二次函数的应用(3)

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九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.4《二次函数的应用(第三课时)》课件

知2－讲
导引：由题意知今年这种玩具每件的成本是去年的(1＋0.7x) 倍，每件的出厂价是去年每件的出厂价的 (1＋0.5x) 倍，今年的年销售量是去年年销售量的 (1＋x)倍．
解：(1)(10＋7x)；(12＋6x) (2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x，即y与x的函数关系式为y＝2－x. (3)W＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4＝－2(x-5)2＋4.5， ∵0＜x≤1，∴当x＝0.5时，W有最大值． W最大值＝4.5. 答：当x＝0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润为4.5万元．
知1－练
3 心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13 min时，学生对概念的接受能力最大，为59.9；当提出概念30 min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数表达式为( D ) A．y＝－(x－13)2＋59.9 B．y＝－0.1x2＋2.6x＋31 C．y＝0.1x2－2.6x＋76.8 D．y＝－0.1x2＋2.6x＋43
（来自《教材》）
知2－练
2 某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，收益
y(元)与旅行团人数x(人)满足表达式y＝－x2＋100x＋
28 400，要使收益最大，则此旅行团应有( C )
A．30人
B．40人
C．50人
D．55人
知2－练
3 (2016·咸宁)某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件． (1)求y与x之间的函数表达式． (2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？ (3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？

二次函数的应用

二次函数的应用二次函数是数学中非常重要的一个概念，它在各个领域中都有广泛的应用。

本文将介绍二次函数在几个常见领域的具体应用，包括物理学、经济学和工程学等。

一、物理学中的应用1. 自由落体运动在物理学中，二次函数被广泛应用于自由落体运动的描述中。

自由落体运动是指在只受重力作用下的物体运动。

根据质点在自由落体运动中的运动方程可知，物体的落地时间t与物体下落高度h之间存在二次函数的关系。

这种关系可以用二次函数公式f(t) = -gt^2 + h 来表示，其中g为重力加速度。

2. 弹性力学在弹性力学中，二次函数常被用来描述弹性体的变形情况。

例如，当一个弹簧受力拉伸或压缩时，其长度与施加在它上面的力之间存在二次函数的关系。

这种关系可以用二次函数公式f(x) = kx^2 来表示，其中k为弹簧的弹性系数。

二、经济学中的应用1. 成本和产量关系在经济学中，二次函数被广泛应用于成本和产量之间的关系模型中。

例如，在某产品的生产过程中，成本通常与产量呈二次函数的关系。

随着产量的增加，成本会逐渐增加，但增速逐渐减缓。

这种关系可以用二次函数公式f(x) = ax^2 + bx + c 来表示，其中a、b和c为常数。

2. 市场需求二次函数在经济学中还常被用来描述市场需求的变化情况。

例如，对于某个产品的需求量与其价格之间一般存在倒U型的关系，即需求量随着价格的升高或降低逐渐减少。

这种关系可以用二次函数公式f(x) = ax^2 + bx + c 来表示，其中a、b和c为常数。

三、工程学中的应用1. 抛物线型拱桥在工程学中，二次函数被广泛应用于抛物线型拱桥的设计与建造中。

抛物线型拱桥由一段段的抛物线组成，而抛物线正是二次函数的图像。

通过使用二次函数来描述拱桥的形状，工程师可以更好地控制拱桥的承重和稳定性。

2. 圆环轨道设计二次函数还可以用来设计圆环轨道。

例如，在某高速铁路项目中，为了确保列车的平稳运行和最佳速度分布，工程师使用了二次函数来设计轨道的曲率。

备考2021年中考一轮复习数学专题：二次函数实际应用(三)

备考2021年九年级数学中考复习专题：二次函数实际应用（三）1．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过xmin时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A＝kx+b，y B＝（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x＝40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？2．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120，m＞60．（1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（2）若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若60＜m≤70，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？3．丁丁推铅球的出手高度为1.6m，在如图所示的直角坐标系中，铅球运动轨迹是抛物线y ＝﹣0.1（x﹣k）2+2.5，求铅球的落点与丁丁的距离．4．甲船从A处起以15km/h的速度向正北方向航行，这时乙船从A的正东方向20km的B处起以20km/h的速度向西航行，多长时间后，两船的距离最小？最小距离是多少？5．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数解析式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？6．如图，一段长为45m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为27m，设花园的面积为sm2，平行于墙的边为xm．若x不小于17m，（1）求出s关于x的函数关系式；（2）求s的最大值与最小值．7．某商店购进一批成本为每件30元的商品．经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，试利用函数图象确定销售单价最多为多少元？8．某科技公司接到一份新型高科技产品紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了该种产品42件，以后每天生产的产品都比前一天多2件，由于机器损耗等原因，当日生产的产品数量达到50件后，每多生产一件，当天生产的所有产品平均每件成本就增加10元．（1）设第x天生产产品y件，求出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（2）若该产品每件生产成本（日生产量不超过50件时）为1000元，订购价格为每件1460元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求该公司哪一天获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该公司当天的利润不低于22680元的是哪几天？请直接写出结果．9．电商扶贫将为乡村振兴注入新动力，某地积极利用某电商平台试销售成本为20元/斤的木耳，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于40元/斤，经试销发现，销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）符合一次函数关系，如图所示的是y与x的函数关系图象．（1）求y与x的函数表达式；（2）设该地试销木耳获得的利润为W元，求W的最大值．10．某商店销售一种成本为40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件；（1）商店要使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？（2）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？参考答案1．解：（1）由题意可得出：y B＝（x﹣60）2+m经过（0，1000），则1000＝（0﹣60）2+m，解得：m＝100，∴y B＝（x﹣60）2+100，当x＝40时，y B＝×（40﹣60）2+100，解得：y B＝200，y A＝kx+b，经过（0，1000），（40，200），则，解得：，∴y A＝﹣20x+1000；（2）当A组材料的温度降至120℃时，120＝﹣20x+1000，解得：x＝44，当x＝44，y B＝（44﹣60）2+100＝164（℃），∴B组材料的温度是164℃；（3）当0＜x＜40时，y A﹣y B＝﹣20x+1000﹣（x﹣60）2﹣100＝﹣x2+10x＝﹣（x ﹣20）2+100，∴当x＝20时，两组材料温差最大为100℃．2．解：（1）设线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为y1＝k1x+b1，将（0，60），（120，40）代入得：，解得：，∴线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为y1＝﹣x+60；（2）若m＝90，设y2与x之间的函数表达式为y2＝k2x+90，根据题意得：50＝120k2+90，解得：k2＝﹣，∴y2＝﹣x+90（0＜x≤120），设产品产量为xkg时，获得的利润为w元，根据题意得：w＝（y2﹣y1）x＝[﹣x+90﹣（﹣x+60）]x＝（﹣x+30）x＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣90）2+1350（0＜x≤120）；∴当x＝90时，w有最大值，最大值为1350元．∴若m＝90，该产品产量为90kg时，获得的利润最大，最大利润是1350元；（3）设y＝k2x+m，由题意得：120+m＝50，解得：k2＝，∴y＝x+m，设产品产量为xkg时，获得的利润为w'元，∴w'＝x[（x+m）﹣（﹣x+60）]＝x2+（m﹣60）x，∵60＜m≤70，∴a＝＞0，b＝m﹣60＞0，∴﹣＜0，即抛物线对称轴在y轴左侧，对称轴为直线x＝＜0，∴当0＜x≤120时，w'随x的增大而增大，∴当x＝120时，w'的值最大，w'max＝1200元．∴50＜m＜70时，该产品产量为120kg时，获得的利润最大，最大利润为1200元．3．解：由题意知，点（0，1.6）在抛物线y＝﹣0.1（x﹣k）2+2.5上，所以1.6＝﹣0.1（0﹣k）2+2.5，解这个方程，得k＝3或k＝﹣3（舍去），所以该抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣3）2+2.5，当y＝0时，有﹣0.1（x﹣3）2+2.5＝0，解得x1＝8，x2＝﹣2（舍去），所以铅球的落点与丁丁的距离为8m．4．解：根据题意画出示意图如下：设x小时后，两船相距ykm，根据题意，得：y2＝（15x）2+（20﹣20x）2＝225x2+400﹣800x+400x2＝（25x﹣16）2+144∴当x＝时，y2有最小值144，则y的最小值为12，答：小时后，两船的距离最小，最小距离是12km．5．解：（1）w＝（x﹣30）•y＝（﹣x+60）（x﹣30）＝﹣x2+30x+60x﹣1800＝﹣x2+90x﹣1800，w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800；（2）根据题意得：w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+225，∵﹣1＜0，当x＝45时，w有最大值，最大值是225．（3）当w＝200时，﹣x2+90x﹣1800＝200，解得x1＝40，x2＝50，∵50＞42，x2＝50不符合题意，舍，答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．6．解：（1）平行于墙的边为xm，矩形菜园的面积为ym2．则垂直于墙的一面长为（45﹣x）m，根据题意得：S＝x（45﹣x）＝﹣x2+x（17≤x≤27）；（2）∵S＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣45x）＝﹣（x﹣）2+（17≤x≤27），∵17≤x≤27，a＝﹣＜0，∴当x＝m时，S取得最大值，此时S＝m2，∵|27﹣|＜|17﹣|，∴x＝17m时，S取得最小值，此时S＝238m2，答：s的最大值是m2，最小值是238m2．7．解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，解得：40≤x≤70，∴销售单价最多为70元．8．解：（1）∵第一天生产了该种产品42件，以后每天生产的产品都比前一天多2件，∴y＝42+2（x﹣1）＝40+2x，∴y与x之间的函数解析式为y＝40+2x（1≤x≤10，且x为整数）．（2）当1≤x≤5时，W＝（1460﹣1000）×（40+2x）＝920x+18400，∵920＞0，∴W随x的增大而增大，＝920×5+18400＝23000；∴当x＝5时，W最大值当5＜x≤10时，W＝[1460﹣1000﹣10（40+2x﹣50）]×（40+2x）＝﹣40（x﹣4）2+23040，∵此时函数图象开口向下，在对称轴右侧，W随x的增大而减小，又天数x为整数，＝22880元．∴当x＝6时，W最大值∵23000＞22880，＝23000元；∴当x＝5时，W最大，且W最大值∴W与x之间的函数解析式为：W＝，该公司第5天获得的利润最大，最大利润是23000元．（3）当1≤x≤5时，由920x+18400≥22680得x≥4，∴x＝5；当5＜x≤10时，由﹣40（x﹣4）2+23040＝22680得：x1＝1，x2＝7，∴x＝7；∵由（2）可知，当x＝6时，W＝22880元，最大值∴x＝6符合题意．∴该公司当天的利润不低于22680元的是第5、6、7天．9．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得，，解得，∴y与x的函数解析式为y＝﹣2x+340（20≤x≤40）．（2）由已知得：W＝（x﹣20）（﹣2x+340）＝﹣2x2+380x﹣6800＝﹣2（x﹣95）2+11250，∵﹣2＜0，∴当x≤95时，W随x的增大而增大，∵20≤x≤40，∴当x＝40时，W最大，最大值为﹣2×（40﹣95）2+11250＝5200（元）．10．解：（1）设销售价应定为每件x元，由题意得：（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，化简得x2﹣140x+4800＝0，解得：x1＝60，x2＝80，∴销售价应定为每件60元或80元；（2）设销售价应定为每件x元，获得利润y元，依题意得：y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，∵x≥50，且500﹣10（x﹣50）＞0，∴50≤x＜100，当x＝70时，y取最大值9000，∴销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元．。

二次函数的性质及应用

二次函数的性质及应用二次函数是一类形式为y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的函数，它在数学中具有重要的性质和广泛的应用。

本文将介绍二次函数的性质以及它在实际问题中的应用。

一、二次函数的性质1. 函数图像二次函数的图像通常为抛物线，具体的形状取决于a的正负和大小：- 当a > 0时，图像开口向上，形状类似于“U”字型；- 当a < 0时，图像开口向下，形状类似于倒置的“U”字型。

2. 对称性二次函数关于其顶点具有对称性。

设二次函数的顶点坐标为(h, k)，则函数图像关于直线x = h对称。

3. 零点与判别式二次函数的零点即为方程ax² + bx + c = 0的解。

一元二次方程的判别式Δ = b² - 4ac可以判断二次函数的零点情况：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根，函数图像与x轴有两个交点；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根，函数图像与x轴有一个切点；- 当Δ < 0时，方程无实根，函数图像与x轴无交点。

4. 极值点二次函数在最高点（开口向下）或最低点（开口向上）取得极值。

当二次函数开口向上时，极小值等于函数的最低点y = k；当二次函数开口向下时，极大值等于函数的最高点y = k。

二、二次函数的应用1. 物理学应用二次函数在物理学中有广泛的应用，例如抛物线运动。

抛物线运动可以用二次函数的形式进行建模，通过分析和解决相关的二次函数问题，可以求得抛物线物体的最高点、运动轨迹等信息。

2. 经济学应用经济学中的一些问题也可以通过二次函数来描述和解决。

比如，成本函数和利润函数常常使用二次函数来表示，通过求解这些二次函数的极值点，可以确定最低成本、最大利润等关键数据。

3. 工程学应用工程学中的一些问题也可以用二次函数进行建模。

比如，在建筑设计中，可以用二次函数来描述一个拱形或穹顶的形状；在电子工程中可以通过二次函数来描述某些电子元件的特性和响应等等。

二次函数在生活中的应用

二次函数在生活中的应用
二次函数是一种常见的数学函数，它在我们的生活和工作中有许多应用。

以下是二次函数在生活中的几个应用：
1. 抛物线运动
当一个物体以一定的初速度开始运动，并且受到重力的影响而向下运动时，它的运动轨迹就是一条抛物线。

这个运动过程可以用二次函数来描述。

例如，当你抛出一颗球时，它的高度会随着时间的推移而不断降低，形成一条抛物线。

2. 建筑设计
在建筑设计中，二次函数可以用来描述建筑物的结构和形状。

例如，在建造一座拱形桥时，设计师需要使用二次函数来确定桥的最高点和曲线的形状。

3. 经济学
在经济学中，二次函数可以用来描述成本和收益之间的关系。

例如，当一家企业决定生产某种产品时，它需要考虑生产成本和销售收益之间的平衡点，这个平衡点可以用二次函数来计算。

4. 电子技术
在电子技术中，二次函数可以用来描述电路中的电压和电流之间的关系。

例如，在设计一条放大电路时，工程师需要使用二次函数来确定电路的增益和频率响应。

总之，二次函数在我们的生活和工作中有许多应用，这些应用涉及到不同的领域，包括物理学、工程学、经济学和电子技术等。

熟练
掌握二次函数的概念和应用可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

沪科版数学九年级上册21.4《二次函数的应用》教学设计3

沪科版数学九年级上册21.4《二次函数的应用》教学设计3一. 教材分析《二次函数的应用》是沪科版数学九年级上册第21.4节的内容。

本节主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教材通过举例说明了二次函数在几何、物理、化学等学科中的应用，以及如何利用二次函数解决最值问题、平衡问题等。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本概念、图像和性质，对二次函数有了初步的认识。

但学生在实际应用二次函数解决生活中的问题时，往往会因为情境复杂而难以入手。

因此，本节课需要帮助学生建立二次函数与实际问题之间的联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.理解二次函数在实际生活中的应用；2.学会将实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数解决实际问题；3.培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际生活中的应用；2.难点：将实际问题转化为二次函数问题，并利用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法1.案例分析法：通过分析具体案例，让学生了解二次函数在实际生活中的应用；2.问题驱动法：引导学生提出问题，分析问题，从而解决问题；3.小组讨论法：让学生在小组内讨论问题，培养学生的合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的案例材料；2.准备多媒体教学设备；3.准备练习题和作业。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二次函数的基本概念、图像和性质。

然后提出本节课的主题：二次函数在实际生活中的应用。

2.呈现（15分钟）教师展示几个实际问题，如抛物线形的跳板、抛物线形的电信塔等，让学生尝试将这些实际问题转化为二次函数问题。

教师引导学生分析问题，找出关键参数，列出二次函数关系式。

3.操练（15分钟）教师给出一些练习题，让学生独立解决。

题目包括利用二次函数解决最值问题、平衡问题等。

教师在课后批改学生的练习题，了解学生的掌握情况。

二次函数的解法与应用

二次函数的解法与应用二次函数是高中数学中的重要内容之一，它是一种形如y=ax²+bx+c 的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于零。

在本文中，将介绍二次函数的解法与应用。

一、二次函数的解法二次函数的解法主要有两种方法：一是利用配方法法，二是利用求根公式法。

1. 配方法法对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，可以利用配方法将其变形为完全平方的形式，从而求出函数的解。

配方法的步骤如下：（1）将二次项系数a乘以1/2，得到1/2a；（2）将1/2a的平方加上常数项c，得到1/4a²+c；（3）将二次项系数b乘以1/2，得到1/2b；（4）将1/2b²与1/4a²+c进行配方，即(1/2b+√(1/4a²+c))(1/2b-√(1/4a²+c))，得到一个完全平方；（5）将得到的完全平方表达式与1/2a相乘，即(1/2a)(1/2b+√(1/4a²+c))(1/2a)(1/2b-√(1/4a²+c))，得到二次函数的解。

2. 求根公式法对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，可以利用求根公式法求出函数的解。

求根公式的表达式如下：x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)其中，±表示求两个解，b²-4ac称为判别式。

当判别式大于零时，函数有两个不等实数根；当判别式等于零时，函数有两个相等实数根；当判别式小于零时，函数无实数根。

二、二次函数的应用二次函数在实际生活中有广泛的应用，其中包括抛物线的运动轨迹、经济学中的成本函数与收益函数、物理学中的自由落体运动等。

1. 抛物线的运动轨迹抛物线的形状可以用二次函数来表示，例如自由落体运动中物体的高度随时间的变化可以用二次函数来描述。

通过求解二次函数的解，可以得到物体的运动轨迹并进行分析。

2. 经济学中的成本函数与收益函数在经济学中，成本函数和收益函数通常可以用二次函数来表示。

二次函数的经济应用

二次函数的经济应用二次函数是高中数学中的一个重要章节，其在实际生活中也有广泛的应用。

本文将以经济学领域为切入点，介绍二次函数在经济学中的应用，并探讨其对经济决策和分析的重要性。

1. 二次函数与成本函数在经济学中，成本函数是描述企业生产成本与产量之间关系的一个重要工具。

二次函数可以用来拟合成本函数，并对企业的生产过程进行分析。

假设某企业的生产成本与产量的关系可以用二次函数表示，成本函数的一般形式为：C(x) = ax^2 + bx + c，其中C表示成本，x表示产量。

通过研究二次函数的相关性质，我们可以得到企业的最低成本、最大产量、边际成本等重要信息。

这些信息对企业的经营决策至关重要，可以帮助企业制定最优的生产方案，实现成本最小化和利润最大化。

2. 二次函数与营销策略营销策略是企业提高市场竞争力的关键之一。

二次函数在营销策略中的应用主要体现在产品定价和市场需求预测上。

对于市场需求，二次函数可以用来拟合销售量与产品价格之间的关系。

通常情况下，销售量随着价格的降低而增加，但随着价格的降低到一定程度后，销售量的增加速度逐渐减缓。

基于二次函数的模型，企业可以预测不同价格下的市场需求，从而制定更合理的定价策略，平衡产品利润和市场份额。

另外，在市场竞争中，企业也可以利用二次函数来分析竞争对手的定价策略和市场需求曲线。

通过对竞争对手的分析，企业可以针对性地调整自己的营销策略，寻找竞争优势，提升市场占有率。

3. 二次函数与投资决策投资决策是企业长期发展的关键环节。

二次函数可以帮助企业分析投资回报率以及不同投资方案的风险和收益。

假设某企业考虑投资一个项目，该项目的投资额和预期收益之间的关系可以用二次函数表示。

通过对二次函数的分析，企业可以确定最优的投资额，以最大化投资回报率。

同时，二次函数还可以帮助企业分析不同投资方案的风险。

通过研究二次函数的凹凸性质，企业可以了解投资收益的波动情况，并据此制定风险管理策略，降低投资风险。

二次函数的应用

二次函数的应用二次函数是数学中一种常见的函数形式，其方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数在许多实际问题中都有广泛的应用，本文将介绍二次函数在几个不同领域的具体应用案例。

一、物理学领域中的应用1. 自由落体问题当物体在重力作用下自由落体时，其高度与时间之间的关系可以用二次函数来描述。

假设物体从初始高度h0下落，时间t与高度h之间的关系可以表示为：h = -gt^2 + h0其中g为重力加速度，取9.8m/s^2。

通过解二次方程可以求解物体落地的时间以及落地时的位置。

2. 弹射物体的运动考虑一个弹射物体，如抛射出的炮弹或投射物，其路径可以用一个抛物线来表示。

弹射物体的运动轨迹可以通过二次函数得到，可以利用二次函数的顶点坐标来确定最远射程或最高点。

二、经济学领域中的应用1. 成本和收入关系在经济学中，企业的成本和收入通常与产量相关。

通常情况下，成本和收入之间存在二次函数关系。

通过分析二次函数的图像，可以确定最大利润产量或最低成本产量。

2. 售价和需求关系在市场经济中，产品的售价通常与需求量相关。

通常情况下，售价和需求量之间存在二次函数关系。

通过分析二次函数的图像，可以找到最佳定价，以达到利润最大化。

三、工程学领域中的应用1. 抛物线拱桥在建筑和结构工程中，抛物线是通常用来设计拱桥的形状。

由于抛物线具有均匀承重特性，因此可以最大程度地减少桥墩的数量，提高桥梁的承载能力。

2. 抛物面反射器在光学和声学工程中，抛物面被广泛应用于反射器的设计。

由于抛物面具有焦点特性，因此可以实现光或声波的聚焦效果，提高反射效率。

四、生物学领域中的应用1. 生长模型植物和动物的生长通常可以使用二次函数模型来描述。

二次函数可以帮助分析生物在不同生长阶段的生长速率，并预测未来的生长趋势。

2. 群体增长生态学中，群体增长通常可以使用二次函数模型来描述。

例如，一种昆虫群体的数量随时间的变化可以通过二次函数来表示，通过分析二次函数的图像，可以预测种群数量的变化趋势。

2022年中考数学题分类汇编——二次函数应用题(三)含答案

2022年年年年年年年年年年——年年年年年年年年年年1.(2022·湖北省荆州市)某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品，按网上订单生产并销售(生产量等于销售量).经测算，该产品网上每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=24−x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．(1)求该产品第一年的利润w(万元)与售价x之间的函数关系式；(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？2.(2022·湖北省咸宁市)为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y(元/m2)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．(1)当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w(元)最少？最少是多少元？②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉3.(2022·陕西省)现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．4.(2022·四川省广元市)为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动(文学类图书售价不变)：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？5.(2022·浙江省宁波市)为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x(2≤x≤8，且x为整数)构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．(1)求y关于x的函数表达式．(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？6. (2022·江西省)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点，落地点超过K 点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA 为66m ，基准点K 到起跳台的水平距离为75m ，高度为ℎm(ℎ为定值).设运动员从起跳点A 起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y =ax 2+bx +c(a ≠0)． (1)c 的值为______；(2)①若运动员落地点恰好到达K 点，且此时a =−150，b =910，求基准点K 的高度ℎ；②若a =−150时，运动员落地点要超过K 点，则b 的取值范围为______； (3)若运动员飞行的水平距离为25m 时，恰好达到最大高度76m ，试判断他的落地点能否超过K 点，并说明理由．7. (2022·浙江省金华市)“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息： ①统计售价与需求量的数据，通过描点(图1)，发现该蔬莱需求量y 需求(吨)关于售价x(元/千克)的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y 需求=ax 2+c ，部分对应值如下表：售价x(元/千克) … 2.5 3 3.5 4 … 需求量y 需求(吨) … 7.75 7.2 6.55 5.8 …②该蔬莱供给量y供给(吨)关于售价x(元/千克)的函数表达式为y供给=x−1，函数图象见图1．③1～7月份该蔬莱售价x售价(元/千克)、成本x成本(元/千克)关于月份t的函教表达式分别为x售价=12t+2，x成本=14t2−32t+3，函数图象见图2．请解答下列问题：(1)求a，c的值．(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．8.(2022·山东省滨州市)360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x(单位：元)的一次函数．(1)求y关于x的一次函数解析式；(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．9.(2022·湖北省武汉市)在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．小聪测量黑球减速后的运动速度v(单位：cm/s)、运动距离y(单位：cm)随运动时间t(单位：s)变化的数据，整理得下表．运动时间t/s01234运动速度v/cm/s109.598.58运动距离y/cm09.751927.7536小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；(3)若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．10.(2022·广东省)某种服装，平均每天可销售20件，每件利润是44元，经市场调查发现，该品牌服装在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多销售5件．(1)如果每件降价x元，平均每天销售的服装为y1件，试写出x与y1之间的函数关系(用x表示y1)；(2)如果每天该服装销售的利润总金额记为y2(元)，求当y2=1600，每件应降价多少元？1.解：(1)根据题意得：w=(x−8)(24−x)−60=−x2+32x−252；(2)①∵该产品第一年利润为4万元，∴4=−x2+32x−252，解得：x=16，答：该产品第一年的售价是16元．②∵第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过13万件，∴{x≤1624−x≤13，解得11≤x≤16，设第二年利润是w′万元，w′=(x−6)(24−x)−4=−x2+30x−148，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=15，又11≤x≤16，∴x=11时，w′有最小值，最小值为(11−6)×(24−11)−4=61(万元)，答：第二年的利润至少为61万元．2..解：(1)当0<x≤40时，y=30；当40<x≤100时，设函数关系式为y=kx+b，∵线段过点(40,30)，(100,15)，∴{40k+b=30100k+b=15，∴{k=−1 4b=40，∴y=−14x+40，即y={30(0<x≤40)−14x+40(40<x≤90)；(2)∵甲种花卉种植面积不少于30m2，∴x≥30，∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，∴360−x≥3x，∴x≤90，即30≤x≤90；由(1)知，y=30x，∵乙种花卉种植费用为15元/m2．∴w=yx+15(360−x)=30x+15(360−x)=15x+5400，当x=30时，w min=5850；当40<x≤90时，x+40，由(1)知，y=−14(x−50)2+6025，∴w=yx+15(360−x)=−14(90−50)2+6025=5625，∴当x=90时，w min=−14∵5850>5625，∴种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元；②当30≤x≤40时，由①知，w=15x+5400，∵种植总费用不超过6000元，∴15x+5400≤6000，∴x≤40，即满足条件的x的范围为30≤x≤40，当40<x≤90时，(x−50)2+6025，由①知，w=−14∵种植总费用不超过6000元，(x−50)2+6025≤6000，∴−14∴x≤40(不符合题意，舍去)或x≥60，即满足条件的x的范围为60≤x≤90，综上，满足条件的x的范围为30≤x≤40或60≤x≤90．3..解：(1)由题意抛物线的顶点P(5,9)，∴可以假设抛物线的解析式为y=a(x−5)2+9，，把(0,0)代入，可得a=−925(x−5)2+9；∴抛物线的解析式为y=−925(2)令y=6，得−925(x−5)2+9=6，解得x1=5√33+5，x2=−5√33+5，∴A(5−5√33,6)，B(5+5√33,6)．4..解：(1)设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，依题意得：{2x+3y=154 4x+5y=282，解得：{x=38 y=26．答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．(2)设科技类图书的购买数量为m本，购买这两种图书的总金额为w元，则文学类图书的购买数量为(100−m)本．①当30≤m≤40时，w=38m+26(100−m)=12m+2600，∵12>0，∴w随m的增大而增大，∴2960≤w≤3080；②当40<m≤50时，w=[38−(m−40)]m+26(100−m)=−(m−26)2+3276，∵−1<0，∴当m>26时，w随m的增大而减小，∴2700≤w<3080；③当50<m≤60时，w=[38−(50−40)]m+26(100−m)=2m+2600，∵2>0，∴w随m的增大而增大，∴2700<w≤2720．综上，当30≤m≤60时，w的最小值为2700．答：社区至少要准备2700元购书款．5..解：(1)∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，∴y=4−0.5(x−2)=−0.5x+5，答：y关于x的函数表达式为y=−0.5x+5，(2≤x≤8，且x为整数)；(2)设每平方米小番茄产量为W千克，∵−0.5<0，∴当x =5时，W 取最大值，最大值为12.5，答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．6..66 b >9107..解：(1)把(3,7.2)，(4,5.8)代入y 需求=ax 2+c ，{9a +c =7.2①16a +c =5.8②， ②−①，得7a =−1.4，解得：a =−15，把a =−15代入①，得c =9，∴a 的值为−15，c 的值为9；(2)设这种蔬菜每千克获利w 元，根据题意，w =x 售价−x 成本=12t +2−(14t 2−32t +3)=−14(t −4)2+3， ∵−14<0，且1≤t ≤7，∴当t =4时，w 有最大值，答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大；(3)当y 供给=y 需求时，x −1=−15x 2+9，解得：x 1=5，x 2=−10(舍去)，∴此时售价为5元/千克，则y 供给=x −1=5−1=4(吨)=4000(千克)，令12t +2=5，解得t =6，∴w =−14(t −4)2+3=−14(6−4)2+3=2，∴总利润为w ⋅y =2×4000=8000(元)，答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．8..解：(1)设y =kx +b ，把x =20，y =360，和x =30，y =60代入，可得{20k +b =36030k +b =60，解得：{k =−30b =960， ∴y =−30x +960(10≤x ≤32)；(2)设每月所获的利润为W 元，∴W =(−30x +960)(x −10)=−30(x −32)(x −10)=−30(x 2−42x +320)=−30(x −21)2+3630．∴当x =21时，W 有最大值，最大值为3630．9..解：(1)设v =mt +n ，将(0,10)，(2,9)代入，得{n =102m +n =9，解得，{m =−12n =10， ∴v =−12t +10；设y =at 2+bt +c ，将(0,0)，(2,19)，(4,36)代入，得{c =04a +2b +c =1916a +4b +c =36，解得{a =−14b =10c =0，∴y =−14t 2+10t ．(2)令y =64，即−14t 2+10t =64，解得t =8或t =32，当t =8时，v =6；当t =32时，v =−6(舍)；(3)设黑白两球的距离为w cm ，根据题意可知，w =70+2t −y =14t 2−8t +70=14(t −16)2+6， ∵14>0，∴当t =16时，w 的最小值为6，∴黑白两球的最小距离为6cm ，大于0，黑球不会碰到白球．10..解：(1)设每件降价x 元，平均每天销售的服装为y 1件，则x 与y 1之间的函数关系(用x 表示y 1)为：y 1=20+5x(0≤x ≤10)；(2)由题意可得：y2=(44−x)(20+5x) =−5x2+200x+880，(0≤x≤10)；1600=−5x2+200x+880，解得：x1=4，x2=36(不合题意舍去)，答：每件应降价4元．第14页，共1页。

1.4二次函数的应用(3)

1.4二次函数的应用(3)
1.求出下列二次函数和坐标轴的交点坐标： y=2x² -4x+8
y (0,c)
2.对于二次函数y=ax2+bx+c，请回答下列问题：如何求函数的图象与坐标轴的交点的坐标？
x o
2.对于二次函数y=ax2+bx+c，请回答下列问题： (1)如何求函数的图象与坐标轴的交点的坐标？ ①图象与y轴的坐标：设 x=0，得 y=c. ∴图象与y轴的交点的坐标是(0,c). ②图象与x轴的交点的坐标：设y=0，得 0=ax2+bx+c. 解这个一元二次方程 (ⅰ).设b2-4ac＞0，得
o
B
练习：如图,足球场上守门员甲在点O处开出一高球,球从离地1m的点A(A在y 轴上)处飞出,运动员乙在距O点6m的B点处发现足球在自己的正上方达到最高点M,距地面约4m高,足球落地后又一次弹起.已知足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,但最大高度减少到原来的最大高度的一半. (1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的函数解析式； (2)足球第一次落地点C距离守门员多少m(取 3 = 7 )? 4 (3)运动员乙如果要抢到第二个落地点D,他应该再向前跑多少m( 6 = 5 )?
x1,2
b b -b ± b2 - 4ac = = - . ∴图象与x轴的交点坐标是( - ,0). 2a 2a 2a
例1 利用二次函数的图象求方程x2+x-1=0的根的近似值. 画出抛物线y=x2+x-1的图象(如图). y ∵图中的抛物线与 x轴交点A、B的坐标分别 y=x2+x-1 3 约(-1.6,0)和(0.6,0), 2 2 ∴一元二次方程x +x-1=0 (-2,1) 1 (1,1) A B 的实数根分别为x1≈-1.6， -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 (0,-1) (-1,-1) x2≈-0.6. (-0.5,-1.25)

1.4.3二次函数的应用(3)

解方程得t1=0.5；t2=1.5
答：球从弹起至回到地面需要时间为2（s）；经过圆心的0.5s或1.5s球的高度达到3.75m。
课内练习：
1、一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图，当球离抛出地的水平距离为 30m 时，达到最大高10m。
⑴ 求球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；
⑵ 求球被抛出多远； ⑶ 当球的高度为5m时，球离抛出地面的水平距离
例4：
一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s, 经过t(s)时球的高度为h(m)。已知物体竖直上抛运动中,h=v0t－ ½ gt²(v0表示物体运动上弹开始时的速度,g表示重力系数,取g=10m/s²)。问球从弹起至回到地面需要多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m?
h(m)
6
5
4
3
2
1
-2
-1
0
1
2 t(s)
例4：
h(m)
6
5
解：由题意，得h关于t的二次函数
4
解析式为h=10t-5t²
3
取h=0，得一元二次方程
2
10t－5t²=0
1
解方程得t1=0；t2=2
-2
-1
0到地面需要时间为t2－t1=2（s）
取h=3.75，得一元二次方程10t－5t²=3.75
课内练习
3.利用函数图象判断下列方程有没有解，有几个解。若有解，求出它们的解（精确到0.1）。
① 2x²-x+1=0 ② 2x²-4x-1=0
y=2x²-x+1
无解
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② 2x²-4x-1=0
y=2x²-4x-1

二次函数的实际应用总结

二次函数的实际应用总结二次函数是高中数学中重要的一类函数。

它具有形如y=ax^2+bx+c的特点，其中a、b、c是实数且a不等于0。

二次函数有许多实际应用，涉及到物理、经济和生活中的各种问题。

本文将总结几个二次函数的实际应用。

一、物体自由落体物体自由落体是一个常见的物理问题，可以用二次函数来描述。

当一物体从高处自由落下时，它的高度与时间之间的关系可以由二次函数表示。

设物体自由落下的高度为H（米），时间为t（秒），重力加速度为g（9.8米/秒²），则有公式H = -gt²/2。

其中负号表示高度的减小，因为物体向下运动。

通过这个二次函数，我们可以计算物体在不同时间下的高度，进而研究物体的运动规律。

例如，我们可以计算物体自由落地所需的时间，或者计算物体在某个时间点的高度。

这在工程设计和物理实验中具有重要意义，帮助我们预测和控制物体的运动。

二、开口向上/向下的抛物线二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向由二次项系数a的正负决定。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

对于开口向上的抛物线，我们可以将其应用到生活中的一些情景。

比如，一个喷泉的水柱，水流高度与时间之间的变化可以用开口向上的二次函数来描述。

同样，开口向下的抛物线也有实际应用。

例如，一个弹簧的变形量与受力之间的关系常常是开口向下的二次函数。

通过了解抛物线的性质和方程，我们可以更好地理解和解决与之相关的问题。

三、经济学中的应用二次函数在经济学中也有广泛的应用。

例如，成本函数和收入函数常常是二次函数。

企业的成本与产量之间的关系可以用二次函数来刻画。

同样，市场需求和供给也可以用二次函数来表达。

在经济学中，研究成本、收入、需求和供给的函数对于决策和市场分析至关重要。

通过对二次函数的运用，我们可以计算某一产量下的成本和收入，并了解市场价格的影响因素。

这有助于企业决策和经济政策的制定。

四、其他实际应用除了以上提到的应用，二次函数还可以用于建模和预测其他实际问题。

二次函数的应用

二次函数的应用二次函数是一种常见的数学函数，它的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。

二次函数在各个领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的二次函数应用场景。

1. 物理学中的自由落体运动自由落体是物理学中常见的运动形式，它的运动规律可以用二次函数来描述。

当一个物体在重力作用下自由下落时，其位移和时间的关系可以通过二次函数来表示。

假设物体的下落轨迹为 y = -4.9t^2 + v0t + h0，其中 t 表示时间，v0 表示初始速度，h0 表示初始高度。

通过二次函数的图像，我们可以计算物体的落地时间、最大高度等物理量，进一步分析自由落体运动的特性。

2. 金融学中的收益率曲线在金融学中，收益率曲线常用来描述不同期限的债券收益率之间的关系。

假设某个债券的收益率与到期期限的关系可以用二次函数表示，那么我们可以通过该二次函数的图像来预测不同期限的债券的收益率。

另外，通过对收益率曲线进行分析，可以评估利率的变动趋势、市场风险等重要的金融指标。

3. 经济学中的成本函数在经济学中，成本函数是描述企业生产成本与产量之间关系的数学函数。

对于某些生产过程，成本函数常常具有二次函数的形式。

例如，某企业的总成本可以表示为 C(q) = aq^2 + bq + c，其中 q 表示产量，a、b、c 是常数。

通过分析该二次函数，可以找到最小成本对应的产量，从而在生产决策中进行合理的成本控制。

4. 工程学中的抛物线天桥设计在工程设计中，抛物线天桥是一种常见的设计形式。

抛物线为二次函数的图像，因此可以通过二次函数来描述天桥的形状和结构。

工程师可以利用二次函数的性质来计算天桥的高度、跨度等参数，确保天桥的结构稳定性和安全性。

总结起来，二次函数的应用十分广泛，涵盖了物理学、金融学、经济学、工程学等多个领域。

通过对二次函数图像的分析和计算，我们可以探索和解决实际问题，提高问题的解决效率和准确性。

22.3.3二次函数的应用(3)(实物抛物线)详解

y 1
面下降1m，水面宽度增加多少？当 y 1 时， x 6 2
所以，水面下降1m，水面的
宽度为2 6 m.
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
探究3： y
(0,2)
●
(-2,0)
●
0
(2,0)
●
解：设这条抛物线表示的二次函数为
y ax2 2
由抛物线经过点（2，0），可得
a1 2
所以，这条抛物线的二次函数为：
●
0
(2,0)
●
解：设这条抛物线表示的二次函数为
y a(x 2)(x 2)
由抛物线经过点（0，2），可得
a1 2
所以，这条抛物线的二次函数为：
x
y 1 (x 2（) x 2)
2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为
抛物线形拱桥，当水面在 l时，
y1
拱顶离水面2m，水面宽度4m，水当 y 1 时，x 6
将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下
垂呈抛物线状。一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，
其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。
解此：抛建物立线如解图析所式示为的y坐标a系x，2 设bx（0c，2.A2） y
（1.6，2.2）
1.6
B
（0.4，0.7） 2.2
F
0.7
E
0C
0.4
x
y 1 x2 2
2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为
抛物线形拱桥，当水面在 l时，
y1
拱顶离水面2m，水面宽度4m，水当 y 1 时，x 6
面下降1m，水面宽度增加多少？所以，水面下降1m，水面的宽
度为 2 6m.

二次函数在生活中的运用

二次函数在生活中的运用二次函数是一个具有形式为y=ax^2+bx+c的二次多项式函数，其中a、b、c是实数且a≠0。

它是数学中一个重要的函数类型，其在现实生活中有许多广泛的应用。

下面将介绍一些二次函数在生活中的运用。

1.物体的自由落体运动：当物体从静止的位置开始自由下落时，其高度与时间的关系可以用二次函数来描述。

根据物体下落的加速度和初速度，我们可以建立二次函数模型来预测物体的高度随时间的变化。

2.弹性力的计算：弹性力是恢复力的一种，其大小与物体偏离平衡位置的距离成正比。

当物体被施加一个力使其偏离平衡位置时，恢复力的大小可以用二次函数描述。

3.抛物线的建模：抛物线是二次函数的图像，它在很多领域中都有应用。

例如，在建筑设计中，抛物线形状的屋顶可以提供更好的排水系统。

在桥梁设计中，抛物线形状的拱桥可以提供更好的结构稳定性。

4.投射物体的路径预测：当一个物体以一定的初速度和角度被抛出时，它的轨迹可以用二次函数模型来预测。

例如，在棒球运动中，球员可以通过分析投球的初速度和角度来预测球的落点。

5.音乐乐器的调音：乐器的音高可以通过改变乐器弦的张力来调节。

根据弦的拉紧程度，可以建立一个二次函数模型来描述音高与弦长的关系。

这使得乐器演奏者能够根据需要调整乐器的音高。

6.经济中的成本与产出关系：在经济学中，成本与产出的关系经常可以用二次函数来描述。

例如，生产一定数量的商品所需的成本与产出之间可能存在一个最优点，通过求二次函数的极值，可以确定最大化利润的产量。

7.变量与值的关系：二次函数可以用来描述两个变量之间的关系。

例如，员工的工资与工作经验之间可能存在一个二次函数模型，随着工作经验的增加，工资可能会呈现先上升后下降的趋势。

8.交通流量的模拟：交通流量的变化可以用二次函数来建模。

例如，小时交通流量随时间的变化可能呈现一个钟形曲线，交通高峰期的交通流量较大，而其他时间段的交通流量相对较小。

以上仅列举了二次函数在生活中的一些应用，其中还有许多其他的应用。

二次函数的应用(3)

B A O二次函数应用导学案一、情景创设例 1 如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O 恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m.(1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？例 2 一场篮球赛中，球员甲跳起投篮如图所示，已知球出手时离地面920m ，与篮筐中心的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4m 时，达到最大高度4m 。

设篮球运行的路线为抛物线，篮筐距地面3m 。

⑴问此球能否投中？⑵此时对方球员乙前来盖帽，已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m ，他如何做才能盖帽成功？巩固练习1、如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下。

建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A （0，1.25），水流路线最高处B （1，2.25），则该抛物线的表达式为。

如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要____米，才能使喷出的水流不致落到池外。

2、小明是学校田径队的运动员，根据测试资料分析，他掷铅球的出手高度（铅球脱手时离地面的高度）为2m 。

如果出手后铅球在空中飞行的水平距离x(m)与高度y （m ）之间的关系为二次函数y=a(x －4)2+3，那么小明掷铅球的出手点与铅球落地点之间的水平距离是多少（精确到0.1m ）？六、课堂作业1、在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度v 0(m/s)竖直向上抛出，在不计空阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足s= v 0t －21gt 2（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若v 0=10m/s ，则该物体在运动至最高点时距离地面 m.2、如图所示，小明在今年的校运动会跳远比赛中跳出院满意的成绩，函数h=3.51－4.9t 2+0.5(t 的单位：s ，h 的单位：m)可以描述他跳远时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高所用的时间大约是A ．0.71sB ．0.70sC ．0.63sD ．0.6s3、某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个装饰柱OA ，O恰在水面中心，柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，形状如图①。

二次函数在生活中的应用案例

二次函数在生活中的应用案例1. 游艺项目中的过山车设计过山车是一个经典的游艺项目，其设计中应用了二次函数的概念。

在过山车的设计中，设计师需要考虑到乘客的体验和安全。

二次函数可以描述过山车的轨道曲线，使乘客在高速行驶和兴奋的同时，保持相对平稳和安全的感觉。

通过调整二次函数的参数，如抛物线的开口方向、高度、曲率等，设计师可以创造出令人惊险刺激又相对安全的过山车体验。

2. 投掷运动中的球的抛物线轨迹在投掷运动中，例如投掷物体或运动员抛投物体，物体在空中的轨迹可以被二次函数描述。

球类运动如篮球、足球、棒球等的投掷和弹射过程，都可以用二次函数模型来描述球的运动轨迹。

运动员和教练可以利用二次函数模型来预测球的飞行轨迹和最佳投掷角度，从而提高命中率和战术效果。

3. 桥梁和建筑物设计在桥梁和建筑物的设计过程中，对于拱形和弧形结构的设计，也是利用了二次函数的概念。

二次函数可以描述建筑物和桥梁的曲线形状，使得结构既具有美观性，又具备一定的坚固和稳定性。

例如，拱桥和拱门的设计中，二次函数模型可以帮助工程师确定合适的拱形曲线，以及正确的弧度和支撑结构，从而确保桥梁的结构稳定和承载能力。

4. 金融领域的货币供给和通货膨胀模型二次函数在金融领域中也有广泛的应用。

例如，货币供给和通货膨胀模型可以使用二次函数来描述。

在经济学中，通过调整二次函数的参数，如货币供应量和通货膨胀率之间的关系，可以预测未来经济的走势和市场表现。

政府和央行可以据此采取相应的货币政策，以维持经济的稳定和平衡。

5. 自然界中的抛物线曲线在自然界中，许多自然现象的运动轨迹也可以用二次函数来描述。

例如，抛物线轨迹可以在大多数情况下模拟自然界中物体的运动。

比如，自由落体下的物体、喷泉中水的喷射、炮弹的轨迹等都可以使用二次函数模型来描述其运动状态。

通过利用二次函数，我们可以更好地理解和解释自然界中的规律和现象。

总结：二次函数在生活中的应用案例非常广泛。

从游艺项目的过山车设计到金融领域的经济模型，从投掷运动的球的抛物线轨迹到桥梁和建筑物的设计，二次函数都发挥着重要的作用。