高中数学必修2同步练习第四章4.2.2

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北师大版高中数学必修二同步练习题第4章半角公式(含答案)

3.2 半角公式必备知识基础练1.若cos θ=13,且270°<θ<360°,则cos θ2=( ) A.√33B.√63C.±√63D.-√632.已知cos(π+θ)=13,若θ是第二象限角,则tan θ2=( ) A.2√2B.√2C.-√2D.√223.设5π<θ<6π,cos θ2=a ,则sin θ4等于( ) A.-√1+a2 B.-√1-a2 C.-√1+a 2D.-√1-a 24.cos25°√1-sin40°的值为( ) A.1B.√3C.√2D.25.设函数f (x )=2cos 2x+√3sin 2x+a (a 为实常数)在区间0,π2上的最小值为-4,那么a 的值等于( ) A.4B.-6C.-4D.-36.已知180°<α<270°且sin(α+270°)=45,则sin α2= ,tan α2= . 7.化简:2sin (π-α)+sin2αcos 2α2= .关键能力提升练8.化简sin α2+cos α22+2sin 2π4−α2得( ) A.2+sin α B.2+√2sin α-π4 C.2D.2+√2sin α+π49.已知sin α=35,cos(α+β)=513,α,β均为锐角,则cos β2=( ) A.-11√130130B.11√130130 C.3√130130D.-3√13013010.已知cos θ=-725,θ∈(π,2π),则sin θ2+cos θ2的值为 . 11.某同学在一次研究性学习中发现以下规律: ①sin 60°=2tan30°1+tan 230°;②sin 120°=2tan60°1+tan 260°,请根据以上规律写出符合题意的一个等式 .(答案不唯一)学科素养创新练12.我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理,成为了我国古代数学的骄傲,后人称之为“赵爽弦图”.如图,它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形EFGH 拼成的一个大正方形ABCD ,设直角三角形AFB 中AF=a ,BF=b ,较小的锐角∠FAB=α.若(a+b )2=196,正方形ABCD 的面积为100,则cos 2α= ,sin α2-cos α2= .答案1.D 因为270°<θ<360°,所以135°<θ2<180°, 所以cos θ2=-√1+cosθ2=-√1+132=-√63.2.B 因为cos(π+θ)=13,所以cos θ=-13. 又θ是第二象限角,所以sin θ=2√23,所以tan θ2=1-cosθsinθ=√2.3.D 若5π<θ<6π,则5π2<θ2<3π,5π4<θ4<3π2,则sin θ4=-√1-cos θ22=-√1-a 2. 4.C 原式=cos 220°-sin 220°cos25°(cos20°-sin20°)=cos20°+sin20°cos25°=√2cos25°cos25°=√2.5.C f (x )=2cos 2x+√3sin 2x+a=1+cos 2x+√3sin 2x+a=2sin 2x+π6+a+1. 当x ∈0,π2时,2x+π6∈π6,7π6,∴f (x )min =2×-12+a+1=-4. ∴a=-4. 6.3√1010-3 ∵sin(α+270°)=-cos α=45,∴cos α=-45.又90°<α2<135°,∴sin α2=√1-cosα2=√1+452=3√1010,tan α2=-√1-cosα1+cosα=-√1+451-45=-3.7.4sin α2sin (π-α)+sin2αcos 2α2=2sinα+2sinαcosα12(1+cosα)=4sinα(1+cosα)1+cosα=4sin α.8.C 原式=1+2sin α2cos α2+1-cos 2π4−α2=2+sin α-cosπ2-α=2+sin α-sin α=2.9.B 因为0<α<π2,0<β<π2,所以0<α+β<π. 因为sin α=35,所以cos α=√1-sin 2α=45. 因为cos(α+β)=513,所以sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=1213.所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=513×45+1213×35=5665. 因为0<β2<π4, 所以cos β2=√1+cosβ2=11√130130.故选B .10.15 因为θ∈(π,2π),所以θ2∈π2,π,所以sin θ2=√1-cosθ2=45,cos θ2=-√1+cosθ2=-35,所以sinθ2+cosθ2=15.11.sin 30°=2tan15°1+tan215°只要符合公式sin α=2tanα21+tan2α2且有意义即可。

高中数学4.2.2圆与圆的位置关系练习新人教A版必修2

4.2.2 圆与圆的位置关系一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．圆x2＋y2＝1和x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系为( )A．外切 B．内切C．外离 D．内含2．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( ) A．4条 B．3条C．2条 D．1条3. 已知圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程为( )A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝04．已知圆C1：x2＋y2－m＝0，圆C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0.若圆C1与圆C2有公共点，则实数m的取值范围是( )A．m<1 B．m>121C．1≤m≤121 D．1<m<1215．设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是( )A．相切 B．相交C．内切和内含 D．外切和外离6．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是( ) A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝367．已知集合M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，n＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是( )A．[－3 2，3 2] B．[－3，3]C．(－3，3 2] D．[－3 2，3)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．与圆x2＋y2＝5外切于点P(－1，2)，且半径为2 5的圆的方程为________________．9．两圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0上的点的最短距离是________．10．经过两圆x2＋y2＝9和(x＋4)2＋(y＋3)2＝8的交点的直线方程为________________．11．已知⊙O方程为x2＋y2＝4，定点A(4，0)，则过点A且和⊙O相切的动圆圆心的轨迹方程为________________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)已知圆C的圆心在直线x－y－4＝0上，且圆C过圆C1：x2＋y2－4x－3＝0和圆C2：x2＋y2－4y－3＝0的交点，求圆C的方程．13．(13分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)求当m＝45时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．14．(5分)已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，则以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程为________________．15．(15分)已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2，1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，且|PQ|＝|PA|.(1)求实数a，b间满足的等量关系；(2)若以点P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．4．2.2 圆与圆的位置关系＝5＋y 6－2y ＋2x 和1＝2y ＋2x ，所以圆3＝2r ＋1r ＝d 因为两圆心间的距离] 解析[ A ．10的位置关系为外切．＋22)＋x (为2O ⊙，11＝r ，8)，－(31O ，121＝28)＋y (＋23)－x (为1O ⊙设] 解析[ C ．2，8＝R ，4)，2－(2O ，64＝24)－y ( ，13＝（3＋2）2＋（－8－4）2＝|2O 1O |∴ ，r ＋R |<2O 1O <|R －r ∴ ∴两圆相交． ∴公切线有2条． 2x；3)，－(2，圆心为13＝2()y ＋3＋2()x －2可化为0＝y 6＋x 4－2y ＋2x ] 解析[ C ．32y ＋2x 和圆0＝y 6＋x 4－2y ＋2x ．因为圆0)，(3，圆心为9＝2y ＋2()x －3可化为0＝x 6－2y ＋－6x ＝0交于A ，B 两点，所以AB 的垂直平分线即为过两圆圆心的直线，即为3x －y －9＝0.的方2C ；圆m ＝1r ，半径0)，(01C ，则圆心m ＝2y ＋2x 的方程可化为1C 圆] 解析[ C ．4 6.＝2r ，半径4)，3－(2C ，则圆心36＝24)－y (＋23)＋x (程可化为，2r ＋1r ≤|2C 1C |≤|2r －1r ∴|有公共点，2C 与圆1C 圆∵ ，6＋m ≤（－3－0）2＋（4－0）26|≤－m |即 ≤121.m 1≤解得⎩⎨⎧|m －6|≤5，m ＋6≥5，∴ ，>4r ＋4＝2r ＋1r ，而10＝d 两圆圆心之间的距离] 解析[ D ．5 两圆不可能外切或外离．∴，2r ＋1r <d ∴ 6．D [解析] 根据圆的半径为6，可排除A ，B ，再通过验证知圆心是(±4，6)，半径是内切．1＝23)－y (＋2x 的圆与圆6 )图略(相交，所以画图>0)y 9(＝2y ＋2x 与半圆b ＋x ＝y ，知直线∅≠N ∩M 由] 解析[ C ．7.2≤3 b 3<可知－－x (，则所求圆的方程为)b ，a (1O 设所求圆的圆心为] 解析[ 20＝26)－y (＋23)＋x (．820.＝2)b －y (＋2)a ，0＋b3＝2，0＋a 3＝1－∴，52 ，5，且两圆的半径分别为P 两圆外切于点∵ 20.＝26)－y (＋23)＋x (所求圆的方程为∴，6＝b ，3＝－a ∴ ，1－(，圆心为2＝2)2－y (＋2()x ＋1可化为0＝3＋y 4－x 2＋2y ＋2x 圆] 解析[ 29.半1), ，－(2，圆心为2＝2()y ＋1＋22)－x (可化为0＝3＋y 2＋x 4－2y ＋2x . 2，半径为2).2离是，所以两圆上的点的最短距23 所以两圆圆心距为.2径为 10．4x ＋3y ＋13＝0 [解析] 由两圆的方程相减，得4x ＋3y ＋13＝0，所以过两圆交点的直线方程为4x ＋3y ＋13＝0.即|PA |，所以A ．因为动圆过定点)y ，x (P 设动圆圆心为] 解析[ 1＝y23－22)－x (．11为动圆半径．当动圆P 与⊙O 外切时，|PO |＝|PA |＋2.当动圆P 与⊙O 内切时，|PO |＝|PA |－2. 综合这两种情况，得||PO |－|PA ||＝2，1.＝y23－22)－x (，化简可得2＝|（x －4）2＋y2－x2＋y2|即－y 4－2y ＋2x (λ＋3－x 4－2y ＋2x 的方程为C 的交点，所以设圆过两圆C 解：因为圆．12，所0＝3－4λy 1＋λ－4x 1＋λ－2y ＋2x ，即0＝3－λ3－λy 4－x 4－)2y ＋2x )(λ＋(1 ，即0＝3).⎝⎛⎭⎪⎫21＋λ，2λ1＋λ的圆心为C 以圆 0, ＝4－2λ1＋λ－21＋λ上，所以0＝4－y －x 的圆心在直线C 因为圆 0.＝3－y 2＋x 6－2y ＋2x ，故所求圆的方程为13＝－λ解得，11＝23)－y (＋21)－x (解：两圆的标准方程分别为．13 ，m －61＝26)－y (＋25)－x ( .61－m 和11，半径分别为6)，(5N ，3)，(1M 圆心分别为，61－m ＋11＝（5－1）2＋（6－3）2当两圆外切时，(1) .1110 ＋25＝m 解得，5距离两圆圆心之间的小于11当两圆内切时，因为定圆的半径(2) .1110 －25＝m ，解得5＝11－61－m 所以 (3)两圆的公共弦所在直线的方程为，0＝45)＋y 12－x 10－2y ＋2x (－1)－y 6－x 2－2y ＋2x ( 圆心4x ＋3y －23＝0，.72 ＝（11）2－⎝⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋3222则公共弦长为由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程即为] 解析[ 1＝21)＋y (＋21)＋x (．14x －y ＝0.，1＝21)＋y (＋21)＋x (：2C ，圆3＝2y ＋22)＋x (：1C 圆∵ ，1)，－1－(2C ，0)，2－(1C 圆心 0.＝2＋y ＋x ，即x ＋2－1＋2＝y －0－1－0两圆连心线所在直线的方程为∴ ．1)，－1－(得所求圆的圆心为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，由的距离0＝y －x 到公共弦所在直线0)，2－(1C 又圆心，1＝（3）2－（2）2＝r 所求圆的半径∴，2＝|－2－0|2＝d 1.＝21)＋y (＋21)＋x (所求圆的方程为∴ .2|OQ |－2|OP |＝2|PQ |∴，OQ ⊥PQ ∴为切点，Q .∵OP 连接(1)解：．15 ，1－2|PO |＝2|PA |，故|PA |＝|PQ |又 0.＝3－b ＋a 2整理得.21)－b (＋22)－a (＝1－)2b ＋2a (即 (2)设圆P 的半径为R .∵圆P 与圆O 有公共点，且半径最小，，5a －652＋95＝a2＋（－2a ＋3）2＝a2＋b2＝|OP |∴ .5 35取得最小值|OP |时，65＝a 故当 1.－5 35取得最小值R ，35＝3＋a 2＝－b 此时， .21－5 35＝235－y ＋265－x 的方程为P 所以当半径取最小值时，圆。

4.2.2《对数运算法则》同步练习高中数学人教B版必修第二册

第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2对数与对数函数 4.2.2对数运算法则一、选择题1．计算：log 29log 23＝( )A.12 B ．2 C.32D.922．计算：2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4 3．若a ＞0，且a ≠1，则下列说法正确的是( ) A ．若M ＝N ，则log a M ＝log a N B ．若log a M ＝log a N ，则M ＝N C ．若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N D ．若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 24．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2D ．－a 2＋3a －15．计算log 225·log 322·log 59的结果为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．66．若log 5 13·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( )A ．9 B.19 C ．25D.125 7．若ab ＞0，给出下列四个等式： ①lg (ab )＝lg a ＋lg b ； ②lg ab ＝lg a －lg b ；③12lg ⎝⎛⎭⎫a b 2＝lg a b ； ④lg (ab )＝1log ab 10.其中一定成立的等式的序号是( ) A ．①②③④ B ．①② C ．③④ D ．③二、填空题8．已知a 2＝1681(a ＞0)，则log 23a ＝________．9．lg 5＋lg 20的值是________．10．若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________． 11.lg 3＋2lg 2－1lg 1.2＝________．三、解答题12．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg (xyz )；(2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z ；(4)lg xy 2z .13．求下列各式的值： (1)2log 525＋3log 264； (2)lg (3＋5＋3－5)； (3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.14．计算下列各式的值：(1)log535＋2log122－log5150－log514；(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.15．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg (ab)·(log a b＋log b a)的值．第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2对数与对数函数 4.2.2对数运算法则一、选择题1．计算：log 29log 23＝( )A.12 B ．2 C.32D.92解析：选B.原式＝log 29log 23＝log 232log 23＝2.2．计算：2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4 解析：选C.原式＝log 5102＋log 50.25＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 3．若a ＞0，且a ≠1，则下列说法正确的是( ) A ．若M ＝N ，则log a M ＝log a N B ．若log a M ＝log a N ，则M ＝N C ．若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N D ．若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2解析：选B.在A 中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立，故A 错误；在B 中，当log a M ＝log a N 时，必有M ＞0，N ＞0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立，故B 正确；在C 中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N ，例如M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N ，故C 错误；在D 中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立，故D 错误．4．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1解析：选A.因为a ＝log 32，所以log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 5．计算log 225·log 322·log 59的结果为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D.原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6.6．若log 5 13·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( )A ．9 B.19 C ．25D.125解析：选D.由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2，lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125. 7．若ab ＞0，给出下列四个等式： ①lg (ab )＝lg a ＋lg b ； ②lg ab ＝lg a －lg b ；③12lg ⎝⎛⎭⎫a b 2＝lg a b ； ④lg (ab )＝1log ab 10. 其中一定成立的等式的序号是( ) A ．①②③④ B ．①② C ．③④D ．③解析：选D.因为ab ＞0，所以a ＞0，b ＞0或a ＜0，b ＜0，所以①②中的等式不一定成立；因为ab ＞0，所以a b ＞0，12lg ⎝⎛⎭⎫a b 2＝12×2lg a b ＝lg ab ，所以③中等式成立；当ab ＝1时，lg (ab )＝0，但log ab 10无意义，所以④中等式不成立．故选D. 二、填空题8．已知a 2＝1681(a ＞0)，则log 23a ＝________．解析：由a 2＝1681(a ＞0)得a ＝49，所以log 2349＝log 23⎝⎛⎭⎫232＝2. 答案：29．lg 5＋lg 20的值是________．解析：lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1. 答案：110．若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________．解析：log a b ·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg blg 3＝4，所以lg b ＝4lg 3＝lg 34，所以b ＝34＝81. 答案：8111.lg 3＋2lg 2－1lg 1.2＝________．解析：lg 3＋2lg 2－1lg 1.2＝lg 3＋lg 22－1lg 1.2＝lg 12－1lg 1.2＝lg1210lg 1.2＝lg 1.2lg 1.2＝1.答案：1 三、解答题12．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg (xyz )；(2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z ；(4)lg xy 2z .解：(1)lg (xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z . (2)lg xy 2z ＝lg (xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z .(3)lg xy 3z ＝lg (xy 3)－lg z ＝lg x ＋3lg y －12lg z .(4)lg xy 2z ＝lg x －lg (y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z . 13．求下列各式的值： (1)2log 525＋3log 264； (2)lg (3＋5＋3－5)； (3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.解：(1)因为2log 525＝2log 552＝4log 55＝4， 3log 264＝3log 226＝18log 22＝18，所以2log 525＋3log 264＝4＋18＝22. (2)原式＝12lg (3＋5＋3－5)2＝12lg (3＋5＋3－5＋29－5) ＝12lg 10＝12. (3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2 ＝(lg 5)2－(lg 2)2＋2lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. 14．计算下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.解：(1)原式＝log 535＋log 550－log 514＋2log 12212＝log 535×5014＋log 122＝log 553－1＝2.(2)原式＝[(log 66－log 63)2＋log 62·log 6(2×32)]÷log 64 ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫log 6632＋log 62·（log 62＋log 632）÷log 622＝[(log 62)2＋(log 62)2＋2log 62·log 63]÷2log 62 ＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1.15．若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg (ab )·(log a b ＋log b a )的值．解：原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，所以t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又因为a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，所以t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.所以lg (ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )·⎝⎛⎭⎫lg b lg a ＋lg a lg b ＝(lg a ＋lg b )·（lg b ）2＋（lg a ）2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·（lg a ＋lg b ）2－2lg a ·lg blg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12，即lg (ab )·(log a b ＋log b a )＝12.。

人教版高中数学必修二 4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案+课时训练

人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案【学习目标】1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点)2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)【要点梳理夯实基础】知识点1圆与圆位置关系的判定阅读教材P129至P130“练习”以上部分，完成下列问题．1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0≤d＜|r1－r2| ⎭⎬⎫圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程⎩⎨⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[思考辨析学练结合]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．内切D．外切[解析]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．[答案] B知识点2 直线与圆的方程的应用阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分，完成下列问题．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”[思考辨析学练结合]一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米[解析]建立如图所示的平面直角坐标系．如图，设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62，∴h＝40.77≈3.5(米)．[答案] B【合作探究析疑解难】考点1 圆与圆位置关系的判定[典例1] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[分析]求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k[解答]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[解]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，C 2(2a,1)，半径r 1＝4，r 2＝1.∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切；当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交．(3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离．(4)当|C 1C 2|＜3，即a ＜3时，两圆内含．考点2 两圆相交有关问题[典例2] 求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长． [分析] 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长＝2r 2－d 2[解答] 设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解，两式相减得x ＋y －1＝0.因为A ，B 两点的坐标满足 x ＋y －1＝0，所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234，所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23.1．圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[解] 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.考点3 直线与圆的方程的应用探究1 设村庄外围所在曲线的方程可用(x －2)2＋(y ＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？[分析]从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋(－1)2－2＝722－2.探究2已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间．[分析]如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．则点B到AC的距离为202千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2302－(202)2＝20(千米)．所以B城市处于危险区内的时间为t＝2020＝1(小时)．[典例3] 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图4-2-1)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．图4-2-1[分析]建立适当坐标系，求出圆O的方程和直线BC的方程，再利用直线与圆的位置关系求解．[解答]以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[方法总结]解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤[跟踪练习]3．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[解] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|－28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d＞r，∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．【学习检测巩固提高】1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.[答案] B2．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m [解析]圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．[答案] B3．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__相交__.[解析]圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．4．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__ [34，＋∞) __. [解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QA .设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)． 5．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎨⎧ x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ))． ∵圆心C 在公共弦所在直线上，∴4·－(12λ－12)2(1＋λ)＋3·－(16λ－2)2(1＋λ)－2＝0，解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系课时检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0.解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．[答案] A2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( )A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切[解析] 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1＜|O 1O 2|＝5＜r 1＋r 2＝3，即两圆相交．[答案] B3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b应满足的关系式是()A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析]利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.[答案] B4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝25[解析]设动圆圆心为P(x，y)，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25.[答案] A5．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝()A．5B．4C．3D．2 2 [解析]设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.[答案] C6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－6)2＋(y－4)2＝6 B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36 D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[解析]半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.7．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.[答案] D8．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝0[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．[答案] A9．已知两圆相交于两点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 [解析] 两点A ，B 关于直线x －y ＋c ＝0对称，k AB ＝－4m －1＝－1. ∴m ＝5，线段AB 的中点(3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，∴c ＝－2，∴m ＋c ＝3.[答案] C10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交．二、填空题11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝.[解析]两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a的距离d＝|1a|，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a＝1.[答案] 112．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.[解析]C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.[答案]2或－513．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是.[解析]∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d＝|C1C2|＝a2＋b2＝4＝2，∴d＝r1＋r2.∴两圆外切．[答案]外切14．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是.[解析]已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x＋y －2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.[答案](x－2)2＋(y－2)2＝215．判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0. [解析](1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，半径r2＝8，∴|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10＝r1＋r2，∴两圆外切．(4)C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．16．求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．[解] 法一：解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0，得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有(a ＋1)2＋(a －4－3)2 ＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2，解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－32＝892. 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0. 法二：∵圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.17．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB 所在的直线方程为2(m ＋1)x ＋2(n ＋1)y －m 2－1＝0，由于A 、B 两点平分圆N 的圆周，所以A 、B 为圆N 直径的两个端点，即直线AB 过圆N 的圆心N ，而N (－1，－1)，所以－2(m ＋1)－2(n ＋1)－m 2－1＝0，即m 2＋2m ＋2n ＋5＝0，即(m ＋1)2＝－2(n ＋2)(n ≤－2)，由于圆M 的圆心M (m ，n )，从而可知圆心M 的轨迹方程为(x ＋1)2＝－2(y ＋2)(y ≤－2)．18．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图.(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值．[解析](1)连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|P A|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|P A|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|P A|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用课时检测一、选择题1．已知实数x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是() A．30－105B．5－5C．5D．25[解析]x2＋y2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.[答案] A2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB 的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0[解析]所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由y－02－0＝x－1－1－1，得x＋y－1＝0.[答案] A3．方程y＝－4－x2对应的曲线是()[解析]由方程y＝－4－x2得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上和以下的部分．[答案] A4．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是()A．π4B．3π4C．3π2D．π[解析]数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的1 4.[答案] D5．方程1－x2＝x＋k有惟一解，则实数k的范围是()A．k＝－2B．k∈(－2，2)C．k∈[－1,1)D．k＝2或－1≤k<1[解析]由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝ 2.[答案] D6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线P A、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形P AOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于()A ．24B ．16C ．8D ．4[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．[答案] C7．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－65D ．14＋6 5[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.[答案] D8．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎨⎧ b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)．[答案] D9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．40 6 [解析]圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD的面积为12×AC×BD＝12×10×46＝20 6.[答案] B10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A．4π5B．3π4C．(6－25)πD．5π4[解析]原点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，则d＝45，点C到直线2x＋y－4＝0的距离是圆的半径r，由题知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB中，圆C过原点O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小为25，面积最小为4π5，故选A．[答案] A二、填空题11．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB 的方程是________．[解析] 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为：x2＋y2－10－[(x－1)2＋(y－3)2－20]＝0，即x＋3y＝0.[答案]x＋3y＝012．已知M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是.[解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y ＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点．[答案] (－3,32]13．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于 .[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．[答案] B 景点在小路的投影处14．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是 .[解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43. [答案] [0，43]三、解答题15．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km. 16．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为A 、B 、P 在此圆上，故有⎩⎨⎧ 182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0.将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6.答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.17．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解析]如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：x40＋y30＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.18．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析]以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝16－a2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。

高中数学选择性必修二 4 2 2第1课时等差数列的前n项和-练习

第四章数列4.2 等差数列4.2.2 等差数列的前n 项和公式第1课时等差数列的前n 项和课后篇巩固提升基础达标练1.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 2+a 5=4,S 7=21,则a 7的值为( )A.6B.7C.8D.9{a n }的公差为d ,则{a 1+d +a 1+4d =4,7a 1+7×62d =21,解得{a 1=-3,d =2,所以a 7=a 1+6d=-3+6×2=9,故选D .2.(多选)(2020山东高三月考)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则下列正确的是( )A.a 1=-2B.a 1=2C.d=4D.d=-4{a 4+a 5=2a 1+7d =24,S 6=6a 1+15d =48,所以{a 1=-2,d =4.故选AC .3.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a n 等于( )A.nB.n 2C.2n+1D.2n-1n=1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2-(n-1)2=2n-1,且a 1=1适合上式,故a n =2n-1(n ∈N *).4.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:相逢时良马比驽马多行( ) A.1 125里 B.920里 C.820里 D.540里{a n },则{a n }是以103为首项,以13为公差的等差数列,其前n 项和为A n ,驽马每天所行路程为{b n },则{b n }是以97为首项,以-12为公差的等差数列,其前n 项和为B n ,设共用n 天二马相逢,则A n +B n =2×1 125,所以103n+n (n -1)2×13+97n+n (n -1)2(-12)=2 250, 化简得n 2+31n-360=0,解得n=9.A 9=103×9+9×82×13=1 395,B 9=2 250-1 395=855,A 9-B 9=1 395-855=540.5.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n+1,令b n =1n (a 1+a 2+…+a n ),则数列{b n }的前10项和T 10=( )A.70B.75C.80D.85a n =2n+1, ∴数列{a n }是等差数列,首项a 1=3,其前n 项和S n =n (a 1+a n )2=n (3+2n+1)2=n 2+2n ,∴b n =1n S n =n+2,∴数列{b n }也是等差数列,首项b 1=3,公差为1.∴其前10项和T 10=10×3+10×92×1=75,故选B .6.已知等差数列{a n}中,a10=13,S9=27,则公差d=,a100=.9=9a5=27⇒a5=3,d=a10-a55=13-35=2,∴a100=a10+90d=13+90×2=193.1937.(2019全国Ⅲ,理14)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则S10S5=.{a n}的公差为d.∵a1≠0,a2=3a1,∴a1+d=3a1,即d=2a1.∴S10S5=10a1+10×92d5a1+5×42d=100a125a1=4.8.已知数列{a n}的前n项和为S n=n·2n-1,则a3+a4+a5=.3+a4+a5=S5-S2=(5×25-1)-(2×22-1)=152.9.设数列{a n}的前n项和为S n,点(n,S nn)(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上,求数列{a n}的通项公式.,得S nn=3n-2,即S n=3n2-2n.当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5.因为a1=S1=1,满足a n=6n-5,所以a n=6n-5(n∈N*).10.已知数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1-a n+2.(1)设b n=a n+1-a n,证明{b n}是等差数列;(2)求{a n}的通项公式.∵a n+2=2a n+1-a n+2,∴a n+2-a n+1=a n+1-a n+2,即b n+1=b n+2.又b1=a2-a1=2-1=1,∴数列{b n}是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,a n+1-a n=1+2(n-1)=2n-1,∴a n-a n-1=2(n-1)-1,a n-1-a n-2=2(n-2)-1,……a2-a1=2×1-1,累加,得a n-a1=2×n(n-1)-(n-1)=n2-2n+1,2∴a n=a1+n2-2n+1=n2-2n+2,∴数列{a n}的通项公式为a n=n2-2n+2.能力提升练1.在等差数列{a n}中,2a4+a7=3,则数列{a n}的前9项和S9等于()A.3B.6C.9D.12{a n}的公差为d,因为2a4+a7=3,所以2(a1+3d)+a1+6d=3,整理,得a1+4d=1,即a5=1,所以S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5=9.2.若公差不为0的等差数列{a n }的前21项的和等于前8项的和,且a 8+a k =0,则正整数k 的值为( )A.20B.21C.22D.23{a n }的前n 项和为S n ,由题意,得S 21=S 8,即a 9+a 10+…+a 21=0.根据等差数列的性质,得13a 15=0,即a 15=0.故a 8+a 22=2a 15=0,即k=22.故选C .3.已知等差数列{a n },a 2=6,a 5=15,若b n =a 2n ,则数列{b n }的前5项和等于( )A .30B .45C .90D .186{a n }易得公差d 1=3.又b n =a 2n ,所以{b n }也是等差数列,公差d 2=6.故S 5=b 1+b 2+b 3+b 4+b 5=a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=5×6+5×42×6=90.4.(2020河北正定中学高一月考)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ,已知S 14>0,S 15<0,下列选项正确的是( ) A.a 1>0,d<0B.a 7+a 8>0C.S 6与S 7均为S n 的最大值D.a 8<0,有S 14=14×(a 1+a 14)2=7(a 1+a 14)=7(a 7+a 8)>0,即a 7+a 8>0,S 15=15×(a 1+a 15)2=15a 8<0,即a 8<0,则a 7>0;故等差数列{a n }的前7项为正数,从第8项开始为负数,则a 1>0,d<0.则有S7为S n的最大值.故A,B,D正确.故选ABD.5.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-1(n∈N*),则a5=.n≥2时,由S n=2a n-1,得S n-1=2a n-1-1.两式相减,得a n=2a n-2a n-1,所以a n=2a n-1.因为a1=2a1-1,所以a1=1,故a5=2a4=22a3=23a2=24a1=16.6.(2019北京,理10)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2=-3,S5=-10,则a5=,S n的最小值为.{a n}中,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0,由等差数列{a n}的性质得当n≤5时,a n≤0,当n≥6时,a n大于0,所以S n的最小值为S4或S5,即为-10.-107.已知数列{a n}的前n项和为S n(S n≠0),且满足a n+2S n·S n-1=0(n≥2),a1=12.(1)求证:{1S n}是等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.-a n=2S n S n-1(n≥2),∴-S n+S n-1=2S n S n-1(n≥2).又S n≠0(n=1,2,3,…),∴1S n −1S n-1=2.又1S1=1a1=2,∴{1S n}是以2为首项,2为公差的等差数列.(1)可知1S n =2+(n-1)·2=2n,∴S n=12n.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=12n −12(n -1)=-12n (n -1)或当n ≥2时,a n =-2S n S n-1=-12n (n -1);当n=1时,S 1=a 1=12.故a n ={12,n =1,-12n (n -1),n ≥2. 素养培优练设S n 为数列{a n }的前n 项和,S n =λa n -1(λ为常数,n=1,2,3,…).(1)若a 3=a 22,求λ的值.(2)是否存在实数λ,使得数列{a n }是等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.因为S n =λa n -1,所以a 1=λa 1-1,a 2+a 1=λa 2-1,a 3+a 2+a 1=λa 3-1. 由a 1=λa 1-1,可知λ≠1,所以a 1=1λ-1,a 2=λ(λ-1)2,a 3=λ2(λ-1)3. 因为a 3=a 22,所以λ2(λ-1)3=λ2(λ-1)4,解得λ=0或λ=2.(2)假设存在实数λ,使得数列{a n }是等差数列,则2a 2=a 1+a 3,由(1)可得2λ(λ-1)2=1λ-1+λ2(λ-1)3, 所以2λ(λ-1)2=2λ2-2λ+1(λ-1)3=2λ(λ-1)2+1(λ-1)3,即1(λ-1)3=0,显然不成立,所以不存在实数λ,使得数列{a n }是等差数列.。

高中数学必修二4.2.2

b＋ 3 3 ×－＝－1 由题意可得 a－3 3 |a＋ 3b| 2 ＝r
a－12＋b2＝r＋1 所以所求圆的方程为(x－4)2＋·数学·必修2
点评：两圆外切时常用圆心距等于半径之和求解，圆与直线相切时，该圆心到这条直线的距离等于圆的半径，若已知切点坐标，也可以用切点与圆心间的距离得圆的半径，本
(1)如果C1与C2外切，则有
m＋12＋m＋22＝3＋2，
∴m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或2.
教A版·数学·必修2
(2)如果C1与C2内含，则有 m＋12＋m＋22 <3－2， (m＋1)2＋(m＋2)2<1，m2＋3m＋2<0，得－2<m<－1， ∴当m＝－5时，或m＝2时，C1与C2外切；当－2<m<－1时，C1与C2内含．点评：判断两圆的位置关系通常用几何法，这种方法比较直观，容易理解．设圆C1的圆心为O1，半径为r1，圆C2 的圆心为O2，半径为r2，则有如下关系：相交⇔|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2；
d＝所以两圆相交．
教A版·数学·必修2
与两圆相交的问题圆A的方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，圆B的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，判断圆A和圆B是否相交，若相交，求过两交点的直线的方程及两交点间的距离；若不相交，说明理由．
解析：圆A的方程可写为(x－1)2＋(y－1)2＝9，圆心 A(1,1)，半径rA＝3.圆B的方程可写为(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，圆心B(－1，－1)，半径rB＝2. ∴两圆心之间的距离满足3－2<|AB|＝ 1＋12＋1＋12 ＝2 2 <3＋2.即两圆心之间的距离小于两圆半径之和且大于两圆半径之差，

高中数学人教B版必修第二册《4.2.2 对数运算法则》练习题

人教B 版必修第二册《4.2.2 对数运算法则》练习题一、单选题（本大题共7小题，共35.0分）1. 已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m >0，且log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，则log z m 的值为( )A. 60B. 160C. 2003D. 320 2. 定义M 1是函数f(x)=e x −e 的零点，M 2=log 427⋅log 8125⋅log 6258，M 3=|12sinx 2|(x ≠0)，则有( )A. M 2<M 1<M 3B. M 1<M 2<M 3C. M 3<M 2<M 1D. M 2<M 3<M 13.A. 6B. 8C. 4D. 4. 若3x =2，则x =( )A. lg3−lg2B. lg2−lg3C. lg3lg2D. lg2lg3 5. 已知a ∈R ，b ∈R +，e 为自然数的底数，则[12e a −ln(2b)]2+(a −b)2的最小值为( )A. (1−ln2)2B. 2(1−ln2)2C. 1+ln2D. √2(1−ln2) 6. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，若当x <0时，f(x)=−log 2(−2x)，则f(32)=( )A. −32B. −6C. 6D. 64 7. 已知log 5[log 3(log 2x)]=0，那么x −12等于( )A. 13B. 12√3C. 12√2D. 13√3 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）8.计算：lg4+lg5⋅lg20+(lg5)2= ______ ． 9.不等式(12)2x−7>(12)4x−1中的x 取值范围为______ ． 10.． 11. 已知函数，则f(f(19))=______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）12. 化简下列式子：(1)sin(α−5π2)⋅cos(3π2−α)⋅tan(π+α)⋅cos(π2−α)sin(2π−α)⋅tan(α−π)⋅sin(−α−π)(2)2lg3+log 0.114cos0+12lg0.36(3)已知tana =23，求1sinαcosα．13. (本题满分10分)求下列各式的值(Ⅰ)(5分) (Ⅱ)(5分) ( ).14. 计算：(1)log 232−log 234+log 26 (2)823×(−76)0+(√23×√3)6．15. 计算下列各式：(Ⅰ)sin(−26π3)−cos(29π6)−tan 25π4；(Ⅱ)√3×31.5×612+(log 43+log 83)⋅log 32.【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，∴1log m x =24，1log m y =40，1log m x +log m y +log m z =12． ∴1124+140+log m z =12，解得log m z =160．∴log z m =60．故选：A ．利用对数的换底公式即可得出答案．正确使用对数的换底公式是解题的关键．2.答案：C解析：解：因为M 1是函数f(x)=e x −e 的零点，所以M 1=1，M 2=log 427⋅log 8125⋅log 6258=32×lg3lg2×24×lg5lg3×34×lg2lg5=916，M 3=|12sinx 2|≤12，即M 3<M 2<M 1，故选：C ．由函数的零点得：M 1=1，由对数的换底公式得：M 2=log 427⋅log 8125⋅log 6258=32×lg3lg2×24×lg5lg3×34×lg2lg5=916，由三角函数的有界性得：M 3=|12sinx 2|≤12，得解．本题考查了函数的零点，对数的换底公式及三角函数的有界性，属中档题3.答案：A解析：本题考查的是指数对数的运算。

高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数对数运算法则学案新人教B版必修第二册

4．2.2　对数运算法则【课程标准】理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一　对数的运算性质若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)log a(MN)＝____________，(2)log a MN＝____________，(3)log a M n＝____________(n∈R).状元随笔　对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．知识点二　对数换底公式log a b＝____________(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0).特别地：log a b·log b a＝________(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．状元随笔　对数换底公式常见的两种变形(1)log a b·log b a＝1，即1logab＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .(2)log N n M m＝mnlog N M，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的mn倍．基础自测1．下列等式成立的是( ) A．log2(8－4)＝log28－log24B．log28log24＝log284C．log28＝3log22D．log2(8＋4)＝log28＋log24 2.log49log43的值为( )A．12 B．2 C．32 D．923．2log510＋log50.25＝( )A．0 B．1C．2 D．44．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为________.课堂探究·素养提升——强化创新性题型1　用已知对数表示其他对数[经典例题]例1　用lg x，lg y，lg z表示下列各式：(1)lg (xyz)；(2)lg x y2 z；(3)lg x y3z；(4)lg√xy2z.方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；(3)注意一些派生公式的使用．跟踪训练1　如果lg2＝m，lg3＝n，则lg12lg15等于( )A．2m+n1+m+nB．m+2n1+m+nC．2m+n1−m+nD．m+2n1−m+n题型2　对数运算性质的应用[经典例题]逆用对数的运算法则合并求值．例2　(1)计算lg2＋lg5＋2log510－log520的值为( ) A．21 B．20　C．2 D．1(2)求值：log2√748＋log212－12log242.方法归纳(1)对于同底的对数的化简，常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).(2)对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg2＋lg5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练2　(1)计算：lg52＋2lg2－(12)−1＝________．利用对数运算性质化简求值．(2)求下列各式的值．①log53＋log51 3；②(lg5)2＋lg2·lg50；③lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.题型3　对数换底公式的应用[经典例题]例3　(1)已知2x＝3y＝a，1x＋1y＝2，则a的值为( )A ．36B ．6C ．2√6D ．√6(2)计算：log 89·log 2732.(3)已知log 189＝a ，18b ＝5，用a ，b 表示log 3645.状元随笔　(1)利用换底公式化简．(2)利用对数运算性质化简求值．方法归纳(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n 为底的换为a 为底．(2)换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ；log a n b m ＝mnlog a b .跟踪训练3　(1)式子log 916·log 881的值为( )A ．18 B ．118C ．83D ．38(2)已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg5＝________；(用p ，q 表示)(3)①已知log 147＝a ，14b ＝5，用a ，b 表示log 3528；②设3x＝4y＝36，求2x＋1y的值．状元随笔　(1)方法一　对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．方法二　先求出a、b，再利用换底公式化简求值．(2)利用换底公式化简求值．4．2.2　对数运算法则新知初探·自主学习知识点一(1)log a M＋log a N　(2)log a M－log a N　(3)n log a M知识点二logcblog c a　1[基础自测]1．解析：由对数的运算性质易知C正确．答案：C2．解析：原式＝log39＝2.答案：B3．解析：原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.答案：C4．解析：log32＝ln2ln3＝ab.答案：a b课堂探究·素养提升例1　【解析】　(1)lg (xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.(2)lg xy2z＝lg (xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.xy3√lg (xy3)－lg√z＝lg x＋3lg y－12lg z.(4)lg √xy2z＝lg√x－lg (y2z)＝12lg x－2lg y－lg z.跟踪训练1　解析：因为lg2＝m，lg3＝n，所以lg12lg15＝2lg2+lg3lg3+lg5＝2m+nn+1−lg2＝2m+nn+1−m.答案：C例2　【解析】　(1)lg2＋lg5＋2log510－log520＝1＋log510020＝1＋1＝2.(2)原式＝12(log27－log248)＋log23＋2log22－12(log22＋log23＋log27)＝12log27－12log23－12log216＋12log23＋2－12log27－12＝－12.【答案】　(1)C　(2)见解析跟踪训练2　解析：(1)lg52＋2lg2－(12)−1＝lg5－lg2＋2lg2－2＝(lg5＋lg2)－2＝1－2＝－1.(2)①log53＋log513＝log5(3×13)＝log51＝0.②(lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.③原式＝lg25＋lg823＋lg 102·lg (10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(lg10－lg2)(lg10＋lg2)＋(lg2)2＝lg100＋(lg10)2－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.答案：(1)－1　(2)见解析例3　【解析】　(1)因为2x＝3y＝a，所以x＝log2a，y＝log3a，所以1x+1y＝1log2a+1log3a＝log a2＋log a3＝log a6＝2，所以a2＝6，解得a＝±√6.又a＞0，所以a＝√6.(2)log89·log2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32 lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.(3)方法一　因为log189＝a，所以9＝18a.又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.又因为log2×1818＝1log18(18×2)＝11+log182＝11+log18189＝11+1−log189＝12−a，所以原式＝a+b 2−a.方法二　∵18b＝5，∴log185＝b.∴log3645＝log1845log1836＝log18(5×9)log18(4×9)＝log185+log1892log182+log189＝a+b2log18189+log189＝a+b2−2log189+log189＝a+b2−a.【答案】　(1)D　(2)(3)见解析跟踪训练3　解析：(1)原式＝log3224log2334＝2log32·43log23＝83.(2)lg5＝log65log610＝qlog62+log65＝qp+q.(3)①∵log147＝a，14b＝5，∴b＝log145.∴log3528＝log1428log1435＝log141427 log14(5×7)＝log14142−log147log145+log147＝2−aa+b.②∵3x＝36，4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，∴1 x ＝1log336＝1log3636log363＝log363，1 y ＝1log436＝1log3636log364＝log364，∴2x+1y＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.答案：(1)C　(2)qp+q　(3)见解析。

人教A高中数学必修二课时分层训练：第四章圆与方程 42 422 423 含解析

第四章4．2直线、圆的位置关系4．2．2圆与圆的位置关系4．2．3直线与圆的方程的应用课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．已知0＜r＜2＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是()A．外切B．相交C．外离D．内含解析：选B设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．圆x2＋y2＝r2的圆心O(0,0)，圆心距|OO′|＝12＋(－1)2＝2.显然有|r－2|＜2＜2＋r.所以两圆相交．2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有() A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选B因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以内公切线的条数为2条．3．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m等于()A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m，解得m＝9.4．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过( )A ．1.4米B ．3.0米C ．3.6米D ．4.5米解析：选C 可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得OD ＝OC 2－CD 2＝3.6(米)，故选C.5．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0解析：选B 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线，而以PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x＋3y －1＝0，故选B.6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则实数a ＝ .解析：由已知，两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y ＝1a ，利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 1＝22－(3)2＝1，解得a ＝1.答案：17．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为．解析：AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2，又C 1(3,0)，C 2(0,3)，C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，即线段AB 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝08．点P 在圆O ：x 2＋y 2＝1上运动，点Q 在圆C ：(x －3)2＋y 2＝1上运动，则|PQ |的最小值为．解析：如图所示．设连心线OC 与圆O 交于点P ′，与圆C 交于点Q ′，圆O 的半径为r 1，圆C 的半径为r 2，当点P 在P ′处，点Q 在Q ′处时|PQ |最小，最小值为|P ′Q ′|＝|OC |－r 1－r 2＝1.答案：19．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，求以圆C 1与圆C 2的公共弦为直径的圆的方程．解：由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0. ∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1，圆心C 1(－2,0)，C 2(－1，－1)， ∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2，即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1)．又圆心C 1(－2,0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离d ＝|－2－0|2＝2， ∴所求圆的半径r ＝(3)2－(2)2＝1， ∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.10．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．此时DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 利用圆的几何性质，将题目转化为求两圆相交的公共弦所在直线的方程．设点P (3,1)，圆心C (1,0)，又切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形P ACB 的外接圆圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，半径长为12(3－1)2＋(1－0)2＝52，∴此圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54 ①.又圆C ：(x －1)2＋y 2＝1 ②，①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．2．若圆x 2＋y 2＝r 2与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0有公共点，则r 满足的条件是( )A ．r ＜5＋1B ．r ＞5＋1C ．|r －5|＜1D ．|r －5|≤1解析：选D 由x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，圆心距(－1)2＋22＝ 5.∵两圆有公共点，∴|r －1|≤5≤r ＋1，∴5－1≤r ≤5＋1，即－1≤r －5≤1，∴|r －5|≤1.3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5解析：选D 由圆(x ＋2)2＋y 2＝5，可知其圆心为(－2,0)，半径为 5.设点(－2,0)关于直线x －y ＋1＝0对称的点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －0x ＋2＝－1，x －22－y ＋02＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴所求圆的圆心为(－1，－1)．又所求圆的半径为5，∴圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5.4．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )A ．5B ．1C ．35－5D ．35＋5解析：选C 圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心为C 1(4,2)，半径长r 1＝3；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C 2(－2，－1)，半径长r 2＝2，两圆相离，|PQ |的最小值为|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝35－5.5．若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长为．解析：连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5， ∴|AC |＝5×255＝2， ∴|AB |＝4. 答案：46．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是．解析：设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝13，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.答案：x 2＋y 2－3x ＋y －1＝07．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险地区，城市B 在A 地正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为．解析：如图所示，以A 为原点，正东和正北方向为x 轴、y 轴正方向，则B (40,0)．台风中心在直线y ＝x 上移动．则问题转化成以点B 为圆心，30 km 为半径的圆与直线y ＝x 相交的弦长就是B 处在危险区内台风中心走过的距离．则圆B 的方程为(x －40)2＋y 2＝302，直线y ＝x 被圆B 截得弦长为CD ＝2·302－⎝ ⎛⎭⎪⎫4022＝20(km)．故B 城市处于危险区的时间为t ＝2020＝1(h)．答案：1 h8．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)设圆O 1、圆O 2的半径分别为r 1，r 2， ∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴r 2＝|O 1O 2|－r 1＝(0－2)2＋(－1－1)2－2 ＝2(2－1)，∴圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2.(2)由题意，设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 23，圆O 1，O 2的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程，为4x ＋4y ＋r 23－8＝0.∴圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为|0－4＋r 23－8|42＋42＝4－⎝⎛⎭⎪⎫2222＝2，解得r 23＝4或20.∴圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。

高中数学 4.2.2圆与圆的位置关系练习新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题

【成才之路】2015-2016学年高中数学圆与圆的位置关系练习新人教A版必修2基础巩固一、选择题1．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有( ) A．1条B．3条C．4条D．以上均错[答案] B[分析] 先判断出两圆的位置关系，然后根据位置关系确定公切线条数．[解析] ∵C1(－2,2)，r1＝1，C2(2,5)，r2＝4，∴|C1C2|＝5＝r1＋r2，∴两圆相外切，因此公切线有3条，因此选B．规律总结：如何判断两圆公切线的条数首先判断两圆的位置关系，然后判断公切线的条数：(1)两圆相离，有四条公切线；(2)两圆外切，有三条公切线，其中一条是内公切线，两条是外公切线；(3)两圆相交，有两条外公切线，没有内公切线；(4)两圆内切，有一条公切线；(5)两圆内含，没有公切线．2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是( )A．(x－3)2＋(y－5)2＝25B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[答案] B[解析] 设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x －5)2＋(y＋1)2＝25.3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是( )A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[答案] B[解析] 利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.4．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r＝( )A．5 B．4C．3 D．2 2[答案] C[解析] 设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.5．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m ＋c的值是( )A．－1 B．2C．3 D．0[答案] C[解析] 两点A，B关于直线x－y＋c＝0对称，k AB＝－4m－1＝－1.∴m＝5，线段AB的中点(3,1)在直线x－y＋c＝0上，∴c＝－2，∴m＋c＝3.6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为( ) A．(x－6)2＋(y－4)2＝6B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[答案] D[解析] 半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.二、填空题7．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是_________.[答案] 外切[解析] ∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d ＝|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝4＝2， ∴d ＝r 1＋r 2.∴两圆外切．8．与直线x ＋y －2＝0和圆x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝2[解析] 已知圆的标准方程为(x －6)2＋(y －6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x ＋y －2＝0垂直的方程为x －y ＝0.方程x －y ＝0分别与直线x ＋y －2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.三、解答题9．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．[解析] 方法1：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，联立得两圆交点坐标(－1,2)，(5，－6)． ∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为 125＋12＋－6－22＝5.∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.方法2：由方法1可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－1221＋λ，－16λ－221＋λ)．∵圆心C 在公共弦所在直线上， ∴4·－12λ－1221＋λ＋3·－16λ－221＋λ－2＝0，解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0. 10．(2015·某某天一中学模拟)已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l ：x －y ＋10＝0上． (1)若动圆C 过点(－5,0)，求圆C 的方程；(2)是否存在正实数r ，使得动圆C 满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出r ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)依题意可设动圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25，其中(a ，b )满足a －b ＋10＝0.又因为动圆C 过点(－5,0)，故(－5－a )2＋(0－b )2＝25.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋10＝0，－5－a 2＋0－b2＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－10，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝5，故所求圆C 的方程为(x ＋10)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25. (2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|10|1＋1＝5 2.当r 满足r ＋5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相切的圆；当r 满足r ＋5＝d ，即r ＝52－5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切；当r 满足r ＋5＞d ，即r ＞52－5时，与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有两个．综上，当r ＝52－5时，动圆C 中满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个．能力提升一、选择题1．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[答案] D[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.2．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( ) A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C ．4x ＋y ＋4＝0 D ．4x －y ＋4＝0[答案] A[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．3．若集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤16|，B ＝{(x ，y )|x 2＋(y －2)2≤a －1}，且A ∩B ＝B ，则a 的取值X 围是( )A ．a ≤1B ．a ≥5C ．1≤a ≤5D ．a ≤5[答案] D[解析] A ∩B ＝B 等价于B ⊆A ．当a >1时，集合A 和B 分别代表圆x 2＋y 2＝16和圆x2＋(y －2)2＝a －1上及内部的点，容易得出当B 对应的圆的半径长小于等于2时符合题意．由0<a －1≤4，得1<a ≤5；当a ＝1时，集合B 中只有一个元素(0,2)，满足B ⊆A ；当a <1时，集合B 为空集，也满足B ⊆A ．综上可知，当a ≤5时符合题意．4．(2015·某某某某模拟)若圆(x －a )2＋(y －a )2＝4上，总存在不同的两点到原点的距离等于1，则实数a 的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫22，322B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22[答案] C[解析] 圆(x －a )2＋(y －a )2＝4的圆心C (a ，a )，半径r ＝2，到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆，这个圆的圆心是原点O ，半径R ＝1，则这两个圆相交，圆心距d ＝a 2＋a 2＝2|a |，则|r －R |<d <r ＋R ，则1<2|a |<3，所以22<|a |<322，所以－322<a <－22或22<a <322.二、填空题5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝_________. [答案] 1[解析] 两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y ＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a 的距离d ＝|1a |，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a ＝1. 6．(2015·某某某某月考)已知两点M (1,0)，N (－3,0)到直线的距离分别为1和3，则满足条件的直线的条数是_________.[答案] 3[解析] ∵已知M (1,0)，N (－3,0)，∴|MN |＝4，分别以M ，N 为圆心，1,3为半径作两个圆，则两圆外切，故有三条公切线．即符合条件的直线有3条．三、解答题7．已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程．[解析] 解法一：考虑到圆B 的圆心在直线l 上移动，可先写出动圆B 的方程，再设法建立圆B 的半径r 的目标函数．设圆B 的半径为r .∵圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，∴圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2，即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0.① ∵圆A 的方程是x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，② ∴②－①，得两圆的公共弦方程为 (2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0.③ ∵圆B 平分圆A 的周长，∴圆A 的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x ＝－1，y ＝－1代入方程③并整理，得r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5(t ＋35)2＋215≥215.∴当t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是 (x ＋35)2＋(y ＋65)2＝215.解法二：也可以从图形的几何性质来考虑，用综合法来解．如图，设圆A ，圆B 的圆心分别为A ，B ，则A (－1，－1)，B 在直线l ：y ＝2x 上，连接AB ，过A 作MN ⊥AB ，且MN 交圆于M ，N 两点．∴MN 为圆A 的直径．∵圆B 平分圆A ，∴只需圆B 经过M ，N 两点． ∵圆A 的半径是2，设圆B 的半径为r ， ∴r ＝|MB |＝|AB |2＋|AM |2＝|AB |2＋4.欲求r 的最小值，只需求|AB |的最小值． ∵A 是定点，B 是l 上的动点， ∴当AB ⊥l ，即MN ∥l 时，|AB |最小．于是，可求得直线AB 方程为y ＋1＝－12(x ＋1)，即y ＝－12x －32，与直线l ：y ＝2x 联立可求得B (－35，－65)，r min ＝215. ∴圆B 的方程是 (x ＋35)2＋(y ＋65)2＝215.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．[解析] (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心C 1(－3,1)到直线l 的距离为d ＝|1－k －3－4|1＋k2，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23， ∴4＝(3)2＋d 2，∴k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )，因为C 1和C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k 4－a －b 1＋1k 2整理得：|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，∴1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5. 因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0b －a ＋3＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝52b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32b ＝132这样点P 只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.经检验点P 1和P 2满足题目条件．。

人教B版高中数学必修第二册精品课件第四章 4.2.2 对数运算法则

3
3
13
= ×3=13.
3
探究三
换底公式与对数运算法则的综合应用
【例 3】已知 3 =4
a
1
=c,且
b
+
1
=2(a,b≠0),求实数

c 的值.
1
1
1
1
解:由 3 =4 =c,得 a=log3c,b=log4c,所以 =
=logc3, =
=logc4.
log3
log4
a
b
1 1
loga =logaM-loaN其中,a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R.
3.求值:(1)lg 2+lg 5=
3
(2)log2 4=
答案:(1)1
;
.
2
(2)
3
二、换底公式
1.对数log32能否用lg 2和lg 3表示?能否用ln 2和ln 3表示?能否用loga2和
loga3表示?
lg2
log2 25 log2 5
log5 4
log5 8
解:(方法一)原式=(log2125+
+
)(log52+
+
)
log2 4
log2 8
log5 25 log5 125
2log2 5
log2 5
2log5 2 3log5 2
1
=(3log25+
+
)(log
+
)=
3
+
1
+
log
3log
52+
25·
52

2020新教材高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2.1对数运算4.2.2对数运算法则新人教B版必修第二册

4.2.1对数运算4.2.2对数运算法则课后篇巩固提升夯实基础1.若ln x-ln y=a,则ln-ln等于()A. B.a C. D.3a-ln=3-=3(ln x-ln2-ln y+ln2)=3(ln x-ln y)=3a.2.已知a>0,a≠1,x>y>0,n∈N+,下列各式:①(log a x)n=n log a x;②log a x=-log a;③=log a;④log a x;⑤log a x=log a;⑥log a x=lo x n;⑦.log a-=-log a-其中成立的有()A.3个B.4个C.5个D.6个②⑤⑥⑦正确.①式中n log a x=log a x n;③式中log a=log a x-log a y;④式中log a x=log a.3.(多选)已知函数f(x)=若f(a)=,则x的可能取值为()A.-1B.C.D.2a>0时,由log2a=,得a=,故C正确;当a≤ 时,由3a=,得a=-1,故A正确.4.如果关于lg x的方程lg2x+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两根为lg x1,lg x2,那么x1x2的值为()A.lg 2·lg 3B.lg 2+lg 3C. D.-6由已知,得lg x1+lg x2=-(lg2+lg3)=-lg6=lg,又∵lg x1+lg x2=lg(x1x2),∴lg(x1x2)=lg.∴x1x2=.5.已知f(x5)=lg x,则f(2)等于()A.lg 2B.lg 32C.lgD.lg 2方法一)令x5=2,则x=,∴f(2)=lg lg2.(方法二)令x5=t,则x=,∴原函数可转化为f(t)=lg lg t,即f(x)=lg x,∴f(2)=lg2.6.若2a=3b=6,则=()A.2B.3C.D.12a=3b=6,∴a=log26,b=log36.∴=log62+log63=1.7.若3α=2,则log38-2log36用含a的代数式可表示为()A.a-2B.3a-(1+a)2C.5a-2D.3a-a23a=2,∴a=log32,log38-2log36=3log32-2(log33+log32)=log32-2=a-2.8.已知log32=a,则2log36+log30.5=.2=2log3(2×3)+log3=2(log32+log33)-log32=log32+2=a+2.9.log56·log67·log78·log89·log910=.=.10.若a=log43,则2a+2-a=,+1=.log312a=log43=log2,∴2a+2-a=-.∵=log34,1=log33,∴+1=log34+log33=log312.11.已知a,b,c为正数,且lg(ac)lg(bc)+1=0,则lg的取值范围是.-∞,-2]∪[2,+∞)lg c的一元二次方程有解问题进行处理.∵由题意,得(lg a+lg c)(lg b+lg c)+1=0,∴有(lg c)2+(lg a+lg b)lg c+lg a lg b+1=0.设lg c=t,则t2+(lg a+lg b)t+lg a lg b+1=0,t∈R,则关于t的方程t2+(lg a+lg b)t+lg a lg b+1=0有根,∴Δ=(lg a+lg b)2-4(lg a lg b+ )≥ .整理,得(lg a-lg b)2≥∴≥ .∴lg≥ 或lg≤-2,即lg的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).12.计算:log28+lg+ln-+(lg 5)2+lg 2lg 50.=3-3++2÷+(lg5)2+lg2(lg5+1)=+(lg5)2+(1-lg5)(1+lg5)=.能力提升1.设a>0,a≠1,x,y满足log a x+3log x a-log x y=3.(1)用log a x表示log a y;(2)当x取何值时log a y取得最小值?由题意得log a x+=3,∴=log a x+-3.∴log a y=(log a x)2-3log a x+3.(2)设log a x=t,t∈R,则有log a y=t2-3t+3=-(t∈R),∴当t=时,log a y取得最小值,此时log a x=,x=,即当x=时,log a y取得最小值.2.(1)已知5a=3,5b=4,求a,b,并用a,b表示log2512.(2)求值:2-(-π)0+log3.因为5a=3,5b=4,所以a=log53,b=log54.所以log2512=(log53+log54)=.(2)原式=-1+(-1)+2=-1-1+2=.3.甲、乙两人解关于x的方程log2x+b+c log x2=0,甲写错了常数b,得到两个根;乙写错了常数c 得到两个根,64.求这个方程真正的根.log2x+b+c·=0,即(log2x)2+b log2x+c=0.因为甲写错了常数b得到两个根,所以c=log2·log2=6.因为乙写错了常数c得到两个根,64,所以b=-=-5.故原方程为(log2x)2-5log2x+6=0.解得log2x=2或log2x=3.所以x=4或x=8,即方程真正的根为4,8.4.已知2y·log y4-2y-1=0,·log5x=-1,问是否存在一个正整数P,使P=-?2y·log y4-2y-1=0,∴2y-=0.又∵2y>0,∴log y4=.∴y=16.由·log5x=-1得=-log x5>0,∴log x=(log x5)2.∴log x5x=(log x5)2.∴2(log x5)2-log x5-1=0,即(2log x5+1)(log x5-1)=0,∴log x5=-或log x5=1.∵-log x5>0,∴log x5<0.∴log x5=1(舍去).∴log x5=-,即-=5.∴x=.∴=25.∴P=--=3.即存在正整数P=3,使P=-.。

人教B版(2019)高中数学必修第二册第四章4.2.2对数运算法则知识基础练(含答案)

4.2.2 对数运算法则必备知识基础练1.若ab >0，给出下列四个等式：①lg(ab )＝lg a ＋lg b ；②lg a b ＝lg a －lg b ；③12lg ⎝⎛⎭⎫a b 2＝lg a b ；④lg(ab )＝1log ab 10.其中一定成立的等式的序号是( )A ．①②③④B ．①②C ．③④D ．③2．对a >0，且a ≠1(M >0，N >0)，下列说法正确的是() A ．log a M ·log a N ＝log a (M ＋N )B.log a Mlog a N ＝log a (M －N )C ．log a m M n ＝log am M nD ．log a M ＝log (－2)Mlog (－2)a3.若lg x －lg y ＝a ，则 lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝( )A ．3a B.32aC ．a D.a 24．计算下列各式的值：(1)log 345－log 35；(2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；(3)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27.5.log 89log 23的值是( )A.23B.32C ．1D ．26．计算：(log 43＋log 83)log 32＝________.7．设3x ＝4y ＝36，则2x ＋1y ＝________.8．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，那么log 512＝________.关键能力综合练一、选择题1．(log 29)·(log 34)＝( )A.14B.12C ．2D ．42．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( )A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －13．化简：log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 23132等于( ) A ．5 B ．4C ．－5D ．－44．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( )A ．a ＋bB ．a －bC ．ab D.a b5．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10C ．20D ．1006．(探究题)已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 等于( ) A ．3 B ．8C ．4D ．log 48二、填空题7．若a ＝log 23，b ＝log 32，则a ·b ＝________，lg a ＋lg b ＝________.8．若x log 32＝1，则4x ＋4－x ＝________.9．(易错题)设lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则log 4x y的值为________．三、解答题10．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：(1)lg(xyz )；(2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z；(4)lg x y 2z .学科素养升级练1．(多选题)已知x ，y 为正实数，则( )A ．2ln x ＋ln y ＝2ln x ＋2ln yB ．2ln(x ＋y )＝2ln x ·2ln yC ．2ln x ·ln y ＝(2ln x )ln yD ．2ln(xy )＝2ln x ·2ln y2．方程lg(4x ＋2)＝lg 2x ＋lg 3的解是________．3．(学科素养—数学建模)分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P 0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝y 与声压P 的函数关系式；(2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？(3)某运动会开幕式(在某场馆举行)上，精彩的文艺节目引起了观众多次响亮的掌声，某记者用仪器测得一次音量达到了90分贝，试求此时场馆内的声压是多少？4.2.2对数运算法则必备知识基础练1．解析：①②当a<0，b<0时不成立，④当ab＝1时，log ab10无意义，∴选D.答案：D2．解析：由对数的运算性质知A，B错误；对于C，log a mM n＝log a Mnm＝nm log a M，log am Mn＝nm log a M，∴C正确．D中(－2)不能做底数，∴D错误，故选C.答案：C3．解析：由对数的运算性质可知，原式＝3(lg x－lg 2)－3(lg y－lg 2)＝3(lg x－lg y)＝3a.答案：A4．解析：(1)原式＝log3455＝log39＝log332＝2.(2)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 5－lg 2＋2lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.(3)原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45＋910－12lg 3(4－3)lg 3＝115.5．解析：方法一将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即log89log23＝lg 9lg 8lg 3lg 2＝2lg 33lg 2·lg 2lg 3＝23.方法二将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，即log89log23＝log29log28log23＝2log233log23＝23.答案：A6．解析：原式＝⎝⎛⎭⎫1log34＋1log38log32＝⎝⎛⎭⎫12log32＋13log32log32＝12＋13＝56.答案：567．解析：由已知分别求出x和y，∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1. 答案：18．解析：log 512＝lg 12lg 5＝2lg 2＋lg 31－lg 2＝2a ＋b 1－a. 答案：2a ＋b 1－a关键能力综合练1．解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：D2．解析：log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.答案：A3．解析：原式＝log 2⎝⎛⎭⎫12×23×34×…×3132＝log 2132＝－5. 答案：C4．解析：log 27＝log 23×log 37＝ab .答案：C5．解析：∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10. 又∵m >0，∴m ＝10，选A.答案：A6．解析：∵2x ＝3，∴x ＝log 23.又log 483＝y ， ∴x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2(log 48－log 43) ＝log 23＋2⎝⎛⎭⎫32log 22－12log 23＝log 23＋3－log 23＝3.故选A. 答案：A7．解析：∵a ＝log 23，b ＝log 32，则a ·b ＝lg 3lg 2·lg 2lg 3＝1， lg a ＋lg b ＝lg ab ＝lg 1＝0.答案：1 08．解析：因为x ＝1log 32＝log 23，所以4x ＋4－x ＝22x ＋2－2x ＝222log 3＋222log 3－＝222log 3＋222log 3－＝9＋19＝829. 答案：8299．解析：由lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，得lg(xy )＝lg(x －2y )2，因此xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，得x y ＝4或x y＝1，又∵x >0，y >0，x －2y >0，∴x y≠1， ∴log 4x y＝1. 答案：1易错分析：错误的根本原因是将对数式lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )转化为代数式xy ＝(x －2y )2时，忽略了对数有意义的条件，即隐含条件⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，y >0，x －2y >0.从而误认为x y ＝4或x y ＝1，得出log 4x y＝1或0的错误答案．10．解析：(1)lg(xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z .(2)lg xy 2z＝lg(xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z . (3)lg xy 3z＝lg(xy 3)－lg z ＝lg x ＋3lg y －12lg z . (4)lg x y 2z ＝lg x －lg(y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z . 学科素养升级练1．解析：根据指数与对数的运算性质可得2ln x ·ln y ＝(2ln x )ln y,2ln(xy )＝2ln x ＋ln y ＝2ln x ·2ln y ，可知：C ，D 正确，而A ，B 都不正确．答案：CD2．解析：原方程可化为lg(4x ＋2)＝lg(2x ×3)，从而可得4x ＋2＝2x ×3，令t ＝2x ，则方程可化为t 2＋2＝3t ，即t 2－3t ＋2＝0，解得t ＝1或t ＝2，即2x ＝1或2x ＝2，所以x ＝0或x ＝1.经检验，x ＝0与x ＝1都是原方程的解．答案：x ＝0或x ＝13．解析：(1)由已知得y ＝20lg P P 0(其中P 0＝2×10－5帕)． (2)当P ＝0.002帕时，y ＝20lg 0.0022×10－5＝20lg 102＝40(分贝)．由已知条件知40分贝小于60分贝，所以此地为噪音无害区，声音环境优良．(3)由题意，得90＝20lg P P 0，则P P 0＝104.5，所以P ＝104.5P 0＝104.5×2×10－5＝2×10－0.5≈0.63(帕)，即此时场馆内的声压约是0.63帕．。

人教B版高中数学必修第二册4.2.1对数运算4.2.2对数运算法则【含答案】

4．2对数与对数函数4．2.1对数运算 4.2.2对数运算法则必备知识基础练进阶训练第一层1．将(12)3＝18化为对数式正确的是()A．log123＝18B．log1218＝3C．log1812＝3D．log312＝182．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是() A．a－2B．3a－(1＋a)2C．5a－2D．－a2＋3a－13．计算log225·log322·log59的结果为()A．3B．4C．5D．64．若x＝60，则1log3x＋1log4x＋1log5x的值为() A．1B．12C．2D．－15．求下列各式中x的值．(1)log5(log3x)＝0；(2)－ln e2＝x；(3)lg[log2(lg x)]＝0；(4)log3(2x－1)＝1；(5)4x－2x＋1－3＝0.6．计算下列各式的值：(1)1 2lg3249－43lg8＋lg245；(2)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.关键能力综合练进阶训练第二层7．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg (y 10)2的值等于()A ．12m －2n －2B ．12m －2n －1C ．12m －2n ＋1D ．12m －2n ＋28．(多选)下列各等式正确的是()A ．log 23×log 25＝log 2(3×5)B ．lg 3＋lg 4＝lg (3×4)C ．log 2x y ＝log 2x －log 2y D ．lg n m ＝1n lg m (m >0，n >1，n ∈N *)9．(多选)下列指数式与对数式互化正确的是()A ．e 0＝1与ln 1＝0B ．8－13＝12与log 812＝－13C ．lg 100＝2与100＝10D ．log 77＝1与71＝710．log 425－2log 4log 45·log 516的值是________．11．已知函数f (x )x ＋1，x <1，2－x ，x ≥1，f (f (0))＝3a ，则a ＝________；f (log 2a )＝________．12．(1)已知log 189，log 1854＝b ，求182a －b 的值；(2)已知log x 27＝31＋log 3 ，求x 的值．核心素养升级练进阶训练第三层13．已知函数f (x )x ，x ≥4，x ＋2），x <4，则f (1＋log 23)的值为()A ．6B ．12C ．24D ．3614．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝W log 2(1＋S N )，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比S N 从1000提升至5000，则C 大约增加了(附：lg 2≈0.3010)()A ．20%B ．23%C ．28%D ．50%参考答案与解析1．答案：B 解析：将(12)3＝18化为对数式为log 1218＝3.2．答案：A解析：∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.3．答案：D 解析：原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6．4．答案：A 解析：1log 360＋1log 460＋1log 560＝log 603＋log 604＋log 605＝log 60(3×4×5)＝1.5．解析：(1)设t ＝log 3x ，则log 5t ＝0，∴t ＝1，即log 3x ＝1，∴x ＝3.(2)由－ln e 2＝x ，得ln e 2＝－x ，所以e －x ＝e 2，－x ＝2，x ＝－2.(3)∵lg [log 2(lg x )]＝0，∴log 2(lg x )＝1，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100.(4)由题意得2x －1＝3，∴x ＝2.(5)原方程可化为(2x )2－2·2x －3＝0，∴(2x ＋1)(2x －3)＝0，∴2x ＝3，∴x ＝log 23.6．解析：(1)原式＝12(lg 25－lg 72)－43lg 3 ＋12lg (72×5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.7．答案：D 解析：原式＝12lg x －2(lg y －lg 10)＝12m －2n ＋2.8．答案：BD解析：对于A ，log 23＋log 25＝log 2(3×5)，不正确；对于B ，正确；对于C ，当x ，y 均为负数时，等式右边无意义；对于D ，lg n m ＝1n lg m 符合对数的运算法则，正确．故选BD.9．答案：ABD 解析：lg 100＝2⇒102＝100,100＝10⇒log 10010＝12，C 不正确，A ，B ，D 均正确．10．答案：1解析：log 425－2log 410＋log 45·log 516＝log 425－log 4100＋lg 5lg 4×lg 16lg 5＝log 425100＋lg 16lg 4＝log 414＋log 416＝－1＋2＝1.11．答案：21解析：f (0)＝30＋1＝2，∴f (f (0))＝f (2)＝4a －2＝3a ，∴a ＝2，f (log 2a )＝f (log 22)＝f (1)＝2×12－1＝1.12．答案：(1)32(2)3解析：(1)∵log 189＝a ，log 1854＝b ，∴18a ＝9，18b ＝54，∴182a －b ＝182a 18b ＝9254＝32.(2)log x 27＝31＋log 32＝3·3log 32＝3×2＝6.∴x 6＝27，∴x 6＝33，又x ＞0，∴x ＝3.13．答案：C解析：因为2＜3＜22，所以1＜log 23＜2，2＜1＋log 23＜3，4＜(1＋log 23)＋2＜5，所以f (1＋log 23)＝f ((1＋log 23)＋2)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝23·3＝24.14．答案：B 解析：根据题意，计算出log 25000log 21000的值即可．当S N ＝1000时，C ＝W log 21000，当S N ＝5000时，C ＝W log 25000，因为log 25000log 21000＝lg 5000lg 1000＝3＋lg 53＝4－lg 23≈3.6993≈1.23，所以将信噪比S N 从1000提升至5000，则C 大约增加了23%.。

人教B版(2019)高中数学必修第二册第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2.2对数运算法则习题

4.2.2 对数运算法则知识点一正确理解对数的运算法则1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( ) A．log a M·log a N＝log a(M＋N)B.log a Mlog a N＝log a(M－N)C．D．log a M＝log－2Mlog－2a2．下列式子中：①lg (3＋22)－lg (3－22)＝0；②lg (10＋99)×lg (10－99)＝0；③＝－1(n∈N*)；④lg alg b＝lg (a－b)．其中正确的有________(填序号)．知识点二对数式的计算、化简3．(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20的值是( ) A．0 B．1 C．2 D．34．lg 2516－2lg59＋lg3281等于( )A．lg 2 B．lg 3C．lg 4 D．lg 55．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( ) A．a－2 B．3a－(1＋a)2 C．5a－2 D．－a2＋3a－16．若lg x －lg y ＝a ，则 lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝( )A ．3aB ．32a C ．aD ．a27．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值等于( )A.12m －2n －2 B ．12m －2n －1 C.12m －2n ＋1 D ．12m －2n ＋2 8．化简log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 23132，得( )A ．5B ．4C ．－5D ．－49．已知3a＝2,3b＝15，则2a －b ＝________.10．计算下列各式的值： (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)lg 500＋lg 85－12lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2；(3)lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2； (4)lg 32－lg 9＋1lg 27＋lg 8－lg 1000lg 0.3×lg 1.2.知识点三换底公式及应用11．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( ) A ．a ＋b B ．a －bC ．abD ．a b 12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则1x －1y等于( )A.13B．3C．－13D．－313．若lg 2＝a，lg 3＝b，则log512等于( )A.2a＋b1＋aB．a＋2b1＋aC．2a＋b1－aD．a＋2b1－a14．若log a x＝2，log b x＝3，log c x＝6，则log abc x＝( ) A．1 B．2C．3 D．515．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________．16．若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________.17．计算：(1)log89×log2732；(2)log927；(3)log21125×log3132×log513.18．已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．易错点一利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件设lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则log4xy的值为________．易错点二运用换底公式不熟练致误log29×log34＝( )A.14B．12C．2 D．4一、单项选择题1．log225×log522＝( )A．3 B．4 C．5 D．62．若log513×log36×log6x＝2，则x等于( )A．9 B．1 9C．25 D．1 253. 等于( )A．lg 3 B．－lg 3C．1lg 3D．－1lg 34．化简log232－4log23＋4＋log213，得( )A．2 B．2－2log23C．－2 D．2log23－25．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )A．2 B．1 2C．100 D．10 6．设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于( )A．p2＋q2B．15(3p＋2q)C.3pq1＋3pqD．pq7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( ) A．6 B．9C．12 D．188．已知2x＝3，log483＝y，则x＋2y等于( )A．3 B．8 C．4 D．log48 二、多项选择题9．下列各等式正确的是( )A．log23×log25＝log2(3×5)B．lg 3＋lg 4＝lg (3×4)C．log2xy＝log2x－log2yD．lg nm＝1nlg m(m>0，n>1，n∈N*)10．若ab>1，则下列等式中正确的是( )A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg ab＝lg a－lg bC.12lg⎝⎛⎭⎪⎫ab2＝lgabD．lg (ab)＝1log ab1011．已知x，y为正实数，则下列各式正确的是( )A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln y C．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y 12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列等式中正确的是( )A．(log a x)n＝n log a x B．log a x＝－log a 1 xC.nlog a x＝1nlog a x D．log a xn＝log anx三、填空题13．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，＝________.14．方程log2x＋1log x＋12＝1的解是x＝________.15．如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7×lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.16．设f(n)＝log n＋1(n＋2)(n∈N*)，现把满足乘积f(1)f(2)…f(n)为整数的n称为“贺数”，则在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数是________．四、解答题17．求值：(1)lg5＋lg20；(2)log89×log2732－(3－1)lg 1＋log535－log57；(3)(log43＋log83)(log32＋log92)．18．已知log a(x2＋4)＋log a(y2＋1)＝log a5＋log a(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log8yx的值．19．设0<a<1，x，y满足log a x＋3log x a－log x y＝3，若当y＝24时，log a y取得最小值，求a的值．20．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.(1)求p；(2)求证：1z－1x＝12y.4.2.2 对数运算法则知识点一正确理解对数的运算法则1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( ) A．log a M·log a N＝log a(M＋N)B.log a Mlog a N＝log a(M－N)C．D．log a M＝log－2Mlog－2a答案 C解析由对数的运算性质知A，B错误；对于C，loga m M n＝＝nm log a M，＝nm log a M，∴C正确．D中－2不能做底数，∴D错误．故选C.2．下列式子中：①lg (3＋22)－lg (3－22)＝0；②lg (10＋99)×lg (10－99)＝0；③＝－1(n∈N*)；④lg alg b＝lg (a－b)．其中正确的有________(填序号)．答案③解析lg (3＋22)－lg (3－22)＝lg 3＋223－22＝lg (3＋22)2>0，故①错误．∵lg (10＋99)≠0，lg (10－99)≠0.∴lg (10＋99)×lg (10－99)≠0，故②错误．∵＝＝－1，∴③正确．∵lg alg b≠lg (a－b)，故④错误．知识点二对数式的计算、化简3．(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20的值是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 20＝lg 5×lg 10＋lg 20＝lg 5＋lg 20＝lg 100＝2.4．lg2516－2lg 59＋lg 3281等于( ) A ．lg 2 B ．lg 3 C ．lg 4 D ．lg 5答案 A解析 lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A.5．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2 D ．－a 2＋3a －1答案 A解析 log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 6．若lg x －lg y ＝a ，则 lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝( )A ．3aB ．32a C ．a D ．a2答案 A解析由对数的运算性质可知，原式＝3(lg x －lg 2)－3(lg y －lg 2)＝3(lgx －lg y )＝3a .7．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值等于( )A.12m －2n －2 B ．12m －2n －1 C.12m －2n ＋1 D ．12m －2n ＋2 答案 D解析原式＝12lg x －2(lg y －lg 10)＝12m －2n ＋2.8．化简log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 23132，得( )A ．5B ．4C ．－5D ．－4答案 C解析原式＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×34×…×3132＝log 2132＝－5.9．已知3a ＝2,3b ＝15，则2a －b ＝________.答案 log 320解析 ∵3a＝2,3b＝15，两边取对数得a ＝log 32，b ＝log 315＝－log 35，∴2a －b＝2log 32＋log 35＝log 320.10．计算下列各式的值： (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)lg 500＋lg 85－12lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2；(3)lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2； (4)lg 32－lg 9＋1lg 27＋lg 8－lg 1000lg 0.3×lg 1.2.解 (1)原式＝log 27×1248×42＝log 212＝－12.(2)原式＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫500×85－lg 6412＋50(lg 10)2＝lg 8008＋50＝lg 100＋50＝2＋50＝52.(3)原式＝2lg 5＋lg 2×(1＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5＋lg 2)＝2lg 5＋2lg 2＝2.(4)原式＝lg 32－2lg 3＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫32lg 3＋3lg 2－32lg 3－1×lg 3＋2lg 2－1＝1－lg 3×32lg 3＋2lg 2－1lg 3－1×lg 3＋2lg 2－1＝－32.知识点三换底公式及应用11．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( )A．a＋b B．a－bC．ab D．a b答案 C解析log27＝log23×log37＝ab.12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则1x－1y等于( )A.13B．3C．－13D．－3答案 A解析由2.5x＝1000,0.25y＝1000得x＝log2.51000＝3lg 2.5，y＝log0.251000＝3lg 0.25，∴1x－1y＝lg 2.53－lg 0.253＝13.13．若lg 2＝a，lg 3＝b，则log512等于( )A.2a＋b1＋aB．a＋2b1＋aC．2a＋b1－aD．a＋2b1－a答案 C解析log512＝lg 12lg 5＝2lg 2＋lg 31－lg 2＝2a＋b1－a，故选C. 14．若log a x＝2，log b x＝3，log c x＝6，则log abc x＝( ) A．1 B．2C．3 D．5答案 A解析∵log a x＝1log x a＝2，∴log x a＝12.同理log x b＝13，log x c＝16.∴log abc x ＝1log xabc＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1.15．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________．答案 4解析由换底公式，得log 9(x ＋5)＝12log 3(x ＋5)．∴原方程可化为2log 3(x －1)＝log 3(x ＋5)，即log 3(x －1)2＝log 3(x ＋5)，∴(x －1)2＝x ＋5. ∴x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1. 又⎩⎨⎧x －1>0，x ＋5>0，∴x >1，故x ＝4.16．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________. 答案 9解析由换底公式，得lg 4lg 3×lg 8lg 4×lg m lg 8＝lg mlg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.17．计算： (1)log 89×log 2732； (2)log 927； (3)log 21125×log 3132×log 513. 解 (1)log 89×log 2732＝lg 9lg 8×lg 32lg 27＝lg 32lg 23×lg 25lg 33＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3＝109.(2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32.(3)log 21125×log 3132×log 513＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2×lg 2lg 3×lg 3lg 5＝－15. 18．已知log 189＝a,18b ＝5，用a ，b 表示log 3645的值．解解法一：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .于是log3645＝log1845log1836＝log189×5log1818×2＝log189＋log1851＋log182＝a＋b1＋log18189＝a＋b2－a.解法二：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.于是log3645＝log189×5log181829＝log189＋log1852log1818－log189＝a＋b2－a.解法三：∵log189＝a,18b＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.∴log3645＝lg 45lg 36＝lg 9×5lg1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a＋b2－a.易错点一利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件设lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则log4xy的值为________．易错分析错误的根本原因是将对数式lg x＋lg y＝2lg (x－2y)转化为代数式xy＝(x－2y)2时，忽略了对数有意义的条件，即隐含条件⎩⎨⎧x>0，y>0，x－2y>0.从而误认为xy＝4或xy＝1，得出log4xy＝1或0的错误答案．答案 1正解由lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，得lg (xy)＝lg (x－2y)2，因此xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，得xy＝4或xy＝1，又x>0，y>0，x－2y>0，∴xy≠1，∴log4xy＝1.易错点二运用换底公式不熟练致误log29×log34＝( )A.14B．12C．2 D．4易错分析本题易在使用对数的运算公式时，尤其换底公式的使用过程中发生错误．答案 D正解log29×log34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝2×2＝4.一、单项选择题1．log225×log522＝( )A．3 B．4 C．5 D．6 答案 A解析log225×log522＝lg 25lg 2×＝2lg 5lg 2×32lg 2lg 5＝3.2．若log513×log36×log6x＝2，则x等于( )A．9 B．1 9C．25 D．1 25答案 D解析由换底公式，得原式＝－lg 3lg 5×lg 6lg 3×lg xlg 6＝2，∴lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝1 25 .3. 等于( )A．lg 3 B．－lg 3C．1lg 3D．－1lg 3答案 C解析原式＝＝log310＝1lg 3.选C.4．化简log232－4log23＋4＋log213，得( )A．2 B．2－2log23C．－2 D．2log23－2 答案 B解析∵log232－4log23＋4＝log23－22＝2－log23，∴原式＝2－log23＋log23－1＝2－2log23.5．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )A．2 B．1 2C．100 D．10答案 C解析∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝－－42＝2＝lg ab，∴ab＝100.故选C.6．设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于( )A．p2＋q2B．15(3p＋2q)C.3pq1＋3pqD．pq答案 C解析∵log83＝lg 3lg 8＝lg 33lg 2＝p，∴lg 3＝3p lg 2.∵log35＝lg 5lg 3＝q，∴lg5＝q lg 3＝3pq lg 2＝3pq(1－lg 5)，∴lg 5＝3pq1＋3pq，故选C.7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( ) A．6 B．9C．12 D．18答案 D解析∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，∴1a＝log k2，1b＝log k3，∵2a＋b＝ab，∴2b＋1a＝2log k3＋log k2＝log k9＋log k2＝log k18＝1，∴k＝18.8．已知2x＝3，log483＝y，则x＋2y等于( )A．3 B．8 C．4 D．log48 答案 A解析∵2x＝3，∴x＝log23.又log483＝y，∴x＋2y＝log23＋2log483＝log23＋2(log48－log43)＝log23＋2⎝⎛⎭⎪⎫32log22－12log23＝log23＋3－log23＝3.故选A.二、多项选择题9．下列各等式正确的是( )A．log23×log25＝log2(3×5)B．lg 3＋lg 4＝lg (3×4)C．log2xy＝log2x－log2yD．lg nm＝1nlg m(m>0，n>1，n∈N*)答案BD解析对于A，log23＋log25＝log2(3×5)，不正确；对于B，正确；对于C，当x，y均为负数时，等式右边无意义；对于D，lg nm＝1nlg m符合对数的运算法则，正确．故选BD.10．若ab>1，则下列等式中正确的是( )A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg ab＝lg a－lg bC.12lg⎝⎛⎭⎪⎫ab2＝lgabD．lg (ab)＝1log ab10答案CD解析当a<0，b<0时，A，B不成立，C，D均正确．故选CD.11．已知x，y为正实数，则下列各式正确的是( )A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln yC．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y答案CD解析因为2ln x＋ln y＝2ln x·2ln y＝2ln (xy)，D正确；(2ln x)ln y＝2ln x·ln y，C正确．故选CD.12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列等式中正确的是( )A．(log a x)n＝n log a x B．log a x＝－log a 1 xC.nlog a x＝1nlog a x D．log a xn＝log anx答案BD解析根据对数的运算性质log a M n＝n log a M(M>0，a>0，且a≠1)，可知B，D 正确．三、填空题13．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，＝________.答案 4 2解析∵2x·8y＝16，∴x＋3y＝4，∴＋log927y＝2－1·＋3y 2＝2＝2.14．方程log 2x ＋1logx ＋12＝1的解是x ＝________.答案 1解析原方程可变为log 2x ＋log 2(x ＋1)＝1，即log 2[x (x ＋1)]＝1，∴x (x ＋1)＝2，解得x ＝1或x ＝－2.又⎩⎨⎧x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，即x >0，∴x ＝1.15．如果方程(lg x )2＋(lg 7＋lg 5)lg x ＋lg 7×lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.答案135解析方程(lg x )2＋(lg 7＋lg 5)lg x ＋lg 7×lg 5＝0可以看成关于lg x 的二次方程．∵α，β是原方程的两根，∴lg α，lg β可以看成关于lg x 的二次方程的两根．由根与系数的关系，得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝－lg 35＝lg 135， ∴lg (αβ)＝lg α＋lg β＝lg 135，即αβ＝135. 16．设f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，现把满足乘积f (1)f (2)…f (n )为整数的n 称为“贺数”，则在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数是________．答案 9解析 f (n )＝log n ＋1(n ＋2)＝lg n ＋2lgn ＋1，∴f (1)f (2)…f (n )＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lgn ＋2lgn ＋1＝lg n ＋2lg 2＝log 2(n∵n ∈(1,2020)，∴n ＋2∈(3,2022)， ∵210＝1024,211＝2048，∴在(3,2022)内含有22,23，…，210共9个2的整数次幂，故在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数为9.四、解答题17．求值：(1)lg 5＋lg 20；(2)log 89×log 2732－(3－1)lg 1＋log 535－log 57； (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)．解 (1)lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1. (2)log 89×log 2732－(3－1)lg 1＋log 535－log 57＝lg 9lg 8×lg 32lg 27－1＋log 5357＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3－1＋1＝109. (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3＝12＋14＋13＋16＝54. 18．已知log a (x 2＋4)＋log a (y 2＋1)＝log a 5＋log a (2xy －1)(a >0，且a ≠1)，求log 8yx的值．解原等式可化为log a [(x 2＋4)(y 2＋1)]＝log a [5(2xy －1)]， ∴(x 2＋4)(y 2＋1)＝5(2xy －1)．整理，得x 2y 2＋x 2＋4y 2－10xy ＋9＝0，配方，得(xy －3)2＋(x －2y )2＝0， ∴⎩⎨⎧xy ＝3，x ＝2y .∴y x ＝12. ∴log 8y x ＝log 812＝－13.19．设0<a <1，x ，y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，若当y ＝24时，log a y 取得最小值，求a 的值．解由已知条件，得log a x ＋3log x a －log x y ＝log a x ＋3log a x －log a ylog a x ＝3，所以log a y ＝(log a x )2－3log a x ＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫log ax －322＋34. 当log a x ＝32时，log a y 有最小值34.此时y ＝24，所以有log a 24＝34，故所以a ＝14.20．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py . (1)求p ；(2)求证：1z －1x ＝12y.解 (1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0，且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3klog 34， ∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34.(2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12y ，∴1z －1x ＝12y.。

高中数学第四章数列4.2等差数列4.2.2等差数列的前N项和公式课件新人教A版选择性必修第二册

【预习自测】 1．如图1，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．假设在这堆钢管旁边再倒放上捆扎着的同样一堆钢管，如图2所示，则这样共有 ________根钢管，原来有________根钢管．
【答案】78 39 【解析】图 2 的钢管数为(4＋9)×6＝78.原来的钢管数为12×78＝39.
则当Sn最大时，n＝
()
A．6
B．10
C．7
D．9
【答案】C
【解析】因为公差不为零的等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，S5＝S9，所以对称轴为n＝7，又因为开口向下，所以当n＝7时，Sn 有最大值．
2．已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若S16＞0，且S17＜0，
则当Sn取最大值时n的值为
解得 n＝12 或 n＝－5(舍去)， ∴a12＝32＋(12－1)×－21＝－4. (3)由 Sn＝n(a12＋an)＝n(－5122＋1)＝－1022，解得 n＝4. 又由 an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得 d＝－171.
等差数列基本运算的解题方法 a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
2．(1)在等差数列{an}中，Sn为{an}的前n项和，若S4＝1，S8＝4，则
a17＋a18＋a19＋a20的值为
()
A．9
B．12
C．16

高中数学必修2同步练习 第四章4.2.2

北师大版高中数学必修二同步练习题 第4章半角公式(含答案)