高三年级高考数学(理)五大解答题训练+拓展题型(六)

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高三年级高考数学(理)五大解答题训练+拓展题型(九)

(bn )max =
1 6
…………11 分
要使对任意的正整数 n ，当 m ∈ [ −1,1] 时，不等式 t 2 − 2mt +
1 > bn 恒成立， 6
则须使 t 2 − 2mt +
1 1 > (bn ) max = ，即 t 2 − 2mt > 0, 对∀m ∈ [ −1,1] 恒成立， 6 6
∴实数 t 的取值范围为 ( −∞, −2 ) ∪ ( 2, +∞ ) 14 分
∴⎨
⎧t 2 − 2t > 0 , 解得，t > 2或t < −2 ⎩t2 + 2t > 0
另解： bn +1 − bn =
1 1 1 1 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 − − + = + −⎜ + ⎟ n + 2 2n + 3 n + 1 2n + 1 n + 2 2n + 1 ⎝ 2n + 3 n + 1 ⎠ = 3n + 3 3n + 4 − 2 <0 2 n + 5n + 2 2 n + 5n + 3
解答题训练（九）参答
18．（本小题满分 14 分）解：（1）显然 cos C = 0 不合题意，
⎧cos C > 0 ⎧cos C > 0 ⎧cos C > 0 ⎪ 则有 ⎨ ，即 ⎨ ，即⎨ 1， 2 cos C ≤ −2或 cos C ≥ ⎩∆ ≤ 0 ⎩16sin C − 24 cos C ≤ 0 ⎪ ⎩ 2 1 ，∴角 C 的最大值为 60° 。…………7 分 2 1 3 3 （2）当 C = 60° 时， S ∆ABC = ab sin C = ab = 3 ，∴ ab = 6 ，………10 分 2 4 2 2 2 2 2 由余弦定理得 c = a + b − 2ab cos C = ( a + b) − 2ab − 2ab cos C ， 121 11 2 2 ∴ (a + b ) = c + 3ab = ，∴ a + b = ………………14 分 4 2

高三年级高考数学(理)五大解答题训练+拓展题型(二)

解答题训练（二）限时50分钟三、解答题: 本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 18．（本小题满分14分）已知函数2()23sin cos 12sin ,f x x x x x R =+-∈．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，把所得到的图像再向左平移6π单位，得到的函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4n n S a p =-，其中p 是不为零的常数．（1）证明：数列{}n a 是等比数列；（2）当p =3时，若数列{}n b 满足*1()n n n b b a n N +=+∈，12b =，求数列{}n b 的通项公式．20．（本小题满分15分）已知如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE.（1）求异面直线P A与CD所成的角的大小；（2）求证：BE⊥平面PCD；（3）求二面角A—PD—B的大小.A BCD EP21．（本小题满分15分）已知点F 1，F 2为椭圆1222=+yx的两个焦点，点O 为坐标原点，圆O 是以F 1，F 2为直径的圆，一条直线)0(:>+=b b kx y l 与圆O 相切并与椭圆交于不同的两点A ，B ．（1）设)(),(k f k f b 求=的表达式；（2）若,32=⋅OB OA 求直线l 的方程；（3）若)4332(,≤≤=⋅m m OB OA ，求三角形OAB 面积的取值范围．22．（本小题满分15分）已知函数2()ln ()f x ax x a R =+∈．（1）当12a =时，求()f x 在区间[]1,e 上的最大值和最小值；（2）如果函数()g x ，1()f x ，2()f x ，在公共定义域D 上，满足12()()()f x g x f x <<，那么就称为()g x 为12(),()f x f x 的―活动函数‖．已知函数2211()()2(1)ln 2f x a x ax a x =-++-，221()22f x x ax =+．① 若在区间()1,+∞上，函数()f x 是1()f x ，2()f x 的―活动函数‖，求a 的取值范围；② 当23a =时，求证：在区间()1,+∞上，函数1()f x ，2()f x 的―活动函数‖有无穷多个．解答题训练（二）参答18．（本小题满分14分）解：（1）因为2()23sin cos 12sin 3sin 2cos 2f x x x x x x =+-=+ =)62sin(2π+x函数f （x ）的最小正周期为T =π．由≤+≤-6222πππx k 22ππ+k ，Z k ∈，得f （x ）的单调递增区间为]6,3[ππππ+-k k ， Z k ∈． 9分（2）根据条件得)(x g =)654sin(2π+x ，当∈x ]80[π，时，654π+x ∈]34,65[ππ，所以当x =8π时，min ()3g x =-． 14分19．（本小题满分14分）（1）证：因为S n =4a n – p （n ∈N *）,则S n – 1 = 4a n – 1 – p （n ∈N *，n ≥2）,所以当n ≥2时，1144n n n n n a S S a a --=-=-，整理得143n n a a -=． 5分由S n =4a n – p ，令1n =，得114a a a =-，解得31p a =．所以{}n a 是首项为3p ，公比为43的等比数列． 7分（2）解：因为a 1=1，则14()3n n a -=，由1(1,2,)n n n b a b n +=+= ，得114()3n n n b b -+-= ， 9分当n ≥2时，由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b ＝1)34(3341)34(1211-=--+--n n ，当n = 1时，上式也成立． 14分20.（本小题满分15分）解法一：如图，以B 为原点，以BC 、BA 、BP 为x ，y ，z 轴，建立空间坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1),2B C A D P DE PE =又112(,,)333E ∴（1）(0,1,1),(1,1,0)PA C D =-=-ABC DEP z x y11cos ,2||||22PA C DPA C D PA C D ∴<>===…4分60PA CD ∴︒异面直线与所成的角为.（2）112(,,),(1,1,1),(2,0,1).333B E P D P C ==-=-11211(1)0.333BE PD ∴=⨯+⨯+⨯-=11220(1)0.333B E PC =⨯+⨯+⨯-= ,,BE PD BE PC PD PC P ∴⊥⊥= 又..AB PCD ∴⊥平面 9分（3）设平面PAD 的一个法向量为00000(,,),00n PA y z n x y z x y z n PD ⎧=-=⎧⎪=⎨⎨++==⎩⎪⎩则由得. 令01,(2,1,1).z n ==-则(0,0,1)B P =又，设平面PBD 的法向量为1111(,,),n x y z =1111110000z n BP x y z n PD ⎧==⎧⎪⎨⎨+-==⎩⎪⎩ 则由得令111,(1,1,0)x n ==-则010101211(1)3cos ,2||||62n n n n n n -⨯+⨯-∴<>===-01,120n n ∴<>=︒15分又二面角A —PD —B 为锐二面角，故二面角A —PD —B 的大小为60︒.解法二：（1）取BC 中点F ，连结AF ，则CF=AD ，且CF ∥AD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∴AF ∥CD.∴∠PAF （或其补角）为异面直线PA 与CD 所成的角. ∵PB ⊥平面ABCD, ∴PB ⊥BA ，PB ⊥BF.∵PB=AB=BF=1， ,AB BC ∴⊥∴PA=PF=AF=2.,60PAF PAF ∴∆∠=︒是正三角形即异面直线PA 与CD 所成的角等于60︒. 4分ABCDE P HFO（2）,1,2Rt PBD PB BD ∆==∴在中,PD=332,3D E PE PE =∴=，则13PE PB PBPD==. ~PBE PD B ∴∆∆BE PD ∴⊥. 由（1）知，,90CF BF DF CDB ==∴∠=︒..,,.CD BD BCD PB CD ∴⊥⊥∴⊥又PB 平面 ,,,PB BD B CD PBD CD BE =∴⊥∴⊥ 平面,.CD PD D BE PCD =∴⊥ 平面 9分（3）设AF 与BD 的交点为O ，则A O B D ⊥.,.PB PBD ABD AO PBD ⊥∴⊥∴⊥ 平面ABCD,平面平面平面过点O 作O H PD ⊥于点H ，连结AH ，则AH PD ⊥.AHO A PD B ∴∠--为二面角的平面角。

高考数学高考数学题型(推荐5篇)

高考数学高考数学题型（推荐5篇）1.高考数学高考数学题型第1篇直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。

【解答题答题模板】专题一、三角变换与三角函数的性质问题1、解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h④结合性质求解。

2、构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。

②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。

③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。

④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。

专题二、解三角形问题1、解题路线图(1) ①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。

(2) ①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。

2、构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。

②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。

③求结果。

④再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系;二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。

专题三、数列的通项、求和问题1、解题路线图①先求某一项，或者找到数列的关系式。

②求通项公式。

③求数列和通式。

2、构建答题模板①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。

②求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。

③定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。

④写步骤：规范写出求和步骤。

⑤再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。

专题四、利用空间向量求角问题1、解题路线图①建立坐标系，并用坐标来表示向量。

②空间向量的坐标运算。

2023届高考数学专项练习立体几何解答题最全归纳总结含答案

2023届高考数学专项练习立体几何解答题最全归纳总结【题型归纳目录】题型一：非常规空间几何体为载体题型二：立体几何存在性问题题型三：立体几何折叠问题题型四：立体几何作图问题题型五：立体几何建系繁琐问题题型六：两角相等(构造全等)的立体几何问题题型七：利用传统方法找几何关系建系题型八：空间中的点不好求题型九：创新定义【典例例题】题型一：非常规空间几何体为载体例1.如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB=4，母线PH=22，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形．(1)设平面POH∩平面PBC=l，证明：l∥BC；(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长．例2.如图所示，圆锥的底面半径为4，侧面积为162π，线段AB为圆锥底面⊙O的直径，C在线段AB上，且BC=3CA，点D是以BC为直径的圆上一动点；(1)当CD=CO时，证明：平面PAD⊥平面POD(2)当三棱锥P-BCD的体积最大时，求二面角B-PD-A的余弦值．例3.如图，圆锥PO 的母线长为6，△ABC 是⊙O 的内接三角形，平面PAC ⊥平面PBC ．BC =23，∠ABC =60°．(1)证明：PA ⊥PC ；(2)设点Q 满足OQ =λOP ，其中λ∈0,1 ，且二面角O -QB -C 的大小为60°，求λ的值．例4.如图，D 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面的圆心，AB 为底面直径，C 为底面圆周上一点，DA =AC =BC =2，四边形DOAE 为矩形，点F 在BC 上，且DF ⎳平面EAC ．(1)请判断点F 的位置并说明理由；(2)平面DFO 将多面体DBCAE 分成两部分，求体积较大部分几何体的体积．例5.如图，在直角△POA 中，PO ⊥OA ，PO =2OA ，将△POA 绕边PO 旋转到△POB 的位置，使∠AOB =90°，得到圆锥的一部分，点C 为AB的中点．(1)求证：PC ⊥AB ；(2)设直线PC 与平面PAB 所成的角为φ，求sin φ．．例6.如图，四边形ABCD 为圆柱O 1O 2的轴截面，EF 是该圆柱的一条母线，EF =2EA ，G 是AD 的中点．(1)证明：AF ⊥平面EBG ；(2)若BE =3EA ，求二面角E -BG -A 的正弦值．例7.例7．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF的中点．(1)设P 是CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求证BP ⊥BE ；(2)当AB =3，AD =2时，求二面角E -AG -C 的大小．例8.如图，四边形ABCD 是一个半圆柱的轴截面，E ，F 分别是弧DC ,AB 上的一点，EF ∥AD ，点H 为线段AD 的中点，且AB =AD =4,∠FAB =30°，点G 为线段CE 上一动点．(1)试确定点G 的位置，使DG ⎳平面CFH ，并给予证明；(2)求二面角C -HF -E 的大小．例9.坐落于武汉市江汉区的汉口东正教堂是中国南方唯一的拜占庭式建筑，象征着中西文化的有机融合．拜占庭建筑创造了将穹顶支承于独立方柱上的结构方法和与之相呼应的集中式建筑形制，其主体部分由一圆柱与其上方一半球所构成，如图所示．其中O 是下底面圆心，A ,B ,C 是⊙O 上三点，A 1,B 1,C 1是上底面对应的三点．且A ,O ,C 共线，AC ⊥OB ，C 1E =EC ，B 1F =13FB ，AE 与OF 所成角的余弦值为36565．(1)若E 到平面A 1BC 的距离为233，求⊙O 的半径．(2)在(1)的条件下，已知P 为半球面上的动点，且AP =210，求P 点轨迹在球面上围成的面积．例10.如图，ABCD 为圆柱OO 的轴截面，EF 是圆柱上异于AD ,BC 的母线．(1)证明：BE ⊥平面DEF ；(2)若AB =BC =6，当三棱锥B -DEF 的体积最大时，求二面角B -DF -E 的正弦值．例11.如图，O1，O分别是圆台上、下底的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D，AA1，BB1，CC1为圆台的母线，AB=2A1B1=8．(1)证明；C1D⎳平面OBB1O1；(2)若二面角C1-BC-O为π3，求O1D与平面AC1D所成角的正弦值．例12.某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,AD=AA1=2，圆台下底圆心O为AB的中点，直径为2，圆与直线AB交于E,F，圆台上底的圆心O1在A1B1上，直径为1．(1)求A1C与平面A1ED所成角的正弦值；(2)圆台上底圆周上是否存在一点P使得FP⊥AC1，若存在，求点P到直线A1B1的距离，若不存在则说明理由．题型二：立体几何存在性问题例13.如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．(1)求三棱锥A-PBC的体积；(2)在线段PC上是否存在一点M，使得BM⊥AC?若存在，求MCPM的值，若不存在，请说明理由．例14.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2AB，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E、F、G、O分别是PC、PD、BC、AD的中点．(1)求平面EFG与平面ABCD所成的锐二面角的大小；(2)线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角的大小为π6，若存在，求出PMPA的值；若不存在，说明理由．例15.已知三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，A1B⊥AC1，AC=AA1=4，BC=2．(1)求证：平面A1ACC1⊥平面ABC；(2)若∠A1AC=60°，在线段AC上是否存在一点P，使二面角B-A1P-C的平面角的余弦值为34若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．例16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⎳BC，AD⊥CD，且AD=CD，BC=2CD，PA=2AD．(1)证明：AB⊥PC；(2)在线段PD上是否存在一点M，使得二面角M-AC-D的余弦值为1717，若存在，求BM与PC所成角的余弦值；若不存在，请说明理由．例17.如图，△ABC是边长为6的正三角形，点E，F，N分别在边AB，AC，BC上，且AE=AF=BN=4，M 为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使DM=15．(1)证明：平面DEF⊥平面BEFC；(2)试探究在线段DM上是否存在点P，使二面角P-EN-B的大小为60°？若存在，求出DPPM的值；若不存在，请说明理由．例18.图1是直角梯形ABCD ，AB ⎳CD ，∠D =90∘，AB =2，DC =3，AD =3，CE =2ED ，以BE 为折痕将△BCE 折起，使点C 到达C 1的位置，且AC 1=6，如图2．(1)求证：平面BC 1E ⊥平面ABED ；(2)在棱DC 1上是否存在点P ，使得C 1到平面PBE 的距离为62？若存在，求出二面角P -BE -A 的大小；若不存在，说明理由．例19.如图所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB =1，AC =AA 1=2，AD =CD =5，E 为棱AA 1上的点，且AE =12．(1)求证：BE ⊥平面ACB 1；(2)求二面角D 1-AC -B 1的余弦值；(3)在棱A 1B 1上是否存在点F ，使得直线DF ∥平面ACB 1？若存在，求A 1F 的长；若不存在，请说明理由．例20.如图，在五面体ABCDE中，已知AC⊥BD，AC⊥BC，ED⎳AC，且AC=BC=2ED=2，DC=DB =3．(1)求证：平面ABE⊥与平面ABC；(2)线段BC上是否存在一点F，使得平面AEF与平面ABE夹角余弦值的绝对值等于54343，若存在，求BFBC的值；若不存在，说明理由．题型三：立体几何折叠问题例21.如图1，在边上为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点M，N分别是边BC，CD的中点，AC∩BD=O1，AC∩MN=G．沿MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P -ABMND．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；(2)当四棱锥P-MNDB体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值；(3)在(2)的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角Q-MN-P余弦值的绝对值为1010若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．例22.如图，在等腰直角三角形PAD中，∠A=90°，AD=8，AB=3，B、C分别是PA、PD上的点，且AD⎳BC，M、N分别为BP、CD的中点，现将△BCP沿BC折起，得到四棱锥P-ABCD，连接MN.(1)证明：MN⎳平面PAD；(2)在翻折的过程中，当PA=4时，求二面角B-PC-D的余弦值．例23.如图1，在平面四边形PDCB中，PD∥BC，BA⊥PD，PA=AB=BC=2，AD=1．将△PAB沿BA 翻折到△SAB的位置，使得平面SAB⊥平面ABCD，如图2所示．(1)设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；(2)点Q在线段SC上(点Q不与端点重合)，平面QBD与平面BCD夹角的余弦值为66，求线段BQ的长．例24.如图，在平面五边形PABCD 中，△PAD 为正三角形，AD ∥BC ，∠DAB =90°且AD =AB =2BC =2．将△PAD 沿AD 翻折成如图所示的四棱锥P -ABCD ，使得PC =7．F ，Q 分别为AB ，CE 的中点．(1)求证：FQ ∥平面PAD ；(2)若DE PE=12，求平面EFC 与平面PAD 夹角的余弦值．例25.如图，在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =2，∠A =60°，E ，F 分别为线段AB ，CD 上的点，且BE =2AE ，DF =FC ，现将△ADE 沿DE 翻折至△A 1DE 的位置，连接A 1B ，A 1C ．(1)若点G 为线段A 1B 上一点，且A 1G =3GB ，求证：FG ⎳平面A 1DE ；(2)当三棱锥C -A 1DE 的体积达到最大时，求二面角B -A 1C -D 的正弦值．例26.如图1，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形ABEF是等腰梯形，AB=BE=12EF，现将正方形ABCD沿AB翻折，使CD与C D 重合，得到如图2所示的几何体，其中D E=4．(1)证明：AF⊥平面AD E；(2)求二面角D -AE-C 的余弦值．例27.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=BC=2,AD=4，现将△ABC所在平面沿对角线AC翻折，使点B翻折至点E，且成直二面角E-AC-D．(1)证明：平面EDC⊥平面EAC；(2)若直线DE与平面EAC所成角的余弦值为12，求二面角D-EA-C的余弦值．例28.如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，DE 是△ABC 的中位线，沿DE 将△ADE 进行翻折，使得△ACE 是等边三角形(如图2)，记AB 的中点为F ．(1)证明：DF ⊥平面ABC ．(2)若AE =2，二面角D -AC -E 为π6，求直线AB 与平面ACD 所成角的正弦值．题型四：立体几何作图问题例29.已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，O 为其中心，点E 为侧棱PD 的中点．(1)作出过O 、P 两点且与AE 平行的四棱锥截面(在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，并写出简要作图过程)；记该截面与棱CD 的交点为M ，求出比值DM MC (直接写出答案)；(2)若四棱锥的侧棱与底面边长均相等，求AE 与平面PBC 所成角的正弦值．例30.．如图，已知底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，平面MNGH与直线PB和直线AC平行，点E为PD的中点，点F在CD上，且DF:FC=1:2．(1)求证：四边形MNGH是平行四边形；(2)求作过EF作四棱锥P-ABCD的截面，使PB与截面平行(写出作图过程，不要求证明)．截面的定义：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形．例31.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱B1C1的中点，F，G分别是棱CC1，BC上的动点(不与顶点重合)．(1)作出平面A1DG与平面CBB1C1的交线(要求写出作图过程)，并证明：若平面A1DG⎳平面D1EF，则EF⎳A1D；(2)若G为棱BC的中点，是否存在F，使平面D1EF⊥平面DGF，若存在，求出CF的所有可能值；若不存在，请说明理由．例32.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱B1C1的中点，F，G分别是棱CC1，BC上的动点(不与顶点重合)．(1)作出平面A1DG与平面CBB1C1的交线(要求写出作图过程)，并证明：若平面A1DG⎳平面D1EF，则EF⎳A1D；(2)若F，G均为其所在棱的中点，求点G到平面D1EF的距离．例33.如图多面体ABCDEF中，面FAB⊥面ABCD，△FAB为等边三角形，四边形ABCD为正方形，EF⎳BC，且EF=32BC=3，H，G分别为CE，CD的中点．(1)求二面角C-FH-G的余弦值；(2)作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AB交点为P，写出APAB的值(不需要说明理由，保留作图痕迹)．例34.如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD⎳EA，且FD =12EA=1．(1)求多面体EABCDF的体积；(2)记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．例35.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=2π3．AC∩BD=O，且PO⊥平面ABCD，PO=3，点F,G分别是线段PB.PD上的中点，E在PA上．且PA=3PE．(Ⅰ)求证：BD⎳平面EFG；(Ⅱ)求直线AB与平面EFG的成角的正弦值；(Ⅲ)请画出平面EFG与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤．题型五：立体几何建系繁琐问题例36.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．(1)证明：AA1⎳MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心．若AO⎳平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．例37.如图，在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=2，PB=2，E，F 分别是BC，PC的中点(1)证明：AD⊥平面DEF(2)求二面角P-AD-B的余弦值．例38.如图，AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为AC的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FB =FD =5a ，EF =6a ．(1)证明：EB ⊥FD ；(2)已知点Q ，R 为线段FE ，FB 上的点，FQ =23FE ，FR =23FB ，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值．例39.《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右．它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ．(1)从三棱锥P -ABC 中选择合适的两条棱填空：　BC ⊥ ，则三棱锥P -ABC 为“鳖臑”；(2)如图，已知AD ⊥PB ，垂足为D ，AE ⊥PC ，垂足为E ，∠ABC =90°．(ⅰ)证明：平面ADE ⊥平面PAC ；(ⅱ)设平面ADE 与平面ABC 的交线为l ，若PA =23，AC =2，求二面角E -l -C 的大小．例40.已知四面体ABCD，AD=CD，∠ADB=∠CDB=120°，且平面ABD⊥平面BCD．(Ⅰ)求证：BD⊥AC；(Ⅱ)求直线CA与平面ABD所成角的大小．例41.已知四面体ABCD，∠ADB=∠CDB=120°，且平面ABD⊥平面BCD．(Ⅰ)若AD=CD，求证：BD⊥AC；(Ⅱ)求二面角B-CD-A的正切值．题型六：两角相等(构造全等)的立体几何问题例42.如图，在三棱锥A-BCD中，ΔABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，点P是AC的中点，连接BP，DP(1)证明：平面ACD⊥平面BDP；(2)若BD=6，cos∠BPD=-33，求三棱锥A-BCD的体积．例43.如图，在三棱锥A-BCD中，ΔABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．(1)证明：平面ACD⊥平面BDP；(2)若BD=6，且二面角A-BD-C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．例44.如图，四棱锥F-ABCD中，底面ABCD为边长是2的正方形，E，G分别是CD、AF的中点，AF=4，∠FAE=∠BAE，且二面角F-AE-B的大小为90°．(1)求证：AE⊥BG；(2)求二面角B-AF-E的余弦值．例45.如图，四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAE=∠BAE=45°，∠DAB=60°．(Ⅰ)证明：平面ADE⊥平面ABE；(Ⅱ)当直线DE与平面ABE所成的角为30°时，求平面DCE与平面ABE所成锐二面角的余弦值．例46.如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，(1)求证：AC⊥BD；(2)若平面ABD⊥平面CBD，且BD=52，求二面角C-AD-B的余弦值．题型七：利用传统方法找几何关系建系例47.如图：长为3的线段PQ与边长为2的正方形ABCD垂直相交于其中心O(PO>OQ)．(1)若二面角P-AB-Q的正切值为-3，试确定O在线段PQ的位置；(2)在(1)的前提下，以P，A，B，C，D，Q为顶点的几何体PABCDQ是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．例48.在四棱锥P-ABCD中，E为棱AD的中点，PE⊥平面ABCD，AD⎳BC，∠ADC=90°，ED=BC= 2，EB=3，F为棱PC的中点．(Ⅰ)求证：PA⎳平面BEF；(Ⅱ)若二面角F-BE-C为60°，求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．例49.三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，侧面BCC1B1为矩形，∠A1AB=2π3，二面角A-BC-A1的正切值为12．(Ⅰ)求侧棱AA1的长；(Ⅱ)侧棱CC1上是否存在点D，使得直线AD与平面A1BC所成角的正切值为63，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．例50.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA⊥平面ABCD，PA=AC=2，E是PC的中点，∠DAC=∠AOB(1)求证：BE⎳平面PAD；(2)若二面角P-CD-A的正切值为2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．例51.如图所示，PA⊥平面ABCD，ΔCAB为等边三角形，PA=AB，AC⊥CD，M为AC中点．(Ⅰ)证明：BM⎳平面PCD；(Ⅱ)若PD与平面PAC所成角的正切值为62，求二面角C-PD-M的正切值．题型八：空间中的点不好求例52.如图，直线AQ⊥平面α，直线AQ⊥平行四边形ABCD，四棱锥P-ABCD的顶点P在平面α上，AB =7，AD=3，AD⊥DB，AC∩BD=O，OP⎳AQ，AQ=2，M，N分别是AQ与CD的中点．(1)求证：MN⎳平面QBC；(2)求二面角M-CB-Q的余弦值．例53.如图，四棱锥S-ABCD中，AB⎳CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．(1)证明：SD⊥平面SAB(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值．例54.如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=2，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°．(Ⅰ)证明：M是侧棱SC的中点；(Ⅱ)求二面角S-AM-B的余弦值．例55.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB⎳CD，∠CDA=90°，CD=2AB=2，AD=3，PA=5，PD=22，点E在棱AD上且AE=1，点F为棱PD的中点．在棱AD上且AE=1，点F位棱PD的中点．(1)证明：平面BEF⊥平面PEC；(2)求二面角A-BF-C的余弦值的大小．例56.如图，在四棱锥A-BCFE中，四边形EFCB为梯形，EF⎳BC，且EF=34BC，ΔABC是边长为2的正三角形，顶点F在AC上的射影为点G，且FG=3，CF=212，BF=52．(1)证明：平面F GB⊥平面ABC；(2)求二面角E-AB-F的余弦值．例57.三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等边三角形，BC的中点为O，A1O⊥底面ABC，AA1与底面ABC所成的角为π3，点D在棱AA1上，且AD=32，AB=2．(1)求证：OD⊥平面BB1C1C；(2)求二面角B-B1C-A1的平面角的余弦值．例58.如图，将矩形ABCD沿AE折成二面角D1-AE-B，其中E为CD的中点，已知AB+2，BC=1．BD1 =CD1，F1为D1B的中点．(1)求证：CF⎳平面AD1E；(2)求AF与平面BD1E所成角的正弦值．题型九：创新定义例59.蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H-ABC，J-CDE，K-EFA，再分别以AC，CE，EA为轴将△ACH，△CEJ，△EAK分别向上翻转180°，使H，J，K三点重合为点S所围成的曲顶多面体(下底面开口)，如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和(多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示)．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π-3×π3=π．(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设BH=x(i)用x表示蜂房(图2右侧多面体)的表面积S(x)；(ii)当蜂房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值．例60.类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，二面角A-PC-B的大小为θ，则cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcosθ．时，证明以上三面角余弦定理；(1)当α、β∈0,π2(2)如图2，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°，∠BAC=45°，①求∠A1AB的余弦值；②在直线CC1上是否存在点P，使BP⎳平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．例61.(1)如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，使得A i ∈αi i=1,2,3,4，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；(2)给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：A i∈αi i=1,2,3,4，求该正四面体A1A2A3A4的体积．例62.已知a =(x 1,y 1,z 1)，b =(x 2,y 2,z 2)，c =(x 3,y 3,z 3)，定义一种运算：(a ×b )⋅c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2-x 1y 3z 2-x 2y 1z 3-x 3y 2z 1，已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB =(2,-1,4)，AD =(4,2,0)，AP =(-1,2,1)(1)试计算(AB ×AD )⋅AP 的绝对值的值，并求证PA ⊥面ABCD ；(2)求四棱锥P -ABCD 的体积，说明(AB ×AD )⋅AP 的绝对值的值与四棱锥P -ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算(AB ×AD )⋅AP 的绝对值的几何意义．立体几何解答题最全归纳总结【题型归纳目录】题型一：非常规空间几何体为载体题型二：立体几何存在性问题题型三：立体几何折叠问题题型四：立体几何作图问题题型五：立体几何建系繁琐问题题型六：两角相等(构造全等)的立体几何问题题型七：利用传统方法找几何关系建系题型八：空间中的点不好求题型九：创新定义【典例例题】题型一：非常规空间几何体为载体例1.如图，P 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB =4，母线PH =22，M 是PB 的中点，四边形OBCH 为正方形．(1)设平面POH ∩平面PBC =l ，证明：l ∥BC ；(2)设D 为OH 的中点，N 是线段CD 上的一个点，当MN 与平面PAB所成角最大时，求MN 的长．【解析】(1)因为四边形OBCH 为正方形，∴BC ∥OH ，∵BC ⊄平面POH ，OH ⊂平面POH ，∴BC ∥平面POH ．∵BC ⊂平面PBC ，平面POH ∩平面PBC =l ，∴l ∥BC ．(2)∵圆锥的母线长为22，AB =4，∴OB =2，OP =2，以O 为原点，OP 所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P 0,0,2 ，B 0,2,0 ，D 1,0,0 C 2,2,0 ，M 0,1,1 ，设DN =λDC =λ,2λ,0 0≤λ≤1 ，ON =OD +DN =1+λ,2λ,0 ，MN =ON -OM =1+λ,2λ-1,-1 ，OD =1,0,0 为平面PAB 的一个法向量，设MN 与平面PAB 所成的角为θ，则sin θ=1+λ,2λ-1,-1 ⋅1,0,0 1+λ 2+2λ-1 2+1 =1+λ5λ2-2λ+3，令1+λ=t ∈1,2 ，则sin θ=t 5t 2-12t +10=15-12t +101t 2=1101t -35 2+75所以当1t =35时，即λ=23时，sin θ最大，亦θ最大，此时MN =53,13,-1 ，所以MN =MN =53 2+13 2+-1 2=353．例2.如图所示，圆锥的底面半径为4，侧面积为162π，线段AB 为圆锥底面⊙O 的直径，C 在线段AB 上，且BC =3CA ，点D 是以BC 为直径的圆上一动点；(1)当CD =CO 时，证明：平面PAD ⊥平面POD(2)当三棱锥P -BCD 的体积最大时，求二面角B -PD -A 的余弦值．【解析】(1)∵PO 垂直于圆锥的底面，∴PO ⊥AD ，当CD =CO 时，CD =OC =AC ，∴AD ⊥OD ，又OD ∩PO =O ，∴AD ⊥平面POD ，又AD ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面POD ；(2)由题可知OA =OB =4，4π⋅PB =162π，∴PB =42，∴PO =4，当三棱锥P -BCD 的体积最大时，△DBC 的面积最大，此时D 为BC的中点，如图，建立空间直角坐标系O -xyz ，则A (0,-4,0),B (0,4,0),P (0,0,4),D 3,1,0 ，∴BP =0,-4,4 ,PD =3,1,-4 ,AP =(0,4,4)，设平面PAD 的法向量为n 1 =(a ,b ,c )，则n 1 ⋅AP =0n 1 ⋅PD =0 ，即4b +4c =03a +b -4c =0，令a =5，则b =-3,c =3，∴n 1 =(5,-3,3)，设平面PBD 的法向量n 2 =x ,y ,z ，则n 2 ⋅BP =0n 2 ⋅PD =0 ，即-4y +4z =03x +y -4z =0，令x =1，则y =1,z =1，∴n 2 =1,1,1 ，则cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2 n 1 n 2 =5-3+33×52+-3 2+32=5129129，∴二面角B -PD -A 的余弦值为-5129129．例3.如图，圆锥PO 的母线长为6，△ABC 是⊙O 的内接三角形，平面PAC ⊥平面PBC ．BC =23，∠ABC =60°．(1)证明：PA ⊥PC ；(2)设点Q 满足OQ =λOP ，其中λ∈0,1 ，且二面角O -QB -C 的大小为60°，求λ的值．【解析】(1)∵PA =PB =PC =6，BC =23，PB 2+PC 2=BC 2，∴PB ⊥PC∵平面PAC ⊥平面PBC 且平面PAC ∩平面PBC =PC ，PB ⊂平面PBC ，PB ⊥PC ，∴PB ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，∴PB ⊥PA ，∴AB =PA 2+PB 2=23，∴∠ABC =60°，∴△ABC 是正三角形，AC =23，∵PA 2+PC 2=AC 2∴PA ⊥PC ；(2)在平面ABC 内作OM ⊥OB 交BC 于M ，以O 为坐标原点，OM ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz 如图所示：易知OB =OC =2，OP =PB 2-OB 2=2，所以B 2,0,0 ，P 0,0,2 ，C -1,3,0 ，Q 0,0,2λ ，QB =2,0,-2λ ，BC =-3,3,0 ，设平面OBC 的法向量n 1 =x ,y ,z ，依题意n 1 ⋅QB =0n 1 ⋅CB =0 ，即2x -2λz =0-3x +3y =0 ，不妨令y =3λ，得n 1 =λ,3λ,2 ，易知平面OQB 的法向量n 2 =0,1,0 ，由λ∈0,1 可知cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2 n 1 ⋅n 2=cos60°，即3λλ2+(3λ)2+2 2=12，解得λ=12例4.如图，D 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面的圆心，AB 为底面直径，C 为底面圆周上一点，DA =AC =BC =2，四边形DOAE 为矩形，点F 在BC 上，且DF ⎳平面EAC ．(1)请判断点F 的位置并说明理由；(2)平面DFO 将多面体DBCAE 分成两部分，求体积较大部分几何体的体积．【解析】(1)点F 是BC 的中点，取BC 的中点F ，连接OF ，DF ，因为O 为AB 的中点，所以OF ⎳AC ，又AC ⊂平面AEC ，OF ⊄平面AEC ，所以OF ⎳平面AEC ，由四边形DOAE 为矩形，所以DO ⎳AE ，又AE ⊂平面AEC ，OD ⊄平面AEC ，所以OD ⎳平面AEC ，因为DO ∩OF =O ，DO ,OF ⊂平面DOF ，所以平面DOF ⎳平面AEC ，因为DF ⊂平面DOF ，所以DF ⎳平面AEC ，(2)由(1)知点F 是BC 的中点，因为DA =AC =BC =2，所以AB =AC 2+BC 2=22，所以OA =OC =OB =2，且OC ⊥AB ，所以OD =AD 2-OA 2=2，所以三棱锥D -BOF 的体积V D -BOF =13S △BOF ⋅DO =13×12×2×22×2=26；又三棱锥D -BOC 的体积V D -BOC =13S △BOC ⋅DO =13×12×2×2×2=23，所以四棱锥C -DOAE 的体积V C -DOAE =13S DOAE ×2=13×2 2×2=223，所以几何体DBCAE 的体积V DBCAE =V D -BCO +V C -DOAE =2，所以体积较大部分几何体的体积为V DBCAE -V D -BOF =2-26=526；例5.如图，在直角△POA 中，PO ⊥OA ，PO =2OA ，将△POA 绕边PO 旋转到△POB 的位置，使∠AOB =90°，得到圆锥的一部分，点C 为AB 的中点．(1)求证：PC ⊥AB ；(2)设直线PC 与平面PAB 所成的角为φ，求sin φ．【解析】(1)证明：由题意知：PO ⊥OA ,PO ⊥OB ，OA ∩OC =0∴PO ⊥平面AOB ，又∵AB ⊂平面AOB ，所以PO ⊥AB ．又点C 为AB 的中点，所以OC ⊥AB ，PO ∩OC =0，所以AB ⊥平面POC ，又∵PC ⊂平面POC ，所以PC ⊥AB ．(2)以O 为原点，OA ，OB ，OP 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设OA =2，则A 2,0,0 ，B 0,2,0 ，P 0,0,4 ，C 2,2,0 ，所以AB =-2,2,0 ，AP =-2,0,4 ，PC =2,2,-4 ．设平面PAB 的法向量为n =a ,b ,c ，则n ⋅AB =-2a +2b =0,n ⋅AP =-2a +4c =0, 取c =1，则a =b =2可得平面PAB 的一个法向量为n =2,2,1 ，所以sin φ=cos n ,PC =n ⋅PC n PC =42-465=210-5 15．例6.如图，四边形ABCD 为圆柱O 1O 2的轴截面，EF 是该圆柱的一条母线，EF =2EA ，G 是AD 的中点．(1)证明：AF ⊥平面EBG ；(2)若BE =3EA ，求二面角E -BG -A 的正弦值．【解析】(1)由已知EF ⊥平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，所以EF ⊥BE ，因为AB 是圆O 1的直径，所以AE ⊥BE ，因为AE ∩FE =E ，所以BE ⊥平面AFE ，AF ⊂平面AFE ，故BE ⊥AF ，因为EF =2EA =2AG ，所以EA =2AG ，易知：Rt △AEG ∼Rt △EFA ，所以∠GEA +∠EAF =90°，从而AF ⊥EG ，又BE ∩EG =E ，所以AF ⊥平面EBG ．(2)以E 为坐标原点，EA 为x 轴正方向，EA 为单位向量，建立如图所示的空间直角坐标系E -xyz ，则AB =2,BE =3,EF =2，从而A 1,0,0 ,B 0,3,0 ,D 1,0,2 ,F 0,0,2 ，AB =-1,3,0 ,AD =0,0,2 ,设n =x ,y ,z 位平面BGA 的法向量，则{n ⋅AB =0n ⋅AD =0⇒{-x +3y =02z =0⇒{x =3y =1z =0，所以n =3,1,0 ，由(1)知：平面BEG 的法向量为AF =-1,0,2 ,因为cos n ,AF =n ⋅AF n ⋅AF=-12，所以二面角E -BG -A 的正弦值为32．例7.例7．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF的中点．(1)设P 是CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求证BP ⊥BE ；(2)当AB =3，AD =2时，求二面角E -AG -C 的大小．【解析】(1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP =A ，所以BE ⊥平面ABP ，又BP ⊂平面ABP ，所以BP ⊥BE ．(2)以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0,0,3)，E (2,0,0)，G (1,3,3)，C (-1,3,0)，故AE =(2,0,-3)，AG =(1,3,0)，CG =(2,0,3)．设m =x 1,y 1,z 1 是平面AEG 的一个法向量，由m ·AE =0m ·AG =0 可得2x 1-3z 1=0,x 1+3y 1=0.取z 1=2，可得平面AEG 的一个法向量m =(3,-3,2)．设n =x 2,y 2,z 2 是平面ACG 的一个法向量，由n ·AG =0n ·CG =0，可得x 2+3y 2=0,2x 2+3z 2=0. 取z 2=-2，可得平面ACG 的一个法向量n =(3,-3,-2)．所以cos ‹m ,n ›=m ⋅n |m |⋅|n |=12，因为<m ,n >∈[0,π]，故所求的角为60°．例8.如图，四边形ABCD 是一个半圆柱的轴截面，E ，F 分别是弧DC ,AB 上的一点，EF ∥AD ，点H 为线段AD 的中点，且AB =AD =4,∠FAB =30°，点G 为线段CE 上一动点．(1)试确定点G 的位置，使DG ⎳平面CFH ，并给予证明；(2)求二面角C -HF -E 的大小．【解析】(1)当点G 为CE 的中点时，DG ∥平面CFH ．证明：取CF 得中点M ，连接HM ,MG ．∵G ，M 分别为CE 与CF 的中点，∴GM ∥EF ，且GM =12EF =12AD ，又H 为AD 的中点，且AD ∥EF ,AD =EF ，∴GM ∥DH ,GM =DH ．四边形GMHD 是平行四边形，∴HM ∥DG又HM ⊂平面CFH ,DG ⊄平面CFH∴DG ∥平面CFH(2)由题意知，AB 是半圆柱底面圆的一条直径，∴AF ⊥BF ．∴AF =AB cos30°=23,BF =AB sin30°=2．由EF ∥AD ,AD ⊥底面ABF ，得EF ⊥底面ABF ．∴EF ⊥AF ,EF ⊥BF ．以点F 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则F (0,0,0),B (0,2,0),C (0,2,4),H (23,0,2)FH =(23,0,2),FC =(0,2,4)设平面CFH 的一个法向量为n =(x ,y ,z )所以n ⋅FH =23x +2z =0n ⋅FC =2y +4z =0则令z =1则y =-2,x =-33即n =-33,-2,1由BF ⊥AF ,BF ⊥FE ,AF ∩FE =F ．得BF ⊥平面EFH ∴平面EFH 的一个法向量为FB =(0,2,0)设二面角C -HF -E 所成的角为θ∈0,π2则cos θ=∣cos ‹n ,FB ›=|n ⋅FB ||n ||FB |=0×-33 +(-2)×2+1×02×13+4+1=32 ∴二面角C -HF -E 所成的角为π6．例9.坐落于武汉市江汉区的汉口东正教堂是中国南方唯一的拜占庭式建筑，象征着中西文化的有机融合．拜占庭建筑创造了将穹顶支承于独立方柱上的结构方法和与之相呼应的集中式建筑形制，其主体部分由一圆柱与其上方一半球所构成，如图所示．其中O 是下底面圆心，A ,B ,C 是⊙O 上三点，A 1,B 1,C 1是上底面对应的三点．且A ,O ,C 共线，AC ⊥OB ，C 1E =EC ，B 1F =13FB ，AE 与OF 所成角的余弦值为36565．(1)若E 到平面A 1BC 的距离为233，求⊙O 的半径．(2)在(1)的条件下，已知P 为半球面上的动点，且AP =210，求P 点轨迹在球面上围成的面积．【解析】(1)如图，取BB 1,CE 上的点N ,M ．连接OM ,OF ,FM ．过N 作NH ⊥A 1B 于H ，则OM ∥AE ，由题意知cos ∠FOM =36565，设⊙O 的半径为r ，AA 1=h ，由勾股定理知OF =r 2+916h 2，OM =r 2+116h 2，FM =2r 2+14h 2，由余弦定理知cos ∠FOM =OF 2+OM 2-FM 22×OF ×OM．代入解得h =2r ，因为EN ∥BC ，EN ⊄面A 1BC ，所以EN ∥面A 1BC ，故N 到面A 1BC 的距离是233，因为BC ⊥AB ，BC ⊥AA 1，AA 1∩AB =A ，所以BC ⊥面A 1AB ，BC ⊥NH ，因为NH ⊥BC ，NH ⊥A 1B ，A 1B ∩BC =B ，所以NH ⊥面A 1BC ，NH =233，而sin ∠A 1BB 1=NH BN =A 1B 1A 1B ，即233×h 2=2r 2r 2+h 2，解得r =2，h =4，即⊙O 的半径为2．(2)设上底面圆心为O 1，则O 1P =2，O 1O 2与O 1P 的夹角为θ，所以|AP |=|AO 1 +O 1P |=20+4+85cos θ=210，解得cos θ=255，过P 作PO 2⊥AO 1于O 2，则O 2P =O 1P ⋅sin θ=255，所以点P 的轨迹是以O 2为圆心，以255为半径的圆，因此可作出几何体被面AOA 1所截得到的截面，如图所示．设弧A 1C 1旋转一周所得到的曲面面积为S 1，弧PP 得到的为S 2，则S 2S 1=1-cos θS 1=12×4πr2 ，因此S 2=2πr 2(1-cos θ)=8π1-255 ．因此P 点轨迹在球面上围成的面积为8π1-255．例10.如图，ABCD 为圆柱OO 的轴截面，EF 是圆柱上异于AD ,BC 的母线．(1)证明：BE ⊥平面DEF ；(2)若AB =BC =6，当三棱锥B -DEF 的体积最大时，求二面角B -DF -E 的正弦值．【解析】(1)证明：如图，连接AE ，由题意知AB 为⊙O 的直径，所以AE ⊥BE ．因为AD ,EF 是圆柱的母线，所以AD ∥EF 且AD =EF ，所以四边形AEFD 是平行四边形．所以AE ⎳DF ，所以BE ⊥DF ．因为EF 是圆柱的母线，所以EF ⊥平面ABE ，又因为BE ⊂平面ABE ，所以EF ⊥BE ．又因为DF ∩EF =F ，DF 、EF ⊂平面DEF ，所以BE ⊥平面DEF ．(2)由(1)知BE 是三棱锥B -DEF 底面DEF 上的高，由(1)知EF ⊥AE ,AE ∥DF ，所以EF ⊥DF ，即底面三角形DEF 是直角三角形．设DF =AE =x ,BE =y ，则在Rt △ABE 中有：x 2+y 2=6，所以V B -DEF =13S △DEF ⋅BE =13⋅12x ⋅6⋅y =66xy ≤66⋅x 2+y 22=62，当且仅当x =y =3时等号成立，即点E ，F 分别是AB ，CD的中点时，三棱锥B -DEF 的体积最大，。

高考数学一轮总复习课外拓展习题推荐

高考数学一轮总复习课外拓展习题推荐高考数学是中国学生中最为重要的考试之一，也是决定学生升学和未来发展的关键因素。

为了取得优异的成绩，学生不仅需要掌握基础知识，还需要拓展思维，提高解题能力。

本文将推荐几道适合高考数学一轮总复习的课外拓展习题，旨在帮助学生更好地备战高考。

1. 题目一：函数的极值及最值问题已知函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5，求f(x)的极值及最值。

解析：首先得出f'(x) = 6x^2 - 18x + 12，将f'(x)置零，解得x = 1或x = 2。

将x = 1和x = 2分别代入f'(x)和f(x)中计算，得到f(1) = 10，f(2) = 7。

因此，函数f(x)在x = 1处取得极小值10，在x = 2处取得极大值7。

2. 题目二：复数的运算与表示已知复数z = 3 + 4i，计算z的共轭复数、复数的模和幅角。

解析：复数z的共轭复数为z* = 3 - 4i，复数的模为|z| = √(3^2 + 4^2) = 5，复数的幅角为θ = arctan(4/3)。

3. 题目三：概率问题某班级有30名男生和20名女生，从中随机抽取2名学生，求抽到两名男生的概率。

解析：首先计算男生和女生的抽取概率，男生的抽取概率为P1 =30/50 * 29/49，女生的抽取概率为P2 = 20/50 * 19/49。

因此，抽到两名男生的概率为P = P1 = (30/50) * (29/49) ≈ 0.357。

4. 题目四：几何问题已知直线L1: y = x + 1和L2: 2x + y = 4，求直线L1与L2的交点坐标。

解析：将L1和L2两个方程联立解得x = 1，将x = 1代入L1的方程得到y = 2。

因此，直线L1与L2的交点坐标为(1, 2)。

5. 题目五：函数的复合已知函数f(x) = 3x - 2和g(x) = 2x + 1，求复合函数f(g(x))的表达式。

届高三理科数学六大专题训练题含详解

5高三数学(理科)专题训练 A. —B. -C. —D.—6.下列关系式中正确的是()《三角函数、三角包等变换与解三角形》A. sinllsin168C. sin11sin1687.在锐角cos10 sin168sin 11 cos10sin168 cos10cos10 sin11ABC中,角A,B.D.1 . 选择题为三角形的一个内角,边长分别为a,b.若2asinB角A等于()B所对的J3b,则tan A.1212c13B,()VC。

沪2.函数y sin x和函数增函数的区间是()12有cosx者B是A . - B. - C. - D.8.已知函数f (x) Acos( x )(A则f(x)是奇函数”是“0, 0,R),A. [2k. [2k ,2k Lk2— ](k2](k Z)BZ)C. [2k ,2ka](k Z)D.[2k -,2k25 3.已知sin(一2 ](kZ)2A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件二、填空题9.已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形中心角是1弧度，则该扇形面积是.1,那么510.设sin2 sincos A.() 2 B. 54.在图中,1C.51D. 25 5tan2 的值是11.在锐角ABC中,BC 1, BA、B是单位圆。

上的AC2 A,则小匕的值等于cosA点，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为(3,4),5 5且AOB是正三角形.则cos COB的值为(),AC的取值范围为12.函数 f(x) si 的最大传A.C. 4 3、3103 4 310B.D.4 3.3103 4 . 310-2 sin cos(x )三、解答题山13.已知函数f(x) 3sin( x )( 0,- -)5,将函数y 3cosx sin x(x R)的图象向左平移m(m 0)个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是() 的图象关于直线x —对称，且3图象上相邻两个最高点的距离为⑴求和的值;3 / ,求⑵右 f (—) 2 cos( ，)的值. 14 .已知向量， 1、।a (cosx, -), b2x R,设函数f (x)(1)求f (x)的最小正周期; (2)求f (x)在［0,—］上的最大值和2最小值.■ ---(3sin x, a b.15 .已知函数f (x) Asin(x —), x R,且 4f(- ) 3. 12 2(1)求A 的值；3⑵若 f( ) f()二, 2 求 f(3).416 .已知函数f (x) 3 sin xcos x Q x R,且函数f (x)的最小正周期为.(1)求的值和函数f(x)的单调增区问；(2)在ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,又A 4f (一一) —, b 2, ABC 的面积 2 3 5等于3,求边长a 的值. 17 .已知函数x x xf (x) 2 sin - cos - . 3 cos -4 4 2(1)求函数f(x)的最小正周期及最值;(2)令g(x) f (x 3),判断函数 g(x)的奇偶性，并说明理由.18 .在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 已知a b, c 3,(1)求角C 的大小；4(2)若sin A —,求 ABC 的面积.5("，1cos2 x,2高三数学(理科)专题训练数列一、选择题1.数列\；’275,2.虎,/1,,的一个通项公式是()A. a n J3n 3B. a n J3n 1C. a n J3n 1D. % Cn 32.已知等差数列⑶｝中,a? a9 16冏1,则a12的值是()A. 15B. 30C. 31D. 643.等比数列⑶｝中，a〔a9 64, a3 a? 20,则an 的值是()A. 1B. 64C. 1 或64D. 1 或324. ABC的三边a,b, c既成等差数列又成等比数列，则此三角形是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形5.已知数列｛a n｝满足二、填空题9.在等差数列｛a n｝中，a〔a3 a5 12, a3 a4 a5 8,则通项a n 1 a n a n 1(n 2), a1 记S n a1 a2 a3结论正确的是()1, a2 3, a n,则下列A. a2014C. a2014 a20143,S2014a20141,S20141 ,S2053, S20'514142B.2D.6.如果在等差数列｛a n｝中,a3 a4 a5 12,那么a〔a2 a?()A. 14B. 21C. 28D. 357.数列｛a n｝中，a11,a2 2 3,a3 4 5 6,a47 那么a10 ()A. 495B. 505C. 550D. 5958.各项均为实数的等比数列｛a n｝的前n项和为S n,若S10 10, S30 70,贝US40 ()A. 150B. 200C. 150 或200D. 400 或50 a n .10.设等比数列｛a n｝的前n项和为S n,若"I 3,则S9 .11.设平面内有n条直线(n 2),其中任意两条直线都相交且交点不同；若用f(n)表示这n条直线把平面分成的区域个数，则f (2) , f(3) , f(4) .当n 4 时，f (n) .12.已知数列｛a n｝的通项公式为n 1a n log2----------(n N*).设其刖n 项n 2和为S n,则使S n 5成立的最小自然数n是.三、解答题13.等差数列｛a n｝的前n项和为S n,a123,公差d为整数，且第6 项为正，从第7项起变为负.(1)求d的值；(2)求S n的最大值；(3)当S n是正数时，求n的最大化14.设a1,d为实数，首项为诩、公差为d的等差数列｛a n｝的前n项和为S n,满足&S6 15 0.⑴若S5 5,求S6及为；(2)求d的取值范围.[0,5.，已知数歹｛a n｝的首项a1 a,S n是,薮列｛a n｝的前n项和，且满足S2 3n2a n S21,a n 0,(1)若数列｛a n｝是等差数列，求a 的值；(2)确定a的取值集合M,使a M时，数列｛a n｝是递增数列.16 .已知｛a n ｝为递增的等比数列，且⑶自0}{ 10, 6, 2,0,1,3,4,16}.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)是否存在等差数列｛b n ｝,使得对一切n N *都成立？若存在，求出bn ；若不存在，说明理由.17 .等差数列｛a n ｝各项均为正整数，a 1 3,前n 项和为S n ,等比数列｛b n ｝中，b 1 1,且b 2s 2 64, ｛b a n ｝是公比为64的等比数列.(1)求 a n 与 b n ；1 113 (2)证明：-——3S 1 S 2S n 418.已知数列｛a n ｝, S n 为其前n 项的和，S n n a n 9, n N *.(1)证明数列｛a n ｝不是等比数列；(2)令b n a n 1,求数列｛b n ｝的通项公式b n ；(3)已知用数列｛b n ｝可以构造新数列.例如：｛sin b n ｝,…，请写出用数列｛b n ｝构造出的新数列｛P n ｝的通项公式，使数列｛P n ｝满足以下两个条件，并说明理由.①数列｛ P n ｝为等差数列；②数列a 〔b na 2b n 1a 3b n 2a nb 12n{3b n }, {2b n1}, {b ：}, {，}, {2b n },｛P n｝的前n项和有最大值.高三数学(理科)专题训练三＜概率〉一、选择题1 .对满足A B的非空集合A、B有下列四个命题：其中正确命题的个数为()①若任取x A,则x B是必然事件②若x A,则x B是不可能事件③若任取x B,则x A是随机事件④若x B,则x A是必然事件A. 4B. 3C. 2D. 12.从1, 2,…，9中任取两个数，其中在下列事件中，是对立事件的是()①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数②至少有一个是奇数和两个都是奇数③至少有一个是奇数和两个都是偶数④至少有一个奇数和至少有一个偶数A.①B.②④C.③D.①③3.如图所示，设D是图中边长为4 的正方形区域，E是D内函数y x2图象下方的点构成的区域，向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为()A. 1B. 1C. -D. 12 3 4 54.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记硬币正面向上”为事件A,骰子向上的点数是3”为内任取A. 1B. 1C. -D. 2 3 36.已知随机变量服从正态分布N(0, 2),若P( 2) 0.023, WJP( 2 2)的值为()7.把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投8.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布~N(80,102),则下列命题中不正确的是()事件B,则事件A、件发生的概率是()B中至少有一A. —B. -C.12 2172D-5.如图所示，圆C内切于扇形AOB, AOB 一,若在扇形AOB3点，则该点在圆C内的概率为()点，此点落在星形内2 2 *2 1 2 ,()4 2 c 4 1A . — 1B . — C.——A.该市这次考试的数学平均成绩为80分B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D.该市这次考试的数学成绩标准差为10二、填空题9.盒子里共有大小相同的三只白球、一只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是. 10.在集合{x|x —,n 1,2,3, ,10}中任取6 1个元素，所取元素恰好满足方1一程cosx -的概率是.211.在区间［3,3］上随机取一个数x,使得|x 1 | |x 2| 1成立的概率为.12.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为旦，则参20 加联欢会的教师共有 _______ 人.13.已知三、解答题14.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是1,得到黑球或黄球的概率是—,3 12得到黄球或绿球的概率也是-,12试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？15.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是2和3.现安排甲组研发新产品A,3 5乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获得利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.16.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续3天里，有连续2 大的日销售量都不低于100个且另一大的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量2{(x, y)|x y 6,x Qy 0}, A {(x, y)|x 4, y 0,x y 0}. 若向区域上随机投一点P,则P落入区域A的概率是.不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E(X)及方差D(X).17设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0605050.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2) X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.18乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C上记3分，落点在1分，其它情况记0分，落点D上记1在C上的概率为—，在D上的概率为 5 3.假设共有两次来球且落在A, B上 5 各一次，小明的两次回球互不影响. 求：(I )小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(II )两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.高三数学（理科）专题训练四《立体几何初步》一、选择题1.已知ABC的三个顶点为A（3,3,2）、B（4, 3,7）、C（0,5,1）, 则BC边上的中线长为（）A. 5B. 4C. 3D. 22.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 183. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是（）A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱4.已知m、n表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是（）A .若m// , n〃，则m// nB.若m// ,m n,,则nC.若m , m n,,贝U n〃D.若m , n ,，则m n5.已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积为（）A. 10 cm3B. 20 cm3c 10 3 20 3C. ---- c m D . ---- cm6.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB BC CA 2,则球的半径是（）7.用a,b,c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：其中正确的命题是（）①若a // b,b // c,则a // c;②若 a b,b c,贝U a c;③若a// ,b//，则a//b;④若a ,b ，则a//b.A.①②B.②③C.①④D.③④8. 一个圆锥和一个半球有公共底A.3B. 4C. - D. 45 5二、填空题9.已知三棱柱ABC顶点都在球。

高三年级高考数学(理)五大解答题训练+拓展题型(八)

x
C
B
(0 < λ < 1) ，………6 分
∴ AQ = AD + DQ = AD + λ DP = (0,2,0 ) + (0,−2λ ,2λ ) = (0,2 − 2λ ,2λ ) ∴ Q(0,2 − 2λ ,2λ ) ,∴ CQ = (− 2,−2λ ,2λ ) = 2(− 1,−λ , λ ) .………8 分
��
��
l1 l2 + 的最大值． l2 l1
22．（本小题满分 15 分）已知函数 f ( x) = ax(a ∈ R ), g ( x) = ln x − 1. （1）若函数 h( x) = g ( x) + 1 −
x f ( x) − 2 x 存在单调递减区间，求 a 的取值范围； 2
m ⋅ n = 0.
（1）求角 B 的大小；（2）设函数 f ( x) = 2 sin x cos x cos( A + C ) − 最大值及当 f ( x) 取得最大值时 x 的值。
3 cos 2 x ，求函数 f ( x) 的最小正周期， 2
19．（本小题满分 14 分）已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，点 Pn ( n, S n )( n ∈ N ) 均在函数 f ( x) = − x + 7 x 的图象上。（1）求数列 {an } 的通项公式及 S n 的最大值；（2）令 bn =
所以存在且 DQ = 21．（本小题满分 15 分）
1 DP ………14 分 4 ��
解：（1）设 P ( x, y ) ，则 Q ( x, −1) ，∵ QP iQF = FPi FQ ， ∴ ( 0, y + 1)i( − x, 2 ) = ( x, y − 1)i( x, −2 ) ．即 2 ( y + 1) = x − 2 ( y − 1) ，即 x 2 = 4 y ，

高考数学大二轮复习刷题首选卷第二部分刷题型解答题(六)课件理

－x0＝4，
x0＝－4，
∴p2－y0＝0，即y0＝p2，
代入 x2＝2py(p>0)中得 16＝p2，解得 p＝4.
∴抛物线 C 的方程为 x2＝8y.
(2)由题意知直线 AB 的斜率存在，故设其方程为 y＝kx＋b.
由yx＝2＝k8xy＋，b，整理得 x2－8kx－8b＝0，则
x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝8k2＋2b，设 AB 的中点为 Q，则点 Q 的坐标为(4k,4k2＋b)．
解 (1)∵C1 的极坐标方程是 ρ＝4cosθ2＋43sinθ， ∴4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，整理得 4x＋3y－24＝0， ∴C1 的直角坐标方程为 4x＋3y－24＝0. 曲线 C2：xy＝＝csionsθθ，， ∴x2＋y2＝1，故 C2 的普通方程为 x2＋y2＝1.
(2)将曲线 C2 经过伸缩变换yx′′＝＝22y 2x，后得到曲线 C3 的方程为x′8 2＋
E(2a,1,0)，A(0,2,0)，所以B→1C1＝(2a,0，－2)，D→E＝(2a，－1，－1)．因为异
面直线 DE 与 B1C1 所成的角为 30°，
所以
cos〈D→E，B→1C1〉＝
→→ DE·B1C1 →→
|DE||B1C1|
＝ 4a2＋4a42·＋24a2＋2＝ 23，
解得 a＝1，于是 C1(2,0,0)．设平面 AB1C1 的法向量为 n＝(x，y，z)，因为A→C1＝(2，－2,0)，B→1C1＝(2,0，－2)，
(1)求抛物线 C 的方程； (2)直线 AB 与抛物线 C 交于不同两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，|x2－x1|＝3，直线 AB 与切线 l 平行，设切点为 N 点，试问△ABN 的面积是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

届高三理科数学六大专题训练题含详解

届高三理科数学六大专题训练题含详解高三数学（理科）专题训练一一《三角函数、三角恒等变换与解三角形》》一、选择题1．为三角形的一个内角，,125tan 则cos ( ) A ．1312B ． 135 C． 135 D． 1312 2．函数 x y sin 和函数x y cos 都是增函数的区间是( ) A ． ) ]( 2 2 ,232 [ Zk k k B． ) ](232 , 2 [ Z k k kC ．) ](22 , 2 [ Z k k kD．) ]( 2 ,22 [ Z k k k 3 ．已知 ,51)25sin( 那么 c o s ( ) A ．52B ．51 C．51 D．52 4．在图中，A 、 B是单位圆O上的点，C是圆与 x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为 ),54,53( 且 AOB是正三角形．则 COB cos 的值为( ) A ．103 3 4 B．1033 4 C ．103 4 3 D．103 4 3 5．将函数 ) ( sin cos 3 R x x x y 的图象向左平移 ) 0 ( m m 个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A ．12B ．6 C．3 D．65 6．下列关系式中正确的是( ) A ．168 sin 10 cos 11 sin B． 10 cos 11 sin 168 sin C ．10 cos 168 sin 11 sin D． 11 sin 10 cos 168 sin 7．在锐角 ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 b a, .若 , 3 sin 2 b B a 则角 A 等于( ) A ．3 B ．4C．6 D．12 8．已知函数), , 0 , 0 )( cos( )( R A x A x f 则“ ) (x f 是奇函数”是“2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题 9．已知扇形 AOB 的周长是 6 cm，该扇形中心角是 1 弧度，则该扇形面积是____．10 ．设, s i n 2 s i n), ,2( 则 2 tan 的值是________. 11 ．在锐角 ABC 中，, 1 BC , 2 A B 则AACcos的值等于___，AC 的取值范围为___． 12 ．函数) cos( sin 2 ) 2 sin( ) ( x x x f 的最大值为________. 三、解答题 13 ．已知函数)2 2, 0 )( sin( 3 ) (x x f的图象关于直线3 x 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 . (1)求和的值； (2) 若),326(43)2( f 求)23cos(的值． 14 ．已知向量),21, (cos x a ), 2 cos , sin 3 ( x x b, R x设函数 . ) ( b a x f (1)求 ) (x f 的最小正周期； (2)求 ) (x f 在 ]2, 0 [上的最大值和最小值． 15．已知函数, ),4sin( ) ( R x x A x f且 .23)125( f (1)求 A 的值； (2)若 ),2, 0 ( ,23) ( ) ( f f 求).43( f 16 ．已知函数, 2 cos21cos sin 3 ) ( x x x x f , 0 , R x且函数 ) (x f 的最小正周期为 . (1)求的值和函数 ) (x f 的单调增区间； (2)在 ABC 中，角 C B A , , 所对的边分别是, , , c b a 又 ,54)3 2( Af , 2 bABC 的面积等于 3，求边长 a 的值． 17 ．已知函数2cos 34cos4sin 2 ) (x x xx f (1)求函数 ) (x f 的最小正周期及最值； (2) 令 ),3( ) ( x f x g 判断函数) (xg 的奇偶性，并说明理由． 18．在 ABC 中，内角 C B A 、、所对的边分别为 . c b a 、、已知 , 3 , c b a (1)求角 C 的大小； (2)若 ,54sin A 求 ABC 的面积.高三数学（理科）专题训练二二数列一、选择题1．数列 , , 11 , 2 2 , 5 , 2 的一个通项公式是( ) A ． 3 3 n a n B ． 1 3 n a n C ． 1 3 n a n D． 3 3 n a n 2 ．已知等差数列 } {na 中，, 1 , 164 97 a a a 则12a 的值是( ) A ． 15 B ． 30 C．31 D．64 3 ．等比数列 } {na 中，, 20 , 647 3 9 1a a a a 则11a 的值是( ) A．1 B．64 C．1或 64 D．1 或 32 4． ABC 的三边 cb a , , 既成等差数列又成等比数列，则此三角形是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 5 ．已知数列 } {na 满足), 2 (1 1n a a an n n, 3 , 12 1 a a记 ,3 21 n na a a a S 则下列结论正确的是( )A ． 2 , 12014 2014 S a B． 5 , 32014 2014S a C ． 2 , 32014 2014 S a D． 5 , 12014 2014 S a 6 ．如果在等差数列 } {na 中，, 1254 3 a a a 那么7 2 1a a a ( )A ． 14B ． 21 C．28 D．35 7 ．数列 } {na中，, , 10 9 8 7 , 6 5 4 , 3 2 , 14 3 2 1a a a a那么10a ( ) A ． 495 B ． 505 C．550 D．595 8．各项均为实数的等比数列 } {na 的前 n 项和为 ,nS 若 , 1010 S , 7030 S 则40S ( ) A．150 B． 200 C．150或 200 D．400 或 50 二、填空题9 ．在等差数列 } {na 中，, 8 , 125 4 3 5 3 1a a a a a a 则通项na ________. 10．设等比数列 } {na 的前n 项和为,nS 若, 336SS 则69SS________. 11．设平面内有 n 条直线 ), 2 ( n 其中任意两条直线都相交且交点不同；若用) (n f表示这n条直线把平面分成的区域个数，则 ) 2 ( f ______ ， ) 3 ( f ______ ， ) 4 ( f ______.当 4 n 时， ) (n f ________. 12 ．已知数列 } {na的通项公式为*). (21log 2 N nnna n 设其前n项和为,nS 则使 5 nS 成立的最小自然数n是________. 三、解答题 13．等差数列 } {na 的前n项和为 , 23 ,1 a S n公差 d 为整数，且第 6 项为正，从第 7 项起变为负． (1)求 d 的值；(2)求nS 的最大值；(3)当nS 是正数时，求n 的最大值． 14．设 d a ,1为实数，首项为、1a 公差为 d 的等差数列 } {na 的前 n 项和为nS ，满足. 0 156 5 S S (1)若 , 55S 求6S 及 ;1a (2)求 d 的取值范围. 15．已知数列 } {na 的首项nS a a ,1 是数列} {na 的前n 项和，且满足, 0 , 3212 2 n n n na S a n S (1)若数列 } {na 是等差数列，求 a 的值； (2)确定 a 的取值集合 M，使 M a时，数列 } {na 是递增数列.16 ．已知 } {na 为递增的等比数列，且}. 16 , 4 , 3 , 1 , 0 , 2 , 6 , 10 { } , , {5 3 1 a a a (1)求数列 } {na 的通项公式； (2) 是否存在等差数列 }, {nb 使得2 211 2 3 1 2 1n b a b a b a b ann n n n对一切 * N n都成立？若存在，求出nb ；若不存在，说明理由. 17．等差数列 } {na 各项均为正整数， , 31a 前 n 项和为nS ，等比数列 } {nb 中，, 11 b 且 , 6422 S b } {nab 是公比为 64的等比数列． (1)求na 与；nb (2)证明：43 1 1 12 1 nS S S 18．已知数列 }, {nanS 为其前 n 项的和，, 9 n na n S . * N n (1)证明数列 } {na 不是等比数列； (2)令 , 1 n na b 求数列 } {nb 的通项公式nb ； (3)已知用数列 } {nb 可以构造新数列．例如：}, 3 {nb }, 1 2 { nb }, {2nb },1{nb}, 2 {nb }, {sinnb …，请写出用数列 } {nb 构造出的新数列 } {np 的通项公式，使数列 } {np 满足以下两个条件，并说明理由．①数列 } {np 为等差数列；②数列 } {np 的前 n项和有最大值．高三数学（理科）专题训练三三 < 概率> 一、选择题 1．对满足 B A的非空集合 B A、有下列四个命题：其中正确命题的个数为( ) ①若任取 , A x则 B x是必然事件②若 , A x则 B x是不可能事件③若任取 , B x则 A x是随机事件④若, B x则 A x是必然事件A．4 B．3 C．2 D．1 2．从 1，2，…，9 中任取两个数，其中在下列事件中，是对立事件的是( ) ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数②至少有一个是奇数和两个都是奇数③至少有一个是奇数和两个都是偶数④至少有一个奇数和至少有一个偶数 A．① B．②④ C．③ D．①③ 3．如图所示，设 D 是图中边长为 4 的正方形区域，E 是 D 内函数2x y 图象下方的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则该点落入 E 中的概率为( ) A．21 B．31 C．41 D．51 4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A，“骰子向上的点数是 3”为事件 B，则事件A、B 中至少有一件发生的概率是( ) A ．125 B ．21 C．127 D．43 5 ．如图所示，圆 C 内切于扇形,3,AOB AOB 若在扇形 AOB 内任取一点，则该点在圆 C 内的概率为( ) A． 21 B．31 C．32 D．43 6．已知随机变量服从正态分布 ), , 0 (2 N若 , 023 . 0 ) 2 ( P 则 ) 2 2 ( P的值为( ) A ．0.477 B ．0.628 C．0.954 D．0.977 7．把半径为 2 的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为 2 的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为( ) A ． 14 B ． 2 C．21 4 D．21 8．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布) 10 , 80 ( ~2N ，则下列命题中不正确的是( ) A．该市这次考试的数学平均成绩为 80分 B．分数在120 分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110 分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．该市这次考试的数学成绩标准差为10 二、填空题 9．盒子里共有大小相同的三只白球、一只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是__________．10．在集合 } 10 , , 3 , 2 , 1 ,6| { nnx x中任取 1 个元素，所取元素恰好满足方程21cos x 的概率是__________． 11．在区间 ] 3 , 3 [上随机取一个数 x，使得1 | 2 | | 1 | x x 成立的概率为______. 12．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多 12 人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为,209 则参加联欢会的教师共有____人. 13 ．已知}. 0 , 0 , 4 | ) , {( }, 0 , 0 , 6 | ) , {(2 y x y x y x A y x y x y x若向区域上随机投一点 P，则 P 落入区域 A 的概率是________. 三、解答题 14．袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是 ,31得到黑球或黄球的概率是 ,125得到黄球或绿球的概率也是 ,125试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？15. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是32和53. 现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品 B. 设甲、乙两组的研发相互独立. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获得利润100 万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望. 16.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于 50 个的概率；（2）用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望( ) E X 及方差 ( ) D X . 17 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6 0.5 0.5 0.4 、、、，各人是否需使用设备相互独立. （1）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望. 18 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域 , A B ，乙被划分为两个不相交的区域 , C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在 C 上记3分，落点在 D上记 1 分，其它情况记 0 分，落点在 C 上的概率为15，在 D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在 , A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（I）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（II）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.高三数学（理科）专题训练四四《立体几何初步》》一、选择题 1 ．已知 A B C 的三个顶点为、、 ) 7 , 3 , 4 ( ) 2 , 3 , 3 ( B A ), 1 , 5 , 0 ( C 则 BC 边上的中线长为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( ) A．6 B．9 C．12 D．18 3．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是( ) A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 4．已知 n m、表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是( ) A．若// , // n m ，则 n m// B．若 , , // n m m ，则n C．若 , , n m m ，则 // n D．若 , , n m ，则 n m 5．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为( ) A．310 cm B．320 cmC．3310cm D．3320cm 6．已知过球面上 C B A , , 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且, 2 CA BCAB 则球的半径是( ) A ．32 B ．34 C． 36 D．1 7．用c b a , , 表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：其中正确的命题是( ) ①若 , // , // c b b a 则 ; //c a②若 , , c b b a 则 ; c a ③若 , // , // ba 则; //b a ④若, , b a 则 . //b aA ．①②B ．②③ C．①④ D．③④ 8．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥的轴截面顶角的余弦值是( ) A ．43 B ．54 C．53 D．53二、填空题 9．已知三棱柱1 1 1C B A ABC的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 , 4 , 3 AC AB , AC AB ,121 AA 则球 O 的半径为_______. 10 ．在三棱锥 ABC P 中，, 1 BC PC PB PA 且,2BAC 则 PA与底面 ABC 所成角为______. 11 ．在长方体1 1 1 1D C B A ABCD中，, 2 , 31cm AA cm AD AB 则四棱锥 D DBB A1 1的体积为____cm 3 ．三、解答题 12．如图所示，网格纸上正方形小格的边长为1 （表示1 cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，求切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值. 13．如图所示，已知两个正四棱锥ABCD P与 ABCD Q的高都是 2，. 4 AB (1)求证：PQ 平面 ; ABCD (2)求四面体 QAD P的体积． 14 ．如图所示，在直三棱柱1 1 1C B A ABC中，, , 901CC BC AC ACBo点M为AB的中点，点D在1 1 BA 上，且 . 31 1DB D A (1) 求证：平面 C M D 平面;1 1 AA B B (2)求二面角 M BD C的余弦值.15．如图所示，四棱锥 ABCD P 中，底面 ABCD 为矩形， , ABCD PA 平面 E 为 PD 的中点． (1)证明：AEC PB 平面 // ； (2) 设二面角 C AE D 为 60 °，, 3 , 1 AD AP 求三棱锥 ACD E 的体积. 16．如图所示，直二面角 E AB D 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， , EB AE 点 F 为 CE 上的点，且 BF 平面 . ACE (1)求证： AE 平面 ; BCE (2)求二面角 E AC B 的余弦值；(3)求点 D 到平面 ACE 的距离． 17．如图所示，AB 是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC. (2) 若 , 1 , 1 , 2 PA AC AB 求二面角 A PB C的余弦值. 18．如图所示，平行四边形 ABCD中， . 4 , 2 , 60 AD AB DAB将 CBD 沿BD折起到 EBD 的位置，使平面 EDB 平面 ABD. (1)求证：AB 平面 ; EBD (2)求三棱锥 ABD E 的侧面积．高三数学（理科）专题训练五《圆锥曲线方程》》一、选择题 1 ．已知双曲线) 0 , 0 ( 1 :2222 b abyaxC 的离心率为 ,25则 C 的渐近线方程为( ) A ． x y41B ． x y31 C． x y21 D． x y2 ．已知,40则双曲线1cos sin:22221y xC 与1sin cos:22222x yC ( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 3．椭圆 1422 yx的两个焦点为 , ,2 1F F 过1F 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为 P，则 | |2PF ( )A ．23B ． 3 C．27 D．4 4．已知双曲线 1422 2by x的右焦点与抛物线 x y 122的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ) A ． 5 B ． 2 4 C．3 D．5 5 ．设1F 和2F 为双曲线) 0 , 0 ( 12222 b abyax的两个焦点，若 ) 2 , 0 ( , ,2 1b P F F 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( ) A ．23 B ． 2 C．25 D．3 6．已知双曲线 1222yx 的焦点为 , ,2 1F F 点 M 在双曲线上，且 , 02 1 MF MF 则点 M 到 x 轴的距离为( ) A ．34 B ．35 C． 332 D． 3 7．设双曲线的左焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，右顶点为 A，如果直线 FB 与 BA 垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A ． 2 B ． 3 C．21 3 D．21 5 8．已知F是抛物线 x y 2的焦点，点A 、 B在该抛物线上，且位于 x 轴的两侧，2 OB OA （其中 O 为坐标原点），则ABO 与AFO 面积之和的最小值是( ) A．2 B．3 C．82 17 D． 10 二、填空题 9．已知抛物线 x y 82的准线过双曲线) 0 , 0 ( 12222 b abyax的一个焦点，双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_________. 10 ．已知2 1 ,FF 是椭圆) 0 ( 1 :2222 b abyaxC 的两个焦点，P 为椭圆 C 上一点，且 .2 1PF PF 若2 1 FPF 的面积为 9 ，则 b _________. 11．抛物线 ) 0 ( 22 p py x 的焦点为 F，其准线与双曲线 13 32 2y x相交于 A，B 两点，若 ABF 为等边三角形，则 p _________. 12 ．椭圆12222byax的四个顶点为, , , , D C B A 若菱形 ABCD 的内切圆恰好经过它的焦点，则此椭圆的离心率是____. 三、解答题13 ．如图所示，动圆) 3 1 ( :2 2 21 t t y x C 与椭圆19:222 yxC 相交于 D C B A , , , 四点，点2 1 ,AA 分别为2C 的左、右顶点，当 t 为何值时，矩形 ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积． 14．已知双曲线 ) 0 , 0 ( 12222 b abyax的两条渐近线方程为 ,33x y若顶点到渐近线的距离为 1，求双曲线方程.15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，2 1 ,FF 分别是椭圆) 0 ( 12222 b abyax的左右焦点，顶点 B 的坐标是 ), , 0 ( b 连结2BF 并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点C，连结.1 CF (1)若点 C 的坐标为 ),31,34( 且 , 2 | |2 BF求椭圆的方程； (2)若 ,1AB C F 求椭圆离心率 e 的值. 16．椭圆 ) 0 ( 1 :2222 b abyaxC 的两个焦点分别为 , ,2 1F F 点 P 在椭圆 C 上，且,2 1 1F F PF (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l 过圆 0 2 42 2 y x y x 的圆心 M，交椭圆 C 于 A，B 两点，且 A，B 关于点 M 对称，求直线 l 的方程． 17．若点 O 和点 F 分别为椭圆 13 42 2y x的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，求 FP OP的最大值． 18．已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点) 0 )( , 0 ( c c F 到直线 0 2 : y x l的距离为 .22 3 设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线PA，PB，其中 A，B 为切点． (1)求抛物线 C 的方程； (2)当点 ) , (0 0y x P 为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程； (3)当点P 在直线l上移动时，求 | | | | BF AF 的最小值．高三数学（理科）专题训练六六《导数及其应用》》一、选择题 1．若 , ) (3x x f , 6 ) ( “0 x f 则0x ( ) A ． 2 B ． 2 C． 2 D． 1 2．函数 1 33x x y 的单调递减区间是( ) A ． ) 2 , 1 ( B ． ) 1 , 1 ( C． ) 1 , ( D． ) , 1 ( 3 ．与直线 0 5 2 y x 平行的抛物线2x y 的切线方程是( ) A ． 0 3 2 y x B． 0 3 2 y x C． 0 1 2 y x D． 0 1 2 y x 4．已知曲线xxy ln 342的一条切线的斜率为,21则切点的横坐标为( ) A．3 B．2 C．1 D．21 5．曲线 x y cos 与x 轴在区间]23,2[上所围成的图形的面积是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 6．设 ) ( ), ( x g x f 是定义域为R的恒大于零的可导函数，且, 0 ) ( “ ) ( ) ( ) ( “ x g x f x g x f 则当x a b 时，有( ) A ． ) ( ) ( ) ( ) ( b g b f x g x f B． ) ( ) ( ) ( ) ( x g a f a g x fC ． ) ( ) ( ) ( ) ( x g b f b g x f D． ) ( ) ( ) ( ) ( a g a f x g x f 7．若 ) 2 ln(21) (2 x b xx f 在区间) , 1 ( 内是减函数，则实数 b 的取值范围是( ) A ． ) , 1 [ B ． ) , 1 ( C． ] 1 , ( D． ) 1 , ( 8．如图，某飞行器在 4 千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为( ) A ． x x y5312513 B． x x y5412523 C ． x xy 31253 D． x x y5112533二、填空题 9．若曲线 ) 1 ln( x ax y 在点 ) 0 , 0 ( 处的切线方程为 , 2x y 则 a ______. 10．若曲线xbax y 2（a、b 为常数）过点), 5 , 2 ( P 且该曲线在点P处的切线与直线 y x 2 7 0 3 平行，则 b a ______. 11 ．若 , ) ( 2 ) (102dx x f x x f则dx x f ) (10______. 12．设 , R a若函数 ) ( 3 R x x e yax有大于零的极值点，则 a 的取值范围是______. 三、解答题 13．设函数 ) 0 ( ) (k xe x fkx. (1)求曲线 ) (x f y 在点 )) 0 ( , 0 ( f 处的切线方程； (2)求函数 ) (x f 的单调区间． 14．已知函数 . 1 ln ) 1 ( ) ( x x x x f (1)若 , 1 ) ( “2ax x x xf 求实数 a 的取值范围； (2)证明：. 0 ) ( ) 1 ( x f x15．设 , 12321ln ) ( xxx a x f 其中, R a 曲线 ) (x f y 在点 )) 1 ( , 1 ( f 处的切线垂直于 y 轴． (1)求 a 的值； (2)求函数 ) (x f 的极值． 16．如图所示，已知曲线21 :x y C 与曲线) 1 ( 2 :22 a ax x y C 交于点 O、A，直线 ) 1 0 ( t t x 与曲线2 1C C、分别相交于点 D 、 B ，联结. AB DA OD 、、 (1)写出曲边四边形 ABOD（阴影部分）的面积 S 与 t 的函数关系式 ); (t f S (2)求函数 ) (t f S 在区间 ] 1 , 0 ( 上的最大值． 17．某村庄拟修建一个无盖圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元／平方米，底面的建造成本为160 元／平方米，该蓄水池的总建造成本为12000 （为圆周率）． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h为何值时该蓄水池的体积最大. 18．已知函数 . ) 2 ( ln ) (2x a ax x x f (1)讨论 ) (x f 的单调性； (2)设 , 0 a 证明：当ax10 时，);1( )1( xaxaf (3)若函数 ) (x f y 的图象与x 轴交于A、B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 ,0x 证明：. 0 ) ( “0 x f高三数学（理科）专题训练一一《三角函数、三角恒等变换与解三角形》参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C D B C A B 二、填空题 9．2cm 2 10． 3 11．2, ) 3 , 2 ( 12． 1 三、解答题 13．(1)因 ) (x f 的图象上相邻两个最高点的距离为 , 所以 ) (x f 的最小正周期 , T 从而. 22T又因) (x f 的图象关于直线3x 对称，所以, , 2 , 1 , 0 ,2 32 k k 因22得, 0 k 所以6 322(2) 由(1) 得)6 22 sin( 3 )2( f ,43所以41)6s i n ( 由326得,2 60所以)6( s i n 1 )6c o s (2415)41( 12 因此)6s i n [ ( s i n )23c o s (6s i n )6c o s (6c o s )6s i n ( ]614 ． (1) T (2)21) ( , 1 ) (min max x f x f15 ．(1)32sin )4 125sin( )125( A A f,23233sin )3sin( A A A所以 A , 3 所以).4sin( 3 ) ( x x f (2) ) ( ) ( f f)4sin( 3 )4sin( 3,23cos 6所以 ,46cos 因为 , 0 s i n ),2, 0 (则 sin,410)46( 1 cos 12 2故]4)43sin[( 3 )43(f4304103 sin 3 ) sin( 3 16．(1) 1 ) ](3,6[ Zk k k (2) 13 a 17 ．(1) 因),3 2sin( 22cos 32sin ) (x x xx f 故 ) (x f 的最小正周期 . 4212 T 当 1 )3 2sin( x时， ) (x f 取得最小值 ; 2 当 1 )3 2sin( x时， ) (x f 取得最大值 2． (2) 由 (1) 知 )3 2sin( 2 ) ( xx f 又 )3( ) (x f x g 故]3)3(21sin[ 2 ) (x x g2cos 2 )2 2sin( 2x x 故). (2cos 2 )2cos( 2 ) ( x gx xx g所以函数) (x g 是偶函数．18 ．(1) 由题意得，22 cos 122 cos 1 B A, 2 sin232 sin23B A即A A 2 cos212 sin23B A B B 2 sin( )62 sin( ,2 cos212 sin23 ),6由 ba 得， , BA又), , 0 (B A 得 ,6262 B A即 ,32 B A 所以3C (2)由 , 3 cCcAaAsin sin,54sin 得58 a ，由 , c a 得 , C A从而,53c o s A 故C A C A C A B sin cos cos sin ) sin( sin,103 3 4所以 A B C 的面积为 B ac S sin212518 3 8高三数学（理科）专题训练二二《数列》参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D D C B A 题二、填空题 9． 13 3 n 10．37 11．4；7；11；222n n 12．63 题三、解答题 13．(1)由已知 ,0076aa 得,0 6 230 5 23dd 解得 ,623523 d 又 d 为整数，故 . 4 d (2)n nn nn S n 25 2 ) 4 (2) 1 (232,8625)425( 22 n 当 6 n 时， ;78 nS 当 7 n时， . 77 nS 取最大值为 78. (3)令 , 0nS 得 , 0 25 22 n n 解得 n 0 *), (225N n故 n 的最大值为 12. 14 ． (1) 由题意知：. 31556 SS . 85 6 6 S S a 所以 ,8 55 10 511d ad a 解得 , 71 a 所以 . 7 , 31 6 a S (2) 因为 , 0 156 5 S S 所以, 0 15 ) 15 6 )( 10 5 (1 1 d a d a 即 . 0 1 10 9 22121 d da a 故. 8 ) 9 4 (2 21 d d a 所以 . 82 d 故 d 的取值范围为 2 2 d 或. 2 2 d 15 ． (1) 在212 23n n nS a n S 中分别令, 2 n 3 n 及 ,1a a 得 a a a a a ( , 12 ) (2222. ) ( 27 )22 323 2a a a a a 因为 , 0na 所以2a , 2 12 a . 2 33a a 因为数列 } {na 是等差数列，所以1a ,22 3a a 即 , 2 3 ) 2 12 ( 2 a a a 解得. 3a 经检验 3 a 时，,2) 1 ( 3, 3n nS n an n,2)1 ( 31n nS n满足 . 3212 2n n nS a n S (2) 由 , 3212 2n n nS a n S 得, 32 212n n na n S S即, 3 ) )( (21 1 n n n n na n S S S S 因为 , 0na , 2 n 所以, 321n S Sn n①所以 , ) 1 ( 321n S Sn n②②－①得 , 3 61n a an n所以 1 n na a , 3 ) 1 ( 6 n 两式相减得：). 2 ( 61 1n a an n 即数列 6 4 2, , a a a 及数列 , , ,7 5 3a a a 都是公差为 6 的等差数列，因为 , 2 3 , 2 123 2a a a a 所以. , 6 2 3, 3 , 6 2 3, 1 ,为偶数为奇数且n a nn n a nn aa n 要使数列 } {na 是递增数列，须有,2 1a a 且当n 为大于或等于 3 的奇数时,1 n na a 且当n 为偶数时,1 n na a 即为偶数为奇数且n a n a nn n a n a na a, 6 2 ) 1 ( 3 6 2 33 , 6 2 ) 1 ( 3 6 2 3, 2 12 解得41549a 所以 M 为 ),415,49( 当 M a时，数列} {na 是递增数列. 16．(1) 12 n (2)存在 17．(1)设 } {na 公差为 d，由题意易知 , 0 d 且 d *, N 则 , ) 1 ( 3 d n a n .2) 1 (3 dn nn S n设 } {nb 公比为 q，则 .1 nnq b 由 , 642 2 S b 可得64 ) 6 ( d q …①又 } {nab 是公比为 64 的等比数列，所以6411111 d a aaaaaq qqqbbn nnnnn …②由①②，且 *, N d , 0 d 可解得. 2 , 8 d q 所以 , 1 2 n a n . * , 81N n bnn (2) 由 (1) 知), 2 ( 22) 1 (3 n nn nn S n. * N n所以 ),21 1(21) 2 (1 1n n n n S n 所以)311 [(21 1 1 12 1 nS S S)]21 1( )5131( )4121(n n 18 ． (1) 略 (2)1)21( 4nnb (3) np ) 1 ( log a b na高三数学（理科）专题训练三《概率》参考答案题一、选择题 BCBC CCAB 题二、填空题 9．21 10．51 11．32 12．120 人 13． 278 题三、解答题 14．设得到黑球、黄球的概率分别为 , y x、由题意得,125)311 (,125y x yy x解得,61,41yx故41)6141311 ( , 所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是416141、、 15 解：记 E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题可知 32) ( E P , 31) ( E P ，53) ( F P ，52) ( F P . 且事件E与F，E与 F ， E 与 F ， E 与F 都相互独立. (1) 记 H＝{至少有一种新产品研发成功}，则 F E H ，于是1525231) ( ) ( ) ( F P E P H P ，故所求概率为15131521 ) ( 1 ) ( H P H P . （2）设企业可获利润为 X （万元），则 X的可能取值为 0，100，120，220. 又因1525231) ( ) 0 ( F E P X P ，1535331) ( ) 100 ( F E P X P ， 1545232) ( ) 120 (F E P X P，1565332) ( ) 220 ( EF P X P . 故所求分布列为X 0 100 120 220 P 数学期望为1401521001562201541201531001520 ) (X E. 16（Ⅰ）设1A 表示事件“日销售量不低于 100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50 个”.因此 1( ) (0.006 0.004 0.002) 50 0.6 P A .2( ) 0.003 50 0.15 P A . ( ) 0.6 0.6 0.15 2 0.108 P B . （Ⅱ） X 的可能取值为 0,1,2,3.相应的概率为 0 33( 0) (1 0.6) 0.064 P X C , 1 23( 1) 0.6(1 0.6) 0.288 P X C , 2 23( 2) 0.6 (1 0.6) 0.432 P X C , 3 33( 3) 0.6 0.216 P X C, 分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为X ~ B (3,0.6), 所以期望为 E ( X )=3 ×0.6=1.8，方差 D （ X ）=3×0.6×（1-0.6）=0.72 17 解：记iA 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备， 0,1,2 i B 表示事件：甲需使用设备 C 表示事件：丁需使用设备 D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备（1）1 2 2D A B C A B A B C所以1 2 2( ) ( ) P D P A B C A B A B C1 2 2( ) ( ) ( ) P A B C P A B P A B C（2） X 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ，4 0( 0) ( ) P X P B C A 0( ) ( ) ( ) P B P C PA 2(1 0.6) (1 0.4) 0.5 0.06 ． 0.25 ，2( 4) ( ) P X PBC A 2( ) ( ) ( ) P B P C P A20.5 0.6 0.4 0.06 ， ( 3) ( ) ( 4) 0.25 P X P D P X ，所以 X 的分布列为 0 1 2 3 4 数学期望(X) ( 2) 0 ( 0) 1 ( 1) 2 ( 3) 3 ( 3) 4 ( 4) E P X P X P X P X P X P X0.25 2 0.38 3 0.25 4 0.06 2． 18 解：（I）设恰有一次的落点在乙上这一事件为 A （II） 6 4 3 2 1 0 ，，，，，的可能取值为 0 1 2 3 4 6高三数学（理科）专题训练四四《立体几何初步》参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D D D B C C 二、填空题 9．213 10．3 11．6 三、解答题 12．底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体的体积为：121 1h R V 6 3 2 . 54 从某零件的三视图可知：该几何体为左边是一个底面半径为 2 cm、高为 4 cm 的圆柱体，右边是一个底面半径为 3 cm、高为 2 cm的圆柱体．其中左边的圆柱体的体积为：所以切削掉部分的体积为：. 20 4 322V V 因此切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：271054201VV 13．(1)如图所示，取 AD 的中点M，连接. ,QM PM 因为 ABCD P与 ABCD Q都是正四棱锥，所以 , , QM AD PM AD 从而 . P Q M AD 平面又, PQM PQ 平面所以 . AD PQ同理 , AB PQ所以. A B C D PQ 平面 (2) 连接 OM ，则,21221PQ AB OM所以, 90 o PMQ即 MQ PM 由 (1) 知 , PM AD所以, Q A D PM 平面从而 PM 就是四面体QAD P的高，在直角 PMO 中，. 2 2 2 22 2 2 2 OM PO PM 又, 2 4 2 2 42121QM AD SQAD 故3162 2 2 43131PM S VQAD QAD P 14．(1)在ABC 中， , BC AC 点M为AB的中点，故 . AB CM 又因三棱柱1 1 1C B A ABC是直三棱柱，故 ,1 1ABC A ABB 平面平面又 , ABC CM 平面故1 1 AABB CM 平面 , 而, CMD CM 平面故1 1 AABB CMD 平面平面 (2)以点 C 为原点，分别以1, , CC CB CA所在直线为 z y x , , 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令, 11 CC BC AC 则), 0 , 0 , 0 ( C ), 0 , 0 , 1 ( A ), 1 , 0 , 1 (1A ), 0 , 1 , 0 ( B), 1 ,1 , 0 (1B 故 ), 0 , 1 , 0 ( CB ) 1 ,43,41( CD 设平面 C B D 的法向量为), , , ( z y x n 则00CD nCB n043410z y xy0 40z xy, 取 , 1 z 则 , 4 x , 0 y 故) 1 , 0 , 4 ( n , 而平面MBD 的法向量是), 0 ,21,21( CM 故n CM, cos1722) 1 , 0 , 4 ( )0 ,21,21(1734 2 即二面角 M BD C 的余弦值为1734 2 15．(1)连结BD 交AC于点O，连结EO. 因为ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点．又 E 为 PD 的中点，所以 . //PB EO 又, AEC EO 平面 , AEC PB 平面所以. // AEC PB 平面(2)因为, ABCD PA 平面ABCD 为矩形，所以AP AD AB , , 两两垂直．如图所示，以 A 为坐标原点， AB 的方向为 x 轴的正方向， | | AP 为单位长，建立空间直角坐标系 , xyz A 则),21,23, 0 ( ), 0 , 3 , 0 ( E D )21,23, 0 ( AE 设 ), 0 )( 0 , 0 , ( m m B 则), 0 , 3 , (m C ). 0 , 3 , (m AC设 ) , , (1z y x n 为平面 ACE 的法向量，则0011AE nAC n，即. 02123, 0 3z yy mx 可取 ), 3 , 1 ,3(1mn 又) 0 , 0 , 1 (2 n 为平面 DAE 的法向量，由题设 ,21| , c o s |2 1 n n 即24 33m,21解得23m 因为 E 为 PD 的中点，所以三棱锥ACD E 的高为21 所以三棱锥 ACD E 的体积为：83212332131V16．(1)因 BF 平面 . ACE 故 . AE BF 又因二面角E AB D 为直二面角，且 , AB CB 故 CB 平面 . ABE 故 . AE CB AE 平面 . BCE (2)以点 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因 AE 面 , BCE BE 面, BCE 故 . BE AE 则), 0 , 0 , 0 ( A ), 0 , 1 , 1 ( E , 2 , 0 ( C ).2), 0 , 1 , 1 ( AE ) 2 , 2 , 0 ( AC 设平面 AEC 的法向量为), , , ( z y x n 则00AC nAE n, 即 ,0 2 20z yy x 解得x zx y 令 , 1 x 得 n ) 1 , 1 , 1 ( 是平面AEC的一个法向量，又平面BAC 的一个法向量为), 0 , 0 , 1 ( m 且 n m, 所成的角就是二面角E AC B的平面角，因 n m, cos| | | | n mn m,3331故二面角 E AC B 的余弦值为33 (3) 因 ), 2 , 0 , 0 ( AD 故点 D 到平面A C E 的距离 d . 33232| || |nn AD 17．(1)略 (2)46 18．(1)证明：如图所示，在 ABD 中，因, 60 , 4 , 2oDAB AD AB 故DAB AD AB AD AB BD cos 2 22 2, 3 2 故 ,2 2 2AD BD AB故. BD AB 又因, ABD EBD 平面平面, BD ABD EBD 平面平面 , ABD AB 平面故. EBD AB 平面 (2)解：由(1)知 , // , AB CD BD AB 故 , BD CD 从而 . DB DE 在 DBE Rt中，因, 2 , 3 2 AB DC DE DB 故. 3 221DE DB sBDE 又因, E B D AB 平面 , E B D BE 平面故. BE AB 因 , 4 AD BC BE 故. 421BE AB SABE 因 , BD DE 平面 EBD⊥平面ABD，故 . ABD ED 平面而 , ABD AD 平面故, AD ED故 . 421DE AD SADE 综上得三棱锥 ABD E 的侧面积为 .3 2 8 S高三数学（理科）专题训练五五《圆锥曲线方程》参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C A B C DB 二、填空题 9． 1322yx 10 ． 3 b 11．6 12．215 三、解答题 13．设 ), , (0 0y x A 则矩形 ABCD 的面积| | 40x S . | |0y 由 192020 yx得， ,9120 20xy故202020x y x ,49)29(91)91 (2 2020 xx 当21,292020 y x 时， , 6max S 故当 5 t 时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为 6． 14．根据几何性质有 . 1 cab 又因 ,33ab 解得34422ba 故双曲线的方程为 . 14342 2y x 15 ． (1) 由题意，), , 0 ( ), 0 , (2b B c F | |2BF, 22 2 a c b 又 )31,34( C 在椭圆上，所以, 1)31(2)34(22 2b解得 . 1 b 所以椭圆方程为 . 1222 yx (2)直线2BF 方程为 , 1 bycx与椭圆方程 12222byax联立方程组，解得 A 点坐标为 ), ,2(2 232 22c abc ac a则 C 点坐标为 ,2(2 22c ac a),2 23c ab 又 ,cbk AB 由 AB C F 1得 3 233 c c ab, 1 ) ( cb即 , 34 2 2 4c c a b 所以 2 2 2) ( c a , 34 2 2c c a 化简得.55ace 16 ． (1) 由于点 P 在椭圆上，故. 3 , 6 | | | | 22 1 a PF PF a 在2 1 FPF Rt中， . 5 2 | | | | | |2122 2 1PF PF F F 解得 , 5 c 从而 . 42 2 2 c a b 因此椭圆 C 的方程为 . 14 92 2y x (2) 设 A ， B 的坐标分别为). , ( ), , (2 2 ] 1y x y x 已知圆的方程为, 5 ) 1 ( ) 2 (2 2 y x 圆心 ). 1 , 2 (设直线 l 方程为 , 1 ) 2 ( x k y 代入椭圆 C 的方程得27 36 36 ) 18 36 ( ) 9 4 (2 2 2 2 k k x k k x k0 由于 A，B 关于点 M 对称，所以, 29 49 182222 1kk k x x 解得98 k 因此直线l的方程为 , 1 ) 2 (98x y 即 . 0 25 9 8 y x 17．由题意， ), 0 , 1 ( F 设点 ), , (0 0y x P 则有 , 13 42020 y x 解得 )41 ( 32020xy 因为 ), , 1 (0 0y x FP ), , (0 0y x OP所以20 0 0) 1 ( y x x FP OP, 34)41 ( 3 ) 1 (020200 0 xx xx x 此二次函数对应的抛物线的对称轴为. 20 x因为 , 2 20 x 所以当 20 x 时，FP OP取得最大值 . 6 3 242 2 18 ． (1) y x 42 (2) 0 2 200 y y x x (3)29高三数学（理科）专题训练六六《导数及其应用》参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A D C C A 二、填空题 9．3 10．－3 11．31 12． ) 3 , ( 三、解答题13. (1) , ) 1 ( ) ( “kxe kx x f , 1 ) 0 ( “ f, 0 ) 0 ( f 故曲线 ) (x f y 在点 )) 0 ( , 0 ( f 处的切线方程为 . x y (2) 由 0 ) 1 ( ) ( “kxe kx x f 得). 0 (1 kkx ①若 , 0 k 则当 )1, (kx 时，, 0 ) ( “ x f 函数 ) (x f 单调递减；当 ) ,1( kx 时，, 0 ) ( “ x f 函数 ) (x f 单调递增，②若 , 0 k 则当 )1, (kx 时，, 0 ) ( “ x f 函数 ) (x f 单调递增；当 ) ,1( kx 时，, 0 ) ( “ x f 函数 ) (x f 单调递减． 14 ． (1) 因为), 0 (1ln 1 ln1) ( “ xxx xxxx f 所以 . 1 ln ) ( “ x x x xf 由, 1 ) ( “2 ax x x xf 得 . ln x x a 令 , ln ) ( x x x g 则 11) ( “xx g 当 1 0 x 时， ; 0 ) ( “ x g 当 1 x时， . 0 ) ( “ x g 所以 1 x 是最大值点，.1 ) 1 ( ) (max g x g 故 , 1 a 即 a 的取值范围是 ). , 1 [ (2)由(1)知 , 1 ) 1 ( ln ) (g x x x g 故 . 0 1 ln x x 当 1 0 x 时，x x x x x x f ln 1 ln ) 1 ( ) ( ; 0 1 ln x x 当 1 x 时， x x x x xf ln 1 ln ) 1 ( ) (. 0 ) 11 1( l n ln 1 lnx xx x x x x 综上， . 0 ) ( ) 1 ( x f x 15 ．(1) 因为, 12321ln ) ( xxx a x f 故2321) ( “2x xax f 由于曲线 ) (x f y 在点 )) 1 ( , 1 ( f 处的切线垂直于 y 轴，故该切线斜率为 0，即 , 0 ) 1 ( “ f 从而 , 02321 a 解得 . 1 a (2) 由 (1) 知) 0 ( 12321ln ) ( x xxx x f 令 , 0 ) ( “x f 解得 , 11 x312 x（因312 x 不在定义域内，舍去）．当 ) 1 , 0 ( x 时， , 0 ) ( “ x f 故 ) (x f 在 ) 1 , 0 ( 上为减函数；当 ) , 1 ( x 时， , 0 ) ( “ x f 故) (x f 在 , 1 ( ) 上为增函数．故 ) (x f 在 1x 处取得极小值. 3 ) 1 ( f 16 ． (1) 由ax x yx y222得点). , ( ), 0 , 0 (2a a A O 又由已知得 ). , ( ), 2 , (2 2t t D at t t B 故) (t f S20221) 2 ( t t dx ax xt) ( ) 2 (212 2t a t at t(2) . 221) ( “2 2a at t t f 令, 0 ) ( “t f 即 , 0 2212 2 a at t 解得a t ) 2 2 (或 . ) 2 2 ( a t 因为 , 1 0 t , 1 a 所以a t ) 2 2 ( 舍去．若 , 1 ) 2 2 ( a 即22 22 21a 时，对 , 1 0 t 有. 0 ) ( “ t f 故 ) (t f 在区间 ] 1 , 0 ( 上单调递增，S的最大值是61) 1 (2a a f 若 , 1 ) 2 2 ( a 即22 21 a 时，对 , ) 2 2 ( 0 a t 有 ; 0 ) ( “ t f 当 t a ) 2 2 ( 1 时，有. 0 ) ( “ t f 故 ) (t f 在 ) ) 2 2 ( , 0 ( a 上单调递增，在 ] 1 , ) 2 2 (( a 上单调递减， ) (t f的最大值是 .32 2 2) ) 2 2 ((3a a f综上所述，m a x)] ( [ t f22 2132 2 222 26132a aa a a 17．(1) ), 4 300 (5) (3r r r V 定义域为); 3 5 , 0 ( (2) ) (r V 在区间 ) 5 , 0 ( 上单调递增，在区间 ) 3 5 , 5 ( 上单调递减；当 , 5 r 8 h 时，蓄水池的体积最大 18 ． (1) ) (x f 的定义域为xx f1) ( “ ), , 0 (xax xa ax) 1 )( 1 2 () 2 ( 2 若 , 0 a 则 , 0 ) ( “ x f 所以 ) (x f 在) , 0 ( 单调递增．若 , 0 a 则由 0 ) ( “x f 得 ,1ax 且当 x )1, 0 (a时， , 0 ) ( “ x f 当ax1时， . 0 ) ( “ x f 所以 ) (x f 在 )1, 0 (a 单调递增，在) ,1( a单调递减． (2) 设函数),1( )1( ) ( xaf xaf x g 则, 2 ) 1 ln( ) 1 ln( ) ( ax ax ax x g .1221 1) ( “2 22 3x ax aaaxaaxax g当ax10 时， , 0 ) ( “ x g 而, 0 ) 0 ( g 所以 . 0 ) ( x g 故当ax10 时， ...。

高三年级高考数学(理)五大解答题训练+拓展题型(三)

（Ⅱ）∵ OS = OA + OB ,∴ 四边形 OASB 为平行四边形，又其对角线相等，则 OA ⊥ OB 当直线的斜率不存在时，四边形的对角线不相等；…………………………7 分
l : y = k ( x − 2), A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ，当直线的斜率存在时，设直线
（Ⅱ）以 A 为原点，以 AB、AD、AP 为 OX、OY、OZ 正向建立空间直角坐标系，设 AB 的长为 1，则 BD = ( −1,2,0), BE = (0,1,
k ), 2
设平面 CDB 的法向量为 n1 = (0,0,1) ，平面 EDB 的法向量为 n2 = ( x , y, z ) ，则⎨
……………………………14 分
20．（本小题满分 15 分）解：（Ⅰ）证：由已知 DF∥AB 且 ∠ DAD 为直角，故 ABFD 是矩形，从而 AB ⊥ BF．又 PA ⊥ 底面 ABCD, 所以平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，因为 AB ⊥ AD，故 AB ⊥ 平面 PAD ,所以 AB ⊥ PD ，在 ∆PDC 内， E、 F 分别是 PC、 CD 的中点， EF // PD ，所以 AB ⊥ EF ．由此得 AB ⊥ 平面 BEF ． -----------7 分
⎧ y = k ( x − 2) ⎨ 2 2 2 2 2 2 ⎩4 x + 9 y = 36 ⇒ (4 + 9k ) x − 36k x + 36( k − 1) = 0 36k 2 36( k 2 − 1) , x1 x 2 = ∴ x1 + x 2 = 4 + 9k 2 ……………………9 分 4 + 9k 2 ∵ x1 x 2 + y1 y 2 = x1 x 2 + k 2 ( x 1 − 2)( x 2 − 2) = 0 ， (1 + k ) x1 x 2 − 2k ( x 1 + x 2 ) + 4k = 0 （*）整理得 36( k 4 − 1) 72k 4 9 3 − + 4k 2 = 0,∴ k 2 = ,∴ k = ± 2 2 4 2 4 + 9k 代入得 4 + 9k 3 l ; y = ± ( x − 2) 2 所以存在直线 ……………………………15 分

2021年高三数学(理)解答题强化训练(5) 含答案

2021年高三数学（理）解答题强化训练（5）含答案16．（本小题满分13分）设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到，求的单调增区间．17．（本小题满分13分）已知四棱锥P-ABCD 的直观图（如图1）及左视图（如图2）、底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA=PB.（1）求证：AD ⊥PB ；（2）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的大小.18．（本题满分13分）如图所示是某水产养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的小网箱.（Ⅰ）若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长，宽设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小；（Ⅱ）若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超15Y筛网的合计造价最低？X选修4—2：矩阵与变换二阶矩阵M有特征值，其对应的一个特征向量e=，并且矩阵M对应的变换将点变换成点．（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）求矩阵M的另一个特征值及对应的一个特征向量．选修4—4: 坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为为参数），圆的极坐标方程为.（Ⅰ）若圆关于直线对称，求的值；（Ⅱ）若圆与直线相切，求的值.选修4—5 : 不等式选讲已知函数，且的解集为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）已知都是正数，且，求证：19．（1）解：（Ⅰ）设M=，则由=6得=，即a+b=c+d=6．…………1分由=,得，从而a+2b=8，c+2d=4．……………2分由a+b =6及a+2b=8，解得a=4，b=2；由c +d =6及c +2d =4，解得c =8，d=-2，所以M = ……………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知矩阵的特征多项式为242()(4)(2)1622482f λλλλλλλ--==-+-=---+ ……………4分令，得矩阵的特征值为6与． ……………5分当时，故矩阵的属于另一个特征值的一个特征向量为． ……………6分（2）解：（Ⅰ）直线; ……………1分圆,圆心为,半径 ……………2分由题设知,直线过圆心,所以,所以； ……………3分（Ⅱ）点到直线的距离为因此 ……………5分整理得,所以或 ……………6分（3）解:（Ⅰ）方法一：,,所以，且 ……………1分所以又不等式的解集为,故;……………3分方法二：即:，且， ……………1分不等式的解集为,所以方程的两个根为，故 ; ……………3分（Ⅱ）证明一:[]1111()()()()4a b b c c a a b b c c a=++++++++++ ……………4分 214≥ ，当且仅当时,等号成立. ……………6分证明二：……………4分1334≥⋅，当且仅当时,等号成立. ……………6分033020 80FC 胼 ?39356 99BC 馼x20603 507B 偻;23813 5D05 崅30511 772F 眯33636 8364 荤fU21581 544D 呍m。

高三高考数学试卷题目类型

一、选择题选择题是高三高考数学试卷中常见的题型，主要考察学生的基本概念、基本方法和基本技能。

以下是几种常见的选择题类型：1. 基本概念选择题：这类题目主要考察学生对基本概念的理解和掌握程度，如函数的定义域、值域、奇偶性等。

例题：若函数f(x) = x^2 - 3x + 2，则f(x)的值域为（）A. [0, 2]B. [1, 2]C. [0, 3]D. [1, 3]2. 计算题选择题：这类题目主要考察学生的计算能力，如求导数、求积分、解方程等。

例题：已知函数f(x) = e^x - 2x，求f'(1)的值为（）A. e - 2B. e + 2C. 2 - eD. e^2 - 23. 应用题选择题：这类题目主要考察学生的实际应用能力，如求解几何问题、物理问题等。

例题：在平面直角坐标系中，已知点A(2, 3)，点B(-3, 4)，求线段AB的中点坐标为（）A. (-1, 1)B. (1, -1)C. (1, 1)D. (-1, -1)二、填空题填空题主要考察学生的基本知识和基本技能，要求学生在规定的时间内完成题目。

1. 计算题填空：这类题目主要考察学生的计算能力，如求函数值、求极限等。

例题：若f(x) = x^2 - 3x + 2，则f(1) = （）2. 简答题填空：这类题目主要考察学生对基本概念的理解和应用能力。

例题：若函数f(x) = e^x - 2x，求f(x)的单调区间为（）三、解答题解答题是高三高考数学试卷中的重点题型，主要考察学生的综合运用能力和创新思维。

1. 函数题：这类题目主要考察学生对函数概念、性质、图像的理解和应用，如求函数的极值、最值、零点等。

例题：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求f(x)的极值点。

2. 几何题：这类题目主要考察学生对几何概念、性质、定理的理解和应用，如求图形的面积、体积、轨迹等。

例题：已知正方形ABCD的边长为2，求对角线AC的长度。

高三数学常见题型解析

高三数学常见题型解析高三数学考试是中学学业水平考试中最为重要的一次，也是学生衡量数学能力的重要标准。

为了帮助高三学生提升数学解题能力，以下将对高三数学常见题型进行详细的解析与讲解。

一、选择题选择题是高三数学考试中最常见的题型，要求学生从给出的选项中选择正确答案。

解答选择题的关键是理解题意，并灵活运用所学的知识与技巧。

1. 解析代数方程选择题代数方程是高三数学中重要的内容之一，而解代数方程的选择题更是经常出现在考试中。

解答这类题目时，首先应该将方程中的各项整理到一边，使方程等于零。

然后，根据题目的要求，运用求根公式或配方法解方程，最后再验证求出的根是否符合原方程。

2. 几何问题选择题几何问题的选择题主要考察学生对几何图形性质的理解和推理能力。

在解答这类题目时，要善于利用几何图形的特点，灵活运用几何定理和几何性质。

可以通过构造辅助线、利用相似三角形、平行线、垂直交角等方法来解答，并注意排除干扰选项。

二、填空题填空题要求学生根据已知条件，计算出未知数的值或量的大小。

解答这类题目需要掌握各类数学定理和运算方法，并能够正确地进行计算。

1. 解析函数填空题函数是高三数学中的重要内容之一，函数的填空题也是经常出现在考试中。

在解答这类题目时，需要理解函数的基本概念、性质和运算方法。

根据给出的函数表达式或函数性质，利用函数关系进行推导和计算，最终得出填空的答案。

2. 解析数列填空题数列是高三数学中的基础内容，数列的填空题要求学生根据数列的规律和性质，填写出缺失的项。

解答这类题目时，可以通过观察数列的前几项，寻找其规律，并利用该规律计算未知项的值。

另外，根据数列的性质，还可以运用数列的递推公式或通项公式进行计算。

三、解答题解答题是高三数学考试中较为复杂和综合的题型，要求学生综合运用所学的数学知识和解题方法，进行推理和解答。

1. 解析函数解答题函数解答题一般要求学生分析函数的性质、运算规律，进行推理和论证。

在解答这类题目时，可以从函数的定义、性质和图像入手，进行详细的分析和讨论。

2021年高三数学小题狂做(6)理

2021年高三数学小题狂做（6）理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知全集，，，则等于（）A． B． C． D．2、已知，则在复平面内，复数所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3、已知，则等于（）A． B． C． D．4、已知双曲线（）的一条渐近线的方程为，则的值等于（）A． B． C． D．5、已知向量，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6、对具有线性相关关系的变量，，测得一组数据如下表：根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，则的值等于（）A． B． C． D．7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A． B．C． D．8、在的展开式中，项的系数为（）A． B． C． D．9、如图，四边形为矩形，，，以为圆心，为半径画圆，交线段于，在圆弧上任取一点，则直线与线段有公共点的概率为（）A． B． C． D．10、某程序框图如右图所示，若输出的，则判断框内应填（）A． B．C． D．11、已知点，抛物线（）的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若，则的值等于（）A ．B ．C ．D ．12、已知直线与函数的图象恰好有个不同的公共点，则实数的取值范围是（） A ． B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、．14、从，，，，，推广到第个等式为．15、设变量，满足约束条件，则的最小值为．16、在斜三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则．xx 高三理科数学小题狂做（6）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）13、 14、()()()1121491112n n n n ++-++⋅⋅⋅+-=-++⋅⋅⋅+，15、 16、V432581 7F45 罅26776 6898 梘j~xI23289 5AF9 嫹37854 93DE 鏞1 20441 4FD9 俙 20610 5082 傂。

高考数学22题题型

高考数学22题题型高考数学22题题型一、选择题（10题）选择题一直是高考数学中的重头题型，涵盖了大部分的数学知识点。

在高考中，正确率和快速解题能力成为考生得分的关键，因此选择题的训练尤为重要。

下面是高考数学中常见的选择题类型：1. 初等函数与图像题：要求考生根据函数的定义域、值域、变化趋势等特点，选择正确的函数图像。

2. 平面几何题：要求考生根据给定的几何图形，选择正确的形状、关系或性质。

3. 几何计算题：要求考生根据给定的几何图形和条件，选择正确的计算方法和答案。

4. 函数与方程题：要求考生根据函数的性质和方程的解析式，选择正确的计算方法和答案。

5. 数列与数列运算题：要求考生根据数列的通项公式、求和公式和递推关系，选择正确的计算方法和答案。

6. 概率与统计题：要求考生根据条件，选择正确的概率模型、计算方法和答案。

7. 三角函数与三角恒等式题：要求考生根据三角函数的性质和恒等式，选择正确的计算方法和答案。

8. 向量与坐标题：要求考生根据向量的性质和坐标的变化规律，选择正确的计算方法和答案。

9. 导数与微分题：要求考生根据函数的性质和导数的定义，选择正确的计算方法和答案。

10. 不等式题：要求考生根据不等式的性质和条件，选择正确的计算方法和答案。

二、证明题（4题）证明题是高考数学中的重点和难点，对于能力较强的考生，是获取高分的机会。

下面是高考数学中常见的证明题类型：1. 几何证明题：要求考生根据几何图形和条件，完成相应的证明过程。

2. 函数与方程证明题：要求考生根据函数性质和方程解析式，完成相应的证明过程。

3. 数列与数列运算证明题：要求考生根据数列的通项公式、求和公式和递推关系，完成相应的证明过程。

4. 概率与统计证明题：要求考生根据条件，完成相应的概率和统计证明。

三、解答题（8题）解答题是高考数学中的基础题型，对于考生掌握基本知识和解题方法至关重要。

下面是高考数学中常见的解答题类型：1. 几何证明题：要求考生根据几何图形和条件，完成相应的解答过程。