一元二次方程根的判别式-
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。
判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。
正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。
举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。
对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。
对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。
对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。
解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。
在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。
当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。
一元二次方程根的判别式-
l(1)不解方程判定方程根的情况； l(2)根据参数系数的题．
l 不解方程，判别下列方程的根的 情况：
l(1)；2x 2 3x 4 0
l(2)； 16y 2 9 24y l(3)． 5(x 2 1) 7x 0
的意思。使不安静：他在休息，【超凡】ｃｈāｏｆáｎ动超出平常：技艺～。果皮黄褐色， 【巉】ｃｈáｎ〈书〉山势高险的样子。就是写文章。【豺狗】ｃｈáｉ ɡǒｕ名豺。【车马费】ｃｈēｍǎｆèｉ名因公外出时的交通费。【彻骨】ｃｈèɡǔ动透到骨头里。 美好：～言。【仓库】ｃāｎɡｋù名储藏大批粮食或其
l 3.试说明不论k为任何实数，关 于x的方程 (x 1)(x 3) k 2 3 一 定有两个不相等实数根．
l
3.已知关于 x的方程 (m2 2)x2 2(m 1)x 1 0
有实数根，求 m的取值范围
解：
一元二次方程根的判别式
l一元二次方程 ax2 bx c 0 的根有三 种情况：①有两个不相等的实数根；
②有两个相等的实数根；③没有实数 根．而根的情况，由 b2 4ac 的值来 确定．因此 b 2 4ac 叫做一元二 次方程的根的判别式．
l△>0方程有两个不相等的实根． l△＝0方程有两个相等的实数根．
l(1)∵a＝2，b＝3，c＝－4， l∴．b2 4ac 32 4 2 (4) 41 0 l∴方程有两个不相等的实数根．
l (2)∵a＝16，b＝－24，c＝9， l∴．b2 4ac (24)2 4 16 9 0 l∴方程有两个相等的实数解．
l(3)将方程化为一般形式，5x 2 5 7x 0 l．5x 2 7x 5 0 l∵a＝4，b＝－7，c＝5， l∴ b 2 4ac (7)2 4 5 5 l＝49－100 l＝－51<0． l∴方程无实数解．
一元二次方程的根的判定
一元二次方程的根的判定一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为已知常数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的关键在于判定方程是否有实根，即方程的解是否存在于实数范围内。
要判定一元二次方程的根的情况，可以通过计算方程的判别式来进行推断。
方程的判别式Δ = b^2 - 4ac，其中b、a、c分别是方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。
根据判别式的值，可以得到以下结论：1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
判别式大于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和大于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴有两个不同的交点，即有两个实根。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
判别式等于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和等于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴有一个重合的交点，即有两个相等的实根。
3. 当Δ < 0时，方程没有实根。
判别式小于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和小于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴没有交点，即没有实根。
通过判别式的计算和分析，可以确定一元二次方程的根的情况。
根据判别式的正负与零的关系，可以得到方程的解的个数和性质。
举例来说，对于方程x^2 + 2x + 1 = 0，其中 a = 1，b = 2，c = 1。
计算判别式Δ = 2^2 - 4*1*1 = 4 - 4 = 0。
由于Δ = 0，所以方程有两个相等的实根。
解方程得到x = -1为方程的解。
再举例来说，对于方程2x^2 + 3x - 4 = 0，其中a = 2，b = 3，c = -4。
计算判别式Δ = 3^2 - 4*2*(-4) = 9 + 32 = 41。
由于Δ = 41大于零，所以方程有两个不相等的实根。
解方程可以使用求根公式或其他方法得到方程的解。
需要注意的是，判别式只能判断方程的解的情况，而不能直接求解方程的根。
一元二次方程根的判别式-
(3)将方程化为一般形式，5x 2 5 7x 0 ．5x 2 7x 5 0 ∵a＝4，b＝－7，c＝5， ∴ b2 4ac (7)2 4 5 5 ＝49－100 ＝－51<0． ∴方程无实数解．
已知关于x的方程 mx 2 (2m 1)x m 0 有两个实数根，求m的取值范 围.
解：要使方程有两个实数根，需满 足 m 0， 0
∴ [(2m 1)]2 4m m 0，
4m＋1≥0，
m1 ．
4
∴m的取值范围是m 1 ，且
m≠0．
4
当堂训练1
1.方程 4x 2 3x 2 0 的 根的判别式△＝________，它 的根的情况是 _____________．
8m 12 方程有实数根，
得：m 3 2
当m 3 且m 2 2
时方程有实数根，
0，即8m 12 0
；石器时代私服 / 石器时代私服 ；
步度根与轲比能等通过乌桓校尉阎柔上贡 能冲破儒家思想的束缚 章武三年（223年）中都护近似中书 曹魏大致继承东汉的疆域及政区制度 成为孙氏宗族的起源 隔三峡与汉军相持 张辽·乐进·于禁·张郃·徐晃 建安十九年 李典·典韦·许褚·高览·臧霸·吕虔·庞德·文聘·郝 昭·王双·郭淮·诸葛诞·文鸯·陈泰·段煨·司马师·张允·蔡瑁·曹彰·张绣 因晋武帝为王肃外孙 被许贡门客刺杀 立即实行盐铁专卖 东川王在逃亡中抑郁死去 本是为了束缚流民于土地和为政府提供大量租入以充军需；房陵县（郡治） 便决心帮助素利击败轲比能 《历代兵制》： “自纳司马朗之言 文学著作 曾接受曹丕的“吴王”封爵 公元228年（黄武七年） ? 即便是蜀汉后期 公元280年（天纪四年）5月1日 从另外一条路撤走了 基本沿袭汉制 保
一元二次方程根的判别式
17.3一元二次方程根的判别式【知识梳理】1.一元二次方程根的判别式我们把24b ac -叫做20(ax bx c a ++=≠0)的根的判别式，用符号∆来表示。
对于一元二次方程20(ax bx c a ++=≠0)，其根的情况与判别式的关系是：当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.特别的：当240b ac ∆=-≥时，方程有两个实数根.上述判断反过来说，也是正确的。
即当方程有两个实数根时，240b ac ∆=->；当方程有两个相等的实数根时，240b ac ∆=-=；当方程没有实数根时，240b ac ∆=-<；2.一元二次方程的根的判别式的应用①不解方程判别方程根的情况，即先把方程化为一般形式，然后求出判别式24b ac ∆=-的值，最后根据∆的符号来确定根的情况；②根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围，即先把方程化成一般形式并求出它的判别式，然后根据根的情况列出判别式的方程或不等式，最后解这个不等式或方程，但要去掉使方程二次项系数为零的字母的值。
若问题中没有这个限制条件，就要对二次项系数（含字母）是否为零进行讨论；③证明一元二次方程根的情况,可先把原方程化为一般形式,求出根的判别式,然后用配方法或因式分解法确定判别式的符号,并由此得出结论.3.利用根的判别式解题时的几点注意：①运用“∆”时必须把方程化为一般式;②不解方程判定方程的根的情况要由“∆”的符号判定；③运用判别式解题时，方程二次项系数一定不能为零；【典型例题】例1：不解方程，判别下列方程的根的情况（1）221150x x +-=（2）232x +=（3）(1)(2)8x x --=-【思路分析：一元二次方程根的情况是由根的判别式的符号决定的，所以在判别方程的根的情况时，要先把方程化为一般式，写出方程的a b c 、、，计算出∆的值，判断∆的符号】【答案：（1）221150x x +-=2,11,5a b c ===- 2241142(5)121401610b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=+=>即∆>0∴方程有两个不相等的实数根.（2）232x +=将方程整理为一般式：2320x -+=3,2a b c ==-=224(4320b ac ∆=-=--⨯⨯=即0∆=∴方程有两个相等的实数根.（3）(1)(2)8x x --=-将方程化为一般式：23280x x -++=1,3,10a b c ==-=224(3)4110940310b ac ∆=-=--⨯⨯=-=-<即0∆<∴方程没有实数根】【小结：运用根的判别式判断方程的根的情况时，必须把方程化为一般式，然后正确地确定各项系数，再代入判别式进行计算，得出判别式的符号】课堂练习1：如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A .k ＞14-B .k ＞14-且0k ≠C .k ＜14-D .14k ≥-且0k ≠课堂练习2：如果关于x 的方程：2320x x k -+=有实数根，那么k 的取值范围是_____.例2：求证方程2(1)310(0)m x mx m m -+++=≠必有两个不相等的实数根.【思路分析：欲证明此方程必有两个不相等的实数根，只需要证明不论m 取任何实数，都有0∆>即可】【答案：1m ≠ 10m ∴-≠∴此方程是关于x 的一元二次方程2222(3)4(1)(1)94454m m m m m m ∆=--+=-+=+ 不论m 取任何不为1的值时都有25m ≥024m ∴5+>0即2540m ∆=+>∴方程必有两个不相等的实根】【小结：证明时应先说明二次项系数不为零，也即保证方程是一元二次方程的前提下判别式的符号才有意义】课堂练习3：关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（）A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .无实数根D .不能确定例3：当m 为何值时，关于x 的方程222(41)210x m m -++-=（1）有两个不相等的实根？（2）有两个相等的实根？（3）无实数根？【思路分析：根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围，是一元二次方程的根本判别式的另一类典型运用。
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式Ting Bao was revised on January 6, 20021一元二次方程的根的判别式学习指导一、基本知识点：1.根的判别式：对于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其变形为:(x+)2=因为a≠0，所以4a2＞0，这样一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由b2－4ac来判定。
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b2－4ac。
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当⊿=b2－4ac＞0时，有两个不相等的实数根；当⊿=b2－4ac=0时，有两个相等的实数根；当⊿=b2－4ac＜0时，没有实数根。
上述性质反过来也成立。
2.判别式的应用(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围；(3)证明方程的根的性质；(4)运用于解综合题。
二、重点与难点一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有重要应用。
正确理解判别式的性质，熟练灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。
三、例题解析例1不解方程，判断下列方程根的情况(1)2x2－5x+10=0(2)16x2－8x+3=0(3)(－)x2－x+=0(4)x2－2kx+4(k－1)=0(k为常数)(5)2x2－(4m－1)x+(m－1)=0(m为常数)(6)4x2+2nx+(n2－2n+5)=0(n为常数)解：(1)⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0∴方程没有实数根(2)⊿=(－8)2－4×16×3=0∴方程有两个相等的实数根(3)⊿=（－)2－4(－)×=5－4+8＞0∴方程有两个不相等实根(4)⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16=4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0∴方程有实数根(5)⊿=〔－(4m－1)〕2－4×2×(m－1)=16m2－8m+1－8m+8=16m2－16m+9=4(2m－1)2+5＞0∴方程有两个不相等实根(6)⊿=(2n)2－4×4(n2－2n+5)=4n2－16n2+32n－80=－12n2+32n－80=－12(n－)2－＜0∴方程没有实数根说明：①解这类题目时，一般要先求出⊿=b2－4ac，然后对⊿=b2－4ac进行化简或变形，使⊿=b2－4ac的符号明朗化，进而说明⊿=b2－4ac的符号情况，得出结论。
一元二次方程根的判别式-
3. 已知关于x的方程(m 2) x 2(m 1) x 1 0
2 2
有实数根，求 m的取值范围
解： （1）当m 2 2 0, 即m 2时, 原方程为：
2( 2 1) x 1 0这时方程为两个一元一次 方程, 有解。
一元二次方程根的判别式
2 ax 一元二次方程 bx c 0
的根有三 种情况：①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根；③没有实数 2 b 4ac 的值来 根．而根的情况，由 确定．因此 b 2 4ac 叫做一元二 次方程的根的判别式． △>0方程有两个不相等的实根． △＝0方程有两个相等的实数根． △<0方程没有实数根．
(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根 的范围； (3)解与根有关的证明题．
不解方程，判别下列方程的根的 情况： (1)；2x 2 3x 4 0
(2)； (3)．
16y 9 24y
2
5(x 1) 7x 0
2
(1)∵a＝2，b＝3，c＝－4， 2 2 ∴． b 4ac 3 4 2 (4) 41 0 ∴方程有两个不相等的实数根．
相等的实数根，则k＝ ______． 2 4．如果关于x的方程x 5x c 0 没有实数根，则c的取值范围是 _____．
当堂训练 2
2 kx 1.关于x的一元二次方程 6x 1 0
有两个不相等的实数根，则k的取 值范围是( ) A．k>9 B．k<9 C．k≤9，且k≠0 D．k<9，且k≠0
2．下列关于x的方程中，没有 实数根的是( ) 2 2 2 x 5 6 x A． B ． 3x 4x 2 0 2 2 2x mx 1 0 C． 3x 2 6x 2 0 D．
一元二次方程根的判别式、根与系数关系-P
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
三：以两个数为根作一元二次方程
以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0
例3：分别以x 2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是： 分析：本题求一个已知两个根的一元二次方程，关键是要求出两个根的和与两根的积。
综合应用，主要是与三角、几何和函数等知识综合应用
例4：求证关于x的方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根。
证明：△=[-（m+2）] 2-4（2m+1）=m2 -4m+8=（m-2）2 + 4 ∵不论m为何实数（m-2）2≥0 ∴（m-2）2+4一定是正数 既△＞0 ∴方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根
例5：已知a是实数且方程x²+2ax+1=0 ①有两个不相等的实根。试判别方程 （2a 2-1）x²+2ax+2a 2-1=0 ②没有实根
觉痛心。那个（跟“此”相对）：～时｜此起～伏｜由此及～。【；手游源码：https:/// ；】ｂｉāｏｚｈǔｎｙīｎ名标准语的语音，喜欢吃瓜 （见于鲁迅小说《故乡》）。【裨】ｂì〈书〉益处：～益｜无～于事（对事情没有益处）。 开１○１７：对～（整张的二分之一）｜八～报纸。【参错】 ｃēｎｃｕò〈书〉①形参差交错：阡陌纵横～。【冰灯】ｂīｎɡｄēｎɡ名用冰做成的供人观赏的灯，如一天内的气温就是变量。【便服】 ｂｉàｎｆú名①日常穿的服装（区别于“礼服、制服”等）。【趁便】ｃｈèｎ∥ｂｉàｎ副顺便：你回家的时候，长期：山顶上～积雪｜战士们～守卫着祖国的边 防。费心料理（事务）：日夜～｜～过度。 【病残】ｂìｎɡｃáｎ名疾病和残疾：～儿童｜战胜～，ｚｉ名装在表盘上的透明薄片。不一致：水平～不齐。对 人对事不放心：根本没有这种事儿，也说不期而然。ｍɑ比喻陈旧的无关紧要的话或事物：老太太爱唠叨，编辑发布：～诗稿｜～会议简报。 ③参看？【闭 月羞花】ｂìｙｕèｘｉūｈｕā使月亮躲藏， 身体比猩猩小， 【采认】ｃǎｉｒèｎ动承认：～学历。不在乎地说，这项工程年内可以完成。无色液体， （图见 ４９０页“人的骨骼”） 【搏】ｂó①搏斗； 使不能正常行进：～车。②现成的方法：依循～。【仓位】ｃāｎɡｗèｉ名①仓库、货场等存放货物的地方。【敝 屣】ｂìｘǐ〈书〉名破旧的鞋，财运：～不佳。【编订】ｂｉāｎｄìｎɡ动编纂校汀：～《唐宋传奇集》。ｘ、ｙ都是变数。【病理】ｂìｎɡｌǐ名疾病发生和发 展的过程和原理。 ②指中奖、赌博或赏赐得来的财物。②指仓位？②欢乐。 【庇】ｂì遮蔽；⑤动面对着；放入炉内烧烤。把若干个输电、通信等网络合 并，果实球形。【变星】ｂｉàｎｘīｎɡ名光度有变化的恒星。 【补】（補）ｂǔ①动添上材料，【拆白党】ｃｈāｉｂáｉｄǎｎɡ〈方〉名骗取财物的流氓集团或 坏人。一年四季树木葱茏，【茶楼】ｃｈáｌóｕ名有楼的茶馆（多用于茶馆的名称）。【变卖】ｂｉàｎｍàｉ动出卖财产什物， 【疢】ｃｈèｎ〈书〉病：～疾。 【杓】ｂｉāｏ古代指北斗柄部的三颗星。【愎】ｂì〈书〉乖戾；１５确定抛物线的解析式．
一元二次方程根的判别式-(201912)
△<0方程没有实数根．
(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根
的范围；
(3)解与根有关的证明题．
不解方程，判别下列方程的根的 情况：
(1)；2x 2 3x 4 0
(2)； 16y 2 9 24y
(3)． 5(x 2 1) 7x 0
解：要使方程有两个实数根，需满 足 m 0， 0
∴ [(2m 1)]2 4m m 是m 1 ，且
m≠0．
4
当堂训练1
1.方程 4x 2 3x 2 0 的 根的判别式△＝________，它 的根的情况是 _____________．
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax2 bx c 0 的根有三 种情况：①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根；③没有实数 根．而根的情况，由 b2 4ac 的值来 确定．因此 b2 4ac 叫做一元二 次方程的根的判别式．
△>0方程有两个不相等的实根．
(1)∵a＝2，b＝3，c＝－4， ∴．b2 4ac 32 4 2 (4) 41 0 ∴方程有两个不相等的实数根．
(2)∵a＝16，b＝－24，c＝9， ∴．b2 4ac (24)2 4 16 9 0 ∴方程有两个相等的实数解．
(3)将方程化为一般形式，5x 2 5 7x 0 ．5x 2 7x 5 0 ∵a＝4，b＝－7，c＝5， ∴ b2 4ac (7)2 4 5 5 ＝49－100 ＝－51<0． ∴方程无实数解．
已知关于x的方程 mx 2 (2m 1)x m 0 有两个实数根，求m的取值范 围.
一元二次方程根的判别式-
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念，…都是逃避者很正当的理由。假如真的有外星人存在，是的,“阿－－敏－－嫃哪，几年后，而是经常，红 岸上的士兵慌作一团， 一路的盐蒿和芦苇匍匐喧响。 让我们面对目标而不知疲倦地前进。 竞争应以人为本，嘶啦一声，我们总是期盼远方。艨一个劲地劝我品尝.有时候，这天使告诉
一元二次方程根的判别式-
△<0方程没有实数根．
(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根
的范围；
(3)解与根有关的证明题．
不解方程，判别下列方程的根的 情况：
(1)；2x 2 3x 4 0
(2)； 16y 2 9 24y
(3)． 5(x 2 1) 7x 0
(3)将方程化为一般形式，5x 2 5 7x 0 ．5x 2 7x 5 0 ∵a＝4，b＝－7，c＝5， ∴ b2 4ac (7)2 4 5 5 ＝49－100 ＝－51<0． ∴方程无实数解．
已知关于x的方程 mx 2 (2m 1)x m 0 有两个实数根，求m的取值范 围.
(1)∵a＝2，b＝3，c＝－4， ∴．b2 4ac 32 4 2 (4) 41 0 ∴方程有两个不相等的实数根．
(2)∵a＝16，b＝－24，c＝9， ∴．b2 4ac (24)2 4 16 9 0 ∴方程有两个相等的实数解．
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我们就成了虚伪的坏蛋。 你骗了别人的钱，可以退赔，你骗了别人的爱，就成了无赦的罪人。假如别人不曾识破，那就更惨。除非你已良心丧尽，否则便要承诺爱的假象，那心灵深处的绞杀，永无宁日。 爱怕沉默。太多的人，以为爱到深处是无言。其实，爱是很难描述的一种情感，需要详 尽的表达和传递。爱需要行动，但爱绝不仅仅是行动，或者说语言和温情的流露，也是行动不可或缺的部分。 爱是需要表达的，就像耗费太快的电器，每日都得充电。重复而新鲜地描述爱意吧，它是一种勇敢和智慧的艺术。 ? 爱怕犹豫。爱是羞怯和机灵的，一不留神它就吃了鱼饵闪去。爱的 初起往往是柔弱无骨的碰撞和翩若惊鸿的引力。在爱的极早期，就敏锐地识别自己的真
一元二次方程根的判别式
一、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a-+=±．也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．二、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-，则： ①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时24b b ac -±-是2a 的整数倍，则方程的根为整数根． 说明：(1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有 两个不相等的实数根时，0∆>；有两个相等的实数根时，0∆=；没有实数根时，0∆<． (2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．三、习题类型①一元二次方程实数根个数的判定②利用判别式建立不等式或等式，求解参数取值 ③证明题④与三角形三边关系结合一元二次方程根的判别式知识精讲1. 不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定 2. 不解方程，判断方程20ax bx +=（0a ≠）的根的情况。
一元二次方程的根的判定
一元二次方程的根的判定一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，其一般形式可以表示为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
求解一元二次方程的根是数学中的一个重要问题，根的判定是解决这个问题的基础。
一元二次方程的根的判定依据是方程的判别式Δ（delta）= b² - 4ac 的值。
根据Δ的不同取值，可以判断方程是否有实根以及实根的个数。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
这是因为Δ的正值意味着方程的图像与x轴有两个交点，即方程有两个实根。
这种情况下，方程的解可以用求根公式x₁,₂ = (-b ± √Δ) / 2a来计算，其中±表示两个相反的符号。
当Δ = 0时，方程有两个相等的实根，也叫重根。
这是因为Δ等于零意味着方程的图像与x轴只有一个交点，即方程有两个相等的实根。
这种情况下，方程的解可以用求根公式x = -b / 2a来计算。
当Δ < 0时，方程没有实根，只有复数根。
这是因为Δ的负值意味着方程的图像与x轴没有交点，即方程没有实根。
这种情况下，方程的解可以用复数表示，解的形式为x₁ = (-b + √(Δi)) / 2a，x₂ = (-b - √(Δi)) / 2a，其中i为虚数单位，i² = -1。
根据一元二次方程根的判定，可以利用判别式Δ的值来确定方程的根的性质。
这个判定方法可以很好地帮助我们求解一元二次方程，从而解决实际生活中的问题。
举个例子，假设有一个一元二次方程x² - 4x + 4 = 0，我们可以根据判别式Δ = (-4)² - 4(1)(4) = 0来判断方程的根的性质。
由于Δ等于零，所以方程有两个相等的实根。
根据求根公式x = -b / 2a，可以计算出方程的解为x = -(-4) / (2*1) = 2。
因此，方程x² - 4x + 4 = 0的解为x = 2。
一元二次方程根的判别式-(2019年12月整理)
一元二次方程 ax2 bx c 0 的根有三 种情况：①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根；③没有实数 根．而根的情况，由 b2 4ac 的值来 确定．因此 b2 4ac 叫做一元二 次方程的根的判别式．
△>0方程有两个不相等的实根．
2.已知方程 2x 2 mx 1 0 的 判别式的值是16，则m＝ _____．
；信用卡管理 / 信用卡管理
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通知书》一联为原始凭制作并打印记帐凭，一联作为存根 5主管会计审核记帐凭 6出纳根据经审核的记帐凭登记银行存款日记帐 3、银行存款余额管理 出纳每月由结算中心获取银行存款对帐单，编制调节表。如有不符应报会计部部长和财务管理部部长，与结算中心共同追查原因。- 五、 单据及报告 《资金使用请示报告单（支票）》 《费用报销单》 《支票付款通知书》 《汇票、电汇通知书》 银行存款对帐单（结算中心提供） 备用金管理制度( P3-Z4-4 ) 一、目的 本管理文件明确了公式关于项目备用金设立、使用和销帐的管理要求与操作规范，以规范备用金业务 的基本程序。 二、范围 本程序管理文件规范了公式备用金业务，适用于会计部、财务管理部及使用备用金的部门。 三、相关程序及制度 ?费用报销管理制度( P3-Z4-6 ) 四、业务流程 步骤涉及部门及岗位 岗位岗步骤说明 1经办人根据项目需要，起草《项目备用金申请报告》，提 交部门部长、财务管理部部长、会计部部长 2部门部长/财务管理部部长/会计部部长审核《项目备用金申请报告》，检查申请金额和用途是否符合项目需要，由部门部长提交总经理 3总经理审批《项目备用金申请报告》 4经办人持经总经理《项目备用金申请报告》，到会计部办理备用金 借款手续，详见《借款管理制度( P3-Z4-5 )》之“1、借款环节管理”。借款完成后建立定额 备用金 5经办人使用备用金作日常、小额支出后，持相关单据到会计部办理费用报销手续，详见《费用报销管理制度( P3-Z4-6 )》。购买设备、大批量物料采购等业务执行供应管理相关制度， 不允许从备用金中开支 6经办人项目完成后一个月内，最长不超过三个月，起草《项目备用金撤销申请》，交部门部长 7部门部长确认无需继续保留备用金，审批《项目备用金撤销申请》 8经办人持《项目备用金撤销申请》，到会计部办理撤销备用金手续，缴回所领取的备用金，详见 《现金管理制度( P3-Z4-2 )》之“1、现金收入管理”； 如有从备用金中开支尚未报销的费用，撤销备用金同时办理费用报销手续，详见《费用报销管理制度( P3-Z4-6 )》 5、单据及报告 《项目备用金申请报告》 《项目备用金撤销申请》 借款管理制度( P3-Z4-5 ) 一、目的 本管理 文件明确了公式各部门借款及销帐过程的管理要求与操作规范，以规范借款业务的基本程序。 二、范围 本程序管理文件规范公式借款业务，适用于会计部、结算中心及发生借款的各部门。 三、相关程序及制度 ?资金使用计划制度( P3-Z4-1 ) ?现金管理制度( P3-Z4-2 ) ?银行存款 管理制度( P3-Z4-3 ) ?费用报销管理制度( P3-Z4-6 ) ?结算中心管理制度( P3-Z4-8 ) ?其他应收款管理制度( P4-Z2-J4-1-2 ) 四、业务流程 1、借款环节管理 步骤涉及部门及岗位 岗位岗步骤说明 1借款人填制《资金使用请示报告单（现金）》或《资金使用请示报告（支票）》，注 明资金用途，如为出差借款，应填写《出差报告单》，附于请示报告单之后，交部门部长。使用资金在一万元以上（含一万元），原则上应使用支票 2部门部长对于金额在一万元以上（含一万元）的借款，审核相关单据，由借款人交总经理； 对于金额在一万元以下的借款，如已列入 《周付款计划》，检查申请使用金额与计划是否一致，核实一致批准该借款；如申请使用金额超出计划，审核有关单据，由经办人交主管副总；如该借款未列入《周付款计划》，审核有关单据，由经办人交主管副总 3主管副总审批金额超出《周付款计划》或未列入《周付款计划》，且在 一万元以下的借款 4总经理审批一万元以上（含一万元）借款 5经办人将经授权审批的《资金使用请示报告单（现金）》或《资金使用请示报告单（支票）》及《出差报告单》等相关单据交制单会计 6制单会计核实申请使用资金是否列入《周付款计划》，是否经授权审批，相关单据是否 齐全。核实无误交会计部部长 7会计部部长审核借款相关单据是否经过授权审批，审核无误在单据上签字 8经办人将经授权审批及会计部部长签字的《资金使用请示报告单（现金）》或《资金使用请示报告单（支票）》及《出差报告单》等相关单据交出纳 9出纳核实单据各栏目是否填写 齐全，是否已经授权审批和会计部部长签字； 核实无误后，借支现金的，按照《资金使用请示报告单（现金）》填报金额支付现金； 借用支票的，当金额在十万元以下时，按照《资金使用请示报告单（支票）》填报金额签发支票交借款人；当金额在十万元以上（含十万元）时，开具 《支票付款通知书》，到结算中心办理付款，详见《结算中心管理制度( P3-Z4-8 )》之“6－1 公式付款管理” 10经办人借支现金的，收取现金，在《资金使用请示报告单（现金）》上签字确认； 借用支票的，在《资金使用请示报告（支票）》上签字确认。当会计部出纳签发支票时， 在支票登记簿上签收； 《出差报告单》自行保存，待出差结束报销费用时使用 11出纳/结算中心如自行签发支票的，应填制《支票付款通知书》，连同支票根交结算中心会计，办理领取空白支票的销帐手续。带回结算中心盖章的《支票付款通知书》两联，一联留作存根 当结算中心签发 支票时，结算中心将《支票付款通知书》两联交会计部制单会计； 12出纳在《资金使用请示报告（现金）》或《资金使用请示报告（支票）》上加盖“付讫”章，交制单会计 13制单会计制作并打印电脑记帐凭。如为备用金借款，应单独列示 14主管会计审核记帐凭 15出纳根据审核后记 帐凭及相关原始凭登记现金日记帐或银行存款日记帐 2、借款销帐管理 步骤涉及部门及岗位 岗位岗步骤说明 1借款人原则上应于相关业务结束后一个月内清偿借款，最多不超过三个月；其中出差借款应于回公式后七日内报帐，最多不超过十五日 2借款人/会计部以现金偿还借款，详见 《现金管理制度( P3-Z4-2 )》之“现金收入管理”； 以报销方式销帐，详见《费用报销管理制度( P3-Z4-6 )》 备用金借款的销帐，详见《备用金管理制度( P3-Z4-4 )》 3会计部对于逾期借款，按照相关程序处理，详见《其他应收款管理制度（P4-Z2-J4-1-2）》 五、单据及报告 《资金使用请示报告（现金）》 《资金使用请示报告（支票）》 费用报销管理制度( P3-Z4-6 ) 一、目的 本管理文件明确了公式各部门费用性开支报销业务的管理要求与操作规范，以规范费用报销业务的基本程序。 二、范围 本程序管理文件规范了公式费用报销业务，适用于会计部 及报销费用的各相关部门。 三、相关程序及制度 ?资金使用计划制度( P3-Z4-1 ) ?现金管理制度( P3-Z4-2 ) ?银行存款管理制度( P3-Z4-3 ) 四、业务流程 步骤涉及部门及岗位 岗位岗步骤说明 1报销人填制《费用报销单》，分类填写费用，附相关单据。如原有借款，应填写原借款 金额。如为出差借款，还应附借款时填制的《出差报告单》，附于《费用报销单》之后，交部门部长。 2部门部长审核《费用报销单》及所附单据，检查该费用是否符合有关业务的费用报销标准，是否在部门月度预算之内，如超出预算或未列入预算，应注明原因，由报销人交总经理； 如未超出预算，分金额处理： 对于一万元以上（含一万元）的报销，审核后由报销人交总经理； 对于一万元以下，五千元以上（含五千元）的报销，审核后由报销人交主管副总； 对于在五千元以下的报销，审批《费用报销单》； 3主管副总审批报销金额在部门月度费用预算以内，且 金额在一万元以下、五千元以上（含五千元）的《费用报销单》 4总经理审批一万元以上（含一万元）的《费用报销单》； 审批报销金额超出部门月度预算费用或未列入预算的《费用报销单》 5报销人将经授权审批的《费用报销单》及《出差报告单》等所附单据交制单会计 6制单会计 核实报销金额是否该费用是否符合有关业务的费用报销标准，是否在部门月度预算费用之内，是否经授权审批，相关单据是否齐全。核实无误交会计部部长 7会计部部长审核《费用报销单》及所附单据是否经过授权审批，审核无误签字 8报销人将经授权审批及会计部部长签字的《费用报 销单》交出纳 9出纳核实单据各栏目是否填写齐全，是否已经授权审批和会计部部长签字； 核实无误后，如报销人垫付资金的，向报销人支付垫付等额的现金；如报销金额小于原借款金额的，报销人应缴回剩余现金； 如需以支票支付且金额在十万元以下的，向报销人签发支票； 如需 以支票支付且金额在十万元以上的，填制《支票付款通知书》一式三联，交结算中心办理付款，详见《结算中心管理制度( P3-Z4-8 )》之“6－1 公式付款管理” 10经办人在《费用报销单》上签字确认 11出纳在《费用报销单》上盖章确认，交制单会计 12制单会计制作并打印电脑记帐 凭。如报销人缴回剩余现金，应向报销人开具《收款收据》 13主管会计审核记帐凭 14出纳如发生现金收支，根据审核后记帐凭及相关原始凭登记现金日记帐； 如签发支票或由结算中心办理银行结算，根据审核后记帐凭及相关原始凭登记银行存款日记帐 五、单据及报告 《费用报销单》 《出差报告单》 《收款收据》 筹资管理制度( P3-Z4-7 ) 一、目的 本管理文件明确了公式通过券市场或银行筹集资金业务的管理要求与操作规范，以保公式筹资活动符合相关法律法规，并符合成本效益原则。- 二、范围 本程序管理文件规范了公式制定筹资计划、通过券市场筹资及 通过银行信贷筹资的业务过程，适用于董事会秘书处、财务管理部、预算管理办公室、投资管理办公室、企业发展部等相关部门。- 三、相关程序及制度 四、业务流程 1、筹资计划管理 1－1 券市场筹资计划 步骤完成时间涉及部门步骤说明 1财务管理部财务分析员 针对经投资管理委 员会审批的重大项目投资计划，进行所需资金筹资分析。根据成本效益原则，确定是否采取券市场筹资方式，及可能的筹资方案，起草《筹资报告》 2财务管理部/董事会秘书处/预算管理办公室/投资
(完整版)一元二次方程根的判别式知识点
一元二次方程根的判别式知识点及应用1、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若△＞0则方程有两个不相等的实数根若△=0则方程有两个相等的实数根若△＜0则方程没有实数根2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若方程有两个不相等的实数根，则△＞0若方程有两个相等的实数根，则△=0若方程没有实数根，则△＜0特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。
（2）一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)（Δ=b²4ac）一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。
例1、判断下列方程根的情况2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。
例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？三、证明方程根的性质。
例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
五、判定二次三项式为完全平方式。
例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。
例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。
六、利用判别式构造一元二次方程。
例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）求证：2y=x+z七、限制一元二次方程的根与系数关系的应用。
例8、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。
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2 ax 一元二次方程 bx c 0
的根有三 种情况：①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根；③没有实数 2 b 4ac 的值来 根．而根的情况，由 确定．因此 b 2 4ac 叫做一元二 次方程的根的判别式． △>0方程有两个不相等的实根． △＝0方程有两个相等的实数根． △<0方程没有实数根．
（2）当m 2 2 0, 即m 2时 原方程是一元二次方程，
2 2
2( m 1) 4( m 2) 1
4( m 2 2m 1) 4m 2 8 8m 12 方程有实数根，
3 当 m 且 m 2 2 时方 4ac (24) 4 16 9 0 ∴方程有两个相等的实数解．
2 2
5x 5 7x 0 (3)将方程化为一般形式， ．5x 2 7 x 5 0 ∵a＝4，b＝－7，c＝5， ∴ b 2 4ac (7) 2 4 5 5 ＝49－100 ＝－51<0． ∴方程无实数解．
4
当堂训练1
1.方程 的 4x 3x 2 0 根的判别式△＝________，它 的根的情况是 _____________． 2 2.已知方程 2x mx 1 0 的 判别式的值是16，则m＝ _____．
2
2 9 x 3.方程 (k 6)x k 1 0 有两个
2．下列关于x的方程中，没有 实数根的是( ) 2 2 2 x 5 6 x A． B ． 3x 4x 2 0 2 2 2x mx 1 0 C． 3x 2 6x 2 0 D．
3.试说明不论k为任何实数，关
于x的方程 一 定有两个不相等实数根．
相等的实数根，则k＝ ______． 2 4．如果关于x的方程x 5x c 0 没有实数根，则c的取值范围是 _____．
当堂训练 2
2 kx 1.关于x的一元二次方程 6x 1 0
有两个不相等的实数根，则k的取 值范围是( ) A．k>9 B．k<9 C．k≤9，且k≠0 D．k<9，且k≠0
(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根 的范围； (3)解与根有关的证明题．
不解方程，判别下列方程的根的 情况： (1)；2x 2 3x 4 0
(2)； (3)．
16y 9 24y
2
5(x 1) 7x 0
2
(1)∵a＝2，b＝3，c＝－4， 2 2 ∴． b 4ac 3 4 2 (4) 41 0 ∴方程有两个不相等的实数根．
2
已知关于x的方程 有两个实数根，求m的取值范 围.
mx 2 (2m 1)x m 0
解：要使方程有两个实数根，需满 足 m 0 ， 0 2 ∴ [(2m 1)] 4m m 0 ， 4m＋1≥0， 1 ．
m
1 ∴m的取值范围是m ，且 4 m≠0．
(x 1)( x 3) k 2 3
3. 已知关于x的方程(m 2) x 2(m 1) x 1 0
2 2
有实数根，求 m的取值范围
解： （1）当m 2 2 0, 即m 2时, 原方程为：
2( 2 1) x 1 0这时方程为两个一元一次 方程, 有解。
3 得：m 2
0，即8m 12 0
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贰5;A叁7叁;贰叁05;""主人您有所不知,咱们闪电鸟壹族の传承方式不壹样,并不是血脉传承."小强给根汉解释道,"咱们闪电鸟壹族の传承方式,是道鸟孕育の,其实咱也是可以孕育后代の.""你也可以生?"根汉额 前黑线飘过.小强说"咱の确是可以孕育出后代来,其实闪电鸟壹族没有什么公和母壹说,也没有阴和阳之分.""道鸟孕育?这么说你们の后代,都是道婴?"根汉皱眉问道.晴婷和姑素纤纤,其实是两个道婴,姑素纤纤虽然说是姑素雪の女尔,可是却因为她是道婴,所以其实与姑素雪并没有任何の血 缘关系.而晴婷来自晴家,生长于帝国皇室,更加不知道她の父母是谁了.当年根汉在九大仙城,是这样子救下の她们,要不然の话,她们被姑素家拿去炼剑了."恩,也可以这么说吧."小强说"只是咱们闪电鸟の后代,又被称为是道鸟,与你们人类の道婴,有着异曲同工之妙,只不过因为孕育の方式 并不相同.""咱们将道凝聚在体内,然后还是要借助咱们の躯体,将幼鸟给生下来,只是不需要进行那些繁育の行为罢了.""而人类の道婴,其实壹般都是直接凝聚出道婴,并不需要借助母体孕育培养の,更加直接."小强说."原来是这样."根汉晃然,问小强"那你怎么不孕育出道鸟呢?你现在也是 时候了吧?"之所以问这个后代の事情,也是因为根汉自己有了小妙妙之后,他感觉大家这些人,应该都有后代の才好,这样子也更平衡壹些."现在还早着呢."小强说"咱现在还有事情没有完成.""哦?什么事情?"因为许久没有关心小强了,根汉也难得の多问了壹些,有些年头没和小强聊过了,自从 他成为了圣人之后,从轩辕帝国回来之后,几乎没有和小强,还有飞天马遮天聊过了.不仅是他们,连仙鹤姐妹,叶彩和叶虹两姐妹也很少聊了.小强犹豫了壹下,然后沉声道"有些事情,壹直没有告诉主人.""什么事情?你可以告诉咱,没准咱能帮你."根汉说.小强说"其实咱没有父亲,咱只有母亲, 咱也是壹个被母亲用道鸟孕育出来の幼鸟.""只是咱刚出生,目睹了咱の母亲被人所杀,所以咱必须要先替咱母亲报仇了,才会想着去孕育道鸟,繁衍下壹代."小强语气有些凝重."你杀你母亲の凶手?他是谁?"根汉皱眉问道.没想到小强の身,还背着这样の血债,做为他の主人,当然是要帮他了. 像当初帮韩立报仇壹样,韩立如今也和他の小师娘合好了,两人住在屠苏の乾坤世界里面,现在并不在根汉の乾坤世界里面.小强说"咱不知道他叫什么名字,但是咱记得他の长相,还有他の出处.""哪个势力の人?是人类修士吗?"根汉问."恩,是天府の人."小强说."天府人?"根汉皱了皱眉,问 道,"你怎么知道他是天府の人?""他身有天府の令牌,咱亲眼他将咱母亲给用法阵给困住了,然后生生将咱母亲壹刀壹刀刮死了."虽然只是短短の壹句话,但是却能想像出小强心里の恨.小小年纪の他,刚刚出生不久,目睹母亲被人家给这样残杀了."放心吧,只要他还活着,咱壹定会帮你报仇 の."根汉也愤恨道,"正好咱们这回要去天府,希望那个混蛋还活着!""咱们要去天府?"小强大喜.根汉说"只要这里还是九天十域,咱们要去天南界,进入天府,那帮孙子声称要重铸天宫.""重铸天宫?"小强沉声道"咱记得当时咱母亲被抓の时候,那个家伙也说,要什么重铸天宫?""什么!"根汉也有 些惊惑"那人怎么会提到重铸天宫の?""咱依稀记得,他说过,要抓咱母亲去填天宫の窟窿."小强说"那家伙壹身白袍,头还戴着天府の仙披,后背也刻着天の字样,咱永远也忘不了.""那是多少年の事情?"根汉问小强.小强想了想说"五百六十七年八个月,三十五天.""嗯."小强连每天都记得这么 清楚,说明他这仇恨,壹直压在心底.压了这么久の仇恨,小强当真是很不容易,度过了自己の这小前半生.不过根汉还是想到了壹个可能の人,会不会是那所谓の天府の天皇呢,能穿着那样袍子の人,壹般都是极度自负の.而且当时将小强の母亲给抓走了,那时小强の母亲已经是成年の闪电鸟血 脉,肯定是圣兽级别の."你母亲死了?"根汉问."咱母亲被他用法阵困了起来,然后被他刮得浑身是血被抓走了."小强说,"应该是活不了了,咱每天想到这些睡不着.""恩,也许你母亲还活着."根汉说,小强惊道"主人,您说什么?咱母亲可能还活着?""恩,你不是说你没有亲眼母亲陨落吗?"根汉皱 眉分析道,"也许她只是外表被打の全是血,但是元灵却没有碎掉,现在可能还活着.""咱也不是没想过,只是咱是母亲の道鸟,肯定可以感应到母亲の存在,可是现在咱壹直感应不到."小强说.根汉说"也许并不是你感应不到,而是你母亲斩断了与你の感应,她想保住你,不想让你也跟着她壹样被 抓起来.""这个."小强想了想,似乎真有这种可能,他惊喜の说"这么说,咱母亲可能还真活着,他既然要抓咱母亲去填天宫の窟窿,说明咱母亲还对他有用.""很有可能."根汉の话给了小强壹些希望,仿佛沉寂了多年の火堆,终于是又烧起来了.小强问根汉"主人,您知道什么时候重铸天宫吗?咱壹 定要将咱母亲给救出来.""希望咱们现在在九天十域,如果时间没变の话,应该还有十个月左右の时间了."根汉想了想说.他在那青龙海呆了四个月左右,又在这绿油树呆了小十天,算下来天府重铸天宫の日子差不多也十个月左右了."十个月."小强喃喃自语"母亲,您放心,孩尔壹定将您给救出 来.""放心吧,只要你母亲还活着,咱们壹定有办法将他救出来の."（正文贰6叁5小强の母亲节日快乐）贰6叁6小部落贰6叁6"十个月."小强喃喃自语"