2010-2011第一学期《数值分析》试卷A卷及答案
数值分析试题与答案解析
范文 范例 指导 学习
数值分析试题
一、 填空题（ 2 0 ×2′）
1.
3 2
2
A
1
, X
2 3
设 x=0.231 是精确值 x*=0.229 的近似值，则 x 有
2
位有效数字。
2. 若 f ( x)= x 7 － x 3 ＋ 1 ， 则 f [2 0,2 1,2 2,2 3,2 4 ,2 5,2 6,2 7]= 1
，
1
2
3
4
5
6
7
8
0 。
f [2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ]=
3. 设，‖ A ‖∞＝___5 ____ ，‖ X ‖∞＝__ 3_____ ，
‖AX ‖∞≤_15_ __ 。
4. 非线性方程 f ( x)=0 的迭代函数 x= ( x) 在有解区间满足
| ’( x)| <1 ，则使用
该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
a b 上的三次样条插值函数
S x 在 a b 上具有直到 2 阶的连续导数。
5.区间[,]
( ) [ , ]
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商
公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公
式的 后插公式
；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的
拉格朗日插值公式
。
n
7. 拉格朗日插值公式中 f ( x i ) 的系数 a i ( x) 的特点是：
a i ( x )
1
；所
i 0
以当系数 a i ( x) 满足 a i ( x)>1
，计算时不会放大 f ( x i )
的误差。
8. 要使 20 的近似值的相对误差小于 0.1%，至少要取 4
位有效数字。
数值分析期末试卷A卷
数值分析期末试卷A卷
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西北农林科技⼤学本科课程考试试题（卷）
2015—2016学年第⼆学期《数值分析》课程A 卷专业班级：命题教师：审题教师：
学⽣姓名：学号：考试成绩：
⼀、填空题（每空2分，共20分）得分：分
1. 设x 1=1.216， x 2=3.654均具有3位有效数字，则x 1+ x 2的误差限为 .
2. 近似值x *=0.231关于真值x =0.229有位有效数字.
3. 误差有多种来源，数值分析主要研究误差和误差.
4. 已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝
5.9，则2次Newton 插值多项式中x 2项前⾯的系数为 .
5. 计算积分?1
5.0d x x , 计算结果取4位有效数字. ⽤梯形公式计算的近似值
为，⽤Simpson 公式计算的近似值为 . 其中，梯形公式的代数精度为，Simpson 公式的代数精度为
. ( 1.7321≈≈) 6. 假设n n H R ?∈是Householder 矩阵，n v R ∈是⼀个n 维向量，
则Hv = .
⼆、选择题（每⼩题 2分，共20分）得分：分
1. ⽤13x
+
所产⽣的误差是误差.
A. 舍⼊
B. 观测
C. 模型
D. 截断
2.
1.732≈
，计算)41x =，下列⽅法中最好的是 .
A.
28-
B. (24-
C. ()2164+
D. ()416
1 3. 在Newton-Cotes 求积公式中，当Cotes 系数为负值时，求积公式的稳定性不能保证. 因此在实际应⽤中，当时的Newton-Cotes 求积公式不使⽤.
数值分析试题集
..
数值分析试题集
（试卷一）
一（ 10 分）已知 x 1* 1.3409 ，x 2* 1.0125 都是由四舍五入产生的近似值， 判断 x 1*
x 2* 及 x 1* x 2*
有几位有效数字。
二（ 10 分）由下表求插值多项式
x 0
1 2 y
2 3
4 y
1
－ 1
三（ 15 分）设 f ( x)
C 4 [a,b] ， H （ x ）是满足下列条件的三次多项式
H (a) f (a) , H (b) f (b) , H (c)
f (c) , H (c) f (c)
( a c b )
求 f (x)
H ( x) ，并证明之。
1
2
四（ 15 分）计算
1
3 dx ，
10 2。
x
五（ 15 分）在 [0，2]上取 x 0 0 , x 1 1 , x 2
2 ，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代
数精度。
六（ 10 分）证明改进的尢拉法的精度是 2 阶的。
七（ 10 分）对模型 y
y , 0 ，讨论改进的尢拉法的稳定性。
八（ 15
分）求方程 x 3
4x 2 7x 1 0 在 -1.2 附近的近似值，
10 3。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
（试卷二）
一
填空（ 4*2 分）
1 {
k ( x) } k 0 是区间 [0， 1]上的权函数为
( x) x 2 的最高项系数为 1 的正交多项式族，其中
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案
数值分析试卷
一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）
1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？
A. 数值计算方法
B. 数值误差
C. 数值软件
D. 数学分析答：A、B、C
2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？
A. 插值法
B. 微积分基本公式
C. 数值微积分
D. 数值积分公式
答：A
3. 数值积分的目的是求解什么？
A. 函数的导数
B. 函数的原函数
C. 函数的极值
D. 函数的积分
答：D
4. 数值微分的目的是求解什么？
A. 函数的导数
B. 函数的原函数
C. 函数的极值
D. 函数的积分
答：A
5. 数值微分的基本方法有哪几种？
A. 前向差分
B. 后向差分
C. 中心差分
D. 插值法
答：A、B、C
6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？
A. 迭代法
B. 曲线拟合法
C. 插值法
D. 数值积分法
答：A、B、C
7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？
A. 当迭代结果开始发散
B. 当迭代结果接近真实解
C. 当迭代次数超过一定阈值
D. 当迭代结果在一定范围内波动
答：B
8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？
A. 拉格朗日插值
B. 牛顿插值
C. 三次样条插值
D. 二次插值
答：A、B、C
9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？
A. 直接法
B. 迭代法
C. 插值法
D. 拟合法
答：A、B
10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？
A. 直接法
B. 迭代法
C. 插值法
D. 曲线拟合法
答：B
二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）
1. 数值积分的基本公式是_________。
数值分析 试题纸A及其参考答案
一、填空题(每题3分，共30分)
1. 用1415.3近似π,有效位数为 ① 。
2. 若干个浮点数做连加运算，按 ② 安排运算时，计算误差小。
3. 对称正定矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1911215412416A 做Cholesky 分解，得⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=b a L 3214，
那么，=a ③ ，=b ④ 。
4. 用部分选主元的Doolittle 分解法分解矩阵⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝
⎛21
0367328521
3234
，经过第一轮分解后得到⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛2104367321852413234，在
第二轮分解时，应选择第 ⑤ 行作为主元行。 5.
以这三点为节点的二次Newton 插值多项式为 ⑦ 。
6. Cotes 系数)
(n k C 只跟将积分区间等分的份数有关，而跟 ⑧ ，和 ⑨ 都无关。
7. 用Jacobi 迭代求解线性方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧=++-=-+=+-9
3532584
62321321321x x x x x x x x x 取初始值T x
)0,0,0()
0(=，则=)1(x ⑩ 。
二、设序列{}n y 满足关系式11
-=n n y n
y ，假设在求0y 时的误差为ε，求计算10y 的误差，并讨论计算的稳定性？（8分）
三、用紧凑格式的Doolittle 分解法求解线性方程组（10分）
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---3530331111106613315
4
602134321x x x x
四、已知数据表
①求最小二乘拟合函数2210)(x a x a a x P ++=和拟合误差。（保留5位有效数字）（10分）
数值分析试题(卷)和答案解析
【
试题
__2009___年~__2010___年第 一学期
课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □
………………………………………………………………………………………………………
一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
-
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分
为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
1. 哪种线性方程组可用平方根法求解为什么说平方根法计算稳定
2. 什么是不动点迭代法()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点
3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说
明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：
。
i x 1 2 3
i y
2 4 12 <
3
i y '
并估计误差。（10分）
四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1
01
武汉大学数值分析期末考试(05-11年)
已知经验公式的形式为 y = ax + bx 2 ，试用最小二乘法求出 a ， b 。 六 、（12 分）确定常数 a ， b 的值，使积分
I (a, b) = ∫ ax 2 + b − x dx
−1 1
[
]
2
取得最小值。 七 、（14 分）已知 Legendre(勒让德)正交多项式 Ln ( x) 有递推关系式： L1 ( x) = x L0 ( x) = 1, 2n + 1 n xLn ( x) − Ln −1 ( x) Ln +1 ( x) = n +1 n +1 (n = 1, 2, ) 试确定三点的高斯—勒让德（G—L）求积公式
非病态的。 （范数用 ⋅ ∞ ） 三、（15 分）设 ϕ ( x) 导数连续，迭代格式 x k +1 = ϕ ( x k ) 一阶局部收敛到点 x * 。构 造新的迭代格式： x k +1 = λx k + µϕ ( x k ) 问如何选取常数 λ 及 µ ，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。
已知经验公式的形式为 y = ax + bx 2 ，试用最小二乘法求出 a ， b 。 六 、（12 分）确定常数 a ， b 的值，使积分
I (a, b) = ∫ ax 2 + b − x dx
−1 1
(完整)数值分析历年考题
数值分析A 试题
2007.1
第一部分:填空题10⨯5
1.设3112A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭,则A ∞=___________ 2()cond A =___________
2.将4111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
分解成T
A LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________
，请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数()bx f x ae =中的参数:a = ___________ b =___________
4.方程13cos 2044x x π--=在[0,1]上有 个根，若初值取00.95x =,迭代方法113
cos 244
k k x x π+=-的收敛阶
是
5.解方程2210x x -+=的Newton 迭代方法为___________,其收敛阶为___________
6。设()s x = 3232
323,[0,1]
31,[1,2]
ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________ b =___________ 7。要想求积公式：
1
121
()(()f x dx A f f x -≈+⎰
的代数精度尽可能高，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________
8.用线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中
(,)n n n f f x y =，该方法的局部截断误差为___________，设,0,f y μμ=〈其绝对稳定性空间是___________
武汉大学研究生2010研数值分析A卷
武 汉 大 学
2010~2011学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）
科目： 数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：
一、（10分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11
4
320211A ，111x ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦ ， 已知 ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----=-25
8
37121351
A ， A 的三个特征值分别为：i 5.003.0,06.4±- , 求范数Ax ∞
、谱半径)(A ρ及
条件数∞)(A Cond
二、（10分）用杜利特尔（Doolittle ）分解算法求解方程 b Ax =，其中
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=615
6
314212
A ⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=3103b 三、（14分）设方程组
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-11112
2
111221
321x x x （1） 分别写出Jacobi 迭代格式及 Gauss-Seidel 迭代格式；
（2） 证明Jacobi 迭代格式是收敛的，而Gauss-Seidel 迭代格式发散。
四、（12分）已知 )(x f y = 的数据如下：
求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R -=。 五、（12分）试确定常数A ，B ，C 及α（0α≠），使求积公式
⎰
-++-≈3
3
)()0()()(ααCf Bf Af dx x f
有尽可能高的代数精确度，并指出代数精确度是多少，该公式是否为高斯型求积公式？
六、（10分）在某个化学反应过程中，生成的沉淀物质量y （克）依赖于时间x （时）
中国石油大学《数值分析》2011年考试试题A卷及答案
1
x(k) 2
x(k) 3
1
x(k) 1
x(k) 3
/2
x3( k
1)
1
x(k) 1
x(k) 2
/2
设方程组的系数矩阵为
2 1 1
A 1 1
1
，
则有
1 1 2
A L DU ，
0
2
0 1 1
其中 L 1 0
，
D
1
，U
0 1 ．
1 1 0
2
0
0
所以
Jacobi
迭代矩阵为 BJ
I
D1A
1 x x3dx 2 ，
1
5
1,1
1 x3 x3dx 2
1
7
，
f ,0
1
x sin xdx 2(sin1 cos1)
1
，
f ,1
1 x3 sin xdx 2(5cos1 3sin1) ，于是方程组为
1
（ 4 分）
2 2
3
2 5
5 2 7
a b
2(sin1 cos1)
误差约为
_。
3、 计算 ( 2 1)6 的近似值，取 2 1.414。在 4 位机上计算，利用以下二种计算格式，
试问哪一种算法误差较小。__
_。
（A） 1 (3 2 2)3
数值分析考试卷及详细答案解答汇总
数值分析考试卷及详细答案解答汇总
姓名班级学号
一、选择题
1.F2,5,3,4表示多少个机器数(C).
A64B129C257D256
2.以下误差公式不正确的是(D)
A．某1某某2某某1某某2某B．某1某某2某某1某某2某C．某某某某某某某某某某某D．某某/某某某某某某
12121221123.设aA
哪一个在数值21,从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，
计算上将给出a较好的近似值？(D)
61(21)63B99702C(322)D
1(322)3
4.一个30阶线性方程组,若用Crammer法则来求解,则有多少次乘法
(A)
A31某29某30!B30某30某30!C31某30某31!D31某29某29!
5.用一把有毫米的刻度的米尺来测量桌子的长度,读出的长度1235mm,桌子的精确长度记为（D）
A1235mmB1235-0.5mmC1235+0.5mmD1235±0.5mm
二、填空
1.构造数值算法的基本思想是近似替代、离散化、递推化
2.十进制12
3.3转换成二进制为1111011.01001。
3.二进制110010.1001转换成十进制为50.5625
54.二进制0101.转换成十进制为
75.已知近似数某某有两位有效数字，则其相对误差限
5%6.ln2=0.69314718…，精确到103的近似值是0.693
7.某3.14159265和3
8.设
某3.1416，某某，则某123.141的有效数位分别为
某某2.001,y某0.8030是由精确值某和y经四舍五入得到的近似值，则
某某y某的误差限0.55某10-3
计信081《数值分析》试卷A及答案
1
《数值分析》考试试卷A
适用专业：计信081 考试日期：2021年6月 试卷所需时间：2小时 闭卷 试卷总分 100
一、 填空题： （6小题共10空每空2分，共20分）
1、近似数231.0=*x 关于精确值229.0=x 有 位有效数字.
2、设1)(3
-+=x x x f ，则差商（均差）________]4,3,2,1,0[,__________]3,2,1,0[f f =. 4、求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是 .
5、设矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=4321A ，计算矩阵A 的各种范数，________,1==∞
A
A ，
_____________,__________2
==A
A
F
.
6、解线性方程组Ax=b 的雅可比迭代法收敛的充要条件是 ，其中迭代矩阵
为 .
二、判断题：（对的打“√”，错的打“Ⅹ”，每题2分，共20分）
1、解对数据的微小变化高度敏感是病态的( ).
2、高精度运算可以改善问题的病态性( ).
3、两个相近数相减必然会使有效数字损失( ).
4、对给定的数据作插值，插值函数的个数可以有许多( ).
5、高次拉格朗日插值是常用的( ).
6、如果被积函数在区间[a,b]上连续，则它的黎曼积分一定存在( ).
7、n+1个点的插值型求积公式的代数精度至少是n 次，最多可达到2n+1次( ).
8、范数为零的矩阵一定是零矩阵( ).
9、奇异矩阵的范数一定是零( ).
10、雅可比迭代也高斯—塞德尔迭代同时收敛且后者比前者收敛快( ).
三、（10分）已给sin0.32=0.314 567，sin0.34=0.333 487,sin0.36=0.352 274,用
数值计算(数值分析)试题及答案
武汉理工大学研究生课程考试标准答案
用纸
课程名称：数值计算（A ） 任课教师 ：
一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分） 1.将
227和355113
作为 3.14159265358979π=L 的近似值，它们各有几位有效数字， 绝对误差和相对误差分别是多少
3分）
2分）
2.已知()8532f x x x =+-，求0183,3,,3f ⎡⎤⎣⎦L ，019
3,3,,3f ⎡⎤⎣⎦L .
(5分）
3.确定求积公式
1
0120
()(0)(1)(0)f x dx A f A f A f '≈++⎰
中的待定系数，使其代数
精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。
解：要使其代数精度尽可能的高，只需令()1,,,m f x x x =L L 使积分公式对尽可能大的正整数m 准确成立。由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即2m =。 由()1f x =数值积分准确成立得：011A A += 由()f x x =数值积分准确成立得：121/2A A += 由2()f x x =数值积分准确成立得：11/3A =
解得1201/3,1/6,2/3.A A A === (3分）
此时，取3()f x x =积分准确值为1/4,而数值积分为11/31/4,A =≠所以该求积公式的最高代数精度为2次。 (2分）
4.求矩阵101010202A -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
的谱半径。
解 ()()1
0101
132
2
I A λλλλλλλ--=
-=---
矩阵A 的特征值为1230,1,3λλλ=== 所以谱半径(){}max 0,1,33A ρ== (5分）
数值分析试题(卷)和答案解析
试题
__2009___年~__2010___年第 一学期
课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □
………………………………………………………………………………………………………
一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？
2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？
3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说
明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：
i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '
3
并估计误差。（10分）
四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1
01
2011年秋季工学硕士研究生学位课程数值分析真题试卷A_真题-无答案
2011年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷
A
(总分28,考试时间90分钟)
1. 填空题
填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。
1. 已知x1=0．724，x2=1．25均为有效数，则｜er(x1x2)｜≤______｜e(x1／x2)｜≤_______．
2. 设A=则‖A‖∞=______，cond(A)2=______．
3. 超定方程组的最小二乘解为x1=______.x2=_______．
4. 用Simpson公式计算积分的近似值为______．
5. 设是以0，1，2为节点的三次样条函数，则a=_____，b=_____．
2. 计算题
1. 给定方程ex-x-2=0，分析此方程有几个实根，并用迭代法求此方程的正根，精确至3位有效数字．
2. 用列主元Guass消去法求下列线性方程组的解：
3. 给定求解线性方程组Ax=b的迭代格式Bx(k+1)+ωCxk=b，其中试确定ω的值使上述迭代格式收敛．
3. 综合题
1. 作一个3次多项式H(x)，使得H(a)=b3，H(b)=a3，H"(a)=6b，H"(b)=6a．
2. 求函数y(x)=x4在区间[0，1]上的一次最佳一致逼近多项式p(x)．
3. 已知函数f(x)∈C4[a，b]，I(f)=∫abf（x）dx1)写出以a，b为二重节点所建立的f(x)的3次Hermite插值多琐式H(x)及插值余项；2)根据f(x)≈H(x)建立一个求解I(f)的数值求积公式IH(x)，并分析该公式的截断误差和代数精度．
4. 给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=(b—a)／n，xi=a+ih，0≤i≤n．试确定参数A，B，C，使求解公式yi+1=Ayi+(1-A)yi-1+h[Bf(xi+1，yi+1)+Cf(xi，yi)]的局部截断误差Ri+1的阶数达到最高，指出所达剑的最高阶数并给出局部截断误差表达式．
数值分析试题及答案
数值分析考试试题纸（A 卷）
课程名称 数值分析 专业年纪 一、计算题（本题满分100分，共5小题，每小题20分） 1． 已知函数表
(1) 求f(x)的三次Lagrange 型插值多项式及其插值余项（要求化成最简形式）. (2) 求f(x)的Newton 插值多项式（要求化成最简形式）. 2. 已知A=[212
013612
]，求‖A ‖1，‖A ‖∞，A 的LU 分解.
3. 叙述m 阶代数精度的定义，写出求∫f (x )dx b
a 的Simpson 公式，并验证Simpson 公式的代数精度为3阶.
4. 设矩阵A=[12
α1]，求当α为何值时，解线性方程组Ax=b 的Gauss-Seidel 迭代法收敛.
5. 叙述最小二乘法的基本原理，并举例说明其应用.
参考答案
一、计算题
1、解：（1）L3(x)=l0(x)y0+l1(x)y0+l2(x)y2+l3(x)y3
=(x−0)(x−2)(x−2)
(−1−0)(−1−1)(−1−2)×0+(x+1)(x−1)(x−2)
(0+1)(0−1)(0−2)
×(−1)+
(x+1)(x−0)(x−2) (1+1)(1−0)(1−2)×2+(x+1)(x−0)(x−1)
(2+1)(2−0)(2−1)
×15
=x3+2x2−1
R3(x)=f(x)−L3(x)=f(4)(ε)
4!
ω4(x)
(2) 均差表如下：
N(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)
+f[x0,x1,x2,x3](x−x0)(x−x1)(x−x2)
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2010 ~ 2011 学年第 1学期 《 数值分析 》课程考试试卷（A ）
开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2010 年__ 月_ 日 时 考试形式：闭卷√□、开卷□，允许带 计算器 入场
考生姓名： 学号： 专业： 班级：
一、填空（每个空3分，共30分）
1，设 *3.1415, 3.141x x ==，则*
x 有__________位有效数字。
2，*
3587.6x =是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差≤*r e ___________.
3，已知=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=1,4032A A 则_______， =∞A _______.
4，设0)(≥''x f , 则由梯形公式计算的近似值T 和定积分⎰
=
b
a
dx x f I )(的值的大小
关系为___________.（大于或者小于） 5, 已知,
3,2,1,03210====x x x x 4,5.2,1.1,03210====f f f f ，则均差
],,,[3210x x x x f _______________.
6, 已知A=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛2021012a a ，为使A 可分解为T
LL A =，其中L 为对角线元素为正的下三角形
矩阵，则a 的取值范围为_______________，如果a =1，则L =______________.
7，若b a ,满足的正规方程组为：⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎨⎧
=+=+∑∑∑∑∑=====n i n i n
i i i
i i n i n
i i i y x b x a x y b x na 1112111
则x y 与之间的关系式为______________________
8，若1λ是1
-A 的按模最大的特征值，则A 的按模最小的特征值为___________
二、设(1)0,(0)2,(1)4f f f -===，求 )(x p 使 )()(i i x f x p =,)2,1,0(=i ；又
设 M x f ≤''')( ，则估计余项 )()()(x p x f x r -= 的大小 。（12分）
三、设(0)1,(0.5)5,(1)6,(1.5)3,(2)2f f f f f =====，()k f M ≤(2,3,4)k =，
（1）计算⎰
20
)(dx x f ，
（2）估计截断误差的大小（12分）
六、设有线性方程组b Ax =，其中 8
3
220
4
111336
31266
A b -⎡⎤⎛
⎫
⎪⎢⎥=-= ⎪⎢⎥
⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，， 试讨论Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的收敛性。（14分）
七、用幂法求41405130102A -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
的按模最大特征值及其特征向量（要求迭代三步即可）
（8分）
试卷（A ）参考答案及评分标准
开课二级学院： 理学院 ，学生班级：08数学,08信算1,2 教师： 尚绪凤
一、填空（共27分，每空3分）
1， 3 2，
41106-⨯ 3， 9 4 4， I T ≥ 5，130
- 6
，00(1/002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎢⎣
7，1
a bx y =+ 8，11/λ
二（共12分）、由公式得
0010012012(3)()()[,]()[,,]()()
3(1)2(1)(1)2(1)26()()(1)(1)
9'
3!
(1)(1)12'
6
p x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x f r x x x x M
x x x η'
=+-+--'
=--+-++=++=+-≤
+-
三（共12分）、根据给定数据点的个数应该用复化simpson 公式计算由公式得
⎰
20
)(dx x f ≈
4))2()1(2))5.1()5.0((4)0((3'++++ f f f f f h
=476 2
1=h 2' )(2880
),()
4(414ηf h a b s f R --
= 3' h h M
M 2,1440
2880021==-≤
3'
若用其它公式计算正确，且误差比以上的误差大时只给过程分数8分，扣除方法分数4分。
《 数值分析》课程试卷A 参考答案及评分标准 第 1 页 共 3 页
四、（10分）把方程01252
3=-+x x 等价变为以下方程：5
12+=
x x 2'
,5
12)(+=
x x ϕ取 2' ,)
5(1
212)(3+-
='x x ϕ则有 2' 有因此对21< 6122) 51(1212)5(1212)(33<<=+≤+= 'x x ϕ 2' ,)(1是收敛的式所以由定理可知迭代公k k x x ϕ=+即迭代公式 5 12)(1+= =+k k k x x x ϕ 收敛于方程在区间]2,1[内根α上。 2' 五、（14分）因为 1 35 21352[,]3101583102 5153055 55 A b ⎛⎫ ⎡⎤ ⎪⎢⎥=⇒ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 5'