2.1矩阵的概念及几种特殊矩阵
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§2.1 矩阵的概念
2.1.1 引出矩阵定义的例题 2.1.2 矩阵的概念 2.1.3 几种特殊的矩阵
§2.1.1
引例
某公司对4名应聘人员进行三项素质考评的百分制 例2.1.1 某公司对 名应聘人员进行三项素质考评的百分制 成绩列表如下, 成绩列表如下
称这个4行 列的数表为 × 矩阵. 称这个 行3列的数表为 4×3 矩阵
2. 标量矩阵 主对角线上的元素全相同
a 0 A= 0 0 0 a 0 0 a
3. 单位矩阵 主对角线上的元素全为1 主对角线上的元素全为 1 0 0 0 1 0 E= 0 0 1
三角矩阵
4. 上(下)三角矩阵
a11 A=
a12 a1n a 22 a 2 n a nn
§2.1 习题
课后习题： 课后习题：
P64 习题 2(A) 1,2
书面作业： 书面作业：
思考题： 思考题：
预 习：
§2. 2
矩阵的运算
注意: 矩阵的乘法
§2.1 结束
(a11
a12 a1n )
a11 a 21 a n1
2.1.1 实例
矩阵的实例
某钢厂向三个建筑工地送4种规格钢材的数量可以列 例2.1.3 某钢厂向三个建筑工地送 种规格钢材的数量可以列 成矩阵 a11 a12 a13 a14 A = a 21 a 22 a 23 a 24 a a 32 a 33 a 34 31
§2.1.1
引例
某公司对4名应聘人员进行三项素质考评的百分制 例2.1.1 某公司对 名应聘人员进行三项素质考评的百分制 成绩列表如下, 成绩列表如下
称这个4行 列的数表为 × 矩阵. 称这个 行3列的数表为 4×3 矩阵
2. 标量矩阵 主对角线上的元素全相同
a 0 A= 0 0 0 a 0 0 a
3. 单位矩阵 主对角线上的元素全为1 主对角线上的元素全为 1 0 0 0 1 0 E= 0 0 1
三角矩阵
4. 上(下)三角矩阵
a11 A=
a12 a1n a 22 a 2 n a nn
§2.1 习题
课后习题： 课后习题：
P64 习题 2(A) 1,2
书面作业： 书面作业：
思考题： 思考题：
预 习：
§2. 2
矩阵的运算
注意: 矩阵的乘法
§2.1 结束
(a11
a12 a1n )
a11 a 21 a n1
2.1.1 实例
矩阵的实例
某钢厂向三个建筑工地送4种规格钢材的数量可以列 例2.1.3 某钢厂向三个建筑工地送 种规格钢材的数量可以列 成矩阵 a11 a12 a13 a14 A = a 21 a 22 a 23 a 24 a a 32 a 33 a 34 31
线性代数2.1矩阵的概念
1 0 0
A
0
2
0
0 0 3
1 0 L 0
n
0 M
2
M
L
0
M
0
0L
n
它们的对应元素也都相等，则称它们为相等矩阵。即：
定义2 设有A
aij
mn
，B
bij
如果
pq
1）m p ；n q ；
2）aij bij（ i 1, 2, , m ；j 1, 2, , n）
则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A B 。
例如，若
a c
b d
1
3
2
1
，则 a 1,b 2, c 3, d 1
a11 a12 L
Amn
a21 M
a22 M
L
《线性代数》精品课程
am1 am2 L
a1n
a2n
M
amn
矩阵
单位矩阵与恒等变换
y1 x1
y2 L
x2 L
yn xn
1 0 L 0
En
0
M
1 M
L
0
M
0
0
L
1
线性变换
单位矩阵
《线性代数》精品课程
二、几类特殊矩阵
1．同型矩阵
5．对角矩阵
2. 零矩阵
21矩阵的概念
2．定义2.14：矩阵 中的非零子式的最高阶数称为矩阵的秩记作 。
零矩阵的所有子式全为零,所以规定零矩阵的秩为零.
设 是 阶方阵，若 的秩等于 ，则 为满秩矩阵否则称 为降秩矩阵。
2.6.2矩阵秩的Biblioteka Baidu质
1．定理2.4：矩阵经过初等变换后其秩不变。（证明略）
2．定理2.5：对于任意一个非零的 矩阵 ，若 ，则 可与一个形如
讲授法
板演
时间
分配
教学过程
教学方法
教学手段
（3）将单位矩阵E的第 行（列）乘以一个常数 加到第 行（列）对应元素上后得
2．定理2.1：对矩阵 实行一次初等行变换，相当于在 的左边乘上一个相应的 阶初等矩阵；对矩阵 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘上一个相应的 阶初等矩阵。
三、小结：本节主要介绍矩阵的初等行（列）变换，要求能熟练的进行矩阵的初等变换。
时间
教学目的
了解秩的概念，会求矩阵的秩。
重点难点
矩阵秩的求法。
时间
分配
教学过程
教学方法
教学手段
45ˊ
一、导言
如果用矩阵的变换来解线性方程组,那么方程组解的存在性与矩阵本身的一种所具有的特征的量有密切的关系,这个量就是矩阵的秩,它是矩阵的一个重要概念。
二、新授
2.6.1矩阵秩的概念
1．定义2.13：设 是一个 矩阵，在 中任取 行、 列，位于这些行和列交叉处的元素按原来的次序组成一个 阶行列式，称为矩阵的一个 阶子式
零矩阵的所有子式全为零,所以规定零矩阵的秩为零.
设 是 阶方阵，若 的秩等于 ，则 为满秩矩阵否则称 为降秩矩阵。
2.6.2矩阵秩的Biblioteka Baidu质
1．定理2.4：矩阵经过初等变换后其秩不变。（证明略）
2．定理2.5：对于任意一个非零的 矩阵 ，若 ，则 可与一个形如
讲授法
板演
时间
分配
教学过程
教学方法
教学手段
（3）将单位矩阵E的第 行（列）乘以一个常数 加到第 行（列）对应元素上后得
2．定理2.1：对矩阵 实行一次初等行变换，相当于在 的左边乘上一个相应的 阶初等矩阵；对矩阵 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘上一个相应的 阶初等矩阵。
三、小结：本节主要介绍矩阵的初等行（列）变换，要求能熟练的进行矩阵的初等变换。
时间
教学目的
了解秩的概念，会求矩阵的秩。
重点难点
矩阵秩的求法。
时间
分配
教学过程
教学方法
教学手段
45ˊ
一、导言
如果用矩阵的变换来解线性方程组,那么方程组解的存在性与矩阵本身的一种所具有的特征的量有密切的关系,这个量就是矩阵的秩,它是矩阵的一个重要概念。
二、新授
2.6.1矩阵秩的概念
1．定义2.13：设 是一个 矩阵，在 中任取 行、 列，位于这些行和列交叉处的元素按原来的次序组成一个 阶行列式，称为矩阵的一个 阶子式
2.1 矩阵的概念
1、矩阵的定义
由 m n 个数 aij i 1,2,, m; j 1,2,, n 排成的 m行 n列的数表
a11 a21 a12 a22 a1n a2 n
am 1 am 2 amn
称为 m n矩阵.简称 m n 矩阵. 记作
主对角线 a11
3. 元素全为零的 m n 矩阵称为零矩阵，简称 零阵。记为 O .
4. 当矩阵的行数 方阵。
m 和列数 n相等时，称为 n阶
5.
n 阶方阵 A 的主对角线以下或以上全为零，称
A 为上（下）三角形矩阵.
上三角形矩阵
a11 0 0
a11 a 21 a n1
Байду номын сангаас已知 A B, 求 a, b, c, d .
4、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
; 行矩阵与列矩阵 1 单位矩阵; (2) 特殊矩阵 00 对角矩阵; 0 0 零矩阵.
n 阶单位矩阵，记作 En 或 E
行列式与矩阵的区别: 1. 一个是算式 ，一个是数表
2. 一个行列数相同 , 一个行列数可不同. 3. 对 n 阶方阵可求它的行列式.记为:
由 m n 个数 aij i 1,2,, m; j 1,2,, n 排成的 m行 n列的数表
a11 a21 a12 a22 a1n a2 n
am 1 am 2 amn
称为 m n矩阵.简称 m n 矩阵. 记作
主对角线 a11
3. 元素全为零的 m n 矩阵称为零矩阵，简称 零阵。记为 O .
4. 当矩阵的行数 方阵。
m 和列数 n相等时，称为 n阶
5.
n 阶方阵 A 的主对角线以下或以上全为零，称
A 为上（下）三角形矩阵.
上三角形矩阵
a11 0 0
a11 a 21 a n1
Байду номын сангаас已知 A B, 求 a, b, c, d .
4、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
; 行矩阵与列矩阵 1 单位矩阵; (2) 特殊矩阵 00 对角矩阵; 0 0 零矩阵.
n 阶单位矩阵，记作 En 或 E
行列式与矩阵的区别: 1. 一个是算式 ，一个是数表
2. 一个行列数相同 , 一个行列数可不同. 3. 对 n 阶方阵可求它的行列式.记为:
2.1 矩阵的概念
a 11 0 a 21 a 22 a n 1 a n 2 a nn
13
§2.1 矩阵的概念 第 例 含有 n 个未知数 m 个线性方程的线性方程组 二 章 矩 阵 其系数可构成一个 m×n 阶矩阵
a11 a 21 A a m1 a12 a 22 am 2 a1n a2 n am n
12
§2.1 矩阵的概念 第 三、几种特殊的矩阵 二 章 3. 方阵 (1) 单位矩阵 矩 (2) 数量矩阵 阵 (3) 对角矩阵 (4) 三角矩阵
上三角矩阵
a 11 a 12 a 1 n a 22 a 2 n 0 a nn
下三角矩阵
7
§2.1 矩阵的概念 第 二、矩阵的定义与一些基本概念 二 1. 矩阵的定义 章 2. 几个简单的名词 矩 3. 相等 P27 阵 若矩阵 A 与矩阵 B 是同型矩阵, 且它们的对应元素相等,
则称矩阵 A 和 B 相等，记作 A = B .
8
§2.1 矩阵的概念 第 三、几种特殊的矩阵 P27 二 章 1. 零矩阵 所有元素都是零的矩阵，称为零矩阵，记作 0 或者 0 m n 矩 阵 2. 行矩阵与列矩阵
§2.1 矩阵的概念 第 二、矩阵的定义与一些基本概念 二 1. 矩阵的定义 章 矩阵与行列式的有何区别? 矩 阵 矩阵与行列式有着本质的区别： 行列式 行数和列数必须相同， 是一个算式，其结果是一个数(或数学表达式)； 矩 阵
13
§2.1 矩阵的概念 第 例 含有 n 个未知数 m 个线性方程的线性方程组 二 章 矩 阵 其系数可构成一个 m×n 阶矩阵
a11 a 21 A a m1 a12 a 22 am 2 a1n a2 n am n
12
§2.1 矩阵的概念 第 三、几种特殊的矩阵 二 章 3. 方阵 (1) 单位矩阵 矩 (2) 数量矩阵 阵 (3) 对角矩阵 (4) 三角矩阵
上三角矩阵
a 11 a 12 a 1 n a 22 a 2 n 0 a nn
下三角矩阵
7
§2.1 矩阵的概念 第 二、矩阵的定义与一些基本概念 二 1. 矩阵的定义 章 2. 几个简单的名词 矩 3. 相等 P27 阵 若矩阵 A 与矩阵 B 是同型矩阵, 且它们的对应元素相等,
则称矩阵 A 和 B 相等，记作 A = B .
8
§2.1 矩阵的概念 第 三、几种特殊的矩阵 P27 二 章 1. 零矩阵 所有元素都是零的矩阵，称为零矩阵，记作 0 或者 0 m n 矩 阵 2. 行矩阵与列矩阵
§2.1 矩阵的概念 第 二、矩阵的定义与一些基本概念 二 1. 矩阵的定义 章 矩阵与行列式的有何区别? 矩 阵 矩阵与行列式有着本质的区别： 行列式 行数和列数必须相同， 是一个算式，其结果是一个数(或数学表达式)； 矩 阵
矩阵典型习题解析
2 矩阵
矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单!
知识要点解析
2.1.1 矩阵的概念
1．矩阵的定义
由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij 组成的m 行n 列的矩形数表
mn m m n n a a a a a a a a a A
21
22221
11211
称为m×n 矩阵，记为n m ij a A )( 2．特殊矩阵
（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；
（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）
三角阵；
（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；
（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(;
)(
若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ，则称A 与B 相等，记为A=B 。
2.1.2 矩阵的运算
1．加法
（1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)( ，则mn ij ij b a B A C )( （2）运算规律
① A+B=B+A ；
②（A+B ）+C =A +（B+C ）
线性代数教案_第二章_矩阵
授课章节第二章矩阵§2.1矩阵§2.2矩阵的运算
目的要求理解矩阵的定义，掌握矩阵的运算
重点矩阵的运算
难点矩阵的乘法
§2.1矩阵
前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即Cramer法则。但是Cramer法则有它的局限性：
1. 系数行列式
；
2. 方程组中变量的个数等于方程的个数。
接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念及其运算。
一、矩阵的概念
矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等
例1 某种物资有3个产地，4个销地，调配量如表1所示
表 1 产地销地调配情况表
销地
产地
B1 B2 B3 B4
A1 1 6 3 5
A2 3 1 2 0
A3 4 0 1 2
那么，表中的数据可以构成一个矩形数表：
在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。
定义2.1 由
个数
排成的
行
列数表
（2.1）
称为一个
行
列矩阵，简称
矩阵。这
个数称为矩阵的元素，其中
称为矩阵的第
行第
2.1矩阵的概念
单位矩阵不是惟一的. 单位矩阵不是惟一的.如 E2≠E3
3. 上三角矩阵与下三角矩阵
a11 a12 ⋯ a1n 0 a 22 ⋯ a2n 形如 的矩阵 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ ann n×n
即主对角线左下方的元素全为零的 n 阶方阵, 称为上三角矩阵.
aij = bij
则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B。 则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B。 A=B
三. 几种特殊的矩阵
1. 对角矩阵 a11 0 形如 ⋮ 0 0 a 22 ⋮ 0 ⋯ ⋯ 0 0 ⋮ ⋯ a nn n×n n×
的n 阶矩阵, 称为对角矩阵.也可记作 Λ = diag ( a11 , a22 ,⋯,ann )
例2 设有三个炼油厂以原油作为主要原料,利用一吨原油 设有三个炼油厂以原油作为主要原料,
生产的燃料油、柴油和汽油数量如下表(单位: 生产的燃料油、柴油和汽油数量如下表(单位:吨)
第一炼油厂 燃烧油 柴 油 汽 油 0.765 0.190 0.286 第二炼油厂 0.476 0.476 0.381 第三炼油厂 0.286 0.381 0.571
思考:非齐次线性方程也和其系数矩阵成一一对应吗？ 思考 非齐次线性方程也和其系数矩阵成一一对应吗？ 非齐次线性方程也和其系数矩阵成一一对应吗
a11 ~ ( A⋮ b ) = a21 B = ⋮ a m1
3. 上三角矩阵与下三角矩阵
a11 a12 ⋯ a1n 0 a 22 ⋯ a2n 形如 的矩阵 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ ann n×n
即主对角线左下方的元素全为零的 n 阶方阵, 称为上三角矩阵.
aij = bij
则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B。 则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B。 A=B
三. 几种特殊的矩阵
1. 对角矩阵 a11 0 形如 ⋮ 0 0 a 22 ⋮ 0 ⋯ ⋯ 0 0 ⋮ ⋯ a nn n×n n×
的n 阶矩阵, 称为对角矩阵.也可记作 Λ = diag ( a11 , a22 ,⋯,ann )
例2 设有三个炼油厂以原油作为主要原料,利用一吨原油 设有三个炼油厂以原油作为主要原料,
生产的燃料油、柴油和汽油数量如下表(单位: 生产的燃料油、柴油和汽油数量如下表(单位:吨)
第一炼油厂 燃烧油 柴 油 汽 油 0.765 0.190 0.286 第二炼油厂 0.476 0.476 0.381 第三炼油厂 0.286 0.381 0.571
思考:非齐次线性方程也和其系数矩阵成一一对应吗？ 思考 非齐次线性方程也和其系数矩阵成一一对应吗？ 非齐次线性方程也和其系数矩阵成一一对应吗
a11 ~ ( A⋮ b ) = a21 B = ⋮ a m1
矩阵的概念
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
a11
A
a21
a12 a22
a1n a2n 系数矩阵
am1 am1 amn
14
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
y1 x1,
恒 等 变 换
注意： 不同阶数的零矩阵是不相等的.
例如： 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0.
0 0 0 0
6
行矩阵(Row Matrix): 只有一行的矩阵 A a1,a2 ,,an ,
称为行矩阵(或行向量).
a1
列矩阵(Column Matrix): 只有一列的矩阵
B
a2
,
称为列矩阵(或列向量). an
方阵(Square Matrix): 行数与列数都等于 n 的矩阵， 称为 n 阶方阵.也可记作 An .
例如：
13 6 2i 2 2 2
是一个 3 阶方阵.
2 2 2
7
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等
矩阵相等: 设矩阵Amn与Bmn是同型矩阵， 且对应元素相等，即 aij bij (i, j 1,2,..., n) 称矩阵A与B相等，记作A B.
量的售价(以某种货币单位计)可用以下矩阵给出
矩阵的概念及几种特殊矩阵
则称这两个矩阵为同型矩阵.
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铃
4 .两个矩阵相等
定义 两个同型矩阵 A = ( aij 与B = ( bij )m×n
)如m×果n 对应元素相等, 即
,Baidu Nhomakorabea
aij = i = 1,2, … , m , j = 1, 2, …
则bi称j 矩, 阵 ,An和, 矩阵 B 相等,记为 A = B .
混淆的情况下, 也可记为 Ｏ．
零矩阵的作用：类似于数字“0”的运算。
注：
（1）零矩阵是每个元素都是零的数表,但它不是数零. （2）不同型的零矩阵不相等.
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2.对角矩阵
主对角线上的元素不全为零, 其余的元素全为零 的方阵称为对角矩阵. 如
a11
A
a22
.
ann
主对角线
（1）式也可简记为 A ＝ ( aij )mn
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a ) . 上页
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或 A=(
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关于矩阵定义的几点说明：
1.矩阵是一个 数表, 且矩阵的行数与列数可不同;
行列式是一个 数值. 例 如
5×2
1 2 4 3
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4 .两个矩阵相等
定义 两个同型矩阵 A = ( aij 与B = ( bij )m×n
)如m×果n 对应元素相等, 即
,Baidu Nhomakorabea
aij = i = 1,2, … , m , j = 1, 2, …
则bi称j 矩, 阵 ,An和, 矩阵 B 相等,记为 A = B .
混淆的情况下, 也可记为 Ｏ．
零矩阵的作用：类似于数字“0”的运算。
注：
（1）零矩阵是每个元素都是零的数表,但它不是数零. （2）不同型的零矩阵不相等.
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2.对角矩阵
主对角线上的元素不全为零, 其余的元素全为零 的方阵称为对角矩阵. 如
a11
A
a22
.
ann
主对角线
（1）式也可简记为 A ＝ ( aij )mn
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关于矩阵定义的几点说明：
1.矩阵是一个 数表, 且矩阵的行数与列数可不同;
行列式是一个 数值. 例 如
5×2
1 2 4 3
线性代数课件第2章矩阵
判断 A是否可逆，若可逆，求 A．1 解 因为
308
38
A 3 1 6 1
1 0
2 5
2 0 5
33
所以 A可逆，又因为
1 6
08
08
A11 0
5, 5
A21
0
0, 5
A31 1
8 6
36
38
38
A12
2
3, 5
A22 2
1, 5
A32
3
6 6
3 1
3
A13 2
且
( AB)1 B1 A1
；
30
2.3.2 方阵 可逆的充分必要条件及 A的1 求法
定义10 设 n阶方阵
a11 a12
a1n
A
a21
a22
a2
n
an1
an2
ann
由 A的行列式 A的所有元素的代数余子式 A所ij 构
成的 n 阶方阵
A11
A*
A12
A21 A22
An1 An2
6 15
2 5
7 8
14
上式两端同乘
1 2
，得
X
12
2
5
7 8
1
5 2
7 2
4
15
2.2.2 矩阵与矩阵相乘
2.1矩阵的概念及其运算
2.1 矩阵的概念
一、矩阵的引入 二、矩阵的概念 三、几种特殊的方阵
一、矩阵的引入
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 22 2 2n n 2 1. m n 线性方程组 21 1 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
其实,引例中航班只有单程的情况比较少见,国内航班 大多为双程,也就是说,其路线矩阵为对称矩阵.
Biblioteka Baidu
反称矩阵：如果 n 阶方阵 A aij 中元满足
aij a ji
(i, j 1, 2,, n)
则称 A 为反称矩阵.
由定义可以推出,若 A 为反称矩阵,则 aii aii ,即
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj (i 1, 2,, m; j 1, 2,, n)
构成的m n 矩阵 C cij
称为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积,记为 C AB
乘积矩阵 C AB的行数等于 A的行数，列数等于 B的列数
数量矩阵：如果 n 阶对角矩阵 A 中元 a11 a22 ann a,
a 0 A 0
0 0 a 0 0 a
特别的,当 a 1时,该数量矩阵称为单位矩阵,记为 En 或 E 很多书也记为 I n 或 I .
一、矩阵的引入 二、矩阵的概念 三、几种特殊的方阵
一、矩阵的引入
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 22 2 2n n 2 1. m n 线性方程组 21 1 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
其实,引例中航班只有单程的情况比较少见,国内航班 大多为双程,也就是说,其路线矩阵为对称矩阵.
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反称矩阵：如果 n 阶方阵 A aij 中元满足
aij a ji
(i, j 1, 2,, n)
则称 A 为反称矩阵.
由定义可以推出,若 A 为反称矩阵,则 aii aii ,即
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj (i 1, 2,, m; j 1, 2,, n)
构成的m n 矩阵 C cij
称为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积,记为 C AB
乘积矩阵 C AB的行数等于 A的行数，列数等于 B的列数
数量矩阵：如果 n 阶对角矩阵 A 中元 a11 a22 ann a,
a 0 A 0
0 0 a 0 0 a
特别的,当 a 1时,该数量矩阵称为单位矩阵,记为 En 或 E 很多书也记为 I n 或 I .
矩阵的概念
y2 (a21b11 a22b21 a23b31 )t1 (a21b12 a22b22 a23b32 )t2
B
b11 b12 b21 b22 b31 b32
a 11
a 21
a 12
a 22
a 13
a 23
b11 b21 b31
b12
b22 =
b32
ab 11 11
a
d
b
c
常用表格来表示:
到站
ab cd a
发 站
b
c
d
其中 表示有火车直达。 为了便于计算,把表中的 改成1,空白地方填上 0,就得到一个数表:
定义:
0 1 0 1
0 0 1 0
1 1
1 0
0 0
0 0
这就是 矩阵
由 m n 个数 aij i 1,2,,m; j 1,2,,n
排成的m行 n列的数表
此二元素相等，故 ABT BT AT
一般地，应有
A B GT AT BT GT
AB GT GT BT AT
例9
已知
A 2 1
0 3
1, 2
1 B 4
2
7 2 0
1 3 , 1
求 ABT .
解法1
AB 2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
B
b11 b12 b21 b22 b31 b32
a 11
a 21
a 12
a 22
a 13
a 23
b11 b21 b31
b12
b22 =
b32
ab 11 11
a
d
b
c
常用表格来表示:
到站
ab cd a
发 站
b
c
d
其中 表示有火车直达。 为了便于计算,把表中的 改成1,空白地方填上 0,就得到一个数表:
定义:
0 1 0 1
0 0 1 0
1 1
1 0
0 0
0 0
这就是 矩阵
由 m n 个数 aij i 1,2,,m; j 1,2,,n
排成的m行 n列的数表
此二元素相等，故 ABT BT AT
一般地，应有
A B GT AT BT GT
AB GT GT BT AT
例9
已知
A 2 1
0 3
1, 2
1 B 4
2
7 2 0
1 3 , 1
求 ABT .
解法1
AB 2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
矩阵的运算
【注1】 规定 A0 E . 【思考】E k ? 答 : E k E.
例９ 判断下列结论是否成立？
（1） A2 O, 则 A O
反例
（2） ( A B)2 A2 2AB B2
0 02 0 0
1
0
0
0
（3）(E A)2 E 2A A2 ✓
【注2】由于矩阵乘法一般不满足交换律，即：
为1×n矩阵. b1
b2
M
为 n1矩阵
bn
（3）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n 零矩阵,
记作 omn 或 o .
【注】不同阶数的零矩阵是不相等的.
例如
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0.
0 0 0 0
1
（4）形如 0 0
0
2
0
0
0 的方阵称为对角阵.
性质 Em Amn Amn , Amn En Amn ,
A0 E, E k E.
【注】单位矩阵E在矩阵乘法中相当于数1在数的乘 法运算中的作用!
单位矩阵的行列向量组都是基本单位向量组.
3．数量矩阵
a
a
(特殊的对角阵)
O
a
性质
a
a
O
a
A
a
mn
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３×４矩阵
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1 3 9 5 3
2 0 8 1 5
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二、几个常用概念
1.n阶方阵
行数和列数相同的矩阵称为方阵． 例如
a11 a21 A a n1
a12 a1n a22 a2 n . an 2 ann
§2.1 矩阵的概念 几种特殊的矩阵
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一、基本概念
定义 由 m n 个数 aij (i= 1, 2, … , m; j=1,
2,… , n) 排成的 m 行 n 列的数表
a11 a21
a12 a22
a1n
a2 n
am1 am2 amn
称为m行n 列矩阵，简称m n 矩阵. 记作
混淆的情况下,
也可记为 Ｏ．
零矩阵的作用： 类似于数字“0”的运算。
注：
（1）零矩阵是每个元素都是零的数表,但它不是数零. （2）不同型的零矩阵不相等.
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2.对角矩阵
主对角线上的元素不全为零, 其余的元素全为零
的方阵称为对角矩阵. 如
a11 a22 A . a nn
a11 a21 B . a m1
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3 .同型矩阵
矩阵 A = ( aij )m×n 与 B = ( bij )p×q , 则称这两个矩阵为同型矩阵. 如果满足m = p
且 n = q , 即这两个矩阵行数相等，列数也相等,
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主对角线
结束
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为 n 阶对角矩阵, 其中未标记出的元素全为零, 即 aij = 0 , i j , i, j = 1, 2, … , n ,
对角矩阵常记为 Λ= diag( a11 , a22 , … , ann ). 例如
3 0 0 diag(3,1,2) 0 1 0 . 0 0 2
记为 A = B .
与wk.baidu.com
a b c d e f
上页
当 a=3, b=-1, c=4, d=2, e=-5, f=6 时, 它们相等.
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三、几种特殊的矩阵
1 .零矩阵
若一个矩阵的所有元素都为零, 则称这个矩阵为 零矩阵, m n 零矩阵记为 Ｏm n , 在不会引起
对角矩阵
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3.数量矩阵 如下形式的 n 阶矩阵称为数量矩阵：
A a 0 0 0 a 0 0 0 a 。
数量矩阵是特殊的对角矩阵：a11a22anna。
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4.单位矩阵 如下形式的 n 阶矩阵称为单位矩阵，记为 In 或 I,
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a12 a22 a2n
a1n a2n ann
。
在对称矩阵中，有aijaji。 1 0 3 0 2 1 3 1 3
和
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4 .两个矩阵相等 定义 两个同型矩阵 A = ( aij )m×n 与B = ( bij )m×n ,
如果对应元素相等, 即 aij = bij , i = 1,2, … , m , j = 1, 2, … , n , 则称矩阵 A 和矩阵 B 相等, 例如
3 1 4 2 5 6
mn
矩阵A也记作 Amn .
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（1）式也可简记为 A ＝ ( aij )mn 或 A = ( aij ) .
关于矩阵定义的几点说明：
1.矩阵是一个 数表, 且矩阵的行数与列数可不同; 行列式是一个 数值. 例如 5× 2 矩阵
1 2 4 3 9 8 5 2 4 2 1 0
n× n 矩阵
A 称为 n n 方阵, 常称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵, 简记为 A= ( aij )n 或
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An
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2 .行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量).
如 A = ( a11 , a12 , … , a1n ).
只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量). 如
或 En 或 E。
I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 。
单位矩阵是特殊的数量矩阵：a11a22anna1。
单位矩阵的作用： 类似于数字“1”的运算。
练习 首页 上页 返回 下页 结束 铃
5.对称矩阵
如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA ，则称 A 为对称矩阵，即 a11 a12 A a1n 例如，矩阵 1 1 1 0 都是对称矩阵。
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a11 a21 A a m1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
(1)
这 m n 个数叫做矩阵的元素, 数aij 位于矩阵 A 的 第 i 行第 j 列, 称为矩阵A的(i ,j)元. 以数aij 为 (i ,j) 元的矩阵简记为 ( aij ) 或 ( aij ) mn ,
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二、几个常用概念
1.n阶方阵
行数和列数相同的矩阵称为方阵． 例如
a11 a21 A a n1
a12 a1n a22 a2 n . an 2 ann
§2.1 矩阵的概念 几种特殊的矩阵
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一、基本概念
定义 由 m n 个数 aij (i= 1, 2, … , m; j=1,
2,… , n) 排成的 m 行 n 列的数表
a11 a21
a12 a22
a1n
a2 n
am1 am2 amn
称为m行n 列矩阵，简称m n 矩阵. 记作
混淆的情况下,
也可记为 Ｏ．
零矩阵的作用： 类似于数字“0”的运算。
注：
（1）零矩阵是每个元素都是零的数表,但它不是数零. （2）不同型的零矩阵不相等.
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2.对角矩阵
主对角线上的元素不全为零, 其余的元素全为零
的方阵称为对角矩阵. 如
a11 a22 A . a nn
a11 a21 B . a m1
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3 .同型矩阵
矩阵 A = ( aij )m×n 与 B = ( bij )p×q , 则称这两个矩阵为同型矩阵. 如果满足m = p
且 n = q , 即这两个矩阵行数相等，列数也相等,
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为 n 阶对角矩阵, 其中未标记出的元素全为零, 即 aij = 0 , i j , i, j = 1, 2, … , n ,
对角矩阵常记为 Λ= diag( a11 , a22 , … , ann ). 例如
3 0 0 diag(3,1,2) 0 1 0 . 0 0 2
记为 A = B .
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三、几种特殊的矩阵
1 .零矩阵
若一个矩阵的所有元素都为零, 则称这个矩阵为 零矩阵, m n 零矩阵记为 Ｏm n , 在不会引起
对角矩阵
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3.数量矩阵 如下形式的 n 阶矩阵称为数量矩阵：
A a 0 0 0 a 0 0 0 a 。
数量矩阵是特殊的对角矩阵：a11a22anna。
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4.单位矩阵 如下形式的 n 阶矩阵称为单位矩阵，记为 In 或 I,
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a1n a2n ann
。
在对称矩阵中，有aijaji。 1 0 3 0 2 1 3 1 3
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4 .两个矩阵相等 定义 两个同型矩阵 A = ( aij )m×n 与B = ( bij )m×n ,
如果对应元素相等, 即 aij = bij , i = 1,2, … , m , j = 1, 2, … , n , 则称矩阵 A 和矩阵 B 相等, 例如
3 1 4 2 5 6
mn
矩阵A也记作 Amn .
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（1）式也可简记为 A ＝ ( aij )mn 或 A = ( aij ) .
关于矩阵定义的几点说明：
1.矩阵是一个 数表, 且矩阵的行数与列数可不同; 行列式是一个 数值. 例如 5× 2 矩阵
1 2 4 3 9 8 5 2 4 2 1 0
n× n 矩阵
A 称为 n n 方阵, 常称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵, 简记为 A= ( aij )n 或
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2 .行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量).
如 A = ( a11 , a12 , … , a1n ).
只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量). 如
或 En 或 E。
I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 。
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单位矩阵的作用： 类似于数字“1”的运算。
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5.对称矩阵
如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA ，则称 A 为对称矩阵，即 a11 a12 A a1n 例如，矩阵 1 1 1 0 都是对称矩阵。
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a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
(1)
这 m n 个数叫做矩阵的元素, 数aij 位于矩阵 A 的 第 i 行第 j 列, 称为矩阵A的(i ,j)元. 以数aij 为 (i ,j) 元的矩阵简记为 ( aij ) 或 ( aij ) mn ,