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复变函数小论文

复变函数小论文本学期我学习了复变函数，丰富了数学的见识。

从实数到复数的延伸，形成一个全面的知识体系。

复变函数是以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。

复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为在某些运算提供了帮助。

复数可以解决一些物理数学上的问题，解题到最后经过转化所得到的实数解，才有物理上的意义。

虚数是有很大的的现实意义的，通过引入虚数，那些没有意义根式也变得有理可寻。

复数的集合复平面是一个二维平面，实数有自己的直角坐标系，而类似的复数也有坐标。

复数有实轴和虚轴，用（x,y）表示。

复变函数的极限与连续和实函数一样提到邻域的含义。

复函数是一元实变函数概念的推广，二者表述有所不同：1.实变函数是单值函数，而复变中有了多值函数。

2.复变函数实现了不同复平面的转化，运用了曲线或图形的映射。

复变函数的导数和微分定义与实变函数一致，但是前者多了一个要求，即对极限式要求是与路径和方式无关。

复变函数的积分许多与高等数学中曲线积分相似的性质，积分可化为第二类曲线积分，也可化为参数方程直接关于t的积分。

复数列极限在定义与性质上与实数列极限相似，可以将复数列极限的计算问题转化到实数列上，这其中的级数的敛散性与和的定义形式都与实数项级数相同。

通过课程的学习，我们可以了解到，复数可以应用的现实中的数学建模，其在很多运算中都有着不可思议的性质和规律。

复数的引入为人们解决实数域和物理科学提供了许多新的途径，打开了很多原本无法畅通的道路，无论是留数，还是保角映射，都为人类在解决非复领域上的问题提供了全新的思路与方便。

王琪材料31 2130201019。

复变函数论文

复变函数论文复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用姓名：何缘鸽学号：092410101 学院(系)：电气与电子工程系专业：自动化指导教师：秦志新评阅人：复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用【摘要】：复变函数与积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。

而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。

我们在学习的过程中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。

文中简单地介绍了该门课程在自动控制理论中的应用。

【关键词】：线性系统 Z变换卷积拉普拉斯变换【正文】：提出问题：众所周知，复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有许多相似之处。

但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。

随着教育事业的不断发展与更新，一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。

当然复变函数在自动控制原理方面的应用也更大的加快了自动化的发展，自动控制与信号处理也更加离不开一套有效的处理方法。

但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的，如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了我们的首要问题。

分析问题：虽然常规的Fourier 变换的运算的范围是有限的，，但Laplace 变换、Z 变换等填补了Fourier 变换的不足之处，究竟其有什么好处呢？下面就介绍一些例子，从中就能看出。

例1：如图1所示电路，原处于稳态，开关S 于t=0时由1端转向2端，R=10Ω，L=1H,C=0.004F,求换路后电流i(t)。

解：因换路前电路已达稳态，故可知()=-0i 0, ()V u c 20=- 换路后，电路的微分方程为()()()+++-0c u dtt di Lt Ri ⎰-td i C0)(1ττ=10)(t ε对上式进行拉普拉斯变换，得()()()[]+-+-0i s sI L s RI sCs I su c )()0(+-=s10解得 ()s I =sCsL R s u Li sc 1)0()0(10++-+--代入已知数据得()s I =ss s s25010210++-=2501082++s s =2215)5(15158++⨯s用查表法可求得上式的拉普拉斯反变换为()At t et i t)(15sin 1585ε⋅=-例2：如图2所示为常用的二阶有源系统的电路模型，设Ω=1R 、C=1F 。

复变函数论文(DOC)

复变函数论文《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用系别：专业名称：学号：姓名：指导老师：年月日《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用摘录：随着现代科学技术理论的发展，学课间的联系越来越紧密，通过相互协助，使复杂的问题能够利用较简单的方法方便，快捷的解决。

由于复变函数与积分变换的运算是实变函数运算的一种延伸，且由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，以及Taylor级数展开，Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要，因此学习复变函数与积分变换对学习信号与系统具有很大的促进作用。

文章主要介绍了：1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；2，怎样利用复变函数中的“留数定理”对Laplace反变换进行计算； 3，复变函数中的Z变换是怎样解决信号系统中离散信号与系统复频域问题分析的；4，复变函数与积分变换中的各种运算是怎样通过信号系统中的MATLAB来实现的。

关键词：留数，Laplace变换，Z变换， Fourier变换，Taylor级数，MATLAB。

1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；当对一个信号系统进行分析和研究时，首先应该知道该信号系统的数学模型，即建立该信号系统的数学表达式，例如：根据Fourier 级数的理论，连续时间周期信号的频域分析的数学表达式即为无限项虚指数序列的线性叠加；而且信号的Fourier 变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应的关系，并揭示了其在时域域频域之间的内在联系，因此为信号和系统的分析提供了一种新的方法和途径。

例1：已知描述某稳定的连续时间LTI 系统的微分方程为''''()3()2()2()3(),y t y t y t x t x t ++=+系统的输入激励3()()t x t e u t -=，求该系统的零状态响应()zs y t 。

复变函数极限

复变函数的极限于秀芝(渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国)摘要：这是一篇讨论复变函数极限的论文，把我们所熟悉的数学分析中实变函数极限的定义、定理、性质，推广到复变函数中，并加以证明。

但是实变函数极限的定义、定理、性质，并不完全适用于复变函数。

例如：复变函数的极限没有保序性、正性，复变函数没有左、右极限等等。

同时，复变函数极限的定义与数学分析中的二元函数极限的定义相似，故它又具有二元函数的某些性质。

本篇论文由四个方面组成。

首先，我们讨论的是复变函数在某个定点时极限的定义，即描述性极限的定义和表达式极限的定义。

其次，我们讨论的是复变函数极限的定理，如Heine定理、Cauchy 准则、复合函数极限的定理等等，并给出了详细的证明。

再次，我们讨论的是复变函数极限的性质，即唯一性、绝对值的极限、局部有界性、四则运算法则等等，同时，我们也给了详细的证明。

最后，我们讨论的是复变函数在无穷远点的极限。

在这方面，我们将极限从有限的定点逐渐引入到无穷远点，进而给出了函数在无穷远点处极限的定义、运算法则、定理，并给予了相应的应用。

关键词：Heine 定理Cauchy 准则极限复数列Complex variable function limitYu Xiuzhi(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract：This is a discussion about complex variable function limit paper. It promotes the definition, theorem, nature of the real variable function limit to the complex variable function limit and performs to prove it .But the definition, the theorem, the nature of the real variable function limit aren’t completely suitable for the complex variablefunction.For example, complex variable f unction limit doesn’t have order nature,positive nature , and complex variable function doesn’t have left limit and right limit , and so on . Simultaneously,the definition of the complex variable function limit and the definition of the dual function limit of mathematica lanalysis is similar.So it also has some natures of dual function limit.This paper has four aspects.First,We discuss the defination of the complex variable function in some apex time , namely the definition of description limit and the definition of expression limit.Next,we discuss the theorem of the complex variable function limit.For example ,Heine theorem, Cauchy criterion,the theorem of composite function limit,and so on. And it has produced the detailed proof. Once more,we discuss the nature of the complex variable function limit. Namely unique nature , absolute value limit nature ,partially having nature, mathematical operations principle nature ,and so on . At the same time, we have also gave the detailed proof. Finally ,we discuss the complex variable function limit in the infinite point. In this aspect, we gradually introduce the limit from the limited fixed point to the infinite point, and then we have produced the definition and the theorem of limit in the infinite point . And we have gave the corresponding application.Key words: Heine theorem Cauchy criterion Limit Duplicate sequence一、复变函数极限的定义1．定义定义I ：设f 在点0z 的去心邻域内有定义，当z 趋于0z 时，()f z 的极限为0w , 或是00lim ()z zf z w →=,指的是()w f z =可以任意接近0w ，只要我们选的点z足够地接近0z ，而不等于它。

《复变函数》可视化教学实践论文

关于《复变函数》可视化教学的实践摘要：探讨利用matlab 软件可视化复变函数的教学心得，旨在加深学生对知识的理解，提高教师课堂教学效果。

关键词：可视化复变函数教学实践随着科技的发展，计算机已经走入千家万户，高校教学手段也发生了相应地改变，越来越多的教师尝试将数学课程与计算机结合起来，通过可视化手段增强学生对抽象的数学问题的理解，锻炼学生的自我动手能力，这也是高校教学改革的一个重要方面。

复变函数是高等数学的一个重要分支，是很多专业的基础课程，该课程内容抽象，定理证明复杂，大部分教材侧重理论分析，复变函数可视化内容难得一见。

目前对于复变函数可视化教学实践主要包含理论分析、计算机编程、教育意义的思考等，不仅从理论上探讨了可视化的可行性与重要性，还从教学实践的层面上分析了可视化在教学中所存在的问题及相应的对策，有很多一线教师总结了复变函数可视化教学的实施经验，还开发了一系列有创意的可操作的课题学习案例，其中有来自于数学知识内部的，也有来自于实际生活中的，甚至还有和其它学科相关联的课题等等。

本文是作者根据自己教授《复变函数》的教学实践，总结的一些教学心得。

1 复变函数可视化有利于学生熟练掌握计算机编程语言复变函数的可视化需要借助计算机来实现，因此教师和学生本身必须熟悉计算机编程语言。

原则上，可以通过c，fortran等语言来实现，但是基于成本考虑，个人更倾向于matlab语言编程。

matlab 是美国mathworks 公司20 世纪80 年代中期推出的数学软件，优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其很快在数学软件中脱颖而出。

由于matlab不区分实数、复数和整数之间的区别，所有数都采用双精度表示，再加上matlab中具有丰富的数学函数库使得计算更加简便，所以利用matlab 编写复变函数程序更加方便，实现复变函数的数据计算以及图形显示更加快捷。

在《复变函数》教学中matlab的应用非常广泛，可以用来可视化函数，计算残数，分析傅里叶级数，理解平面场问题，应用到傅里叶变换和拉普拉斯变换中等，有兴趣的读者可以参考文献[1]。

复变函数论文

期中考试复变函数的微积分理论与实变函数微积分理论的比较与应用学院：数学与计量经济学院班级：10级数学与应用数学01班姓名：***学号：***********一·复变函数微积分理论1复变函数微分 (3)2复变函数积分 (4)二·复变函数微积分与实变函数微积分的比较······永远的对手或者同伴？1复变函数微积分与实变函数微积分的联系 (5)2复变函数微积分与实变函数微积分的区别 (6)三·复变函数微积分理论在实际中的应用1复变解析函数的应用：平面向量场 (7)2应用复变积分求积分的几个例子 (8)四.附注之写在论文后头的话 (8)1·复变函数微分仿照实变函数的定义，我们对复变函数的导数给出定义，我们说的是，在某点在Z 0的某领域有定义，且Δz 以任意方式趋于0的时候，如果比值Δf/Δz 的极限z f ∆-∆+→∆)(z f lim Z Z 000z ）（存在，就说此极限为函数f （z ）在Z 0处的导数。

同样，仿照实变函数，复变函数出现了微分，就在我们以为复变函数会依照实变函数的老路子一直走下去的时候，解析函数的概念横空出世，一个函数在某点解析比起它在这点可微要严格多了，因为解析就是配合区域出现的，好的，如果你在某点可导，没有其他选择，必须有这样一个区域包含该点，然后你在这个区域类可导。

如果函数在某点z （0）处不解析，但是在它的任意一个邻域内都有f （z ）的解析点，则z （0）为函数f （z ）的奇点，对这一点来说，它应该感到很无奈，明明可以构建一个解析点的点列以它为极限，但它就是就是不解析，这也就是说解析点不能“求极限”。

这个点又是骄傲的，沿环绕它的周线积分，积分值不再是0，比如i 2a -z dz cπ=⎰，其中C 为绕点a 的周线，此时尽管周线线上每点都是解析的，但函数沿周线积分不等于01，即奇点所在区域积分与路径有关。

复变函数与积分变换论文

复变函数论文复变函数在反馈系统稳定性中的应用姓名：李欢欢学号：0914101 21学院(系)：电气与电子工程系专业：电气工程及其自动化指导教师：秦志新评阅人：完成日期：2011年12月25日星期日复变函数在反馈系统稳定性中的应用一、摘要:Laplace变换在分析反馈系统稳定性有着关键作用，求解一些简单的稳定性问题也很方便。

但对于一些较为复杂的反馈系统，用Laplace变换就不方便了。

通过对“辐角定理和奎斯特判据”和Laplace变换及特征方程，根与系数关系劳斯判据，根据三种方法的对比及其不同方法的特点体现出利用辐角定理结合奎斯特判据处理反馈系统问题的优越性。

辐角定理与奈奎斯特判据解法简单易懂便于推广，同时在其他领域也有着广泛的应用。

二、关键词:反馈系统、幅角、奈奎斯特判据、极点、零点三、正文: 【提出问题】:在电气电子工程及其自动化控制过程中，如图所示负反馈放大电路是最为常见的，应用最广泛的电路之一Xi 为输入量，Xi ’为电路中信号净输入量，Xf 为反馈量，“ ”为反馈系统在实际应用中，当输入信号为零即Xi=0时。

由于某种电扰动（如合闸通电或者外来信号干扰）其中含有的信号经过电路的放大，产生输入信号，而输出信号再进过负反馈系统再次进入输入，如此循环下去，电路将产生自激振荡，反馈系统将无法正常工作，处于不稳定状态。

所以如何保持反馈系统稳定工作，不致于产生自激振荡、在实践上和理论上都是一个必须解决的问题。

【分析问题】:如图所示表示单个回路反馈系统，整个反馈系统的输出Y(s)，与输入X(s)之间的关系为Y(s)=H1(s)[X(s)-H2(s)Y(s)]则闭环传输函数）（s H s H s H s X s Y s H 211)(1)()()()(+==而开环传输函数）（）（s H s H s H 21)(='将H （s ）进行拉氏反变换得∑∑==--=-==ni ni pit kie pi s kig s H g t h 1111][][)(）（式中Pi 为H （s ）的极点。

(论文)与复变函数求解一元三次方程式的根

以複變函數求解一元三次方程式的根Solving roots of cubic equation using complex variable余尚儒國立台灣海洋大學河海工程學系，基隆，台灣 E-mail: B935200191@.tw摘要解一元三次方程式發展至今已四百多年之久，但迄今所探討的一元三次方程式仍為實係數，對於複係數仍欠缺一套完整的解法。

故本專題是以複數的手法將一元三次方程式求解的問題，透過平移與複數伸縮的技巧，再利用正餘弦之三倍角公式，轉變成三角函數問題3Rcos(3)Sθ=−，最後對其反函數來逆推其解。

在判別式上，本專題利用複變的操作，探討出其三根實虛與係數的關係，進而推導出其對應的判別式，以供實根與虛根之判定，是有別於文獻的推導[7]。

除此之外，因為正餘弦與雙曲正餘弦含有複數轉換關係，故亦可利用雙曲正餘弦之三倍角公式，以類似的方法求其解。

並在文中提出三個算例，來檢驗本計劃判別式的可行性與正確性。

除此之外，本計劃也可解出一元三次複數係數方程式的根，故再舉一個算例來驗證。

最後，將以上四範例利用Mathematica 符號運算軟體計算求其根與並畫出平移及複變伸縮之過程，便於判斷其根的正確性與圖形的變化。

關鍵字: 一元三次方程式、三倍角正餘弦公式、複變函數一、前言隨著知識的成長，面對同樣的問題，通常有不同的想法與處理方式。

國中時代，學了許多解一元二次方程式的方法，其中最常見的方法為公式解，但對於判別式中根號內小於0其根為無實數解的問題，便產生迷惑。

故在高中時期，引入了複數的觀念，也使得一元二次方cosθ>這種無法用程式中的虛根得到解答；然而大學時期又遇到()1實數理解的問題，進而透過複變函數來解決此類問題。

在一元三次方程式求解，已經算是一個數學發展史中的老問題。

自卡登（1501～1576）公式以來已有四百年的歷史，在數學傳播期刊的文獻中，亦有幾篇精彩的論述。

楊對於為何必須消去2x項以及為何x y z均有補充說明[8]。

复变函数论文完整版

摘要:在自动控制原理中,应用比较多的一种数学模型是频率特性,频率特性是系统频率响应与正弦输入信号之间的关系,频率特性虽然是一种稳态特性,但它不仅反映系统稳态性能,而且还可以用来研究系统稳态性和暂态性能。

在实际应用中,求解正弦信号稳态响应时,用解析方法求解往往十分复杂,对于高阶系统就更加困难,因此常常在频域分析中把输出的稳态响应和输入的正弦信号用复数表示,可化为实频和虚频特性并且利用图解分析法,从复数的角度更容易理解和计算。

关键词:复数,时域，频域，频率特性,自动控制,实频,虚频,稳态特性在自动控制中，分析系统首先要建立数学模型,然后采用各种方法对系统进行分析,由于多数控制系统是以时间作为独立变量,所以往往用时间域的分析方法,即用解析方法求解系统的稳态响应,虽然用解析的方法不难求出线性定常量一、二阶系统的稳态响应,但是如果遇到高阶系统用求解的方法就会十分复杂。

随着科学和技术的发展,复数理论已越来越显示出它的作用,它不仅对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且在解决系统分析中,系统常常通过从实域变换到频域中研究频率特性起到重要作用。

在复变函数中,复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数,i是虚数单位,复数有多种表示方法,诸如向量表示,三角表示,指数表示等,欧拉在1748年发现了关系式后,并且第一次用i来表示-1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位,虚数实际上不是想象出来的,而它是确实存在的,德国数学家在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数都能用一条数轴表示,同样虚数也能用一个平面上的点来表示,这就是复数的复平面特性,在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并且这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点c就表示复数a+bi ,复数z=a+bi(a,b=R)与有序实数对(a,b)是一一对应的关系,这是因为对于任何一个复数z=a+bi由复数相等定义可知,可以有一个有序实数对(a,b)唯一确定,如z=3+2i可以由有序实数对(3,2)确定,又如z=-2+i可以由有序实数对(-2,1)来确定,又因为有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,由此可知,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系,点z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可以用点z(a,b)表示,这个建立直角坐标系来表示的平面就是复平面。

复变函数论文

复变函数论文复变函数在数学和物理学中具有广泛的应用，是一门研究复数域上的函数性质的学科。

复变函数是指定义在复数域上的函数，即自变量和函数值都是复数。

复变函数研究的对象包括函数的连续性、可导性、解析性、奇点、级数展开等方面。

本文就复变函数的定义、主要性质及其在物理学中的应用进行了较为详细的讨论。

首先，复变函数的定义与实变函数类似。

设$z=x+iy$是复平面上的一个点，其中$x$和$y$是实数，$i$是虚数单位。

如果存在一个规则使得对于任意给定的$z$，有唯一确定的$w$与之对应，则称$w$是关于$z$的函数值。

这样的函数就是复变函数。

复变函数的一些重要性质包括连续性、可导性和解析性。

连续性是指函数在定义域内的收敛性，即当自变量趋向于某一点时，函数值也趋向于某个常数。

可导性是指函数在某一点处存在导数。

解析性是指函数在定义域内处处可导。

复变函数的导数和积分也有着独特的性质。

复变函数的导数可以通过极限定义来计算，与实变函数的导数在形式上类似。

但是，在复变函数的可导性上有一些额外的要求，即柯西—黎曼方程。

如果函数在某一点处可导，则其必须满足柯西—黎曼方程的实部和虚部。

复变函数在物理学中的应用十分广泛。

一些传统的物理学问题，如电场、磁场和流体力学中的速度场，都可以通过复变函数来描述。

例如，电场可以用复函数的实部，磁场可以用虚部来表示。

此外，复变函数还可以用来解决热传导、量子力学和场论的问题。

在电工学中，复变函数被广泛应用于交流电路的分析中。

通过使用复变函数，可以将交流电路中的电流和电压描述为复数，从而简化计算。

此外，复变函数还可用于计算电路的传输函数和频率响应。

在量子力学中，复变函数被用来描述波函数的演化。

波函数是用来描述粒子在量子力学中的运动状态的函数。

它的复变性质使得我们可以用复变函数来描述粒子的位置和动量，从而解决薛定谔方程。

总结起来，复变函数在数学和物理学中都有广泛而重要的应用。

它的研究涉及函数的连续性、可导性、解析性、积分等方面。

复变函数论

复变函数理论是数学的基础分支，其研究对象是复变函数。

复函数理论历史悠久，内容丰富，理论完善。

它广泛用于数学，力学和工程科学的许多分支。

复数源自找到代数方程的根。

复数的概念起源于找到方程的根，而负数在二次和三次代数方程的根的求平方中平方。

长期以来，人们无法理解这种数字。

但是，随着数学的发展，这种数字的重要性越来越明显。

复数的一般形式是：a + bi，其中I是虚数单位。

复变函数理论诞生于18世纪。

1774年，欧拉（Euler）在他的一篇论文中考虑了两个从复数函数积分中得出的方程。

在他之前，法国数学家达朗伯（D'Alembert）已经在流体力学论文中找到了它们。

因此，人们后来提到了这两个方程，并将其称为“D'Alembert-Euler 方程”。

在19世纪，当Cauchy和Riemann研究流体力学时，对这两个方程进行了更详细的研究，因此它们也被称为“Cauchy-Riemann条件”。

复杂功能理论的全面发展是在19世纪，正如微积分的直接扩展统治着18世纪的数学一样，复杂功能的新分支也统治着19世纪的数学。

当时的数学家认识到，复变函数理论是数学中最丰富的分支，被称为本世纪的数学享受。

有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。

欧拉（Euler）和达朗伯（D'Alembert）最早从事创建复杂函数理论的工作，法国的拉普拉斯（Laplace）随后也研究了复杂函数的积分，他们是该学科创建的先驱。

后来，为该学科的发展做了很多基础工作，这些学科被称为Cauchy 和riemann sum。

20世纪初，复杂功能理论取得了长足的进步。

威尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列弗勒，法国数学家庞加莱，阿达玛等人做了很多研究工作，开辟了更广泛的复杂功能研究领域，并为该学科的发展做出了贡献。

复变函数理论涉及广泛的应用，并解决了许多复杂的计算问题。

例如，物理学中有许多不同的稳定平面场。

所谓的场是每个点对应一个物理量的区域，它们的计算通过复函数求解。

复变函数论文

复、实变函数的比较与应用作者:阮玲花学号:2专业:数学与应用数学复、实变函数的比较与应用姓名:阮玲花班级:数学132 学号:2数域从实数域扩大到复数域后,便产生了复变函数论,并且深入到了微分方程、拓扑学等数学分支。

复变函数论着重讨论解析函数,而解析函数的实部与虚部就是相互联系的,这与实函数有根本的区别。

有关实函数的一些概念,很多都就是可以推广到复变函数上。

例如:函数的连续性、函数的导数、有(无)界函数、中值定理、泰勒展式、基本初等函数等等。

在中学我们主要了解学习了实变函数,与大学期间我们又更加深入的学习研究了实变函数,与此同时,也开始复变函数的学习。

由此我们瞧到了:“数的扩展:正数→负数→实数→”,在实数范围内:当方程判别式小于0时,没有实根。

→扩大数域,引进复数,这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉,它们有很深的联系,然而事实上,她们有很大的不同,有很大的区别。

下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。

(一)实变函数实变函数论即讨论以实数为变量的函数,然而实变与常微分方程等不同,简单地说就就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。

由于诸如狄利克雷这样的简单函数都不可积,所以原有的积分范围太窄了,进而便产生了Lebesgue创立新积分的原始思路。

Lebesgue积分:(二)复变函数复变函数就是数学分析的继续,复变函数的定义:若在复数平面上存在一个点集E ,对于E 的每一点z,按照一定规律,有一个或多个复数值W 与之相对应,则称W 为z 的函数,记作)(z f W =,z ∈E 邻域:以复数0z 为圆心,以任意小正实数ε为半径做一个圆,则圆内所有点的集合称为0z 的邻域。

把复变函数的)(z f 的实部与虚部分别记作u(x,y)与v(x,y),)(z f =u(x,y)+iv(x,y),所以,复变函数可以归结为一对二元实变函数。

(三) 实变函数及与复变函数比较1.自变量的不同以实数作为自变量的函数就做实变函数;即实数→实变量→实变函数。

工科复变函数与积分变换教学经验论文

关于工科复变函数与积分变换的教学经验摘要：针对《复变函数与积分变换》课程的特点，结合多年教学实际，从教学内容、教学手段等方面总结了关于《复变函数与积分变换》教学的一些策略。

关键词：复变函数；积分变换；教学方法；多媒体辅助教学中图分类号：g642 文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2012）24-007-01复变函数和积分变换是数学分析（或高等数学）的后继课。

它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是现代科学技术领域中不可缺少的运算工具。

复变函数与积分变换课程概念繁多且晦涩难懂，抽象度高，逻辑推理严密的特点，工科学生普遍感到比较困难，进而失去了学习兴趣。

本课程的实际授课时数往往较少，如何使学生对这门课产生兴趣，在有限的课时内让学生既能掌握理论和方法，为后续专业课程的学习打下一个良好的基础？笔者结合近几年的教学和实践，总结了以下几点经验.一、介绍背景知识，激发学生的学习兴趣通过指出本课程的理论和方法在工程技术领域的实际应用，如解析函数在平面场问题中的应用，共形映射在电场分布中的应用，使学生懂得课程的重要性，激发学生的学习积极性。

又如在积分变换教学中中对于单位脉冲函数δ（t）和单位阶跃函数u（t）部分的内容，应尽量避免理论上的介绍，重点说明它们的意义、性质和应用。

首先以力学中瞬间作用的冲击力、电学中的雷击电闪、数字通信中的抽样脉冲等实际问题为背景，说明在实际应用中需要一个时间极短但取值极大的函数模型，从而引入一个新的函数，即δ（t）函数；然后分析并给出δ（t）函数的数学定义，由定义自然地推导出δ（t）函数的抽样性质以及它和单位阶跃函数互为导数的关系，同时引导学生分析得到δ（t）函数的意义——使函数在其跳跃间断点处也存在导数；最后通过举例说明工程中的大部分信号都可以分解为阶跃函数或脉冲函数的和。

这样降低了从数学概念上理解它们的难度，进而提高学生对积分变换的学习兴趣。

二、、运用类比教学法，在高等数学知识框架基础上构建复变函数理论体系复变函数理论是实变函数微积分理论的推广与发展，它不仅在内容上与实变函数微积分有许多类似之处，而且在研究问题的方法与逻辑结构方面也很类似。

数学专业“复变函数”课程的教学探讨

数学专业“复变函数”课程的教学探讨————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：数学专业“复变函数”课程的教学探讨-中学数学论文数学专业“复变函数”课程的教学探讨陶元红，南华，刘东旭（延边大学理学院数学系，吉林延吉133002）摘要：本文针对学生在学习了“数学分析”课程之后，对“复变函数”课程有可能存在的迫切、畏惧或忽视等问题，探讨了在“复变函数”课程教学中应该注意的三个环节，并探讨了第一次课的教学内容的有效选择和安排。

关键词：数学专业；复变函数；数学分析；教学探讨中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）23-0278-02基金项目：国家自然科学基金项目（11361065）；吉林省自然科学基金项目（201215239）通讯作者：陶元红（1973-），女，博士，副教授。

“复变函数”课程是高等院校数学专业的一门重要的专业基础课，该课程体系完整、理论性强，对学生的理论知识要求比较高。

数学专业的许多后续课程，甚至研究生阶段开设的分析理论课程，都会涉及复变函数论的内容。

“复变函数”课程的内容是“数学分析”中实变函数微积分的推广和发展，所以在我国高等院校数学专业的课程设置中，通常会把“复变函数”这门课程当作“数学分析”课程的后续课程，将其安排在二年级下半学期或三年级，此时学生已经完整地学习过三个学期的“数学分析”课程，对一元函数和多元函数微积分的核心内容已经很熟悉。

多年来，笔者一直在延边大学数学系从事“复变函数”课程的教学工作，研读了不同的“复变函数”教材[1-4]和一些教学研讨文章[5]，在教学中发现了一些学生在学习“复变函数”课程时的一些困惑和问题，也积累了一些教学经验。

本文针对学生在学习了“数学分析”课程之后，对“复变函数”课程有可能存在的迫切、畏惧或忽视等问题，探讨了“复变函数”课程教学中应该注意的教学环节以及对第一次课的教学内容的有效选择和安排。

《复变函数的复杂性》论文

《复变函数的复杂性》论文
复变函数是数学里一个很有用的概念，它以抽象的形式表达因果对应关系，并将复杂的问题转化为简单易于理解的形式，成为数学和工程应用中的重要工具。

但当介入复变函数时，很容易不经意间将其复杂性忽略。

复变函数的复杂性来源于它的定义，数学定义是指复变函数在实数域上的可微性，即它不仅依赖于单个参数，而且还受到它所有参数的影响。

每个参数都会改变函数的值，使参数变化不能简单地按照单一参数进行建模，这就是复变函数的复杂性。

此外，它的复杂性还与函数的分析有关。

复变函数的可微性意味着，如果要确定函数的局部特征，那么就必须用分析的方法去推导这些特征，这意味着，需要深入的数学知识和工具，对于普通的学生来说，要想准确知道复变函数的特定特征，则非常困难。

在复变函数的应用中，它的复杂性也体现得淋漓尽致。

如果要用复变函数来解决实际问题，就必须将多个参数及其变化范围考虑在内，而参数的变化会改变函数的值，这就要求对复变函数的计算和求解必须更加灵活，以便在给定参数变化范围内正确预测函数的变化趋势。

因此，复变函数的复杂性不可忽视，也必须正确理解它。

它可以帮助我们简化复杂的问题，但只有通过深入的数学分析，才能更好地研究它的复杂性，并有效地推导出它的局部特征。

只
有认真地学习复变函数，才能充分利用它的多变性，为现实世界的问题提供更有效的解决方案。

复变函数的孤立奇点及其应用(小学期论文)

复变函数的孤立奇点及其应用数学科学学院数学与应用数学专业指导教师： xxx摘要:本文讨论了孤立奇点的定义、判别方法以及孤立奇点在留数计算中的应用。

关键词:孤立奇点；定义；判别方法；留数孤立奇点的应用在复变函数的教学以及学习中有着重要的作用,而留数的计算是复变函数中经常碰到的问题. 1 孤立奇点的定义如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域}{a K -:R a z <-<0内解析,点a 是)(z f 的奇点,则称a 为)(z f 的一个孤立奇点.2 孤立奇点的判别方法设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇点n z z z z ,,,,321 外处处解析，C 是D 内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么)(Re 2)(1z f s i dz z f nk a z Ck ∑⎰===π.一般来说，求函数在其孤立奇点0z 处的留数只须求出它在以0z 为中心的圆环域内的洛朗级数中101---）（z z C 项系数1-C 就可以了.但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利.例如，如果0z 是)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re 0=z z f s .如果0z 是本质奇点，那就往往只能用把)(z f 在0z 展开成洛朗级数的方法来求1-C .若0z 是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数. 2.1 函数在极点处留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=-法则2：设)()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s m m m z z --=---）（.2.2 函数在无穷远点留数设∞为)(z f 的一个孤立奇点，即)(z f 在圆环域+∞<<z R 内解析，则称dz z f iC ⎰)(21π （R z C >=ρ：）为)(z f 在点∞的留数，记为]),([Re ∞z f s ，这里-C 是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）.如果)(z f 在+∞<<z R 的洛朗展开式为∑∞-∞==n n nz Cz f )(，则有1],[Re --==∞C f s .这里，我们要注意，∞=z 即使是)(z f 的可去奇点，)(z f 在∞=z 的留数也未必是0，这是同有限点的留数不一致的地方.如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为∞,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零. 关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.0)(Re )(Re 1=+∞===∑z f s z f s z nk a z k.3 孤立奇点的应用例1 指出下列函数在零点z=0的级：（1）)1(22-z ez（2）)6(sin 6633-+z z z .解（1）用求导数验证：记0)0(,)1()(22=-=f e z z f z ，不难计算,0)0(,)(22)(23='++-='f e z z z z f z ,0)0(,2)2104()(224=''-++=''f e z z z f z,0)0(,)24368()(235='''++='''f e z z z z f z,24)0(,)2415611216()()4(24642=+++=f e z z z z f z ）（故0=z 为函数)1(22-z e z 的四阶零点. 由泰勒展式：由展开式)(!1!2112422+∞<+++++=z z n z z en z 可知)()!21()1(442222z z z z z e z z ϕ=++=- 其中)(!1!211)(222+∞<++++=-z z n z z n 在 ϕ内解析，10=）（ϕ. 故0=z 为函数)1(22-z e z 的四阶零点. (2)由展开式)()!12()1(!51!31sin 3615933+∞<++-+-+-=+z n z z z z z n n可知 )6(sin 6633-+z z z393615936)!12()1(!51!316z z n z z z z n n -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-+-=+ )(15z z ϕ=其中 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-=+ )!12()1(!71!516)(1266n z z z n nϕ 在+∞<z 内解析，0560≠=！）（ϕ.故0=z 是函数)6(sin 6633-+z z z 的15阶零点.例 2 证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的.即若不恒为零的函数)(z f 在R a z <-内解析，0)(=a f ，则必有a 的一个领域，使得)(z f 在其中无异于a 的零点（解析函数零点的孤立性）.分析由于解析函数)(z f 不恒为零且0)(=a f ，所以利用)(z f 在点a 的泰勒展开式可知，总存在自然数1≥m ，使0)()()()1(==='=-a f a f a f m ，0)()(≠a f m （否则独所有m ，0)()(=a fm ，由泰勒定理0)(!)()(0)(≡-=∑∞=m m m a z m a f z f 矛盾）.于是可设a 为)(z f 的m 阶零点，然后由零点的特征来讨论.证（不妨设）a 为)(z f 的m 阶零点)()()(z a z z f m ϕ-=⇔，其中R a z z <-在)(ϕ内解析，0)(≠a ϕ.因)(z ϕ在a 处解析，则有0)()(lim ≠=→a z az ϕϕ，可取)(a ϕε=，存在着0>δ，当δ<-a z 时，)()()(a a z ϕεϕϕ=<-，由三角不等式)()()(z a a z ϕϕϕϕ-≥-）（便知当δ<-a z 时)()()()(a a z z a ϕεϕϕϕϕ=<-≤-）（即有0>）（z ϕ，故在a 的δ邻域内使0)(≠z ϕ. 例3 确定函数[])1(/1)(33-=z e z z f 的孤立奇点的类型.解因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=-1!2)(1)1(233333z z z ez z+++=1296!31!21z z z ，所以 0=z 是分母的六阶零点，从而是函数)(z f 的六阶极点. 例4 判别函数11sin)(-=z z f 的有限奇点的类型. 解因为)(z f 在1=z 没有定义，更不解析，所以1=z 是)(z f 的奇点，在+∞<-<10z 内，展开)(z f 为洛朗级数：+-+---=-53)1(!51)1(!311111sinz z z z∑∞=+-+-=012)1()!12(1)1(n n nz n ，有无穷多负幂项，故1=z 是)(z f 的本性奇点. 例5 考察函数11sec)(-=z z f 在点1=z 的特性. 解因为)(2/11,11cos111sec是整数k k z z z k ππ++=-=-是分母11cos-z 的零点，所以这些点是11sec-z 的极点..从而知1=z 是这些极点的极限点)(∞→n ，不是孤立奇点.例6 求出函数)1/()(44z z z f +=的全部奇点，并确定其类型.解分母41z +有四个一阶零点)3,2,1,0(4)2(=+k e k i ππ，它们不是分子的零因此是函数)(z f 的一阶极点.又11lim44=+∞→z z z ，所以∞=z 是)(z f 的可去奇点.例7 求出函数zz z f 1cot )(-=的全部奇点，并确定其类型. 解容易求得)(为整数k k z π=是z cot 的一阶极点，这是因为()0)1(cos sin ≠-=='=k k z k z ππ.当00==z k ，时，而z z z z z z z z sin sin lim 1cot lim 00-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→)!3/(!5/!3/lim3530+-+-=→z z z z z z 0=，所以，0=z 是函数)(z f 的可去奇点，)(为不等于零的整数k k z k π=是)(z f 的一阶极点.又∞=z 是极点k z 当∞→k 时的极限点，不是孤立奇点.例8求zz 1sin2所有孤立奇点处的留数：解：函数zz z f 1sin )(2=有孤立奇点0和∞，而且易知在+∞<<z R 内有洛朗展开式⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-= 532215113111sinz z z z z z ！！ -+-=3151131z z z ！！这既可以看成是函数zz 1sin 2在0=z 的去心邻域内的洛朗展开式，也可以看成是函数zz 1sin 2在∞=z 的去心邻域内的洛朗展开式.所以!31,1sin Re ,!310,1sin Re 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z z s z z s .参考文献:[1] 钟玉泉. 复变函数论，高等教育出版社, 2003年.[2] 王玉玉. 复变函数习题全解，中国时代经济出版社,2008年. [3] 方企勤. 复变函数教程，北京大学出版社, 2009年. [4] 傅作梅. 复变函数的应用，高等教育出版社,1996年. [5] 杨巧玲. 复变函数与积分变换，机械工业出版社,2002年.。

复变函数结课论文

复变函数结课论文——《论复变函数的历史发展及专业应用》复数的概念源于求解方程组的根。

二次、三次代数方程的求根公式中就出现了负数开方的情况。

在16世纪中期，意大利的数学家卡尔丹诺在解三次方程时，首先产生了复数开平方的思想。

在17世纪到18世纪，复数开始有了几何解释，把它与平面向量对应起来解决实际问题。

复变函数论产生于18世纪，由数学家欧拉做出。

同时，复变函数是我国数学工作者从事研究最早也是最有成效的数学分支之一。

我国老一辈的数学家在单复变函数及多复变函数方面的研究成果，也都达到了当时的国际水平。

复数的一般形式是a+bi，i是虚数单位。

一复数作为自变量的函数叫做复变函数，与之相关的呢就是欧拉所做的复变函数论了。

解析函数是复变函数中具有解析一类性质的函数，复变函数论就是研究复数域之中的解析函数。

复变函数的许多概念理论等都是实变函数在复数范围内的推广与发展。

所以他们之间有着很大的相似之处。

但复变函数和事变函数也同样有着不同之处。

函数的理论、方法和概念在数学、自然科学和工程技术中都有着广泛的应用。

能够解决例如流体力学、热学、电磁学和弹性理论值的平面理论等诸多问题，在自然科学和生产技术发展的同时极大的推动了复变函数的发展并丰富了其内容。

我们在学习之中要正确的理解和掌握复变函数的数学概念和方法，逐步培养利用这些方法概念去解决实际问题的能力。

复变函数在很多领域都有非常重要的应用，其涵盖的范围十分广泛，甚至也已用来解决一些复杂的计算问题。

作为最富饶的科学的一类分支，复变函数在数学领域的应用尤为可见。

特别是在解析函数的微分理论（cauchy-riemann方程），积分理论（cauchy积分定理与积分公式），weierstrass的级数理论（taylor级数和laurent级数）等方面的应用。

除了这些之外，在别的领域里面的应用也是非常常见的。

比如说，物理学上有很多的不稳定场，所谓的场就是每点对应的有物理量的一个区域，对他们的计算就是通过复变函数来解决的。

论复变函数在专业中的应用复变函数论文-V1

论复变函数在专业中的应用复变函数论文-V1正文：复变函数是数学中极为重要的一个分支，也是物理、工程、计算机科学等众多领域的基础前提。

因此，复变函数在专业中的应用不可小觑。

本文将以下面的结构，重新整理《论复变函数在专业中的应用复变函数论文》的内容：一、复变函数定义及性质简介复变函数是指定义在复数域上的函数，其自变量和函数值均为复数。

在数学中，复变函数具有诸多性质，比如围道积分、柯西—黎曼方程、罗朗级数表示等等。

这些性质使得复变函数在实际应用中具有广泛的应用。

二、物理学中的应用物理学中有很多理论是基于复变函数的。

比如，复数阻抗在电路中的应用、量子力学中的路径积分、电动力学中的矢量分析等等。

更重要的是，在波动理论中，复变函数是频率域和时域之间转换的媒介，进而实现了信号处理和通信技术的快速发展。

三、工程学中的应用复变函数在工程学中的应用也尤为广泛，如控制理论、通信工程、机械工程、化学工程等。

比如，控制理论中的反向模型、通信工程中的信号处理、机械工程中的振动分析及优化、化学工程中的模拟和反应分析等。

四、计算机科学中的应用计算机科学中，复变函数的应用更是多方面，如图像处理、数据挖掘、计算机图形学等等。

比如，图像处理中的空间频率、数据挖掘中的神经网络、计算机图形学中的三维建模等。

五、结语综上所述，复变函数在专业中的应用是十分广泛的。

虽然每个领域有其具体的应用形式，但都离不开复变函数的数学基础。

因此，在学习复变函数理论的同时，我们也必须注重其实际应用，才能更好地把握它在专业中的价值。

复变函数论文

复变函数泛谈首先，复变函数以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。

而对于复变产生的意义，书中是这样给出的：由于解代数方程的需要，人们引出了复数。

复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为人类在某些逻辑领域的运算提供了帮助。

复数的集合——复平面是一个二维平面，但却并非我们所在的三维世界中的任何一个二维平面。

可以说复平面在现实世界中完全找不到具体的一一对应，是一个纯粹缔造出来的二维平面。

而就在最近我弄清了两个概念：数学与科学。

结论为：数学不是科学。

数学不属于科学的范畴，是一种逻辑学，作为工具的学科；而科学则是理论的集合。

哪怕是假命题如地心说，也是科学。

而区别一个学科是否是科学的，则需要另一门学科作为其判定依据：证伪学。

最终令我信服秉洁说的一个理论是：可被证明或证伪的属于科学；而数学，是不可被证伪的。

这一定程度上说明了数学是一门形而上学的学科，甚至包括几何学在内。

而在数学当中，在我看来复数领域的形而上学兴则更加突出。

曾见过有人在论述形而上学时拿虚数和量子理论作为例证。

我也曾一度认为量子理论中无观察者的不可知的事物量子状态可以用虚数来表示。

当然现在看来，这是一种很浅薄的想法。

就好比将著名的佯谬——薛定谔的猫的生死与否映射到复数域上。

我曾看到有人对此作过一个类似性形而上学的证明，若将猫的生死，即铀的衰变与否映射到复数域上，那么为了对应铀的衰变概率分布的均匀，不妨将其对应到一队共轭复数上。

当观察者出现，猫的生死被确定，不确定性即消失，那么其映射的复数的不存在性也应该消失，即将复数反映到实数域上，相应的运算即取模，可知共轭复数的模是相等的，这与确定后猫的生死的不同是矛盾的。

当然，这种简单的推理本身便不甚科学。

但结论应为正解：不确定不等于不存在，二者不可相互映射。

为了对虚数进行深入的认知，下面介绍一下虚数的发展历史：16世纪意大利米兰学者卡当（1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。