2019-2020学年高中数学 2.5直线与圆锥曲线学案新人教B版选修2-1.doc

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2019-2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.5 直线与圆锥曲线学案新人教B版选修2-1.doc

2019-2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.5 直线与圆锥曲线学案新人教B 版选修2-1一、学习目标：1.了解直线和圆锥曲线位置关系的判断2. 掌握直线和圆锥曲线相交时弦长的计算和弦的中点问题3. 体会化归的思想二、学习重点：利用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题三、教学难点：几何图形和代数方程的互相转化四、学习方法：自学、研讨1：直线与圆锥曲线的位置关系(1)几何角度：可分为三类：(2)代数角度：可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax ＋By ＋C ＝0f (x ，y )＝0，消元如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .Δ___0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；Δ___0时，直线和圆锥曲线相切于一点；Δ___0时，直线和圆锥曲线没有公共点2：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)一般情况：斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)则所得弦长|P 1P 2|＝_____________或|P 1P 2|＝________________.(2)特殊情况：过焦点用通径,不过焦点可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)．五、例题配置类型1（直线与圆锥曲线的位置关系）例1：已知直线l:y=2x+m,椭圆12422=+y x 。

试问当m 取何值时，直线与椭圆（1）有两个不重合的公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点？例2：、已知点A （0，2）和抛物线C ：26y x =，求过点A 且与抛物线C 相切的直线l 的方程类型2（弦长、中点问题）:例3、已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，并且与椭圆相交于A ，B 两点，求弦AB长【变式1】已知斜率为2的直线与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，如果线段AB 的长等于5，求直线的方程【变式2】已知M （4，2）是直线被椭圆22436x y +=所截得的线段AB 的中点，求直线的方程 22154x y +=【变式3】已知抛物线y2=8x的弦AB过它的焦点，直线AB的斜率为2，求弦AB的长. 类型3（最值问题）例4．已知直线y=x+m与椭圆2214+=xy交于A,B两点，(1)求弦长︱AB︱的最大值.(2)以AB为直径的圆过原点，求直线方程 .练习.设椭圆2214+=xy左右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线与椭圆交于A,B两点，求三角形ABF2的内切圆面积的最大值.AF1BF2课堂检测1．椭圆191622=+y x 中，以M(－1，2)为中点的弦所在直线的方程为 . 2．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4的距离最近的点是 .3．过点(4, 0)的直线与双曲线112422=-y x 的右支交于A 、B 两点，则直线AB 的斜率k 的范围是 .4．已知抛物线y ＝2x 2上两点A(x 1，y 1), B(x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝21, 那么m 的值等于 .5.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆的位置关系为（） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定22101?5x y kx y k m m-+=+=6.若直线与椭圆对于任何实数恒有公共点，则的范围 .7.直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公点，则k 的值为（）A.1B.1或3C.0D.1或08.直线 y=x+m (m ≠0)与双曲线 x 2—y 2=1 的交点个数为（）A.1B.2C.3D.不确定9.直线 y =kx +1与抛物线y=4x 2 相切的条数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)310.过(0,1)点与y=4x 2 相切的直线有___条.11. 过(0,1)点与y=4x 2 只有一个公共点的直线有 ___条(A) 0个 (B)一个 (C)二个 (D)不确定 2212.121y kx x y k =--=直线与双曲线仅有一个公共点，则这样的可取_____个值.13.直线y ＝kx －1与双曲线2x 2－y 2＝1的右支交于不同两点，则k 的范围为_____________. 14922=+y x。

数学人教B版选修2-1导学案第二章直线与圆锥曲线的位置关系(一)

§2.5.1直线与圆锥曲线的位置关系（一）
学习目标
1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法；
2.会判断已知直线和圆锥曲线的位置关系；
学习过程【任务一】阅读教材
阅读课本P67页例1、例2。

仿照例题解法完成下面问题
仿照练习1：已知直线2+=kx y 和椭圆12
32
2=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。

仿照练习2：已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。

【任务二】典型例题分析
例1：已知椭圆19
362
2=+y x ，弦AB 的中点是)1,3(M ,求弦AB 所在的直线方程。

变式练习1：已知)2,4(M 是直线l 被椭圆36422=+y x 所截的线段AB 的中点，求直线l 的方程。

例2：已知直线1+=kx y 与双曲线1322=-y x 相交于B A 、两点，O 是坐标原点，如果OB OA ⊥,求k 的值。

变式练习2：设抛物线x y 42=与其过焦点的斜率为1的直线相交于B A 、两点，O 是坐标原点，求→→•OB OA 的值。

作业：直线l 过点)4,2(P 且与抛物线x y 82=只有一个公共点，求直线l 的方程。

高中数学人教B版选修2-1学案2.5 直线与圆锥曲线 Word版含解析

直线与圆锥曲线．通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系．(重点)．会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理直线与圆锥曲线的位置关系阅读教材～“例”，完成下列问题．．直线与圆锥曲线的位置关系()从几何角度看，可分为三类：没有公共点，有且只有一个公共点及有两个不同的公共点．()从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线的方程为＋＋＝，圆锥曲线方程为(，)＝.由(\\(＋＋＝，(，(＝))消元，如消去后得＋＋＝.①若＝，当圆锥曲线是双曲线时，直线与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若≠，设Δ＝－.(ⅰ)Δ>时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；(ⅱ)Δ＝时，直线和圆锥曲线相切于一点；(ⅲ)Δ<时，直线和圆锥曲线没有公共点．．圆锥曲线的弦直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦，线段的长就是弦长．简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段．．直线＝＋与椭圆＋＝的位置关系是( )．相离．相切．相交．无法确定【解析】联立(\\(＝＋，＋()＝，))消去，得＋－＝，Δ＝＋＝＞，∴直线与椭圆相交．【答案】．已知直线＝－及抛物线＝(>)，则( )．直线与抛物线有一个公共点．直线与抛物线有两个公共点．直线与抛物线有一个或两个公共点．直线与抛物线可能没有公共点【解析】由(\\(＝－，＝，))得－－＝，因为Δ＝＋>，所以直线与抛物线有两个公共点．【答案】．抛物线＝，直线的斜率为，且过抛物线的焦点，则＝.【导学号：】【解析】∵抛物线＝的焦点为()，∴直线的方程为＝(－)．由(\\(＝，＝(－(，))得－＋＝.∴＋＝，＝.＝＋＋＝.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：。

高二数学选修2-1(B版)_《直线与圆锥曲线》参考学案

2.5 直线与圆锥曲线学习目标：1．了解圆锥曲线的简单应用． 2．理解数形结合思想．知识梳理1．直线与圆锥曲线位置关系的判断(1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.若圆锥曲线是双曲线或是抛物线，当A ＝0时，表示直线与双曲线的渐近线或抛物线的轴平行；当A ≠0时，记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与圆锥曲线__________；②若Δ＝0，则直线与圆锥曲线__________；③若Δ＜0，则直线与圆锥曲线__________．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判断直线与圆锥曲线的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题若直线与圆锥曲线有两个公共点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，可结合韦达定理，代入弦长公式|MN |＝__________________或|MN |＝________________求距离．若涉及直线过圆锥曲线焦点的弦问题，一般利用圆锥曲线的定义去解决．基础自测1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )．A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )．A ．2B ．3C ．115D ．37163．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )．A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－24．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )．A ．4 2B ．8C ．8 2D ．165．已知斜率为1的直线过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长为__________．探究突破一、直线与圆锥曲线的位置关系【例1－1】求证：不论m 取何值，直线l ：mx －y －m ＋1＝0与椭圆x 216＋y 29＝1总有交点．【例1－2】已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．方法提炼求直线与圆锥曲线的交点时，注意用一元二次方程的判别式、根与系数的关系来解决．在解题时，应注意讨论二次项系数为0和不为0的两种情况．二、直线与圆锥曲线的相交弦问题【例2】过点P (8,1)的直线与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，求直线AB 的方程．方法提炼1．当直线与圆锥曲线相交时，涉及的问题有弦长问题、弦的中点等问题，解决办法是把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到关于x (或y )的一元二次方程，设而不求，利用根与系数的关系解决问题．2．要灵活应用弦长公式和点差法．三、最值与定值问题【例3－1】已知椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．【例3－2】(2012浙江高考)如图，在直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12到抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．(1)求p ，t 的值；(2)求△ABP 面积的最大值．方法提炼圆锥曲线中常见最值问题及解题方法(1)圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．(2)求最值常见的解法有两种：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值．提醒：求最值问题时，一定要注意特殊情况的讨论，如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等．四、巧用韦达定理解圆锥曲线问题【典例】 (12分)(2012重庆高考)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求△PB 2Q 的面积．规范解答：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c2.(2分) 结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝25 5.(3分) 在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故12AB B S ∆＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2，由题设条件12AB B S ∆＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(5分) (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.(*)(7分)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4mm 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5. 又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16m 2＋1m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5.(9分)由PB 2⊥QB 2，知B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.(10分) 当m ＝2时，方程(*)化为9y 2－8y －16＝0，故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8910， △PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16910.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16910. 综上所述，△PB 2Q 的面积为16910.(12分)答题指导：解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意以下几点： 1．快速寻求出a ，b ，c ，确定圆锥曲线方程； 2．充分利用韦达定理进行巧妙处理；3．涉及平面向量运算时，一定要注意平面几何性质的运用，例如垂直、中点等．参考答案知识梳理1．相交相切相离 2.(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] 基础自测1．C 解析：与抛物线相切有2条，与对称轴平行有1条，共3条． 2．A 解析：由抛物线y 2＝4x 知直线l 2为其准线，焦点为F (1,0)．由抛物线的定义可知动点P 到直线l 2的距离与P 到焦点F (1,0)的距离相等，所以P 到直线l 1的距离与P 到焦点F (1,0)的距离之和的最小值为焦点F (1,0)到直线l 1的距离(如图)，则d ＝|4×1－0＋6|32＋42＝2.3．B 解析：过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，与抛物线方程联立可得y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 2＝2p ＝4.所以p ＝2，故准线方程为x ＝－1. 4．C 解析：依题意知F (2,0)，所以直线的方程为y ＝x －2. 联立方程，得⎩⎨⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，消去y ，得x 2－12x ＋4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝12，则||AF |－|BF ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)| ＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝144－16＝8 2.5.85 解析：右焦点(3，0)，直线AB 的方程为y ＝x －3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，得5x 2－83x ＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85， |AB |＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8532－4×85＝85. 探究突破【例1－1】证法一：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y －m ＋1＝0，x 216＋y 29＝1消去y 得x 216＋(mx －m ＋1)29＝1.整理，得(16m 2＋9)x 2－32m (m －1)x ＋16m 2－32m －128＝0.(*) ∵Δ＝322m 2(m －1)2－4(16m 2＋9)(16m 2－32m －128) ＝576(15m 2＋2m ＋8)＝576⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1152＋11915＞0， ∴方程(*)恒有实根． ∴原方程组恒有解．故直线l 与椭圆总有交点．证法二：直线l 的方程可化为m (x －1)＋(－y ＋1)＝0，故直线l 恒过x －1＝0和－y ＋1＝0的交点A (1,1)．又点A 在椭圆x 216＋y 29＝1内部， ∴直线l 与椭圆总有交点．【例1－2】解法一：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)，从而有⎩⎨⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎨⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0. 因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)≥0. 解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4可得|t |94＋1＝4，从而t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．解法二：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)．从而a 2＝16.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)同解法一．【例2】解：设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 12－4y 12＝4，① x 22－4y 22＝4.②①－②，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵P 是线段AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝2. ∴直线AB 的斜率为2.∴直线AB 的方程为2x －y －15＝0.【例3－1】解：(1)由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)．所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1，得 (3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k 2，y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，可得 x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k . 所以直线EF 的斜率 k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k (x E ＋x F )＋2k x F －x E＝12，即直线EF 的斜率为定值，其值为12.【例3－2】解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2pt ＝1，1＋p 2＝54，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，t ＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )．由题意知，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．由⎩⎨⎧y 12＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2，故k ·2m ＝1.所以直线AB 方程为y －m ＝12m (x －m )，即x －2my ＋2m 2－m ＝0. 由⎩⎨⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x ，消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0，所以Δ＝4m －4m 2＞0，y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝2m 2－m . 从而|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2.设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|1－2m ＋2m 2|1＋4m 2. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝|1－2(m －m 2)|·m －m 2. 由Δ＝4m －4m 2＞0，得0＜m ＜1. 令u ＝m －m 2，0＜u ≤12，则S ＝u (1－2u 2)．设S (u )＝u (1－2u 2),0＜u ≤12，则S ′(u )＝1－6u 2.11 / 11 由S ′(u )＝0，得u ＝66∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以S (u )ma x ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫66＝69. 故△ABP 面积的最大值为69.－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0)．。

2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5直线与圆锥曲线应用案巩固提升新人教B版选修2_1

2.5 直线与圆锥曲线[A 基础达标]1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A ．因为y ＝kx －k ＋1，所以y －1＝k (x －1)，过定点(1，1)，定点在椭圆x 29＋y 24＝1内部，故选A ．2．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A ．12B ．32C ．1D ． 3解析：选B ．椭圆的右焦点为F (1，0)，所以d ＝33＋1＝32. 3．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于( ) A ．15 B ．215 C ．152D ．15解析：选A ．令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y 2＝12x得4x 2－8x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，所以|AB |＝(1＋22)(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝15.4．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab 的值为( ) A ．32B ．233C ．932D ．2327解析：选A ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点坐标为(x 0，y 0)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，两式相减得a (x 21－x 22)＝－b (y 21－y 22)，即a b ＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝y 0x 0＝32. 5．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，过AB 的中点M 与坐标原点的直线的斜率为22，则mn的值为( ) A ．22B ．233C ．1D ．2解析：选A ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则mx 21＋ny 21＝1，mx 22＋ny 22＝1，两式相减得mx 21－mx 22＋ny 21－ny 22＝0，即m (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－n (y 1－y 2)(y 1＋y 2)，所以x 1－x 2y 1－y 2＝－n m ·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－1，① 又y 1＋y 2x 1＋x 2＝22，② 由①②得m n＝22. 6．已知以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．解析：由题意可设椭圆方程x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，联立直线与椭圆方程，由Δ＝0得a ＝7.故椭圆的长轴长为2a ＝27.答案：277．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则过它的焦点且垂直于x 轴的弦长为________．解析：设一个焦点为F (c ，0)，其中c 2＝a 2＋b 2，过F 且垂直于x 轴的弦为AB ，则A (c ，y 0)，因为A (c ，y 0)在双曲线上，所以c 2a 2－y 20b2＝1.所以y 0＝±bc 2a 2－1＝±b 2a. 所以|AB |＝2|y 0|＝2b2a.答案：2b 2a8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1，0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝MB →，则p ＝________．解析：过B 作BE 垂直于准线l 于E ，因为AM →＝MB →，所以M 为AB 的中点，所以|BM |＝12|AB |，又斜率为3，∠BAE ＝30°，所以|BE |＝12|AB |，所以|BM |＝|BE |，所以M 为抛物线的焦点，所以p ＝2. 答案：29．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (3，0)，实轴长为2，经过点M (2，1)作直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点．(1)求双曲线C 的方程； (2)求直线l 的方程．解：(1)由已知，得2a ＝2，c ＝3，所以a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝2，所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知直线l 的斜率存在，则可设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，即y ＝kx ＋1－2k .把y ＝kx ＋1－2k 代入双曲线C 的方程x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－2k )x －(1－2k )2－2＝0，①由题意可知2－k 2≠0，所以x M ＝x 1＋x 22＝k (1－2k )2－k2＝2，解得k ＝4.当k ＝4时，方程①可化为14x 2－56x ＋51＝0.此时Δ＝562－56×51＝280>0，方程①有两个不等的实数解．所以直线l 的方程为y ＝4x －7.10．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．解：(1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2. 所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1<0，y 2>0. 直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2. 因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2. 即3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2. 得a ＝3.而a 2－b 2＝4，所以b ＝ 5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.[B 能力提升]11．已知椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1，试确定m 的取值范围，使得对于直线l ：y ＝4x ＋m ，椭圆C 上有不同的两点关于直线l 对称．解：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上关于直线l ：y ＝4x ＋m 对称的两个点，M (x ，y )是它们的中点，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋4y 21＝12，3x 22＋4y 22＝12. 所以3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，x 1≠x 2，所以3x 4y ＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k PQ ＝14，所以y ＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝4x ＋m ，得M (－m ，－3m )．因为点M 在椭圆C 的内部，所以(－m )24＋(－3m )23<1，所以－21313<m <21313.所以当－21313<m <21313时，椭圆上有两个不同的点关于直线y ＝4x ＋m 对称．12．一条斜率为1的直线l 与离心率为22的椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)交于P 、Q 两点，直线l 与y 轴交于点R ，且OP →·OQ →＝－3，PR →＝3RQ →，求直线l 和椭圆C 的方程．解：因为椭圆离心率为22，所以c a ＝22，a 2＝2b 2＝2c 2，所以椭圆方程为x 22b 2＋y 2b2＝1.设l 的方程为y ＝x ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－2b 2＝0.Δ＝16m 2－4×3(2m 2－2b 2)＝8(－m 2＋3b 2)>0，所以3b 2>m 2.(*)x 1＋x 2＝－43m ，① x 1x 2＝23(m 2－b 2)，②OP →·OQ →＝－3，所以x 1x 2＋y 1y 2＝－3.而y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2，所以2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝－3， 43(m 2－b 2)－43m 2＋m 2＝－3，所以3m 2－4b 2＝－9，③ 又R (0，m )，PR →＝3RQ →，即(－x 1，m －y 1)＝3(x 2，y 2－m )，从而－x 1＝3x 2，④ 由①②④得3m 2＝b 2，⑤由③⑤解得b 2＝3，m ＝±1，适合(*)，所以所求直线l 的方程为y ＝x ＋1或y ＝x －1；椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1.13．(选做题)已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A (1，2)为抛物线C 上一点．(1)求C 的方程；(2)若点B (1，－2)在C 上，过B 作C 的两弦BP 与BQ ，若k BP ·k BQ ＝－2，求证：直线PQ 过定点．解：(1)当焦点在x 轴时，设C 的方程为y 2＝2px ，代入点A (1，2)得2p ＝4，即y 2＝4x . 当焦点在y 轴时，设C 的方程为x 2＝2py ，代入点A (1，2)得2p ＝12，即x 2＝12y .综上可知，C 的方程为y 2＝4x 或x 2＝12y .(2)证明：因为点B (1，－2)在C 上，所以曲线C 的方程为y 2＝4x . 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ ：x ＝my ＋b ，显然m 存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋b ，得y 2－4my －4b ＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4b . 因为k BP ·k BQ ＝－2，所以y 1＋2x 1－1·y 2＋2x 2－1＝－2，所以4y 1－2·4y 2－2＝－2，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋12＝0，所以－4b －8m ＋12＝0，即b ＝3－2m .直线PQ ：x ＝my ＋b ＝my ＋3－2m ，即x －3＝m (y －2)，所以直线PQ 过定点(3，2)．。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 2.5 直线与圆锥曲线》

直线与圆锥曲线
一位置关系
【教学目标】
知识与技能：掌握直线与圆锥曲线的位置关系，能利用对方程组解的的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系并学会用几何法加以分析。

过程与方法：在探究过程中,运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题，思考问题，
分析问题,进一步提高学生解决问题的能力
情感态度价值观：学会正确运用数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法，并且让学生在解决综合性问题的过程中培养计算的严谨性和辩证的看待问题的数学素养。

【学科素养】让学生体会站在代数、几何的不同角度辩证的看待问题的思想,加强对数学抽象能力及数学运算能力等核心素养的培养
【教学重点】
重点：用代数和几何方法来研究直线与圆锥曲线的公共点问题
难点：对直线与圆锥曲线仅有一个公共点时位置关系的应用探究。

【教学手段】多媒体一体机、
C
1
2
4
2
2
=
+
y
x l m
x
y+
=2m l C
2
8l1
2
4
2
2
=
+
y
x
1
22=-y x 02=++c bx ax ∆及判别式a 02=++c bx ax C 12
422
=+y x l m x y +=2=0时，直线与该
椭圆相交，交点M,N, C NP 的面积最大值。

【设计意图】通过动画的演示让学生理解这类求面积最值得问题也是与直线位置关系相关的让学生对本节课理解更加透彻。

【课后作业】A70页3,4 B 71页
【板书设计】
直线与圆锥曲线
一位置关系。

数学人教B版选修2-1学案：课前导引2.5直线与圆锥曲线含解析

学必求其心得，业必贵于专精
2。

5 直线与圆锥曲线
前导引
问题导入
直线与抛物线只有一个公共点时，图形有何特点？
思路分析：平行于对称轴或直线与抛物线相切。

知识预览
1.讨论直线和圆锥曲线位置关系的基本方法有_________________和______________.
答案：代数法几何法
2.用代数法研究直线和圆锥曲线位置关系就是讨论直线________________和圆锥曲线____________，联立____________的解,研究解的值,研究解的个数。

答案：方程方程方程组
3.直线与圆锥曲线交点的个数取决于直线方程与圆锥曲线方程_________________.
答案：联立方程组的解的个数。

2019-2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程 2.5 直线与圆锥曲线学案新人教B版选修2-1

2.5 直线与圆锥曲线1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0.[提示]不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交．2．弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].1．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于( ) A.15 B ．215 C.152D ．15 A [令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y 2＝12x 得4x 2－8x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，∴|AB |＝(1＋22)(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝15.]2．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是 ( )A ．m ＞1B ．m ≥1或0＜m ＜1C ．0＜m ＜5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5D [直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，当(0,1)在椭圆上或椭圆内时直线与椭圆总有公共点．∴m ≥1，解得m ≥1.当m ＝5时x 25＋y 2m＝1表示圆．故选D.]3．若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( )A ．4B ．2C ．1D ．－2 A [因为在双曲线x 24－y 2＝1中，x ≥2或x ≤－2，所以若x ＝a 与双曲线有两个交点，则a ＞2或a ＜－2，故只有A 符合题意．]直线与圆锥曲线相交时，能用两点间距离公式求弦长吗？[提示] 可以．当直线与圆锥曲线相交，两交点坐标好求时，可先求出两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；当两交点坐标不便求出时，最好不用此法．【例1】直线y ＝mx ＋1与椭圆x 2＋4y 2＝1有且只有一个交点，求m 2的值． [思路探究] 联立方程组，消元后利用判别式求解．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，x 2＋4y 2＝1，消去y 整理得(4m 2＋1)x 2＋8mx ＋3＝0，由Δ＝64m 2－12(4m 2＋1)＝0，得m 2＝34.1．(改变问法)典例中若直线与椭圆相交，弦的中点的轨迹方程是什么？ [解] 设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点坐标为M (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，x 2＋4y 2＝1消去y 整理得(4m 2＋1)x 2＋8mx ＋3＝0，∴x 1＋x 2＝2x ＝－8m 4m 2＋1，即x ＝－4m4m 2＋1，①∴y 1＋y 2＝2y ＝－8m 24m 2＋1＋2，y ＝－4m 24m 2＋1＋1＝14m 2＋1，②由①②得xy＝－4m ，③又点(x ，y )在直线y ＝mx ＋1上， ∴m ＝y －1x，④ 由③④得x 2＋4y 2－4y ＝0，∴弦中点的轨迹方程为x 2＋4y 2－4y ＝0.2．(改变问法)典例中若直线与椭圆相交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． [解] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，x 2＋4y 2＝1消去y 整理得(4m 2＋1)x 2＋8mx ＋3＝0， ∴Δ＝16m 2－12＞0，解得m ＜－32或m ＞32，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－8m4m 2＋1，x 1·x 2＝34m 2＋1， ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋m 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋m 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－8m 4m 2＋12－124m 2＋1 ＝(m 2＋1)(16m 2－12)4m 2＋1⎝⎛⎭⎪⎫m ＜－32或m ＞32.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． [思路探究] 本题有两种解法．一是利用设点、代入、作差，借助斜率解题的方法，可称为“点差法”．二是利用圆锥曲线弦长的基本求法，先利用两点间距离公式求出含a ，b 的关系式，再借助弦所在直线的斜率求解．[解] 法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a .∵|AB |＝2|x 2－x 1|＝22，即(x 2－x 1)2＝4，其中x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，又∵(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 2－x 1)2＝4，∴⎝⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4.将b ＝2a 代入，解得a ＝13，b ＝23，∴所求椭圆的方程是x 23＋23y 2＝1.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)a ＋b .∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b，y ＝1－x ＝aa ＋b.∵OC 的斜率为22， ∴a b ＝22，代入①，解得a ＝13，b ＝23，∴所求椭圆的方程是x 23＋23y 2＝1.直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线适合题意.1．已知点A (－1,0)，B (1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且k MA ·k MB ＝－2. (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过定点(0,1)作直线PQ 与曲线C 交于P ，Q 两点，且|PQ |＝322，求直线PQ 的方程．[解] (1)设M (x ，y )，则k MA ＝y x ＋1，k MB ＝yx －1(x ≠±1)，∴y x ＋1×yx －1＝－2， ∴x 2＋y 22＝1(x ≠±1)．(2)当直线PQ 的斜率不存在，即PQ 是椭圆的长轴时，其长为22，显然不合题意，即直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1－y 2＝k (x 1－x 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，消去y 得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.∵Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)＞0，∴k ∈R， x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2，∴|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝22·k 2＋1k 2＋2，∴|PQ |＝322＝22·k 2＋1k 2＋2，k 2＝2，k ＝±2，∴直线PQ 的方程是y ＝±2x ＋1.【例3】已知双曲线C ：a 2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为32，其中一条渐近线的方程为x －2y ＝0.以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A ，B 两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点P 为椭圆E 的左顶点，PG →＝2GO →，求|GA →|2＋|GB →|2的取值范围．[解] (1)由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为32，得c ＝322，∴a 2＋b 2＝92.①由题意知b a ＝22，② 由①②解得a 2＝3，b 2＝32，∴椭圆E 的方程为x 23＋23y 2＝1.(2)由(1)知P (－3，0)．设G (x 0，y 0)，由PG →＝2GO →，得(x 0＋3，y 0)＝2(－x 0，－y 0)．即⎩⎨⎧x 0＋3＝－2x 0，y 0＝－2y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－33，y 0＝0，∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0. 设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，|GA →|2＋|GB →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋332＋y 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－332＋y 21＝2x 21＋2y 21＋23＝2x 21＋3－x 21＋23＝x 21＋113.又∵x 1∈[－3，3]，∴x 21∈[0,3]， ∴113≤x 21＋113≤203， ∴|GA →|2＋|GB →|2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤113，203.(1)求参数范围的方法据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围． (2)求最值问题的方法 ①几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决．②代数法,题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等.2．已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．[解] (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2(4－x 20)x 20＋4＝x 202＋8x 2＋4(0＜x 20≤4)．因为x 202＋8x 20≥4(0＜x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.1．思考辨析(1)平面上到定点A (1,0)和到定直线l ：x ＋2y ＋3＝0的距离相等的点的轨迹为抛物线． (2)一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2条．( ) (3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件． ( )[提示] (1)√ (2)√ (3)× 必要不充分条件．2．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k 等于( ) A ．2或－2 B ．－1 C ．2D ．3C [由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k2＝4，解得k ＝2(k ＝－1舍去)．]3．已知双曲线C ：x 2－y 24＝1，过点P (1,2)的直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条B [因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，点P 在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(±1,0)，所以过点P 且与双曲线相切的切线只有一条．过点P 平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．]4．若直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝1有且只有一个公共点，则k 的值为________．±1或± 2 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.当1－k 2＝0时，即k ＝±1时，方程变为±2x －2＝0，x ＝±1，此时直线与双曲线渐近线平行，有且只有一个交点．当1－k 2≠0时，由Δ＝4k 2＋8(1－k 2)＝0，解得k ＝±2，此时直线与双曲线相切，有且只有一个公共点．综上所述k ＝±1，± 2.]。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 2.5 直线与圆锥曲线》3

《普通高中新课程标准（人教B版）选修2-1》教学设计盖州市第一高级中学孙广超《2-1 直线与圆锥曲线的位置关系》教学设计【三维目标】1、知识与技能（1）理解直线与圆锥曲线的三种位置关系；能根据直线、圆锥曲线的方程，判断直线与圆的位置关系；（2）能用直线和圆锥曲线的方程解决一些简单的问题；2、过程与方法（1）经历知识的建构过程，培养学生独立思考，自主探究，动手实践，合作交流的学习方式；（2）强化学生用解析法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力及数形结合的思想。

3、情感态度与价值观（1）让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆锥曲线的位置关系，培养学生数形结合的思想；（2）加深对解析法解决几何问题的认识，激发学习热情，培养学生的创新意识和探索精神；【重点难点】1、重点：直线与圆锥曲线的位置关系及其判断方法；2、难点：体会和理解解析法解决几何问题的数学思想；【教学基本流程】【教学设计】一、复习引入回归教材直线与圆锥曲线的位置关系要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，可把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去或消去得到关于或关于的一元二次方程．如联立后得到以下方程：A 2＋B ＋C ＝0A ≠0，Δ＝B 2－4AC若Δ0，则直线与圆锥曲线有两个不同的公共点．弦长公式直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程联立，消去后得到关于的一元二次方程．当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交，设交点为A 1，1，B 2，2，直线AB 的斜率为，则直线被圆锥曲线截得的弦长|AB|＝错误!＝错误!|1－2|＝错误!·错误!用点差法求直线方程在给出的圆锥曲线f ，＝0中，求中点为m ，n 的弦AB 所在直线方程时，一般可设A 1，1，B 2，2，利用A ，B在曲线上，得f1，1＝0，f2，2＝0两式相减，结合1＋2＝2m，1＋2＝2n，可求出AB＝错误!，从而由点斜式写出直线AB的方程．这种方法我们称为点差法．重点辨析1如果在设直线方程时涉及斜率，要注意斜率不存在的情况，为了避免讨论，过焦点Fc，0的直线可设为＝m＋c2解方程组错误!时，若消去，得到关于的方程a2＋b＋c＝0，这时，要考虑a＝0和a≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除a≠0，Δ＝0外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点Δ＝0不是直线和抛物线或双曲线只有一个公共点的充要条件．二、创设情境问题1：若过原点的直线与双曲线错误!－错误!＝1有两个不同交点，则直线的斜率的取值范围是B．－错误!，错误!∪错误!【解析】∵错误!－错误!＝1，其两条渐近线的斜率分别为1＝－错误!，2＝错误!，要使过原点的直线与双曲线有两个不同的交点，画图可知，直线的斜率的取值范围应是错误!∪错误!问题2．已知倾斜角为60°的直线通过抛物线2＝4的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为________．【解析】直线的方程为＝错误!＋1，由错误!得2－14＋1＝0设A1，1，B2，2，则1＋2＝14∴|AB|＝1＋2＋4a的取值范围，使得椭圆错误!＋错误!＝1上有不同两点关于直线＝4＋m对称．解：设椭圆上两点A1，1，B2，2关于直线＝4＋m对称．设AB的中点为又由错误!得错误!＋错误!＝0∴错误!＋错误!·－错误!＝0∴1＋2＝31＋2，得0＝30代入0＝40＋m，得0＝－m，∴0＝－3m∵点C在椭圆错误!＋错误!＝1内，∴错误!＋错误!0建立不等关系，再由对称两点的中点在所给直线上，建立相等关系，由相等关系消参，由不等关系确定范围．题型三面积问题例3已知点A0，－2，椭圆E：错误!＋错误!＝1a>b>0的离心率为错误!，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为错误!，O为坐标原点．1求E的方程；2设过点A的动直线与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求的方程．【解析】1设Fc，0，由条件知，错误!＝错误!，得c＝错误!又错误!＝错误!，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1又点O到直线PQ的距离d＝错误!，所以△OPQ的面积S△OPQ＝错误!d|PQ|＝错误!设错误!＝t，则t>0，S△OPQ＝错误!＝错误!故E的方程为错误!＋2＝1探究3与面积或最值一起综合考查是解析几何的常见题型，其解法往往是先建立目标函数的解析式，从而转化为函数问题．五、变式训练1、已知A，B为抛物线C：2＝4上的两个不同的点，F为抛物线C的焦点，若错误!＝－4错误!，则直线AB的斜率为A．±错误!B．±错误!C．±错误!D．±错误!2．2021·南阳模拟设F1，F2为椭圆错误!＋2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，错误!·错误!的值等于A．0 B．2C．4 D．－2六、知识归纳1．充分借助图形的直观性，达到优化解题思维，简化解题过程．2．直线与圆锥曲线相交时，借助弦长公式来求参数的值，利用判别式可求参数范围七、作业布置对应练习册作业八、教学反思1、本节课主要内容是如何运用坐标法判断直线与圆锥曲线的位置关系，通过实例，让学生观察分析，合作探究，类比归纳，形成知识体系，帮助同学们养成良好的学习态度，培养勤奋刻苦的精神；2、学习过程中，要使学生理解判断方法，并会灵活应用。

高中数学新人教版B版精品教案《2.5 直线与圆锥曲线》

教学方式：启发式、讨论式
教学手段：
,过点且不过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线（只做第3问）
（Ⅰ）求椭圆的离心率；（II）若垂直于轴，求直线的斜率；（）
（III）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由
课堂实练3、（2021朝阳二模，理18）已知椭圆：的上下顶点分别为，且点．分别为椭圆的左、右焦点，且．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）该同学用几何画板在椭圆上取了几个点，通过测量发现每一个点与连线的斜率之积不变．那么对于椭圆上任意一点（不与重合），直线，的斜率之积是否为定值，若是，写出定值并证明你的结论；若不是请说明理由．（III）略
【学生活动】课前完成四个课堂实练题的读题画图，并独立思考选择设参方式，课上小组讨论再次选择设参方式，最后进行分享交流
教学背景分析
教学内容：
解析几何是高考必考的内容之一，解析几何问题的特点是具有“动态”性，动态研究图形及其相互关系，“动”中求“定”，“变”中求“稳” 因此，解析几何常常通过设立参数，以“变”制“动”，从参数入手，把设立参数后的量和关系看成“定”，以参数为中心，解决问题．设出动点坐标或者直线方程中的系数（如斜率、截距）是常用的两种设立参数的方法，同一问题，选择不同的参数虽然其运算过程不同，但都能使问题得以解决，说明引入参数在解题中的重要性，参数是解析几何问题解决的灵魂．但是由于题目条件的不同，两种不同的设参方式可能计算量差别较大，运算过程繁杂会导致学生产生畏难情绪，进而影响题目的解答速度和正确率．
数学教学过程是教师和学生共同活动的过程，教师作为教的主体，学生作为学的主体，，教师与学生相互联系、相互促进、共同发展．学生在教师的组织、调节、指导下，才能迅速有效地掌握数学知识并获得发展；教师也只有在学生积极主动参与数学教学活动时，其指导、调节才能产生应有的作用．教学中教师应该是学生学习活动的组织者、引导者与合作者，要启发、引导学生，给学生留足充分的时间与空间，让学生进行自主探究、合作交流．