数学物理方程第四章 格林函数法

x
2

y
2

z
2
0
2 u u 1 u [ r sin ) (sin ) ( )] 0 (2.4) 2 r sin r r sin
（2.4）称作球坐标下的拉普拉斯方程。
如果u( x, y, z )具有球对称，即u与，无关，只与r有关，
拉普拉斯方程的外问题是在无限区域上给出的， 定解问题的解在无穷远处是否应该加以限制？
事实上如果不加以限制，外问题的解不一定是唯一的。
例如：考察以原点为心的单位球面 作为边界曲面的狄利 克雷外问题，并给出边界条件： u ( x, y , z ) 1
上述问题可以表示为
可以证明
2u 2u 2u 2 2 2 u 0 ( x , y , z ) x y z 1 2 2 2 x y z 2 2 2 u( x , y, z ) 1 x y z 1




2.2 拉普拉斯方程的对称解
首先介绍拉普拉斯方程的球对称解，前面我们知道
u( x , y , z ) 1 x2 y2 z2 1 r
x r sin cos 满足拉普拉斯方程。做变换 x r sin sin z r cos 2u 2u 2u
x
x r
u xx ( x, y, z ) 2 ( 3 ) r r x
u xx u yy u zz r 3 3x 2 r r
6
rx
r 3 3xr 2 rx r
6

r 3 3x 2 r r6

r 3 3 y 2r r
6

r 3 3z 2 r r
6
0
在二维平面的圆域中， 2u 2u 2 u 1 u 1 2 u 2 0 2 2 0 (2.7) 2 2 x y r r r r （2.7）为极坐标下的二维拉普拉斯方程。 如果 u ( x, y ) 关于原点对称性， 即 u (r , ) 不依赖 只与 r 有关，(2.7)变成
u f ( x, y , z ) n (1.3)
以上两个边值问题都是在边界上给定某些条件， 在区域 内部求拉普拉斯方程的解，称这样的问题为内问题。
在 应 用 中 我 们 还 会 遇 到 Dirichlet 问 题 、 Neumann 问题的另外一种提法，即在有限区域 外 部求函数 u ( x, y, z ) 使其在 的边界 满足条件 u u ( x, y , z ) f ( x, y , z ) 或 f ( x, y , z ) n 这样的问题相应地称作外问题。
1 1 u 1 u(M 0 ) u ( )]ds [ 4 r n n r (2.9)
证明：利用公式
(uv vu )dV (u

v u v )ds n n
Hale Waihona Puke v v v 令P u ,Q u , R u , x y z P u v 2 v Q u v 2 v R u v 2v u 2 , u 2 , u 2 x x x x y y y y z z z z
P Q R 2 v 2 v 2 v u v u v u v u( 2 2 2 ) x y z x x y y z z x y z
第二边值问题(牛曼（Neumann）问题）
在某一个光滑的闭曲面 上给出一个连续函数 f ( x, y, z ) ， 要寻找一个函数 u ( x, y, z ) 它在 的内部区域 中是调和的，在 上连续，且在 上的任意一点 u 沿 的单位外法线方向 n 的方向导数 存在，并且等 n 于已知函数 f ( x, y, z ) 在该点的函数值，即
二维情形要求在无穷远处的极限有界，即
lim u( x, y)
r 0
§2 调和函数
2．1 格林公式
奥-高公式： 设 是以分片光滑的曲面 为边界的有界连通区域， p( x, y, z ) 、 Q( x, y, z ) R( x, y, z ) 是 上连续，而在内具有一阶连 续偏导数的任意函数，则有
P cos(n, x ) Q cos(n, y ) Rcos(n, z )
代入下式,
u( v v v v cos(n, x ) cos(n, y ) cos(n, z )) u x y z n
(

P Q R )dV ( P cos(n, x ) Q cos(n, y ) Rcos(n, z ))ds (2.1) x y z
(

P Q R )dV ( P cos(n, x) Q cos(n, y ) R cos(n, z )) ds x y z
其中 n 是 的单位外法线向量， ds 是 上面积元素。
格林第一公式： 设 u ( x, y, z ) 、 v( x, y, z ) 以及它们的所有一阶偏导数在闭区 域 上是连续的，他们在 内具有连续的 所有二阶偏导数。令
u u v u v u v ds ( )dV n x x y y z z
(2.2' )
（2.2）-(2.2’)可得格林第二公式：
(uv vu)dV (u

v u v )ds (2.3) n n
牛顿 - -莱布尼茨公式
(2.2)
(2.2' )
(vu)dV v

u, v互换
(uv )dV u

v u v u v u v ds ( )dV (2.2) n x x y y z z
(vu)dV v

u1 ( x, y, z ) 1
u2 ( x , y , z )
1 x2 y2 z2

都是解。
1 r
因此在无穷远点不加任何限制时，外问题的解就不一定唯一。 那么无穷远点处的条件应该如何加？一般地在三维情形要求
lim u( x, y, z ) 0
r
r
x2 y2 z2
第四章 格林函数法


主要内容 第一边值问题(狄利克雷（Dirichlet）问 题）第二边值问题(牛曼（Neumann）问题）
格林第一（二）公式


调和函数的基本性质 *格林函数的定义 及特殊区域上格林函 数的求法
§1 拉普拉斯方程边值问题的提法

静态薄膜的横向位移----二维拉普拉斯方程（也称调和方程）
则称问题（ 1.1 ） ~ （ 1.2 ）为拉普拉斯第一边值问题或狄利克雷 （Dirichlet）问题， u ( x, y, z ) 为此问题的解。
2u 2u 2u 3 u 0 ( x , y , z ) R (1.1) 2 2 2 x y z u( x , y , z ) f ( x , y , z ), (1.2)
u 0.描述的是稳态时（静态 ）物理量，与时间无关 ，
故不提初始条件 !只给出边界条件就可以 . 下面看边界条件的提法 .
（1） 第一边值问题(狄利克雷（Dirichlet）问题） 3 设方程（1.1）的空间变量 ( x, y, z ) ， 为 R 的开区域。如果 u ( x, y, z ) 满足方程 （1.1） ， 且在 边界 上直接给定了 u ( x, y, z ) 的具体函数形式 f ( x, y, z ) ，即 u ( x, y , z ) f ( x, y , z ) （1.2）
则有格林第一公式：
(uv )dV u

v u v u v u v ds ( )dV n x x y y z z
u u v u v u v ds ( )dV n x x y y z z
（1） 第一边值问题(狄利克雷（Dirichlet）
2u 2u 2u u 2 2 2 0 ( x, y, z ) R3 (1.1) x y z
u( x, y, z) f ( x, y, z)
（2）第二边值问题(牛曼（Neumann）问题）
(1.2)
2u 2u 2u u 2 2 2 0 ( x, y, z ) R3 (1.1) x y z
2u 2u 2 0 ( x , y ) R x 2 y 2 (1.1)
u 0.
2u 2u 2u u 2 2 2 0 ( x, y, z ) R 3 (1.1') x y z
2 2 2 2 2 2 称作拉普拉斯算子 . x y z
3
2.3 调和函数的基本性质
在开区域 内，称具有二阶连续偏导数并且满足 拉普拉斯方程的连续函数为调和函数。又称此函数 在 内是调和的。
性质 1 （积分表达式）设 是以分片光滑的曲面 u ( x, y, z ) 在 上有连续 为边界的有界连通区域， 的一阶偏导数， 在 内调和， 定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ， r 为定点 M 0 到变点 M ( x, y, z ) 距离： 则有
2 u 1 u 0 (2.7') 2 r r r
显然它的解为（如取 c1 1, c2 0 ）
1 u c1 ln r c2 u ln r
（2.8）
1 1 综上所述， 除 r 0外， , ln 分别是 （2.5） 、 '7 . 2 ( r r
2 2 2
)的
u( x, y, z ) f ( x, y, z ), n
2u 2u 2u 3 u 2 2 2 0 ( x , y , z ) R (1.1) x y z u( x , y , z ) f ( x , y , z ), (1.3) n