7、2、2单位圆与正弦、余弦数线

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高中数学第七章三角函数7.2.2单位圆与三角函数线课时素养评价含解析第三册

单位圆与三角函数线(20分钟35分）1。

如图，点P从出发,沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点,则Q点坐标为()A. B.C。

D.【解析】选A。

点P从出发，沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx=-,所以Q,即Q点坐标为。

【补偿训练】已知α是第二象限角,其终边与单位圆的交点为P，则cos α=()A。

— B.C。

D。

—【解析】选A.由题意知,解得m=-，所以cos α=—。

2。

如果〈α<,那么下列不等式成立的是（）A.cos α<sin α〈tan αB.tan α〈sin α<cos αC.sin α〈cos α<tan αD。

cos α〈tan α〈sin α【解析】选A.方法一：（特值法)令α=,则cos α=，tan α=，sin α=,故cos α<sin α〈tan α。

方法二：如图所示,在单位圆中分别作出α的正弦线、余弦线、正切线,则cos α<sin α<tan α。

3.(2020·济南高一检测)使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是（)A.B.C。

D。

【解析】选A.如图所示,当x=和x=—时,sin x=cos x，故使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是。

4。

有三个命题：①与的正弦线相等;②与的正切线相等;③与的余弦线相等.其中真命题的个数为(）A。

1 B.2 C。

3 D。

0【解析】选B.根据三角函数线的定义可知,与的正弦线相等，与的正切线相等，与的余弦线相反。

5。

比较大小:tan 1tan 。

(填“>"或“〈"）【解析】因为1〈,且都在第一象限，由它们的正切线知tan 1〈tan .答案:〈6.作出-的正弦线、余弦线和正切线。

【解析】如图所示,所以角-的正弦线为，余弦线为，正切线为。

（30分钟60分）一、单选题(每小题5分，共20分)1.设a<0,角α的终边与单位圆的交点为P(—3a，4a)，那么sin α+2cos α的值等于（）A。

正弦余弦正切函数图象

2
1-
643 34 6
y 3 1 3 3 1 3 0
3
3
o
1 -
2
-
3
2
x
2
(2) 描点
2-
(3) 连线
正切函数图像： ytanx,
y
xxR,且 xk2,kZ
思考：
2
正切函数 ytanx
1
图像是否有渐近线？
3 2
2
o
1 2
3 2
x
渐近线方程：
2
xk,(kZ)
2
二、三角函数图象的性质
上平移一个
单位得到的
.●
2
x
y=sinx
(2)按五个关键点列表
x
0
2
3 2
2
cosx 1 0 -1 0 1
-cosx
.y
1
o
-1 ●
-1 0 1 0 -y1= -cosx和
y=cosx 关
. y= cosx x [0,2 ] 于X轴对称 ●
.●
2
.
.3●
2
2
●
x
y= - cosx x [0, 2]
y=cosx
左移
2
y=cosx y=sinx
余弦曲线
返回目录
二、正弦函数的“五点画图法”
(0,0)、( , 1)、( ,0)、( 3 ,-1)、 (2 ,0)
2
2
y
1
●
●
0Hale Waihona Puke 2-1●3
2
●
●
2
x
y
●
1
●
0
2
-1

三角函数的正弦和余弦关系

三角函数的正弦和余弦关系三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何、物理、工程等领域中都具有广泛的应用。

其中，正弦函数和余弦函数是最常见和基础的三角函数，它们之间存在着紧密的关系。

一、正弦和余弦的定义和性质正弦函数和余弦函数是定义在单位圆上的函数。

在单位圆上，以原点为中心作一个半径为1的圆，对于任意一点P(x,y)，该点到x轴的距离为x，到y轴的距离为y，这时角OPx的弧度就是点P的角度。

定义:对于单位圆上的任意一个点P(x, y)，它的角度为θ，则点P的正弦和余弦值分别定义为：sinθ = ycosθ = x性质:1. 在单位圆上，正弦值的取值范围在[-1, 1]之间，而余弦值的取值范围也在[-1, 1]之间。

2. 当角θ为0或2π的整数倍时，正弦值为0，余弦值为1。

当角θ为π的奇数倍时，正弦值为-1，余弦值为0。

3. 对于任意的角θ，有sin^2θ + cos^2θ = 1，这一关系被称为三角恒等式。

二、正弦和余弦的图像特点正弦函数和余弦函数的图像是周期性的波形图，其周期为2π。

正弦函数的图像是一条上下振荡的曲线，而余弦函数的图像则是一条左右偏移的曲线。

1. 正弦函数图像特点：正弦函数图像在θ = 0, π, 2π 等处过零点，即sin(0) = 0, sin(π) = 0, sin(2π) = 0。

在θ = π/2, 3π/2 等处达到最大值1，即sin(π/2) = 1, sin(3π/2) = 1。

在θ = π, 2π 等处达到最小值-1，即sin(π) = -1, sin(2π) = -1。

2. 余弦函数图像特点：余弦函数图像在θ = 0, 2π 等处达到最大值1，即cos(0) = 1, cos(2π) = 1。

在θ = π/2, 3π/2 等处过零点，即cos(π/2) = 0, cos(3π/2) = 0。

在θ = π, 2π 等处达到最小值-1，即cos(π) = -1, cos(2π) = -1。

三角函数与单位圆

三角函数与单位圆在数学中，三角函数是研究角度和三角形关系的重要工具之一。

而单位圆则是三角函数中的一个重要概念，它与三角函数之间存在着密切的关系。

一、三角函数的基本定义及公式三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们的定义如下：1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个角，正弦值等于对边与斜边长度的比值。

2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个角，余弦值等于邻边与斜边长度的比值。

3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个角，正切值等于对边与邻边长度的比值。

这些三角函数在单位圆中也有对应的定义及公式。

单位圆是以圆心为原点、半径为1的圆，在坐标系中可以表示为x^2 + y^2 = 1。

对于单位圆上的任意一点P(x, y)，可以定义其对应的角度为A，单位圆上的点与角度之间存在着一一对应的关系。

二、三角函数与单位圆的关系在单位圆中，以圆心为起点，与圆上任意一点P(x, y)连接，这条线段与圆的半径的夹角即为角A。

根据三角函数的定义，在单位圆中，可以得到以下关系：1. 正弦函数：sin(A) = y2. 余弦函数：cos(A) = x3. 正切函数：tan(A) = y/x利用这些关系，可以得到三角函数在单位圆中的图形。

正弦函数在单位圆中的图形表现为一个周期为2π的正弦波，其振幅为1。

余弦函数与正弦函数相位相差π/2，也表现为一个周期为2π的正弦波。

而正切函数在单位圆中的图形是一个以原点为渐近线的周期为π的函数。

三、三角函数在解决问题中的应用三角函数在数学中有着广泛的应用，特别是在解决与角度和三角形相关的问题时。

1. 几何问题：三角函数可以用于求解直角三角形的边长、角度等问题。

例如，已知一个角的正弦值，可以通过反正弦函数求解角度值；已知两个边长，可以利用正弦定理或余弦定理求解另外一个角度或边长。

2. 物理问题：三角函数在解决物理问题中也有广泛应用。

例如，通过正弦函数可以描述周期性的振动现象；借助于正切函数可以求解斜面上物体的滑动问题。

三角函数的性质

三角函数的性质三角函数是数学中重要的概念，它们有着许多独特的性质和特点。

本文将对三角函数的性质进行探讨，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

1. 正弦函数的性质正弦函数是一个周期函数，周期为2π。

在单位圆上，正弦函数的值等于对应角度的弧度值的y坐标。

正弦函数的定义域是所有实数，值域在-1到1之间。

2. 余弦函数的性质余弦函数也是一个周期函数，周期同样为2π。

在单位圆上，余弦函数的值等于对应角度的弧度值的x坐标。

余弦函数的定义域和值域也都是实数。

3. 正切函数的性质正切函数是一个奇函数，意味着它在原点是对称的。

正切函数的定义域是除了一切对应正弦函数值为0的角度之外的所有实数。

正切函数的值域为所有实数。

4. 周期性质正弦函数和余弦函数具有周期性，即在固定的一段时间内，它们的图像会重复出现。

这是因为单位圆的性质导致的。

这一周期性质可以用于解决各种实际问题，在物理、工程、天文学等领域有着广泛的应用。

5. 反函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的反函数也具有重要的性质。

反正弦函数、反余弦函数和反正切函数分别记为sin^(-1)x、cos^(-1)x和tan^(-1)x。

它们的定义域和值域与正弦函数、余弦函数和正切函数相反。

通过反函数，我们可以将一个三角函数的值反推回对应的弧度或角度值。

6. 基本恒等式三角函数有一些基本的恒等式，它们在计算中起着重要的作用。

例如，正弦函数和余弦函数的平方和等于1，即sin^2x + cos^2x = 1。

这个恒等式可以通过单位圆的性质进行证明。

另外，还有一些三角函数的和差化积公式、倍角公式等，它们在解决复杂问题时发挥着重要的作用。

总结：三角函数是数学中非常重要的概念，具有多种性质和特点。

正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性是它们的重要性质之一，通过单位圆可以直观地理解它们的定义和性质。

反函数和基本恒等式也是三角函数的重要内容，它们在解决实际问题和数学推导中起着关键的作用。

人教B版高中数学必修第三册7.2.2 单位圆与三角函数线

解
(2)作直线 x＝－35交单位圆于 M，N 两点，则 OM 与 ON 为角 α 的终边，如图②.
(3)在直线 x＝1 上截取 AT＝2，其中 A 的坐标为(1,0)．设直线 OT 与单位圆交于 C，D 两点，则 OC 与 OD 为角 α 的终边，如图③.
解
1．作三角函数线的四个步骤 (1)确定角的始边，单位圆与 x 轴交点 A(1,0)． (2)确定角的终边与单位圆的交点 P. (3)过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，过 A 作 x 轴的垂线，与角的终边(或其反向延长线)交于 T(T′)． (4)得正弦线M→P，余弦线O→M，正切线A→T(或A→T′)． 2．单位圆中求作角的终边的方法应用三角函数线可以求作满足形如 f(α)＝m 的三角函数的角的终边，具体作法是先作出直线 y＝m 或 x＝m 与单位圆的交点，再将原点与交点连接所得射线即为所求角的终边．
[跟踪训练 3] 已知 α∈0，π2，求证：sinα<α<tanα.
证明在单位圆中设∠AOP＝α，则的长度为 α，角 α 的正弦线为M→P，正切线为A→T，
∵△OPA 面积<扇形 OPA 面积<△OAT 面积，∴12|O→A |·|M→P|<12|O→A|·α<12|O→A|·|A→T|，即|M→P|<α<|A→T|，
解
题型二利用三角函数线比较大小
例 2 利用三角函数线比较下列各组数的大小：
(1)sin23π与 sin45π；
(2)cos23π与 cos45π；
(3)tan23π与
4π tan 5 .
[解] 如图，在单位圆中，23π的终边为 OP1，45π的终边为 OP2，过 P1， P2 分别作 x 轴的垂线，垂足为 M1，M2，延长 P1O，P2O 交经过 A(1,0)的单位圆的切线于 T1，T2.

单位圆与三角函数的关系解析

单位圆与三角函数的关系解析三角函数是数学中一个重要的概念，它与单位圆之间有着密切的关系。

在解析几何中，单位圆是指半径为1的圆，它在坐标系中的位置为原点(0, 0)。

单位圆上的点(x, y)与三角函数的关系可以通过三角函数的定义来解析。

三角函数包括正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余切(cot)、正割(sec)和余割(csc)，它们的值是根据单位圆上的点(x, y)的坐标来确定的。

首先，我们来看正弦(sin)和余弦(cos)函数。

对于单位圆上的任意一点(x, y)，其对应的弧度角θ可以通过三角函数的反函数(arcsin和arccos)来计算。

对于正弦函数来说，sinθ = y，而余弦函数则是cosθ = x。

因此，我们可以通过单位圆上的点的y 坐标来计算正弦值，通过点的x坐标来计算余弦值。

接下来是正切(tan)与余切(cot)函数。

正切函数定义为tanθ = sinθ/cosθ，而余切函数则是cotθ = cosθ/sinθ。

我们可以利用单位圆上的点(x, y)和三角函数的关系来计算正切和余切的值。

最后是正割(sec)和余割(csc)函数。

正割函数定义为se cθ = 1/cosθ，而余割函数则是cscθ = 1/sinθ。

我们可以将正割和余割的值与单位圆上的点的x坐标和y坐标来计算。

除了通过三角函数的定义来计算单位圆上的点的三角函数值外，我们还可以利用三角函数图像的周期性来计算。

以sin函数为例，对于单位圆上的第一象限(0 ≤ θ ≤ π/2)上的任意一点(x, y)，我们可以发现在π/2的位置上，sin函数的值是最大的，为1。

而在0和π/2之间的位置上，sin函数的值是递增的，也就是说，随着弧度角θ的增大，sin函数的值也增大。

同样的道理，我们可以得到余弦、正切、余切、正割和余割在单位圆上的图像。

总结起来，单位圆与三角函数的关系可以通过三角函数的定义来解析。

我们可以通过单位圆上的点(x, y)的坐标来计算正弦、余弦、正切、余切、正割和余割的值。

三角函数与单位圆的关系详解

三角函数与单位圆的关系详解三角函数是数学中重要的概念之一，它与单位圆密切相关。

本文将详细解析三角函数与单位圆的关系，从而帮助读者更好地理解三角函数的概念和性质。

一、三角函数的定义三角函数由正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等组成。

这些函数与三角形的各边长度之间的关系息息相关。

例如，正弦函数定义为一个角的对边与斜边的比值，即sinθ=对边/斜边。

二、单位圆的定义单位圆是一个半径为1的圆。

它的圆心位于坐标原点(0, 0)，且可以被看作是一个点在坐标平面上以半径为1做圆周运动的轨迹。

三、三角函数与单位圆的关系单位圆的概念为我们解析三角函数提供了重要便利。

我们可以将一个角度对应到单位圆上的一点，从而更好地理解它们之间的关系。

具体来说，对于一个角度θ，我们可以将它对应到单位圆上的一点P(x, y)，其中x和y分别为点P在坐标平面上的横纵坐标。

值得注意的是，x和y的取值都在-1到1之间。

根据单位圆的定义，点P的横纵坐标可以通过三角函数来表达。

例如，点P的横坐标x就等于该角度的余弦值cosθ，纵坐标y等于该角度的正弦值s inθ。

而切线函数tanθ则等于sinθ除以cosθ。

四、三角函数的周期性单位圆上的点在一周内不断循环，因此三角函数也具有周期性。

以正弦函数为例，它的图像在一个周期内会不断重复，即sin(θ+2π)=sinθ。

同样，余弦函数和正切函数也具有相似的周期性。

五、利用单位圆解析三角函数的性质通过单位圆，我们可以很方便地研究和推导三角函数的性质。

例如，我们可以利用单位圆来证明三角函数的诸多恒等式，如正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1（sin²θ + cos²θ = 1）。

此外，单位圆还可以帮助我们推导三角函数的图像和性质。

例如，通过观察单位圆上的点，我们可以得出正弦函数和余弦函数的图像均是周期函数，且在特定角度上取得最大值和最小值。

六、应用领域三角函数在科学和工程中具有广泛应用。

三角函数与单位圆

三角函数与单位圆引言三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。

而单位圆作为三角函数的基础，具有重要的几何和代数意义。

本文将探讨三角函数与单位圆之间的关系，以及它们在数学和实际应用中的重要性。

一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

以正弦函数为例，它是一个周期函数，可以表示为f(x) = sin(x)，其中x为自变量。

正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。

通过图形可以看出，正弦函数的图像在一个周期内呈现出波浪形状，具有对称性。

二、单位圆的定义单位圆是一个半径为1的圆，圆心位于坐标原点(0, 0)。

单位圆的方程可以表示为x^2 + y^2 = 1。

单位圆上的点可以表示为(x, y)，其中x和y的取值范围是[-1, 1]。

单位圆在坐标平面上呈现出完美的对称性。

三、三角函数与单位圆的关系三角函数与单位圆之间存在密切的关系。

我们可以通过单位圆来解释三角函数的定义和性质。

1. 正弦函数与单位圆正弦函数可以通过单位圆上的点的y坐标来表示。

具体而言，对于一个角度x （弧度制），在单位圆上找到对应的点P(x, y)，那么y坐标即为sin(x)。

这是因为单位圆上的点到圆心的距离为1，而y坐标正好对应这个距离。

因此，单位圆上的点可以帮助我们直观地理解和计算正弦函数的值。

2. 余弦函数与单位圆余弦函数可以通过单位圆上的点的x坐标来表示。

具体而言，对于一个角度x （弧度制），在单位圆上找到对应的点P(x, y)，那么x坐标即为cos(x)。

这是因为单位圆上的点到圆心的距离为1，而x坐标正好对应这个距离。

因此，单位圆上的点可以帮助我们直观地理解和计算余弦函数的值。

3. 正切函数与单位圆正切函数可以通过单位圆上的点的y坐标和x坐标的比值来表示。

具体而言，对于一个角度x（弧度制），在单位圆上找到对应的点P(x, y)，那么y坐标除以x 坐标即为tan(x)。

这是因为正切函数定义为tan(x) = sin(x) / cos(x)，而单位圆上的点的坐标正好满足这个比值关系。

高中数学第七章三角函数7.2.2单位圆与三角函数线课时素养检测含解析第三册

课时素养检测四单位圆与三角函数线（30分钟60分）一、选择题(每小题4分,共24分，多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1。

角和角有相同的（）A.正弦线B.余弦线C。

正切线 D.不能确定【解析】选A.因为与的终边关于y轴对称,故与有相同的正弦线。

2.设a=tan 35°,b=cos 55°，c=sin 23°,则（)A.a>b〉cB.b>c〉aC。

c>b>a D.c〉a〉b【解析】选A。

由题可知,b=cos 55°=sin 35°，sin 35°>sin 23°,有b〉c，利用三角函数线比较tan 35°，sin 35°,如图，通过比较三角函数线可知,tan 35°〉sin 35°，则有a>b，综上,a〉b〉c。

【补偿训练】下列各式正确的是（）A。

sin 1〉sin B。

sin 1〈sinC。

sin 1=sin D.sin 1≥sin【解析】选B.1和的终边均在第一象限,且的正弦线大于1的正弦线，则sin 1〈sin .3。

使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是()A. B.C.D。

［0,π］【解析】选A.当x的终边落在如图所示的阴影部分时,满足sin x ≤cos x.4。

(多选题）若tan x=，且-π<x〈2π,则满足条件的x的值为（）A.或B。

或C。

-D。

—【解析】选AC.因为tan x=,在单位圆中画出正切线｜｜=的角的终边为直线OT（如图）,所以x=kπ+，k∈Z，又因为—π〈x<2π，所以x=—,，.5.在[0，2π]上,满足sin x≥的x的取值范围是（)A. B.C.D。

【解析】选B.作直线y=与单位圆相交，如图中阴影部分即表示sin x≥的x的取值范围。

6。

下列不等式中,正确的是(）A。

正弦函数、余弦函数的图象ppt课件

2.描点(在坐标系中描出五个关键点)
3.连线(用光滑的曲线从左到右顺次连接五个点)
说明：已经获得了正弦函数曲线的图像了，在精确
度要求不太高时，我们常常用“五点法”画函数的
简图.
余弦函数：如何由正弦函数图像得到余弦函数图像？
y
1
-4
-3
-2
o
-

3
2
4
5
-1
正弦曲线
正弦函数的图象

y=cosx=sin(x+ 2 ),
公式一说明，自变量每增加(减少)，正弦函数值、余弦函
数值将重复出现.
正弦函数
＝， ∈
＝， ∈ ,
缩小范围、以小见大，利用特性画出全部的图像
新知讲解
问题1 绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点.对于正弦函数，在[,]
上任取一个值0 ，如何借助单位圆确定正弦函数值0 ，并画出点
正弦函数:＝，∈；(把点P的纵坐标叫做α的正弦函数)
余弦函数:＝，∈；(把点P的横坐标x叫做α的余弦函数)
正切函数:＝，≠/＋(∈)．

（把点P的纵坐标和横坐标的比值叫做α的正切函数）

新课导入
回顾2 类比指数、对数函数的知识，我们是怎么研究它们的？
(0 , 0 ).
点T.gsp
新知讲解
问题3 我们学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数＝，
∈[,]的图象？你能想到什么方法？

若把轴上从0到2π这一段分成12等份，使的值分别为：，，， ⋅⋅⋅ ，2
6
3
2
正弦函数
引入新知：如何得到函数 y=sinx x∈R在[2π，4π]的图像

单位圆与任意角的正余弦函数定义

点P的_横___坐__标__u叫作角α的余弦函数，记作_u_＝_ cosα_．
【探究4】正弦、余弦函数值在各象限的符号
上正弦右余弦
【知识梳理】
正弦ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ余弦函数在各象限的符号
三角函数
象限第一象限第二象限第三象限第四象限
sin α cos α
+
+
—
—
+
—
—
+
【应用】特殊角的正、余弦函数值
若取|OP|＝1时，sin α，cos α的值怎样表示？
sin y y y
r1
cos x x x
r1
【探究2】单位圆与锐角正、余弦函数的关系
y
1 P(u,v)
sin v v
1
O
x
cos u u
1
【探究3】单位圆与任意角正、余弦函数的定义
任给角
终边OP
点P
y
P
v
uO
x
v sin
解： sin 0
cos -1
y
-1
O
x
【作业】求特殊角的正、余弦函数值(课本第16页表格）
0 2 5 7 4 3 5 11 2
6 4 32 36
6 32 3 6
sin
cos
思维导图
锐角的正、余弦函数
r O
P(x,y)
任意角的正、余弦函数
v sin
u cos
上正弦右余弦
A
α
C
【探究1】用坐标来表示锐角的正弦函数和余弦函数
角α的正弦、余弦分别等于什么？
sin y
r
cos x

单位圆与正弦、余弦线

其中：r | OP | x2 y2 r 0
P(x,y)
y
y
y
r α
O
r
r
x
x 叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα= x
r
y x
叫做角α的余弦，记作cosα，即cosα=
yr x
叫做角α的正切，记作tanα，即tanα= 3
一、复习
只要知道角的终边上任意一点的坐标就可以
求出这个角的三角函数值.
B'(0,-1)
9
2. 有向线段的概念与有向线段的大小：
带有方向的线段叫有向线段；有向线段的大小称为它的数量. 有向线段的数量（数值）由其长度大小和方向来决定。
10
在坐标系中,规定:
有向线段的方向与坐标轴的方向相同.即同向时, 数量为正;反向时,数量为负.
例如在数轴上，|OA|=3，|OB|=3
4
任意角三角函数的定义 sinα cosα tanα
2、设 α 的终边与单位圆交点为P(x,y)，那么
y
sin = ___y_
1
cos = __x__
P(x,y)
tan

=
y
__x__
(x
0)
O
1x
故：P(x,y)=P(cosα,sinα)
这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交
点的横坐标和纵坐标。
◆教学重点、难点
1．教学重点：怎样用三角函数线表示三角函数值？ 2．教学难点：三角函数线所表示的三角函数值的正负如何确定 2
◆教学过程（一）复习引入
1设、有任一意个角角三α，角我函们数以的它的定顶义点作为原点，以它的始边作
为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系，在角α的终边上任取

三角函数正弦与余弦的定义

三角函数正弦与余弦的定义三角函数是数学中研究角与边之间关系的重要工具，其中正弦和余弦是最常见的两个三角函数。

它们既有几何意义，又有代数定义，对于描述周期性现象和解决各种实际问题都非常重要。

一、正弦函数的定义正弦函数（sine function）是一个周期函数，通常用sin(x)表示。

它的定义基于单位圆上的点的纵坐标。

我们先来回顾一下单位圆的概念。

单位圆是半径为1的圆，圆心位于原点(0,0)。

对于单位圆上的任意一点P(x,y)，点P与圆心O之间的线段OP被称为半径，而角度θ则是线段OP与正半轴之间的夹角。

正弦函数的定义是通过角度θ与单位圆上的点的纵坐标y的对应关系来确定。

具体地，对于角度θ，其对应的正弦值sin(θ)等于单位圆上点P的纵坐标y。

即：sin(θ) = y这里θ可以是任意实数，正弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。

二、余弦函数的定义余弦函数（cosine function）也是一个周期函数，通常用cos(x)表示。

类似于正弦函数，余弦函数的定义基于单位圆上的点的横坐标。

对于单位圆上的任意一点P(x,y)，点P与圆心O之间的线段OP被称为半径，而角度θ则是线段OP与正半轴之间的夹角。

余弦函数的定义是通过角度θ与单位圆上的点的横坐标x的对应关系来确定。

具体地，对于角度θ，其对应的余弦值cos(θ)等于单位圆上点P的横坐标x。

即：cos(θ) = x同样地，θ可以是任意实数，余弦函数的定义域也是整个实数集，值域也是[-1, 1]。

三、正弦和余弦函数的性质正弦和余弦函数具有一些重要的性质，这些性质在解决各种实际问题和进行数学计算时非常有用。

1. 周期性：正弦和余弦函数都是周期函数，周期分别为2π。

也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π) = sin(x)和cos(x+2π) = cos(x)成立。

2. 奇偶性：正弦和余弦函数具有不同的奇偶性。

正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；而余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。

单位圆上三角函数值的计算

单位圆上三角函数值的计算三角函数是一门与数学有关的学科，也是数学中的一种重要思想工具。

在三角函数中，常常会涉及单位圆。

单位圆是一个半径为1的圆，其圆心位于坐标系原点处。

在单位圆上，我们可以用三角函数计算出各种角度的正弦、余弦、正切值等。

一、单位圆上的正弦和余弦我们先来看正弦和余弦。

在单位圆上，任意一点(x,y)都可以表示为(x,√(1-x²))或(√(1-y²),y)的形式。

因为单位圆的方程式为x²+y²=1，所以当我们知道了x或y的值，就能算出另外一个未知的值。

因为正弦和余弦都是关于y和x的函数，所以对于一个三角形ABC，如果我们知道了其内角B的度数，就可以根据三角函数计算出BC与AB的比值，也就是正弦值sin(B)和余弦值cos(B)。

在单位圆上，如果一个角的终边与x轴正方向之间的夹角为α，则该角的正弦函数值为sin(α)，其余弦函数值为cos(α)。

因为半径为1，所以在单位圆上，正弦和余弦的取值范围都是[-1,1]。

当角度为0度时，终边就在x轴上，此时的正弦函数值和余弦函数值都为1。

当角度为90度时，终边就在y轴上，此时的正弦函数值为1，余弦函数值为0。

类似地，当角度为180度时，终边就在-x轴上，此时的正弦函数值和余弦函数值都为-1；当角度为270度时，终边就在-y轴上，此时的正弦函数值为-1，余弦函数值为0。

二、单位圆上的正切值类似于正弦和余弦函数，正切函数也是与单位圆有关的。

在单位圆上，如果一个角的终边与x轴正方向之间的夹角为α，则该角的正切函数值为tan(α)。

因为正切值的定义是一个比值，所以正切值没有像正弦或者余弦那样有固定的取值范围。

不过，在单位圆的第一象限和第三象限，正切值是正数，而在第二象限和第四象限，正切值是负数。

举个例子，假设终边角度为45度，则终边上的点为(√2/2,√2/2)。

这个点与x轴正方向之间的夹角为45度，所以其正切值为tan(45)=1。

单位圆与正弦余弦线.PPT

在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心， y P 做一个半径为1的圆，叫做单位圆。
角α顶点在圆心O，始边与x轴的
正半轴重合，终边与单位圆交于点P。
α
O M 1x
过点P作x轴的垂线,垂足为M.
α的
y
终边 P
MO
y
y
M
x
O
x
M
O
x
α的 P
终边
P
α的终边
•.
•1
α的
y
终边α的
y
P
终边 P
A(1,0)
O M x MO
(Ⅰ)
(Ⅱ)
y
A(1,0) M
x
O
α的 P
终边
(Ⅲ)
A(1,0)
x
y
M A(1,0)
O
x
P
(Ⅳ)
α的终边
线段OM和MP的大小与P点的横坐标和纵坐标有什么关系？
线段OM和MP的大小与P点的横坐标和纵坐标的绝对值相等
能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P 的坐标完全一致呢?
•.
•2
y
α的终边 α的
y
P
终边P
A(1,0)
OM x
MO
y
A(1,0) M
A(1,0)
x
O
x
y
M A(1,0)
O
x
我们规定:
α的 P
终边
P
α的终边
当线段 MP与y轴同向时, MP的方向为正向, 有正值y ;
当线段 MP与y轴反向时, MP的方向为负向, 有负值y ;
P点的纵坐标 y 与角α的正弦值有什么关系？

数学三角函数公式

数学三角函数公式三角函数是数学中与角度和变化率有关的一类函数。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。

1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是三角函数中最为基础和重要的函数之一、在单位圆上，正弦函数指的是角度θ对应的点P在单位圆上的纵坐标。

用函数表示为：sin(θ) = y/r其中，θ是角度，y是P点的纵坐标，r是单位圆的半径。

2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数也是一种常见的三角函数，指的是角度θ对应的点P在单位圆上的横坐标。

用函数表示为：cos(θ) = x/r其中，θ是角度，x是P点的横坐标，r是单位圆的半径。

3. 正切函数（tangent function）：正切函数是指角度θ的正切值，即点P在单位圆上与x轴的夹角的正切值。

用函数表示为：tan(θ) = y/x其中，θ是角度，y是P点的纵坐标，x是P点的横坐标。

4. 余切函数（cotangent function）：余切函数是指角度θ的余切值，即正切值的倒数。

用函数表示为：cot(θ) = 1/tan(θ) = x/y其中，θ是角度，y是P点的纵坐标，x是P点的横坐标。

5. 正割函数（secant function）：正割函数的值是指角度θ的余弦值的倒数，用函数表示为：sec(θ) = 1/cos(θ) = r/x其中，θ是角度，x是P点的横坐标，r是单位圆的半径。

6. 余割函数（cosecant function）：余割函数的值是指角度θ的正弦值的倒数，用函数表示为：csc(θ) = 1/sin(θ) = r/y其中，θ是角度，y是P点的纵坐标，r是单位圆的半径。

除了上述基础的三角函数，还可以通过组合和变换得到其他形式的三角函数公式。

7.二倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)8.半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/2)cos(θ/2) = ±√((1 + cos(θ))/2)9.和差公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)10.和差化积公式：sin(A + B) = 2sin((A + B)/2)cos((A - B)/2)sin(A - B) = 2sin((A - B)/2)cos((A + B)/2)cos(A + B) = 2cos((A + B)/2)cos((A - B)/2)cos(A - B) = 2sin((A + B)/2)sin((B - A)/2)除了基本的三角函数公式外，还有诸如诱导公式、欧拉公式等等特殊的三角函数公式，可以通过推导和变换来得到不同的表达式和性质。

7.2.2单位圆中的三角函数线课件

tan y AT
x
yT P
O MA x
正切线
问题2：若角α为第四象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 tan y 是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切x 值最合
适？
y
tan y AT
x
MA
O
x
P T
思考：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 tan y 是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最x 合适？
y
tan y AT T P
x
A
AMO
x
T
思考：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 tan y 是正数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合x 适？
tan y AT
x
y T
AM O Ax
P
T
思考：根据上述分析，你能描述正的长度，如果方向与轴方向
相同取正，反之取负。
y P(-2,3) N
A
B
Mo x
6. 从定义看出：角α 的三角函数是两个变量的比值。为了简单地计算其正余弦、正切我们可以使分母为1。
当r=1时，即p点到原点的距离为1。所有满足条件的点构成什么图形？
课前预习单位圆半径为1的圆
B(0,1) y
的交点为P（x，y），则 cos x，sin y都是正数，
你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？
| MP | y sin
y
P（x，y）
| OM | x cos
OM x
正弦线和余弦线问题2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点
为P（x，y），则 sin y ，cos x 都是负数，