题型方法25

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排列组合题型分析还有21种常用方法的整理

排列组合应用题的类型及解题策略一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。

二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。

（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。

解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。

特殊优先法列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。

例1．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填A22·A44＝48. 从而应填48．（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。

弄清要“完成什么样的事件”是前提。

三．基本题型及方法：1．相邻问题（1）、全相邻问题，捆邦法例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（C ）种。

A）720 B）360 C）240 D）120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。

（2）、全不相邻问题，插空法例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有47A种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为4676A A种例4高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040解：不同排法的种数为5256A A＝3600，故选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。

高考数学复习考点题型专题讲解25 定值问题

高考数学复习考点题型专题讲解专题25 定值问题高考定位在解析几何题目中，有些几何量与参数无关，这类问题被称为定值问题.定值问题是高考的热点问题、难度较大，一般作为压轴题出现.[高考真题](2020·新高考Ⅰ卷改编)已知椭圆C ：x 26＋y 23＝1，点M ，N 在C 上，点A (2，1)且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值. 证明设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26＋y 23＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.①由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0，故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0.将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km 1＋2k2＋(m －1)2＋4＝0，整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0.因为A (2，1)不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0，所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1.所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23－13(k ≠1).所以直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1). 由AM →·AN →＝0，得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0. 又x 216＋y 213＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0.解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝23.此时直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.令Q 为AP 的中点，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt△ADP 的斜边，故|DQ |＝12|AP |＝223.若D 与P 重合，则|DQ |＝12|AP |.综上，存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，使得|DQ |为定值.样题1(2022·厦门二模改编)已知抛物线C ：y 2＝4x ，点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ，设O 为坐标原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.证明由题意，可知直线l 的斜率存在，且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，Δ＝(2k －4)2－4k 2>0，得k <0或0<k <1. 则x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2，直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)，令x ＝0，得M 的纵坐标y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2，同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2，由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N ，所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1（k －1）x 1＋x 2－1（k －1）x 2＝1k －1·2x 1x 2－（x 1＋x 2）x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值.样题2(2022·湖南六校联考改编)已知双曲线C ：x 2－y 2＝1.已知点A 是C 上一定点，过点B (0，1)的动直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，记k AP ，k AQ 分别为直线AP ，AQ 的斜率，若k AP ＋k AQ 为定值λ，求点A 的坐标及实数λ的值.解设A (m ，n )，过点B 的动直线为y ＝tx ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2－y 2＝1，y ＝tx ＋1，得(1－t 2)x 2－2tx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－t 2≠0，Δ＝4t 2＋8（1－t 2）>0，x 1＋x 2＝2t 1－t2，x 1x 2＝－21－t2，由1－t 2≠0，且Δ>0，得t 2<2且t 2≠1. 因为k AP ＋k AQ ＝λ，所以y 1－n x 1－m ＋y 2－nx 2－m＝λ，即tx 1＋1－n x 1－m ＋tx 2＋1－nx 2－m＝λ，化简得(2t －λ)x 1x 2＋(－mt ＋1－n ＋λm )(x 1＋x 2)－2m ＋2mn －λm 2＝0，所以(2t －λ)·－21－t 2＋(－mt ＋1－n ＋λm )·2t 1－t 2－2m ＋2mn －λm 2＝0，化简得m (λm －2n )t 2＋2(λm －n －1)t ＋2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0，由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立，所以⎩⎨⎧m （λm －2n ）＝0，λm －n －1＝0，2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0.如果m ＝0，那么n ＝－1，此时A (0，－1)不在双曲线C 上，舍去，所以m ≠0，所以λm ＝2n ＝n ＋1，所以n ＝1，代入2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0，得2λ＝λm 2，因为λ＝2nm≠0，所以m 2＝2，得m ＝±2，此时A (±2，1)在双曲线C 上.综上，A (2，1)，λ＝2，或者A (－2，1)，λ＝－ 2.样题3(2022·石室中学三诊改编)已知椭圆M ：x 24＋y 2＝1，设O 为坐标原点，A ，B ，C是椭圆M 上不同的三点，且O 为△ABC 的重心，探究△ABC 面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.解当直线AB 的斜率不存在时，AB ⊥x 轴，点C 在x 轴上，点C 到AB 的距离d ＝32|a |＝3，|AB |＝3，则S △ABC ＝12|AB |d ＝332.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB ：y ＝kx ＋m ，联立⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有Δ＝16(4k 2＋1－m 2)>0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1·x 2＝4m 2－44k 2＋1.y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m4k 2＋1. 因为O 为△ABC 的重心，所以OC →＝－(OA →＋OB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8km 4k 2＋1，－2m 4k 2＋1，因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫8km4k 2＋1，－2m 4k 2＋1在椭圆上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫8km 4k 2＋124＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 4k 2＋12＝1，即4m 2＝4k 2＋1.又|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·44k 2＋1－m 24k 2＋1.点O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋k 2，所以S △ABC ＝3S △ABO ＝32·|AB |·d ＝6|m |4k 2＋1－m 24k 2＋1＝6|m |3m 24m 2＝332.综上，S △ABC ＝332为定值.规律方法求解定值问题的两大途径(1)可由特例得出一个值(此值一般就是定值)，然后证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关.(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子与分母约分得定值.训练(2022·湖州调研)已知定点F (0，1)，定直线l ：y ＝－1，动圆M 过点F ，且与直线相切.(1)求动圆M 的圆心轨迹E 的方程；(2)过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，与圆N ：x 2＋y 2－2y ＝0交于C ，D 两点(A ，C 在y 轴同侧)，求证：|AC |·|BD |是定值. 解 (1)设点M 到直线l 的距离为d ，依题意|MF |＝d . 设M (x ，y )，则有x 2＋（y －1）2＝|y ＋1|，化简得x 2＝4y .(2)抛物线E ：x 2＝4y 的焦点F (0，1)，设直线l 的方程是y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得x 2－4kx －4＝0，则Δ＝16(k 2＋1)>0，且x 1＋x 2＝4k ，x 1·x 2＝－4.由条件可知圆x 2＋(y －1)2＝1的圆心为N (0，1)，半径为1，圆心就是焦点，由抛物线的定义有|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，则|AC |＝|AF |－1＝y 1，|BD |＝|BF |－1＝y 2，故|AC |·|BD |＝y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－4k 2＋4k 2＋1＝1. 即|AC |·|BD |为定值，定值为1.一、基本技能练1.(2022·合肥模拟改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，左、右顶点分别为A 1，A 2.点P 是椭圆C 上异于左、右顶点的任意一点，证明：点P 与A 1，A 2连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值.证明设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20b2＝1，所以y 20＝b 2（a 2－x 20）a2，所以kPA 1＝y 0x 0＋a，kPA 2＝y 0x 0－a (x 0≠±a )，所以k PA 1·k PA 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a 2＝b 2（a 2－x 20）a 2x 20－a 2＝－b 2a 2，又因为e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，所以b 2a 2＝34，所以－b 2a 2＝－34，所以点P 与A 1，A 2连线的斜率的乘积为定值－34.2.(2022·广州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2分别为椭圆C的左、右焦点，M 为椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长为4＋2 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为圆x 2＋y 2＝5上任意一点，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，试判断PA →·PB →是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解 (1)由已知可得⎩⎨⎧2a ＋2c ＝4＋23，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝5.当x 0＝±2时，y 0＝±1，显然PA ⊥PB ，则PA →·PB →＝0.当x 0≠±2时，过点P 的切线可设为y ＝k (x －x 0)＋y 0，联立切线方程与椭圆方程，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋（y 0－kx 0），x 2＋4y 2＝4，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8k (y 0－kx 0)x ＋4[(y 0－kx 0)2－1]＝0，所以Δ＝64k 2(y 0－kx 0)2－16(4k 2＋1)·[(y 0－kx 0)2－1]＝0. 整理成关于k 的方程，得(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0，此方程的两个根k 1，k 2就是切线PA ，PB 的斜率，所以k 1·k 2＝1－y 204－x 20＝1－（5－x 20）4－x 20＝－1.所以PA ⊥PB ，所以PA →·PB →＝0. 综上，PA →·PB →＝0，为定值.3.(2022·盐城模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其离心率e ＝12，P 是椭圆C 上一动点，△PF 1F 2内切圆面积的最大值为π3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线PF 1，PF 2与椭圆C 分别相交于点A ，B ，求证：|PF 1||F 1A |＋|PF 2||F 2B |为定值. (1)解由题意得△PF 1F 2内切圆半径r 的最大值为33，设|F 1F 2|＝2c ，则⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，12×（2a ＋2c ）×33＝12×2c ·b ，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎨⎧b 2＝3，a 2＝4， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当y 0≠0时，设直线PF 1，PF 2的方程分别是x ＝m 1y －1，x ＝m 2y ＋1.联立⎩⎨⎧x ＝m 1y －1，x 24＋y 23＝1，消去x 并整理得(3m 21＋4)y 2－6m 1y －9＝0，∴y 0y 1＝－93m 21＋4. ∵x 0＝m 1y 0－1，∴m 1＝x 0＋1y 0，又x 204＋y 203＝1，∴y 0y 1＝－5＋2x 03. 联立⎩⎨⎧x ＝m 2y ＋1，x 24＋y 23＝1，同理可得y 0y 2＝－5－2x 03，∴|PF 1||F 1A |＋|PF 2||F 2B |＝－y 0y 1－y 0y 2＝103；当y 0＝0时，直线PF 1，PF 2与x 轴重合，易得|PF 1||F 1A |＋|PF 2||F 2B |＝3＋13＝103. 综上所述，|PF 1||F 1A |＋|PF 2||F 2B |＝103. 二、创新拓展练4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(2，1)，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠0)与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAPB 的顶点P 在椭圆C 上，求证：平行四边形OAPB 的面积为定值.(1)解由题意⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b2＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1. (2)证明联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 22＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4ktx ＋2(t 2－2)＝0，所以Δ＝(4kt )2－8(2k 2＋1)(t 2－2)＝8[2(2k 2＋1)－t 2]>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4kt 2k 2＋1，x 1x 2＝2（t 2－2）2k 2＋1，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝2t 2k 2＋1. 因为四边形OAPB 是平行四边形，所以OP →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 2k 2＋1，2t 2k 2＋1，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 2k 2＋1，2t 2k 2＋1. 又因为点P 在椭圆上，所以4k 2t 2（2k 2＋1）2＋2t 2（2k 2＋1）2＝1，即t 2＝2k 2＋12. 因为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝221＋k 22（2k 2＋1）－t 22k 2＋1＝231＋k 22k 2＋1. 又点O 到直线l 的距离d ＝|t |1＋k2，所以平行四边形OAPB 的面积S ＝2S △OAB ＝|AB |·d ＝23|t |2k 2＋1＝62k 2＋12k 2＋1＝ 6. 即平行四边形OAPB 的面积为定值 6.。

数学中考题型(第25题)动点几何题型讲解

（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，
当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF是直角三角形？若存在，
请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由。
A
A
线段运动与四边形问题（特殊平行四边形的判定）
E
F
H
线段运动与函数的综合（二次函数求面积最大值） B
DP C B
C
线段运动与存在性问题（分类思想）
X 广东2015 25.如题25图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与
LOGO
Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=
∠ADC=90°∠CAD=30°，AB=BC=4cm.
(1)填空：AD=_________ (cm)，DC=_____________(cm)；
作
，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.
（1）填空：点B的坐标为____________ ；
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；
若不存在，请说明理由；
（3）①求证：
；②设
，矩形BDEF的面积为y，求关于y的函数关系式
（可利用①的结论），并求出的最小值。
请插入图片
3 作用：考查学生在学习数学中对动态问题的认识和理解。
4 意义：培养学生在“分类讨论、数形结合、方程与函数等”数学思想的形成。
5 题型出现的形式：点动、线动、面动过程中求角、线段、面积、函数极值问题，或判定三角形、四边形的形状，或存在性等问题。
PART ONE
02
以铜为镜，可以正衣冠

牛顿第二定律25种题型

牛顿第二定律25种题型牛顿第二定律是一个非常重要的物理定律，可以应用到各种不同的题型中。

以下是一些可能的题型：1. 计算给定物体的质量和加速度，求解作用力的大小。

2. 给定物体的质量和作用力的大小，求解加速度。

3. 给定物体的质量和加速度，求解作用力的方向。

4. 考虑多个作用力作用在物体上，求解物体的加速度。

5. 考虑摩擦力对物体运动的影响，求解加速度。

6. 考虑空气阻力对物体自由落体的影响，求解加速度。

7. 考虑弹簧力对物体振动的影响，求解加速度。

8. 考虑物体在斜面上的运动，求解加速度。

9. 考虑物体在圆周运动中的加速度。

10. 考虑物体的质量随时间变化，求解加速度。

11. 考虑非惯性系中的物体运动，求解加速度。

12. 考虑相对论效应对物体运动的影响，求解加速度。

13. 考虑电磁力对带电粒子的影响，求解加速度。

14. 考虑磁场对带电粒子的影响，求解加速度。

15. 考虑引力对天体运动的影响，求解加速度。

16. 考虑光子动量对物体的影响，求解加速度。

17. 考虑量子力学效应对微观粒子的影响，求解加速度。

18. 考虑弯曲时空对物体运动的影响，求解加速度。

19. 考虑黑洞的引力对物体的影响，求解加速度。

20. 考虑物体受到辐射的影响，求解加速度。

21. 考虑物体在非常高温或低温环境中的运动，求解加速度。

22. 考虑物体在高速运动中的加速度。

23. 考虑物体在微重力环境中的运动，求解加速度。

24. 考虑物体受到外部激励力的影响，求解加速度。

25. 考虑物体在复杂场景中的运动，求解加速度。

这些题型涵盖了牛顿第二定律在不同情景下的应用，从基本的直线运动到相对论和量子力学等高级领域。

每种题型都需要根据具体情况进行分析和计算，以求得正确的加速度。

专题25 分式的运算-重难点题型(举一反三)(学生版)

专题5.2 分式的运算-重难点题型【知识点1 分式的加减】同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

①同分母分式的加减：a b a bc c c±±=； ②异分母分式的加法：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=。

注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。

【题型1 分式的加减】【例1】（2021春•盐城月考）化简：（1）a a−b+b b−a；（2）x 2−4x 2−4x+4−4x x 2−2x．【变式1-1】当m ＞﹣3时，比较m+2m+3与m+3m+4的大小．【变式1-2】（2021•乐山）已知A x−1−B 2−x=2x−6(x−1)(x−2)，求A 、B 的值．【变式1-3】（2021春•河南期末）若a ＞0，M =aa+1，N =a+1a+2 （1）当a ＝1时，M ＝12，N ＝23；当a ＝3时，M ＝34，N ＝45；（2）猜想M 与N 的大小关系，并证明你的猜想．【题型2 分式与整式的混合运算】【例2】（2021•嘉兴一模）计算x 2x+2−x +2时，两位同学的解法如下：解法一：x 2x+2−x +2=x 2x+2−x+21=x 2x+2−(x+2)2x+2解法二：x 2x+2−x +2=1x+2[x 2−(x −2)(x +2)] （1）判断：两位同学的解题过程有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”．（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．【变式2-1】（2021•梧州）计算：（x ﹣2）2﹣x （x ﹣1）+x 3−4x 2x 2．【变式2-2】（2021秋•昌平区期中）阅读下列材料，然后回答问题．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：32=1+12，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：x+1x−2，x 2x+2这样的分式是假分式；1x−2，xx 2−1这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如：x+1x−2=(x−2)+3x−2=1+3x−2，x 2x+2=(x+2)(x−2)+4x+2=x −2+4x+2．解决下列问题：（1）将分式x−2x+3化为整式与真分式的和的形式；（2）如果分式x 2+2x x+3的值为整数，求x 的整数值．【变式2-3】（2021春•玄武区期中）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：x 2−2x+3x−1=x(x−1)+x−2x+3x−1=x +−(x−1)+2x−1=x ﹣1+2x−1，这样，分式就拆分成一个分式2x−1与一个整式x ﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）假分式x+6x+4可化为带分式形式；（2）利用分离常数法，求分式2x 2+5x 2+1的取值范围；（3）若分式5x 2+9x−3x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m ﹣11+1n−6，则m 2+n 2+mn 的最小值为．【知识点2 分式的混合运算】 1.乘法法则：db ca d cb a ⋅⋅=⋅。

中考数学复习考点题型专题讲解25 坐标与新定义问题大题提升训练

中考数学复习考点题型专题讲解中考数学复习考点题型专题讲解（重难点培优30题）专题25 坐标与新定义问题大题提升训练坐标与新定义问题大题提升训练（小题））解答题（（共30小题一．解答题1．（2023秋•埇桥区期中）已知当m、n都是实数，且满足2m＝6+n，则称点ܣ(݉−1，݊2)为“智慧点”．（1）判断点P（4，10）是否为“智慧点”，并说明理由．（2）若点M（a，1﹣2a）是“智慧点”．请判断点M在第几象限？并说明理由．【分析】（1）根据P点坐标，代入(݉−1，݊2)中，求出m和n的值，然后代入2m，6+n 检验等号是否成立即可；（2）直接利用“智慧点”的定义得出a的值进而得出答案．【解答】解（1）点P不是“智慧点”，由题意得݉−1=4，݊2=10，∴m＝5，n＝20，∴2m＝2×5＝10，6+n＝6+20＝26，∴2m≠6+n，∴点P（4，10）不是“智慧点”；（2）点M在第四象限，理由∵点M（a，1﹣2a）是“智慧点”，∴݉−1=ܽ，݊2=1−2ܽ，∴m＝a+1，n＝2﹣4a，∵2n＝6+n，∴2（a+1）＝6+2﹣4a，解得a＝1，∴点M（1，﹣1），∴点M在第四象限．2．（2023春•镇巴县期末）已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b+5，则称点P为“新奇点”．（1）判断点A（3，2）是否为“新奇点”，并说明理由；（2）若点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．【分析】（1）直接利用“新奇点”的定义得出a，b的值，进而得出答案；（2）直接利用“新奇点”的定义得出m的值，进而得出答案．【解答】解（1）当A（3，2）时，3×3＝9，2×2+5＝4+5＝9，所以3×3＝2×2+5，所以A（3，2）是“新奇点”；（2）点M在第三象限，理由如下∵点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，∴3（m﹣1）＝2（3m+2）+5，解得m＝﹣4，∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，∴点M在第三象限．3．（2023秋•漳州期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．（1）求点A（﹣5，2）的“长距”；（2）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．【分析】（1）即可“长距”的定义解答即可；（2）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．【解答】解（1）点A（﹣5，2）的“长距”为|﹣5|＝5；（2）由题意可知，|k+3|＝4或4k﹣3＝±（k+3），解得k＝1或k＝﹣7（不合题意，舍去）或k＝2或k＝0（不合题意，舍去），∴k＝1或k＝2．4．（2023秋•渠县校级期中）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay）（其中a为常数），则称点Q是点P的“a级关联点”、例如，点P（1，4）的“3级关联点”为点Q（3×1+4，1+3×4），即点Q（7，13）．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，6）的“2级关联点”是点B，求点B的坐标；在平面直角坐标系中，已知点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”是点N，且点N位于x 轴上，求点N的坐标．【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论；（2）根据关联点的定义和点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”是点N位于x轴上，即可求出N的坐标．【解答】解（1）∵点A（﹣2，6）的“2级关联点”是点B，故点B的坐标为（2×（﹣2）+6，﹣2+2×6）∴B的坐标（2，10）；（2）∵点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”为N（3m+2m﹣1，m+3（2m﹣1）），当N位于x轴上时，m+3（2m﹣1）＝0，解得m=37，∴3m+2m﹣1=87，∴点N的坐标为（଼଻，0）．5．（2023秋•天长市月考）在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义若点P 到x，y轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点P（﹣2，5）和点Q（﹣5，﹣1）就是等距点．（1）已知点B的坐标是（﹣4，2），点C的坐标是（m﹣1，m），若点B与点C是“等距点”，求点C的坐标；（2）若点D（3，4+k）与点E（2k﹣5，6）是“等距点”，求k的值．【分析】（1）根据“等距点”的定义解答即可；（2）根据“等距点”的定义分情况讨论即可．【解答】解（1）由题意，可分两种情况①|m﹣1|＝|﹣4|，解得m＝﹣3或5（不合题意，舍去）；②|m|＝|﹣4|，解得m＝﹣4（不合题意，舍去）或m＝4，综上所述，点C的坐标为（﹣4，﹣3）或（3，4）；（2）由题意，可分两种情况①当|2k﹣5|≥6时，|4+k|＝|2k﹣5|，∴4+k＝2k﹣5或4+k＝﹣（2k﹣5），解得k＝9或k=13（不合题意，舍去）；②当|2k﹣5|＜6时，|4+k|＝6，∴4+k＝6或4+k＝﹣6，解得k＝2或k＝﹣10（不合题意，舍去）；综上所述，k＝2或k＝9．6．（2023秋•蚌山区月考）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则点P的“3级开心点”的坐标为（2，14）；（2）若点P的“2级开心点”是点Q（4，8），求点P的坐标；（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上，求点P'的坐标．【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．（2）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．（3）根据关联点的定义和点P （m ﹣1，2m ）的“﹣3级开心点”P ′位于坐标轴上，即可求出P ′的坐标．【解答】解（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，∴若点P 的坐标为（﹣1，5），则它的“3级开心点”的坐标为（2，14）．故答案为（2，14）；（2）设点P 的坐标为（x ，y ）的“2级开心点”是点Q （4，8）， ∴൜2ݔ+ݕ=4ݔ+2ݕ=8 解得൜ݔ=0ݕ=4，∴点P 的坐标为（0，4）；（3）∵点P （m ﹣1，2m ）的“﹣3级开心点”为P ′（﹣3（m ﹣1）+2m ，m ﹣1+（﹣3）×2m ），①P ′位于x 轴上， ∴m ﹣1+（﹣3）×2m ＝0，解得 m =−15，∴﹣3（m ﹣1）+2m =165， ∴P ′（ଵ଺ହ，0）．②P ′位于y 轴上， ∴﹣3（m ﹣1）+2m ＝0，解得 m ＝3∴m ﹣1+（﹣3）×2m ＝﹣16， ∴P ′（0，﹣16）．综上所述，点P ′的坐标为（ଵ଺ହ，0）或（0，﹣16）．7．（2023春•芜湖期中）在平面直角坐标系中，对于点A （x ，y ），若点B 的坐标为（x +ay ，ax+y），则称点B是点A的a级亲密点．例如点A（﹣2，6）的ଵଶ级亲密点为B(−2+12×6，12×(−2)+6)，即点B的坐标为（1，5）．（1）已知点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D，则点D的坐标为（14，2）．（2）已知点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点M1位于y轴上，求点M1的坐标．（3）若点E在x轴上，点E不与原点重合，点E的a级亲密点为点F，且EF的长度为OE长度的√3倍，求a的值．【分析】（1）根据题意，应用新定义进行计算即可得出答案；（2）根据新定义进行计算可得点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点是点M1[m﹣1+（﹣3）×2m，﹣1×（m﹣1）+2m]，根据y轴上点的坐标特征进行求解即可得出答案；（3）设E（x，0），则点E的a级亲密点为点F（x，ax），根据平面直角坐标系中距离的计算方法可得，OE＝|x|，EF＝|ax|，则|ax|=√3|x|，计算即可得出答案．【解答】解（1）根据题意可得，点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D（﹣1+3×5，﹣1×3+5），即点D的坐标为（14，2）；故答案为（14，2）；（2）根据题意可得，点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点是点M1[m﹣1+（﹣3）×2m，﹣3×（m﹣1）+2m]，即点M1的坐标为（﹣5m﹣1，﹣m+3），∵M1位于y轴上，∴﹣5m﹣1＝0，∴m=−15，∴M1（0，ଵ଺ହ）；（3）设E（x，0），则点E的a级亲密点为点F（x，ax），根据题意可得，OE＝|x|，EF＝|ax|，则|ax |=√3|x |，即|a |=√3，解得 a =±√3．8．（2023秋•舒城县校级月考）点P 坐标为（x ，2x ﹣4），点P 到x 轴、y 轴的距离分别为d 1，d 2．（1）当点P 在坐标轴上时，求d 1+d 2的值；（2）当d 1+d 2＝3时，求点P 的坐标；（3）点P 不可能在哪个象限内？【分析】（1）分点P 在x 轴和y 轴两种情况讨论即可；（2）将d 1+d 2用含x 的式子表示出来，根据x 的范围化简即可；（3）根据x 和2x ﹣4的范围即可得出答案．【解答】解（1）若点P 在x 轴上，则x ＝0，2x ﹣4＝﹣4， ∴点P 的坐标为（0，﹣4），此时d 1+d 2＝4，若点P 在y 轴上，则2x ﹣4＝0，得x ＝2， ∴点P 的坐标为（2，0），此时d 1+d 2＝2．（2）若x ≤0，则d 1+d 2＝﹣x ﹣2x +4＝3，解得x =13（舍），若0＜x ＜2，则d 1+d 2＝x ﹣2x +4＝3，解得x ＝1， ∴P （1，﹣2），若x ≥2，则d 1+d 2＝x +2x ﹣4＝3，解得x =73， ∴P （଻ଷ，ଶଷ）；（3）∵当x ＜0时，2x ﹣4＜0，∴点P不可能在第二象限．9．（2023春•新余期末）已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，就称点P（m﹣1，௡ାଶଶ）为“爱心点”．（1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；（2）若点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．【分析】（1）直接利用“爱心点”的定义得出m，n的值，进而得出答案；（2）直接利用“爱心点”的定义得出a的值进而得出答案．【解答】解（1）当A（5，3）时，m﹣1＝5，௡ାଶଶ=3，解得m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12，所以2m＝8+n，所以A（5，3）是“爱心点”；当B（4，8）时，m﹣1＝4，௡ାଶଶ=8，解得m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，所以B点不是“爱心点”；（2）点M在第三象限，理由如下∵点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，∴m﹣1＝a，௡ାଶଶ=2a﹣1，∴m＝a+1，n＝4a﹣4，代入2m＝8+n有2a+2＝8+4a﹣4，∴a＝﹣1 2a﹣1＝﹣3，∴M（﹣1，﹣3）故点M在第三象限．10．（2023春•商南县校级期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义点A到x轴、y 轴距离中的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．（1）点A（2，3）的“长距”等于3，点B（﹣7，5）的“长距”等于7．（2）若C（﹣1，2k+3），D（6，k﹣2）两点为“等距点”，求k的值．【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；（2）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．【解答】解（1）点A（2，3）的“长距”为|3|＝3；点B（﹣7，5）的“长距”为|﹣7|＝7；故答案为3，7．（2）由题意可知，|2k+3|＝6或2k+3＝±（k﹣2），解得k=32或k＝﹣4.5（不合题意，舍去）或k＝﹣5或k=−13（不合题意，舍去），∴k=32或k＝﹣5．11．（2023春•思明区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义点A到x轴、y 轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．（1）点A（﹣5，2）的“长距”为5；（2）点B（﹣2，﹣2m+1）的“长距”为3，求m的值；（3）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；（2）根据“长距”的定义解答即可；（3）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．【解答】解（1）点A（﹣5，2）的“长距”为|﹣5|＝5；故答案为5．（2）由题意可知|﹣2m+1|＝3，解得m ＝﹣1或2．（3）由题意可知，|k +3|＝4或4k ﹣3＝±（k +3），解得k ＝1或k ＝﹣7（不合题意，舍去）或k ＝2或k ＝0（不合题意，舍去）， ∴k ＝1或k ＝2．12．（2023•南京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），若点Q 的坐标为（ax +y ，x +ay ），其中a 为常数，则称点Q 是点P 的“a 级关联点”例如，点P （1，4）的“3级关联点”为Q （3×1+4，1+3×4），即Q （7，13）．（1）已知点A （2，﹣6）的“ଵଶ级关联点”是点B ，求点B 的坐标；（2）已知点P 的5级关联点为（9，﹣3），求点P 坐标；（3）已知点M （m ﹣1，2m ）的“﹣4级关联点”N 位于坐标轴上，求点N 的坐标．【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论；（2）设点P 的坐标为（a ，b ），根据关联点的定义，结合点的坐标列方程组即可得出结论；（3）根据关联点的定义和点M （m ﹣1，2m ）的“﹣4级关联点”N 位于坐标轴上，即可求出N 的坐标．【解答】解（1）∵点A （2，﹣6）的“ଵଶ级关联点”是点B ，故点B 的坐标为（ଵଶ×2−6，2−12×6） ∴B 的坐标（﹣5，﹣1）；（2）设点P 的坐标为（a ，b ）， ∵点P 的5级关联点为（9，﹣3）， ∴ቄ5ܽ+ܾ=9ܽ+5ܾ=−3，解得ቄܽ=2ܾ=−1，∵P （2，﹣1）；（3）∵点M （m ﹣1，2m ）的“﹣4级关联点”为M ′（﹣4（m ﹣1）+2m ，m ﹣1+（﹣4）×2m ），当N位于y轴上时，﹣4（m﹣1）+2m＝0，解得m＝2，∴m﹣1+（﹣4）×2m）＝﹣15，∴N（0，﹣15）；当N位于x轴上时，m﹣1+（﹣4）×2m＝0，解得m=−17，∴﹣4（m﹣1）+2m=307，∴N（ଷ଴଻，0）；综上所述，点N的坐标为（0，﹣15）或（ଷ଴଻，0）．13．（2023春•上杭县期中）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义若点P到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于点Q到x轴、y轴的距离之差的绝对值，则称P，Q两点互为“等差点”．例如，点P（1，2）与点Q（﹣2，3）到x轴、y轴的距离之差的绝对值都等于1，它们互为“等差点”．（1）已知点A的坐标为（3，﹣6），在点B（﹣4，1）．C（﹣3，7）．D（2，﹣5）中，与点A互为等差点的是B与D．（2）若点M（﹣2，4）与点N（1，n+1）互为“等差点”，求点N的坐标．【分析】（1）利用“等差点”的定义，找出到x轴、y轴的距离之差（2）利用“等差点”的定义列方程解答即可．【解答】解（1）∵点A（3，﹣6）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，点B（﹣4，1）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，点C（﹣3，7）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于4，点D（2，﹣5）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，∴与点A互为等差点的是B与D；故答案为B与D；（2）∵点M（﹣2，4）与点N（1，n+1）互为“等差点”，∴n +1﹣1＝|4|﹣|﹣2|或4解得n ＝2或n ＝﹣4，∴点N 的坐标为（1，3）感14．（2023秋•海淀区校级期中b ），P 2（c ，b ），P 3（c 的“完美间距″．例如如图是1．（1）点Q 1（4，1），Q 2（2）已知点O （0，0①若点O ，A ，B 的“完美间②点O ，A ，B 的“完美间距③已知点C （0，4），D （m ，0），P （m ，n ）的“【分析】（1）分别计算出（2）①分别计算出OA 以“最佳间距”为OA 即可求解y 的值；②由①可得，“最佳间距”﹣|﹣2|＝﹣n ﹣1﹣1，）或（1，﹣3）．本号资料全部来源于微信公众号级期中）给出如下定义在平面直角坐标系xOy 中，，d ），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点如图，点P 1（﹣1，2），P 2（1，2），P 3（1，3）（5，1），Q 3（5，5）的“完美间距”是 1 ），A （4，0），B （4，y ）．完美间距”是2，则y 的值为 ±2 ；美间距”的最大值为 4 ；（﹣4，0），点P （m ，n ）为线段CD 上一动点，“完美间距”取最大值时，求此时点P 的坐标．算出Q 1Q 2，Q 2Q 3，Q 1Q 3的长度，比较得出最小值即可，AB 的长度，由于斜边大于直角边，故OB ＞或者AB 的长度，由于“最佳间距”为1，而”为OA 或AB 的长度，当OA ≤AB 时，“最佳间距公众号数学第六，已知点P 1（a ，称为点P 1，P 2，P 3）的“完美间距”；，当O （0，0），E ．值即可； OA ，OB ＞AB ，所OA ＝4，故OB ＝2，佳间距”为OA ＝4，当OA ＞AB 时，“最佳间距③同①，当点O （0，0先求出直线CD 的解析式≥PE 和OE ＜PE 时，求出各的最大值，进一步求解出【解答】解（1）如图，∵Q 1（4，1），Q 2（5，∴Q 1Q 2＝1，Q 2Q 3＝4，在Rt △Q 1Q 2Q 3中，Q 1Q ∵1＜4＜√17， “最佳距离”为1；故答案为 1；（2）①如图∵O （0，0），A （4，0∴OA ＝4，AB ＝|y |，间距”为AB ＜4，比较两个“最大间距”，即可解决），E （m ，0），P （m ，n ）的“最佳间距”为OE 析式，用m 表示出线段OE 和线段PE 的长度，分两类求出各自条件下的“最佳间距”，比较m 的范围，解出P 点坐标．，在给出图形中标出点Q 1，Q 2，Q 3，1），Q 3（5，5），3=√17，），B （4，y ），解决；或者PE 的长度，分两类讨论，当OE 确定“最佳间距”在直角△ABO 中，OB ＞又∵点O ，A ，B 的“最佳间且4＞2， ∴|y |＝2， ∴y ＝±2，故答案为 ±2；②由①可得，OB ＞OA ∴“最佳间距”的值为∵OA ＝4，AB ＝|y |，当AB ≥OA 时，“最佳间距当AB ＜OA 时，“最佳间距∴点O ，A ，B 的“最佳间距故答案为 4；③设直线CD 为y ＝kx +4，﹣4k +4＝0， ∴k ＝1，∴直线CD 的解析式为 ∵E （m ，0），P （m ，n ，∴PE ∥y 轴，∴OE ＝﹣m ，PE ＝n ＝m Ⅰ、当﹣m ≥m +4时，即OA ，OB ＞AB ，最佳间距”是2，，OB ＞AB ，OA 或者是AB 的长，间距”为4，间距”为|y |＜4，佳间距”的最大值为4，，代入点D 得，如图，y ＝x +4，），且P 是线段CD 上的一个动点， +4，即OE ≥PE 时，m ≤﹣2，“最佳间距”为m +4，此时此时m +4≤2，Ⅱ、当﹣m ＜m +4时，即∴点O （0，0），E （m ∴m ＝﹣2， ∴n ＝m +4＝2， ∴P （﹣2，2）．15．（2023春•泗水县期末）对于y ）的横坐标与纵坐标的绝对例如，点P （﹣1，2）的折（1）已知点A （﹣3，4（2）若点M 在x 轴的上方标．【分析】（1）根据题意可以（2）根据题意可知y ＞【解答】解（1）[A ]＝|所以点A ，点B 的折线距离（2）∵点M 在x 轴的上方∴x ＝±1时，y ＝1或x ∴点M 的坐标为（﹣116．（2023春•思明区校级期中即OE ＜PE 时，﹣2＜m ＜0，“最佳间距“为﹣m ，，0），P （m ，n ）的“最佳间距”取到最大值时，对于平面直角坐标系中的点P （x ，y ）给出如下定义的绝对值之和叫做点P （x ，y ）的折线距离，记作[P ]的折线距离为[P ]＝|﹣1|+|2|＝3．），B （√2，﹣2√2），求点A ，点B 的折线距离．的上方，点M 的横坐标为整数，且满足[M ]＝2，直接写意可以求得折线距离[A ]，[B ]；0，然后根据[M ]＝2，即可求得点M 的坐标． −3|+|4|＝7，[B ]＝|√2|+|﹣2√2|＝3√2；线距离分别为7、3√2；的上方，其横坐标均为整数，且[M ]＝2，＝0时，y ＝2，，1），（1，1），（0，2）．级期中）在平面直角坐标系中，对于点P （x ，y ），若点，此时﹣m ＜2，，m ＝﹣2，下定义把点P （x ，，即[P ]＝|x |+|y |，．直接写出点M 的坐若点Q 的坐标为（ax +y ，x +ay ），其中a 为常数，则称点Q 是点P 的“a 级关联点”，例如，点P （1，4）的3级关联点”为Q （3×1+4，1+3×4）即Q （7，13），若点B 的“2级关联点”是B （3，3）．（1）求点B 的坐标；（2）已知点M （m ﹣1，2m ）的“﹣3级关联点”N 位于y 轴上，求N 的坐标．【分析】（1）由点B 的“2级关联点”是B '（3，3）得出൜2ݔ+ݕ=3ݔ+2ݕ=3，解之求得x 、y 的值即可得；（2）由点M （m ﹣1，2m ）的“﹣3级关联点”N 的坐标为（﹣m +3，﹣5m ﹣1），且点M ′在y 轴上知﹣m +3＝0，据此求得m 的值，再进一步求解可得．【解答】解 ∵点B 的“2级关联点”是B '（3，3）， ∴൜2ݔ+ݕ=3ݔ+2ݕ=3，解得 ൜ݔ=1ݕ=1，则点B 的坐标为（1，1）；（2）∵点M （m ﹣1，2m ）的“﹣3级关联点”N 的坐标为（﹣m +3，﹣5m ﹣1），且点N 在y 轴上， ∴﹣m +3＝0，解得m ＝3，则﹣5m ﹣1＝﹣16， ∴点N 坐标为（0，﹣16）．17．（2023春•罗山县期末）阅读理解，解答下列问题在平面直角坐标系中，对于点A （x ，y ）若点B 的坐标为（kx +y ，x ﹣ky ），则称点B 为A 的“k 级牵挂点”，如点A （2，5）的“2级牵挂点”为B （2×2+5，2﹣2×5），即B （9，5）．（1）已知点P （﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P 1，求点P 1的坐标，并写出点P 1到x 轴的距离；（2）已知点Q 的“4级牵挂点”为Q 1（5，﹣3），求Q 点的坐标及所在象限．【分析】（1）根据“k 级牵挂点”的定义判定结论；（2）设Q （x ，y ），根据点Q 的“4级牵挂点”为Q 1（5，﹣3）可得关于x 、y 的二元一次方程组，解方程组求出x 、y 的值即可．【解答】解（1）∵点P （﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P 1， ∴﹣5×（﹣3）+1＝16，﹣5﹣（﹣3）×1＝﹣2，即P 1（16，﹣2），点P 1到x 轴的距离为2；（2）∵点Q 的“4级牵挂点”为Q 1（5，﹣3），设Q （x ，y ）．则有൜4ݔ+ݕ=5ݔ−4ݕ=−3，解得൜ݔ=1ݕ=1，∴Q （1，1），点Q 在第一象限．18．（2023秋•东城区校级期中）对有序数对（m ，n ）定义“f 运算” f （m ，n ）＝（ଵଶm +a ，ଵଶn +b ），其中a ，b 为常数，f 运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点A （x ，y ）规定“F 变换”；点A （x ，y ）在F 的变换下的对应点即为坐标是f （x ，y ）的点A '．（1）当a ＝0，b ＝0时，f （﹣2，4）＝（﹣1，2）．（2）若点P （2，﹣2）在F 变换下的对应点是它本身，求ab 的值．【分析】（1）根据新定义运算法则解得；（2）根据新定义运算法则得到关于a 、b 的方程，通过解方程求得它们的值即可．【解答】解（1）依题意得 f （﹣2，4）＝（ଵଶ×（﹣2）+0，ଵଶ×4﹣0）＝（﹣1，2）．故答案是（﹣1，2）；（2）依题意得 f （2所以ଵଶ×2+a ＝2，ଵଶ×（﹣所以a ＝1，b ＝﹣1． ∴ab ＝﹣1．19．（2023春•海门市期末）﹣x 1＝y 2﹣y 1≠0，则称点因为2﹣（﹣1）＝6﹣3（1）若点A 的坐标是（点A 的“对角点”为点（2）若点A 的坐标是（﹣（3）若点A 的坐标是（求m ，n 的取值范围．【分析】（1）、（2）读懂新定（3）根据新定义和直角坐标【解答】解（1）根据新定故答案为 B 2（﹣1，﹣7（2）①当点B 在x 轴上时，﹣2）＝（ଵଶ×2+a ，ଵଶ×（﹣2）﹣b ）＝（2，﹣2）．（﹣2）+b ＝﹣2，）在平面直角坐标系xOy 中，点A （x 1，y 1），B 称点A 与点B 互为“对角点”，例如点A （﹣1，3，≠0，所以点A 与点B 互为“对角点”．4，﹣2），则在点B 1（2，0），B 2（﹣1，﹣7），B 2（﹣1，﹣7），B 3（0，﹣6）；（﹣2，4）的“对角点”B 在坐标轴上，求点B 的坐（3，﹣1）与点B （m ，n ）互为“对角点”，且点懂新定义，根据新定义解题即可；角坐标系中第四象限x 、y 的取值范围确定m 、n 的取据新定义可以得B 2、B 3与A 点互为“对角点”；），B 3（0，﹣6）；上时，）．（x 2，y 2），若x 2），点B （2，6），B 3（0，﹣6）中，的坐标；且点B 在第四象限，的取值范围即可．设B （t ，0），由题意得t ﹣（﹣2）＝0﹣4，解得t ＝﹣6， ∴B （﹣6，0）． ②当点B 在y 轴上时，设B （0，b ），由题意得0﹣（﹣2）＝b ﹣4，解得b ＝6， ∴B （0，6）．综上所述 A 的“对角点”点B 的坐标为（﹣6，0）或（0，6）．（3）由题意得m ﹣3＝n ﹣（﹣1）， ∴m ＝n +4． ∵点B 在第四象限， ∴ቊ݉＞0݊＜0， ∴ቊ݊+4＞0݊＜0，解得﹣4＜n ＜0，此时0＜n +4＜4， ∴0＜m ＜4．由定义可知 m ≠3，n ≠﹣1，∴0＜m ＜4且m ≠3，﹣4＜n ＜0且n ≠﹣1．故答案为 0＜m ＜4且m ≠3，﹣4＜n ＜0且n ≠﹣1．20．（2023•朝阳区校级开学）我们规定在平面直角坐标系xOy 中，任意不重合的两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）之间的“折线距离”为d （M ，N ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．例如图1中，点M （﹣2，3）与点N （1，﹣1）之间的“折线距离”为d （M ，N ）＝|﹣2﹣1|+|3﹣（﹣1）|＝3+4＝7．根据上述知识，解决下面问（1）已知点P （3，﹣4，与点P 之间的“折线距离（2）如图2，已知点P 的值；（3）如图2，已知点P 写出t 的取值范围．【分析】（1）分别求出（2）通过d （P ，Q ）＝（3）d （P ，Q ）＝|3﹣t 【解答】解（1）由题意得d （P ，B ）＝|3﹣（﹣1d （P ，C ）＝|3﹣（﹣2d （P ，D ）＝|3﹣0|+|﹣4故答案为 A ，B ，D ．（2）d （P ，Q ）＝|3﹣t 解得t ＝﹣1或t ＝7．（3）d （P ，Q ）＝|3﹣t 化简得d （P ，Q ）＝|3当﹣5≤t ≤3时，|3﹣t下面问题），在点A （5，2），B （﹣1，0），C （﹣2，1距离”为8的点是A ，B ，D ；（3，﹣4），若点Q 的坐标为（t ，2），且d （P （3，﹣4），若点Q 的坐标为（t ，t +1），且d （PA ，B ，C ，D 与点P 之间的“折线距离”求解．|3﹣t |+|﹣4﹣（t +1）|＝8求解．|+|﹣4﹣（t +1）|＝8，分类讨论t 的取值范围去绝对题意得d （P ，A ）＝|3﹣5|+|﹣4﹣2|＝8，）|+|﹣4﹣0|＝8，）|+|﹣4﹣1|＝10， ﹣1|＝8，|+|﹣4﹣2|＝10， |+|﹣4﹣（t +1）|， ﹣t |+|5+t |，|+|5+t |＝3﹣t +5+t ＝8，满足题意．），D （0，1）中，，Q ）＝10，求t ，Q ）＝8，直接．去绝对值符号求解．当t ＜﹣5时，|3﹣t |+|5+t 当t ＞3时，|3﹣t |+|5+t |∴﹣5≤t ≤3．21．（2023春•丰台区期末）y 2），定义k |x 1﹣x 2|+（1M （1，3），N （﹣2，4）2）．（1）若点B （0，4），求点（2）若点B 在x 轴上，且点（3）若点B （a ，b ），且点【分析】（1）根据“k 阶距（2）设出点B 的坐标，点B 的坐标，注意x轴上的|＝3﹣t ﹣5﹣t ＝﹣2﹣2t ，不满足题意．＝t ﹣3+5+t ＝2+2t ，不满足题意．）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点M （﹣k ）|y 1﹣y 2|为点M 和点N 的“k 阶距离”，其中0）的ଵହ阶距离”为ଵହ|1െሺെ2ሻ|൅ସହ|3െ4|ൌ଻ହ．求点A 和点B 的“ଵସ阶距离”；且点A 和点B 的“ଵଷ阶距离”为4，求点B 的坐标且点A 和点B 的“ଵଶ阶距离”为1，直接写出a +阶距离”的定义计算点A 与点B 之间的“ଵସ阶距离，再根据“ଵଷ阶距离”的定义列出方程，求出字母的轴上的点的纵坐标为0．x 1，y 1），N （x 2，≤k ≤1．例如点．已知点A （﹣1，的坐标；b 的取值范围．距离”．字母的值，从而确定（3）根据“ଵଶ阶距离”的定义列出关于字母a 和b 的式子，当a 和b 在不同的取值范围内将含有a 和b 的式子中的绝对值去掉，从而求得a +b 的取值范围．【解答】解（1）由题知，点A （﹣1，2）和点B （0，4）的“ଵସ阶距离”为ଵସ|−1−0|+（1−14）|2﹣4|=14+64=74．（2）∵点B 在x 轴上，∴设点B 的横坐标为m ，则点B 的坐标为（m ，0）， ∵点A （﹣1，2）和点B （m ，0）的“ଵଷ阶距离”为4， ∴ଵଷ|−1−݉|+(1−ଵଷ)|2−0|=4，ଵଷ|−1−݉|=଼ଷ，|﹣1﹣m |＝8，∴﹣1﹣m ＝8或﹣1﹣m ＝﹣8， ∴m ＝﹣9或7，∴点B 的坐标为（﹣9，0）或（7，0）．（3）∵点A （﹣1，2）和点B （a ，b ）的“ଵଶ阶距离”为1， ∴.ଵଶ|−1−ܽ|+(1−ଵଶ)|2−ܾ|=1，|﹣1﹣a |+|2﹣b |＝2，①当a ≤﹣1，且b ≤2时，得|﹣1﹣a |+|2﹣b |＝﹣1﹣a +2﹣b ，由此得出a +b ＝﹣1， ②当a ≤﹣1，且b ＞2时，得|﹣1﹣a |+|2﹣b |＝﹣1﹣a +b ﹣2，由此得出b ＝5+a ，则a +b ＝2a +5， ∵b ＞2，即5+a ＞2， ∴a ＞﹣3∵a≤﹣1，∴﹣3＜a≤﹣1∴﹣1＜2a+5≤3，即﹣1＜a+b≤3，③当a＞﹣1，且b＜2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝1+a+2﹣b，由此得出a＝b﹣1，则a+b＝2b﹣1，∵a＞﹣1，即b﹣1＞﹣1，∴b＞0，∵b＜2，∴0＜b＜2，∴﹣1＜2b﹣1＜3，即﹣1＜a+b＜3，④当a＞﹣1，且b≥2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝1+a+b﹣2，由此得出a+b＝3，综上所得，﹣1≤a+b≤3．22．（2023春•福州期末）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义；a＝2x﹣y，b＝x+y，将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“关联点”．例如P（2，3）的一对“关联点”是点（1，5）与（5，1）．（1）点Q（4，3）的一对“关联点”是点（5，7）与（7，5）．（2）点A（x，8）的一对“关联点”重合，求x的值．（3）点B一个“关联点”的坐标是（﹣1，7），求点B的坐标．【分析】（1）根据“关联点”定义求解；（2）根据“关联点”的定义列方程求解；（3）根据“关联点”的定义列方程组求解，注意分类讨论，不要漏解．【解答】解（1）∵2×4﹣3＝5，4+3＝7，∴点Q（4，3）的一对“关联点”是点（5，7）与（7，5）．故答案为（5，7）与（7，5）．（2）由题意得 2x ﹣8＝x +8，解得 x ＝16．（3）设B （x ，y ），∴൜2ݔ−ݕ=−1ݔ+ݕ=7或൜2ݔ−ݕ=7ݔ+ݕ=−1， ∴൜ݔ=2ݕ=5或൜ݔ=2ݕ=−3， ∴B （2，5）或B （2，﹣3）．23．（2023春•雨花区校级期中）对于平面直角坐标系中任一点（a ，b ），规定三种变换如下①f （a ，b ）＝（﹣a ，b ）．如 f （7，3）＝（﹣7，3）； ②g （a ，b ）＝（b ，a ）．如 g （7，3）＝（3，7）； ③h （a ，b ）＝（﹣a ，﹣b ）．如 h （7，3）＝（﹣7，﹣3）；例如 f （g （2，﹣3））＝f （﹣3，2）＝（3，2）规定坐标的部分规则与运算如下①若a ＝b ，且c ＝d ，则（a ，c ）＝（b ，d ），反之若（a ，c ）＝（b ，d ），则a ＝b ，且c ＝d ．②（a ，c ）+（b ，d ）＝（a +b ，c +d ）；（a ，c ）﹣（b ，d ）＝（a ﹣b ，c ﹣d ）．例如 f （g （2，﹣3））+h （g （2，﹣3））＝f （﹣3，2）+h （﹣3，2）＝（3，2）+（3，﹣2）＝（6，0）．请回答下列问题（1）化简 f （h （6，﹣3））＝（6，3）（填写坐标）；（2）化简 h （f （﹣1，﹣2））﹣g （h （﹣1，﹣2））＝（﹣3，1）（填写坐标）；（3）若f （g （2x ，﹣kx ））﹣h （f （1+y ，﹣2））＝h （g （ky ﹣1，﹣1））+f （h （y ，x ））且k 为绝对值不超过5的整数，点P （x ，y ）在第三象限，求满足条件的k 的所有可能取值．【分析】（1）根据新定义进行化简即可．（2）根据新定义进行化简即可．（3）根据坐标的变换规则和运算规则，对式子进行化简，得到等式，根据点的坐标特点，列出不等式求解即可．【解答】解（1）f （h （6，﹣3））＝f （﹣6，3）＝（6，3），故答案为（6，3）；（2）h （f （﹣1，﹣2））﹣g （h （﹣1，﹣2））＝h （1，﹣2）﹣g （1，2）＝（﹣1，2）﹣（2，1）＝（﹣3，1），故答案为（﹣3，1）；（3）f （g （2x ，﹣kx ））﹣h （f （1+y ，﹣2））＝f （﹣kx ，2x ）﹣h （﹣1﹣y ，﹣2）＝（kx ，2x ）﹣（1+y ，2）＝（kx ﹣1﹣y ，2x ﹣2），h （g （ky ﹣1，﹣1））+f （h （y ，x ））＝h （﹣1，ky ﹣1）+f （﹣y ，﹣x ）＝（1，1﹣ky ）+（y ，﹣x ）＝（y +1，1﹣ky ﹣x ），∵f （g （2x ，﹣kx ））﹣h （f （1+y ，﹣2））＝h （g （ky ﹣1，﹣1））+f （h （y ，x ））， ∴（kx ﹣1﹣y ，2x ﹣2）＝（y +1，1﹣ky ﹣x ）， ∴൜݇ݔ−1−ݕ=ݕ+12ݔ−2=1−݇ݕ−ݔ， ∴൜݇ݔ−2ݕ=23ݔ+݇ݕ=3， ∴൞ݔ=2݇+6݇2+6ݕ=3݇−6݇2+6， ∵点P （x ，y ）在第三象限， ∴ቊ2݇+6＜03݇−6＜0，∴k ＜﹣3，∵k 为绝对值不超过5的整数， ∴k 的所有可能取值为﹣4、﹣5．24．（2023春•嵩县期末）对于平面直角坐标系中的点P （x ，y ）给出如下定义把点P （x ，y ）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P （x ，y ）的折线距离，记作[P ]，即[P ]＝|x |+|y |，例如，点P （﹣1，2）的折（1）已知点A （﹣3，4（2）若点M 在x 轴的上方标．【分析】（1）根据题意可以（2）根据题意可知y ＞【解答】解（1）[A ]＝|（2）∵点M 在x 轴的上方∴x ＝±1时，y ＝1或x ∴点M 的坐标为（﹣125．（2023春•濠江区期末）我们称点P 为“梦之点”（1）判断点A （3，2）是否（2）若点M （m ﹣1，3【分析】（1）直接利用“（2）直接利用“梦之点”【解答】解（1）当A 解得a ＝1，b ＝1，的折线距离为[P ]＝|﹣1|+|2|＝3．），B （√2，െ3√2），求点A ，点B 的折线距离．的上方，点M 的横坐标为整数，且满足[M ]＝2，直接写意可以求得折线距离[A ]，[B ]；0，然后根据[M ]＝2，即可求得点M 的坐标． −3|+|4|＝7，[B ]＝|√2|+|−3√2|＝4√2；的上方，其横，纵坐标均为整数，且[M ]＝2，＝0时，y ＝2，，1），（1，1），（0，2）．）已知a ，b 都是实数，设点P （a +2，௕ାଷଶ），且满”．是否为“梦之点”，并说明理由．m +2）是“梦之点”，请判断点M 在第几象限，并说“梦之点”的定义得出a ，b 的值，进而得出答案”的定义得出m 的值进而得出答案．（3，2）时，a +2＝3，௕ାଷଶ=2，．直接写出点M 的坐且满足3a ＝2+b ，并说明理由．答案；则3a＝3，2+b＝3，所以3a＝2+b，所以A（3，2），是“梦之点”；（2）点M在第三象限，理由如下∵点M（m﹣1，3m+2）是“梦之点”，∴a+2＝m﹣1，௕ାଷଶ=3݉+2，∴a＝m﹣3，b＝6m+1，∴代入3a＝2+b有3（m﹣3）＝2+（6m+1），解得m＝﹣4，∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，∴点M在第三象限．26．（2023秋•兴化市校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，点A的“对角点”为点B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）；；（2）若点A的坐标是（5，﹣3）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；（3）若点A的坐标是（−√3，2√3）与点B（2m，﹣n）互为“对角点”，且m、n互为相反数，求B点的坐标．【分析】（1）、（2）读懂新定（3）根据新定义和直角坐标【解答】解（1）根据新定故答案为 B 2（﹣1，﹣7（2）①当点B 在x 轴上时设B （t ，0），由题意得解得t ＝﹣8， ∴B （8，0）． ②当点B 在y 轴上时，设B （0，b ），由题意得0﹣5＝b ﹣（﹣解得b ＝﹣8， ∴B （0，﹣8）．综上所述 A 的“对角点”（3）由题意得2m +√3=∴2m ＝﹣n ﹣3√3． ∵m 、n 互为相反数， ∴m +n ＝0，懂新定义，根据新定义解题即可；角坐标系中第四象限x 、y 的取值范围确定m 、n 的取据新定义可以得B 2、B 3与A 点互为“对角点”；），B 3（0，﹣6）；上时，t ﹣5＝0﹣（﹣3），（﹣3）， ”点B 的坐标为（8，0）或（0，﹣8）． =−n ﹣2√3，的取值范围即可．解得m +n +m ＝﹣3√3，∴m ＝﹣3√3，n ＝3√3∴2m ＝﹣6√3， ∴B （﹣6√3，﹣3√3）．27．（2023秋•朝阳区校级期末得到射线OY ，如果点示点P 在平面内的位置，那么点M 在平面内的位置记（1）如图3，若点N 在平面内（2）已知点A 在平面内的位①若点B 在平面内的位置记②若点B 在平面内的位置记③若点B 在平面内的位置记【分析】（1）根据新定义直（2）①先根据新定义画图画图，证明△AOB 是等边三△AOB 1是直角三角形，从而【解答】解（1）点N 在平故答案为 6，30；（2）①如图，．期末）如图①，将射线OX 按逆时针方向旋转β角（P 为射线OY 上的一点，且OP ＝m ，那么我们规定用，并记为P （m ，β）．例如，图2中，如果OM ＝5，位置记为M （5，110°），根据图形，解答下列问题平面内的位置记为N （6，30°），则ON ＝ 6 ，∠面内的位置记为A （4，30°），位置记为B （3，210°），则A 、B 两点间的距离为位置记为B （m ，90°），且AB ＝4，则m 的值为位置记为B （3，α），且AB ＝5，则a 的值为定义直接得到答案；画图，证明A ，O ，B 三点共线，从而可得答案；等边三角形，从而可得答案；③先根据新定义画图从而可得答案．在平面内的位置记为N （6，30°），则ON ＝6，0°≤β＜360°），规定用（m ，β）表∠XOM ＝110°，问题XON ＝ 30 °．离为 7 ． 4 ．120°或300° ．；②先根据新定义画图，证明△AOB ，，∠XON ＝30°．∵A（4，30°），B（3，210°），∴OA＝4，∠AOX＝30°，OB＝3，∠BOX＝360°﹣210°＝150°，∴∠AOX+∠BOX＝180°，∴A，O，B三点共线，∴AB＝4+3＝7；故答案为7；②如图，∵A（4，30°），B（m，90°），∴OA＝4，∠AOX＝30°，OB＝m，∠BOX＝90°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴AB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝m＝4；故答案为4；③如图，∵A （4，30°），B （3，α），∴OA ＝4，∠AOX ＝30°，OB ＝3＝OB 1，∠BOX ＝α或∠B 1OX ＝360°﹣α， ∵AB ＝5，∴OB 2+OA 2＝25＝AB 2， ∴∠AOB ＝90°＝∠AOB 1，∴α＝90°+30°＝120°或α＝120°+180°＝300°．故答案为 120°或300°．28．（2023秋•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，P 不在同一直线上，对于点P 和线段AB 给出如下定义过点P 向线段AB 所在直线作垂线，若垂足Q 在线段AB 上，则称点P 为线段AB 的内垂点，当垂足Q 满足|AQ ﹣BQ |最小时，称点P 为线段AB 的最佳内垂点．已知点S （﹣3，1），T （1，1）．（1）在点P 1（2，4），P 2（﹣4，0），P 3（﹣2，ଵଶ），P 4（1，3）中，线段ST 的内垂点为 P 3，P 4；（2）若点M 是线段ST 的最佳内垂点，则点M 的坐标可以是（﹣1，4），（﹣1，2）（写出两个满足条件的点M 即可）；（3）已知点C （m ﹣2，3），D （m ，3），若线段CD 上的每一个点都是线段ST 的内垂点，直接写出m 的取值范围；（4）已知点E （n +2，0），F （n +4，﹣1），若线段EF 上存在线段ST 的最佳内垂点，直接写出n 的取值范围．【分析】（1）利用图象法画（2）满足条件的点在线段（3）构建不等式组解决问题（4）构建不等式组解决问题【解答】解（1）如图故答案为 P 3，P 4；（2）如图，点M （﹣1故答案为（﹣1，4）（3）由题意，ቄ݉−2൒݉൑1解得﹣1≤m ≤1．象法画出图形解决问题即可；线段ST 的中垂线上；决问题即可；决问题即可．1中，观察图象可知，线段ST 的内垂点为P 3，，4），M ′（﹣1，2）是线段ST 的最佳内垂点，，（﹣1，2）（答案不唯一）； −3ቄ݉൒−3݉−2൑1，P 4．，故答案为 ﹣1≤m ≤1．（4）如图2中，观察图象可解得﹣5≤n ≤﹣3．29．（2023春•嘉鱼县期末）以BC 为边在x 轴的上方作（1）点A 的坐标为（2）将正方形ABCD OMN 重叠的区域（不①当m ＝3时，区域内整点②若区域W 内恰好有3个整【分析】（1）先求出方形（2）①画出正方形A 'B '②在△OMN 中共有6个整数图象可知，m 满足ቄ݊+4൒െ1݊൅2൑െ1，）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B （1，0，上方作正方形ABCD ，点M （﹣5，0），N （0，5（1，4）；点D 的坐标为（5，4）；向左平移m 个单位，得到正方形A 'B 'C 'D '，记含边界）为W内整点（横，纵坐标都是整数）的个数为 3 ；个整点，请直接写出m 的取值范围．正方形的边长为BC ＝4，再求点的坐标即可； C 'D '，结合图形求解即可；个整数点，在平移正方形ABCD ，找到恰好有3个整），点C （5，0），）．正方形A 'B 'C 'D '与△ 个整数解的情况即可．【解答】解（1）∵点∴BC ＝4，∵四边形ABCD 是正方形∴A （1，4），D （5，4故答案为（1，4），（5（2）①如图共有3个，故答案为 3；②在△OMN 中共有6个整数2，2），（﹣3，1），∵区域W 内恰好有3个整点∴2＜m ≤3或6≤m ＜730．（2023春•李沧区期末）补法来求它们的面积．下面如图1，2所示，分别过三角间的距离d 叫做水平宽；BD 的长叫做这个三角形的l 4，l 3，l 4之间的距离h叫做B （1，0），点C （5，0），方形，），，4）；，个整数点，分别是（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3（个整点，．）对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面的新过三角形或四边形的顶点A ，C 作水平线的铅；如图1所示，过点B 作水平线的铅垂线交形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B 叫做四边形的铅垂高．），（﹣2，1），（﹣用面积公式或者用割积的新方法垂线l 1，l 2，l 1，l 2之AC 于点D ，称线段，D 作水平线l 3，【结论提炼】容易证明“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S=12dh”【结论应用】为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．已知如图3，点A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），则△ABC的水平宽为10，铅垂高为4，所以△ABC面积的大小为20．【再探新知】三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四个点，得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是36；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是37.5，由此发现用“S=12dh”这一方法对求图4中四边形的面积不合适．（填“适合”或“不适合”）（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四个点，得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是36，用其它的方法进行计算得到面积的大小是36，由此发现用“S=12dh”这一方法对求图5中四边形的面积合适．（“适合”或“不适合”）（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（5，1），D（1，﹣5）四个点，得到了四边形ABCD．通过计算发现用“S=12dh”这一方法对求图6中四边形的面积合适．（填“适合”或“不适合”）【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到当四边形满足某些条件时，可以用“S=12dh”来求面积．那么，可以用“S=12dh”来求面积的四边。

教师资格证面试结构化真题解析思路——综合分析类(25道题)

教师资格证面试结构化真题解析思路——综合分析类（25道题）1.如果一个老师上课拖堂了，同学指出应该下课了，老师气呼呼的摔门而去，你怎么看？题型:综合分析—观点类分析:要从教师与学生两方面进行分析，各有合理之处，也存在一定的问题.不能全盘否定，要辩证的看待。

参考答案：点题：老师上课拖堂了，同学指出应该下课了，老师气呼呼的摔门而去，这个教师的作法就欠妥当，同学们直接指出老师问题，也不够礼貌。

析题：作为老师，可能出发点是好的，希望学生多学习知识，取得理想的教学效果，但是不能提倡拖堂,因为首先，占用学生休息时间用来上课,本身会招来学生的反感和抵触情绪。

人在教室，心思早已飘出课堂，不能达到很好的教学效果。

其次教师应该及时反思，自己的教学安排是否恰当可行，在以后的教学计划中，精简内容，突出重点，吸引学生。

最后，当学生指出问题之后，应该虚心接受，不能摔门而出，学生具有向师性,不好的行为，学生也会模仿,不利于学生身心全面发展及良好品行的形成.作为学生，题目中的学生作法也不妥当，应该在课下开诚布公的告诉老师，或者给代课教师写一封信，做到友好交流，共同解决问题才是关键。

总结：总之,这位教师应该多反思，树立终身学习的理念,不断更新教学的内容和方法。

才能适应新时期素质教育要求,形成良好的师生关系，成为受学生欢迎的教师.这些学生也要体会教师的良苦用心,用合适的方法来反映教师的一些问题。

2。

有的老师上课的时候频频使用多媒体，给学生播放电影，学生反映老师讲的内容少，你怎么看?题型:综合分析—现象类分析：本题采用主体分析法进行作答.这道题目中的主体是老师、学生两个,那就从这两个主体进行分析。

从老师的角度看，希望授课时课程生动，但是方法有所欠缺,缺乏必要知识的引导总结；从学生角度讲，学生是学习的主体，学习更多知识是追求，反映学生的成长进步等。

参考答案：点题：有的老师上课的时候频频使用多媒体，给学生播放电影，学生反映老师讲的内容少，对于这种现象，我有以下几点看法：析题:第一,从老师的角度看，老师在课堂上结合多媒体教学，不仅增加了课堂的趣味性，而且偶尔为学生播放电影能提高学生学习的积极性,但是播放电影的前提是老师已经完成了教学任务，在课余时间为学生播放，出现学生反映老师讲的内容少的这种情况，就需要老师做一些必要的知识方面的总结.第二，从学生的角度看，学生是发展中的人，在课堂上对于知识的追求也是反映学生的成长进步，学生在课堂中是学习的主体，要积极主动的学习.总结：总之,要想成为一名合格的人名教师，老师应该引导学生主动地学习，可以在下课时间通过多种多样的方式丰富学生的课余生活.3。

历史主观题52分怎么做才能拿高分+课件--2023届高三(全国卷)历史三轮冲刺复习

(12分)
措施(内容)类
措施类设问:具体措施有哪些，核心(内容)措施是什么，采取了怎样的措施，采取了哪些重要举措，采取了哪些具体(应对)措施等
从材料史实中提取信息，并归纳、辨别、概括答题项
Hale Waihona Puke 2022年（全国乙卷 41)历史 (3）根据材料并结合所学知识，简析20世纪五六十年代中国科技发展的历史经验。(5分)
展对资本主义国家的贸易；加强国营对外贸易企业，实行对私营进出口商的社会主义改造。
——摘编自《中华人民共和国经济档案资料选编》
材料三
表2 中国进出口贸易总额计划完成情况
单位：亿元
【解析】第(3)问,根据题中有效信息“我们在
中央和毛主席正确领导下”20世纪50年代前
期”并结合当时的时代背景和阶段特征，从
政治(如党的正确领导、外交政策、突破西
方国家的封锁、政策的原则性与灵活性等)、
经济(如建立对外经贸体制、促进国民经济
恢复和发展、工业化和社会主义改造等)等
角度进行评价。
（3）根据材料并结合所学知识，评价20世纪50年代前期中国的对外贸易政策。（8分）
【得出答案】体现了党的正确领导；逐步建立了适应国内经济建设需要的对外经贸体制；促进了国民经济恢复和发展，有利于社会主义工业化和社会主义改造；符合独立自主的和平外交政策，有利于突破西方国家的经济封锁；体现了政策的原则性与灵活性。
求异型:根据材料××××并结合所学知识,指出或比较……不同之处(区别)求同型:根据材料 ××××并结合所学知识，指出或比较……相同点(相似之处)
分析、评价、评述类设问含有这样的词语：
评价
评价、简评、评论、说明、证明、解
（经济）释、你认为、如何理解、你的看法等

小学数学简便计算题型方法大全

小学数学简便计算题型方法大全数学一直都是很多学生最怕的一门学科，不少学生都在课下跟我反映，学习数学太难了，学习数学到底对我们今后有什么帮助呢？数学运算这块很考验孩子的逻辑思考能力和分析能力，但往往掌握的方法不佳，孩子的方向只会出现偏差，浪费更多的时间和精力，小学数学的学习也决定着孩子将来的学习生涯，所以作为家长我们需要还孩子提供最适合的学习方法，帮助他们提高学习成绩。

今天，小编给大家分享一下我们数学中经常遇到的简便计算题型的解题方法，希望对大家有帮助。

简便计算题型1．同种运算想交换律和结合律；交换就是为了结合。

2．有乘有加（或有减）有相同数，要想乘法分配律，无相同数找倍数关系变相同数用乘法分配律。

（即，两个乘法算式相加或相减，就可以用乘法分配律）。

3．加减混合运算，看清数字特点，用好减法的性质。

4．乘除混合运算用好除法的性质（即乘除法添、去括号规则）。

5．牢记见25想4，见125想8，见5想2等积能凑整的特殊数字，用好商不变规律。

6．无括号的加减混合运算和乘除混合运算，掌握运算性质，用好搬家规则。

简便计算错误问题的分析错误类型一：当学生学完“从一个数里连续减去两个数，可以减去这两个数的和”之后，学生脑海中自然就有了这样一种意识。

如像从一个数里减去两个数，始终是减去两个减数的和才简便，于是在练习时，有一部分学生就会出现这种情况：673－137－373=673－(137+373)，而不会用673－373－137。

很多学生对减法性质的逆用感到很困难，如会出现962－(62+45)=962－62+45=135；2548－（748－452）＝2548－748－452＝1348。

错误类型二：学习了乘法分配率后，会出现以下错误：（4＋40）×25＝4×25＋25；67×38＋62×67＝（38＋62）×（67＋67）。

错误类型三：在学完五个运算定律后，出现如125×32×25的题目时，学生会想到把32分成8乘4，计算时却分不清该用乘法结合律,还是乘法分配律，会出现125×32×25＝（125×8）＋（4×25）。

04圆【12大考点串讲+25种题型+方法专题圆的切线的证明与圆中的多解问题】九年级数学上(人教版)

到圆心的距离OP=d，点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d＝r；点P在圆内 d＜r. 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
知识串讲
5.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
知识串讲题型九：理解圆周角的概念．
【例 9】下列命题中，正确的是( D ) A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边与圆相交的角是圆周角 C．顶点在圆上，一边与圆相交的角是圆周角 D．顶点在圆上，两边都与圆相交的角是圆周角
【思路分析】圆周角的定义其要点是：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交．在上面的 4 个选项中，只有最后一个选项符合定义．
知识串讲
题型十一：会判断点和圆的位置关系．
【例 12】在△ABC 中，如果∠C＝90°，AC＝2cm，BC＝4cm，CM 为中线，以 C 为圆心，r＝ 5cm 为半径画圆，试判断 A、B、C、M 各点和该圆的位置关系．
【思路分析】判断点和圆的位置关系，就应该用该点到圆心的距离与半径相比较．【规范解答】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝2cm，BC＝4cm，所以 AB＝ 22＋42＝2 5(cm)．又因为 CM 是中线，所以 CM＝21AB＝ 5(cm)．因 AC＝2cm＜ 5cm，所以点 A 在⊙C 的内部，点 C 在⊙C 的内部．因为 BC ＝4cm＞ 5cm，所以点 B 在⊙C 的外部，因为 MC＝ 5cm，所以点 M 在⊙ C 上．
知识串讲
交点个数两个公共点
位置关系相交
只有一个公共点
相切
没有公共点
相离
数量关系 d＜r d＝r

公务员考试行测49种常见数学题型解题技巧

公务员考试行测49种常见数学题型解题技巧一.页码问题对多少页出现多少1或2的公式如果是X千里找几，公式是1000+X00*3 如果是X百里找几，就是100+X0*2，X有多少个0 就*多少。

依次类推!请注意，要找的数一定要小于X ，如果大于X就不要加1000或者100一类的了，比如，7000页中有多少3 就是1000+700*3=3100(个)20000页中有多少6就是2000*4=8000 (个)友情提示，如3000页中有多少3，就是300*3+1=901，请不要把3000的3忘了二，握手问题N个人彼此握手，则总握手数S=(n-1){a1+a(n-1)}/2=(n-1){1+1+(n-2)}/2=『n^2-n』/2 =N×(N-1)/2例题：某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，整个游戏一共握手152次，请问这个班的同学有( )人A、16B、17C、18D、19【解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的多边形对角线的原理在解决此题。

按照排列组合假设总数为X人则Cx取3=152 但是在计算X时却是相当的麻烦。

我们仔细来分析该题目。

以某个人为研究对象。

则这个人需要握x-3次手。

每个人都是这样。

则总共握了x×(x-3)次手。

但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。

则实际的握手次数是x×(x-3)÷2=152 计算的x=19人三，钟表重合公式钟表几分重合，公式为：x/5=(x+a)/60 a时钟前面的格数四，时钟成角度的问题设X时时，夹角为30X ，Y分时，分针追时针5.5，设夹角为A.(请大家掌握)钟面分12大格60小格每一大格为360除以12等于30度，每过一分钟分针走6度，时针走0.5度，能追5.5度。

1.【30X-5.5Y】或是360-【30X-5.5Y】【】表示绝对值的意义(求角度公式)变式与应用2.【30X-5.5Y】=A或360-【30X-5.5Y】=A (已知角度或时针或分针求其中一个角)五，往返平均速度公式及其应用(引用)某人以速度a从A地到达B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的平均速度v=2ab/(a+b )。

25概率(7大题型)(原卷版)

25 概率必然事件、不可能事件和随机事件（1）必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．（3）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.注意：题型1：必然事件、不可能事件和随机事件1.“对于二次函数y=(x−1)2+1，当x≥1时，y随x的增大而增大”，这一事件为（）A．必然事件B．随机事件C．不确定事件D．不可能事件概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率，记为.(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.题型2：概率公式及计算2.不透明袋中装有3个红球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋中随机摸出1个球是红球的概率为（）A．38B．35C．58D．12题型3：列举法求概率放回型或独立型3（转盘）如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了表面颜色不同外，其它构造完全相同.游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色，那么红色和蓝色在一起能配成紫色.请你用列表法或树状图法，求游戏者不能配成紫色的概率.【变式31】如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有数−1，1，2，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，则当作指向右边的扇形）．（1）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率．4（数字）.一个纸箱内装有三张正面分别标有数字﹣4，6，4的卡片，卡片除正面数字外其他均相同．将三张卡片搅匀后，从中随机摸出一张卡片记下数字，放回后搅匀，再从中随机摸出一张卡片并记下数字．请用列表法或画树状图法求两次取得数字的绝对值相等的概率．5（摸球）.不透明的口袋里装有2个红球和2个黄球（除颜色不同外，其它都相同）．现进行两次摸球活动，第一次随机摸出一个小球后不放回，第二次再随机摸出一个小球，请用树状图或列表法，求两次摸出的都是红球的概率．6（硬币）.连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是()A．16B．14C．12D．132447（选购方案）.某公司有甲、乙两种品牌的打印机，其中甲品牌有A、B两种型号，乙品牌有C、D、E三种型号．某中学计划从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的打印机．（1）利用树状图或列表法写出所有的选购方案；（2）如果各种型号的打印机被选购的可能性相同，那么C型号打印机被选购的概率是多少？题型4：列举法求概率不放回型8（摸球不放回）.一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球.1个红球，它们除颜色外均相同．从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球．请你用列表或画树状图的方法，求两次摸出的球都是白球的概率．64329（选人问题）.某市准备举行初中生“党史知识竞赛”，学校通过初赛选出了2位男生A、B和2位女生C、D共4位选手，准备从4人中任选2人代表学校参加比赛．求所选代表都是女生的概率．题型5：游戏的公平性10.现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的题型6：利用频率估计概率11.在不透明的袋子中装有黑、白两种球共50个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则袋子中黑球的个数约为（）A．20个B．30个C．40个D．50个【变式111】利用六张编号为1，2，3，4，5，6的扑克牌进行频率估计概率的试验，小张统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）A．抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率B．抽中的扑克牌编号是奇数的概率C．抽中的扑克牌的编号是6的概率D．抽中的扑克牌的编号大于3的概率题型7：统计概率综合12.为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选性课：A.书法：B.绘画：C.乐器：D.舞蹈.为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）.将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有人；扇形统计图中∠α=度；（2）请把条形统计图补充完整；（3）学校为举办2021年度校园文化艺术节，决定从A.书法；B.绘画；C.乐器；D.舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率．一、单选题1．同时抛掷两枚均匀硬币，正面都同时向上的概率是（）2．下列事件中：①两个奇数的乘积是奇数；②抛掷一枚均匀的骰子，朝上点数为2；③每天太阳从东边升起；④明天要下雨；⑤长分别为2，3，4的三条线段能围成一个三角形．是必然事件的是（）A．①②③④⑤B．①③⑤C．②④D．①③3．连续掷一枚硬币，结果1连8次正面朝上，那么第9次出现正面朝上的概率为（）4．在50包型号为L的衬衫的包裹中混进了型号为M的衬衫，每包20件衬衫，每包中混入的M号衬衫数根据以上数据，选择正确选项（）.A．M号衬衫一共有47件B．从中随机取一包，包中L号衬衫数不低于9是随机事件C．从中随机取一包，包中L号衬衫数不超过4的概率为0.26D．将50包衬衫混合在一起，从中随机拿出一件衬衫，恰好是M号的概率为0.2525．有一个质地均匀且可以转动的转盘，盘面被分成6个全等的扇形区域，在转盘的适当地方涂上灰色，色方案正确的是()A．B．C．D．二、填空题6．一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是20%，则袋中有红球个数是．7．转盘中9个扇形的面积都相等，扇形上面分别写有数字1至9，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时（若指针停在分割线时重转一次），指针指向奇数的概率是．8．投掷一枚六个面分别标有1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子，则向上一面是奇数的概率是．9．某社区组织A、B、C、D小区的居民接种加强针新冠疫苗．若将这4个小区的居民随机分成两批，每批2个小区的居民接种加强针，则A、B两个小区都被分在第一批的概率是．三、解答题一般地，1000kg 种子中大约有多少是不能发芽的？11．已知不等式组{3x +4>x 43x ≤x +23（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为非负数的概率．12．2019年1月，温州轨道交通S1线正式运营，S1线有以下4种购票方式：A ．二维码过闸B ．现金购票C ．市名卡过闸D ．银联闪付（1）某兴趣小组为了解最受欢迎的购票方式，随机调查了某区的若干居民，得到如图所示的统计图，已知选择方式D 的有200人，求选择方式A 的人数.（2）小博和小雅对A ，B ，C 三种购票方式的喜爱程度相同，随机选取一种方式购票，求他们选择同一种购票方式的概率.（要求列表或画树状图）.。

数学算术题解题方法

数学算术题解题方法数学算术题是学习数学的基础，它涉及到各个层次的计算和运算。

在解题过程中，合理的方法和策略能够帮助我们更好地理解和解决问题。

本文将介绍一些常见的数学算术题解题方法，帮助读者更加高效地解决数学问题。

一、整数运算整数运算是数学算术题中最基本的计算方法之一。

在求解整数相关的算术题时，我们可以采用以下方法：1. 竖式计算法竖式计算法是一种常见的整数运算方法，它可以帮助我们在纸上进行有序的计算。

以加法为例，我们可以将两个整数按位对齐，从低位逐位相加，并将进位标记到上一位。

通过竖式计算法，我们可以较为清晰地展示整数之间的加减关系。

2. 分情况讨论法在求解整数运算题时，有时我们会遇到减法、乘法等运算。

对于这类题目，我们可以根据不同的情况进行讨论，运用不同的方法求解。

例如，对于两个整数相减的题目，如果两个整数都是正数或者都是负数，我们可以直接进行相减；但如果一个整数为正数，一个整数为负数，则可以转换为相加的形式进行计算。

二、分数运算分数是数学算术题中较为复杂的运算形式之一。

在解决分数运算题时，我们可以采用以下方法：1. 分数化简法分数化简是指将一个分数进行简化，得到最简形式的过程。

化简分数可以帮助我们更好地理解分数之间的关系，同时也方便我们进行分数运算。

化简分数的方法包括求分子分母的最大公约数，并将分子分母同时除以最大公约数，以得到最简分数。

2. 分数转化法有时候，我们在计算分数相关的题目时，可能需要将分数转化为整数或者将整数转化为分数。

对于将分数转化为整数的问题，我们可以通过将分子除以分母来得到整数部分，再将分子对分母取余得到余数。

而将整数转化为分数的问题时，我们可以将整数作为分子，分母为1来表示。

三、百分数计算百分数计算是数学算术题中常见的题型之一，它涉及到百分数的加减乘除等运算。

以下是一些解决百分数计算问题的方法：1. 百分数转化法在进行百分数计算时，有时候我们会遇到将百分数转化为小数或将小数转化为百分数的情况。

专题25 二次函数与全等三角形存在问题-2022中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(解析版

专题25 二次函数与全等三角形存在问题1．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，将抛物线C1向上平移1个单位得到抛物线C2，点Q（m，n）在抛物线C2上，其中m＞0且n＜0，过点P作PQ∥y轴交抛物线C1于点P，点M是x轴上一点，当以点P、Q、M为顶点的三角形与△AOQ全等时，点M的横坐标为_____．【答案】4【分析】此题首先需要确定全等的对应关系，函数图象向上平移后，两个函数上下间距为1，OA＝1，所以AO与PQ对应，∠AOQ＝∠PQM，可确定OQ＝QM，AQ＝PB，得到两组线段相等后，设点M坐标，以两组线段相等为等量建立方程即可解决问题．【详解】解：∵△AOQ≌△PQM，AO＝PQ∴∠AOQ＝∠PQM，AQ＝PB，OQ＝QM∴AQ2＝PB2，OQ2＝QM2设Q（m，m2﹣2m﹣2），P（m，m2﹣2m﹣3），M（a，0）如图，过点Q作QH⊥AB，垂足为H，则在Rt△OHQ中，OQ2＝（m）2+（m2﹣2m﹣2）2；在Rt△MHQ中，QM2＝（a﹣m）2+（m2﹣2m﹣2）2；在Rt△AHQ中，AQ2＝（m+1）2+（m2﹣2m﹣2）2；在Rt△PHB中，PB2＝（a﹣m）2+（m2﹣2m﹣3）2a由（m）2+（m2﹣2m﹣2）2＝（a﹣m）2+（m2﹣2m﹣2）2，解得m＝2由（m+1）2+（m2﹣2m﹣2）2＝（a﹣m）2+（m2﹣2m﹣3）2，解得a＝﹣2（舍）或a＝4∴点M的横坐标为4．【点睛】此题是代几综合问题，考查了全等关系在二次函数中的应用和二次函数中点坐标与线段长的转换，首先要确定边角的对应关系，发现线段相等后，利用等量建立方程，只要确定了对应关系，此题就好解决了．2．如图，在第一象限内作射线OC ，与x 轴的夹角为30°，在射线OC 上取点A ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ．在抛物线y =x 2(x >0)上取点P ，在y 轴上取点Q ，使得以P 、O 、Q 为顶点，且以点Q 为直角顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是__________．【答案】)12233或（）或（【分析】此题应分四种情况考虑：①∠POQ =∠OAH =60°，此时A 、P 重合，可联立直线OA 和抛物线的解析式，即可得A 点坐标；②∠POQ =∠AOH =30°，此时∠POH =60°，即直线OP ：y，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ 、PQ 的长，由于△POQ ≌△AOH ，那么OH =OQ 、AH =PQ ，由此得到点A 的坐标．③当∠OPQ =90°，∠POQ =∠AOH =30°时，此时△QOP ≌△AOH ，由此求得点A 的坐标； ④当∠OPQ =90°，∠POQ =∠OAH =60°，此时△OQP ≌△AOH ，由此求得点A 的坐标；【详解】①当∠POQ =∠OAH =60°，若以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，那么A 、P 重合；由于∠AOH =30°，设A 坐标为（a ，b ），在直角三角形OAH 中，tan ∠AOH =tanba，设直线OA 的方程为y =kx ，把A 的坐标代入得k =b a∴直线OA 的解析式： y，联立抛物线的解析式，得：2y y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得 00x y =⎧⎨=⎩，13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ；∴A13）； ②当∠POQ =∠AOH =30°，此时△POQ ≌△AOH ；易知∠POH =60°，则直线OP ：yx，联立抛物线的解析式，得：2y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴P3），即可得A （3；③当∠OPQ =90°，∠POQ =∠AOH =30°时，此时△QOP ≌△AOH ；易知∠POH =60°，则直线OP ：y，联立抛物线的解析式，得：2y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得 00x y =⎧⎨=⎩，3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴P3）， ∴OPQP =2， ∴OH =OPAH =QP =2， ∴A （2）；④当∠OPQ =90°，∠POQ =∠OAH =60°，此时△OQP ≌△AOH ；此时直线OP：y，联立抛物线的解析式，得：2y xy x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得xy=⎧⎨=⎩，13xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；∴P13），∴QPOP=23，∴OH=QPAH=OP=23，∴A23）．综上可知：符合条件的点A有四个，且坐标为：，13），（3，（2），23）．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法；由于全等三角形的对应顶点不明确，因此要注意分类讨论思想的运用．3．（2021·陕西·西安市中考三模）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(0)，B0)，C(0，3)三点，线段BC与抛物线的对称轴l交于点D，该抛物线的顶点为P，连接P A，AD，线段AD与y轴相交于点E．（1）求该抛物线的表达式和点P的坐标；（2）在y轴上是否存在一点Q，使以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝−13x2＋3，P4）；（2）存在，点Q的坐标为（0，7）．【分析】（1）已知抛物线经过的三点坐标，直接利用待定系数法求解即可．（2）先求出直线BC 的解析式，从而得点D 的坐标为D2）．可求出AD 并证明CD＝DP ，利用三角函数及等腰三角形性质求出∠ADP ＝120°，则可根据点Q 的位置在y 轴上，分别从两种情况利用SAS 判定两三角形全等的方法来求解．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为：y ＝a （x（x，将C （0，3）代入得： a （0（3，解得 a ＝−13．∴抛物线的解析式：y ＝−13（x（x−13x 2＋3． ∵y ＝−13x 2x ＋3＝−13（x2＋4， ∴P4）．（2）存在，设直线BC 的解析式：y ＝kx ＋b ，依题意得：3b b +==⎪⎩，解得3k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线BC 的解析式为：y ＝＋3．当xy ＝2， ∴D2）． ∴AD＝4，CD2＝PD ．∵tan ∠ABD ＝DF BF， ∴∠ABD ＝30°．∵l 是抛物线的对称轴，点D 在l 上， ∴AD ＝BD ．∴∠ABD ＝∠BAD ＝30°． ∴∠ADB ＝120°． ∴∠ADF ＝∠BDF ＝60°． ∴∠ADP ＝120°，△QCD 和△APD 中，CD ＝PD ，且点Q 在y 轴上，当点Q 在CD 上方，∠DCQ ＝∠ADP ＝120°，CQ ＝AD 时，△QCD ≌△APD ，设点Q （0，y ），则CQ ＝y －3，即y －3＝4，解得y ＝7， ∴Q （0，7），当点Q 在CD 下方时，∠CDQ ＝120°，此时点Q 在抛物线的对称轴上．综上，当△QCD ≌△APD 时，点Q 的坐标为（0，7）．【点睛】此题属于二次函数综合题，难度较大，涉及到：函数解析式的确定以及全等三角形的应用等重点知识．在解题时，一定要注意从图中找出合适的解题思路，能否将琐碎的知识运用到同一题目中进行解答，也是对基础知识掌握情况的重点考查．4．（2021·北京市九年级月考）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－0)，B (0)，C (0，－3)．（1）求抛物线顶点P 的坐标；（2）连接BC 与抛物线对称轴交于点D ，连接PC ． ①求证：PCD 是等边三角形．②连接AD ，与y 轴交于点E ，连接AP ，在平面直角坐标系中是否存在一点Q ，使以Q ，C ，D 为顶点的三角形与ADP 全等．若存在，直接写出点Q 坐标，若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，点M 是直线BC 上任意一点，连接ME ，以点E 为中心，将线段ME 逆时针旋转60°，得到线段NE ，点N 的横坐标是否发生改变，若不改变，直接写出点N 的横坐标；若改变，请说明理由．【答案】（1）4)P -；（2）①见解析；②存在，2)或(2)--；（3）不改变，N 的理由见解析．【分析】（1）利用待定系数法求得二次函数的解析式，再用配方法解题；（2）①利用勾股定理求出PC ,PD ,CD 的值，即可求解；②存在，在对称轴上取一点Q ，使得DQ =AD ，连接AQ ,证明()ADP QDC SAS ≅，可解得2)Q ，再根据对称性得到，当点Q '与Q 关于A 对称时，Q CD ADP '≅，解得(2)Q '--；（3）设EN 交DM 于J ，利用全等三角形的性质，证明点N 在对称轴上即可．【详解】解：（1）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (0)，B(0)，C (0，－3)330270c a c a c =-⎧⎪∴+=⎨⎪+=⎩133a b c ⎧=⎪⎪⎪∴=⎨⎪=-⎪⎪⎩2221113()3(4333y x x x ∴=-=--=-4)P ∴-；（2）①设直线BC 的解析式为y kx b =+，代入 B(0)，C (0，－3)，得3b b ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩3k b ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩直线BC的解析式为3y x =-当x =2y =-，2)D ∴-2,2,2PD CD PC ∴===CD PC PD ∴==∴PCD 是等边三角形；②存在，理由如下，在对称轴上取一点Q ，使得DQ =AD ，连接AQ ,tan OC ABC OB ∠==30ABC ∴∠=︒ ,DA DB DQ AB =⊥ 30,120DAB ADB ∴∠=︒∠=︒ 60ADQ BDQ ∴∠=∠=︒ 60ADQ CDP ∠=∠=︒ADP CDQ ∴∠=∠,DA DQ DP DC == ()ADP QDC SAS ∴≅ 4AD DQ ∴==2)Q ∴根据对称性可知，当点Q '与Q 关于A 对称时，Q CD ADP '≅，(2)Q '∴--，综上所述，满足条件的点Q 的坐标为：2)或(2)--；（3）不改变，理由如下，设EN 交DM 于J ， 60MEN CED ∠=∠=︒ MEC NED ∴∠=∠,ME NE EC ED == ()MEC NED SAS ∴≅EMC END ∴∠=∠ EJM DJN ∠=∠ 60MEJ JDN ∴∠=∠=︒ 60CDP CDN ∴∠=∠=︒ N ∴在对称轴上， N ∴【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、配方法求顶点坐标、全等三角形的判定与性质、正切、等边三角形的判定与性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．5．如图所示，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过()A，()B ，()0,3C 三点，线段BC 与抛物线的对称轴l 相交于点D ．设抛物线的顶点为P ，连接P A ，AD ，DP ，线段AD 与y 轴相交于点E ．（1）求该抛物线的表达式．（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q ，使以Q ，C ，D 为顶点的三角形与△ADP 全等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．（3）将CED ∠绕点E 顺时针旋转，边EC 旋转后与线段BC 相交于点M ，边ED 旋转后与对称轴l 相交于点N ，连接PM ，DN ，若2PM DN =，求点N 的坐标（直接写出结果）．【答案】（1）2133y x =-+；（2）存在，点Q的坐标为())2-，()0,7或()-；（3）点N的坐标为⎭【分析】（1）已知抛物线经过的三点坐标，直接利用待定系数法求解即可；（2）先求出直线BC 的解析式，求出点D 的坐标；方法1，设点Q 的坐标为(),x y ，利用两点间距离公式AB =22226704210x y y x y y ⎧+--=⎪⎨+---=⎪⎩，从而求解；方法2，利用全等条件先确定点Q 的几何位置，从而利用全等的条件得到对应线段的长来解决问题；注意分类讨论；（3）先证明CEM DEN ≌，设点M 的坐标为,3x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得22443PM x =+，22221433CM x x x =+=，根据224PM CM =求出x的值，然后根据2FN DF DN =-==【详解】解：（1）设抛物线的表达式为(y a x x =-，将点()0,3C 代入后，得(003a -=，解得13a =-．∴抛物线的表达式为(211333y x x x =--=-+．（2）设直线BC 的解析式为y kx b=+，由题意，得03b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得3k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴直线BC 的解析式为3y x =+．由抛物线的表达式2133y x =-+，得顶点P 的坐标为)4．当x =32y =+=， ∴点D 的坐标为)2．方法1：设点Q 的坐标为(),x y ．∴()()222220369QC x y x y y =-+-=+-+，(()22222247QD x y x y y =+-=+--+，(()2220428AP =+-=，(()2220216AD =+-=，2CD DP ==．∵在QCD 和APD △中，CD PD =，若两个三角形全等，则有以下两种情况． ①当QC AP =，QD AD =时，22QC AP =，22QD AD =，则222269284716x y y x y y ⎧+-+=⎪⎨+--+=⎪⎩，解得114x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩222x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴点Q的坐标为()，)2-．②当QC AD =，QD AP =时，22QC AD =，22QD AP =，则222269164728x y y x y y ⎧+-+=⎪⎨+--+=⎪⎩，解得3307x y =⎧⎨=⎩，441x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩∴点Q 的坐标为()0,7，()-．综上所述，点Q的坐标为()，)2-，()0,7或()-．方法2：∵点A的坐标为()，点B的坐标为()，点C 的坐标为()0,3，点F的坐标为)，∴AF =4=AD，OB =3OC =，6BC =，2PD DF CD ===． ∴60BDF ADF ADC PDC ∠=∠=∠=∠=︒，120ADP CDF ∠=∠=︒．如图所示，分以下四种情况．①当1Q 在y 轴上，且1Q C AD =时，()1SAS ADP QCD ≅．此时1Q 的坐标为()0,7．②当2Q 在 PD 延长线上，且2Q D AD =时，()2SAS ADP Q DC ≅． ∴此时2Q的坐标为)2-．③当3Q 在AD 延长线上，且3Q D AD =时，()3SAS ADP Q DC ≅．连接3Q P ，∵3ADF Q DP ∠=∠，∴()3SAS ADF Q DP ≅． ∴3Q P AF =．此时3Q的坐标为()．④当4120Q CD ADP ∠=∠=︒且4Q C AD =时，()4SAS ADP Q CD ≅，同理可得，()4SAS ADP Q CE ≅，∴4Q的坐标为()-．综上所述，点Q 的坐标为()0,7，)2-，()或()-．（3）如图所示，∵点D的坐标为)2，点B的坐标为()，∴2DF =，BF =．∴60BDF ADF CDE DCE ∠=∠=∠=∠=︒． ∴CEO 为等边三角形．在CEM 和DEN 中，60CEM DEN ECM EDN CE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴CEM DEN ≌．∴CM DN =，22PM CM DN ==，设点M的坐标为,3x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴)222244343PM x x x ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭．又∵22221433CM x x x =+=，∴224PM CM =，即22444433x x +=⨯，解得)16x =（负值舍去）．∴)16CM DN x ==，∴2FN DF DN =-==∴点N 的坐标为⎭解后反思本题第（2）问考查“在平面直角坐标系中是否存在点Q ，使以Q ，C ，D 为顶点的三角形与ADP △全等”，这里要注意由于对应点的不同，需要有分类讨论的意识．方法1，设点Q 的坐标为(),x y ，利用两点间距离公式AB =化为方程组22226704210x y y x y y ⎧+--=⎪⎨+---=⎪⎩，从而求解；方法2，利用全等条件先确定点Q 的几何位置，从而利用全等的条件得到对应线段的长来解决问题．相对于以上两种解法，因为方法1需要解复杂的二元二次方程组，所以方法2的几何方法更为简捷． 6．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点N 是y 轴负半轴上的一点，且ON =Q 在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO ，QO 与抛物线的对称轴交于点M ，连接MN ，当MN 平分OMD ∠时，求点Q 的坐标．（3）直线BC 交对称轴于点E ，P 是坐标平面内一点，请直接写出PCE ∆与ACD ∆全等时点P 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）点Q 的坐标为：1Q ，2Q ；（3）若PCE ∆与ACD ∆全等，P 点有四个，坐标为1(3,4)P --，2(1,6)P --，3(2,1)P ，4(4,1)P -．【分析】（1）用待定系数法，直接将,A B 代入解析式即可求解．（2）由MN 平分OMD ∠，MD 平行ON 即可求出OM ON =M 点坐标，由直线OM 解析式即可求出与抛物线交点坐标Q 即可．（3）由,,A C D 三点的坐标可得ACD ∆三边长，由CE 坐标可得PCE ∆和ACD ∆中CD CE =，则另两组边对应相等即可，设P 点坐标为(,)x y ；利用两点间距离公式即列方程求解．【详解】（1）抛物线23y ax bx =+-经过(1,0)A -，(3,0)B 两点，∴309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：223y x x =--．（2）如图1，设对称轴与x 轴交于点H ，MN 平分OMD ∠，OMN DMN ∴∠=∠，又//DM ON ，DMN MNO ∴∠=∠， MNO OMN ∴∠=∠，OM ON ∴==．在Rt OHM ∆中，90OHM ∠=︒，1OH =．∴1HM ，1(1,1)M ∴；2(1,1)M -．①当1(1,1)M 时，直线OM 解析式为：y x =，依题意得：223x x x =--．解得：1x 2x点Q 在对称轴右侧的抛物线上运动，Q ∴点纵坐标1y x =．∴1Q ，②当2(1,1)M -时，直线OM 解析式为：y x =-，同理可求：2Q ，综上所述：点Q的坐标为：1Q，2Q ，（3）由题意可知：(1,0)A -，(0,3)C -，D (1,4)-，AC ∴，AD ，CD ，直线BC 经过(3,0)B ，(0,3)C -，∴直线BC 解析式为3y x =-，抛物线对称轴为1x =，而直线BC 交对称轴于点E ，E ∴坐标为(1,2)-；CE ∴，设P 点坐标为(,)x y ，则222(0)(3)CP x y =-++，则222(1)(2)EP x y =-++，CE CD =，若PCE ∆与ACD ∆全等，有两种情况，Ⅰ．PC AC =，PE AD =，即PCE ACD ∆≅∆．∴2222(0)(3)10(1)(2)20x y x y ⎧-++=⎨-++=⎩，解得：1134x y =-⎧⎨=-⎩，2216x y =-⎧⎨=-⎩，即P 点坐标为1(3,4)P --，2(1,6)P --． Ⅰ．PC AD =，PE AC =，即PCE ACD ∆≅∆．∴2222(0)(3)20(1)(2)10x y x y ⎧-++=⎨-++=⎩，解得：3321x y =⎧⎨=⎩，4441x y =⎧⎨=-⎩，即P 点坐标为3(2,1)P ，4(4,1)P -．故若PCE ∆与ACD ∆全等，P 点有四个，坐标为1(3,4)P --，2(1,6)P --，3(2,1)P ，4(4,1)P -．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 7．如图，抛物线y 1＝ax 2+bx +34与x 轴交于点A （﹣3，0），点B ，点D 是抛物线y 1的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为点C （﹣1，0）．（1）求抛物线y 1所对应的函数解析式；（2）如图1，点M 在抛物线y 1上，横坐标为m ，连接MC ，若∠MCB ＝∠DAC ，求m 的值；（3）如图2，将抛物线y 1平移后得到顶点为B 的抛物线y 2．点P 为抛物线y 1上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线y 2于点Q ，过点Q 作x 轴的平行线，交抛物线y 2于点R ．当以点P ，Q ，R 为顶点的三角形与△ACD 全等时，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）2113424y x x =--+ ；（2）m （3）P 点坐标为（0，34）或P （2，﹣54）．【分析】(1)根据A 、C 两点的坐标用待定系数法求出解析式；(2)如图，当M 点在x 轴上方时，若∠M 1CB ＝∠DAC ，则DA ∥CM 1，先求直线AD 的解析式，由点C 的坐标可求出直线CM 1的解析式，联立直线和抛物线方程可求出点M 1的坐标，当点M 在x 轴下方时，由轴对称的性质可求出直线CM 2的解析式，同理联立直线和抛物线方程则求出点M 的坐标；(3)先求出y 2的解析式，可设出点P 坐标，表示Q 、R 坐标及PQ 、QR ，根据以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△ACD 全等，分类讨论对应边相等的可能性即可求P 点坐标．【详解】(1)由题意得：3930412a b b a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得1412a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，抛物线y 1所对应的函数解析式为2113424y x x =--+；(2)当x ＝﹣1时，y ＝113424-++=1，∴D (﹣1，1)，设直线AD 的解析式为y ＝kx +n ， ∴301k n k n -+=⎧⎨-+=⎩，解得：1232k n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AD 的解析式为y ＝12x +32，如图，①当M 点在x 轴上方时， ∵∠M 1CB ＝∠DAC ， ∴DA ∥CM 1，设直线CM 1的解析式为y ＝12x +b 1， ∵直线经过点C ，∴-12+b 1=0，解得：b 1=12， ∴直线CM 1的解析式为y ＝12x +12， ∴21122113424y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩，解得：x =-x =-2舍去)，∴m ＝﹣②当点M 在x 轴下方时，直线CM 2与直线CM 1关于x 轴对称，由轴对称的性质可得直线CM 2的解析式为y ＝-12x -12， ∴21122113424y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩，解得：xx舍去)，∴m综合以上可得m(3)∵抛物线y 1平移后得到y 2，且顶点为B (1，0)， ∴()22114y x =--，即y 2=2111424x x -+-，设P (m ，2113424m m --+)，则Q (m ，2111424m m -+-)，∴R (2﹣m ，2111424m m -+-)，①当P 在Q 点上方时，PQ ＝1﹣m ，QR ＝2﹣2m ， ∵△PQR 与△ACD 全等，∴当PQ ＝DC 且QR ＝AC 时，m ＝0， ∴P (0，34)，R (2，﹣14)，当PQ ＝AC 且QR ＝DC 时，无解； ②当点P 在Q 点下方时，同理：PQ ＝m ﹣1，QR ＝2m ﹣2，可得P (2，54-)，R (0，﹣14)，综合可得P 点坐标为(0，34)或P (2，54-)．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、待定系数法求函数的解析式，三角形全等的判定，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．8．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点分别为()6,0A -和点()4,0B ，与y 轴的交点为()0,3C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是线段OA 上一动点（不与点A 重合），过P 作平行于y 轴的直线与AC 交于点Q ，点D 、M 在线段AB 上，点N 在线段AC 上．①是否同时存在点D 和点P ，使得APQ ∆和CDO ∆全等，若存在，求点D 的坐标，若不存在，请说明理由；②若DCB CDB ∠=∠，CD 是MN 的垂直平分线，求点M 的坐标．【答案】（1）211384y x x =--+；（2）①存在点D ，使得APQ ∆和CDO ∆全等，3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，理由见解析；②点3,02M ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）利用待定系数法，把A 、C 、G 三点坐标代入一般式，解方程组可求得抛物线解析式；（2）①分D 在线段AO 上和在线段OB 上两种情况讨论；②由已知点求出D 点坐标，连接DN ,证明DN //BC ，则可证DN 为△ABC 的中位线，根据题意可证DM =DN ，即可求出M 坐标. 【详解】（1）将点A ()6,0-，()0,3C ，()4,0B 代入2y ax bx c =++，得366016400a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得18143a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴抛物线解析式为：211384y x x =--+（2）①存在点D ，使得APQ ∆和CDO ∆全等当D 在线段OA 上，QAP DCO ∠=∠，3AP OC ==时，APQ ∆和CDO ∆全等 tan tan QAP DCO ∴∠=∠OC ODOA OC = 363OD ∴= 32OD ∴=∴点D 坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭由对称性，当点D 坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭时，由点B 坐标为()4,0此时点3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭在线段OB 上满足条件．②3OC =，4OB =5BC ∴=DCB CDB ∠=∠5BD BC ∴==1OD BD OB ∴=-=则点D 坐标为()1,0-且5AD BD ==连DN ，CM则DN DM =，NDC MDC ∠=∠NDC DCB ∴∠=∠DN BC ∴∥1AN AD NC DB∴== 则点N 为AC 中点．DN ∴是ABC ∆的中位线1522DN DM BC === 32OM DM OD ∴=-= ∴点3,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查二次函数综合题，待定系数法求二次函数解析式，三角形全等的判定定理，锐角三角函数解三角形.能在坐标轴中找准点的坐标与线段之间的关系是解决此题的关键. 9．（2020·四川都江堰·中考二模）如图，抛物线y ＝ax 2+c （a ≠0）与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C 两点（点C 在x 轴正半轴上），△ABC 为等腰直角三角形，且面积为4．现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线经过点C 时，与x 轴的另一交点为E ，其顶点为F ，对称轴与x 轴的交点为H ．（1）求a 、c 的值；（2）连接OF ，求△OEF 的周长；（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使得以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE 全等？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）122ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩；（2）（3）存在，点Q（6，Q（6，3）．【分析】（1）根据直角三角形的性质，可得B（﹣2，0），A（0，2），C（2，0），将点代入解析式即可求a，c的值；（2）求出AB的直线解析为y＝x+2，设F（m，m+2），平移后抛物线解析式y＝﹣12（x﹣m）2+m+2，将点C（2，0）代入，得平移后抛物线解析式为y＝﹣12x2+6x﹣10，进而求出点E的坐标，即可得出结论；（3）当P在x轴上方时，由△PQE≌△POE，可得QE＝OE＝10，在Rt△QHE中，OH＝Q（6，；当P在x轴下方时，PQ＝OE＝10，过点P作PK⊥HF与点K，可证明△PKQ∽△QHE，则PK QKQH HE=，则Q（6，3），即可得出结论.【详解】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，∴AO＝12BC，∵△ABC面积为4，∴12BC•OA＝4，∴OA＝2，BO＝4，∴B（﹣2，0），A（0，2），C（2，0），∵点A，B在抛物线y＝ax2+c上，∴240ca c=⎧⎨+=⎩，∴122ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即a、c的值分别为﹣12和2；（2）如图1，连接OF，由（1）可知：y＝﹣12x2+2，∵B（﹣2，0），A（0，2），∴AB的直线解析为y＝x+2，∵平移后抛物线顶点F在射线BA上，设F（m，m+2），∴平移后抛物线解析式y＝﹣12（x﹣m）2+m+2，将点C（2，0）代入y＝﹣12（x﹣m）2+m+2，得﹣12（2﹣m）2+m+2＝0，∴m＝6或m＝0（舍），∴F（6，8），∴平移后抛物线解析式为y＝﹣12x2+6x﹣10，当y＝0时，﹣12x2+6x﹣10＝0，∴x＝2或x＝10，∴E（10，0），∴OE＝10，∵F（6，8），∴OF10，EF∴△OEF的周长为OE+OF+EF＝（3）当P在x轴上方时，如图2，∵△PQE≌△POE，∴QE＝OE＝10，在Rt△QHE中，HQ∴Q（6，，当P在x轴下方时，如图3，∵△PQE≌△EOP，∴PQ＝OE＝10，过点P作PK⊥HF与点K，∴PK＝6，在Rt△PQK中，QK8，∵∠PQE＝90°，∴∠PQK+∠HQE＝90°，∵∠HQE+∠HEQ＝90°，∴∠PQK＝∠HEQ，∵∠PKQ＝∠QHE＝90°，∴△PKQ∽△QHE，∴PK QK QH HE=,∴684 QH=，∴QH＝3，∴Q（6，3），综上所述：满足条件的点Q（6，Q（6，3）.【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，抛物线平移的特点，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解题中注意分类讨论的思想.10．已知抛物线y=x2+bx+c过点（-6,-2），与y轴交于点C，且对称轴与x轴交于点B （-2,0），顶点为A．（1）求该抛物线的解析式和A点坐标；（2）若点D是该抛物线上的一个动点，且使△DBC是以B为直角顶点BC为腰的等腰直角三角形，求点D坐标；（3）若点M是第二象限内该抛物线上的一个动点，经过点M的直线MN与y轴交于点N，是否存在以O、M、N为顶点的三角形与△OMB全等？若存在，请求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A点的坐标为（﹣2，6）；（2）D点的坐标为：（2，﹣2）；x+2．（3）存在．直线MN的解析式为y=6或y=﹣12【分析】（1）首先依据顶点坐标先求出b 的值，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）过B 点作CB 的垂线交抛物线与D ，然后过D 点作x 轴的垂线，垂足为E ，通过三角形全等即可求得点D 的坐标．（3）由于三角形的各边，只有OB =2是确定长度的，因此可以以OB 为基准进行分类讨论： ①OB =OM ．因为第二象限内点P 到原点的距离均大于4，因此OB ≠OM ，此种情形排除； ②OB =ON ．分析可知，只有如答图2所示的情形成立；③OB =MN ．分析可知，只有如答图3所示的情形成立．【详解】（1）∵对称轴与x 轴交于点B （﹣2，0），∴A 的横坐标为：x =﹣2， ∴﹣2b a=﹣2，解得；b =﹣2，∴抛物线为y =﹣12x 2﹣2x +c ， ∵抛物线y =﹣12x 2+bx +c 过点（﹣6，﹣2）， ∴代入得﹣2=﹣12×（﹣6）2﹣2×（﹣6）+c ，解得c =4， ∴该抛物线的解析式为：y =﹣12x 2﹣2x +4， ∴y =﹣12x 2﹣2x +4=﹣12（x 2+4x +4）+6）=﹣12（x +2）2+6 ∴A 点的坐标为（﹣2，6）；（2）过B 点作CB 的垂线交抛物线与D ，然后过D 点作x 轴的垂线，垂足为E ， ∵∠CBD =90°，∴∠CBO +∠EBD =90°，∵∠BCO +∠CBO =90°，∴∠EBD =∠BCO ，∠CBO =∠BDE ，∴在△CBO 与△BDE 中EBD BCO BC BDCBO BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△CBO ≌△BDE （ASA ）∴DE =OB =2，BE =OC =4∴D点的坐标为（2，﹣2）或（﹣6.2），把（2，﹣2）或（﹣6.2）分别代入y=﹣12x2﹣2x+4，（﹣2，2）合适，（﹣6，2）不合适，∴D点的坐标为：（2，﹣2）图1（3）存在．若以O、M、N为顶点的三角形与△OBM全等，可能有以下情形：（I）OB=OM．由图象可知，OM最小值为4，即OM≠OB，故此种情形不存在．（II）OB=ON．若点M在y轴正半轴上，如答图2所示：图2此时△OBM≌△OMN，∴∠OMB=∠OMN，即点P在第二象限的角平分线上，ON=OB=2，M点坐标为：（4，-4），∴直线PE的解析式为：y=﹣12x+2；若点E在y轴负半轴上，易知此种情形下，两个三角形不可能全等，故不存在．（III）OB=MN．∵OB=2，∴第二象限内对称轴左侧的点到y轴的距离均大于2，则点M只能位于对称轴右侧或与顶点A重合．若点M位于第二象限内抛物线对称轴的右侧，易知△OMN为钝角三角形，而△OMB为锐角三角形，则不可能全等；若点M与点A重合，如答图3所示，此时△OBM≌△OMN，四边形MNOB为矩形，图3∴直线MN的解析式为：y=6．综上所述，存在以O、M、N为顶点的三角形与△OMB全等，直线MN的解析式为y=6，y=﹣12x+2．考点：二次函数综合题．11．定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2＝ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y＝2x2﹣2x+2是黄金抛物线．（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）若抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；（3）将黄金抛物线y＝2x2﹣2x+2沿对称轴向下平移3个单位．①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明．【答案】（1）如y＝x2，y＝x2﹣x+1，y＝x2+2x+4等（答案不唯一）；（2）详见解析；（3）①y＝2x2﹣2x﹣1；②符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣12，12），（32，12）．【分析】（1）按照黄金抛物线的定义给a、b、c赋值即可；（2）将ac＝b2代入判别式当中，消去ac，然后对b分等于0和不等于0两种情讨论即可；（3）①根据“上加下减”写出平移后的抛物线解析式即可；②根据所给的限制条件，只能画出四种图形，分别写出相应的P点坐标即可；【详解】（1）答：如y＝x2，y＝x2﹣x+1，y＝x2+2x+4等；（2）依题意得b2＝ac，∴△＝b2﹣4ac＝b2﹣4b2＝﹣3b2，∴当b＝0时，△＝0，此时抛物线与x轴有一个公共点，当b≠0时，△＜0，此时抛物线与x轴没有公共点；（3）①抛物线y＝2x2﹣2x+2向下平移3个单位得到的新抛物线的解析式为y＝2x2﹣2x﹣1，②存在．如图：若BQ＝AO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，P点的坐标为：（0，﹣1），（1，﹣1），此时，△AOB≌△BQP；若BQ＝BO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，令2x2﹣2x﹣1＝12，解得：x＝﹣12或x＝32，∴P点的坐标为：（﹣12，12），（32，12）．此时，△AOB≌△PQB；综上所述，有四个符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣12，12），（32，12）．【点睛】此题主要考查新定义下抛物线的性质，熟练掌握，即可解题.。

【万唯中考】重难题型第25题综合与实践

题型十五第25题综合与实践注：综合与实践题均为3问，分值为12分．第(1)(2)问为问题探究阶段，一般考查简单尺规作图或计算，第(3)问为问题解决阶段，结合前两问的结论解决问题．类型一面积平分问题(2017、2013、2010.25)【类型解读】面积平分问题近10年涉及3次，题目所给图形：若在第(1)(2)问涉及则结合常见图形，如等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形，若在第(3)问则结合一般四边形．考查点：图形面积二等分和四等分问题．考查形式：过图形上一点或图形内一点作直线平分图形的面积．【满分技法】链接至P64、P119“微专题”．针对训练1.问题探究(1)如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，请你过点A作一条直线AD，其中点D为BC上一点，使直线AD平分△ABC的面积；(2)如图②，点P为▱ABCD外一点，AB＝6，BC＝12，∠B＝45°，请过点P作一条直线l，使其平分▱ABCD的面积，并求出▱ABCD的面积；问题解决(3)如图③，在平面直角坐标系中，四边形OABC是李爷爷家一块土地的示意图，其中OA∥BC，点P 处有一个休息站点(占地面积忽略不计)，李爷爷打算过点P修一条笔直的小路l(路的宽度不计)，使直线l 将四边形OABC分成面积相等的两部分，分别用来种植不同的农作物．已知点A(8，8)、B(6，12)、P(3，6)．你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由．第1题图2.问题探究(1)请在图①中作两条直线，使它将半圆O的面积三等分；(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，请在图②中过点A作两条直线，使它们将矩形ABCD 的面积三等分，并说明理由；问题解决(3)如图③，李师傅有一块平行四边形ABCD的菜地，其中AB＝AC＝100米，BC＝120米，菜地A处有一用来灌溉的水源．李师傅现准备修两条笔直的小路将菜地面积三等分后给自己的三个儿子，要求三个儿子能在灌溉时共用A处水源，那么李师傅能否实现自己的想法？若能，请通过计算、画图说明；若不能，请说明理由．第2题图3. (2019西安莲湖区模拟)问题提出(1)如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将△ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度；问题探究(2)如图②，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a∥b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断△AOM与△BON的面积关系，并说明你的理由；解决问题(3)如图③，刘老伯有一块筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O(0，0)、A(4，0)、B(0，4)、C(6，6)，是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙(墙的宽度不计)，将这块养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由．第3题图4.问题探究(1)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，作一条直线平分四边形ABCD的面积；(2)如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置关系和数量关系，并证明你的结论；问题解决(3)如图③，五边形OBCDE是西安市周边某村李大爷家的一块耕地缩略图(比例尺1∶15，单位米)，将其放在平面直角坐标系中，则点B(8，0)，C(8，4)，D(4，6)，E(0，6)，点P(0，8)处有一水井(占地面积忽略不计)，李大爷打算过点P修一条笔直的水渠(水渠的宽度不计)，并且使这条水渠所在的直线l将五边形OBCDE分成面积相等的两部分便于灌溉．你认为是否存在直线l能满足李大爷的要求，若能，确定出水渠在五边形耕地上的位置；若不能，请说明理由．第4题图类型二面积最值问题(2012、2011.25)【类型解读】面积最值问题(不涉及辅助圆)近10年考查2次，此类问题多涉及图形变化，考查形式包含：①与图形位似结合求面积最值、面积和最值；②与图形折叠结合求面积最值．【满分技法】1.已知△ABC 两边长及其夹角，利用S △ABC＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；2．已知△ABC 两边长a 、b ，求最大面积，当且仅当这两边垂直(两边夹角为90°)时，S △ABC 最大＝12ab ；3．求四边形面积时转化为求三角形的面积和来求．1. 问题探究(1)如图①，在△OAB 中，∠AOB ＝90°，作△OAB 关于点O 的对称△OCD ，连接AD 、BC . ①作出四边形ABCD ，则四边形ABCD 的形状为____________； ②若AO ＋BO ＝6，求四边形ABCD 的最大面积；(2)如图②，在矩形ABCD 中，对角线的长之和为12，求矩形ABCD 的最大面积；问题解决(3)如图③，李师傅有一个半径为R 的圆形板材⊙O ，他准备利用该板材裁一个矩形，是否能裁出面积最大的矩形？若能，求出矩形的最大面积；若不能，请说明理由．第1题图针对训练2.问题探究(1)请在图①所示的矩形中裁出一个正方形，画出你的裁剪方法，裁剪线用虚线表示；(2)如图②，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，正方形EFGH的四个顶点至少有3个在矩形ABCD 的边上，请通过计算，确定正方形EFGH面积的最大值和最小值；问题解决(3)如图③，有一块三角形铁皮ABC，其中AB＝AC＝10米，BC＝12米，现在需要从这块铁皮上剪下一个正方形PQMN用作一个正方体盒子的盖子，要求正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另外两个顶点分别在△ABC的另两边上．试通过计算确定，如何裁剪，可以使得所得到的正方形面积最大？第2题图3.问题探究(1)如图①，点M、N分别为四边形ABCD的边AD、BC的中点，则四边形BNDM的面积与四边形ABCD 的面积关系是____________；(2)如图②，在四边形ABCD中，点M、N分别为AD、BC的中点，MB交AN于点P，MC交DN于点Q.若S四边形MPNQ＝10，则S△ABP＋S△DCQ的值为多少？问题解决(3)如图③，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，点M、N为AB上两点，且满足BN＝2AM＝2MN，连接MC、MD.若点P为CD上任意一点，连接AP、NP，使得AP与DM交于点E，NP与MC交于点F，则四边形MEPF的面积是否存在最大值？若存在，请求出其最大面积；若不存在，请说明理由．第3题图4.问题提出(1) 如图①，线段AB的长为42，请你作出以AB为斜边且面积最大的Rt△ABC；问题探究(2)如图②，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，请你求出四边形ABCD的面积；问题解决(3)如图③，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，BD＝4.小明爸爸所在的工厂需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合图③中条件的四边形，裁取时要求尽可能节约，你能求出此时四边形ABCD面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．第4题图类型三线段最值问题(2018、2016、2015.25)【类型解读】线段最值问题近10年考查3次，考查形式为利用轴对称的性质和两点之间线段最短，求线段的最小值、三角形或四边形周长的最小值．【满分技法】链接至P63、P120、P123“微专题”．1. 问题探究(1)如图①，点E 是正△ABC 高AD 上的一定点，请在AB 上找一点F ，使EF＝12AE ，并说明理由；(2)如图②，点M 是边长为2的正△ABC 高AD 上的一动点，连接CM ，求12AM ＋MC 的最小值；问题解决(3)如图③，A 、B 两地相距600 km ，AC 是沿东西方向向两边延伸的一条笔直的铁路．点B 到AC 的最短距离为360 km.今计划在铁路线AC 上修建一个中转站M ，再在BM 间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由A 到M 再通过公路由M 到B 的总运费最少，请确定中转站M 的位置，并求出AM 的长．(结果保留根号)第1题图2. 问题探究(1)如图①，点M 、N 分别是△ABC 边AB 、AC 上任意一点，在BC 边上确定一点P ，使得PM ＋PN 的值最小；(2)如图②，点M 是边长为2的正方形ABCD 对角线AC 上一动点，N 为CD 边的中点，求△DMN 周长针对训练的最小值；问题解决(3)如图③，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB边的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．若M为x轴上任意一点，N为y轴上任意一点，当四边形MNFE的周长最小时，求出点M、N的坐标，并求出周长的最小值．第2题图3. (2019西安交大附中模拟)问题提出(1)如图①，点M、N是直线l外两点，在直线l上找一点K，使得MK＋NK最小；问题探究(2)如图②，在等边三角形ABC内有一点P.且P A＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度数的大小；问题解决(3)如图③，矩形ABCD是草根公园的平面图，AB＝303米，BC＝60米，现需要在公园里修一凉亭E，使得到公园出口A、B、C的距离之和最小，问：是否存在这样的点E？若存在，请画出点E的位置，并求出EA＋EB＋EC的最小值，并判断点E是否在对角线BD上；若不存在，请说明理由．第3题图4. (2019西工大附中模拟)问题提出(1)如图①，已知在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，BC ＝2＋23，求点A 到BC 的距离；问题探究(2)如图②，已知边长为3的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边AD 和BC 上，且AE ＝13AD ，CF ＝13BC ，连接BE 、DF ，若点M 、N 分别为BE 、DF 上的动点，连接MN ，求线段MN 长度的最小值；问题解决(3)如图③，已知在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝3，CB ＝CD ＝2，∠ABC ＝60°，连接BD ，将线段BD 沿BA 方向平移至ME ，点D 的对应点为点E ，点N 为边CD 上一点，且DN ＝BM ，连接MN ，MN 的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．第4题图．类型四辅助圆问题(2014～2019.25)【类型解读】利用辅助圆探究满足特殊角的点问题近10年考查6次，考查形式：第(1)(2)问一般考查简单作图或计算，第(3)问一般为利用辅助圆探究满足45°、60°、90°、120°角的点的存在性问题．【满分技法】链接至P96“微专题辅助圆问题”．针对训练1. (2019陕西副题第25题12分)问题提出(1)如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC；问题探究(2)如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM. 试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1∶6的两部分．求点N到点M的距离；问题解决(3)如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30 m，BC＝40 m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这结果保留整数．参考数据：2≈1.4，3≈1.7)两种花卉的种植至少需费用多少元？(2. (2018陕西副题25题12分) 问题提出(1)如图①，在△ABC 中，AB ＝4，∠A ＝135°，点B 关于AC 所在直线的对称点为B ′，则BB ′的长度为________；问题探究(2)如图②，半圆O 的直径AB ＝10，C 是AB ︵的中点，点D 在BC ︵上，且CD ︵＝2BD ︵，P 是AB 上的动点，试求PC ＋PD 的最小值；问题解决(3)如图③，扇形花坛AOB 的半径为20 m ，∠AOB ＝45°.根据工程需要，现想在AB ︵上选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个△PEF ，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带PE ＋EF ＋FP 的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的△PEF 为等腰三角形．试求PE ＋EF ＋FP 的值最小时的等腰△PEF 的面积．(安装损耗忽略不计)第2题图3.(1)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为________；(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM＋MN的最小值；(3)如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为点G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值？若存在，求这个最小值及此时BF的长度；若不存在，请说明理由．第3题图4.问题探究(1)如图①，⊙O的半径为5，弦AB＝8，则圆心O到AB的距离为________；(2)如图②，线段BC和动点A构成△ABC，已知BC＝6，∠BAC＝60°，过点A作BC边上的高线AD.若点D在线段BC上，求线段AD长度的最小值；问题解决(3)李老师为了增加数学学习的趣味性，设计了一个“寻宝”游戏：如图③，在平面内，线段AB长为6 cm，线段AB外有一动点P，且线段P A长为4 cm，又有一点Q，满足PB＝BQ，且∠PBQ＝90°，当线段AQ的长度最大时，点Q的位置即为藏宝地．请你确定藏宝地的位置及此时藏宝地到点A的距离．第4题图5.问题提出(1)如图①，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AD边上的中点，将△CDE绕点C逆时针旋转90°得到△CBF，则EF＝________；(2)如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l，且AD＝3，∠BAC＝60°，求△ABC 面积的最小值；问题解决(3)如图③，某园林单位准备将一个四边形花圃ABCD划分为3个区域种植不同的花草．已知在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6 m，点E、F分别为边AB、AD上的点．若要保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，请说明理由．第5题图6. (2019西安交大附中模拟)问题发现(1)如图①，AB为⊙O直径，请在⊙O上找一点P，使∠ABP＝45°；(不必写作法)问题探究(2)如图②，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝32，D是AB上一点，AD＝22，在BC 边上是否存在点P，使∠APD＝45°？若存在，求出BP的长度，若不存在，请说明理由；问题解决(3)如图③，为矩形足球场的示意图，其中宽AB＝66米，球门EF＝8米，且EB＝F A.点P、Q分别为BC、AD上的点，BP＝7米，∠BPQ＝135°，一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ 上的何处时才能使射门角度(∠EMF)最大？求出此时PM的长．第6题图7. (2019陕师大附中模拟)问题探究(1)如图①，已知等腰△ABC的顶角∠A＝30°，其外接圆半径为2，则底边上的中线AD长为________；(2)如图②，已知△ABC，∠BAC＝60°，BC＝2，点D、E分别为边AC、BC的中点，求DE长的最大值；问题解决(3)如图③，点A、B为两个物资生产站点，且站点A、B相距1 km，现需规划两个物资买卖站点C、D 及道路AC、AD.根据实际需要，站点B在站点C、D所连的线段上，且到站点C、D的距离相等，站点A 对站点C、D的张角为45°，即∠CAD＝45°，若要使得站点A、C的距离与站点A、D的距离和最长，试求AC＋AD的最大值．(结果用根号表示)第7题图8. (1)如图①，等边△ABC的边长为2，点D为BC边上一点，连接AD，则AD长的最小值是________；(2)如图②，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB中点，若P为对角线BD上一动点，Q 为边AD上一动点，计算EP＋PQ的最小值；(3)如图③，已知在四边形ABCD中，∠BAD＝75°，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝42，E为CD边上一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，在AF上截取FP＝FD，连接BP、CP.试问在四边形ABCD内是否存在点P，使得△PBC的面积最小？若存在，请你在图中画出点P的位置，并求出△PBC 的最小面积；若不存在，请说明理由．第8题图参考答案类型一面积平分问题针对训练1.解：(1)如解图①，取BC的中点D，作直线AD，则直线AD平分△ABC的面积；第1题解图①(2)如解图②，连接AC、BD，AC与BD交于点O，则点O为平行四边形ABCD的对称中心，作直线OP，则直线OP平分▱ABCD的面积．第1题解图②∵AB＝6，BC＝12，∠B＝45°，∴点A到BC的距离为6×sin45°＝32，∴S▱ABCD＝12×32＝362；(3)存在．如解图③，过点B作BD⊥x轴于点D，交AO于点E，连接OB、AP，则E(6，6)，直线l交AB于点F，交BD于点G.第1题解图③∵B(6，12)，P(3，6)，∴点P为线段OB的中点．∵OA∥BC，BE∥OC，∴四边形OEBC是平行四边形．∴点P 是平行四边形OEBC 的对称中心， ∴任意一条过点P 的直线平分平行四边形OEB C. ∴过点P 的直线l 只要平分△ABE 的面积即可．设直线l 的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则有3k ＋b ＝6，即b ＝6－3k ， ∴直线l 的表达式为y ＝kx ＋6－3k .设直线AB 的表达式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，将点B (6，12)、A (8，8)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝128m ＋n ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝24， ∴直线AB 的表达式为y ＝－2x ＋24.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋6－3k y ＝－2x ＋24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18＋3kk ＋2y ＝12＋18k k ＋2，∴F (18＋3k k ＋2，12＋18k k ＋2)．把x ＝6代入y ＝kx ＋6－3k ，得y ＝3k ＋6， ∴G (6，3k ＋6)．设直线AP 的表达式为y ＝ax ＋c (a ≠0)，将A (8，8)、P (3，6)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧8a ＋c ＝83a ＋c ＝6，解得⎩⎨⎧a ＝25c ＝245， ∴直线AP 的表达式为y ＝25x ＋245，当x ＝6时，y ＝365，∵365<y G <y B， ∴365＜3k ＋6＜12，解得25＜k ＜2.∵S △BFG ＝12BG ·(x F －6)＝12(12－3k －6)(18＋3k k ＋2－6) ＝12×12×(8－6)×(12－6) ＝3，解得k ＝23或k ＝4(舍去)，∴b ＝6－3k ＝4，∴直线l 的表达式为y ＝23x ＋4.2. 解：(1)作直线如解图①所示；第2题解图①(2)如解图②所示，直线AP 、AQ 即为所求．理由如下：如解图②，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4， ∴矩形ABCD 的面积为12.设过点A 的直线分别交BC 、CD 于点P 、Q ，使直线AP 、AQ 把矩形ABCD 的面积三等分，则S △ABP ＝S △ADQ ＝4，即12×3BP ＝12×4DQ ＝4， ∴BP ＝83，DQ ＝2，∴当BP ＝83，DQ ＝2时，直线AP 、AQ 把矩形ABCD 的面积三等分；第2题解图②(3)李师傅能实现自己的想法．如解图③，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E . ∵AB ＝AC ＝100米，BC ＝120米， ∴BE ＝12BC ＝60米，∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝80米，∴S ▱ABCD ＝BC ·AE ＝120×80＝9600(平方米)，过点A 作AF ⊥CD ，垂足为点F ， ∵CD ＝AB ＝100米，CD ·AF ＝BC ·AE ， ∴AF ＝BC ·AE CD ＝120×80100＝96(米)．设过点A 的直线分别交BC 、CD 于点P 、Q ，使直线AP 、AQ 把平行四边形ABCD 的面积三等分，则S △ABP＝S △ADQ ＝13×9600＝3200(平方米)，即12BP ·AE ＝12DQ ·AF ＝3200， ∴BP ＝80米，DQ ＝2003米，∴当BP ＝80米，DQ ＝2003米时，直线AP 、AQ 把平行四边形ABCD 的面积三等分．第2题解图③3. 解：(1)如解图①，取BC 边的中点D ，连接AD ，则线段AD 即为所求．在Rt △ABC 中，AB ＝3，AC ＝4， ∴BC ＝AB 2＋AC 2＝5，又∵点D 为BC 边的中点， ∴AD ＝12BC ＝52；第3题解图①(2)S △AOM ＝S △BON .理由：S △AOM ＝S △AMN －S △OMN ，S △BON ＝S △BMN －S △OMN ，∵△AMN 与△BMN 同底等高，∴S △BMN ＝S △AMN ，∴S △AOM ＝S △BON ； (3)存在．如解图②，连接AB ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，CE ⊥y 轴于点E ，第3题解图②∵C (6，6)，∴CE ＝OD ＝6，OE ＝CD ＝6， ∴四边形ODCE 为正方形， S 四边形ODCE ＝6×6＝36.∵A (4，0)，B (0，4)，∠AOB ＝90°， ∴S △AOB ＝12×4×4＝8，∵AD ＝6－4＝2，BE ＝6－4＝2，∴S Rt △BCE ＝12×2×6＝6，S Rt △CAD ＝12×2×6＝6，∴S 四边形OACB ＝S 四边形ODCE －S Rt △BCE －S Rt △CAD ＝36－6－6＝24. ∵直线BP 平分四边形OACB 的面积，且点P 在AC 上， ∴S △BPC ＝S 四边形OAPB ＝12×24＝12.又∵S △ABP ＝S 四边形OAPB －S Rt △OAB ＝12－8＝4， ∴S △ABP ＝14S △ABC ，∴AP ＝14A C.∵点A (4，0)，C (6，6)， ∴P (92，32)．设直线BP 的表达式为y ＝ax ＋b (a ≠0)，将B (0，4)，P (92，32)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝492a ＋b ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－59b ＝4. ∴直线BP 的表达式为y ＝－59x ＋4.4. 解：(1)如解图①，直线l 是AD 或BC 的垂直平分线，则直线l 平分四边形ABCD 的面积；第4题解图①(2)AD ∥EF ∥BC ，EF ＝AD ＋BC2.证明：如解图②，连接AF 并延长与BC 的延长线交于点G ， ∵AD ∥BC ，∴∠D ＝∠FCG ，∠DAF ＝∠G ， ∵DF ＝FC ，∴△ADF ≌△GCF (AAS)， ∴AD ＝CG ，∴BG ＝BC ＋CG ＝BC ＋AD ， ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴在△ABG 中，EF ＝12BG ，EF ∥BG ，∴AD ∥EF ∥BC ，EF ＝AD ＋BC2；第4题解图②(3)能．如解图③，过点C 作CF ⊥y 轴于点F ，则四边形OBCF 是矩形，DE ∥CF ∥OB ，第4题解图③连接OC 、BF 交于点M ，G 、H 分别是EF 、DC 的中点，连接GH ，取GH 的中点N ，则直线MN 平分五边形OBCDE 的面积．设直线MN 分别与DE 、CF 、OB 交于点L 、R 、K ， ∵G 、H 分别是EF 、DC 的中点， ∴DE ∥GH ∥CF ，∴点N 是LR 的中点，由(2)可得GN ＝EL ＋FR 2，NH ＝LD ＋RC2，∵GN ＝NH ， ∴EL ＋FR 2＝LD ＋RC2， ∴S 四边形EFRL ＝S 四边形CDLR ， ∵S 四边形OKRF ＝S 四边形BCRK ，∴S 四边形EFRL ＋S 四边形OKRF ＝S 四边形CDLR ＋S 四边形BCRK ， ∴直线MN 平分五边形OBCDE 的面积，设线段LK 的中点是Q ，连接PQ ，直线PQ 分别与DE 、OB 交于点A 1、A 2， ∵△A 1QL ≌△A 2QK ，∴直线PQ 平分五边形OBCDE 的面积， ∵M (4，2)，N (3，5)，∴直线MN 的表达式为y ＝－3x ＋14， ∴L (83，6)，K (143，0)∵线段LK 的中点是Q ，∴点Q 的纵坐标是3，点Q 在直线MN 上， ∴点Q (113，3)，∵点P (0，8)，∴直线PQ 表达式为y ＝－1511x ＋8，∴A 1(2215，6)，A 2(8815，0)，∵耕地图比例尺1∶15， ∴2215×15＝22(米)，8815×15＝88(米)， ∴水渠在五边形耕地开挖的位置是：一端位于DE 边上距E 点22米，另一端位于OB 边上距O 点88米．类型二面积最值问题针对训练1. 解：(1)①菱形；②如解图①，∵AO ＝CO ，BO ＝DO ，AO ＋BO ＝6， ∴AC ＋BD ＝2(AO ＋BO )＝12，设AC ＝x ，则BD ＝12－x ，∵由①得四边形ABCD 为菱形，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12x (12－x )＝－12x 2＋6x ＝－12(x －6)2＋18，∴当x ＝6时，S 菱形ABCD 最大＝18，即四边形ABCD 的最大面积为18；第1题解图①(2)如解图②，连接AC 、BD ，在矩形ABCD 中，AC ＝BD ，设AC 与BD 交于点O ， ∵AC ＋BD ＝12，∴AC ＝BD ＝6，OD ＝12BD ＝3，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，在Rt △DOE 中，DE ＝DO ·sin ∠DOE ， ∴S △ACD ＝12AC ·DE ＝12AC ·DO ·sin ∠DOE ，又∵S △ABC ＝S △ACD ， ∴S 矩形ABCD ＝2S △ACD＝AC ·DO ·sin ∠DOE ＝6×3sin ∠DOE ＝18sin ∠DOE ≤18，∴S 矩形ABCD 最大＝18；第1题解图②(3)能裁出面积最大的矩形．如解图③，连接AC ，BD ，在矩形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ＝90°， ∴AC ，BD 均为⊙O 的直径，即AC ＝BD ＝2R ，由(2)知，S 矩形ABCD ＝2S △ACD ＝AC ·DO ·sin ∠DOA ＝2R ·R ·sin ∠DOA ＝2R 2sin ∠DOA ≤2R 2， ∴S 矩形ABCD 最大＝2R 2.第1题解图③2. 解：(1)作图如解图①所示：第2题解图①(2)设AE＝x，则BE＝4－x，∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝EF，∠HEF＝90°，∴∠AEH＋∠BEF＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠AHE＝∠BEF，∴△AEH≌△BFE(AAS)，∴BF＝AE＝x.在Rt△BEF中，由勾股定理得EF2＝BE2＋BF2＝(4－x)2＋x2＝2x2－8x＋16，即S正方形EFGH＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8.∵0≤x≤4，∴当x＝0或4时，正方形EFGH面积最大为16；当x＝2时，正方形EFGH面积最小为8；(3)分类讨论：i)当MN在BC上时，如解图②，过点A作AD⊥BC于点D，第2题解图②∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BD＝CD＝6，在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝8.∵四边形PQMN是正方形，∴AD垂直平分MN.设AD交PQ于点K，ND＝x，则PK＝ND＝x，KD＝2x，∵∠AKP＝∠ADC＝90°，∠P AK＝∠CAD，∴△APK∽△ACD，∴AK AD ＝PKCD ，即8－2x 8＝x 6，解得x ＝125，则此时正方形PQMN 的边长为245；ii)当MN 在AB 上时，如解图③，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，交PQ 于点G ，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD ＝8.第2题解图③∵S △ABC ＝12BC ·AD ＝12AB ·CH ＝48，∴CH ＝485.设正方形PQMN 的边长为y ，则CG ＝CH －GH ＝485－y ，∵PQ ∥AB ，∴CG ⊥PQ ，∠CPQ ＝∠CAB ，又∵∠PCQ ＝∠ACB ， ∴△CPQ ∽△CAB ， ∴PQ AB ＝CG CH ，即y10＝485－y 485，解得y ＝24049，则此时正方形PQMN 的边长为24049.∵245＜24049， ∴以△ABC 的一腰为边，另两点在另一腰和底边上时，裁得的正方形面积最大． 3. 解：(1)S 四边形BNDM ＝12S 四边形ABCD ；(2)如解图①，连接BD ， ∵M 、N 是AD 、BC 的中点，∴S △ABM ＝S △BDM ，S △BDN ＝S △CDN ，(等底同高的两个三角形面积相等)由(1)可知，S 四边形BMDN ＝12S 四边形ABCD ，同理，S 四边形ANCM ＝12S 四边形ABCD ，∴S 四边形ANCM ＋S 四边形BMDN ＝S 四边形ABCD ， ∴S 四边形MPNQ ＝S △ABP ＋S △CDQ ＝10；第3题解图①(3)存在最大值．如解图②，连接PM ，设DP ＝x ，则PC ＝4－x ， ∵AM ∥DP ， ∴PE EA ＝PD AM， ∴PE P A ＝PD PD ＋AM ，即PE P A ＝x x ＋1， ∵S △MEP S △APM ＝PE P A，且S △APM ＝12AM ·AD ＝1，∴S △MPE ＝xx ＋1，同理可得S △MPF ＝4－x5－x， ∴S 四边形MEPF ＝x x ＋1＋4－x 5－x ＝2－1x ＋1－15－x ＝2－6－x 2＋4x ＋5＝2＋6（x －2）2－9≤2－23＝43，当x ＝2时，上式等号成立， ∴S 四边形MEPF 的最大值为43.第3题解图②4. 解：(1)如解图①，作线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，以点O 为圆心，在垂直平分线上截取OC ＝OA ，连接AC 、BC ，则Rt △ABC 即为所求；第4题解图①(2)如解图②，连接AC，过点A作CB的垂线交CB的延长线于点E，则∠ABE＝180°－∠ABC＝60°.∴AE＝AB·sin60°＝3，BE＝AB·cos60°＝1，∴CE＝2，∴AC＝AE2＋CE2＝7.∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴AD＝CD＝AC＝7，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝12×1×3＋12×7×7×sin60°＝934；第4题解图②(3)能．如解图③，将△BCD绕点D顺时针旋转60°，得到△B′AD，连接BB′，第4题解图③由旋转的性质可知，BD＝B′D，∠B′AD＝∠C，∠B′DA＝∠BDC，∴∠BDB′＝60°，∴△BDB′为等边三角形，∴BB′＝BD＝4，∵∠ABC＋∠ADC＝135°，∴∠BAD＋∠C＝360°－135°＝225°，∴∠BAB′＝360°－∠BAD－∠DAB′＝135°.∵S四边形ABCD＝S△BDB′－S△ABB′，S△BDB′＝12×4×4×sin60°＝43，∴当△ABB′的面积最大时，四边形ABCD的面积最小．由(1)可知，当AB＝AB′时，△ABB′的面积最大，过点A作AM⊥BB′于点M，在BM上截取MN，使MN＝AM，连接AN，易知∠BAM＝67.5°，∠MAN＝45°，∴∠BAN＝∠NBA＝22.5°，∴AN＝BN.∵BB′＝4，AM⊥BB′，∴BM ＝2，设AM ＝MN ＝x ，则BN ＝AN ＝2－x ，在Rt △AMN 中，由勾股定理得AM 2＋MN 2＝AN 2，即x 2＋x 2＝(2－x )2，解得x ＝22－2或x ＝－22－2(不符合题意，舍去)， ∴S △ABB ′最大＝12×4×(22－2)＝42－4，∴四边形ABCD 面积的最小值为43－(42－4)＝43－42＋4.类型三线段最值问题针对训练1. 解：(1)如解图①，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，点F 即为所求．第1题解图①理由如下：∵点E 是正△ABC 的高AD 上的一点， ∴∠BAD ＝30°. ∵EF ⊥AB ，∴在Rt △AEF 中，EF ＝12AE ；(2)如解图②，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为点N ，第1题解图②∵△ABC 是正三角形，AD 为高， ∴∠BAD ＝12∠BAC ＝30°，∵MN ⊥AB ，∴在Rt △AMN 中，MN ＝12AM ，当C 、M 、N 三点共线时，12AM ＋MC ＝MN ＋MC ＝CN .此时12AM ＋MC 的值最小，最小值即为CN 的长．∵△ABC 是边长为2的正三角形， ∴CN ＝BC ·sin60°＝2×32＝3，即12AM ＋MC 的最小值为3； (3)如解图③，过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D ，在AC 异于点B 的一侧作∠CAN ＝30°.第1题解图③过点B 作BF ⊥AN ，垂足为点F ，交AC 于点M ，点M 即为所求．在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝6002－3602＝480(km)，在Rt △MBD 中，∠MBD ＝∠MAF ＝30°，则MD ＝BD ·tan30°＝120 3 km ， ∴AM ＝AD －MD ＝(480－1203)km.2. 解：(1)如解图①，作点M 关于BC 的对称点M ′，连接M ′N 交BC 于点P ，则点P 就是所求的点；第2题解图①(2)如解图②，连接BD 交AC 于点O ，∵正方形的对角线互相垂直平分，第2题解图②∴点D 关于AC 的对称点为点B ，连接BN ，交AC 于点M ，连接DM ， ∴DM ＋MN ＝MB ＋MN ＝BN ，在AC 上任取一异于点M 的点M ′，连接BM ′、DM ′、M ′N ，则DM ′＋M ′N ＝BM ′＋M ′N ＞BN ， ∴当B 、M 、N 三点共线时，BN 取得最小值， ∴点M 就是所求的点，∵线段DN 的长为定值，∴当DM ＋MN 的值最小时△DMN 的周长最小，即周长的最小值为BN ＋DN 的值．∵正方形ABCD 的边长为2，N 为DC 的中点， ∴DN ＝1，BN ＝22＋12＝5， ∴△DMN 的周长的最小值为5＋1；(3)∵在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点， ∴点E 坐标为(3，1)，又∵△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处，可知四边形ADFB 是正方形，∴BF ＝AB ＝OC ＝2，CF ＝BC －BF ＝3－2＝1， ∴点F 的坐标为(1，2)，如解图③，作点E 关于x 轴的对称点E ′，作点F 关于y 轴的对称点F ′，连接E ′F ′，分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，连接FN 、ME 、EF ，在OC 上任取一点N ′(不与点N 重合)，在OA 上任取一点M ′(不与点M 重合)，连接F ′N ′、N ′M ′、M ′E ′、FN ′、EM ′，则EF ＋FN ′＋N ′M ′＋M ′E ＝EF ＋F ′N ′＋N ′M ′＋M ′E ′>EF ＋E ′F ′，则取M 、N 点时四边形MNFE 的周长最小．第2题解图③∴E ′(3，－1)，F ′(－1，2)，设直线E ′F ′的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点E ′、F ′的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝－1－k ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝－34b ＝54，∴直线E ′F ′的解析式为y ＝－34x ＋54.当y ＝0时，x ＝53，故点M 的坐标为(53，0)，当x ＝0时，y ＝54，故点N 的坐标为(0，54)．∵点E 与E ′关于x 轴对称，点F 与F ′关于y 轴对称， ∴NF ＝NF ′，ME ＝ME ′，F ′B ＝4，E ′B ＝3.在Rt△BE′F′中，E′F′＝BE′2＋BF′2＝32＋42＝5，∴FN＋NM＋ME＝F′N＋NM＋ME′＝E′F′＝5，在Rt△BEF中，EF＝BE2＋BF2＝12＋22＝5，∴FN＋NM＋ME＋EF＝E′F′＋EF＝5＋5，∴四边形MNFE周长的最小值是5＋ 5.3.解：(1)如解图①，连接MN，交l于点K，则点K即为所求点；第3题解图①(2)如解图②，将△APB绕点B顺时针旋转60°得△CP′B，则P′C＝AP＝3，BP′＝BP＝4，∠BP′C＝∠APB，∠PBP′＝60°，∴△PBP′为等边三角形，∴PP′＝BP＝4，∠PP′B＝60°.第3题解图②在△CP′P中，PC＝5，CP′＝3，PP′＝4，∴PC2＝P′C2＋P′P2，∴∠CP′P＝90°，∴∠BP′C＝∠CP′P＋∠BP′P＝90°＋60°＝150°，∴∠APB＝∠BP′C＝150°；(3)存在．连接AC，根据题意，解图取矩形ABCD中Rt△ABC部分，如解图③，将△ACE绕点C顺时针旋转60°得△NCM，则NM＝AE，CM＝CE，∠ECM＝60°.第3题解图③∴△ECM为等边三角形，∴EM＝CE，∴EA ＋EB ＋EC ＝BE ＋EM ＋MN .由“两点之间，线段最短”可知BE ＋EM ＋MN ≥BN ，当且仅当B 、E 、M 、N 四点共线时等号成立， ∴当EA ＋EB ＋EC 取最小值时E 在BN 上(如解图④)，最小值为BN 的长．第3题解图④连接AN ，易证△ACN 为等边三角形，同理可知，以AB 为边在AB 左侧作等边△ABF ，当EA ＋EB ＋EC 取最小值时E 在CF 上(如解图⑤)，最小值为CF 的长，∴E 为CF 、BN 的交点．第3题解图⑤如解图⑥，作FG ⊥BC ，交CB 的延长线于点G .由题意可知AB ＝303，BC ＝60，∠ABC ＝90°，第3题解图⑥∴BF ＝303，∠FBG ＝30°，∴FG ＝12BF ＝153，BG ＝32BF ＝45，CG ＝CB ＋BG ＝105，∴在Rt △CFG 中，CF ＝FG 2＋CG 2＝3013，即EA ＋EB ＋EC 最小值为3013.综上所述，点E 在BN 与CF 的交点上，如解图⑦，若点E 在对角线BD 上，则点E 为BN 和BD 的交点，即点E 与点B 重合，显然不合题意，故点E 不在对角线BD 上．第3题解图⑦4. 解：(1)如解图①，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，设AD ＝x ，在Rt △ABD 中，∠B ＝30°，则BD ＝3AD ＝3x ，在Rt △ACD 中，∠C ＝45°，则CD ＝AD ＝x ， ∴BC ＝BD ＋CD ＝3x ＋x ＝23＋2，解得x ＝2，∴点A 到BC 的距离为2；第4题解图①(2)如解图②，过点E 作EG ⊥DF ，垂足为G ， ∵AE ＝13AD ，CF ＝13BC ，AD ＝BC ＝3，∴AE ＝CF ＝1，∴DE ＝BF ＝2，BE ＝10， ∵DE ∥BF ，∴四边形BEDF 为平行四边形， ∴∠AEB ＝∠GDE ，BE ∥DF ， ∴△BAE ∽△EGD ， ∴BE DE ＝AB EG ，即102＝3EG，解得EG ＝3105，∴线段MN 长度的最小值为BE 与DF 间的距离，即为EG 的长，即为3105；第4题解图②(3)存在．如解图③，连接AC 、DE ，AC 交BD 于点F ，作∠ABC 的平分线交AC 于点O ，连接OD 、OM 、ON ，过点O 作OP ⊥AB 于点P ，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，∵AB ＝AD ，CB ＝CD ， ∴AC 垂直平分BD ，又∵AC ＝AC ， ∴△ABC ≌△ADC ， ∴∠BAC ＝∠DAC ，同理可证OB ＝OD ，∠OBC ＝∠ODC ， ∴∠MBO ＝∠OBC ＝∠ODN ＝30°， ∵BM ＝DN ，∴△BOM ≌△DON ，∴OM ＝ON ，∠BOM ＝∠DON ， ∴∠MON ＝∠BOD ， ∴△MON ∽△BOD ， ∴MN BD ＝MO BO ≥OP BO ＝12， ∴MN ≥12BD ，∵AQ ＝AB ·sin60°＝332， BQ ＝AB ·cos60°＝32，∴CQ ＝12，∴AC ＝AQ 2＋CQ 2＝7， ∵CB ·AQ ＝AC ·BF ，即2×332＝7BF ，解得BF ＝3217，∴BD ＝2BF ＝6217，∴MN 的最小值为3217.第4题解图③类型四辅助圆问题针对训练1. 解：（1）如解图①所示, Rt △ABC 即为所求. （只要画出一个符合要求的Rt △ABC 即可）(2分)第1题解图①（2）如解图②，∵O 是正方形ABCD 的对称中心，且BM =CM ，第1题解图②∴S △BOM =18⨯282＜17⨯282.∴点N 不可能在BM 上，由对称性，可知点N 也不可能在MC 上.显然,点N 不在AD 边上.(4分) ∴设点N 在AB 边上,连接ON . 由题意,得12(BN +14)⨯14=17⨯282，解之,得BN =2. 由对称性知,当点N 在CD 边上时,可得CN=2.∴221422+=（6分）（3）如解图③所示,过点A 作AH ⊥BD 于点H ，第1题解图③在Rt △ABD 中，AB=30，AD=40， ∴BD =50，AH =24.易得S △AEF =S △CEF . ∴S 四边形AECF =2S △AEF =212⨯⨯EF ·AH=24EF .由题意可知，只有S 四边形AECF 最小时，按设计要求在矩形ABCD 内种植红、黄两种花卉的费用最低. 要使S 四边形AECF 最小，就需EF 最短.（8分） ∵AH ⊥EF ，tan ∠HAD =tan ∠ABD =433tan ∠ADB =343 ∴∠HAD ＜60°，∠BAH ＜60°.又∵∠EAF =60°，∴E 、F 两点分布在AH 异侧.。

高考语言运用创新题型(25种)全解.资料

高考语言运用创新题型（25种）全解从近几年的全国卷及各省市高考自主命题卷来看，语言运用题愈来愈趋向于生活化，尤其是2003年的提示语的写作，2004年的公益广告词的拟写、对联的写作以及新闻播报衔接语的设计，2005年的提取关键词、人物简介、解读漫画、拟写请柬、拟写生日贺卡等更是体现了这一特点。

语言运用试题越来越成为试题创新的试验田。

因此，探求语言运用试题已出现和可能出现的创新形式，解读语言运用试题的答题技巧，对于备考2008年语文高考显得非常重要。

1.编写手机短信手机短信的最大特点就是短小精悍和具有较强的情境性，它要求编写手机短信时，语言必须简练、隽永，以最少的字数传达最多的信息，直接考查学生的语言运用能力。

另外，在同一情境下进行短信写作，要具有创造性的思维能力，能善于运用新颖的形式、别致的话语、巧妙的修辞手法来表达自己的真情实意，它能反映出编写者语言运用能力和创造性思维能力的高低。

【试题示例】1目前，发送手机短信已成为人们喜爱的一种交流方式。

手机短信的特点是简明、清晰、得体，好的手机短信还要富有文采。

假如你在世界青少年科技创新小发明比赛中获得了金奖，请你拟一则发给你的老师或父母的内容为报告喜讯、表示谢意的手机短信，字数在30-50个之间。

（正文中不写称呼）（6分）发给＿＿＿＿＿＿（横线上填写“老师”或“父母”）的短信□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□2请你给同学发个祝福短信，需要运用一个神话或童话故事，使用拟人或比喻的修辞格。

（2004年山东卷）答：解题要注意内容与形式的要求。

注意以下几点：（1）突出主题。

如例1的主题是报告喜讯、表示谢意；例2的主题是祝福。

内容不同，决定了语言形式的不同。

（2）语言要简明、得体。

简明主要是注意字数的限制，如例1的字数在30-50个之间。

得体指用语要适合场合、对象的特点。

如例1的对象是老师或父母；例2的对象是同学。

上海中考数学25题方法总结(一)

上海中考数学25题方法总结(一)上海中考数学25题方法总结前言作为一名资深的创作者，在为上海中考数学25题的解答方法总结时，我认为有必要对这些题目进行细致的分析和总结，帮助考生更好地应对考试。

正文1. 了解考试要求在解答上海中考数学25题时，首先要了解考试的要求。

这不仅包括对知识点的掌握程度，还包括对题目类型和解题技巧的理解。

只有全面了解考试要求，才能更好地准备考试。

2. 熟悉题目类型上海中考数学25题所涉及的题目类型较为多样，包括选择题、填空题、解答题等。

针对不同的题型，我们需要掌握不同的解题方法和技巧。

比如，对于选择题，可以通过排除法确定答案；对于填空题，可以通过代入法验证解答的正确性；对于解答题，可以通过列方程或绘制图形来求解。

3. 提升解题速度在上海中考数学25题中，时间是非常宝贵的。

为了提升解题速度，我们可以通过刷题来熟悉题目的解答过程，培养自己的思维敏捷性。

此外，还可以利用一些简便的计算方法，如近似计算、倒推法等，来快速得到答案。

4. 夯实基础知识无论是解答选择题还是解答解答题，都需要有扎实的基础知识作为铺垫。

因此，在备考过程中，我们要不断夯实基础知识，掌握各种定理和公式，并能够灵活运用于解题过程中。

5. 练习真题和模拟题最后，为了更好地应对上海中考数学25题，我们需要充分练习真题和模拟题。

通过模拟考试，我们可以了解自己的考试水平和薄弱环节，并及时调整备考计划，提高解题能力和应考水平。

结尾通过以上几点的总结，我们可以发现在应对上海中考数学25题时，除了基础知识的扎实掌握外，熟悉题目类型、提升解题速度和练习真题都是非常重要的。

希望这篇总结能够对即将参加上海中考的同学提供一些实用的建议和方法。

*注：以上方法仅代表个人观点，具体解题方法还需根据题目具体情况灵活运用。

正文（续）6. 考前复习策略在备考过程中，合理的复习策略是非常重要的。

可以根据自己的掌握程度，将复习时间合理分配给不同的知识点和题型。