2017-2018学年高二数学上学期期末复习备考讲练专题01空间几何体导学案文
空间几何体的表面积和体积导学案
高三数学导学案【学习目标】（1）了解柱体、锥体、台体的表面积计算方法（不要求记忆公式），掌握其推导过程； （2）能利用所学公式进行简单立体几何图形的表面积和体积的计算；（3）进一步掌握数学转化思想、类比思想，提高分析问题和解决问题的能力；培养空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力；（4）运用运动变化的观点认识图形的和谐、对称、规范； 【重难点】（1）在高考命题中几何体的表面积和体积以中低档题目出现的可能性较大，有时在解答题中占据其中一问，属容易题；（2）从考查形式上看，主要以选择题和填空题的形式出现；（3）从能力要求上看，重点考查空间想象能力和从立体问题向平面问题转化的能力。
【学习过程】一、知识梳理（复习教材必修2P 25~P 33页有关内容，填空梳理有关知识） 1表中S 表示面积，c ′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h ′表示斜高，l 表示侧棱长。
2旋转体的面积和体积公式表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径 3.球球的定义：_________________________________________________________________________. 球的截面性质：_____________________________________________________________________. 球的大圆：_________________________________________________________________________. 球的小圆：_________________________________________________________________________. 球面距离：__________________________________________________________________________. 地球的经度：________________________________________________________________________. 地球的纬度：________________________________________________________________________. 【热点典例】热点一：几何体的表面积 课堂活动设计例1、已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是( ).4.2.3.6A B C D ++例2、一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A ．8π B ．6π C ．4πD ．π例3、已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为( ) A ．16π B ．π C ．4πD ．2π（2）(2010·新课标全国卷)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )A．3πa2B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2【反思】本题做错的是第题问题探究：【错因】【总结】1．在求多面体的侧面面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理．2．以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．4．求球的表面积关键是求出球的半径．热点二：几何体的体积例4、（1）(2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A.2π+4π+C. 2π+D. 4π俯视图（2） 7.用大小相同的且体积为1的小立方块搭一个几何体，使它的 主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( ) A ．9与13 B ．7与10 C ．10与16 D ．10与15（3）下面的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的 直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）。
2017-2018学年高一数学上学期期末复习专题04空间几何体、点线面的位置关系导学案
第四讲空间几何体、点线面的位置关系一、基础知识整合1.简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形；(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.2.旋转体的形成3.三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等.②在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.4.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.5.多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.6.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式7.柱、锥、台和球的表面积和体积(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. (2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.9.空间点、直线、平面之间的位置关系10.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 11.异面直线所成的角 (1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a′∥a，b′∥b，把a ′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).(2)范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.12.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义；直线l 与平面α没有公共点，则称直线l 与平面α平行. (2)判定定理与性质定理(1)平面与平面平行的定义；没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理14.与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.15.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理16.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.三、热点题型展示类型一 空间几何体的结构特征 【例1】 (1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)以下命题：①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 (1)A (2)B解析 (1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线； ②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.(2)由圆台的定义可知①错误，②正确.对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确.名师点睛： (1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可.(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.类型二 空间几何体的三视图(多维探究)命题角度一 由空间几何体的直观图判断三视图【例1】 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )答案 B解析该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选项B适合.命题角度二由三视图判定几何体【例2】 (1) 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱(2)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A.1B. 2C. 3D.2答案(1)B (2)C解析(1)由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.(2)由题中三视图知，此四棱锥的直观图如图所示，其中PC⊥平面ABCD，PC＝1，底面四边形ABCD为正方形且边长为1，最长棱长PA＝12＋12＋12＝ 3.名师点睛：(1)由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点确认.(2)根据三视图还原几何体.①对柱、锥、台、球的三视图要熟悉.②明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图.③根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据.提醒对于简单组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同.【跟踪训练】(1)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )(2)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是( )答案(1)B (2)A解析(1)还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线，D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线.故选B.(2)由俯视图和侧视图可知原几何体是四棱锥，底面是长方形，内侧的侧面垂直于底面，所以正视图为A.类型三空间几何体的直观图【例1】已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________.答案2 2解析如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图：因为OE ＝（2）2－1＝1，所以O′E′＝12，E′F＝24，则直观图A′B′C′D′的面积S′＝1＋32×24＝22.名师点睛：(1)画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y 轴的线段长度减半，平行于x 轴和z 轴的线段长度不变)来掌握.对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量.(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S 直观图＝24S 原图形. 【跟踪训练】有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB ＝AD ＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________. 答案 2＋22解析 如图1，在直观图中，过点A 作AE⊥BC，垂足为E.在Rt△ABE 中，AB ＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝22. 又四边形AECD 为矩形，AD ＝EC ＝1.∴BC＝BE ＋EC ＝22＋1. 由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形A′B′C′D′. 在梯形A′B′C′D′中，A′D′＝1，B′C′＝22＋1，A′B′＝2. ∴这块菜地的面积S ＝12(A′D′＋B′C′)·A′B′＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.【易错防范】1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.3.对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中， 易忽视实虚线的画法.类型四 空间几何体的表面积与体积【例1】 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A.8＋2 2B.11＋2 2C.14＋2 2D.15(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π 答案 (1)B (2)A解析 (1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示.直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3.所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.(2)由三视图知该几何体为球去掉了18球所剩的几何体(如图).设球的半径为R ，则78×43πR3＝28π3，R ＝2.故几何体的表面积S ＝78×4πR2＋34πR2＝17 π.【例2】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD.1＋26π 答案 C解析 由三视图知该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π.名师点睛： 1.空间几何体表面积的求法.(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. 2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.【跟踪训练】1.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多 面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A.18＋36 5B.54＋18 5C.90D.81 答案 B解析 由几何体的三视图可知，该几何体是底面为正方形的斜平行六面体. 由题意可知该几何体底面边长为3，高为6，所以侧棱长为32＋62＝3 5.故该几何体的表面积S ＝32×2＋(3×6)×2＋(3×35)×2＝54＋18 5.2.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm3.答案323解析：由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm 的正方体与底面边长为2 cm 正方形、高为2 cm 的正四棱锥组成.又正方体的体积V1＝23＝8(cm3)，正四棱锥的体积V2＝13×22×2＝83(cm3).所以该几何体的体积V ＝V1＋V2＝323(cm3).类型五 异面直线所成的角【例1】如图所示，在正三棱柱ABC －A1B1C1中，D 是AC 的中点， AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD 所成的角为________. 答案 60°解析 (1)取A1C1的中点E ，连接B1E ，ED ，AE ，在Rt△AB1E 中，∠AB1E 为异面直线AB1与BD 所成的角.设AB ＝1，则A1A ＝2，AB1＝3，B1E ＝32，故∠AB1E＝60°. 名师点睛： (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移. (2)求异面直线所成角的三个步骤①作：通过作平行线，得到相交直线的夹角. ②证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角.③求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.【跟踪训练】 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝2AB ＝2，则异面直线A1B 与AD1所成角的余弦值为( ) A.15 B.25 C.35D.45答案 D解析 连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B 与AD1所成的角.连接A1C1，由AB ＝1，AA1＝2，则A1C1＝2，A1B ＝BC1＝5，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝5＋5－22×5×5＝45.【易错防范】1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交. 2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”. 3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.类型六 直线与平面平行的判定与性质 命题角度一 直线与平面平行的判定【例1】如图，四棱锥P －ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AD∥BC，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点.(1)证明：MN∥平面PAB ； (2)求四面体N －BCM 的体积.(1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2. 如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN∥BC，TN ＝12BC ＝2. 又AD∥BC，故TN 綉AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN∥平面PAB.(2)解 因为PA⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12PA. 如图，取BC 的中点E ，连接AE.由AB ＝AC ＝3得AE⊥BC，AE ＝AB2－BE2＝ 5.由AM∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S△BCM＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积 VN －BCM ＝13×S△BCM×PA 2＝453. 命题角度二 直线与平面平行性质定理的应用【例2】 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217. 点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD ， BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积.(1)证明 因为BC∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC∩平面GEFH ＝GH ，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)解 如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK.因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又B D∩AC＝O ，且AC ，BD 都在底面ABCD 内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH ＝GK ，PO ⊂平面PBD.所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD ，又EF ⊂平面ABCD ，从而GK⊥EF.所以GK 是梯形GEFH 的高.由AB ＝8，EB ＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点.再由PO∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42， PO ＝PB2－OB2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK＝4＋82×3＝18. 名师点睛： (1)判断或证明线面平行的常用方法有：①利用反证法(线面平行的定义)；②利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a∥b ⇒a∥α)；③利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a∥β)；④利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a∥α⇒a∥β).(2)利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.（3）.线线、线面、面面平行间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化.【易错防范】1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.4.运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.类型六 线面垂直的判定与性质【例1】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点.证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A ，∴CD⊥平面PAC.而AE ⊂平面PAC ，∴CD⊥AE.(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC＝60°，可得AC ＝PA.∵E 是PC 的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C ，∴AE⊥平面PCD.而PD ⊂平面PCD ，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A ，∴AB⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A ，∴PD⊥平面ABE.名师点睛： (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a ，l⊥a，l ⊂β⇒l⊥α).(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【跟踪训练】如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC ，PD⊥平面ABC ，PD ＝DB.求证：PA⊥CD.证明 因为AB 为圆O 的直径，所以AC⊥CB.在Rt△ABC 中，由3AC ＝BC 得，∠ABC＝30°.设AD ＝1，由3AD ＝DB 得，DB ＝3，BC ＝2 3.由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB. 因为PD⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D 得，CD⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，所以PA⊥CD.类型七 面面垂直的判定与性质【例1】如图，三棱台DEF －ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC的中点.(1)求证：BD∥平面FGH ；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.证明 (1)连接DG ，CD ，设CD∩GF＝M ，连接MH.在三棱台DEF －ABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 中点，可得DF∥GC，且DF ＝GC ，则四边形DFCG 为平行四边形.从而M 为CD 的中点，又H 为BC 的中点，所以HM∥BD，又HM ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ，故BD∥平面FGH.(2)连接HE ，因为G ，H 分别为AC ，BC 的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC .又H 为BC 的中点，所以EF∥HC，EF ＝HC ，因此四边形EFCH 是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE ，GH ⊂平面EGH ，HE∩GH＝H ，所以BC⊥平面EGH.又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD⊥平面EGH.名师点睛： 1.证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；(2)判定定理1： ⎭⎪⎬⎪⎫m ，n ⊂α，m∩n＝A l⊥m，l⊥n ⇒l⊥α；(3)判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b ⊥α；(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a⊥l ⇒a⊥β；2.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.3.转化思想：垂直关系的转化【跟踪训练】如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点.(1)求证：PB∥平面MNC；(2)若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC.证明(1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB.又因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC.(2)因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB.所以CM⊥平面PAB.因为PA⊂平面PAB，所以CM⊥PA.又MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC.【易错防范】1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.四、强化训练提高1.如图所示的几何体是棱柱的有( )A.②③⑤B.③④⑤C.③⑤D.①③解析由棱柱的定义知③⑤两个几何体是棱柱.答案 C2.将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )解析 易知侧视图的投影面为矩形，又AF 的投影线为虚线，即为左下角到右上角的对角线，∴该几何体的侧视图为选项D.答案 D3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( ) A.6 2 B.4 2 C.6 D.4解析 如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A －BCD ，最长的棱为AD ＝（42）2＋22＝6.答案 C4.在如图所示的空间直角坐标系O －xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②解析 如图，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④，俯视图为②.答案 D5.如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB ＝2PN ，则三棱锥N －PAC 与三棱锥D －PAC 的体积比为( )A.1∶2B.1∶8C.1∶6D.1∶3解析 设点P ，N 在平面ABCD 内的投影分别为点P′，N′，则PP′⊥平面ABCD ，NN′⊥平面ABCD ，所以PP′∥NN′，则在△BPP′中，由BN ＝2PN 得NN′PP′＝23. V 三棱锥N －PAC ＝V 三棱锥P －ABC －V 三棱锥N －ABC ＝13S△ABC·PP′－ 13S△ABC·NN′＝13S△ABC·(PP′－NN′)＝13S△ABC·13PP′＝19S△ABC·PP′，V 三棱锥D －PAC ＝V 三棱锥P －ACD ＝13S△ACD·PP′，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴S△ABC＝S△ACD，∴V 三棱锥N －PAC V 三棱锥D －PAC ＝13.故选D. 答案 D6.下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP 的图形的序号是( )A.①③B.①④C.②③D.②④解析 ①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图).④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP.答案 B7.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n ⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析 若m∥α，n∥α，则m ，n 平行、相交或异面，A 错；若m⊥α，n ⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B 正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n ⊂α，C 错；若m∥α，m⊥n，则n 与α可能相交，可能平行，也可能n ⊂α，D 错.答案 B8.如图，在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论不成立的是( )A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC解析 因为BC∥DF，DF ⊂平面PDF ，BC ⊄平面PDF ，所以BC∥平面PDF ，故选项A 正确.在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E ，∴BC⊥平面PAE ，DF∥BC，则DF⊥平面PAE ，又DF ⊂平面PDF ，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B ，C 均正确.答案 D9.如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC； ②△BAC 是等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥； ④平面ADC⊥平面ABC. 其中正确的是( )A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④解析 由题意知，BD⊥平面ADC ，且AC ⊂平面ADC ，故BD⊥AC，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错.答案 B10. 一水平放置的平面四边形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC 面积为________.解析 因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为1， 所以原图形的面积为2 2.答案 2 211.如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，M ，N 分别为棱C1D1，C1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________(填序号).解析 A ，M ，C1三点共面，且在平面AD1C1B 中，但C ∉平面AD1C1B ，C1∉AM ，因此直线AM 与CC1是异面直线，同理AM 与BN 也是异面直线，①②错；M ，B ，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N ∉平面MBB1，B ∉MB1，因此直线BN 与MB1是异面直线，③正确；连接D1C ，因为D1C∥MN，所以直线MN与AC 所成的角就是D1C 与AC 所成的角，且角为60°.答案 ③④12.已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________.解析 依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R ，则2R ＝12＋12＋（2）2＝2，解得R ＝1，所以V ＝4π3R3＝4π3. 答案 43π 13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.解析 由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱和底面半径为1，高为1的半圆锥拼成的组合体.∴体积V ＝π×12×2＋12×13π×12×1＝136π.答案 136 π14.如图，已知PA⊥平面ABC ，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________.解析 ∵PA⊥平面ABC ，AB ，AC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC 为直角三角形.由BC⊥AC，且AC∩PA＝A ，∴BC⊥平面PAC ，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC 也是直角三角形.答案 415.如图所示，在正四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC1，C1D1， D1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析 连接HN ，FH ，FN ，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN ⊂平面FHN ，∴MN∥平面B1BDD1. 答案 点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合)16.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).解析 由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD⊥平面PCD.答案 DM⊥PC(或BM⊥PC 等)17.已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P ，Q 在正视图中所示位置，P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从P 点到Q 点的最短路径的长.解 (1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.S 圆锥侧＝12(2πa)·(2a)＝2πa2，S 圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2，S 圆柱底＝πa2，所以S 表＝2πa2＋4πa2＋πa2＝(2＋5)πa2.(2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图.则PQ ＝AP2＋AQ2＝a2＋（πa ）2＝a 1＋π2，所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2.18.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点.(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值.解 (1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4，所以四棱锥O －ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE ，又M 为OA 中点，∴ME∥OC，则∠EMD(或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，∴△DEM 为直角三角形，∴tan∠EMD＝DE EM ＝23＝63. ∴异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63.19.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论.解 (1)点F ，G ，H 的位置如图所示.(2)平面BEG∥平面ACH ，证明如下：因为ABCD －EFGH 为正方体，。
空间几何体的表面积与体积导学案
§1.3 空间几何体的表面积与体积 导学案（3课时）【使用说明及学法指导】1.先精读一遍教材P23—P23，用红色笔进行勾画，找出柱、锥、台体的表面积、体积的计算公式并识记；再针对导学案二次阅读并回答；2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑.【学习目标】1.通过学习掌握柱、锥、台、球表面积、体积的计算公式并会灵活运用，会求简单组合体的表面积和体积.2.通过对柱、锥、台表面积和体积的公式的探究学习,体会观察、类比、归纳的推理方法.3.通过从量的角度认识几何体的过程，培养学生的空间想象能力和思维能力.【重点难点】1. 重点：求圆柱、圆锥、圆台的侧面积，求柱体、锥体、台体、球的表面积与体积；2. 难点：柱体、锥体、台体的侧面展开图及这三类几何体之间关系的理解.【预习自学】1. 多面体的表面积是几何体表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何体所占空间的大小.2. 探究1：棱柱、棱锥、棱台的表面积 问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（右图），你觉得它们展开图与其表面积有什么关系吗？结论： 正方体、长方体是 围成的多面体，其表面积就是 ，也就是展开图的面积.新知1：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表面积就是其 . 试试1：想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？探究2：圆柱、圆锥、圆台的表面积 问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能推导它们表面积的计算公式吗？新知2：（1）设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，则它的表面积等于 ，即（2）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则它的表面积等于 ，即S= . 试试2：圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得到的呢？（能否看作是个大扇形减去个小扇形呢？）你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积呢？（3）设圆台的上、下底面半径分别为r '，r ，母线长为l ，则它的表面积等于 ，即S= .反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗？※ 典型例题例1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S ABC -，求它的表面积.例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm ,盆底直径为15cm ,底部渗水圆孔直径为1.5cm ,盆壁长15cm .为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(π取3.14,结果精确到1毫升)?探究3：主体、锥体与台体的体积初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式V Sh =（S 为底面面积，h 为高），是否柱体的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？新知：经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理)柱体体积公式为： （S 为底面积，h 为高）； 锥体体积公式为： （S 为底面积，h 为高）；台体体积公式为： （S '，S 分别为上、下底面面积，h 为高）. 补充：柱体的高是指 的距离；锥体的高是 的距离；台体的高是指 的距离. 反思：思考下列问题⑴比较柱体和锥体的体积公式，你发现什么结论？⑵比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？※ 典型例题例 3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是37.8/g cm )六角螺帽共重5.8kg ，已知底面是正六边形，边长为12mm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个(π取3.14)？探究4：球的体积和表面积球没有底面,也不能像柱体、锥体、台体那样展成平面图形，它的体积和表面积的求法涉及极限思想(一种正四棱锥正四棱台 正六棱柱很重要的数学方法).经过推导证明：球的体积公式：V= ；球的表面积公式：S= ，其中，R 为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径R 有关.※ 典型例题例4 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径(即圆柱内有一内切球)，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的23；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.【课后练习与能力提升】（课上与课后完成）1. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16＋16 2C ．48D ．16＋32 2第1 题 第2题 第3题 2. 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）A.318B.315C.3824+D.31624+3. 如图所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（ ） A.π B.2π C.3π D.4π4. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）,可得这个几何体的体积是（ ）A.34000 cm 3 B.38000cm 3 C.2 000 cm 3 D.4 000 cm 3第4题 第5题 第6题 5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________．6. 一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）A.1B.21 C.31 D.617. 右图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( )A ．4π B.15π4 C ．5π D.17π48. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. （1）求该几何体的体积V ； （2）求该几何体的侧面积S.9. 如图，在边长为4的立方体中，求三棱锥B A BC '''-的体积.10. 如图，一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm ，求球的体积．B 'C 'D 'A 'DCBA。
专题07 空间向量与立体几何(导学案)-2017-2018学年上学期期末复习备考高二数学(文)含解析
一、学习目标：（1）理解导数的概念和几何意义，熟练掌握导数得运算； （2）能熟练运用导数研究函数的性质； （3）灵活运用导数知识解决实际问题。
二、知识梳理1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121f x f x x x --2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000；．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．4、常见函数的导数公式：①'C 0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦ax x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '=5、导数运算法则：()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦；()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦．6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．8、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。
高中数学 第1章 空间几何体 精品导学案
【三维设计】2015高中数学第一章空间几何体学案新人教A版必修21．1空间几何体的结构1．1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征[提出问题]观察下列图片：问题1：图片(1)(2)(3)中的物体的形状有何特点？提示：由若干个平面多边形围成．问题2：图片(4)(5)(6)(7)的物体的形状与(1)(2)(3)中有何不同？提示：(4)(5)(6)的表面是由平面与曲面围成，(7)的表面是由曲面围成的．问题3：图片(4)(5)(6)(7)中的几何体是否可以看作平面图形绕某定直线旋转而成？提示：可以．[导入新知]1．空间几何体概念定义空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点旋转体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴2．多面体多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCD－A′B′C′D′底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥S－ABCD底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台如图可记作：棱台ABCD－A′B′C′D′上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点[化解疑难]1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体．(2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分．2．棱柱具有以下结构特征和特点：(1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形．(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a所示．(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b所示．(4)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图c所示．3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形，如图d所示．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．棱柱的结构特征[例1](1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．[解析] (1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4)．[答案] (3)(4)[类题通法]有关棱柱的结构特征问题的解题策略(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．[活学活用]1．下列四个命题中，假命题为( )A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B．棱柱的各个侧面都是平行四边形C．棱柱的两底面是全等的多边形D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行解析：选A A错，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，B、C、D 是正确的.棱锥、棱台的结构特征[例2](1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是________．[解析] (1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；(4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．[答案] (2)(3)(4)[类题通法]判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点[活学活用]2．试判断下列说法正确与否：①由六个面围成的封闭图形只能是五棱锥；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台．解：①不正确，由六个面围成的封闭图形有可能是四棱柱；②不正确，两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体．侧棱不一定相交于一点，所以不一定是棱台.多面体的平面展开图[例3][解] 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[类题通法]1．解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．2．若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．3．若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．[活学活用]3.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( ) A．1 B．2C．快 D．乐解析：选B 由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与2相对，0与快相对，所以下面是2.1.柱、锥、台结构特征判断中的误区[典例] 如图所示，几何体的正确说法的序号为________．(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．[解析] (1)正确，因为有六个面，属于六面体的范围；(2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；(3)正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；(4)(5)都正确，如图所示．[易错防范]1．解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理．2．解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断．[成功破障]如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定解析：选A 如图∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C，∴有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)因此呈棱柱形状．[随堂即时演练]1．下列几何体中棱柱有( )A．5个B．4个C．3个D．2个解析：选D 由棱柱定义知，①③为棱柱．2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )解析：选D A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．3．棱锥最少有________个面．答案：44．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．答案：①③④⑥⑤5．(1)三棱锥、四棱锥、十五棱锥分别有多少条棱？多少个面？(2)有没有一个多棱锥，其棱数是2 012？若有，求出有多少个面；若没有，说明理由．解：(1)三棱锥有6条棱、4个面；四棱锥有8条棱、5个面；十五棱锥有30条棱、16个面．(2)设n棱锥的棱数是2 012，则2n＝2012，所以n＝1 006，1 006棱锥的棱数是2 012，它有1 007个面．[课时达标检测]一、选择题1．下列图形中，不是三棱柱的展开图的是( )答案：C2．有两个面平行的多面体不可能是( )A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错解析：选B 棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．3．关于棱柱，下列说法正确的是( )A．只有两个面平行B．所有的棱都相等C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，侧棱也互相平行解析：选D 对于A，如正方体可以有六个面平行，故A错；对于B，如长方体并不是所有的棱都相等，故B错；对于C，如三棱柱的底面是三角形，故C错；对于D，由棱柱的概念，知两底面平行，侧棱也互相平行．故选D.4．(2011·广东高考)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A．20 B．15C．12 D．10解析：选D 从正五棱柱的上底面1个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点相连可得2条对角线，故共有5×2＝10条对角线．5．下列命题中正确的是( )A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱台的侧棱延长后必交于一点解析：选D A中的平面不一定平行于底面，故A错；B中侧棱不一定交于一点；C中底面不一定是正方形．二、填空题6．面数最少的棱柱为________棱柱，共有________个面围成．解析：棱柱有相互平行的两个底面，其侧面至少有3个，故面数最少的棱柱为三棱柱，共有五个面围成．答案：三 57.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.解析：由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.答案：138．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．底面是矩形的直平行六面体叫做长方体．棱长都相等的长方体叫做正方体．请根据上述定义，回答下面的问题：(1)直四棱柱________是长方体；(2)正四棱柱________是正方体．(填“一定”、“不一定”、“一定不”)解析：根据上述定义知：长方体一定是直四棱柱，但是直四棱柱不一定是长方体；正方体一定是正四棱柱，但是正四棱柱不一定是正方体．答案：(1)不一定 (2)不一定 三、解答题9．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．解：(1)是上海世博会中国馆，其主体结构是四棱台． (2)是法国卢浮宫，其主体结构是四棱锥．(3)是国家游泳中心“水立方”，其主体结构是四棱柱． (4)是美国五角大楼，其主体结构是五棱柱．10．(2011·山东高考改编)给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．解：如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．如图(2)所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．1．1.2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征旋转体[提出问题]如图，给出下列实物图．问题1：上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？提示：它们不是由平面多边形围成的．问题2：上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否以某平面图形旋转而成？提示：可以．问题3：如何形成上述几何体的曲面？提示：可将半圆、直角梯形、直角三角形绕一边所在直线为轴旋转而成．[导入新知]旋转体结构特征图形表示圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，左图可表示为圆柱OO′圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为圆锥SO转体叫做圆锥圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台我们用表示圆台轴的字母表示圆台，左图可表示为圆台OO′球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径球常用球心字母进行表示，左图可表示为球O[化解疑难]1．以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥．2．球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．3．圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体.简单组合体[提出问题]中国首个空间实验室“天宫一号”于2011年9月29日16分成功发射升空，并与当年11月与“神舟八号”实现无人空间对接，下图为天宫一号目标飞行器的结构示意图．其主体结构如图所示：问题1：该几何体由几个几何体组合而成？提示：4个．问题2：图中标注的①②③④部分分别为什么几何体？提示：①为圆台，②为圆柱，③为圆台，④为圆柱．[导入新知]1．简单组合体的概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．2．简单组合体的构成形式有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．[化解疑难]简单组合体识别的要求(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征．(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式．(3)若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)．旋转体的结构特征[例1] 给出下列说法：(1)以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(2)以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(3)经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；(4)圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆直径，其中正确说法的序号是________．[解析] (1)不正确，因为当直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体就不是圆锥，而是两个同底圆锥的组合体；(2)正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(3)正确，如图所示，经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；(4)正确，如图所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径)．[答案] (2)(3)(4)[类题通法]1．判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．2．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．[活学活用]1．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．解析：(1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案：(1)(2)简单组合体[例2](1)图①所示几何体是由哪些简单几何体构成的？试画出几何图形，可旋转该图形180°后得到几何体①；(2)图②所示几何体结构特点是什么？试画出几何图形，可旋转该图形360°得到几何体②；(3)图③所示几何体是由哪些简单几何体构成的？并说明该几何体的面数、棱数、顶点数．[解析] (1)图①是由圆锥和圆台组合而成．可旋转如下图形180°得到几何体①.(2)图②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心．可旋转如下图形360°得到几何体②.(3)图③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面相同．共有9个面，9个顶点，16条棱．[类题通法]1．明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数，如图③所示的组合体有9个面，9个顶点，16条棱．2．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．[活学活用]2．下列组合体是由哪些几何体组成的？解：(1)由两个几何体组合而成，分别为球、圆柱．(2)由三个几何体组合而成，分别为圆柱、圆台、圆柱．(3)由三个几何体组合而成，分别为圆锥、圆柱、圆台．1.旋转体的生成过程[典例] 如图，四边形ABCD为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体．[解题流程]分别以边AD、AB、BC、CD所在直线为旋转轴旋转已知四边形ABCD为直角梯形以边AD所在直线为旋转轴旋转―→以边AB所在直线为旋转轴旋转―→以边CD所在直线为旋转轴旋转―→以边BC所在直线为旋转轴旋转[规范解答]以边AD所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是圆台，如图(1)所示．以边AB所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接而成的几何体，如图(2)所示．以边CD所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是一个圆柱挖掉一个圆锥构成的几何体，如图(3)所示．以边BC所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是由一个圆台挖掉一个圆锥构成的几何体和一个圆锥拼接而成，如图(4)所示．[活学活用]一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？解：如图(1)和(2)所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥．如图(3)所示，绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个同底相对的圆锥．如图(4)所示，绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转180°围成的几何体是两个半圆锥，旋转360°围成的几何体是一个圆锥．[随堂即时演练]1．(2012·临海高一检测)圆锥的母线有( )A．1条B．2条C．3条D．无数条答案：D2.右图是由哪个平面图形旋转得到的( )解析：选A 图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．3．等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°，所得几何体是________．答案：圆锥4．如图所示的组合体的结构特征为________．解析：该组合体上面是一个四棱锥，下面是一个四棱柱，因此该组合体的结构特征是四棱锥和四棱柱的一个组合体．答案：一个四棱锥和一个四棱柱的组合体5.如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．[课时达标检测]一、选择题1．下列命题中正确的是( )①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；②圆柱的所有平行于底面的截面都是圆；③圆台的两个底面可以不平行．A．①② B．②C．②③ D．①③解析：选B ①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时，其面积不是最大的；③圆台的两个底面一定平行．故①③错误．2．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( ) A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆柱、一个圆台D．一个圆柱、两个圆锥解析：选D 从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，如图：3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( ) A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析：选D 如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．4．下列叙述中正确的个数是( )①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0 B．1C．2 D．3解析：选B ①中应以直角三角形的直角边所在直线为轴，②中应以直角梯形中的直角腰所在直线为轴，④中应用平行于底面的平面去截，③正确．5.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不．正确的是( )A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形解析：选D 该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．二、填空题6．下列7种几何体：(1)柱体有________；(2)锥体有________；(3)球有__________；(4)棱柱有________；(5)圆柱有________；(6)棱锥有________；(7)圆锥有________．解析：由柱、锥、台及球的结构特点易于分析，柱体有a、d、e、f；锥体有b、g；球有c；棱柱有d、e、f；圆柱有a；棱锥为g；圆锥为b.答案：(1)a、d、e、f (2)b、g (3)c。
必修2 立体几何初步 期末复习导学案
期末复习之立体几何（1）-三视图与几何体班级 姓名一、基础知识梳理 1、三视图一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在 ，长度和主视图一样，左视图放在 ，高度和主视图一样，宽度与俯视图一样. 简记为“ 、 、 ” 2、直观图（1）用斜二测画法画直观图时应注意：与x 轴、z 轴平行的线段其长度 ，与y 轴平行的线段其长度 .（2）用斜二测画法画得一个平面图形的直观图图形的面积'S 与其原图形的面积S 之间的关系是 .3、空间几何体的表面积和体积（1）柱、锥、台的侧面积公式：,2S ch S cl rlπ===圆柱侧直棱柱侧；11,22S ch S cl rlπ'===圆锥侧正棱锥侧11(),()()22S c c h S c c l r r lπ''''=+=+=+正棱台侧圆台侧球表面积公式：24S R π=球面 （2）柱、锥、台、球的体积公式：3114;=();333V Sh V Sh V h S S V R π'===柱体锥体台体球;二、基础检测1、有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积及体积为( )A ．24πcm 2,12πcm 3B ．15πcm 2 ,12πcm 3C ．24πcm 2, 36πcm 3D ．以上都不正确 2、如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．如图2，在体积为15的斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点， S －ABC 的体积为3，则三棱锥S －A 1B 1C 1的体积为（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．33、用斜二测画法画得一个三角形ABC的直观图如图所示, 则这个三角形的面积是_____________.4、已知正方体外接球的体积是32 3π（A）（B）3（C）3（D）35、一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为_______cm2.6、在四棱锥P ABCD-中, 底面ABCD是平行四边形, PCD∆的面积为a, AB到面PCD的距离为b, 求此四棱锥的体积.俯视图期末复习之立体几何（2）-空间的平行关系班级 姓名一、基础知识梳理 （一）线面平行1、判定定理2、性质定理（二）面面平行1、判定定理2、性质定理二、基础检测1．给出三个命题：①若两条直线与第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行； ②若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行； ③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 其中不．正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ． 1个 C ．2个 D ． 3个 2．已知m ，n 为异面直线，m ∥平面α，n ∥平面β，α∩β=l ，则l （ ） A ．与m ，n 都相交 B ．与m ，n 中至少一条相交C ．与m ，n 都不相交D ．与m ，n 中一条相交3．以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面） ①若a ∥b ，b ⊂ α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α④若a ∥α，b ⊂ α，则a ∥b其中错误命题的序号是____________. 4. 下列命题中，正确的是（ ）A ．//,,,//l m l m αβαβ⊥⊥若则B ．//,//,//,//l m l m αβαβ若则C ．//,//,,,//a b a a b βαααβ⊂⊂若则D ．,,//a a b b αα⊥⊥若则5．下列命题中正确的命题个数是（ ） ①若两个平面βα//，βα⊂⊂b a ,，则b a //;②若两个平面βα//，βα⊂⊂b a ,，则a 与b 异面; ③若两个平面βα//，βα⊂⊂b a ,，则a 与b 一定相交; ④若两个平面βα//，βα⊂⊂b a ,，则a 与b 平行或异面.A ．1B ．2C ．3D ．46．P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 为P A 的中点. 求证：PC //平面BDQ7．如图1，在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，F 、H 分别是CC 1、AA 1的中点. 求证：11//BDF B D H 平面平面.图1【A 】8、已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。
高二数学必修二简单几何体导学案及课后作业加答案
第一章空间几何体第1课时多面体的结构特征【学习要求】1．认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体；2．认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；3．了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别．【学法指导】通过直观感受空间物体，从实物中概括出多面体的几何结构特征，提高观察、讨论、归纳、概括的能力；感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学习的积极性，培养空间想象能力.【知识要点】1．空间几何体（1）概念：如果只考虑物体的和，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．（2）特殊的几何体①多面体：一般地，由若干个围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的；相邻两个面的叫做多面体的棱；棱与棱的叫做多面体的顶点．②旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的．2．多面体的结构特征（1）棱柱的结构特征：一般地，有两个面，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．（2）棱锥的结构特征：一般地，有一个面是，其余各面都是，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（3）棱台的结构特征：用一个棱锥底面的平面去截棱锥，之间的部分叫做棱台.【问题探究】探究点一空间几何体的类型问题1观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？问题2如果将这些几何体进行适当分类，你认为可以分成哪几种类型？问题3观察图(2)(5)(7)(9)(13)(14)(15)(16)中组成几何体的每个面的特点，以及面与面之间的关系，你能归纳出它们有何共同特点吗？小结我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．问题4观察图(1)(3)(4)(6)(8)(10)(11)(12)中组成几何体的每个面有何共同特点？小结由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．探究点二棱柱的结构特征问题1我们把下面的多面体取名为棱柱，据此你能给棱柱下一个定义吗？图1图2问题2为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．你能指出上面棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？问题3棱柱上、下两个底面的形状大小如何？各侧面的形状如何？问题4一个棱柱至少有几个侧面？一个N棱柱分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？问题5有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？小结在棱柱中，底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……；图1中的六棱柱用各顶点字母可表示为棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′.探究点三棱锥的结构特征问题1我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？问题2参照棱柱的说法，棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？问题3类比棱柱的分类，棱锥如何根据底面多边形的边数进行分类？如何用棱锥各顶点的字母表示问题1中的三个棱锥？问题4一个棱锥至少有几个面？一个N棱锥分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？问题5用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状关系如何？问题6棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？探究点四棱台的结构特征问题1用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成另一个多面体，这样的多面体叫做棱台．那么棱台有哪些结构特征？问题2仿照棱锥中关于底面、侧面、侧棱、顶点的定义，如何定义棱台的底面、侧面、侧棱、顶点呢？问题3根据三棱锥、四棱锥、五棱锥……的定义，如何定义三棱台、四棱台、五棱台……？如何用字母表示棱台？问题4既然棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否相互转化？例1试判断下列说法是否正确：（1）棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；（2）棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形．小结概念辨析题常用方法：（1）利用常见几何体举反例；（2）从底面多边形的形状、侧面形状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义进行判断．跟踪训练1根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称：（1）由6个平行四边形围成的几何体．（2）由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面是有一个公共顶点的三角形．例2如图，几何体中，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征．在立体图中画出截面．小结认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开．跟踪训练2若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高(过顶点向底面作垂线，顶点与垂足的距离)．【当堂检测】1．下列说法中正确的是()A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形2．下列说法中，正确的是()A．有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形3．下列说法错误的是()A．多面体至少有四个面B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C．长方体、正方体都是棱柱D．三棱柱的侧面为三角形【课堂小结】1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．2．对几何体定义的理解要准确，另外，要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地分析，多观察实物，提高空间想象能力．【课后作业】一、基础过关1．下列说法中正确的是() A．棱柱的侧面可以是三角形B．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C．正方体的各条棱长都相等D．棱柱的各条棱长都相等2．棱台不具备的特点是() A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点3. 如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是()A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶15．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为________cm. 6．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图________(填序号)．7．如图所示为长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，当用平面BCFE 把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．8．如图所示的是一个三棱台ABC —A 1B 1C 1，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．二、能力提升9．下图中不可能围成正方体的是()10．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形； ②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．11．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形； （2）由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．三、探究与拓展12．正方体的截面可能是什么形状的图形？第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征【学习要求】1．认识组成我们生活的世界的各种各样的旋转体；2．认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征．【学法指导】通过直观感受空间物体，从实物中概括出旋转体与简单组合体的结构特征，提高观察、讨论、归纳、概括的能力；感受空间几何体存在于现实生活中，增强学习的积极性，培养空间想象力．【知识要点】1．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做 ． 叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的 ；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的 ；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱侧面的 ．2．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做 ． 3．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做 ．与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线．4．以半圆的直径所在直线为 ，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做 ，简称球．半圆的圆心叫做球的 ，半圆的半径叫做球的 ，半圆的直径叫做球的 ．球常用表示球心的字母O 表示． 5．简单组合体（1）概念：由 组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．（2）基本形式：一种是由简单几何体 而成，另一种是由简单几何体 或 一部分而成.【问题探究】[问题情境]举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点．它的构造从外形上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围的很多建筑物和它一样，也都是由一些简单几何体组合而成的组合体．本节我们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征． 探究点一 圆柱的结构特征问题1 如图所示的空间几何体叫做圆柱，那么圆柱是怎样形成的呢？与圆柱有关的几个概念是如何定义的？问题2 如图，平行于圆柱底面的截面，经过圆柱任意两条母线的截面分别是什么图形？探究点二 圆锥的结构特征问题1 类比圆柱的定义，结合下图你能给圆锥下个定义吗？问题2类比圆柱的轴、底面、侧面、母线的定义，如何定义圆锥的轴、底面、侧面、母线？问题3经过圆锥的任意两条母线的截面是什么图形？圆锥如何用字母表示？探究点三圆台的结构特征问题1用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分叫做圆台．圆台可以由什么平面图形旋转而形成？问题2与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线，它们的含义分别如何？圆台如何用字母表示？问题3圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？例1用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．小结用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程组而解得．跟踪训练1将例1中“截去的圆锥的母线长是3 cm”改为“圆锥SO的母线长为16 cm”其余条件不变，则结果如何？探究点四球的结构特征问题类比圆柱、圆锥、圆台的定义，球是如何定义的？球心及球半径是指什么？如何用字母表示球？例2判断下列各命题是否正确：（1）三棱柱有6个顶点，三棱锥有4个顶点；（2）圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；（3）一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；（4）圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；（5）到定点的距离等于定长的点的集合是球．小结对几何体定义的理解要准确，另外，要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地分析，多观察实物，提高空间想象能力．跟踪训练2下列叙述中正确的个数是()①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0 B．1 C．2 D．3探究点五简单组合体的结构特征问题1现实生活中的物体多数是由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体．那么这些组合体是怎样构成的？问题2观察教材图1.1－11中(1)、(3)两物体所示的几何体，你能说出它们各由哪些简单几何体组合而成吗？例3描述下列几何体的结构特征．小结组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割．跟踪训练3数学奥林匹克竞赛中，若你获得第一名，被授予如图所示的奖杯，那么，请你介绍一下你所得的奖杯是由哪些简单几何体组成的？【当堂检测】1．下图是由哪个平面图形旋转得到的()2．下列说法正确的是()A．圆锥的母线长等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心3．下面几何体的截面一定是圆面的是()A．圆台B．球C．圆柱D．棱柱【课堂小结】1．本节所学几何体的类型：几何体⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧柱体⎩⎪⎨⎪⎧圆柱体棱柱体⎩⎪⎨⎪⎧ 三棱柱四棱柱……锥体⎩⎪⎨⎪⎧圆锥体棱锥体⎩⎪⎨⎪⎧ 三棱锥四棱锥……台体⎩⎪⎨⎪⎧圆台体棱台体⎩⎪⎨⎪⎧ 三棱台四棱台……球体简单组合体2．注意两点（1）圆台、棱台可以看作是用一平行于底面的平面去截圆锥、棱锥得到的底面与截面之间的部分；圆台的母线、棱台的侧棱延长后必交于同一点，若不满足该条件，则一定不是圆台或棱台．（2）球面与球是两个不同的概念，球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面，也可以看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合．而球体不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间．【课后作业】一、基础过关 1．下列说法正确的是( )A ．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B ．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C ．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D ．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 2．下列说法正确的是( )A ．直线绕定直线旋转形成柱面B ．半圆绕定直线旋转形成球体C ．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D ．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(1)(5) 4．观察如图所示的四个几何体，其中判断正确的是()A ．a 是棱台B ．b 是圆台C ．c 是棱锥D ．d 不是棱柱5．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________． 6．请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称．（1）由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等 的矩形；（2）如右图，一个圆环面绕着过圆心的直线l 旋转180°.7. 如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD <BC ，当梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．二、能力提升8．下列说法正确的个数是( )①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱；②过圆锥侧面上一点有无数条母线；③圆锥的母线互相平行． A ．0B ．1C ．2D ．39．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的()10．已知球O 是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 所得的截面面积为________．11．以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体有哪些？三、探究与拓展12．如图所示，圆台母线AB 长为20 cm ，上、下底面半径分别为5 cm 和10 cm ，从母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到B 点，求这条绳长的最小值．1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图【学习要求】1．了解投影、中心投影和平行投影的概念；2．能画出简单几何体的三视图，能识别三视图所表示的立体模型．【学法指导】通过对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点；通过自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用，提高空间想象能力．【知识要点】1．投影（1）投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的，这种现象叫做投影，其中，我们把光线叫做，把留下物体影子的屏幕叫做．（2）投影的分类①中心投影：光由向外散射形成的投影，叫做中心投影．中心投影的投影线交于．②平行投影：在一束光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的是平行的.在平行投影中,投影线正对着投影面时，叫做,否则叫做.2．三视图（1）三视图的分类①正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的．②侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的．③俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的．（2）三视图的画法要求①三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从物体的、、看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形．②一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的,长度与的长度一样,侧视图放在正视图的右边,高度与的高度一样,宽度与的宽度一样.③在绘制三视图的时候，分界线和可见轮廓线都用线画出，被遮挡部分用线画出.【问题探究】[问题情境]从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不识庐山真面目，只缘身在此山中．”对于我们所学几何体，从不同方向看到的形状也各有不同，我们通常用三视图和直观图来把几何体画在纸上．探究点一中心投影与平行投影导引在建筑、机械等工程中，需要用平面图形反映空间几何体的形状和大小，在作图技术上这也是一个几何问题，要想知道这方面的基础知识，请先阅读教材第11页，然后思考下列问题．问题1什么是投影、投影线、投影面吗？问题2不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同？小结我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．问题3用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影？问题4用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同？问题5用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗？小结在平行投影中，投影线正对着投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影．问题6一个与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？一个与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？例1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的___________(填序号)．小结画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影．如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成．跟踪训练1如图(1)所示，E、F分别为正方体面ADD′A′、面BCC′B′的中心，则四边形BFD′E在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)中的________．探究点二柱、锥、台、球的三视图导引把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形．从多个角度进行投影就能较好地把握几何体的形状和大小，通常选择三种正投影，即正面、侧面和上面．问题1如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么其三视图分别是什么？问题2三视图，分别反映物体的哪些关系(上下、左右、前后)？哪些数量(长、宽、高)?小结一般地，一个几何体的正视图、侧视图和俯视图的长度、宽度和高度的关系为：正侧等高，正俯等长，侧俯等宽．问题3 圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？问题4 球的三视图是什么？下列三视图表示一个什么几何体？探究点三 简单组合体的三视图导引 柱、锥、台、球是最基本、最简单的几何体，由这些几何体可以组成各种各样的组合体，怎样画简单组合体的三视图？问题1 在简单组合体中，从正视、侧视、俯视等角度观察，有些轮廓线和棱能看见，有些轮廓线和棱不能看见，在画三视图时怎样处理？问题2 如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图是什么？ 例2 如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图．(单位：cm) 小结 (1)在画三视图时，务必做到正(视图)侧(视图)高平齐，正(视图)俯(视图)长对正，俯(视图)侧(视图)宽相等．(2)习惯上将正视图与侧视图画在同一水平位置上，俯视图在正视图的正下方．跟踪训练2 某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是 ()探究点四 将三视图还原成几何体导引 一个空间几何体都对应一组三视图，若已知一个几何体的三视图，我们如何去想象这个几何体的原形结构，并画出其示意图呢？问题 下图是简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并画出其示意图．例3 说出下面的三视图表示的几何体的结构特征．小结 通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体．跟踪训练3 下图是一个物体的三视图，试说出物体的形状．【当堂检测】1．下列说法①从投影角度看，三视图是在平行投影下画出的；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线有可能变成相交了；④如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．其中正确的有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A ．三棱锥B ．四棱锥C ．四棱台D ．三棱台3．将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为 ()。
高二数学学业水平考试复习学案——立体几何
俯视图侧视图正视图高二学考必修二学案第1课 空间几何体的结构、三视图和直观图一、要点知识：1、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的结构特征：（1）___________________________________,_______________________________________, _______________________________________,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
（2）___________________________________,____________________________由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
（3）______________________________________________________这样的多面体叫做棱台。
（4）______________________________________________________叫做圆柱，旋转轴叫做_______，垂直与轴的边旋转而成的圆面叫做_______，平行与轴的边旋转而成的曲面叫做______，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做___________(5) _____________________________________________________所围成的旋转体叫做圆锥。
(6) _____________________________________________________叫做圆台。
(7) _____________________________________________________叫做球体，简称球。
2、中心投影、平行投影及空间几何体的三视图、直观图 （1）光由一点向外散射形成的投影，叫做______________（2）在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫斜投影。
高二数学选修2-1第2章《空间向量与立体几何》_导学案
高二数学选修2-1第2章《空间向量与立体几何》_导学案南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案.试试：1.分别用平行四边形法则和三角形法则求ab,ab..b2.点C在线段AB上，且AC5,CB2则ACAB,BCAB.反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？⑴加法交换律：A.+B.=B.+a；⑵加法结合律：(A.+b)+C.=A.+(B.+c)；⑶数乘分配律：λ(A.+b)=λA.+λb．典型例题例1已知平行六面体ABCDA'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：⑴AB⑵BCABAD；AA'；⑶ABAD1CC'⑷12(ABAD2AA')．变式：在上图中，用AB,AD,AA'表示AC',BD'和DB'.小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．2南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§2.1.2空间向量的数乘运算（一）CD3ab，求证:A,B,C三点共线.1.化简；2.3.几何中的问题．8687复习1：化简：⑴5（3a2b）+4（2b3a）；⑵6a3bcabc.复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量a,b，若b是非零向量，则a与平行的充要条件是二、新课导学学习探究探究任务一：空间向量的共线问题它们的位置关系？新知：空间向量的共线：1.如果表示空间向量的互相或平行向量.2.空间向量共线：定理：对空间任意两个向量a,b（b0），a//b要条件是存在唯一实数，使得推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是试试：已知ABa5b,BC2a8b,3反思：充分理解两个向量a,b共线向量的充要条件中的b0，注意零向量与任何向量共线.典型例题例OP1已知直线AB，点O是直线AB外一点，若某OAyOB，且某+y＝1，试判断A,B,P三点是否共线？变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若OP12OAtOB，那么t＝例2已知平行六面体ABCDA'B'C'D'，点M是棱AA'设的中点，点G在对角线A'C上，且CG:GA'=2:1,CACD,=CAa，CBb,CC'c，试用向量a,b,c表示向量',CM,CG.变式1：已知长方体ABCDA'B'C'D'，M是对角线AC'中点，化简下列表达式：⑴AA'CB;⑵AB'B'C'C'D'⑶12AD112AB2A'A4南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案试试：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足111关系式OPOAOBOC,则点P与A,B,C共面236吗？5反思：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式OP某OAyOBzOC,且点P与A,B,C共面，则某yz.例典型例题①1下列等式中，使OMM,A,B,C四点共面的个数是（）OAOBOC;②OM1115OAOBOC;③MAMB3MC20;④OMOAOBOC0.A.1B.2C.3D.4变式：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若向量OP15OA73OBOCR,则P,A,B,C四点共面的条件是例2如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使OEOAOFOBOGOHOCODk,求证：E,F,G,H四点共面.6南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§2.1.3．空间向量的数量积（1）1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2.向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．9092复习1：什么是平面向量a与b的数量积？复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求AB.二、新课导学学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题空间线段的长度问题？新知：1)两个向量的夹角的定义：已知两非零向量空间一点O，作OAa,baO,Bb，则AOB量a与b的夹角，记作.试试：⑴范围a,:b=0时,a与a,bb;a,b=π时,a与b⑵a,bb,a成立吗？⑶a,b，则称a与b互相垂直，记作.2)向量的数量积：已知向量a,bab，则叫做a,b的数量积，，即ab规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思：⑴两个向量的数量积是数量还是向量？⑵0a⑶你能说出ab0还是0）的几何意义吗？73)空间向量数量积的性质：（1）设单位向量e，则ae|a|coa,e．（2）abab．（3）aa＝4)空间向量数量积运算律：（1）(a)b(ab)a(b)．（2）abba（3）a(bc（交换律）)abac．（分配律反思：⑴（ab)ca(bc)吗？举例说明.⑵若abac，则bc吗？举例说明.⑶若ab0，则a0或b0吗？为什么？典型例题例1用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式1：用向量方法证明：已知：m,n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且lm,ln.求证：l．例2如图，在空间四边形ABCD中，AB2，BC3，BDCD3，ABD30，ABC60，求AB与CD,8南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§2.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1.标表示；2.掌握空间向量的坐标运算的规律；⑴a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；92-96⑵a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；复习1：平面向量基本定理：⑶λa＝(a1,a2,a3)(R)；对平面上的任意一个向量P，a,b是平面上两⑷a·b＝a1b1a2b2a3b3.向量，总是存在实数对某,y，使得向量P可以用a,b试试：a1.设，则向量的坐标为.a2ij3k示，表达式为，其中a,b(3,1,1)(1,0,2)2.若A，B，则AB＝.做.若ab，则称向量P正交分解.3.已知a＝(2,3,5)，b＝(3,1,4)，求a＋b，a－b，复习2：平面向量的坐标表示：8a，a·b平面直角坐标系中，分别取某轴和y轴上的向量i,j作为基底，对平面上任意向量a数某，y，使得a某iyj，，则称有序对某,y为向量a的，即a＝.二、新课导学学习探究向的单位向量，则存在有序实数组{某,y,z}，使得，则称有序实数组{某,y,z}为向量a的a某iyjzk坐标，记着p⑸设A(某1,y1,z1)，B(某2,y2,z2)，则AB＝.⑹向量的直角坐标运算：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则典型例题探究任务一：空间向量的正交分解从向量a,b,c问题：对空间的任意向量a例1已知向量a,b,c是空间的一个基底，中选哪一个向量，一定可以与向量pab,qab何位置关系？构成空间的另一个基底？新知：⑴空间向量的正交分解：空间的任意向量a分解为不共面的三个向量1a1、2a2、3a3a1a12a23a3.如果a1,a2,a3两两分解就是空间向量的正交分解.变式：已知O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C是否共面？(2)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c，对空间任一向量p，存在有序实数组{某,y,z}a,b,c.把的一个基底，p某aybzc量.反思：空间任意一个向量的基底有个.⑶单位正交分解：相，长度都为，则这个基底叫做，通常用｛i,j,k｝表示.⑷空间向量的坐标表示小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的O-某yz和向量a，且设i、j、k为某轴、y轴、z方法是：这三个向量一定不共面.910南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案114.线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点A(某1,y1,z1)，B(某2,y2,z2)，则线段AB的中点坐标为.典型例题例1.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E1,F1分别是A1B1,C1D1的一个四等分点，求BE1与DF1所成的角的余弦值．变式：如上图,在正方体ABCD1A1B1C中1D，BDAB1E11F1113，求BE1与DF1所成角的余弦值．例2.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E,F分别是BB1,D1B1的中点，求证：EFDA1.12南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-某yz和向量a，且设i、j、k为某轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{某,y,z}，使得，则称有序实数组{某,y,z}为向量a的a某iyjzk坐标，记着p10.设A(某1,y1,z1)，B(某2,y2,z2)，则AB＝.11.向量的直角坐标运算：设a＝(a,a,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则12⑴a＋b＝；⑵a－b＝；⑶λa＝；⑷a·b＝动手试试1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝某a＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（）A．0B.1C.2D.32．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、是（）D1C、AC11A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量3．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ=（）62636465A.B.C.D.77774．若a、b均为非零向量，则ab|a||b|是a与b共线的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件5．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．56.a3i2jk,bij2k,则5a3b（）A．－15B．－5C．－3D．－11314南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§2.2立体几何中的向量方法（1）1.掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;2.行、垂直、夹角等立体几何问题．102104，找出疑惑之处）复习1：可以确定一条直线；个平面的方法有哪些？复习2：如何判定空间A,B,C三点在一条直线上？复习3：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，a·b＝二、新课导学学习探究探究任务一：向量表示空间的点、直线、平面问题位置？新知：⑴点：在空间中，我们取一定点O间中任意一点P的位置就可以用向量把向量OP来表示，OP称为点P的位置向量.⑵直线：①直线的方向向量向量.②对于直线l上的任一点P,存在实数t，APtAB，此方程称为直线的向量参数方程.⑶平面：①空间中平面的位置可以由确定.对于平面上的任一点P,a,b是平面不共线向量，则存在有序实数对(某,y),OP某a使y.b②空间中平面的方向向量表示空间中平面的位置.⑷平面的法向量：如果表示向量n线垂直于平面，则称这个向量n垂直于平面,n⊥，那么向量n叫做平面的法向量.15试试：.1.如果a,b都是平面的法向量，则a,b的关系.2.向量n是平面的法向量，向量a是与平面平行或在平面内，则n与a的关系是.反思：1.一个平面的法向量是唯一的吗？2.平面的法向量可以是零向量吗？⑸向量表示平行、垂直关系：设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面,向量分别为u,的法v①l∥m，则a∥ba②l∥akb③∥uu∥au0vukv.典型例题例1已知两点A1,2,3,B2,1,3,求直线AB与坐标平面YOZ的交点.变式：已知三点A1,2,3,B2,1,2,P1,1,2,点Q在OP上运动（O为坐标原点）,求当QAQB取得最小值时,点Q的坐标.小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可. 16南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§2.2立体几何中的向量方法（2）1.立体几何问题；2.中的角度的计算方法.105复习1：已知107，找出疑惑之处.ab1，a1,b2，且m2ab求m.复习2：角的范围是什么？二、新课导学学习探究探究任务一：用向量求空间线段的长度问题：如何用向量方法求空间线段的长度？新知a求出线段长度.试试：在长方体ABCD'A'B'C中'D，已AB1,BC2,'CC,求1AC'的长.反思用已知条件中的向量表示.典型例题例1如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？17变式1：上题中平行六面体的对角线BD1的长与棱长有什么关系？变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗探究任务二：用向量求空间图形中的角度例2如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离AC,BD分别为a,b，CD的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.变式：如图，60的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AB4,AC6,BD8,求CD的长.18南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§2.2立体几何中的向量方法（3）1.进一步熟练求平面法向量的方法；2.异面直线间距离的计算方法；3.熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.,B0,1,1,C1,1,2ABC的一个法向量.复习2：离？二、新课导学学习探究探究任务一：点到平面的距离的求法问题：如图A,空间一点P到平面知平面的距离为d,的一个法向量为n,且AP与n不共线,AP与n表示d分析:过P作PO⊥于O连结d=|OAPO,则|=|PA|∵PO⊥,coAPO.n,∴PO∥n.∴co∠APO=|co∴D.=|PA||coPA,n|=|PAPA,n|||n|||coPA,n||PAn|n|=|n|新知：用向量求点到平面的距离的方法：设A,空间一点P到平面的距离为d,平面个法向量为n，则D.=|PA|n|n|19试试：在棱长为1的正方体ABCDA'B'C'D'中，求点C'到平面A'BCD'的距离.反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.典型例题例1已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.变式：如图,ABCD是矩形,PD平面ABC,DPDDCa,AD,M、N分别是AD、PB的中点,求点A到平面MNC的距离.PNCAB小结：求点到平面的距离的步骤：⑴建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵求平面的一个法向量的坐标；⑶找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷代入公式求出距离.20南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§第2章空间向量（复习）1.掌握空间向量的运算及其坐标运算；2.具.115－116复习1：如图，空间四边形OABC中OAa,OBb,OC且OM=2MA,为BC中点，则c.点M在OA上，MN复习2：平行六面体ABCDA'BADb,'C'D'中，ABaAA'c，点P,M,N分别是CA',CD',C'D'的中点，点Q在CA'上，且CQ:QA'4:1,a,用基底b,c表示下列向量：⑴AP;⑵AM;⑶AN;⑷AQ.主要知识点：1.空间向量的运算及其坐标运算：空间向量是平面向量的推广,有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成“三维的”了.2.立体几何问题的解决──向量是很好的工具①平行与垂直的判断②角与距离的计算21典型例题例1如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg，在它的顶点处分别受力F1、F2、F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是F60，且F12F3200kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？变式：上题中，若不建立坐标系，如何解决这个问题？小结：在现实生活中的问题，我们可以转化我数学中向量的问题来解决，具体方法有坐标法和直接向量运算法，对能建立坐标系的题，尽量使用坐标计算会给计算带来方便.例2如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90,CB1,CA21,点M6是CC1的中点，求证：AMBA1.变式：正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为1，棱长为2，点M是BC的中点，在直线CC1上求一点N，使MNAB.。
2017_2018学年高二数学上学期期末复习备考讲练专题07空间向量与立体几何导学案理
专题07 空间向量与立体几何一、学习目标：1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。
二、知识梳理1.设()111,,a x y z =，()222,,b x y z = ，（1）()111,,a x y z λλλλ=．（2）121212a b x x y y z z ⋅=++．（3）若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．（4）若0b ≠ ，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．（5）a == （6）cos ,a b a b a b ⋅〈〉== ．（7）()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则d AB=AB =2、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a b θϕ⋅== ．3、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l nl nθϕ⋅== ．4、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅= ．5、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB的模AB 计算．6、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．7、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．三、典型例题 例1.给出下列命题：①若AB →＝CD →，则必有A 与C 重合，B 与D 重合，AB 与CD 为同一线段； ②若a ·b ＜0，〈a ，b 〉为钝角；③若a 是直线l 的方向向量，则λa (λ∈R )也是l 的方向向量；④非零向量a ，b ，c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则a ，b ，c 必共面． 其中错误命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D变式练习1.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则x ＝________，y ＝________．【答案】1 14【解析】由题知AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)，从而有x ＝1，y ＝14.例2.在四棱锥P ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝CD ＝2AB ＝2，M 为PC 的中点． (1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)平面PAD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？若存在，确定N 的位置；若不存在，说明理由． 【解析】以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则B (1，0，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，C (2，2，0)，M (1，1，1)，【方法规律】空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．变式练习2.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在DB、D1C上，且DE＝D1F＝23a，其中a为正方体棱长．求证：EF∥平面BB1C1C. 【答案】见解析【解析】证明 如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，则E (a 3，a 3，0)，F (0，a 3，2a 3)，故EF →＝(－a 3，0，2a3)．又AB →＝(0，a ，0)，显然为平面BB 1C 1C 的一个法向量，而AB →·EF →＝(0，a ，0)·(－a 3，0，2a3)＝0，∴AB →⊥EF →. 又E ∉平面BB 1C 1C ，因此EF ∥平面BB 1C 1C .例3.四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝2，点M ，N 分别在棱PD ，PC 上，且PC ⊥平面AMN.(1)求AM 与PD 所成的角；(2)求二面角P AM N 的余弦值； (3)求直线CD 与平面AMN 所成角的余弦值．【方法规律】利用空间向量确定空间中的线线角、线面角、二面角，避免了利用传统方法求角时先进行角的确定，然后求角的弊端，只需要准确求解直线的方向向量和平面的法向量，代入公式求角即可。
2017-2018学年高二数学上学期期末复习备考讲练 专题02 点、线、面的位置关系导学案 文
专题02 点、线、面的位置关系一、学习目标1．理解掌握空间点、直线、平面之间的位置关系．2．熟练应用直线、平面平行和垂直的判定及其性质解决立体几何问题．3．通过本章学习逐步提高学生的空间想像能力，学会用数学方法认识世界改造世界． 二、知识梳理： 1.平面(1) 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；(2). 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。
(3) 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉ 点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l ； 直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ⊂α；直线l 不在平面α内，记作l ⊄α。
2.公理即推论（1）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线） 应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ （2）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。
符号语言：,P A B A B l P l ∈⇒=∈公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 3.空间直线与直线之间的位置关系(1). 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2). 异面直线性质：既不平行，又不相交。
浙江专版2017_2018学年高中数学第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积学案新人教A版必
1.3 空间几何体的表面积与体积1．3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积预习课本P23～27，思考并完成以下问题1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？[新知初探]1．柱体、锥体、台体的表面积公式图形表面积公式多面体的表面积就是各个面的面积多面体的和，也就是展开图的面积- 1 -底面积：S底＝πr2圆柱侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2底面积：S底＝πr2旋圆锥侧面积：S侧＝πrl转表面积：S＝πrl＋πr2体上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2圆台侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)2．柱体、锥体、台体的体积公式柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；1锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；31台体的体积公式V＝(S′＋S′S＋S)h.3[点睛](1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积()(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()答案：(1)×(2)√2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是()3＋3 3A. a2B. a24 43＋3 6＋3C. a2D. a22 42 3 1解析：选A∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，∴S表＝a2＋3×2×(2 42a )2- 2 -3＋32＝a2.43．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________．解析：由已知圆锥的高h＝4，1所以V圆锥＝π×32×4＝12π.3答案：12π柱、锥、台的表面积[典例]现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．[解]如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，AC BD a2＋b2 200＋56(2 )2＋(2 )2＝＝＝64，∴AB＝8.∴AB2＝4 4∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.(1)求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．(2)结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式求解．[活学活用]1．(陕西高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()- 3 -A．3πB．4πC．2π＋4 D．3π＋4解析：选D由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．1表面积为2×2＋2××π×12＋π×1×2＝4＋3π.22．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为() A．81πB．100πC．168πD．169π解析：选C先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示设，上底面半径为r下，底面半径为R则，它的母线长为l＝h2＋R－r2＝4r2＋3r2＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.柱体、锥体、台体的体积[典例]一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．2π＋2 3 B．4π＋2 32 3 2 3C．2π＋D．4π＋3 3[解析]该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积1 2 3为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为×( 2)2× 3＝，所以该几何体的体3 32 3积为2π＋.3[答案] C空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．- 4 -[活学活用]1．已知某圆台的上、下底面面积分别是 π，4π，侧面积是 6π，则这个圆台的体积是 ________．解析：设圆台的上、下底面半径分别为 r 和 R ，母线长为 l ，高为 h ，则 S 上＝πr 2＝π，S1下＝πR 2＝4π，∴r ＝1，R ＝2，S 侧＝π(r ＋R )l ＝6π，∴l ＝2，∴h ＝3，∴V ＝ π(12＋22＋37 3 1×2)× 3＝ π.37 3答案： π 32.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于________． 解析：根据三视图，可知题中的几何体是由一个三棱柱削去一个三棱锥 1 1 1得到的，体积 V ＝ ×3×4×5－ × ×4×3×3＝24. 2 3 2答案：24几何体体积的求法题点一：等积变换法1.如图所示，正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为 1，E 为线段 B 1C 上的一点， 则三棱锥 A DED 1的体积为________．1 1 1解析：V 三棱锥 A DED 1＝V 三棱锥 E DD 1A ＝ × ×1×1×1＝ .3 2 61答案： 62.如图所示，三棱锥的顶点为 P ，PA ，PB ，PC 为三条侧棱，且 PA ，PB ，PC 两两互相垂直，又 PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，求三棱锥 P ABC 的体积 V .1解：三棱锥的体积 V ＝ Sh ，其中 S 为底面积，h 为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为3 底面，所以此题可把 B 看作顶点，△PAC 作为底面求解．1 1 1故 V ＝ S △PAC ·PB ＝ × ×2×4×3＝4.3 3 2题点二：分割法3.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．解：如图，连接EB，EC.四棱锥EABCD的体积1V四棱锥EABCD＝×42×3＝16.3∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.1 1 1 1∴V三棱锥FEBC＝V三棱锥CEFB＝V三棱锥CABE＝V三棱锥EABC＝×V四棱锥EABCD＝4.2 2 2 2∴多面体的体积V＝V四棱锥EABCD＋V三棱锥FEBC＝16＋4＝20.题点三：补形法4．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.5．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝13，BC＝AD＝2 5，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图．设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则Error!∴Error!1 1∵V DABE＝DE·S△ABE＝V长方体，3 61 同理，V CABF＝V DACG＝V DBCH＝V长方体，61 1∴V四面体ABCD＝V长方体－4×V长方体＝V长方体．6 3而V 长方体＝2×3×4＝24，∴V四面体ABCD＝8.(1)三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫作体积转移法(或称等积法)．(2)当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，这时可通过分割或补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积．层级一学业水平达标1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为()A．22B．20C．10 D．11解析：选A所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.2．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A．1∶2 B．1∶3C．1∶5 D. 3∶2解析：选C设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝5r.∴S 侧＝πrl＝5πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶5.3.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是()4 3 3A. πB. π3 61 3C. πD. π2 31 1解析：选B由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为×2 33×π×12× 3＝π.64．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为()A．7 B．6C．5 D．3解析：选A设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.5.如图，ABCA′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥CAA′B′B的体积是()1 1A. B.3 22 3C. D.3 41 1 1 2解析：选C∵V CA′B′C′＝V ABCA′B′C′＝，∴V CAA′B′B＝1－＝.3 3 3 36．棱长都是3的三棱锥的表面积S为________．3 解析：因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝4××32＝9 3.4- 7 -答案：9 37．若圆锥的侧面展开图为一个半径为 2的半圆，则圆锥的体积是________． 1 解析：易知圆锥的母线长 l ＝2，设圆锥的底面半径为 r ，则 2πr ＝ ×2π×2，∴r ＝1，∴ 21 3 圆锥的高 h ＝ l 2－r 2＝ 3，则圆锥的体积 V ＝ πr 2h ＝ π. 3 33答案： π38．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是 3 3，则 a ＝________.解析：由三视图，可知几何体为一个放倒的直三棱柱，则该几何体的体积 V ＝3× 12 (×2 × a )＝3 3，所以 a ＝ 3.答案： 39．如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝2 2，AD ＝2，若四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周成为几何体．(1)画出该几何体的三视图； (2)求出该几何体的表面积． 解：(1)如图所示．(2)过 C 作 CE 垂直 AD 延长线于 E 点， 作 CF 垂直 AB 于 F 点． 由已知得：DE ＝2，CE ＝2， ∴CF ＝4，BF ＝5－2＝3. ∴BC ＝ CF 2＋BF 2＝5.- 8 -∴下底圆面积 S 1＝25π，台体侧面积 S 2＝π×(2＋5)×5＝35π， 锥体侧面积 S 3＝π×2×2 2＝4 2π， 故表面积 S ＝S 1＋S 2＋S 3＝(60＋4 2)π.10.如图，已知正三棱锥S ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥 的高 SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．解：如图，设正三棱锥的底面边长为 a ，斜高为 h ′，过点 O 作 OE ⊥AB ，与 AB 交于点 E ，连接 SE ，则 SE ⊥AB ，SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底， 1 3∴ ·3a ·h ′＝ a 2×2. 2 4 ∴a ＝ 3h ′.∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2.3∴32＋(× 3h ′)2＝h ′2.6∴h ′＝2 3，∴a ＝ 3h ′＝6.33∴S 底＝a 2＝×62＝9 ，S 侧＝2S 底＝18 .3 344∴S 表＝S 侧＋S 底＝18 3＋9 3＝27 3.层级二 应试能力达标1．正方体的表面积为 96，则正方体的体积为( ) A ．48 6 B ．64 C ．16D ．96解析：选 B 设正方体的棱长为 a ，则 6a 2＝96，∴a ＝4，故 V ＝a 3＝43＝64. 2.已知高为 3的棱柱 ABC A 1B 1C 1的底面是边长为 1的正三角形，如图，则 三棱锥 B AB 1C 的体积为( )1 1 A. B. 4 23 C. D.63 411 3 3解析：选 D VB AB 1C ＝VB 1ABC ＝ S △ABC ×h ＝ × ×3＝ .3 34 43．圆柱的一个底面积是 S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS 2 3C ．πSD. πS 3S S解析：选A底面半径是，所以正方形的边长是2π＝2 πS，故圆柱的侧面积是ππ(2 πS)2＝4πS.4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()5 3 4 3A. B.3 35 33C. D.6解析：选A由三视图可知，该几何体是正三棱柱的一部分，如图所示，其3 1 3 5 3中底面三角形的边长为2，故所求的体积为×22×2－××22×1＝.4 3 4 35．已知一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________．解析：设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则Error!三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝6.答案：66．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2 2，其面积为8.答案：87．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．解：(1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝2，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.1故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2× 2＋2××( 2)2＝(22＋4 2)cm2，21所求几何体的体积V＝23＋×( 2)2×2＝10(cm3)．28．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱．(1)求圆锥的侧面积．(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．解：(1)圆锥的母线长为62＋22＝2 10(cm)，∴圆锥的侧面积S1＝π×2×210＝4 10 π(cm2)．(2)画出圆锥的轴截面如图所示：r6－x设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知＝，2 66－x2π2π∴r＝，∴圆柱的侧面积S2＝2πrx＝(－x2＋6x)＝－[(x－3)2－9]，3 3 3∴当x＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6πcm2.1．3.2球的体积和表面积预习课本P27～28，思考并完成以下问题1．球的表面积公式是什么？2．球的体积公式是什么？[新知初探]1．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．2．球的体积4 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3.3[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个球的半径之比为1∶3，则其表面积之比为1∶9()(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径()答案：(1)√(2)√2．若球的过球心的圆面圆周长是C，则这个球的表面积是()C2 C2 C2A. B. C. D．2πC24π2ππC C2解析：选C由2πR＝C，得R＝，∴S球面＝4πR2＝.2ππ3．若一个球的直径是10 cm，则它的体积为________ cm3.10 4 4 500解析：由题意知其半径为R＝＝5(cm)，故其体积为V＝πR3＝×π×53＝π(cm3)．2 3 3 3500答案：π3球的体积与表面积32π[典例](1)球的体积是，则此球的表面积是()3A．12πB．16π16π64πC. D.3 3(2)一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为________．4 32π[解析](1)设球的半径为R，则由已知得πR3＝，解得R＝2.3 3故球的表面积S表＝4πR2＝16π.(2)由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半3 1径与球的半径相等的半圆的面积之和．因为R＝1，所以S＝×4×π×12＋2××π×12＝4π.4 2[答案](1)B(2)4π求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．[活学活用]某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面与截面面积1的和，即×4π×12＋π×12＝3π.2答案：3π球的截面问题[典例]如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，若不计容器厚度，则球的体积为()500π866πA. cm3B. cm33 31 372π2 048πC. cm3D. cm33 3- 13 -1 1[解析]如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝2 24 5004(cm)．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5.∴V球＝π×53＝π(cm3)．3 3[答案] A球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.[活学活用]一平面截一球得到直径为2 5 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是()A．12πcm3 B．36πcm3C．64 6πcm3 D．108πcm3解析：选B设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示．在Rt△OO1A中，O1A＝5 cm，OO1＝2 cm，∴球的半径R＝OA＝22＋52＝3(cm)，4∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3)．3与球有关的组合问题题点一：球的外切正方体问题1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()4πA. B.3 2π33ππC. D.2 6解析：选A由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方- 14 -4 4π体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×13＝.3 3题点二：球的内接长方体问题2．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．解析：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.答案：14π题点三：球的内接正四面体问题3．若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．解：把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝2x，2a 6由题意2R＝3x＝3×＝a，2 26 3 ∴S球＝4πR2＝aπ＝aπ.4 2题点四：球的内接圆锥问题4．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．r 解析：如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于2r3r3r是圆锥的底面半径为r2－( ＝，高为.2 )22 21 3r3r 3 4该圆锥的体积为3×π×( 2 )2×＝πr3球，体积为πr3∴，该圆锥的2 8 33πr38 9体积和此球体积的比值为＝.4 32πr339答案：32题点五：球的内接直棱柱问题5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()7C. πa2 D．5πa23- 15 -解析：选B由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为2 3 3 1a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝×a＝O a P，＝a，所球以的3 2 3 23 1 7 7半径R＝OA满足R2＝( a)2＋( a)2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2.3 2 12 3(1)正方体的内切球a 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个2平面上的四个切点作截面如图(1)．(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面1有球的半径为r2＝，如图(2)．a2＋b2＋c22(3)正四面体的外接球6 正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a.2层级一学业水平达标1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为()8π32πA. B.3 38 2πC．8π D.3解析：选C设球的半径为R，则截面圆的半径为R2－1，∴截面圆的面积为S＝π( R2－1) 2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为() A．16πB．20πC．24πD．32π- 16 -1解 析：选 A 设正四棱锥的高为 h ，底面边长为 a ，由 V ＝ a 2h ＝a 2＝6，得 a ＝ 6.由题意，3 知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为 r ，则(3－r )2＋( 3)2＝r 2，解得 r ＝2，则 S 球＝4πr 2＝16π. 故选 A.3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π解析：选 C 由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体． 1 1 4V ＝ π×32×4＋ × π×33＝30 π.3 2 34．等体积的球和正方体的表面积 S 球与 S 正方体的大小关系是( ) A ．S 正方体>S 球 B ．S 正方体<S 球 C ．S 正方体＝S 球D ．无法确定4解析：选 A 设正方体的棱长为 a ，球的半径为 R ，由题意，得 V ＝ πR 3＝a 3，∴a ＝3 V ，R333V 4π ＝ ，∴S 正方体＝6a 2＝6 ＝，S 球＝4πR 2＝< .3V 2 3 216V 23 36πV 2 3 216V 25．球的表面积 S 1与它的内接正方体的表面积 S 2的比值是( ) ππ A. B. 3 4 π C. D ．π2 4 解析：选 C 设球的内接正方体的棱长为 a ，球的半径为 R ，则 3a 2＝4R 2，所以 a 2＝R 2，34 S 1 π球的表面积 S 1＝4πR 2，正方体的表面积 S 2＝6a 2＝6× R 2＝8R 2，所以 ＝ . 3 S 2 26．已知正方体的棱长为 2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________． 解析：过正方体的对角面作截面如图． 故球的半径 r ＝ 2，∴其表面积 S ＝4π×( 2)2＝8π.- 17 -7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a，则球的表面积为________．解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，a所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr21＝πa2.2答案：πa28．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁5球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为________ cm2.34 5解析：设该铁球的半径为r，则由题意得πr3＝π×102×，解得r3＝53，∴r＝5，∴这3 3个铁球的表面积S＝4π×52＝100π(cm2)．答案：100π9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比．解：设三个球的半径分别为R1，R2，R3，∵三个球的表面积之比为1∶4∶9，∴4πR21∶4πR∶4πR＝1∶4∶9，2 32即R21∶R∶R＝1∶4∶9，2 32∴R1∶R2∶R3＝1∶2∶3，得R31∶R32∶R＝1∶8∶27，34 4 4∴V1∶V2∶V3＝πR∶πR∶πR＝R∶R∶R＝1∶8∶27.3123 3 1323 33 3 310．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积4 4S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝3 313ππ×13＋π×12×3＝.3层级二应试能力达标1．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()- 18 -解析：选B正三棱锥的内切球球心在高线上，与侧面有公共点，与棱无公共点．故选B.2．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是()100π208πA. cm3B. cm33 3500π416 13πC. cm3D. cm33 34 500π解析：选C根据球的截面的性质，得球的半径R＝32＋42＝5(cm)，所以V球＝πR3＝3 3 (cm3)．3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S＝()A．32＋πB．32＋2πC．28＋2πD．28＋π解析：选A由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其1表面积S＝4π×＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.24.(新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体该，几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：选B如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半1径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr 2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋24)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.5.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．- 19 -解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R，则2R＝22＋22＋22＝2 3，所以该几何体的表面积为4πR2＝4π(3)2＝12π.答案：12π326．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，3那么这个三棱柱的体积是________．4 32解析：设球的半径为r，则πr3＝π，得r＝2，柱体的高为2r＝4.又正三棱柱的底面3 3三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4 3，所以正三棱柱的体积3V＝×(4 3)2×4＝48 3.4答案：48 37．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm，求球的体积．解：如右图所示，作出轴截面，O是球心，与边BC，AC相切于点D，E.1 连接AD，OE，∵△ABC是正三角形，∴CD＝AC.2∵Rt△AOE∽Rt△ACD，OE CD∴＝.AO AC∵CD＝1 cm，∴AC＝2 cm，AD＝3 cm，设OE＝r，则AO＝( 3－r)，r 1 3∴＝，∴r＝cm，3－r 2 34 3 4 3V球＝3π(3 )3＝π(cm3)，274 3即球的体积等于πcm3.278．在半径为15的球O内有一个底面边长为12 3的内接正三棱锥ABCD，求此正三棱锥的体积．解：①如图甲所示的情形，显然OA＝OB＝OC＝OD＝15.设H为△BCD的中心，则A，O，H 三点在同一条直线上．2 3∵HB＝HC＝HD＝××12 3＝12，3 2∴OH＝OB2－HB2＝9，- 20 -∴正三棱锥ABCD的高h＝9＋15＝24.3又S△BCD＝×(12 3)2＝108 3，41∴V三棱锥ABCD＝×1083×24＝864 3.3②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥ABCD的高h′＝15－9＝6，S△BCD＝108 3，1∴V三棱锥ABCD＝×1083×6＝216 3.3综上，可知三棱锥的体积为864 3或216 3.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是()A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等解析：选B棱柱的侧面必须是平行四边形，侧棱长相等，但底面只需为多边形，且边长也不需要与侧棱长相等，故A、D不正确；球的表面不能为平面图形，故C不正确．2．如图所示的组合体，其构成形式是()A．左边是三棱台，右边是圆柱B．左边是三棱柱，右边是圆柱C．左边是三棱台，右边是长方体D．左边是三棱柱，右边是长方体解析：选D根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．- 21 -3.如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如②；图存在四棱柱，其正视图、俯视图如③；图存在圆柱，其正视图、俯视图如图．其中正确命题的个数是()A．3B．2C．1 D．0解析：选A底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的正视图和俯视图，因此②正确；当圆柱侧放，即侧视图为圆时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．故选A.4．已知圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为() A．120°B．150°C．180°D．240°解析：选C设圆锥的底面半径为R，母线长为L.由题意，πR2＋πRL＝3πR2，∴L＝2R，nπL圆锥的底面圆周长l＝2πR.展开成扇形后，设扇形圆心角为n，则扇形的弧长l＝＝180°nπ× 2R2nπR，∴2πR＝，∴n＝180°，即展开后扇形的圆心角为180°.180°180°5.某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A．①③B．①③④C．①②③D．①②③④解析：选A若图②是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图②不合要求；若图④是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图④不合要求，①③都是能符合要求的几何体，故选A.6.(福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．8＋2 2B．11＋2 2C．14＋2 2D．15- 22 -解析：选B由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为12×(4＋2)＝8＋2 两2，底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3所，以该几何2体的表面积为8＋2 2＋3＝11＋2 2.7.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()1 1A. B.8 71 1C. D.6 5解析：选D由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角后”剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为1 1 1 V1＝××1×1×1＝，3 2 61 5剩余部分的体积V2＝13－＝.6 61V1 6 1所以＝＝，故选D.V2 5 56π8．(山东高考)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD2所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()2π4πA. B.3 35πC. D．2π3解析：选C过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的1 1 5π 体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝，故选C.3 3 3二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．- 23 -解析：由三视图可知题中几何体是由圆柱的一半和球的四分之一组成的，所以该几何体的1 1 1 1 4 4 体积V＝V圆柱＋V球＝×π×12×2＋×π×13＝π.2 4 2 43 34答案：π310．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________，表面积为________．1 解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝24π4π12＋12＋22＝1，所以V球＝×13＝，S球＝4π×12＝4π.3 34 答案：π4π311．一个几何体的三视图如图，其中正视图和侧视图是相同的等腰三角形，俯视图由半圆和一等腰三角形组成．则这个几何体可以看成是由________和________组成的，若它的体积是π＋2，则a＝________.6解析：由三视图可知该几何体可以看成是由一个三棱锥和半个圆锥组成的．半圆锥的底面半径为1，高为a，三棱锥的底面是以2为直角边长的等腰直角三角形，高为a，所以该几何1 1 1 π＋2体的体积为3×( × 2 ×2)a＝，解得a＝1.π＋2 2 6答案：三棱锥半个圆锥 112．某空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧视图的面积为________cm2，。
专题01空间几何体(导学案)-上学期期末考试高二数学(理)备考黄金讲练系列含解析.doc
第一讲空间几何体一、学习目标1.进一步认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，并能识别上述的三视图所表示的立体模型；3.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图；4.了解空间图形的不同表示形式一一平行投影与中心投影；5.记住柱、锥、台、球的表面积和体积公式，并会应用。
二、知识梳理1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE-A B C D E或用对角线的端点字母，如五棱柱AD .几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的儿何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
表示：用各顶点字母，如五棱锥P-ABCDE o几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底而的平而去截棱锥，截面和底面Z间的部分。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等。
表示：用各顶点字母，如五棱台P-ABCDE。
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形；②侧面是梯形；③侧棱交于原棱锥的顶点。
(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲而所围成的儿何体。
儿何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥:定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的儿何体。
2017-2018学年高中数学人教A版(浙江专版)必修2讲学案：第一章1.1空间几何体的结构
空间几何体的构造第一课时棱柱、棱锥、棱台的构造特色预习课本P2～4，思虑并达成以下问题1．空间几何体是如何定义的？分为几类？2．多面体有哪些？能指出它们的侧面、底面、侧棱、极点吗？3．常有的多面体有哪些？它们各自的构造特色是如何的？[新知初探 ]1．空间几何体观点定义空间几何体空间中的物体，若只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其余要素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体2．空间几何体的分类分类定义图形及表示有关观点面：围成多面体的由若干个平面多各个多边形棱：相邻两个面的空间几何体多面体边形围成的几何公共边体，叫做多面体极点：棱与棱的公共点由一个平面图形绕着它所在平面空间几何体旋转体内的一条定直线轴：形成旋转体所旋转所形成的封绕的定直线闭几何体叫做旋转体3．棱柱、棱锥、棱台的构造特色分类定义有两个面相互平行，其余各面都是四边形，而且每棱柱相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共极点棱锥的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥用一个平行于棱锥底面的棱台平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台图形及表示有关观点底面 (底 )：两个相互平行的面侧面：其余各面如图可记作：棱侧棱：相邻侧面的公共边柱极点：侧面与底面的公共顶ABCD -A′ B′ C点′ D′底面 (底 )：多边形面侧面：有公共极点的各个三角形面如图可记作：棱侧棱：相邻侧面的公共边锥S-ABCD极点：各侧面的公共极点上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边如图可记作：棱极点：侧面与上(下 )底面的公台共极点ABCD -A′ B′ C′ D′[小试身手 ]1．判断以下命题能否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱柱的侧面都是平行四边形()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥()(3)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台()答案： (1)√ (2) × (3)×2．有两个面平行的多面体不行能是()A．棱柱B．棱锥C．棱台 D ．以上都错分析：选 B 棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的随意两面均不平行．3．对于棱柱，以下说法正确的有 ________(填序号 )．(1) 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；(2) 棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；(3) 各侧面都是正方形的四棱柱必定是正方体．分析： (1) 不正确，反比以下图．(2)正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形．(3)不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体．答案： (2)棱柱的构造特色[ 典例 ]以下对于棱柱的说法中，错误的选项是()A．三棱柱的底面为三角形B．一个棱柱起码有五个面C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D．五棱柱有 5条侧棱、 5个侧面，侧面为平行四边形[ 分析 ]明显A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故 B 正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面其实不全等，所以 C 错误； D 正确，所以选 C.[答案] C有关棱柱的构造特色问题的解题策略(1)紧扣棱柱的构造特色进行有关观点辨析① 两个面相互平行；② 其余各面是四边形；③ 相邻两个四边形的公共边相互平行．求解时，第一看能否有两个平行的面作为底面，再看能否知足其余特色．(2)多注意察看一些实物模型和图片便于反例清除．[ 活学活用 ]以下对于棱柱的说法：①全部的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，而且各侧棱也平行；④棱柱的侧棱总与底面垂直．此中正确说法的序号是________．分析：①错误，棱柱的底面不必定是平行四边形；②错误，棱柱的底面能够是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；.④错误，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不与底面垂直．所以说法正确的序号是③答案：③棱锥、棱台的构造特色[ 典例] (1)以下三种表达，正确的有( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相像，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面相互平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A． 0个B． 1个C． 2个 D ．3个(2)以下说法正确的有________个．①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．②正棱锥的侧面是等边三角形．③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．[分析 ] (1) 此题考察棱台的构造特色．①中的平面不必定平行于底面，故①错；②③可用如图的反例查验，故②③不正确．应选 A.(2)①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共极点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．而“其余各面都是三角形” 其实不等价于“ 其余各面都是有一个公共极点的三角形的．以下图的几何体知足此说法，但它不是棱锥，原因是△”，故此说法是错误ADE和△ BCF无公共极点．②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不必定是等边三角形．③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不必定是正三棱锥．以下图的三棱锥中有AB＝ AD ＝ BD ＝BC＝CD .知足底面△BCD 为等边三角形．三个侧面△ABD ，△ ABC，△ ACD 都是等腰三角形，但 AC 长度不必定，三个侧面不必定全等．[答案 ] (1)A (2)0判断棱锥、棱台形状的 2 个方法(1)举反例法：联合棱锥、棱台的定义举反例直接判断对于棱锥、棱台构造特色的某些说法不正确．(2)直接法：定底面看侧棱棱锥只有一个面是多边形，此面即为底面订交于一点棱台两个相互平行的面，即为底面延伸后订交于一点[ 活学活用 ]用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )A．四边形B．三角形C．三角形或四边形 D ．不行能为四边形分析：选C 假如截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，假如截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．多面体的平面睁开图问题[ 典例 ]如图是三个几何体的侧面睁开图，请问各是什么几何体？[解 ]由几何体的侧面睁开图的特色，联合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面睁开图还原为原几何体，以下图．所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．(1)解答此类问题要联合多面体的构造特色发挥空间想象能力和着手能力．(2)若给出多面体画其睁开图时，经常给多面体的极点标上字母，先把多面体的底面画出来，而后挨次画出各侧面．(3)假如给出表面睁开图，则可把上述程序逆推．[ 活学活用 ]以下四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，此中能够沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是()分析：选 C将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个能够围成正方体．层级一学业水平达标1．下边的几何体中是棱柱的有()A． 3个B． 4个C． 5个 D ．6个分析：选 C棱柱有三个特色：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；互平行．此题所给几何体中⑥⑦不切合棱柱的三个特色，而①②③④⑤切合，应选2．下边图形中，为棱锥的是() (3) 侧棱相C.A．①③B．①③④C．①②④ D ．①②分析：选 C依据棱锥的定义和构造特色能够判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．应选 C.3．以下图形中，是棱台的是()分析：选 C由棱台的定义知， A 、D 的侧棱延伸线不交于一点，所以不是棱台；个面不平行，不是棱台，只有 C 切合棱台的定义，应选 C.4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥必定不是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥 D ．六棱锥分析：选 D由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为是六棱锥，由于6× 60°＝ 360°，所以极点会在底面上，所以不是六棱锥．B 中两60°，假如5．以下图形中，不可以折成三棱柱的是()分析：选 C C 中，两个底面均在上边，所以不可以折成三棱柱，其余均能折为三棱柱．6．四棱柱有 ________条侧棱， ________个极点．分析：四棱柱有 4 条侧棱， 8 个极点 (能够联合正方体察看求得)．答案：487．一个棱台起码有________个面，面数最少的棱台有________个极点，有 ________条棱．分析：面数最少的棱台是三棱台，共有 5 个面， 6 个极点， 9 条棱．答案：5 698．一棱柱有 10个极点，其全部的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.分析：该棱柱为五棱柱，共有 5 条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.答案： 129．依据以下对于空间几何体的描绘，说出几何体的名称：(1)由 6个平行四边形围成的几何体；(2)由 7个面围成的几何体，此中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共极点的三角形；(3)由 5个面围成的几何体，此中上、下两个面是相像三角形，其余3个面都是梯形，而且这些梯形的腰延伸后能订交于一点．解： (1) 这是一个上、下底面是平行四边形， 4 个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥．(3)这是一个三棱台．10.以下图是一个三棱台ABC-A′ B′ C′，试用两个平面把这个三棱台分红三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：过 A′， B， C 三点作一个平面，再过 A′， B， C′作一个平面，就把三棱台ABC-A′B′C′分红三部分，形成的三个三棱锥分别是 A′-ABC，B-A′B′C′，A′ -BCC′ .(答案不独一 )层级二应试能力达标1．对于空间几何体的构造特色，以下说法不正确的选项是()A．棱柱的侧棱长都相等B．四棱锥有五个极点C．三棱台的上、下底面是相像三角形D．有的棱台的侧棱长都相等分析：选 B依据棱锥极点的定义可知，四棱锥仅有一个极点．应选 B.2．以下说法正确的选项是()A．棱柱的底面必定是平行四边形B．棱锥的底面必定是三角形C．棱锥被平面分红的两部分不行能都是棱锥D．棱柱被平面分红的两部分可能都是棱柱分析：选 D棱柱与棱锥的底面能够是随意多边形，A、B 不正确．过棱锥的极点的纵截面能够把棱锥分红两个棱锥， C 不正确．3．以下图形经过折叠能够围成一个棱柱的是()分析：选 D A、 B、 C 中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不可以围成棱柱．应选D.4．棱台不拥有的性质是()A．两底面相像B．侧面都是梯形C．侧棱都相等 D ．侧棱延伸后都订交于一点分析：选 C只有正棱台才拥有侧棱都相等的性质．5.一个无盖的正方体盒子的平面睁开图如图， A， B， C是睁开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ ABC＝ ________.分析：将平面图形翻折，折成空间图形，可得∠ ABC ＝ 60° .答案： 60°6．在正方体上随意选择4个极点，它们可能是以下各样几何体的4个极点，这些几何体是 ________． (写出全部正确结论的编号 ) ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四周体；④每个面都是等边三角形的四周体；⑤每个面都是直角三角形的四周体．分析：在正方体ABCD -A1B1C1D1上随意选择 4 个极点，它们可能是以下各样几何体的 4 个极点，这些几何体是：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四周体，如A-A1BD ；④每个面都是等边三角形的四周体，如A-CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四周体，如A-A1DC，故填①③④⑤.答案：①③④⑤7.如图在正方形 ABCD 中， E ， F 分别为 AB ， BC 的中点，沿图中虚线将 3个三角形折起，使点 A ， B ，C 重合，重合后记为点 P.问： (1) 折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为 2a ，则每个面的三角形面积为多少？ 解： (1) 如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △ PEF ＝1a 2，S △ DPF ＝ S △ DPE ＝ 1× 2a ×a ＝ a 2，2 23 2S△DEF＝2a .8.如图，已知长方体 ABCD -A 1 B 1C 1D 1.(1)这个长方体是棱柱吗？假如是，是几棱柱？为何？(2)用平面 BCEF 把这个长方体分红两部分，各部分几何体的形状是什么？解： (1) 是棱柱．是四棱柱．由于长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形 (四边形 )，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，切合棱柱的构造特色，所以是棱柱．(2)各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB 1F -CC 1E 和棱柱 ABFA 1-DCED 1.第二课时 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的构造特色预习课本 P5～7，思虑并达成以下问题1．常有的旋转体有哪些？是如何形成的？2．这些旋转体有哪些构造特色？它们之间有什么关系？它们的侧面睁开图和轴截面分别是什么图形？[新知初探 ]1．圆柱、圆锥、圆台、球分类定义图形及表示表示以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的我们用表示圆圆轴；柱轴的字母表垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做示圆柱，左图柱圆柱的底面；平行于轴的边旋转而可表示为圆柱成的曲面叫做圆柱的侧面；不论旋OO′转到什么地点，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线我们用表示圆以直角三角形的一条直角边所在直锥轴的字母表圆锥线为旋转轴，其余两边旋转形成的示圆锥，左图面所围成的旋转体叫做圆锥可表示为圆锥SO我们用表示圆用平行于圆锥底面的平面去截圆锥台轴的字母表圆台示圆台，左图，底面与截面之间的部分叫做圆台可表示为圆台OO′以半圆的直径所在直线为旋转轴，球常用球心字半圆面旋转一周形成的旋转体叫做母进行表示，球球体，简称球．半圆的圆心叫做球左图可表示为的球心，半圆的半径叫做球的半径球 O ，半圆的直径叫做球的直径[ 点睛 ]球与球面是完整不一样的两个观点，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．2．简单组合体(1)观点：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)构成形式：有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．[点睛 ]要描绘简单几何体的构造特色，重点是认真察看组合体的构成，联合柱、锥、台、球的构造特色，对原组合体进行切割．[小试身手 ]1．判断以下命题能否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直角三角形绕一边所在直线旋转获得的旋转体是圆锥()(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱()(3)圆锥截去一个小圆锥后节余部分是圆台()(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球()答案：(1)×(2) ×(3)√(4) ×2．圆锥的母线有( )A． 1条B． 2条C． 3条 D ．无数条答案： D3.右图是由哪个平面图形旋转获得的()分析：选 A 图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由 A 中图形绕图中虚线旋转360°获得．旋转体的构造特色] [典例给出以下说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2) 经过圆柱随意两条母线的截面是一个矩形面；(3) 圆台的随意两条母线的延伸线可能订交，也可能不订交；(4) 夹在圆柱的两个截面间的几何体________．仍是一个旋转体．此中说法正确的选项是[分析 ](1) 正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，以下图，经过圆柱随意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延伸订交于一点；(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．[答案 ] (1)(2)1．判断简单旋转体构造特色的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成；(2)明确旋转轴是哪条直线．2．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等表现简单旋转体构造特色的重点量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题表现了化空间图形为平面图形的转变思想．[活学活用]给出以下说法：①球的半径是球面上随意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上随意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，获得的截面能够是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．此中正确说法的序号是________．分析：依据球的定义知，①正确；②不正确，由于球的直径必过球心；③不正确，由于球的任何截面都是圆；④正确．答案：①④简单组合体[典例] 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包含() A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆台、一个圆柱 D ．一个圆柱、两个圆锥[分析 ]图1是一个等腰梯形，CD 为较长的底边．以CD 边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图 2 包含一个圆柱、两个圆锥．[答案] D解决简单组合体的构造特色有关问题，第一要娴熟掌握各种几何体的特色，其次要有一定的空间想象能力．[ 活学活用 ]1.以下图的简单组合体的构成是( )A．棱柱、棱台B．棱柱、棱锥C．棱锥、棱台 D ．棱柱、棱柱分析：选 B由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成．2.如图， AB为圆弧 BC所在圆的直径，∠BAC＝ 45° .将这个平面图形绕直线AB旋转一周，获得一个组合体，试说明这个组合体的构造特色．解：以下图，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．圆柱、圆锥、圆台侧面睁开图的应用[ 典例 ] 以下图，已知圆柱的高为 80 cm，底面半径为 10cm，轴截面上有 P，Q两点，且 PA＝ 40 cm， B1Q＝ 30cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到 Q点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？[解 ] 将圆柱侧面沿母线AA1睁开，得以下图矩形．1∴A1B1＝2· 2rπ＝πr＝ 10π (cm)．过点 Q 作 QS⊥ AA1于点 S，在 Rt△ PQS 中， PS＝ 80－ 40－ 30＝ 10(cm) ，QS＝ A1 B1＝ 10π(cm)．∴ PQ＝2 2＝ 102．PS ＋QS π＋ 1(cm)2即蚂蚁爬过的最短路径长是10π＋ 1 cm.求几何体表面上两点间的最小距离的步骤(1)将几何体沿着某棱(母线 )剪开后睁开，画出其侧面睁开图；(2)将所求曲线问题转变为平面上的线段问题；(3)联合已知条件求得结果．[活学活用 ]如图，一只蚂蚁沿着长AB＝ 7，宽 BC＝ 5，高 CD ＝ 5的长方体木箱表面的A点爬到 D 点，则它爬过的最短行程为________．解：蚂蚁去过的行程可按两种情况计算，其相应睁开图有 2 种情况如图，在图 1 中 AD ＝AC2＋CD2＝122＋ 52＝ 13，在图 2 中 AD ＝AB2＋BD2＝72＋ 102＝149，∵149<13，∴蚂蚁爬过的最短行程为149.层级一学业水平达标1．以下图的图形中有()A．圆柱、圆锥、圆台和球B．圆柱、球和圆锥C．球、圆柱和圆台 D ．棱柱、棱锥、圆锥和球分析：选 B 依据题中图形可知， (1)是球， (2)是圆柱， (3)是圆锥， (4)不是圆台，故应选B.2．以下命题中正确的选项是 ( )A．将正方形旋转不行能形成圆柱B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．经过圆台侧面上一点，有无数条母线分析：选 C 将正方形绕其一边所在直线旋转能够形成圆柱，所以 A 错误； B 中一定以垂直于底边的腰为轴旋转才能获得圆台，所以 B 错误；经过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以 D 错误，应选 C.3．截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体必定是( )A．圆柱B．圆锥C．球 D ．圆台分析：选 C 由球的定义知选 C.4．将边长为 1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周长是 ()A． 4πB． 8πC． 2π D ．π分析：选 C 边长为 1 的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，获得的几何体是底面半径为 1 的圆，其周长为2π·1＝2π.5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥 D ．一个圆锥和一个圆台答案：C6．正方形 ABCD 绕对角线 AC所在直线旋转一周所得组合体的构造特色是________．分析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．答案：两个同底的圆锥组合体7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶ 4，截去小圆锥的母线长为 3 cm，则圆台的母线长为 ________ cm.分析：以下图，设圆台的母线长为x cm，截得的圆台的上、下底半径分别为r cm,4r cm，依据三角形相像的性质，得 3 ＝r ，解得 x＝ 9.＋4r3 x答案： 98．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．答案：圆柱9.如图，在△ ABC中，∠ ABC＝ 120°，它绕 AB边所在直线旋转一周后形成的几何体结构如何？解：旋转后的几何体构造以下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥．10．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体构成的．解： (1) 几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为极点的圆锥拼接而成．层级二应试能力达标1．以下结论正确的选项是( )A ．用一个平面去截圆锥，获得一个圆锥和一个圆台B ．经过球面上不一样的两点只好作一个最大的圆C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥D ．圆锥的极点与底面圆周上的随意一点的连线都是母线分析： 选 D 须用平行于圆锥底面的平面截才能获得圆锥和圆台，故不一样的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故A 错误；若球面上B 错误；正六棱锥的侧棱长必定要大于底面边长，故C 错误．应选 D.2．以下图的几何体，对于其构造特色，以下说法不正确的选项是()A ．该几何体是由 2个同底的四棱锥构成的几何体B ．该几何体有 12条棱、 6个极点C ．该几何体有 8个面，而且各面均为三角形D ．该几何体有 9个面，此中一个面是四边形，其余各面均为三角形 分析：选 D该几何体用平面 ABCD 可切割成两个四棱锥，所以它是这两个四棱锥的组合体，因此四边形 ABCD 是它的一个截面而不是一个面．故D 说法不正确．3．用一张长为 8，宽为 4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是 ()A ． 2B ． 2π C.2或4π πD. 或π π2 4分析：选 C 以下图，设底面半径为r ，若矩形的长 8 恰巧为卷成圆柱底面的周长，则π＝ ，所以 r ＝ 4；同理，若矩形的宽 4 恰巧为卷成圆柱的底面周长，则2πr ＝4，所以 r ＝ 22 r 8π .π 所以选 C.4.以下图的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为极点的 圆锥而获得的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．①⑤分析：选 D一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除掉一条边，圆锥的轮廓是三角形除掉一条边或抛物线的一部分，应选 D.5．用一个平面去截几何体，假如截面是三角形，那么这个几何体可能是下边哪几种：_ _______(填序号 )．①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球．分析：可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥．答案：①②③⑤6．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12πcm，以下图，则该地球仪的半径是________cm.分析：以下图，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小圆的半径r＝ 6，此中∠ ABO ＝ 30°，6所以该地球仪的半径R＝＝4 3 cm.cos 30 °答案：4 37．圆台的母线长为 2a，母线与轴的夹角为 30°，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和．解：设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r.将圆台复原为圆锥，如图，则有∠ABO ＝30°.在 Rt△ BO′ A′中，r＝ sin 30°，BA′∴ BA′＝2r.在 Rt△ BOA 中，2r＝ sin 30°，∴ BA＝ 4r. BA又 BA－ BA′＝ AA′，即 4r－2r＝ 2a，∴ r＝ a.∴ S＝πr2＋π(2r)2＝ 5πr2＝ 5πa2 .∴圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为 5πa2.8．圆锥底面半径为1cm，高为 2 cm，此中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．解：圆锥的轴截面SEF 、正方体对角面ACC1A1如图．设正方体的棱长为 x cm，则 AA1＝ x cm， A1C1＝2x cm.。
高中数学必修二导学案：第一章空间几何体复习
第一章空间几何体复习三维目标1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；2. 能画出简单空间几何体的三视图，能识别三视图所表示的立体模型；3. 了解球、柱体、锥体与台体的表面积和体积的计算公式.能用这些公式解决简单实际问题. ________________________________________________________________________________ 目标三导 学做思1问题1. 请做以下基础练习（1）充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是()（2）如图，在正四面体A －BCD 中， E 、F 、G 分别是三角形ADC 、ABD 、BCD 的中心，则△EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是（ C ）A ．①③B ．②③④C ．③④D ．②④*(3)如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则圆台的侧面积为( ) A ．81π B ．100π C ．14π D ．169π① ② ③ ④A BCD∙∙∙EF G问题2. 请梳理本章的知识结构.【学做思2】1.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，两条侧棱长为132，则第三条侧棱长的取值范围是________．2．―个几何体的三视图如图所示 (单位:m ),则该几何体的体积为______3m .*3．长方体1111A B C D ABCD 内接于底面半径为1，高为1的圆柱内，如图，设矩形ABCD 的面积为S ，长方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 的体积为V ，设矩形ABCD 的一边长AB ＝x . (1)将S 表达为x 的函数； (2)求V 的最大值． 达标检测1.已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2cmB ．3cmC ．2.5cmD ．5cm2.一个几何体的三视图如图(2)所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．3．圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球如图(3)所示，则球的半径是________cm.*4．已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，如图所示，则CP ＋P A 1的最小值为_____．(3)。
高中数学必修二《空间几何体》1.1第1课时导学案设计(含答案)
第 1 课时棱柱、棱锥、棱台的结构特色[ 学习目标 ] 1.经过对实物模型的察看，概括认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特色 .2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特色来判断、描绘现实生活中的实物模型.知识点一空间几何体1.看法：假如只考虑物体的形状和大小，而不考虑其余要素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.2.多面体与旋转体类型定义图示多面体由若干个平面多边形围成的几何体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形旋转体成的关闭几何体，此中定直线叫做旋转体的轴知识点二棱柱、棱锥、棱台的结构特色多面体定义图形及表示有关看法有两个面相互平底面 (底 )：两个相互平行棱柱行，其余各面都是的面 .四边形，而且每相侧面：其余各面 .分类按底面多边形的边数分：三棱柱、邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共极点的棱锥三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 .用一个平行于棱锥底面的平面去截棱棱台锥，底面与截面之间的部分叫做棱台. 如图可记作：棱柱ABCDEF - A′B′C′ D′ E′ F′如图可记作，棱锥S- ABCD如图可记作：棱台ABCD - A′ B′ C′D′侧棱：相邻侧面的公共边.四棱极点：侧面与底面的公共柱、极点 .底面 (底 )：多边形面 . 按底面多边侧面：有公共极点的各个形的边数三角形面 . 分：三棱锥、侧棱：相邻侧面的公共边 . 四棱极点：各侧面的公共极点 . 锥、上底面：原棱锥的截面 .由三棱锥、四棱锥、五下底面：原棱锥的底面 .棱锥截得侧面：其余各面 .的棱台分别侧棱：相邻侧面的公共边 . 叫做三棱极点：侧面与上 ( 下 )底面台、四棱台、的公共极点 .五棱台思虑(1)棱柱的侧面必定是平行四边形吗？(2)棱台的上下底面相互平行，各侧棱延伸线必定订交于一点吗？答(1) 依据棱柱的看法侧棱平行、底面平行可知，棱柱的侧面必定是平行四边形.(2) 依据棱台的定义可知其侧棱延伸线必定交于一点.题型一棱柱的结构特色例 1以下说法中，正确的选项是()A.棱柱中全部的侧棱都订交于一点B.棱柱中相互平行的两个面叫做棱柱的底面C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形答案 D分析 A 选项不切合棱柱的特色； B 选项中，如图①，结构四棱柱 ABCD － A1 B1 C1D 1，令四边形ABCD 是梯形，可知平面 ABB1A1∥平面 DCC1D1，但这两个面不可以作为棱柱的底面； C选项中，如图②，底面 ABCD 能够是平行四边形； D 选项是棱柱的特色.应选 D.反省与感悟棱柱的结构特色：(1)两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)每相邻两个四边形的公共边相互平行.求解时，第一看能否有两个平行的面作为底面，再看能否知足其余特色.)追踪训练 1 以下对于棱柱的说法错误的是 (．．A.全部的棱柱两个底面都平行B.全部的棱柱必定有两个面相互平行，其余各面每相邻面的公共边相互平行C.有两个面相互平行，其余各面都是四边形的几何体必定是棱柱D.棱柱起码有五个面答案 C分析对于 A 、B 、D，明显是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，而且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，明显题中遗漏了“ 而且每相邻两.以下图的个四边形的公共边都相互平行” 这一条件，所以所围成的几何体不必定是棱柱几何体就不是棱柱，所以C错误.题型二棱锥、棱台的结构特色例 2 以下对于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面必定不会是平行四边形；②由四个平面围成的关闭图形只好是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不行能都是棱锥.此中正确说法的序号是________.答案①②分析① 正确，棱台的侧面必定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的关闭图形只好是三棱锥；③错误，以下图四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.反省与感悟判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：联合棱锥、棱台的定义举反例直接判断对于棱锥、棱台结构特色的某些说法不正确.(2)直接法：定底面看侧棱棱锥只有一个面是多边形，此面即为底面订交于一点棱台两个相互平行的面，即为底面延伸后订交于一点追踪训练2以下说法中，正确的选项是()①棱锥的各个侧面都是三角形；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；③四周体的任何一个面都能够作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等.A. ①②B. ①③C.②③D.②④答案 B分析由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故① 正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，假如这些三角形没有一个公共极点，那么这个几何体就不是棱锥，故② 错；四周体就是由四个三角形所围成的几何体，所以四周体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长能够相等，也能够不相等，故④ 错.题型三多面体的表面睁开图例 3画出以下图的几何体的表面睁开图.解表面睁开图以下图：反省与感悟多面体表面睁开图问题的解题策略：(1)绘制睁开图：绘制多面体的表面睁开图要联合多面体的几何特色，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型 .在解题过程中，经常给多面体的极点标上字母，先把多面体的底面画出来，而后挨次画出各侧面，即可获得其表面睁开图.(2)已知睁开图：假如给出多面体的表面睁开图，来判断是由哪一个多面体睁开的，则可把上述过程逆推 .同一个几何体的表面睁开图可能是不同样的，也就是说，一个多面体可有多个表面睁开图 .追踪训练3如图是三个几何体的侧面睁开图，请问各是什么几何体？解由几何体的侧面睁开图的特色，联合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面睁开图复原为原几何体，以下图：所以 (1) 为五棱柱； (2) 为五棱锥； (3)为三棱台 .截面周长最小问题例 4 以下图，在侧棱长为 2 3的正三棱锥 V－ ABC 中，∠ AVB＝∠ BVC＝∠ CVA＝ 40°，过点 A 作截面 AEF 分别交 VB， VC 于点 E， F，求截面△ AEF 周长的最小值 .剖析将正三棱锥沿侧棱VA睁开→求截面周长转变为求线段长→利用正三棱锥的性质求解解将三棱锥 V－ABC 沿侧棱 VA 剪开，将其侧面睁开图平铺在一个平面上，以下图，则△ AEF 的周长＝ AE＋ EF ＋ FA1 .因为 AE＋ EF＋ FA1≥AA1，所以线段 AA 1(即 A， E， F， A1四点共线时 )的长即为所求△ AEF 周长的最小值 .作 VD ⊥ AA 1，垂足为点 D . 由 VA ＝ VA 1，知 D 为 AA 1 的中点 .由已知 ∠ AVB ＝∠ BVC ＝ ∠CVA 1＝ 40°，得∠ AVD ＝ 60°.在 Rt △ AVD 中， AD ＝ VAsin 60 ＝°2 3× 23＝ 3，即 AA 1＝ 2AD ＝ 6.所以截面 △AEF 周长的最小值是6.解后反省求几何体表面上两点间的最小距离的步骤(1) 将几何体沿着某棱剪开后睁开，画出其侧面睁开图；(2) 将所求曲线问题转变为平面上的线段问题；(3) 联合已知条件求得结果 .1.以下命题中，真命题是 ()A. 极点在底面上的投影究竟面各极点的距离相等的三棱锥是正三棱锥B.底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥C.极点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥D.底面是正三角形，而且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥答案D分析对于选项 A ，到三角形各极点距离相等的点为三角形外心，该三角形不必定为正三角形，故该命题是假命题；对于选项 B ，以下图，△ABC 为正三角形，若PA ＝ PB ＝AB ＝ BC ＝ AC ≠ PC ， △ PAB ，△ PBC ，△PAC 都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故该命题是假命题；对于选项 C ，极点在底面上的投影为底面三角形的垂心，底面为随意三角形皆可， 故该命题是假命题；对于选项 D ，极点在底面上的正投影是底面三角形的外心，又因为底面三角形为正三角形，所之外心即为中心，故该命题是真命题.2.以下三个命题：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相像，其余各面都是菱形的多面体是棱台；③有两个面相互平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.此中，正确的有 ( )A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个答案 A分析① 中的平面不必定平行于底面，故① 错；② 中侧面是菱形，所以侧棱相互平行，延伸后无交点，故②错；③用反例考证 (如图 )，故③错 .3.以下图，不是正四周体(各棱长都相等的三棱锥)的睁开图的是 ()A. ①③B. ②④C.③④D.①②答案 C分析可选择暗影三角形作为底面进行折叠，发现①② 可折成正四周体，③④ 无论选哪一个三角形作底面折叠都不可以折成正四周体.4.以下几何体中，_______是棱柱， _______是棱锥， _______是棱台 (仅填相应序号).答案分析①③④⑥⑤联合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④ 是棱柱，⑥是棱锥，⑤ 是棱台.5.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.答案四棱柱分析因为倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱.1.棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的看法下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系能够用以下图表示出来( 以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).2.(1) 各样棱柱之间的关系①棱柱的分类正棱柱直棱柱棱柱一般的直棱柱斜棱柱②常有的几种四棱柱之间的转变关系(2)棱柱、棱锥、棱台在结构上既有差别又有联系，详细见下表：名称底面侧面侧棱高平行于底面的截面平行且全等的斜棱柱两个多边形平行四边形平行且相等与底面全等棱平行且全等的平行、相等且直棱柱矩形等于侧棱与底面全等柱两个多边形垂直于底面正棱柱平行且全等的全等的矩形平行、相等且等于侧棱与底面全等两个正多边形垂直于底面正棱锥一个正多边形全等的等腰有一个公共过底面中心与底面相像三角形极点且相等棱锥有一个公共其余棱锥一个多边形三角形极点与底面相像正棱台平行且相像的全等的等腰相等且延伸两个正多边形梯形后交于一点与底面相像棱台平行且相像的延伸后交于其余棱台两个多边形梯形一点与底面相像一、选择题1.以下四个命题中，真命题有()①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的直平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④直平行六面体是长方体.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个答案 B分析依据平行六面体的定义，知① 为真命题；依据长方体的定义，知② 为真命题；直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，所以其底面必是平行四边形，而直四棱柱的底面不必定是平行四边形，所以③ 为假命题；同理，长方体是底面为矩形的直平行六面体，所以④为假命题.2.一般棱台不拥有的性质是( )A. 两底面相像C.侧棱都相等B. 侧面都是梯形D. 侧棱延伸后都交于一点答案 C分析当棱台是斜棱台时其侧棱不全相等.3.在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两极点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数为()A.20B.15C.12D.10答案 D分析正五棱柱随意不相邻的两条侧棱可确立一个平面，每个平面可获得正五棱柱的两条对角线，5 个平面共可获得10 条对角线，应选 D.4.某棱台的上、下底面对应边之比为1∶2，则上、下底面面积之比是 ()A.1∶2B.1∶ 4C.2∶ 1D.4∶1答案 B分析因为棱台的上下底面相像，所以上下底面面积之比等于边长比的平方.5.用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得的棱台上、下底面的面积比为1∶ 4，且截去的棱锥的高是 3 m，则棱台的高是 ()A.12 cmB.9 cmC.6 cmD.3 cm答案 D分析由棱锥、棱台的性质可知，棱台的上、下底面相像 .又因为上、下底面的面积比为1∶ 4，所以上、下底面的边长比为1∶ 2，所以截去的小棱锥与原大棱锥的高之比为1∶ 2，则棱台的高是 3 cm.6.某同学制作了一个对面图案同样的正方体礼物盒(如图 )，则这个正方体礼物盒的表面睁开图应当为 ()答案 A分析两个☆不可以并列相邻， B 、 D 错误；两个※不可以并列相邻， C 错误，应选 A. 也可经过实物制作查验来判断 .7.如图，往透明塑料制成的长方体ABCD － A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，跟着倾斜度的不同，有以下三个说法：①水的部分一直呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变；③当 E∈AA1时， AE＋ BF 是定值 .此中，正确的说法是()A. ①②B. ①C.①②③D.①③答案 D分析明显水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故① 正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故② 不正确；因为水的体积不变，四棱柱ABFE －DCGH 的高不变，所以梯形ABFE 的面积不变，所以AE＋ BF 是定值，故③正确 .所以四个命题中①③ 正确.应选D.二、填空题8.如图， M 是棱长为 2 cm 的正方体ABCD - A1B1C1D1的棱 CC1的中点，沿正方体表面从点 A到点 M 的最短行程是________cm.答案13分析由题意，若以 BC 为轴睁开，则 A， M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为 2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以 BB1为轴睁开，则A，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是17 cm. 故沿正方体表面从点 A 到点 M 的最短行程是13 cm.9.以下表达正确的选项是________.( 只填序号 )①四棱锥的四个侧面都能够是直角三角形；②三棱锥的四个面都能够是直角三角形；③用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；④两个底面平行且相像，其余各面都是梯形的多面体是棱台.答案①②分析如图，当四棱锥的底面是一个矩形，而且一条侧棱垂直于底面时，四棱锥的四个侧面就能够都是直角三角形，所以①是正确的；如图，当三棱锥知足侧棱AD ⊥底面 DCB (此中△ BCD 中，∠ BCD 是直角 )时，三棱锥的四个面就都是直角三角形，所以② 是正确的；③中的平面不必定平行于底面，所以③ 是错误的；. 若④ 中多面体的侧棱延伸后不可以交于一点，则相应的多面体就不是棱台，所以④是错误的10.在正方体上随意选择 4 个极点，它们可能是以下各样几何体的 4 个极点，这些几何体是________.( 写出全部正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四周体；④每个面都是等边三角形的四周体；⑤每个面都是直角三角形的四周体.分析在正方体ABCD － A1B1C1D 1上随意选择 4 个极点，它们可能是以下各样几何体的 4 个极点，这些几何体是：①矩形，如四边形ACC 1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四周体，如 A－ A1BD；④每个面都是等边三角形的四周体，如A－CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四周体，如A － A 1DC ，所以填 ①③④⑤ .11.以下图，在三棱锥 S － ABC 中， SA ＝ SB ＝ SC ＝ 1，∠ ASB ＝∠ ASC ＝∠ BSC ＝ 30°，一只蚂蚁从点 A 出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬过的最短行程为 ______.答案2分析 以下图， 将三棱锥 S － ABC 沿 SA 剪开，连结 AA ′ ，则 AA ′ 为最短距离， ∠ ASA ′＝ 90°， SA ＝ SA ′ ＝1， ∴ AA ′ ＝ 2.三、解答题12.如图，在边长为 2a 的正方形 ABCD 中， E ， F 分别为 AB ，BC 的中点，沿图中虚线将 3 个三角形折起，使点 A 、B 、 C 重合，重合后记为点 P.问： (1) 折起后形成的几何体是什么几何体？(2) 这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特色？(3) 每个面的三角形面积为多少？解 (1) 如图，折起后的几何体是三棱锥 .(2) 这个几何体共有 4 个面，此中 △ DEF 为等腰三角形， △ PEF 为等腰直角三角形， △ DPE和△ DPF 均为直角三角形 .1 2 (3) S △PEF ＝ 2a， 12S △ DPF ＝ S △ DPE ＝ × 2a ×a ＝ a ，21S △ DEF ＝ S 正方形 ABCD －S △ PEF － S △ DPF － S △ DPE ＝ (2a) － 2a2 2 23 2－a －a ＝ a .213.长方体 ABCD - A1B1C1D 1(以下图 )中， AB＝ 3，BC＝ 4， A1A＝ 5，现有一甲壳虫从 A 出发沿长方体表面爬行到C1来获得食品，试画出它的最短爬行路线，并求其行程的最小值.解把长方体的部分面睁开，以下图.对甲、乙、丙三种睁开牟利用勾股定理可得AC1的长分别为 90、 74、 80，因而可知乙是最短线路，所以甲壳虫能够先在长方形ABB1A1内由 A 到 E，再在长方形 BCC 1B1内由 E 到 C1，也能够先在长方形AA1D1D 内由 A 到 F，再在长方形 DCC 1D1内由 F 到 C1，其最短行程为74.倚窗远眺，眼光眼光尽处必有一座山，那隐隐约约的黛绿色的影，是春季的颜色。
整理高二数学导学案(空间几何体的直观图)
课题空间几何体的直观图整理表姓名:职业工种:申请级别:受理机构:填报日期:A4打印/ 修订/ 内容可编辑课题：空间几何体的直观图高一数学组李莉一、教学目标1.学生掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图后,并会利用斜二测画法画简单几何体的直观图。
2.学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。
2．由特殊到一般,由具体到抽象,学生可通过亲自动手实践中, 提高空间想象力与直观感受, 感受几何作图在生产活动中的应用。
二、教学重点、难点用斜二测画法画空间几何值的直观图,并可由三视图作得直观图。
三、教学用具教学用具：引入的模型、三角板、圆规、米尺（学生务必也准备）1.教学设计1．引入：问题1：把一本书正面放置，其视觉效果是一个矩形；把一本书水平放置，其视觉效果还是一个矩形吗？这涉及水平放置的平面图形的画法问题.问题2：对于柱体、锥体、台体及简单的组合体，在平面上应怎样作图才具有强烈的立体感？这涉及空间几何体的直观图的画法问题.1.新课：探究1：水平放置的平面图形的直观图画法比如一个矩形水平放置后（让学生观察实物，如书，切身体会），为了便于观察，我们作上平面直角坐标系。
在作一个坐标系x’o’y’，使得∠x’o’y’=450或1350，x与x’轴位置一样，y与y’轴有所不同，x⊥y轴，∠x’o’y’=450。
平行x轴的仍平行x’轴，且O’A’=OA；平行y轴的仍平行y’轴，但长度仅原来（板书：课题：空间几何体的直观图————斜二测画法）新知1：斜二测画法的规则及步骤如下：例1、用斜二测画法画水平放置正六边形的直观图.探究2：空间几何体的直观图画法新知2：用斜二测画法画空间几何体的直观图时，通常要建立三条轴：轴，轴，轴；它们相交于点，且°，°；空间几何体的底面作图与水平放置的平面图形作法一样，即图形中平行于轴的线段保持长度，平行于轴的线段长度为原来的，但空间几何体的“高”，即平行于轴的线段，保持长度。
人教版高中数学全套教案导学案第一课时 空间几何体的结构及其表面积与体积
第一课时空间几何体的结构及表面积与体积【学习目标】①认识柱，锥，台，球及其简单组合体的结构特征。
②了解柱，锥，台，球的表面积与体积的计算公式【考纲要求】①空间几何体的结构及其表面积与体积的计算公式是A级要求【自主学习】1．棱柱的定义：2．棱锥的定义：3．棱台的定义：4．圆柱的定义：5．圆锥的定义：6 圆台的定义：7 球的定义：[课前热身]1下列不正确的命题的序是 .①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥④有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥2如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是3 若一个球的体积为，则它的表面积为_____________4 一张长宽分别是8cm和6cm的矩形硬纸板，将这硬纸板折成正四棱柱的侧面，则此四棱柱的对角线长为_______________π，母线长为2，则此圆锥的底面半径5 一圆锥的侧面展开图的中心角为23为________________6 一圆锥的轴截面面积等于它的侧面积的1，则其母线与底面所成角的正弦4值为_________________[典型例析]例1 下列结论不正确的是（填序）.①各个面都是三角形的几何体是三棱锥②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线例2如图所示，等腰ABC D的底边AB=，高CD=3.点E是线段BD上异于B,D的动点。
点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PE AE⊥.记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACEF的体积。
[当堂检测]1．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于 .2. 如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中为真命题的是（填序）.①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上3. 如图所示，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是 .（把可能的图的序都填上）4 若正方体的全面积为6，且它的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积=_______________________5已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V= .[学后反思]____________________________________________________ ____________________________________________________________________ _____________________________________________________________。
2018年高中数学第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积知识导航学案新人教A版
1.3 空间几何体的表面积与体积知识梳理1.圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形,圆台的侧面展开图是扇环.2.几何体的表面积是指几何体表面的大小,棱柱、棱锥、棱台的表面积就是求各个面的面积和,圆柱、圆锥、圆台的表面积就是求侧面和底面的面积和.3.设直棱柱的底面周长为C,高为h 则S 直棱柱侧=Ch.4.设正棱锥的底面周长为C,斜高为h′,则S 正棱锥侧=21Ch′. 5.设正棱台的上、下底面的周长分别为C 、C′,斜高为h′,则S 正棱台侧=21(C+C′)h′. 6.设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则圆柱的侧面积S 侧=2πrl,圆柱的表面积S=2πrl+2πr 2.7.设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则圆锥的侧面积S 侧=πrl,圆锥的表面积S=πrl+πr 28.设圆台的上、下底面的半径分别为r 1、r 2,母线长为l,则圆台的侧面积S 侧=π(r 1+r 2)l,圆台31的表面积S=π(r 1+r 2)l+π(r 12+r 22). 9.设柱体的底面积为S,高为h,则V 柱体=Sh;设锥体的底面积为S,高为h,则V 锥体=31Sh;设台体的上、下底面的面积分别为S 上,S 下,高为h,则V 台体=31 (S 上+S 下+下上S S )h. 10.球的表面积和体积都是半径R 的函数,其中S 球面=4πR 2,V 球=34πR 3.知识导学要学好本节内容,可从我们熟悉的长方体、正方体的展开图入手,分析展开图与表面积的关系.表面积是各个面的面积之和,求多面体表面积时,只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形,利用平面图形求面积的方法,求多面体的表面积.求旋转体的表面积时,可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手,将其展开求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系.几何体占有空间部分的大小,叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义,而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间.相同几何体的体积相等,但体积相同的几何体不一定相同.疑难突破1.如何得到台体的体积公式？剖析:如图1-3-1,设台体(棱台或圆台)上、下底面面积分别是S′、S,高是h,设截得台体时去掉的锥体的高是x,则截得这个台体的锥体的高是h+x,则图1-3-1V 台体=V 大锥体-V 小锥体=31S(h+x)-31S′x=31［Sh+(S-S′)x］,而22)(x h x S S +='所以x h x S S +=',于是有x=S S h S '-'代入体积表达式得V 台体=31h ［S+(S-S′)S S S '-'］=31h ［S+S S '′+S′］. 由于台体是由锥体截得的,所以,我们常常采用“还台为锥”的思想方法来研究台体的几何性质,即台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.于棱台,由于截面与截面相似,所以其面积等于对应的平方比,同时也等于截得的棱锥的高与原棱锥高的平方比.可以据此确定相关变量的值,对于圆台,可通过轴截面的一半去研究相关量.种化未知为已知、化生疏为熟悉的思想方法是我们研究几何问题常用的思想方法.台体的体积只与两底面的面积和它的高有关.2.棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式、体积公式有何联系与区别,能否统一？剖析:棱台侧面积公式:c′=0时,棱锥可以看作上底周长为0的棱台.S 上=0时,棱锥可以看作上底面面积为0的棱台;S 下=S 上时,棱柱可以看作上底面等于下底面的棱台.图1-3-2柱体、锥体、台体的侧面积与体积是由柱体、锥体、台体之间的关系决定的,表面积公式思路是立体几何问题转化为平面问题.曲面转化成平面,这是解决立体几何的主要出发点.记忆口诀:要求柱锥台,先把侧面来展开.要解三棱锥,先把勾股关系推.。
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专题01 空间几何体一、学习目标1．进一步认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，并能识别上述 的三视图所表示的立体模型；3.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图；4.了解空间图形的不同表示形式——平行投影与中心投影；5.记住柱、锥、台、球的表面积和体积公式，并会应用。
二、知识梳理1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD 。
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P -。
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等。
表示：用各顶点字母，如五棱台'''''E D C B A P -。
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ； ②侧面是梯形 ； ③侧棱交于原棱锥的顶点。
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分。
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇环。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '21ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13V Sh =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =台'2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π三、典型例题例1：根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．(1)由六个面围成，其中一个面是凸五边形，其余各面是有公共顶点的三角形；(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形； (3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体．【方法规律】根据所给的几何体结构特征的描述，结合所学几何体的结构特征画图或找模型做出判断. 变式练习1.斜四棱柱的侧面是矩形的面最多有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】 C【解析】如图所示，在斜四棱柱AC ′中，若AA ′不垂直于AB ，则DD ′也不垂直于DC ，所以四边形ABB ′A ′和四边形DCC ′D ′就不是矩形，但面AA ′D ′D 和面BB ′C ′C 可以为矩形．故选C.例2.如图，ABCD 是一水平放置的平面图形的斜二测直观图，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，且BC 与y 轴平行，若AB ＝6，CD ＝4，BC ＝22，则该平面图形的实际面积是________．【解析】由斜二测直观图的作图规则知，该平面图形是梯形，且AB 、CD 的长度不变，仍为6和4，高BC ＝42，∴S ＝12(4＋6)×42＝20 2. 【方法规律】直观图→斜二测画法规则→原几何体→面积变式练习2.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是（ ）A ．8 cm 3B ．12 cm 3C.323 cm 3D.403cm 3 【答案】C例3.如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．【解析】在该几何体的上面，再补一个倒立的同样几何体，则构成底面半径为r ，高为a ＋b 的圆柱．∴其体积为12πr 2(a＋b )．【方法规律】当几何体是一个不规则图形，无法直接利用公式来计算其体积，可通过割补法转化为规则的几何体后再利用公式计算．变式练习3.如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a ，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的全面积为( )(1) (2)A ．(1＋22)a 2B ．(2＋2)a 2C ．(3－22)a 2D ．(4＋2)a 2【答案】B【解析】正方体的边长为22a ，新几何体的全面积S ＝2×22a ×a ＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋2×a ×a 2＝(2＋2)a 2. 例4.如图所示，圆台母线AB 长为20 cm ，上、下底面半径分别为5 cm 和10 cm ，从母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到B 点，求这条绳子长度的最小值．【分析】利用圆台的侧面展开图转化到平面图形解决．变式练习4.圆柱的轴截面是边长为5 cm 的正方形ABCD ，从A 到C 圆柱侧面上的最短距离为( )A ．10 cm B.52π2＋4 cm C ．5 2 cm D ．5π2＋1 cm【答案】B【解析】如图所示，沿母线BC 展开，曲面上从A 到C 的最短距离为平面上从A ′到C 的线段的长． ∵AB ＝BC ＝5，∴A ′B ＝AB ＝12×2π×52＝52π.∴A ′C ＝A ′B 2＋BC 2＝254π2＋25＝5π24＋1＝52π2＋4(cm)． 四、课堂练习1.用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是( )【答案】B【解析】D 选项为主视图或侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B 2.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．12B ．23 C ．1 D ．2 【答案】C3.一个横放的圆柱形水桶，桶内的水占底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为_________. 【答案】(π-2):4π【解析】横放时水桶底面在水内的面积为.V 水=,直立时V 水=πR 2x,∴x:h=(π-2):4π4.棱长为2 cm 的正方体容器盛满水，把半径为1 cm 的铜球放入水中刚好被淹没.然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多大？ 【答案】32五、课后练习1.棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( ) A ．a 33 B ．a 34 C ．a 36 D ．a 312【答案】C【解析】连接正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为22a 的正四棱锥组成，正四棱锥的高为a2，则八面体的体积为V ＝2×13×(22a)2·a 2＝a36．故选C.2.如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？( )【答案】D【解析】由俯视图可知该几何体为旋转体，由正视图、侧视图可知该几何体是由圆锥、圆柱组合而成． 3.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面图形的面积为( )A.24a 2B ．22a 2C ．a 2D ．2a 2【答案】B【解析】由直观图还原出原图，如图，在原图中找出对应线段长度进而求出面积． 所以S ＝a ·22a ＝22a 2.4.一块正方形薄铁片的边长为4 cm ，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如右图所示)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于____cm 3. 【答案】153π5.一个几何体的三视图(单位：m)如图1316所示，则该几何体的体积为________m 3.【答案】9π＋18【解析】由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1， 所以V ＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323×2＋1×3×6＝9π＋18.6.圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，则圆锥的表面积是________. 【答案】169π7.如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，过顶点B ，D ，A 1截下一个三棱锥．(1)求剩余部分的体积； (2)求三棱锥A A 1BD 的高. 【答案】(1).56a 3. (2).33a .【解析】(1)V 三棱锥A 1ABD ＝13S △ABD ·A 1A ＝13×12·AB ·AD ·A 1A ＝16a 3.故剩余部分的体积V ＝V 正方体－V 三棱锥A 1ABD ＝a 3－16a 3＝56a 3.(2)由(1)知V 三棱锥A A 1BD ＝V 三棱锥A 1ABD ＝16a 3，设三棱锥A A 1BD 的高为h ，则V 三棱锥A A 1BD ＝13·S △A 1BD ·h ＝13×12×32(2a )2h ＝36a 2h ，故36a 2h ＝16a 3，解得h ＝33a . 8.如图所示，有一块扇形铁皮OAB ，∠AOB ＝60°，OA ＝72 cm ，要剪下来一个扇形环ABCD ，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．试求：(1)AD 应取多长？(2)容器的容积．【答案】（1）36 cm；（2）50435πcm3．。