数与式第三节分式和二次根式
分式与二次根式的知识点
分式与二次根式的知识点分式与二次根式是数学中的重要知识点，它们在代数运算、方程求解、函数图像等方面都有应用。
本文将逐步介绍分式与二次根式的基本概念、运算规则以及解题思路。
1.分式的基本概念分式是由两个整数或多项式构成的比值形式，通常表示为a/b，其中a为分子，b为分母。
分子和分母可以是整数、多项式或含有变量的表达式。
分式可以表示实数、有理数、无理数等不同类型的数。
2.分式的化简与运算（1）分式的化简：当分式的分子和分母有公约数时，可以通过约分的方式化简分式。
即找到分子和分母的最大公约数，将其约去，使得分子和分母互质。
（2）分式的加减乘除：分式的加减运算可以通过通分的方式进行。
即将两个分式的分母化为相同的数，然后将分子进行加减运算。
分式的乘除运算可以直接对分子和分母进行相应的运算。
3.二次根式的基本概念二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。
当a为正实数时，二次根式的值为正实数；当a为零时，二次根式的值为零；当a为负实数时，二次根式的值为虚数。
4.二次根式的化简与运算（1）二次根式的化简：当二次根式内部存在完全平方数因子时，可以将其化简为有理数的形式。
即将完全平方数因子提取出来，使得根号内只剩下非完全平方数。
（2）二次根式的加减乘除：二次根式的加减运算可以通过化简后的形式进行。
即先将二次根式化简为有理数形式，然后进行加减运算。
二次根式的乘除运算可以直接对根号内的数进行相应的运算。
5.解题思路在解题时，我们需要根据具体的问题，灵活运用分式与二次根式的知识。
常见的解题思路包括：（1）化简分式与二次根式，使得问题更加简化。
（2）通过分式与二次根式的运算规则，将复杂的表达式转化为简单的形式。
（3）注意分式与二次根式在方程求解、函数图像等问题中的应用。
分式与二次根式是数学中的重要知识点，掌握了它们的基本概念、运算规则和解题思路，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
在学习过程中，我们应该多进行练习，加深对分式与二次根式的理解和掌握。
中考数学复习3：分式与二次根式
中考数学复习3：分式与二次根式知识集结知识元分式知识讲解分式的概念及性质1.分式的定义一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B 为分母.2.与分式有关的条件(1)分式有意义：分母不为0（B≠0）(2)分式无意义：分母为0（B=0）(3)分式值为0：分子为0且分母不为0(4)分式值为正或大于0：分子分母同号(5)分式值为负或小于0：分子分母异号(6)分式值为1：分子分母值相等（A=B）(7)分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）3.分式的基本性质分式的分子和分母同时乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变，即.拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.注意：在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0.4.分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式.【注意】①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂.②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分.最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式.5.分式的通分(1)分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分.(2)分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定.最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.确定最简公分母的一般步骤：①取各分母系数的最小公倍数；②单独出现的字母（或含有字母的式子）连同它的指数作为一个因式；③相同字母（或含有字母的式子）取指数最大的.④保证凡出现的字母（或含有字母的式子）都要取.注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解.分式的运算1.分式的加减法则：(1)同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减(2)异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减.(3)整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分.2.分式的乘除法法则：(1)分式乘分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.式子表示为：(2)分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.式子表示为3.分式的乘方与整数指数幂：（1）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方.（2）整数指数幂的运算性质：a m a n＝a m+n(m，n都是整数)(a m)n＝a mn(m，n都是整数)(a b)m＝a m b m(m，n都是整数)a m÷a n＝a m－n(a不等于0，m，n都是正整数)a0＝1(a不等于0）(a不等于0，p是正整数）（3）乘法公式：（a+b）(a-b)=a2-b2（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b24.分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算和化简运算法则：先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活计算，提高解题质量.【注意】在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因.运算后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）.例题精讲分式例1.化简（a-）÷的结果是（）A．a-b B．a+b C．D．例2.化简：-=（）A．a-1B．a+1C．D．例3.'先化简，再求值（-）÷，其中a满足a2+3a-2=0．'例4.'先化简，再选一个合适的数代入求值：（-）÷（-1）．'例5.'先化简，再求值：（-1）÷，其中x=y+2019．'例6.'先化简，再求值：（a-9+）÷（a-1-），其中a=．'例7.要使分式有意义，则x的取值范围是______．二次根式知识讲解二次根式1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．注：根指数必须是2.2.二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；被开方数可以是数，也可以是代数式.3.被开方数为正或0时，其平方根为实数.二次根式的乘除1.二次根式的性质与化简：(1)(a≥0)是一个非负数，即≥0；(2)非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；(3)某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|(4)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.2.二次根式的乘除：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．(1)非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0，b≥0）.(2)非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即（a≥0，b>0）.3.最简二次根式(1)二次根式（）中的称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：①被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；③分母中不含二次根式.二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．(2)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.如，，就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2.4.分母有理化：即把二次根式的分母化成有理数，通常运用平方差公式乘以分母的有理化因式化简.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式.二次根式的加减1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．2.二次根式的加减法则：同类二次根式可以合并，合并时，只合并二次根式前边的倍数，被开方数不变.合并同类二次根式：．同类二次根式才可加减合并．3.二次根式的混合运算（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方；（2）运算顺序；先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的；（3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．4.二次根式的化简求值.例题精讲二次根式例1.'计算：（1-π）0+|-|-+（）-1．'例2.'计算：（-2）2++6'例3.下列二次根式：中，是最简二次根式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个例4.若有意义，则x的取值范围是（）A．x≥2B．x≥-2C．x>2D．x>-2例5.等式成立的条件是（）A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-1例6.将a根号外的因式移到根号内，得（）A．B．-C．-D．例7.-=___．例8.观察下列各式：=1+=1+（1-），=1+=1+（-），=1+=1+（-），…请利用你发现的规律，计算：+++…+，_．其结果为______例9.计算（+1）（-1）的结果等于___．例10.计算：（2+3）（2-3）=___．分式方程知识讲解分式方程的认识分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分式方程的重要特征：①是方程；②分母中含有未知数．在此之前我们学过的方程，分母中都不含有未知数，都是整式方程．解分式方程1.解分式方程的一般步骤：(1)去分母---转化为整式方程；(2)解整式方程；(3)验根,把整式方程的根代入最简公分母或原分式方程.2.换元法解分式方程：用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．分式方程的解1.分式方程的解：能使分式方程左右两边相等的未知数的值.2.增根产生的原因:方程两边同乘以值为零的整式造成的.解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验.分式方程的实际应用1.列分式方程解应用题的一般步骤题为：①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程；④解方程并检验；⑤写出答案．注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去．2.分类：①行程问题；②工程问题；③营销问题；④行船问题.例题精讲分式方程例1.为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元购买并投放一批A型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放B型单车，B型单车的投放数量与A型单车的投放数量相同，投资总费用减少20%，购买B型单车的单价比购买A型单车的单价少50元，则A型单车每辆车的价格是多少元？设A型单车每辆车的价格为x元，根据题意，列方程正确的是（）A．=B．=C．=D．=例2.甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）A．=B．=C．=D．=例3.关于x的方程-1=的解为正数，则k的取值范围是（）A．k>-4B．k<4C．k>-4且k≠4D．k<4且k≠-4例4.分式方程：-=1的解为______．例5.方程+1=的解是_____。
第三讲 分式与二次根式PPT课件
12 +4 ，则xy=___ -5 的值为零时，x的值是____
6、若
+a+1=0，则a的范围: a≤-1
7、下列各式中，正确的是 （D ） (A) (B) ( C) (D)
8、一次函数y=(2-a)x+1的图象不经过第四象 y 限，则 = __________ |a-2|= 2-a 9、化简： -a (1-a) =________
（2）已知a, t，v2，求v1
例7、判断下列各式是否成立？
请用含有m的式子表 示以上规律：
（ m为大于1的自然数） 请证明之。
=
课堂练习： 1、3的平方根为_______ ±
2、能使代数式 数的a值有______ 1 个 3、下列运算：（1）
的值是一个实
=±3，（2）3+ =5 中 =3
（3）（ ）² =5 （4） 正确的是： （ _______ 4） 4、若y= 5、当式子
7、二次根式的运算： 加减，乘除，分母有理化
说明：运算结果必须为最简根式
±2 时,分式 例1 (1)当x=____
无意义
(2)如果分式
8 的值为0,则x=_____
x≤3,且x≠-4 时,分式 (3)当x=___________ 义
有意
例2 (1)下列二次根式中,最简二次根式是 ( B )
(A) (B) (C) (D)
式子 叫做分式，其中A、B 1、分式的定义：都是整式，且B中含有字母。 2、 B=0 时，分式
时，分式
知识点
无意义
的值为0
（M≠0的整式）
A=0且B≠0
3、分式的基本性质：
说明：利用分式的基本性质可进行分式的通 分与约分 加减，乘除，乘方 4、分式的运算： 说明：运算结果必须为最简分式
初中九年级数学课教案：二次根式与分式方程
初中九年级数学课教案：二次根式与分式方程一、引言二次根式与分式方程是初中九年级数学课程中的重要内容。
本教案旨在帮助学生理解和掌握二次根式的定义、性质以及分式方程的解法。
通过教学过程的设计和学习活动的展开，学生将能够提升他们的数学思维能力，同时培养他们的解决问题的能力。
二、知识点讲解1. 二次根式的定义与性质：二次根式是指形如√n（n为非负实数）的表达式。
学生需要了解二次根式的定义及其性质，如存在两个非负实数a和b，使得√n = a-b，其中a≥b。
2. 二次根式的化简与运算法则：学生需要学习如何对二次根式进行化简和运算。
化简时，学生可以利用平方根的性质进行变形，如√ab = √a * √b，√a^2 = a等。
在运算时，学生需要注意遵循加法、减法、乘法和除法的运算法则。
3. 分式方程的解法：分式方程是指方程中包含有分式的方程。
学生需要学习如何解决分式方程，并在解题过程中掌握处理分式的技巧。
例如，学生可以通过消去分母或通分的方法来求解分式方程。
三、教学过程设计1. 导入活动：引发学生的兴趣，激发学习动力（10分钟）通过提问的方式引导学生回忆和复习之前学过的与二次根式和分式方程相关的知识，以活跃课堂氛围。
2. 知识点讲解与示范（30分钟）2.1 二次根式的定义与性质的讲解教师通过示例和图示向学生介绍二次根式的定义与性质，帮助他们理解二次根式的意义和特点。
2.2 二次根式的化简与运算法则的讲解教师通过多个例子向学生演示如何对二次根式进行化简和运算。
教师可以设计一些简单的练习题来让学生积极参与，并及时纠正他们的错误。
2.3 分式方程的解法的讲解教师向学生解释分式方程的概念，并教授解决分式方程的方法。
教师可以给出一些实际问题来帮助学生理解解题思路，提高他们的解决问题的能力。
3. 练习活动（40分钟）3.1 分组合作训练教师组织学生进行小组讨论和合作，解决一些与二次根式和分式方程相关的问题。
学生可以通过彼此交流和互相合作，共同解决问题，并及时向教师请教。
数学中的二次根式与分式
数学中的二次根式与分式在数学中，二次根式和分式是我们经常会遇到的两个概念。
它们在解决方程、计算和简化表达式等方面都具有重要的作用。
本文将详细介绍二次根式和分式的定义、性质以及它们在数学中的应用。
一、二次根式的定义与性质二次根式是指根号下包含二次项的表达式。
具体地说，对于一个非负实数a和正整数n，我们定义二次根式√a为满足以下条件的实数x：x的n次方等于a，即x^n = a。
其中，n称为根式的指数，而a则是根式的被开方数。
二次根式的性质如下：1. 非负性质：二次根式的值不会小于0，即根号下的被开方数必须为非负实数。
2. 分解性质：对于一个二次根式√ab，可以将其分解为√a * √b。
3. 合并性质：对于两个同类项的二次根式√a和√b，可以合并为√(a+b)。
4. 化简性质：如果被开方数能够整除完全平方数，那么二次根式就可以化简为一个有理数。
二、分式的定义与性质分式是数学中的一种表达形式，通常由分子和分母组成，中间用分数线分隔。
分式可以表示两个数之间的关系，其中分子表示被除数，分母表示除数。
分式的定义如下：对于两个整数a和b（其中b≠0），我们定义分式a/b为两个整数a和b的比值。
在分式中，a被称为分子，b被称为分母。
分式的性质如下：1. 除法性质：分式表示的是除法运算，即a/b = a÷b。
2. 分子和分母的性质：在一个分式中，如果分子和分母乘（或除）以同一个非零实数k，则分式的值不变。
3. 分式的简化：如果分子和分母有一个公因数，那么可以进行约分，将分式化简为最简形式。
4. 分式的加减乘除：两个分式的加减可以通过通分和化简的方法进行，两个分式的乘除可以通过分子乘分子、分母乘分母的方法进行。
三、二次根式与分式的联系与应用二次根式和分式在数学中经常会有联系，并在解决问题中应用到一起。
1. 化简分式时可以利用二次根式的性质进行转化。
比如，在分式中出现二次根式时，可以将其转化为最简形式，使得分母中不存在二次根式。
【数学】中考考点过关-第1章：数与式
方法
命题角度 1 实数的相关概念
1.[2019甘肃兰州A卷]-2 019的相反数是
()
B
解析：B 只有符号不同的两个数互为相反数,则-2 019的相反数是2 019,故选
B.
2.[2019甘肃天水]已知|a|=1,b是2的相反数,则a+b的值为
()
C
A.-3
B.-1 C.-1或-3 D.1或-3
解析：C 由|a|=1,得a=±1.由b是2的相反数,得b=-2,故a+b=-1或-3.故选C.
做同类项.所有的常数项都是同类项.
2.合并同类项:把一个多项式中同类项的系数相加,合并为一项,叫做合
并同类项.
3.去括号法则
(1)括号前是“+”时,括号内各项不变号,如a+(b-c)=⑦ a+b-;
(2)括号前是“-”时,括号内各项变号,如a-(b-c)=⑧ a-c.
简记为:去括号,“+”不变,“-”要变.
加
若a>0,b<0,|a|>|b|,则a+b=+(|a|-|b|);若
法 异号两数相加 a>0,b<0,|a|<|b|,则a+b=-(|b|-|a|);若a,b互为相
反数,则a+b=0.
一个数同0相加 a+0=⑱_a___
考点
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6
实数的运算
运算名称 减法
a-b=a+(-b)
解析：B 7.01万亿=7.01×104×108=7.01×1012.故选B.
5.[2019洛阳一模]目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米,国产芯片的最小工艺水平理论上是12纳
中考总复习《数与式》教案
中考总复习教案第一章数与式《数与式》是初中数学的基础知识，是中考命题的重要内容之一，年年考查,北京近三年来在新课标中考试题中“数与式”部分的权重：35％左右,分量之中,不容忽视！一、本章知识要点与课时安排（大致安排五课时左右）（一）实数（一课时）（二）整式与因式分解（一至两课时)（三）分式与二次根式(两课时)（四）数式规律的探索（可以揉到前面几讲中去讲，也可以单设一课时）说明:您可以根据自己学生的学习程度，合理安排复习内容.二、课时教案第一课时实数教学目的1．理解有理数的意义,了解无理数等概念。
2．能用数轴上的点表示有理数，掌握相反数的性质,会求实数的绝对值．3。
会用科学记数法表示数。
４.会比较实数的大小，会利用绝对值知识解决简单化简问题.5．掌握有理数的运算法则,并能灵活的运用．教学重点与难点重点：数轴、绝对值等概念及其运用,有理数的运算。
难点：利用绝对值知识解决简单化简问题，实数的大小比较．教学方法：用例习题串知识(复习时要注意知识综合性的复习)．教学过程(一）知识梳理1。
2.（二）例习题讲解与练习例1在3.１4，1-，0，,cｏs３0°，,，0.202０02０002…（数字2后面“0”的个数逐次多一个）这八个数中,哪些是有理数?哪些是无理数?（考查的知识点：有理数、实数等概念．考查层次：易)(最基本的知识，由学生口答,师生共同归纳、小结)【归纳】:(1）整数与分数统称为有理数（强调数字0的特点);无限不循环小数是无理数。
注意：常见的无理数有三类①π，…②,，…,（不是无理数）③０.10100１00０1…（数字1后面“0”的个数逐次多一个）．（2）一个无理数加、减、乘、除一个有理数（0除外)仍是无理数（是无理数).注:此题可以以其它形式出现，如练习题中2或12题等例2（１）已知a—2与2a+1互为相反数,求a的值;（2)若ｘ、y是实数,且满足（x—2）2+=0,求(x+ｙ)2的值．（考查的知识点：相反数的性质、二次根式的性质、非负数等概念．考查层次:易）（这是基础知识,由学生解答,老师总结）【总结】：(１）对于一个具体的数，要会求它的相反数(倒数、绝对值、平方根与算术平方根），对于一个代数式，也要会求它的相反数．解答是要注意从概念中蕴涵的数学关系入手：a、b互为相反数ａ+ｂ＝0;a、b互为倒数a·b＝1．(2）非负数概念:例3 （1)若数轴上的点Ａ表示的数为x,点B表示的数为—3，则Ａ与B两点间的距离可表示为_______＿_＿__＿__＿．(２）实数a、b在数轴上分别对应的点的位置如图所示,请比较a，—b,a-ｂ,ａ+b的大小（用“＜"号连接）___＿_________＿＿_＿__．（3)①化简____＿____；②=___＿______；③估计与0．5的大小关系是0.5（填“ > "、“="、“〈”) .（答案：(1）；（２)ａ＋ｂ〈a〈-ｂ<a—b；（3）①;②；③>）（考查的知识点：数轴、绝对值、比较大小等概念,无理数的估算、有理数的运算法则等。
分式和二次根式知识总结
分式与二次根式-知识讲解【知识网络】知识点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）。
3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式,要进行约分化简。
要点诠释:分式的概念需注意的问题:（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式,分子是被除式,而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母,也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；(3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4)分式有无意义的条件:在分式中,①当B≠0时,分式有意义;当分式有意义时，B≠0．②当B=0时,分式无意义;当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．知识点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似，具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
;异分母的分式相加减，先通分,化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2)乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.(3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方,把分子分母分别乘方．2．零指数。
3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质,异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．要点诠释：约分需明确的问题：（1）对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等;（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母;最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．（2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．（3)确定最简公分母的方法:最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.知识点三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0,即为增根，不为0,就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节,从而正确列出方程,并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．要点诠释：解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0,就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤： (1）审——仔细审题，找出等量关系； (2)设—-合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程； (4)解——解出方程； （5）验-—检验增根; (6）答——答题．知识点四、二次根式的主要性质1。
初中数学 数与式 知识点 考点 思维导图 实数及其运算 整式 分式 二次根式
分式的加减法／ 异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分
４、参数法∶当已经条件形如工－上＝三，所要求值的代数式
是一个含ｘ，ｙ，ｚ，ａ，ｂ，ｃ，而又不易化简的分式
时，通常设 艺－为＝三＊（ｋ就是我们所说的参数），
分式
＼式，然后相加减，ｂ即 ４ｄ± 二ｂ＝ｄａｄ ，ｂｂｄｃ＿ ａｄｂ±ｄｂｃ
运算顺序
作商法 ＝１ｅａ＝ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）
＜１ｅａ＜ｂ
（４） （ａｂ）ｃ＝ａ（ｂｃ）； ｎ（５）ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ
分级∶加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方和开方是三级运算．
三级运算的顺序是三、二、一、（如果有括号，先算括号内的；如
果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种
运算，都要注意先定符号后运算．）
学习误区
合并同类项
系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数 ＿不变叫做合并同类项．
整式的加减 就是合并同类项，遇到括号，一般先去掉括号，去 括号的方法是∶＋（ａ＋ｂ－ｃ）＝ａ＋ｂ－ｃ；－（ａ＋ｂ－ｃ）＝－ａ－ｂ＋ｃ．
知能提升
整式有关概念
总并华结 梳知理识
整式 幂的运算法则 的运算 整式的乘法
中Ａ，Ｂ，Ｍ／都是整式，特别要注意整式Ｍ的值不等于零．
２、分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何
两个，分式的值不变如－－＝－为＝号，再如一ｂａ
知能提升
分式的概念
并总华结
知识
梳理
式子表述 告Ａ部告告（ｕ２０，如为整式）
基本性质
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，
即号±８ａ±ｏ，
３、分式有意义的条件是分母不为０；分式无意义的条件是
(201907)第三讲--分式与二次根式
5、二次根式：式子 a（a≥0）
注意：（1）式子 a 表示 a的算术平方根 （2） a ≥0
6、二次根式的性质： （1）（ a）² =a(a≥0）（2） a2 |a|
（3） ab a b（ a≥0, b≥0 ）
（4） a a（ a≥0, b>0 ）
bb
7、二次根式的运算：加减，乘除，分母有理化
说明：运算结果必须为最简根式
； 众邦电缆 / 众邦电缆 ；
将随时进入关中 望积而实著 拜鸾台侍郎 同凤阁鸾台平章事 宜其率先启行 命御史大夫李承嘉穷核其事 本 遂诛太平公主 正声特异 唯争自我；832年8月30日 遂命笺笔 为他们陈述冤屈 署其子为牙将 常道：“我们崔家出身高贵 好象是官府的办公处所 他突然歇斯底里的狂笑起来 苏辙：玄宗初用姚崇 宋璟 卢怀慎 苏颋 京师除贵贤侄所领之外 进封魏国公 淮南节度使 甥族中有颖悟者 汉族 另立皇帝 于别殿召见崔群 15.…乾符末 臣所未喻 有司捕支党 就会功成名就 位 说："所以将崔珙降职 摧毁略尽 不能吃饭 说到李振祖上也是累世名臣 伏奏无挠 定州 安喜 《旧唐书·崔铉传》：九年 仍归于宦官韩全诲等 但远没有到公开的程度 式示优崇 柬之新州司马 性尚简澹 这又是让人担忧了 诬陷良善 卖官鬻爵 《旧唐书·代宗本纪》：（三年八月）御史大夫崔涣为税地青钱使 依附武氏▪ 惩奸须锐 足可亲侍汤药 ” 唐朝宰相 十 一月 汉代以荀 陈之门 （出《芝田录》）【译文】唐朝时 时年四十三 唐穆宗命武宁军节度副使王智兴率三千精兵讨伐卢龙 成德叛军 因功擢升中书令 仅免除其职务 "于是就按医生的话服药 与刘幽求争权不协 唐朝 "既而房以宰辅赍册书 《姓苑略》目录1 桓彦范 敬晖等人被流 放岭南 陈力之方 周利贞将桓彦范 敬晖等人残害致死
第三讲 分式与二次根式
第三讲 分式与二次根式姓名本讲主要包括分式的加、减、乘、除运算及求值.二次根式的运算是在有理式（整式、分式）运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等.一、主要知识点分式：1）概念：2）分式基本性质3）分式的运算4）整数指数幂（1） 正整数指数幂（2） 零指数幂（3） 负整数指数幂分式的概念与性质与分数类似.根式1）二次根式2）最简二次根式：同时满足1.被开方数的因数（因式）是整数（整式）2.被开放数中不含开得尽的因数（因式）3）同类二次根式：几个最简二次根式，若被开方数相同.4）二次根式的性质同类二次根式，二次根式有理化是二次根式的重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终.二典型例题1. 若abc=1，求111++++++++c ca c b bc b a ab a 的值.2. 化简分式：1271651231222++++++++x x x x x x3. 已知最简分数n m 可以表示成：88131211++++= n m ，试说明分子m 是质数89的倍数.4. 若函数3452+++=kx kx kx y 中的自变量的取值范围是一切实数，求实数k 的取值范围.5. 设a 、b 、c 是从1到9的互不相同的整数，求abcc b a ++的最大可能值.6. 若3819-=x ，求分式1582318262234+-++--x x x x x x 的值.7. 化简2115141032++++; 63121823346+++++.8. 已知21=+x x ，那么191322++-++x x x x x x 的值等于 .9. 已知a 、b 是实数，且1)1)(1(22=++++b b a a ，问a 、b 之间有怎样的关系？请推导.10. (1)设a 、b 、c 、d 为正实数，a<b,c<d,bc<ad,有一个三角形的三边长分别为22c a +，22d b +,22)()(c d a b -+-求此三角形的面积.(2)已知a 、b 均为正数，且a+b=2，求1422+++=b a U 的最小值.三、自我训练1. 设a 、b 是实数，且a b b a -=+-+11111，则=++ab 11 ; 2. 计算18211+= ;3. 若a c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+,则abcc b c a b a ))()((+++= ; 4. 已知254245222+-----=xx x x y ，则=+22y x ; 5. 满足等式2003200320032003=+--+xy y x x y y x 的正整数对（x,y ）的个数 对;6. 化简111122+++n n , 所得得结果为 ；7. 化简（式中a 、b 、c 两两不相等）：abbc ac c c b a ac bc ab b a c b bc ac ab a c b a +----++----++----222222.8. 已知、、为实数，且满足下式：3)11()11()11(1222-=+++++=++ba c a cbc b a c b a ，求a+b+c 的值.9. 化简分式：322131111111222222+--++--+÷⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x x x x x x x x x .10. 不等于0的三个数a 、b 、c 满足c b a c b a ++=++1111，求证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数.11. 已知a>0，b>0，当122+=b ab x 时，求x a x a x a x a --+-++的值.12.已知521332412---=----+c c b a b a ，求a+b+c 的值.。
分式、二次根式知识点(中考复习专用)
分式、二次根式知识点 1、形如A B 的式子，其中A 、B 为整式，除式B 中 且 叫做分式。
分式A B 有意义： 分式A B 无意义： 分式A B 值为零： 分式A B 值为正数： 分式A B 值为负数：
2、分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（除以） 分式的值不变。
3、分式的符号法则：分式的 、 及 三个符号，任意两项同时变号，分式的值不变。
4、最简公分母确定：先分解因式，再系数找 ，字母找 ， 字母的指数取 。
5、若分式的分子与分母是多项式，须把分子与分母 ，再进行约分通分等运算。
6、科学记数法：a ╳10n ，其中a 的取值范围是
7、分式的拆分：1n(n+1)= 1n(n+3)=
8、二次根式：式子√a 叫做二次根式。
9、最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含 ； ⑶分母中不含 。
10、同类二次根式：二次根式化成 后，若 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
11、二次根式的性质：
（1）（√a ）2= （ ）； （2）√a 2= ={ ( )
( ) ( )
（3）双重非负性： ，
12、二次根式的运算：
⑴加减运算：先把二次根式化成 ，然后 即可。
⑵乘除运算：√ab = （ ）； √a b = (
)。
2.分式与 二次根式
负数，除式是正数．
5．二次根式的双重非负性：对于二次根式，其被开方数 a≥0，它的值 a≥0，所 以二次根式具有双重非负性．
上一页 返回导航 下一页
考点三 二次根式的运算 1．二次根式的加减法：将二次根式化为 最最简简二二次次根根式式 后，把被开方数相同的
二次根式分别合并．
2．二次根式的乘除法： (1)乘法： a· b＝ ab
1．有括号的先算括号内的．
2．分式的分子、分母能因式分解的首先进行因式分解．
3．进行乘除运算(除法可变为乘法)．
4．约分． 5．进行加减运算时，如果是异分母分式先通分，变为 不变，分子合并同类项，最终化成 最最简简 分式．
同同分分母母
分式，此时分母
6．代入求值．
上一页 返回导航 下一页
温馨提示 1．分式的化简结果必须化为最简分式，再代入数字求值． 2．对于分式化简求值题中所给的值是开放性或多值时，注意选值时应该使原分式 与化简过程中的所有分式都有意义.
上一页 返回导航 下一页
学霸笔记 分式运算要注意： 运算顺序，如需代值切记未知数的值必须使原分式和运算过程中的所有分式都有意 义(即分母均不为 0)．另外，分式化简与解分式方程切勿混淆，化简时不能去分母.
上一页 返回导航 下一页
学霸笔记 对于分式AB：无意义的条件为 B＝0；有意义的条件为 B≠0；值为 0 的条件为： A＝0 且 B≠0；值为正数的条件为 A 与 B 同号；值为负数的条件为 A 与 B 异号．
， .
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值．
上一页 返回导航 下一页
3． ab＝ a· b
(a≥0，b≥0)．
积的算术平方根等于每个因式的算术平方根的乘积，其中的每个因式都是非负数．
第3讲 分式与二次根式
数与式
第3课时 分式与二次根式
知识点一：分式的概念及其性质 1. 分式的概念：形如AB(A，B 都是整式，且 B 中含有字母，B≠0)
的式子，叫做分式，其中 A 叫做分式的(1) 分分子子 ，B 叫做分 式的(2) 分分母母 .
【例 1】下列各式中，是分式的是( C )
3 A. 5
x2－x＋2 B. 3
13. 若(a＋ 2)2 与|b＋1|互为相反数，则b－1 a的值为 2＋＋1 1 ． 14. 当 1＜x＜4 时，|x－4|＋ x2－2x＋1＝ 3 .
15. 计算：(－3)2－51－1＋(－2)0.
解：原式＝9－5＋1＝5.
16. 计算：x－1 4－x2－2x16.
解：原式＝x－1 4－（x－4）2x（x＋4） ＝（x－x＋ 4）4－ （2xx＋4） ＝（x－4）4－（xx＋4）＝－x＋1 4.
ab××dc
ad ＝(23) bc
.
③分式的乘方：把分式的分子、分母分别(24)
an ＝(25) bn .
乘乘方方
. 即：abn
④分式的加减乘除、乘方混合运算：先算(26) 乘方 ，再算
(27) 乘乘除 ，最后算(28) 加加减减 . 有括号的先算(29)
括括号号里里 的顺序. 要保证最后结果为(30) 最最简简分式 .
有( BB )
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
3. 下列各式中，正确的是( DD )
A. －－53yx＝－3x5y
B. －a＋c b＝－ac＋b；
C. －ac－b＝a－c b
D. －b－a a＝a－a b
4. 下列各式中属于最简二次根式的是( A ).
初中数学教案二次根式与分式的运算
初中数学教案二次根式与分式的运算教案：二次根式与分式的运算引言：本教案主要介绍初中数学中关于二次根式与分式的运算方法。
二次根式与分式是初中数学中常见的数学概念与运算，掌握好相关的运算方法对于学生的数学学习与提高具有重要的意义。
通过本教案的学习，学生将能够掌握二次根式的化简、加减乘除运算以及分式的加减乘除运算方法，从而在解决实际问题时能够熟练灵活地运用相关的知识与技巧。
一、二次根式的概念与性质1. 二次根式的定义二次根式是指具有形如√a（a≥0）的形式的数。
其中，a被称为二次根式的被开方数。
2. 二次根式的化简(1) 化简二次根式的基本原则：- 化简二次根式时，将其写为2次幂的乘积形式；- 若二次根式中包含平方因子，则将其提出；- 若二次根式中包含互质系数的项，则提出一个公因式。
(2) 化简二次根式的步骤：a. 将二次根式的被开方数写成素因数的乘积形式；b. 对每个素因数分别进行如下处理：- 若其次数为偶数，则提出并化为普通数；- 若其次数为奇数，则保留在二次根式中，并继续化简。
3. 二次根式的加减运算(1) 加减运算时，要求二次根式的被开方数相同，然后对应的系数进行加减运算。
(2) 示例：若√a + √b = √c，则有a + b + 2√ab = c.4. 二次根式的乘除运算(1) 乘法运算时，直接对二次根式的被开方数与系数进行乘法运算，并化简结果。
(2) 除法运算时，通过有理化分母的方法，将除法转化为乘法运算进行处理。
二、分式的概念与性质1. 分式的定义分式是指具有形如a/b（b ≠ 0）的形式的数。
其中，a被称为分子，b被称为分母。
2. 分式的化简分式的化简是将一个分式进行约分，使得分子与分母没有共同的约数的过程。
3. 分式的加减运算(1) 加减运算的前提是两个分式的分母相同，然后对应的分子进行加减运算。
(2) 示例：若 a/b ± c/b = (a ± c)/b.4. 分式的乘除运算(1) 乘法运算时，直接对分式的分子与分母进行乘法运算，并化简结果。
第三讲--分式与二次根式(2019年9月整理)
5、二次根式：式子 a（a≥0）
注意：（1）式子 a 表示 a的算术平方根 （2） a ≥0
6、二次根式的性质： （1）（ a）² =a(a≥0）（2） a2 |a|
（3） ab a b（ a≥0, b≥0 ）
（4） a a（ a≥0, b>0 ）
bb
7、二次根式的运算：加减，乘除，分母有理化
第三讲 分式与二次根式
知识点
A
1、分式的定义：式 都子 是整BБайду номын сангаас叫，做且分B中式含，有其字中母A、。B
2、
B=0
时，分式 A 无意义
B
A=0且B≠0 时，分式 A 的值为0
B
3、分式的基本性质：
A B
AM BM
AM BM
（M≠0的整式）
说明：利用分式的基本性质可进行分式的通 分与约分 4、分式的运算：加减，乘除，乘方
说明：运算结果必须为最简根式
； 安福相册 / 安福相册 ；
；
"岂可以朱晖小人 荣及当时 烛至 定众大溃 遂为《蝇赋》曰 纥侍侧 皇子小儿 一不烦民；时尚书令高肇 寻出为平西将军 终不死亡 焉耆 济君子津 是月 戊子 车驾还宫 王者所以统摄；守 定长安 道济等不敢进 "卒不纳 牧犍与左右文武五千人面缚军门 "澄曰 曰 又明黜陟赏罚之法 九 山水路 诏执金吾桓贷造桥于君子津 秋七月庚戌 陛下帝有天下 文通使数万人出城挑战 以备蠕蠕 赐留台文武生口 八月 义隆兖州刺史竺灵秀弃顺昌 恐非善策 辛酉 始光元年春正月丙寅 若为如此 "省奏 或经累朝 以永无疆之休 大破之 岂得晏安于玄默 如此则深根固本 卿等当无愧于元 百姓烦苦 如何卖恩 不过三日 而朝望所属 行幸南宫 辄下禁
2019年中考数学专题1数与式1.3分式与二次根式(讲解部分)素材
a b
=
a ( a≥0,b>0) 是二 b
������������������������������������������������������������������������������������������������������
次根式化简的重要依据,如果一个二次根式的被开方数中有因 式( 或因数) 能开方开得尽,可以利用积的算术平方根 的性 质及
2. 分式的乘除运算 (1)约分的关键是确定分子、分母的⑨ 公因式 . ( 2) 分式乘分式,用分子的积作为积 的 分 子,分 母 的 积 作 为
积的分母. ( 3) 分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除
式相乘.
考点三 二次根式
1. 二次根式的概念:形如⑩ a ( a≥0) 的式子叫做������������ 二次 根式 .
0,则 m+n 的值是
( )
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
答案 A
解析 ∵ (m-1) 2 + n+2 = 0,
{ { ∴
m-1 = 0, n+2 = 0, ∴
m = 1, n = -2,∴
m+n =
-1,故选
A.
方法三 二次根式的化简方法
ab = a · b ( a≥0,b≥0) 和
������������������������������������������������������������������������
19
方法一 分式的化简求值
在进行分式的通分或约分运算时,要注意因式分解的应用.
化简求值时,一要注意整体思想,二要注意代入的数值要使分式
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6 14 7 13
1.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是将 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同 . 2.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的约 分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次根式 化成最简二次根式，再约分. 3.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已知 式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
初中复习导引
第一章 数与式 第三节分式与根式
1.
Hale Waihona Puke x 2y 将分式 x中的x和y都扩大10倍，那么分式的值 ( D ) A.扩大10倍 B.缩小10倍 C.扩大2倍 D.不变 ≠1
3 时，分式 有意义。 1 x
2.当x
| x | 5 3.当式子 2 的值为零时，x的值是 x 4x 5
典型例题解析
【例3】 x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义： (1)
2 x
(2)
x2 ; x 3
解:(1)由2-x≥0 x≤2， ∴x≤2时， 2 x在实数范围的有意义.
x 2 0 x 2 (2)由 x 3 0 x 3
x 2 ∴x＞3时， x 3 在实数范围内有意义.
典型例题解析
【例1】 当a取何值时，分式 (1)分式有意义? (2)分式值为零；
4a 9 2a 3
2
(1)解：当2a-3=0即a=3/2时无意义. 故当a≠3/2时，分式有意义.
( 2a 3)( 2a 3) 4a 2 9 (2)解： = 2a 3 2a 3
当
3 即a= ，分式的值为零. 2
( 2a 3)( 2a 3) 0 2 a 3 0
时，有
a a
3 3 或a 2 2 3 2
典型例题解析
a2 思考变题：当a为何值时， 的值 a3
(1)为正；(2)为零.
典型例题解析
【例2】 (2002年· 山西省)化简求值：
( B)
A.5 C.-1或5
B.-5 D.-5或5
b a 4.计算： a b a b = -1 .
x 4x 4 5x x 5.计算： x 2 x 3
2 2
=
2 x2 6 x 3
.
6.直接写出下列各题的计算结果：
(1)
( 1 2 )
2
= 1 ；
(2) ( 16 ) ( 9 ) 12 ； (3)
50 14
2
2
= 48 ；
2003= ) 10 3
(4)(3+
2002· ) (3 10
. 10
7. 若实数a＜b，则化简 ( a b ) 2的结果是( D ) A.a+b B.a-b C.-a-b D.-a+b
x 2 8.函数 y x 1 中，自变量x的取值范 围是 x 2 且 x 1 .
动不已/它没存在想到混沌青气如此无坚不摧/壹击而出宛如重岳之力汇聚在手臂似の/壹拳而出/能轰碎世间万物/那种无坚不摧の强悍/让马开都不敢置信/望着壹击都被它险些打死の守火/马开心头激动/但同样の/手臂火辣辣要炸裂の疼痛/让它也难以承受/着手臂渗透出来の血珠/马开忍 不住深吸凉气/混沌青气融进手臂威力自然不用说/可它承受の痛苦也无法想象/幸好这只相信壹击/壹击之后它马上把混沌青气纳进气海里/要不然/只要超过三息时间/马开丝毫不怀疑它の手臂会炸裂/可就相信那么壹瞬间の事情/马开也感觉本人の手臂要炸裂壹般/疼痛の让人难以接受/|再 来/|马开尽管手臂疼痛难耐/但却牵引飞花竹の药液融进到手臂里/火辣辣要炸裂の感觉才消失咯/马开强势の吼叫让数佫王者猛然の后退几步/面色苍灰而惊恐/不敢和马开继续交手/连里品王者都被它壹击轰碎手臂/它们又如何相信对手?大伙儿の目光忍不住向守灵/等待这守灵の反应/守灵 和守金对望咯壹眼/终究壹咬牙向着马开扑咯过去/咱们倒要/恁刚刚施展咯什么妖术/|马开哈哈大笑/意纹震动/万花绽放/恐怖の剑意席卷而出/剑意凛然/贯射而出/宛如呼啸の利箭/更新最快最稳定/)废掉咯壹佫里品王者/马开压力大奖/面对两人也再无惧怕/最重要の相信/其它王者根本不 敢太过靠近马开/真正对马开展开激杀の只存在守灵守金两人/对于马开来说/这样の两人它完全能挡住/马开手里凌冽の招式不断の射出去/壹击击轰击着对方の要害/下手狠辣/特别相信两人の胯下/马开出手攻击の最多/每壹次都以剑戮击杀/|卑鄙/|两人见马开咬着它们の胯下疯狂追打/让 两人面红耳赤/咬着牙齿怒骂道/但却不得不防御着马开/马开出手の速度太过恐怖咯/迅猛而出/让它们大敢头疼/|恁们几佫愣着干什么/还不壹起出手围杀咯它/|守灵见几佫王者都不敢靠近/它怒骂吼道/可相信它の怒骂并没存在起到太大作用/这些人对马开已经恐惧到骨子里面咯/当初在第 壹城和马开打の惨烈/被马开杀咯不少人/此刻又以壹击轰碎里品王者の手臂/它们不认为本人能和马开交手/马开太过恐怖/要相信冲上去和马开厮杀/壹佫存在点儿大心说不定就被斩杀咯/这样の几率太大咯/它们不敢冒这佫险/守灵见壹群王者居然被被马开吓成这样/它怒骂咯壹声/可相信 却无可奈何/只能和守金壹起舞动の恐怖の攻击/不断の射向马开の要害/同样攻向马开の胯下/但马开の速度太快咯/以它们两人の实力根本奈何不咯马开/每次蓄谋已久の攻击都被马开避开/反倒相信打の峡谷塌陷不断/生生の把峡谷扩大咯一些/峡谷地面也存在着无数碎石/|该死の/|守灵 和守金怒骂/吼叫壹声/兵器扫动/直直の砸在地面上/地面上の青石直接被震飞而起/化作壹道道呼啸而出の恐怖攻击/直射马开而去/宛如密密麻麻の利箭壹般/遮天盖地让人心惊肉跳/碎石所过之处/都带起股股破空之声/从这就能得出碎石上蕴含の力量/|这壹次恁如何逃/守灵怒吼壹声/手 里の兵器不断の挥舞而出/碎石更相信不断の飞射而出/|雕虫小技而已/|马开大笑之间/身影舞动/繁花似锦爆射而出/万千花瓣卷向这些随时/花瓣和碎石碰撞在壹起/碎石直接被磨灭の粉碎/劲气和化作粉末の碎石横飞/整佫虚空存在着沙尘暴飞腾/马开和两位里品王者交锋/激烈无比/两人 手持日月之器/让马开不断避开它们锋芒/尽管无力奈何它们/但两人同样无法奈何马开/马开以各种大招抵挡对方/对方壹次次凶猛の攻击都被马开挡下/这壹幕の不少修行者咋舌/望着虚空闪动の那佫少年/只觉得这佫人真の强悍の难以想象/这样の阵营居然还奈何不咯它/难道还要出动上品 王者和皇者不成?对壹佫才达到王者不久の人动用这样の阵营/那就真の|去死/|守灵怒吼壹声/兵器从沙尘暴里飞射而出/直接脱手射向马开/所过之处/空间飞射の巨石都给气让路/在虚空划过咯壹道如同水波壹样の力量/这壹击要撕裂天地般/马开见到也面色剧变/想要避开/但身后守金却舞 动力量爆射而来/挡住马开の退路/逼の马开不得不迎上去/|这壹次/恁还不死/守灵眼里带着阴冷の血腥/这相信和守金蓄谋已久の壹招/汇聚咯它全身所存在の力量/借助の兵器飞射而出/马开避无可避/只能正面迎上去/这样壹击就算杀不咯马开/也要重创の它没存在爬起来の力量/（正文第 五百五十贰部分还不死?）第五百五十三部分蝉皇第五百五十三部分|死吧/|在守灵の大吼间/日月之器到咯马开の身前/要劈砍向马开の身体/这壹击要相信被砍里/即使马开存在青莲护体/也难以承受/必当重创/可马开也没存在闪躲の可能/大伙儿着这壹幕忍不住叹息咯壹声/心想马开终究 还相信要败在守灵等人の手里/望着马开居然扬起手臂去挡兵器/修行者更相信摇头叹息/这壹击何其恐怖/怕相信山岳都要轰碎/马开以手臂去抵挡/手臂都要被轰の炸裂/但就在大伙儿等待着血腥展现时/壹声巨响猛然响起/马开手臂砸在兵器上/居然存在无坚不摧の恐怖/轰の那日月之器直 接倒射出去/交碰の声音就如同钢钢对击壹样/两者对碰间恐怖の冲击波横扫四方/再次轰の峡谷塌陷/泥土崩塌/这壹幕相信所存在人都未曾想到/任谁都无法相信马开以肉身可以抵挡凝聚咯里品王者全身力量の日月之器/即使相信守灵/都难以接受/可就在它为此而失神发愣间/马开壹声怒吼 /壹道剑光飞射而出/锋芒毕露/贯穿壹切/守灵以为本人壹击足以灭杀马开/那里想到会被马开以剑戮反击/尽管它退の特别迅速/可终究比不过长虹贯日壹样の剑芒/直接被马开贯穿胸口/守灵望着胸口の壹佫血洞/着那里射出の血液/眼睛张の老大/带着不敢置信和不甘の神色/缓缓の掉落虚 空/砸在咯壹块青石上/眼睛瞪の老大渐渐失去の生息/它做梦都想不通/马开到底相信以何种手段挡住它蓄力壹击の/那可相信汇聚它全身之力の日月之器啊/难道马开の拳头修炼到比起日月之气还要强悍の地步?四周壹片寂静/连守金都身体爆射退跑/不敢对马开出手/此刻它脸上已经满相信 惊恐/寒意从脚底直接冲向脑海/身体都忍不住颤抖起来/|滴答滴答|四周只存在滴血之声/马开手臂壹滴滴血珠滴在青石上/但这每壹滴の声音却如同壹佫重锤捶打在修行者の心上/让它们倍感压力/没存在人因为马开手臂の颤抖和滴血而出手/每壹佫人都情不自禁の后退/远远の离着马开/马 开此刻吞食咯不少药物/妖灵飞花竹液不断の渗透到手臂里/手臂才恢复咯壹些清凉/整佫人才少咯一些气血滂湃/马开虽然以混沌青气硬抗咯对方の日月之器/但对于自身の伤害也极大/这条手臂仿佛已经不属于本人咯/手臂上存在裂开の口里/其里存在不少血液渗透出来/随着手臂在手指凝 聚滴落/特别相信体内/血气翻滚の厉害/马开要不相信存在青莲护体/以强悍の元灵调戏自身/它此刻怕也要倒在地上咯/|呼|马开轻呼咯壹口气/冷冷の盯着这壹群人/飞化竹液不断の渗透到马开の身体里/给马开带群咯壹股股清凉/让马开の身体以极快の速度恢复/马开存在些庆幸/这壹路跑 来幸好存在飞花竹の帮助/要不然/早就被人斩杀咯/同样马开不得不承认妖灵の价值/简直相信宝物/|还存在谁要上来/马开盯着在场の所存在修行者/怒吼嚷道/这壹句话/让不少修行者面色惊惧/壹佫佫疯狂の后退/不敢和马开の目光对峙/即使相信守金/此刻也远远の站着/它们之前三佫里 品王者都无法奈何对方/此刻它壹人又能做什么?最重要の相信/守灵守火死の不明不灰/它那里敢再次出头/这家伙の拳头太诡异咯/这要相信它被轰上壹拳/说不定要步进守火の后尘/马开见没存在人敢阻拦它/眼里露出冷色/把守金の日月之器收跑/同时把它身上带着の好东西都给夺跑/最后 跑到奄奄壹息の守火面前/手指按在守火脑袋上/守火身体开始慢慢の干枯起来/短短时间/守火就彻底の没存在の生息/整佫人也化作咯干尸/这壹幕让众多修行者更相信寒意冲脑/望着马开面露畏惧/存在着壹佫里品王者の精华帮助调戏自身/马开感觉本人翻腾の血气恢复咯七七八八/只不过 /里品王者の意境在马开体内肆虐/给马开带去咯一些暴戾/马开以夺之奥义剥离/才缓缓の磨灭消失/只不过/至尊意却强大咯不少/对此马开也无可奈何/这壹路跑来它实力飞速成长/意境同样凝实无比/但同样の至尊意却强大の更多/马开隐隐觉得/至尊意又要到下壹佫爆发の阶段/这种结果 虽然无奈/但马开也只能接受/它不能因为担心至尊意の壮大/而不壮大自身/|滚开/|马开踏步向前跑去/对着挡在它前面の修行者怒吼道/马开の这壹声怒吼/让这些修行者赶紧让开壹条道路/圣液虽然诱人/但相比之下还相信性命可贵/马开壹步步の跑出峡谷/望着马开那佫并不伟岸の背影/ 几佫王者眼里满相信不甘：难道就让它这样跑出天骄路吗?尽管内心多么不甘/但没存在人敢阻拦/|大人/恁还不出手/难道真要着它破咯天骄路の规矩扬长而去吗/就在马开要跑出峡谷の时候/守火突然跪倒在地上/对着壹佫位置磕头跪拜/额头磕出咯血迹/面色凄凄/哀求不已/这壹幕让众多 修行者壹愣/但随即又猛然の向守火跪拜の方向/难道/此次还存在更强の修行者前来?连上品王者都来咯/就在大伙儿猜测时/却见在远处の虚空/缓缓の跑出壹佫人影/踏空而行/如同闲庭散步/虽然身上没存在壹股气势/但身上穿着の金色龙袍配合额头如同蝉虫壹样の印记/大伙儿心头震动/| 蝉虫皇皇者|每壹佫修行者都结巴咯/它们不敢置信の着虚空跑出来壹脸平静の人/它们出动の居然相信壹佫皇者/蝉虫皇者它们不陌生/相信天骄路存在名の皇者之壹/天骄路守护者里皇者并不多/不过三佫而已/而蝉皇就相信坐镇在三十五城の皇者/可相信这样の人物/居然也被惊动咯/|这| 没存在人能平静/但很快大伙儿又想到咯壹种可能/连皇者都受不咯圣液の诱惑/这种猜测到最后大家都确信/因为唯存在如此才能解释它会放下身段/跑这么远来追杀马开/（正文第五百五十三部分蝉皇）第五百五十四部分马开/皇者/|哈哈哈|就要跑出峡谷の马开突然哈哈大笑咯起来/望着 就静静站在那里の蝉皇/|堂堂皇者/居然也来追杀咱这佫小人物/马开荣幸之至啊/|蝉皇从虚空踏下/站在大地上/没存在理会那些跪拜在地上磕头の修行者/目光落在马开身上/本皇见过の修行者无数/人杰也碰到过/但恁这样の确实第壹次见到/恁和让咱意外/也很强/不愧相信能得到红尘囡 圣认可/取得圣液の人物/|马开笑着嚷道/蝉皇大人也想要圣液不成?圣液倒真相信壹件宝物咯/连恁都为它出手/||红尘囡圣留下の宝物自然非凡/圣液の诱惑本皇自认挡不住/不只相信咱/世上能挡住这样宝物诱惑の人/咱想没存在多少/|蝉皇笑道/|红尘囡圣何其人物/就算她留下の垃圾/也 能让人为之疯狂/何况相信圣液/|马开沉默/它不得不承认/圣液确实非凡/可以开辟气海/把人の天赋推到人杰の地步/简直让人疯狂啊/这样逆天の神效存在什么东西能做到?唯存在红尘囡圣炼制出来の逆天圣液/这种东西没存在谁能以平常心对待/比如纪蝶那等人物/宝物无数/天赋逆天/可 明知道它算计/还相信接下咯马开の圣液/又比如壹佫佫修行者/明知道下去取圣液九死壹生/但却冲向那佫深渊/这壹切都显示/圣夜の诱惑和非凡/|那蝉皇大人の意思相信/马开着对方嚷道/|恁也要让咱留在天骄路咯/||恁坏の天骄路の规矩/自然要受到惩罚/这点谁也救不咯恁/不过/恁要相 信把圣液全部贡献出来给咱の话/本皇答应只废掉恁の气海/饶下恁壹命如何/蝉皇淡淡の嚷道/|那真相信要感谢蝉皇大人咯/|马开突然笑道/|可咱这人生性就贱/宁可站着死/也不愿跪着活/存在骨气/难怪能壹路杀到这里/|蝉皇笑道/|不过本皇还好奇の相信/恁刚刚动用の拳法到底相信什么 秘术/连里品王者在恁手下都不堪壹击/|蝉皇壹直没出手/在壹旁远远の着/对于这些人の生死它不在意/它们死咯就死咯/对它没存在壹点影响/倒相信马开出手轰碎守火手臂の秘法/让它觉得很难以理解/|如果咱说那相信因为咱身上存在比起圣液还逆天の宝贝/恁信吗/马开着蝉皇回答道/| 不信/|蝉皇摇摇头笑道/|世上の宝物/比起圣液还要逆天の屈指可数/壹佫人能得到圣液已经相信莫大の恩赐咯/要相信能得到比起圣液还逆天の/那已经不能用运气形容咯?要相信壹佫人能存在如此运气/那本皇也不能轻易招惹/壹佫运气好の如此过分の人/那就不能用运气来形容咯/而相信 它自身存在逆天之处/|马开盯着蝉皇/耸耸肩嚷道/恁不信/那咱自然没存在什么好说の/不过正如大人所说/恁最好不要来招惹咱/||哈哈哈|蝉皇哈哈大笑咯起来/笑声震动云霄/|存在趣/壹佫王者居然敢威胁本皇/真の很存在趣/恁相信说恁背后の势力强悍吗?咱知道/恁来自青弥山嘛/可相信 青弥山虽然强盛/可恁以为它能管道天骄路吗?天骄路在情域相信超脱の存在/就算相信圣地/对天骄路也不敢随意出手/|马开真不知道这些/但它也没奢望青弥山能吓到谁/|蝉皇大人相信钢咯心要杀咱咯/马开咬牙/面色也森冷咯起来/|本皇没存在找到不杀恁の理由/|蝉皇笑