控制理论第五章2

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现代控制理论习题解答(第五章)

第五章状态反馈和状态观测器3-5-1 已知系统结构图如图题3-5-1图所示。

(1)写出系统状态空间表达式；(2)试设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点特征值配置在j 53±-上。

)(t y题3-5-1图【解】：方法一：根据系统结构直接设状态变量如题3-5-1图所示，写状态空间表达式：[]x y u x x 10112101=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 23111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c U rank U系统能控，可以设计状态反馈阵。

设状态反馈阵为][21k k K = 状态反馈控制规律为：Kx r u -= 求希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求加入反馈后的系统特征多项式：)22()3()(1212k s k k s bK A sI s f ++-++=+-=依据极点配置的定义求反馈矩阵：]1316[131634)22(6)3(21112=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+-K k k k k k 方法二：[][][]1316)346(311110)(*10211=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--I A A A f U K c方法三：（若不考虑原受控对象的结构，仅从配置极点位置的角度出发）求系统传递函数写出能控标准型：2321)111()()(2++-=+-+=s s ss s s U s Y []xy u x x 10103210-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 求系统希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求状态反馈矩阵K ~：[][][]33236234~21=--==k k K [][][][]5.05.031111010111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--Ab bP⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=105.05.011A P P P []1316~==P K K依据系统传递函数写出能控标准型ss s s s s s U s Y 2310)2)(1(10)()(23++=++= []x y u x x 0010100320100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=求系统希望特征多项式：464]1)1)[(2()(*232+++=+++=s s s s s s f求状态反馈矩阵：[][][]144342604321=---==k k k K 。

现代控制理论-第5章线性控制系统的可控性和可观测性

V(x)必有一个二次型矩阵与之对应，同理，一个实对
称矩阵必有一个二次型函数。
3.赛尔维斯特准则：二次型函数V(x)正定的充要条件是：二次型矩阵P的主、子行列式的值为正；若二次型矩阵P的主、子行列式的值非负，则V(x)半正定。
例题.证明V(x)为正定函数
V (x) 10x12 4x22 x32 2x1x2 2x2 x3 4x1x3
x1

x1 )

x2 (
g L
sin
x1 )

g L
( sin
x1

x2 )

0
p11 p12 p1n x1
V (x) xT px x1
x2

xn

p12 p22 p2n

x2

pn1
pn2

pnn

xn

2.二次型矩阵： P为二次型矩阵。一个二次型函数

x2 (x1 x2 ) x1x2
解：（1）求xe
(2)设V(x)
(x1 x2 ) x22 0 (x1 x2 ) x1x2 0 x1 x2 0
(3)求 V (x)
V (x) x12 x22

V (x) 2x1 x1 2x2 x2 2(x1 x2 )2
4 p12 1
p12 1/ 4
p11 3 p12 2 p22 0
p11 5 / 4
2 p12 6 p22 1
p22 1/ 4
4 1
P

课件-现代控制理论-刘豹第三版-第5章

能控性与能观性的判别方法
能观性判别方法
能控性判别方法
表示系统是否可以通过输入控制实现任意状态转移。若系统完全能控，则可以通过设计合适的控制器实现任意状态轨迹的跟踪或镇定；若部分能控或不能控，则存在状态无法被有效控制的风险。
能控性的物理意义
表示系统状态是否可以通过输出完全反映出来。若系统完全能观，则可以通过观测输出信号来准确估计系统状态；若部分能观或不能观，则存在状态无法被准确观测的风险，进而影响控制性能的实现。
控制系统稳定性分析是控制理论的核心内容之一，对于确保控制系统的正常运行具有重要意义。
章节内容结构
稳定性概念及定义
介绍稳定性的基本概念和定义，包括Lyapunov稳定性和BIBO稳定性等。
线性系统稳定性判据
详细阐述线性系统稳定性的判据，如Routh-Hurwitz判据、Nyquist判据和Bode图等。
图解法
状态转移矩阵的计算方法
1
2
3
状态转移矩阵反映了系统在时间间隔内从初始状态到最终状态的动态变化过程。
描述系统状态的动态变化过程
若系统稳定，则状态转移矩阵将逐渐趋于零，表示系统状态将逐渐趋于稳定。
反映系统稳定性
状态转移矩阵是进行系统分析和设计的重要工具，可用于研究系统的稳定性、能控性、能观性等性质。
非线性系统稳定性分析
介绍非线性系统稳定性分析方法，如相平面法、Lyapunov直接法等。
熟练掌握线性系统稳定性的判据和分析方法，能够应用所学知识分析和设计线性控制系统。
了解非线性系统稳定性分析方法的基本原理和应用范围，能够运用所学知识分析和设计简单的非线性控制系统。
掌握稳定性的基本概念和定义，理解不同稳定性定义之间的联系与区别。

现代控制理论(17-21讲：第5章知识点)

V (x) C
0
试分析系统的稳定性。
解：（1）由 x(t ) 0 , 求得 xe = 0 是系统唯一平衡状态；

（2）选择Lyapunov函数为 1
2 2
二次型函数，是正定的； d 2 2 2 （3） V (x) ( x1 x2 ) 2 x1 x1 2 x2 x 2 2 x2 dt 故V(x)的导数是半负定的；（4）由：
(1) V(x)是正定的； (2) V ( x )是负定的；
则在状态空间坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。此时，如果随着||x||→∞，V(x) →∞，那么在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
2 2 例1：设系统的状态方程为: x1 x2 ax1 ( x1 x2 ) 其中：a为非零正常数。试 2 x2 x1 ax2 ( x12 x2 ) 分析系统的稳定性。

(2) V ( x ) 是半负定的； (3) 对于任意初始时刻t0时的任意状态x0≠0, 在t≥t0时，除了在 x=0时,有 V ( x) 0 外，V ( x )不恒等于零，则系统在平衡状态是渐近稳定的。如果随着||x||→∞，V(x) →∞，那么在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。在应用定理二时，注意以下两种情况：（1）极限环的情况。稳定，但不是渐近稳定；
(1) V(x)在原点的某一邻域内是正定的； (2) V ( x ) 在同样的邻域内也是正定的；

那么系统在原点处的平衡状态是不稳定的。（注意：此地 V(x)的导数也可半正定，但有V(x)的导数不恒为零。）
例3：设时变系统的状态方程为: x1 x1 sin 2 t x2et x 2 x1et x2 cos 2 t 分析系统的稳定性。解：（1）显然 xe = 0 是系统平衡状态; （2）选择V(x)为：

自动控制理论第五章习题汇总

自动控制理论第五章习题汇总填空题1、系统的频率响应与正弦输入信号之间的关系称为频率响应2、在正弦输入信号的作用下，系统输入的稳态分量称为频率响应简答题：5-2、什么是最小相位系统及非最小相位系统？最小相位系统的主要特点是什么？答在s平面上，开环零、极点均为负实部的系统称为最小相位系统；反之，开环零点或极点中具有正实部的系统称为非最小相位系统。

最小相位系统的主要特点是：相位滞后最小，并且幅频特性与相频特性有惟一的确定关系。

如果知道最小相位系统的幅频特性，可惟一地确定系统的开环传递函数。

5-3、什么是系统的频率响应？什么是幅频特性？什么是相频特性？什么是频率特性？答对于稳定的线性系统，当输入信号为正弦信号时，系统的稳态输出仍为同频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了改变，如图5-3所示，称这种过程为系统的频率响应。

图5-3称为系统的幅频特性，它是频率的函数；称为系统的相频特性，它是频率的函数：称为系统的频率特性。

稳定系统的频率特性可通过实验的方法确定。

计算题5-1、设某控制系统的开环传递函数为)()(s H s G =)10016()12.0(752+++s s s s 试绘制该系统的Bode 图，并确定剪切频率c ω的值。

解：Bode 图如下所示剪切频率为s rad c /75.0=ω。

5-2、某系统的结构图和Nyquist 图如图(a)和(b)所示，图中2)1(1)(+=s s s G 23)1()(+=s s s H 试判断闭环系统稳定性，并决定闭环特征方程正实部根的个数。

解：由系统方框图求得内环传递函数为：ss s s s s s H s G s G +++++=+23452474)1()()(1)( 内环的特征方程：04742345=++++s s s s s由Routh 稳定判据：1:0310:16:44:171:01234s s s s s由此可知，本系统开环传函在S 平面的右半部无开环极点，即P=0。

《现代控制理论基础》第2版现代控制理论基础_上海交通大学_施颂椒等_PPT_第5章

① 定义有理函数 g(s) 当s 时，
② g(假)设
常n数(s〔) d(s) g(s)〕，就称为正那么有理函数。
③ g假( 设)那么有理函数。
④
假g(设) 〔 n(s)d(s)
g(〕s) ，就是非正那么有理函数。
有理函数阵 G (s) 假设G() 0 ，那G (s么) 是严格正那么有理函数阵〔其每个元均为
G (s) C (sI A )1BD
那么(称A,B,C,D) 是G (s) 的一个实现。
•实现研究的问题
⑴ G (s)可实现为 (A,B,C,D) 的条件问题 ⑵ G (s) 实现的方法
〔5－1〕
•最小实现
如果 (A,B,C,D)是G (s) 的一个实现，那么其所有等价系统也都是其实现。 G (s) 可有不同维数的实现，其中维数最小的实现称为最小实现。它描述了系统的既能控又能观的局部。通常要求的实现为最小实现。
s 1 s4 s(s1) (s1)s(3) (s1)s(3)
s
1
3
s(s 1 )s( 2 ) (s 1 )s( 2 )s( 3 ) s(s 1 )s( 2 )s( 3 )
G (s) 的特征多项式为：s(s1)s(2)s(3)，deG g(s)4。
⑵ G (s) 可实现为 (A,B,C,D) 的条件
③ 非正那么传递函数〔G() 〕，也存在实现，其实现具有
④ 如下形式
Ex(t)A(xt)Bu(t) y(t)Cx(t)Du(t)
〔5－9〕
式中 E为奇异阵。这种形式的系统称为广义系统，或奇异系统。(本书不予讨论，在专门文献中研究)
5.2.2 最小实现的性质
如果将例〔5－5〕的传递函数阵写成
G ( s ) G 1 ( s )G 2 ( s )

现代控制理论第五章

定理 5.3.2 设 x(k 1) Gx(k )
x Rn , G Rnn , G1
则系统在原点为渐近稳定的充分必要条件是方程
GT PG P Q,
Q 0
存在唯一正定对称解 P 0 如果 V x(k ) V x(k 1) V x(k ) xT Qx 沿任一解的序列不恒等于零，则 Q 可取半正定的。
定理5.2.4 如果 V ( x, t ) 0 V ( x, t ) 0则原点不稳定
例5.2.2
已知系统
x1 x2 x1 ( x12 x2 2 ) x2 x1 x2 ( x12 x2 2 )

试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。
解: 显然，原点 xe 0 是唯一平衡点，取 V ( x) x12 x22 0 ，则
5.2.3 几点说明
1）对于一给定系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。 2）对于非线性系统能给出在大范围内稳定性的信息。 3）关于稳定性的条件是充分的，而不是必要的。 4）若不能找到合适的李雅普诺夫函数就不能得出该
系统稳定性方面的任何结论。
5）李雅普诺夫函数只能判断其定义域内平衡状态的稳定性。 6）如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的，那么具有
定义5.1.8 不稳定: 对于某个实数
内始终存在状态
和
，在超球域
，使得从该状态开始的
受扰运动要突破超球域定义5.1.9 正定函数：
1）
时，则称
存在 2）
3）当
是正定的（正半定的）。
如果条件3）中不等式的符号反向，则称是负定的（负半定的）。
例5.1.1
1）
2）
正定的
半正定的
3）

现代控制理论第五章

y = cx
由希望特征值确定希望特征多项式：由希望特征值确定希望特征多项式：
* f * ( s ) = ( s − λ1 )( s − λ2 ) ⋯ ( s − λn ) = s n + a *−1 s n −1 + ⋯ + a1 s + a * n 0
设状态反馈系数矩阵 k = [k1
k2 ⋯ kn ]
5．应用举例
P204 例5-2 。
2 1 1 ɺ x= x + 2 u; − 1 1
y = [1 0]x
1 4 解：确定受控对象的能控性： U c = [b Ab ] = 确定受控对象的能控性： , rankU c = 2 2 1
。
方法之一：方法之一：
ɺ x = ( A − BK ) x + Br y = Cx
ɺ x = ( A − BK ) x + Br y = (C − DK ) x + Dr
传递函数矩阵（D=0）： G yr ( s ) = C [sI − ( A − BK )]−1 B 递函数矩阵（）可选择参数为
K r ×n
（3）系统性能与系统结构的关系
f ( A) = a0 I + a1 A + ⋯ + an −1 An −1 + An = 0
得：
* f * ( A) = An + a *−1 An −1 + ⋯ + a1 A + a * I n 0
k = [k1
k 2 ⋯ k n ] = k Pc = [a *0 − a0
−1
a *1 −a1 ⋯ a *n −1 − an −1 ]Pc

最优控制理论_第五章

而最优状态x*(t)则是下列线性微分方程的解：
(t ) [ A(t ) B(t ) R 1 (t ) BT (t ) K (t )]x(t ) x x(t0 ) x0
几点说明：
1) 最优控制规律是一个状态线性反馈规律，它能方便地实现闭环最优控制； 2) 由于K(t)是非线性微分方程的解，通常情况下难以求得解析解，需要由计算机求出其数值解，又因为其边界条件在终端处，所以需要逆时间方向求解，因此应在过程开始之前就将K(t)解出，存入计算机以供过程使用； 3) 只要控制时间[t0,tf]是有限的，是有限的 K(t)就是时变的（即使状态方程和性能指标J是定常的），因而最优反馈系统将成为线性时变系统； 4) ) 将最优控制u*(t)及最优状态轨线x*(t)代入性能指标函数，得性能指标得最小值为：
2:无限时间状态调节器
设线性定常系统状态方程为
(t ) Ax (t ) Bu (t ), x
x (t 0 ) x 0
[A,B]能控，u(t)不受约束，二次型性能指标为
J
1 T T [ x ( t ) Qx ( t ) u (t ) Ru (t )]dt t 2 0
Q 0, Q Q T , R 0, R R T
其中Q，R为常数矩阵
要求确定最优控制u*(t)，使J为最小。与有限时间状态调节器相比，有如下几点不同： 1)系统是时不变的，性能指标中的权矩阵为常值矩阵。 2）终端时刻 t f
当[t0，tf ]为有限时间时，最优控制系统是时变的；
u * (t ) R 1 (t ) B T (t ) K (t ) x(t )
其中对称矩阵K(t)是下列黎卡提方程的唯一解
(t ) K (t ) A(t ) AT (t ) K (t ) K (t ) B (t ) R 1 (t ) B T (t ) K (t ) Q (t ) K K (t f ) P

现代控制理论课后答案(俞立)第五章

《现代控制理论》第5章习题解答5.1 已知系统的状态空间模型为Cx y Bu Ax x =+=, ，画出加入状态反馈后的系统结构图，写出其状态空间表达式。

答：具有状态反馈的闭环系统状态空间模型为：u Kx =−+v ()xA BK x Bv y Cx=−+=相应的闭环系统结构图为闭环系统结构图5.2画出状态反馈和输出反馈的结构图，并写出状态反馈和输出反馈的闭环系统状态空间模型。

答：具有状态反馈的闭环系统状态空间模型为u Kx =−+v ()xA BK x Bv y Cx=−+=相应的反馈控制系统结构图为具有输出反馈的闭环系统状态空间模型为u Fy =−+v ()x A BFC x Bv y Cx=−+=相应的反馈控制系统结构图为后案网 ww w.kh d5.3 状态反馈对系统的能控性和能观性有什么影响？输出反馈对系统能控性和能观性的影响如何？答：状态反馈不改变系统的能控性，但不一定能保持系统的能观性。

输出反馈不改变系统的能控性和能观性。

5.4 通过检验能控性矩阵是否满秩的方法证明定理5.1.1。

答：加入状态反馈后得到闭环系统K S ，其状态空间模型为()x A BK x Bv y Cx=−+=开环系统的能控性矩阵为0S 1[,][]n c A B BAB A B −Γ="闭环系统K S 的能控性矩阵为 1[(),][()()]n cK A BK B B A BK B A BK B −Γ−=−−"由于222()()()()(A BK B AB BKBA BKB A ABK BKA BKBK B)A B AB KB B KAB KBKB −=−−=−−+=−−−#以此类推，总可以写成的线性组合。

因此，存在一个适当非奇异的矩阵U ，使得()m A BK B −1,,,m m A B A B AB B −[(),][,]cK c A BK B A B U Γ−=Γ由此可得：若rank([,])c A B n Γ=，即有个线性无关的列向量，则n [(),]cK A BK B Γ−也有个线性无关的列向量，故n rank([(),])cK A BK B n Γ−=5.5 状态反馈和输出反馈各有什么优缺点。

自动控制理论第五章习题

第五章习题E5.2 The engine,body,and tires of a racing vehicle affect the acceleration and speed attainable.The speed control of the car is represented by the model shown in FigureE5.2.(a)Calculate the steady-state error of the car to a step command in speed.(b)Calculate overshoot of the speed to a step command.E5.3 For years,Amtrak has struggled to attract passengers on its routes in the Midwest,using technology developed decades ago.During the same time,foreign railroads were developing new passenger rail systems that could profitably compete with air travel.Two of these systems,the French TGV and the Japanese Shinkansen,reach speed of 160 mph.The Transrapid-06,a U.S. Experimental magnetic levitation train,is shown in Figure E5.3(a).The use of magnetic levitation and electromagnetic propusion to provide contactless vehicle movement makes the Transrapid-06 technolog radically different from the existing Metroliner.The underside of the TR-06 carriage(where the wheel trucks would be on a conventional car)wraps around a guideway.Magnets on the bottom of the guideway attract electromagnets on the "wraparound,"pulling it up toward the guideway.This suspends the vehicles about one centimeter above the guideway.The levitation control is represented by Figure E5.3(b).(a)usingTable 5.6 for a step input,select K so that the system provide anoptimum ITAE response.(b)Using Figure5.3 determine the expected overshoot to a step input of I(s).E5.5 A low-inertia plotter is shown in Figure E5.5(a).This system may be represented by block diagram shown in Figure E5.5(b).(a)Calculate the steady error for a ramp input.(b)Select a value of K that will result in zero overshoot to a step input.Provide the most rapid response that is attainable.Plot the poles and zeros of the system and discuss the dominance of the complex poles.What overshoot for a step input do you expect?E5.6 Effective control of insulin injection can result in better lives for diabetic persons.Automatically controlled insulin jection by means of a pump and a sensor that measures blood sugar can be very effective.A pump and injection system has a feedback control as shown in Figure E5.6.Calculate the suitable gain K,so that the overshoot of the step response due to the drug injection is approximately 7%.R(s) is the desired blood-sugar level and Y(s),is the actual blood-sugar level.Figure E5.6E5.8 A unity negative feedback control system has the plant transfer function(a)Determine the percent overshoot and setting time (using a 2% setting criterion) due to a unit step input.(b)For what range of K is the setting time less than 1 second?E5.10 A system with unity feedback is shown in Figure E5.10.Determine the steady-state error for a step and ramp input whenE5.11 We are all familiar with the Ferris wheel featured at state fairs and carnivals,George Ferris was born in Galesbueg,Illinois,in 1859;he later moved to Nevada and then graduated from Rensselaer Polytechnic Institute in 1881. By 1891,Ferris had considerable experience with iron,steel,and bridge construction.He conceived and constructed his famous wheel for the 1893 Columbian Exposition in Chicago. To avoid upsetting passegers,set a requirement that the steady-state speed must be controlled to within 5% of the desired speed for thesystem shown in Figure E5.11.(a)Determine the required gain K to achieve the steady-state requirement.(b)For the gain of the part(a),determine and plot the error e(t) for a distrbance D(s)=1/s.Does the speed change more than 5%?(set R(s)=0 for ease of computation.)E5.13 A feedback system is shown in Figure E5.13.(a)Determine the steady-state error for a unit step when K=0.4 and G p(s)=1.(b)Select an appropriate value for G p(s) so that the steady-state error is equal to zero for the unit step input.E5.16 A closed-loop control system transfer function T(s) has two dominant complex conjugate poles.Sketch the region in the left-hand s-plane where the complex poles should be located to meet the given specifications.E5.17 A system is shown in Figure E5.17(a).The response to a unit step,when K=1,is shown in Figure E5.17(b).Determine the value of K so that the steady-state error is equal to zero.P5.1 A important problem for television systems is the jumping or wobbling of the picture due to the movement of thecamera.This effect occurs when the camera is mounted in a moving truck or airplane. The Dynalens system has been designed to reduce the effect of rapid scanning motion;see Figure P5.1. A maximum scanning motion of 25% is expected.Let K g=K f=1 and assume that τg is negligible.(a)Determine the error of the system E(s).(b)Determine the necessary loop gain,K a K m Kt,when a 10/s steady-state error is allowable.(c)The motor time constant is 0.40s.Determine the necessary loop gain so that the setting time(to within 2% of the final value of v b) is less than or equal to 0.03s.P5.2 A specific closed-loop control system is to be designedfor an underramped response to a step input.The specification for the system are as follows:10%<percent overshoot<20%, Setting time<0.6s.(a)Identify the desired area for the dominant roots of the sytem(b)Determine the smallest value of a third root,r3 ,if the complex conjugate roots are to represent the dominant response.(c)The closed-loop system transfer function T(s) is third-order,and the feedback has a unity gain, Determine the forword transfer function,G(s)=Y(s)/E(s).when the setting time to within 2% of the final value is 0.6s and the percent overshoot is 20%.P5.5 A space telescope is to be launched to carry out astronamical experiments.The pointing control system is desried to achieve 0.01 minute of arc and track solar objects with apparent motion up to 0.21 minute per second. Tne system is illustrated in Figure P5.5(a).The control system is shown in Figure P5.5(b). Assume that τ1 =1second and τ2 =0(an approximation).(a)Determine the gain K=K1K2 required so that the response to a step command is as rapid as reasonable with an overshoot of less than 5%(b)Determine the steady-state error of the system for a step and ramp input(c)Determine the value of K1K2 for ITAE optimal system for (1) a step input and (2)a ramp input.P5.6 A robot is programmed to have a tool or welding torch follow a prescribed path. Consider a robot tool that is to follow a sawtooth path.as shown in Figure P5.6(a).The transferfunction of the plant isThe transfer function of the plant is for the closed-loop system shown in Figure P5.6(b).Calculate the steady-state error.P5.7 Astronaut Bruce McCandless II took the first unthethered walk in space on February 7,1984,using the gas-jet propulsion device illustrated in Figure P5.7(a).The controller can be represented by a gain K2 , shown in Figure P5.7(b).The inertia of the equipment and man with his arms at his sides is 25 Kg-m2.FIGURE P5.7 (a)Astronaut Bruce McCandless II is shown a few meters away from the earth-orbiting space shuttle, Challenger. He used a nitrogenpropelled handcontrolled device called the manned maneuvering unit.(Courtesy of National Aeronautic and space Administration) (b)Block diagram of controller(a)Determine the necessary gain K3to maintain a steady-state error equal to 1 cm when the input is a ramp r(t)=t(meters). (b)With this gain K3,determine the necessary gain K1K2 in order to restrict the percent overshoot to 10%.(c)Determine annalytically the gain K1K2 in order to minimize the ISE performance index for a step input.P5.16 Electronic pacemakers for human hearts regulate the speed of the heart pump.A proposed closed-loop system that includes a pacemaker and measurement of the heart rate is shown in Figure P5.16.The transfer function of the heart pump and the pacemake is found to be:Design the amplifier gain to yield a system with a setting time to a step disturbance of less than 1 second.The overshoot to a step in desired heart rate should be less than 10%.FIGURE P5.16 Heart pacemaker(a)Find a suitable range of K(b)If the nominal value of K is K=10,find the sensitivity of the system to a small change in K.(c)Evaluate the sensitivity of part(b) at DC(set s=0).(d)Evaluate the magnitude of the sensitivity at normal heart rate of 60 beats/minute.P5.19 A system is shown in Figure P5.19.(a)Determine the steady-state error for a unit step input in terms of K and K1,where E(s)=R(s)-Y(S).(b)Select K1 so that the steady-state error is zero.AP5.1 A closed-loop transfer function is(a)Determine the steady-state error for a unit step input R(s)=1/s(b)Assume that the complex poles dominate,and determine the overshoot and setting time to within 2% of the final value(c)Plot the actual system response,and compare it with the estimate of part(b).AP5.3 A closed-loop system is shown in Figure AP5.3.Plot the response to a unit step input for system with τp=0, 0.5, 2,and 5. Record the percent overshoot,rise time,and settling time(with a 2% criterion) as τp varies.Describe the effect of varying τp .Compare the location of the closed-loop roots.AP5.4 The speed control of a high-speed train is represented by the system shown in Figure AP5.4.Determine the equation for steady-state error for K for a unit step input r(t).Consider the three values for equal to 1, 10, 100.(a)Determine the steady-state error.(b)Determine and plot the response y(t) for (i) a unit step input r(t) and (ii) a unit step disturbance input d(t).(c)Creat a table showing overshoot,setting time (with a 2% criertion),e ss for r(t),and |y/d|max for the three values of K.Select the best comprise value.AP5.6 The block diagram model of an armature-current-controlled DC motor is shown in FigureAP5.6.(a)Determine the steady-state error for a step input r(t)=t,t>=0, in terms of K,K b,and K m .(b)Let K m=10 and K b=0.05,and select K so that steady-state error is equal to 1.(c)Plot the response to a unit step and a unit ramp input for 20 seconds,Are the responses acceptable?。

自动控制理论第五章

kg K 2K s (0.5s 1) s ( s 2) s ( s 2)
k g 2K
开环有两个极点： p1= 0， p2=－2 开环没有零点。闭环特征方程为： D(s) = s2 +2s + kg = 0 s 解得闭环特征根（亦即闭环极点） s1 1 1 k g ；2 1 1 k g 可见，当kg 变化，两个闭环极点也随之连续变化。当kg 从0→∞变化时，直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹
（1）当 kg = 0时，s1 = 0、s2 = －2，此时闭环极点就是开环极点。（2）当0＜kg＜1时，s1、s2均为负实数，且位于负实轴的（－2，0）一段上。（3）当kg = 1时，s1 = s2 = －1，两个负实数闭环极点重合在一起。（4）当1＜kg＜∞时，s1，2 =－1± j k g 1 ，两个闭环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2的实部不随kg 变化，其位于过（－1，0）点且平行于虚袖的直线上。（5）当kg＝∞时， s1 = －1+ j∞、s2 = －1－j∞，此时s1、s2将趋于无限远处。
例：求上例中根轨迹上
s2 (0.5, j1)
点对应的kg 。
k 解：g s2 p1 s2 p2 0.5 j 0 0.5 j 1 1.118 1.118 1.25 s2 p1 、 s2 p2 也可以用直尺测量向量的长度。
5．2 绘制根轨迹的基本规则
不符合相角条件， s1不在根轨迹上。
满足相角条件， s2在根轨迹上。
2. 用幅植条件确定kg的值幅值条件：
n
kg
s p
j 1 m i 1
j
s zi

现代控制理论第五章

148第五章线性定常系统的综合控制系统的综合任务是设计控制器，寻求改善系统性能的各种控制规律，，以保证系统的各项性能指标都得到满足。

§5－1线性反馈控制系统的基本结构及其特性控制系统是由受控对象和反馈控制器两部分构成闭环系统。

现代控制理论采用状态反馈，状态反馈能提供更丰富的状态信息和可供选择的自由度，因而使用系统容易获得更为优异的性能。

一、状态反馈状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入。

如图所示，其表达式：Du CX y Bu AX X+=+= （5-1）149多输入多输出系统式中：nR X ∈，TR u ∈，mRy ∈，n n A ⨯，r n B ⨯，n m C ⨯，r m D ⨯若0=D ，则受控系统X AX Buy C X ∙⎧⎪=+⎨=⎪⎩简记为：）＝（C B A ,,0∑状态反馈控制规律：u kX v =+ （5-3）其中：v －1⨯r 维参考输入；k－n r ⨯维状态反馈系数或状态反馈增益阵。

把式（5－3）代入式（5－1）得到状态反馈闭环系统表达式()()()()X AX Bu AX B kX v AX BkX Bv A Bk X Bv y C X D u C X D kX v C X D kX D v C D k X D v∙=+=++=++=++=+=++=++=++ 若=D ，()X A Bk X Bv y CX ∙⎧⎪=++⎨=⎪⎩简记为：])[(C B Bk A k ，，+=∑闭环系统的传递函数矩阵BBk A sI C s W k 1)]([)(-+-=状态反馈阵k 的引入，并不增加系统的维数，通过k 的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而改变系统获得所要求的性能。

二、输出反馈150输出反馈是采用输出矢量y 构成线性反馈律，如图所示，受控系统）＝（D C B A ,,,0∑为：X AX Bu y C X D u∙=+=+ （5-7）=D 时为X AX Bu y C X∙=+=输出线性反馈控制律为： v Hy u += （5-9）式中：H —m r ⨯维输出反馈增益阵，对单输出系统H 为1⨯r 维列矢量。

现代控制理论-第五章_控制系统的李雅普诺夫稳定性分析-566

26
5.2 李雅普诺夫稳定性理论 5.2.1 李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
x Ax x(0) x0 t 0
1）线性定常系统渐近稳定的充要条件：
Re(i ) 0 i 1,2,n
即系统矩阵A的全部特征值都具有负实部。
定的初始条件扩大为整个状态空间，则称此时
系统的平衡状态 xe 0 为大范围渐近稳定的。
20
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
即：对 x0 s( )
都有
lim
t
x(t; x0, t0 ) xe
0
初始条件扩展到整个空间，且具渐近稳定性。
s( ) , x xe大范围稳定
• 当与 t0无关一致大范围渐近稳定。
些状态对应于系统的常值解（对所有t，总存在
x xe ）
如： x1 x1
x2 x1 x2 x23
x1 0
x2 0
三个平衡状态
0
xe1
0
0 xe3 1
0 xe2 1
9
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
3）线性系统在平衡点稳定，则系统稳定；而非线性系统在平衡点稳定，则只是在该点稳定，而不是整个系统稳定----可见，稳定性问题是相对于平衡状态而言的。
x(t; x0,t0 ) ，在 t 都满足：
x(t; x0,t0) xe , t t0
15
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
则称平衡状态 xe是李雅普诺夫意义下稳定，
常简称为稳定。
注意：通常实数 δ 与ε有关，一般情况下也与t0 有关
若 δ 与t0 无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。

现代控制理论（第五章）

+ −
u = −Hy = −HCx
x+= y=
+Ax Cx
+
Bu
−
Hy
=
(
A
-
HC
)
x
+ Bu
反馈至参考输入
常用输出反 4 馈
反馈控制的性质
对于任意的 F，一定有 K = FC ，但反之不成立
x = A x + B u y = Cx
状态反馈
x = Ax + B(r - Kx) = ( A - BK )x + Br y = Cx x = Ax + B(r - Fy) = ( A - BFC)x + Br y = Cx
7
例：考虑系统在状态反馈u=-[1 0]x下的闭环系统能控能观性
能控
不能观
8
【例】系统
S ： X
=
⎡1 ⎢⎣3
2⎤ 1 ⎥⎦ X
+
⎡0⎤ ⎢⎣1 ⎥⎦U ,
y
= [1
2 ]X
此时系统可控可观。
若加上状态反馈 U = V − [3 1] X
则 S· : X
=
⎡1 ⎢⎣ 0
2⎤ 0 ⎥⎦
பைடு நூலகம்−BFC −BFC
10
定理5.3 输出至状态微分反馈，不改变系统能观性，但可能改变系统的能控性
如何记忆
状态反馈：不改变可控性
x = Ax + B(r - Kx) = ( A - BK )x + Br
输出至状态微分反馈：不改变可观性
x = Ax + Bu − Hy = ( A - HC)x + Bu

自动控制原理第五章-2

Determine the stability of the system for two cases (1)K is small(2) K is large
G ( j ) H ( j )
K (1 jT1 )(1 jT2 )( j ) (1 T12 2 )(1 T22 2 ) K ((T1 T2 ) j (1 T 1T2 2 ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
0 ~ 90
K ( j 3) G ( j ) H ( j ) j ( j 1) K [4 j (3 2 )] (1 2 )
Im[G( j ) H ( j )] 0
c 3
G ( j ) H ( j )
K ( j 3) j ( j 1)
越(－∞，－1)区间一次。开环频率特性曲线逆时针穿越(－∞，－1)区间时，随ω增加，频率特性的相角值增大，称为一次正穿越N’+。反之，开环频率特性曲线顺时针穿越(－∞，－1)区间时，随ω增加，频率特性的相角值减小，则称为一次负穿越N’－。频率特性曲线包围(－1，j0)点的情况，就可以利用频率特性曲线在负实轴(－∞，－1)区间的正、负穿越来表达。
除劳斯判据外，分析系统稳定性的另一种常用判据为奈奎斯特（Nyquist）判据。Nyquist稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。奈氏判据的主要特点有
1.根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必求闭环特征根；
2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）。 3.可分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计； 4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。
N(s)=0 的根为开环传递函数的极点。

现代控制理论第五章答案

M bA b 1 0 1 1 Ra (M n )k 2
满秩，状态反馈可实现极点的任意配置。
（3）若指定极点为-3，-3，求状态反馈矩阵。
设状态反馈矩阵为
Kk1 k2
加入状态反馈矩阵后的系统矩阵为
A b k 0 2 1 1 1 0 k 1 k2 k 1 2 1 1 k2
比较 f () 和 f * ( ) 求出反馈矩阵
2 k3 7
5
k2
16
6
k1
12
所求的状态反馈矩阵为
k3 5
k
2
21
k 1 18
K k 1k 2k 3 1 2 8 5 1
闭环系统的模拟结构图如下：
反馈矩阵K
输出矩阵C
【习题5－5】试判断下列系统通过状态反馈能否镇定
0
0
0
5
1
0 0 0 0 5
4 5 b0 7 0
【解】系统通过状态反馈能否镇定的充要条件是：不能控子系统是渐近稳定的。
该状态空间表达式是约旦标准型，利用约旦标准型能控性判据可知下列状态是不能控的：
第五章主要内容：
§5—1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性主要知识点:
1、状态反馈、输出反馈的基本概念； 2、三种反馈控制系统的基本结构和特点； 3、闭环系统的能控性和能观性。
§ 5—2 极点配置问题
主要知识点: 1、极点配置的基本概念； 2、极点任意配置的条件； 3、极点配置的设计方法。
§5—3 系统镇定问题主要知识点:
a1 a2 1 990 1001011 11 1
10 0 0 0 10 0
0 10 10
1 0 0
Tc11 0
1
0
0 1 1

控制理论第五章2

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