江苏省苏州市第五中学高中数学 第二章《圆锥曲线与方程》2.5圆锥曲线的统一定义学案 新人教版选修21

2．5 圆锥曲线的统一定义一、学习内容、要求及建议 二、预习指导1．预习目标(1)了解圆锥曲线的统一定义；(2)掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的各种方法． 2．预习提纲(1)回顾前4节的内容，思考并回答下列问题： ①抛物线是如何定义的?②椭圆、双曲线、抛物线都可以用平面截圆锥面得到，这三种曲线还有没有什么联系? (2)阅读课本第51－52页，链接http ：//baike ．baidu ．com/view/368458．htm ，回答下列问题：①圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离之比等于常数e 的点的轨迹．当0<e <1时，它表示_______________，当e >1时，它表示____________________，当e =1时，它表示____________________．②椭圆22221y x a b+=(a ＞b ＞0)的准线方程是_________________，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的准线方程是_________，抛物线22(0)y px p =->的准线方程为____________，抛物线22(0)x py p =>的准线方程为_____________；(3)课本第51页例1探究平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离之比等于一个位于区间(0，1)中的常数时，动点的轨迹．思考，当距离之比等于一个大于1的常数时，动点的轨迹是什么? 3．典型例题(1)圆锥曲线的统一定义运用圆锥曲线的统一定义，有时需要构造运用定义的条件，对于含有字母的问题，有时需要对字母进行分类讨论．例 1 已知动点P (x ，y )满足 |1243|)2()1(522++=-+-y x y x ，则P 点的轨迹是________________________．A ．两条相交直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆分析：从动点P 的坐标(x ，y )满足的关系式|1243|)2()1(522++=-+-y x y x 产生联想：22)2()1(-+-y x 表示动点P (x ，y )到定点F (1，2)的距离，5|1243|++y x 表示动点P (x ，y )到定直线l ：3x +4y +12=0的距离，然后我们可以利用圆锥曲线的统一定义求解．知识、方法 要求建议圆锥曲线的统一定义了解 课本以抛物线的定义作为新知识的生长点，设计了用电脑实验探索的问题情境，在实验前，请学生大胆猜想． 最后理论证明猜想， 并进行归纳总结，得出圆锥曲线的统一定义．准线方程掌握多角度认识a ， b ， c ， e 的几何意义以及它们之间的关系．解：将|1243|)2()1(522++=-+-y x y x 化为5|1243|)2()1(22++=-+-y x y x ，设F(1，2)，l ：3x +4y +12=0，则F 为定点，l 为定直线，且F 不在l 上，因此平面内动点P (x ，y )到定点F 和到定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e ，而且e =1，所以P 点的轨迹是抛物线，选B ． 点评：本题的关键之处在于利用两点之间的距离公式和点到直线的距离公式，创设出运用圆锥曲线统一定义的情境．思考：若将动点P 满足的条件给为225(1)(2)|3411|x y x y -+-=+-，结果又如何?例2 若方程24x t -＋21y t -＝1所表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①若C 为椭圆，则1<t <4；②若C 为双曲线，则t >4或t <1； ③曲线C 不可能是圆；④若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则1<t <52． 其中正确的命题是_________________________．分析：方程中含字母t ，方程所表示的曲线C 随着字母t 的变化而变化．解：若C 为椭圆，则40,10,41,t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩解得：1<t <4且25≠t ，故①不正确；当25=t 时，方程表示圆，故③曲线C 不可能是圆， 错误； 若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)<0，解得t >4或t <1，故②正确；若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则40,10,41,t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩解得1<t <25，故④正确．所以正确的命题是②、④． 点评：本题让我们体会到含字母的方程中字母的变化对方程所表示的曲线的影响，培养运动变化、相互联系和相互转化的辩证唯物主义观点． (2)在根据标准方程求圆锥曲线的准线方程时，我们要先分析曲线的类型，再求其准线方程．例3 若曲线22149x y m +=+的一条准线方程为x = 10，则m 的值_______ ． 分析：本题可从曲线22149x y m +=+的类型入手． 解：据题意，该曲线的焦点在x 轴上，∴方程22149x y m +=+只能表示椭圆，且m +4>9， ∴a 2=m +4，b 2=9，∴c 2=m －5，∴右准线方程为45m x m +=-，∴4105m m +=-．解得m =6或m =86． 点评：本题考查根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法．4．自我检测(1)中心在原点，短轴长为42，准线方程为9y =±的椭圆的标准方程为_________ ．(2)若椭圆22144x y k k +=+-的一条准线方程是3x =-，则k =______ ． (3)若双曲线22218x y b-=的一条准线与抛物线28y x =的准线重合，则双曲线的离心率为 ________________．(4)椭圆221167x y +=上一点P 到左准线的距离为8，则点P 到右焦点的距离为_________． 三、课后巩固练习A 组1．求下列曲线的准线方程：(1) 16x 2+9y 2=144； (2) 4x 2+25y 2=100； (3) x 2－4y 2=64；(4) x 2－y 2=－8； (5) y 2= 4x ； (6) x 2= －4y ．2．已知P 是椭圆221916x y +=上的一点，则P 到一条准线的距离与P 到相应焦点的距离之比为______ ． 3．已知抛物线方程为x y 82=，(1)若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于_____ ；(2)若抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为______．4．已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____．5．在平面直角坐标系x O y 中，双曲线112422=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是____________．6． 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF 2FD =uu r uu r，则C 的离心率为 .7．已知双曲线的右准线为x =4，右焦点F (10，0)离心率e =2，则双曲线方程为______． 8．一个椭圆的离心率为e =21，准线方程为x =4，对应的焦点F (2，0)，则椭圆的方程为____________．9．如图，F 是椭圆焦点，A 是顶点，l 是准线，则在下列关系：e =||||PD PF ，e =||||BF QF ，e =||||BO AO ，e =||||AB AF ，e =||||AO FO 中，能正确表示离心率的有___________ 个 yxD FQ B OlAC 1D 1B 1A 1CDABPMB 组10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =u u u r u u u r，则k =_______ ．11．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为_______ ．12．若椭圆13422=+y x 内有一点A (1，－1)，F 为右焦点，M 为椭圆上一动点，则MA +2MF 的最小值是_________，点M 的坐标为_______．13．已知点M 是抛物线y 2=2x 上一动点，M 在y 轴上的射影是N ，点A (27，4)，则MA +MN 的最小值是_________________．14．已知双曲线1322=-y x ，M 为其右支上一动点，F 为其右焦点，点A (3，1)，则MA +MF 的最小值是_________________．C 组15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且13AM =，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是_____ ．(填圆、抛物线、双曲线、直线)16．已知椭圆13422=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点12,F F 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由．知识点题号 注意点求圆锥曲线的轨迹或轨迹方程7，8，15 注意圆锥曲线方程可能是非标准方程圆锥曲线定义的应用 1～6，9，10，11 注意曲线上点到焦点的距离与到相应准线距离的相互转化 综合问题 12～14，16注意几何法求最值的方法五、拓展视野从离心率看圆锥曲线间的关系早在17世纪初，在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一个形状的新思想的影响下，法国天文学家开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述．他发现了圆锥曲线的焦点和离心率，并指明抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是圆心在无穷远处的圆．从而他第一个掌握了这样的事实：椭圆、抛物线、双曲线、圆，都可以从其中的一个连续地变为另一个，从而辩证地看到了各类圆锥曲线间的关系．下面我们从离心率对圆锥曲线的形状的影响入手，来研究圆锥曲线间的关系，为了讨论这个问题，我们首先在同一直角坐标系中把椭圆、抛物线、双曲线这三种曲线的方程统一起来．1．椭圆、抛物线、双曲线的统一方程将椭圆22221(0)x y a b a b+=>>按向量(,0)a 平移得到2222()1x a y a b-+=，即222222b b y x x a a =-．作椭圆的半通径(即过椭圆焦点且垂直于长轴的半弦)11F M ，用p 表示11F M ，易证2b p a =，同时易知2221b e a=-．故椭圆的方程可写成2222(1)(01)c y px e x e a=--<=<．类似地，将双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>按向量(,0)a -平移得到2222()1x a y a b+-=，即222222b b y x x a a =+．作双曲线的半通径(即过双曲线焦点且垂直于实轴的半弦)22F M ，用p 表示22F M ，易证2b p a =，同时易知2221b e a=-．故双曲线方程可写成2222(1)(1)cy px e x e a=+-=>．对于抛物线22y px =，p 为半通径长，离心率1e =，它也可写成2222(1)(1)y px e x e =+--，于是在同一坐标系下，三种曲线有统一方程2222(1)y px e x =+-，其中p 是曲线的半通径长，当1o e <<，1e =，1e >时分别表示椭圆、抛物线、双曲线．2．从离心率看圆锥曲线间的关系设椭圆、双曲线、抛物线有相同的半通径，即统一方程中的 不变，令离心率 变化，在这种情况下，我们讨论曲线变化趋势．在同一坐标系下，作出这三种曲线如图所示，设,,A B C 分别是抛物线焦点、椭圆的左焦点和双曲线的右焦点，则有(1)21p p OA e e===+， 22(01)1a c pOB a c e a c e -=-==<<++，22(1)1c a pOC c a e c a e-=-==>++，所以OC OA OB <<． 这说明B 点在A 点右侧，而C 点在A 点左侧．由此，我们来看三种曲线的位置关系(由曲线的对称性，只考虑第一象限内的情况)，从统一方程不难看出，当任意取定00x x =>时，设椭圆、抛物线和双曲线上对应点的纵坐标分别为123,,y y y ，有123y y y <<．这说明，双曲线在抛物线上侧，而椭圆在抛物线下侧． 下面我们进一步讨论圆锥曲线间的关系． (1)当离心率e 由小于1无限趋近于1时， 12p pOB OA e =→=+．(符号“→”表示无限趋近于)．即B →A ． 这说明椭圆的左焦点无限趋近于抛物线的焦点，且椭圆在第一象限内向上移动无限接近抛物线．又因为2222(1)b a c p a e a a -===-，所以21p a e=-． 由于e 由小于1无限趋近于1，所以a →+∞．这说明椭圆右焦点沿x 轴正向趋于无限远．因此可以看出，在椭圆的情况下，当1e →时，椭圆的极限情况就是抛物线．(2)当离心率e 由大于1无限趋近于1时， 12p pOC OA e =→=+，即C →A ． 这说明双曲线右焦点无限接近于抛物线的焦点，且双曲线右支在第一象限内向下移动无限接近抛物线．又因为2222(1)b c a p a e a a -===-，所以21p a e =-． 由于e 由大于1无限趋近于1，所以a →+∞．这说明双曲线左焦点沿x 轴负方向趋于无限远．因此可以看出，在双曲线的情况下，当1e →时，双曲线的极限情况就是抛物线．(3)在椭圆情况下，当0e →时有 1pOB a c p e=-=→+，2,0,1p a p c b p e =→→→-． 故当0e →时，椭圆的极限情况是以点(,0)p 为圆心、以p 为半径的圆．这个事实也可以从统一方程中，令0e =，得到的就是这个圆的方程：222y px x =-．2．5 圆锥曲线的统一定义自我检测(1) 22198y x +=或 221728y x += (2)2 (3)2 (4)2课后巩固练习A 组1．（1）a 2=16，b 2=9，c 2=7，准线方程是7716±=y ； （2）a 2=25，b 2=4，c 2=21，准线方程是212125±=x ；（3）a 2=64，b 2=16，c 2=80，准线方程是5516±=x ； （4）a 2=b 2=8，c 2=16，准线方程是2±=y ；（5）2p =4，准线方程是x =-1；（6）2p =4，准线方程是1=y2．477 3．（1）7；（2）（2，±4） 4． 3535． 46． 237．14816)2(22=--y x 8．3x 2+4y 2－8x =0 9．5个B 组10．23212．3，点M 的坐标为)1,362(- 13．29 14．3226-C 组15． 抛物线 16．不存在。