第十章 足球队排名问题(I)_竞赛图法

1 1 0 0
0 1 1 0
s = As
(k )
(k −1)
=Ae
k
s ( 5 ) = ( 8 , 6 , 3, 5 ) T ,
LL
s ( 6 ) = ( 9 ,8,5,8 ) T
s ( 7 ) = (13,13,8,9 ) T , s ( 8 ) = ( 21,17 ,9,13 ) T
(3)
s ( 2 ) = ( 8 , 5 , 9 ,3, 4 , 3 ) T
T
5
4
= (15 ,10 ,16 , 7 ,12 ,9 ) ,
s
(4)
= ( 38 , 28 ,32 , 21, 25 ,16 )
T
λ = 2.232 , s = (0.238 ,0.164 ,0.231,0.113 ,0.150 ,0.104 ) T
10 足球队排名问题
给出我国12支球队在1988 12支球队在1988表10-1(P_182) 给出我国12支球队在1988-1989 10年全国足球甲级联赛中的成绩, 年全国足球甲级联赛中的成绩,要求 (1)设计一个依据这些成绩排出诸名次的算法, (1)设计一个依据这些成绩排出诸名次的算法,并给 设计一个依据这些成绩排出诸名次的算法 出用该算法排名次的结果 (2)把算法推广到任意个队的情况 (2)把算法推广到任意个队的情况 (3)讨论数据应具备什麽样的条件 讨论数据应具备什麽样的条件, (3)讨论数据应具备什麽样的条件,用你的方法才能 够排出诸队的名次
5 4
方法2：计算得分： 队胜 队胜4场 队各胜3场 方法 ：计算得分：1队胜 场，2, 3队各胜 场，4, 5 队各胜 队各胜2场 队胜1场 队各胜 场， 6队胜 场。 2, 3队， 4, 5队无法排名 队胜 队 队无法排名 3→2，4 →5 → ， 排名 132456 合理吗
循环比赛的结果——竞赛图 竞赛图 循环比赛的结果 每对顶点间都有边相连的有向图
k → ∞, s ( k ) → ?
双向连通竞赛图的名次排序
s = As
(k )
( k −1)
=Ae
k
• 对于 对于n(>3)个顶点的双向连通竞赛图，存在正整 个顶点的双向连通竞赛图， 个顶点的双向连通竞赛图 数r，使邻接矩阵 满足 r >0，A称素阵 ，使邻接矩阵A 满足A ， 称 • 素阵 的最大特征根为正单根λ， 素阵A的最大特征根为正单根 Ake lim T k = s k→ ∞ e 对应单位正特征向量s， 对应单位正特征向量 ，且 A e
1
1
1
1
2 4 3
(1)
2 4
(2)
2 3 4
(3)
2 3 4 3
(4)
竞赛图的 3种形式 种形式
• 具有唯一的完全路径，如(1)； 具有唯一的完全路径， ； • 双向连通图 双向连通图——任一对顶点存在两条有 任一对顶点存在两条有 向路径相互连通， 向路径相互连通，如(4)； ； • 其他，如(2)， (3) 。 其他， ， • 必存在完全路径； 必存在完全路径； • 若存在唯一的完全路径，则由它确定的顶 若存在唯一的完全路径， 点顺序与按得分排列的顺序一致， 点顺序与按得分排列的顺序一致，如(1) 。
(1 )
s = Ae = ( 2 , 2 ,1,1) ~ 1级得分向量 (2) (1 ) T s = As = (3, 2,1, 2) ~ 2级得分向量
s ( 3 ) = ( 3 ,3 , 2 ,3 ) T , s ( 4 ) = ( 5 ,5 ,3,3 ) T
0 0 A= 0 1
1 0 0 0
k → ∞, s (归一化后) → s
(k )
用s排名 排名
1
2 4
(4)
0 0 A= 0 3 1
1 0 0 0
Hale Waihona Puke 1 1 0 00 1 1 0
λ = 1.4,
s = (0.3230.280,0.167,0.230)T ,
排名为{1， ， ， 排名为 ，2，4，3}
{1, 2, 3, 4}?
6支球队比赛结果 支球队比赛结果
0 0 0 A= 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0
1 2
6
3
s (1 ) = ( 4 ,3,3, 2 , 2 ,1) T , s
1) 竞赛图法
完全图的定向图 G=(V,E) ---- 竞赛图 应用: 循环比赛的名次 • n支球队循环赛，每场比赛只计胜负，没有平局。 支球队循环赛， 支球队循环赛 每场比赛只计胜负，没有平局。 • 根据比赛结果排出各队名次
例 6支球队比赛结果 支球队比赛结果
1 2
6
3
方法1： 方法 ：顺箭头方向寻找通过 全部顶点的一条路径。 全部顶点的一条路径。 312456 146325 …… 无法排名
2 2
3个顶点 个顶点 的竞赛图 名次
1
1
(1)
3
1
(2)
3
{1，2，3} ， ，
1
{(1,2,3)}并列 并列
1 1
4个顶点 个顶点 的竞赛图 4 名次
2
(1)
2 3 4
(2)
2 3 4 3 4
(3)
2 3
(4)
{1, 2, 3, 4}
{2,(1,3,4)}
{(1,3,4), 2}
{(1,2),(3,4)} {1, 2, 3, 4}?
一个分解成三个双向连通子图的例子 1 2
4
3
5 8
7
6
足球队排名的竞赛图方法： 足球队排名的竞赛图方法：
(1) 根据建边情况建立矩阵 A = ( a i j )
a ii = 0 while i ≠ j , if with edge (Ti , T j ), let aij = 1, a ji = 0 if without edge (Ti , T j ), let aij , a ji none
(2) 计算得分向量 a i
ai(2) , 二级得分向量
ai
以 Ti 为尾的边的数目
ai(2) 被 Ti 打败的球队的得分之和
(3) 完善邻接矩阵 如果 Ti 与 T j 之间没有边连接, 比较 ai 与 a j 若 ai > a j , 建立边 ( T i , T j ) 若 ai < a j , 建立边 (T j , Ti ) 若 ai = a j , 比较 ai( 2) 与 a (2) j (4) 根据邻接矩阵得到竞赛图
竞赛图 的性质
双向连通竞赛图G=(V,E)的名次排序 的名次排序 双向连通竞赛图 邻接矩阵 得分向量
1 2 4
(4)
1, v i v j ∈ E a ij = 0, vi v j ∉ E T s = ( s1 , s2 ,L, sn )
T
T
3
s = Ae , e = (1,1, L ,1)
排名次序为{1， ， ， ， ， 排名次序为 ，3， 2，5，4，6}
一般竞赛图排名问题的算法：
当竞赛图既没有唯一完全路径， 当竞赛图既没有唯一完全路径，又不是双向连通 图时， 图时，通常可以 将它分解为若干个双向连通的子竞 赛图（ 赛图（只有一个顶点的 图可视为双向连通竞赛图的 特例）； 特例）； 每个双向连通子图内的名次按其极限得分向量排名； 每个双向连通子图内的名次按其极限得分向量排名； 双向连通子图间的名次则由连接它们的边的方向决定.