《李丽 大学物理上》10角动量守恒
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角动量守恒定理及其应用
角动量守恒定理及其应用摘要:角动量这一概念是经典物理学里面的重要组成部分，角动量的研究主要是对于物体的转动方面，并且可以延伸到量子力学以、原子物理及天体物理等方面。
角动量这一概念范畴系统的介绍的力矩、角速度、角加速度的概念，并且统筹的联系到质点系、质心系、对称性等概念。
关键词:角动量；力矩；角动量守恒；矢量；转动；应用Angular momentum conservation theorems and theirapplicationAbstract:Angular momentum to the concept of classical physics there is an important component of angular momentum of research mainly for the rotation, and may extend to the quantum mechanics and physical and in the astrophysical. angular momentum in the categorical system of the present moment, the angular velocity, the concepts of angular acceleration and co-ordination of the particle, the quality of heart, symmetry, and concepts.Key words:Angular momentum;Torque;Conservation of angular momentum; Vector; Turn; application.引言在研究物体运动时,人们经常可以遇到质点或质点系绕某一定点或轴线运动的情况。
例如太阳系中行星绕太阳的公转、月球绕地球的运转、物体绕某一定轴的转动等,在这类运动中,运动物体速度的大小和方向都在不断变化,因而其动量也在不断变化。
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律
方向垂直于轴，其效果是改
变轴的方位，在定轴问题中，
第二项
与轴承约束力矩平衡。
M 2rF
方称为向力平对行于轴的轴矩，，其效表果为代是数改变量绕：轴M 转z 动 状r态，F
即： i j k
Mo rFx y z
Fx FyFz
i yFz zFy jzFxxFzk xFyyFx
Mz xFyyFx
由
rc
i
miri M
rc
i
miri M
ri m ivcM rc vc0
i
质心对自己的位矢
L r c m iv ir i m iv c r i m iv i
i
i
i
与 i 有关
第三项：
rimivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，
o ri
vi
mi
L io 大 方小 向 Lio ： ： rimiv沿 i miri2 即 L iomiri2
在轴上确定正方向，角速度 表示为代数量，则
定义质点对 z 轴的角动量为:
LizLiom iri2
刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz Liz ri2mi
i
i
ri2mi
i
对质量连续分布的刚体：
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r，厚 dr 的球壳
dr
R
r
o
为积分元
dV4r2dr
m
m
4 R3
3
dJ3 2dmr22m R3 4rdr
dm dV
J
R
dJ
角动量 角动量守恒定律大学物理
对定轴转动的刚体 Miin 0 ，合外力矩
M
Miex
d dt
(
mi
ri
2
)
d(J
dt
)
d( J )
dL
M
dt dt
第3章 守恒定律
12
大学物
理学
第二版
t2 t1
Mdt
L2
L1
t2 t1
Mdt
L2
L1
当转轴给定时，作用在物体上的冲量 矩等于角动量的增量．——定轴转动的角 动量定理
第3章 守恒定律
然长度处以
垂直于弹簧运动，当
弹簧与初始位置垂直时，弹簧长度
v
求此时滑块的速度.
v0
第3章 守恒定律
图 3.4
大学物 理学
第二版
【解】 由角动量和机械能守恒
结论：对于有心力问题，系统对力心处的 角动量守恒.
第3章 守恒定律
大学物
理学
第二版
三、角动量守恒定律的应用
（1）常平架回转仪（陀螺仪） （2）直升飞机尾翼
质点角动量定理的推导
L r p r mv
dL
d
(r
p)
r
dp
dr
p
dt dt dr v，v p 0
dt dL
dt
r
dp
r
F
dt
dt
dt
第3章 守恒定律
4
大学物
理学
第二版
dL
M
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力 矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的 变化率.
13
大学物
理学
第二版
对定轴转动的刚体，受合外力矩M，
角动量守恒 教学ppt课件
24
当刚体质量连续分布时，由转动惯量的
定义知，求和改为积分：
z
设刚体质量分布为体
分布且体密度为：
R dm
Iz mi Ri2 R2dm
i
V
x
R2dV ( x2 y2 )dV
V
V
o y
定轴
z
xy
Ix (z2 y2 )dV V
I y ( x2 z2 )dV
V
25
➢ 质量连续分布刚体的转动惯量
则质点的角动量：
v L
v L0
常矢量
7
若 M 0 ，则 L 常矢量
M 0
的条件是
— 质点角动量守恒定律
F 0
或 F 过固定点：有心力
（如行星受的万有引力）
角动量守恒定律是物理学的基本定
律之一，它不仅适用于宏观体系，也 适用于微观体系，而且在高速低速范 围均适用。
8
角动量守恒定律可导出行星运动的开
在这些问题中，存在 着质点的角动量守恒 的规律。
2
银河系
角动量是质点运动中的一个重要的物理量，在 物理学的许多领域都有着十分重要的应用。
质点m对惯性系中的固定
点O的角动量（动量矩）
定义为：
L
r
p
r
(mv )
L
p
·O
r
m•
大小：L rpsin rmv sin ， 单位：kg m2/s
方向：于r，p（v）决定的平面（右螺旋）
远地点高度为 1826 km, 速度为 6.56 km/s; 计算出椭圆的面积,根据“掠面速度”, 就可以得到绕行周期为 106分钟。
v1
11
§3.2 质点系的角动量守恒定律
当刚体质量连续分布时，由转动惯量的
定义知，求和改为积分：
z
设刚体质量分布为体
分布且体密度为：
R dm
Iz mi Ri2 R2dm
i
V
x
R2dV ( x2 y2 )dV
V
V
o y
定轴
z
xy
Ix (z2 y2 )dV V
I y ( x2 z2 )dV
V
25
➢ 质量连续分布刚体的转动惯量
则质点的角动量：
v L
v L0
常矢量
7
若 M 0 ，则 L 常矢量
M 0
的条件是
— 质点角动量守恒定律
F 0
或 F 过固定点：有心力
（如行星受的万有引力）
角动量守恒定律是物理学的基本定
律之一，它不仅适用于宏观体系，也 适用于微观体系，而且在高速低速范 围均适用。
8
角动量守恒定律可导出行星运动的开
在这些问题中，存在 着质点的角动量守恒 的规律。
2
银河系
角动量是质点运动中的一个重要的物理量，在 物理学的许多领域都有着十分重要的应用。
质点m对惯性系中的固定
点O的角动量（动量矩）
定义为：
L
r
p
r
(mv )
L
p
·O
r
m•
大小：L rpsin rmv sin ， 单位：kg m2/s
方向：于r，p（v）决定的平面（右螺旋）
远地点高度为 1826 km, 速度为 6.56 km/s; 计算出椭圆的面积,根据“掠面速度”, 就可以得到绕行周期为 106分钟。
v1
11
§3.2 质点系的角动量守恒定律
大物上10角动量守恒31页PPT
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百不饶。——贝多芬
大物上10角动量守恒
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
45、自己的饭量自己知道。——苏联
李丽 大学物理上-10角动量守恒
L13MRMRu
8
由角动量定理 M dL dt
1MgR d(13MRMR ) u
2
dt 8
13MRd
8
dt
a d 4 g
dt 13
也可由牛顿定律
和转动定律求之
2019/12/12
19
单元检测题--选择题
6、体重、身高相同的甲乙两人，分别 用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端， 当他们由同一高度由初速度为零向上爬， 经过一定时间，甲相对于绳子是乙相对 于绳子速率的两倍，则到达顶点的情况 是：
(A )3 10 (B )1 30 (C )3 0 (D )3 0
解：运动员旋转时角动量守恒
J00 J
J
1 3
J0
30
D
2019/12/12
22
13、如图所示，一均匀细杆可绕通过上端O点的光滑轴在竖直面 内旋转，初始状态静止。现有一小球自左方水平打击细杆，设小 球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中，细杆与小球组成 的系统
角动量： Lrp
rm
pmv L
pm r o
大小：Lmrsin
方向：沿通过O点的轴线 其指 r v 向 方与 向一
若质点作圆周运动
L L m Jr方向m与r2方向J相同
2019/12/12
orL m
4
2.质dd点Lt 的 角vddt动(量rp定 p理)rddF rt p0M rL ddrM ptp ddtP
F
M
dL
dt
M d tdLMdt
Fdtd(p) Fdt
角冲量 冲量矩 冲量
大学物理学之角动量守恒
对于由两个质点构成的质点系引入相对速度uvvu?考虑到质心系是零动量参考系即可得21121212mmv?u?v?u?mmmm?由此可得每个质点相对于质心的动量分别为212112v?v?v?????02211v?mv?m22两质点的约化质量利用质心表达式每个质点相对于质心的位矢分别为????1m故两个质点系统相对于其质心的角动量为????112212r?clrpr?p?u???????22u1v?mp?u?u?mmmmv?mp????2212111??????mmr??m?1r2112r?12121222112r?22?12121mmrmr?r?r?mmmmr?r?mr?r?cc?23四两体问题对于质量可以比拟的孤立两体问题总可以把其中一个物体看作固定力心另一物体的质量用约化质量代替
h
m' v m
v
例6.5：在图示装置中，盘与重物的质 ：在图示装置中， 量均为m，胶泥的质量为m’, 原来重 量均为 ，胶泥的质量为 物与盘静止，让胶泥从h高处自由落 物与盘静止，让胶泥从 高处自由落 求胶泥粘到盘上后获得速度。 下，求胶泥粘到盘上后获得速度。
vo 6.8、 6.5图 图6.8、题6.5图
o
F
mg
图6.4、题6.1图 、 图
5
例6.2：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为 ， ：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为m， 速率为v，求圆锥摆对 点 点 轴的角动量。 速率为 ，求圆锥摆对o点,o’点,oo’轴的角动量。 轴的角动量 在讨论质点的角动量时， 在讨论质点的角动量时，必须指明是对 那点或那个轴的角动量
守恒条件: 守恒条件
M x = 0 ⇒ Lx = const M y = 0 ⇒ Ly = const M z = 0 ⇒ Lz = const
h
m' v m
v
例6.5：在图示装置中，盘与重物的质 ：在图示装置中， 量均为m，胶泥的质量为m’, 原来重 量均为 ，胶泥的质量为 物与盘静止，让胶泥从h高处自由落 物与盘静止，让胶泥从 高处自由落 求胶泥粘到盘上后获得速度。 下，求胶泥粘到盘上后获得速度。
vo 6.8、 6.5图 图6.8、题6.5图
o
F
mg
图6.4、题6.1图 、 图
5
例6.2：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为 ， ：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为m， 速率为v，求圆锥摆对 点 点 轴的角动量。 速率为 ，求圆锥摆对o点,o’点,oo’轴的角动量。 轴的角动量 在讨论质点的角动量时， 在讨论质点的角动量时，必须指明是对 那点或那个轴的角动量
守恒条件: 守恒条件
M x = 0 ⇒ Lx = const M y = 0 ⇒ Ly = const M z = 0 ⇒ Lz = const
大学物理 牛顿运动学定律 动量 动量守恒 角动量 角动量守恒
1 2
mv02[(
r0 r
)2
−
1]
>
0
例2. 用角动量守恒定律推导行星运动的开普勒第二定律: 行星对 太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积,即行星的矢径 的面积速度为恒量。
解： 在很短的时间dt内，行星的矢径扫过的面积
dS
=
1 2
r
dr
sin α
=
1 2
r × dr
行星
α
r dS dr
面积速度
孔做圆周运动，半径为 r1 ，速率为 v1 ，当半径为 r2 时，求 小球的速率 v2
解：小球受力： f 拉 为有心力
L = r × mv
L2 = L1
r1mv1 = r2mv2
v2
=
r1 r2
v1
显然 v2 > v1
f拉
0 v1
r2
r1
利用动能定理，该力所做的功
W == ∆Ek
1 2
m= v2 − 12 mv02
p1
= p2 − p1 = mv2 − mv1
2. 动量守恒定律 （与外界没有质量交换的质点系）
∑ 当当 ∑FFixi = 0 时 时
∑ miv∑i =mimvix1v=1恒+矢m量2v2 + + mnvn = 恒矢量
当质点系所受的合外力为零时，系统的总动 量保持不变。
第7节 角动量定理 角动量守恒定律
t： t+dt ：
质量 m m + dm -dm
速度
v
v + dv
v'
动量 p1 = mv
p2
(此处dm<0)
大物上10角动量守恒
恒在原子、分子和光学研究中也有广泛
应用。
在工程技术领域，角动量守恒原理广泛应用于机械、船舶、车
03
辆等领域的设计和优化。
对人类生活的影响和意义
角动量守恒原理的应用促进了科 技的发展，改善了人类的生活质
量。
在日常生活中，角动量守恒原理 的应用随处可见，如旋转门、洗
衣机、风扇等设备的运作。
大物上10角动量守 恒
目录
• 角动量守恒的定义 • 角动量守恒的推导过程 • 角动量守恒的应用 • 角动量守恒的实例分析 • 角动量守恒的意义与价值
01
角动量守恒的定义
角动量及角动量守恒的概念
角动量
一个系统绕某轴旋转的动量，等 于该系统的转动惯量与角速度的 乘积。
角动量守恒
在没有外力矩作用的情况下，一 个系统的角动量保持不变。
量。
受力分析
然后，我们需要对系统进行受力分 析，找出系统受到的合外力矩。
角动量守恒
根据角动量定理，合外力矩等于系 统角动量的变化率。通过这个等式， 我们可以推导出角动量守恒的条件。
推导过程
确定初始状态
首先，我们需要确定系统的初始状态，包括系统 的总动量和角动量。这些信息可以通过对系统进 行观察和测量获得。
03
角动量守恒的应用
天体运动中的应用
天体运动中，角动量守恒是描述天体旋转和轨道运动的重要 原理之一。例如，行星绕太阳旋转时，角动量守恒使得行星 保持稳定的轨道和旋转速度。
在研究恒星系统、星系和宇宙演化时，角动量守恒也是重要 的理论基础。它帮助科学家理解天体的形成、演化和消亡过 程。
刚体运动中的应用
影响地球自转的因素
虽然地球自转角动量是守恒的，但是 一些外部因素会影响地球的自转。例 如，月球和太阳对地球的引力作用会 导致地球自转轴的进动和岁差。
应用。
在工程技术领域，角动量守恒原理广泛应用于机械、船舶、车
03
辆等领域的设计和优化。
对人类生活的影响和意义
角动量守恒原理的应用促进了科 技的发展，改善了人类的生活质
量。
在日常生活中，角动量守恒原理 的应用随处可见，如旋转门、洗
衣机、风扇等设备的运作。
大物上10角动量守 恒
目录
• 角动量守恒的定义 • 角动量守恒的推导过程 • 角动量守恒的应用 • 角动量守恒的实例分析 • 角动量守恒的意义与价值
01
角动量守恒的定义
角动量及角动量守恒的概念
角动量
一个系统绕某轴旋转的动量，等 于该系统的转动惯量与角速度的 乘积。
角动量守恒
在没有外力矩作用的情况下，一 个系统的角动量保持不变。
量。
受力分析
然后，我们需要对系统进行受力分 析，找出系统受到的合外力矩。
角动量守恒
根据角动量定理，合外力矩等于系 统角动量的变化率。通过这个等式， 我们可以推导出角动量守恒的条件。
推导过程
确定初始状态
首先，我们需要确定系统的初始状态，包括系统 的总动量和角动量。这些信息可以通过对系统进 行观察和测量获得。
03
角动量守恒的应用
天体运动中的应用
天体运动中，角动量守恒是描述天体旋转和轨道运动的重要 原理之一。例如，行星绕太阳旋转时，角动量守恒使得行星 保持稳定的轨道和旋转速度。
在研究恒星系统、星系和宇宙演化时，角动量守恒也是重要 的理论基础。它帮助科学家理解天体的形成、演化和消亡过 程。
刚体运动中的应用
影响地球自转的因素
虽然地球自转角动量是守恒的，但是 一些外部因素会影响地球的自转。例 如，月球和太阳对地球的引力作用会 导致地球自转轴的进动和岁差。
李丽 大学物理上-10角动量守恒
角动量： Lrp
rm
pmv L
pm r o
大小：Lmrsin
方向：沿通过O点的轴线 其指 r v 向 方与 向一
若质点作圆周运动
L L m Jr方向m与r2方向J相同
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orL m
4
刚体绕某定轴转动时，所受到的冲量矩等于刚
体角动量的增量，----------刚体的角动量定理
质点系转动惯量在运动中发生变化时
20（19/11非/18 刚tt1体2M ）d，角 t 动J2量定2 理J成1为1：
7
3. 角动量守恒定律
当 M0
时
L2 L10
dm M dx
x
l
f mdmg
Mf
l mdmgx 0
1 2
mMgl
f
t
由角动量定理 0MfdtL2L10L
联立得： 12mMglm t (l12)
t 2m(1 2)
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mMg
也可由转动定 律求（匀减速）
17
例5 如图：人、绳、滑轮、 重物，人相对绳匀速向上爬
dm'
A外 力矩 12J'212J2
J t 122019m/11/R18 2
3t R3 R还可用角 4 m g 4动 m g量定理求
1 mR22 4
15
例4 水平桌面上一均匀细棒，长 l ，质量 M，可绕 O 点转动
与桌面滑动摩擦系数为 m
小滑块质量 m ，水平速度 1
MdtJ2 2J1 1
M t J J0 J0
大学物理 ——角动量守恒
C
例题 如图所示.半径为r 的轻滑轮的中 心轴O水平地固定在高处,其上穿过一条 轻绳,质量相同的两个孩子.起初两个孩子 都不动。现设两个孩子以不同的爬绳速 度从同一高度同时向上爬试问谁先到达 滑轮处？
分析：系统合外力矩为零，系统角动量 守恒。角动量在两小孩之间通过绳中张 力的力矩（内力矩）传递。
设两人对轴承0点的速率分别为vA,vB
B.
旋关系 角动量定义中的
r一定是质点运动
的位置矢量
p
r
θ m
C. 角动量是描述物体的转动运动状态 的物理量
D. 当质点做平面运动时，对该平面上
任一点的角动量都垂直该平面
B
#1a0204002a
一质量为m的r质 点a c沿os一条ti二 维b s曲in线t运j 动 其中a，b， 为常数，试求：该质点对原点的角动
a
db
Fi
·i
Pi·
fi · ·
r·i ·rj
fj·
j
dt
dt
dt
o
dL
dt
d [
dt i
ri Pi ]
i
ri
d dt
Pi
i
dri dt
Pi
i
vi mvi 0
[F外i
fij(内) ]
ji
A. 小孩甲 B. 小孩乙 C. 同时到达 D. 谁先到达不能确定
C
#1a0204005b
如图所示，半径为r的轻滑轮的中心轴O水平地固定 在高处，其上穿过一条轻绳，质量相同的两个孩子。 在同一高度从静止开始一起向上爬，任何时刻，相 对绳子，甲的速率是乙的一倍，试问谁先到达滑轮 处？
例题 如图所示.半径为r 的轻滑轮的中 心轴O水平地固定在高处,其上穿过一条 轻绳,质量相同的两个孩子.起初两个孩子 都不动。现设两个孩子以不同的爬绳速 度从同一高度同时向上爬试问谁先到达 滑轮处？
分析：系统合外力矩为零，系统角动量 守恒。角动量在两小孩之间通过绳中张 力的力矩（内力矩）传递。
设两人对轴承0点的速率分别为vA,vB
B.
旋关系 角动量定义中的
r一定是质点运动
的位置矢量
p
r
θ m
C. 角动量是描述物体的转动运动状态 的物理量
D. 当质点做平面运动时，对该平面上
任一点的角动量都垂直该平面
B
#1a0204002a
一质量为m的r质 点a c沿os一条ti二 维b s曲in线t运j 动 其中a，b， 为常数，试求：该质点对原点的角动
a
db
Fi
·i
Pi·
fi · ·
r·i ·rj
fj·
j
dt
dt
dt
o
dL
dt
d [
dt i
ri Pi ]
i
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Pi
i
dri dt
Pi
i
vi mvi 0
[F外i
fij(内) ]
ji
A. 小孩甲 B. 小孩乙 C. 同时到达 D. 谁先到达不能确定
C
#1a0204005b
如图所示，半径为r的轻滑轮的中心轴O水平地固定 在高处，其上穿过一条轻绳，质量相同的两个孩子。 在同一高度从静止开始一起向上爬，任何时刻，相 对绳子，甲的速率是乙的一倍，试问谁先到达滑轮 处？
大学物理角动量角动量守恒
mM
d
三. 质心（参考）系
1.质心系
讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。
质心系是固结在质心上的平动参考系，或质心 在其中静止的平动参考系。 质心系不一定是惯性系。
质点系的复杂运动通常可分解为： 质点系整体随质心的运动；
各质点相对于质心的运动 —— 即在质心系中考察质点系的运动。
2.质心系的基本特征
10cm52一个质点系对一固定点的角动量定义为其中各个质点对该固定点的角动量的矢量和即质点受到的全部力各质点所受外力矩的矢量和称为质点系所受合外力矩各质点所受内力矩的矢量和共线所以这一对内力矩之和为零
3.5 质心 质心运动定理
一.质心的概念和质心位置的确定
质心----质点系的质量中心。
两个质点的质心 c 的位置,定义如下:
Mr，外 速 度0 为所以v角，动则量有守恒。
r
m(v1
v2
)
r
mv
v1
r
m(v1
v2
)
r
mv
v
r
0
r
R地
m
v2
r
mv1
r
mv2
r
mv
为零
M
rmv 1 rmv (1)
质点系所受合外力矩
Min
i
( ri
ji
f ij
)
----各质点所受内力矩 的矢量和
内力总是成对出现的，所以内力矩也是成对出现的，
对i , j 两个质点来说，它们相互作用的内力矩之和为
相关主题
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dm
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Mdt
J 22
Mt J J0
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考虑方向
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M
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4 2020/4/4
14
例3： 一质量为m，半径为R的圆盘放在水平桌面上，轴光
滑，撤消外力时其转动角速度为ω。若盘与桌的摩擦
系数为μ，求(1)盘停止的时间？(2)合外力的功？
由角动量定理 0 M f dt L2 L1 0 L
联立得：
1 2
mMglt
m
l(1
2
)
t 2m(1 2 )
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mMg
也可由转动定 律求（匀减速）
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例5 如图：人、绳、滑轮、 重物，人相对绳匀速向上爬
求：重物上升的加速度 a ?
解：设人相对绳的速度 u 常量
重物上升的速度
M dt
Fdt
d
(
p)
Fdt
冲量
t
2
Mdt
t1
L2 dL
L1
L
2
L
1
质点绕某定轴转动时，所受到的冲量矩等于质
点角2020动/4/4 量的增量，质点的角动量定理
5
二、刚体的角动量守恒定律
1.刚体的角动量
L
J
L
L
i
(
J i) i
i
L
规定轴的正方向 J 用标量
L
J
L与转轴正向相同
L与转轴正向相反
L0
L0
刚体系统：
L L L L
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1
2
n
z
L
J
or i i
6
2. 刚体的角动量定理
M J
M
J
J
d dt
d dt
(J)
dL dt
微分形式：Mdt
dL
积分形式：t2 Mdt t1
dL L2 L1
L
2
L
1
J
2
J
1
刚体绕某定轴转动时，所受到的冲量矩等于刚
A 1 J2 1 J2 2 22 1
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四、角动量 ★质点的角动量
L
r
p
r
mv
大小： L mvr sin
L J ★刚体的角动量
方向： 沿通过O点的轴线
用标量
L J
五、角动量定理
t2
Mdt
t1
L
2
L
1
J 2
J 1
六、角动量守恒定律 M 0
L
J
恒矢量
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实验原理
一、刚体定轴转动的描述
★刚体的定义和特点 大小和形状始终保持不变，刚体 内质点间的相对位置保持不变
★刚体的定轴转动
各点都作圆周运动， 角量（，，）都一样
★刚体定轴转动的角量描述
θ θ (t ) ω dθ
dt
β dω d 2θ dt dt 2
v r
v r a r
t
a
r2
n
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几点说明： （1）角动量守恒应是Jω的乘积守恒
若J不 变
若J变 化
不变 变化
(2) 若系统M外
0, 但M内
M
可
外
认
为
系
统
角
动
量
守
（3）角动量定理、角动量守恒定律只适用于惯性系
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2.转动惯量J是可变的
对于定轴转动的非刚性物体，物体上各质元对转轴的 距离是可以改变的。即转动惯量J是可变的．当满足合外 力矩等于零时，物体对轴的角动量守恒，即 J 常矢 量．这时与 J 成反比，即 J增加时， 就变小；J 减少 时 ， 就增大。
绕定轴转动的刚体，当对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量
守恒。转动刚体的转动惯量一般为常量， Jw 不变导致 w 不变，即刚体在不 受合外力矩时将维持匀角速转动．若有几个物体组成一个定轴转动系统，各 物体对同一转轴的角动量分别为 J1w1, J2w2,? 则系统的总角动量为 ∑Jiwi ， 只要整个系统受到的外力对轴的力矩矢量和为零，系统的总角动量也守恒： ?Jiwi= 常量．本实验中，实验者站在转台上，人、车轮和转台构成的转动 系统没有对转轴的外力矩，系统对转轴的角动量守恒。 当用内力使车轮倾 斜时，车轮便对转台转轴产生了角动量，从而转台必须向反方向转动，使其 对转轴的角动量与车轮对转轴的角动量相反，以保持系统的总角动量不变。
体角动量的增量，----------刚体的角动量定理
质点系转动惯量在运动中发生变化时
（非刚体），角动量定理成为：
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t2 t1
Mdt
J 22
J11
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3. 角动量守恒定律
当M 0 时 L2 L1 0
t2
t1
Mdt
J2
J1
L2 L1 L (恒矢量)
J 2 J1 J = 恒矢量
0
解：以子弹、杆为研究对象，
作用时间很短，重力可以忽略， 系统相对于转轴外力矩为零，角动量守恒。
m0
l 2
0
m l J
2
J 1 Ml 2 3
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3m 2 Ml
( 0
)
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(2)、杆的摆动过程机械能守恒定律，求杆的最大摆角 ?
解：选择重力势能零点如图
1 J 2 0 0 Mg l (1 cos )
2
dt 8
13 MR d
8
dt
a d 4 g
dt 13
也可由牛顿定律
和转动定律求之
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单元检测题--选择题
6、体重、身高相同的甲乙两人，分别 用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端， 当他们由同一高度由初速度为零向上爬， 经过一定时间，甲相对于绳子是乙相对 于绳子速率的两倍，则到达顶点的情况 是：
例如一人站在可绕竖直光滑轴转动的凳上，两手各 握一个哑铃，两臂伸开时让他转动起来，然后他收 拢双臂。在此过程中，对竖直轴而言，没有外力矩 作用，转台和人系统对竖直轴的角动量守恒．所以， 当双臂收拢后变小了，旋转角速度就增加了．如果 将两臂伸开，增大了，旋转角速度又会减少。
花样滑冰运动员、芭蕾舞演员在表演时，也是运用 角动量守恒定律来增大或减少身体绕对称竖直轴转 动的角速度，从而做出许多优美而漂亮的舞姿。
各点都作圆周运动， 角量（，，）都一样
★刚体定轴转动的角量描述
θ θ (t ) ω dθ
dt
β dω d 2θ dt dt 2
v r
v r a r
t
a
r2
n
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二、 转动惯量
刚体转动动能
Ek
1 2
J 2
n
★转动惯量 J (mi ri2 ) i 1 描述转动物体转动惯性的大小
1
二、 转动惯量
刚体转动动能
Ek
1 2
J 2
n
★转动惯量 J (mi ri2 ) i 1 描述转动物体转动惯性的大小
★均匀杆 ★均匀圆盘
J
JC13m1L22mJRC2
1 12
mL2
★平行轴定理 J JC mh2
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2
三、 转动定律
★力矩 M r F
oz
标量写法 M Fr sin
★均匀杆 ★均匀圆盘
J
JC13m1L22mJRC2
1 12
mL2
★平行轴定理 J JC mh2
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三、 转动定律
★力矩 M r F
oz
标量写法 M Fr sin
★转动定律
M J
M J
四、转动的动能定理
★力矩的功 ★转动的动能定理
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A 2 Md 1
0
解：(1)
dm m dr l
m
m ,l o dm
rf
任取dm
dM
r
f
f
mg(drmf)
dM rmdmg
m m g rdr
l
M
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dM
2
l/2
m
0
方向r
mg
l
rdr
1 4
mm
gl
f 竖直向下
13
0
（2）经过多长时间杆才会停止转动
(2)由角动量定理：
m
r m,l o
甲 地
u
1 2
2
1 u
2 2
1 2
2
1
3 2
2
乙 地
2
u
2
1 2
2
3 2
2
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C
u 2
甲乙同时到达
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12、花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开， 转动惯量为 J0 ，角速度为 ω0 ，然后将两臂收回，使转动惯量 减少为 J0 /3 。这时其转动的角速度为
(
A)
(A) 甲先到达
(B) 乙先到达
(C) 甲乙同时到达
1
(D) 谁先到达不能确定
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u 2
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解：绳相对地的速度为 u
甲乙相对绳的速度如图 1 22 甲相对地的速度为 1 u 乙相对地的速度为 2 u
取人、绳为系统 M 0
系统的角动量守恒
mR(1 u) mR(2 u) 0
取人、滑轮、重物为研究对象