人教A版高中数学必修五第二章综合素质能力检测.doc

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最新人教A版高中数学必修五综合测试题及答案3套

最新人教A 版高中数学必修五综合测试题及答案3套综合学业质量标准检测(一)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值是( B ) A ．14 B ．16 C ．18D ．20[解析] ∵S 4＝1，S 8＝3，∴a 1·1－q 41－q ＝1，a 1·1－q 81－q ＝3，∴1＋q 4＝3，即q 4＝2，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 16(1＋q ＋q 2＋q 3)＝q 16·a 1(1－q4)1－q＝16.2．若1＋2＋22＋…＋2n >128，n ∈N *，则n 的最小值( B ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9[解析] 1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1. ∵2n ＋1－1>128＝27，∴n ＋1>7，n >6. 又∵n ∈N *，∴n ＝7.3．已知集合A ＝{x ||x ＋1|≤2}，B ＝{x |y ＝lg(x 2－x －2)}，则A ∩∁R B ＝(C ) A ．[－3，－1) B ．[－3，－1] C ．[－1,1]D ．(－1,1][解析] 因为A ＝{x ||x ＋1|≤2}＝{x |－3≤x ≤1}，B ＝{x |lg(x 2－x －2)}＝{x |x 2－x －2>0}＝{x |x <－1或x >2}，所以∁R B ＝{x |－1≤x ≤2}，所以A ∩∁R B ＝{x |－1≤x ≤1}．4．已知a >b >0，c ≠0，则下列不等式中不恒成立的是( B ) A ．ac 2>bc 2 B ．a －b c>0C ．(a ＋b )(1a ＋1b)>4D ．a 2＋b 2＋2>2a ＋2b[解析] ∵c ≠0，∴c 2>0，又∵a >b ，∴ac 2>bc 2； ∵a >b ，∴a －b >0，又c ≠0， ∴c >0时a －b c >0，c <0时，a －bc <0；∵a >b >0，∴(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab>2＋∵a >b >0，∴a 2＋b 2＋2－2a －2b ＝(a －1)2＋(b －1)2>0，故A ，C ，D 恒成立，B 不恒成立．5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( C )A ．12B ．1C ．3D ．2[解析] 因为b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝bc ，所以cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×4×32＝3，故选C ．6．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( C ) A ．1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y <0D ．ln x ＋ln y >0[解析] 解法1：因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(x ＋y )＝ln1＝0，排除D ．故选C ．解法2：因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0，故选C ．7．已知数列{a n }，满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2015＝( B )A ．12B ．2C ．－1D ．1[解析] 易知a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，∴数列{a n }的周期为3，而2015＝671×3＋2，∴a 2015＝a 2＝2.8．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影，由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( C )A ．22B ．4C ．32D ．6[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C (2，－2)．D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.故选C ．9．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1(n ∈N *)，若a n ＋a n ＋1＝11－3，则n 的值是( B )A ．12B ．9C ．8D ．6[解析] ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴a n ＋a n ＋1＝n ＋1－n ＋n ＋2－n ＋1 ＝n ＋2－n ＝11－3＝11－9， ∴n ＝9.10．已知△ABC 中，∠A ＝30°，AB 、BC 分别是3＋2、3－2的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于( D )A ．32B ．34C ．32或3 D ．32或34[解析] 依题意得AB ＝3，BC ＝1，易判断△ABC 有两解，由正弦定理，得AB sin C ＝BCsin A ，3sin C ＝1sin30°，即sin C ＝32.又0°<C <180°，因此有C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，B ＝90°，△ABC 的面积为12AB ·BC ＝32；当C ＝120°时，B ＝30°，△ABC 的面积为12AB ·BC ·sin B ＝12×3×1×sin30°＝34.综上所述，选D ． 11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( C ) A ．52 B ．78 C ．104D ．208[解析] 由等差数列的性质得a 2＋a 7＋a 12＝3a 7＝24，∴a 7＝8， ∴S 13＝13a 7＝104，故选C ．12．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于13．( C ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[解析] 由已知得，1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，则a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b＝4，当b a ＝ab，即a ＝b ＝2时取等号．[点评] 一个小题涉及到直线的方程与基本不等式，难度又不大，这是高考客观题命题的主要方向．平时就要加强这种小综合交汇训练．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 5＝b 5,2a 5－a 2a 8＝0，则b 3＋b 7＝4. [解析] ∵2a 5－a 2a 8＝2a 5－a 25＝0，a n ≠0，∴a 5＝2， ∴b 3＋b 7＝2b 5＝2a 5＝4.14．在△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则∠C ＝π4.[解析] 由正弦定理得3sin π3＝6sin C ，∴sin C ＝22，∵AB <BC ，∴C <A ，∴C ＝π4.15．已知变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0x ＋3y －3≥0y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. [解析] 作出可行域如图(包括边界)当直线z ＝ax ＋y 经过A 点，位于直线l 1与x ＋2y －3＝0之间时， z 仅在点A (3,0)处取得最大值， ∴－a <－12，∴a >12.16．已知点(1，t )在直线2x －y ＋1＝0的上方，且不等式x 2＋(2t －4)x ＋4>0恒成立，则t 的取值集合为{t |3<t <4}.[解析] ∵(1，t )在直线2x －y ＋1＝0的上方， ∴t >3，∵不等式x 2＋(2t －4)x ＋4>0恒成立， ∴Δ＝(2t －4)2－16<0，∴0<t <4，∴3<t <4.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数.[解析] 由题意，设这三个数分别是a q ，a ，aq ，且q ≠1，则aq ＋a ＋aq ＝114①令这个等差数列的公差为d ，则a ＝aq ＋(4－1)·d .则d ＝13(a －a q)，又有aq ＝a q ＋24×13×⎝⎛⎭⎫a －a q ② 由②得(q －1)(q －7)＝0，∵q ≠1，∴q ＝7 代入①得a ＝14，则所求三数为2,14,98.18．(本题满分12分)(2016·贵阳市第一中学月考)设函数f (x )＝12sin2x －cos 2(x ＋π4).(1)若x ∈(0，π)，求f (x )的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (B2)＝0，b ＝1，求△ABC 面积的最大值．[解析] (1)由题意可知，f (x )＝12sin2x －1＋cos (2x ＋π2)2＝12sin2x －1－sin2x 2＝sin2x －12.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .又因为x ∈(0，π)，所以f (x )的单调递增区间是(0，π4]和[3π4，π)．(2)由f (B 2)＝sin B －12＝0，得sin B ＝12，由题意知B 为锐角，所以cos B ＝32. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得1＋3ac ＝a 2＋c 2≥2ac ，即ac ≤2＋3，当且仅当a ＝c 时等号成立．因为S △ABC ＝12ac sin B ≤2＋34，所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 19．(本题满分12分)为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，去年冬天，某水利工程队在河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为10 000 m 2的矩形鱼塘，其四周都留有宽2 m 的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小.[解析] 设鱼塘的长为 x m ，宽为y m ，则农田长为(x ＋4)m ，宽为(y ＋4)m ，设农田面积为S .则xy ＝10 000，S ＝(x ＋4)(y ＋4)＝xy ＋4(x ＋y )＋16＝10 000＋16＋4(x ＋y )≥10 016＋8xy ＝10 016＋800＝10 816.当且仅当x ＝y ＝100时取等号．所以当x ＝y ＝100时，S min ＝10 816 m 2. 此时农田长为104 m ，宽为104 m.20．(本题满分12分)(2015·浙江文，17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1nb n ＝b n ＋1－1(n ∈N *).(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .[分析] 等差等比数列的通项公式；数列的递推关系式；数列求和和运算求解能力，推理论证能力．解答本题(1)利用等比数列的通项公式求a n ；利用递推关系求b n .(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和．[解析] (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n . 当n ＝1时，b 1＝b 2－1，因为b 1＝当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n由累乘法得：b n ＝n .①，又∵b n ＝1，符合①式，∴b n ＝n (2)由(1)知，a n b n ＝n ·2n ，所以T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2，所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.21．(本题满分12分)(2016·河南高考适应性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量m ＝(cos B,2cos 2C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积． [解析] (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0， ∴c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得 sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0， ∴sin A ＝2sin A cos C ．又∵sin A ≠0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由AD →＝DB →，知CD →－CA →＝CB →－CD →，所以2CD →＝CA →＋CB →，两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos C ∴b 2＋a 2＋ba ＝28.①又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2 3.22．(本题满分14分)已知α、β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a 、b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值.[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝－aαβ＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－(α＋β)b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2， ∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤－10≤b ≤1. 建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如图所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．取B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32. 故b －3a －1的最大值是32，最小值是12.综合学业质量标准检测(二)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a b 2D ．b a >a b[解析] ∵a b 2，故选C ． 2．己知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |log 4x >12}，则( A )A ．A ∩B ＝∅ B ．B ⊆AC ．A ∩∁R B ＝RD ．A ⊆B[解析] A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，B ＝{x |log 4x >12}＝{x |x >2}，∴A ∩B ＝∅.故选A ．3．(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的平面区域为( C )[解析] 将点(0,0)代入不等式中，不等式成立，否定A 、B ，将(0,4)点代入不等式中，不等式成立，否定D ，故选C ．4．已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第三项是( C )A ．1B ．12C ．34D ．58[解析] ∵a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，∴选C ．5．已知A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则△ABC 的形状是( B ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．不确定[解析] 解法1：∵sin A ＋cos A ＝23，∴(sin A ＋cos A )2＝29，∴2sin A ·cos A ＝－79<0，∴A 为钝角，∴△ABC 的形状为钝角三角形．故选B ．解法2：假设0<A ≤π2，则π4<A ＋π4≤3π4，∴sin(A ＋π4)≥22>13.∴sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)≥1>23.与条件矛盾，∴A >π2.故选B ．6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( C )A ．3B ．932C ．332D ．33[解析] 依题意得a 2＋b 2－c 2－2ab ＋6＝0，∴2ab cos C －2ab ＋6＝0，即ab ＝6，△ABC 的面积等于12ab sin C ＝332，故选C ．7．在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( B ) A ．18 B ．99 C ．198D ．297[解析] 由已知得：a 3＋a 9＋a 6＝27，即3a 6＝27，a 6＝9. ∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝11a 6＝11×9＝99.故选B ．8．(2016·湖北七市教科研协作体联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( B )A ．9B ．92C ．4D ．52[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，直线截圆所得的弦长为 25，等于直径，∴直线ax ＋by －6＝0过圆心，即a ＋2b －6＝0.又a >0，b >0，由基本不等式得a ＋2b ≥22ab ，即ab ≤92，当且仅当a ＝3，b ＝32时等号成立，∴ab 的最大值为92.故选B ．9．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( A )A ．521mB ．10mC ．4 90013mD ．35m[解析] 作出示意图，设塔高OC 为h m ，在Rt △AOC 中，OA ＝h tan60°＝33h ，OB ＝h . AB ＝35，∠AOB ＝150°，由余弦定理得352＝(33h )2＋h 2－2×33h ·h cos150°，解得h ＝521.故选A ．10．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n 5，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11等于( C )A ．811B ．919C ．1021D ．1123[解析] 由n a 1＋a 2＋…＋a n ＝15n 得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝5n 2，则S n －1＝5(n －1)2(n ≥2)，a n ＝S n －S n －1＝10n －5(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝5也满足．故a n ＝10n －5，b n ＝2n －1，1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，所以原式＝12(1b 1－1b 11)＝12×(1－121)＝1021.故选C ．11．已知O 是△ABC 的重心，且满足sin A 3·OA →＋sin B 7·OB →＋sin C 8·OC →＝0，则角B 等于( B )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°[解析] 由正弦定理得：a 3OA →＋b 7OB →＋c 8OC →＝0，又由题意得：OA →＋OB →＋OC →＝0，∴a 3＝b 7＝c8，∴由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝⎝⎛⎭⎫37b 2＋⎝⎛⎭⎫87b 2－b 22×37b ×87b＝12∴B ＝60°.故选B ．12．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2y ≥2，x ＋y ≤8，则z ＝x －y 的最大值为( A )A ．4B ．－4C ．0D ．2[解析] 作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由z ＝x －y 得y ＝x －z ，欲求z 的最大值，可将直线l ：y ＝x 向下平移，当直线l 经过A 点时直线在y 轴上的截距－2最小，此时z 取得最大值．易求点A (6,2)，则z max ＝6－2＝4.故选A ．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为562.[解析] 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝52＋32－722×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，所以∠ADB＝60°.在△ABD 中，由正弦定理得AB sin60°＝AD sin45°，所以AB ＝562.14．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为－1≤a ≤0. [解析] 2x 2＋2ax －a －1≥0⇔x 2＋2ax －a ≥0，∴Δ≤0， ∴－1≤a ≤0.15．已知实数a ，b 满足a >1，b >0且2a ＋2b －ab －2＝0，那么a ＋2b 的最小值是10. [解析] 因为实数a ，b 满足a >1，b >0且2a ＋2b －ab －2＝0，整理1a －1＋2b ＝1，所以a＋2b ＝(a －1)＋2b ＋1＝[(a －1)＋2b ]⎣⎡⎦⎤1a －1＋2b ＋1＝2(a －1)b ＋2b a －1＋6，所以2(a －1)b ＋2ba －1＋6≥22(a －1)b ×2b a －1＋6＝10.当且仅当2(a －1)b ＝2ba －1时取等号． 16．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，则z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值是12.[解析] 如图，可行域为△ABC 及其内部，其中A (－1,0)，B (2,0)，C (12，32)．目标函数表示可行域内的点M 到点P (－1,1)的距离的平方，因此所求最小值为点P (－1,1)到直线AC ：x －y ＋1＝0的距离的平方，即(|－1－1＋1|2)2＝12.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2.(1)求sin2Asin2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．[分析] 考查同角三角函数基本关系式；正弦定理和三角形面积公式．三角恒等变换与运算求解能力．(1)利用两角和与差的正切公式，求出tan A ，再利用同角三角函数基本关系式得到结论； (2)已知A ，B 和a 可利用正弦定理形式的面积公式(两边及夹角)求解．[解析] (1)由tan(π4＋A )＝2，得tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2 A ＝2sin A cos A 2sin A cos A ＋cos 2 A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25.(2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)可得，sin A ＝1010，cos A ＝31010.由a ＝3，B ＝π4及正弦定理知：b ＝3 5.又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝255，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×35×255＝9.18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x(x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围． [解析] (1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x的最小值为－2.(2)解法1：因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0所以a 的取值范围是[34，＋∞)．解法2：∵f (x )≤a 对任意x ∈[0,2]恒成立， ∴x 2－2ax －1≤0对任意x ∈[0,2]恒成立，当x ＝0时，显然恒成立，a ∈R ；当x ∈(0,2]时，有a ≥x 2－12x ，令g (x )＝x 2－12x ，则g (x )＝x 2－12x 在(0,2]上单调递增，∴g (x )max ＝g (2)＝34.∴a ≥34.综上得a 的取值范围是[34，＋∞)．19．(本题满分12分)设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎨⎧12a n (n 为偶数)a n＋14 (n 为奇数).记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，….(1)求a 2、a 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论． [解析] (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14，a 3＝12a 2＝12a ＋18.(2)∵a 4＝a 3＋14＝12a ＋38，所以a 5＝12a 4＝14a ＋316，所以b 1＝a 1－14＝a －14，b 2＝a 3－14＝12(a －14)，b 3＝a 5－14＝14(a －14)．猜想：{b n }是公比为12的等比数列．证明如下：∵b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14＝12(a 2n －1＋14)－14＝12(a 2n －1－14)＝12b n (n ∈N *)，∴{b n }是首项为a －14，公比为12的等比数列．20．(本题满分12分)已知关于x 的一元二次不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0).导学号 54742970(1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围． [解析] (1)∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}， ∴－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，且k <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－3)×(－2)＝6，(－3)＋(－2)＝2k ，∴k ＝－25. (2)∵不等式的解集为R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k >66或k <－66，∴k <－66. 即k 的取值范围是(－∞，－66)． 21．(本题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求A 的值.[解析] (1)∵c ＝2，C ＝π3，由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2；(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2，②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6，综上所述，A ＝π2或A ＝π6.22．(本题满分14分)已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·2a n }的前n 项和S n .[解析] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)由(1)可知a n ·2a n ＝(2n －1)×22n －1，所以S n ＝1×21＋3×23＋5×25＋…＋(2n －3)×22n －3＋(2n －1)×22n －1，① 4S n ＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n －1，② ①－②得－3S n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1 所以S n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1－3＝2＋2×8(1－4n －1)1－4－(2n －1)×22n ＋1－3＝－6＋16(1－4n －1)＋(6n －3)×22n ＋19＝10＋(6n －5)×22n ＋19.学业质量标准检测(解三角形、数列部分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在锐角三角形ABC 中，已知A ＝2C ，则ac 的范围是( C )A ．(0,2)B ．(2，2)C ．(2，3)D ．(3，2)[解析] a c ＝sin A sin C ＝sin2Csin C ＝2cos C ，又A ＋B ＋C ＝π，A ＝2C ，∴π6<C <π4，∴2<ac< 3. 2．已知2a ＝3b ＝m ，且a ，ab ，b 成等差数列，则m ＝( C )A ．2 C ．6[解析] ∵2a ＝3b ＝m ，∴a ＝log 2又∵a ，ab ，b 成等差数列，∴2ab ＝a ＋b ⇒2＝1a ＋1b＝log m 2＋log m 3＝log m 6，∴m ＝ 6.3．在△ABC 中，若(a －a cos B )sin B ＝(b －c cos C )sin A ，则这个三角形是( D ) A ．底角不等于45°的等腰三角形 B ．锐角不等于45°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形[解析] 由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ， ∴a sin B cos B ＝c sin A cos C ， sin A sin B cos B ＝sin C sin A cos C ． ∴sin2B ＝sin2C ．∴B ＝C ，或2B ＝π－2C ，即B ＋C ＝π2.4．等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和S 9等于( B )A ．66B ．99C ．144D ．297[解析] 设b i ＝a i ＋a i ＋3＋a i ＋6，则由条件知{b n }为等差数列，且b 1＝39，b 3＝27，∴公差d ＝b 3－b 12＝－6，∴数列{a n }前9项的和a 1＋a 2＋…＋a 9＝b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝3(b 1＋d )＝3×(39－6)＝99.5．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( C )A ．43B ．5C ．52D ．62[解析] ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴c ＝4 2.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5.由正弦定理，得2R ＝bsin B＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)，故选C ．6．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( B ) A ．172B ．192C ．10D ．12[解析] 由题可知：等差数列{a n }的公差d ＝1，因为等差数列S n ＝a 1n ＋n (n －1)d2，且S 8＝4S 4，代入计算可得a 1＝12；等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 10＝12＋(10－1)×1＝192.故本题正确答案为B ．7．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >b >c ，a 20，∴A <π2.又a >b >c ，∴A >B >C ．又∵A ＋B ＋C ＝π，∴A >π3，故选C ．8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ( C )A ．4n －1B ．4n －1 C ．2n －1D ．2n －1[解析] 设公比为q ，则a 1(1＋q 2)＝52，a 2(1＋q 2)＝54，∴q ＝12，∴a 1＋14a 1＝52，∴a 1＝2.∴a n ＝a 1q n －1＝2×(12)n －1，S n ＝2[1－(12)n ]1－12＝4[1－(12)n ]，∴S n a n ＝4[1－(12)n ]2×(12)n －1＝2(2n －1－12) ＝2n －1.[点评] 用一般解法解出a 1、q ，计算量大，若注意到等比数列的性质及求S na n，可简明解答如下：∵a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)，∴q ＝12，∴S na n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝1－q n (1－q )·qn －1＝1－12n 12·12n －1＝2n －1. 9．根据下边框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( C )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1[解析] 由程序框图可知a 1＝2，a 2＝22，a 3＝23， ∴a n ＝2n .10．已知等比数列{a n }中，a n >0，a 5、a 95为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( B )A ．32B ．64C ．256D ．±64[解析] 由条件知a 5＋a 95＝10，a 5·a 95＝16， ∵{a n }是等比数列，∴a 250＝16，∵a n >0，∴a 50＝4，∴a 20a 50a 80＝a 350＝64. 11．△ABC 中，A ︰B ＝1︰2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3︰2两部分，则cos A 等于( C )A ．13B ．12C ．34D ．0[解析] ∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴点D 到AC 与点D 到BC 的距离相等， ∴△ACD 与△BCD 的高相等． ∵A ︰B ＝1︰2，∴AC >BC ．∵S △ACD ︰S △BCD ＝3︰2，∴AC BC ＝32. 由正弦定理，得sin B sin A ＝32，又∵B ＝2A ，∴sin2A sin A ＝32，∴2sin A cos A sin A ＝32， ∴cos A ＝34.12．若△ABC 的三边为a ，b ，c ，f (x )＝b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2，则函数f (x )的图象( B ) A ．与x 轴相切 B ．在x 轴上方 C ．在x 轴下方D ．与x 轴交于两点[解析] 函数f (x )相应方程的判别式Δ＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2 ＝(2bc cos A )2－4b 2c 2 ＝4b 2c 2(cos 2A －1)．∵0<A <π，∴cos 2A －1<0，∴Δ<0， ∴函数图象与x 轴没交点．故选B ．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于27.[解析] ∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，12为公差的等差数列．∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.14．三角形一边长14，它对的角为60°，另两边之比为8︰5，则此三角形面积为 [解析] 设另两边长为8x 和5x ，则 cos60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，∴x ＝2，∴另两边长为16和10，此三角形面积S ＝12×16×10·sin60°＝40 3.15．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，则a 2016＝－1. [解析] ∵a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，∴a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2，a 5＝1－1a 4＝12，……∴数列{a n }的值呈周期出现，周期为3. ∴a 2016＝a 3＝－1.16．已知a ，b ，c 分别为 △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC[解析] 由a ＝2，(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 及正弦定理可得，(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°. 在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，(等号在b ＝c 时成立)，∴bc ≤4.∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝ 3. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ．(1)求C ；(2)若△ABC 的面积为23，a ＋b ＝6，求∠ACB 的角平分线CD 的长度．[解析] (1)已知a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ，所以sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，即sin C ＝2sin C cos C ．因为0<C <π，所以cos C ＝12，故C ＝π3. (2)方法一：由已知，得S ＝12ab sin C ＝34ab ＝23，所以ab ＝8. 又a ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝2. 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4时，由余弦定理，得c 2＝4＋16－2×2×4×12＝12，所以c ＝2 3.所以b 2＝a 2＋c 2，△ABC 为直角三角形，∠B ＝π2. 因为CD 平分∠ACB ，所以∠BCD ＝π6. 在Rt △BCD 中，CD ＝2cos π6＝433.当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝2时，同理可得CD ＝2cos π6＝433. 方法二：在△ABC 中，因为CD 平分∠ACB ，所以∠ACD ＝∠BCD ＝π6. 因为S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD ，所以S △ABC ＝12b · CD ·sin π6＋12a ·CD ·sin π6＝12CD ·sin π6·(a ＋b )＝14(a ＋b )·CD ．因为S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，即23＝14×6·CD ，解得CD ＝433. 18．(本题满分12分))在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若m ＝(cos 2A 2，1)，n ＝(cos 2(B ＋C )，1)，且m ∥n .(1)求角A ；(2)当a ＝6，且△ABC 的面积S 满足3＝a 2＋b 2－c 24S时，求边c 的值和△ABC 的面积． [解析] (1)因为m ∥n ，所以cos 2(B ＋C )－cos 2A 2＝cos 2A －cos 2A 2＝cos 2A －cos A ＋12＝0，即2cos 2A －cos A －1＝0，(2cos A ＋1)(coa A －1)＝0. 所以cos A ＝－12或cos A ＝1(舍去)，即A ＝120°. (2)由3＝a 2＋b 2－c 24S 及余弦定理，得tan C ＝33，所以C ＝30°. 又由正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝2 3. 所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝3 3. 19．(本题满分12分)(2016·广西自治区质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n. [解析] (1)当n ＝1时，a 1＝32a 1－1，∴a 1＝2. ∵S n ＝32a n －1，① S n －1＝32a n －1－1(n ≥2)，② ∴①－②得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，即a n ＝3a n －1，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n ＝2·3n －1.(2)由(1)得b n ＝2log 3a n 2＋1＝2n －1， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n ＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －3)(2n －1) ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －3－12n －1)]＝n －12n －1. 20．(本题满分12分)用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？[解析] 购买时付款300万元，则欠款2 000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{a n }，故a 1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)，a 2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)，a 3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)，a 4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)，…a n ＝100＋[2 000－100(n －1)]×0.01＝121－n (万元) (1≤n ≤20，n ∈N *)．因此{a n }是首项为120，公差为－1的等差数列．故a 10＝121－10＝111(万元)，a 20＝121－20＝101(万元)．20次分期付款的总和为S 20＝(a 1＋a 20)×202＝(120＋101)×202＝2 210(万元)．实际要付300＋2 210＝2 510(万元)．即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2 510万元．21．(本题满分12分)在△ABC 中，若a 2＋c 2－b 2＝ac ，log 4sin A ＋log 4sin C ＝－1，S △ABC ＝3，求三边a ，b ，c 的长及三个内角A ，B ，C 的度数.[解析] 由a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12. ∵0°c 时，由①②，得a ＝6＋2，c ＝6－ 2.∴三边的长分别为a ＝6＋2，b ＝23，c ＝6－ 2.由正弦定理，得sin A ＝a 2R ＝6＋24＝sin105°. ∴A ＝105°，即C ＝15°.同理，当a <c 时，a ＝6－2，b ＝23，c ＝6＋2，A ＝15°，B ＝60°，C ＝105°.22．(本题满分14分)(2015·石家庄市一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *，λ≠－1)，且a 1、2a 2、a 3＋3为等差数列{b n }的前三项.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和．[解析] (1)解法1：∵a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝λS n －1＋1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝λa n ，即a n ＋1＝(λ＋1)a n (n ≥2)，λ＋1≠0，又a 1＝1，a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，∴数列{a n }为以1为首项，公比为λ＋1的等比数列，∴a 3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，解法2：∵a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，a 3＝λS 2＋1＝λ(1＋λ＋1)＝λ2＋2λ＋1，∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1∴a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝S n －1＋1(n ≥2)∴a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝2，∴数列{a n }为以1为首项，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)a n b n ＝(3n －2)·2n －1，∴T n ＝1·1＋4·21＋7·22＋…＋(3n －2)·2n －1 ① ∴2T n ＝1·21＋4·22＋7·23＋…＋(3n －5)·2n －1＋(3n －2)·2n ② ①－②得－T n ＝1·1＋3·21＋3·22＋…＋3·2n －1－(3n －2)·2n＝1＋3·2·(1－2n －1)1－2－(3n －2)·2n整理得：T n ＝(3n －5)·2n ＋5.。

人教A版高中数学高二版必修5第二章数列章末综合能力测试

C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列
解析：设数列{an}的公差为d，则由题意知，d＝1，
设cn＝a2n－1＋2a2n，则cn＋1＝a2n＋1＋2a2n＋2，
cn＋1－cn＝a2n＋1＋2a2n＋2－a2n－1－2a2n＝6d＝6.
答案：C
4．在等差数列{an}中，a1>0，a18＋a19＝0，则{an}的前n项和Sn中最大的是()
∴{An－600}是以－100为首项，为公比的等比数列．
∴An－600＝－100· n－1，
An＝600－100· n－1>590.
∴ n－1< ，
∴n－1>log210.
又∵n∈N*，∴n≥5.
∴从第5周开始，星期六学电脑的人数将超过590人．
22．(本小题满分12分)
正项数列{an}的前n项和Sn满足：
解析：由3an＋1＋an＝0，得＝－，故数列{an}是公比q＝－的等比数列．又a2＝－，可得a1＝4.所以S10＝＝3(1－3－10)．
答案：C
6．数列{an}的通项公式是an＝ (n∈N*)，若其前n项的和Sn为10，则项数n为()
A．11B．99
C．120 D．121
解析：∵an＝
＝
＝－，
解析：∵an＝Sn－Sn－1＝(－1)nan－－(－1)n－1an－1＋，
∴an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1＋ .
当n为偶数时，an－1＝－，
当n为奇数时，2an＋an－1＝，
∴当n＝4时，a3＝－＝－ .
根据以上{an}的关系式及递推式可求．
a1＝－，a3＝－，a5＝－，a7＝－，
又a1＝2满足上式，
∴an＝2n(n∈N*)．

高二数学人教A必修5模块综合检测Word版含解析(2)

所以 △ABC 是锐角三角形 .
10.(2019 山东潍坊四县联考 ,10)已知数列 { an} 中 ,a1= 2,nan+1= (n+ 1) an+ 2,n∈ N* ,则 a11= (
)
A.36
B.38
C.40
D.42
答案 :D
解析 :因为 nan+ 1= (n+ 1)an+ 2,n∈ N* ,
所以在等式的两边同时除以 n(n+ 1),
得 = 2.
所以 + 2
.所以 a11= 42.故选 D.
11.(2019 陕西高考 ,10)设 f(x)= ln x,0<ap
C.p=r<q
)
A. -6(1- 3- 10)
B. (1-3-10)
C.3(1 -3- 10)
D.3(1 + 3-10)
答案 :C
解析 :由 3an+1+a n= 0,得 =-.
所以 { an} 是以 q=- 为公比的等比数列 .
所以 a1=a 2·=- ×(-3)= 4.
所以 = S10= 3(1-3-10),故选 C.
C.39
答案 :C
D.52
解析 :因为 5,x,y,z,21 构成等差数列 ,所以 y 是 x,z 的等差中项 ,也是 5,21 的等差中项 ,所以
x+z= 2y,5+ 21= 2y,所以 y= 13,x+z= 26,所以 x+y+z= 39.

人教A版高中数学必修五章节素质测试题——第二章数列.doc

新课标高中数学人教A 版必修5章节素质测试题——第二章数列（考试时间：120分钟满分：150分）姓名__________评价_________一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分. 以下给出的四个备选答案中,只有一个正确） 1.（09安徽文5）已知{}n a 为等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ，则20a 等于（） A. 1- B. 1 C. 3D.72.（12福建理2）等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.（10全国Ⅱ理4）如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么 1a +2a +…+7a =（） A. 14 B. 21 C. 28 D.354.（08福建理3）设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ,则数列{}n a 前7项的和为（） A.63B.64C.127D.1285.（10全国Ⅰ理4）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（）A.6.（12安徽文5）公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a =（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 87.（08北京理6）已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（） A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-8.（09重庆文5）设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（）A ．2744n n +B ．2533n n +C ．2324n n + D ．2n n +9.（09宁夏理6）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则96SS =（） A. 2 B.73C. 83D.310.（11湖北文9）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）A ．1升B ．6766升 C ．4744升 D ．3733升 11.（11江西理5）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,1==++a S S S m n m n ，那么=10a （）A.1B.9C.10D.5512.（09广东理4）已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=L （）A. (21)n n -B. 2(1)n + C. 2n D. 2(1)n - 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号后的横线上） 13.（09全国Ⅰ理14）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若972S =，则249a a a ++=_________. 14.（11广东文11）已知{}n a 是递增等比数列，42342=-=a a a ，，则此数列的公比=q ______. 15.（12江西文13）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比不为1.若11=a ，且对任意的*N n ∈都有0212=-+++n n n a a a ，则=5S _________.16.（11广东理11）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和. 若0141=+=a a a k ，，则=k ______ .三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分，09全国Ⅱ文17）已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n S18.（本题满分12分，10北京文16）已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式.19.（本题满分12分，10山东文18）已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=，{}n a 的前n 项和为n S .（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令21()1n n b n N a +=∈-，求数列{}n b 的前n 项和T n ． 20.（本题满分12分，11湖北文17）成等差数列的三个正数之和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 中的543,,b b b .（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+45n S 是等比数列． 21.（本题满分12分，09山东文20）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数）的图像上. （Ⅰ）求r 的值；（Ⅱ）当2=b 时，记1()4n nn b n N a ++=∈求数列{}n b 的前n 项和n T . 22.（本题满分12分，11山东文20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln nn n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．新课标高中数学人教A 版必修5章节素质测试题——第二章数列（参考答案）一、选择题答题卡：二、填空题13. ___24____. 14. ___2____. 15. ___11____. 16.____10____. 三、解答题17.解：设{}n a 的公差为d ，则()()11112616350a d a d a d a d ⎧++=-⎪⎨+++=⎪⎩，即22111812164a da d a d⎧++=-⎨=-⎩，解得 118,82,2a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或.因此()()()()819819n n S n n n n n S n n n n n =-+-=-=--=--，或. 18.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d .因为366,0a a =-=，所以.102,2,633136-=-===-=d a a d a a d 从而所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q .因为24,832121-=++=-=a a a b b ，所以824q -=-.即q =3.所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==--. 19. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d..13,2626756=∴=+=a a a a Θ由⎩⎨⎧=+==+=135721613d a a d a a 解得.231==d a ，12)1(1+=-+=∴n d n a a n ，.22)(21n n a a n S n n +=+=（Ⅱ）12+=n a n Θ，)1(412+=-∴n n a n ，⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=11141)1(41n n n n b n .n n b b b T +++=∴Λ21= )1113121211(41+-++-+-n n Λ =)111(41+-n=4(1)nn +.所以数列{}n b 的前n 项和n T =4(1)nn + .20. 解：（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为,,a d a a d -+，依题意，得15, 5.a d a a d a -+++==解得所以{}n b 中的345,,b b b 依次为7,10,18.d d -+依题意，有(7)(18)100,213d d d d -+===-解得或（舍去）故{}n b 的10,5743==-=b d b ，公比2=q .由22311152,52,.4b b b b =⋅=⋅=即解得所以{}n b 是以54为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为1352524n n n b --=⋅=⋅. （Ⅱ）数列{}n b 的前n 项和25(12)5452124n n n S --==⋅--，即22545-⋅=+n n S所以1112555524, 2.542524n n n n S S S -+-+⋅+===⋅+因此55{}42n S +是以为首项，公比为2的等比数列.21.解: （Ⅰ）因为对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数）的图像上.所以得n n S b r =+，11a S b r ==+，b b r b r b S S a -=+-+=-=22122)()(，2323233)()(b b r b r b S S a -=+-+=-=，{}n a Θ为等比数列，3122a a a =∴.从而).1()()1(222-⋅+=-b b r b b b.1,10r b b b b +=-∴≠>且又Θ 解得1r =-.（Ⅱ）当2=b 时，由（Ⅰ）知，12-=nn S .当2≥n 时，.22)12(22)12()12(11111-----=-=-=---=-=n n n n n n n n n S S a 111=-=b a 满足上式，所以其通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.所以111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 234123412222n n n T ++=++++L ，………………（1） 3451212341222222n n n n n T +++=+++++L ……（2））（）（21-，得: 23451212111112222222n n n n T +++=+++++-L31211(1)112212212n n n -+⨯-+=+--12311422n n n +++=--. 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-.22. 解：（Ⅰ）当13a =时，不合题意；当12a =时，当且仅当236,18a a ==时，符合题意；当110a =时，不合题意.因此1232,6,18,a a a ===所以公比q=3.故123.n n a -=⋅（Ⅱ）因为(1)ln nn n n b a a =+-111123(1)(23)23(1)[ln 2(1)ln 3]23(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3,n n n n n n n n n n ----=⋅+-⋅=⋅+-+-=⋅+--+-所以n n b b b S 2212+++=Λ.13ln 33ln 313123ln ]2)1(321[)3ln 2](ln )1(111[)331(2222212-+=+--⨯=⋅-++-+-+--+-+-+++=-n n n n nn n n ΛΛΛ。

高中数学人教A必修5模块综合测评2 Word版含解析

模块综合测评(二)(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．数列，…的通项可能是( )．．＋．－．－【解析】取＝时，＝，排除、，取＝时，＝，排除.【答案】．不等式－－>的解集是( )．{≤－或≥}．{<－或>}．{<<}．{－≤≤}【解析】不等式化为－－>，所以(－)(＋)>，所以<－或>.【答案】．在正项等比数列{}中，和为方程－＋＝的两根，则··等于( )．．．．【解析】∵{}是等比数列且由题意得·＝＝(>)，∴··＝＝.【答案】．下列不等式一定成立的是( )．> (>)．＋)≥(≠π，∈)．＋≥(∈)>(∈)【解析】．在△中，角，，的对边分别为，，，＝，且＝，则△的面积等于( )．【解析】∵＝，∴由正弦定理得＝，∴＝.∵＝，∴△的面积＝＝××＝，故选 .【答案】．等比数列{}前项的积为，若是一个确定的常数，那么数列，，，中也是常数的项是( )．．．．【解析】由等比数列的性质得＝＝＝，而＝，故为常数．【答案】．已知不等式－－<的解集为，不等式＋－<的解集为，不等式＋＋<的解集是∩，那么＋等于( )．－．．－．【解析】由题意：＝{－<<}，＝{－<<}，∩＝{－<<}，由根与系数的关系可知：＝－，＝－，∴＋＝－.【答案】．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )．．。

人教A版高中数学必修五第二章单元素质测试题——数列与等差数列.doc

新课标高中数学人教A 版必修5第二章单元素质测试题——数列与等差数列（训练时间90分钟，满分100分）姓名__________评价__________一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）1.（10安徽文5）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值（）A. 15B. 16C. 49D.642.（07辽宁文5）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（） A ．63B ．45C ．36D ．273.（09安徽理5）已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（）A.21B.20C.19D. 184.（11全国Ⅰ文6）设为n S 等差数列{}n a 的前n 项和，若11=a ，公差24,22=-=+k k S S d ，则=k （）A. 8B. 7C. 6D.5 5.（08江西理5）在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++，则n a =（） A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 6.（11安徽文7）若数列}{n a 的通项公式是=+++--=1021),23()1(a a a n a n n 则（）A.15B.12C.-12D.-157.（12全国Ⅰ理5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a + 的前100项和为（）A.100101 B.99101C.99100D.101100 8.（12浙江理7）设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错．误．的是（）A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意的n ∈N*，均有S n ＞0D ．若对任意的n ∈N*，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在对应题号后的横线上）9.（11天津文11）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，*n N ∈，若32016,20,a S ==则10S 的值为_______.10.（12广东理11）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =________．11.（09宁夏理14）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = . 三、解答题（本大题共4小题，共45分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 12.（本题满分9分，11福建文17）已知等差数列{}n a 中，3131-==a a ，．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a 的前k 项和35-=k S ，求k 的值．13.（本题满分12分，09全国Ⅱ文17）已知等差数列{}n a 中，,0,166473=+-=a a a a 求{}n a 前n 项和n S .14.（本题满分12分，10浙江文19）设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数{}n a 的前n 项和为n S ，满足01565=+S S .（Ⅰ）若55=S ，求n S 及1a ；（Ⅱ）求d 的取值范围.15.（本题满分12分，12全国Ⅰ文18）已知数列{}n a 中，11=a ，前n 项和.32n n a n S +=（Ⅰ）求；，32a a （Ⅱ）求{}n a 的通项公式.新课标高中数学人教A 版必修5第二章单元素质测试题——数列与等差数列（参考答案）一、选择题答题卡：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABBDAAAC二、填空题9. 110 . 10.12-n ． 11. 31．三、解答题12. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1).n a a n d =+- 由121,312 3.a a d ==-+=-可得解得.2-=d从而，1(1)(2)32.n a n n =+-⨯-=- （Ⅱ）由（Ⅰ）可知32n a n =-，所以2[1(32)]2.2n n n S n n +-==-进而由2135235,S k k =--=-可得即22350k k --=，解得7 5.k k ==-或又*,7k N k ∈=故为所求.13.解法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，则,,,2,256545753d a a d a a d a a d a a +=-=+=-=根据题意，得⎩⎨⎧=++--=+-016)2)(2(5555d a d a d a d a ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-021645225a d a . 解之得.2,05±==d a①当2,05==d a 时，8451-=-=d a a ，n n n n n d n n na S n 9)1(82)1(21-=-+-=-+=； ②当2,05-==d a 时，8451=-=d a a ，.9)1(82)1(21n n n n n d n n na S n +-=--=-+= 解法二：设等差数列{}n a 的公差为d ，则06473=+=+a a a a .由⎩⎨⎧=+-=0167373a a a a 得⎩⎨⎧-==4473a a 或⎩⎨⎧=-=4473a a①当4,473-==a a 时，.8,102)3(,2,841337=+-=-+=-=∴-=-=a n d n a a d a a d n.92)8102(2)(21n n n n a a n S n n +-=++-=+=②当4,473=-=a a 时，.8,102)3(,2,841337-=-=-+==∴=-=a n d n a a d a a d n.92)8102(2)(21n n n n a a n S n n -=--=+=14.解：（Ⅰ）由55=S 和01565=+S S 得36-=S ..8566-=-=∴S S a⎩⎨⎧-=+==+=∴8551051615d a a d a S .解之得.3,71-==d an n n n n d n n na S n 21723)1(2372)1(21+-=--=-+=. .7,2172312=+-=∴a n n S n（Ⅱ）解：56150,S S += 11(510)(615)150.a d a d \+++=即2211291010.a da d +++=因为1a 可求，即关于1a 的一元二次方程有解，所以08)110(2481222≥-=+⨯⨯-=∆d d d . 解之得22-≤d 或22≥d .故d 的取值范围为(][)∞+-∞-，，2222 . 15. 解：（Ⅰ）根据题意得2234a S =，即22134a a a =+， .3312==∴a a又3335a S =，332135a a a a =++， .6)(23213=+=∴a a a（Ⅱ）11=a ，1>n 时，113132--+-+=-=n n n n n a n a n S S a ，整理得.111--+=n n a n n a 即.111-+=-n n a a n n 1122332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅=∴----- .2)1(23)2)(1(3)2)(1()1(1132431211n n n n n n n n n n n n n n +=⋅----⋅+=⋅⋅--⋅-⋅-+= 11=a 满足上式.故{}n a 的通项公式为.2)1(nn a n +=。

2020高中数学人教A必修5模块综合测评2 Word版含解析

模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列1,3,7,15，…的通项a n可能是( )A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n－1【解析】取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时，a2＝3，排除D.【答案】 C2．不等式x2－2x－5>2x的解集是( )A．{x|x≤－1或x≥5}B．{x|x<－1或x>5}C．{x|1<x<5}D．{x|－1≤x≤5}【解析】不等式化为x2－4x－5>0，所以(x－5)(x＋1)>0，所以x<－1或x>5.【答案】 B3．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( )A．16 B．32C．64 D．256【解析】∵{a n}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝a210(a n>0)，∴a8·a10·a12＝a310＝64.【答案】 C4．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【解析】5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12B.32 C ．1D.34【解析】 ∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ， ∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12，故选 A.【答案】 A6．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 25【解析】由等比数列的性质得a 3a 6a 18＝a 6a 10a 11＝a 8a 9a 10＝a 39，而T 17＝a 179，故T 17为常数．【答案】 C7．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3【解析】由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3. 【答案】 A8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n ＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S 7＝381.请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a 1.代入公式S n ＝a 11－q n 1－q ，即381＝a 11－271－2，∴a 1＝381127＝3.∴此塔顶有3盏灯．【答案】 B9．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则y x 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0的相关区域如图中的阴影部分所示． y x 表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，y x 的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 C10．在△ABC 中，若c ＝2b cos A ，则此三角形必是( ) A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形D ．有一角为30°的直角三角形【解析】由正弦定理得sin C ＝2cos A sin B ， ∴sin (A ＋B )＝2cos A sin B ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ，即sin A cos B－cos A sin B＝0，所以sin (A－B)＝0.又因为－π<A－B<π，所以A－B＝0，即A＝B.【答案】 A11．函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是( )A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2【解析】∵x>1，∴x－1>0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥23＋2. 【答案】 A12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tan B＝2－3a2－b2＋c2，BC→·BA→＝12，则tan B等于( )A.32B.3－1C ．2D ．2－ 3【解析】由BC →·BA →＝12，得ac cos B ＝12，∴2ac cos B ＝1.又由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－1， ∴a 2－b 2＋c 2＝1， ∴tan B ＝2－31＝2－ 3.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x ＋by ＋1>0表示的平面区域内，则b 的取值范围是______. 【导学号：05920089】【解析】点P (1，－2)关于原点的对称点为点P ′(－1，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2×1－2b ＋1>0，－2＋2b ＋1>0，解得12<b <32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3214．(2015·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．【解析】由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝n －12＋n2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n 2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n 2(n ∈N *)．∴1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.【答案】 201115．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sinA －sinB )＝(c －b )sinC ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ， ∴a 2－b 2＝c 2－bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°.∵在△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.【答案】316．若1a <1b<0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 2；⑤a 2>b 2；⑥2a >2b .其中正确的不等式的序号为______．【解析】 ∵1a <1b<0，∴b <a <0，故③错；又b <a <0，可得|a |<|b |，a 20，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．【解】 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0， ∴－247<d <－3.(2)∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7>0，a 7<0， ∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值．【解】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝－a ，αβ＝2b ，∴⎩⎨⎧a ＝－α＋β，b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2， ∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤－1，0≤b ≤1，建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．取B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32. 故b －3a －1的最大值是32，最小值是12. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，试求当△ABC 的面积取最大值时，△ABC 的形状. 【导学号：05920090】【解】 (1)∵(2b －c )cos A －a cos C ＝0，由余弦定理得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝0，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π， ∴A ＝π3.(2)由(1)得b 2＋c 2－bc ＝3及b 2＋c 2≥2bc 得bc ≤3. 当且仅当b ＝c ＝3时取等号． ∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334.从而当△ABC 的面积最大时，a ＝b ＝c ＝ 3.∴当△ABC 的面积取最大值时△ABC 为等边三角形．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立． ①当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；②当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0.∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时， a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解； ③当1－a <a ，即12<a ≤1时， 1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为(a,1－a )；当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为(1－a ，a )． 21．(本小题满分12分)若数列{a n }满足a 2n ＋1－a 2n ＝d ，其中d 为常数，则称数列{a n }为等方差数列．已知等方差数列{a n }满足a n >0，a 1＝1，a 5＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和．【解】 (1)由a 21＝1，a 25＝9，得a 25－a 21＝4d ，∴d ＝2.a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∵a n >0，∴a n ＝2n －1.数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝(2n －1)12n ，设S n ＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n －1)·12n ，① 12S n ＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n －1)· 12n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －(2n －1)·12n ＋1 ＝12＋2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n －1)·12n ＋1，即S n ＝3－2n ＋32n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和为3－2n ＋32n .。

人教A版上学期高中数学必修五综合检测试卷(含答案解析)

人教A 版上学期数学必修五综合检测试卷一、选择题（本大题共12题，每小题5分，满分60分）．1、不等式2230x x +-≤的解集为（）A 、}13|{-≤≥x x x 或B 、}31|{≤≤-x xC 、}31|{-≤≥x x x 或D 、}13|{≤≤-x x 2、111242n +++=（） A 、1212--n B 、n 212- C 、1211--n D 、n211- 3、已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，12n n S -=，则10a =（）A 、256B 、512C 、1024D 、20484、已知2x >，则函数1()2f x x x =+-的最小值为（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、45、设等差数列}{n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（）A 、12B 、20C 、40D 、1006、若一个矩形的对角线长为常数a ，则其面积的最大值为（）A 、2aB 、212aC 、aD 、12a 7、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，并且a ＝1，b ＝3，A ＝30°，则c 的值为（）.A 、2B 、1C 、1或2D 、3或28、下面结论正确的是（）A 、若b a >，则有ba 11<， B 、若b a >，则有||||c b c a >， C 、若b a >，则有b a >||， D 、若b a >，则有1>b a . 9、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，并且a 2、b 2、c 2成等差数列，则角B 的取值范围是（）A 、]6,0(πB 、]3,0(πC 、),6[ππD 、),3[ππ10、由不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤9020x y x表示的平面区域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）个数为（）A 、55个B 、1024个C 、1023个D 、1033个11、在三角形ABC 中，2cos a b C =，则这个三角形一定是（）A 、等腰直角三角形B 、直角三角形C 、等腰三角形D 、等腰三角形或直角三角形12、在ABC ∆中，如果4sin 2cos 1,2sin 4cos A B B A +=+=，则C ∠的大小是（）A 、030B 、0150C 、0030150或D 、060或0120二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）．13、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且边a=4，c=3，则△ABC 的面积等于14、如果关于x 的不等式01)1(2<+-+x a x 的解集为φ，则实数a 的取值范围是 15、设实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥02020y x y x x ，则y x +2的最小值为 .16、如图，在面积为1的正111A B C ∆内作正222A B C ∆，使12212A A A B =，12212B B B C =，12212C C C A =，依此类推，在正222A B C ∆内再作正333C B A ∆，……。

高中数学人教A版必修五章末综合测评2 Word版含答案

章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A ．1，12，13，14，… B ．－1,2，－3,4，… C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1, 2， 3，…，n【解析】 A 为递减数列，B 为摆动数列，D 为有穷数列．【答案】 C2．已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q ≠1的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则公比q 等于( )A.12 B ．－1 C ．－2 D ．2【解析】由已知，2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，所以q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1，因为q ≠1，所以q ＝－1.【答案】 B3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个【解析】设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }．则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2.∴a n －1＝1·2n －1 ，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65.【答案】 B4．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列 {b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项【解析】 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．【答案】 C5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ≠0)，则{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列【解析】 ∵S n ＝a n －1(a ≠0)， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，n ＝1，(a －1)a n －1，n ≥2，当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列．【答案】 C6．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A ．90B ．100C ．145D ．190 【解析】设公差为d ， ∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )，∵d ≠0，∴d ＝2，从而S 10＝100. 【答案】 B7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．7【解析】 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16， ∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1)＋(a 4－a 2) ＝4d ＝16－4＝12， ∴d ＝3. 【答案】 B8．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5 D.52【解析】依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n ＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 【解析】 ∵2a n ＋1－2a n ＝1， ∴a n ＋1－a n ＝12，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列， ∴a 101＝2＋12(101－1)＝52. 【答案】 D10．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图1所示：图1则第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30【解析】法一 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28. 法二由图可知第n 个三角形数为n (n ＋1)2， ∴a 7＝7×82＝28. 【答案】 B11．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n－1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ3n 为等差数列的实数λ＝( )A ．2B ．5C ．－12 D.12【解析】 a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，∵b 1＋b 3＝2b 2， ∴λ＝－12. 【答案】 C12．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 20 【解析】 ∵a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|， ∴a 11＋a 10>0.S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10·(a 11＋a 10)>0.S 19＝19(a 1＋a 19)2＝192·2a 10<0.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为________．【解析】由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000. 【答案】 10 00014．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________. 【导学号：05920082】【解析】由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n ，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15. 【答案】 1515．首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．【解析】设a 1＝－24，公差为d ，∴a 10＝－24＋9d >0且a 9＝－24＋8d ≤0，∴83<d ≤3.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤83，316．已知公差不为零的正项等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，若a 5＝10，则S 5＝________.【解析】设{a n }的公差为d ，则d ≠0. 由lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，得2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，∴a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d 2＝a 1d .又d ≠0，故d ＝a 1，a 5＝5a 1＝10，d ＝a 1＝2， S 5＝5a 1＋5×42×d ＝30. 【答案】 30三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．【解】设该数列的公差为d ，前n 项和为S n .由已知可得 2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )，所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.18．(本小题满分12分)(2016·唐山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n＋2}是等比数列．【解】(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)·S n＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.(2)证明：∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝(n－2)S n－1＋2(n－1)，②①－②得na n＝(n－1)S n－(n－2)S n－1＋2＝na n－S n＋2S n－1＋2，∴－S n＋2S n－1＋2＝0，即S n＝2S n－1＋2.∴S n＋2＝2(S n－1＋2)．∵S1＋2＝4≠0.∴S n－1＋2≠0，∴S n＋2S n－1＋2＝2.即{S n＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．19．(本小题满分12分)(2015·北京高考)已知等差数列{a n}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.(1)求{a n}的通项公式；(2)设等比数列{b n}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？【解】(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为a4－a3＝2，所以d＝2.又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.所以a n＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1,2，…)．(2)设等比数列{b n}的公比为q.因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，所以q＝2，b1＝4.所以b 6＝4×26－1＝128. 由128＝2n ＋2得n ＝63，所以b 6与数列{a n }的第63项相等．20．(本小题满分12分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)，满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. 【导学号：05920083】(1)令c n ＝a nb n，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .【解】 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0， b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n＝2，即c n ＋1－c n ＝2.所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1， 3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n .相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1.21．(本小题满分12分)(2015·四川高考)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11 000成立的n 的最小值．【解】 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有 a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2.从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.所以数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n＝2n.(2)由(1)得1a n＝12n，所以T n＝12＋122＋…＋12n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫12n1－12＝1－12n.由|T n－1|<11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n－1<11 000，即2n>1 000.因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n≥10.于是使|T n－1|<11 000成立的n的最小值为10.22．(本小题满分12分)在等差数列{a n}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n(n＋1)2，记T n＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)n b n，求T n.【解】(1)由题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝2，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n.(2)由题意知b n＝a n(n＋1)2＝n(n＋1)，所以T n＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n·(n＋1)．因为b n＋1－b n＝2(n＋1)，可得当n为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n2(4＋2n )2＝n (n ＋2)2，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝(n －1)(n ＋1)2－n (n ＋1)＝－(n ＋1)22.所以T n＝⎩⎨⎧－(n ＋1)22，n 为奇数，n (n ＋2)2，n 为偶数.。

吉林省长白山高数学第二章综合素质能力检测新人教A版必修5

第二章综合素质能力检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．)1．(2010～2011·河南汤阴县一中高二期中)等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝( ) A.23或32 B.23 C.32 D.13或－122．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且满足S n ，S n ＋2，S n ＋1成等差数列，则a 3等于( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－143．(2012·辽宁理，6)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．1764．已知－1，a 1，a 2,8成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，那么a 1a 2b 2的值为( )A ．－5B ．5C ．－52 D.525．等差数列{a n }中，a 1＝－8，它的前16项的平均值是7，若从中抽取一项，余下的15项的平均值为7.2，则抽取的是( )A ．第7项B ．第8项C ．第15项D ．第16项6．(2012·新课标全国理，5)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－77．(2011·北京朝阳区期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，则a 2等于( )A ．4B ．2C ．1D ．－28．某工厂去年产值为a ，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15aC ．11×(1.15－1)aD ．10(1.16－1)a9．一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为26，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是( )A ．3B ．4C ．5D ．610．(2010·江西文，7)等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝( )A ．(－2)n －1B ．－(－2)n －1C ．(－2)nD ．－(－2)n11．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2009＝( )A ．6B ．－6C ．3D ．－312．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用M n 表示它的前n 项之积，即M n ＝a 1·a 2·a 3…a n ，则数列{M n }中的最大项是( )A ．M 11B ．M 10C ．M 9D ．M 8二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．(2012·辽宁文，14)已知等比数列{a n }为递增数列，若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________.14．在等比数列{a n }中，前n 项和S n ＝3n＋a ，则通项公式为__________．15．有三个数成等比数列，其和为21，若第三个数减去9，则它们成等差数列，这三个数分别为__________．16．等差数列{a n }前n 项和S n ，若S 10＝S 20，则S 30＝__________. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)若{a n }是公差d ≠0的等差数列，通项为a n ，{b n }是公比q ≠1的等比数列，已知a 1＝b 1＝1，且a 2＝b 2，a 6＝b 3.(1)求d 和q .(2)是否存在常数a ，b ，使对一切n ∈N *都有a n ＝log a b n ＋b 成立，若存在求之，若不存在说明理由．18．(本题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝10n －n 2(n ∈N *)，又b n ＝|a n |(n ∈N *)，求{b n }的前n 项和T n .[分析] 本题求数列{b n }的前n 项和，应首先确定数列{b n }的特性，由题意可得{b n }是由一个首项为正值，而公差为负的一个等差数列，{a n }的各项取绝对值后得到的一个新数列，因此求{b n }的前n 项和可转化为求数列{a n }的和的问题．19．(本题满分12分)一个等差数列前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，求公差d .20．(本题满分12分)在4月份(共30天)，有一新款服装投放某专卖店销售，日销售量(单位：件)f (n )关于时间n (1≤n ≤30，n ∈N *)的关系如图所示，其中函数f (n )图象中的点位于斜率为5和－3的两条直线上，两直线的交点的横坐标为m ，且第m 天日销售量最大．(1)求f (n )的表达式，及前m 天的销售总数；(2)按规律，当该专卖店销售总数超过400件时，社会上流行该服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该服装的流行会消失．试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天？并说明理由．21．(本题满分12分)已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝2，a 1＋a 2＋a 3＝12. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n x n(x ∈R )，求数列{b n }的前n 项和．22．(本题满分14分)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 和S n 满足：4S n ＝(a n ＋1)2(n ＝1,2,3……)，(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n ；(3)在(2)的条件下，对任意n ∈N *，T n >m23都成立，求整数m 的最大值．详解答案 1[答案] A[解析] 在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝a 4·a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3a 14＝2，又a 14＝a 4·q 10，∴q 10＝23或32，∴a 20a 10＝q 10＝23或32.2[答案] C[解析] ∵S n 、S n ＋2、S n ＋1成等差数列，∴S n ＋2－S n ＝S n ＋1－S n ＋2.∴a n ＋2＋a n ＋1＝－a n ＋2，∴a n ＋2a n ＋1＝－12.又a 1＝1，∴a 3＝14.3[答案] B[解析] 本题主要考查等差数列的性质及求和公式．由条件知a 4＋a 8＝a 1＋a 11＝16，S 11＝11a 1＋a 112＝11×162＝88.[点评] 注意等差数列的性质应用：若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p＋a q .4[答案] A[解析] ∵－1，a 1，a 2,8成等差数列，设公差d ， ∴8－(－1)＝3d ，∴d ＝3， ∴a 1＝2，a 2＝5，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，b 22＝4，又b 2＝－1·q 2<0，∴b 2＝－2，∴a 1a 2b 2＝－5. 5[答案] A [解析] S 16＝a 1＋a 16×162＝7×16,7×16－x ＝7.2×15，∴x ＝4，又a 1＝－8，∴a 16＝22，d ＝115(a 16－a 1)＝2，∴a n ＝－8＋(n －1)·2＝4，∴n ＝7.6[答案] D[解析] 本题考查了等比数列的性质及分类讨论思想．a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8⇒a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4， a 4＝4，a 7＝－2⇒a 1＝－8，a 10＝1⇒a 1＋a 10＝－7， a 4＝－2，a 7＝4⇒a 10＝－8，a 1＝1⇒a 1＋a 10＝－7. 7[答案] A[解析] S 1＝2a 1－2＝a 1，∴a 1＝2，S 2＝2a 2－2＝a 1＋a 2，∴a 2＝4. 8[答案] C[解析] 设从去年开始，每年产值构成数列为{a n }，则a 1＝a ，a n ＝a (1＋10%)n －1(1≤n ≤6)，从今年起到第5年是求该数列a 2到a 6的和，应为S 6－a 1＝a 1.16－11.1－1－a ＝11×(1.15－1)a .9[答案] A[解析] 由题意，S 偶－S 奇＝5d ，∴d ＝－2.2，S 10＝10a 5＋a 62＝5(a 5＋a 6)＝5(2a 6＋2.2)＝41，∴a 6＝3.10[答案] A[解析] ∵|a 1|＝1，∴a 1＝1或－1，∵a 5＝－8a 2＝a 2q 3，a 2≠0，∴q 3＝－8，∴q ＝－2，又a 5>a 2，∴a 2q 3>a 2，∴a 2<0，∵a 2＝a 1q <0，∴a 1>0，∴a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1. 11[答案] B[解析] 由条件a n ＋2＝a n ＋1－a n 可得：a n ＋6＝a n ＋5－a n ＋4＝(a n ＋4－a n ＋3)－a n ＋4＝－a n ＋3＝－(a n ＋2－a n ＋1)＝－[(a n ＋1－a n )－a n ＋1]＝a n ，于是可知数列{a n }的周期为6，∴a 2009＝a 5，又a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6.12[答案] C[解析] 由题设a n ＝512·(－12)n －1.∴M n ＝a 1·a 2·a 3…a n ＝[512×(－12)0]×[512×(－12)1]×[512×(－12)2]×…×[512×(－12)n －1] ＝512n×(－12)1＋2＋3＋…＋(n －1)[点评] 此题若直接用列举法可很简明求解：a 1＝512，a 2＝－256，a 3＝128，a 4＝－64，a 5＝32，a 6＝－16，a 7＝8，a 8＝－4，a 9＝2，a 10＝－1，当n ≥11时，|a n |<1，又M 9>0，M 10<0，∴M 9最大． 13[答案] 2[解析] 本题考查了等比数列的通项公式． ∵{a n }是递增的等比数列，且a 1>0， ∴q >1，又∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n ＋2a n q 2＝5a n q ， ∵a n ≠0，∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12(舍去)，∴公比q 为2.[点评] 一定要注意数列{a n }是递增数列且a 1>0，则公比q 大于1.14[答案] a n ＝2×3n －1[解析] a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋a )－(3n －1＋a )＝2×3n －1，∴a 1＝2.又a 1＝S 1＝3＋a ，∴3＋a ＝2，∴a ＝－1.15[答案] 16,4,1[解析] 设三个数为a ，b ，c ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝212b ＝a ＋c －9b 2＝ac，解之得：b ＝4，a ＝1，c ＝16或b ＝4，a ＝16，c ＝1. 16[答案] 0[解析] ∵S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，∴2a 1＝－29d .∴S 30＝30a 1＋10×292d ＝15×(－29d )＋15×29d ＝0.[点评] 既可以运用一般方法求解，也可以充分利用等比数列的性质求解，设数列{a n }第一个10项的和为b 1，第二个10项的和为b 2，第三个10项的和为b 3，则∵S 10＝S 20，∴b 2＝0，由条件知b 1，b 2，b 3成等差，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴b 3＝－b 1，∴S 30＝b 1＋b 2＋b 3＝0.17[解析] (1)a 2＝1＋d ＝b 2＝q ，a 6＝1＋5d ＝b 3＝q 2，∴q ＝4，d ＝3. (2)假设存在常数a 、b 满足等式，由a n ＝1＋(n －1)d ＝3n －2，b n ＝q n －1＝4n －1及a n ＝log a b n＋b 得(3－log a 4)n ＋log a 4－b －2＝0，∵n ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－log a 4＝0log a 4－b －2＝0，∴a ＝34，b ＝1，故存在．18[解析] 由S n ＝10n －n 2可得， a n ＝11－2n ，故b n ＝|11－2n |.显然n ≤5时，b n ＝a n ＝11－2n ，T n ＝10n －n 2. n ≥6时，b n ＝－a n ＝2n －11，T n ＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝2S 5－S n ＝50－10n ＋n 2故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2n ≤5，50－10n ＋n 2n ≥6.19[解析] 设首项为a 1，公差为d ，则由题意： ⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 奇S 偶＝2732.∴⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，∴d ＝5. 20[解析] (1)由题意57－2m －1＝5解得：m ＝12.f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧5n －3 1≤n ≤12，n ∈N*，93－3n12<n ≤30，n ∈N *.前m 天的销售总数S m ＝S 12＝122＋572＝354.(2)∵S 12＝354<400，∴前12天不流行． ∵S 13＝354＋f (13)＝408，且f (21)＝30，f (22)＝27.∴从第13天到第21天，服装销售总数超过400件，日销售量不低于30件， ∴该服装在社会上流行不会超过10天． 21[解析] (1)设数列{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝12，a 1＝2.解得：d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .(2)令S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，其中b n ＝2nx n，则S n ＝2x ＋4x 2＋…＋(2n －2)x n －1＋2nx n.① 当x ＝0时，S n ＝0.当x ＝1时，S n ＝n (n ＋1)．当x ≠0且x ≠1时，xS n ＝2x 2＋4x 3＋…＋(2n －2)x n ＋2nx n ＋1②①－②得：(1－x )S n ＝2(x ＋x 2＋…＋x n )－2nx n ＋1.∴S n ＝2x 1－x n 1－x 2－2nx n ＋11－x. 22[解析] (1)∵4S n ＝(a n ＋1)2， ①∴4S n －1＝(a n －1＋1)2(n ≥2)， ② ①－②得4(S n －S n －1)＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2.∴4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2.化简得(a n ＋a n －1)·(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n >0，∴a n －a n －1＝2(n ≥2)．∴{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.(2)b n ＝1a n ·a n ＋1＝12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)．∴T n ＝12〔〕1－13＋13－14＋…＋12n －1－12n ＋1＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. (3)由(2)知T n ＝12(1－12n ＋1)，T n ＋1－T n ＝12(1－12n ＋3)－12(1－12n ＋1)＝12(12n ＋1－12n ＋3)>0. ∴数列{T n }是递增数列．∴[T n ]min ＝T 1＝13.∴m 23<13，∴m <233. ∴整数m 的最大值是7.。

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必修5综合测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a<b<0，则下列不等式一定成立的是()A．a2<ab<b2B．b2<ab<a2C．a2<b2<ab D．ab<b2<a2答案 B2．关于数列3,9，…，2187，…，以下结论正确的是()A．此数列不是等差数列，也不是等比数列B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列解析记a1＝3，a2＝9，…，a n＝2 187，…若该数列为等差数列，则公差d＝9－3＝6，a n＝3＋(n－1)×6＝2 187，∴n＝365.∴{a n}可为等差数列．若{a n }为等比数列，则公比q ＝93＝3.a n ＝3·3n －1＝2 187＝37，∴n ＝7.∴{a n }也可能为等比数列．答案 B3．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则角C 为( )A ．钝角B ．直角C ．锐角D ．60°解析由sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，得a 2＋b 2＝2c 2.即a 2＋b 2－c 2＝c 2>0，cos C >0.答案 C4．定义新运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b )，例如1]( ) A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)∪(1，＋∞)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2≤2x －1，x 2<1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2>2x －1，2x －1<1.解得x <1. 答案 B5．在下列函数中，最小值等于2的函数是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2 C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x ＋4e －x －2解析 A 中当x <0时不成立，B 、C 中y 取不到2，因此A 、B 、C 均错，D 正确．y ＝e x ＋4e －x －2≥2e x ·4e －x －2＝2，当且仅当e x＝4e x ，即当e x ＝2，x ＝ln2时，取等号．答案 D6．不等式y ≤3x ＋b 所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，而点(4,4)在此区域内，则b 的范围是( )A ．－8≤b ≤－5B ．b ≤－8或b >－5C ．－8≤b <－5D ．b ≤－8或b ≥－5 解析 ∵4>3×3＋b ，且4≤3×4＋b ，∴－8≤b <－5.答案 C7．已知实数m ，n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ≤4，m －n ≤2，m ＋n ≤3，m ≥0，则关于x 的方程x 2－(3m ＋2n )x ＋6mn ＝0的两根之和的最大值和最小值分别是( )A ．7，－4B ．8，－8C ．4，－7D ．6，－6 解析两根之和z ＝3m ＋2n ，画出可行域，当m ＝1，n ＝2时，z max ＝7；当m ＝0，n ＝－2时，z min ＝－4.答案 A8．已知a ，b ，c 成等比数列，a ，x ，b 成等差数列，b ，y ，c 成等差数列，则a x ＋c y 的值等于( )A.14B.12C ．2D ．1解析用特殊值法，令a ＝b ＝c .答案 C 9．制作一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用、又耗材最少)是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m解析设三角形两直角边长为a m ，b m ，则ab ＝2，周长C ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝22＋2≈4.828(m)．答案 C10．设{a n }是正数等差数列，{b n }是正数等比数列，且a 1＝b 1，a 2n ＋1＝b 2n ＋1, 则( )A ．a n ＋1>b n ＋1B ．a n ＋1≥b n ＋1C ．a n ＋1<b n ＋1D ．a n ＋1＝b n ＋1解析 a n ＋1＝a 1＋a 2n ＋12≥a 1a 2n ＋1＝b 1b 2n ＋1＝b n ＋1. 答案 B11．下表给出一个“直角三角形数阵”：1412，1434，38，316……满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则a 83等于( )A.18B.14C.12 D ．1解析第1列为14，12＝24，34，…，所以第8行第1个数为84，又每一行都成等比数列且公比为12，所以a 83＝84×12×12＝12.答案 C12．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋x －1≤0，y －3x －1≤0，y －x ＋1≥0，则z ＝2x ＋y的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－4 解析先作出约束条件满足的平面区域，如图所示．由图可知，当直线y ＋2x ＝0，经过点(1,0)时，z 有最大值，此时z ＝2×1＋0＝2.答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分．把答案填在题中横线上)13．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________．解析 ∵B ＝45°，C ＝60°，∴A ＝180°－B －C ＝75°.∴最短边为b .由正弦定理，得b ＝c sin B sin C ＝1×sin45°sin60°＝63.答案 6314．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则b a 的取值范围是__________．解析 ∵△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<B ＝2A <π2，0<π－A －B <π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<A <π4，π6<A <π3.∴A ∈(π6，π4)．∴b a ＝sin B sin A ＝2cos A .∴b a ∈(2，3)．答案 (2，3)15．数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－2a n ＝0，数列{b n }的通项公式满足关系式a n ·b n ＝(－1)n (n ∈N *)，则b n ＝________.解析 ∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝2.∴a n ＝3·2n －1.又a n ·b n ＝(－1)n .∴b n ＝(－1)n·1a n ＝(－1)n 3·2n －1. 答案 (－1)n3·2n －116．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析令f (x )＝x 2＋mx ＋4，则f (x )的图象是开口向上的抛物线，要当x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1＋m ＋4≤0，f (2)＝4＋2m ＋4≤0，解得m ≤－5.答案 m ≤－5三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知全集U ＝R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－34x 2＋x ＋1>0，B ＝{x |3x 2－4x ＋1>0}，求∁U (A ∩B )．解 A ＝{x |3x 2－4x －4<0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23<x <2， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13，或x >1. A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23<x <13，或1<x <2， ∁U (A ∩B )＝{x |x ≤－23，或13≤x ≤1，或x ≥2}．18．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝c sin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac .所以a ＝3，c ＝2 3.19．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋1.(1)是否存在实数a ，b 使不等式f (x )>0的解集是{x |3<x <4}，若存在，求实数a ，b 的值，若不存在，请说明理由；(2)若a 为整数，b ＝a ＋2，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，求a 的值．解 (1)∵不等式ax 2－bx ＋1>0的解集是{x |3<x <4}，∴方程ax 2－bx ＋1＝0的两根是3和4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＝3×4＝12，b a ＝3＋4＝7.解得a ＝112，b ＝712.而当a ＝112>0时，不等式ax 2－bx ＋1>0的解集不可能是{x |3<x <4}，故不存在实数a ，b 使不等式f (x )>0的解集是{x |3<x <4}．(2)∵b ＝a ＋2，∴f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1.∵Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0，∴函数f (x )＝ax 2－bx ＋1必有两个零点．又函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，∴f (－2)·f (－1)<0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<a <－56.∵a ∈Z ，∴a ＝－1.20．(12分)配制两种药剂，需要甲、乙两种原料．已知配A 种药需要甲料3毫克，乙料5毫克；配B 种药需要甲料5毫克、乙料4毫克．今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A ，B 两种药至少各配一剂，问A 、B 两种药最多能各配几剂？解设A 、B 两种药分别能配x ，y 剂，x ，y ∈N *，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，y ≥1，3x ＋5y ≤20，5x ＋4y ≤25，作出可行域，图中阴影部分的整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)．所以，在保证A ，B 两种药至少各配一剂的条件下，A 种药最多配4剂，B 种药最多配3剂．21．(12分)在△ABC 中，已知a ＋b a ＝sin B sin B －sin A，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos2C .(1)试确定△ABC 的形状；(2)求a ＋c b 的范围．解 (1)由a ＋b a ＝sin B sin B －sin A，得a ＋b a ＝b b －a，即b 2－a 2＝ab ，① 又cos(A －B )＋cos C ＝1－cos2C ，所以cos(A －B )－cos(A ＋B )＝2sin 2C .sin A ·sin B ＝sin 2C ，则ab ＝c 2.②由①②知b 2－a 2＝c 2，即b 2＝a 2＋c 2.所以△ABC 为直角三角形．(2)在△ABC 中，a ＋c >b ，即a ＋c b >1.又a ＋c b ＝a 2＋c 2＋2ac b 2≤ 2(a 2＋c 2)b 2＝2b 2b 2＝2，故a ＋c b 的取值范围为(1，2]．22．(12分)设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，(d ≠0)．由a 22＋a 23＝a 24＋a 25，知2a 1＋5d ＝0.①又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.②由①②可得a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－6n . (2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数，又由(1)知a m ＋2为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1,2.当m ＝1时，a m a m ＋1a m ＋2＝(－5)×(－3)－1＝－15. 显然它不是数列{a n }中的项．当m ＝2时，a m ·a m ＋1a m ＋3＝(－3)×(－1)3＝1.——————————新学期新成绩新目标新方向——————————它是数列{a n}中的项．因此，符合题意的正整数只有m＝2.桑水。

高中数学人教A版必修五模块综合测评2 Word版含答案

模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列1,3,7,15，…的通项a n 可能是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2n －1【解析】取n ＝1时，a 1＝1，排除A 、B ，取n ＝2时，a 2＝3，排除D. 【答案】 C2．不等式x 2－2x －5>2x 的解集是( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥5} B ．{x |x <－1或x >5} C ．{x |1<x <5} D ．{x |－1≤x ≤5}【解析】不等式化为x 2－4x －5>0，所以(x －5)(x ＋1)>0，所以x <－1或x >5. 【答案】 B3．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )A ．16B ．32C ．64D ．256【解析】 ∵{a n }是等比数列且由题意得a 1·a 19＝16＝a 210(a n >0)，∴a 8·a 10·a 12＝a 310＝64.【答案】 C4．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x2＋1>1(x∈R)【解析】5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3b sin A，则△ABC的面积等于()A.12 B.32C．1 D.3 4【解析】∵a＝3b sin A，∴由正弦定理得sin A＝3sin B sin A，∴sin B＝1 3.∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝12ac sin B＝12×3×13＝12，故选 A.【答案】 A6．等比数列{a n}前n项的积为T n，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是()A．T10B．T13C．T17D．T25【解析】由等比数列的性质得a3a6a18＝a6a10a11＝a8a9a10＝a39，而T17＝a179，故T17为常数．【答案】 C7．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3【解析】由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3. 【答案】 A8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n ＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S 7＝381.请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a 1. 代入公式S n ＝a 1(1－q n )1－q ，即381＝a 1(1－27)1－2，∴a 1＝381127＝3. ∴此塔顶有3盏灯．【答案】 B9．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0的相关区域如图中的阴影部分所示． y x 表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，y x 的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 C10．在△ABC 中，若c ＝2b cos A ，则此三角形必是( ) A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形D ．有一角为30°的直角三角形【解析】由正弦定理得sin C ＝2cos A sin B ， ∴sin (A ＋B )＝2cos A sin B ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，所以sin (A －B )＝0. 又因为－π<A －B <π，所以A －B ＝0，即A ＝B . 【答案】 A11．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2 【解析】 ∵x >1， ∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2 ≥23＋2. 【答案】 A12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA→＝12，则tan B 等于( ) A.32 B.3－1 C ．2D ．2－ 3【解析】由BC →·BA→＝12，得ac cos B ＝12，∴2ac cos B ＝1.又由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－1， ∴a 2－b 2＋c 2＝1， ∴tan B ＝2－31＝2－ 3. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x ＋by ＋1>0表示的平面区域内，则b 的取值范围是______. 【导学号：05920089】【解析】点P (1，－2)关于原点的对称点为点P ′(－1，2)．由题意知⎩⎨⎧2×1－2b ＋1>0，－2＋2b ＋1>0，解得12<b <32. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3214．(2015·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．【解析】由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1， ∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)． ∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)． ∴1a n ＝2n 2＋n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011. 【答案】 201115．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ， ∴a 2－b 2＝c 2－bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ， ∴A ＝60°.∵在△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.【答案】 316．若1a <1b <0，已知下列不等式： ①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 2； ⑤a 2>b 2；⑥2a >2b .其中正确的不等式的序号为______．【解析】 ∵1a <1b <0， ∴b <a <0，故③错；又b <a <0，可得|a |<|b |，a 20，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．【解】 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎨⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎨⎧24＋7d >0，3＋d <0， ∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎨⎧ a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0， ∴⎩⎨⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值．【解】 ∵⎩⎨⎧α＋β＝－a ，αβ＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－(α＋β)，b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2， ∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2. ∴⎩⎨⎧－3≤a ≤－1，0≤b ≤1，建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．取B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32.故b －3a －1的最大值是32，最小值是12. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，试求当△ABC 的面积取最大值时，△ABC 的形状. 【导学号：05920090】【解】 (1)∵(2b －c )cos A －a cos C ＝0，由余弦定理得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝0，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵0<A <π， ∴A ＝π3.(2)由(1)得b 2＋c 2－bc ＝3及b 2＋c 2≥2bc 得bc ≤3. 当且仅当b ＝c ＝3时取等号． ∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334. 从而当△ABC 的面积最大时，a ＝b ＝c ＝ 3.∴当△ABC 的面积取最大值时△ABC 为等边三角形．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立． ①当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立； ②当a ≠0时，则⎩⎨⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0. ∵0≤a ≤1， ∴①当1－a >a ，即0≤a <12时， a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解；③当1－a <a ，即12<a ≤1时， 1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为(a,1－a )；当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为(1－a ，a )．21．(本小题满分12分)若数列{a n }满足a 2n ＋1－a 2n ＝d ，其中d 为常数，则称数列{a n }为等方差数列．已知等方差数列{a n }满足a n >0，a 1＝1，a 5＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和．【解】 (1)由a 21＝1，a 25＝9，得a 25－a 21＝4d ，∴d ＝2.a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∵a n >0， ∴a n ＝2n －1.数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝(2n －1)12n ，设S n ＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n －1)·12n ，① 12S n ＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n －1)· 12n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －(2n －1)·12n ＋1 ＝12＋2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n －1)·12n ＋1，即S n ＝3－2n ＋32n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和为3－2n ＋32n . 22．(本小题满分12分)如图1所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E 港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)图1【解】轮船从点C 到点B 用时80分钟，从点B 到点E 用时20分钟，而船始终匀速航行，由此可见，BC ＝4EB .设EB ＝x ，则BC ＝4x ，由已知得∠BAE ＝30°，在△AEC 中，由正弦定理得EC sin ∠EAC＝AE sin C ，即sin C ＝AE sin ∠EAC EC＝5sin 150°5x ＝12x ，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC＝AB sin C ，即AB＝BC sin Csin 120°＝4x×12xsin 120°＝43＝433.在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AE2＋AB2－2AE·AB cos 30°＝25＋163－2×5×433×32＝313，所以BE＝313(千米)．故轮船的速度为v＝313÷2060＝93(千米/时)．。

人教A版高中数学必修五综合检测试题 (2).docx

综合检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知x+1是5和7的等差中项,则x的值为( A )(A)5 (B)6 (C)8 (D)9解析:由5+7=2(x+1),解得x=5.故选A.2.(2013高考重庆卷,理3)-(-6≤a≤3)的最大值为( B )(A)9 (B)(C)3 (D)解析:法一由-6≤a≤3,得3-a≥0,a+6≥0,所以-≤=,当且仅当3-a=a+6,即a=-时取等号.故选B.法二y=(3-a)(a+6)=-a2-3a+18=-（a+）2+,当且仅当a=-时y取最大值.所以-的最大值为.故选B.3.已知等比数列{a n}中,=2,a4=8,则a6等于( B )(A)31 (B)32 (C)63 (D)64解析:因为在等比数列{a n}中,=2,a4=8,所以==q=2,所以q2=4,a6=a4q2=8×4=32.故选B.4.数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n≥1),则a6等于( A )(A)3×44(B)3×45(C)44 (D)45解析:因为a n+1=3S n,所以a n=3S n-1(n≥2)两式相减得a n+1=4a n(n≥2),所以数列{a n}从第二项开始是等比数列,又a2=3S1=3,所以a6=a244=3×44.故选A.5.设变量x,y满足约束条件--≤则的最大值为( A )(A)6 (B)3 (C)(D)1解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,A(1,6),≤k OA=6,故选A.6.已知点P(x,y)在不等式组 - ≤- ≤ - ≥表示的平面区域上运动,则z=x-y 的取值范围是( B )(A)[-2,-1] (B)[-1,2] (C)[-2,1] (D)[1,2] 解析:画可行域如图,画直线y=x,平移直线y=x 过点A(0,1)时,z 有最小值-1; 平移直线y=x 过点B(2,0)时,z 有最大值2. 则z=x-y 的取值范围是[-1,2]. 故选B.7.已知△ABC 中,三内角A 、B 、C 成等差数列,边a 、b 、c 依次成等比数列,则△ABC 是( B ) (A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形解析:由A 、B 、C 成等差数列,可得B=60°, 不妨设A=60°-α,C=60°+α(0°≤α<60°), 由a,b,c 成等比数列, 得b 2=ac,由正弦定理得sin2B=sin Asin C,所以=sin(60°-α)sin(60°+α),所以=(sin 60°cos α)2-(cos 60°sin α)2,所以=cos2α-sin2α,(1-cos2α)=-sin2α,sin2α=0,所以α=0°,所以A=B=C,故选B.8.在△ABC中,三边a,b,c成等差数列,B=30°,且△ABC的面积为,则b的值是( D )(A)1+(B)2+(C)3+(D)解析:因为a,b,c成等差数列,所以b=,又acsin B=,所以ac=2,又b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-ac,3b2=4+2,b2=,所以b=.故选D.9.在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列,那么,位于表中的第n行、第(n+1)列的数是( C )第1列第2列第3列…第1行 1 2 3 …第2行 2 4 6 …第3行 3 6 9 ………………(A)n2-n+1 (B)n2-n(C)n2+n (D)n2+n+2解析:因为第n行第一个数为n,第n行的数构成以n为公差的等差数列,所以第n行的第(n+1)项为n+n n=n2+n.故选C.10.设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为( B )(A)8 (B)4 (C)1 (D)解析:因为3a3b=()2=3,所以a+b=1,+=(a+b)（+）=2++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b=时“=”成立.故选B.11.在△ABC中,角A、B、C所对的边为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则角B的范围是( B )(A)0<B≤(B)0<B≤(C)<B≤(D)<B<π解析:因为a,b,c成等差数列,所以b=≥,所以cos B=-=--=-=-1≥-1=,又0<B<π,所以0<B≤,故选B.12.已知a、b为正实数,且+=2,若a+b-c≥0对于满足条件的a,b恒成立,则c的取值范围为( A )(A)（-∞,+](B)(-∞,3](C)(-∞,6] (D)(-∞,3+2]解析:a+b-c≥0恒成立⇔c≤a+b恒成立,因为a+b=(+)(a+b)=(3++)≥(3+2)=+,(当且仅当=且+=2,即时取“=”)所以c≤(a+b)min=+.故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2014高考江苏卷)若△ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C,则cos C的最小值是.解析:由正弦定理可得a+b=2c,又cos C=-=-=-≥-=-,当且仅当a=b时取等号,所以cos C的最小值是-.答案:-14.x,y满足约束条件-≤--≤-若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为. 解析:画出线性可行域如图所示.因为z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,所以当a≥0时,z取得最大值时,目标函数应和直线AB重合,所以a=2.当a<0时,z取得最大值时,目标函数应和直线AC重合,所以a=-1.答案:2或-115.已知数列{a n}是首项为3,公差为1的等差数列,数列{b n}是首项为,公比也为的等比数列,其中n∈N*,那么数列{a n b n}的前n项和S n= .解析:由题意可得a n=n+2,b n=（）n,所以S n=3×+4（）2+…+(n+2)（）n,①①×,得S n=3×()2+4()3+…+(n+2)()n+1,②①-②,可得S n=+()2+()3+…+()n-(n+2)()n+1-=-(n+2)()n+1+=2-,所以S n=4-.答案:4-表示的区域的面积记为f(k),则f(k) 16.不等式组--的最小值为.解析:不等式组表示的区域是一个直角三角形,如图所示.--对于直线方程kx-y-2k+1=0,令x=0,得y=1-2k,令y=0,得x=2-,则区域的面积为f(k)=(2-)(1-2k)=[4+(--4k)]≥[4+2]=4(k<0). (当且仅当-=-4k即k=-时等号成立)答案:4三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知数列{a n}的前n项和为S n=.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和T n.解:(1)当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=---=,a1=1适合上式,所以a n=.(2)因为b n===-=2（-）.所以T n=2（1-+-+…+-）=2（1-）=.18.(本小题满分12分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区(阴影部分)A1B1C1D1和环公园人行道组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图).(1)若设休闲区的长A1B1=x(米),求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计? 解:(1)由A1B1=x米,知B1C1=米,所以S=(x+20)（+8）=4160+8x+(x>0).(2)S=4160+8x+≥4160+2=5760,当且仅当8x=,即x=100时取等号.所以要使所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长为100米,宽为40米. 19.(本小题满分12分)(2014高考湖南卷)如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=.(1)求sin∠CED的值;(2)求BE的长.解:如题图,设∠CED=α.(1)在△CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CD DE cos∠EDC.由题设知,7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0.解得CD=2(CD=-3舍去).=. 在△CDE中,由正弦定理,得∠于是sin α===,即sin∠CED=.(2)由题设知,0<α<,则由(1)知, cos α===.而∠AEB=-α,所以cos∠AEB=cos（-α）=cos cos α+sin sin α=-cos α+sin α=-×+×=.在Rt△EAB中,cos∠AEB==,故BE=∠==4.20.(本小题满分12分)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=-10.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列-的前n项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由已知条件得解得∴数列{a n}的通项公式为a n=2-n(n∈N*).(2)设数列-的前n项和为S n,∵-=-,∴S n=++-+-+…+-,①则S n=++-+…+-+,②①-②得S n=1---=1-（1--）-=,∴S n=-(n∈N*).21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sin xcos x-3sin2x-cos2x+2.(1)求f(x)的最大值;(2)若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=,=2+2cos(A+C),求f(B)的值.解:(1)f(x)=sin 2x-3sin2x-cos2x+2(sin2x+cos2x) =sin 2x+cos2x-sin2x=sin 2x+cos 2x=2sin（2x+）.所以f(x)的最大值是2.(2)由条件得sin(2A+C)=2sin A+2sin Acos(A+C),sin Acos (A+C)+cos Asin(A+C)=2sin A+2sin Acos (A+C)化简得sin C=2sin A,由正弦定理得c=2a.又b=a,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=3a2+4a2-4a2cos A所以cos A=所以A=,B=,C=,所以f(B)=f()=2sin =1.22.(本小题满分12分)已知f(x)=x2-abx+2a2.(1)当b=3时,①若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]时,求实数a的值;②求不等式f(x)<0的解集;(2)若f(2)>0在a∈[1,2]上恒成立,求实数b的取值范围. 解:(1)f(x)=x2-3ax+2a2.①由已知可得1,2是方程x2-3ax+2a2=0的两根,所以解得a=1.②因为x2-3ax+2a2<0,所以(x-a)(x-2a)<0.所以a>0时,此不等式解集为{x|a<x<2a};a=0时,此不等式解集为空集;a<0时,此不等式解集为{x|2a<x<a}.(2)f(2)=4-2ab+2a2>0在a∈[1,2]上恒成立,即b<a+在a∈[1,2]上恒成立.又因为a+≥2=2,当且仅当a=,即a=时上式取等号.所以b<2,即实数b的取值范围是(-∞,2).。

人教版高中数学高二人教A版必修5模块综合评价(二)

模块综合评价(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( )A ．若a ，b ，c 是等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 是等比数列B ．若a ，b ，c 是等比数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 是等差数列C ．若a ，b ，c 是等差数列，则2a ，2b ，2c 是等比数列D ．若a ，b ，c 是等比数列，则2a ，2b ，2c 是等差数列解析：2b 2a ＝2b －a ，2c 2b ＝2c －b ，因为a ，b ，c 成等差数列，所以c －b ＝b －a ，所以2b －a ＝2c －b ，即2b2a ＝2c 2b . 答案：C2．在△ABC 中，A ＝135°，C ＝30°，c ＝20，则边a 的长为( )A ．10 2B ．20 2C ．20 6 D.2063 解析：由正弦定理：a sin A ＝c sin C ，所以a ＝c ·sin A sin C ＝20×2212＝20 2. 答案：B3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：两式相减得，3a 3＝a 4－a 3，a 4＝4a 3，所以q ＝a 4a 3＝4. 答案：B4．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )A ．37B ．36C ．20D ．19解析：由a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9得(m －1)d ＝9a 5＝36d ⇒m ＝37.答案：A5．不等式x (9－x )＞0的解集是( )A ．(0，9)B ．(9，＋∞)C ．(－∞，9)D ．(－∞，0)∪(9，＋∞)解析：由x (9－x )＞0，得x (x －9)＜0，所以0＜x ＜9.答案：A6．若三条线段的长分别为3、5、7，则用这三条线段( )A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形解析：由余弦定理：设最大角为A ，则cos A ＝9＋25－492×3×5＝－12＜0，所以A 为钝角．答案：C7．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45＜0成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，152 B ．[2，8]C ．[2，8)D ．[2，7] 解析：由4[x ]2－36[x ]＋45＜0，得32＜[x ]＜157，又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以2≤x ＜8.答案：C8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n ＞1)，则a 5的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．－2 D ．3解析：因为a 1＝1，a 2＝12－1＝0，a 3＝02－1＝－1，a 4＝(－1)2－1＝0，a 5＝02－1＝－1.答案：B9．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40，x ＋2y ≤50，x ≥0，y ≥0.则z ＝3x ＋2y 的最大值是( ) A ．90 B ．80 C ．70 D ．40解析：作出可行域如图所示．由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2，－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10，20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.答案：C10．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k的取值范围为()A．[2，8] B．(2，8) C．(4，8) D．(1，7)解析：设产销售为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的税金为70x·k%万元，其中x＝100－10k.由题意，得70(100－10k)k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8.答案：A11．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当zxy取得最小值时，x＋2y－z的最大值为()A．0 B.98C．2 D.94解析：因为x2－3xy＋4y2－z＝0，所以z＝x2－3xy＋4y2，又x，y，z为正实数，所以zxy＝xy＋4yx－3≥2 xy·4yx－3＝1(当且仅当x＝2y时取“＝”)，即x＝2y(y＞0)，所以x＋2y－z＝2y＋2y－(x2－3xy＋4y2)＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.所以x＋2y－z的最大值为2.答案：C12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23解析：因为b 2＝ac 且c ＝2a ，由余弦定理：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知0＜x ＜6，则(6－x )·x 的最大值是________．解析：因为0＜x ＜6，所以6－x ＞0，所以(6－x )·x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6－x ＋x 22＝9.答案：914．观察下列等式：12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n 个等式可为12－22＋32＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________．解析：分n 为奇数、偶数两种情况．第n 个等式为12－22＋32－42＋(－1)n ＋1·n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n 2·（3＋2n －1）2＝－n （n ＋1）2. 当n 为奇数时，第n 个等式＝－n （n －1）2＋n 2＝n （n ＋1）2. 综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n ＋1n 2＝（－1）n ＋12n (n ＋1)．答案：（－1）n ＋12n (n ＋1) 15．2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图所示，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析：由题意可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理，得AN sin 45°＝106sin 30°，解得AN ＝203米，在Rt △AMN 中，MN ＝203sin 60°＝30米．故旗杆的高度为30米．答案：3016．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则∠B 的大小为________．解析：由m ∥n ，所以(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，由正弦定理有(a ＋b )(b －a )＝c (3a ＋c )，即a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，再由余弦定理得cos B ＝－32，所以∠B ＝150°. 答案：150°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1 000 m 2的楼房，楼房的总建筑面积(即各层面积之和)每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高5%.已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应把楼层建成几层？解：设该楼建成x 层，则整幢楼每平方米的建筑费用为400＋400(x －5)·5%(元)，又每平方米购地费用为100×1041 000x＝1 000x (元)，故每平方米的平均综合费用y ＝1 000x ＋400＋400(x －5)·5%＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋50x ＋300≥20×2 x ·50x ＋300＝2002＋300，当且仅当x ＝50x，x 2＝50，x ≈7时，y 最小，所以大楼应建成7层综合费用最低．18．(本小题满分12分)一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12 n mile 的海面上有一走私船正以10 n mike/h 的速度沿南偏东75°方向逃窜．缉私艇的速度为14 n mile/h ，若要在最短时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏45°＋α的方向去追，求追上走私船所需的时间和α角的正弦值．解：设A ，C 分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x 小时后在B 处追上(如图所示)．则有AB ＝14x ，BC ＝10x ，∠ACB ＝120°，(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°，所以x ＝2，AB ＝28，BC ＝20，sin α＝20sin 120°28＝5314. 所以所需时间为2小时，α角的正弦值为5314. 19．(本小题满分12分)设a 1＝2，a 2＝4，数列{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n ，b n ＋1＝2b n ＋2.(1)求证：数列{b n ＋2}是等比数列(要指出首项与公比)；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由b n ＋1＝2b n ＋2，得b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)，所以b n ＋1＋2b n ＋2＝2. 又因为b 1＋2＝a 2－a 1＋2＝4，所以数列{b n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．(2)解：由(1)知b n ＋2＝4·2n －1，则b n ＝2n ＋1－2，所以a n －a n －1＝2n －2，a n －1－a n －2＝2n －1－2，…，a 3－a 2＝23－2，a 2－a 1＝22－2，叠加得a n －2＝(22＋23＋…＋2n )－2(n －1)，所以a n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－2n ＋2＝2（2n －1）2－1－2n ＋2＝2n ＋1－2n . 20．(本小题满分12分)设f (x )＝16x x 2＋8(x ＞0)． (1)求f (x )的最大值；(2)证明：对任意实数a ，b ，恒有f (a )＜b 2－3b ＋214. (1)解：因为x ＞0，所以f (x )＝16x x 2＋8＝16x ＋8x ≤162 x ·8x ＝1642＝22，当且仅当x ＝8x，即x ＝22时，等号成立．所以当x ＝22时，f (x )max ＝2 2.(2)证明：令g (b )＝b 2－3b ＋214，b ∈R ，则g (b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＋3，所以当b ＝32时，g (b )min ＝3，因为f (x )max ＝22，所以f (x )max ＜g (b )min ，故对任意实数a ，b ，恒有f (a )＜b 2－3b ＋214. 21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3(a ≠0)，(1)若不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)，求a ，b 的值；(2)若f (1)＝2，a ＞0，b ＞0，求1a ＋4b的最小值．解：(1)因为不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)，所以－1和3是方程f (x )＝0的两实根，从而有：⎩⎨⎧f （－1）＝a －b ＋5＝0，f （3）＝9a ＋3（b －2）＋3＝0，即⎩⎨⎧a －b ＋5＝0，3a ＋b －1＝0，解得：⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4.(2)由f (1)＝2，a ＞0，b ＞0得到a ＋b ＝1，所以1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2 b a ·4a b ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b ，a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝23时“＝”成立；所以1a ＋4b的最小值为9. 22．(本小题满分12分)据市场分析，某蔬菜加工点，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y (万元)可以看成月产量x (吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元．(1)写出月总成本y (万元)关于月产量x (吨)的函数关系．(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润；(3)当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低，最低成本是多少万元？解：(1)y ＝a (x －15)2＋17.5(a ∈R ，a ≠0)，将x ＝10，y ＝20代入上式得，20＝25a ＋17.5，解得a ＝110，所以y ＝110(x －15)2＋17.5(10≤x ≤25)． (2)设利润为Q (x )，则Q (x )＝1.6x －y ＝1．6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 2－3x ＋40＝－110(x －23)2＋12.9(10≤x ≤25)，因为x ＝23∈[10，25]，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．(3)y x ＝110x 2－3x ＋40x ＝110x ＋40x －3≥ 2 x 10·40x－3＝1. 当且仅当x 10＝40x，即x ＝20∈[10，25]时上式“＝”成立．故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元．。

2020学年高中数学综合质量测评(二)(含解析)新人教A版必修5(2021-2022学年)

综合质量测评（二）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分，考试时间１2０分钟.第Ⅰ卷 (选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知a,b ，c 分别是△ＡＢC 中内角Ａ,B,C 的对边,且ａ＝1，b ＝5，ｃ＝2错误!未定义书签。

，则△A ＢC 的面积S=( )A ．错误!未定义书签。

Ｂ.2 C .3 D ．4答案Ｂ解析因为ｃos C ＝错误!未定义书签。

=错误!，所以sin C ＝错误!,所以Ｓ=错误!ａb sin C=２.故选B ．2.若a ＜0，b ＜0,则p ＝b 2a +错误!未定义书签。

与q=a ＋b 的大小关系为( ) Ａ．p<q B .ｐ≤q C .p>q D .ｐ≥q答案 B解析因为p －q ＝错误!+错误!未定义书签。

-a －ｂ=错误!≤0,所以p≤q.故选Ｂ．3．已知a ，b,c 成等比数列，a ，x,b 成等差数列,b,y,c 成等差数列，则错误!未定义书签。

＋错误!未定义书签。

的值等于( ）Ａ．错误!未定义书签。

B .错误! Ｃ．2 D ．1答案 C解析用特殊值法，令a=b ＝c.4．若数列{ａn }满足a 1＝2，a ｎ+1=3a n ＋2,则｛ａｎ}的通项公式为( ）A .a ｎ=2n －1B ．ａn ＝３n －1C .a n ＝2２n －1D ．a ｎ=6n-４答案 B解析 ∵数列｛a n }满足a 1=2，ａn ＋１＝3a n ＋2，∴a 2＝６+2＝８＝32-１,a 3＝2４+2=２６=33-1，ﻬａ４＝７８＋2=80＝34－１，…，a n ＝3n -１，故数列｛ａn }的通项公式为a n =３n-1．故选Ｂ． 5．已知ａ,b ，c 为△AB Ｃ的三个内角A ，B ，C 的对边，向量ｍ=(3，-1）,n =(ｃos A ,sin A ）.若ｍ⊥n ，且a ｃos B +b ｃｏs Ａ＝c sin C ,则角Ａ,B 的大小分别为（ )A ．错误!,错误!未定义书签。