2010-2011第一学期《数值分析》试卷A卷及答案
2010(A)数值分析试卷
一. 选择题(每空2分, 共20分)1．设 是真值 的近似值，则有 ________位有效数字. 2.2. 设，则差商（均差）1)(3−+=x x x f =]3,2,1,0[f ________，且_________. =]4,3,2,1,0[f 3. 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是__________________.)(,),(),(10x l x l x l n "4. 是以0，1，…，n 为插值节点的Lagrange 插值基函数，则 ________________. =∑=ni ix il 0)(5. 牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0n n k k C==∑__________________.6. 设方程组b Ax =,其中,则Jacobi 代法的迭代矩阵是⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=51112．A 迭__________________,Gauss-Seidel 法的迭代矩阵是__________________. 7. 设是区间[上权函数为的最高项系数为1的正交多项式族,其中{∞0)(x k ϕ}]1,02)(x x =ρ1)(0=x ϕ,则=∫dx x x )(3102ϕ__________________,=)(1x ϕ__________________. 二. 判断题(每小题2分, 共20分.正确的打√,错误的打×)1. 梯形求积公式和复化梯形公式都是插值型求积公式_____（对或错）. ( )2. 若x 为n 维向量,则0>x . ( )3. 幂法是求矩阵所有特征值及特征向量的一种向量迭代法． ( )4. 用x +1近似表示x e 产生舍入误差． ( )第 A1 页 共 3 页40194x =* 2.40315x =5. n 个求积节点的插值型求积公式的代数精度为n . ( )6. 321.750有5位有效数字,其误差限31021−×≤. ( )7. 求解微分方程初值问题的二阶龙格—库塔公式的局部截断误差为)(2h o .( )8. 高斯型求积公式的代数精度为12∑∫=≈nk k k b a x f A dx x f 0)()(+n . ( ) 9. 对0的充要条件是A 的某种算子范数lim ,=∈∀∞→×m m n n A R A 1<A .（ ）10. 方程组b Ax =得系数矩阵A 的条件数刻画了解对初始数据的灵敏程度，即A 的条件数越大，方程组的病态程度越严重． ( ) 三. 计算题(每小题10分, 共40分)1. 用矩阵的直接三角分解法（）解方程组LU A =b AX =：。
《数值分析》A卷期末考试试题及参考答案
一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、用Simpson 公式求积分1401x dx +⎰的近似值为 ( ).A.2924 B.2429C.65D. 562、已知(1)0.401f =，且用梯形公式计算积分2()f x dx ⎰的近似值10.864T =，若将区间[0,2]二等分，则用递推公式计算近似值2T 等于( ). A.0.824 B.0.401 C.0.864 D. 0.8333、设3()32=+f x x ,则差商0123[,,,]f x x x x 等于( ).A.0B.9C.3D. 64的近似值的绝对误差小于0.01%，要取多少位有效数字( ). A.3 B.4 C.5 D. 25、用二分法求方程()0=f x 在区间[1,2]上的一个实根，若要求准确到小数 点后第四位，则至少二分区间多少次( ).A.12B.13C.14D. 15二、填空题(每小题4分，共40分)1、对于迭代函数2()=(3)ϕ+-x x a x ，要使迭代公式1=()ϕ+k k x x则a 的取值范围为 .2、假设按四舍五入的近似值为2.312，则该近似值的绝对误差限为 .3、迭代公式212(3)=,03++>+k k k k x x a x a x a收敛于α= (0)α>. 4、解方程4()530f x x x =+-=的牛顿迭代公式为 . 5、设()f x 在[1,1]-上具有2阶连续导数，[1,1]x ∀∈-，有1()2f x ''≤，则()f x 在[1,1]-上的线性插值函数1()L x 在点0处的误差限1(0)R ≤______.6、求解微分方程初值问题2(0)1'=-⎧⎨=⎩y xy yy ，0x 1≤≤的向前Euler 格式为 .7、设310131013A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A ∞= .8、用梯形公式计算积分112-⎰dx x 的近似值为 . 9、设12A 21+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 可作Cholesky 分解，则a 的取值范围为 . 10、设(0)1,(0.5) 1.5,(1)2,(1.5) 2.5,(2) 3.4f f f f f =====，若1=h ，则用三点公式计算(1)'≈f .三、解答题（共45分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛. (5分)4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+y x b的拟合曲线. (8分) 5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (8分) 6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦一、单项选择题（每小题3分，合计15分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每小题3分，合计30分） 1、0<<a ； 2、31102-⨯； 3；4、4135345++-=-+k k k k k x x x x x ； 5、14； 6、1(2)+=+-n n n n n y y h x y y ； 7、5；8、34-； 9、3>a ；10、1.2；三、计算题（合计55分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算 1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)解： 401024S [()4()()]6-=++x x f x f x f x ………… 1分 1.38 1.30(3.624 4.20 5.19)6-=+⨯+ 0.341= ………… 2分20422012234S [()4()()][()4()()]66--=+++++x x x xf x f x f x f x f x f x =0.342 ………… 6分2211[]15-≈-I S S S =-⨯40.6710 ………… 8分 2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 解：设111213212223313233u u u 123100135l 100u u 136l l 100u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 1分 111=u ，212=u ，313=u ，121=l ，131=l 122=u ，223=u ，132=l133=u ，133=l …………6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100210321U …………7分 由b Ly =得Ty )1,1,2(=；由y Ux =得Tx )1,1,1(-=. ………… 8分3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛.(6分)解：要使迭代序列具有平方收敛，则()0ϕ'*=x ………… 2分 而()()()ϕλ=+f x x x x ，即 ………… 3分 2()()()()10()λλλ''**-**+=*f x x x f x x …………4分 而()0*=f x 则有()1()λ'*=-*f x x ………… 5分所以()()23λ'=-=--x f x x ………… 6分4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+ay x b的拟合曲线. (8分) 解：因为11=+b x y a a ，令0111,,,====b a a y x x a a y……2分 则有法方程01461061410⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a ……5分解出014,1==-a a ，则1,4=-=-a b ……7分 所以1=4-y x……8分5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (7分)解：01()(2)8l x x x =- …………2分 211()(4)4l x x =-- …………4分21()(2)8l x x x =+ …………6分 2012()()(2)()(0)()(2)L x l x f l x f l x f =-++24=+x …………7分6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解：100010001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，00010021002L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，10021002000U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………3分1100211()0221002J B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………5分 2102111()0222102J E B λλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦…………6分()2J B ρ=…………7分 所以用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =收敛 …………8分。
福州大学2010-2011年数值分析考题及答案1
1、若向量 x (4, 2,3) ，则
T
x 2 =___ 29 _________
＝____ 6 ____，A 的
2、
1 1 A ， 则 A 的谱半径 -5 1
=____6____
3、 确定求积公式 尽量高,则 A0=_
1
1
f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f '(1) 中的待定参数，使其代数精度
0 2 0 5、设 B 2 1 2 ,试用平面旋转矩阵对矩阵 A 进行 QR 分解，其中 Q 为正交 0 2 1
矩阵，R 为上三角阵（8 分）
4
记A1 A, 先将A的第一列变得与e1平行 cos = 0 2 0,sin = 1 04 04 0 1 0 0 1 0 0 P A 2 P A1 1 12 12 0 0 0 1
3、
h 用二步法 yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] 求解一阶常微分方程初值问题 2
y f ( x, y ) 问：如何选择参数 , 的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出 y ( x0 ) y0
此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。 证明:局部截断误差为：
( x x )l ( x) 等于
i 0 i i
4
（ a ） 1 (c) 2 (d) 4
(a)
0
(b)
3、设 f ( x) 3x5 4 x 4 x 2 1 和节点 xk k / 2, k 0,1 则差商 f [ x0 , x1 x5 ] (a) 4 (b) 2 (c) 3 (d) 1 （ （ c ） c ）
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
数值分析试题(卷)和答案解析
【试题__2009___年~__2010___年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
-2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解为什么说平方根法计算稳定2. 什么是不动点迭代法()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：。
i x 1 2 3i y2 4 12 <3i y '并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组： ，12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦（10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
中国石油大学《数值分析》2011年考试试题A卷及答案
f (4)(x)
1 2880
1 n
4
6
1 2
104
,
仅要 n 4 1 101 2.54 ,取 n 3 即对将[1,2] 作 6 等分,则有 240
(8 分)
2
1 ln xdx
1 [0 4(ln 7 ln 3 ln 11) 2(ln 4 ln 5) ln 2] 0.38628716327880 .
0.000040074
（ 4 分）
七、（10 分）(1)牛顿迭代格式
x(k 1)
x(k)
f f
(x(k ) ) '(x(k) )
x(k)
x(k) 1 (2
(x(k) )2 )(x(k) )1
1
(1 (2
)(
x( )(
)k ) 2 x(k ) )1
(2)
x(k 1)
lim
k
x(k)
1 1
fgdx
，取( x) ax bx3 ， f ( x) sin x ，则法方程为
(0 ,0 )
(1
,
0
)
(0 ,1) (1 , 1 )
a b
( (
f f
,0 ,1
) )
（ 4 分）
其中 0,0
1
x xdx
1
2， 3
0 ,1
(1 )(x(k) )2
lim
k
1
(2
)(x(k ) )1
c0
2
c 1
(5 分) (5 分)
1
x(k) 2
x(k) 3
1
x(k) 1
x(k) 3
/2
x3( k
1)
2011年秋研究生数值分析试题A卷答案
2011年秋研究生数值分析期末考试试题答案一、单选题（4*5=20分）1、B;2、D ；3、D ；4、B ；5、C 。
二、填空题（4*5=20）1、2；2、()()1k k k k f x x x f x +=-'，平方收敛；3、8，8；4、9； 5、a <。
三、（10分）解：构造3次Lagrange 插值多项式3001001201()()(,)()(,,)()()L x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--0123012(,,,)()()()f x x x x x x x x x x +--- 3’利用待定系数法，令430123()()()()()()H x L x A x x x x x x x x =+----， 5’同时， '''14131101213()()()()()()f x H x L x A x x x x x x ==+--- 7’解出A 即可。
8’ 考虑余项4()()()E x f x H x =-，如果5()[,],,0,1,2,3i f x C a b a x b i ∈≤≤=，那么，当a x b ≤≤时()()5240123()()()()()()()5!f E x f x H x x x x x x x x x ξ=-=----. 0 10’ 四、（10分）解：设所求多项式为23202)(x C x C C x P ++=，10=ϕ，x =1ϕ，22x =ϕ，11),(10++==⎰+k j dx e k j k j ϕϕ，1),(100-==⎰e dx e f x ϕ， 1),(101==⎰dx xe f xϕ，2),(1022-==⎰e dx e x f x ϕ 5’ 所以有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21151413141312131211210e e C C C ，求解得到 8’ ⎪⎩⎪⎨⎧===83917.085114.001299.1321C C C ，所求最佳平方逼近多项式为:2283917.085114.001299.1)(x x x P ++=。
北京理工大学2009级数值分析试题及答案
课程编号：12000044 北京理工大学2010-2011学年第一学期2009级计算机学院《数值分析》期末试卷A 卷班级 学号 姓名 成绩注意：① 答题方式为闭卷。
② 可以使用计算器。
请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。
一、 填空题 （2 0×2′）1. 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 位有效数字。
2. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A ，‖A ‖∞＝___ ____，‖X ‖∞＝__ _____，‖AX ‖∞≤____ ___ (注意：不计算‖AX ‖∞的值) 。
3. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =ϕ(x )在有解区间满足 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
4. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 （填写前插公式、后插公式或中心差分公式），若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 （填写前插公式、后插公式或中心差分公式）；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( ；所以当系数a i (x )满足 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 。
2011数值分析试题及答案
由于f(x)二si nx的4阶导数在[0,二]上的最大值为：M4=1,所以
5
误差为：|I-S2|：：——44=0.006641
2880x24
6.求解初值问题」y=sin(x+2y),0兰x兰2的改进Euler方法是否收敛？为什
.y(0) = 1
么？
解：由于|sin(x 2y)-sin(x 2y)|二| 2cos(x 2 )(y-y) 2 | y-y |
5.设f(x) = 4x33x-5，求差商f[0,1], f[1,2,3,4]和f[1,2,3,4,5]。
f(D…f(0)
解：f[0,1]==2-(-5) = 7
1-0
f [1,2,3,4^4，f[1,2,3,4,5]=0
3.解线性方程组丿X1-2忑=2的Jacobi迭代法是否收敛，为什么?
+9x2=3
即，函数f(x, y)二sin(x•2y)连续，且关于变量y满足Lipschitz条件，所以，改 进Euler方法收敛。
所以，a=0, b=5/6，拟合曲线为：y=5/6x2
3.求满足条件f(0)=1,f(1)=2,f(2) =0,f(1)=0的三次插值多项式Ha(x)
的表达式。
解：设H3(x)二(^2)(ax2bx c)，则有:
1213
所以，H3(x) (x-2)(x2x 1) (x-3x-2)。
22
11
4.确定求积公式Jf(x)dx痒三f(-1)+Af(0)+A2f(1)中的待定系数，使其代数精 度尽可能高，并问此公式是不是插值型求积公式.
解：令公式对f(x) = 1,x都精确成立，得：A,・A2= 3/2, A2= 1/2,
o
• • •
2010—2011 学年第一学期期末考试大学《数学分析 1》 试题及答案
五、证明题（3 小题，1,2 小题各题 6 分，3 小题 7 分，共 19 分）
1、设 an
=
sin1 2
+
sin 2 22
++
sin n 2n
，证明数列 an 收敛.
2、证明 f (x) = x2 在a,b上一致连续.
3、若函数
f
在 a,b上可导，且
f
+
(a
)
f
−
(b)
，
k
为介于
f
+
(a
)和f
−
(b)
( ) 1、已知 y = ln x + 1+ x2 ，求 dy ； dx
2、设
x y
= =
a(t a(1
− sin t) − cost)
，求
dy dx
；
3、设 y = xsin x ，求 y ；
4、设 y = arcsin 1− x2 ，求 dy .
5、求函数 f (x) = (2x − 5) 3 x2 的极值.
1
( ) d 1− x2 , ……………………………………3 分
( )2
1− 1− x2
( ) = 1 d 1 − x2 = − 1 x dx ……………………………………………………5 分 x 2 1− x2 x 1− x2
5、解：定义域 (− ,+)
f
(x) = 23
x2
+
(2
x
−
5)
2
x
−
( ) 9、若在 x0 附近 f (x) = pn (x)+ o (x − x0 )n ，则 pn (x)是唯一的，其中
(完整)数值分析学期期末考试试题与答案(A),推荐文档
期末考试试卷( A 卷)2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业100011. 用计算机求11000时，应按照 n 从小到大的顺序相加。
n1n2. 为了减少误差 ,应将表达式 2001 1999 改写为 2进行计算。
( )2001 19993. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
( )4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时， 公式阶数越高，数值解越精确。
( )5. 用迭代法解线性方程组时， 迭代能否收敛与初始向量的选择、 系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
( ) 二、填空每空 2 分，共 36 分)1. 已知数 a 的有效数为 0.01 ，则它的绝对误差限为 _______ ，相对误差限为 _1 0 1 02. 设 A0 2 1 ,x 5 ,则 A 1____________________________ _， x 2 ______ ，Ax1 3 0 13. 已知 f (x) 2x 54x 35x,则 f[ 1,1,0] , f[ 3, 2, 1,1,2,3] .14. 为使求积公式 f (x)dx A 1f ( 3) A 2f (0) A 3f ( 3)的代数精度尽量高，应使13 3A 1 ， A 2 ， A 3，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵 A 的谱半径 ( A)与它的任意一种范数 A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组 AX B 时，使迭代公式 X (k 1)MX (k)N (k 0,1,2,K )产 生的向量序列X (k)收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即A LU. 若采用高斯消元法解AX B，其中A 4 2，则21L ___________ ，U ____________ ；若使用克劳特消元法解AX B ，则u11 _______ ；若使用平方根方法解AX B，则l11与u11的大小关系为（选填：＞，＜，=，不一定）。
(完整word版)三峡大学2010-2011数值分析试题
二、（10分）求下列超定线性方程组的最小二乘解. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+00212212121x x x x x x三、(10分) 在区间[]4,2上利用压缩映像原理判断迭代格式Λ,2,1,0,321=+=+k x x k k 的敛散性.四、（14分）设n n ij R a A ⨯∈=)(对称,顺序主子式),,2,1(0n i i Λ=≠∆则T LDL A =分解存在,其中L 为单位下三角形矩阵,D 为对角阵,试写出求方程组b Ax =解的计算步骤(用矩阵表示), 此法称为改进平方根法. 试用它求解方程组：⎩⎨⎧=+=+1710712752121x x x x五、(10分) 已知)(x f y =的函数值如下表: 28.44.54.79.77.888.74.52.10)(20181614121086420x f x利用所有数据,用复合辛普森（Simpson ）公式计算积分dx x f ⎰20)(的近似值.六、(10分) 取节点1,010==x x ,写出xe x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.七、（10分）分别写出解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+=+-1874165321321321x x x x x x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由.八、（10分）设初值问题:⎩⎨⎧=+='1)0(y yx y )10(≤≤x(1) 写出用欧拉（Euler ）方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进欧拉（Euler ）方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式.九、（10分）求线性代数方程组Ax b =的数值解法主要有矩阵的直接分解法(如LU 分解法、Crout 分解法、Cholesky 分解法等)和迭代法（如Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法）.请你简述求解线性代数方程组Ax b =的直接分解法和迭代法这两类方法的不同点和相同点.。
2010-2011第一学期数学分析试题(A)卷答案
广州大学 2010-2011 学年第 一 学期考试卷参考答案课程 数学分析1 考试形式（闭卷，考试）学院 数学与信息科学 系 专业 数学与应用数学、信息与计算科学班级 学号 姓名一、填 空 题 （2分 / 题，共10分）1、n = 2 。
2、设(1),1n n S x x n N n +⎧⎫==-∈⎨⎬+⎩⎭，则sup S =1；inf S =1-。
3、设22ln(1)()(1)x f x x x +=- ，则0 为 可去 间断点；而1为 第二类 间断点。
4、设21cos 0()0x x f x x ax -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ，若()f x 在点0x =处连续，则a =12。
5、121323lim -+∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x ＝2e 。
二、单项选择题 （3分/题，共15分）1、函数()y f x =在点0x x =处的导数存在是()y f x =在该点连续的（ A ）。
A ．充分而非必要条件； B ．必要而非充分条件； C ．充分必要条件； D ．既非充分也非必要条件；2、下面结论中，正确的是 ( B )。
A ．数列{}n a 收敛的充要条件是其偶子列{}2k a 与奇子列{}21k a -均收敛；B ．数列{}n a 与数列{}(n k a k +为正整数）同敛散；C ．数列{}n a 收敛的充要条件是数列{}n a 收敛；D ．数列{}n a 与数列{}(n ca c 为任意常数）同敛散；3、当0x →时，()1x f x e x =--与x α为同阶无穷小，则α=（ C ）。
A ．0 B ．1 C ．2 D ．34、设()f x 在0()U x 有定义，则下列叙述错误的是 ( B )。
A ．若00(0)(0)f x f x +-、均存在且相等，则()f x 在0x 必有极限； B ．若00(0)(0)f x f x +-、均存在且相等，则()f x 在0x 必连续； C ．若00()()f x f x +-''、存在，则()f x 在0x 必连续； D ．若00()()f x f x +-''、存在且相等，则()f x 在0x 必可导；5、函数1()2f x =x+x-在 []1,2上满足Lagrange （拉格朗日）中值定理的ξ= ( D )。
数值分析试卷-杜廷松
三峡大学硕士研究生考试试卷 2011—2012学年第一学期（A 卷）考试科目: 数值分析 考试时间：120分钟出卷教师: 杜廷松 出卷时间: 阅卷负责人签名：一、(15分) 设10000,2,1,0,1==⎰n dx e x I xn n（1）证明：.10000,,3,2,1,1 =-=-n nI e I n n （2）设计一种数值稳定的算法，并证明算法的稳定性.二、（15分）设nn ij Ra A ⨯∈=)(对称,顺序主子式),,2,1(0n i i =≠∆则T LDL A =分解存在,其中L 为单位下三角形矩阵,D 为对角阵,试写出求方程组b Ax =解的计算步骤(用矩阵表示), 此法称为改进平方根法. 试用它求解方程组：⎩⎨⎧=+=+221669632121x x x x三、（15分）已知下列线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-14514103131021310321x x x 之精确解Tx )1,1,1(=.用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列问题: (1) 写出Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代两种迭代格式的分量迭代形式；(2) 求Jacobi 迭代格式的迭代矩阵及其-∞范数,并指出Jacobi 迭代法的收敛性.四、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=+7262353114221212121x x x x x x x x五、(10分) 设23)()(a x x f -=.(1) 写出0)(=x f 解的Newton 迭代格式; (2) 证明此迭代格式是线性收敛的.六、(15分) 取节点21,010==x x ,12=x ，求函数xe x y -=)(在区间]1,0[上的二次插值多项式),(2x L 并估计插值误差.七、(10分)已知某河宽20m ，测得水深)(x f 如下表 （单位：m ）:4.18.10.28.20.35.28.20.38.15.10.1)(20181614121086420k kx f x利用所有数据，用复合梯形公式和复合Simpson 公式计算河水的截面积dx x f ⎰20)(的近似值.八、（10分）设初值问题:⎩⎨⎧=≤≤-='0)0(10),1(10y x y x y ,(1) 写出用Euler 方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进Euler 方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式.。
数值分析试卷答案
数值分析2011年考试试卷（样卷）试题满分100分，考试时间3小时一 （15分）什么是数值分析？结合自己的专业谈谈数值分析对以后学习科研的帮助，并说明使用数值方法进行计算时需要注意哪些问题？二 （20分）（a ） 简要说明不同插值方法（拉格朗日，牛顿-科特斯，低阶分段插值，Hermitian, 三次样条插值）的特点，那一种更优越？(b) 选择一种插值方法，构造下列已知函数点上的插值函数，并说明所选方法的适应范围（三次样条请用自然边界条件）。
已知函数在下列各点的值为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡432104321033221122222b b b b b M M M M M λμλμλμ i i i i h h h +=--11μ ii ii h h h +=-1λjj jj j j j j j j jj j jj jj h x x h M y h x x h M y h x x M h x x M x S --+--+-+-=+++++)6()6(63)(63)()(21112111,,1,0-=n j三 （10分）已知实验数据如下:使用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式，并计算均方误差。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡),(),(),(),(),(),(1011101000f f b a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∑==5100),(i i ωϕϕ∑==51210),(i ii x ωϕϕ∑==51411),(i i i x ωϕϕ∑==510),(i i i f f ωϕ∑==5121),(i i i i f x f ωϕ四 （15分）复合求积的思想是什么？ 利用一种复合求积公式计算下列积分，并说明所选择方法的精度？120,84xdx n x =+⎰五 （15分）（a ）求解线性方程组的直接法和迭代法的适应范围和特点分别是什么？雅克比，高斯-赛德尔，SOR 方法的区别，收敛速度分别如何？ (b) 设线性方程组：1231231235212422023103x x x x x x x x x ++=-⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 取初始值(0)(0,0,0)x=，求使用高斯-赛德尔迭代法计算3步(3)x 的结果。
数值分析A卷(2011年秋)
三、 （10 分）设 f ( x) 在 [ x0 , x3 ] 上有 5 阶连续导数，且 x0 x1 x2 x3 ， （1）试作一个次数不高于 4 次的多项式 H 4 ( x) ，满足条件
H 4 ( x j ) f ( x j ) , j 0,1, 2,3, ' ' H 4 ( x1 ) f ( x1 ) ;
(D)、它不是插值型求积公式。
y f x, y 1、求解常微分方程初值问题 的改进的欧拉法是 y x0 y0
阶方法。 ，其 收 敛 阶
2 、 解 非 线性方程 f x 0 的单根 的牛顿法 格 式为 为 。
4 1 2 2 ， x 1 ， 则 Ax 3 2 1 1 3 3、设矩阵 A 1 2
（2）写出 E( x) f ( x) H 4 ( x) 的表达式。
四、 （10 分）求 f ( x) e x 在 [0,1] 上的二次最佳平方逼近，权为 1。
3
五、 （10 分）用 n 2, 3 的高斯－勒让德公式计算积分 e x sin xdx
1
六、 （10 分）已知
0 1 2 1 , b ， 2 5 8 1 请用 Doolittle 三角分解法求解线性方程组 Ax b 。 1 3 7 7 1 3 9 9
，对于其产生的数列 k 0 , 1, 2 , xk ，下列说法正确的是
(A)、若数列 xk 收敛，则迭代函数 x 唯一； (B)、若对于 x a, b ， x 1 ，则 xk 收敛； (C)、若对于 x a, b ， x 1 ，则 xk 收敛； (D)、若对于 x a, b ， x L 1 ，则 xk 收敛。 3、对矩阵 A 采用幂法迭代，如果该方法收敛，则其收敛速度取决于（ (A)、模最大特征值和模次最大特征值的比值； (B)、模最大特征值和模次最大特征值的模的比值； (C)、模次最大特征值和模最大特征值的比值； (D)、模次最大特征值和模最大特征值的模的比值。 ） 。
2010-2011学年第一学期末数值分析考试试题A参考答案与评分标准
2010-2011学年第一学期末数值分析考试试题A参考答案与评分标准D第2页，共5页第3页，共5页第4页，共5页()()()1121212,,n n n n n n h y y k k k f t y k f t h y hk +⎧=++⎪⎪=⎨⎪=++⎪⎩，它是 2 阶方法。
二、解答下列各题(每小题12分，共24分) 1. 用LU分解法求解线性方程组1234230156715112133721182x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭；解：() 2 3 0 1 -53 -2 1 2 41 2 1 -2 41 2 -1 2 1 -11 -2 2 -3015671511|2 1 133 7201182LU A b ⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎪ ⎪=−−−→ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪⎝⎭分解1 0 0 023 0 13 1 0 0 0 -2 1 21 2 1 0 0 0 1 -21 2 -1 1 0 0 0 154,,41L U y -⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪⎪ ⎪ === ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ -⎝⎭⎝⎭⎝ 1-2 2-1,x ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭.. LU 矩阵(或对应元素每算对两个给1分) 2. x19 25 31 38 44 y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 求形如2y a bx =+的拟合函数及误差平方和，并估计变量y 在21x =处的值。
第5页，共5页解：令a cb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1361162519611144411936A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， ........................... 3分对应的正规方程组TTA Ac A y =为55327271.453277277699369321.5a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭....................... 7分 解此方程得0.972578660.05003512a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭...................................... 9分 即最终的拟合函数 (2)0.972578660.05003512y x =+ 10分误差平方和为 ................................ ()()4220.1502kkk y x y σ==-=∑ 11分2(21)0.972578660.050035122123.0380683y =+⨯= ....... 12分三(本题12分)（1）Gauss 求积公式(()11585()d 0.600.6999f x x f f f -≈-++⎰的代数精度是多少？（2）利用上述公式计算定积分111d 3x x-+⎰，并与真值进行比较；0.60.7745967≈）（3）将区间[1,1]-等分成两个小区间，对每个小区间分别利用（1）中的Gauss 求积公式进行计算，并将最后得到的111d 3x x-+⎰的近似值与（2）进行比较。
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2010 ~ 2011 学年第 1学期 《 数值分析 》课程考试试卷（A ）
开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2010 年__ 月_ 日 时 考试形式：闭卷√□、开卷□，允许带 计算器 入场
考生姓名： 学号： 专业： 班级：
一、填空（每个空3分，共30分）
1，设 *3.1415, 3.141x x ==，则*
x 有__________位有效数字。
2，*
3587.6x =是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差≤*r e ___________.
3，已知=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=1,4032A A 则_______， =∞A _______.
4，设0)(≥''x f , 则由梯形公式计算的近似值T 和定积分⎰
=
b
a
dx x f I )(的值的大小
关系为___________.（大于或者小于） 5, 已知,
3,2,1,03210====x x x x 4,5.2,1.1,03210====f f f f ，则均差
],,,[3210x x x x f _______________.
6, 已知A=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛2021012a a ，为使A 可分解为T
LL A =，其中L 为对角线元素为正的下三角形
矩阵，则a 的取值范围为_______________，如果a =1，则L =______________.
7，若b a ,满足的正规方程组为：⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎨⎧
=+=+∑∑∑∑∑=====n i n i n
i i i
i i n i n
i i i y x b x a x y b x na 1112111
则x y 与之间的关系式为______________________
8，若1λ是1
-A 的按模最大的特征值，则A 的按模最小的特征值为___________
二、设(1)0,(0)2,(1)4f f f -===，求 )(x p 使 )()(i i x f x p =,)2,1,0(=i ；又
设 M x f ≤''')( ，则估计余项 )()()(x p x f x r -= 的大小 。
（12分）
三、设(0)1,(0.5)5,(1)6,(1.5)3,(2)2f f f f f =====，()k f M ≤(2,3,4)k =，
（1）计算⎰
20
)(dx x f ，
（2）估计截断误差的大小（12分）
六、设有线性方程组b Ax =，其中 8
3
220
4
111336
31266
A b -⎡⎤⎛
⎫
⎪⎢⎥=-= ⎪⎢⎥
⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，， 试讨论Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的收敛性。
（14分）
七、用幂法求41405130102A -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
的按模最大特征值及其特征向量（要求迭代三步即可）
（8分）
试卷（A ）参考答案及评分标准
开课二级学院： 理学院 ，学生班级：08数学,08信算1,2 教师： 尚绪凤
一、填空（共27分，每空3分）
1， 3 2，
41106-⨯ 3， 9 4 4， I T ≥ 5，130
- 6
，00(1/002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎢⎣
7，1
a bx y =+ 8，11/λ
二（共12分）、由公式得
0010012012(3)()()[,]()[,,]()()
3(1)2(1)(1)2(1)26()()(1)(1)
9'
3!
(1)(1)12'
6
p x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x f r x x x x M
x x x η'
=+-+--'
=--+-++=++=+-≤
+-
三（共12分）、根据给定数据点的个数应该用复化simpson 公式计算由公式得
⎰
20
)(dx x f ≈
4))2()1(2))5.1()5.0((4)0((3'++++ f f f f f h
=476 2
1=h 2' )(2880
),()
4(414ηf h a b s f R --
= 3' h h M
M 2,1440
2880021==-≤
3'
若用其它公式计算正确，且误差比以上的误差大时只给过程分数8分，扣除方法分数4分。
《 数值分析》课程试卷A 参考答案及评分标准 第 1 页 共 3 页
四、（10分）把方程01252
3=-+x x 等价变为以下方程：5
12+=
x x 2'
,5
12)(+=
x x ϕ取 2' ,)
5(1
212)(3+-
='x x ϕ则有 2' 有因此对21<<x ,161
6122)
51(1212)5(1212)(33<<=+≤+=
'x x ϕ 2' ,)(1是收敛的式所以由定理可知迭代公k k x x ϕ=+即迭代公式
5
12)(1+=
=+k k k x x x ϕ 收敛于方程在区间]2,1[内根α上。
2'
五、（14分）因为 1
35
21352[,]3101583102
5153055
55
A b ⎛⎫
⎡⎤ ⎪⎢⎥=⇒ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 5'
（1）A =LU=⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛500010531105013001 3' (2) 方程组的解为;
⎪⎩⎪
⎨⎧-===121
3
21x x x 3' （3） 由于A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛500010531105013001=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010531511105013001 所以矩阵A 是对称正定的 3'
六（14分）、1312
11111
2321
2222313233
33
32008
8410
011
1163
001212a a a a a a B I D A a a a a a a -⎡
⎤⎡⎤
-
-
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=-=-
-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎣⎦2' 5599
max ,,18111212B
∞
⎧⎫==<⎨⎬⎩⎭
2'
所以由定理可知简单（Jacobi ）迭代法收敛。
3'
1
57415
max ,,18221768
G ∞
⎧⎫==<⎨⎬⎩⎭
4'
《 数值分析》课程试卷A 参考答案及评分标准 第 2 页 共 3 页
所以，由定理可知Seidel 迭代法不收敛。
3'
七（8分）
v 1=(10, 8,1)T, mu 1=10 2’
u 1=(1.0000, 0.8000, 0.1000)T v 2=(7.2000,5.4000, -0.8000)T mu 2=7.2000 2’ u 2=(1.0000, 0.7500, -0.1111)T v 3=(6.5000, 4.7500, -1.2222)T
mu3=6.5000 2’
u3= (1.0000, 0.7308, -0.1880)T 2’
《数值分析》课程试卷A参考答案及评分标准第 3 页共 3 页。