2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业28

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2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业10

课时作业(十)1．(2012·安徽)(log 29)·(log 34)＝( )A.14 B.12 C ．2 D ．4答案 D解析原式＝(log 232)·(log 322)＝4(log 23)·(log 32)＝4·lg3lg2·lg2lg3＝4. 2．log 2sin π12＋log 2cos π12的值为( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2答案 C解析 log 2sin π12＋log 2cos π12＝log 2(sin π12cos π12)＝log 212sin π6＝log 214＝－2，故选C.3．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a 0，a >b ，a －c ＝ln x (1－ln 2x )<0，a <c ，因此有b <a <c ，选C.4．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a答案 A解析 ∵a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，∴a ＞b ，又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1，∴b ＞c ，故a ＞b ＞c ，选A.5．0＜a ＜1，不等式1log a x ＞1的解是( )A ．x ＞aB ．a ＜x ＜1C ．x ＞1D ．0＜x ＜a答案 B解析易得0＜log a x ＜1，∴a ＜x ＜1.6．(2011·安徽)若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( )A ．(1a ，b )B ．(10a,1－b )C ．(10a ，b ＋1) D ．(a 2,2b )答案 D解析当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图像上． 7．若log a (π－3)<log b (π－3)<0，a 、b 是不等于1的正数，则下列不等式中正确的是( )A ．b >a >1B ．a b >1D ．b <a <1答案 A解析 ∵0<π－3<1，log a (π－3)<log b (π－3)<0，∴a ，b ∈(1，＋∞)，且b >a ，∴选A.8．当0<x <1时，下列不等式成立的是( )A ．(12)x ＋1>(12)1－xB ．log (1＋x )(1－x )>1C ．0<1－x 2<1D ．log (1－x )(1＋x )>0答案 C解析方法一考察答案A ：∵0<x <1，∴x ＋1>1－x .∴(12)x ＋1<(12)1－x ，故A 不正确；考察答案B ：∵0<x <1，∴1＋x >1,0<1－x <1. ∴log (1＋x )(1－x )<0，故B 不正确；考察答案C ：∵0<x <1，∴0<x 2<1，∴0<1－x 2<1，故C 正确；考察答案D：∵0<1－x<1,1＋x>1.∴log(1－x)(1＋x)<0.故D不正确．方法二(特值法)取x＝12，验证立得答案C.9．若0<a<1，在区间(0,1)上函数f(x)＝log a(x＋1)是() A．增函数且f(x)>0 B．增函数且f(x)<0C．减函数且f(x)>0 D．减函数且f(x)<0答案 D解析∵0<a<1时，y＝log a u为减函数，又u＝x＋1增函数，∴f(x)为减函数；又0<x<1时，x＋1>1，又0<a<1，∴f(x)<0.选D.10．函数y＝f(x)的图像如下图所示，则函数y＝log12f(x)的图像大致是()答案 C解析由y＝f(x)的图像可知，y＝f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，根据复合函数的单调性法则可知，y＝log12f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故选C.11．(2012·上海文)方程4x－2x＋1－3＝0的解是________．答案log23解析原方程可化为(2x)2－2(2x)－3＝0，解得2x＝3或2x＝－1，∵2x>0，∴2x＝3，∴x＝log23.故答案为log23.12．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，则实数a 的取值范围是__________．答案 (12，1)解析 ∵a 2＋1＞1, log a (a 2＋1)＜0，∴0＜a ＜1. 又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，∴a ＞12. ∴实数a 的取值范围是(12，1)．13．若正整数m 满足10m －1＜2512＜10m ，则m ＝__________.(lg2≈0.301 0) 答案 155解析由10m －1＜2512＜10m ，得m －1＜512lg2＜m ，∴m －1＜154.12＜m . ∴m ＝155.14．若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a ＝________.答案 2解析 f (x )＝log a (x ＋1)的定义域是[0,1]，∴0≤x ≤1，则1≤x ＋1≤2. 当a >1时，0＝log a 1≤log a (x ＋1)≤log a 2＝1，∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2≤log a (x ＋1)≤log a 1＝0，与值域是[0,1]矛盾．综上，a ＝2.15．作为对数运算法则：lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b (a >0，b >0)是不正确的．但对一些特殊值是成立的，例如：lg(2＋2)＝lg2＋lg2.那么，对于所有使lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b (a >0，b >0)成立的a ，b 应满足函数a ＝f (b )表达式为________．答案 a ＝bb －1(b >1) 解析 lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，∴a ＋b ＝ab ，∴a (b －1)＝b . ∴a ＝bb －1(b >1)．16.已知函数y ＝log 2(x 2－ax －a )的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－4]∪[0，＋∞)解析要使f (x )＝x 2－ax －a 的值能取遍一切正实数，应有Δ＝a 2＋4a ≥0，解之得a ≥0或a ≤－4，即a 的取值范围为(－∞，－4]∪[0，＋∞)．17．设a ，b ∈R ，且a ≠2，若奇函数f (x )＝lg 1＋ax 1＋2x 在区间(－b ，b )上有定义．(1)求a 的值； (2)求b 的取值范围．解析 (1)f (－x )＝－f (x )，即lg 1－ax 1－2x ＝－lg 1＋ax 1＋2x ，即1－ax 1－2x ＝1＋2x 1＋ax ，整理得1－a 2x 2＝1－4x 2. ∴a ＝±2，又a ≠2，∴a ＝－2.(2)f (x )＝lg 1－2x 1＋2x的定义域是(－12，12)，∴0f (1)，且log 2f (x )<f (1)．解析 (1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ， ∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b .由已知(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a (log 2a －1)＝0. ∵a ≠1，∴log 2a ＝1，∴a ＝2. 又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝4－a 2＋a ＝2.故f (x )＝x 2－x ＋2. 从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝(log 2x －12)2＋74. ∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意⎩⎨⎧(log 2x )2－log 2x ＋2>2，log 2(x 2－x ＋2)<2⇒⎧x>2或0<x<1，－1<x<2⇒0<x<1.⎩⎨。

2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业25

课时作业(二十五)1．f (x )＝(1－3tan x )cos x ＋2的最小正周期为 ( )A ．2π B.3π2 C ．π D.π2答案 A解析 f (x )＝(1－3sin xcos x )cos x ＋2 ＝cos x －3sin x ＋2＝2cos(x ＋π3)＋2， ∴T ＝2π.2．函数y ＝2cos 2x 的一个单调增区间是 ( )A ．(－π4，π4) B ．(0，π2) C ．(π4，3π4) D ．(π2，π)答案 D解析 y ＝2cos 2x ＝1＋cos2x ， ∴递增区间为2k π＋π≤2x ≤2k π＋2π. ∴k π＋π2≤x ≤k π＋π. ∴k ＝0时，π2≤x ≤π.选D.3．(2013·西城区期末)下列函数中，即为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )A ．y ＝tan|x |B ．y ＝cos(－x )C ．y ＝sin(x －π2)D ．y ＝－cos2x 答案 C4．(2013·衡水调研卷)已知f (x )＝sin 2(x ＋π4)．若a ＝f (lg5)，b ＝f (lg 15)，则( ) A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1答案 C解析利用降幂公式化简f (x )，再利用对数的性质计算a ＋b 或a －b .因为f (x )＝sin 2(x ＋π4)＝1－cos (2x ＋π2)2＝1＋sin2x 2，令lg5＝t ，则lg 15＝－t ，所以a ＝f (lg5)＝1＋sin2t 2，b ＝f (lg 15)＝1－sin2t2，所以a ＋b ＝1，故应选C.5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在x ＝π4处取得最小值，则( ) A ．f (x ＋π4)一定是偶函数 B ．f (x ＋π4)一定是奇函数 C ．f (x －π4)一定是偶函数 D ．f (x －π4)一定是奇函数答案 A解析 f (x ＋π4)是f (x )向左平移π4个单位得到的，f (x )图像关于x ＝π4对称，则f (x ＋π4)图像关于x ＝0对称，故f (x ＋π4)为偶函数．6．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈[－π2，0)时，f (x )＝sin x ，则f (－5π3)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 D解析据题意，由函数的周期性及奇偶性知：f (－5π3)＝f (－5π3＋2π)＝f (π3)＝－f (－π3)＝－sin(－π3)＝32.7．函数y ＝－x cos x 的部分图像是( )答案 D解析方法一由函数y ＝－x cos x 是奇函数，知图像关于原点对称．又由当x ∈[0，π2]时，cos x ≥0，有－x cos x ≤0. 当x ∈[－π2，0]时，cos x ≥0，有－x cos x ≥0.∴应选D. 方法二特殊值法，由f (±π2)＝0， ∵f (π4)＝－π4·cos π4<0，由图像可排除A 、B ，又∵f (－π4)＝π4·cos π4>0，排除C ，故选D. 8．关于x 的函数f (x )＝sin(πx ＋φ)有以下命题： ①∀φ∈R ，f (x ＋2π)＝f (x )； ②∃φ∈R ，f (x ＋1)＝f (x )； ③∀φ∈R ，f (x )都不是偶函数； ④∃φ∈R ，使f (x )是奇函数．其中假命题的序号是 ( )A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③答案 A解析对命题①，取φ＝π时，f (x ＋2π)≠f (x )，命题①错误；如取φ＝2π，则f (x ＋1)＝f (x )，命题②正确；对于命题③，φ＝π2时f (x )＝f (－x )，则命题③错误；如取φ＝π，则f (x )＝sin(πx ＋π)＝－sinπx ，命题④正确．9．(2011·全国课标理)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在(0，π2)单调递减 B ．f (x )在(π4，3π4)单调递减 C ．f (x )在(0，π2)单调递增 D ．f (x )在(π4，3π4)单调递增答案 A解析 y ＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，由最小正周期为π，得ω＝2，又由f (－x )＝f (x )可知f (x )为偶函数，|φ|<π2可得φ＝π4，所以y ＝2cos2x ，在(0，π2)单调递减．10．已知函数y ＝sin w x 在[－π3，π3]上是减函数，则w 的取值范围是( ) A ．[－32，0) B ．[－3,0) C ．(0，32] D ．(0,3]答案 A解析由题意可知，ω<0，且有⎪⎪⎪⎪⎪⎪π3ω≤π2.∴－32≤ω<0.11．函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M 答案 C解析方法一(特值法)：取M ＝2，w ＝1，φ＝0画图像即得答案．方法二：T ＝2πw ，g (x )＝M cos(w x ＋φ)＝M ·sin(w x ＋φ＋π2)＝M ·sin[w (x ＋π2w )＋φ]，∴g (x )的图像是由f (x )的图像向左平移π2w (即T4)得到的由b －a ＝T2，可知，g (x )的图像由f (x )的图像向左平移b －a 2得到的． ∴得到g (x )图像如图所示．选C.12．设f (x )＝x sin x ，若x 1、x 2∈[－π2，π2]，且f (x 1)>f (x 2)，则下列结论中，必成立的是( )A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2>0C ．x 1<x 2D ．x 21>x 22答案 D13．(2012·衡水调研卷)将函数y ＝sin(6x ＋π4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，得到的函数的一个对称中心是( )A ．(π2，0) B ．(π4，0) C ．(π9，0) D ．(π16，0)答案 A解析将函数y ＝sin(6x ＋π4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得到函数y ＝sin(2x ＋π4)的图像，再向右平移π8个单位，得到函数f (x )＝sin[2(x －π8)＋π4]＝sin2x 的图像，而f (π2)＝0，故选A.14．(2011·山东文)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝( )A.23 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析由于函数f (x )＝sin ωx 的图像经过坐标原点，根据已知并结合函数图像可知，π3为这个函数的四分之一周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.15．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(π2<φ<π)的图像，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图像均关于原点对称，则ω＝________.答案 12解析注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－(－2π3)＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.16．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图像的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的初相是________．答案 23π解析 f ′(x )＝cos x －a sin x ，∵x ＝5π3为函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的一条对称轴， ∴f ′(5π3)＝cos 5π3－a sin 5π3＝0，解得a ＝－33. ∴g (x )＝－33sin x ＋cos x ＝233(－12sin x ＋32cos x ) ＝233sin(x ＋2π3)．17．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的周期、对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调增区间．答案 (1)T ＝π，对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )(2)[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )解析 f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)． (1)f (x )的周期T ＝π，函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． (2)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得kx －π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． ∴函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． 18．已知f (x )＝2sin(x ＋θ2)·cos(x ＋θ2)＋23cos 2(x ＋θ2)－ 3. (1)化简f (x )的解析式，并求其最小正周期； (2)若0≤θ≤π，求θ，使函数f (x )为偶函数；(3)在(2)成立的条件下，求满足f (x )＝1，x ∈[－π，π]的x 的集合．解析 (1)f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin(2x ＋θ＋π3)， ∴T ＝2πω＝2π2＝π.(2)由于θ∈[0，π]要使f (x )为偶函数， ∴θ＋π3＝π2，∴θ＝π6.(3)在(2)成立的条件下，f (x )＝2cos2x . 由2cos2x ＝1，∴cos2x ＝12，∵x ∈[－π，π]， ∴x ＝－π6或x ＝π6.∴x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π6，π6.19．(2012·北京)已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．解析 (1)由sin x ≠0，得x ≠k π(k ∈Z )．故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x ＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1 ＝2sin(2x －π4)－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )．1．(2013·东北四校模拟)已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个单调递增区间可以是( )A ．[－π8，3π8]B ．[5π8，9π8]C ．[－3π8，π8] D ．[π8，5π8]答案 D解析 f (π8)＝－2， ∴－2sin(2×π8＋φ)＝－2，即sin(π4＋φ)＝1. ∵|φ|<π，∴φ＝π4. ∴f (x )＝－2sin(2x ＋π4)．由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，得 k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．当k ＝0时，π8≤x ≤5π8.2．已知函数y ＝2sin(w x ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图像与直线y ＝2的某两个交点横坐标为x 1、x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则( )A ．w ＝2，θ＝π2 B ．w ＝－12，θ＝π2 C ．w ＝12，θ＝π4 D ．w ＝2，θ＝π4答案 A解析 ∵y ＝2sin(w x ＋θ)为偶函数，∴θ＝π2. ∵图像与直线y ＝2的两个交点横坐标为 x 1，x 2，|x 2－x 1|min ＝π，即T ＝π.3．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 C解析周期T ＝2ππ3＝6.由题意，T ＋T4≤t ，得t ≥7.5.故选C.4．函数g (x )＝sin 22x 的单调递增区间是 ( )A ．[k π2，k π2＋π4](k ∈Z ) B ．[k π，k π＋π4](k ∈Z ) C ．[k π2＋π4，k π2＋π2](k ∈Z ) D ．[k π＋π4，k π＋π2](k ∈Z )答案 A5．(2012·冀州中学模拟)如果关于x 的不等式f (x )<0和g (x )<0的解集分别为(a ，b )，(1b ，1a )，那么称这两个不等式为“对偶不等式”，如果不等式x 2－43x ·cos2θ＋2<0与不等式2x 2＋4x sin2θ＋1<0为“对偶不等式”，且θ∈(π2，π)，那么θ＝________.答案 5π6解析设x 2－43x cos2θ＋2<0解集为(a ，b )，则2x 2＋4x sin2θ＋1<0解集为(1b ，1a )． ∴a ＋b ＝43cos2θ，ab ＝2， 1a ＋1b ＝－2sin2θ.又1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝43cos2θ2＝23cos2θ，∴23cos2θ＝－2sin2θ. ∴tan2θ＝－ 3.又θ∈(π2，π)，∴2θ∈(π，2π)． ∴2θ＝5π3，θ＝5π6.6．已知函数f (x )＝m sin x ＋n cos x ，且f (π4)是它的最大值(其中m ，n 为常数且mn ≠0)，给出下列命题：①f (x ＋π4)为偶函数；②函数f (x )的图像关于点(7π4，0)对称； ③f (－3π4)是函数f (x )的最小值；④函数f (x )的图像在y 轴右侧与直线y ＝m2的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，P 4，…，则|P 2P 4|＝π；⑤m n ＝1.其中真命题是________．(写出所有正确命题的序号)答案 ①②③⑤解析由题意得f (x )＝m sin x ＋n cos x ＝m 2＋n 2sin(x ＋φ)(tan φ＝n m )．因为f (π4)是它的最大值，所以π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π4.所以f (x )＝m 2＋n 2sin(x ＋2k π＋π4) ＝m 2＋n 2sin(x ＋π4)．且tan φ＝n m ＝tan(2k π＋π4)＝1，即n m ＝1.故f (x )＝2|m |sin(x ＋π4)．①f (x ＋π4)＝2|m |sin(x ＋π4＋π4)＝2|m |cos x ，为偶函数，①正确；②当x ＝7π4时，f (7π4)＝2|m |sin(π4＋7π4) ＝2|m |sin2π＝0，所以f (x )的图像关于点(7π4，0)对称，②正确；③f (－3π4)＝2|m |sin(π4－3π4)＝－2|m |sin π2 ＝－2|m |，取得最小值，③正确；④根据f (x )＝2|m |sin(x ＋π4)可得其周期为2π，由题意可得P 2与P 4相差一个周期2π，即|P 2P 4|＝2π，④错误；⑤m n ＝1，显然成立，⑤正确．7．已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋23sin x cos x ＋1.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)当x ∈[－π6，π3]时，f (x )－3≥m 恒成立，试确定m 的取值范围．答案 (1)π [π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z ) (2)(－∞，－3]解析 (1)f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋23sin x cos x ＋1＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π6)＋1.因此函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )．故函数f (x )的单调递减区间为[π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z )．(2)当x ∈[－π6，π3]时，2x ＋π6∈[－π6，5π6]，所以－1≤2sin(2x ＋π6)≤2，因此0≤f (x )≤3.因为f (x )－3≥m 恒成立，所以m ≤f (x )min －3＝0－3＝－3.故m 的取值范围是(－∞，－3]．8．已知函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2x )－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈[－π3，π3]，求f (x )的值域和单调递增区间．解析 (1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x ＝－3cos2x －sin2x＝－2sin(2x ＋π3)，∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈[－π3，π3]，∴－π3≤2x ＋π3≤π，∴－32≤sin(2x ＋π3)≤1.∴f (x )的值域为[－2，3]．∵当y ＝sin(2x ＋π3)单调递减时，f (x )单调递增，∴π2≤2x ＋π3≤π，即π12≤x ≤π3.故f (x )的单调递增区间为[π12，π3]．9．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像(如下图)．(1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g (x )＝f (x )－cos2x ，求函数g (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．解析 (1)由题图可得A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2.所以T ＝π.所以ω＝2.当x ＝π6时，f (x )＝1，可得sin(2×π6＋φ)＝1. 因为|φ|<π2，所以φ＝π6.所以f (x )的解析式为f (x )＝sin(2x ＋π6)．(2)g (x )＝f (x )－cos2x ＝sin(2x ＋π6)－cos2x＝sin2x cos π6＋cos2x sin π6－cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6)．因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2π－π6≤5π6.当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，g (x )有最大值，最大值为1；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，g (x )有最小值，最小值为－12.10．已知函数f (x )＝sin x cos φ＋cos x sin φ(其中x ∈R,0<φ<π)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (2x ＋π4)的图像关于直线x ＝π6对称，求φ的值．解析 (1)∵f (x )＝sin(x ＋φ)，∴函数f (x )的最小正周期为2π.(2)函数y ＝f (2x ＋π4)＝sin(2x ＋π4＋φ)，y ＝sin x 的图像的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，令2x ＋π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，将x ＝π6代入上式，得φ＝k π－π12(k ∈Z )．∵0<φ<π，∴φ＝11π12.11．(2011·浙江文)已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π2.y ＝f (x )的部分图像如图所示，P ，Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．解析 (1)由题意，得T ＝2ππ3＝6.因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图像上，所以sin(π3＋φ)＝1. 又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2)设点Q的坐标为(x0，－A)．由题意可知π3x0＋π6＝3π2，得x0＝4，所以Q(4，－A)．如图，连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝2π3，由余弦定理，得cos∠PRQ＝RP2＋RQ2－PQ22RP·RQ＝A2＋9＋A2－(9＋4A2)2A·9＋A2＝－12，解得A2＝3.又A>0，所以A＝ 3.。

2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业27

课时作业(二十七)1．(2013·北京西城期末)已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，则A等于() A．150°B．90°C．60°D．30°答案 D解析由正弦定理，得1sin A＝2sin45°，得sin A＝12.又a<b，∴A<B＝45°.∴A＝30°，故选D.2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝π3，a＝3，b＝1，则c等于() A．1 B．2C.3－1D. 3答案 B解析由正弦定理asin A＝bsin B，可得3sinπ3＝1sin B.∴sin B＝12，故∠B＝30°或150°.由a>b，得∠A>∠B，∴∠B＝30°.故∠C＝90°，由勾股定理得c＝2.3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则∠A＝() A．60°B．45°C．120°D．30°答案 C解析cos A＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，∴∠A＝120°.4．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝()A．－223 B.223C．－63 D.63答案 D解析根据正弦定理asin A＝bsin B，可得15sin60°＝10sin B，解得sin B＝33，又因为b<a，则B<A，故B为锐角，所以cos B＝1－sin2B＝63，故D正确．5．(2012·天津理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝()A.725B．－725C．±725 D.24 25答案 A解析因为8b＝5c，则由C＝2B，得sin C＝sin2B＝2sin B cos B，由正弦定理，得cos B＝sin C2sin B＝c2b＝45，所以cos C＝cos2B＝2cos2B－1＝2×(45)2－1＝725，故选A.6．(2012·湖南文)在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32 B.332C.3＋62 D.3＋394答案 B解析由余弦定理，得(7)2＝22＋AB2－2×2AB cos60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是AB sin60°＝332.选B.7．(2012·陕西理)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为()A.32 B.22C.12D．－12答案 C解析由余弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.所以选C.8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.23答案 B解析 ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.9．在△ABC 中，cos2B >cos2A 是a >b 的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析由cos2B >cos2A ，得sin 2A >sin 2B . ∵sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B . ∴a 2R >b2R ，∴a >b . 又上述过程可逆，故选C.10．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 分别对三边a 、b 、c ，tan C ＝43，c ＝8，则△ABC 外接圆半径R 为( )A ．10B ．8C ．6D ．5答案 D解析本题考查解三角形．由题可知应用正弦定理，由tan C ＝43，得sin C ＝45.则2R ＝c sin C ＝845＝10，故外接圆半径为5.11．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34 C.32或 3 D.34或32答案 D解析如图，由正弦定理，得 sin C ＝c ·sin B b ＝32，而c >b ， ∴C ＝60°或C ＝120°. ∴A ＝90°或A ＝30°. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34.12．在△ABC 中，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 且sin C ＝2sin A cos B ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形，但不是等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形，但不是等腰三角形答案 A解析 ∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°. 又sin C ＝2sin A cos B ，由sin C ＝2sin A ·cos B ，得c ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac .∴a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC为等边三角形．13．(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________，a＝________.答案255210解析因为△ABC中，tan A＝2，所以A是锐角，且sin Acos A＝2，sin2A＋cos2A＝1，联立解得sin A＝255，再由正弦定理，得asin A＝bsin B，代入数据解得a＝210.14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则角A的大小为________．答案π6解析因为sin C＝23sin B，所以c＝23b.于是cos A＝b2＋c2－a22bc＝c2－3bc2bc＝32.又A是三角形的内角，所以A＝π6.15．对于△ABC，有如下命题：①若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；②若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形；③若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上) 答案③解析①sin2A＝sin2B，∴A＝B⇒△ABC是等腰三角形，或2A＋2B＝π⇒A＋B＝π2，即△ABC是直角三角形．故①不对．②sin A＝cos B，∴A－B＝π2或A＋B＝π2.∴△ABC不一定是直角三角形．③sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2<c2.∴△ABC为钝角三角形．16．(2012·福建理)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．答案－2 4解析依题意得，△ABC的三边长分别为a，2a,2a(a>0)，则最大边2a所对的角的余弦值为a2＋(2a)2－(2a)22a·2a＝－24.17．(2012·北京理)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－14，则b＝________.答案 4解析由余弦定理，得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×(－14)，解得b＝4.18．已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝10，cos C＝25 5.(1)求BC边的长；(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．答案(1)32(2)13解析(1)由cos C＝255，得sin C＝55.sin A＝sin(180°－45°－C)＝22(cos C＋sin C)＝31010.由正弦定理知BC＝ACsin B·sin A＝1022·31010＝3 2.(2)AB＝ACsin B·sin C＝1022·55＝2.BD＝12AB＝1.由余弦定理知CD＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos B＝1＋18－2·1·32·22＝13.讲评解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理和余弦定理，熟练掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，要注意由正弦定理a sin A ＝bsin B 求B 时，应对解的个数进行讨论；已知a ，b ，A ，求c 时，除用正弦定理a sin A ＝csin C 外，也可用余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2ab cos A 求解．19．(2012·安徽文)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．解析 (1)方法一由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ，因为sin B ≠0，所以cos A ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3.方法二由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)方法一因为AD →2＝(AB →＋AC →2)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74，所以|AD→|＝72，从而AD ＝72. 方法二因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72.20．(2012·浙江理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解析 (1)因为0<A <π，cos A ＝23，得 sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ，所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝ 3. 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.1．(2011·安徽理)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．答案 15 3解析不妨设角A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，所以S ＝12bc sin120°＝15 3.2．(2012·陕西文)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________.答案 2解析由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4，解得b ＝2.3．(2012·大纲全国)△ABC 中B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 最大值________．答案 27解析 ∵2R ＝3sin60°＝332＝2，∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin C ＋4sin(2π3－C ) ＝27sin(C ＋φ)． ∴最大值为27.4．(2012·浙江文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解析 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得 sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3. (2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.5．(2012·天津文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知a ＝2，c ＝2，cos A ＝－24.(1)求sin C 和b 的值； (2)求cos(2A ＋π3)的值．解析 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－24，可得sin A ＝144.又由asin A＝csin C及a＝2，c＝2，可得sin C＝74.由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得b2＋b－2＝0. 因为b>0，故解得b＝1.所以sin C＝74，b＝1.(2)由cos A＝－24，sin A＝144，得cos2A＝2cos2A－1＝－34，sin2A＝2sin A cos A＝－7 4.所以cos(2A＋π3)＝cos2A cosπ3－sin2A sinπ3＝－3＋218.6. (2011·江苏)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若sin(A＋π6)＝2cos A，求A的值；(2)若cos A＝13，b＝3c，求sin C的值．答案(1)π3(2)13解析(1)由题设知sin A cos π6＋cos A sinπ6＝2cos A.从而sin A＝3cos A，所以cos A≠0，tanA＝ 3.因为0<A<π，所以A＝π3.(2)由cos A＝13，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bc cos A，得a2＝b2－c2.故△ABC是直角三角形，且B＝π2.所以sin C＝cos A＝13.7．△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＋bc＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，求S△ABC的最大值；(3)求a sin(30°－C)b－c的值．分析(1)由b2＋c2－a2＋bc＝0的结构形式，可联想余弦定理，求出cos A，从而求出A的值．(2)由a＝3及b2＋c2－a2＋bc＝0，可求出关于b，c的关系式，利用不等式，即可求出bc的最大值，进而求出S△ABC的最大值．(3)由正弦定理可实现将边化为角的功能，从而达到化简求值的目的．答案(1)120°(2)34(3)12解析(1)∵cos A＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，∴A＝120°.(2)由a＝3，得b2＋c2＝3－bc.又∵b2＋c2≥2bc(当且仅当c＝b时取等号)，∴3－bc≥2bc(当且仅当c＝b时取等号)．即当且仅当c＝b＝1时，bc取得最大值为1.∴S△ABC ＝12bc sin A≤34.∴S△ABC 的最大值为34.(3)由正弦定理，得asin A＝bsin B＝csin C＝2R.∴a sin(30°－C)b－c＝2R sin A sin(30°－C)2R sin B－2R sin C＝sin A sin(30°－C) sin B－sin C＝32⎝⎛⎭⎪⎫12cos C－32sin Csin(60°－C)－sin C＝34cos C－34sin C32cos C－32sin C＝12.8．(2011·山东理)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A－2cos Ccos B＝2c－a b.(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B＝14，b＝2，求△ABC的面积S.答案(1)2(2)15 4解析 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B. 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B. 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A .因此sin C sin A ＝2.(2)由sin C sin A ＝2，得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14，解得a ＝1，从而c ＝2.又因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154.因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.9．在△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B 2－1)，且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．答案 (1)π3 (2) 3解析 (1)m ∥n ⇒2sin B (2cos 2B 2－1)＝－3cos2B ⇒2sin B cos B ＝－3cos2B ⇒tan2B ＝－ 3.∵0<2B <π，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)已知b ＝2，由余弦定理，得4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，∴△ABC 的面积S △ABC 的最大值为 3.10．已知函数f (x )＝32sin2x －cos 2x －12，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解析 (1)∵f (x )＝32sin2x －1＋cos2x 2－12＝sin(2x －π6)－1，∴函数f (x )的最小值是－2，最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，则sin(2C －π6)＝1.∵0<C <π，∴0<2C <2π，∴－π6<2C －π6<116π.∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.∵向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， ∴12＝sin A sin B . 由正弦定理，得a b ＝12.①由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②，解得a ＝1，b ＝2.11．(2011·大纲全国文)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解析 (1)由正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .故cos B ＝22，因此B ＝45°.(2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋6 4.故a＝b×sin Asin B＝2＋62＝1＋3，c＝b×sin Csin B＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.12．(2011·辽宁文)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.解析(1)由正弦定理，得sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A．即sin B(sin2A ＋cos2A)＝2sin A.故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝(1＋3)a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cos B>0，故cos B＝22，所以B＝45°.13．(2011·江西文)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3a cos A＝c cos B＋b cos C.(1)求cos A的值；(2)若a＝1，cos B＋cos C＝233，求边c的值．解析(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C，有c cos B＋b cos C＝a，代入已知条件得3a cos A＝a，即cos A＝1 3.(2)由cos A＝13，得sin A＝223.则cos B＝－cos(A＋C)＝－13cos C＋223sin C.代入cos B＋cos C＝233，得cos C＋2sin C＝ 3.从而得sin(C＋φ)＝1.其中sinφ＝33，cosφ＝63，0<φ<π2，则C＋φ＝π2.于是sin C＝63，由正弦定理，得c＝a sin Csin A＝32.。

2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业29

课时作业(二十九)1．若a ＋b ＋c ＝0，则a 、b 、c( )A ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B ．一定不可能构成三角形C ．都是非零向量时能构成三角形D ．一定可构成三角形答案 A解析易知A 正确．2．设a 是任一向量，e 是单位向量，且a ∥e ，则下列表示形式中正确的是( ) A ．e ＝a|a | B ．a ＝|a |e C ．a ＝－|a |e D ．a ＝±|a |e答案 D解析对于A ，当a ＝0时，a|a |没有意义，错误；对于B 、C 、D 当a ＝0时，选项B 、C 、D 都对；当a ≠0时，由a ∥e 可知，a 与e 同向或反向，选D. 3．若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB →＋CD →＝BC →＋DA →；②AC →＋BD →＝BC →＋AD →；③AC →－BD →＝DC →＋AB →.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 C解析 ②AC →－BC →＝AD →－BD →⇒AC →＋CB →＝AB →＝AD →＋DB →，正确； ③AC →－AB →＝BD →＋DC →⇒BC →＝BC →.正确．故C 选项正确．4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则 ( )A.P A →＋PB →＝0B.PC →＋P A →＝0C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0答案 B解析画图可知B 正确．5．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →答案 A解析 AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →. ∵2AC →＋CB →＝0，∴2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0. ∴OC →＝2OA →－OB →.故A 正确．6．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23答案 A解析 ∵AD →＝CD →－CA →，DB →＝CB →－CD →，AD →＝2DB →， ∴CD →－CA →＝2CB →－2CD →，CD →＝13CA →＋23CB →. ∴λ＝23，故A 正确．7．如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →、OB →表示OP →，则OP →等于( )A ．－13OA →＋43OB → B.13OA →＋43OB → C.13OA →－43OB → D ．－13OA →－43OB →答案 A解析 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →. 8．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t ＝( )A.12B.23C.34D.45答案 C解析 ∵CP →＝23CA →＋13CB →，Q 为BC 中点，∴CB →＝2CQ →.∴CM →＝tCP →＝23tCA →＋13tCB →＝23tCQ →＋23tCA →.∵A 、M 、Q 三点共线，∴23t ＋23t ＝1，∴t ＝34.故C 正确．9．设a 、b 为不共线的非零向量，AB →＝2a ＋3b ，BC →＝－8a －2b ，CD →＝－6a －4b ，那么( )A.AD →与BC →同向，且|AD →|>|BC →|B.AD →与BC →同向，且|AD →|<|BC →|C.AD →与BC →反向，且|AD →|>|BC →|D.AD →∥BD → 答案 A解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝2a ＋3b ＋(－8a －2b )＋(－6a －4b )＝－12a －3b ，BC →＝－8a －2b ，∴AD →＝32BC →.∴AD →与BC →同向，且|AD →|＝32|BC →|. ∴|AD →|>|BC →|.故选A.10．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →，那么一定有( ) A.PB →＝2CP → B.CP →＝2PB → C.AP →＝2PB → D.PB →＝2AP → 答案 D解析由题意得P A →＋PB →＋PC →＝PC →－P A →，即PB →＝－2P A →＝2AP →，选D. 11．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对答案 C解析由已知AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →.∴AD →∥BC →，又AB →与CD →不平行，∴四边形ABCD 是梯形．12．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )的充要条件是AP →＝λ(AB →＋AD →)，则λ的取值范围是( )A ．λ∈(0,1)B ．λ∈(－1,0)C ．λ∈(0，22) D ．λ∈(－22，0)答案 A解析如图，∵点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )， ∴AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，由AP →与AC →同向知，λ>0. 又|AP →|<|AC →|，∴|AP →||AC →|＝λ<1，∴λ∈(0,1)．反之亦然． 13．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________．答案 1 2 解析如图，取AC 中点D . ∴OA →＋OC →＝2OD →. ∴OD →＝BO →.∴O 为BD 中点，∴面积比为高之比．14．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为________．答案 λ1λ2－1＝0解析 A 、B 、C 三点共线⇔AB →∥AC →⇔λ1λ2－1×1＝0⇔λ1λ2＝1.15．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是________．答案 0 解析CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →. ∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →. ∴32CD →＝AB →－AC →. ∴CD →＝23AB →－23AC →.又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23. ∴r ＋s ＝0.16．已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．答案略证明如图所示，∵E 、F 是AD 与BC 的中点，∴EA →＋ED →＝0，FB →＋FC →＝0.又∵AB →＋BF →＋FE →＋EA →＝0， ∴EF →＝AB →＋BF →＋EA →.① 同理 EF →＝ED →＋DC →＋CF →.②由①＋②，得2EF →＝AB →＋DC →＋(EA →＋ED →)＋(BF →＋CF →)＝AB →＋DC →.∴EF →＝12(AB →＋DC →)．17．已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.答案 (1)0 (2)略解析 (1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →. 所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →. 而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝(13－m )a ＋13b ， GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋(n －13)b ，所以(13－m )a ＋13b ＝λ[－13a ＋(n －13)b ]．又因为a 、b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ(n －13)，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n .故1m ＋1n ＝3.1．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA → C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →答案 A解析 ∵D 是AB 的中点，∴BD →＝12BA →. ∴CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12BA →.2．(2011·上海文)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4答案 B3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 答案 A解析由BD →＝2DC →，知BD →＝23BC →.又∵BC →＝b －c ，∴BD →＝23(b －c )，∴AD →＝AB →＋BD →＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c .4．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D答案 A解析 BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b ) ＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，∴BD →与AB →共线．又∵有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．5．(2011·四川理)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝ ( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →答案 D解析由于BA →＝DE →，故BA →＋CD →＋EF →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →.6．设e 是与向量AB →共线的单位向量，AB →＝3e ，又向量BC →＝－5e ，若AB →＝λAC →，则λ＝________.答案－32解析 AC →＝AB →＋BC →＝3e －5e ＝－2e . 由AB →＝λ·AC →，得3e ＝λ·(－2)·e ，∴λ＝－32.7．在△ABC 中，点D 满足AD →＝3DC →，BD →＝λBA →＋μBC →，则λμ＝________. 答案 316解析 AD →＝BD →－BA →，DC →＝BC →－BD →.∵AD →＝3DC →，∴BD →－BA →＝3BC →－3BD →，∴4BD →＝3BC →＋BA →，BD →＝34BC →＋14BA →，∴λ＝14，μ＝34，故λμ＝316.。

2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业32

课时作业(三十二)1．已知△ABC 中，(AB →·BC →)∶(BC →·CA →)∶(CA →·AB →)＝1∶2∶3，则△ABC 的形状为( )A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．非等腰锐角三角形答案 D解析设AB →·BC →＝－a 2＋c 2－b 22＝k ，故a 2＋c 2－b 2＝－2k ，同理可得a 2＋b 2－c 2＝－4k ， b 2＋c 2－a 2＝－6k 联立解得 a 2＝－3k ，b 2＝－5k ，c 2＝－4k . 故最大角的余弦cos B ＝36>0，故选D.2．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是 ( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形答案 D解析由已知，AB →2＝AB →·AC →－AB →·BC →＋CA →·CB →＝AB →·(AC →＋CB →)＋CA →·CB →＝AB →2＋CA →·CB →，∴CA →·CB →＝0.3．设O 点在三角形ABC 内部，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则三角形ABC 的面积与三角形AOC 的面积之比( )A ．2 B.32 C ．3 D.53答案 C解析联想三角形ABC 重心满足GA →＋GB →＋GC →＝0可延长OB 至E 使OE →＝2OB →延长OC 至F 使OF →＝3OC →，则O 为三角形AEF 的重心从而S △AOC ＝13S △AOF ＝19S △AEF ， S △AOB ＝12S △AOE ＝16S △AEF ， S △BOC ＝13S △BOF ＝118S △AEF .∴S △ABC ＝S △AOC ＋S △AOB ＋S △BOC ＝618S △AEF .4．(2010·湖南卷改编)已知A ，B 是圆心为C 半径为5的圆上两点，且|AB →|＝5，则AC →·CB →等于( )A ．－52 B.52 C ．0 D.532答案 A解析本题考查向量的数量积的运算．由于弦长|AB |＝5与半径相同，则∠ACB ＝60°⇒AC →·CB →＝－CA →·CB →＝－|CA →|·|CB →|·cos ∠ACB ＝－5·5·cos60°＝－52.5．已知a ，b 是两个非零向量，给定命题p ：|a ·b |＝|a ||b |，命题q ：∃t ∈R ，使得a ＝t b ，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ∵|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|＝|a ||b |， ∴θ＝0°或180°，即a ，b 共线． ∴∃t ∈R ，使得a ＝t b 成立． ∴p 是q 的充分条件．若∃t ∈R ，使得a ＝t b ，则a ，b 共线． ∴|a ·b |＝|a ||b |.∴p 是q 的必要条件．综上可知，p 是q 的充要条件．6．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形答案 B解析 OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|⇒|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2⇒AB →·AC →＝0，∴三角形为直角三角形，故选B.7．已知两个非零向量a ＝(m －1，n －1)，b ＝(m －3，n －3)，且a 与b 的夹角是钝角或直角，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[2，32]B ．[2,6]C ．(2，32)D ．(2,6)答案 B解析根据a 与b 的夹角是钝角或直角得a·b ≤0，即(m －1)(m －3)＋(n －1)(n －3)≤0.整理得(m －2)2＋(n －2)2≤2.所以点(m ，n )在以(2,2)为圆心，2为半径的圆上或圆内．令m ＋n ＝z ，n ＝－m ＋z 表示斜率为－1，在纵坐标轴上的截距为z 的直线，根据线性规划知识得2≤m ＋n ≤6.8．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S ∈[32，32]，则AB →与BC →夹角的取值范围是( )A ．[π4，π3] B ．[π6，π4] C ．[π6，π3] D ．[π3，π2]答案 B解析设〈AB →，BC →〉＝α，因为AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos α＝3⇒|AB →|·|BC →|＝3cos α，又S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－α)＝12·3cos α·sin(π－α)＝32tan α，而32≤S ≤32⇒32≤32tan α≤32⇒33≤tan α≤1⇒π6≤α≤π4.故选B.9．如图所示，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的所在边的中点，若(AB →＋BC →)·(BA →＋AD →)＝0，则四边形EFGH 是( )A ．平行四边形，但不是矩形B ．矩形C ．菱形D ．正方形答案 B解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，BA →＋AD →＝BD →，且(AB →＋BC →)·(BA →＋AD →)＝0， ∴AC →·BD →＝0，即AC →⊥BD →.又∵E 、F 、G 、H 为四边形ABCD 四边的中点， ∴EH →∥BD →∥FG →，EF →∥AC →∥HG →.故四边形EFGH 为平行四边形且EH →⊥EF →，即为矩形．10．已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形答案 D分析本题可先由条件的几何意义得出AB ＝AC ，再求得A ＝π3，即可得出答案．解析因为非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D.11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π3，π] C ．[π3，2π3] D ．[π6，π]答案 B解析 |a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0，设向量a ·b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a |·|b |≤14|a |212|a |2＝12，∴θ∈[π3，π]．12．已知坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →等于________．答案－34解析设A (y 212，y 1)，B (y 222，y 2)，则OA →＝(y 212，y 1)，OB →＝(y 222，y 2)．又由y 1y 2＝－p 2＝－1，∴OA →·OB →＝(y 212，y 1)·(y 222，y 2)＝14y 21y 22＋y 1y 2 ＝14－1＝－34.13．已知向量i 和j 为互相垂直的单位向量，向量a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．答案 (－∞，－2)∪(－2，12)解析 ∵0<〈a ，b 〉<π2，∴0<cos 〈a ，b 〉<1，∴0<a ·b|a |·|b |<1，即0<1－2λ5·1＋λ2<1，解得λ<12且λ≠－2，∴λ的取值范围是(－∞，－2)∪(－2，12)．14．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．解析 (1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω1＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件．其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件，则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .基本事件空间为Ω2＝{(x ，y )|⎩⎨⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1}，B ＝{(x ，y )|⎩⎨⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y}，如图所示，则P (B )＝＝12×(12＋32)×23×2＝13，即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13. 15．(2013·烟台调研)已知向量m ＝(a ＋c ，b )，n ＝(a －c ，b －a )，且m·n ＝0，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．(1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的取值范围．解 (1)由m·n ＝0，得(a ＋c )(a －c )＋b (b －a )＝0⇒a 2＋b 2－c 2＝ab . 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12. ∵0<C <π，∴C ＝π3. (2)∵C ＝π3，∴A ＋B ＝2π3. ∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(2π3－A ) ＝sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝32sin A ＋32cos A ＝3(32sin A ＋12cos A ) ＝3sin(A ＋π6)．∵0<A <2π3，∴π6<A ＋π6<5π6. ∴12<sin(A ＋π6)≤1.∴32<3sin(A ＋π6)≤3，即32<sin A ＋sin B ≤ 3.16．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C . (1)求B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，且m ·n 的最大值是5，求k 的值．解析 (1)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，∴(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，即2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴2sin A cos B ＝sin A . ∵0<A <π，∴sin A ≠0，∴cos B ＝12. ∵01，∴t ＝1时，m ·n 取最大值．依题意得(m ·n )max ＝－2＋4k ＋1＝5，∴k ＝32.1．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则当(a ＋b )2＝(a －b )2时，该平行四边形为( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．以上都不正确答案 B解析数形结合，在平行四边形中， a ＋b ＝AB →＋AD →＝AC →，a －b ＝AB →－AD →＝DB →，由|a ＋b |＝|a －b |，∴|AC →|＝|DB →|，对角线相等的平行四边形为矩形，故选B.2．(2013·唐山统考)在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝xBA →，CE →＝yCA →，x >0，y >0，且x ＋y ＝1，则CD →·BE →的最大值为( )A ．－58 B ．－34 C ．－32 D ．－38答案 D解析建立如图所示的直角坐标系，则A (－12，0)，B (12，0)，C (0，32)，设D (x 1,0)，E (x 2，y 2)，∵BD →＝xBA →，∴(x 1－12，0)＝x (－1,0)，∴x 1＝－x ＋12. ∵CE →＝yCA →，∴(x 2，y 2－32)＝y (－12，－32)． ∴x 2＝－12y ，y 2＝32－32y .∴CD →·BE →＝(x 1，－32)·(x 2－12，y 2)＝(x 1，－32)·(－12y －12，32－32y )＝(－x ＋12，－32)·(－1＋x 2，32x )＝－12(x 2－x ＋1)＝－12(x －12)2－38.∵0<x <1，∴当x ＝12时，CD →·BE →取得最大值－38.故选D.3．已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝2x 3＋3|a |x 2＋6a ·b x ＋5在实数集R 上单调递增，则向量a ，b 的夹角的取值范围是( )A ．[0，π6] B ．[0，π3] C ．(0，π3] D ．[π3，π]答案 B解析 f ′(x )＝6x 2＋6|a |x ＋6a ·b ，由Δ＝36|a |2－4×6×6|a |·|b |cos 〈a ，b 〉≤0，且|a |＝2|b |≠0.得cos 〈a ，b 〉≥12，故选B.4．设G 是△ABC 的重心，且(56sin A )GA →＋(40sin B )GB →＋(35sin C )GC →＝0，则B 的大小为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°答案 D解析 ∵G 为△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0.∴56sin A ＝40sin B ＝35sin C ，结合正弦定理有56a ＝40b ＝35c ，∴a ＝57b ，c ＝87b ，由余弦定理有cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴B ＝60°.5．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则 ( )A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0答案 B解析根据向量加法的几何意义BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故P A →＋PC →＝0.6．设向量a ＝(3，3)，b 为单位向量，且a ∥b ，则b ＝ ( )A ．(32，－12)或(－32，12)B ．(32，12)C ．(－32，－12)D ．(32，12)或(－32，－12) 答案 D解析设b ＝(x ，y )，由a ∥b 可得3y －3x ＝0.又x 2＋y 2＝1，得b ＝(32，12)或b ＝(－32，－12)，故选D.7．已知三点A (2,3)，B (－1，－1)，C (6，k )，其中k 为常数．若|AB →|＝|AC →|，则AB →与AC →的夹角的余弦值为( ) A ．－2425B ．0或2425C.2425 D ．0或－2425答案 D解析由|AB →|＝|AC →|解得k ＝0或6，当k ＝0时，AB →与AC →的夹角为π2，其余弦值为0；当k ＝6时，AB →与AC →的夹角余弦值为－2425.8．已知a ＝(－12，32)，b ＝(1，3)，则|a ＋t b |(t ∈R )的最小值等于( ) A ．1 B.32 C.12 D.22答案 B解析方法一 ∵a ＋t b ＝(－12＋t ，32＋3t )，∴|a ＋t b |2＝(－12＋t )2＋(32＋3t )2＝4t 2＋2t ＋1＝4(t ＋14)2＋34.∴当t ＝－14时，|a ＋t b |2取得最小值34，即|a ＋t b |取得最小值32.故选B. 方法二如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，在OB 上任取一点T ，使得OT →＝－t b (t <0)，则|a ＋t b |＝|TA →|，显然，当AT ⊥OB 时，取最小值．由TA →·OB →＝(a ＋t b )·b ＝a ·b ＋t b 2＝0，得t ＝－14. ∴当t ＝－14时，|a ＋t b |取得最小值32.9．(2011·浙江理)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．答案 [π6，5π6]解析对于以向量α，β为邻边的平行四边形的面积S ＝12|α||β|·sin 〈α，β〉×2＝|β|sin 〈α，β〉＝12，因此sin 〈α，β〉＝12|β|∈[12，1]，因此α与β的夹角θ的取值范围是[π6，5π6]．10．(2011·江西理)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．答案 π3解析由|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，得a ·b ＝2·cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝12，所以〈a ，b 〉＝60°.11．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．解析 ∵a 与a ＋λb 均不是零向量，夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )>0,3λ>－5，λ>－53. 当a 与a ＋λb 共线时，a ＋λb ＝m a ，即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)．∴由⎩⎨⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，得λ＝0，即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线．∴λ≠0.故λ>－53且λ≠0.12．已知△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0.(1)求数量积OA →·OB →，OB →·OC →，OC →·OA →； (2)求△ABC 的面积．解析 (1)∵|OA |＝|OB |＝|OC |＝1，由条件可得3OA →＋4OB →＝－5OC →，两边平方得9|OA →|2＋24OA →·OB →＋16|OB →|2＝25|OC →|2.∴OA →·OB →＝0.同理可得OB →·OC →＝－45，OC →·OA →＝－35. (2)由OA →·OB →＝0，可得OA →⊥OB →. ∴S △AOB ＝12|OA →||OB →|＝12.由OB →·OC →＝－45，得cos ∠BOC ＝－45. ∴sin ∠BOC ＝35.∴S △BOC ＝12|OB →||OC →|sin ∠BOC ＝310.由OC →·OA →＝－35，得cos ∠COA ＝－35，∴sin ∠COA ＝45. ∴S △AOC ＝12|OA →||OC →|sin ∠COA ＝25，即可得S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △COA ＝12＋310＋25＝65.小结由a 与a ＋λb 的夹角为锐角，可得a ·(a ＋λb )>0，但由a ·(a ＋λb )>0，并不能推得a 与a ＋λb 的夹角为锐角，如λ＝0时，a ·(a ·λb )>0，但此时夹角为0，所以a ·(a ＋λb )>0仅是a 与a ＋λb 夹角为锐角的必要条件，而不是充分条件．三角形的“心”的向量表示及应用1．三角形各心的概念介绍重心：三角形的三条中线的交点；垂心：三角形的三条高线的交点；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；外心：三角形的三边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2∶1；垂线与对应边垂直；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．2．三角形各心的向量表示(1)O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0； (2)O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；(3)O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)；(4)O 是△ABC 的内心⇔OA →·(AB →|AB →|－AC →|AC →|)＝OB →·(BA →|BA →|－BC →|BC →|)＝OC →·(CA →|CA →|－CB→|CB →|)＝0.注意向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)1．将平面向量与三角形内心结合考查例1 O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解析】因为AB→|AB →|是向量AB →的单位向量，设AB →与AC →方向上的单位向量分别为e 1和e 2，又OP →－OA →＝AP →，则原式可化为AP →＝λ(e 1＋e 2)，由菱形的基本性质可知AP 平分∠BAC ，那么在△ABC 中，AP 平分∠BAC ，故选B.【答案】 B2．将平面向量与三角形垂心结合考查例2 点P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点P 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解析】由P A →·PB →＝PB →·PC →，得P A →·PB →－PB →·PC →＝0，即PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，则PB ⊥CA .同理P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，所以P 为△ABC 的垂心．故选D.【讲评】本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形的垂心的定义等相关知识．将三角形的垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合．【答案】 D3．将平面向量与三角形重心结合考查例3 点P 是△ABC 所在平面内任一点．G 是△ABC 的重心⇔PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →)．【证明】 PG →＝P A →＋AG →＝PB →＋BG →＝PC →＋CG →⇒3PG →＝(AG →＋BG →＋CG →)＋(P A →＋PB →＋PC →)．∵点G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0⇒AG →＋BG →＋CG →＝0，即3PG →＝P A →＋PB →＋PC →，由此得PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →)．反之亦然(证略)．4．将平面向量与三角形外心结合考查例4 若O 为△ABC 内一点，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 是△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．垂心D ．重心【解析】由向量模的定义知O 到△ABC 的三顶点距离相等，故O 是△ABC的外心，故选B.【答案】 B5．将平面向量与三角形四心结合考查例5 已知向量OP 1→，OP 2→，OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1，求证：△P 1P 2P 3是正三角形．【证明】由已知条件可得OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，两边平方得OP 1→·OP 2→＝－12. 同理OP 2→·OP 3→＝OP 3→·OP 1→＝－12. ∴|P 1P 2→|＝|P 2P 3→|＝|P 3P 1→|＝ 3. 从而△P 1P 2P 3是正三角形．1．O 为空间中一定点，动点P 在A 、B 、C 三点确定的平面内且满足(OP →－OA →)·(AB →－AC →)＝0，则点P 的轨迹一定过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 D2．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13(12OA →＋12OB →＋2OC →)，则点P 一定为三角形ABC 的( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点答案 B解析取AB 边中点M ，则OA →＋OB →＝2OM →.由OP →＝13(12OA →＋12OB →＋2OC →)，可得3OP →＝3OM →＋2MC →，∴MP →＝23MC →，即点P 为△ABC 中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故选B.3．在同一个平面上有△ABC 及一点O 满足关系式：OA →2＋BC →2＝OB →2＋CA →2＝OC →2＋AB →2，则点O 为△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 D解析由OA →2－OB →2＝CA →2－BC →2，得(OA →＋OB →)(OA →－OB →)＝(CA →－BC →)(CA →＋BC →)，即(OA →＋OB →)·BA →＝(CA →＋CB →)·BA →，∴BA →·(OA →＋OB →－CA →－CB →)＝2BA →·OC →＝0，∴BA →⊥OC →.同理OB →⊥CA →，OA →⊥CB →，故选D.4．已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 C解析设BC 边中点为D ，则有OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ·2AD →＝2λAD →，∴AP →过△ABC 的重心，故选C.5．在△ABC 中，动点P 满足CA →2＝CB →2－2AB →·CP →，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 A解析 2AB →·CP →＝CB →2－CA →2＝(CB →－CA →)·(CB →＋CA →)＝AB →·(CB →＋CA →)，即2AB →·CP →＝AB →·(CB →＋CA →)，∴AB →·(2CP →－CB →－CA →)＝AB →·(BP →＋AP →)＝0，∴以BP →，AP→为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，∴点P 在线段AB 的中垂线上，故选A.6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)等于( )A.49 B.43 C ．－43 D ．－49答案 D解析由AP →＝2PM →知，P 为△ABC 的重心，根据向量的加法，PB →＋PC →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·2PM →＝P A →·AP →＝－(P A →)2＝－(23MA →)2＝－49，故选D.7．已知非零向量AB →，AC →满足(AB →|AB →|cos B ＋AC→|AC →|cos C)·BC →＝AB →·AC →，则△ABC为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形答案 C解析要注意到向量的数量积是满足分配律的，则左边＝|AB →||BC →|(－cos B )|AB →|cos B ＋|AC →||BC →|cos C |AC →|cos C ＝0，所以有AB →·AC →＝0，则∠A ＝π2，是直角三角形，如图所示，选C.8．△ABC 外接圆的圆心为O ，两条边上高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝________.答案 1解析特殊法，设△ABC 为Rt △，则O 为斜边BC 的中点，H 与A 重合，∴OA →＝m ·OA →，∴m ＝1.。

2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业23

课时作业(二十三)1．(2013·东城区期末)已知cos78°约等于0.20，那么sin66°约等于 ( ) A ．0.92 B ．0.85 C ．0.88 D ．0.95答案 A2．设f (sin x )＝cos2x ，那么f (32)等于 ( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32答案 A 3．若cos2αsin (α－π4)＝－22，则sin α＋cos α的值为( )A ．－72 B ．－12 C.12 D.72答案 C解析cos2αsin (α－π4)＝sin (π2－2α)sin (α－π4)＝2sin (π4－α)cos (π4－α)sin (α－π4)＝－2cos(π4－α)＝－2(22sin α＋22cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22. 所以sin α＋cos α＝12.4．(2013·湖北八校)已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f (π12)的值为 ( )A ．4 3 B.833 C ．4 D ．8答案 D解析 ∵f (x )＝2(tan x ＋cos x sin x )＝2×(sin x cos x ＋cos xsin x ) ＝2×1cos x ·sin x ＝4sin2x ， ∴f (π12)＝4sin π6＝8.5．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2答案 A解析由3sin α＋cos α＝0，得cos α＝－3sin α. 则1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α ＝9sin 2α＋sin 2α9sin 2α－6sin 2α＝103，故选A. 6．(2012·山东)若θ∈[π4，π2]，sin2θ＝378，则sin θ＝ ( )A.35B.45C.74D.34答案 D解析 ∵θ∈[π4，π2]，2θ∈[π2，π]，故cos2θ<0. ∴cos2θ＝－1－sin 22θ＝－1－(378)2＝－18.又cos2θ＝1－2sin 2θ， ∴sin 2θ＝1－cos2θ2＝1－(－18)2＝916.∴sin θ＝34，故选D. 7．(2013·洛阳统考)若cos2αsin (α＋π4)＝12，则sin2α的值为( )A ．－78 B.78 C ．－47 D.47答案 B解析 cos2αsin (α＋π4)＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝2(cos α－sin α)＝12，即cos α－sin α＝24，等式两边分别平方得cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－sin2α＝18，解得sin2α＝78.8．(2013·衡水调研卷)计算tan (π4＋α)·cos2α2cos 2(π4－α)的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1答案 D解析 tan (π4＋α)·cos2α2cos 2(π4－α)＝sin (π4＋α)·cos2α2sin 2(π4＋α)cos (π4＋α)＝cos2α2sin (π4＋α)cos (π4＋α)＝cos2αsin2(π4＋α)＝cos2αsin (π2＋2α)＝cos2αcos2α＝1，选D. 9．(2013·郑州质检)已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α＝ ( )A.53B ．－134C.135D.134答案 D解析 2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝134，故选D.10．已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin2x＝( )A ．－195 B.195 C.113 D ．－113答案 A解析 f ′(x )＝cos x ＋sin x ，由f ′(x )＝2f (x )，即cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，得tan x ＝3，所以1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x ＝－195.11．若θ∈[0，π)且cos θ(sin θ＋cos θ)＝1，则θ＝________. 答案 0或π412．已知sin x ＝5－12，则sin2(x －π4)＝________. 答案 2－ 5解析 sin2(x －π4)＝sin(2x －π2)＝－cos2x ＝－(1－2sin 2x )＝2sin 2x －1＝2－ 5.13．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝________. 答案－34解析 sin3αsin α＝sin (2α＋α)sin α ＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝135.∴2cos 2α＋cos2α＝135，2cos 2α－1＋cos2α＝85.∴cos2α＝45.∵2k π－π2<α<2k π，∴4k π－π<2α<4k π(k ∈Z )．又∵cos2α＝45>0，∴2α为第四象限的角． sin2α＝－1－cos 22α＝－35，∴tan2α＝－34.14．已知sin α＝cos2α，α∈(π2，π)，则tan α＝________. 答案－33解析 sin α＝1－2sin 2α，∴2sin 2α＋sin α－1＝0. ∴(2sin α－1)(sin α＋1)＝0，∵α∈(π2，π)， ∴2sin α－1＝0.∴sin α＝12，cos α＝－32，∴tan α＝－33.15．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，且sin A ·cos A ＝34，则此三角形为________．答案等边三角形解析 ∵tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ， ∴tan(A ＋B )＝－3，得A ＋B ＝120°. 又由sin A cos A ＝34，得sin2A ＝32.∴A ＝60°(A ＝30°舍去)，∴△ABC 为等边三角形．16．(2013·西城区期末)已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos 2θ＝__________. 答案－45解析方法一 sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1，sin2θ＝－cos2(θ＋π4)＝－1－tan 2(θ＋π4)1＋tan 2(θ＋π4)＝45， cos2θ＝sin2(θ＋π4)＝2tan (θ＋π4)1＋tan 2(θ＋π4)＝35， ∴原式＝45－35－1＝－45.方法二 tan(π4＋θ)＝3，1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12，sin2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝－45. 17．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．答案3解析由已知B ＝60°，A ＋C ＝120°， ∴tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C 2＝tan A ＋C 2(1－tan A 2·tan C 2)＋3tan A 2tan C 2 ＝3(1－tan A 2·tan C 2)＋3tan A 2tan C 2 ＝ 3.18．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan (π4－x )·sin 2(π4＋x ).答案 12cos2x解析原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan (π4－x )sin 2(π4＋x )＝12－2cos2x sin2x2sin(π4－x)cos(π4－x)·sin2(π4＋x)＝12－12(sin2x)22cos(π4＋x)sin(π4＋x)·sin2(π4＋x)＝12cos22xsin(π2＋2x)＝12cos2x.19．已知0＜α＜π2，π2＜β＜π且tanα2＝12，sin(α＋β)＝513.(1)分别求cosα与cosβ的值；(2)求tan α－β2的值．答案(1)cosα＝35cosβ＝－1665(2)－1123解析(1)cosα＝cos2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2＝1－tan2α21＋tan2α2＝35，∵0＜α＜π2，∴sinα＝45.∵α＋β∈(π2，3π2)，sin(α＋β)＝513，∴cos(α＋β)＝－12 13.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－1213)·35＋513·45＝－1665.(2)∵2cos 2β2－1＝cos β＝－1665且β2∈(π4，π2)， ∴cos β2＝7130，∴sin β2＝9130.∴tan β2＝97.∴tan α－β2＝tan α2－tan β21＋tan α2tanβ2＝－1123.1．已知450°<α<540°，则 12＋1212＋12cos2α的值是( )A ．－sin α2B ．cos α2C ．sin α2D ．－cos α2答案 A 解析原式＝ 12＋121＋cos2α2＝12－12cos α＝|sin α2|.∵450°<α<540°，∴225°<α2<270°. ∴原式＝－sin α2.2．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2)，则sin α＝________. 答案 12解析由已知得sin 22α＋sin2αcos α－(2cos 2α－1)＝1. ∴sin 22α＋sin2αcos α－2cos 2α＝0. ∴4sin 2αcos 2α＋2sin α·cos 2α－2cos 2α＝0.∴4sin 2α＋2sin α－2＝0. 解得sin α＝12(负值舍去)．3．已知cos(α＋π6)－sin α＝233，则sin(α－7π6)的值是________．答案 23解析 ∵cos(α＋π6)－sin α＝32cos α－32sin α＝233， ∴12cos α－32sin α＝23，即cos(α＋π3)＝23. 又sin(α－7π6)＝－sin(7π6－α)＝sin(π6－α) ＝sin[π2－(α＋π3)]＝cos(α＋π3)＝23.4．已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON→＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A －12sin (A ＋π4)的值．解析 (1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，∴sin A ＋cos A ＝－15.①两边平方并整理，得2sin A cos A ＝－2425. ∵－2425<0，∴A ∈(π2，π)． ∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75.②联立①②，得sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34.∴tan2A＝2tan A1－tan2A ＝－321－916＝－247.(2)∵tan A＝－3 4，∴2cos2A2－3sin A－12sin(A＋π4)＝cos A－3sin Acos A＋sin A＝1－3tan A1＋tan A＝1－3×(－34)1＋(－34)＝13.。

2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业51

课时作业(五十一)1．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是() A．l1∥α且l2∥αB．l1⊥α且l2⊥αC．l1∥α且l2⊄αD．l1∥α且l2⊂α答案 B解析l1⊥α且l2⊥α⇒l1∥l2.2．(2012·四川)下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，A项不正确；如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，那么经过这三个点的平面与这个平面相交，B项不正确．3．设α，β表示平面，m，n表示直线，则m∥α的一个充分不必要条件是() A．α⊥β且m⊥βB．α∩β＝n且m∥nC．m∥n且n∥αD．α∥β且m⊂β答案 D解析若两个平面平行，其中一个面内的任一直线均平行于另一个平面，故选D.4．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，过AB 的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为() A．10 B．20C．8 D．4答案 B解析设截面四边形为EFGH，F、G、H分别是BC、CD、DA的中点，∴EF＝GH＝4，FG＝HE＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.5．(2013·衡水调研卷)已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线( )A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内答案 C解析由直线l 与点P 可确定一个平面β，则平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m ，因为l ∥α，所以l ∥m ，故过点P 且平行于直线l 的直线只有一条，且在平面α内，选C.6．下列命题中，是假命题的是( )A ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B ．平面α∥平面β，a ⊂α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥aC ．α∥β，γ∥δ，α、β分别与γ、δ的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥dD ．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件答案 D解析 D 错误．当两个平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面．如下图，α⊥β，直线AB 与α、β都成45°角，但α∩β＝l .7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案 B解析连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a3，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1. ∴MP ∥面BB 1C 1C ，PN ∥面AA 1D 1D . ∴面MNP ∥面BB 1C 1C ，∴MN ∥面BB 1C 1C .8．设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的是________．答案 ③④解析 ①∵垂直于同一个平面的两个平面也可以相交，如墙角，∴该命题不对；②m 、n 相交时才有α∥β，此命题不对；③由面面平行的性质定理可知该命题正确；④∵l ∥γ，β∩γ＝m ，l ⊂β，∴l ∥m .又α∩β＝l ，且m ⊂β，∴m ∥α.又m ⊂γ且γ∩α＝n ，∴m ∥n ，故④对．9．如图所示，四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案 ①③10. 棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，则BE 与平面P AD 的位置关系为________．答案平行解析取PD 的中点F ，连接EF .在△PCD 中，EF 綊12CD .又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ，∴EF ＝12CD 且CD ＝2AB . ∴EF 綊AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∴EB ∥AF . 又∵EB ⊄平面P AD ，AF ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD .11. 如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.答案223a解析如图，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD .∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC .又∵AP ＝a 3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23. ∴PQ ＝23AC ＝232a ＝223a .12．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．①⎭⎬⎫m ⊂αl ∥m⇒l ∥α；②⎭⎬⎫l ∥m m ∥α⇒l ∥α；③⎭⎬⎫l ⊥βα⊥β⇒l ∥α. 答案 l ⊄α解析 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”，即“l ⊄α”，它也同样适合②③，故填l ⊄α.13．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案平面ABC 和平面ABD解析连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F .由重心的性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E .由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .14．过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．答案 6解析过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，EF 1，EE 1，FF 1，E 1F ，E 1F 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．15. 如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H是B 1C 1的中点．(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F . 解析 (1)连接FG .∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2. ∴BG 綊A 1E ，∴A 1G ∥BE . 又∵C 1F 綊B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形，∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1.∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綊D 1F ，∴D 1F 綊EB . 故E 、B 、F 、D 1四点共面． (2)∵H 是B 1C 1的中点， ∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1， ∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF .∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB . 又由(1)知，A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ， ∴平面A 1GH ∥平面BED 1F . 16.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面为正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E 、F 分别是棱CC 1、BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB .当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?解析方法一如图，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .∵侧棱A 1A ⊥底面ABC ， ∴侧面A 1ACC 1⊥底面ABC . ∴OM ⊥底面ABC . 又∵EC ＝2FB ， ∴OM ∥FB 綊12EC . ∴四边形OMBF 为矩形． ∴BM ∥OF .又∵OF ⊂面AEF ，BM ⊄面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．方法二如图，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ 、PB 、BQ . ∴PQ ∥AE .∵EC ＝2FB ， ∴PE 綊BF ，PB ∥EF .∴PQ ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF . 又PQ ∩PB ＝P ， ∴平面PBQ ∥平面AEF . 又∵BQ ⊂面PQB ， ∴BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点． 17.如图，在底面是平行四边形的四棱锥P —ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．解析当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC . 证明：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE .①由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点．连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点，连接OE ，所以BM ∥OE .②由①，②知，平面BFM ∥平面AEC . 又BF ⊂平面BFM ，所以BF ∥平面AEC . 18.(2012·山东)如图，几何体E —ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC. 解析(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC.因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)方法一如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN ∥平面BEC . 又DM ⊂平面DMN ，所以DM ∥平面BEC .方法二如图，延长AD ，BC 交于点F ，连接EF .因为CB ＝CD ，∠BCD ＝120°，所以∠CBD ＝30°. 因为△ABD 为正三角形，所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°. 因此∠AFB ＝30°. 所以AB ＝12AF . 又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连接DM ，由于点M 是线段AE 的中点，因此DM ∥EF .又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ，所以DM ∥平面BEC .1．设x ，y ，z 为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x ⊥z ，y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的序号有________．(把所有的真命题全填上)①x 为直线，y ，z 为平面；②x ，y ，z 都为平面；③x ，y 为直线，z 为平面；④x ，y ，z 都为直线，⑤x ，y 为平面，z 为直线．答案 ③⑤解析 ①直线x 可能在平面y 内；②平面x 与y 可能相交；④直线x 与y 可能相交，也可能异面，故③⑤正确．2．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 是平行四边形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ∥平面P AD .证明方法一取CD 中点E ，连接NE 、ME .∵M 、N 分别是AB 、PC 的中点，∴NE ∥PD ，ME ∥AD .∴NE ∥平面P AD ，ME ∥平面P AD .又NE ∩ME ＝E ，∴平面MNE ∥平面P AD .又MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面P AD .方法二取PD 中点F ，连接AF 、NF .∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点，∴NF 綊12CD ，AM 綊12CD .∴AM 綊NF .∴四边形AMNF 为平行四边形．∴MN ∥AF .又AF ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，∴MN ∥平面P AD . 3.如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 在边BC 上，AD ⊥C 1D .(1)求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；(2)设E 是B 1C 1上的一点，当B 1E EC 1的值为多少时，A 1E ∥平面ADC 1？请给出证明．解析 (1)在正三棱柱中，CC 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥CC 1. 又AD ⊥C 1D ，CC 1交C 1D 于C 1，且CC 1和C 1D 都在平面BCC 1B 1内，∴AD ⊥平面BCC 1B 1.(2)由(1)得AD ⊥BC .在正三角形ABC 中，D 是BC 的中点．当B 1E EC 1＝1，即E 为B 1C 1的中点时，A 1E ∥平面ADC 1. 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BCC 1B 1是矩形，且D 、E 分别是BC 、B 1C 1的中点，∴B 1B ∥DE ，B 1B ＝DE .又B 1B ∥AA 1，且B 1B ＝AA 1，∴DE ∥AA 1，且DE ＝AA 1.∴四边形ADEA 1为平行四边形，∴A 1E ∥AD .而A 1E ⊄平面ADC 1，故A 1E ∥平面ADC 1.。

2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业26

课时作业(二十六)1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是 ( )A ．(－32，12]B ．[－12，32] C ．[12，32] D ．[－32，－12]答案 B解析 x ∈[0，π2]，x ＋π6∈[π6，23π]，∴y ∈[－12，32]．2．(2012·山东)函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3 答案 A解析当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin(πx 6－π3)≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.3．(2012·湖南)函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为 ( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32]答案 B解析因为f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3(32sin x －12cos x )＝3sin(x －π6)，所以函数f (x )的值域为[－3，3]．4．函数y ＝sin x ＋sin|x |的值域是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[0,2]D ．[0,1]答案 B解析当x ＞0时，y ＝2sin x ，y ∈[－2,2]，x ≤0，时y ＝0.5．如果|x |≤π4，那么函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是 ( )A.2－12B ．－2＋12C ．－1 D.1－22答案 D解析 f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(sin x －12)2＋54，当sin x ＝－22时，有最小值，y min ＝24－22＝1－22.6．函数y ＝12sin(2x ＋π6)＋5sin(π3－2x )的最大值是 ( )A ．6＋532 B ．17 C ．13 D ．12答案 C解析 y ＝12sin(2x ＋π6)＋5cos[π2－(π3－2x )] ＝12sin(2x ＋π6)＋5cos(2x ＋π6)＝13sin(2x ＋π6＋φ)(φ＝arctan 512)，故选C.7．当0＜x ＜π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x 的最小值是( )A.14B.12 C ．2 D ．4答案 D 解析 f (x )＝1－tan 2x ＋tan x＝1－(tan x －12)2＋14，当tan x ＝12时，f (x )的最小值为4，故选D. 8．已知f (x )＝sin x ＋1sin x ，下列结论正确的是( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值答案 B解析令t ＝sin x ，t ∈(0,1]，则y ＝1＋1t ，t ∈(0,1]是一个减函数，则f (x )只有最小值而无最大值．另外还可通过y ＝1＋1sin x ，得出sin x ＝1y －1，由sin x ∈(0,1]也可求出，故选B.9．函数y ＝sin x ＋3cos x 在区间[0，π2]上的最小值为______．答案 1解析 y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)，x ∈[0，π2]． ∴x ＋π3∈[π3，5π6]，∴y min ＝2sin 5π6＝1.10．函数y ＝sin 2x ＋2cos x 在区间[－23π，α]上最小值为－14，则α的取值范围是________．答案 (－23π，2π3]解析 y ＝2－(cos x －1)2，当x ＝－23π时，y ＝－14，根据函数的对称性x ∈(－23π，2π3]．11．(2011·上海理)函数y ＝sin(π2＋x )cos(π6－x )的最大值为________．答案2＋3412．函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2－2cos 2x －m 在[0，π2]上有零点，则实数m 的取值范围是________．答案 [－1，2]解析 f (x )＝1＋2sin x cos x －2cos 2x －m ＝0有解，x ∈[0，π2]．即sin2x －cos2x ＝m 有解．2sin(2x－π4)＝m有解．∵x∈[0，π2]，2x－π4∈[－π4，3π4]，∴2sin(2x－π4)∈[－1，2]．13．函数y＝1sin2x＋2cos2x的最小值是________．答案3＋2 2解析y＝1sin2x＋2cos2x＝sin2x＋cos2xsin2x＋2sin2x＋2cos2xcos2x＝3＋cos2xsin2x＋2sin2xcos2x≥3＋22，∴y min＝3＋2 2.14．(2013·东城区)已知函数f(x)＝2cos2x＋23sin x cos x＋a，且f(π6)＝4.(1)求a的值；(2)当－π4≤x≤π3时，求函数f(x)的值域．答案(1)a＝1(2)[2－3，4]解析(1)由f(π6)＝4，可得2×(32)2＋23×12×32＋a＝4.∴a＝1.(2)f(x)＝2cos2x＋23sin x cos x＋1 ＝cos2x＋3sin2x＋2＝2sin(2x＋π6)＋2，∵－π4≤x≤π3，∴－π3≤2x＋π6≤5π6.∴－32≤sin(2x＋π6)≤1.∴2－3≤f(x)≤4.∴函数f(x)的值域为[2－3，4]．15．(2012·四川文)已知函数f (x )＝cos 2x2－sin x 2cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin2α的值．解析 (1)由已知，f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12 ＝12(1＋cos x )－12sin x －12 ＝22cos(x ＋π4)．所以f (x )的最小正周期为2π，值域为[－22，22]． (2)由(1)知，f (α)＝22cos(α＋π4)＝3210，所以cos(α＋π4)＝35.所以sin2α＝－cos(π2＋2α)＝－cos2(α＋π4) ＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－1825＝725.16．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图像如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x 的值．答案 (1)f (x )＝2sin(32x ＋π4) (2)x ＝π4时，g (x )max ＝4 解析 (1)由图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，∴ω＝32.又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0， ∴sin(φ－π4)＝0.∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4. ∴φ－π4＝0，即φ＝π4.∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin(32x ＋π4)． (2)由(1)可得f (x －π12)＝2sin[32(x －π12)＋π4] ＝2sin(32x ＋π8)，∴g (x )＝[f (x －π12)]2＝4×1－cos (3x ＋π4)2＝2－2cos(3x ＋π4)．∵x ∈[－π6，π3]，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4. ∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.17．(2012·山东理)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos2x )(A >0)，函数f (x )＝m·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在[0，5π24]上的值域．解析 (1)f (x )＝m·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos2x ＝A (32sin2x ＋12cos2x )＝A sin(2x ＋π6)．因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到 y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]＝6sin(2x ＋π3)的图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图像．因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．因为x ∈[0，5π24]，所以4x ＋π3∈[π3，7π6]．故g (x )在[0，5π24]上的值域为[－3,6]．18．(2012·重庆文)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图像与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f (x ＋π6)的值域．解析 (1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2. 因f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2. 从而sin(2×π6＋φ)＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . 又由－π<φ≤π，得φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin (2x ＋π2)＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos2x＝(2cos2x－1)(3cos2x＋2)2(2cos2x－1)＝32cos2x＋1(cos2x≠12)．因cos2x∈[0,1]，且cos2x≠12，故g(x)的值域为[1，74)∪(74，52]．1．已知函数f(x)＝sin(πx＋θ)cos(πx＋θ)在x＝3时取得最小值，则θ的一个值可以是()A．－π2B．－π4C.π4 D.π2答案 B解析∵f(x)＝12sin(2πx＋2θ)，∴f(3)＝12sin(6π＋2θ)＝12sin2θ.此时sin2θ＝－1,2θ＝2kπ－π2.∴θ＝kπ－π4(k∈Z)．2．(2012·烟台模拟)已知向量a＝(－12cos x，－x)，b＝(1，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(0，π2)上存在增区间，则t的取值范围为________．答案(－∞，1 2)解析f(x)＝a·b＝－12cos x－tx.f′(x)＝12sin x－t，由f′(x)≥0，得12sin x－t≥0，∴t≤12sin x.∵f(x)在区间(0，π2)上存在增区间，∴t应小于12sin x在(0，π2)上最大值，即t<12.3．(2012·湖北文)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图像关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图像经过点(π4，0)，求函数f (x )的值域．解析 (1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图像的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1.所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图像过点(π4，0)，得f (π4)＝0.即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2. 故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，函数f (x )的值域为 [－2－2，2－2]．4．(2012·四川理)函数f (x )＝6cos 2ωx2＋3sin ωx －3(ω>0)在一个周期内的图像如图所示，A 为图像的最高点，B 、C 为图像与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f (x )的值域；(2)若f (x 0)＝835，且x 0∈(－103，23)，求f (x 0＋1)的值．解析 (1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin(ωx ＋π3)．又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4. 所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4. 函数f (x )的值域为[－23，23]． (2)因为f (x 0)＝835，由(1)有f (x 0)＝23sin(πx 04＋π3)＝835，即sin(πx 04＋π3)＝45. 由x 0∈(－103，23)，知πx 04＋π3∈(－π2，π2)．所以cos(πx 04＋π3)＝1－(45)2＝35.故f (x 0＋1)＝23sin(πx 04＋π4＋π3) ＝23sin[(πx 04＋π3)＋π4]＝23[sin(πx 04＋π3)cos π4＋cos(πx 04＋π3)sin π4] ＝23×(45×22＋35×22)＝765.5．已知△ABC 中，AC ＝1，∠ABC ＝2π3，∠BAC ＝x ，记f (x )＝AB →·BC →.(1)求函数f (x )的解析式及定义域；(2)设g (x )＝6m ·f (x )＋1，x ∈(0，π3)，是否存在正实数m ，使函数g (x )的值域为(1，54]？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．解析 (1)由正弦定理，得BC sin x ＝1sin 2π3＝ABsin (π3－x ).∴BC ＝1sin 2π3sin x ，AB ＝sin (π3－x )sin 2π3.∴f (x )＝AB →·BC →＝AB ·BC ·cos π3＝43sin x ·sin(π3－x )·12＝23(32cos x －12sin x )·sin x ＝13sin(2x ＋π6)－16(0<x <π3)．(2)g (x )＝6m ·f (x )＋1＝2m sin(2x ＋π6)－m ＋1(0<x <π3)．假设存在正实数m 符合题意，∵x ∈(0，π3)， ∴π6<2x ＋π6<5π6，∴sin(2x ＋π6)∈(12，1]． ∵m >0，∴函数g (x )＝2m sin(2x ＋π6)－m ＋1的值域为(1，m ＋1]．又函数g (x )的值域为(1，54]，∴m ＋1＝54，解得m ＝14.∴存在．。

2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业42

课时作业(四十二)1．设A ＝[－2,4)，B ＝{x |x 2－ax －4≤0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．分析观察到方程x 2－ax －4＝0有两个实根，故此题不妨用求根公式来解决．解析因x 2－ax －4＝0有两个实根x 1＝a 2－4＋a 24，x 2＝a 2＋4＋a 24，故B ⊆A 等价于x 1≥－2且x 2<4，即a2－4＋a 24≥－2且a 2＋4＋a 24<4，解之得0≤a <3.2．已知方程x 2＋(3m －1)x ＋(3m －2)＝0的两个根都属于(－3,3)，且其中至少有一个根小于1，求m 的取值范围．解析原方程即为(x ＋1)(x ＋3m －2)＝0，所以方程两根分别为－1,2－3m ，而－1在(－3,1)上，则由题意，另一根满足－3<2－3m <3⇔－13<m <53.3．已知方程4x 2＋2(m －1)x ＋(2m ＋3)＝0(m ∈R )有两个负根，求m 的取值范围．解析依题意有⎩⎨⎧ Δ＝4(m －1)2－4×4(2m ＋3)≥0，－(m －1)<0，2m ＋3>0，∴m ≥11.4．求实数m 的范围，使关于x 的方程x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6＝0.(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根α，β，且满足0<α<1<β<4；(3)至少有一个正根．解析设y ＝f (x )＝x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6.(1)依题意有f (2)<0，即4＋4(m －1)＋2m ＋6<0，得m <－1.(2)依题意有⎩⎨⎧ f (0)＝2m ＋6>0，f (1)＝4m ＋5<0，f (4)＝10m ＋14>0，解得－75<m <－54. (3)方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，f (0)>0，2(m －1)－2>0，即⎩⎨⎧ m ≤－1或m ≥5，m >－3，m <1，∴－3<m ≤－1.②有一个正根，一个负根，此时可得f (0)<0，得m <－3.③有一个正根，另一根为0，此时可得⎩⎨⎧6＋2m ＝0，2(m －1)<0，∴m ＝－3.综上所述，得m ≤－1.5．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围．解析 (1)条件说明抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，则⎩⎨⎧ f (0)＝2m ＋1<0，f (－1)＝2>0，f (1)＝4m ＋2<0，f (2)＝6m ＋5>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56⇔－56<m <－12.∴实数m 的范围是(－56，－12)．(2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0,1)内，列不等式组⎩⎨⎧ f (0)>0，f (1)>0，Δ≥0，0<－m <1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0⇔－12<m ≤1－ 2.∴实数m 的范围是(－12，1－2]．6．已知二次方程mx 2＋(2m －1)x －m ＋2＝0的两个根都小于1，求m 的取值范围．解析方法一二次方程两个根都小于1，其充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧ (2m －1)2＋4m (m －2)≥0， ①m [m ＋(2m －1)－m ＋2]>0， ②－2m －12m <1. ③①即为8m 2－12m ＋1≥0，它的解集是(－∞，3－74]∪[3＋74，＋∞)．②即为m (2m ＋1)>0，它的解集是(－∞，－12)∪(0，＋∞)．③的解集是(－∞，0)∪(14，＋∞)．所以，m 的取值范围是(－∞，－12)∪[3＋74，＋∞)．方法二二次方程mx 2＋(2m －1)x －m ＋2＝0有两个根的充要条件是Δ≥0. 设两根为x 1，x 2，由于x 1，x 2都小于1，即x 1－1<0，x 2－1<0，其充要条件为：⎩⎨⎧ (x 1－1)＋(x 2－1)<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，即⎩⎨⎧x 1＋x 2－2<0，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0. 因此，方程两个根都小于1的充要条件是： ⎩⎪⎨⎪⎧ (2m －1)2＋4m (m －2)≥0，－2m －1m－2<0，－m ＋2m ＋2m －1m ＋1>0，以下同方法一(略)． 7．如果二次函数y ＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围．解析 ∵f (0)＝1>0，(1)当m <0时，二次函数图像与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意．(2)当m >0时，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，3－m m >0，解得0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0}．8．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解析函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，即方程f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ＝0在[－1,1]上有解．a ＝0时，不符合题意，所以a ≠0，方程f (x )＝0在[－1,1]上有解⇔f (－1)·f (1)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ af (－1)≥0，af (1)≥0，Δ＝4＋8a (3＋a )≥0，－1a ∈[－1，1]⇔ 1≤a ≤5或a ≤－3－72或a ≥5⇔a ≤－3－72或a ≥1.－3－7所以实数a的取值范围是a≤2或a≥1.。

2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业19

课时作业(十九)1．下列值等于1的积分是( )A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x 答案 C2．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则f (x )d x 等于 ( )A ．0B ．4C ．8D ．16答案 D 解析原式＝－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，∵原函数为偶函数， ∴在y 轴两侧的图像对称．∴对应的面积相等.8×2＝16，故选D.3．设集合P ＝{x |⎠⎛0x (3t 2－10t ＋6)d t ＝0，x >0}，则集合P 的非空子集个数是( )A ．2B ．3C ．7D ．8答案 B解析依题意得⎠⎛0x (3t 2－10t ＋6)d t ＝(t 3－5t 2＋6t )⎪⎪⎪x0＝x 3－5x 2＋6x ＝0，由此解得x ＝0或x ＝2或x ＝3.又x >0，因此集合P ＝{2,3}，集合P 的非空子集的个数是22－1＝3，选B. 4．函数f (x )＝x 2＋2x ＋m (x ，m ∈R )的最小值为－1，则⎠⎛12f (x )d x 等于 ( )A ．2B.163C ．6D ．7答案 B解析 f (x )＝(x ＋1)2＋m －1，∵f (x )的最小值为－1， ∴m －1＝－1，即m ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x .⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(x 2＋2x )d x ＝(13x 3＋x 2)⎪⎪⎪21＝13×23＋22－13－1＝163. 5．(2013·朝阳区)下列命题：p ：函数f (x )＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；q ：已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(－1，λ2)，c ＝(－1,1)，则(a ＋b )∥c 的充要条件是λ＝－1；r ：若⎠⎛1a 1x d x ＝1(a >1)，则a ＝e.其中所有的真命题是 ( )A ．rB ．p ，qC ．q ，rD ．p ，r答案 D解析 p ：sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x ) ＝－(cos 2x －sin 2x )＝－cos2x ， ∴T ＝2π2＝π.故p 对；q ：a ＋b ＝(λ－1，λ2＋1)，(a ＋b )∥c ⇔(λ－1)·1－(λ2＋1)·(－1)＝0，即λ2＋λ＝0，∴λ＝0或－1；r ：⎠⎛1a 1x d x ＝ln x＝ln a －ln1＝ln a ＝1，∴a ＝e ，故真命题是p ，r .6．如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f (x )＝sin x (x ∈(0，π))及直线x ＝a (a ∈(0，π))与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A.7π12B.2π3 C.3π4 D.5π6答案 B解析阴影部分的面积为S ＝⎠⎛0a sin x d x ＝(－cos x )| a 0＝－cos a －(－cos0)＝1－cos a .∵点落在阴影部分的概率为P ＝14＝1－cos a6， ∴cos a ＝－12，又a ∈(0，π)， ∴a ＝2π3.选B.7．(2013·山东淄博一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30为( )A ．15B ．20C ．25D ．30答案 A解析 S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)＝12.因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，即12,5，S 30－17成等差数列，易得S 30＝15.8．(2013·惠州高三模拟)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为________．答案 112解析结合图形可知所求封闭图形的面积为⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4＝112.9．曲线y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围成的图形面积是________.答案 3解析结合图形知其面积为S＝cos x d x＋＝－＝1－(－1－1)＝3.10．(2013·吉林实验中学)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．答案33解析 ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx＝13a ＋c ＝f (x0)＝＋c ，∴＝13，x 0＝±33.又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33.11．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1)1x，x ∈[1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0ef (x )d x 的值为________．答案 43解析 ⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1x d x＝13x 3＝13＋ln e ＝43.12．(2013·山东临沂一模)函数f(x)＝x 3－x 2＋x ＋1在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x 2围成的图形的面积等于________．答案 43解析函数的导数为f ′(x)＝3x 2－2x ＋1，所以f ′(1)＝3－2＋1＝2，即切线方程为y －2＝2(x －1)，整理得y ＝2x.由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝2x ，解得交点坐标为(0,0)，(2,2)，所以切线与函数g(x)＝x 2围成的图形的面积为⎠⎛12(2x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3＝4－83＝43.13．f(x)＝3＋2x －x 2，则⎠⎛13f(x)d x 为________．答案 π解析由y ＝3＋2x －x 2＝4－(x －1)2，(x －1)2＋y 2＝4，(y ≥0) ∴⎠⎛133＋2x －x 2d x 是圆面积的14，∴等于14·π·22＝π. 14．已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R )的图像如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为______．答案－1解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0. ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.15．平面直角坐标系中，动点P 到直线x ＝－2的距离比它到点F (1,0)的距离大1，设动点P 的轨迹是曲线C ，则曲线C 与直线x ＝4所围成的区域的面积S ＝________.答案 643解析依题意可知动点P 到直线x ＝－1的距离与它到点F (1,0)的距离相等，即曲线C 是以F (1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x ，即y ＝±2x ，故S ＝2⎠⎛04(2x )d x ＝643.16．求由抛物线y 2＝x －1与其在点(2,1)，(2，－1)处的切线所围成的面积．答案 23解析 y ＝±x －1.y ′x ＝±12(x －1)－12. ∵过点(2,1)的直线斜率为＝12(2－1)－12＝12，∴直线方程为y －1＝12(x －2)，即y ＝12x .同理，过点(2，－1)的直线方程为y ＝－12x ，抛物线顶点在(1,0)．如图所示，由抛物线y 2＝x －1与2条切线 y ＝12x ，y ＝－12x 围成的面积为S ＝S △AOB －2⎠⎛12x －1d x ＝12·2·2－2·23·(x －1)32| 21＝2－43(1－0)＝23.。

2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业9

课时作业(九)1．下列等式36a 3＝2a ；3－2＝6(－2)2；－342＝4(－3)4×2中一定成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 A 解析 36a 3＝36a ≠2a ；3－2＝－32<0，6(－2)2＝622＝32>0，∴3－2≠6(－2)2；－342<0，4(－3)4×2>0，∴－342≠4(－3)4×2. 2．下列函数中值域为正实数的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝(13)1－x C ．y ＝ (12)x－1D ．y ＝1－2x答案 B解析 ∵1－x ∈R ，y ＝(13)x 的值域是正实数， ∴y ＝(13)1－x 的值域是正实数．3．已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在区间[－2,2]上的最大值不大于2，则函数g (a )＝log 2a 的值域是( )A ．(－∞，－12)∪(0，12] B ．[－12，0)∪(0，12] C ．[－12，12]D ．[－12，0)∪[12，＋∞) 答案 B解析 ①当a >1时，a 2≤2⇒1<a ≤2；②当0<a <1时，a －2≤2⇒22≤a <1，则g (a )＝log 2a 的值域为g (a )∈[－12，0)∪(0，12]，故选B.4．函数y ＝0.3|x |(x ∈R )的值域是( )A ．R ＋B ．{y |y ≤1}C ．{y |y ≥1}D ．{y |0<y ≤1}答案 D解析 y ＝0.3|x |∈(0,1]，故选D.5．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11答案 B解析 ∵f (x )＝2x ＋2－x ，f (a )＝3，∴2a ＋2－a ＝3.∴f (2a )＝22a ＋2－2a ＝(2a ＋2－a )2－2＝9－2＝7.6．已知函数y ＝4x －3×2x ＋3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是 ( ) A ．[2,4] B ．(－∞，0] C ．(0,1]∪[2,4] D ．(－∞，0]∪[1,2] 答案 D解析 y ＝(2x )2－3×2x ＋3＝(2x －32)2＋34∈[1,7]， ∴(2x －32)2∈[14，254]．∴2x －32∈[－52，－12]∪[12，52]．∴2x ∈[－1,1]∪[2,4]，∴x ∈(－∞，0]∪[1,2]．7．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 B解析如图所示．由1<x <2，可知1<x 3<8；－1<x －2<0,1<(12)x －2<2. 8．若函数f (x )＝(a ＋1e x －1)cos x 是奇函数，则常数a 的值等于 ( )A ．－1B ．1C ．－12 D.12答案 D9．函数y ＝的部分图像大致是如图所示的四个图像的一个，根据你的判断，a 可能的取值是( )A.12B.32 C ．2 D ．4答案 D解析函数为偶函数，排除①②，又函数值恒为正值，则排除④，故图像只能是③，再根据图像先增后减的特征可知2a －3>1，即a >2，符合条件的只有D 选项，故选D.10．(2013·哈师大附中)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，当x ∈(－32，0)时，f (x )＝－(12)1＋x ，则f (2 011)＋f (2 013)＝( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2答案 A解析由已知，得f (2 011)＋f (2 013)＝f (670×3＋1)＋f (671×3)＝f (1)＋f (0)＝－f (－1)＝1.11．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (－2，－1)∪(1，2)解析函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则0<a 2－1<1，解得1<a <2或－2<a <－1.12．函数y ＝a x －2 009＋2 010(a >0且a ≠1)的图像恒过定点________．答案 (2 009,2 011)13．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0且a ≠1)的图像如图所示，则a ＋b 的值是________．答案－2解析 ∵⎩⎨⎧ a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－3，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－4.∴a ＋b ＝－2.答案解析由y ＝2x 是增函数，∴；由是增函数，∴，即有.15．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．答案 [2，＋∞)解析f (1)＝a 2＝19，a ＝13，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(13)2x －4， x ≥2，(13)4－2x，x <2.∴单调递减区间为[2，＋∞)．16．已知实数a 、b 满足等式(12)a ＝(13)b，下列五个关系式①0b >0时，(12)a ＝(13)b 可能成立． a (13)b . b <a <0时，显然(12)a <(13)b .综上可知：①②⑤可能成立，③④不可能成立．17．是否存在实数a ，使函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值是14?答案 a ＝3或a ＝13解析令t ＝a x ，则y ＝t 2＋2t －1. (1)当a >1时，∵x ∈[－1,1]， ∴a x ∈[1a ，a ]，即t ∈[1a ，a ]．∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2在[1a ，a ]上是增函数(对称轴t ＝－1<1a )．∴当t ＝a 时，y max ＝(a ＋1)2－2＝14. ∴a ＝3或a ＝－5.∵a >1，∴a ＝3. (2)当0<a <1时，t ∈[a ，1a ]．∵y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a ]上是增函数， ∴y max ＝(1a ＋1)2－2＝14.∴a ＝13或a ＝－15.∵0<a <1，∴a ＝13. 综上，a ＝3或a ＝13. 18．已知函数f (x )＝－2x2x ＋1.(1)用定义证明函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数； (2)若x ∈[1,2]，求函数f (x )的值域；(3)若g (x )＝a2＋f (x )，且当x ∈[1,2]时g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解析 (1)设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝∴f (x 1)－f (x 2)>0即f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数． (2)∵f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴f (x )的值域为[－45，－23]．(3)当x ∈[1,2]时，g (x )∈[a 2－45，a 2－23]． ∵g (x )≥0在x ∈[1,2]上恒成立， ∴a 2－45≥0，∴a ≥85. 19．已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．答案(1)奇函数(2)在R上是增函数(3)(－∞，－1] 解析(1)函数定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－a x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a>1时，a2－1>0，y＝a x为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝a x－a－x 为增函数．所以f(x)为增函数．当0<a<1时，a2－1<0.y＝a x为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝a x－a－x为减函数．所以f(x)为增函数．故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间[－1,1]上为增函数．所以f(－1)≤f(x)≤f(1)．所以f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－1·1－a2a＝－1.所以要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1.故b的取值范围是(－∞，－1]．1．函数y＝4－2x的定义域是() A．(0,2]B．(－∞，2]C．(2，＋∞) D．[1，＋∞)答案 B解析由4－2x≥0，得x≤2.2．(2010·重庆)函数y＝16－4x的值域是() A．[0，＋∞) B．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)答案 C3．集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．R答案 B4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x >0，2－|x |＋1，x ≤0.若关于x 的方程f (x )＋2x －k ＝0有且只有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为( )A ．(－1,2]B ．(－∞，1]∪(2，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)答案 A解析在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝－2x ＋k 的图像，数形结合即可． 5．若0<a <1,00，∴0<x －3<1，∴3<x <4.6．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图像不经过第一象限，则m 的取值范围是________．答案 m ≤－27．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f (12)＋f (1)＋f (32)＋f (2)＋f (52)＝______.答案2解析由题意知f (x )为奇函数且为周期函数，周期为2. ∴f (32)＝f (－12)＝－f (12)，f (52)＝f (12)，f (2)＝f (0)．∴所求为f (12)＋f (1)＝－1＋1＝ 2.8．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为________．答案 m ＜n 解析 ∵0＜5－12＜1，∴指数函数f (x )＝a x在定义域内为减函数，又由f (m )＞f (n )，∴结合图像得m ＜n .9．对于函数f (x )＝a －22x＋1(a ∈R )，是否存在实数a 使函数f (x )为奇函数？若存在求出a 的值，若不存在请说明理由．解析若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )． ∵a －22－x＋1＝－a ＋22x ＋1， ∴2a ＝22x ＋1＋22－x ＋1＝22x ＋1＋2·2x 1＋2x ＝2(1＋2x)2x ＋1＝2.∴a ＝1.10．函数f (x )＝lg 1＋2x ＋4x a3在x ∈(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．解析由题意可知，x ≤1时，1＋2x ＋4x a3>0，即1＋2x ＋4x a >0.∴a >－[(14)x ＋(12)x ]在x ∈(－∞，1]上恒成立． ∵(14)x 、(12)x 均为减函数， ∴－[(14)x ＋(12)x ]为增函数． ∴当x ≤1时，－[(14)x ＋(12)x ]≤－34. ∴a 的取值范围为(－34，＋∞)．11．(2011·上海理)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中a ，b 满足a ·b ≠0. (1)若a ·b >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若a ·b <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围．解析 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴函数f (x )在R 上是增函数．当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0.当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，则x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <－a 2b ，则x <log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .。

2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业20

课时作业(二十)1．下列命题为真命题的是()A．角α＝kπ＋π3(k∈Z)是第一象限角B．若sinα＝sin π7，则α＝π7C．－300°角与60°角的终边相同D．若A＝{α|α＝2kπ，k∈Z}，B＝{α|α＝4kπ，k∈Z}，则A＝B答案 C2．与－463°终边相同的角的集合是() A．{α|α＝k·360°＋463°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋103°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋257°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－257°，k∈Z}答案 C解析显然当k＝－2时，k·360°＋257°＝－463°，故选C.3．若600°角的终边上有一点P(－4，a)，则a的值为() A．43B．－4 3C．±4 3 D. 3答案 B解析tan600°＝tan(360°＋240°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝3＝a－4，∴a＝－4 3.4．sin 2·cos 3·tan 4的值() A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案 A解析∵π2<2<3<π<4<3π2，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2·cos3·tan4<0，∴选A.5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是() A．2 B．2sin1C.2sin1D．sin2答案 C解析∵2R sin1＝2，∴R＝1sin1，l＝|α|R＝2sin1，故选C.6．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C<0，则△ABC的形状是() A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定答案 B解析∵△ABC中每个角都在(0，π)内，∴sin A>0.∵sin A·cos B·tan C<0，∴cos B·tan C<0.若B，C同为锐角，则cos B·tan C>0.∴B，C中必定有一个钝角．∴△ABC是钝角三角形．故选B.7．已知点P(sin 3π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.π4 B.3π4C.5π4 D.7π4答案 D解析由sin 3π4>0，cos3π4<0知角θ在第四象限，∵tanθ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.8．(2013·临沂模拟)若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cos B－sin A，sin B－cos A)在() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 B解析∵A、B是锐角△ABC的两个内角，∴A＋B>90°，即A>90°－B.∴sin A>sin(90°－B)＝cos B，cos A<cos(90°－B)＝sin B.∴cos B－sin A<0，sin B－cos A>0.∴点P在第二象限．故选B.9．下列三角函数值结果为正的是() A．cos100°B．sin700°C．tan(－2π3) D．sin(－9π4)答案 C解析100°为第二象限角，cos100°<0；700°＝2×360°－20°，为第四象限角，∴sin700°<0；－2π3为第三象限角，tan(－2π3)>0；－9π4＝－2π－π4为第四象限角．∴sin(－9π4)<0.10．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是()A．sinθ>cosθ>tanθB．cosθ>tanθ>sinθC．sinθ>tanθ>cosθD．tanθ>sinθ>cosθ答案 D解析∵π4<θ<π2，∴tanθ>1，sinθ－cosθ＝2sin(θ－π4)．∵π4<θ<π2，0<θ－π4<π4，∴sin(θ－π4)>0，∴sinθ>cosθ.11．给出四个命题①若α∈(0，π2)，则sinα<α；②若α为第一象限角，则sinα＋cosα>1；③若α、β为第一象限角且α>β，则sinα>sinβ；④cos2>0.以上命题为真命题的有________．答案①②12．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是________．答案25π，910π，75π，1910π解析由已知θ＝2kπ＋8π5(k∈Z)．∴θ4＝kπ2＋2π5(k∈Z)．由0≤kπ2＋2π5≤2π，得－45≤k≤165.∵k∈Z，∴k＝0,1,2,3.∴θ4依次为25π，910π，75π，1910π.13．若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝34，则a的值为________．答案－43或－43 3解析方法一依题意可知角α的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终边上且sinα·cosα＝34，易得tanα＝3或33，则a＝－43或－433.方法二∵sinα·cosα＝34>0，∴sinα·cosα同号．∴角α在第三象限，即P(－4，a)在第三象限，∴a<0.根据三角函数的定义a16＋a2·－416＋a2＝34，解得a＝－43或a＝－43 3.14．如果θ是第二象限角，且cos θ2－sin θ2＝1－sinθ，那么θ2所在象限为第________象限．答案三解析∵cos θ2－sinθ2＝1－sinθ＝|cosθ2－sinθ2|，∴cos θ2≥sinθ2，∴2kπ－3π4≤θ2≤2kπ＋π4，k∈Z.又∵2kπ＋π2＜θ＜2kπ＋π，k∈Z，∴kπ＋π4＜θ2＜kπ＋π2，∴2kπ＋5π4＜θ2＜2kπ＋3π2.故θ2为第三象限角．15．若0<α<β<π2，则下列不等式正确的是________．①sinα＋sinβ<α＋β②α＋sinβ<sinα＋β③α·sinα<β·sinβ④β·sinα<α·sinβ答案①②③解析由已知得sinα<α，sinβ<β，0<sinα<sinβ，因此sinα＋sinβ<α＋β，即选项①正确．α·sinα<β·sinβ，即选项③正确．构造函数f(x)＝x－sin x(其中x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0，因此函数f(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上是增函数，当0<α<β<π2时，有f(α)<f(β)，即α－sinα<β－sinβ，α＋sinβ<sinα＋β，选项②正确．对于选项D，当α＝π6，β＝π3时，β·sinα＝π6>π6·32＝α·sinβ，选项④不正确．16．扇形的中心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．答案7＋439解析设内切圆的半径为r，扇形半径为R，则(R－r)sin60°＝r.∴R＝(1＋23)r.∴S扇形S圆＝12·2π3R2πr2＝13(Rr)2＝13(1＋23)2＝7＋439.17．(教材习题改编)若α的终边落在x＋y＝0上，求出在[－360°，360°]之间的所有角α.答案－225°，－45°，135°，315°解析若角α终边落在Ⅱ象限，∴{α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z }．若角α的终边落在Ⅳ象限内，∴{α|α＝7π4＋2k π，k ∈Z }． ∴α终边落在x ＋y ＝0上角的集合为{α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z }∪{α|α＝7π4＋2k π，k ∈Z } ＝{α|α＝3π4＋k π，k ∈Z }．令－360°≤135°＋k ·180°≤360°，∴k ＝{－2，－1,0,1}． ∴相应的角－225°，－45°，135°，315°.18．在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝22x (x ≥0)．求sin(α＋π6)的值．答案1＋266解析由射线l 的方程为y ＝22x ，可得sin α＝223，cos α＝13. 故sin(α＋π6)＝223×32＋13×12＝1＋266.1．已知θ是第一象限的角，且|sin θ2|＝－sin θ2，则θ2是 ( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 C解析 θ是第一象限的角，∴2k π<θ <π2＋2k π(k ∈Z )． ∴k π<θ2<π4＋k π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π<θ2<π4＋2n π(n ∈Z )，θ2是第一象限的角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时， π＋2n π<θ2<5π4＋2n π(n ∈Z )，θ2是第三象限的角；又⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，所以sin θ2≤0. 在θ2是第一象限角和第三象限角中只有第三象限角满足sin θ2≤0.故选C. 2．已知－360°≤β＜0°且β与α＝70°的终边关于直线y ＝x 对称，则β＝________.答案－340°3．已知tan θ<0，且角θ终边上一点为(－1，y )，且cos θ＝－12，则y ＝________. 答案3解析 ∵cos θ＝－12<0，tan θ<0， ∴θ为第二象限角，则y >0. ∴由－11＋y 2＝－12，得y ＝ 3. 4．表盘上零点时，时针与分针重合，再次重合时时针和分针各转过了多少弧度？答案分针转过了－24π11弧度，时针转过了－2π11弧度解析设经过t 小时两针再重合，∵分针每小时转－2π弧度，时针每小时转－π6弧度， ∴－π6t －2π＝－2πt ，解得t ＝1211.∴分针转过了－24π11弧度，时针转过了－2π11弧度．5．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴．若角α终边经过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，试判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值．解析依题意，P 到原点O 的距离为|PO |＝(－3)2＋y 2， ∴sin α＝y r ＝y 3＋y 2＝34y .∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16，∴y 2＝73，y ＝±213. ∴点P 在第二或第三象限．当P 在第二象限时，y ＝213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝－73.当P 在第三象限时，y ＝－213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝736．点P 为圆x 2＋y 2＝4与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周顺时针旋转至点P ′，当转过的弧长为2π3时，求点P ′的坐标．答案 P ′(1，－3)解析点P 所转过的角POP ′的弧度数为α＝－2π32＝－π3.又|OP ′|＝2， ∴点P ′的横坐标x ＝2· cos(－π3)＝1，纵坐标y ＝2·sin(－π3)＝－3，∴P ′(1，－3)．7．(1)如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限． (2)若θ是第二象限角，试判断sin (cos θ)cos (sin2θ)的符号是什么？思路 (1)由点P 所在的象限，可知sin θ、cos θ的符号，进而判断θ所在的象限．(2)由θ可判断cos θ，sin2θ的范围，把cos θ，sin2θ看作一个角，再判断sin(cos θ)，cos(sin2θ)的符号．解析 (1)因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0,2cos θ<0，即⎩⎨⎧sin θ>0，cos θ<0.所以θ为第二象限角． (2)∵2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，∴－1<cos θ<0,4k π＋π<2θ<4k π＋2π，－1≤sin2θ<0. ∴sin(cos θ)<0，cos(sin2θ)>0.sin c osθcos s in2θ<0.∴sin c osθcos s in2θ的符号是负号．∴。

2014高考调研理科数学课本讲解-10-2-排列、组t

(3)由组合数的定义知00≤ ≤59－－nn≤ ≤nn，＋1，解得 4≤n≤5，又 n∈N*， ∴n＝4 或 n＝5. 当 n＝4 时，原式＝C14＋C55＝5，当 n＝5 时，原式＝C05＋C46＝16. 探究 1 运用排列数、组合数公式证明等式时，一般用阶乘式．运用排列数、组合数公式计算具体数字的排列数、组合数时一般用展开式，直接进行运算．
请注意！
1．排列、组合问题每年必考． 2．以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力． 3．以选择、填空的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查.
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()
A．9 个
B．24 个
C．36 个
D．54 个
答案 D
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解析选出符合题意的三个数有 C13C23＝9 种方法，每三个数可排成 A33＝6 个三位数，
∴共有 9×6＝54 个符合题意的三位数．
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＝8.
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3．从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要有甲型与乙型电视机各 1 台，不同的取法有________．
答案 70 种解析方法一直接法：可以从 4 台甲型电视机中取 2 台，再从 5 台乙型电视机中取 1 台，或者从 4 台甲型电视机中取 1 台，再从 5 台乙型电视机中取 2 台，所以共有 C24·C15＋C14·C25＝ 70 种选法．

2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业37

课时作业(三十七)1．已知数列的前n 项和为S n ＝an －1(a 为不为零的实数)，则此数列( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或是等差数列或是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列答案 C解析 b n ＝S n －S n －1＝an －a (n －1)＝a .2．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 2 013等于 ( )A ．2 013×2 014B ．2 012×2 013C ．2 011×2 012D ．2 013×2 013答案 B解析累加法易知选B.3．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n (n ≥2)，则x n 等于( )A ．(23)n －1 B ．(23)n C.n ＋12 D.2n ＋1答案 D 解析由关系式易知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为首项为1x 1＝1，d ＝12的等差数列，1x n＝n ＋12，所以x n ＝2n ＋1.4．在正整数列{a n }中，已知a 1＝2，且点(a n ，a n －1)在直线x －2y ＝0上，则其前n 项和S n 等于( )A ．2n －1B ．2n ＋1－2C ．2n2－ 2 D ．2n ＋22－ 2答案 B解析点坐标代入直线方程易知数列{a n }为首项a 1＝2，q ＝2的等比数列，所以S n ＝2(2n －1)2－1＝2n ＋1－2.5．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝12a n －1＋1(n ≥2)，则a n ＝ ( )A ．2－(12)n －1 B ．(12)n －1－2 C ．2－2n －1 D ．2n －1答案 A解析设a n ＋c ＝12(a n －1＋c )，易得c ＝－2，所以a n －2＝(a 1－2)(12)n －1＝－(12)n－1，所以选A.6．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝32a n －3，则这个数列的通项公式a n ＝( ) A ．2(n 2＋n ＋1) B ．2·3n C ．3·2n D ．3n ＋1答案 B解析 a n ＝S n －S n －1，可知选B.7．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，有a n ＝3a n －1＋2，则a n ＝________. 答案 2·3n －1－1解析设a n ＋t ＝3(a n －1＋t )，则a n ＝3a n －1＋2t .∴t ＝1，于是a n ＋1＝3(a n －1＋1)．∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以3为公比的等比数列．∴a n ＝2·3n －1－1.8．(2013·宁波一中)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ≥2)，则a n ＝________.答案 (2n －1)·2n .解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ≥2)，∴a n 2n ＝a n －12n －1＋2.令b n ＝a n2n ，则b n －b n －1＝2(n ≥2)，b 1＝1.∴b n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，则a n ＝(2n －1)·2n .9．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案 2n (n －1)2解析由于a n ＋1a n ＝2n ，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘，得a na 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n (n －1)2，故a n ＝2n (n －1)2.10．已知{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝13n －2解析由已知，可得当n ≥1时，a n ＋1＝a n3a n ＋1.两边取倒数，得1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3.即1a n ＋1－1a n ＝3，所以{1a n }是一个首项为1a 1＝1，公差为3的等差数列．则其通项公式为1a n＝1a 1＋(n －1)×d ＝1＋(n －1)×3＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －2.11．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *.设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式．解析依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n＋1＝2(S n －3n )．因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *. 12．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a ，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式．解析由S n ＋1＝2S n ＋n ＋1，① 得S n ＝2S n －1＋(n －1)＋1(n ≥2)． ②①－②，得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋n －(n －1)．故a n ＋1＝2a n ＋1.(n ≥2)又a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ≥2)．故数列{a n ＋1}是从第2项起，以a 2＋1为首项，公比为2的等比数列．又S 2＝2S 1＋1＋1，a 1＝a ，所以a 2＝a ＋2.故a n ＝(a ＋3)·2n －2－1(n ≥2)．又a 1＝a 不满足a n ＝(a ＋3)·2n －2－1，所以a n ＝⎩⎨⎧ a ，(a ＋3)·2n －2－1，n ＝1，n ≥2.13．在数列{a n }中，a 1＝5，a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2，n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解析 ∵a 1＝5，a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2，n ∈N *)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋(1－12n )．令b n ＝a n2n ，b n －b n －1＝1－12n ⇒b n －b 1＝2n －32＋12n ，则 b n ＝(n ＋1)＋12n .∴数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)·2n ＋1.14．已知数列{a n }，满足a 1＝1，a n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1(n ≥2)，求{a n }的通项公式．解析 ∵a n ＋1＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＋na n ， ∴两式相减得a n ＋1－a n ＝na n (n ≥2)，则a n ＋1a n ＝n ＋1(n ≥2)．∴a 3a 2＝3，a 4a 3＝4，…，a n a n －1＝n .注意到a 2＝a 1＝1，∴a 2a 1＝1，由“累乘法”，得a na 1＝1·3·4…n ＝n ！2(n ≥2)． ∴{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n ＝1)，n ！2(n ≥2).15．已知数列{a n }中，a 1＝12，点(n,2a n ＋1－a n )在直线y ＝x 上，其中n ＝1,2,3，…. (1)令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项．解析 (1)∵点(n,2a n ＋1－a n )在直线y ＝x 上， ∴2a n ＋1－a n ＝n ，∴a n ＋1＝a n 2＋n2.∴b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1－1＝(12a n ＋1＋n ＋12)－a n ＋1－1 ＝－a n ＋12＋n 2－12. 但2a n ＋1－a n ＝n ，∴b n ＋1＝－a n ＋12＋2a n ＋1－a n 2－12＝12(a n ＋1－a n－1)＝12b n ，∴数列{b n }是等比数列．(2)∵2a 2－a 1＝1，a 1＝12，∴a 2＝34.则数列{b n }的首项b 1＝－34，故 b n ＝－34·(12)n －1⇒a n ＋1－a n －1＝－3·(12)n ＋1⇒a n ＋1－a n ＝1－3·(12)n ＋1. 以下用“叠加法”得a n ＝32n ＋n －2.16．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1，求数列{b n }的通项公式．解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ，知a 1＝2满足该式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)∵a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1(n ≥1)， ① ∴a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1.②②－①，得b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)．故b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *)．17．{a n }为通项公式为a n ＝2n －1，且a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n .求{b n }前n 项和．解析n≥2时，a n－1＝b12＋b222＋…＋b n－12n－1，∴a n－a n－1＝b n2n＝2，∴b n＝2n＋1(n≥2)．而b1＝2，不适合上式．∴当n＝1时，S1＝b1＝2.当n≥2时，S n＝2＋23＋24＋…＋2n＋1＝2n＋2－6. n＝1时，S1适合上式．∴S n＝2n＋2－6.。

2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业34

课时作业(三十四)1．数列13，18，115，124，…的一个通项公式为 ( )A ．a n ＝12n ＋1B ．a n ＝1n ＋2 C ．a n ＝1n (n ＋2)D ．a n ＝12n－1答案 C解析观察知a n ＝1(n ＋1)2－1＝1n (n ＋2). 2．(2012·全国)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B ．(32)n －1 C ．(23)n －1 D.12n －1 答案 B解析当n ＝1时，S 1＝2a 2，又因S 1＝a 1＝1，所以a 2＝12，S 2＝1＋12＝32. 显然只有B 项符合．3．(2013·韶关模拟)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N ＋)，则数列{na n }中数值最小的项是( )A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项答案 B解析 ∵S n ＝n 2－10n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －11；当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9也适合上式． ∴a n ＝2n －11(n ∈N ＋)．记f (n )＝na n ＝n (2n －11)＝2n 2－11n ，此函数图像的对称轴为直线n ＝114，但n ∈N ＋，∴当n ＝3时，f (n )取最小值．于是，数列{na n }中数值最小的项是第3项．4．已知数列{a n }中，a 1＝b (b 为任意正数)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，能使a n ＝b 的n 的数值是( )A ．14B ．15C ．16D ．17答案 C解析 ∵a 1＝b ，a 2＝－1b ＋1，a 3＝－b ＋1b ，a 4＝b ，∴此数列的周期为3.∴能使a n ＝b 的n 的数值满足n ＝3k －2(k ∈N *)． 5．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，…的第100项是 ( )A ．14B ．12C ．13D ．15 答案 A解析易知数字为n 时共有n 个，到数字n 时，总共的数字的个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.易知n ＝13时，最后一项为91，n ＝14共有14个，故第100项为14.6．数列53，108，17a ＋b ，a －b 24，…中，有序实数对(a ，b )可以是( )A ．(21，－5)B ．(16，－1)C ．(－412，112) D ．(412，－112)答案 D解析由数列中的项可观察规律，5－3＝10－8＝17－(a ＋b )＝(a －b )－24＝2，⎩⎨⎧a ＋b ＝15，a －b ＝26，解得a ＝412，b ＝－112.故选D. 7．已知函数f (n )＝⎩⎨⎧n 2(当n 为奇数时)，－n 2 (当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 200答案 B解析当n 为奇数时，a n ＝n 2－(n ＋1)2＝－(2n ＋1)，当n 为偶数时，a n ＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1，则a n ＝(－1)n (2n ＋1)．∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－3＋5－7＋9－…－199＋201＝2×50＝100，∴选B.8．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是此数列中的第________项．答案 50解析将数列分为第1组1个，第2组2个，…，第n 组n 个，(11)，(12，21)，(13，22，31)，…，(1n ，2n －1，…，n 1)，则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1，则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.9．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________；a 2 014＝________.答案 1 0解析 ∵a 2 009＝a 503×4－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0.10．数列{a n }满足关系a n a n ＋1＝1－a n ＋1(n ∈N *)，且a 2 014＝2，则a 2 012＝________.答案－3分析将所给数值直接代入求值较为麻烦，将a n 整理为a n ＝1a n ＋1－1时用起来较为方便．解析由a n a n ＋1＝1－a n ＋1(n ∈N *)，a 2 014＝2，得a n ＝1－a n ＋1a n ＋1＝1a n ＋1－1，∴a 2013＝1a 2 014－1＝－12，∴a 2 012＝1a 2 013－1＝－2－1＝－3.11．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.答案 4解析 ∵a 1＝19，∴a 2＝a 1＋a 1＝29，a 4＝a 2＋a 2＝49，a 8＝a 4＋a 4＝89.∴a 36＝a 18＋a 18＝2a 18＝2(a 9＋a 9)＝4a 9＝4(a 1＋a 8)＝4(19＋89)＝4.12．已知f (x )＝x 2＋3x ＋2，数列{a n }满足a 1＝a ，且a n ＋1＝f ′(a n )(n ∈N *)，则该数列的通项公式a n ＝________.答案 (3＋a )·2n －1－3解析 f (x )＝x 2＋3x ＋2，∴f ′(x )＝2x ＋3. ∴a n ＋1＝f ′(a n )＝2a n ＋3. ∴a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．∴{a n ＋3}是公比为2，首项为3＋a 的等比数列． ∴a n ＋3＝(3＋a )·2n －1. ∴a n ＝(3＋a )·2n －1－3.13．已知{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________. 答案 ⎩⎨⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2解析 ∵S n ＋1＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1. ∴n ＝1时，a 1＝3. n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n . ∴a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.14．已知f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当－2≤x ≤0时，f (x )＝2x ，若n ∈N *，a n ＝f (n )，则a 2 014＝________.答案 14解析由f (x )为偶函数，得0≤x ≤2时f (x )＝2－x . 又f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图像关于x ＝2对称．又f (x )的图像还关于x ＝0对称， ∴f (x ＋4)＝f (x )，∴a n ＋4＝a n .∴a 2 014＝a 4×503＋2＝a 2＝f (2)＝f (－2)＝2－2＝14.15．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．答案 212解析在a n ＋1－a n ＝2n 中，令n ＝1，得a 2－a 1＝2；令n ＝2，得a 3－a 2＝4，…，a n －a n －1＝2(n －1)．把上面n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝(2＋2n －2)(n －1)2＝n 2－n ，∴a n＝n 2－n ＋33，∴a n n ＝n 2－n ＋33n ＝n ＋33n －1≥233－1，当且仅当n ＝33n ，即n ＝33时取等号，而n ∈N *，∴“＝”取不到．∵5＜33＜6，∴当n ＝5时，a n n ＝5－1＋335＝535，当n ＝6时，a n n ＝6－1＋336＝636＝212.∵535＞212，∴a n n 的最小值是212.16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．答案 (1)2项 (2)n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2 解析 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94的对称轴方程为n ＝52，又n ∈N *，∴n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.17．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N ＋，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．答案 (1)最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0 (2)－10<a <－8 解析 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N ＋，a ∈R ，且a ≠0)，∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性．可知1>a 1>a 2>a 3>a 4； a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N ＋)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，并结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，∴5<2－a2<6，∴－10<a <－8.18．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n >0，S n 是数列{a n }的前n 项和，对任意n ∈N *，有2S n ＝p (2a 2n ＋a n －1)(p 为常数)．(1)求p 和a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．答案 (1)a 2＝32，a 3＝2 (2)a n ＝12(n ＋1)解析 (1)令n ＝1得2S 1＝p (2a 21＋a 1－1)．又a 1＝S 1＝1，得p ＝1；令n ＝2，得2S 2＝2a 22＋a 2－1.又S 2＝1＋a 2，得2a 22－a 2－3＝0，a 2＝32或a 2＝－1(舍去)，∴a 2＝32；令n ＝3，得2S 3＝2a 23＋a 3－1.又S 3＝52＋a 3，得2a 23－a 3－6＝0，a 3＝2或a 3＝－32(舍去)，∴a 3＝2. (2)由2S n ＝2a 2n ＋a n －1，得2S n －1＝2a 2n －1＋a n －1－1(n ≥2)，两式相减，得2a n ＝2(a 2n －a 2n －1)＋a n －a n －1，即(a n ＋a n －1)(2a n －2a n －1－1)＝0.∵a n >0，∴2a n －2a n －1－1＝0，即a n －a n －1＝12(n ≥2)．故{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，得a n ＝12(n ＋1)．1．记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于________．答案 4解析当n ＝1时，由S 1＝a 1＝2(a 1－1)，得a 1＝2；当n ＝2时，由a 1＋a 2＝2(a 2－1)，得a 2＝4.2．如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖________块．(用含n 的代数式表示)答案 4n ＋8解析第(1)、(2)、(3)…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12；24－8＝16；35－15＝20；…由此可猜测第(n )个图案黑色瓷砖数为：12＋(n －1)×4＝4n ＋8.3．若数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且对于任意大于1的整数n ，点(S n ，S n －1)在直线x －y －2＝0上，则数列{a n }的通项公式为__________．答案 a n ＝4n －24．(2012·全国大纲)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n . (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解析 (1)由S 2＝43a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n >1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…， a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n (n ＋1)2. 综上，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.。

2014高考数学总复习课时作业28 新人教版

课时作业(28)1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥αB ．l ⊥α C ．l ⊂αD ．l 与α斜交答案 B解析 ∵u ＝－2a ，∴u ∥a ，∴l ⊥α.2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )A ．平面B ．相交但不垂直C ．垂直D ．重合答案 C解析由(1,2,0)·(2，－1,0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直．3．已知A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A ．(33，33，－33) B ．(33，－33，33) C ．(－33，33，33) D ．(－33，－33，－33) 答案 D解析 AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．单位法向量为±n |n |＝±(33，33，33)．4．已知点A ，B ，C ∈平面α，点P ∉α，则AP →·AB →＝0且AP →·AC →＝0是AP →·BC →＝0的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析已知AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝0⇒AP →·BC →＝AP →·(AC →－AB →)＝AP →·AC →－AP →·AB →＝0. 若A 、B 、C 三点共线⇒AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝0.若A ，B ，C 三点不共线DAP →⊥αDAP →·AB →＝0，AP →·AC →＝0.5．已知a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是( ) A ．a ∥c ，b ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对答案 C解析 a ·b ＝0，a ⊥b ，c ＝2a ，c ∥a .6．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，则向量a 为( )A ．(1,1,1)B ．(－1，－1，－1)C ．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1) 答案 C解析 AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，设a ＝(a ，b ，c )，⎩⎪⎨⎪⎧－2a －b ＋3c ＝0，a －3b ＋2c ＝0⇒b ＝c ＝a .∴a 2＋b 2＋c 2＝3，a 2＝1 a ＝±1. ∴a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．7．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1) 答案 D解析 ∵l ∥平面α，∴a ⊥n .a ·n ＝0，只有D 符合．8．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5 B.41 C ．4 D ．2 5 答案 A解析设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )，∴由AC →·BD →＝0，得λ＝－45，∴BD →＝(－4，95，125)，∴|BD →|＝5.9．如图所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．与a 值有关答案 B解析方法一如下图甲所示，连接A ′B ，AB ′，AF ，DE 易知A ′B 是D ′E 在平面ABB ′A ′上的射影．∵AB ′⊥A ′B ，∴D ′E ⊥AB ′. 又由BE ＝CF ，知EC ＝FD ，而AD ＝CD ， ∴Rt △DCE ≌Rt △ADF .∴∠EDC ＝∠FAD .而∠EDC ＋∠EDA ＝90°， ∴∠FAD ＋∠EDA ＝90°，从而AF ⊥DE . 又易知DE 是D ′E 在底面ABCD 上的射影， ∴D ′E ⊥AF .综上，知D ′E ⊥平面AB ′F ，从而D ′E ⊥B ′F . 方法二建立如图乙所示空间直角坐标系．则D ′(0,0,1)，E (1－a,1,0)，B ′(1,1,1)，F (0,1－a,0)， ∴D ′E →＝(1－a,1，－1)，B ′F →＝(－1，－a ，－1)．∴D ′E →·B ′F →＝(1－a )×(－1)＋1×(－a )＋(－1)×(－1)＝a －1－a ＋1＝0. ∴D ′E →⊥B ′F →，即D ′E ⊥B ′F .10．设平面α与向量a ＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(2,3,1)垂直，则平面α与β位置关系是________．答案垂直解析由已知a ，b 分别是平面α，β的法向量． ∵a ·b ＝－2＋6－4＝0， ∴a ⊥b ，∴α⊥β.11．设a ＝(1,2,0)，b ＝(1,0,1)，则“c ＝(23，－13，－23)”是“c ⊥a ，c ⊥b 且c 为单位向量”的________．(将正确的序号填上)．①充要条件 ②充分不必要条件 ③必要不充分条件④既非充分条件也非必要条件答案 ②解析当c ＝(23，－13，－23)时，c ⊥a ，c ⊥b 且c 为单位向量，反之则不成立．12．下列命题中，所有正确命题的序号为________．①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量，a 与α共面，则n ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．答案 ①②③④13．如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．(1)求证：AM ∥平面BDE ； (2)求证：AM ⊥平面BDF .解析 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连接NE . 则点N 、E 的坐标分别为(22，22，0)、(0,0,1)． ∴NE →＝(－22，－22，1)．又点A 、M 的坐标分别是(2，2，0)、(22，22，1)， ∴AM →＝(－22，－22，1)．∴NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM . 又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .(2)同(1)，AM →＝(－22，－22，1)，∵D (2，0,0)，F (2，2，1)，∴DF →＝(0，2，1)． ∴AM →·DF →＝0.∴AM →⊥DF →.同理AM →⊥BF →.又DF ∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF . 14.如右图所示，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是PC 、PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ； (2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .思路建立空间直角坐标系后，使用向量的共线定理证明EF →∥AB →即可证明第(1)问，第(2)问根据向量的垂直关系证明线线垂直，进而证明线面垂直，得出面面垂直．解析以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如右图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E 为(12，1，12)，F 为(0,1，12)．EF →＝(－12，0,0)，PB →＝(1,0，－1)，PD →＝(0,2，－1)，AP →＝(0,0,1)，AD →＝(0,2,0)，DC →＝(1,0,0)，AB →＝(1,0,0)． (1)因为EF →＝－12AB →，所以EF →∥AB →，即EF ∥AB .又AB ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB .(2)因为AP →·DC →＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD →·DC →＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以AP →⊥DC →，AD →⊥DC →，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC .又AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以DC ⊥平面PAD .因为DC ⊂平面PDC ，所以平面PAD ⊥平面PDC .15．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .证明：平面AMD ⊥平面CDE .解析方法一因为DC ＝DE 且M 为CE 的中点，所以DM ⊥CE .取AD 中点为P ，连接MP ，则MP ⊥CE .又MP ∩DM ＝M ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .方法二如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M (12，1，12)．由AM →＝(12，1，12)，CE →＝(－1,0,1)，AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .16.(2013·西城区)如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60°.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．解析 (1)因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC . 因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD . 从而AC ⊥平面BDE .(2)因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系D －xyz 如图所示．因为BE 与平面ABCD 所成角为60°，即∠DBE ＝60°，所以ED DB＝ 3.因为正方形ABCD 的边长为3，所以BD ＝32，所以DE ＝36，AF ＝ 6.则A (3,0,0)，F (3,0，3)，E (0,0,36)，B (3,3,0)，C (0,3,0)．所以BF →＝(0，，3，6)，EF →＝(3,0，－26)．设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·BF →＝0，n ·EF →＝0，即⎩⎨⎧－3y ＋6z ＝03x －26z ＝0，令z＝6，则n ＝(4,2，6)．点M 是线段BD 上一个动点，设M (t ，t,0)．则AM →＝(t －3，t,0)．因为AM ∥平面BEF ，所以AM →·n ＝0.即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2.此时，点M 为(2,2,0)，BM ＝13BD ，符合题意．1.如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC .证明：A 1C ⊥平面BED .解析以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D —xyz .依题设B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,4)． DE →＝(0,2,1)，DB →＝(2,2,0)，A 1C →＝(－2,2，－4)，DA 1→＝(2,0,4)．因为A 1C →·DB →＝0，A 1C →·DE →＝0，故A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE .又DB ∩DE ＝D ，所以A 1C ⊥平面BED .2．已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，2AB ＝2AD ＝CD ，侧面PAD 是正三角形且垂直于底面ABCD ，E 是PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PCD ；(2)在PB 上是否存在一点F ，使AF ∥平面BDE? 解析(1)证明以AD 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝AD ＝2，则有B (1,2,0)，C (－1,4,0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)，E (－12，2，32)． ∴BE →＝(－32，0，32)，PC →＝(－1,4，－3)．CD →＝(0，－4,0)，∴BE →·PC →＝(－32，0，32)·(－1,4，－3)＝0，BE →·CD →＝(－32，0，32)·(0，－4,0)＝0.即BE ⊥PC ，BE ⊥CD .又PC ∩CD ＝C ，∴BE ⊥平面PCD .(2)解析设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵n ⊥BE →，n ⊥DE →，∴n ·BE →＝0，n ·DE →＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋32z ＝0，12x ＋2y ＋32z ＝0.令y ＝－1，则x ＝1，z ＝ 3.∴平面BDE 的一个法向量为(1，－1，3)．取PB 中点F ，则有F (12，1，32)．又A (1,0,0)，∴AF →＝(－12，1，32)．∵AF →·n ＝(－12，1，32)·(1，－1，3)＝－12－1＋32＝0，∴AF →⊥n .又n 是平面BDE 的法向量，且AF ⊄平面BDE ， ∴AF ∥平面BDE .故存在PB 中点F 使AF ∥平面BDE .3．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求证：B 1F ⊥平面AEF .解析方法一如图建立空间直角坐标系A —xyz ，令AB ＝AA 1＝4，则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B (4,0,0)，B 1(4,0,4)． (1)取AB 中点为N ，则N (2,0,0)，C (0,4,0)，D (2,0,2)．∴DE →＝(－2,4,0)，NC →＝(－2,4,0)． ∴DE →＝NC →.∴DE ∥NC .又NC 在面ABC 内，故DE ∥面ABC .(2)B 1F →＝(－2,2，－4)， EF →＝(2，－2，－2)，AF →＝(2,2,0)．word - 11 - / 11 ∴B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0.则B 1F →⊥EF →，∴B 1F ⊥EF .∵B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.∴B 1F →⊥AF →，即B 1F ⊥AF .又∵AF ∩FE ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF .方法二(1)连接A 1B 、A 1E ，并延长A 1E 交AC 的延长线于点P ，连接BP .由E 为C 1C 的中点且A 1C 1∥CP ，可证A 1E ＝EP .∵D 、E 分别是A 1B 、A 1P 的中点，∴DE ∥BP .又∵BP ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，∴DE ∥平面ABC .(2)∵△ABC 为等腰三角形，F 为BC 的中点， ∴BC ⊥AF .又∵B 1B ⊥AF ，B 1B ∩BC ＝B ，∴AF ⊥平面B 1BF .而B 1F ⊂平面B 1BF ，∴AF ⊥B 1F .设AB ＝A 1A ＝a ，则B 1F 2＝32a 2，EF 2＝34a 2，B 1E 2＝94a 2. ∴B 1F 2＋EF 2＝B 1E 2，B 1F ⊥FE .又AF ∩FE ＝F ，综上知B 1F ⊥平面AEF .。

高考数学课时作业28 文(含解析)北师大版

课时作业(二十八)一、选择题1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°解析：根据仰角与俯角的含义，画图即可得知．答案：B2．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( ) A．15米B．5米C．10米D．12米解析：如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos ∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．答案：C3．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为A ．502mB ．503mC ．252m D.2522m 解析：由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．答案：A4．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，树的上半部分折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )A.2063 米 B ．10 6 米C.1063米 D ．20 2 米解析：如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AO sin 45°＝20sin 60°，∴AO ＝2063(米)．答案：A5．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3 B ．5 3 C ．6 3D ．7 3解析：连接BD ，在△BCD 中，BC ＝CD ＝2，∠BCD ＝120°， ∴∠CBD ＝30°，BD ＝23，S △BCD ＝12×2×2×sin 120°＝ 3.在△ABD 中，∠ABD ＝120°－30°＝90°，AB ＝4，BD ＝23，∴S △ABD ＝12AB ·BD ＝12×4×23＝43，∴四边形ABCD 的面积是5 3. 答案：B6．(2012年绍兴模拟)在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m解析：依题意画出示意图．则CM －10tan30°＝CM ＋10tan45°∴CM ＝tan45°＋tan30°tan45°－tan30°×10≈37.3.答案：C 二、填空题7．在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米．解析：如图，∠C ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，2sin 45°＝ACsin 60°.得AC ＝ 6. 答案： 68．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.解析：如图所示，依题意有：AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝302(km)．答案：30 29．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．解析：如图所示，设到C 点甲船追上乙船，乙到C 地用的时间为t ，乙船速度为v ，则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，B ＝120°，由正弦定理知BC sin ∠CAB ＝ACsin B ，∴1sin ∠CAB ＝3sin 120°，∴sin ∠CAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴∠ACB ＝30°，∴BC ＝AB ＝a ，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴AC ＝3a .答案：北偏东30° 3 a三、解答题10．港口A 北偏东30°方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B 处沿正西方向航行20海里后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A 还有多远？解：在△BDC 中，由余弦定理知，cos ∠CDB ＝BD 2＋CD 2－BC 22BD ·CD＝－17，∴sin ∠CDB ＝437.∴sin ∠ACD ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫∠CDB －π3＝sin ∠CDB cos π3－cos ∠CDB sin π3＝5314.在△ACD 中，由正弦定理知ADsin ∠ACD ＝CD sin A ⇒AD ＝5314×21÷32＝15.∴此时轮船距港口还有15海里．11．如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船．(1)求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与CA →成θ角，求 f (x )＝sin 2θsin x ＋cos 2θcos x (x ∈R )的值域．解：(1)连接BC ，由余弦定理得BC 2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700， BC ＝107.(2)∵sin θ20＝sin 120°107，∴sin θ＝37， ∵θ是锐角，∴cos θ＝47， ∴ f (x )＝sin 2θsin x ＋cos 2θcos x ＝37sin x ＋47cos x＝57sin (x ＋φ)，∴ f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－57，57.12．(2012年郑州质检)郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D .(1)求AB 的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)，最低造价为多少？(3＝1.732，2＝1.414)解：(1)在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5，①在△ABD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝72＋72－AB 22×7×7.②由∠C ＝∠D ，得cos C ＝cos D ，AB ＝7，所以AB 长度为7米． (2)小李的设计符合要求，理由如下：S △ABD ＝12AD ·BD sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，因为AD ·BD >AC ·BC ，所以S △ABD >S △ABC ，故选择△ABC 建造环境标志费用较低．因为AD ＝BD ＝AB ＝7，所以△ABD 是等边三角形，∠D ＝60°，故S △ABC ＝12AC ·BC sin C ＝103，所以总造价为5 000×103＝50 0003≈86 600(元)． [热点预测]13．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°解析：灯塔A 、B 的相对位置如图所示，由已知得∠ACB ＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.答案：B14．如图，某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为35米，在地面上有一点A，测得A，C间的距离为91米，从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为45°，则这座电视发射塔的高度CD为________米．解析：AB＝912－352＝84，tan∠CAB＝BCAB＝3584＝512.由CD＋3584＝tan(45°＋∠CAB)＝1＋5121－512＝177，得CD＝169.答案：16915．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)．解：由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－217×340＝x－40，在△ABC中，由余弦定理得：|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos ∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420.在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以|CH|＝|AC|·tan∠CAH＝140 3.所以该仪器的垂直弹射高度CH为1403米．11。

2014高考数学总复习(人教新课标理科)课时作业28 第4章三角函数9含解析

课时作业(二十八）1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β,则α，β之间的关系是（)A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°答案B2．已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得∠ABC＝120°,则A、C两地的距离为A．10 km B.错误!kmC．10错误!km D．10错误!km答案D解析AC＝错误!＝错误!＝10错误!(km）．3．某人在山外一点测得山顶的仰角为42°，沿水平面退后30米,又测得山顶的仰角为39°，则山高为(sin42°≈0。

669 1，sin39°≈0。

629 3，sin3°≈0。

052 3）( ）A．180米B．214米C．242米D．266米答案C解析∵∠BCA＝42°，∠BDA＝39°，∴∠DBC＝3°。

在△BDC中，DC＝30，错误!＝错误!，∴BC＝错误!.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin42°＝错误!＝242.4．在200 m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°,则塔高为( ）A.错误!mB.错误!mC.错误!m D。

错误!m答案A解析在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AB＝200,∴BC＝错误!＝错误!错误!。

∵∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，∴∠DBC＝30°，∠BDC＝120°.在△BDC中,错误!＝错误!。

∴DC＝BC·sin30°sin120°＝错误!＝错误!（m）．5．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为（）A．d1>d2B．d1＝d2C．d1<d2D．不能确定大小答案C6．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为________千米．A．1 B．2sin10°C．2cos10° D．cos20°答案C解析由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1cos（180°－20°）＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°.7．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为________km。

2014高考数学总复习课时作业29 新人教版

课时作业(29)(第一次作业)1．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30° D．90° 答案 B解析连接A 1D ，DC 1，A 1C 1，∵E ，F 为A 1D ，A 1C 1中点， ∴EF ∥C 1D .∴EF 和CD 所成角即为∠C 1DC ＝45°.2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM →〉的值等于( ) A.12B.21015 C.23D.1115答案 B解析分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建系，令AD ＝1， ∴DB 1→＝(1,1,1)， CM →＝(1，－12，0)．∴cos 〈DB 1→，CM 〉＝1－123·52＝1515. ∴sin 〈DB →，CM →〉＝21015.3．(2012·某某)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53 C.255 D.35答案 A解析不妨设CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.由题图知，A 点的坐标为(2,0,0)，B 点的坐标为(0,0,1)，B 1点的坐标为(0,2,1)，C 1点的坐标为(0,2,0)．所以BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)．所以cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝0×－2＋2×2＋－1×135＝55.4．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( )A.12B.32 C.35D.45 答案 D解析取AC 中点E ，令AB ＝2 分别以EB ，EC ，ED 为x ，y ，z 轴建系B 1(3，0,2)，C (0,1,0)，A (0，－1,0)，D (0,0,2)，DB 1→＝(3，0,0)，DC →＝(0,1，－2)，DA →＝(0，－1，－2)，平面B 1DC 法向量为n ＝(0,2,1)cos 〈DA →，n 〉＝－45∴AD 与面B 1DC 所成的角正弦值为45.5．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为( )A.32B.52C.105 D.1010答案 C解析连接A 1C 1交B 1D 1于O 点，由已知条件得C 1O ⊥B 1D 1，且平面BDD 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以C 1O ⊥平面BDD 1B 1.连接BO ，则BO 为BC 1在平面BDD 1B 1上的射影，∠C 1BO 即为所求，OC 1＝12A 1C 1＝12AC ＝22，BC 1＝42＋22＝2 5. 通过计算得sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝105. 6．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( ) A.63B.33 C.23D.13答案 B解析以正三棱锥O －ABC 的顶点O 为原点，OA ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建系(图略)，设侧棱长为1，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)．侧面OAB 的法向量为OC →＝(0,0,1)，底面ABC 的法向量为n ＝(13，13，13)．∴cos 〈OC →，n 〉＝OC →·n|OC →|·|n |＝131·132＋132＋132＝33. 7．正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．答案 30°解析如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P (0，－a 2，a2)．则CA →＝(2a,0,0)，AP →＝(－a ，－a 2，a 2)，CB →＝(a ，a,0)．设平面PAC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，则cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →||n |＝a 2a 2·2＝12. ∴〈CB →，n 〉＝60°.∴直线BC 与平面PAC 所成的角为90°－60°＝30°.8．(2011·大纲全国理)己知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于________．答案23解析设面AEF 与面ABC 所成的二面角为θ，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，则△AEF 在面ABC 上的射影是△ABC .在△AEF 中，AE ＝32＋12＝10，AF ＝322＋22＝22，EF ＝2－12＋32＝10. △AEF 的面积等于12×22×102－12222＝3112，而△ABC 的面积等于12×32＝92，因此有cos θ＝S △ABC S △AEF ＝311，sin θ＝1－cos 2θ＝211，tan θ＝sin θcos θ＝23，即面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值是23. 9.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．答案 (1,1,1)解析连接AC ，BD 交于O ，连接OE ， cos 〈DP →，AE →〉＝33，∴cos ∠AEO ＝33.又∵OA ＝2，∴OE ＝1，∴E 为(1,1,1)．10．(2012·某某)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC ＝1，PC ＝23，PD ＝CD ＝2.(1)求异面直线PA 与BC 所成角的正切值； (2)证明：平面PDC ⊥平面ABCD ；(3)求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．解析 (1)如图，在四棱锥P —ABCD 中，因为底面ABCD 是矩形，所以AD ＝BC 且AD ∥BC .故∠PAD 为异面直线PA 与BC 所成的角．又因为AD ⊥PD ，在Rt △PDA 中，tan ∠PAD ＝PDAD＝2. 所以，异面直线PA 与BC 所成角的正切值为2.(2)证明：由于底面ABCD 是矩形，故AD ⊥CD ，又由于AD ⊥PD ，CD ∩PD ＝D ，因此AD ⊥平面PDC ，而AD ⊂平面ABCD ，所以平面PDC ⊥平面ABCD .(3)在平面PDC 内，过点P 作PE ⊥CD 交直线CD 于点E ，连接EB . 由于平面PDC ⊥平面ABCD ，而直线CD 是平面PDC 与平面ABCD 的交线．故PE ⊥平面ABCD ，由此得∠PBE 为直线PB 与平面ABCD 所成的角．在△PDC 中，由于PD ＝CD ＝2，PC ＝23，可得∠PCD ＝30°. 在Rt △PEC 中，PE ＝PC sin30°＝ 3. 由AD ∥BC ，AD ⊥平面PDC ，得BC ⊥平面PDC . 因此BC ⊥PC .在Rt △PCB 中，PB ＝PC 2＋BC 2＝13.在Rt △PEB 中，sin ∠PBE ＝PE PB ＝3913. 所以直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为3913. 11.如右图所示，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12.求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值．解析以A 为坐标原点，BA 、AD 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 建立如图所示的空间直角坐标系，则S (0,0,1)，C (－1,1,0)，D (0，12，0)．∴SC →＝(－1,1，－1)，SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1.设平面SCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵n ⊥SC →，n ⊥SD →， ∴n ·SC →＝0，n ·SD →＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －z ＝0，y2－z ＝0.解得x ＝z ，y ＝2z .令z ＝1，则n ＝(1,2,1)．又∵平面SAB 的法向量为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n |·|AD →|＝0＋1＋06×12＝63.由题意知，二面角为锐角，所以二面角的大小等于两法向量的夹角． ∴所求二面角的余弦值为arccos 63. 12.(2012·某某)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF .(1)求证：BD ⊥平面AED ； (2)求二面角F －BD －C 的余弦值．解析 (1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°.又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°. 因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ⊂平面AED ，所以BD ⊥平面AED .(2)方法一由(1)知AD ⊥BD ，所以AC ⊥BC . 又FC ⊥平面ABCD ，因此CA ，CB ，CF 两两垂直．以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB ＝1，则C (0,0,0)，B (0,1,0)，D (32，－12，0)，F (0,0,1)．因此BD →＝(32，－32，0)，BF →＝(0，－1,1)．设平面BDF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·BD →＝0，m ·BF →＝0. 所以x ＝3y ＝3z . 取z ＝1，则m ＝(3，1,1)．由于CF →＝(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量，则cos 〈m ，CF →〉＝m ·CF →|m ||CF →|＝15＝55.所以二面角F －BD －C 的余弦值为55. 方法二取BD 的中点G ，连接CG ，FG ，由于CB ＝CD ，因此CG ⊥BD .又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以FC ⊥BD . 由于FC ∩CG ＝C ，FC ，CG ⊂平面FCG ，所以BD ⊥平面FCG .故BD ⊥FG .所以∠FGC 为二面角F －BD －C 的平面角．在等腰三角形BCD 中，由于∠BCD ＝120°，因此CG ＝12CB .又CB ＝CF ，所以GF ＝CG 2＋CF 2＝5CG . 故cos ∠FGC ＝55. 因此二面角F －BD －C 的余弦值为55. 13．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为2，P 是侧棱AA 1上任意一点． (1)求正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积；(2)判断直线B 1P 与平面ACC 1A 1是否垂直，请证明你的结论； (3)当BC 1⊥B 1P 时，求二面角C －B 1P －C 1的余弦值．解析 (1)VABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ·AA 1＝34×22×2＝2 3. (2)不垂直．建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，设AP ＝a ，则A ，C ，B 1，P 的坐标分别为(0，－1,0)，(0,1,0)，(3，0,2)，(0，－1，a )． AC →＝(0,2,0)，B 1P →＝(－3，－1，a －2)，AC →·B 1P →＝－2≠0，∴B 1P 不垂直AC .∴直线B 1P 不可能与平面ACC 1A 1垂直． (3)BC 1→＝(－3，1,2)，由BC 1⊥B 1P ，得BC 1→·B 1P →＝0. 即2＋2(a －2)＝0，∴a ＝1. 又BC 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面CB 1P .∴BC 1→＝(－3，1,2)是平面CB 1P 的法向量．设平面C 1B 1P 的法向量为n ＝(1，y ，z )，由⎩⎨⎧B 1P →·n ＝0，B 1C 1→·n ＝0，则n ＝(1，3，－23)．设二面角C －B 1P －C 1的大小为α，则cos α＝|BC 1→·n ||BC 1→|·|n |＝64.∴二面角C －B 1P －C 1的余弦值的大小为64.。