高考文科数学总复习 第三章 第1节

第1节 变化率与导数、导数的计算

最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1

x ，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数

.

知 识 梳 理

1.导数的概念

(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数

一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是0lim

x ∆→Δy Δx ＝0

lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ，我们

称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0

lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）

Δx .

(2)函数f (x )的导函数 函数f ′(x )＝0

lim

x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）

Δx 为f (x )的导函数.

2.导数的几何意义

函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式

4.导数的运算法则

若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；

(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤

f （x ）

g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0).

[常用结论与微点提醒]

1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.

2.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2.

3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) 解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错. (3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2.(选修1－1P78习题改编)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A.e 2

B.e

C.ln 2

2

D.ln 2

解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 答案 B

3.已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________. 解析 因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，

所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.

答案 3

4.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y ＝x 2

＋1

x 在点(1，2)处的切线方程为________.

解析 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1

x 2，

所以f ′(1)＝2－1＝1，

所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋1

5.(2018·合肥一中月考)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.

解析 由图形可知：f (3)＝1，f ′(3)＝－1

3，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1－1＝0. 答案 0

考点一 导数的计算

【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；

(3)y ＝x －sin x 2cos x

2；

(4)y ＝cos x e x .

解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝⎝ ⎛

⎭

⎪⎫ln x ＋1x e x .

(2)因为y ＝x 3＋1＋1

x 2，

所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

1x 2′＝3x 2－2x 3.

(3)因为y ＝x －1

2sin x ，

所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫

12sin x ′＝1－12cos x .

(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

cos x e x ′＝（cos x ）′e x

－cos x （e x

）′（e x ）2