6-2012级高数A(1)期末考试试题&&答案

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湖南大学课程考试试卷

6．曲线1ln (0)y x e x x ⎛⎫

=+

> ⎪⎝

⎭

的斜渐近线为 . 7. 设x e -是()f x 的一个原函数，则()f x dx '=⎰

.

8

．11

(x -+=⎰ . 9.

1min ,2x e dx +∞-⎛

⎫= ⎪⎝

⎭⎰

.

10.曲线1()2

x x

y e e -=

+上相应于x 从1-到1的一段弧的长度s = . 11.已知一阶线性常微分方程()x y p x y e '+=有特解,x y xe = 则该微分方程

的通解为 .

二．计算题（每小题8分，共48分）

1．求101tan lim .1sin x x x x →+⎛⎫

⎪+⎝⎭

2．设2sin 1ln tan ,2cos 224x x y x π⎛⎫

=

++ ⎪

⎝⎭

求.dy dx

3.方程2

2tan()sec x y x x y t dt ---=⎰

确定隐函数(),y y x = 求22.d y

dx

湖南大学课程考试试卷

湖

南

大

学教务处考

试中

心

4

．求.dx ⎰

5. 设2

1

(),t x f t e dx -=⎰

求1

20

().t f t dt ⎰

6. 求微分方程2cos y y x ''+=的通解.

三. 应用题 (12分)

过抛物线2y x =上一点2(,)a a 作切线，问a 为何值时所作切线与抛物线

241y x x =-+-所围成的图形面积最小？

湖南

大学课

程考试

试卷

湖

南大学教务

处考

试

中心

四．证明题( 7分)

设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且有 ()2

21(),

(),2

b a

f a a f x dx b a ==

-⎰

求证：在(,)a b 内至少存在一点,ξ 使得()() 1.f f ξξξ'=-+

高数A(1)(A 卷)期末考试题参考答案

一. 填空题(每小题3分，共33分)

(1) 1,;e (2) 0,1; (3) 0;

22111();28

x x o x =+-+ (5)

1;4 (6) 1;y x e =+ (7) ;x e C --+ (8) ;2π

(9) 1(ln 21);2

+ (10) 1;e e

- (11) ().x y x C e =+ 二. 计算题(每小题8分，共48分) 1. 解. 3

3

11

001tan tan sin lim lim 11sin 1sin x x x x x x x x x →→+-⎛⎫

⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭

⎝

⎭ ()()

1()

tan sin lim 1(),()1sin x x x x x x

x x x ϕϕϕϕ→-⎡

⎤=+=

⎢⎥+⎣

⎦

因为 ()1()

lim 1(),

x x x e ϕϕ→+=

3

30

0()

tan sin 1

lim

lim

,(1sin )2

x x x x x x x x ϕ→→-==+

所以

原式.= 解法二. 原式＝⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

⎪⎭⎫ ⎝⎛++→x x x x sin 1tan 1ln 1lim

exp 3

0 ⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧+-+=→30

)sin 1ln()tan 1ln(lim exp x x x x

⎪⎪

⎭⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=→2203sin 1cos tan 1sec lim exp x x x x x x ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧+++-+=→)sin 1)(tan 1(3cos )tan 1(sec )sin 1(lim exp 220x x x x x x x x e = 解法三. 原式⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→x x x x sin 1tan 1ln 1lim

exp 3

0 ⎭⎬⎫⎩

⎨⎧+-⋅=→x x x x x sin 1sin tan 1lim exp 3

e =

解法四. 原式31

0sin 1sin tan 1lim x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+-+=→ 3

1

0sin 1)cos 1(tan 1lim x x x x x ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-+=→ 3

1

3

021lim x x x ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+

=→ e =

2. 解：3222

243

sin 2cos 4sin cos cos 2sin ,2cos 4cos 2cos x x x x x x

x x x '++⎛⎫== ⎪⎝⎭