,0)OA =，O 为坐标原点，动点M 满足：||||4OM OA OM OA ++-=. (1) 求动点 M 的轨迹 C 的方程；（2）已知直线1l 、2l 都过点(0,1)B ，且12l l ⊥，1l 、2l 与轨迹C 分别交于点D 、E ，试探究是否存在这样的直线？使得△BDE 是等腰直角三角形.若存在，指出这样的直线共有几组(无需求出直线的方程)；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分14分）已知：函数2()21f x ax x =-+. (1) 若113a ≤≤，且()f x 在[1,3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-，求()g a 的表达式；(2) 在(1)的条件下，求证：1()2g a ≥； （3）设0a >，证明对任意的121,[,)x x a∈+∞，1212|()()|||f x f x a x x -≥-.y=2x-2x揭阳市2011年高中毕业班第二次高考模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一．选择题：DCBD CDCD 解析：5．因命题p 假，命题q 真，所以答案选C. 6．该三棱柱的侧视图是长为4，宽为 D.7. 由各选项知a 取正值，设ax y z +=，结合图形易得当直线y ax z =-+ 过点(1,0)时，ax y +取得最小值，故3a =，选C. 8.已知直线2y mx m =+过半圆y =上一点（－2,０）， 当ｍ＝０时直线与ｘ轴重合，这时()1P M =，故可排除A,B,若ｍ＝１，如图可求得当2()2P M ππ-=，故选D. 二．填空题：9. {|23x x <<或3}x >；10.53、4； 11. 3；12.32；13. 0x <或3x >；14.5、1 . 解析：10．因3,45a b c ==⇒=，所以53e =，焦点(5,0)到渐近线43y x =的距离为4545d ⨯== 11. ()2AB AC AC+CB AC AC 3⋅=⋅==，或AB AC |AB||AC|cos A ⋅=⋅|||AB ||AC ||AB |AC =⋅2||3AC ==． 12．该框图是求多项式5432543210a x a x a x a x a x a +++++当01x x ==时的值，依题意知5432543210a x a x a x a x a x a +++++5(1)x =+，故输出的ｖ值为5(11)32+=.13．由定义得|1|1|2|4|1||2|3x x x x -+>-+⇒--->，解得0x <或3x >．14.依题意得△ADB ∽△ACB AD ABAD AE AC AB AC AE ⇒=⇒⋅=⋅()AD AD DE AC AB ⇒+=⋅ 64953DE ⨯-⇒==,DB =由DB AD DB ACEC EC AC AD⋅=⇒==15.将方程2sin 0ρθ+=和s ()4in πρθ+=化为普通方程得2220x y y ++=1x y +=结合图形易得M 与N1.三．解答题：16.解：（1）在ABC ∆中，由cos S A =1sin 2bc A =得tan A =-------------------------------------------------------------------------------3分∵0A π<< ∴3A π=-------------------------------------------5分（2）由3a A π==及正弦定理得2sin sin a c A C===，------------7分 ∴22sin 2sin()2sin()3c C A B x ππ==--=---------------------------9分∵3A π= ∴203x π<< ∴22033x ππ<-<--------------------10分∴20sin()13x π<-≤， 202sin()23x π<-≤ 即(0,2]c ∈ ------------------------------------------------------------12分17.解：（1）从甲组应抽取的人数为310215⨯=，从乙组中应抽取的人数为35115⨯=；--------2分（2）从甲组抽取的工作人员中至少有1名女性的概率26210213C P C =-=（或11246421023C C C P C +==）----------------------------------------------------5分（3）ξ的可能取值为0，1，2，3-----------------------------------------------------6分2142211054(0)75C C P C C ξ==⋅=，------------------------------------------------------------7分1111246324212110510522(1)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=，---------------------------------------------8分2163211051(3)5C C P C C ξ==⋅=，---------------------------------------------------------------9分34(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-==（或 2111166432212110510534(2)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=)-------10分∴ξ的分布列如右4223419012375757555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=---------------------------------12分 18.解：(1)设数列{}n a 的公差为d （0d >）数列{}n b 的公比为q ，则1(1),n a n d =+- 12n n b q -=.------------------1分 依题意得222(2)16b S q d =+=，2332(33)72b S q d =+=由此得2(2)8(1)12q d q d +=⎧⎨+=⎩ ∵0d >,解得22d q =⎧⎨=⎩.----------------------5分∴21n a n =-，2n n b =.----------------------------------------------6分 (2) ∵()211121342()2n T c a a b a a b +=++++++⋅ +⋅⋅⋅212()n n n a a nb -+++＝2121(2)n n S b b nb ++++⋅⋅⋅+---------------------------------------9分令122n A b b nb =+++则22222n A n =+⋅++⋅2312222(1)22n n A n n +=+⋅++-+⋅P ABCDE 212222n n A n +-=+++-⋅，∴11222n n A n ++=⋅-+-----------------12分又2222(1)42n n n a S n +==，∴2112114222n n n T n n +++=++⋅-+2134(1)2n n n +=++-.-------------------14分 19. (1)证明：∵ABCD 为矩形∴AD AB ⊥且//AD BC --------------------------------------1分 ∵BC PB ⊥ ∴DA PB ⊥且AB PB B = --------------------2分∴DA ⊥平面PAB ,又∵DA ⊂平面PAD∴平面PAD ⊥平面PAB -----------------------------------------5分(2) ∵D PAC P DAC P ABC C PAB V V V V ----===----------------------------------7分由（1）知DA ⊥平面PAB ，且//AD BC ∴BC ⊥平面PAB -------------8分 ∴111sin 332C PAB PAB V S BC PA AB PAB BC -∆=⋅=⋅⋅⋅∠⋅11216=⨯⨯=----10分 （3）解法1：以点A 为坐标原点，AB 右图示，则依题意可得(0,0,1)D ,(0,2,1)C,1(,0)22P - 可得35(,1)2CP =--, ----------------------------12分 平面ABCD 的单位法向量为(1,0,0)m =，设直线PC 与平面ABCD所成角为θ，则cos()2||||m CP m CP πθ⋅-===⋅∴sin θ=，即直线PC 与平面ABCD 分 解法2：由（1）知DA ⊥平面PAB ，∵AD ⊂面ABCD∴平面ABCD⊥平面PAB, 在平面PAB 内，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，则PE ⊥平面ABCD，连结EC ，则∠PCE 为直线PC 与平面ABCD 所成的角-------------12分 在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴PE=,又2222cos1207PB PA AB PA AB =+-⋅=∴PC ==在Rt△PEC中sinPEPCθ===.即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值分20．(1)解法１：设'()A------------------------------ 1分则|||||'|||OM OA OM OA OM OA OM OA++-=-+-=|'|||4MA MA+=>分∴动点M的轨迹为以A、'A为焦点，长轴长为 4的椭圆-----------------5分由42c a a=⇒=∴1b==----------------------------- 6分∴动点M的轨迹C的方程为2214xy+=---------------------------------7分[解法２：设点(,)M x y，则(3,),()OM OA x y OM OA x y+=+-=------------------------2分∵||||4OM OAOM OA++-=4=>------------------------------ 4分∴点M的轨迹C是以(为焦点，长轴长为 4 的椭圆------------5分∴2,a c==∴1b== --------------------------6分∴动点M的轨迹C的方程为2214xy+=------------------7分](2)由（1）知，轨迹C是椭圆2214xy+=，点(0,1)B是它的上顶点，设满足条件的直线1l、2l存在，直线1l的方程为1(0)y kx k=+>----①则直线2l的方程为11y xk=-+，-------------②--------------------------------------------------------------8分将①代入椭圆方程并整理得：22(14)80k x kx++=，可得2814Dkxk-=+，则228114Dkyk-=++.--9分将②代入椭圆方程并整理得：22(4)80k x kx +-=，可得284E kx k =+，则2814E y k-=++.---10分 由△BDE 是等腰直角三角形得||||BD BE=⇒=2422222222264646464(14)(14)(4)(4)k k k k k k k ⇒+=+++++222222222222(1)11(14)(4)(14)(4)k k k k k k k k ++⇒=⇒=++++221144k k k ⇒=++ 3232414144k k k k k k ⇒+=+⇒-=-2(1)(1)4(1)k k k k k ⇒-++=-----③--------12分∴1k =或2310k k -+=-----④-----------------------------------------------------------------------13分 ∵方程④的根判别式50∆=>，即方程④有两个不相等的实根，且不为1. ∴方程③有三个互不相等的实根.即满足条件的直线1l 、2l 存在，共有3组．-----------------------------------------------------------14分 （注：只答存在1组，给2分） 21.解：（1）∵211()()1f x a x aa=-+-由113a ≤≤得113a ≤≤ ∴11()()1N a f a a ==-.-----------------------2分 当112a ≤<，即112a <≤时，()M a (3)95f a ==-,故1()96g a a a=+-；-----------3分当123a ≤≤，即1132a ≤≤时，()M a (1)1f a ==-，故1()2g a a a=+-.-------------4分∴1112,[,];32()1196,(,1].2a a a g a a a a ⎧+-∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩-------------------------------------------------5分（2）∵当11[,]32a ∈时，21'()1g a a =-0<，∴函数()g a 在11[,]32上为减函数；---------6分 当1(,1]2a ∈时，21'()90g a a =->，∴函数()g a 在1(,1]2上为增函数，-------------7分 ∴当12a =时，()g a 取最小值，min 11()()22g a g ==,-------------------------------8分 故1()2g a ≥.------------------------------------------------------------------9分 （3）∵当0a >时，抛物线2()21f x ax x =-+开口向上，对称轴为1x a=， ∴函数()f x 在1[,)a +∞上为增函数，-----------------------------------------------------------10分（或由'()220f x ax =-≥得1x a ≥，∴函数()f x 在1[,)a+∞上为增函数） 不妨设12x x ≤，由121,[,)x x a ∈+∞得12()()f x f x ≤∴1212|()()|||f x f x a x x -≥-2121()()()f x f x a x x ⇔-≥-2211()()f x ax f x ax ⇔-≥- 令2()()(2)1x f x ax ax a x ϕ=-=-++，x ∈1[,)a+∞----------------------------------12分 ∵抛物线()y x ϕ=开口向上，对称轴为22a x a +=，且211122a a a a+=+> ∴函数()x ϕ在1[,)a +∞上单调递增，∴对任意的121,[,)x x a∈+∞，21x x ≥ 有21()()x x ϕϕ≥，即2()()f x a x f -≥-1|()(f x f ⇔-≥-----------14分。
揭阳市重点中学2025届高三第二次调研数学试卷含解析
揭阳市重点中学2025届高三第二次调研数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( ) A ．1+i B ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+2．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．3．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19B ．20C ．21D ．225．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．52D ．726．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．由曲线y ＝x 2与曲线y 2＝x 所围成的平面图形的面积为( ) A ．1B ．13C ．23D ．438．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ） A ．8B ．16C ．62D ．1229．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．2,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭10．若复数()()31z i i =-+，则z =（ ） A ．22B ．25C ．10D ．2011．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．14012．已知向量(1,4)a =，(2,)b m =-，若||||a b a b +=-，则m =（ ） A ．12-B ．12C ．-8D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省揭阳市高中毕业班第二次高考模拟考试题理科数学
广东省揭阳市2009年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时l20分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卷上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卷的整洁,考试结束后，将试卷和答题卷一并交回. 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．若函数()1f x x =-A ，函数()lg(1)g x x =-，[2,11]x ∈的值域为B ，则A B为A.(,1]-∞B.(,1)-∞C. [0,1]D.[0,1)2．已知复平面内复数sin cos z i αα=- (0)απ<< 对应的点P 在直线3y x =上，则实数α的值为 A.56π B. 23π C. 3π D. 6π 3．等比数列{}n a 中，36a =，前三项和3304S xdx =⎰，则公比q 的值为A. 1B.12-C.1或12-D.－1或12- 4．已知条件p ：1x ≤，条件q ：x1<1，则q 是⌝p 成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件5．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图象解析式为A.y =sin 2xB. y =cos2xC. y =2sin(2)3x π+D. y =sin(2)6x π- 6．椭圆22221x y a b+=（a >0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过2F 作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为M ，若1MF 垂直于x 轴，则椭圆的离心率为A ．122311-B ．23C ．2(23)-D ．337．若三角形的三边均为正整数，其中有一边长为４，另外两边长分别为b 、c ，且满足4b c ≤≤，则这样的三角形有．A. 10个B. 14个C. 15个D. 21个 8．已知函数1()lg ()2xf x x =-有两个零点21,x x ，则有A. 021<x xB. 121=x xC. 121>x xD. 1021<<x x 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题,每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～12题）9．设函数, (0)()(). (0)x x f x g x x >⎧=⎨<⎩3log 若()f x 是奇函数，则1()9g -的值为 ．10.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表： 喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生 ２０ ５ ２５ 女生 １０ １５ ２５ 合计 ３０ ２０５０2()p K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.7063.8415.0246.6357.87910.828则根据以下参考公式可得随机变量2K 的值为 、（保留三位小数）有 ％． 的把握认为喜爱打篮球与性别有关．401050PCB俯视图202020NM C ABO(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)11．设211210110121011(1)(1)(2)(2)(2)(2)x x a a x a x a x a x +++=+++++++++，则10a = ．（用数值表示）.12．一简单组合体的三视图及尺寸如右图示（ 单位：ｃｍ） 则该组合体的表面积为 2cm ．（二）选做题（13～15题，考生只能从中选做两题）13． (坐标系与参数方程选做题) 如图，AB 是半径为１的圆的一条直径， C 是此圆上任意一点，作射线AC ，在AC 上存在点P ，使得1AP AC ⋅=, 以A 为极点，射线AB 为极轴建立极坐标系，则圆的方程为 、 动点P 的轨迹方程为 ．14．（几何证明选讲选做题）如图，点B 在⊙O 上， M 为直径AC 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，45BNA ∠= ，若⊙O 的半径为23，3， 则MN 的长为 ．15．(不等式选讲选做题)若关于x 的不等式2124x x a a +--<-有实数解，则实数a 的取值范围是 ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量(,)m a c b =+，(,)n a c b a =--，且0m n ⋅=，其中,,A B C 是△ABC 的内角，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边.(1) 求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的取值范围. 17．（本小题满分12分）某工艺厂开发一种新工艺品，头两天试制中，该厂要求每位师傅每天制作10件，该厂质检部每天从每位师傅制作的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天该师傅的产品不能通过．已知李师傅第一天、第二天制作的工艺品中分别有2件、1件次品． （1）求两天中李师傅的产品全部通过检查的概率；s ＝0s=s+t开始i ＝1n=2002t=100+50x(i-1)输出n 结束是p qr?否（2）若厂内对师傅们制作的工艺品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分，求李师傅在这两天内得分的数学期望．18．（本小题满分14分）如图，△ABC 内接于圆O,AB 是圆O 的直径，2AB =，1BC =， 设AE 与平面ABC 所成的角为θ,且3tan θ=,四边形DCBE 为平行 四边形，DC ⊥平面ABC ．（1）求三棱锥C －ABE 的体积； （2）证明：平面ACD ⊥平面ADE ； （3）在CD 上是否存在一点M ，使得MO平面ADE ？证明你的结论．19.（本小题满分14分） 某地区有荒山2200亩，从年开始每年年初在荒山上植树造林，第一年植树100亩，以后每年比上一年多植树50亩．（1）若所植树全部成活，则到哪一年可以将荒山全部绿化？（2）右图是某同学设计的解决问题（１）的程序框图，则框图中ｐ，ｑ，ｒ处应填上什么条件？（3）若每亩所植树苗木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20％，那么到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量是多少？ （精确到１立方米, 81243..≈）20．（本小题满分14分）已知抛物线2y x ax b =++()x R ∈的对称轴为1x =-，且与坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为M . (1) 求实数b 的取值范围；(2) 设抛物线与ｘ轴的左交点为A ，直线l 是抛物线在点A 处的切线，试判断直线l 是否也是圆M 的切线？并说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数ln ()xf x x x=- （1）求函数()f x 的最大值；（2）设0m >，求()f x 在[,2]m m 上的最大值； (3) 试证明：对n N *∀∈，不等式211lnn nn n++<恒成立．c=b+4321c=444cbF 2F 1O Myx揭阳市高中毕业班第二次高考模拟考 数学（理科）参考答案及评分说明一．选择题：CACB DBAD 1．∵A=(,1]-∞,B=[0,1] ∴AB =[0,1],故选C ．2．由点P 在上直线3y x =上得cos 3αα-=⇒3tan 3α=-， ∵0απ<< ∴56πα=，故选A . 3．∵3304S xdx =⎰＝18，∴ 23122(1)12210a a a q q q q +=+=⇒--=1q ⇒=或12q =-，故选C ．4．⌝p ：1x >，q ：110x x <⇔<或1x >，故q 是⌝p 成立的必要不充分条件，故选B. 5．由图像知A=1, 311341264T πππ=-=,T π=⇒2ω=,由sin(2)16πφ⨯+=,||2πφ<得32ππφ+=⇒6πφ=⇒()sin(2)6f x x π=+，则图像向右平移6π个单位后得到的图像解析式为sin[2()]sin(2)666y x x πππ=-+=-，故选D.6．如图在12Rt MF F ∆中，211260,2MF F F F c ∠==24MF c =∴，123MF c =124232MF MF c c a +=+=∴23ce a⇒==- B.7．依题意得444b c c b ≤⎧⎪≥⎨⎪-<⎩且,b c N *∈,如图易得满足条件的三角形有10个，故选A .8．函数1()lg ()2xf x x =-的两个零点21,x x ，即方程()0f x =的两根，也就是函数|lg |y x =与1()2x y =的图象交点的横坐标，如图易得交点的横坐标分别为 ,,21x x 显然()()+∞∈∈,1,1,021x x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛21lg 21lg 2121x x x x ⇒10,02121lg 212112<<∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x x x x ，故选D.二．填空题：9.2；10.8.333、99.5；11.－11 ；12. 12800ｃｍ2； 13. 2cos ρθ=、1cos 2ρθ=；14. 2 ；15. 3a >或1a <.解析：9．111()()()999g f f -=-=-，311()log 299f ==-， 1)29(g =∴-．10. 2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，对照临界值表可知有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关． 11.()112112(1)(1)(1)21x x x x +++=+++-⎡⎤⎣⎦，在()1121x +-⎡⎤⎣⎦的展开式中，含()102x +的项为()()1011121C x +-，()11011111a C ∴=⋅-=-. 12．该组合体的表面积为：222212800S S S cm++侧视图主视图俯视图＝13. 易得圆的方程为2cos ρθ=，设0(,),(,)C P ρθρθ，则002cos ,1ρθρρ== ∴动点P 方程为1cos 2ρθ=. 14．∵45BNA ∠=∴90BOA ∠=,∵OM=2,BO=23∴BM=4, ∵BM·MN=CM·MA=(23+2)(23-2)=8，∴MN=2． 15.()()12123x x x x +--≤+--= 3123x x ∴-≤+--≤由不等式2412a a x x ->+--有实数解，知243a a ->-，解得3a >或1a <. 三．解答题：16.解：（1）由0m n ⋅=得()()()0a c a c b b a +-+-=222a b c ab ⇒+-=-----------2分由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===--------------------------------4分 ∵0C π<< ∴3C π=-------------------------------------------6分(2)∵3C π=∴23A B π+=∴sin sin A B +=2sin sin()3A A π+-22sin sin cos cos sin 33A A A ππ=+- 33sin 2A A =+313(cos )2A A =+ 3)6A π=+--------------------------------------------9分∵203A π<< ∴5666A πππ<+<------------------------------10分∴1sin()126A π<+≤ ∴33)326A π<+≤3sin sin 3A B <+≤分 17．解：(１)李师傅产品第一天通过检查的概率为48141013C P C ==，------------------2分 第二天产品通过检查的概率为49241035C P C ==，--------------------------4分 ∴李师傅这两天产品全部通过检查的概率1215P PP ==.-------------------6分 (２)记得分为,ξ则ξ的可能值为0，1，2.------------------------------------7分∵()22403515P ξ==⨯=-----------------------------------------------8分 ()321281533515P ξ==⨯+⨯=-----------------------------------------9分()3112535P ξ==⨯= ---------------------------------------------10分∴481140121515515E ξ=⨯+⨯+⨯=.答：李师傅在这两天内得分的数学期望 1415.---------------------------------12分18．解：（１）∵四边形DCBE 为平行四边形 ∴//CD BE∵ DC ⊥平面ABC ∴BE ⊥平面ABC∴EAB ∠为AE 与平面ABC 所成的角，即EAB ∠＝θ--------------------2分在R ｔ△ABE 中，由3tan 2BE AB θ==,2AB =得3BE =分 ∵AB 是圆O 的直径 ∴BC AC ⊥ ∴223AC AB BC =-=∴1322ABC S AC BC ∆=⋅=----------------------------------------4分 ∴13C ABE E ABC ABC V V S BE --∆==⋅1313322=⨯=------------------5分 （2）证明：∵ DC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ∴DC BC ⊥． --------------------6分∵BC AC ⊥且DC AC C = ∴BC ⊥平面ADC ．∵DE//BC ∴DE ⊥平面ADC ---------------------------------------8分 又∵DE ⊂平面ADE ∴平面ACD ⊥平面ADE --------9分（3）在CD 上存在点M ，使得MO平面ADE ，该点M 为DC 的中点．------------10分证明如下：如图，取BE 的中点N ，连MO 、MN 、NO ，∵M 、N 、O 分别为CD 、BE 、AB 的中点，∴MNDE ．----------------------------------------------11分∵DE ⊂平面ADE ，MN ⊄平面ADE ， ∴MN平面ADE ------------------------------------------------------12分同理可得NO 平面ADE ．∵MNNO N =，∴平面MNO平面ADE ．----------------------------------------------13分∵MO ⊂平面MNO ， ∴MO平面ADE ． ------------------------------------------------14分（其它证法请参照给分）19．解：（1）设植树ｎ年后可将荒山全部绿化，记第ｎ年初植树量为n a ，依题意知数列{}n a 是首项1100a =，公差50d =的等差数列，---------------------1分 则(1)10022002n n n -+=即23880n n +-=(11)(8)0n n ⇒+-=-----------------3分 ∵n N *∈ ∴8n =----------------------------------------------------4分 ∴到2009年初植树后可以将荒山全部绿化．---------------------------------5分 （２）ｐ处填1n n =+,ｑ处填1i i =+，（或ｐ处填1i i =+，ｑ处填1n n =+）-----7分 ｒ处填2200s >=．(或2200s =)-------------------------------------------9分 （３）年初木材量为12a 3m ，到底木材量增加为812(1.2)a 3m , 年初木材量为22a 3m ，到底木材量增加为722(1.2)a 3m ,…… 初木材量为82a 3m ，到底木材量增加为82 1.2a ⨯3m .则到底木材总量87612382 1.22 1.22 1.22 1.2S a a a a =⨯+⨯+⨯++⨯2678900 1.2800 1.2400 1.2300 1.2200 1.2S =⨯+⨯++⨯+⨯+⨯----------①---11分237891.2900 1.2800 1.2400 1.2300 1.2200 1.2S =⨯+⨯++⨯+⨯+⨯---------②②-①得92380.2200 1.2100(1.2 1.2 1.2)900 1.2S =⨯+⨯+++-⨯92700 1.2500 1.2900 1.2=⨯-⨯-⨯8840 1.21800=⨯-840 4.318001812≈⨯-=∴9060S =ｍ2答：到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为9060ｍ2----------------------------------14分 20．解：（１）由抛物线的对称轴为1x =-知2a =----------------------------1分 ∵抛物线与坐标轴有三个交点∴0b ≠，否则抛物线与坐标轴只有两个交点，与题设不符 由0b ≠知，抛物线与ｙ轴有一个非原点的交点(0,)b ，故抛物线与ｘ轴有两个不同的交点，即方程220x x b ++=有两个不同的实根∴440b ∆=->即1b <∴b 的取值范围是0b <或01b <<-----------------------------------3分 （２）设抛物线与ｙ轴的交点为C ,与ｘ轴的另一交点为B ,令ｘ＝０得y b =，∴C (0,)b ------------4分令0y =得220x x b ++=解得24411bx b -±-==-±-∴(11,0)A b --,(11,0)B b -- ------------------------------6分 解法１：∵22y x x b =++ ∴'22y x =+∴直线l 的斜率2(111)21l k b b =--=-------------------------7分 ∵圆M 过A 、B 、C 三点，∴圆心M 为线段AB 与AC 的垂直平分线的交点 ∵AB 的垂直平分线即抛物线的对称轴1x =- ∵线段AC 的中点为11(,)22b b --，直线AC 的斜率11AC k b=+- ∴线段AC 的垂直平分线方程为1111(22b b by x b ----=-----(*)------10分 将1x =-代入(*)式解得12b y +=，即1(1,)2bM +--------------------------11分∴12121MAbk b b+==--，若直线l 也是圆M 的切线，则 1l MA k k ⋅=-即21121b b--=--11b ⇒+=解得0b =这与0b <或01b <<矛盾----------------------------------------13分 ∴直线l 不可能是圆M 的切线．-----------------------------------14分 解法２：∵22y x x b =++ ∴'22y x =+∴直线l 的斜率2(111)21l k b b =--=----------------------------7分 设圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=∵圆M 过(11,0)A b ---,(11,0)B b -+-，C (0,)b∴222(11)(11)0(11)(11)00b D b F b D b F b Eb F ⎧---+--+=⎪⎪-+-+-+-+=⎨⎪++=⎪⎩解得2(1)D E b F b=⎧⎪=-+⎨⎪=⎩----------------10分 ∴圆心1(1,)2bM +------------------------------------------------------11分 ∴12121MAbk b b+==--，若直线l 也是圆M 的切线，则1l MA k k ⋅=-即21121b b--=--11b ⇒+=解得0b =这与0b <或01b <<矛盾-------------------------------------------------13分 ∴直线l 不可能是圆M 的切线．--------------------------------------------14分 21．解：（１）∵21ln '()1xf x x -=------------------------------------1分 令'()0f x =得21ln x x =-显然1x =是上方程的解------------------------------------------------------------3分 令2()ln 1g x x x =+-，(0,)x ∈+∞，则1'()2g x x x=+0> ∴函数()g x 在(0,)+∞上单调∴1x =是方程'()0f x =的唯一解------------------------------------------------5分11 / 11 ∵当01x <<时21ln '()1x f x x -=-0>，当1x >时'()0f x < ∴函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减∴当1x =时函数有最大值max ()(1)1f x f ==--------------------------------7分 （２）由（１）知函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减故①当021m <≤即102m <≤时()f x 在[,2]m m 上单调递增 ∴max ()(2)f x f m =＝ln 222m m m-------------------------------8分 ②当1m ≥时()f x 在[,2]m m 上单调递减∴max ()()f x f m =＝ln m m m----------------------------------9分 ③当12m m <<，即112m <<时 max ()(1)1f x f ==-------------------------------------------10分 （３）由（１）知当(0,)x ∈+∞时，max ()(1)1f x f ==-∴在(0,)+∞上恒有ln ()x f x x x=-1≤-，当且仅当1x =时“＝”成立 ∴对任意的(0,)x ∈+∞恒有ln (1)x x x ≤-----------------------------------12分 ∵11n n +> ∴21111ln (1)n n n n n n n n++++<-= 即对n N *∀∈，不等式211ln n n n n ++<恒成立．---------------------------14分。
广东省揭阳市2021届高考数学第二次模拟考试试题 理
绝密★启用前广东省揭阳市2021届高三4月第二次模拟数学(理科)本试卷共4页，21小题，总分值150分．考试历时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必需用黑色笔迹钢笔或签字笔作答，答案必需填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原先的答案，然后再写上新的答案；不准利用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必需维持答题卡的整洁．考试终止后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式： 棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．设全集R U =，{|lg(1)}A x y x ==-，那么=A C RA ．(,1)-∞B ．(0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞2.已知1+(1)2i mi i -=（）(i 是虚数单位），那么实数m 的值为A.1±B.1C. 2D. 1-3．已知等差数列{}n a 中,26a =,前7项和784S =,那么6a 等于A.18B. 20C.24D. 324．运行如图1的程序框图，那么输出s 的结果是 A. 16 B.2524 C.34 D.11125．已知命题p ：函数sin 4y x =是最小正周期为2π的周期函数，命题q ：函数tan y x =在,2ππ（）上单调递减，那么以下命题为真命题的是A.p q ∧B.()p q ⌝∨C.()()p q ⌝∧⌝D. ()()p q ⌝∨⌝6．某研究机构对高三学生的经历力x 和判定力y 进行统计分析，得下表数据： x6 8 10 12 y 2 3 5 6 依照上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中的b ∧的值为0.7，那么经历力为14的同窗的判定力约为（附：线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中，a y b x ∧∧=-，其中x ，y 为样本平均值)A ．7B ．7.5C ．8D ．8.5 7． 若()cos()4f x x π=+，那么 A ．(1)(0)(1)f f f ->> B ．(1)(1)(0)f f f ->>C ．(1)(1)(0)f f f >->D ．(1)(0)(1)f f f >>- 8．已知点11(,)M x y 、22(,)N x y 的坐标知足不等式组0,0,26,312.x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，假设(1,1)a =-，那么MN a ⋅ 的取值范围是A. [3,3]-B. [4,4]-C. [6,6]-D. [7,7]-二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分．（一）必做题（9－13题）9．不等式|21|2x +≤的解集为 ．10．101)x x -（的展开式中4x 的系数为 ．图 311．过点(2，1)作圆22(1)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为 ． 12．已知一棱锥的三视图如图2所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，那么该棱锥的体积为 ．13．已知函数3()y f x x =+为偶函数，且(10)10,f =假设函数()()4g x f x =+，那么(10)g -= ．（二）选做题（14－15题，考生只能从当选做一题）14．(坐标系与参数方程选做题)[在极坐标系中，过点π4,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭引圆 4sin ρθ=的一条切线，那么切线长为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图（3），PA 是圆O 的切线，切点为A ， PO 交圆O 于,B C 两点，且2,1,PA PB ==则AB 的长为 .三．解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤．16．（本小题总分值12分）在ABC △中，已知113cos ,cos(),714A A B =-=且B A <． （1）求角B 和sin C 的值；（2）若ABC △的边5AB =，求边AC 的长．17. （本小题总分值12分）下表是某市从3月份中随机抽取的10天空气质量指数（AQI ）和“PM2.5”（直径小于等于2.5微米的颗粒物）24小时平均浓度的数据，空气质量指数（AQI ）小于100表示空气质量优良． 日期编号A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 空气质量指数（AQI ）179 40 98 124 29 133 241 424 95 89 “PM2.5”24小时平均浓度（3/ug m ） 135 5 80 94 80 100 190 387 70 66（1）依照上表数据，估量该市当月某日空气质量优良的概率；（2）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析，设事件M 为“抽取的两个日期中，当天‘PM2.5’的24小时平均浓度不超过753/ug m ”，求事件M 发生的概率；（3）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取3天，记ξ为“PM2.5”24小时平均浓度不超过753/ug m 的天数，求ξ的散布列和数学期望． 18．（本小题总分值14分）已知等比数列{}n a 知足：24,a =公比2q =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且422333n n n S b a =-+（n N *∈）.（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项n a 和n b ；（2）设()n n n b c n N a *=∈，证明：12231...2n n c c c n c c c ++++<. 19．（本小题总分值14分）如图4，已知三棱柱ABC —A1B1C1的侧棱与底面垂直，且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC ＝1，AA1＝6，点P 、M 、N 别离为BC 一、CC 一、AB1的中点．（1）求证：PN//平面ABC ；（2）求证：AB1⊥A1M；（3）求二面角C1—A B1—A1的余弦值．20．（本小题总分值14分） 图4已知抛物线的方程为21y ax =-，直线l 的方程为2x y =，点A ()3,1-关于直线l 的对称点在抛物线上．（1）求抛物线的方程； （2）已知1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点15(0)16F -，是抛物线的核心，M 是抛物线上的动点，求||||MP MF +的最小值及现在点M 的坐标；（3）设点B 、C 是抛物线上的动点，点D 是抛物线与x 轴正半轴交点，△BCD 是以D 为直角极点的直角三角形．试探讨直线BC 是不是通过定点？假设通过，求出定点的坐标；假设不通过，请说明理由．21．（本小题总分值14分） 已知函数21()ln ,()12f x x g x x bx ==-+（b 为常数）．（1）函数)(x f 的图象在点（)1(,1f ）处的切线与函数)(x g 的图象相切，求实数b 的值；（2）假设0,()()()b h x f x g x ==-，∃1x 、2x [1,2]∈使得12()()h x h x M -≥成立，求知足上述条件的最大整数M ；（3）当2b ≥时，假设关于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有|)()(||)()(|2121x g x g x f x f ->-成立，求b 的取值范围．数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，若是考生的解法与本解答不同，可依照试题的要紧考查内容对照评分标准制订相应的评分细那么．二、对计算题当考生的解答在某一步显现错误时，若是后续部份的解答未改变该题的内容和难度，可视阻碍的程度决定给分，但不得超过该部份正确解许诺得分数的一半；若是后续部份的解答有较严峻的错误，就再也不给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一、选择题：CDAB DBAD解析：7.因(1)cos(1)cos(1)cos()(0)04424f f ππππ-=-=->-=>，而124πππ<+<，故(1)cos(1)04f π=+<，因此选A.8.设1122(,),(,)M x y N x y ，由条件知：1x 、2[0,4]x ∈，1y 、2[0,3]y ∈，那么MN a ⋅2112[7,7]x x y y =-+-∈-，当且仅当点(4,0),(0,3)M N 时上式取得最小值-7，当且仅当点点(0,3),(4,0)M N 时，上式取最大值7.应选D.二、填空题：9．31{|}22x x -≤≤;10．-120 ；11．12．16，13．2021，14．24，15. .解析：12. 该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，依题意得11(42)441632V =⨯⨯+⨯⨯=.13.由函数3()y f x x =+为偶函数得33()()f x x f x x --=+，那么33(10)10(10)10f f --=+，(10)2010f -=，故(10)(10)42014g f -=-+=.14．把A 点和圆化为直角坐标系下的坐标和方程得()0,4A -，圆224x y y +=，A 点到圆心的距离为6，半径为2=． 15由,PBA PAC ∆∆可得: ,PB PA BA PA PC AC ==,由已知2,1,PA PB ==,可解得4PC =,因此圆直径为3,又由221,92BA BA AC AC =+=可解得AB =． 三.解答题：16.解（1）由1cos 7A =0>，13cos()14A B -=0,>得02A π<<且02A B π<-<--------1分可得sin A =7==---------------------------------------2分sin()A B -===---------------------------------3分11317147142=⋅+⋅=---------------------------------------------------------5分∵0B π<< .3B π∴=--------------------------------------------------------6分∵在△ABC 中，()C A B π=-+∴sin C =sin[()]sin()A B A B π-+=+sin cos cos sin A B A B=+--------------------------------------------------------7分1127=+=------------------------------------------------------9分（2）在△ABC 中，由正弦定理得：sin sin AB AC C B =，---------------------------------10分∴5sin 7sin 14AB B AC C ⨯⋅===．------------------------------------------------12分 17.解：（1）由上表数据知，10天中空气质量指数（AQI ）小于100的日期有：A2 、A3 、A5 、A9 、A10共5天，------------------------------------------------1分 故可估量该市当月某日空气质量优良的概率51102P ==.------------------------------3分（2）由（1）知10天中表示空气质量为优良的天数为5，当天“PM2.5”的24小时平均浓度不超过753/ug m 有编号为A2 、A9 、A10，共3天，-----------------------------------4分故事件M 发生的概率23253()10C P M C ==.---------------------------------------------6分 （3）由（1）知，ξ的可能取值为1,2,3. --------------------------------------------7分 且1232353(1)10C C P C ξ===，--------------------------------------------------------8分 2132353(2)5C C P C ξ===，-----------------------------------------------------------9分33351(3)10C P C ξ===，-----------------------------------------------------------10分故ξ的散布列为：--------------------------------------------------------11分 ξ的数学期望3319123105105E ξ=⨯+⨯+⨯=．-------------------------------------12分 18.(1) 解法一：由24,2a q ==得，2222.n n n a a -=⋅=---------------------------------------------------------------2分 由上式结合422333n n n S b a =-+得42(21)33n n n S b =--，那么当2n ≥时，1n n n b S S -=-114242(21)(21)3333n n n n b b --=---+-，-----------------4分 112420n n n n b b +-⇒--+=-------------------------------------------------------5分 1124(2)n n n n b b --⇒+=+，-------------------------------------------------------7分 ∵11142133b S b ==-⨯，∴12b =，------------------------------------------------8分 ∴数列{2}n n b +是首项为124b +=，公比为4的等比数列，---------------------------9分 ∴12444n n n n b -+=⨯=，∴42n nn b =-.-----------------------------------------10分 【解法二：由24,2a q ==得，2222.n n n a a -=⋅=---------------------------------------------------------------2分 由上式结合422333n n n S b a =-+得42(21)33n n n S b =--，那么当2n ≥时，1n n n b S S -=-114242(21)(21)3333n n n n b b --=---+-，-----------------4分112420n n n n b b +-⇒--+=142(2)n n n b b n -⇒-=≥--------------------------------5分 ⇒111(2)442n n n n n b b n ---=≥， ------------------------------------------------------6分 ∴2112311(1)1112214422212n n n n b b ---=+++=-1122n =-，-----------------------------8分 ∵11142133b S b ==-⨯，∴12b =，------------------------------------------------9分 ∴42n n n b =-.---------------------------------------------------------------10分】(2) 由nnn b c a =得42212n n n n n c -==-，------------------------------------------11分1121211,(1,2,...,)12122(2)2k k k k k k c k n c ++--==<=-------------------------------------13分【或1112121,(1,2,...,)2122k k k k k k c k n c +++-=<==-】 ∴12231....2n n c c c n c c c ++++<----------------------------------14分 19．（1）证明：连结CB1，∵P 是BC1的中点 ，∴CB1过点P ，--1分∵N 为AB1的中点，∴PN//AC,-------------------- ---------2分又∵AC ⊂面ABC ，PN ⊄面ABC ,∴PN//平面ABC. ------------------------------------------3分（2）证法一：在直角ΔABC 中，∵BC ＝1，∠BAC＝30°，∴ AC＝A1C1＝3--------------------------------------------------------------4分 ∵棱柱ABC —A1B1C1的侧棱与底面垂直，且1111B C C A ⊥，以点C1为原点，以C1B1所在的直线为x 轴成立如下图空间直角坐标系如图示，那么1(0,0,0)C ，13,0)A ,1(1,0,0)B , 3,6)A ,6M ---------------------6分 ∴1(1,3,6)AB =--,16(0,3,2A M =-----------------7分 ∵1163602AB A M ⋅==-----------------------------8分∴ A1M⊥AB1---------------------------------------------9分【证法二：连结AC1，在直角ΔABC 中，∵BC ＝1，∠BAC＝30°，∴ AC＝A1C1＝3 ∵111CC AC 111A C MC =2,-----------------------------------4分∴111Rt AC M Rt C CA∆∆---------------------------------5分 111A MC CAC ∴∠=∠，1111190AC C CAC AC C A MC ∴∠+∠=∠+∠= 即AC1⊥A1M. -------------------------------------------6分∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且1111C A CC C ⋂=∴B1C1⊥平面AA1CC1，-----------------------------------7分∴B1C1⊥A1M，又1111AC B C C ⋂=，故A1M⊥A B1C1，-------------------------------8分 1AB ⊂面A B1C1， ∴ A1M⊥AB1. -----------------------------------------------9分】【证法三：连结AC1，在直角ΔABC 中，∵BC ＝1，∠BAC＝30°，∴ AC＝A1C1＝3-------------------------------------------------------------4分 设∠AC1A1＝α，∠MA1C1＝β ∵11111162tan tan 3AA MC AC AC αβ=⋅,------------------------------------------5分 ∴α+β＝90° 即AC1⊥A1M. -------------------------------------------------------6分 ∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且1111C A CC C ⋂=∴B1C1⊥平面AA1CC1，-----------------------------------------------------------7分 ∴B1C1⊥A1M，又1111AC B C C ⋂=故A1M⊥面A B1C1，-------------------------------------------------------------8分 1AB ⊂面A B1C1， ∴ A1M ⊥AB1. -----------------------------------------------9分】（3）解法一：∵棱柱ABC —A1B1C1的侧棱与底面垂直，且1111B C C A ⊥，以点C1为原点，以C1B1所在的直线为x 轴成立如下图空间直角坐标系，依题意得1(0,0,0)C ，13,0)A ,1(1,0,0)B ,3,6)A ,6)B ,6)C ,6(0,0,2M ------------------------------------11分设面11AB C 的一个法向量为(,,)n x y z = 由11100n C B n C A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0360x y z =⎧⎪=,令1,z =得(0,2,1)n =-.-----12分 同理可得面11AA B 的一个法向量为(3,1,0)m =------------------------------------13分 故二面角的平面角θ的余弦值为||6cos cos ,6||||n m n m n m θ⋅===⋅----------------------------------------------14分【解法二：过C1作C1E ⊥A1B1交A1B1于点E ，过E 作EF ⊥AB1交AB1于F ，连结C1 F ， ∵平面AA1BB 1⊥底面A1B1C1，∴ C1E ⊥平面AA1BB1，∴ C1E ⊥A B1，∴ AB 1⊥平面C1EF ，∴ AB 1⊥C1F ，故1C FE ∠为二面角C1—A B1—A1的平面角，-------------11分在111A B C ∆中，13C E =,112B E =111~Rt B EF Rt B AA ,111B E EF AB AA ∴=,----------------12分 又110AB =1152610EF ==-----------------13分 1115610cos 31010EF C FE FC ∠===-----------------------------------------------14分】20.解：(1)设点A(3,-1)关于直线l 的对称点为坐标为'A (x,y),则312022123x y y x +-⎧-⋅=⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩解得13x y =⎧⎨=⎩---------------------------3分 把点'A （1，3）代入21y ax =-，解得a = 4， 因此抛物线的方程为241y x =----------------------------4分 （2）∵15(0)16F -，是抛物线的核心，抛物线的极点为（0，-1），∴抛物线的准线为1716x =-，------------------------------------------------------5分 过点M 作准线的垂线，垂足为A,由抛物线的概念知||||MF MA =,∴||||MP MF +=||||||MP MA PA +≥,当且仅当P 、M 、A 三点共线时“=”成立，-------7分 即当点M 为过点P 所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时，||||MP MF +取最小值，∴min 1733(||||)1()1616MP MF +=--=，这时点M 的坐标为1(,0)2．-------------------9分（3）BC 所在的直线通过定点，该定点坐标为11(,)24-，令241=0y x =-，可得D 点的坐标为1(,0)2 设1122(,),(,)B x y C x y ，显然12x x ≠， 则2212121212124()4(),BC y y x x k x x x x x x --===+----------------------------------------10分12114(),4(),22DB DC k x k x =+=+-------------------------------------------------11分∵BD CD ⊥，∴121116()()122DB DC k k x x ⋅=++=-，即121251(),162x x x x =--+直线BC 的方程为11214()(),y y x x x x -=+- 即12121214()412()(21)4y x x x x x x x x =+--=+++--------------------------------13分因此直线BC 通过定点11(,)24-.---------------------------------------------------14分21.解：（1）∵x x f ln )(=，∴x x f 1)('=，1)1('=f ，∴函数)(x f 的图象在点（)1(,1f ）处的切线方程为1-=x y ，--------------------------2分∵直线1-=x y 与函数)(x g 的图象相切，由21,11,2y x y x bx =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩消去y 得22(1)40x b x -++=，则24(1)160b ∆=+-=，解得13b =-或-------------------------------------------4分 （2）当0b =时，∵21()()()ln 1([1,2])2h x f x g x x x x =-=--∈， ∴1(1)(1)'()x x h x x x x -+=-=，--------------------------------------------------5分 当(1,2]x ∈时，'()0h x <，∴在[1,2]上单调递减，max 3()(1)2h x h ==-，min ()(2)ln 23,h x h ==--------------------------------------7分则12max max min[()()]()()h x h x h x h x -=-3ln 22=-， ∴3ln 22M ≤-1<,故知足条件的最大整数0M =.----------------------------------9分（3）不妨设21x x >，∵函数x x f ln )(=在区间[1,2]上是增函数，∴)()(21x f x f >， ∵函数)(x g 图象的对称轴为b x =，且2b ≥，∴函数)(x g 在区间[1,2]上是减函数， ∴12()()g x g x <，--------------------------------------------------------------10分∴|)()(||)()(|2121x g x g x f x f ->-等价于1221()()()()f x f x g x g x ->-，即1122()()()()f x g x f x g x +>+，------------------------------------------------11分 等价于21()()()ln 12x f x g x x x bx ϕ=+=+-+在区间[1,2]上是增函数， 等价于1'()0x x b x ϕ=+-≥在区间[1,2]上恒成立，----------------------------------12分 等价于1b x x ≤+在区间[1,2]上恒成立，∴2≤b ，又2≥b ，∴2=b .------------------------------------------------------14分。
广东揭阳20XX高三第二次模拟试题-数学理(word解析版)(精)
广东揭阳20XX高三第二次模拟试题-数学理（word解析版）（精）2021年广东省揭阳市高考数学二模试卷（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2021?揭阳二模）已知全集U=R，[0，+∞）B． A．（﹣∞，0）（﹣∞，0]考点：其他不等式的解法；补集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：求函数的定义域求得A，再利用补集的定义求得则?UA．解答：解：集合A即函数y=的定义域，由 2x﹣1≥0，求得x≥0，A=[0，+∞），，则?UA=（）C．（0，+∞）D．故?UA=（﹣∞，0），故选B．点评：本题主要考查对数不等式的解法，求集合的补集，属于基础题． 2．（5分）（2021?揭阳二模）若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（）A．B．C．D．考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．先进行复数的乘法运算，根据复数相等的充要条件，得到复数的实部和虚部分别相分析：首等，得到a，b的值，求出复数的模长．：∵（1+2ai）i=1﹣bi，解答：解∴i﹣2a=1﹣bi ∴﹣2a=1，b=﹣1 ∴a=﹣，b=﹣1∴|a+bi|=故选C．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算和复数的求模，本题解题的关键是求出复数中的字母系数，本题是一个基础题．3．（5分）（2021?揭阳二模）已知点A（﹣1，5）和向量=（2，3），若坐标为（）A．（5，14），则点B的（7，4）B．（7，14）C．（5，4）D．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：得（x+1，y﹣5）=（6，9）设B（x，y），由，求得x、y的值，即可求得点B的坐标．解答：解：设B（x，y），由故有，解得得（x+1，y﹣5）=（6，9），，故选 D．点评：本题主要考查两个向量的坐标形式的运算，属于基础题．4．（5分）（2021?揭阳二模）在等差数列{an}中，首项a1=0，公差d≠0，若am=a1+a2+…+a9，则m的值为（）37 B． 36 C． 20 D． 19 A．考点：数列的求和；等差数列．算题；等差数列与等比数列．专题：计用等差数列的通项公式可得am=0+（m﹣1）d，利用等差数列前9项和的性质可得分析：利a1+a2+…+a9=9a5=36d，二式相等即可求得m的值．解答：解：∵{an}为等差数列，首项a1=0，am=a1+a2+…+a9，∴0+（m ﹣1）d=9a5=36d，又公差d≠0，∴m=37，故选A．题考查等差数列的通项公式与求和，考查等差数列性质的应用，考查分析与运算能点评：本力，属于中档题． 5．（5分）（2021?揭阳二模）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（）A．7 B． C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：通过三视图复原的几何体，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．解答：解：依题意可知该几何体的直观图如图示，其体积为正方体的体积去掉两个三棱锥的体积．即：，故选D．题考查几何体与三视图的关系，考查空间想象能力与计算能力．点评：本6．（5分）（2021?揭阳二模）已知函数，则y=f（x）的图象大致为（）A． B．C． D．考点：专题：分析：即可．解答：利用导数研究函数的单调性；函数的图象．计算题；函数的性质及应用．利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果解：令g（x）=x﹣ln（x+1），则，由g'（x）＞0，得x＞0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得﹣1＜x＜0，即函数g（x）在（﹣1，0）上单调递减，所以当x=0时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g （0）=0，于是对任意的x∈（﹣1，0）∪（0，+∞），有g （x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（﹣1，0）上单调递减，则函数f（x）在（﹣1，0）上递增，故排除C，故选A．点评：本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力． 7．（5分）（2021?揭阳二模）某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为（）18 B． 24 C． 30 D． 36 A．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：间接法：先计算四名学生中有两名分在一所学校的种数共有?种，去掉甲乙被分在同一所学校的情况共有种即可．解答：解：先计算四名学生中有两名分在一所学校的种数，可从4个中选2个，和其余的2个看作3个元素的全拍列共有再排除甲乙被分在同一所学校的情况共有所以不同的安排方法种数是?﹣种，?种，=36﹣6=30故选C．点评：本题考查排列组合及简单的计数问题，属中档题． 8．（5分）（2021?揭阳二模）设f（x）是定义在（0，1）上的函数，对任意的y＞x＞1都有，记，则=（）A．B． C． D．考点：数列的求和；抽象函数及其应用．专题：等差数列与等比数列．分析：依题意，可求得an=f（）﹣f（），利用累加法即可求得故ai=f（）﹣f（），逆用已知条件即可得到答案．解答：解：因a=f（）=f （n）=f（）﹣f（），故ai=a1+a2+…+a8=f（）﹣f（）+f（）﹣f（）+…+f（）﹣f（）=f（）﹣f（=f（））=f（），故选C．点评：本题考查抽象函数及其应用，求得an=f（）﹣f（）是关键，也是难点，考查观察与推理能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9-13题）9．（5分）（2021?揭阳二模）若点（a，﹣1）在函数的图象上，则的值为．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．x=a，y=﹣1代入函数解析式中求出a的值，将a的值代入所求式子中计算即可求分析：将出值．：将x=a，y=﹣1代入函数解析式得：﹣1=解答：解，解得：a=3，=tan则tan=tan（π+）=tan=．故答案为：点评：此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：对数的运算性质，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）（2021?河东区二模）过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 4x﹣3y﹣20=0 ．。
2024届揭阳二模数学试题解析
高三数学参考答案1. B 由题意得i z a b =+，所以()1i 4a b ++=，则()22116a b ++=. 2. C ()22124a a f x x =−−++，则262a <<，得412a <<. 3. D 设该椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b，由题意得a =，则ce a==. 4. C 由题意得()f x 的最小正周期为23π，则所求函数为213sin 33sin 33cos3342y x x x ππ=+×=+=.5. B 若//l m ，则α与β的位置关系不确定，A 不正确.若//αβ，则//l β，B 正确.若l m ⊥，则l 与β的位置关系不确定，C 不正确.若αβ⊥，则l 与m 的位置关系不确定，D 不正确.6. B 由ln 2xy y +=，得()()ln 2xy y ′′+=′，则10y xy y y′+′+⋅=，将点()2,1的坐标代入，得120y y ′+′+=，即13y ′=−，所以所求切线的方程为()1123y x −=−−，即350x y +−=. 7. A 由题意得未放入小铁球之前，水位所在正方形的边长为1026cm 2+=，放入57个小铁球之后，水位所在正方形的边长为624cm 2+=，所以57个小铁球的体积之和为()31316243676cm 3××++=.设小铁球的半径为R ，则3345776cm 3R π××=，得R =.8. C 设未剔除这两对数据前的x ，y 的平均数分别为x ，y ，剔除两对数据后的x ，y 的平均数分别为x ′，y ′.因为51140i i y ==∑，所以511285i i y y =′==∑，则2844y m m x ′−−′==.因为这两对数据为()6,28和()0,28，所以()114056287y =×+=，所以()17166310xy =×−=，所以()76028354x mx −−−′===，解得16m =. 9. ACD 由图可得N M ，{}{}40,2,4,6 ，{}(){}()e 55,lg 0,x y yx y x =+=+∞==+∞ ，A ，C正确.{}{}211x x x x >−< ，(){}(){}22,,x y y x x y x y == ，B 错误，D 正确.10. BC 取BC 的中点D ，连接AD （图略），则211333AOAD AB AC ==+，A 错误. 由1133AO AB AC =+ ，得22292AC AB AC AB AC =++⋅ ，则222212362555c b bc bc bc bc =++≥+=，即15bc ≤，当且仅当b c ==时，等号成立，所以1cos 35AB AC bc A bc ⋅==≤ ，B 正确.由1cos 5A =，得sin A =1sin 2ABCS bc A ==≤△，C 正确. 由222365c b bc =++，得222365c b bc +=−，所以22242cos 36245a b c bc A bc =+−=−≥，得a ≥，D 错误.11. ABD 因为()23f x −的图象关于点()2,1对称，所以()()()232432f x f x −+−−=，即()()23522f x f x −+−=，从而()()352f x f x −+−=，则()f x 的图象关于点()1,1对称，A 正确. 由()()224f x f x x +−−=，可得()()()()222222f x x f x x +−+=−−−，则()()22g x g x +=−，所以()g x 的图象关于直线2x =对称，B 正确.()()()()()()()()111211211142g x g x f x x f x x f x f x ++−=+−++−−−=++−−=−，则()gx 的图象关于点()1,1−对称，故()g x 是以4为周期的函数，即()()4g x g x +=，C 错误. 因为()()00200gf =−×=，()11g =−，()()2202g g =−−=−，()()311g g ==−，所以()()()()()()()1250125021250f f f g g g ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+4121225502499=−×−−+=，D 正确.12. 150 不同的选择方案共有2365C C 150=种.13. 0或2；1或3− 由题意得2sin 2sin cos ααα=，得sin 0α=或sin 2cos 0αα−=，即tan 0α=或2，所以tan tan 144ππα+==或tan 1tan 341tan πααα+ +==− − . 14. 2 延长2F N ，1MF ，使它们交于点P （图略）.因为MN 平分12F MF ∠，2F NMN ⊥，所以2MP MF =，则112124PF MP MF MF MF a =−=−==.故1122ON PF ==.15.（1）解：设{}n a 的公差为d ，由题意得()23123124a a a a a a d +−=+−==，得2d =，所以102822a a d =+=.（2）证明：由（1）得()2222na a n d n =+−=+，()()111144412412nb n n n n n n=+=−+ ++++，则()11111111442334122n n n S n n + =−+−+⋅⋅⋅+−+×++ 2211122228488n n n n n =++−<+++.16.解：（1）由图可知，()1030.010.0150.0321a +++×=，解得0.005a =. 该村村民成绩的平均数约为()()3545950.0555650.3750.15850.164.5++×++×+×+×=（2）从成绩在[)30,40，[)80,90内的村民中用分层抽样的方法选取6人，其中成绩在[)30,40内的村民有0.05620.050.1×=+人，则成绩在[)80,90内的村民有4人.从中任选3人，则X 的取值可能为1，2，3，()212436C C 11C 5P X ===，()122436C C 32C 5P X ===，()232436C C 13C 5P X ===故()1311232555E X =×+×+×=.17.（1）证明：连接AC .因为底面ABCD为菱形，60ABC ∠=°.所以ACD △是正三角形. 又E 为CD 的中点，所以AE CD ⊥，则AEAB ⊥.因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =，所以AE ⊥平面PAB . 因为PB ⊂平面PAB ，所以AE PB ⊥.因为2AB=，所以222PA PB AB +=，则PA PB ⊥.因为PA AE A = ，所以PB ⊥平面PAE . 又PB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAE . （2）解：取AB 的中点O ，连接OC ，OP .以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A−，()1,0,0B ，()0,0,1P，()0D −，所以()1,0,1AP =，()AD =− ，()1.0,1BP =−设平面PAD 的法向量为(),,m x y z = .则由0,0,m AP m AD ⋅=⋅=可得0,0,x z x += −= 令1y =，得m=.由（1）可知，BP是平面PAE 的一个法向量，所以cos ,m BPm BP m BP⋅===由图可知，二面角D AP E −−为锐角，所以二面角D AP E −−. 18.解：（1）F 点的坐标为,02p点F 到圆E ：()2231x y ++=上一点的距离的最大值为3162p++=，解得4p =， 则抛物线C 的方程为28yx =.（2）直线AB 经过定点()0,2−，理由如下：设直线AB 的方程为xty m =+，()11,A x y ，()22,B x y .联立方程组2,8,x ty m y x =+= 整理得2880y ty m −−=， 则264320m ι∆=+>，128y y t +=，128y y m =−.直线PA 的方程为()114422y y x x −−=−−，令0x =，得111422Mx y y x −=−，同理可得222422N x y y x −=−.因为O 是线段MN 的中点，所以112212424202x y x y x x −−+=−， 整理得()()()121212211288240x x x x x y x y y y −+−+++=，即()()()()22121212121212124084i y y y y y y y y y y y y −++−+++=， 则2282240m t m tm t −−++=，所以()()2420m t m t −+−=. 若420m t +−=，则直线AB 经过点P ，不符合题意. 若20m t −=，则直线AB 的方程为2x ty t =+，经过定点()0,2−.19.（1）证明：当1a =时，()ln ex x f x x =−，则()211e e e xxx x x x f x x x ′−+−=−=. 令()2e x g x x x =+−，则()e 210x g x x +−>′在()0,+∞上恒成立，则()g x 在()0,+∞上单调递增，则()()01gx g >=，故()0f x ′>在()0,+∞上恒成立，()f x 是增函数. （2）解：当0x >时，()f x x ≤等价于n e e l x x x a x−>令()e ln e x xx x h x x −=，则()()()2e 1ln 1x x x x h x x ′−−−=，令()ln 1x x x ϕ=−−，则()1x x xϕ′−=， 当()0,1x ∈时，()0x ϕ′>，()x ϕ单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ′<，()x ϕ单调递减，所以()()12x ϕϕ≤=−. 所以当()0,1x ∈时，()0h x ′>，()h x 单调递增，当()1,x ∞∈+时，()0h x ′<，()h x 单调递减，则()()1e hx h ≤=−，所以()max a h x ≥，即e a ≥−，故a 的取值范围为[)e,−+∞. （3）证明：由（2）可知，当e a =−时，有1ln e x x x x −+≤，则1ln 11ex x x −≤−， 所以1ln 2112e ≤−，…，1ln 11en n n −≤−，故()()1e 1e ln 2ln 3ln 11123ee e 1nnn n n n −−++⋅⋅⋅+≤−−+⋅⋅⋅+=−−.。
广东省揭阳市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(综合卷)模拟试卷
广东省揭阳市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知O为坐标原点，F是椭圆的左焦点．若椭圆C上存在两点A，B满足，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．第(2)题经过第一、二、三象限的直线：与圆：相交于，两点，若，则的最大值是（）A．8B．4C．2D．1第(3)题如图，正三棱锥的高为2，，E，F分别为MB，MC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．第(4)题若集合，则满足的集合B的个数为（）A．2B．4C．8D．16第(5)题某圆锥的母线长为4，轴截面是顶角为120°的等腰三角形，过该圆锥的两条母线作圆锥的截面，当截面面积最大时，圆锥底面圆的圆心到此截面的距离为（）A．4B．2C．D．第(6)题已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为（）A．B．C．D．第(7)题对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”．有以下四个结论：①在区间上“优于”；②在区间上“优于”；③在区间上“优于”；④若在区间上“优于”，则．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个第(8)题已知单位向量，的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题热搜是指网站从搜索引擎带来最多流量的几个或者是几十个关键词及其内容，热搜分为短期热搜关键词和长期热搜关键词两类.“搜索指数”是网友通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.如图是年月到年月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图（纵轴单位：人次）.根据该走势图，下列结论不正确的是（）A．网友对该关键词相关的信息关注度不断减弱B．网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化，有规律可循C．年月份的方差小于年月份的方差D．年月份的平均值大于年月份的平均值第(2)题下列说法中，正确的命题有（ ）A．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好B．已知随机变量服从正态分布N（2，），，则C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3D．若样本数据，，…的方差为2，则数据，，…的方差为16第(3)题为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（）.A．样本在区间内的频数为18B．如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地中小型企业能享受到减免税政策C．样本的中位数小于350万元D．可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
绝密★启用前
揭阳市2015年高中毕业班第二次高考模拟考试
数学(理科)
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：棱锥的体积公式：13
V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，则下列表示正确的是
A.1A -∉
B.11A -∈
C.32k A +∉
D.2
31k A -∈ 2．已知复数1z i =+，则2
1z z
=- A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i
3．命题P ：“2,12x Rx x ∃∈+<”的否定P ⌝
为 A. 2,12x R x x ∃∈+> B.2,12x R x x ∃∈+≥
C.2,12x R x x ∀∈+≥
D.2,12x R x x ∀∈+<
4．已知1sin()3
πα+=，则cos 2α= A.429
B.89
C.79-
D.79 5.设向量(1
2)(23)==，，，a b ，若向量λ-a b 与向量(56)=--，c 共线，则λ的值为 A ．43 B ．413 C ．49- D ．4。