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2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2学案：第二章 2.2 2.2.1 综合法和分析法 Word版含答案

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2017-2018学年高中数学选修2-2教材用书：第二章推理与证明2.1.2 演绎推理含答案

2017-2018学年高中数学选修2-2教材用书：第二章推理与证明2.1.2 演绎推理含答案

2．1。

2 演绎推理演绎推理看下面两个问题：(1)一切奇数都不能被2整除，（22 017＋1)是奇数，所以(22 017＋1）不能被2整除；（2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面,如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．问题1：这两个问题中的第一句都说的什么？提示：都说的一般原理．问题2：第二句又都说的什么？提示：都说的特殊示例．问题3：第三句呢？提示：由一般原理对特殊示例做出判断．1．演绎推理的概念从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理．2．三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：（1）大前提—-已知的一般原理;(2)小前提——所研究的特殊情况;（3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．“三段论"可以表示为：大前提：M是P。

小前提：S是M。

结论：S是P。

演绎推理的三个特点(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中．(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．(3)演绎推理是由一般到特殊的推理．把演绎推理写成三段论的形式将下列演绎推理写成三段论的形式．(1）一切奇数都不能被2整除,75不能被2整除,所以75是奇数．（2）三角形的内角和为180°,Rt△ABC的内角和为180°。

(3）菱形对角线互相平分．（4)通项公式为a n＝3n＋2（n≥2）的数列｛a n}为等差数列．(1）一切奇数都不能被2整除．（大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)（2）三角形的内角和为180°。

（大前提)Rt△ABC是三角形．（小前提）Rt△ABC的内角和为180°。

（结论）(3）平行四边形对角线互相平分．（大前提）菱形是平行四边形．(小前提）菱形对角线互相平分．(结论)（4）数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n｝为等差数列．(大前提)通项公式a n＝3n＋2，n≥2时，a n－a n－1＝3n＋2－＝3（常数)．(小前提）通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列｛a n｝为等差数列．(结论）三段论的推理形式三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c”．其中,b⇒c为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提,提供了一个特殊情况;a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．把下列推断写成三段论的形式：（1)y＝sin x(x∈R)是周期函数．（2）若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若∠1和∠2是对顶角,则∠1和∠2相等．解：(1）三角函数是周期函数,大前提y＝sin x（x∈R)是三角函数，小前提y＝sin x(x∈R）是周期函数．结论（2)两个角是对顶角，则这两个角相等，大前提∠1和∠2是对顶角，小前提∠1和∠2相等．结论三段论在证明几何问题中的应用用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提．如右图，在锐角△ABC中，AD,BE是高，D，E为垂足，M 为AB的中点．求证：ME＝MD.∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形,……大前提在△ABD中，AD⊥CB,∠ADB＝90°，………………………………小前提∴△ABD为直角三角形．………………………………………………结论同理△ABE也为直角三角形．∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，………………大前提M是直角△ABD斜边AB上的中点,DM为中线，………………………………小前提∴DM＝1 2AB。

2017-2018学年高中数学选修2-2全册学案人教A版含解析238P

2017-2018学年高中数学选修2-2全册学案人教A版含解析238P

2017~2018学人教A版高中数学选修2-2全册导学案汇编目录第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义第一章导数及其应用1.2导数的计算1第一章导数及其应用1.2导数的计算2第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例第一章导数及其应用1.5定积分的概念第一章导数及其应用1.5.2汽车行驶的路程第二章推理与证明2.1.1合情推理第二章推理与证明2.1.2演绎推理第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法第二章推理与证明2.2.2反证法第二章推理与证明2.3数学归纳法第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念第一章导数及其应用1.6微积分基本定理第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用第三章数系的扩展与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念第三章数系的扩展与复数的引入3.1.2复数的几何意义第三章数系的扩展与复数的引入3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义第三章数系的扩展与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算1．1.1～1.1.2 变化率问题 导数的概念A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．问题1：若旅游者从点A 爬到点B ，且这段山路是平直的，自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？提示：自变量x 的改变量为Δx ＝x 2－x 1，函数值的改变量为Δy ＝y 2－y 1. 问题2：能否根据Δy 的大小判断山路的陡峭程度？ 提示：不能．问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 提示：对山坡AB 来说，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似地刻画．问题4：能用ΔyΔx刻画山路陡峭程度的原因是什么？提示：因ΔyΔx 表示A ，B 两点所在直线的斜率k ，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山路越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比ΔyΔx越大，山路越陡；反之，山路越缓．问题5：从A 到B 与从A 到C ，两者ΔyΔx 相同吗？提示：不相同．1．函数的平均变化率对于函数y ＝f (x )，给定自变量的两个值x 1和x 2，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，我们把式子f x 2 －f x 1x 2－x 1称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1 的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．于是，平均变化率可表示为ΔyΔx.2．平均变化率的几何意义设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f x 2 －f x 1 x 2－x 1＝f x 1＋Δx －f x 1 Δx为割线AB 的斜率，如右图所示．对Δx ，Δy 的理解(1)Δx ，Δy 是一个整体符号，而不是Δ与x ，y 相乘．(2)x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正、可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负，也可为零.一质点的运动方程为s ＝8－3t 2，其中s 表示位移，t 表示时间． 问题1：试求质点在这段时间内的平均速度． 提示：Δs Δt ＝8－3 1＋Δt 2－8＋3³12Δt＝－6－3Δt .问题2：当Δt 趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？ 提示：当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于－6.这时的平均速度即为t ＝1时的瞬时速度． 1．瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度：若物体运动的路程与时间的关系式是s ＝f (t )，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f t 0＋Δt －f t 0Δt趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t 0时刻的瞬时速度．2．导数的定义一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δx →0ΔyΔx＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx.导数概念的解读(1)导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与Δx 无关．(2)f ′(x 0)是一个常数，即当Δx →0时，存在一个常数与f x 0＋Δx －f x 0Δx无限接近．如果当Δx →0时，li m Δx →0 ΔyΔx不存在，则称函数f (x )在x ＝x 0处不可导．(1)已知函数( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．(1)选B Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. (2)自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f 2 －f 1 2－1＝2＋12－ 1＋1 1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f 5 －f 3 5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12＜1415，所以函数f (x )＝x ＋1x 在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．求函数平均变化率的步骤(1)求自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (3)求平均变化率Δy Δx ＝f x 2 －f x 1 x 2－x 1.分别计算下面三个图象表示的函数h (t )在区间上的平均变化率．解：对于图①，Δh ＝h (3)－h (0)＝10－0＝10， ∴Δh Δt ＝103－0＝103，即平均变化率为103.同理可以算得图②、图③中函数h (t )在区间上的平均变化率均为103.(1)设函数000x ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b(2)求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数． (1)选C f ′(x 0)＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0(a ＋b ²Δx )＝a . (2)由导数的定义知，函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝li m Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx，而f 1＋Δx －f 1 Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，又li m Δx →0 11＋Δx ＋1＝12，所以f ′(1)＝12.利用定义求导数的三步曲由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝li m Δx →0 ΔyΔx . 简认为：一差，二比，三趋近．求函数y ＝4x2 在x ＝2处的导数．解：∵Δy ＝4 Δx ＋2 2－422＝4Δx ＋22－1＝－ Δx 2＋4Δx Δx ＋2 2，∴Δy Δx ＝－Δx ＋4 Δx ＋22. ∴f ′(2)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝－li m Δx →0 Δx ＋4 Δx ＋2 2 ＝－1.若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3 t －3 ，0≤t ＜3，3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．(1)因为Δs ＝3³52＋2－(3³32＋2)＝48，Δt ＝2，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)因为Δs ＝29＋32－29－3³(1－3)2＝3(Δt )2－12Δt ，所以Δs Δt ＝3 Δt 2－12ΔtΔt＝3Δt －12，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为s ′(1)＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝li m Δt →0 (3Δt －12)＝－12(m/s)．求瞬时速度的步骤(1)求位移增量，Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(2)求平均速度，v －＝ΔsΔt； (3)取极限，li m Δx →0 Δs Δt ＝li m Δt →0 s t 0＋Δt －s t 0Δt ； (4)若极限存在，则t 0时刻的瞬时速度为v ＝lim Δt →0ΔsΔt.一质点按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解：因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ²22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以ΔsΔt＝4a ＋a Δt ，故在t ＝2 s 时，瞬时速度为s ′(2)＝li m Δt →0 Δs Δt＝4a (m/s)． 由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.1.对导数的概念理解不透彻已知f (x )在x ＝x 0处的导数为4，则li m Δx →0 f x 0＋2Δx －f x 0Δx＝________.li m Δx →0f x 0＋2Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0＋2Δx －f x 0 2Δx ³2＝2li m Δx →0f x 0＋2Δx －f x 0 2Δx＝2f ′(x 0)＝2³4＝8. 81．本题分子中x 的增量是2Δx ，即(x 0＋2Δx )－x 0＝2Δx ，而分母为Δx ，两者不是等量的，如果忽视该点，则易得出结论为4的错误答案．2．在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致，常见的形式还有：li m Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝－li m Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝－f ′(x 0)．已知f ′(1)＝－2，则li m Δx →0 f 1－2Δx －f 1Δx＝________.解析：li m Δx →0f 1－2Δx －f 1Δx＝(－2)³li m Δx →0f 1－2Δx －f 1－2Δx＝(－2)³(－2)＝4. 答案：41．如果函数y ＝ax ＋b 在区间上的平均变化率为3，则a 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．－2解析：选C 根据平均变化率的定义， 可知Δy Δx ＝ 2a ＋b － a ＋b 2－1＝a ＝3.2．若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则li m h →0 f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．以上答案都不对解析：选B 由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．3．已知函数y ＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于________．解析：Δy Δx ＝2 1＋Δx 2－1－1Δx ＝4＋2Δx .答案：4＋2Δx4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2(t ≥0)，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么该物体在3秒末的瞬时速度是________．解析：∵Δs Δt ＝s 3＋Δt －s 3 Δt ＝Δt ＋5，li m Δt →0 (Δt ＋5)＝5， ∴该物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒． 答案：5米/秒5．求y ＝x 2＋1x＋5在x ＝2处的导数．解：∵Δy ＝(2＋Δx )2＋12＋Δx ＋5－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＋5＝4Δx ＋(Δx )2－Δx 2 2＋Δx ，∴Δy Δx ＝4＋Δx －14＋2Δx， ∴f ′(2)＝li m Δx →0 Δy Δx＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋Δx －14＋2Δx ＝4＋0－14＋2³0＝154.一、选择题1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( ) A ．Δx ＜0 B ．Δx ＞0 C ．Δx ＝0 D ．Δx ≠0解析：选D 根据定义知Δx 可正、可负，但不能为0. 2．设f (x )＝1x，则f ′(a )等于( )A ．－1a B.2aC ．－1a2 D.1a2解析：选C ∵f a ＋Δx －f a Δx ＝1a ＋Δx －1aΔx＝－Δx a Δx a ＋Δx ＝－1a a ＋Δx，∴f ′(a )＝li m Δx →0－1a a ＋Δx ＝－1a2.3．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f x 0＋Δx －f x 0 Δx ＝ x 0＋Δx 2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f x 0 －f x 0－Δx Δx ＝x 20－ x 0－Δx 2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可正也可负，所以k 1与k 2的大小关系不确定．4．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( )A ．－3B ．3C ．6D ．－6解析：选D 当Δt 趋于0时，式子－3Δt －6趋于－6. 5．设函数在x ＝1处存在导数，则li m Δx →0 f 1＋Δx －f 13Δx等于( )A ．f ′(1) B．3f ′(1) C.13f ′(1) D．f ′(3) 解析：选C li m Δx →0f 1＋Δx －f 13Δx＝13li m Δx →0 f 1＋Δx －f 1 Δx ＝13f ′(1)． 二、填空题6．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h 内发现水位从102.7 m 上涨到105.1 m ，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.解析：水位涨幅的平均变化率为105.1－102.724＝0.1(m/h)．答案：0.17．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．解析：∵Δx ＝1,2＋Δx ＝3，∴Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝13－12＝－16， ∴k AB ＝Δy Δx ＝－16.答案：－168．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为28π3，则m 的值为________．解析：∵ΔV ＝4π3m 3－4π3³13＝4π3(m 3－1)，∴ΔV ΔR ＝4π3 m 3－1m －1＝28π3， 即m 2＋m ＋1＝7，解得m ＝2或m ＝－3(舍去)． 答案：2 三、解答题9．已知函数f (x )＝13－8x ＋2x 2，且f ′(x 0)＝4，求x 0的值． 解：∵f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx＝li m Δx →0 [13－8 x 0＋Δx ＋2 x 0＋Δx 2]－ 13－8x 0＋2x 2Δx ＝li m Δx →0 －8Δx ＋22x 0Δx ＋2 Δx 2Δx ＝li m Δx →0 (－8＋22x 0＋2Δx ) ＝－8＋22x 0， ∴－8＋22x 0＝4， ∴x 0＝3 2.10．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度．(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度． (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度． 解：(1)初速度v 0＝li m Δt →0s Δt －s 0Δt＝li m Δt →0 3Δt － Δt2Δt ＝li m Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)， 即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝li m Δt →0s 2＋Δt －s 2Δt＝li m Δt →0 3 2＋Δt － 2＋Δt 2－ 3³2－4Δt＝li mΔt→0－ Δt 2－ΔtΔt＝li mΔt→0(－Δt－1)＝－1(m/s)，即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．(3)v＝s 2 －s 02－0＝6－4－02＝1(m/s)，即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.1．1.3 导数的几何意义如下图，P n n n 00)，直线PT 为过点P 的切线．问题1：割线PP n 的斜率k n 是什么？提示：割线PP n 的斜率k n ＝Δy n Δx n ＝f x n －f x 0x n －x 0.问题2：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 与过点P 的切线PT 有什么关系？ 提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于过点P 的切线PT . 问题3：当P n 无限趋近于点P 时，k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ 提示：k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 问题4：如何求得过点P 的切线PT 的斜率？提示：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝f ′(x 0)．导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.导数与函数图象升降的关系若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数存在且f ′(x 0)＞0(即切线的斜率大于零)，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的图象是上升的；若f ′(x 0)＜0(即切线的斜率小于零)，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.对于函数f(x)＝－x2＋2. 问题1：如何求f′(x0)?提示：f′(x0)＝li mΔx→0－ x0＋Δx 2＋2－ －x20＋2Δx＝li mΔx→0(－2x0－Δx)＝－2x0.问题2：若x0是一变量x，f′(x)是常量吗？提示：f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，而是关于x的函数．导函数的定义对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0) 是一个确定的数．当x变化时，f′(x) 便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝li mΔx→0f x＋Δx －f xΔx.f′(x0)与f′(x)的异同(1)y＝－3x2＋2x－1；(2)y＝3x2＋a(a为常数)．(1)∵Δy＝－3(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－1－(－3x2＋2x－1)＝(2－6x)Δx－3(Δx)2，∴ΔyΔx＝2－6x Δx－3 Δx 2Δx＝2－6x－3Δx，∴y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 (2－6x －3Δx )＝2－6x . (2)∵Δy ＝3 x ＋Δx 2＋a －3x2－a＝－6x ²Δx －3 Δx2x 2 x ＋Δx 2，∴Δy Δx ＝－6x ²Δx －3 Δx 2x 2 x ＋Δx 2Δx ＝－6x －3Δx x 2 x ＋Δx 2， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 －6x －3Δx x 2 x ＋Δx 2＝－6x 3， 即y ′＝－6x3.求函数y ＝f (x )的导数的步骤(1)求Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )； (2)求Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x Δx ；(3)计算f ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx .利用导数的定义求函数f (x )＝x 3＋x －2的导数f ′(x )，并利用f ′(x )求f ′(－1)，f ′(1)．解：利用导数的定义， 得f ′(x )＝li m Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝li m Δx →0 x ＋Δx 3＋ x ＋Δx －2－ x 3＋x －2Δx ＝li m Δx →0＝3x 2＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋1，则f ′(－1)＝4，f ′(1)＝4.已知曲线y ＝3x 3及其上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3.(1)求点P 处切线的斜率； (2)写出点P 处的切线方程． (1)∵y ＝13x 3，∴y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 13 x ＋Δx 3－13x 3Δx ＝13li m Δx →0 3x 2Δx ＋3x Δx 2＋ Δx 3Δx ＝13li m Δx →0 ＝x 2，∴y ′|x ＝2＝22＝4， ∴点P 处切线的斜率为4.(2)由(1)知，点P 处切线斜率为4，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，∴在点P 处的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)； (2)写出切线方程，即y －f (x 0)＝f ′(x 0)²(x －x 0)．特别注意：若在点(x 0，y 0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y 轴，所以直接得切线方程为x ＝x 0.求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率． 解：因为y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝li m Δx →0－1x 2＋x ²Δx ＝－1x2，所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.若曲线y ＝x 2＋6P 的坐标及切线方程． 设切点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0 Δx＝li m Δx →0 x 0＋Δx 2＋6－ x 20＋6Δx ＝li m Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0， 所以2x 0²2＝－1，解得x 0＝－14，所以y 0＝x 20＋6＝9716，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，9716，切线方程为y －9716＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14，即8x ＋16y －95＝0.根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0；(5)由点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点P 处的切线平行于直线y ＝9x －1，则切线方程为( ) A ．y ＝9x B ．y ＝9x －26 C ．y ＝9x ＋26D ．y ＝9x ＋6或y ＝9x －26 解析：选DΔy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0 Δx＝ x 0＋Δx 3－3 x 0＋Δx 2＋1－x 30＋3x 20－1Δx＝(Δx )2＋3x 0Δx －3Δx ＋3x 20－6x 0. 所以f ′(x 0)＝li m Δx →0＝3x 20－6x 0， 于是3x 20－6x 0＝9，解得x 0＝3或x 0＝－1， 因此，点P 的坐标为(3,1)或(－1，－3)．又切线斜率为9，所以曲线在点P 处的切线方程为y ＝9(x －3)＋1或y ＝9(x ＋1)－3，即y ＝9x －26或y ＝9x ＋6.2.搞错导数的几何意义致误若函数y＝f(x)的导函数在区间上是增函数，则函数y＝f(x)在区间上的图象可能是下图中的( )由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线的斜率随x增大而变大，因此应选A.应会灵活运用导数的几何意义辨析曲线的凹凸性．A1．本题易搞错导数的几何意义，混淆导函数的单调性与函数图象的凹凸变化间的关系而误选B或D.2．导数的几何意义就是切线的斜率．借助图象，用斜率的正负及大小来说明曲线的变化情况既科学又直观，注意归纳总结．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如下图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )解析：选D 从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0，y 0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A 、B 、D 错误．2．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：选B 根据导数的几何意义，f (x )在x 0处的导数即f (x )在x 0处切线的斜率，故f ′(x 0)＝－12＜0.3．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由点M 在切线上得f (1)＝12³1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：34．曲线y ＝13x 3－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角为________． 解析：因为li m Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝li m Δx →0 13 x ＋Δx 3－2－13x 3＋2Δx ＝x 2，所以y ′＝x 2，y ′|x ＝－1＝1，因此倾斜角为45°. 答案：45°5．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝li m Δx →0 x ＋Δx 2＋4－ x 2＋4Δx ＝li m Δx →0 Δx 2＋2x ²Δx Δx ＝li m Δx →0 (Δx ＋2x ) ＝2x ，∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6， 即在点(－2,8)处的切线斜率为－4， 在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.一、选择题1．若函数f (x )＝－3x －1，则f ′(x )等于( ) A ．0 B ．－3x C ．3 D ．－3解析：选D 法一：f ′(x )＝li m Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝li m Δx →0 －3 x ＋Δx －1＋3x ＋1Δx＝li m Δx →0 (－3)＝－3. 法二：由导数的几何意义可知，f ′(x )为直线y ＝－3x －1的斜率，∴f ′(x )＝－3. 2．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴相交但不垂直解析：选B ∵f ′(x 0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率为0. 3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 解析：选D ∵k ＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ， ∴2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，从而y ＝14.4．已知曲线y ＝－12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52，则在点P 处的切线的倾斜角为( )A ．30° B．45° C ．135° D．165°解析：选C ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52在曲线y ＝f (x )＝－12x 2－2上，∴在点P 处的切线斜率为k＝f ′(1)＝－1，∴在点P 处的切线的倾斜角为135°.5．已知y ＝f (x )的图象如下图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B 由题图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )．二、填空题6．y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是________．解析：先求y ＝－1x的导数：Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x x ＋Δx ，Δy Δx ＝1x x ＋Δx ，lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 1x x ＋Δx ＝1x 2，即y ′＝1x 2，所以y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4.答案：y ＝4x －47．对于函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：因为f ′(x 0)＝li m Δx →0a x 0＋Δx ＋4－ax 0－4Δx＝a ，f ′(1)＝2，所以a ＝2.答案：28．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则点P 的坐标为________． 解析：设P 点坐标为(x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0 Δx＝li m Δx →02 Δx 2＋4x 0Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4. 又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P 点坐标为(3,30)． 答案：(3,30) 三、解答题9．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解：f ′(x )＝li m Δx →0 x ＋Δx 2－x2Δx ＝2x ， g ′(x )＝li m Δx →0 x ＋Δx 3－x 3Δx ＝3x 2. 因为f ′(x )＋2＝g ′(x )，所以2x ＋2＝3x 2， 解得x ＝1－73或x ＝1＋73.10．已知曲线y ＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，求切点P 的坐标和实数a 的值．解：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，切线斜率为k . 由y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 [2 x ＋Δx 2＋a ]－ 2x 2＋aΔx ＝lim Δx →0 (4x ＋2Δx )＝4x ， 得k ＝f ′(x 0)＝4x 0. 根据题意得4x 0＝8，x 0＝2. 分别代入y ＝2x 2＋a 和y ＝8x －15， 解得y 0＝1，a ＝－7，故所求切点P 的坐标为(2,1)，a ＝－7.第一课时 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝1x；(5)y ＝f (x )＝x .问题1：函数y ＝f (x )＝c 的导数是什么？ 提示：∵Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x Δx ＝c －cΔx ＝0，∴y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx＝0. 问题2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？提示：由导数的定义得(2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x .问题3：若(1)(2)中的函数表示路程关于时间的函数，则其导数的意义是什么？ 提示：y ′＝0说明某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态；y ′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．问题4：函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？ 提示：∵(2)(x )′＝1²x1－1，(3)(x 2)′＝2²x2－1，(5)(x )′＝(x 12)′＝12x 112－＝12x ，∴(x α)′＝αx α－1.基本初等函数的导数公式对公式(log a x )′＝1x ln a与(a x )′＝a xln a 的理解和记忆 (1)区分公式的结构特征，从纵的方面“(ln x )′与(log a x )′”和“(e x)′与(a x)′”的区分，又要从横的方面“(log a x )′与(a x)′”的区分找出差异，记忆公式．(2)对公式(log a x )′，用(ln x )′和复合函数求导法则证明来帮助记忆，即求证对数函数导数公式(log a x )′＝1xlog a e.证明如下： (log a x )′＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ln a ′＝1ln a ²1x ＝1x log ae.这样就能知道log a e 的来历，对于记忆和区分很有必要.已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？ 提示：f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.问题2：试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x的导数．提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x x ＋Δx， ∴Δy Δx ＝1－1x x ＋Δx， ∴Q ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x x ＋Δx ＝1－1x 2. 同理H ′(x )＝1＋1x2.问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的差．问题4：′＝f ′(x )g ′(x )对吗？提示：不对，因为f (x )g (x )＝1，′＝0，而f ′(x )g ′(x )＝1³⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x＝－1x2.导数运算法则1．′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′ x g x －f x g ′ x [g x ]2(g (x )≠0)．导数的运算法则的认识1．在两个函数积与商的导数运算中，不能认为′＝f ′(x )g ′(x )以及⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′ xg ′ x.2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．3．(1)′＝f 1′(x )＋f 2′(x )＋…＋f n ′(x )；(2)′＝cf ′(x )，也就是说，常数与函数的积的导数等于常数乘函数的导数．(1)y ＝10x；(2)y ＝lg x ；(3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1. (1)y ′＝(10x)′＝10xln 10； (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10； (3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2；(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x；(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .应用求导公式应注意的问题求函数的导数，一般不再用定义，而主要应用导数公式，这就要求必须熟记常见的求导公式，应用公式时一般遵循“先化简，再求导”的基本原则．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．求下列函数的导数：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ln 1e＝－1e x ＝－e －x；(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ln 110＝－ln 1010x＝－10－xln 10；(3)∵y ＝lg 5是常数函数， ∴y ′＝(lg 5)′＝0； (4)∵y ＝3lg 3x ＝lg x ， ∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10； (5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .(1)y ＝x 3²e x；(2)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x＋1e x －1.(1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x. (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′ ＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝ e x＋1 ′ e x－1 － e x＋1 e x－1 ′e －1 ＝e xe x－1 － e x＋1 e xe x －1 2＝－2e xe x －1 2.利用运算法则求导数的方法对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式．在不宜直接应用导数公式时，应先对函数进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．求下列函数的导数：(1)y ＝cos xx；(2)y ＝x sin x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(4)y ＝lg x －1x 2.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝ cos x ′²x －cos x ² x ′x 2＝－x ²sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx2. (2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x.(3)∵y ＝ 1＋x 21－x ＋ 1－x 21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4 1－x ′ 1－x ＝4 1－x .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2′＝1x ln 10＋2x3.(1)(．(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．(1)∵y′＝－5e x，∴所求曲线的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x2－10，所以3x20－10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限内，所以x0＝2.又点P在曲线C上，所以y0＝23－10³2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．答案：(1)5x＋y＋2＝0 (2)(2,1)导数几何意义的应用根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时，要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标．若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝________.解析：f′(x)＝－a sin x，g′(x)＝2x＋b，∵曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，∴f(0)＝a＝g(0)＝1，且f′(0)＝0＝g′(0)＝b，∴a＋b＝1.答案：11.切线方程的求法已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．由已知得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3－6＋3a＝3a－3，且f(1)＝1－3＋3a－3a＋3＝1.故所求切线方程为y －1＝(3a －3)(x －1)， 即3(a －1)x －y ＋4－3a ＝0.1．利用导数研究切线问题是一个很重要的知识点，它突出表现了导数几何意义的价值，也是高考的常考内容．利用导数求解切线方程常常要先求出原函数的导函数，再利用导数的几何意义求出切点或斜率，最后借助直线方程的点斜式写出所求的切线方程．2．本题比较简单，属于“已知切点求切线方程”问题，只要求出导数，再利用点斜式方程求解即可．另外，高考对切线的考查还有以下几种方式．：已知斜率，求切线方程．此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程．例：求与直线x ＋4y ＋1＝0垂直的曲线f (x )＝2x 2－1的切线方程． 解：因为所求切线与直线x ＋4y ＋1＝0垂直，所以所求切线的斜率k ＝4. 设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝4x 0＝4，即x 0＝1， 所以切点坐标为(1,1)，故所求切线方程为y －1＝4(x －1)， 即4x －y －3＝0.：已知过曲线上一点，求切线方程．过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程．例：求过曲线f (x )＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程． 解：设切点坐标为(x 0，y 0) 因为f ′(x )＝3x 2－2，所以f ′(x 0)＝3x 20－2，且y 0＝f (x 0)＝x 30－2x 0， 所以切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)， 即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)． 因为切线过点(1，－1)，故－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)²(1－x 0)， 即2x 30－3x 20＋1＝0， 解得x 0＝1或x 0＝－12，故所求切线方程为x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0. ：已知过曲线外一点，求切线方程．这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切线方程．例：已知函数f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，求切线方程． 解：由题意知点A (0,16)不在曲线f (x )＝x 3－3x 上，设切点坐标为M (x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20－3，故切线方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)． 又因为点A (0,16)在切线上，所以16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)， 化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2， 即切点为M (－2，－2)， 故切线方程为9x －y ＋16＝0.1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B (cos x )′＝－sin x ，所以①错误； sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0，所以②错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－ x 2′x 4＝－2x x 4＝－2x －3，所以③错误； ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－ x 12′x ＝12x 12－x ＝12x 32－＝12x x，所以④正确． 2．函数y ＝sin x ²cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ²sin x D ．y ′＝cos x ²sin x解析：选B y ′＝(sin x ²cos x )′＝cos x ²cos x ＋sin x ²(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 3．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.解析：f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∴f ′(x )＝8x ＋4a ， ∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1. 答案：14．(全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．求下列函数的导数：(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(2)y ＝1＋cos xx2； (3)y ＝(4x －x )(e x＋1)．解：(1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x，∴y ′＝3x 2－2x3.(2)y ′＝ 1＋cos x ′²x 2－ 1＋cos x x 2′x4＝－x sin x －2cos x －2x3. (3)法一：∵y ＝(4x －x )(e x ＋1)＝4x e x ＋4x －x e x－x ， ∴y ′＝(4x e x ＋4x －x e x－x )′ ＝(4x )′e x ＋4x (e x )′＋(4x)′－－x ′ ＝e x 4x ln 4＋4x e x ＋4x ln 4－e x －x e x－1 ＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4xln 4－1.法二：y ′＝(4x －x )′(e x ＋1)＋(4x －x )(e x＋1)′ ＝(4x ln 4－1)(e x ＋1)＋(4x －x )e x＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4xln 4－1.一、选择题1．函数y ＝x 3cos x 的导数是( ) A ．y ′＝3x 2cos x ＋x 3sin xB ．y ′＝3x 2cos x －x 3sin x C ．y ′＝3x 2cos x D ．y ′＝－x 3sin x解析：选 B y ′＝(x 3cos x )′＝(x 3)′cos x ＋x 3(cos x )′＝3x 2cos x ＋x 3(－sin x )＝3x 2cos x －x 3sin x ，故选B.2．对任意的x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数解析式为( ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 3＋1 D ．f (x )＝x 4－1解析：选B 由f ′(x )＝4x 3知，f (x )中含有x 4项，然后将x ＝1代入选项中验证可得． 3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ，所以根据导数的几何意义可知x 2－3x ＝12，解得x ＝3(x ＝－2不合题意，舍去)．4．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12C ．－22 D.22解析：选B y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin xsin x ＋cos x 2＝11＋sin 2x ，把x ＝π4代入，得导数值为12，即为所求切线的斜率．5．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．－2解析：选A 设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝3x 0＋1，且y 0＝ax 30＋3，所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导，得y ′＝3ax 2，则3ax 20＝3，ax 20＝1…②，由①②可得x 0＝1，所以a ＝1.二、填空题6．(天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ²1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：37．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4³22＋22 ，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝ 2－1，∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 答案：18．若曲线f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝1x＋a ，∵曲线f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴1x ＋a ＝2有解，即1x＝2－a 有解．又∵x >0，∴2－a >0，∴a <2. 答案：(－∞，2) 三、解答题9．求下列函数的导数： (1)y ＝3x 2＋x sin x ； (2)y ＝(x 2＋3)(e x＋ln x )； (3)y ＝x ln x1＋x. 解：(1)y ′＝(3x 2)′＋(x sin x )′ ＝6x ＋sin x ＋x (sin x )′ ＝6x ＋sin x ＋x cos x .(2)y ′＝(x 2＋3)′(e x ＋ln x )＋(x 2＋3)(e x＋ln x )′＝2x (e x ＋ln x )＋(x 2＋3)⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1x＝e x (x 2＋2x ＋3)＋2x ln x ＋x ＋3x. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ln x 1＋x ′＝ x ln x ′ 1＋x －x ln x 1＋x ′ 1＋x 2＝ln x ＋1＋x1＋x2.10．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b .又因为f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b .又因为f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32，则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52. 又因为f ′(1)＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.第二课时 复合函数求导及应用已知y ＝(3x ＋2)2，y ＝sin ⎝ ⎭⎪⎫2x ＋6.问题1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数．问题2：试说明y ＝(3x ＋2)2是如何复合的． 提示：令u ＝g (x )＝3x ＋2，y ＝f (u )＝u 2， 则y ＝f (u )＝f (g (x ))＝(3x ＋2)2.问题3：试求y ＝(3x ＋2)2，f (u )＝u 2，g (x )＝3x ＋2的导数． 提示：y ′＝(9x 2＋12x ＋4)′＝18x ＋12，f ′(u )＝2u ，g ′(x )＝3. 问题4：观察问题3中的导数有何关系． 提示：y ′＝′＝f ′(u )²g ′(x )．1．复合函数的概念对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．2．复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′²u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．对复合函数概念的理解(1)在复合函数中，内层函数的值域必须是外层函数定义域的子集．(2)对于复合函数，中间变量应该选择基本初等函数．判断一个函数是基本初等函数的标准是：运用求导公式可直接求导．(1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝esin x；(3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．(1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u 12)′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 12－²(－4x )＝12(1－2x 2) 12－ (－4x )＝－2x 1－2x2. (2)设y ＝e u，u ＝sin x ， 则y x ′＝y u ′²u x ′＝e u²cos x ＝e sin xcos x .(3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′²u x ′＝cos u ²2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )u ′(2x ＋1)x ′＝10u ln 2＝10 2x ＋1 ln 2.复合函数的求导步骤求下列函数的导数： (1)y ＝(2x －1)4； (2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)令u ＝2x －1，则y ＝u 4，∴y ′x ＝y ′u ²u ′x ＝4u 3²(2x －1)′＝4u 3²2 ＝8(2x －1)3.(2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u，∴y ′x ＝y ′u ²u ′x ＝10u²ln 10²(2x ＋3)′ ＝2ln 10²102x ＋3.(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ²cos 2x。

2018版数学人教A版选修2-2学案：第二章 推理与证明 2-

2018版数学人教A版选修2-2学案：第二章 推理与证明 2-

2.1.2演绎推理学习目标 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．知识点一演绎推理的含义思考分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．答案问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．梳理知识点二三段论思考所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案分为三段．大前提：所有的金属都能导电．小前提：铜是金属．结论：铜能导电．梳理类型一演绎推理与三段论例1(1)“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是()A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形答案 B(2)将下列演绎推理写成三段论的形式．①平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；②等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；③通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．解①平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论②等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提∠A＝∠B. 结论③在数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，大前提当通项公式为a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．结论反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练1(1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________．(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为大前提：________________________________________________________________________.小前提：________________________________________________________________________.结论：________________________________________________________________________. 答案(1)②(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线类型二三段论的应用命题角度1用三段论证明几何问题例2如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．证明因为同位角相等，两直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE. 结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF. 结论反思与感悟(1)用“三段论”证明命题的格式(2)用“三段论”证明命题的步骤①理清证明命题的一般思路；②找出每一个结论得出的原因；③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．跟踪训练2已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.证明 因为三角形的中位线平行于底边， 大前提 点E 、F 分别是AB 、AD 的中点， 小前提 所以EF ∥BD .结论 若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行， 大前提 EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD ， 小前提 所以EF ∥平面BCD .结论命题角度2 用三段论证明代数问题例3 设函数f (x )＝e xx 2＋ax ＋a ，其中a 为实数，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解 若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R ，大前提 因为f (x )的定义域为R ， 小前提 所以x 2＋ax ＋a ≠0恒成立．结论所以Δ＝a 2－4a <0， 所以0<a <4.即当0<a <4时，f (x )的定义域为R . 引申探究若例3的条件不变，求f (x )的单调递增区间． 解 ∵f ′(x )＝x (x ＋a －2)e x(x 2＋ax ＋a )2，由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2－a . ∵0<a <4，∴当0<a <2时，2－a >0. ∴在(－∞，0)和(2－a ，＋∞)上，f ′(x )>0. ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a ，＋∞)． 当a ＝2时，f ′(x )≥0恒成立， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当2<a <4时，2－a <0，∴在(－∞，2－a )和(0，＋∞)上，f ′(x )>0， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，2－a )，(0，＋∞)．综上所述，当0<a <2时，f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a ，＋∞)； 当a ＝2时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当2<a <4时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2－a )，(0，＋∞)．跟踪训练3 已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证明 方法一 (定义法)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝2xa ＋x 2－2x 2＋1－1xa －x 1－2x 1＋1＝2x a －1xa ＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝1xa (21x x a -－1)＋(x 1＋1)(x 2－2)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)＝1x a (21x x a-－1)＋3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1).因为x 2－x 1>0，且a >1，所以21x x a->1，而－1<x 1<x 2，所以x 1＋1>0，x 2＋1>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． 方法二 (导数法)f (x )＝a x ＋x ＋1－3x ＋1＝a x ＋1－3x ＋1.所以f ′(x )＝a x ln a ＋3(x ＋1)2.因为x >－1，所以(x ＋1)2>0，所以3(x ＋1)2>0.又因为a >1，所以ln a >0，a x >0， 所以a x ln a >0，所以f ′(x )>0.于是得，f (x )＝a x ＋x －2x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式答案 A解析 A 是演绎推理，B 、D 是归纳推理，C 是类比推理．2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又y ＝13log x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log x是增函数(结论)．”下列说法正确的是()13A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．大前提和小前提都错误导致结论错误答案 A解析y＝log a x是增函数错误．故大前提错误．3．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”，其中的“小前提”是()A．①B．②C．①②D．③答案 D4．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________；小前提：____________；结论：____________.答案二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线5．设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．证明因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，那么方程有两个相异实根．大前提方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m－1)2＋3>0，小前提所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．结论1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明．课时作业一、选择题1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论答案 C2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案 C解析由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误答案 C解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．4．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒小于0 B．恒大于0C．可能等于0 D．可正也可负答案 A解析不妨设x1－2<0，x2－2>0，则x1<2，x2>2，∴2<x2<4－x1，∴f(x2)<f(4－x1)，即－f(x2)>－f(4－x1)，从而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)，∴f(x1)＋f(x2)<0.5．下面几种推理中是演绎推理的是()A ．因为y ＝2x 是指数函数，所以函数y ＝2x 经过定点(0,1)B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积为πabD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中，球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2 答案 A6．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12答案 C解析 由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ， ∴－x 2＋x ＋a 2－a <1.即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立， 则Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0， ∴4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32.7．设?是R 的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a ?b ∈A ，则称A 对运算?封闭．则下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( ) A ．自然数集 B ．整数集 C ．有理数集 D ．无理数集 答案 C解析 A 错，因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错，因为整数集对除法不封闭；C 对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错，因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭． 二、填空题8．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是__________________． 答案 y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞) 解析 由大前提知log 2x －2≥0，解得x ≥4. 9．有一段演绎推理： 大前提：整数是自然数； 小前提：－3是整数；结论：－3是自然数．这个推理显然错误，则错误的原因是________错误．(填“大前提”“小前提”“结论”) 答案 大前提10．若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为∅，则实数a 的取值范围为__________． 答案 [0,2]解析 ∵不等式ax 2＋2ax ＋2<0无解， 则不等式ax 2＋2ax ＋2≥0的解集为R . ∴当a ＝0时，2≥0，显然成立，当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－8a ≤0，解得0<a ≤2. ∴a 的取值范围为[0,2]．11．若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2018)f (2017)＝________.答案 2018 解析 利用三段论．∵f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)， 大前提 令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2，小前提∴f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2018)f (2017)＝2，结论∴原式＝ 1 00922⋅⋅⋅+++2个＝2018.三、解答题12．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)一切奇数都不能被2整除，(22015＋1)是奇数，所以(22015＋1)不能被2整除； (2)三角函数都是周期函数，y ＝tan α是三角函数，因此y ＝tan α是周期函数； (3)因为△ABC 三边的长依次为3,4,5，所以△ABC 是直角三角形． 解 (1)一切奇数都不能被2整除， 大前提 22015＋1是奇数，小前提22015＋1不能被2整除． 结论 (2)三角函数都是周期函数， 大前提 y ＝tan α是三角函数， 小前提 y ＝tan α是周期函数．结论(3)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提 △ABC 三边的长依次为3,4,5，且32＋42＝52，小前提△ABC 是直角三角形． 结论四、探究与拓展13．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x nn )．若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________． 答案332解析 sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sinA ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332. 14.如图，A ，B ，C ，D 为空间四点，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝BC ＝ 2.等边三角形ADB 以AB 为轴旋转．(1)当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ；(2)当△ADB 转动时，是否总有AB ⊥CD ？证明你的结论． 解 (1)取AB 的中点E ，连接CE ，DE . 因为AC ＝BC ＝2，AB ＝2，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以CE ⊥AB . 因为△ADB 是等边三角形，所以DE ⊥AB . 又平面ADB ⊥平面ABC ， 且平面ADB ∩平面ABC ＝AB ， 所以DE ⊥平面ABC ，所以DE ⊥CE . 由已知得DE ＝32AB ＝3，CE ＝1. 所以在Rt △CDE 中，CD ＝DE 2＋CE 2＝2.(2)当△ADB 以AB 为轴转动时，总有AB ⊥CD . 证明如下：当D 在平面ABC 内时，因为BC ＝AC ，AD ＝BD ， 所以C ，D 都在AB 的垂直平分线上，所以AB⊥CD.当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE，AB⊥CE，又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.又CD⊂平面CDE，所以AB⊥CD.综上所述，当△ADB转动时，总有AB⊥CD.。

[实用参考]新课标人教A版高中数学选修2-2全套教案(82页)

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高中数学教案选修全套【选修2-2教案｜全套】目录目录 (I)第一章导数及其应用 (1)§1.1.1变化率问题 (1)导数与导函数的概念 (4)§1.1.2导数的概念 (6)§1.1.3导数的几何意义 (9)§1.2.1几个常用函数的导数 (13)§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (16)§1.2.2复合函数的求导法则 (19)§1.3.1函数的单调性与导数（2课时） (22)§1.3.2函数的极值与导数（2课时） (27)§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时） (31)§1.4生活中的优化问题举例（2课时） (34)§1.5.3定积分的概念 (38)第二章推理与证明 (42)合情推理 (42)类比推理 (44)演绎推理 (47)推理案例赏识 (49)直接证明--综合法与分析法 (51)间接证明--反证法 (53)数学归纳法 (56)第3章数系的扩充与复数的引入 (66)§3.1数系的扩充和复数的概念 (66)§3.1.1数系的扩充和复数的概念 (66)§3.1.2复数的几何意义 (69)§3.2复数代数形式的四则运算 (72)§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义 (72)§3.2.2复数代数形式的乘除运算 (76)第一章 导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。

2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2创新应用教学案

2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2创新应用教学案

1.导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．2．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)，明确“过点P (x 0，y 0)的曲线y ＝f (x )的切线方程”与“在点P (x 0，y 0)处的曲线y ＝f (x )的切线方程”的异同点．3．围绕着切点有三个等量关系：切点(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)，y 0＝f (x 0)，(x 0，y 0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．[典例1] 已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)法一：设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16.整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)， 则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1. 解得，x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 0＝±1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14. [对点训练]1．设函数f (x )＝4x 2－ln x ＋2，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． 解：f ′(x )＝8x －1x.所以在点(1，f (1))处切线的斜率k ＝f ′(1)＝7， 又f (1)＝4＋2＝6，所以切点的坐标为(1,6)．所以切线的方程为y －6＝7(x －1)，即7x －y －1＝0.借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x ，e x ，－x 3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f ′(x )的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．[典例2] 设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性． 解：(1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)． 此时f ′(x )＝2(x ＋1)2.可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0， 所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2.当a ≥0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ， 由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)， ①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a <－12时，Δ<0，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ③当－12<a <0时，Δ>0.设x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a ，由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a >0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，x ∈(x 1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减， 综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12<a <0时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，上单调递增．[典例3] 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．解：函数f (x )的导数f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．当a －1>1，即a >2时，函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1，a －1)上为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数．依题意当x ∈(1,4)时，f ′(x )<0， 当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )>0. 故4≤a －1≤6，即5≤a ≤7. 因此a 的取值范围是[5,7]． [对点训练]2．已知函数f (x )＝x e kx (k ≠0)，求f (x )的单调区间． 解：f ′(x )＝(1＋kx )e kx ，若k >0，则由f ′(x )>0得1＋kx >0，x >－1k ；由f ′(x )<0得x <－1k.∴k >0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－1k ，＋∞，递减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－1k . 若k <0，则由f ′(x )>0得1＋kx >0，x <－1k ；由f ′(x )<0得x >－1k .∴k <0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－1k ，递减区间为⎝⎛⎭⎫－1k ，＋∞. 3．若a ≥－1，求函数f (x )＝ax －(a ＋1)ln(x ＋1)的单调区间． 解：由已知得函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，且f ′(x )＝ax －1x ＋1(a ≥－1)， (1)当－1≤a ≤0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递减； (2)当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝1a .f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：从上表可知，当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，1a 时，f ′(x )<0，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，1a 上单调递减．当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增． 综上所述，当－1≤a ≤0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．当a >0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，1a 上单调递减，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增.1.极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另函数有极值未必有最值，反之亦然．2．判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则： (1)确定函数f (x )的定义域． (2)解方程f ′(x )＝0的根．(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号： 若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值． 若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值．即导数的零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意． 3．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f (x )在(a ，b )内的极值．(2)将(1)求得的极值与f (a )，f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．[典例4] 已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x ，且x ＝3是f (x )的极值点． (1)求实数a 的值；(2)求f (x )在x ∈[1,5]上的最小值和最大值． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3. f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0， ∴a ＝5.(2)f (x )＝x 3－5x 2＋3x .令f ′(x )＝3x 2－10x ＋3＝0，解得x ＝3或x ＝13(舍去)．当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：因此，当x ＝3时，f (x )在区间[1,5]上有最小值为f (3)＝－9； 当x ＝5时，f (x )在区间[1,5]上有最大值是f (5)＝15. [典例5] 已知函数f (x )＝x 2＋ax －ln x ，a ∈R .(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若函数f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围；(3)令g (x )＝f (x )－x 2，是否存在实数a ，当x ∈(0，e](e 是自然对数的底数)时，函数g (x )的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)当a ＝0时，曲线f (x )＝x 2－ln x ，所以f ′(x )＝2x －1x ⇒f ′(1)＝1，f (1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x－y ＝0.(2)因为函数在[1,2]上是减函数，所以f ′(x )＝2x ＋a －1x ＝2x 2＋ax －1x≤0在[1,2]上恒成立，令h (x )＝2x 2＋ax －1，有⎩⎪⎨⎪⎧h (1)≤0，h (2)≤0， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ≤－72，得a ≤－72. 即实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－72. (3)假设存在实数a ，使g (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3，g ′(x )＝a －1x ＝ax －1x .①当a ≤0时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，e]上单调递减，g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e (舍去)．②当1a ≥e 时，g ′(x )≤0在(0，e]上恒成立，所以g (x )在(0，e]上单调递减． g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)．③当0<1a <e 时，令g ′(x )<0⇒0<x <1a ，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上单调递增．所以g (x )min ＝g ⎝⎛⎫1a ＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件． 综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时，g (x )有最小值3. [对点训练]4．设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解：对f (x )求导得f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x ＝32，或x ＝12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax＋1≥0在R 上恒成立．因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，又由a >0，得0<a ≤1.即a 的取值范围为(0,1]．5．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2,1)内x ＝－1时取极小值，x ＝23时取极大值．(1)求曲线y ＝f (x )在x ＝－2处的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2,1]上的最大值与最小值． 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，又x ＝－1，x ＝23分别对应函数的极小值，极大值，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．即23a ＝－1＋23，－b 3＝(－1)×23. 于是a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x .x ＝－2时，f (－2)＝2，即切点为(－2,2)．又切线斜率为k ＝f ′(－2)＝－8， 所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.则f (x )在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－32.从近几年高考题看，利用导数证明不等式这一知识点常考到，一般出现在高考题解答题中．利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．其实质是这样的：要证不等式f (x )>g (x )，则构造函数φ(x )＝f (x )－g (x )，只需证φ(x )>0即可，由此转化成求φ(x )最小值问题，借助于导数解决．[典例6] 已知函数f (x )＝x 2e x －1－13x 3－x 2.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝23x 3－x 2，求证：对任意实数x ，都有f (x )≥g (x )．解：(1)f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)，由f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1. 当－2<x <0或x >1时，f ′(x )>0； 当x <－2或0<x <1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－2,0)和(1，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2)和(0,1)上是减函数．(2)证明：f (x )－g (x )＝x 2e x －1－x 3＝x 2(e x －1－x )．设h (x )＝e x －1－x ，h ′(x )＝e x －1－1， 由h ′(x )＝0得x ＝1，则当x <1时，h ′(x )<0，即函数h (x )在(－∞，1)上单调递减； 当x >1时，h ′(x )>0，即函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 因此，当x ＝1时，h (x )取最小值h (1)＝0.即对任意实数x 都有h (x )≥0，又x 2≥0，所以f (x )－g (x )≥0， 故对任意实数x ，恒有f (x )≥g (x )． [对点训练]6．证明不等式ln x >2(x －1)x ＋1，其中x >1.证明：设f (x )＝ln x －2(x －1)x ＋1(x >1)，则f ′(x )＝1x －4(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2.∵x >1，∴f ′(x )>0，即f (x )在(1，＋∞)内为单调递增函数． 又∵f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )>f (1)＝0， 即ln x －2(x －1)x ＋1>0，∴ln x >2(x －1)x ＋1.解决恒成立问题的方法：(1)若关于x 的不等式f (x )≤m 在区间D 上恒成立，则转化为f (x )max ≤m . (2)若关于x 的不等式f (x )≥m 在区间D 上恒成立，则转化为f (x )min ≥m . (3)导数是解决函数f (x )的最大值或最小值问题的有力工具． [典例7] 已知函数f (x )＝x ln x .(1)若函数g (x )＝f (x )＋ax 在区间[e 2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)由题意得g ′(x )＝f ′(x )＋a ＝ln x ＋a ＋1.∵函数g (x )在区间[e 2，＋∞)上为增函数， ∴当x ∈[e 2，＋∞)时，g ′(x )≥0，即ln x ＋a ＋1≥0在[e 2，＋∞)上恒成立． ∴a ≥－1－ln x .又当x ∈[e 2，＋∞)时，ln x ∈[2，＋∞)． ∴－1－ln x ∈(－∞，－3]，∴a ≥－3，即a 的取值范围为[－3，＋∞)． (2)由题知，2f (x )≥－x 2＋mx －3， 即mx ≤2x ·ln x ＋x 2＋3. 又x >0，∴m ≤2x ·ln x ＋x 2＋3x .令h (x )＝2x ·ln x ＋x 2＋3x，h ′(x )＝(2x ln x ＋x 2＋3)′·x －(2x ln x ＋x 2＋3)·x ′x 2＝(2ln x ＋2＋2x )x －(2x ln x ＋x 2＋3)x 2＝2x ＋x 2－3x 2，令h ′(x )＝0.解得x ＝1，或x ＝－3(舍)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，函数h (x )在(0,1)上单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增．∴h (x )min ＝h (1)＝4， 即m 的最大值为4. [对点训练]7．已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )有极值，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，当x ∈[－1,2]时，则f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围； (3)若f (x )在x ＝1处取得极值，求证：对[－1,2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤72.解：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b ，令f ′(x )＝0， 由Δ>0得1－12b >0，解得b <112.即b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，112. (2)∵f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0，∴3－1＋b ＝0，得b ＝－2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c ，f (1)＝－32＋c . 又f (－1)＝12＋c ，f (2)＝2＋c .∴f (x )max ＝f (2)＝2＋c ，由f (x )<c 2在x ∈[－1,2]上恒成立，得2＋c <c 2，即c 2－c －2>0.解得c >2或c <－1. 故所求c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． (3)证明：由(2)知f (x )max ＝2＋c ，f (x )min ＝－32＋c ，故对[－1,2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x )min －f (x )max |＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫－32＋c －(2＋c )＝72.讨论方程根的个数，研究函数图象与x 轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用．问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列出，然后再借助单调性和极(最)值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解．[典例8] 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求f (x )的极值点；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有3个不同实根，求实数a 的取值范围； (3)已知当x ∈(1，＋∞)时，f (x )≥k (x －1)恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3(x 2－2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝ 2.当x ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈()－2，2时，f ′(x )<0， 因此x 1＝－2，x 2＝2分别为f (x )的极大值点、极小值点．(2)由(1)的分析可知y ＝f (x )图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有3个不同交点需5－42＝f (2)<a <f (－2)＝5＋4 2.则方程f (x )＝a 有3个不同实根时，所求实数a 的取值范围为(5－42，5＋42)．(3)法一：f (x )≥k (x －1)，即(x －1)(x 2＋x －5)≥k (x －1)，因为x >1，所以k ≤x 2＋x －5在(1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x 2＋x －5，由二次函数的性质得g (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以g (x )>g (1)＝－3，所以所求k 的取值范围是为(－∞，－3]． 法二：直线y ＝k (x －1)过定点(1,0)且f (1)＝0， 曲线f (x )在点(1,0)处切线斜率f ′(1)＝－3，由(2)中草图知要使x ∈(1，＋∞)时，f (x )≥k (x －1)恒成立需k ≤－3.故实数k 的取值范围为(－∞，－3]．[对点训练]8．设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明若f (x )有零点，则f (x )在区间(1，e)上仅有一个零点． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.因为k >0，所以令f ′(x )＝0得x ＝k ，列表如下：减区间为当x ＝k 时，取得极小值f (k )＝k －k ln k2.(2)当k ≤1，即0<k ≤1时，f (x )在(1，e)上单调递增， f (1)＝12，f (e)＝e 2－k 2＝e －k 2>0，所以f (x )在区间(1，e)上没有零点．当1<k <e ，即1<k <e 时，f (x )在(1，k )上递减，在(k ，e)上递增，f (1)＝12>0，f ()e ＝e －k 2>0，f ()k ＝k －k ln k 2＝k (1－ln k )2>0，此时函数没有零点．当k ≥e ，即k ≥e 时，f (x )在()1，e 上单调递减，f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0，所以f (x )在区间(1，e)上仅有一个零点．综上，若f (x )有零点，则f (x )在区间(1，e)上仅有一个零点.解决优化问题的步骤：(1)首先要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．(2)其次要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．(3)最后验证数学问题的解是否满足实际意义．[典例9] 如图，四边形ABCD 是一块边长为4 km 的正方形地域，地域内有一条河流MD ，其经过的路线是以AB 中点M 为顶点且开口向右的抛物线的一部分(河流宽度忽略不计)．某公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN ，试求游乐园的最大面积．解：如图，以M 点为原点，AB 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则D (4,2)．设抛物线方程为y 2＝2px . ∵点D 在抛物线上， ∴22＝8p .解得p ＝12.∴曲线MD 的方程为y 2＝x (0≤x ≤4,0≤y ≤2)． 设P (y 2，y )(0≤y ≤2)是曲线MD 上任一点， 则|PQ |＝2＋y ，|PN |＝4－y 2. ∴矩形游乐园面积为S ＝|PQ |·|PN |＝(2＋y )(4－y 2)＝8－y 3－2y 2＋4y . 求导得，S ′＝－3y 2－4y ＋4，令S ′＝0， 得3y 2＋4y －4＝0，解得y ＝23或y ＝－2(舍)．当y ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，S ′>0，函数为增函数； 当y ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，S ′<0，函数为减函数． ∴当y ＝23时，S 有最大值．这时|PQ |＝2＋y ＝2＋23＝83，|PN |＝4－y 2＝4－⎝⎛⎭⎫232＝329.∴游乐园的最大面积为S max ＝83×329＝25627(km 2)．[对点训练]9．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两端桥墩相距m 米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？解：(1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256mx＋m x ＋2m －256(0<x ≤m )． (2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)． 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数； 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数． 所以f (x )在x ＝64处取得最小值， 此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小.由定积分求曲边梯形面积的方法步骤：(1)画出函数的图象，明确平面图形的形状． (2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标．(3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算．(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”求各部分的面积之和． [典例10] 求由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围图形的面积S .解：作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01x d x －⎠⎛01x 3d x ＝23x 32|10－14x 4|10＝512.[对点训练]10．试求由抛物线y ＝x 2＋1与直线y ＝－x ＋7以及x 轴、y 轴所围成图形的面积．解：画出图形(如图)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，y ＝－x ＋7得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即抛物线与直线相交于点(2,5)．于是所求面积为S ＝⎠⎛02(x 2＋1)d x ＋⎠⎛27(7－x)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |20＋⎝⎛⎭⎫7x －12x 2|72＝143＋252＝1036.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f(x)＝ln xx 2，则f ′(e )＝( )A .1e 3B .1e 2C ．－1e 2D ．－1e3解析：选D ∵f ′(x)＝x 2x －2x ln x x 4＝1－2ln xx 3， ∴f ′(e )＝1－2ln e e 3＝－1e3. 2．若函数f(x)＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．－1解析：选A ∵f(x)＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，∴f ′(x)＝x 2－2f ′(1)·x －1，∴f ′(1)＝1－2f ′(1)－1，∴f ′(1)＝0.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2 解析：选A ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 4．已知对任意实数x ，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．且x>0时，f ′(x)>0，g ′(x)>0，则x<0时( )A ．f ′(x)>0，g ′(x)>0B ．f ′(x)>0，g ′(x)<0C ．f ′(x)<0，g ′(x)>0D ．f ′(x)<0，g ′(x)<0解析：选B f(x)为奇函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递增，f ′(x)>0; g(x)为偶函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递减，g ′(x)<0.A .13B .23C .23 D ．－236．若f(x)＝－12x 2＋b ln (x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1) 解析：选C f ′(x)＝－x ＋b x ＋2. ∵f(x)在(－1，＋∞)上是减函数，∴f ′(x)＝－x ＋bx ＋2≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∴b ≤x(x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立． 又∵x(x ＋2)＝(x ＋1)2－1>－1，∴b ≤－1.7．已知函数f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B .⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0,1) D ．(0，＋∞)解析：选B 由题知，x>0，f ′(x)＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f(x)有两个极值点，则f ′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y ＝ln x ＋1与y ＝2ax 的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0.设函数y ＝ln x ＋1上任一点(x 0,1＋ln x 0)处的切线为l ，则k l ＝y ′|x ＝x 0＝1x 0，当l 过坐标原点时，1x 0＝1＋ln x 0x 0⇒x 0＝1，令2a ＝1⇒a ＝12，结合图象知0<a<12.8．方程2x 3－6x 2＋7＝0在(0,2)内根的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选B 设f(x)＝2x 3－6x 2＋7， 则f ′(x)＝6x 2－12x ＝6x(x －2)． ∵x ∈(0,2)，∴f ′(x)<0.∴f(x)在(0,2)上递减，又f(0)＝7，f(2)＝－1， ∴f(x)在(0,2)上有且只有一个零点，即方程2x 3－6x 2＋7＝0在(0,2)内只有一个根．9．曲线y ＝x 2－1与x 轴围成图形的面积等于( ) A .13 B .23 C ．1 D .43解析：选D 函数y ＝x 2－1与x 轴的交点为(－1,0)，(1,0)，且函数图象关于y 轴对称，故所求面积为S ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 3︱10＝2×23＝43. 10．若函数f(x)在R 上可导，且f (x )>f ′(x )，则当a >b 时，下列不等式成立的是( )A ．e a f (a )>e b f (b )B ．e b f (a )>e a f (b )C ．e b f (b )>e a f (a )D ．e a f (b )>e b f (a ) 解析：选D ∵⎝⎛⎭⎫f (x )e x ′＝e xf ′(x )－e xf (x )(e x )2＝e x [f ′(x )－f (x )](e x )2<0，∴y ＝f (x )e x 单调递减，又a >b ，∴f (a )e a <f (b )e b， ∴e a f (b )>e b f (a )．11．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选A 当x >0时，令F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，∴当x >0时，F (x )＝f (x )x为减函数． ∵f (x )为奇函数，且由f (－1)＝0，得f (1)＝0，故F (1)＝0. 在区间(0,1)上，F (x )>0；在(1，＋∞)上，F (x )<0. 即当0<x <1时，f (x )>0；当x >1时，f (x )<0.又f (x )为奇函数，∴当x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0； 当x ∈(－1,0)时，f (x )<0.综上可知，f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．12．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1k <1kB ．f ⎝⎛⎭⎫1k >1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1>k k －1， 解析：选C 构造函数F (x )＝f (x )－kx ， 则F ′(x )＝f ′(x )－k >0，∴函数F (x )在R 上为单调递增函数．∵1k －1>0，∴F ⎝⎛⎭⎫1k －1>F (0)． ∵F (0)＝f (0)＝－1，∴f ⎝⎛⎭⎫1k －1－kk －1>－1， 即f ⎝⎛⎭⎫1k －1>k k －1－1＝1k －1，∴f ⎝⎛⎭⎫1k －1>1k －1，故C 错误．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.解析：由曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴得切线的斜率为0，由y ′＝2ax －1x 及导数的几何意义得y ′|x ＝1＝2a －1＝0，解得a ＝12.答案：1214．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t (v 单位：m/s ，t 单位：s)，则列车刹车后至停车时的位移为________．解析：停车时v (t )＝0，则27－0.9t ＝0，∴t ＝30 s ，s ＝∫300v (t )d t ＝∫300(27－0.9t )d t＝(27t －0.45t 2)|300＝405(m)．答案：405 m15．已知a <0，函数f (x )＝ax 3＋12aln x ，且f ′(1)的最小值是－12，则实数a 的值为________．解析：f ′(x )＝3ax 2＋12ax ，则f ′(1)＝3a ＋12a .∵a <0，∴f ′(1)＝－⎣⎡⎦⎤(－3a )＋21－a≤－2(－3a )×12－a＝－12. 当且仅当－3a ＝12－a，即a ＝－2时，取“＝”．答案：－216．函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ＝________. 解析：∵y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，y ′＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，函数无极值，故a ＝4，b ＝－11. 答案：4三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax ＋b (a >0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解：(1)法一：由题设和均值不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax ＋b ≥2＋b ，当且仅当ax ＝1时等号成立， 即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .法二：f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x >1a 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增； 当0<x <1a 时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减． 所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(2)由题设知，f ′(x )＝a －1ax 2，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.18．(本小题12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x . (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，f ′(x )＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，注意到e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2. 所以，函数f (x )的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)．(2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立．又f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0，注意到e x >0，因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a ≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立．设y ＝x ＋1－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0，即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增，则y <1＋1－11＋1＝32，故a ≥32.即实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 19．(本小题12分)若函数f (x )＝ax 2＋2x －43ln x 在x ＝1处取得极值．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间及极值． 解：(1)f ′(x )＝2ax ＋2－43x ，由f ′(1)＝2a ＋23＝0，得a ＝－13.(2)f (x )＝－13x 2＋2x －43ln x (x >0)．f ′(x )＝－23x ＋2－43x ＝－2(x －1)(x －2)3x .由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝2.①当f ′(x )>0时，1<x <2；②当f ′(x )<0时，0<x <1或x >2.因此f (x )的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1)，(2，＋∞)． 函数的极小值为f (1)＝53，极大值为f (2)＝83－43ln 2.20．(本小题12分)已知函数f (x )＝ln xx .(1)判断函数f (x )的单调性；(2)若y ＝xf (x )＋1x 的图象总在直线y ＝a 的上方，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1－ln xx 2.当0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )为增函数； 当x >e 时，f ′(x )<0，f (x )为减函数．(2)依题意得，不等式a <ln x ＋1x 对于x >0恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x －1x 2＝1x ⎝⎛⎭⎫1－1x . 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝1x ⎝⎛⎭⎫1－1x >0，则g (x )是(1，＋∞)上的增函数； 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，则g (x )是(0,1)上的减函数．所以g (x )的最小值是g (1)＝1，从而a 的取值范围是(－∞，1)．21．(本小题12分)已知函数f (x )＝ln x －ax.(1)若f (x )存在最小值且最小值为2，求a 的值；(2)设g (x )＝ln x －a ，若g (x )<x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2(x >0)，当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )不存在最小值；当a <0时，由f ′(x )＝0得x ＝－a ， 且0<x <－a 时，f ′(x )<0，x >－a 时，f ′(x )>0.所以x ＝－a 时，f (x )取得最小值， f (－a )＝ln(－a )＋1＝2，解得a ＝－e. (2)g (x )<x 2即ln x －a <x 2，即a >ln x －x 2，故g (x )<x 2在(0，e]上恒成立，也就是a >ln x －x 2在(0，e]上恒成立． 设h (x )＝ln x －x 2，则h ′(x )＝1x －2x ＝1－2x 2x，由h ′(x )＝0及0<x ≤e 得x ＝22. 当0<x <22时，h ′(x )>0，当22<x ≤e 时，h ′(x )<0，即h (x )在⎝⎛⎭⎫0，22上为增函数，在⎝⎛⎦⎤22，e 上为减函数，所以当x ＝22时，h (x )取得最大值为h ⎝⎛⎭⎫22＝ln 22－12. 所以g (x )<x 2在(0，e]上恒成立时，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫ln22－12，＋∞.22．(本小题12分)已知函数f (x )＝ln 1＋x1－x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求证：当x ∈(0,1)时，f (x )＞2⎝⎛⎭⎫x ＋x 33；(3)设实数k 使得f (x )＞k ⎝⎛⎭⎫x ＋x33对x ∈(0,1)恒成立，求k 的最大值． 解：(1)因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )， 所以f ′(x )＝11＋x ＋11－x，f ′(0)＝2.又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x . (2)证明：令g (x )＝f (x )－2⎝⎛⎭⎫x ＋x33， 则g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x 41－x 2.因为g ′(x )>0(0<x <1)，所以g (x )在区间(0,1)上单调递增． 所以g (x )>g (0)＝0，x ∈(0,1)， 即当x ∈(0,1)时，f (x )>2⎝⎛⎭⎫x ＋x 33. (3)由(2)知，当k ≤2时，f (x )>k ⎝⎛⎭⎫x ＋x33对x ∈(0,1)恒成立． 当k >2时，令h (x )＝f (x )－k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33， 则h ′(x )＝f ′(x )－k (1＋x 2)＝kx 4－k ＋21－x 2.所以当0<x < 4k －2k 时，h ′(x )<0，因此h (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0， 4k －2k 上单调递减． 故当0<x < 4k －2k时，h (x )<h (0)＝0， 即f (x )<k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33.所以当k >2时，f (x )>k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33并非对x ∈(0,1)恒成立． 综上可知，k 的最大值为2.。

高中数学选修2-2教案(完整版)

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第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理§2.1.1 合情推理与演绎推理（一）【内容分析】：归纳是重要的推理方法，在掌握一定的数学基础知识（如数列、立体几何、空间向量等等）后，对数学问题的探究方法加以总结，上升为思想方法。

【教学目标】：1、知识与技能：（1）结合数学实例，了解归纳推理的含义（2）能利用归纳方法进行简单的推理，2、过程与方法：通过课例，加深对归纳这种思想方法的认识。

3、情感态度与价值观：体验并认识归纳推理在数学发现中的作用。

【教学重点】：（1）体会并实践归纳推理的探索过程（2）归纳推理的局限【教学难点】：引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论)，试归纳出→如何证明：将递推公式变时命题成立，再证由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗【练习与测试】： （基础题）1）数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．272）从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。

3)定义,,,A B B C C D D A ****的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A ）、（B ）所对应的运算结果可能是（ ）.（1） 4） （A A.,B D A D ** B.,B D A C ** C.,B C A D ** D.,C D A D ** 4)有10个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________．5)在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝， 第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形， 第三件首饰如图2， 第四件首饰如图3， 第五件首饰如图4， 以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六变形，依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝，第n 件首饰所用珠宝总数为_________________颗.6)已知n n a n na 11+=+（n=1.2. …）11=a 试归纳这个数列的通项公式答案：1）B 523,1156,20119,-=-=-=推出2012,32x x -==2）2*1...212...32(21),n n n n n n n N ++++-+++-=-∈ 注意左边共有21n -项 3）B4）（n-2）3605） 91,1+5+9+…4n+1=2n 2+3n+1 6） a 1=1,a 2=21 a 3=31… a n =n1（中等题）1）观察下列的图形中小正方形的个数，则第n 个图中有 个小正方形.2）-1 ．3 ．-7 ．15 ．( ) ，63 ， ， ， 括号中的数字应为（ ） A.33 B.-31 C.-27 D.-57 3)设平面内有n 条直线（n ≥ 3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示 n 条直线交点的个数，则 f （4 ）=( ) A.3 B.4 C.5 D.64)顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,的前4项,由此猜测123...)1()1(...321++++-++-++++=n n n a n 的结果. 答案：1）1+2+3+4+…+(n+1)=)2)(1(21++n n 2）B 正负相间，3＝1+2，7＝3+22，15＝7+23，15+24＝31，31+25＝63 3）C4）依次为，1，22，32，42，所以a n =n 2（难题）1)．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。

2017-2018学年高二数学人教A版选修2-2教师用书：第2章

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2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 综合法阅读教材P85的内容，完成下列问题．综合法是()A．执果索因的逆推证法B．由因导果的顺推证法C．因果分别互推的两头凑法D．原命题的证明方法【答案】 B教材整理2分析法阅读教材P 86～P 87“例2”以上的内容，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法．( ) (2)分析法就是从结论推向已知．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．( )【答案】 (1)× (2)× (3)√[小组合作型](1)在△ABC 的形状一定是__________．(2)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |＝__________.(3)下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )；②a (1－a )≤14；③b a ＋ab ≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有__________．【自主解答】 (1)∵cos A cos B >sin A sin B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0，即cos(π－C )>0，∴cos C <0，又0<C <π，∴π2<C <π，所以△ABC 是钝角三角形． (2)设方程的四个根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则由题意可知， x 1＝12，x 1x 4＝x 2x 3＝2，∴x 4＝4. 设公比为q ，则x 4＝x 1q 3，∴4＝12·q 3，∴q ＝2，∴x 2＝1，x 3＝2，由根与系数的关系可得，m ＝x 1＋x 4＝92，n ＝x 2＋x 3＝3，∴|m －n |＝32. (3)①a 2＋b 2＋3＝a 22＋32＋b 22＋32＋a 22＋b 22≥2a 22×b 22＋2a 22×32＋2b 22×32＝ab ＋3(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立)． ②a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14.③当a 与b 异号时，不成立．④∵a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立．【答案】 (1)钝角三角形(2)32 (3)①②④综合法处理问题的三个步骤分析条件选择方向→仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法↓转化条件组织过程→把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路↓适当调整回顾反思→解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取[再练一题]1．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.【证明】 ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.设a ，b 【精彩点拨】 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键． 【自主解答】 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )， 即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，不等式成立．1．当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．[再练一题]2．已知a>0，1b－1a>1，求证：1＋a>11－b.【证明】由已知1b－1a>1及a>0可知0<b<1，要证1＋a>11－b，只需证1＋a·1－b>1，只需证1＋a－b－ab>1，只需证a－b－ab>0，即a－b ab>1，即1b－1a>1，这是已知条件，所以原不等式得证．[探究共研型]探究1【提示】综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．探究2 综合法与分析法有什么区别？【提示】综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.【精彩点拨】先求出角B，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决．【自主解答】 法一：(分析法) 要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c ＝3， 化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1， 即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， 即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立． 法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°. 由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.1．综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．2．综合法与分析法的适用范围(1)综合法适用的范围①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．(2)分析法适用的范围分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题．[再练一题]3．设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy.【导学号：62952076】【证明】因为x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy，只需证明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而可得不等式x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy成立．1．下面叙述正确的是()A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法，分析法是间接证法C．综合法、分析法所用语气都是肯定的D．综合法、分析法所用语气都是假定的【解析】直接证明包括综合法和分析法．【答案】 A2．欲证不等式3－5＜6＜8成立，只需证()A．(3－5)2＜(6－8)2B．(3－6)2＜(5－8)2C．(3＋8)2＜(6＋5)2D．(3－5－6)2＜(－8)2【解析】要证3－5＜6－8成立，只需证3＋8＜6＋5成立，只需证(3＋8)2＜(6＋5)2成立．【答案】 C3．将下面用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤补充完整：要证a2＋b22≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证______，即证__________．由于__________显然成立，因此原不等式成立.【导学号：62952077】【解析】用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤为：要证a2＋b22≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．【答案】a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥04．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________．【解析】因为a＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，所以1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋cb＋bc＋ac＋ca≥3＋2ba·ab＋2cb·bc＋2ca·ac＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号成立．【答案】95．已知a＞0，b＞0，求证：ab＋ba≥a＋b.(要求用两种方法证明)【证明】法一：(综合法)因为a＞0，b＞0，所以ab＋ba－a－b＝⎝⎛⎭⎪⎫ab－b＋⎝⎛⎭⎪⎫ba－a＝a－bb＋b－aa ＝(a－b)⎝⎛⎭⎪⎫1b－1a＝(a－b)2(a＋b)ab≥0，所以ab＋ba≥a＋b.法二：(分析法)要证ab＋ba≥a＋b，只需证a a＋b b≥a b＋b a，即证(a－b)(a－b)≥0，因为a＞0，b＞0，所以a－b与a－b符号相同，不等式(a－b)(a－b)≥0成立，所以原不等式成立．。

2017-2018学年高二数学人教A版选修2-2教师用书：第2章

2017-2018学年高二数学人教A版选修2-2教师用书：第2章

2.2.2反证法1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理反证法阅读教材P89～P91的内容，完成下列问题．1．定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()【答案】(1)√(2)×(3)√2．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________．【解析】∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．【答案】b与c平行或相交[小组合作型]c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为()A．整数B．奇数或偶数C．自然数或负整数D．正整数或负整数(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．【自主解答】(1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A.【答案】 A(2)假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a＝c，从而a＝b＝c，所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故a，b，c不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．反证法证明问题的一般步骤[再练一题]1．设数列{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．求证：数列{S n}不是等比数列．【证明】假设数列{S n}是等比数列，则S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾．所以数列{S n}不是等比数列．14.【精彩点拨】“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．【自主解答】假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于1 4.∵a，b，c∈(0,1)，∴1－a>0,1－b>0,1－c>0.∴(1－a)＋b2≥(1－a)b>14＝12.同理(1－b)＋c2>12，(1－c)＋a2>12.三式相加得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32，即32>32，矛盾． 所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：[再练一题]2．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数.【导学号：62952081】【证明】 假设a ，b ，c ，d 都是非负数， 因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1. 又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ， 所以ac ＋bd ≤1， 这与已知ac ＋bd >1矛盾，所以a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．[探究共研型]探究1时，用什么方法证明较好？【提示】由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明比较简单．探究2证明“有且只有一个”的问题，需从哪几个方面证明？【提示】需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面．已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面．【精彩点拨】“有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑．【自主解答】因为a∥b，所以过a，b有一个平面α.又因为m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α，即过a，b，m有一个平面α，如图．假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾．因此，过a，b，m有且只有一个平面．用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．[再练一题]3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【证明】由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()【导学号：62952082】A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数，所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．【答案】 D2．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．【解析】“p且q”的否定形式为“﹁p或﹁q”．【答案】x≠0或y≠03．完成反证法证题的全过程．题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则________ 均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________________ ＝________________ ＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．【解析】由假设p为奇数可知a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾．【答案】a1－1，a2－2，…，a7－7(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋...＋a7)－(1＋2＋ (7)4．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【证明】假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c.这与a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．。

2018版数学人教A版选修2-2学案：第二章 推理与证明 章末复习课 含答案 精品

2018版数学人教A版选修2-2学案：第二章 推理与证明 章末复习课 含答案 精品

学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题．知识点一合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．知识点二演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．知识点三直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：①综合法是从已知条件推出结论的证明方法；②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．知识点四数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n ＝n 0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n ＝k 时结论成立，推得当n ＝k ＋1时结论也成立．类型一 合情推理的应用例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和f (n )(n ∈N *)与组的编号数n 的关系式为________． 答案 f (n )＝n 3解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n 组内各数之和f (n )与组的编号数n 的关系式为f (n )＝n 3.(2)在平面几何中，对于Rt △ABC ，AC ⊥BC ，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则 ①a 2＋b 2＝c 2； ②cos 2A ＋cos 2B ＝1；③Rt △ABC 的外接圆半径为r ＝a 2＋b 22.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明． 解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2.②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. ③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a ，b ，c ，则这个四面体的外接球的半径为R ＝a 2＋b 2＋c 22.下面对①的猜想进行证明．如图在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，面ABC ，面ABD ，面ACD 为三个两两垂直的侧面．设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝a 2＋b 2，S Rt △ABC ＝12ab .同理，CD ＝b 2＋c 2，S Rt △ACD ＝12bc .BD ＝a 2＋c 2，S Rt △ABD ＝12ac .∴S △BCD ＝14[BC 2·BD 2－14(BC 2＋BD 2－CD 2)2]. 经检验，S 2Rt △ABC ＋S 2Rt △ACD ＋S 2Rt △ABD ＝S 2△BCD .即所证猜想为真命题．反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． 跟踪训练1 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n 个图形中有________个小正方形．(2)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则有性质“若S m ＝S n (m ，n ∈N *且m ≠n )，则S m ＋n ＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n }为等比数列时，写出一个正确的性质：________________. 答案 (1)n 2＋3n ＋22(2)数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n (m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m ＋n ＝1 解析 (1)第1个图有3个正方形记作a 1， 第2个图有3＋3个正方形记作a 2， 第3个图有6＋4个正方形记作a 3， 第4个图有10＋5个正方形记作a 4， …，正方形的个数构成数列{a n }， 则a 2－a 1＝3， (1) a 3－a 2＝4, (2) a 4－a 3＝5, (3) ⋮⋮ a n －a n －1＝n ＋1，(n －1)(1)＋(2)＋…＋(n －1)，得a n －a 1＝3＋4＋5＋…＋(n ＋1)，a n ＝3＋(n －1)(4＋n )2＝n 2＋3n ＋22.类型二 综合法与分析法例2 设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1ab ≥8.试用综合法和分析法分别证明．证明 方法一 (综合法) 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，所以1ab ≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab≥4， 所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 (分析法)因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只需证(1a ＋1b )＋a ＋bab ≥8，只需证(1a ＋1b )＋(1b ＋1a )≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4.即证b a ＋ab≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋ab≥2恒成立，所以原不等式成立．反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．跟踪训练2 已知x >0，y >0，求证：1222()x y +>1333()x y +. 证明 要证明1222()x y +>1333()x y +， 只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2.只需证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6， 只需证3x 4y 2＋3x 2y 4>2x 3y 3. 又x >0，y >0，∴x 2y 2>0， ∴只需证3x 2＋3y 2>2xy .∵3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy ， ∴3x 2＋3y 2>2xy 成立， 故1222()x y +>1333()x y +.类型三 反证法例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋yx <2中至少有一个成立．证明 假设1＋x y <2和1＋yx <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋yx ≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2. 这与已知x ＋y >2矛盾．故1＋x y <2与1＋y x<2至少有一个成立．反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根． 证明 假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立． 类型四 数学归纳法 例4 观察下列四个等式： 第一个式子 1＝1 第二个式子2＋3＋4＝9 第三个式子3＋4＋5＋6＋7＝25 第四个式子4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 (1)按照此规律，写出第五个等式；(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明． 解 (1)第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81. (2)猜想第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.证明：①当n ＝1时，左边＝1， 右边＝(2－1)2＝1，所以等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立， 即有k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＝(2k －1)2. 那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝(2k －1)2＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝4k 2－4k ＋1＋8k ＝(2k ＋1)2 ＝[2(k ＋1)－1]2. 右边＝[2(k ＋1)－1]2，即当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据①②知，等式对任意n ∈N *都成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． 跟踪训练4 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1.(1)写出a 2，a 3，a 4； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，所以a 2＝12a 1＋1＝12＋1＝32.a 3＝12a 2＋1＝12·32＋1＝74.a 4＝12a 3＋1＝12·74＋1＝158.(2)方法一 猜想a n ＝2n －12n －1.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1＝21－121－1＝1，满足上式，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ＝2k －12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a k ＋1＝12·2k－12k －1＋1＝2k －12k ＋1＝2k －1＋2k 2k ＝2k ＋1－12k，满足上式，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立，由①②可知，对于n ∈N *，都有a n ＝2n －12n －1.方法二 因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12a n ＋1－2，即a n ＋1－2＝12(a n －2)．设b n ＝a n －2，则b n ＋1＝12b n ，即{b n }是以b 1＝－1为首项，12为公比的等比数列，所以b n ＝b 1·q n －1＝－12n －1，所以a n ＝b n ＋2＝2n －12n －1.1．观察按下列顺序排序的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N *)个等式应为( ) A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9 B ．9(n －1)＋n ＝10n －9 C ．9n ＋(n －1)＝10n －1 D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10 答案 B解析 由已知中的式子，我们观察后分析： 等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号， 等式右边是一个等差数列． 根据已知可以推断：第n (n ∈N *)个等式为9(n －1)＋n ＝10n －9. 故选B.2．在平面直角坐标系中，方程x a ＋yb ＝1表示x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，类比到空间直角坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( ) A.x a ＋y b ＋z c＝1 B.x ab ＋y bc ＋zca＝1C.xyab＋yzbc＋zxca＝1 D．ax＋by＋cz＝1答案 A解析∵在平面直角坐标系中，方程xa＋yb＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”．类比到空间坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为xa＋yb＋zc＝1.故选A.3．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案 A解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A. 4．如图，这是一个正六边形的序列：则第n个图形的边数为________．答案5n＋1解析图(1)共6条边，图(2)共11条边，图(3)共16条边，其边数构成以6为首项，5为公差的等差数列，则图(n)的边数为a n＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.5．用数学归纳法证明(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2n－1)(2n)2－2n(2n＋1)2]＝－n(n＋1)(4n＋3)．证明当n＝1时，左边＝－14，右边＝－1·2·7＝－14，等式成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)·(2k)2－2k(2k＋1)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)．那么当n＝k＋1时，(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)2]＋[(2k＋1)(2k＋2)2－(2k＋2)(2k＋3)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)[4k2＋12k＋9－4k2－6k－2]＝－(k＋1)[4k2＋3k＋2(6k＋7)]＝－(k＋1)[4k2＋15k＋14]＝－(k ＋1)(k ＋2)(4k ＋7)＝－(k ＋1)[(k ＋1)＋1][4(k ＋1)＋3]． 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．根据以上论证可知，等式对任何n ∈N *都成立．1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)当n ＝n 0时，结论成立．第二步(归纳递推)假设当n ＝k 时，结论成立，推得当n ＝k ＋1时，结论也成立．数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．课时作业一、选择题1．古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，因为这些数(除1外)对应的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第n 个三角形数为( )A ．n B.n (n ＋1)2C ．n 2－1 D.n (n －1)2答案 B解析 观察图形可知，这些三角形数的特点是第n 个三角形数是在前一个三角形数的基础上加上n ，于是第n 个三角形数为1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.2．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．非以上错误答案 C解析 演绎推理的一般模式是三段论，大前提是已知的一般性原理，小前提是研究的特殊情况，结论是得出的判断．本题中并非所有的有理数都是真分数，所以推理形式错误． 3．用反证法证明命题：“a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”时的假设为( ) A ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数 B ．a ，b ，c ，d 全为正数 C ．a ，b ，c ，d 全部大于等于0 D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数 答案 C解析 “a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的否定为“a ，b ，c ，d 全都大于等于0”． 4．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (c,0)，当AB →⊥FB →时，由b 2＝ac 得其离心率为5－12，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，在“黄金双曲线”x 2a 21－y 2b 21＝1中，由b 21＝a 1c 1(c 1为黄金双曲线的半焦距)可推出“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12 B.3＋12 C.5＋13D.7－12答案 A 解析 b 21＝a 1c 1，c 21－a 21＝b 21＝a 1c 1，∴c 21a 21－1＝c 1a 1，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝5＋12(∵e ＞1)．故选A.5．设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x ＜0)，则f (x )( ) A ．有最大值B ．有最小值C ．为增函数D ．为减函数答案 A解析 ∵x ＜0，∴－x ＞0，则(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≥2(－2x )⎝⎛⎭⎫－1x ＝22， ∴－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2 2. ∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x －1≤－22－1. 当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取最大值． 故选A.6．设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算?为：A i ?A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0,1,2,3，则满足关系式(x ?x )?A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 当x ＝A 0时，(x ?x )?A 2＝A 2≠A 0，当x ＝A 1时，(x ?x )?A 2＝A 2?A 2＝A 0，成立；当x ＝A 2时，(x ?x )?A 2＝A 0?A 2＝A 2≠A 0；当x ＝A 3时，(x ?x )?A 2＝A 2?A 2＝A 0，成立．故选B.7．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 B解析 如图，AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD 的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD 上移动，∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．二、填空题8．已知p ＝a ＋1a －2(a ＞2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a ＞2)，则p ，q 的大小关系为______． 答案 p ＞q解析 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＜2，∴q ＜22＝4≤p .9．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及平面β外两条不同的直线，给出下列四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个你认为正确的命题__________．答案 ②③④⇒①(或①③④⇒②)10．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析 方法一 (补集法)令⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0 即⎩⎪⎨⎪⎧ －2p 2＋p ＋1≤0，－2p 2－3p ＋9≤0即⎩⎨⎧ p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.∴p ≤－3或p ≥32，符合题意的解是－3＜p ＜32. 方法二 (直接法)依题意，有f (－1)＞0或f (1)＞0，即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0，∴－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，∴－3＜p ＜32. 三、解答题11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝2－S n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值并写出其通项公式；(2)用三段论证明数列{a n }是等比数列．(1)解 由a n ＝2－S n ，得a 1＝1；a 2＝12；a 3＝14； a 4＝18，猜想a n ＝(12)n －1(n ∈N *)． (2)证明 对于通项公式为a n 的数列{a n }，若a n ＋1a n＝p ，p 是非零常数，则{a n }是等比数列，大前提因为通项公式a n ＝(12)n －1，又a n ＋1a n ＝12，小前提 所以通项公式为a n ＝(12)n －1的数列{a n }是等比数列．结论 12．设a ，b ，c 为任意三角形三边长，I ＝a ＋b ＋c ，S ＝ab ＋bc ＋ca ，试证：3S ≤I 2<4S . 证明 I 2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca＝a 2＋b 2＋c 2＋2S .欲证3S ≤I 2<4S ，即证ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2<2ab ＋2bc ＋2ca .先证明ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2，只需证2a 2＋2b 2＋2c 2≥2ab ＋2bc ＋2ca ，即(a －b )2＋(a －c )2＋(b －c )2≥0，显然成立；再证明a 2＋b 2＋c 2<2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证a 2－ab －ac ＋b 2－ab －bc ＋c 2－bc －ca <0，即a (a －b －c )＋b (b －a －c )＋c (c －b －a )<0，只需证a <b ＋c ，且b <c ＋a ，且c <b ＋a ，由于a ，b ，c 为三角形的三边长，上述三式显然成立，故有3S ≤I 2<4S .13．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y总不成立． 证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y成立． 于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0.又⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≥0， 所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＞0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．四、探究与拓展14．设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K ，若函数f (x )＝ln x ＋1e x ，且恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最小值为______________． 答案 1e解析 由于f (x )＝ln x ＋1e x ，所以f ′(x )＝1x －ln x －1e x ，令g (x )＝1x －ln x －1，则g ′(x )＝－1x 2－1x＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故f (x )max ＝f (1)＝1e ，又函数f (x )＝ln x ＋1e x ，且恒有f K (x )＝f (x )，结合新定义可知，K 的最小值为1e. 15．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)求证1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. (1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，a 1＝2，b 1＝4.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2. ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立．(2)证明 当n ＝1时，1a 1＋b 1＝16＜512.n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .∴1a n ＋b n ＜12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512. 综上，对n ∈N *，1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512成立．。

2018版数学人教A版选修2-2学案：第二章 推理与证明 习

2018版数学人教A版选修2-2学案：第二章 推理与证明 习

学习目标 1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题的方法.2.掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．知识点一 归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明． 知识点二 数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n 有关的数学命题； (2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可； (3)注意点：在第二步归纳递推时，从n ＝k 到n ＝k ＋1必须用上归纳假设．类型一 求参数问题例1 是否存在常数a ，b ，c ，使等式1·(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝an 4＋bn 2＋c 对一切正整数n 成立？并证明你的结论． 解 分别将1,2,3代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，81a ＋9b ＋c ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－14，c ＝0.下面用数学归纳法证明：1·(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2) ＝14n 4－14n 2(n ∈N *)． (1)当n ＝1时，左边＝1·(12－12)＝0，右边＝14－14＋0＝0，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立，则当n ＝k ＋1时，左边＝1·[(k ＋1)2－12]＋2·[(k ＋1)2－22]＋…＋k ·[(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝1·(k 2－12)＋2·(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋1·(2k ＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k (2k ＋1) ＝14k 4－14k 2＋(2k ＋1)·k (k ＋1)2 ＝14(k ＋1)4－14(k ＋1)2. 由(1)(2)知，等式对一切正整数都成立．反思与感悟 这类猜测存在性问题的思路：若存在a ，b ，c 使等式成立，首先在n ＝1,2,3时，等式应成立，因此由n ＝1,2,3，先把a ，b ，c 求出，再代回等式，最后用数学归纳法证明存在常数a ，b ，c ，使等式成立．跟踪训练1 是否存在常数a ，b ，使得等式121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)·(2n ＋1)＝an 2＋n bn ＋2对一切正整数n 都成立？并证明你的结论. 解 令n ＝1，得3a －b ＝－1， 令n ＝2，得10a －3b ＝－2，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －b ＝－1，10a －3b ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.以下用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n 2＋n 4n ＋2(n ∈N *)． (1)当n ＝1时，易知结论成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，则 121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k 2＋k 4k ＋2. 则当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k 2＋k 4k ＋2＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k (k ＋1)(2k ＋3)＋2(k ＋1)22(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(2k 2＋3k ＋2k ＋2)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(2k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k 2＋3k ＋24k ＋6＝(k ＋1)2＋(k ＋1)4(k ＋1)＋2.故当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据(1)(2)知，对一切正整数n ，结论成立．类型二 整除问题例2 求证：当n ∈N *时，a n ＋1＋(a ＋1)2n－1能被a 2＋a ＋1整除．证明 (1)当n ＝1时，a 1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k－1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1 ＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1.由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除， 故当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)知，对任意n ∈N *，命题成立．反思与感悟 证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成当n ＝k 时的情形，再利用归纳假设使问题获证． 跟踪训练2 用数学归纳法证明(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除． 证明 (1)当n ＝1时，4×7－1＝27，能被9整除． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立， 即(3k ＋1)·7k －1能被9整除，则当n ＝k ＋1时，(3k ＋4)·7k ＋1－1＝7·(3k ＋1)·7k ＋21·7k －1＝[(3k ＋1)·7k －1]＋18k ·7k ＋6·7k＋21·7k＝[(3k ＋1)·7k －1]＋18k ·7k ＋27·7k ，由假设知，(3k ＋1)·7k －1能被9整除，又因为18k ·7k ＋27·7k 能被9整除，所以当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)知，对一切n ∈N *，(3n ＋1)·7n －1都能被9整除．类型三 有关几何问题例3 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数为f (n )＝n (n －1)2.证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个， 又f (2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设n ＝k (k >2，k ∈N *)时，命题成立， 即平面内满足题设的任何k 条直线交点个数为 f (k )＝12k (k －1)，那么当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线交点个数为f (k )＝12k (k －1)，l 与其他k 条直线交点个数为k ， 从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点， 即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k＝12k (k －1＋2) ＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *，n ≥2，命题都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．跟踪训练3 平面内有n (n ∈N *)个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成f (n )＝n 2－n ＋2部分． 证明 (1)当n ＝1时，分为2块，f (1)＝2，命题成立； (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时， 被分成f (k )＝k 2－k ＋2部分， 那么当n ＝k ＋1时，依题意，第k ＋1个圆与前k 个圆产生2k 个交点，第k ＋1个圆被截为2k 段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k 个区域． 所以f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2， 即当n ＝k ＋1时，命题成立． 由(1)(2)知命题成立．1．用数学归纳法证明n 边形的内角和为(n －2)·180°时，其初始值n 0为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C2．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( ) A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．a ，b ，c 不存在 答案 A解析 令n 等于1,2,3，得 ⎩⎪⎨⎪⎧1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝9(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝27(3a －b )＋c ，解得a ＝12，b ＝c ＝14.3．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *且n >1)时，假设当n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________________________． 答案 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1<k ＋14．用数学归纳法证明“n 3＋5n 能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为________________________． 答案 (k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6解析 采取配凑法，凑出归纳假设k 3＋5k 来，(k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋3k 2＋3k ＋1＋5k ＋5＝(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.5．用数学归纳法证明：当n 是非负整数时，34n ＋2＋52n＋1能被14整除．证明 (1)当n ＝0时，34n ＋2＋52n ＋1＝14，能被14整除． (2)假设当n ＝k (k ≥0，k ∈N )时，34k ＋2＋52k＋1能被14整除，则当n ＝k ＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝34k ＋6＋52k ＋3＝81×34k ＋2＋25×52k ＋1＝25×(34k ＋2＋52k ＋1)＋56×34k ＋2.显然25×(34k ＋2＋52k ＋1)是14的倍数，56×34k＋2也是14的倍数，故34k ＋6＋52k＋3是14的倍数，即当n ＝k ＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1能被14整除．综合(1)(2)知，当n 是非负整数时，34n ＋2＋52n＋1能被14整除．1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．2．证明问题的初始值n 0不一定为1，可根据题目要求和问题实际确定n 0.3．从n ＝k 到n ＝k ＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设．课时作业一、选择题1．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．6答案 C解析 当n 取1、2、3、4时，2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5，故选C.2．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<3答案 B解析 ∵n >1且n ∈N *，∴n 取的第一个值为n 0＝2. ∴第一步应验证1＋12＋13<2，故选B.3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 凸n 边形边数最小时是三角形， 故第一步检验n ＝3.4．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72.观察上述结果，可推测出一般结论( ) A ．f (2n )>2n ＋12B ．f (n 2)>n ＋22C ．f (2n )≥n ＋22D ．以上都不正确答案 C解析 由f (2)＝32，f (22)＝42，f (23)＝52，f (24)＝62，f (25)＝72，可推测出f (2n )≥n ＋22.5．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( ) A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n －1D.22n －1 答案 B解析 a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，猜想a n ＝2n (n ＋1).二、填空题7．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，在第二步证明从n ＝k 到n ＝k ＋1不等式成立时，左边增加的项数为________． 答案 2k解析 项数为2k ＋1－2k ＝2k .8．用数学归纳法证明x n －y n 能被x ＋y 整除(n 为正奇数)时，假设n ＝k (k 为正奇数)时，命题成立，再证n ＝______时，命题也成立． 答案 k ＋29．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )＝______________.答案13n ＋13n ＋1＋13n ＋210．用数学归纳法证明“凸n (n ≥3，n ∈N )边形的内角和公式”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加了________． 答案 180°解析 凸n 边形内角和为180°×(n －2)，则180°×(k ＋1－2)－180°×(k －2)＝180°. 三、解答题11．已知f (n )＝(2n ＋7)×3n ＋9(n ∈N *)，用数学归纳法证明f (n )能被36整除． 证明 (1)当n ＝1时，f (1)＝(2＋7)×3＋9＝36，能被36整除． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，f (k )＝(2k ＋7)×3k ＋9能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]×3k ＋1＋9＝(2k ＋7)×3k ＋1＋2×3k ＋1＋9＝(2k ＋7)×3k ×3＋2×3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)×3k ＋9]－27＋2×3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)×3k ＋9]＋18(3k －1－1)．由于3k －1－1是2的倍数，故18(3k －1－1)能被36整除，即当n ＝k ＋1时，f (n )也能被36整除．根据(1)和(2)，可知对一切正整数n ，都有f (n )＝(2n ＋7)×3n ＋9能被36整除．12．是否存在常数a 、b 、c ，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)12(an 2＋bn ＋c )对一切正整数成立？并证明你的结论．解 假设存在a 、b 、c ，使题中等式对一切正整数成立， 则当n ＝1,2,3时，上式显然也成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧1×22＝16(a ＋b ＋c )，1×22＋2×32＝12(4a ＋2b ＋c )，1×22＋2×32＋3×42＝9a ＋3b ＋c ，解得a ＝3，b ＝11，c ＝10.下面用数学归纳法证明等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)12(3n 2＋11n ＋10)对一切正整数均成立．(1)当n ＝1时，命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，命题成立， 即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k (k ＋1)2 ＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)，则当n ＝k ＋1时，有1×22＋2×32＋…＋k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k (k ＋1)12(k ＋2)(3k ＋5)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝(k ＋1)(k ＋2)12(3k 2＋5k ＋12k ＋24)＝(k ＋1)(k ＋2)12[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10]．即当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对任何正整数n ，等式都成立．13．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论． 解 当n ＝1时，21＋2＝4>12， 当n ＝2时，22＋2＝6>22， 当n ＝3时，23＋2＝10>32， 当n ＝4时，24＋2＝18>42，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立． 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立． 当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．②假设n ＝k (k ≥3且k ∈N *)时，不等式成立，即2k ＋2>k 2， 那么当n ＝k ＋1时，2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2.要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k 2－2≥(k ＋1)2， 即证k 2－2k －3≥0，即证(k ＋1)(k －3)≥0. 又因为k ＋1>0，k －3≥0，所以(k ＋1)(k －3)≥0. 所以当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②可知，n ∈N *时，2n ＋2>n 2. 四、探究与拓展14．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证明当n ＝k ＋1时的情况，只需展开( ) A ．(k ＋3)3 B ．(k ＋2)3 C ．(k ＋1)3 D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案 A解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除， 即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．15．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m2a n ＋1对任意n ∈N *恒成立，试猜想出实数m的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }的公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n . (2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n ≤m 2n ＋1，当n ＝1时，m ≥32； 当n ＝2时，m ≥358；而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立．下面用数学归纳法证明：证明：①当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立．②假设当n ＝k 时，不等式12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立，则当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2，只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤322k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2， 只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．所以，对任意n ∈N *，不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1恒成立．。

2018学年高中数学人教A版选修2-2课件 第2章 推理与证明2.2.2 精品

2018学年高中数学人教A版选修2-2课件 第2章 推理与证明2.2.2 精品
成才之路 ·数学
人教A版 ·选修2-2 23
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章 推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
1
课前自主预习
3
当 堂 检 测
2
课堂典例讲练
4
课 时 作 业
课前自主预习
甲、乙、丙三人站成一列，甲 在前，丙在后，乙在中间．有 3 红 2 黑 5 顶帽子，现在随机抽取 3 顶 分别戴在甲、乙、丙三人头上．只 有站在后面的人才可以看见前面 的人头上帽子的颜色． 让这三人各 自猜自己头上帽子的颜色，结果丙先说不知道，然后乙也说不 知道，最后甲猜出自己头上帽子的颜色是红色的．你知道甲是 怎么推理的吗？
题；
(3)关于唯一性、存在性的命题； (4)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题； (5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不 够清晰，结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．
1． 应用反证法推出矛盾的推导过程中， 要把下列哪些作为 条件使用 导学号 10510567 ( ③公理、定理、定义等 A．①④ C．①③④
[知识点拨]1.反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以 是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、 公认的简单事实矛盾等．矛盾是在推理过程中发现的，不是推 理之前设计的．
2．反证法的适用对象
作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数 学问题： (1)直接证明需分多种情况的； (2) 结论本身是以否定形式出现的一类命题 —— 否定性命
也与平面 α 相交．假设 b 不与平面 α 相交，则必有下面两种情 况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题设

2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2学案：第二章 2.1 2.1.2 演绎推理

2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2学案：第二章 2.1 2.1.2 演绎推理

2．1.2　演绎推理预习课本P78～81，思考并完成下列问题(1)什么是演绎推理？它有什么特点？ (2)什么是三段论？一般模式是什么？ (3)合情推理与演绎推理有什么区别与联系？　[新知初探]1．演绎推理(1)概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是从一般到特殊的推理．(3)模式：三段论．2．三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：“三段论”的结论①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断“三段论”的表示①大前提：M 是P ；②小前提：S 是M ；③结论：S 是P[点睛]　用集合的观点理解三段论若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的一个子集，那么S 中所有元素也都具有性质P .[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“三段论”就是演绎推理．( )(2)演绎推理的结论是一定正确的．( )(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．( )答案：(1)×　(2)×　(3)×2．平行于同一直线的两直线平行，因为a ∥b ，b ∥c ，所以a ∥c ，这个推理称为( )A ．合情推理　B ．归纳推理　C ．类比推理　D ．演绎推理答案：D3．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的__________是错误的．答案：小前提把演绎推理写成三段论的形式[典例]　将下列推理写成“三段论”的形式：(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；(2)0.33是有理数；2·(3)y ＝sin x (x ∈R)是周期函数．[解]　(1)大前提：向量是既有大小又有方向的量．小前提：零向量是向量．结论：零向量也有大小和方向．(2)大前提：所有的循环小数都是有理数．小前提：0.33是循环小数．2· 结论：0.33是有理数．2· (3)大前提：三角函数是周期函数．小前提：y ＝sin x (x ∈R)是三角函数．结论：y ＝sin x (x ∈R)是周期函数．用三段论写推理过程的技巧(1)关键：用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．(2)何时省略：有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提、小前提都省略．(3)如何寻找：在寻找大前提时可找一个使结论成立的充分条件作大前提． [活学活用]下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选B 对于A ，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B ，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C ，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D ，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式.演绎推理在几何中的应用[典例]　如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA，求证：DE=AF.写出“三段论”形式的演绎推理．[解]　(1)同位角相等，两直线平行，(大前提)∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD=∠A，(小前提)所以DF∥AE.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE∥BA且DF∥EA，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以ED=AF.(结论)几何证明中应用演绎推理的两个关注点(1)大前提的正确性：几何证明往往采用演绎推理，它往往不是经过一次推理就能完成的，常需要几次使用演绎推理，每一个推理都暗含着大、小前提，前一个推理的结论往往是下一个推理的前提，在使用时不仅要推理的形式正确，还要前提正确，才能得到正确的结论．(2)大前提可省略：在几何证明问题中，每一步都包含着一般原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．提醒：在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误．　[活学活用]如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD.证明：三角形的中位线平行于底边，大前提点E，F分别是AB，AD的中点，小前提所以EF∥BD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则这条直线与此平面平行，大前提EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD ，小前提所以EF ∥平面BCD .结论演绎推理在代数中的应用[典例]　已知函数f (x )＝a x ＋(a ＞1)，求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．x －2x ＋1[证明]　对于任意x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1＜x 2，若f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在(－1，＋∞)上是增函数．(大前提)设x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋－ax 2－x 1－2x 1＋1x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋－x 1－2x 1＋1x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋，3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)∵a ＞1，且x 1＜x 2，∴ax 1＜ax 2，x 1－x 2＜0.又∵x 1＞－1，x 2＞－1，∴(x 1＋1)(x 2＋1)＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．(小前提)∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(结论)应用演绎推理解决的代数问题(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等．(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等．(3)三角函数的图象与性质．(4)数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质．(5)不等式的证明． [活学活用]已知函数f (x )＝x 2－a ln x 在区间[1,2]内是增函数，g (x )＝x －a 在区间(0,1]内是减函x数，则a ＝______.解析：f ′(x )＝2x －，依题意f ′(x )≥0，x ∈[1,2]，ax 即a ≤2x 2，x ∈[1,2]．因为上式恒成立，所以a ≤2.①又g ′(x )＝1－，a2x 依题意g ′(x )≤0，x ∈(0,1]，即a ≥2，x ∈(0,1]．x 因为上式恒成立，所以a ≥2.②由①②得a ＝2.答案：2层级一　学业水平达标1．下面说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C ①③④都正确．2．若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC 中，AB ＝AC ，所以在△ABC 中，∠B ＝∠C ，以上推理运用的规则是( )A ．三段论推理B ．假言推理C ．关系推理D ．完全归纳推理解析：选A ∵三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大前提)，在△ABC 中，AB ＝AC ，(小前提)，∴在△ABC 中，∠B ＝∠C (结论)，符合三段论推理规则，故选A.3．推理过程“大前提：__________，小前提：四边形ABCD 是矩形．结论：四边形ABCD 的对角线相等．”应补充的大前提是( )A ．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等解析：选B　由三段论的一般模式知应选B.4．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在( )A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错解析：选A　要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确，若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．因为任何实数的平方都大于0，又因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方都大于0，它是不正确的．5．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )A．①④B．②④C．①③D．②③解析：选A　根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．log2x－2a6．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小log2x－2前提是有意义，结论是____________．解析：由三段论方法知应为log2x－2≥0.答案：log2x－2≥07．某一三段论推理，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，由此可以推断，该三段论的另一前提必为________判断．解析：根据三段论的特点，三段论的另一前提必为否定判断．答案：否定8．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：_______________________________________________________________.小前提：___________________________________________________________________.结论：_____________________________________________________________.解析：本题忽略了大前提和小前提．大前提为：一次函数的图象是一条直线．小前提为：函数y ＝2x ＋5为一次函数．结论为：函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线．答案：①一次函数的图象是一条直线　②y ＝2x ＋5是一次函数　③函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线9．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)菱形的对角线互相平分．(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除．解：(1)平行四边形的对角线互相平分(大前提)；菱形是平行四边形(小前提)；菱形的对角线互相平分(结论)．(2)一切奇数都不能被2整除(大前提)；75是奇数(小前提)；75不能被2整除(结论)．10．下面给出判断函数f (x )＝的奇偶性的解题过程：1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1解：由于x ∈R ，且＝·f (x )f (－x )1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1＝＝＝－1.1＋x 2－x ＋11＋x 2－x －1(1＋x 2)－(x －1)2(1＋x 2)－(x ＋1)22x－2x ∴f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数．试用三段论加以分析．解：判断奇偶性的大前提“若x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数；若x ∈R ，且f (－x )＝f (x )，则函数f (x )是偶函数”．在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提．解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )．层级二　应试能力达标1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )A ．类比推理B ．归纳推理C ．演绎推理D ．一次三段论解析：选C 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．2．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误解析：选C 用小前提“S 是M ”，判断得到结论“S 是P ”时，大前提 “M 是P ”必须是所有的M ，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．3．如图，设平面α∩β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥α，垂足分别是点B ，D ，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，这个条件不可能是下面四个选项中的( )A ．AC ⊥βB ．AC ⊥EFC ．AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上D ．AC 与α，β所成的角相等解析：选D 只要能推出EF ⊥AC 即可说明BD ⊥EF .当AC 与α，β所成的角相等时，推不出EF ⊥AC ，故选D.4．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )＜0.对任意正数a ，b ，若a ＜b ，则必有( )A ．bf (a )＜af (b )B ．af (b )＜bf (a )C ．af (a )＜f (b )D ．bf (b )＜f (a )解析：选B 构造函数F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )．由题设条件知F (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上单调递减．若a ＜b ，则F (a )＞F (b )，即af (a )＞bf (b )．又f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，所以bf (a )＞af (a )＞bf (b )＞af (b )．故选B.5．已知函数f (x )＝a －，若f (x )为奇函数，则a ＝________.12x ＋1解析：因为奇函数f (x )在x ＝0处有定义且f (0)＝0(大前提)，而奇函数f (x )＝a －的定义域为R(小前提)，所以f (0)＝a －＝0(结论)．解得a ＝.12x ＋1120＋112答案：126．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26.其中正确结论为________．解析：由条件可知，因为f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，且f (1,1)＝1，所以f (1,5)＝f (1,4)＋2＝f (1,3)＋4＝f (1,2)＋6＝f (1,1)＋8＝9.又因为f (m ＋1, 1)＝2f (m,1)，所以f (5,1)＝2f (4,1)＝22f (3,1)＝23f (2,1)＝24f (1,1)＝16，所以f (5,6)＝f (5,1)＋10＝24f (1,1)＋10＝26.故(1)(2)(3)均正确．答案：(1)(2)(3)7．已知y ＝f (x )在(0，＋∞)上有意义、单调递增且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x 2)＝2f (x )；(2)求f (1)的值；(3)若f (x )＋f (x ＋3)≤2，求x 的取值范围．解：(1)证明：∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，(大前提)∴f (x 2)＝f (x ·x )＝f (x )＋f (x )＝2f (x )．(结论)(2)∵f (1)＝f (12)＝2f (1)，(小前提)∴f (1)＝0.(结论)(3)∵f (x )＋f (x ＋3)＝f (x (x ＋3))≤2＝2f (2)＝f (4)，(小前提)函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，(大前提)∴Error!解得0＜x ≤1.(结论)8．已知a ，b ，m 均为正实数，b ＜a ，用三段论形式证明＜.b a b ＋ma ＋m 证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b ＜a ，m ＞0，(小前提)所以mb ＜ma .(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)mb ＜ma ，(小前提)所以mb ＋ab ＜ma ＋ab ，即b (a ＋m )＜a (b ＋m )．(结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b (a ＋m )＜a (b ＋m )，a (a ＋m )＞0，(小前提)所以＜，即＜.(结论)b (a ＋m )a (a ＋m )a (b ＋m )a (a ＋m )b a b ＋ma ＋m。

2017-2018学年高二数学选修2-2教学案：第2章 2.2 2.2.2 间接证明

2017-2018学年高二数学选修2-2教学案：第2章 2.2 2.2.2 间接证明

2．2.2 间 接 证 明1．问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术．如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”．该广告词实际说明了什么？提示：说的是：“不拥有的人们不幸福”．2．已知正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2.求证：a ，b ，c 不可能都是奇数． 问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？ 提示：不能．问题2：a 、b 、c 不可能都是奇数的反面是什么？还满足条件a 2＋b 2＝c 2吗？ 提示：都是奇数．若a 、b 、c 都是奇数，则不能满足条件a 2＋b 2＝c 2.1．间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明．反证法就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有同一法、枚举法等．2．反证法 (1)反证法证明过程反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)，用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用下面的框图表示：导致逻辑矛盾“若p 则q ”为真 (2)反证法证明命题“若p 则q ”的步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果． ③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法．2．可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与反设矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论．[对应学生用书P30][例1]锐角三角形．[思路点拨]本题证明的命题是否定性命题，解答时先假设四个三角形都是锐角三角形，再分情况去推出矛盾．[精解详析]假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D，考虑△ABC，点D的位置分为在△ABC之内或之外两种情况．(1)如果点D在△ABC之内(如图(1))，根据假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾．(2)如果点D在△ABC之外(如图(2))，根据假设∠A，∠B，∠C，∠D都小于90°，这和四边形内角之和等于360°矛盾．综上所述．原结论成立．[一点通](1)结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题正面比较模糊，而反面比较具体，适于应用反证法．(2)反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”．1．实数a、b、c不全为0等价于________(填序号)．①a，b，c全不为0；②a，b，c中最多只有一个为0；③a，b，c中只有一个不为0；④a，b，c中至少有一个不为0.解析：“不全为0”等价于“至少有一个不为0”．答案：④2.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CD的中点，用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线．解：假设直线BM与A1N共面．则A1D1⊂平面A1BND1，且平面A1BND1∩平面ABCD＝BN，由正方体特征知A1D1∥平面ABCD，故A1D1∥BN，又A1D1∥BC，所以BN∥BC.这与BN∩BC＝B矛盾，故假设不成立．所以直线BM与直线A1N是两条异面直线．3．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，所以(a－c)2＝0.即a＝c，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．[例2]求证：两条相交直线有且只有一个交点．[思路点拨]“有且只有一个”的否定分两种情况：“至少有两个”、“一个也没有”．[精解详析]假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点．若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．[一点通]证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其惟一性就较为简单明了．4．证明方程2x＝3有且仅有一个根．证明：∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程有一个根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是惟一的，假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3.两式相除得：2b1－b2＝1.如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．如果b1－b2<0，则2b1－b2<1，这与2b1－b2＝1相矛盾．因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这就同b1≠b2相矛盾．如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾．故2x＝3有且仅有一个根．5．求证：过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直．解：已知P∉平面α.求证：过点P和平面α垂直的直线b有且只有一条．证明：(1)存在性：∵P∉平面α，由立体几何知识知：过点P能作出一条直线与平面α垂直，故直线b存在．(2)惟一性：假设过点P还有一条直线c与平面α垂直．由b⊥α，c⊥α，得b∥c，这与b∩c＝P矛盾，故假设不存在，因此直线b惟一．综上所述，过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直．[例3]已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．[思路点拨]本题要证a、b、c、d中至少有一个是负数，具体有一个负数？两个负数？三个负数？还是四个负数？都有可能，谁是负数也都有可能．所以正面证明很复杂，可考虑用反证法．[精解详析] 假设a 、b 、c 、d 都不是负数， 即a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0. ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1， ∴b ＝1－a ≥0，d ＝1－c ≥0.∴ac ＋bd ＝ac ＋(1－a )(1－c )＝2ac －(a ＋c )＋1 ＝(ac －a )＋(ac －c )＋1＝a (c －1)＋c (a －1)＋1. ∵a (c －1)≤0，c (a －1)≤0. ∴a (c －1)＋c (a －1)＋1≤1， 即ac ＋bd ≤1. 与ac ＋bd >1相矛盾．∴假设不成立．∴a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．[一点通] (1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：6．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.∵a ，b ，c ∈(0,1)，∴1－a ＞0,1－b ＞0,1－c ＞0， ∴(1－a )＋b 2≥(1－a )b ＞14＝12. 同理(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞12.三式相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2＞32，即32＞32，矛盾． 所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.7．用反证法证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多只有一个实数根．证明：假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个根， 设α，β为其中的两个实根． 因为α≠β，不妨设α<β，又因为函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数， 所以f (α)<f (β)． 这与f (α)＝0＝f (β)矛盾．所以方程f (x )＝0在区间 [a ，b ]上至多只有一个实根．1．反证法证明的适用情形 (1)一些基本命题、基本定理； (2)易导出与已知矛盾的命题； (3)“否定性”命题； (4)“惟一性”命题； (5)“必然性”命题； (6)“至多”“至少”类命题； (7)涉及“无限”结论的命题． 2．用反证法证明问题应注意以下三点(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必然罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．[对应学生用书P32]一、填空题1．命题“1＋b a ，1＋ab 中至多有一个小于2”的反设为________．答案：1＋b a ，1＋ab都小于22．(山东高考改编)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是____________________．解析：至少有一个实根的否定是没有实根． 答案：方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根1． 用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为 ____________________．解析：“a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”． 答案：a ，b 不全为04．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②. 答案：③①②5．用反证法证明命题“若x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设为________． 解析：对“且”的否定应为“或”，所以“x ≠a 且x ≠b ”的否定应为“x ＝a 或x ＝b ”． 答案：x ＝a 或x ＝b 二、解答题6．(陕西高考)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解：(1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n)1－q ，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．7．设f (x )＝x 2＋ax ＋b ，求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明：假设|f (1)|<12，|f (2)|<12，|f (3)|<12，则有⎩⎪⎨⎪⎧－12<1＋a ＋b <12，－12<4＋2a ＋b <12，－12<9＋3a ＋b <12.于是有⎩⎪⎨⎪⎧－32<a ＋b <－12， ①－92<2a ＋b <－72， ②－192<3a ＋b <－172. ③由①、②得－4<a <－2，④ 由②、③得－6<a <－4.⑤④、⑤显然相互矛盾，所以假设不成立，所以原命题正确．8．已知P∉直线a.求证：过点P和直线a平行的直线b有且只有一条．证明：(1)存在性：∵P∉直线a，∴点P和直线a确定一个平面α.由平面几何知识知：在平面α内过点P能作出一条直线与直线a平行，故直线b存在．(2)惟一性：假设过点P还有一条直线c与a平行．∵a∥b，a∥c，∴b∥c，这与直线b、c有共点P矛盾．故假设不存在，因此直线b惟一．综上所述，过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．。

2017年春高中数学人教A版选修2-2习题课件-第2章 推理与证明 2-2-18

2017年春高中数学人教A版选修2-2习题课件-第2章 推理与证明 2-2-18

解析：观察不等式中的分母变化知，
1 22
＋
1 32
＋…＋
1 k2
＋
k＋112＋k＋122＞12－k＋1 3.
答案：212＋312＋…＋k12＋k＋112＋k＋122＞12－k＋1 3
第十八页，编辑于星期六：二点 四十二分。
8．分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1(n∈N*)的过程： 证明：假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝ k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k ＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N*等式都成立． 指出上述证明过程中的错误：________________. 答案：缺少步骤归纳奠基，实际上当n＝1时等式不成立．
第二十九页，编辑于星期六：二点 四十二分。
12．用数学归纳法证明an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n ∈N*)．
第三十页，编辑于星期六：二点 四十二分。
解：(1)当n＝1时，左边＝a2＋(a＋1)1＝a2＋a＋1，可被a2＋ a＋1整除；
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1 整除，则当n＝k＋1时，
第二十二页，编辑于星期六：二点 四十二分。
三、解答题：每小题15分，共45分．
10．用数学归纳法证明：
1 n
＋
1 n＋1
＋
1 n＋2
＋…＋
1 n2
>1(n∈
N*，n>1)．
第二十三页，编辑于星期六：二点 四十二分。
证明：(1)当n＝2时，左边＝12＋13＋14＝1132. 右边＝1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即 1k＋k＋1 1＋k＋1 2＋…＋k12>1. 那么当n＝k＋1时， k＋1 1＋k＋1 2＋…＋k12＋k2＋1 1＋k2＋1 2＋…＋k＋112

2017年春高中数学人教A版选修2-2习题课件-第2章 推理与证明 2-2-17

2017年春高中数学人教A版选修2-2习题课件-第2章 推理与证明 2-2-17
答案：D
第十四页，编辑于星期六：二点 四十二分。
6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角” 的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋ C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内 角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号 为( )
第十七页，编辑于星期六：二点 四十二分。
解析：假设a、b、c都小于
1 3
，则a＋b＋c<1与a＋b＋c＝1矛
盾．故a、b、c中至少有一个不小于13.
答案：13
第十八页，编辑于星期六：二点 四十二分。
8．用反证法证明命题“a、b为整数，若a·b不是偶数，则 a，b都不是偶数”时，应假设为________．
第二十一页，编辑于星期六：二点 四十二分。
解析：证明过程应为：假设p为奇数，则a1－1，a2－ 2，…，a7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有
奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0. 这与0为偶数矛盾，说明p为偶数． 答案：a1－1，a2－2，…，a7－7 (a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) (a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)
一个解”时，反设是关于x的方程ax＝b(a≠0)( )
A．无解
B．有两解
C．至少有两解
D．无解或至少有两解
解析：“唯一”的否定为“至少两解或无解”．
答案：D
第九页，编辑于星期六：二点 四十二分。
4．设a、b、c都是正数，则三个数a＋1b，b＋1c，c＋1a( ) A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2

2017-2018学年高二数学选修2-2教学案：第2章 2.1 2.1.3 推理案例赏析

2017-2018学年高二数学选修2-2教学案：第2章 2.1 2.1.3 推理案例赏析

2．1.3推理案例赏析2．1.4[对应学生用书P23]归纳推理的应用[例1]　观察如图所示的“三角数阵”：记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为__________、__________、______________、______________、______________、_______ _______；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．[思路点拨]　(1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果．(2)由数阵可直接写出答案．(3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论．[精解详析]　(1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．[答案]　6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，∴由此归纳：a n＋1＝a n＋n.[一点通]　对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解了．51．设[x]表示不超过x的最大整数，如[]＝2，[π]＝3，[k]＝k (k∈N*)．　123我的发现：[]＋[]＋[]＝3；45678[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10；9101112131415[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21；…通过归纳推理，写出一般性结论_____________________________________________ __________________________________________________________(用含n的式子表示)．n2n2＋1n2＋2解析：第n行右边第一个数是[]，往后是[]，[]，…，最后一个是[n2＋2n]．等号右边是n(2n＋1)．　n2n2＋1n2＋2n2＋2n答案：[]＋[]＋[]＋…＋[]＝n(2n＋1)2．(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面围成了多少个区域？顶点数边数区域数(a)(b)(c)(d)(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？解：(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为顶点数边数区域数(a)332(b)8126(c)695(d)10157(2)观察：3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2；10＋7－15＝2，通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.(3)由已知V＝999，F＝999，代入上述关系式得E＝1 996，故这个平面图形有1 996条边．类比推理的应用[例2]　通过计算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1；33－23＝3×22＋3×2＋1；43－33＝3×32＋3×3＋1；…(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1.将以上各等式两边分别相加，得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)．16类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n 3的值．[思路点拨]　类比上面的求法；可分别求出24－14，34－24,44－34，…(n ＋1)4－n 4，然后将各式相加求解．[精解详析]　∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，…(n ＋1)4－n 4＝4×n 3＋6×n 2＋4×n ＋1.将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n 3)＋6×(12＋22＋…＋n 2)＋4×(1＋2＋…＋n )＋n∴13＋23＋…＋n 3＝Error!·Error!＝n 2(n ＋1)2.1414[一点通]　(1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法．(2)类比推理的步骤与方法第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别．第二步：把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．3．二维空间中圆的一维侧度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝πr 3，观察发现V ′＝S .则四43维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.解析：(2πr 4)′＝8πr 3.答案：2πr 44．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面的面积，S 4表示截面的面积，那么你类比得到的结论是________．解析：由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比，因此所得到的结论为：S ＝S ＋S ＋S .2421223答案：S ＝S ＋S ＋S 2421223演绎推理的应用 [例3]　已知{a n }为等差数列，首项a 1>1，公差d >0，n >1且n ∈N *.求证：lg a n ＋1lg a n －1<(lg a n )2.[思路点拨]　对数之积不能直接运算，可由基本不等式转化为对数之和进行运算．[精解详析]　∵{a n }为等差数列，∴a n ＋1＋a n －1＝2a n .∵d >0，∴a n －1a n ＋1＝(a n －d )(a n ＋d )＝a －d 2<a .2n 2n ∵a 1>1，d >0，∴a n ＝a 1＋(n －1)d >1.∴lg a n >0.∴lg a n ＋1·lg a n －1≤2(lg an ＋1＋lg an －12)＝2<2＝(lg a n )2，[12lg (an －1an ＋1)][12lg a 2n ]即lg a n ＋1·lg a n －1<(lg a n )2.[一点通]　三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P .5．如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B .　(1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2)设D 是A 1C 1上的点，且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值．要求：写出每一个三段论的大前提、小前提、结论．解：(1)因为菱形的对角线互相垂直(大前提)，侧面BCC 1B 1是菱形(小前提)，所以B 1C ⊥BC 1(结论)．又线面垂直的判定定理(大前提)，B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B (小前提)，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1(结论)．又面面垂直的判定定理(大前提)，B 1C ⊂平面AB 1C ，B 1C ⊥平面A 1BC (小前提)，所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1(结论)．(2)设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线．根据线面平行的性质定理(大前提)，因为A 1B ∥平面B 1CD (小前提)，所以A 1B ∥DE (结论)．又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点，即A 1D ∶DC 1＝1∶1.6．求证：函数y ＝是奇函数，且在定义域上是增函数．2x －12x ＋1证明：y ＝f (x )＝＝1－，(2x ＋1)－22x ＋122x ＋1所以f (x )的定义域为x ∈R .f (－x )＋f (x )＝＋(1－22－x ＋1)(1－22x ＋1)＝2－(22x ＋1＋22－x ＋1)＝2－(22x ＋1＋2·2x 2x ＋1)＝2－2(2x ＋1)2x ＋1＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－(1－22x 1＋1)(1－22x 2＋1)＝2(12x 2＋1－12x 1＋1)＝2·.2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1)因为x 1<x 2，所以2x 1<2x 2，2x 1－2x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)．故f (x )为增函数．1．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常为我们提供证明的思路和方向．2．在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论，再想办法去证明或否定发现的结论．[对应学生用书P25]一、填空题1．设k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱对角面的个数为f (k ＋1)＝f (k )＋________.解析：k 棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k －2条侧棱可构成k －2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．所以f (k ＋1)＝f (k )＋k －2＋1＝f (k )＋k －1.答案：k －12．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有____条．这些直线中共有f (n )对异面直线，则f (4)＝______；f (n )＝______.(答案用数字或含n 的式子表示)解析：所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，即n ＋n ＋＝n (n －3)2.n 2＋n 2f (4)＝4×2＋×2＝12，4×12f (n )＝n (n －2)＋×(n －2)＝.n (n －3)2n (n －1)(n －2)2答案：　12　n 2＋n 2n (n －1)(n －2)23．(陕西高考)已知f (x )＝ ，x ≥0，若 f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N *, 则f 2x1＋x 014(x )的表达式为________．解析：由f 1(x )＝⇒f 2(x )＝f ＝＝；又可得f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1＋x (x1＋x )x 1＋x1＋x 1＋x x 1＋2x ＝，故可猜想f 2 014(x )＝.x 1＋2x 1＋x1＋2x x 1＋3x x1＋2 014x 答案：x1＋2 014x4．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝Error!　33＝Error!　43＝Error!　….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是2 015，则m ＝________.解析：根据分裂特点，设最小数为a 1，则ma 1＋×2＝m 3，m (m －1)2∴a 1＝m 2－m ＋1.∵a 1为奇数，又452＝2 025，∴猜想m ＝45.验证453＝91 125＝.(1 979＋2 071)×452答案：455．观察以下等式sin 230°＋cos 290°＋sin 30°·cos 90°＝；314sin 225°＋cos 285°＋sin 25°·cos 85°＝；314sin 210°＋cos 270°＋sin 10°·cos 70°＝.314推测出反映一般规律的等式：____________________.解析：∵90°－30°＝60°，85°－25°＝60°，70°－10°＝60°，∴其一般规律为sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋sin αcos(60°＋α)＝.314答案：sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋sin αcos(60°＋α)＝314二、解答题6．试将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；(3)一次函数是单调函数，函数y ＝2x －1是一次函数，所以y ＝2x －1是单调函数；(4)等差数列的通项公式具有形式a n ＝pn ＋q (p ，q 是常数)，数列1,2,3…，n 是等差数列，所以数列1,2,3，…，n 的通项具有a n ＝pn ＋q 的形式．解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，(大前提)海王星是太阳系中的大行星，(小前提)海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(结论)(2)所有导体通电时发热，(大前提)铁是导体，(小前提)铁通电时发热．(结论)(3)一次函数都是单调函数，(大前提)函数y＝2x－1是一次函数，(小前提)y＝2x－1是单调函数．(结论)(4)等差数列的通项公式具有形式a n＝pn＋q(p，q是常数)，(大前提)数列1,2,3，…，n是等差数列，(小前提)数列1,2,3，…，n的通项具有a n＝pn＋q的形式．(结论)7．平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与其对边平行，而与其余的边垂直”；“长方体的每一面与其相对面平行，而与其余的面垂直”，请用类比法写出更多相似的命题．(写出三种即可)解：(1)(平面)在平行四边形中，对角线互相平分；(立体)在平行六面体中，体对角线相交于同一点，且在这一点互相平分．(2)(平面)在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；(立体)在平行六面体中，各体对角线长的平方和等于各棱长的平方和．(3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；(立体)球体积等于球表面积与半径之积的1/3.(4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍；(立体)正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍．8．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)写出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求＋＋＋…＋的值．1f (1)1f (2)－11f (3)－11f (n )－1解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，…由以上规律，可得出f (n ＋1)－f (n )＝4n ，因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ，所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，所以当n ≥2时，f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f [n －(n －1)]＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4[n －(n －1)]＝2n 2－2n ＋1.f (1)＝1也适合上式，故f (u )＝2n 2－2n ＋1(n ∈N *)．(3)当n ≥2时，＝＝，1f (n )－112n (n －1)12(1n －1－1n )所以＋＋＋…＋1f (1)1f (2)－11f (3)－11f (n )－1＝1＋12(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n )＝1＋＝－.12(1－1n )3212n2 3。

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2．2.1综合法和分析法预习课本P85～89，思考并完成下列问题(1)综合法的定义是什么？有什么特点？(2)综合法的推证过程是什么？(3)分析法的定义是什么？有什么特点？(4)分析法与综合法有什么区别和联系？[新知初探] 1．综合法→P 2⇐P 3→…→ 得到一个明显成立的条件3．综合法、分析法的区别[点睛] 一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法．( ) (2)分析法就是从结论推向已知．( ) (3)所有证明的题目均可使用分析法证明．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．若a ＞b ＞0，则下列不等式中不正确的是( ) A ．a 2＞ab B ．ab ＞b 2 C.1a ＞1b D ．a 2＞b 2答案：C3．欲证2－3＜6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2＜(6－7)2 B ．(2－6)2＜(3－7)2C ．(2＋7)2＜(3＋6)2D ．(2－3－6)2＜(－7)2 答案：C4．如果a a ＞b b ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 答案：a ＞b ＞0[典例] 在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列．求证：a cos 2 C 2＋c cos 2 A 2≥32b .[证明] ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . ∵左边＝a (1＋cos C )2＋c (1＋cos A )2＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A ) ＝12(a ＋c )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b 2＝b ＋b 2＝32b ＝右边， ∴a cos 2C 2＋c cos 2 A 2≥32b .当且仅当a ＝c 时等号成立．综合法的解题步骤[活学活用]1．已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．证明：∵左边＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2 ≤a 2c 2＋(a 2d 2＋b 2c 2)＋b 2d 2 ＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝右边， ∴(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 2．设数列{a n }满足a 1＝0，11－a n ＋1－11－a n＝1.(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1－a n ＋1n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，证明：S n ＜1. 解：(1)∵11－a n ＋1－11－a n＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫11－a n 是公差为1的等差数列．又∵11－a 1＝1，∴11－a n ＝n ，a n ＝1－1n .(2)证明：由(1)得 b n ＝1－a n ＋1n＝n ＋1－n n ＋1·n＝1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＜1.∴S n ＜1.[典例] 设a ，b [证明] 当a ＋b ≤0时，∵ a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b ＞0时， 用分析法证明如下：要证 a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2.即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证．分析法证明不等式的依据、方法与技巧(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．[活学活用]已知a ，b ，c 都为正实数，求证：a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3. 证明：要证a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3， 只需证a 2＋b 2＋c 23≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 32， 只需证3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ， 只需证2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ac ，只需证(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，而这是显然成立的，所以 a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3成立．[典例] 已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0＜x ＜1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2＜log x a ＋log x b ＋log x c .[证明] 要证明log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2＜log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2＜log x (abc )，由已知0＜x ＜1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2＞abc ， 由公式a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c2≥bc ＞0，a ＋c2≥ac ＞0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2＞ a 2b 2c 2＝abc .即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2＞abc 成立．∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2＜log x a ＋log x b ＋log x c 成立．分析综合法的应用综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．[活学活用]已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 为三个内角对应的边长，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即证c a ＋b ＋a b ＋c ＝1.即证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 即证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.∵△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列． ∴B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ca cos 60°， 即b 2＝c 2＋a 2－ac .∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立，命题得证．层级一 学业水平达标1．要证明a ＋a ＋7＜a ＋3＋a ＋4(a ≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是( )A ．综合法B ．类比法C ．分析法D ．归纳法解析：选C 直接证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理．2．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ ”，其过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证法解析：选B 结合分析法及综合法的定义可知B 正确．3．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )A ．a 2＜b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2＞b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：选C 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＜0，得b 2＋c 2＜a 2.4．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：选C 利用函数单调性．设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2，∴0＜x ＜e 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ＞e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．又a ＝ln 44，∴b ＞a ＞c .5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：选A 由f (x )是定义在R 上的奇函数， 且当x ≥0时，f (x )单调递减， 可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.6．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 取导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x ＞0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：该证明过程符合综合法的特点． 答案：综合法7．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________． 解析：∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b ) ＝(a －b )2(a ＋b )．∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b ＞a b ＋b a . 答案：a ≠b8．若不等式(－1)na ＜2＋(－1)n ＋1n 对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当n 为偶数时，a ＜2－1n ，而2－1n ≥2－12＝32，所以a ＜32，当n 为奇数时，a ＞－2－1n ，而－2－1n ＜－2，所以a ≥－2.综上可得，－2≤a ＜32.答案：⎣⎡⎭⎫－2，32 9．求证：2cos(α－β)－sin(2α－β)sin α＝sin βsin α.证明：要证原等式，只需证：2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，①因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α] ＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α ＝sin β.所以①成立，所以原等式成立．10．已知数列{a n }的首项a 1＝5，S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，(n ∈N *)． (1)证明数列{a n ＋1}是等比数列． (2)求a n .解：(1)证明：由条件得S n ＝2S n －1＋(n －1)＋5(n ≥2)① 又S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，② ②－①得a n ＋1＝2a n ＋1(n ≥2)， 所以a n ＋1＋1a n ＋1＝(2a n ＋1)＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2.又n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，且a 1＝5， 所以a 2＝11，所以a 2＋1a 1＋1＝11＋15＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是以2为公比的等比数列． (2)因为a 1＋1＝6，所以a n ＋1＝6×2n －1＝3×2n ， 所以a n ＝3×2n －1.层级二 应试能力达标1．使不等式1a ＜1b 成立的条件是( ) A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＞b 且ab ＜0D ．a ＞b 且ab ＞0解析：选D 要使1a ＜1b ，须使1a －1b ＜0，即b －a ab ＜0. 若a ＞b ，则b －a ＜0，ab ＞0；若a ＜b ，则b －a ＞0，ab ＜0.2．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( ) A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin β B ．sin(α＋β)＞cos α＋cos β C ．cos(α＋β)＞sin α＋sin β D ．cos(α＋β)＜cos α＋cos β解析：选D 因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．3．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4＜m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选B ∵x ＞0，y ＞0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 4⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝2＋y 4x ＋4x y≥2＋2y 4x ·4x y＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y4的最小值为4，要使不等式m 2－3m ＞x＋y4有解，应有m 2－3m ＞4，∴m ＜－1或m ＞4，故选B. 4．下列不等式不成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca B.a ＋b ＞a ＋b (a ＞0，b ＞0) C.a －a －1＜a －2－a －3(a ≥3) D.2＋10＞2 6解析：选D 对A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；对B ，∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴a ＋b ＞a ＋b ；对C ，要证 a －a －1＜a －2－a －3(a ≥3)成立，只需证明a ＋a －3＜a －2＋a －1，两边平方得2a －3＋2a (a －3)＜2a －3＋2(a －2)(a －1)，即a (a －3)＜(a －2)(a －1)，两边平方得a 2－3a ＜a 2－3a ＋2，即0＜2.因为0＜2显然成立，所以原不等式成立；对于D ，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)＜0，∴2＋10＜26，故D 错误．5．已知函数f (x )＝2x ，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系是________．解析：∵a ＋b 2≥ab (a ，b 为正实数)，2ab a ＋b ≤ab ，且f (x )＝2x 是增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即C ≤B ≤A . 答案：C ≤B ≤A6．如图所示，四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．解析：要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C .因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ，即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C .答案：AC ⊥BD (答案不唯一)7．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：在锐角三角形ABC 中，∵A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B .∴0＜π2－B ＜A ＜π2，又∵在⎝⎛⎭⎫0，π2内正弦函数y ＝sin x 是单调递增函数，∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，即sin A ＞cos B ．①同理sin B ＞cos C ，②sin C ＞cos A ．③由①＋②＋③，得：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .8．已知n ∈N ，且n ＞1，求证：log n (n ＋1)＞log n ＋1(n ＋2)．证明：要证明log n (n ＋1)＞log n ＋1(n ＋2)，即证明log n (n ＋1)－log n ＋1(n ＋2)＞0.(*)∵log n (n ＋1)－log n ＋1(n ＋2)＝1log n ＋1n －log n ＋1(n ＋2) ＝1－log n ＋1n ·log n ＋1(n ＋2)log n ＋1n. 又∵当n ＞1时，log n ＋1n ＞0，且log n ＋1(n ＋2)＞0，log n ＋1n ≠log n ＋1(n ＋2)，∴log n ＋1n ·log n ＋1(n ＋2)＜14[log n ＋1n ＋log n ＋1(n ＋2)]2＝14log 2n ＋1[n (n ＋2)]＝14log 2n ＋1(n 2＋2n )＜14log 2n ＋1(n ＋1)2＝1， 故1－log n ＋1n ·log n ＋1(n ＋2)＞0，∴1－log n ＋1n ·log n ＋1(n ＋2)log n ＋1n＞0. 这说明(*)式成立，∴log n (n ＋1)＞log n ＋1(n ＋2)．。

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