数学物理方程第四章 格林函数法
常微分方程格林函数
常微分方程格林函数
格林函数是数学分析与偏微分方程领域中的重要概念，特别适用于解
常微分方程。常微分方程的格林函数是指满足特定边界条件的函数，可以
用于求解常微分方程的解。
要理解常微分方程的格林函数，首先需要理解什么是常微分方程。常
微分方程是指只涉及一个自变量的导数的方程，形式上可以表示为：F(x,y,y',y'',...,y^n)=0
其中，x是自变量，y是未知函数，n是方程的阶数，F是常微分方程
的一个表达式。常微分方程可以有多个未知函数，分别对应不同的自变量。
格林函数的定义是，在区间[a,b]上，如果函数G(x,ξ)满足以下两
个条件：
1.对于每一个固定的ξ∈[a,b]，函数G(x,ξ)是方程
F(x,y,y',y'',...,y^n)=0在区间[a,b]上的一个解。
2.对于每一个固定的x∈[a,b]，函数G(x,ξ)是方程
F(ξ,y,y',y'',...,y^n)=0在区间[a,b]上的一个解。
那么称函数G(x,ξ)为常微分方程F(x,y,y',y'',...,y^n)=0的格林
函数。格林函数的实际意义是，给定一个边界条件，可以通过格林函数求
解与该边界条件相对应的常微分方程的解。
格林函数有以下几个重要性质：
1.格林函数是唯一的。即对于给定的常微分方程，只有一个满足上述
条件的格林函数。
2.格林函数对x和ξ分别是连续可微的。
3.格林函数满足齐次边界条件，即当x=a或x=b时，G(x,ξ)=0。
对于线性常微分方程，我们可以通过格林函数来求解。线性常微分方程可以写成如下形式：
L[y(x)]=F(x)
常微分方程格林函数
常微分方程格林函数
常微分方程的格林函数是求解一类线性常微分方程的有力工具。常微分方程是描述自然界中许多物理过程的数学模型，例如振动系统、电路和流体力学中的运动方程等。在这些问题中，格林函数是求解边界值问题的一种方法，可以将边界条件转化为内部源项的形式。格林函数方法在物理学、工程学和应用数学中都有广泛的应用。
格林函数的概念最早由乔治·格林在19世纪中叶提出。格林函
数是常微分方程的一个特殊解，其定义为满足以下条件的函数：当微分方程的源项为一个单位脉冲函数时，格林函数的解是该单位脉冲函数所对应的方程的解。格林函数的定义可以用数学形式表示为：
G(x,ξ) = 0, x ≠ ξ
D[x]G(x,ξ)|ξ -> x=ξ = δ(x-ξ)
其中G(x,ξ)是格林函数，x和ξ是变量，δ(x-ξ)是单位脉冲函数。
格林函数的求解方法通常涉及到使用边界条件或初始条件，以及特定的微分方程形式。以下是一些常见的常微分方程的格林函数：
1. 二阶常微分方程：对于形如y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的二阶常微
分方程，可以使用格林函数方法进行求解。格林函数可以表示为一个双曲正弦函数和一个双曲余弦函数的线性组合。
2. 亥姆霍兹方程：亥姆霍兹方程是一个二阶常微分方程，常见于电磁学和声学中。格林函数的求解方法可以通过将亥姆霍兹方程转化为一个特征值问题，然后使用特征值和特征函数来计算格林函数。
3. 泊松方程：泊松方程是一个二阶偏微分方程，常见于电势和引力场的求解中。格林函数方法可以将泊松方程转化为一个积分方程，然后使用格林函数的性质求解。
格林函数的物理意义
格林函数的物理意义
格林函数是数学中一个重要的函数，它在物理学中也被广泛应用。格林函数广泛地用于解决物理学中一系列复杂的问题，并且在电磁学、电磁波、量子物理和激光物理等诸多领域发挥着重要作用。
格林函数是一种表示振动系统动力学行为的数学表达式，它有助于求解动力学方程，从而精确地测量离散振动系统的自由度、耦合系数和动态响应。格林函数的物理意义体现在其在物理学中的应用上，它可以描述振动系统的物理性质以及与其他系统的交互作用，如外界磁场、电磁波等。
格林函数实际上是一种激励系统物理反应的数学表达式，通过它可以更好地理解动态系统之间的相互作用。格林函数可以找出激励输入和系统输出之间的变化趋势，从而推断振动系统的运动特性，如振动频率、阻尼系数等。
格林函数有助于精确描述振动系统的动力学特性，可以为求解多物理量的合作关系提供精确的参数及计算结果。格林函数也可以用于研究离散振动系统的动态特征、静态特征和敏感性特征，从而深入了解振动系统的工作原理。
此外，格林函数还可以为物理学研究在气动学、热学、结构力学、原子物理学和物理建模等方面提供更多的科学发现。在电磁学中，格林函数的本征函数形式可以提供有助于理解电磁波传播和存储的详
细信息。最后，格林函数也被用于量子和激光物理模拟，以精确计算量子和激光物理现象，如量子隧穿和激光干涉等。
综上所述，格林函数在物理学研究中发挥着重要作用。它可以帮助我们更好地理解振动系统的动力学行为，为研究离散振动系统提供参数和实验结果，同时有助于深入探索电磁学、量子物理和激光物理的本质。因此，格林函数的重要性和意义不言而喻。
数学物理方法12格林函数
边值条件
(r )
是区域边界
上给定的函数.
是第一、第二、第三类边界条件的统一描述
典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题
u (r ) f (r ) u [ u ] (r ) n
表示边界面 n
上沿界面外法线方向的偏导数
泊 松 方 程
第一类边界条件：第一边值问题(狄里希利问题) 第二类边界条件：第二边值问题(诺依曼问题) 第三类边界条件：第三边值问题
(r r0 ) 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为
(r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
格林函数的物理意义：
在区域T内部 r0 处放置一个点源，而在该区域T的界 面上为零的条件下, 那么该点点源在区域T内r处产生 的场，由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函 数为点源函数．
(14.3.6)
故有
使上式恒成立，有
G 4r 1 r 1 G c 4r
2
G 2 r sin dd 1 r s
r ， G 0
因此
c0
,故得到
1 G 4r
对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为 1 G(r , r0 ) 为电量为- 0的点电荷所产生的场 4 r r0 代入 （14.3.1）得到三维无界区域问题的解为
拉普拉斯方程的格林函数法
这 样 的 问 题 称 为 Laplace方 程 外 问 题 。
整理课件
4
注 ： 对 于 外 问 题 来 说 ， 求 解 通 常 都 是 在 无 界 区 域 上 ，
这 时 需 不 需 要 对 解 加 些 限 制 条 件 呢 ？ 看 下 面 一 例 子 。
u0,r1,
u 1 r1
其 中 rx2y2z2
n
整理课件
12
所以u(M0)41(un1r1r un)dS
1
4
u(M)nrM1M0
rM1M0
undS
注 ： 1 ） 上 式 表 明 对 于 具 有 一 阶 连 续 偏 导 的 调 和 函 数 u 而 言 ， 它 在 内
任 意 一 点 的 值 可 通 过 积 分 表 达 式 用 这 个 函 数 及 其 法 向 导 数 在 边 界 上
连 续 且 满 足 边 界 条 件 .
整理课件
6
§2 格林公式
高 斯 定 理 : 设 是 以 光 滑 或 者 分 片 光 滑 闭 曲 面 为 边 界 的 有 界 区 域 ,P (x,y,z),Q (x,y,z),R (x,y,z)在 上 连 续 ， 在 内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ,则
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15
（4）Laplace方程解的唯一性问题
定 理 ： 狄 氏 问 题 在 C 2 ( )C 1 ( ) 内 解 唯 一 ， 牛 曼 问 题 除 相 差 一 个
格林函数法 数学物理方程
格林函数法
若L 一个带平滑系数的线性微分算子，当求解形如()L u f =的微分方程时，若对于任意的向量y 都存在广义函数()G x,y ，使得
[]()()L G δ=x x,y x-y
（此处下标x 表示L 作用于()G x,y 时将其当做以x 为自变量的广义函数，而y 为参数） 若再令
()()()d u G f =⎰x x,y y y
将上式代入()L u f =则有
[]()()d ()()d ()()d ()L G f L G f f f δ⎡⎤===⎣⎦
⎰⎰⎰x x,y y y x,y y y x -y y y x 故此时()u x 是微分方程()L u f =的解。
采用上述方法求解微分方程的方法称为格林函数法，广义函数()G x,y 也称为格林函数。 数学物理方法知识体系
数学物理方法所要解决的问题：求解（偏）微分方程
本学期学过的求解方法：变量分离法、积分变换法、格林函数法
变量分离法涉及知识点：傅里叶级数、函数的正交系、贝塞尔函数（Chap.2~Chap.5） 积分变换法涉及知识点：傅里叶变换、拉普拉斯变换、广义函数（Chap.7~Chap.9） 格林函数法涉及知识点：格林函数（Chap.10）
例题数量统计
数学物理方程第四章 格林函数
P=u
则有
∂v ∂v ∂v ,Q = u , R = ∂z ∂x ∂y
⎛ ∂P ∂Q ∂R ⎞ ⎟dΩ ⎜ + + Ω ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎠ ⎝ ⎛ ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ⎞ = ∫ (u∆v)dΩ + ∫ ⎜ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⎟dΩ Ω Ω ⎜ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ⎟ ⎝ ⎠
(4.2.1)
式中, ρ 是电荷密度,所占区域为 Ω , r0 是 Ω 中任意一个点. 如果不考虑其他因素的影响,对于无界空间中的电势 u ,可以利用定积分中的微元 法的思想求出来.有库仑定律知,位于 r0 点的一个正的单位电荷,在无界空间中点 r 处产 生的电势是
G (r , r0 ) =
1 4π r − r0
r − r0
O
r0
P0
图 4—1
4.3 格林公式
有界域上的格林函数
为了进一步探讨利用格林公式函数求解数学物理方程,我们先来推出一个重要 工具—格林公式,它是曲面积分中高斯公式的直接推论. 设 Ω 是以足够光滑的曲面 Γ 为边界的有界域, P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 在 Ω + Γ 上是连续的,在 Ω 内具有一阶连续偏导数,则有如下的高斯公式
1 ⎧ ⎪∆u = − ε ⎨ ⎪u Γ = f ⎩
格林函数法(课堂PPT)
• 应用（求解数学物理方程的格林函数法）
– 范围：非齐次泛定方程、齐次定解条件 – 程序：先求出对应的格林函数，再积分得待求函数
格林函数是为了求解实际问题的泊松方程而找到的特殊函数， 不同的实际问题对应不同的格林函数。
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.
13
计算电磁学基础
4、稳定问题的基本解
稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到
边值问题
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.
2
计算电磁学基础
格林函数法的主要特点是： 1）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和
边界条件的局限）， 2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表
示，物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解 问题；
3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可 以算出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就 转换为关键是求解点源的相对简单的问题。
– 例子：
• ΔG = δ(r-r’)，G|Γ=0 • (t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’)， G|Γ= G|t=0=0
– 一般形式
• L G(xi) = δ(xi-xi’) • G|边界= G|初始=0
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.
10
计算电磁学基础
• 分类：
– 按泛定方程可以分为：
• 第一格林定理相减，可得标量第二格林定理
格林函数法
除在 M 0 点外处处满足三维Laplace方程u 0，于是有
定理：若函数 内调和，则
u 在 上有一阶连续偏导数，且在
1 1 u(M ) u(M ) n ( rMM ) rMM n dS 0 0
1 u(M 0 ) 4
及由性质1，有
1 1 u a u n ( r ) r n dS
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
又因为，在
a
a
上式称为调和函数的球面平均值公式。 性质3 (极值原理)
1 1 1 ，所以 上有 ( ) 2 2 n r r a 1 u(M 0 ) udS. 2 a 4a
4.1 格林公式及其应用
4.1.1 基本解
对拉普拉斯方程 u u xx u yy u zz 0 , 其球坐标形式为：
u V (r ) (即与 和 无关的解) ,则有： 求方程(4.1.1)的球对称解
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin
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第4章格林函数法
第四章
格林函数法
格林函数法
两种边值问题: 两种边值问题:
第一边值问题
u |Γ = f .
这类问题也叫做狄利克雷 问题。 这类问题也叫做狄利克雷(Dirichlet)问题。 狄利克雷 问题
拉普拉斯方程的连续解，也叫调和函数， 拉普拉斯方程的连续解，也叫调和函数，所以 调和函数 狄利克雷问题也可以叙述为： 狄利克雷问题也可以叙述为：在区域 Ω 内找 一个调和函数, 上的值已知。 一个调和函数 它在边界 Γ 上的值已知。 第二边值问题 在光滑的闭曲面 Γ 上给出连续函数 f，寻找函数 ， u(x,y,z) ：在 Γ 的内部 Ω 是调和函数 在 ( Ω + Γ ) 是调和函数, 上连续， 上连续，在 Γ 上任一点法向导数存在并且等于 已知函数 f ，即： ∂u =f ∂n Γ 这类问题也叫做纽曼 纽曼(Neumann)问题。 问题。 这类问题也叫做纽曼 问题
P Q R
= = =
∂ ∂ ∂ u ∂ ∂ u ∂ u
v x v y v z
= ∫∫∫ grad u • grad v dV + ∫∫∫ u∇ 2 v dV .
Ω Ω
(
)
∂u ∂u ∂u 其中梯度向量 grad u = , , , ∂ x ∂ y ∂z 由高斯公式, 由高斯公式 上式等于 ∂v ∂v ∂v ∫∫ u ∂x cos ( n, x ) + ∂y cos ( n, y ) + ∂z cos ( n, z ) dS Γ
数学物理方程课程
《数学物理方程》课程
教学大纲
课程代码：B0110040
课程名称：数学物理方程／equation of mathematic physics
课程类型：学科基础课
学时学分：64学时/4学分
适用专业：地球物理学
开课部门：基础课教学部
一、课程的地位、目的和任务
课程的地位：数学物理方程是地球物理学专业的一门重要的专业（或技术）基础课。数学物理方程是反应自然中物理现象的基本模型，也是一种基本的数学工具，与数学其他学科和其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、系统工程、物理、化学、生物等学科都有广泛联系。对于将来从事工程地震技术工作及自然科学研究的学生来说是必不可少的。期望学生通过该门课程的学习，能深刻地理解数学物理方程的不同定解问题所反应的物理背景。
课程的目的与任务：使学生了解数学物理方程建立的依据和过程，认识这门学科与物理学、力学、化学、生物学等自然科学和社会科学以及工程技术的极密切的广泛的联系。掌握经典数学物理方程基本定解问题的提法和相关的基本概念和原理，重点掌握求解基本线性偏微分方程定解问题的方法和技巧。使学生掌握与本课程相关的重要理论的同时，注意启发和训练学生联系自己的专业，应用所学知识来处理和解决实际问题的能力。
二、课程与相关课程的联系与分工
学生在进入本课程学习之前，应修课程包括：大学物理、高等数学、线性代数、复变函数、场论与向量代数。这些课程的学习，为本课程奠定了良好的数学基础。本课程学习结束后，可进入下列课程的学习：四大力学、电磁场与微波技术、近代物理实验等。且为进一步选修偏微分方程理论、数值计算、控制理论与几何分析等课程打下基础。
数理方程第四章格林函数法
第4章格林函数法
记 则有
1
G(M , M 0 ) 4 rMM0 v
(4.2.5)
u(M
0
)
u
Gds n
(4.2.6)
称 G(M , M 0 ) 为Laplace方程的格林函数。若G(M , M 0 ) 存在
且在 上有一阶连续偏导数，则当Dirichlet问题
u 0 , (x, y, z) u f (x, y, z)
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第四章
第4章格林函数法
格林函数法
分离变量法主要适用于求解各种有界问题，而 傅立叶变换法则主要适用于求解各种无界问题， 这两种方法所得到的解一般分别为无穷级数和 无穷积分的形式。格林函数法给出的解则是有 限的积分形式，十分便于理论分析和研究。
1
下午1时53分
HUST 数学物理方程与特殊函数
a2
1
u(M 0 ) 4a2
udS.
a
上式称为调和函数的球面平均值公式。
性质3 (极值原理) 设函数 u(x, y, z) 在区域 内调和，
它在 上连续且不为常数，则它的最大值与最小值
只能在边界上达到。
推论1 设在 内有 u 0, v 0;u, v 在
u[
v n
4-1 基本解与Green函数 - 副本
这类方程在力学、物理学问题中经常遇到。流体力学中的速度 势和流函数都满足调和方程；静电场中的电位势满足泊松方程。
西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson 1781～1840）法国数学家、几 何学家和物理学家。1781年6月21日生于法国卢瓦雷省的皮蒂维耶，1840年 4月25日卒于法国索镇。1798年入巴黎综合工科学校深造。受到拉普拉斯、 拉格朗日的赏识。1800年毕业后留校任教，1802年任副教授，1806年任教 授。1808年任法国经度局天文学家。1809年巴黎理学院成立，任该校数学 教授。1812年当选为巴黎科学院院士。泊松的科学生涯开始于研究微分方程 及其在摆的运动和声学理论中的应用。他工作的特色是应用数学方法研究各 类物理问题，并由此得到数学上的发现。他对积分理论、行星运动理论、热 物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。他还是19世 纪概率统计领域里的卓越人物。他改进了概率论的运用方法，特别是用于统 计方面的方法，建立了描述随机现象的一种概率分布──泊松分布。他推广了 “大数定律”，并导出了在概率论与数理方程中有重要应用的泊松积分。 泊松一生对摆的研究极感兴趣，他的科学生涯就是从研究微分方程及其 在摆的运动和声学理论中的应用开始的。直到晚年，他仍用大部分时间和精 力从事摆的研究。他为什么对摆如此着迷？有一个传说，泊松小时候由于身 体孱弱，他的母亲曾把他托给一个保姆照料，保姆一离开他时，就把泊松放 在一个摇篮式的布袋里，并将布袋挂在棚顶的钉子上，吊着他摆来摆去。这 个保姆认为，这样不但可以使孩子身上不被弄脏，而且还有益于孩子的健康。 泊松后来风趣地说：吊着我摆来摆去不但是我孩提时的体育锻炼，并且使我 在孩提时就熟悉了摆。
数学物理方程第四章 格林函数法
u( x, y,z) f (x, y,z),
n
2u 2u 2u
u
x 2
y 2
z 2
0
u( x, y,z) n
f (x, y,z),
(x, y,z) R3
(1.1) (1.3)
（1） 第一边值问题(狄利克雷（Dirichlet）
显然它的解为（如取c1 1,c2 0）
u
c1
ln
r
c2
u
ln
1 r
（2.8）
综上所述，除r 0外，1 ,ln 1分别是（2.5）、'7.2( )的 rr
解。如果令r x2 y2 z2 ，则除去原点外，1 ,ln 1 rr
分别是二维、三维拉普拉斯方程的解。令
r (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
为边界的有界连通区域，u(x, y, z)在 上有连续
的一阶偏导数，在 内调和，定点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) ， r 为定点M 0到变点 M (x, y, z) 距离： 则有
u(M0 )
1
4
1 [ r
u n
u
(1)]ds n r
《格林函数方法》课件
的场分布的重要公式。
02
格林函数的具体形式取决于所研究的物理问题和空间
维度。
03
在不同的物理问题中，格林函数的定义式会有所不同
，但它们都遵循一定的数学规则和物理规律。
格林函数的计算步骤
确定物理问题和空间维度
首先需要明确所研究的物理问题和空间维度，以便选择合适的格林函 数。
建立微分方程
根据物理问题的性质，建立描述场分布的微分方程。
控制工程问题中的应用
线性控制系统
在控制工程中，线性控制系统是最常见的一类系统，格林函数方法可以用于求 解线性控制系统的传递函数和响应等。
最优控制系统
最优控制系统是控制工程中的另一类重要系统，格林函数方法可以用于求解最 优控制系统的最优解和控制性能等。
05
格林函数方法的未来发展
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
格林函数方法的改进方向
算法优化
针对格林函数方法的计算过程进行优化，提高计算效率和精度。
扩展应用范围
研究格林函数方法在其他领域的应用，如流体动力学、电磁学等 。
理论完善
深入探究格林函数方法的数学原理，完善相关理论体系。
格林函数方法与其他方法的结合
01
与数值模拟方法结 合
利用格林函数方法提供初始条件 或边界条件，与数值模拟方法共 同求解复杂问题。
02
与物理模型结合
格林函数以及拉普拉斯方程讲解
格林函数
格林函数的概念及其物理意义
格林函数法是求解导热问题的又一种分析解法。
从物理上看，一个数学物理方程是表示一种特定的"场"和产生这种场的"源"之间的关系。例如，热传导方程表示温度场和热源之间的关系，泊松方程表示静电场和电荷分布的关系，等等。这样，当源被分解成很多点源的叠加时，如果能设法知道点源产生的场，利用叠
加原理,我们可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数学物理方程的方法就叫格林
函数法.而点源产生的场就叫做格林函数。
物体中的温度分布随时间的变化是由于内热源、边界的热作用以及初始温度分布作用
的结果。这些热作用都可以看做广义上的热源。从时间的概念上说，热源可以使连续作用的，如果作用的时间足够短，则可以抽象为瞬时作用的热源。同样的热源在空间上是有一定分布的，但如果热源作用的空间尺度足够小，也可以抽象为点热源、线热源和面热源。在各种不同种类的热源中，瞬时点热源虽然仅是一种数学上的抽象，却有着重要的意义，因为
在其他的各种热源都可以看作是许多瞬时热源的集合，即把空间中的热源看成是在空间中依
次排列着的许多点热源，在特定的几何条件的导热系统中，在齐次边界条件和零初始条件下
单位强度的瞬时点热源所产生的温度场称为热源函数，或称格（Green)函数。对于二维和一维导热问题，也把由线热源和面热源引起的温度场称为相应的格林函数。对于线性的导热问题，由各种复杂的热源引起的温度场可以由许多这样的瞬时热源引起的温度场叠加得到，数学上即成为某种几分。这就是热源法，或称格林函数法，求解非稳态导热问题的基本思路。
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显然它的解为（如取 c1 1, c2 0 ）
1 u c1 ln r c2 u ln r
（2.8）
1 1 综上所述， 除 r 0外， , ln 分别是 （2.5） 、 '7 . 2 ( r r
2 2 2
)的
u1 ( x, y, z ) 1
u2 ( x , y , z )
1 x2 y2 z2
都是解。
1 r
因此在无穷远点不加任何限制时，外问题的解就不一定唯一。 那么无穷远点处的条件应该如何加？一般地在三维情形要求
lim u( x, y, z ) 0
r
r
x2 y2 z2
1 1 u 1 u(M 0 ) u ( )]ds [ 4 r n n r (2.9)
证明：利用公式
(uv vu )dV (u
v u v )ds n n
1 1 解。 如果令 r x y z ， 则除去原点外， , ln r r 分别是二维、三维拉普拉斯方程的解。令
r ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2
1 1 则除去点 ( x0 , y0 , z0 ) R 外， , ln 分别满足二维、 r r 1 1 三维拉普拉斯方程，并称 , ln 为二维、三维拉普 r r 拉斯方程的基本解。
则称问题（ 1.1 ） ~ （ 1.2 ）为拉普拉斯第一边值问题或狄利克雷 （Dirichlet）问题， u ( x, y, z ) 为此问题的解。
2u 2u 2u 3 u 0 ( x , y , z ) R (1.1) 2 2 2 x y z u( x , y , z ) f ( x , y , z ), (1.2)
拉普拉斯方程的外问题是在无限区域上给出的， 定解问题的解在无穷远处是否应该加以限制？
事实上如果不加以限制，外问题的解不一定是唯一的。
例如：考察以原点为心的单位球面 作为边界曲面的狄利 克雷外问题，并给出边界条件： u ( x, y , z ) 1
上述问题可以表示为
可以证明
2u 2u 2u 2 2 2 u 0 ( x , y , z ) x y z 1 2 2 2 x y z 2 2 2 u( x , y, z ) 1 x y z 1
x
2
y
2
z
2
0
2 u u 1 u [ r sin ) (sin ) ( )] 0 (2.4) 2 r sin r r sin
（2.4）称作球坐标下的拉普拉斯方程。
如果u( x, y, z )具有球对称，即u与，无关，只与r有关，
P cos(n, x ) Q cos(n, y ) Rcos(n, z )
代入下式,
u( v v v v cos(n, x ) cos(n, y ) cos(n, z )) u x y z n
(
P Q R )dV ( P cos(n, x ) Q cos(n, y ) Rcos(n, z ))ds (2.1) x y z
u 0.描述的是稳态时（静态 ）物理量，与时间无关 ，
故不提初始条件 !只给出边界条件就可以 . 下面看边界条件的提法 .
（1） 第一边值问题(狄利克雷（Dirichlet）问题） 3 设方程（1.1）的空间变量 ( x, y, z ) ， 为 R 的开区域。如果 u ( x, y, z ) 满足方程 （1.1） ， 且在 边界 上直接给定了 u ( x, y, z ) 的具体函数形式 f ( x, y, z ) ，即 u ( x, y , z ) f ( x, y , z ) （1.2）
u f ( x, y , z ) n (1.3)
以上两个边值问题都是在边界上给定某些条件， 在区域 内部求拉普拉斯方程的解，称这样的问题为内问题。
在 应 用 中 我 们 还 会 遇 到 Dirichlet 问 题 、 Neumann 问题的另外一种提法，即在有限区域 外 部求函数 u ( x, y, z ) 使其在 的边界 满足条件 u u ( x, y , z ) f ( x, y , z ) 或 f ( x, y , z ) n 这样的问题相应地称作外问题。
(2.2)
(2.2' )
(vu)dV v
u, v互换
Baidu Nhomakorabea
(uv )dV u
v u v u v u v ds ( )dV (2.2) n x x y y z z
(vu)dV v
则有格林第一公式：
(uv )dV u
v u v u v u v ds ( )dV n x x y y z z
u u v u v u v ds ( )dV n x x y y z z
2.2 拉普拉斯方程的对称解
首先介绍拉普拉斯方程的球对称解，前面我们知道
u( x , y , z ) 1 x2 y2 z2 1 r
x r sin cos 满足拉普拉斯方程。做变换 x r sin sin z r cos 2u 2u 2u
(
P Q R )dV ( P cos(n, x) Q cos(n, y ) R cos(n, z )) ds x y z
其中 n 是 的单位外法线向量， ds 是 上面积元素。
格林第一公式： 设 u ( x, y, z ) 、 v( x, y, z ) 以及它们的所有一阶偏导数在闭区 域 上是连续的，他们在 内具有连续的 所有二阶偏导数。令
2u 2u 2 0 ( x , y ) R x 2 y 2 (1.1)
u 0.
2u 2u 2u u 2 2 2 0 ( x, y, z ) R 3 (1.1') x y z
2 2 2 2 2 2 称作拉普拉斯算子 . x y z
3
2.3 调和函数的基本性质
在开区域 内，称具有二阶连续偏导数并且满足 拉普拉斯方程的连续函数为调和函数。又称此函数 在 内是调和的。
性质 1 （积分表达式）设 是以分片光滑的曲面 u ( x, y, z ) 在 上有连续 为边界的有界连通区域， 的一阶偏导数， 在 内调和， 定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ， r 为定点 M 0 到变点 M ( x, y, z ) 距离： 则有
u( x, y, z ) f ( x, y, z ), n
2u 2u 2u 3 u 2 2 2 0 ( x , y , z ) R (1.1) x y z u( x , y , z ) f ( x , y , z ), (1.3) n
第四章 格林函数法
主要内容 第一边值问题(狄利克雷（Dirichlet）问 题）第二边值问题(牛曼（Neumann）问题）
格林第一（二）公式
调和函数的基本性质 *格林函数的定义 及特殊区域上格林函 数的求法
§1 拉普拉斯方程边值问题的提法
静态薄膜的横向位移----二维拉普拉斯方程（也称调和方程）
第二边值问题(牛曼（Neumann）问题）
在某一个光滑的闭曲面 上给出一个连续函数 f ( x, y, z ) ， 要寻找一个函数 u ( x, y, z ) 它在 的内部区域 中是调和的，在 上连续，且在 上的任意一点 u 沿 的单位外法线方向 n 的方向导数 存在，并且等 n 于已知函数 f ( x, y, z ) 在该点的函数值，即
二维情形要求在无穷远处的极限有界，即
lim u( x, y)
r 0
§2 调和函数
2．1 格林公式
奥-高公式： 设 是以分片光滑的曲面 为边界的有界连通区域， p( x, y, z ) 、 Q( x, y, z ) R( x, y, z ) 是 上连续，而在内具有一阶连 续偏导数的任意函数，则有
u u v u v u v ds ( )dV n x x y y z z
(2.2' )
（2.2）-(2.2’)可得格林第二公式：
(uv vu)dV (u
v u v )ds (2.3) n n
牛顿 - -莱布尼茨公式
d 2 du (r )0 dr dr
(2.5)
c1 1 u c2 u (c1 1, c 2 0) r r
我们也可以这样证明： 1 1 u ( x, y , z ) 2 2 2 r x y z
u x ( x, y, z ) rx r2
， rx ( x, y, z )
格林公式
f ( x)dx F (b) F (a)
a
b
Q p ( )dxdy p( x, y )dx Q( x, y )dy x y D C
(
P Q R )dV ( P cos(n, x ) Q cos(n, y ) Rcos(n, z ))ds (2.1) x y z
（1） 第一边值问题(狄利克雷（Dirichlet）
2u 2u 2u u 2 2 2 0 ( x, y, z ) R3 (1.1) x y z
u( x, y, z) f ( x, y, z)
（2）第二边值问题(牛曼（Neumann）问题）
(1.2)
2u 2u 2u u 2 2 2 0 ( x, y, z ) R3 (1.1) x y z
v v v 令P u ,Q u , R u , x y z P u v 2 v Q u v 2 v R u v 2v u 2 , u 2 , u 2 x x x x y y y y z z z z
P Q R 2 v 2 v 2 v u v u v u v u( 2 2 2 ) x y z x x y y z z x y z
6
0
在二维平面的圆域中， 2u 2u 2 u 1 u 1 2 u 2 0 2 2 0 (2.7) 2 2 x y r r r r （2.7）为极坐标下的二维拉普拉斯方程。 如果 u ( x, y ) 关于原点对称性， 即 u (r , ) 不依赖 只与 r 有关，(2.7)变成
x
x r
u xx ( x, y, z ) 2 ( 3 ) r r x
u xx u yy u zz r 3 3x 2 r r
6
rx
r 3 3xr 2 rx r
6
r 3 3x 2 r r6
r 3 3 y 2r r
6
r 3 3z 2 r r