高考数学一轮复习 第六章 数列 6.5 数列通项公式的求法课件 文 (2)
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2024届高考一轮复习数学课件(新人教B版)：等差数列
所以 Sn＋1－ Sn＝(n＋1) a1－n a1＝ a1(常数)，
所以数列{ Sn}是等差数列. ①②⇒③. 已知{an}是等差数列，{ Sn}是等差数列.
设数列{an}的公差为d， 则 Sn＝na1＋nn－ 2 1d＝12n2d＋a1－d2n.
因为数列{ Sn}是等差数列， 所以数列{ Sn}的通项公式是关于 n 的一次函数，
教材改编题
1.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于
A.－2
B.－1
√C.1
D.2
设等差数列{an}的公差为 d，由题意得151＝＝aa1＋1＋74dd，， 解得ad1＝＝－192，. ∴an＝－2n＋21. ∴a10＝－2×10＋21＝1.
教材改编题
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12
A.aa94＝－1
√C.aa93＝－1
B.aa83＝－1 D.aa140＝－1
由aa85＝－2 得 a5≠0,2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0， 所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0， 因为a5≠0，a6＝0， 所以 a3≠0，aa93＝－1.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例 4 (1)设等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意的
则 a1－d2＝0，即 d＝2a1，所以 a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{ Sn}是等差数列，a2＝3a1， 所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{ Sn}的公差为 d，d>0， 则 S2－ S1＝ 4a1－ a1＝d，得 a1＝d2， 所以 Sn＝ S1＋(n－1)d＝nd，
所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一 次函数，且a1＝d2满足上式， 所以数列{an}是等差数列.
所以数列{ Sn}是等差数列. ①②⇒③. 已知{an}是等差数列，{ Sn}是等差数列.
设数列{an}的公差为d， 则 Sn＝na1＋nn－ 2 1d＝12n2d＋a1－d2n.
因为数列{ Sn}是等差数列， 所以数列{ Sn}的通项公式是关于 n 的一次函数，
教材改编题
1.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于
A.－2
B.－1
√C.1
D.2
设等差数列{an}的公差为 d，由题意得151＝＝aa1＋1＋74dd，， 解得ad1＝＝－192，. ∴an＝－2n＋21. ∴a10＝－2×10＋21＝1.
教材改编题
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12
A.aa94＝－1
√C.aa93＝－1
B.aa83＝－1 D.aa140＝－1
由aa85＝－2 得 a5≠0,2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0， 所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0， 因为a5≠0，a6＝0， 所以 a3≠0，aa93＝－1.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例 4 (1)设等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意的
则 a1－d2＝0，即 d＝2a1，所以 a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{ Sn}是等差数列，a2＝3a1， 所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{ Sn}的公差为 d，d>0， 则 S2－ S1＝ 4a1－ a1＝d，得 a1＝d2， 所以 Sn＝ S1＋(n－1)d＝nd，
所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一 次函数，且a1＝d2满足上式， 所以数列{an}是等差数列.
2025版高考数学一轮总复习第6章数列第1讲数列的概念与简单表示法pptx课件
知识点三 an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，
则 an＝______S__S1__n－____S__n， _－_1n_＝ __1_， _，n≥2.
知识点四 数列的分类
归纳拓展 1．数列与函数 数 列 可 以 看 作 是 一 个 定 义 域 为 正 整 数 集 N*( 或 它 的 有 限 子 集 {1,2，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值. 数列的通项公式是相应函数的解析式，它的图象是一群孤立的点.
知识点二 数列的表示方法
列表法 图象法
列表格表示n与an的对应关系 把点___(n_，__a_n_)______画在平面直角坐标系中
通项公式 把数列的通项使用__公__式____表示的方法
公式法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an， an－1)等表示数列的方法
运算求解
数学运算
并项求和
综合性
逻辑思维
逻辑推理
2022新高考 求通项公 累乘法求数列
运算求解 综合性 数学运算
Ⅰ，17 式
的通项公式
等差数列 2022新高考
及其前n项 Ⅱ，3
和
求值
运算求解 创新性 数学运算
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
等比数列
2022新高考
等比数列的通项 运算求解
及其前n
Ⅱ，17
公式及其应用 逻辑思维
项和
创新性
数学运算
2021新高考
数列的求
错位相减法求和， 运算求解
综合性
数学运算
Ⅰ，16,17 和
分组求和
等差数列 求解等差数列的
数列通项公式的求法课件-高三数学一轮复习
(2)证明：∵cn＝a2nn(n∈N*)， ∴cn＋1－cn＝a2nn＋ ＋11－a2nn＝an＋21－n＋12an＝2bn＋n 1. 将 bn＝3·2n－1 代入，得 cn＋1－cn＝34(n∈N*)． ∴数列{cn}是公差为34的等差数列，c1＝a21＝12， 故 cn＝12＋34(n－1)＝34n－14.
探究 5 此类题可由 an＝SS1n（－nS＝n－11（）n，≥2）求出通项 an，但要注意 n＝1 与 n ≥2 两种情况能否统一．
思考题 5 在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋2 1an＋1，n∈
N*，求 an. 【解析】
由 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋2 1an＋1，
例 4 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2aan＋n 1(n∈N＋)．求数列{an}的通项公 式．
【解析】 易知 an＞0，依题意得an1＋1＝2ana＋n 1＝a1n＋2， ∴数列a1n是等差数列，公差为 2，首项为 1，∴a1n＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴an＝2n1－1.
探究 4 已知数列递推公式的分母中含有通项公式的表达式，求解对应的通 项公式时，往往可以通过观察表达式的特点，通过倒数关系加以转化，利用等差 数列的性质分析相应的通项公式问题．
思考题 4 设数列{an}是首项为 1 的正项数列，且 an＋1－an＋an＋1·an＝ 0(n∈N*)，求{an}的通项公式．
【解析】 ∵an＋1－an＋an＋1·an＝0.∴an1＋1－a1n＝1. 又a11＝1，∴a1n是首项为 1，公差为 1 的等差数列． 故a1n＝n，∴an＝1n.
题型四 已知 Sn 求 an
题型二 累乘法
例 2 在数列{an} 中，已知 a1＝3，nan＝(1＋n)an＋1，求 an. 【解析】 据题意有aan＋n 1＝n＋n 1⇒aan－n 1＝n－n 1(n≥2 且 n∈N*)． ∴an＝a1·aa21·aa32·…·aan－n 1 ＝3×12×23×34×…×n－n 1＝3n(n≥2 且 n∈N*)，把 n＝1 代入上式也成立，故 an＝3n(n∈N*)．
高考数学一轮复习第6章数列第2讲等差数列及其前n项和课件文
n≤10 ， 即 共 有
10
个数．所以
S10
＝
10（1＋19） 2
＝
100或S10＝10×1＋1பைடு நூலகம்× 2 9×2＝100，故选 C.
12/13/2021
第七页，共四十二页。
(必修 5 P46B 组 T2 改编)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10＝20，S20＝50，则 S30＝________． 解析：根据等差数列性质 S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列， 所以 2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，所以 S30＝3(S20－S10)＝3(50 －20)＝90. 答案：90
12/13/2021
第二十七页，共四十二页。
考点四 等差数列的单调性与最值
(1)下面是关于公差 d＞0 的等差数列{an}的四个命题：p1： 数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列ann 是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中真命题为
12/13/2021
第十六页，共四十二页。
当 n≥2 时，由22SSnn＝－1＝a2na＋n2－a1n＋，an－1， 得 2an＝a2n＋an－a2n－1－an－1. 即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， 因为 an＋an－1>0， 所以 an－an－1＝1(n≥2)， 所以数列{an}是等差数列．
ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差 为__2_d_．
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
12/13/2021
第三页，共四十二页。
5．等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和 Sn＝n（a12＋an）或 Sn＝____n_a_1＋ __n__（__n_2－__1_）__d________．
高考总复习一轮数学精品课件 第六章 数列 第一节 数列的概念与简单表示法
典例突破
1
例 4.在数列{an}中,a1=2且(n+2)an+1=nan,则它的前 30 项和 S30=(
30
A.
31
29
B.
30
28
C.
29
19
D.
29
)
答案 A
解析 易知
+1
an≠0,∵(n+2)an+1=nan,∴
2 3
∴an=a1·
· ·
…·
1 2
-1
=
1 1 2
2-1-2 , ≥ 2.
增素能 精准突破
考点一
利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)
考向1.已知Sn求an
典例突破
例1.(1)(2023北京朝阳二模)已知数列{an}的前n项和是2n-1,则a5=(
)
A.9
B.16
C.31
D.33
(2)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴a4 023=1+(4 023-1)×1=4 023.故选B.
(2)因为 + -1 =an=Sn-Sn-1=( + -1 )( − -1 )(n≥2),所以
− -1 =1.又 1 = √1 =1,所以数列{ }是首项为 1,公差为 1 的等差
(+1)
1+2+3+…+n=
.
2
考向2.已知an与Sn的关系式求an
典例突破
例2.(1)(2023河南名校联考改编)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足
1
例 4.在数列{an}中,a1=2且(n+2)an+1=nan,则它的前 30 项和 S30=(
30
A.
31
29
B.
30
28
C.
29
19
D.
29
)
答案 A
解析 易知
+1
an≠0,∵(n+2)an+1=nan,∴
2 3
∴an=a1·
· ·
…·
1 2
-1
=
1 1 2
2-1-2 , ≥ 2.
增素能 精准突破
考点一
利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)
考向1.已知Sn求an
典例突破
例1.(1)(2023北京朝阳二模)已知数列{an}的前n项和是2n-1,则a5=(
)
A.9
B.16
C.31
D.33
(2)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴a4 023=1+(4 023-1)×1=4 023.故选B.
(2)因为 + -1 =an=Sn-Sn-1=( + -1 )( − -1 )(n≥2),所以
− -1 =1.又 1 = √1 =1,所以数列{ }是首项为 1,公差为 1 的等差
(+1)
1+2+3+…+n=
.
2
考向2.已知an与Sn的关系式求an
典例突破
例2.(1)(2023河南名校联考改编)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足
2021高考数学一轮复习第6章数列第2节等差数列及其前n项和课件文北师大版
又
1 a1
＝1，因此数列
1
an
是首项为1，公差为2的等差数列，所以
a1n＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以an＝2n1－1.]
39
2．在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项． 求证：数列an－1 1是等差数列，并求{an}的通项公式．
40
[证明] 由题意知2an＝1＋anan＋1， ∴an＋11－1－an－1 1 ＝aan－n＋11－－1aan＋n－1－11 ＝an＋1·ana－n－ana＋n1＋－1 an＋1＝2ana－n－ana＋n1＋－1 an＝1. 又a1＝2，a1－1 1＝1， ∴数列an－1 1是首项为1，公差为1的等差数列．
[答案](1)× (2)√ (3)√ (4)×
12
二、教材改编
1．等差数列11,8,5，…中，－49是它的( )
A．第19项
B．第20项
C．第21项
D．第22项
C [由题意知an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14 ＝－49得n＝21，故选C.]
13
2．在等差数列{an}中a1＝14.5，d＝0.7，an＝32，则Sn＝( )
等差中项 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是 法 等差数列
适合题型
解答题中 证明问题
30
通项公式 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成 选择、填
法 立⇔{an}是等差数列
空题中的
前n项和公 验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整 判定问题
式法 数n都成立⇔{an}是等差数列
4
课前自主回顾
5
1．等差数列的有关概念
2022版高考数学一轮复习第6章数列第2节等差数列及其前n项和课件
3．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编
著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古
代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现
的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不
知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数
要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝
C．Sn＝2n2－8n
D．Sn＝12n2－2n
A [设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
由题知，S4＝4a1＋d2×4×3＝0， a5＝a1＋4d＝5，
解得ad1＝＝2－，3， ∴an＝2n－5，Sn＝n2－4n，故选A.]
2．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋
1234
4．某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有 60个座位，则剧场总共的座位数为________．
820 [设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公 差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1 ＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为20a12＋a20＝ 20×222＋60＝820.]
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用 a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过 程．
1．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，
a5＝5，则( )
A．an＝2n－5
B．an＝3n－10
(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)， 得nan＋n1－n＋n＋1 1an＝2，即na＋n＋11－ann＝2， 所以数列ann是首项a11＝1，公差d＝2的等差数列． 则ann＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：数列求和
①等差数列的前n项和公式：
na1＋an Sn＝ 2 ＝
na1＋nn－ 2 1d
.
②等比数列的前n项和公式：
na1，q＝1， Sn＝ _a_11_－－__aq_nq_＝__a_1_1_1－_－_q_q_n_，__q_≠__1__.
知识梳理
(2)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求 和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (3)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝ (－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.
因为bn＝an＋ncos nπ＝2n＋1＋(－1)nn， 所以当n为偶数时， Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝[3＋5＋7＋…＋(2n＋1)]＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n] ＝n3＋22n＋1＋n2 ＝n2＋2n＋n2＝n2＋52n.
当n为奇数时， Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(n＋1)2＋52(n＋1)－[2(n＋1)＋1＋n＋1]＝n2＋32n－12. 综上，Tn＝nn22＋＋3252nn， －12n为 ，偶n为数奇，数.
题型二 并项求和
例2 记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－2n＋1. (1)求数列{an}的通项公式；
当n＝1时，由Sn＝2an－2n＋1，可得a1＝S1＝2a1－2＋1，即有a1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－2an－1＋2(n－1)－1， 即an＝2an－1＋2，可得an＋2＝2(an－1＋2)，显然an－1＋2≠0. 所以数列{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列， 则an＋2＝3·2n－1，即有an＝3·2n－1－2.
跟踪训练3 已知等差数列{an}中，a2＝5，a3＋a5＝18. (1)求数列{an}的通项公式；
2023届高考数学全程一轮复习第六章数列第二节等差数列及其前n项和课件
前n项和公式转化为方程(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，
Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
(3)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，
而a1 和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常
用方法．
第二节 等差数列及其前n项和
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲·
1．理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解
决相应的问题．
4．了解等差数列与一次函数的关系．
·考向预测·
考情分析：等差数列的判断与证明，等差数列的基本运算，等差数
d＜ − 4，
14
所以ቐ
d≥− ，
3
14
即－ ≤d＜－4.
3
(四)走进高考
6．[2020·全国卷Ⅱ]记Sn 为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2
25
＋a6＝2，则S10＝______．
解析：设等差数列{an}的公差为d，
则a2＝－2＋d，a6＝－2＋5d，
因为a2＋a6＝2，
所以－2＋d＋(－2＋5d)＝2，
同一个常数
___________，那么这个数列就叫做等差数列；数学语言表达式：a
n＋
1－an＝d(n∈N＋，d为常数)．
(2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项．
[提醒] (1)d＞0⇒{an}为递增数列；
(2)d＝0⇒{an}为常数列；
(3)d＜0⇒{an}为递减数列．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，
Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
(3)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，
而a1 和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常
用方法．
第二节 等差数列及其前n项和
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲·
1．理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解
决相应的问题．
4．了解等差数列与一次函数的关系．
·考向预测·
考情分析：等差数列的判断与证明，等差数列的基本运算，等差数
d＜ − 4，
14
所以ቐ
d≥− ，
3
14
即－ ≤d＜－4.
3
(四)走进高考
6．[2020·全国卷Ⅱ]记Sn 为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2
25
＋a6＝2，则S10＝______．
解析：设等差数列{an}的公差为d，
则a2＝－2＋d，a6＝－2＋5d，
因为a2＋a6＝2，
所以－2＋d＋(－2＋5d)＝2，
同一个常数
___________，那么这个数列就叫做等差数列；数学语言表达式：a
n＋
1－an＝d(n∈N＋，d为常数)．
(2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项．
[提醒] (1)d＞0⇒{an}为递增数列；
(2)d＝0⇒{an}为常数列；
(3)d＜0⇒{an}为递减数列．
2024届高三数学一轮复习-求数列通项公式的方法 课件(共25张ppt)
再得出 的表达式
例五.2
在数列 中，1 = 1，+1 =
，求通项公式 ？
3 +2
解：由题意，两边同取倒数，得
设
1
an+1
+k=2
1
an
+k
即
1
an+1
1
an+1
=
=
1
2
an
1
2 +3
an
+k
对比原式，得k = 3
∴
1
an
1
an
+ 3 为首项为4，公比为2的等比数列
+ 3 = 4 · 2n−1 = 2n+1
解题思路：设 ，构造等比数列{ + }
具体步骤： 设+1 + = +
即+1 = ⋅ + − 1 ·
对比原式，得k =
q
p−1
得到以1 +为首项，为公比的等比数列{ + }
例四.1
在数列 an 中，a1 = 1，an+1 = 3an + 1，求通项公式an ？
故an =
1
2n+1 −3
六、取对数法
①形如+1 = ⋅
对数运算法则： log ⋅ = log + log
解题思路：等式两边同取对数，构造等比数列
log ⋅= · log
具体步骤： 两边同取以p为底的对数，得log +1 = log + 1
使用条件：已知+1 − =
解题思路： 2 − 1 = 1
数列通项公式的求法最全PPT课件
0,a-b,0,a-b..的和，分别写通项然后相加再化简。
类型二、前n项和Sn法 已知前n项和，求通项公
式
an
S1 Sn
Sn1
(n 1) (n 2)
例2：设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足Sn=n2+2n-1,
求﹛an﹜的通项公式.
提示：当n 2时，an Sn (n2 2n - 1) - [(n - 1)2 2(n
lg an lg a1 2n1 lg 32n1 即 an 32n1
类型六、（2）形如 an1 Aan2 Ban C 递推式
例.已知数列an 中， a1 1, an1 3an2 12an 10 ，求an
分析：先转化后取对数再构造等比数列
解： an1 3an2 12an 10 变形为：
.......
a3 a2 3 以上各式相加得
a2 a1 2
an a1 (2 3 4 n)
(n+2)(n-1)
练：已知
an
=1+
中,a1
2 1, an
3n1
an1
(n
2)证明：an
3n 1 2
类型二、累乘法形如 an1 f (n) an 的递推式
an
4n
2n
类型五、（3）形如 an1 pan qan1an 的递推式
相除法 两边同除以an+1an
例8：已知a1 2, an 0,且an1 an 2an1an ,求an.
解：
an1 an 2an1an
11 2aຫໍສະໝຸດ an1 1 an
高三一轮复习数列通项公式的求法课件(共23张PPT)
或利用等差、等比数列的通项公式）
S1 (n=1) Sn－Sn－1(n≥2)
三、叠加法(形如an+1=an+ f(n)型)
an an an1 an1 an2 a2 a1 a1
四、累乘法
an
an an1
(a形n如1 an+1 an2
=(n
－
1)+(n
－2)+
•••+2+1+1
n-1 n
1
n2
n2
2
2
12
注：
递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列其中f(n)可以是 关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数， 求通项. ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列 求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列 求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
1且an 的通项公式为
分析 : an1 n 得 a2 a3 a4 an 1 2 3 4 n－1
an n 2 a1 a2 a3
an1 3 4 5 6
n 1
an a1
1 2 n(n 1)
a1
a1 S1 3不合上式
故an
3 2n
(n 1) (n N ) (n 2)
1100
思考： 已知数列{an}的前n项和sn=2-an.
求数列{an}的通项公式。
解：当n≥2时an=sn-sn-1=(2-an)-(2-an-1)=an-1-an,
S1 (n=1) Sn－Sn－1(n≥2)
三、叠加法(形如an+1=an+ f(n)型)
an an an1 an1 an2 a2 a1 a1
四、累乘法
an
an an1
(a形n如1 an+1 an2
=(n
－
1)+(n
－2)+
•••+2+1+1
n-1 n
1
n2
n2
2
2
12
注：
递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列其中f(n)可以是 关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数， 求通项. ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列 求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列 求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
1且an 的通项公式为
分析 : an1 n 得 a2 a3 a4 an 1 2 3 4 n－1
an n 2 a1 a2 a3
an1 3 4 5 6
n 1
an a1
1 2 n(n 1)
a1
a1 S1 3不合上式
故an
3 2n
(n 1) (n N ) (n 2)
1100
思考： 已知数列{an}的前n项和sn=2-an.
求数列{an}的通项公式。
解：当n≥2时an=sn-sn-1=(2-an)-(2-an-1)=an-1-an,
高考数学一轮复习第六章数列数列的通项公式课件PPT24页
高考数学一轮复习第六章数列数列的 通项公式课件
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
高中数学一轮复习 数列通项公式求法课件 精品
构造数列{an+x}为等比数列
如何确定x？
待定系数法： 令an+1+x=p(an+x)
即
an+1=pan+px-x
an
(1根 据pq已1)知 pnx1=
q p1
所所以以数数列列{{aan nppqq11 }是}是等等比比数数列列. .
例4.已知数列{an}中a1=1，an1
解：两边取倒数得：
2an an 2
an1 an n(n N * )
以上n式相加得：
an1
a1
1
2
3
n
n(n 2
1)
(n
N*)
an1
3
n(n 2
1)
(n
N*)
an
3
n(n 1) 2
(n
N*,n≥
2)
（1）注意讨 论首项;
因为当n=1时,a1=3也适合上式,所以
an
3
n(n 1) 2
(n
N*)
(2)适用于 an+1=an+f(n)型递推 公式
累乘法
问题三 : a1 2, an1 3an 2 构造新数列
作业： 课后探讨 : a1 2, an1 3an 2n 1
,求an
1 an 2 1 1 an1 2an 2 an
所以数列{
1 an
}是以
1 1 a1
为首项，12
为公差
的等差数列.
1
1 n1
1 (n 1)
an
22
an
2 n1
例5. 已知数列{an}中a1=2，an+1=4an+ 2n1 求数列{an}的通项公式。
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解析答案
(3)1－12，12－13，13－14，14－15，…； 解 数列的每项可看成两数之差，前一数是自然数的倒数1n，后一数为n＋1 1， ∴通项公式 an＝1n－n＋1 1.
解析答案
(4)3,5,3,5，….
解 数列中的奇数项为3，偶数项为5.
∴通项公式 an＝35， ，
n为奇数， n为偶数.
答案
(4)若三个数成等比数列，那么这三个数可以设为aq，a，aq (a≠0).( √ ) (5)指数函数 f(x)＝2x 图象上一系列点的横坐标构成数列{xn}，对应的纵坐 标构成数列{yn}.若数列{xn}是等差数列，则数列{yn}是等比数列.( √ )
1＋－1n＋1 (6)数列 1,0,1,0,1,0，…的通项公式只能是 an＝ 2 .( × )
n
＝ n＋1－ n，
∴am＝ m＋1－ m＝3－2 2＝ 9－ 8.
∴m＝8.
12345
解析答案
3.(教材改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1 (n∈N*)，
4，
n＝1，
则an＝___2_n_＋__1_，____n_≥__2_________.
12345
答案
4.数列{an}是公差不为零的等差数列，且a7，a10，a15是等比数列{bn}的 连续三项，若该等比数列的首项b1＝3，则bn＝__3_·_53__n－_1_. 解析 ∵a210＝a7·a15，∴(a1＋9d)2
解析答案
(2)27，141，12，45，2，…； 解 这个分数数列中分子、分母的规律都不明显，不妨把分子变成4， 然后看分母， 从而有144，141，48，45，…，分母正好构成等差数列， 从而原数列的通项公式为 an＝17－4 3n.
解析答案
(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，….
解 注意到此数列的特点：奇数项与项数相等，偶数项比项数大1. 故它可改写成1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1，…， 所以原数列的通项公式为 an＝n＋12＋－21n.
＝(a1＋6d)·(a1＋14d)，∴a1＝－32d，
∴an＝a1＋(n－1)d＝n－52d，
15 q＝aa170＝ 229dd＝53，∴bn＝3·53n－1.
12345
解析答案
5.数列{an}的前20项由如图所示的流程图依次输出的a值构成，则数列 nn＋1
{an}的一个通项公式an＝____2____(n∈N*，n≤20).
答案
2
考点自测
2n＋1
1.数列 1，13，395，1673，3939，…的一个通项公式是 an＝__2_n_－__1__2_n_＋__1____.
12345
答案
2.已知数列{an}的通项公式为 an＝
1 n＋
n＋1，若
am＝3－2
2，则
m＝____8____.
解析
an＝
1＝ n＋ n＋1
n＋1－ n n＋1＋ n n＋1－
思维升华
解析答案
跟踪训练1
(1)－1，12，－13，14，…； 解 不看符号，数列可看作自然数列的倒数，正负相间隔用(－1) 的n次幂进行调整， ∴通项公式 an＝(－1)n·1n.
解析答案
(2) 3，3， 15， 21，3 3，…； 解 数列可化为 3， 9， 15， 21， 27，…， 即 3×1， 3×3， 3×5， 3×7， 3×9，…. 每个根号内可看作3与2n－1的乘积. ∴通项公式 an＝ 3·2n－1＝ 6n－3.
则 d＝ann－－a11＝ann－－mam，从而有 an＝am＋ (n－m)d
.
(3){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为 递增 数列；d<0⇔{an}为 递减 数 列；d＝0⇔{an}为常数列.
答案
2.等比数列的通项公式 (1)首项为a1，公比为q，则an＝ a1qn－1 . (2)推广形式：an＝am·qn－m或am＝an·qm－n. 3.常用结论 (1)若{an}是等差数列，k∈N*，则{kan}也是等差数列. (2)若{bn}是等差数列，公差为D，{an}为等差数列，公差为d，则{an±bn} 仍为等差数列，其公差为d±D.
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果数列{an}的通项公式an＝3n＋2，则数列{an}是递增数列.( √ ) (2)数列{an}的前n项和为Sn＝n2－1，则其通项公式为an＝Sn－Sn－1＝2n －1.( × ) (3)若已知数列{an}的递推公式为 an＋1＝2an1－1，且 a2＝1，则可以写出数 列{an}的任何一项.( √ )
第六章 数列
§6.5 数列通项公式的求法
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想与方法系列 思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1
知识梳理
1.等差数列的通项公式 (1)若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝ a1＋(n－1)d .
(2)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知 a1，d，am，an (m≠n)，
答案
(3)若{an}、{bn}为等比数列，则{λan}(λ≠0)、{|an|}、a1n、{a2n}、{manbn}(m≠0) 仍为等差数列.
(4){an}是等差数列⇔{(cn)a} (c>0，c≠1)是等比数列. {an}是正项等比数列⇔{logcan} (c>0，c≠1)是等差数列. {an}既是等差数列又是等比数列⇔{an}是各项不为零的常数列.
解析 由流程图，知a1＝0＋1＝1， a2＝a1＋2＝1＋2， a3＝a2＋3＝1＋2＋3，…， an＝an－1＋n， 即 an＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝nn2＋1，
1 2 3 4 5 解析答案
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题型分类 深度剖析
题型一 利用观察法求通项公式
例 1 写出下列数列的一个通项公式： (1)2，52，143，383，8116，…； 解 原数列可改写成 1＋210，2＋211，3＋212，4＋213，…. 故其通项公式为 an＝n＋2n1－1.
3＋5 此数列还可以这样考虑，3 与 5 的算术平均数为 2 ＝4
4加1便是5,4减1便是3，而加1与减1也就是(－1)n. 因此数列的通项公式还可以写成 an＝3＋2 5＋(－1)n＝4＋(－1)n.