中考数学复习指导：角平分线中的阅读题
【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘 之角平分线问题(含答案)
【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘之角
平分线问题
一、证明题(共3道，每道40分)
1.已知，如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.
答案：∵BF是∠CBD的平分线∴FG=FI ∵CF是∠BCE的平分线∴FH=FI ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上
解题思路：过F作FG⊥AD于点G，FH⊥AE于点H，FI⊥BC于点I，如图只要证明FG=FH即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
2.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=2∠C.求证：AC=AB+BD.
答案：∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠EAD 在△ABD和△AED中AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD ∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD=ED，∠B=∠AED ∵∠AED=∠B=2∠C ∴∠CDE=∠AED ﹣∠C=∠C ∴DE=CE ∴BD=CE ∵AC=AE+CE ∴AC=AB+BD
解题思路：在AC上截取AE=AB，连接DE，如图只要证明BD=CE即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
3.已知：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，AD⊥BE，垂足为点D.求证：∠BAD=∠DAE+∠C.
答案：∵BE平分∠ABC，AD⊥BE ∴△ABF为等腰三角形（三线合一）∴∠BAD=∠BFD ∵∠BFD 为△ACF的外角∴∠BFD=∠DAE+∠C ∴∠BAD=∠DAE+∠C
解题思路：延长AD与BC交于点F，如图只要证明∠BFD=∠BAD即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线。
中考数学提高题专题复习全等三角形角平分线辅助练习题含答案
中考数学提高题专题复习全等三角形角平分线辅助练习题含答案一、全等三角形角平分线辅助1．问题呈现：下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小明完成以下学习任务．请根据小明的思路，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：（1）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD BC =+，DAB ∠的平分线和ABC ∠的平分线交于CD 边上点P ．求证：PC PD =；（2）在（1）的条件下，如图③，若10AB =，1tan 2PAB ∠=．当PBC 有一个内角是45︒时，PAD △的面积是 ．2．阅读理解如图1，ABC 中，沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，剪掉重叠部分；……；将余下部分沿∠n n B A C 的平分线1n n A B +折叠，点n B 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称BAC ∠是ABC 的好角．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角BAC ∠的平分线1AB 折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图3，沿ABC 的BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，此时点1B 与点C 重合．探究发现（1）ABC 中，2B C ∠=∠，经过两次折叠，问BAC ∠ ABC 的好角（填写“是”或“不是”）；（2）若经过三次折叠发现BAC ∠是ABC 的好角，请探究B 与C ∠（假设B C ∠>∠）之间的等量关系 ；根据以上内容猜想：若经过n 次折叠BAC ∠是ABC 的好角，则B 与C ∠（假设B C ∠>∠）之间的等量关系为 ；应用提升：（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15︒，60︒，105︒，发现 是此三角形的好角；（4）如果一个三角形的最小角是10︒，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角； 则此三角形另外两个角的度数 ．3．直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动．（1）如图1，已知AE BE 、分别是BAO ∠和ABO ∠角的平分线，点A B 、在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB ∠的大小．（2）如图2，已知AB 不平行CD AD BC ，、分别是BAP ∠和ABM ∠的角平分线，又DE CE 、分别是ADC ∠和BCD ∠的角平分线，点A B 、在运动的过程中，CED ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出CED ∠的度数．（3）如图3，延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线及反向延长线相交于E F 、，在AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，则ABO ∠的度数为____（直接写答案）4．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ，且AE 、BE 交CD 于点E ．试说明AD ＝AB ﹣BC 的理由．5．如图，已知等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于点D ，试说明：BF ＝2CD ．6．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE ⊥BC 交BC 于点E ：(1)根据阅读材料可得AD 与DC 的数量关系为__________.(2)如图二，△ABC 中，∠A=120°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC 中，∠A=100°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与BD 、BC 的数量关系，并证明你的猜想.7．如图所示，在ABC ∆中，=60ACB ∠，,AE BD 是ABC ∆的角平分线，,AE BD 交于点G ，求证：GD GE =．8．已知：ABC ∆中，D 为BC 的中点，AG 平分,BAC CG AG ∠⊥于G ，连结DG ，若6,4AB AC ==，求DG 的长．9．如图，在ABC ∆中，2ABC C ∠=∠，BE 平分ABC ∠，交AC 于E ，AD BE ⊥于D ，求证：2AC BD =.10．如图，ABC ∆的外角ACD ∠的平分线CP 与内角ABC ∠的平分线BP 交于点P ，若40BPC ∠=︒，求CAP ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角平分线辅助1．问题呈现：见解析；结论应用：（1）见解析；（2）403或8 【分析】问题呈现：由“SAS ”可证△MOP ≌△NOP ，可得PM ＝PN ；结论应用：（1）在AB 上截取AE ＝AD ，连接PE ，由“SAS ”可证△ADP ≌△AEP ，△BPC ≌△BPE ，可得PD ＝PE ＝PC ；（2）延长AP ，BC 交于点H ，由“ASA ”可证△ADP ≌△HCP ，可得CP ＝DP ，AD ＝CH ，S △ADP ＝S △CPH ，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解．【详解】问题呈现：证明：∵OC 平分AOB ∠，∴AOC BOC ∠=∠．在POM 和PON △中，OP OP POM PON OM ON =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．∴POM PON △≌△．结论应用：在AB 上截取AE AD =，∵AP 平分DAB ∠，∴DAP BAP ∠=∠，∵AP AP =，∴ADP AEP △≌△．∴PE PD =．∵AB AD BC =+，∴BE BC =，∵BP 平分ABC ∠，∴ABP CBP ∠=∠．∵BP BP =．∴PBE PBC △≌△．∴PE PC =．∴PC PD =．（2）由（1）可证∠D ＝∠AEP ，∠PCB ＝∠PEB ，∵∠AEP +∠PEB ＝180°，∴∠PCB +∠D ＝180°，∴AD ∥BC ，∵AB ＝10，tan ∠PAB ＝PB PA ＝12， ∴PA ＝2PB ，∵PA 2+PB 2＝AB 2，∴PB ＝5PA ＝5，如图③，延长AP ，BC 交于点H ，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠H，∴∠H＝∠BAP，∴AB＝BH＝10，又∵PB平分∠ABC，∴BP⊥AP，AP＝PH＝45，∵∠DAP＝∠H，AP＝PH，∠DPA＝∠CPH，∴△ADP≌△HCP（ASA），∴CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，若∠PBC＝45°时，则∠PBC＝∠H＝45°，∴PB＝PH（不合题意舍去），若∠BPC＝45°时，则∠HPC＝∠BPC＝45°，如图④，过点C作CN⊥BP于N，CM⊥PH于M，∴CM＝CN，∵S△PBH＝12×BP×PH＝12×BP×CN+12×PH×CM，∴CM＝CN 453，∴S△PCH＝12545＝403＝S△ADP；若∠PCB＝45°时，如图⑤，过点P作PF⊥BC于F，∵∠PAB ＝∠H ，∴tan H ＝tan ∠PAB ＝12， ∴12PF FH =， ∴FH ＝2PF ， ∵PF 2+FH 2＝PH 2＝80，∴PF ＝4，FH ＝8，∵PF ⊥BC ，∠BCP ＝45°，∴∠PCB ＝∠FPC ＝45°，∴CF ＝PF ＝4，∴CH ＝4，∴S △ADP ＝S △CPH ＝12×4×4＝8， 故答案为：8或403． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．2．（1）是；（2）3∠=∠B C ；∠=∠B n C ；（3）60︒和105︒；（4）另外两个角的度数分别为160︒和10︒【分析】（1）由沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，得11B AA B ∠=∠，且1111AA B C A B C ∠=∠+∠，沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，此时点1B 与C 重合，可得11AB C C ∠=∠，即可证2B C ∠=∠.（2）由沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，得11B AA B ∠=∠，由将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，得11122A B C A A B ∠=∠，最后沿22B A C ∠的平分线23A B 折叠,点2B 与点C 重合，得22C A B C ∠=∠，由11B A B C C ∠=∠+∠，可证3∠=∠B C ；由小丽展示的情形一当B C ∠=∠时；由探究（1）当2B C ∠=∠时；由探究（2）当3∠=∠B C 时，它们的BAC ∠均是ABC 的好角；可推经过n 次折叠，BAC ∠是ABC 的好角，则B 与C ∠的等量关系为∠=∠B n C .（3）由（2）得∠=∠B n C ，可计算60,105︒︒是ABC 的好角.（4）由（2）知∠=∠B n C ，BAC ∠是ABC 的好角，已知中一个三角形的最小角是10︒，且这个三角形三个角均是ABC 的好角，可设另外两个角为10m ︒、10mn ︒，（其中,m n 都是正整数），依题意列式101010180m mn ++=，可求解得.【详解】（1）ABC 中，2B C ∠=∠，经过两次折叠，BAC ∠是ABC 的好角； 理由如下：沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，11B AA B ∴∠=∠；将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，此时点1B 与C 重合，11A B C C ∴∠=∠；1111AA B C A B C ∠=∠+∠；2B C ∴∠=∠，故答案是：是；（2）在ABC 中,沿BAC ∠的平分线1AB 折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠,剪掉重复部分,将余下部分沿22B A C ∠的平分线23A B 折叠,点2B 与点C 重合,则BAC ∠是ABC 的好角.证明：11B AA B ∠=∠，22,C A B C ∠=∠，122222A A B C A B C C ∴∠=∠+∠=∠，11B A B C C ∠=∠+∠11122A B C A A B ∠=∠，2C B C ∠∴=+∠∠，3B C ∴∠=∠，由小丽展示的情形一知，当B C ∠=∠时，BAC ∠是ABC 的好角；由探究（1）知，当2B C ∠=∠时，BAC ∠是ABC 的好角；由探究（2）知，当3∠=∠B C 时，BAC ∠是ABC 的好角；故若经过n 次折叠，BAC ∠是ABC 的好角，则B 与C ∠的等量关系为∠=∠B n C . 故答案为：3;B C B n C ∠=∠∠=∠.（3）由（2）知，∠=∠B n C ，60415︒=⨯︒，105715︒=⨯︒，60,105∴︒︒是ABC 的好角.故答案为：60,105︒︒.（4）由（2）知∠=∠B n C ，BAC ∠是ABC 的好角，一个三角形的最小角是10︒，且这个三角形三个角均是ABC 的好角，可设另外两个角为10m ︒、10mn ︒，（其中,m n 都是正整数）.依题意得101010180m mn ++=，化简得(1)17m n+=，,m n都是正整数，∴,1m n+都是17的整数因子，∴1m=，117n+=，∴1m=，16n=，∴1010m︒=︒，10160mn︒=︒，即该三角形的另外两个角是：10︒和160︒.故答案为：10,160︒︒.【点睛】本题考查的是折叠的性质应用、三角形的外角等不相邻的两个内角之和，并涉及一些数学归纳法思想来推导结论，一道比较综合知识点的新颖考题，在第（4）小题中不需要去解出根，而是根据这种限定条件来确定解，这是一种不同于以往的解题思路.3．（1）不发生变化，∠AEB=135°；（2）不发生变化，∠CED=67.5°；（3）60°或45°【分析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线得出∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）延长A D、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°，进而得出结论；（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．【详解】解：（1）∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，∴∠BAE+∠ABE=12（∠OAB+∠ABO）=45°，∴∠AEB=135°；（2）∠CED的大小不变．延长A D、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAB+∠MBA=270°，∵A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，∴∠BAD+∠ABC=12（∠PAB+∠ABM）=135°，∴∠F=45°，∴∠FDC+∠FCD=135°，∴∠CDA+∠DCB=225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE=112.5°，∴∠CED =67.5°；（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，∴∠E=∠EOQ-∠EAO=12（∠BOQ-∠BAO）=12∠ABO，∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAF=90°．在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍弃）；③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍弃）．∴∠ABO为60°或45°．故答案为：60°或45°．【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．4．见解析【分析】在AB 上找到F 使得AF ＝AD ，易证△AEF ≌△AED ，可得AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，根据平行线性质可证∠C ＝∠BFE ，即可证明△BEC ≌△BEF ，可得BF ＝BC ，即可解题．【详解】证明：在AB 上找到F 使得AF ＝AD ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠EAD ＝∠EAF ，∵在△AEF 和△AED 中，AD AF EAD EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AED ，（SAS ）∴AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，∵AD ∥BC ，∴∠D ＋∠C ＝180°，∵∠AFE ＋∠BFE ＝180°∴∠C ＝∠BFE ，∵BE 平分∠BAD ，∴∠FBE ＝∠C ，∵在△BEC 和△BEF 中，BFE C FBE CBE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△BEF ，（AAS ）∴BF ＝BC ，∵AB ＝AF ＋BF ，∴AB ＝AD ＋BC ，即AD ＝AB ﹣BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AED 和△BEC ≌△BEF 是解题的关键．5．见解析【分析】作BF 的中点E ，连接AE 、AD ，根据直角三角形得到性质就可以得出AE ＝BE ＝EF ，由BD 平分∠ABC 就可以得出∠ABE ＝∠DBC ＝22.5°，从而可以得出∠BAE ＝∠BAE ＝∠ACD ＝22.5°，∠AEF ＝45°，由∠BAC ＝90°，∠BDC ＝90°就可以得出A 、B 、C 、D 四点共圆，求出AD ＝DC ，证△ADC ≌△AEB 推出BE ＝CD ，从而得到结论．【详解】解：取BF 的中点E ，连接AE ，AD ，∵∠BAC ＝90°，∴AE ＝BE ＝EF ，∴∠ABD ＝∠BAE ，∵CD ⊥BD ，∴A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠DAC ＝∠DBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ，∴∠DAC ＝∠BAE ，∴∠EAD ＝90°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝∠DBC ＝22.5°，∴∠AED ＝45°，∴AE ＝AD ，在△ABE 与△ADC 中，ABE DAC BAE ACD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADC ，∴BE ＝CD ，∴BF ＝2CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（1）CD=AD；（2）CD=AD；（3）BC=AD+BD.【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE，根据∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由DE⊥BC可得△DEC是等腰直角三角形，可得CD=DE，进而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，连接DE，利用SAS可证明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC上取一点E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，利用AAS可证明△DAF≌△DEG，可得 DA=DE，利用外角性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE，即可得出结论．【详解】（1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴DE=AD，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE=AD，故答案为：CD=AD（2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴DE=AD，∠BED=∠A=120°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，∴CD=DE=AD.（3）如图，在BC上取一点E，是BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，∴∠DFA=∠DGE=90°．∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DG⊥BC，∴DF=DG．∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，∴∠DBC=20°，∵BE=BD，∴∠BED=∠BDE=80°，∴∠FAD=∠BED．在△DAF和△DEG中，，∴△DAF≌△DEG（AAS），∴AD=ED．∵∠BED=∠C+∠EDC，∴80°=40+∠EDC，∴∠EDC=40°，∴∠EDC=∠C，∴DE=CE，∴AD=CE．∵BC=BE+CE，∴BC=BD+AD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．7．详见解析【解析】【分析】=，连接FG，根据角平分线的性质、结合三角形内角和定理可得在AB上截AF AD60，，证明ADG AFG≌，得GD=GF，∆∆AGD=120AGB∠︒∠=︒≌，即可得GF=GE=GD.∆∆AGD AGF∠=∠=60°，可证得BGF BGE【详解】=，连接FG，证明：在AB上截AF AD∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠EAB ，又∵AG=AG ，∴ADG AFG ∆∆≌，GD GF ∴=，AGD AGF ∠=∠ ，∵60ACB ∠=︒，AE,BD 是ΔABC 的角平分线，∴ ()111802211802120AGB CAB CBA CAB CBA ∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒， ∴60AGD AGF BGF BGE ∠=∠=∠=∠=︒，∵BGF BGE BG BG GBF GBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()BGF BGE ASA ∴∆∆≌，∴GF GE = ，∴GD=GE.【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作辅助线是解题的关键． 8．1DG =【分析】延长CG 交AB 于点E. 根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG ，AE=AC,再根据三角形中位线的性质得出DG=12BE=12（AB-AC ），从而得出DG 的长． 【详解】解：延长CG 交AB 于点E ．AG 平分BAC ∠，CG AG ⊥于G ，CG EG ∴=，4AE AC ==，2BE AB AC ∴=-=，∵CG EG ，D 为BC 的中点，112DG BE ∴==． 故答案为1DG =.【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理求解是解题的关键．9．详见解析【解析】【分析】延长BD至N，使DN=BD，易得AD垂直平分BN，继而证得AE=EN，则可证得结论．【详解】延长BD至N，使DN=BD，连接AN．∵AD⊥BE，∴AD垂直平分BN，∴AB=AN，∴∠N=∠ABN，又∵BE平分∠ABC，∠ABC=2∠C，∴∠ABN=∠NBC=∠C，∴∠NBC=∠C，∴AN∥BC，∴∠C=∠NAC，∴∠NAC=∠N，∴AE=EN，∵BE=EC，∴AC=BN=2BD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．10．50°【解析】【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．【详解】延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC ，PF=PN ，∴PF=PM ，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，∴∠CAF=100°，在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，PA PA PM PF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △PFA ≌Rt △PMA(HL)，∴∠CAP=∠FAP ，又∵∠CAP+∠PAF=∠CAF ，∴∠CAP =50°．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF 是解决问题的关键．。
中考数学复习考点题型专题讲解30 和角平分线有关的计算
中考数学复专题1．已知90AOB ∠=°，（1）如图1，OE 、OD 分别平（2）如图2，OE 、OD 分别平推理过程）．（3）若OE 、OD 分别平分是（在稿纸上画图分析，直接【解答】解：（1）AOB ∠=∵1452EOB AOB ∴∠=∠=°，64EOD ∠=°∵，BOD EOD EOB ∴∠=∠−∠又OD ∵平分BOC ∠， 238BOC BOD ∴∠=∠=°．（2）90AOB ∠=°∵，BOC∠数学复习考点题型专题讲解30和角平分线有关的计算分别平分AOB ∠和BOC ∠，若64EOD ∠=°，则分别平分AOC ∠和BOC ∠，若40BOC ∠=°，求EO 平分AOC ∠和BOC ∠，(0180)BOC αα∠=°<<°，则直接填空）．90OB °，OB 平分AOB ∠， 19B =°，40=°，题讲解计算BOC ∠是38°； EOD ∠的度数（写则EOD ∠的度数AOC AOB BOC ∴∠=∠+∠又OE ∵、OD 分别平分∠1652EOC AOC ∴∠=∠=°EOD EOC DOC ∴∠=∠−∠（3）分两种情况：当0°2．我们学过角的平分线的概念的两个角的射线，叫做这个角2BOC AOC ∠=∠，则OC （1）如图1，若BOC AO ∠∠（2）如图2，若AOB ∠=①求COD ∠的度数；②现以O 为中心，将COD ∠三分线时，则求n 的值．（3）如图3，若AOB ∠BOC ∠的平分线，将MON ∠程中，若射线ON 恰好是∠接写出答案即可，不必说明理【解答】解：（1）OC ∵是∴13AOC AOB ∠=∠，63AOB ∠=°∵，130=°，AOC 和BOC ∠， ，1202DOC BOC ∠=∠=°， 45C =°，90α<<时，45EOD ∠=°，当90180α°<<°时，的概念．类比给出新概念：从一个角的顶点出发，把这这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条，例如是AOB ∠的一条三分线．AOC >，若63AOB ∠=°，求AOC ∠的度数； 90°，若OC ，OD 是AOB ∠的两条三分线． OD 顺时针旋转n 度(360)n <得到C OD ′′∠，当OA 恰好180=°，OC 是AOB ∠的一条三分线，OM ，ON 分别ON 绕点O 以每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周AOC 的三分线，则此时MON ∠绕点O 旋转的时间是说明理由）AOB ∠的一条三分线，且BOC AOC ∠>∠135EOD ∠=°． 把这个角分成1:2例如：如图1，若恰好是C OD ′′∠的N 分别是AOC ∠与转一周，在旋转的过时间是多少秒？（直∴163213AOC ∠=×°=°；（2）①解：90AOB ∠=°∵∴1133COD AOB ∠=∠=×②现以O 为中心，将COD ∠三分线时，分两种情况：当OA 是C OD ∠′′的三分线，10AOC ∠′=°，301020DOC ∴∠=°−°=°COC AOC AOC ∴∠′=∠−∠当OA 是C OD ∠′′的三分线，20AOC ∠′=°，COC AOC AOC ∴∠′=∠−∠40n ∴=或50．（3）OC ∵是AOB ∠的一条三OM ，ON 分别是AOC ∠可得90MON ∠=°， 60AOC ∴∠=°或120°，当60AOC ∠=°时，0，OC ，OD 是AOB ∠的两条三分线，如图2①9030°=°，OD 顺时针旋转n 度(360)n <得到C OD ∠′′，当OA 恰好，且AOD AOC ′∠′>∠时，如图2②， ，601050C ′=°−°=°，，且AOD AOC ′∠′<∠时，如图2③， 602040C ′=°−°=°， 一条三分线，180AOB ∠=° 与BOC ∠的平分线，恰好是C OD ∠′′的MON ∠绕点O 旋转260°或2601026∴÷=或28010÷当120AOC ∠=°时，MON ∠2501025∴÷=或29010÷综上，MON ∠绕点O 旋转的时3．如图，已知AOB ∠内部有三（1）若90AOB ∠=°，∠（2）若AOB α∠=，求∠（3）若将条件中“OE 23COF COA ∠=∠”，且【解答】解：（1）AOB ∠=∵60COB ∴∠=°；OE ∵平分BOC ∠，OF 15FOC ∴∠=°，EOC ∠=EOF EOC FOC ∴∠=∠+∠（2）AOB α∠=∵，OE EOF EOC FOC ∴∠=∠+∠=（3）AOB α∠=∵，EOB ∠=EOF EOC FOC ∴∠=∠+∠=280°时，ON 是AOC ∠的一条三分线， 028=（秒)ON 绕点O 旋转250°或290°时，ON 是AOC ∠的一条029=（秒)转的时间是25，26，28或29秒．部有三条射线，OE 平分BOC ∠，OF 平分AOC ∠30AOC =°，求EOF ∠的度数； EOF 的度数（写出求解过程）；平分BOC ∠，OF 平分AOC ∠．平分”改为“AOB α∠=，求EOF ∠的度数（写出求解过程）90OB °，30AOC ∠=°， 平分AOC ∠， 30°， 45C =°．平分BOC ∠，OF 平分AOC ∠， 111()222C BOC AOC AOB α∠+∠=∠=． 13OB COB ∠，23COF COA ∠=∠，222()333C BOC AOC AOB α∠+∠=∠=． 的一条三分线， OC ．13EOB COB ∠=∠，）．4．如图，已知AOC ∠=（1）求AOD ∠的度数；（2）若射线OB 绕点O 以每秒速度逆时针旋转，设旋转的时（3）若AOB ∠绕点O 以每秒旋的速度逆时针旋转，设旋转的在旋转的过程中，MON ∠的度【解答】解：如图所示：（1）设5AOD x ∠=°， 35BOC AOD ∠=∠∵3535BOC x x ∴∠=°=°i又AOC AOB BOC ∠=∠+∠∵AOD AOB BOC D ∠=∠+∠AOC BOD AOD ∴∠+∠=∠又120AOC BOD ∠=∠=∵53240x x ∴+=解得：30x =° 150AOD ∴∠=°；120BOD ∠=°，35BOC AOD ∠=∠．以每秒旋转20°的速度顺时针旋转，同时射线OC 以每转的时间为t 秒(06)t <<，试求当20BOC ∠=°时的值每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时COD ∠绕点旋转的时间为t 秒(018)t <<，OM 平分AOC ∠，的度数是否发生改变？若不变，求出其值：若改变OC ，BOD DOC BOC ∠=∠+∠， DOC +∠， D BOC +∠，0°， 以每秒旋转15°的t 的值； O 以每秒旋转10°ON 平分BOD ∠，若改变，说明理由．（2）150AOD ∠=°∵，35BOC AOD ∠=∠，90BOC ∴∠=°，①若线段OB 、OC 重合前相差20°，则有： 20152090t t ++=，解得：2t =，②若线段OB 、OC 重合后相差20°，则有： 20159020t t +−=解得：227t =， 又06t <<∵， 2t ∴=或227t =； （3）MON ∠的度数不会发生改变，30MON ∠=°，理由如下：∵旋转t 秒后，1505AOD t ∠=°−°，1205AOC t ∠=°−°，1205BOD t ∠=°−° OM ∵、ON 分别平分AOC ∠、BOD ∠11(1205)22AOM AOC t ∴∠=∠=°−°， 11(1205)22DON BOD t ∠=∠=°−° MON AOD AOM DON ∴∠=∠−∠−∠111505(1205)(1205)22t t t =°−°−°−°−°−°30=°．5．根据阅读材料，回答问题．材料：如图所示，有公共端点()O 的两条射线组成的图形叫做角()AOB ∠．如果一条射线()OC 把一个角()AOB ∠分成两个相等的角(AOC ∠和)BOC ∠，这条射线()OC 叫做这个角的平分线．这时，12AOC BOC AOB ∠=∠=∠（或22)AOC BOC AOB ∠=∠=∠．问题：平面内一定点A OA ′．当点O 在直线MN 上运动点O 顺时针旋转60°得到射线（1）如图1，当点O 运动到使度数；（2）当点O 运动到使点在射（3）当点O 运动到某一时刻时【解答】解：（1）设AOP ∠由题意可知：A OP x ∠′=，因为OB 平分A OP ∠′，所以所以2(60)x x °−= 解得，40x =．答：AOP ∠的度数为40°． （2）①如图2，当射线OB 在A OP ∠′内部时由题意可知：A OP y ∠′=，90MOP ∠=°∵，90AOM y ∴∠=°−，在直线MN 的上方，点O 为直线MN 上一动点，作射线上运动时，始终保持90MOP ∠=°，AOP A ∠=∠射线OB ．动到使点A 在射线OP 的左侧时，若OB 平分∠A 在射线OP 的左侧，3AOM A OB ∠=∠′时，求AO ∠时刻时，150A OB ∠′=°，直接写出此时BOP ∠的度数OP 的度数为x ， 60POB x ∠=°− 所以2POB A OP ∠=∠′， 部时，设AOP ∠的度数为y ， 60POB y ∠=°−，作射线OA ，OP ，OP ′，将射线OA 绕A OP ′，求AOP ∠的AOP 的值； 的度数．3AOM A OB ∠=∠′∵，1(90)3A OB y ∴∠′=°−，A OB POB A OP ∠′+∠=∠′∵∴1(90)(60)3y y y °−+°−=解得，2707y °=； ②如图3，当射线OB 在A OP ∠′外部时由题意可知：A OP y ∠′=，90MOP ∠=°∵，90AOM y ∴∠=°−， 3AOM A OB ∠=∠′∵，1(90)3A OB y ∴∠′=°−，AOP A OP A OB ∠+∠′+∠′=∵1(90)603y y y ∴++°−=°，解得，18y =°． ③如图，P ，，部时，设AOP ∠的度数为y ， 60POB y ∠=°−， 60B °，由题意可知：60AOB ∠=设A OB x ∠′=°，则AOC ∠6044180x x x ∴+++=，解得403x =， 16043AOC x ∴∠=°=， AOP AOC COP x ∴∠=∠+∠由题意可知：60AOB ∠=设A OB x ∠′=°，则AOC ∠6044180x x x ∴−++=，解得1207x =， 48047AOC x ∴∠=°=， AOP AOC COP x ∴∠=∠+∠=答；AOP ∠的值为2707°或（3）如图4，当A OB ∠′A OA A OB AOB ∠′=∠′−∠又AOP A OP ∠=∠′∵， 45AOP ∴∠=°，°，4C A OD x =∠′=°， 430490()3P =°+°=°； °，4C A OD x =∠′=°， 1110490()7P °+°=°；18°或430()3°或1110()7°； 150=°时，由图可得： 1506090=°−°=°，6045105BOP ∴∠=°+°=°如图5，当150A OB ∠′=°时，36015060A OA ∠′=°−°−°又AOP A OP ∠=∠′∵， 75AOP ∴∠=°，6075135BOP ∴∠=°+°=°当射线OP 在MN 下面时，综上所述：BOP ∠的度数为6．我们已学习了角平分线的概（1）如图1所示，将长方形笔折痕．若54ABC ∠=°，求（2）在（1）条件下，如果又将它如图2所示，求CBE ∠的度数【解答】解：（1）ABC ∠∵54A BC ABC ∴∠′=∠=°，180A BD ABC B ∴∠′=°−∠∠；，由图可得： 150=°，；75BOP ∠=°或45°． 数为105°或135°或75°或45°．线的概念，那么你会用它们解决有关问题吗？方形笔记本活页纸片的一角折过去，使角的顶点A A BD ∠′的度数．又将它的另一个角也斜折过去，并使BD 边与BA ′重合的度数．54C =°， A BC −′落在A ′处，BC 为重合，折痕为BE ，1805454=°−°−° 72=°；（2）由（1）的结论可得1127222DBD ∴∠=∠′=×°°11110822ABD ∴∠=∠′=×1290CBE ∴∠=∠+∠=°．7．如图，已知90AOB ∠=°BOC ∠的平分线分别为（1）如图1，若射线OC （2）如图2，若射线OC （3）由（1）、（2）题结果中的条件不变，MON ∠的度数会发由．【解答】解：（1）OM ∵12MOC AOC ∴∠=∠，∠MON MOC NOC ∴∠=∠+∠1122AOC BOC =∠+∠72DBD ∠′=°， 36=，108ABD ∠′=°， 54°=°，0，以O 为顶点，OB 为一边画BOC ∠，若BOC ∠OM ，ON ．在AOB ∠的内部，求MON ∠的度数． 在AOB ∠的外部，求MON ∠的度数．果中的规律，若把“30BOC ∠=°改为BOC a a ∠=数会发生变化吗？若变化，请求MON ∠的度数；若不平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠， 12NOC BOC =∠， OC30C =°，AOC ∠与(为锐角）”，其余若不变，请说明理12AOB =∠， 90AOB ∠=°∵， 45MON ∴∠=°．（2）OM ∵平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠， 12MOC AOC ∴∠=∠，12NOC BOC ∠=∠， MON MOC NOC ∴∠=∠−∠1122AOC BOC =∠−∠ 12AOB =∠， 90AOB ∠=°∵， 45MON ∴∠=°．（3）MON ∠的度数不会变化，理由如下： 若射线OC 在AOB ∠的内部，OM ∵平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠，12MOC AOC ∴∠=∠，12NOC BOC ∠=∠， MON MOC NOC ∴∠=∠+∠1122AOC BOC =∠+∠ 12AOB =∠， 90AOB ∠=°∵， 45MON ∴∠=°．若射线OC 在AOB ∠的外部，OM ∵平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠，12MOC AOC ∴∠=∠，12NOC BOC ∠=∠，MON MOC NOC ∴∠=∠−∠1122AOC BOC =∠−∠ 12AOB =∠， 90AOB ∠=°∵， 45MON ∴∠=°．8．如图1，120AOB ∠=°（1）若20COF ∠=°，则（2）将COE ∠绕点O 旋转至如（3）在（2）的条件下，在∠若存在，求DOFCOF∠∠的值，【解答】解：（1）COE ∠∵602040EOF ∴∠=°−°=°OF ∵平分AOE ∠， 40AOF EOF ∴∠=∠=°，80AOE ∴∠=°，BOE AOB AOE ∴∠=∠−∠=故答案为40；（2）2AOE EOF ∠=∠∵， 1202(60BOE ∴°−∠=°−∠OC，60COE ∠=°，OF 平分AOE ∠BOE ∠=40°转至如图2位置，求BOE ∠和COF ∠的数量关系BOE 内部是否存在射线OD ，使3DOF DOE ∠=∠，若不存在，请说明理由．60OE =°，20COF ∠=°， ， 1208040°−°=°，)COFOE ，且70BOD ∠=°？2BOE COF ∴∠=∠；（3）存在．理由如下： 3DOF DOE ∠=∠∵，设DOE α∠=，DOF α∠=2EOF AOF α∴∠=∠=，AO 120AOD BOD ∠+∠=°∵，570120α∴+°=°， 10α∴=°，30DOF ∴∠=°，40AOE ∠°40COF ∴∠=°， ∴34DOF COF ∠=∠．9．如图1，已知AOB ∠AOE ∠．（1）若30EOB ∠=°，则CO （2）若20COF ∠=°，则（3）若COF n ∠=°，则EO （4）当射线OE 绕点O 逆时针EOB ∠有怎样的数量关系3，5AOD α∠=， =，604020AOC ∠=°−°=°，140=°，30AOC ∠=°，OE 是AOB ∠内部的一条射线COF ∠=25°； EOB ∠=；EOB ∠=（用含n 的式子表示）． 逆时针旋转到如图2的位置时，请把图补充完整；此时关系？请说明理由．条射线，且OF 平分此时，COF ∠与【解答】解：（1）AOB ∠∵AOE AOB EOB ∴∠=∠−∠=OF ∵平分AOE ∠，1122AOF AOE ∴∠=∠=×°=COF AOF AOC ∴∠=∠−∠5530=°−°， 25=°；故答案为：25°；（2）30AOC ∠=°∵，COF ∠AOF AOC COF ∴∠=∠+∠OF ∵平分AOE ∠，22501AOE AOF ∴∠=∠=×EOB AOB AOE ∴∠=∠−∠=故答案为：40°；（3）30AOC ∠=°∵，∠AOF AOC COF ∴∠=∠+∠OF ∵平分AOE ∠，22(30AOE AOF n ∴∠=∠=EOB AOB AOE ∴∠=∠−∠故答案为：802n °−°；140OB =°，30EOB ∠=°， 14030110°−°=°，11055°，C ， 20=°， 302050F =°+°=°，0100°=°，14010040°−°=°；COF n =°， 30F n =°+°，)602n °+°=°+°，140(602)802E n n =°−°+°=°−°；（4）如图所示：EOB ∠=证明：设COF n ∠=°，则又OF ∵平分AOE ∠，260AOE AOF ∴∠=∠=°EOB AOB AOE ∴∠=∠−∠即802EOB COF ∠=°+∠．10．已知140AOB ∠=°，（1）如图1，当40EOB ∠=时°；（2）请分别求出当COF ∠要的过程）；（3）若(030)COF n n ∠=°<<【解答】解：（1）AOE A ∠∠OF ∵平分AOE ∠，1122AOF AOE ∴∠=∠=×°=COF AOF AOC ∴∠=∠−∠802COF °+∠．30AOF AOC COF n ∠=∠−∠=°−°， 2n −°．140(602)(802)E n n =°−°−°=+°30AOC ∠=°，若射线OE 绕点O 在AOB ∠内部旋转，0°时，请直接写出AOF ∠和COF ∠的度数：AOF ∠35F =°和10°时，EOB ∠的度数（利用备用图，画出，请用含n 的式子表示EOB ∠的度数（直接写出14040100AOB EOB =−∠=°−°=°． 10050°．503020C =°−°=°．，OF 平分AOE ∠．OF =50°；COF ∠=画出图形并写出简接写出结果）．故答案为：50；20°．（2）当35COF ∠=°时，如图AOF AOC COF ∠=∠+∠∵303565AOF ∴∠=°+°=°OF ∵平分AOE ∠，22651AOE AOF ∴∠=∠=×°=EOB AOB AOE ∴∠=∠−∠=如图②所示：当COF ∠=°30AOC ∠=°∵，COF ∠=°20AOF ∴∠=°．OF ∵平分角AOE ∠， 240AOE AOF ∴∠=∠=°．BOE AOB AOE ∴∠=∠−∠=如图③所示：当COF ∠=如图①所示：F ， ．5130°． 14013010−°=°．10时．10，14040100°−°=°．10°时．∠=°，30COF∵，10AOC∠=°∴∠=°．40AOF∠，∵平分角AOEOFAOE AOF∴∠=∠=°．280∴∠=∠−∠=°−°=°．BOE AOB AOE1408060∴∠的度数为100°或60°．BOE（3）如图②所示：∠=°，∵，COF n30∠=°AOC∴∠=−°．(30)AOF n∵平分角AOE∠，OF∴∠=∠=−°．AOE AOF n2(602)∴∠=∠−∠=°−−°=+°．140(602)(802)BOE AOB AOE n n如图③所示：∠=°，∵，COF n30∠=°AOC∴∠=+°．(30)AOF n∠，OF∵平分角AOEAOE AOF n∴∠=∠=+°．2(602)∴∠=∠−∠=°−+°=−°．140(602)(802)BOE AOB AOE n n综上所述，(802)+°．∠=−°或(802)nEOB n11．在数学的学习过程中，我们要不断地归纳，思考和迁移，这样才能提高我们解决问题的能力：规律发现：在学完《数轴》这节课后，小明的作业有两道小题，请你帮他把余下的两空完成：（1）点A 表示的数是2，点（2）点A 表示的数是5−，发现：点A 表示的数是a ，直接运用：将数轴按如图（1）所示从某一点B 表示的数为21x +，则数字2014对应点将与类比迁移：如图（2）：OB OX ⊥，O 旋转，射线OB 绕O 转，三线同时旋转，当一条几秒时，其中一条射线是另【解答】解：（1）∵将数轴按示的数为3x −，点B 表示的1(21)21(3x x x ∴−−+=+−26x ∴−=，解得：3x =−．故A 表示的数为：33x −=点B 表示的数为：21x +=即等边三角形ABC 边长为数字2014对应的点与4−的距离点B 表示的数是6，则线段AB 的中点C 表示的数为，点B 表示的数是7，则线段AB 的中点C 表示的数，点B 表示的数是b ，则线段AB 的中点C 表示的数从某一点开始折出一个等边三角形ABC ，设点A 表示的C 表示的数为1x −，则x 值为，若将ABC ∆从图中位ABC ∆的顶点重合． OA OC ⊥，30COX ∠=°，若射线OA 绕O 点每秒点每秒20°的速度顺时针旋转，射线OC 以每秒10当一条射线与直线OX 重合时，三条射线同时停止运线是另外两条射线夹角的平分线？数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形AB 表示的数为21x +，点C 表示的数为1x −， 3)x −； 36−−=−， 2(3)15×−+=−， 1，的距离为：201442018+=，的数为4； 示的数为； 示的数为． 表示的数为3x −，图中位置向右滚动，30°的速度顺时针0°的速度逆时针旋停止运动，问：运动ABC ，设点A表201836722÷=…∵，C 从出发到2014点滚动672周后再滚动两次， ∴数字2014对应的点将与ABC ∆的顶点B 重合．故答案为：3−，B ；（2）OB OX ⊥∵，OA OC ⊥，30COX ∠=°， 30AOB ∴∠=°，经分析知2秒时OB 与OC 重合，所以在2秒以前设运动x 秒时，OB 是OA 与OC 的角平分线，30106030x x −=−解得 1.5x =．经分析知2秒时OB 与OC 重合，2.25秒时OA 与OC 重合，所以在2秒到2.25秒间，OC 是OA 与OB 的角平分线，设运动2t 秒时，2230609040t t −=− 215/7t =3秒时OA 与OB 重合，所以在3秒以前设运动y 秒时，OA 是OB 与OC 的角平分线， 301090203030y y y y +−=+−解得 2.4y =．4秒时与OA 直线OX 重合，设3秒后4秒前运动z 秒时OB 是OA 与OC 的角平分线， 206010303020x x x x −+=−−解得 1.5x =（舍去）．故运动1.5秒，15/7秒或2.4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线． 12．已知90AOB ∠=°，30COD ∠=°．（1）如图1，当点O 、A 、C 在同一条直线上时，BOD ∠的度数是60°； 如图2，若OB 恰好平分COD ∠，则AOC ∠的度数是；（2）当COD ∠从图1的位置开射线ON 平分BOD ∠，在旋①MON ∠的度数是；②请选择下列图3、图4、图【解答】解：（1）∵点O BOD AOB COD ∴∠=∠−∠OB ∵平分COD ∠ ∴1122COB COD ∠=∠=×AOC AOB COB ∴∠=∠−∠=（2）①60MON ∠=°②图4证明：OM ∵平分AO ∴12MOC AOC ∠=∠，∠AOD AOB COD ∠=∠+∠−∠∵AOC BOC BOD =∠+∠+∠2AOC BOD BOC ∴∠+∠+∠=∠9030120=°+°=°MON MOC COB ∴∠=∠+∠位置开始，绕点O 逆时针方向旋转180°，作射线在旋转过程中，发现MON ∠的度数保持不变． 图5、图6四种情况中的两种予以证明． 、A 、C 在同一条直线上 903060D =°−°=° 3015°=° 901575°−°=°AOC ∠，ON 平分BOD ∠ 12BON BOD =∠ D BOCOC AOB COD +∠ OB BON +∠OM 平分AOC ∠，111120222AOC BOC BOD =∠+∠+∠=×° 60=°图5证明：OM ∵平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠ ∴12MOC AOC ∠=∠，12BON BOD ∠=∠ AOD AOB COD BOC ∠=∠+∠+∠∵ AOC BOD BOC =∠+∠−∠2AOC BOD BOC AOB COD ∴∠+∠−∠=∠+∠ 9030120=°+°=°MON MOC CON ∴∠=∠+∠ MOC BON BOC =∠+∠−∠1122AOC BOD BOC =∠+∠−∠ 11202=×° 60=°．13．已知90AOB ∠=°，BOC ∠是锐角，ON 平分BOC ∠，OM 平分AOB ∠．（1）如图1若30BOC ∠=°，求MON ∠的度数？（2）若射线OC 绕着点O 运动到AOB ∠的内部（如图2)，在（1）的条件下求MON ∠的度数；（3）若(90180)AOB αα∠=°<°…，(090)BOC ββ∠=°<<°，请用含有α，β的式子直接表示上述两种情况MON ∠的度数．【解答】解：（1）OM ∵12BOM AOB ∴∠=∠，∠90AOB ∠=°∵，BOC ∠=°190452BOM ∴∠=×°=°，MON BOM BON ∴∠=∠+∠=（2）由（1）可知，BOM ∠MON BOM BON ∴∠=∠−∠=（3）OM ∵平分AOB ∠，12BOM AOB ∴∠=∠，∠AOB α∠=∵，BOC β∠=12BOM α∴∠=，2BON ∠=如果射线OC 在AOB ∠的外部如果射线OC 在AOB ∠的内部14．已知40AOD ∠=°，射线间为t 秒(7)t …．射线OE平分AOB ∠，ON 平分BOC ∠， 12BON BOC =∠， 30，130152BON ∠=×°=°， 451560ON °+°=°；45OM =°，15BON ∠=°， 451530ON °−°=°；ON 平分BOC ∠， 12BON BOC =∠， ，1β．外部，那么11222MON BOM BON α∠=∠+∠=+=内部，那么11222MON BOM BON α∠=∠−∠=−=射线OC 从OD 出发，绕点O 以20/°秒的速度逆时针、OF 分别平分AOC ∠、AOD ∠．1()βαβ+；1()βαβ−．逆时针旋转，旋转时（1）如图①，如果4t =秒，（2）如图①，若射线OC 旋转（3）射线OC 从OD 出发时转，射线OC 、OB 在旋转过程分析后，直接写出BOFCOB∠∠的值【解答】解：（1）如图①，42080DOC ∠=×°=°AOC AOD DOC ∴∠=∠+∠∵射线OE 平分AOC ∠， ∴1602AOE AOC ∠=∠=°答：EOA ∠的度数为60°． （2）根据题意，得(20)COD t AOC ∠=°∴∠∵射线OE 、OF 分别平分∴1(4020)(2012AOE t ∠=+=20AOF ∠=°，EOF AOE AOF ∴∠=∠−∠答：EOF ∠的度数为(10t （3）∵射线OE 、OF分别平分，求EOA ∠的度数；旋转时间为t 秒，求EOF ∠的度数（用含t 的代数式发时，射线OB 也同时从OA 出发，绕点O 以10/°秒的转过程中(7)t …，若12BOD EOB ∠=∠，请你借助图的值．，根据题意，得 4080120C =°+°=°，， (4020)t =+° AOC ∠、AOD ∠， 2010)t +°， (10)F t =°，)°．AOC ∠、AOD ∠，代数式表示）；秒的速度逆时针旋助图②和备用图进行根据题意，得EOB AOE AOB ∠=∠−∠102AOC A B =∠−∠ 201010t t =+− 20=°1102BOD EOB ∴∠=∠=°，①如图②：当OB 落在OF 401010t −=，解得3t =． ②如图3:当OB 落在OD 和OE 之间时104010t −=解得5t =． ∵BOF AOB AOF COB AOC AOB ∠∠−∠=∠∠−∠1020402010t t t −=+−24t t−=+ 当3t =时，BOF COB ∠∠的值为7当5t =时，BOF COB ∠∠的值为13答：BOF COB ∠∠的值为17或13和OD 之间时，4010BOD t ∠=−， 间时，1040BOD t ∠=−， FOB 1，．．15．已知如图1，OE 平分（1）如果70AOB ∠=°，BO （2）如果AOB α∠=，（3）通过（1）、（2）的计算（4）拓展：如图2，已知点E 是AC 的中点并说明理由．【解答】解（1）OE ∵12EOC AOC ∴∠=∠， OF ∵平分BOC ∠，12COF BOC ∴∠=∠， EOF EOC COF ∠=∠−∠∵1122EOF AOC BOC ∴∠=∠−∠（2）OE ∵平分AOC ∠， 12EOC AOC ∴∠=∠， OF ∵平分BOC ∠，12COF BOC ∴∠=∠，AOC ∠，OF 平分BOC ∠．30BOC ∠=°，那么EOF ∠是多少度？ BOC β∠=，那么EOF ∠是多少度？ 计算，你发现了什么？ 的中点，点D 是BC 的中点，试判断线段DE 与线段平分AOC ∠， F ，111()7035222AOC BOC AOB =∠−∠=∠=×°=°AB 的数量关系，；EOF EOC COF ∠=∠−∠∵1122EOF AOC BOC ∴∠=∠−∠（3）通过第（1）、（2）的计算（4）拓展：12DE AB =，理由∵点E 是AC 的中点， 12EC AC ∴=， ∵点D 是BC 的中点， 12DC BC ∴=， 12DE EC DC AC BC ∴=−=16．【问题提出】已知∠求BOC ∠的度数．【问题思考】聪明的小明用分（1）当射线OC 在AOB ∠的内度数，解答过COD BOD ∴∠=∠−∠2AOD COD α∴∠=∠=F ，1111()2222AOC BOC AOB αα=∠−∠=∠=×=的计算，发现12EOF AOB ∠=∠； 理由如下： 1122AB −=．70AOB =°，12AOD AOC ∠=∠，3BOD BOC ∠=∠明用分类讨论的方法解决．的内部时，①若射线OD 在AOC ∠内部，如图1，程如下：设BOC α∠=，BOD ∴∠2BOC α=，12AOD AOC ∴∠=∠， ，23570AOB AOD BOD ααα∴∠=∠+∠=+==； (45)OC BOC ∠<°，，可求BOC ∠的33BOC α=∠=，0°，14α∴=°，14BOC ∴∠=°问：当射线OC 在AOB ∠的内部的度数；【问题延伸】（2）当射线【问题解决】综上所述：【解答】解：（1）②如下图设BOC α∠=，则BOD ∠=12AOD AOC ∠=∠∵， 1233AOD COD α∴∠=∠=AOB BOD AOD ∴∠=∠−∠30α∴=°． 30BOC ∴∠=°；（2）当射线OC 在AOB ∠外部45BOC ∠<°∵，1AOD A∠∴射线OD 的位置也只有两种可①若射线OD 在AOB ∠内部，的内部时，②若射线OD 在AOB ∠外部，如图2，OC 在AOB ∠的外部时，请你画出图形，并求∠BOC ∠的度数分别是14°，30°，10°或42°．下图2所示，3α，2COD BOD BOC α∠=∠−∠=， ，2737033ααα=−==°， 外部时，根据题意，此时射线OC 靠近射线OB 2AOC =∠， 两种可能； ，如图3所示，，请你求出BOC ∠BOC 的度数． ，COD BOC BOD ∠=∠+∠∵AOB BOD AOD ∴∠=∠+∠=10α∴=°， 10BOC ∴∠=°；②若射线OD 在AOB ∠外部，COD BOC BOD ∠=∠+∠∵1433AOD COD α∴∠=∠=AOB BOD AOD ∴∠=∠−∠=42α∴=°， 42BOC ∴∠=°；由上可得，BOC ∠的度数分别故答案为：14°，30°，1017．如图1，将一副三角的两4D α=，34770ααα+==°， ，如图4所示，4D α=，12AOD AOC ∠=∠， ，4537033ααα−==°，数分别是14°，30°，10°，42°． 0°或42°．板的两个锐角顶点放到一块，45AOB ∠=°，∠30COD =°，OM ，ON 分别是AOC ∠，BOD ∠（1）当COD ∠绕着点O 逆时针37.5°；（2）如图3，在（1）的条件下，的大小，写出解答过程；（3）在COD ∠绕点O 逆时针旋【解答】解：（1）AOB ∠=∵平分线， 1152BON COD ∴∠=∠=°37.5MON ∴∠=°．故答案为：37.5°；（2）当绕着点O 逆时针旋转1202BON BOD ∴∠=∠=°37.5MON ∴∠=°；（3）AOC AOB BO ∠=∠+∵OM ∵，ON 分别是AOC ∠11(22MOC AOC ∴∠=∠=∠1(2MON AOB BOC ∴∠=∠+∠+，111()222αβαβ+=+；OD 的角平分线．逆时针旋转至射线OB 与OC 重合时（如图2)，则，继续绕着点O 逆时针旋转COD ∠，当BOC ∠时针旋转过程中，MON ∠=°．45OB °，30COD ∠=°，OM ，ON 分别是∠，122.52MOB AOB ∠=∠=°， 旋转COD ∠，10BOC ∠=°时，55AOC ∠=°，，127.52MOB AOC ∠=∠=°， BOC ∠，BOD COD BOC ∠=∠+∠，C ，BOD ∠的角平分线，45AOB ∠=°，COD ∠)AOB BOC +∠，12CON BOD BOC ∠=∠−∠，1111)()222BOD BOC AOB BOD BOC AO ∠−∠=∠+∠−∠= MON ∠的大小为10=°时，求MON ∠AOC ，BOD ∠的角40BOD ∠=°， 30=°，137.522AOB COD ∠+∠=°当COD ∠在OA 、OB 的同理，142.5MON ∠=°，综上所述：37.5MON ∠=故答案是：37.5或142.5．18．一副三角尺（分别含45边PD 与量角器0°刻度线重合将三角尺ABP 绕量角器停止运动，设三角尺ABP 的运（1）当3t =时，边PB 过的（2）如图2，若在三角尺AB 时针旋转，当三角尺ABP 停止①用含t 的代数式表示：②从三角尺ABP 与三角尺PC 叠结束止，经过的时间t 为秒【解答】解：（1）当t =秒时边BP 旋转的角度为：153反向延长线形成的角的内部时， 5°或142.5°， °，45°，90°和30°，60°，90)°按如图1所示线重合，边AP 与量角器180°刻度线重合(APB ∠=中心点P 以每秒15°的速度顺时针旋转，当边PB 与的运动时间为t ． 经过的量角器刻度线对应的度数是90度；ABP 开始旋转的同时，三角尺PCD 也绕点P 停止旋转时，三角尺PCD 也停止旋转，MPN ∠NPD ∠=；MPB ∠=；当t 为何值时，BPC ∠=PCD 第一对直角边和斜边重叠开始起到另一对直为秒．3秒时，由旋转可知： 45°×=°，示摆放在量角器上，45,30)DPC °∠=°，0°刻度线重合时以每秒5°的速度逆180=°． 5°？对直角边和斜边重∴边PB 经过的量角器刻度线对应的度数为：180(45315)90°−°+×°=°，故答案为：90°；（2）①∵三角尺PCD 也绕点P 以每秒5°的速度逆时针旋转， (5)NPD t ∴∠=°， 45APB ∠=°∵，(15)45(1545)MPB MPA APB t t ∴∠=∠+∠=°+°=+°，故答案为：(5)t °，(1545)t +°，在三角尺ABP 和三角尺PCD 旋转前，1804530105BPC ∠=°−°−°=°， 现在5BPC ∠=°，分两种情况： PB 与PC 相遇前，则： 1551055t t +=−，解得：5t =，PB 与PC 相遇后，则： 1551055t t +=+，解得： 5.5t =，∴当t 为秒5或5.5秒时，5BPC ∠=°；②45APB ∠=°∵，30CPD ∠=°，∴当PB 与PC 重合时，453075APD ∠=°+°=°，当PA 与PD 重合时，即PA 与PD 共旋转了75°， 15575t t ∴+=，154t ∴=， 故答案为：154． 19．如图1，对于线段AB 和A OB ∠′′，点C 是线段AB 上的任意一点，射线OC ′在A OB ∠′′内部，如果AC A OC AB A OB ∠′′=∠′′，则称线段AC 是A OC ∠′′的伴随线段，A OC ∠′′是线段AC 的伴随角．例如：10AB =，∠（1）当8AB =，A OB ∠′′（2）如图2，对于线段点，E ，F 分别是线段AC AF 的伴随角，则在点C 会发生变化？如果会，请说明（3）如图3，已知AOC ∠是任接MN ，AOC ∠的平分线AOD ∠的伴随线段，点P 量加以说明；如果不能，请说100A OB ′′=°，若3AC =，则线段AC 的伴随角OC ′130=°时，若65A OC ∠′′=，试求A OC ∠′′的伴随线段AB 和A OB ∠′′，6AB =，120A OB ∠′′=°．若点C 是线，BC 的中点，A OE ∠′′，A OC ∠′′，A OF ∠′′分别是线段从A 运动到B 的过程中（不与A ，B 重合），O 请说明理由；如果不会，请求出E OF ∠′′的大小． C 是任意锐角，点M ，N 分别是射线OA ，OC 上的OD 与线段MN 相交于点Q ．对于线段MN 和∠和点Q 能否重合？如果能，请举例并用数学工具作请说明理由．30A ∠′=°． 随线段AC 的长． 是线段AB 上任一是线段AE ，AC ，E OF ∠′′的大小是否上的任意一点，连AOC ，线段MP 是工具作图，再通过测【解答】解：（1）由伴随角和∴65181302AC °==°， 4AC ∴=．（2）不会，60E OF ∠′′=．∵点E ，F 分别是线段12EC AC ∴=，12CF BC =132EF AB ∴==． A OE ∠′′∵，A OC ∠′′，A ∠∴AE A OE AB A OB ∠′′=∠′′，ACO AB O =∠EF AF AE =−∵， ∴EF AF AE A AB AB AB A ∠′=−=∠′120A OB ∠′′=°∵， 60E OF ∴∠′′=°．（3）能，理由如下： OD ∵是AOC ∠的平分线，12AOD AOC ∴∠=∠， ∵线段MP 是AOD ∠的伴随线段随角和伴随线段的定义可知，AC A OC AB A OB ∠′′=∠′′， °．理由如下： AC ，BC 的中点， C ， OF ′′分别是线段AE ，AC ，AF 的伴随角， A OC A OB ∠′′′′，AF A OF AB A OB ∠′′=∠′′， 12OF A OE E OF OB A OB A OB ′∠′′∠′′−==′∠′′∠′′，随线段，∴12MP AOD MN AOC ∠==∠．即点P 若点P 和点Q 重合，则点根据题意画出图形如下所示测量得出当点P 和点Q 重合时20．已知AOB ∠和COD ∠是直（1）如图1，当射线OB 理由．（2）如图2，当射线14BOE BOC ∠=∠，DOF ∠=（3）在（2）的条件下，在平求出GOF ∠的度数；若不存在【解答】（1）AOD ∠+∠证明：AOB ∠∵和COD ∠是直90AOB COD ∴∠=∠=°，是MN 的中点． Q 为MN 的中点． 所示：重合时， 1.25NP MQ cm ==． 是直角．在COD ∠的内部时，请探究AOD ∠和BOC ∠之间的OA ，OB 都在COD ∠的外部时，过点O 作射线34OF AOD ∠，求EOF ∠的度数． 在平面内是否存在射线OG ，使得:GOF GOE ∠∠不存在，请说明理由．180BOC =°． 是直角，之间的关系，并说明OE ，OF ，满足3:7OE =若存在，BOD BOC COD ∠+∠=∠∵， 90BOD BOC ∴∠=°−∠，同理：90AOC BOC ∠=°−∠，9090180AOD AOB BOD BOC BOC ∴∠=∠+∠=°+°−∠=°−∠， 180AOD BOC ∴∠+∠=°；（2）解：设BOE a ∠=，则4BOC a ∠=， BOE EOC BOC ∠+∠=∠∵， 3EOC BOC BOE a ∴∠=∠−∠=，360AOD COD BOC AOB ∠+∠+∠+∠=°∵， 360AOD COD BOC AOB ∴∠=°−∠−∠−∠ 36090490a =°−°−−° 1804a =°−，34DOF AOD ∠=∠∵，3(1804)13534DOF a a ∴∠=°−=°−， 11(1804)4544AOF AOD a a ∴∠=∠=°−=°−， 9045135EOF BOE AOB AOF a a ∴∠=∠+∠+∠=+°+°−=°， EOF ∠的度数为135°；（3）①当射线OG 在EOF ∠内部时， :3:7GOF GOE ∴∠∠=，333()13540.5371010GOF GOF GOE EOF ∴∠=∠+∠=∠=×°=°+； ②当射线OG 在EOF ∠外部时， :3:7GOF GOE ∠∠=∵，3()37GOF GOE GOF ∴∠=∠+∠+310EOF =∠ 3()10DOF COD EOC =∠+∠+∠ 310=(1353903)a a °−+°+ 67.5=°．③当OG 在EOF ∠外部且在直线OE 上方的时候求得的GOE ∠超过180度，不合题意舍去． 综上所述，GOF ∠的度数是40.5°或67.5°．。
学姐笔记-中考数学几何-角平分线、垂直平分线经典题型总结
角平分线、垂直平分线知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。
精典例题：【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。
分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。
问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。
分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。
分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。
以上三种分析的证明略。
探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
如图，△ABC 中，AD 是角平分线。
求证：ACABDC BD =。
分析：要证ACABDC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。
我们注意到在比例式ACABDC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明ACABDC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。
中考数学备考专题复习： 阅读理解问题(含解析)
中考数学备考专题复习：阅读理解问题（含解析）中考备考专题复习：阅读理解问题一、单选题1、对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b，如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（）A、0B、2C、3D、42、对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b= ，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=．则方程x⊗（﹣2）= ﹣1的解是（）A、x=4B、x=5C、x=6D、x=73、设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0②a@（b+c）=a@b+a@c③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．其中正确的是（）A、②③④B、①③④C、①②④D、①②③4、定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x=y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”．当﹣1≤x≤3时，直线y=2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是（）A、0≤m≤1B、﹣3≤m≤1C、﹣3≤m≤3D、﹣1≤m≤0二、填空题5、州）阅读材料并解决问题：求1+2+22+23+…+22014的值，令S=1+2+22+23+…+22014等式两边同时乘以2，则2S=2+22+23+…+22014+22015两式相减：得2S﹣S=22015﹣1所以，S=22015﹣1依据以上计算方法，计算1+3+32+33+…+32015=________．三、解答题6、自学下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：（1）若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0；（2）若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．反之：（1）若＞0，则或（2）＜0，则____________ ．根据上述规律，求不等式＞0的解集．7、阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用[()n﹣()n]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．8、先阅读下列材料，然后解答问题：材料1 从3张不同的卡片中选取2张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32＝3×2＝6.一般地，从n个不同元素中选取m个元素的排列数记作A n m，A n m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m≤n)．例：从5个不同元素中选3个元素排成一列的排列数为：A53＝5×4×3＝60.材料2 从3张不同的卡片中选取2张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数记为C32＝＝3.一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作C n m，C n m＝(m≤n)．例：从6个不同元素中选3个元素的组合数为：C63＝＝20.问：(1)从7个人中选取4人排成一排，有多少种不同的排法？(2)从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？9、定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况．四、综合题10、阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，==，利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．解：在△ABC中，∵=∴b====3．理解应用：如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明(2)求乙船每小时航行多少海里？11、阅读下列材料：2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次．其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人次、17.6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高．2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2013 年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为26.2万人次，2013 年清明小长假增加了4.6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次．2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14.9 万人次．根据以上材料解答下列问题：(1)2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为________ 万人次(2)选择统计表或统计图，将2013﹣2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来．12、阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．令++=t，则原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2=问题：(1)计算（1﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（+++…+）；(2)解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．13、）阅读下列材料，并解决相关的问题．按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．(1)等比数列3，6，12，…的公比q为________ ，第4项是________(2)如果一个数列a1， a2， a3， a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…=q．所以：a2=a1•q，a3=a2•q=（a1•q）•q=a1•q2， a4=a3•q=（a1•q2）•q=a1•q3，…由此可得：an =________（用a1和q的代数式表示）．(3)若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．14、阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为．请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组;(2)已知x，y满足方程组（i）求x2+4y2的值；（ii）求+的值．15、）阅读理解材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC∵E、F是AB、CD的中点∴EF∥AD∥BCEF=（AD+BC）材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边如图（2）：在△ABC中：∵E是AB的中点，EF∥BC∴F是AC的中点如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．(1)求证：EF=AC；(2)若OD=，OC=5，求MN的长．16、我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）17、已知点P（x0， y）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d= 计算．例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d= = = = ．根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；(2)已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y= x+9的位置关系并说明理由；(3)已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．18、定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．(1)三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；(2)如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．(3)三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长．19、我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”(1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；(2)问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．20、阅读下列材料：北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业．2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.2%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%．根据以上材料解答下列问题：(1)用折线图将2011﹣2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；(2)根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约________亿元，你的预估理由________．21、）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβtan（α±β）=利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例：tan75°=tan（45°+30°）= = =2+根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题(1)计算：sin15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度．已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．22、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．(1)根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：(2)如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；(3)如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜），∠AED=∠BCD，求的值（用含k的式子表示）．答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】分段函数【解析】【解答】解：当x+3≥﹣x+1，即：x≥﹣1时，y=x+3，∴当x=﹣1时，y min=2，当x+3＜﹣x+1，即：x＜﹣1时，y=﹣x+1，∵x＜﹣1，∴﹣x＞1，∴﹣x+1＞2，∴y＞2，∴y min=2，故选B【分析】分x≥﹣1和x＜﹣1两种情况进行讨论计算，此题是分段函数题，主要考查了新定义，解本题的关键是分段．2、【答案】B【考点】分式方程的解，定义新运算【解析】【解答】解：根据题意，得= ﹣1，去分母得：1=2﹣（x﹣4），解得：x=5，经检验x=5是分式方程的解．故选B．【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．3、【答案】C【考点】整式的混合运算，因式分解的应用，二次函数的最值【解析】【解答】解：①根据题意得：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=0，整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）=0，即4ab=0，解得：a=0或b=0，正确；②∵a@（b+c）=（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2=4ab+4aca@b+a@c=（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2=4ab+4ac，∴a@（b+c）=a@b+a@c正确；③a@b=a2+5b2， a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，令a2+5b2=（a+b）2﹣（a﹣b）2，解得，a=0，b=0，故错误；④∵a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，（a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，∴a2+b2+2ab≥4ab，∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab=4ab，解得，a=b，∴a@b最大时，a=b，故④正确，故选C．【分析】根据新定义可以计算出啊各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查因式分解的应用、整式的混合运算、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4、【答案】 B【考点】一元一次不等式组的应用【解析】【解答】解：∵x=y，∴x=2x+m，即x=﹣m．∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤﹣m≤3，∴﹣3≤m≤1．故选B．【分析】根据x=y，﹣1≤x≤3可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．二、填空题5、【答案】【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：令s=1+3+32+33+ (32015)等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+ (32016)两式相减得：2s=32016﹣1．所以S= ．【分析】令s=1+3+32+33+…+32015，然后再等式的两边同时乘以2，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．本题主要考查的是数字的变化规律，依据材料找出解决问题的方法和步骤是解题的关键．三、解答题6、【答案】解：（2）若＜0，则或；故答案为：或；由上述规律可知，不等式转化为或，所以，x＞2或x＜﹣1．【考点】一元一次不等式组的应用【解析】【分析】根据两数相除，异号得负解答；先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．7、【答案】【解答】解：第1个数，当n=1时，[()n﹣()n]=（﹣）=×=1．第2个数，当n=2时，[()n﹣()n]=[（）2﹣（）2]=×（+）（﹣）=×1×=1．【考点】二次根式的应用【解析】【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．8、【答案】解：(1)A74＝7×6×5×4＝840(种)．(2)C83＝＝56(种)【考点】探索数与式的规律【解析】【分析】探索数与式的规律。
中考数学全等三角形角平分线辅助练习题附解析
中考数学全等三角形角平分线辅助练习题附解析一、全等三角形角平分线辅助1．如图1，在ABC 中，AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，AF 和BE 相交于D 点．（1）求证：CD 平分ACB ∠；（2）如图2，过F 作FP AC ⊥于点P ，连接PD ，若45ACB ∠=︒，67.5PDF ∠=︒，求证：PD CP =；（3）如图3，若23180BAF ABE ∠+∠=︒，求证：BE BF AB AE -=-．2．已知：如图，//AC BD ，AE ，BE 分别平分CAB ∠和ABD ∠，点E 在CD 上．用等式表示线段AB 、AC 、BD 三者之间的数量关系，并证明．3．直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在射线OP 上运动（点A 不与点O 重合），点B 在射线OM 上运动（点B 不与点O 重合）．（1）如图1，已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，①当∠ABO ＝60°时，求∠AEB 的度数；②点A 、B 在运动的过程中，∠AEB 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB 的大小；（2）如图2，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线所在的直线分别相交于E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO 的度数．4．如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．∠和6．如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，且MN//PQ．NAB ABQ∠的平分线交于点C．⊥；（1）求证：BC AC（2）过点C作直线交MN于点D（不与点A重合），交PQ于点E,+=；①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD BE AB②若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．7．在平面直角坐标中，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，A（0，a），B（b，0）．-+（a-2）2=0，求△ABO的面积；（1）如图12a b（2）如图2，AC 与x 轴交于D 点，BC 与y 轴交于E 点，连接DE ，AD=CD ，求证：∠ADB=∠CDE ；（3）如图3，在（1）的条件下，若以P （0，-6）为直角顶点，PC 为腰作等腰Rt △PQC ，连接BQ ，求证：AP ∥BQ ．8．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分,DAB CD CB ∠=，求证：180B D ∠+∠=．9．如图，OA=OB ，∠AOB=90°，BD 平分∠ABO 交OA 于点D ，AE ⊥BD 于E ，求证：BD=2AE.10．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：AB AC BD CD ->-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角平分线辅助1．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK ，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；（2）作DS AC ⊥，DT BC ⊥，在AC 上取一点Q ，使QDP FDP ∠=∠，通过证明SQD TFD △≌△和QDP FDP △≌△得到22.5PDC PCD ∠=∠=︒，从而根据等角对等边判断即可；（3）延长AB 至M ，使BM BF =，连接FM ，通过证明AFC AFM △≌△得到AC AM =，再结合CE EB =即可得出结论．【详解】（1）证明：如图所示，过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，∵AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，∴DG DH DK ==，∴CD 平分ACB ∠；（2）证明：如图，作DS AC ⊥，DT BC ⊥，在AC 上取一点Q ，使QDP FDP ∠=∠． ∵CD 平分ACB ∠，∴DS DT =，∵67.5QDP FDP ∠=∠=︒，45ACB ∠=︒，∴13545180QDF ACB ∠+∠=︒+︒=︒，在四边形QDFC 中，180CQD DFC ∠+∠=︒，又∵180DFT DFC ∠+∠=︒，∴CQD DFT ∠=∠，在SQD 和TFD △中，90CQD DFT DS DTDSQ DTF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴SQD TFD △≌△，∴QD FD =，在QDP △和FDP 中QD FD QDP FDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QDP FDP △≌△，∴45QPD FPD ∠=∠=︒又∵QPD PCD PDC ∠=∠+∠，22.5PCD ∠=︒，∴22.5PDC PCD ∠=∠=︒，∴CP PD =；（3）证明：延长AB 至M ，使BMBF =，连接FM ． ∵AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线， ∴22180BAF ABE C ∠+∠+∠=︒，又∵23180BAF ABE ∠+∠=︒，∴C ABE CBE ∠=∠=∠，∴CE EB =，∵BM BF =，∴BFM BMF ABE CBE C ∠=∠=∠=∠=∠，在AFC △和AFM △中，C BMF CAF BAF AF AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AFC AFM △≌△，∴AC AM =，∴AE CE AB BM +=+，∴AE BE AB BF +=+，∴BE BF AB AE -=-．【点睛】本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键．2．AB=AC+BD ，证明见详解．【分析】延长AE ，交BD 的延长线于点F ，先证明AB=BF ，进而证明△ACE ≌△FDE ，得到AC=DF ，问题得证．【详解】解：延长AE ，交BD 的延长线于点F ，∵//AC BD ，∴∠F=∠CAF ，∵AE 平分CAB ∠，∴∠CAF=∠BAF ，∴∠F=∠BAF ，∴AB=BF ，∵BE 平分ABF ∠，∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，∴△ACE≌△FDE，∴AC=DF，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．【点睛】本题考查了等腰三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意添加辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题关键．3．（1）①135°②∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB＝135°，详见解析（2）∠ABO＝60°或45°【分析】（1）①根据三角形内角和定理、角分线定义，即可求解；②方法同①，只是把度数转化为角表示出来，即可解答；（2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果，要对谁是谁的3倍分类讨论..【详解】（1）如图1，①∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠ABE＝12∠ABO＝30°，∠BAE＝12∠BAO＝15°，∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣12∠ABO﹣12∠BAO＝180°﹣12（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣12×90°＝135°．（2）∠ABO的度数为60°．理由如下：如图2，∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，∴∠OAE+∠OAF＝12（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，又∵∠BOA＝90°，∴∠GAO＞90°，①∵∠E＝13∠EAF＝30°，∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，∴∠OAE＝15°，∠OAE＝12∠BAO＝12（90﹣∠ABO）∴∠ABO＝60°．②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90°∴∠E+∠F=90°∴∠E=22.5°∴∠EFA=90-22.5°=67.5°∵∠EOQ＝∠EOM= ∠AOE= 45°，∴∠BAO＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45°∴∠ABO=90°-45°=45°【点睛】本题考查了三角形内角和定理及外角的性质、角分线定义，解决本题的关键是灵活运用三角形内角和外角的关系.4．28°【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°-∠AED=62°，∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，∴∠ABE=28°．【点睛】考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．5．见解析【分析】作BF的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AE＝BE＝EF，由BD 平分∠ABC就可以得出∠ABE＝∠DBC＝22.5°，从而可以得出∠BAE＝∠BAE＝∠ACD＝22.5°，∠AEF＝45°，由∠BAC＝90°，∠BDC＝90°就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出AD＝DC，证△ADC≌△AEB推出BE＝CD，从而得到结论．【详解】解：取BF的中点E，连接AE，AD，∵∠BAC＝90°，∴AE＝BE＝EF，∴∠ABD ＝∠BAE ，∵CD ⊥BD ，∴A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠DAC ＝∠DBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ，∴∠DAC ＝∠BAE ，∴∠EAD ＝90°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝∠DBC ＝22.5°，∴∠AED ＝45°，∴AE ＝AD ，在△ABE 与△ADC 中，ABE DAC BAE ACD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADC ，∴BE ＝CD ，∴BF ＝2CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（1）见解析；（2）见解析；（3）BE AD AB =+【分析】(1) 由平行线性质可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分线定义可得11,22∠=∠∠=∠BAC NAB CBA ABQ ,再利用三角形内角和定理即可得∠C=90°,即可证明BC ⊥AC;(2) ①延长AC 交PQ 点F ，先证明AC=FC,再证明△ACD ≌△FCE,即可得AD+BE=AB; ②方法与①相同．【详解】解：（1）∵MN ∥PQ∴∠NAB+∠ABQ=180°∵AC 平分∠NAB ，BC 平分∠ABQ ∴11,22∠=∠∠=∠BAC NAB CBA ABQ ∴∠BAC+∠ABC=12180⨯︒=90°在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°∴∠C=180°- (∠BAC+∠ABC) =180°-90°=90°∴BC⊥AC;（2）①延长AC交PQ于点F∵BC⊥AC∴∠ACB=∠FCB=90°∵BC平分∠ABF∴∠ABC=∠FBC∴BC=BC∴△ABC≌△FBC∴AC=CF，AB=BF∵MN∥BQ∴∠DAC=∠EFC∵∠ACD=∠FCE∴△ACD≌△FCE∴AD=EF∴AB=BF=BE+EF=BE+AD即：AB=AD+BE②线段AD，BE，AB数量关系是：AD+AB=BE 如图3，延长AC交PQ点F,∵MN//PQ ．∴∠AFB=∠FAN，∠DAC=∠EFC∵AC平分∠NAB∴∠BAF=∠FAN∴∠BAF=∠AFB∴AB=FB∵BC ⊥AC∴C 是AF 的中点∴AC=FC在△ACD 与△FCE 中DAC EFC AC FCACD FCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ACD FCE ASA ≅∴AD=EF∵AB=FB=BE-EF∴AD+AB=BE【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形．7．（1）△ABO 的面积=4；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性求出a ，b ，根据三角形的面积公式计算；（2）作AF 平分∠BAC 交BD 于F 点，分别证明△ACE ≌△BAF ，△CED ≌△AFD ，根据全等三角形的性质证明；（3）过C 点作CM ⊥y 轴于M 点，过D 点作DN ⊥y 轴于N 点，证明△ACM ≌△BAO ，根据全等三角形的性质得到CM=AO=2，AM=BO=4，证明四边形ONQB 为平行四边形，得到答案．【详解】解：（1）∵+（a-2）2=0，∴2a-b=0，a-2=0，解得，a=2，b=4，∴A （0，2），B （4，0），∴OA=2，OB=4，∴△ABO 的面积=12×2×4=4；（2）作AF 平分∠BAC 交BD 于F 点，∵AB=AC ，∠CAB=90°，∴∠C=∠ABC=∠DAF=∠BAF=45°，∵∠CAE+∠BAO=∠ABF+∠BAO=90°，∴∠CAE=∠ABF ，在△ACE 和△BAF 中，CAE ABF AC AB ACE BAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACE ≌△BAF （ASA ），∴CE=AF ，在△CED 和△AFD 中，CD AD C DAF CE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CED ≌△AFD （SAS ）∴∠CDE=∠ADB ；（3）过C 点作CM ⊥y 轴于M 点，过D 点作DN ⊥y 轴于N 点，则∠AMC=∠BOA=90°，∵∠CAM+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CAM=∠ABO ，在△ACM 和△BAO 中，CAM ABO CMA AOB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACM ≌△BAO （AAS ），∴CM=AO=2，AM=BO=4，∵A （0，2），P （0，-6），∴AP=8，∴PM=AP-AM=4，在△PCM 和△QPN 中，CPM PQN PMC QNP PC PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△PCM ≌△QPN （AAS ），∴NQ=PM=4，∴四边形ONQB 为平行四边形，∴AP ∥BQ ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，非负数的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8．详见解析【解析】【分析】过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，由条件可得出△CDF ≌△CEB ，可得∠B=∠FDC ，进而可证明∠B+∠ADC=180°．【详解】证明：过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF AD ⊥于F ，∴CF=CE ，在Rt △CDF 与Rt △CEB 中，CF=CE CD=CB⎧⎨⎩ ∴CBE CDF ∆∆≌， CBE CDF ∴∠=∠，180ADC CDF ∠+∠=︒，A C 180B D ∴∠+∠=︒ .【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL 证明△CDF ≌△CEB 进而得出∠B=∠FDC ．9．详见解析【分析】延长BO ，AE 并交于F ，证△ABE ≌△FBE ，推出AE=EF ，证△BOD ≌△AOF 推出BD=AF 即可．【详解】延长BO ，AE 并交于F ，∵BD 平分∠ABO ，AF ⊥BD ，∴∠1=∠2，∠AEB=∠FEB=90°，在△ABE 和△FBE 中1=2BE BEAEB FEB ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABE ≌△FBE ，∴AE=EF ，∵∠AOB=90゜，∠AED=90°，∠ADE=∠BDO ，∴∠2=∠OAF ，∵∠AOB=90°，∴∠DOB=∠FOA=90°，∴在△OBD 和△OAF 中2=FAO BO AOBOD AOF ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OBD ≌△OAF ，∴BD=AF ，∵AE=EF ，∴BD=2AE ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键.10．详见解析【解析】【分析】可以在AB 上截取AE=AC ，构造三角形全等，再结合三角形三边关系可证得结论．【详解】在AB 上截取AE=AC ，则BE=AB-AC ，在△AED 和△ACD 中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AED ≌△ACD(SAS)，∴DE=DC ，在△BDE 中，BD-DE ＜BE(三角形两边之差小于第三边)，∴BE>BD-CD ，即AB-AC>BD-CD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造三角形全等是解题的关键．。
北京市西城区2019届中考复习《角的平分线的性质》专项练习含答案
北京市西城区2019届初三数学中考复习 角的平分线的性质 专题复习检测题1．作∠AOB 的平分线时，以点O 为圆心，某一长度为半径作弧，与OA ，OB 分别相交于点C ，D ，然后分别以点C ，D 为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度应( ) A ．大于12CD B ．等于12CD C ．小于12CD D ．以上答案都不对2. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC ＝∠BOC 的依据是( )A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．角平分线上的点到角两边距离相等3. 如图，OP 平分∠MON，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA ＝3，则PQ 的最小值为( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．2 34. 如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE⊥AB 于点E ，DE ＝2，AC ＝3，则△ADC 的面积是( )A ．3B ．4C ．5D ．65. 如图，OP 平分∠AOB ，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C ，D ，下列结论中错误的是( )A ．PC ＝PDB ．OC ＝OD C ．∠CPO＝∠DPO D ．OC ＝PC6. 如图，在△ABC 中，∠B，∠C 的平分线交于点O ，OD⊥AB 于点D ，OE⊥AC 于点E ，则OD 与OE 的大小关系是( )A ．OD>OEB ．OD ＝OEC ．OD<OED ．不能确定7. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE⊥AB 于点E ，且AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长为( )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm8. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是( )A．8 B．6 C．4 D．29. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为 .10. 命题“全等三角形对应边上的高线相等”的已知是，结论是．11. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，则S△ABD∶S△ACD＝，BD∶CD＝ .12. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是 .13. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：∠B＝∠C.14. 证明：全等三角形对应边上的中线相等．15. 如图，已知OD平分∠AOB，P是OD上一点，在OA，OB边上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN.16. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD，过点C 作CE⊥AB 于点E ，且CD ＝CB ，∠ABC ＋∠ADC ＝180°.求证：AE ＝12(AB ＋AD)．答案：1---8 AACAD BBC 9. 310. 两个三角形是全等三角形 它们对应边上的高相等 11. 3∶4 3∶4 12. 313. 证明：∵AD 平分∠BAC ，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF ，∠BED＝∠CFD ＝90°，∵D 是BC 的中点，∴BD＝CD ，在Rt △BDE 和Rt △CDF 中， ∵DE＝DF ，DB ＝DC ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF(HL)，∴∠B＝∠C 14. 证明：△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝A′B′， ∠B＝∠B′，BC ＝B′C′.又∵AD ，A′D′分别是BC ，B′C′边上的中线，∴BD＝B′D′.∴△ABD≌△A′B′D′，∴AD＝A′D′ 15. 证明：∵OD 平分∠AOB ，∴∠1＝∠2， 又∵OA ＝OB ，OD ＝OD ，∴△AOD≌△BOD， ∴∠3＝∠4，又∵PM⊥DB，PN⊥DA，∴PM＝PN16. 证明：过点C 作CF⊥AD，交AD 延长线于点F ，易证△CEB≌△CFD，△AEC ≌△AFC ，∴DF ＝BE ，AF ＝AE ，又DF ＝AF －AD ＝AE －AD ，BE ＝AB －AE ，∴AB －AE ＝AE －AD ，即AE ＝12(AB ＋AD)2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程2680x x -+=的解，则这个三角形的周长是（ ） A ．11B ．13C ．11或13D ．不能确定2．立定跳远是体育中考选考项目之一，体育课上老师记录了某同学的一组立定跳远成绩如表：则下列关于这组数据的说法，正确的是（ ） A ．众数是2.3 B ．平均数是2.4 C ．中位数是2.5 D ．方差是0.013．如图，在O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB CD ⊥，垂足为点E ，连接CO ，AD ，若30BOC ∠=︒，则BAD ∠的度数是（ ）A ．30°B ．25︒C ．20︒D ．15︒4．若点A （a ，b ），B （1a，c ）都在反比例函数y ＝1x 的图象上，且﹣1＜c ＜0，则一次函数y ＝（b ﹣c ）x+ac 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，在△ABC 中，CA=CB ，∠C=90°，点D 是BC 的中点，将△ABC 沿着直线EF 折叠，使点A 与点D 重合，折痕交AB 于点E ，交AC 于点F ，那么sin ∠BED 的值为（ ）．A ．35B ．53C ．512D ．126．从三个不同方向看一个几何体，得到的平面图形如图所示，则这个几何体是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．棱锥D ．球7．把抛物线y=(x-2)2向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度,所得到的抛物线是( ). A ．y=x 2+2B ．y=x 2-2C ．y=(x+2)2-2D ．y=(x+2)2+28．已知点（－2，1y ），（1，0），（3，2y ）都在二次函数2y x bx 3=+-的图象上，则1y ，0，2y 的大小关系是（ ） A ．120y y <<B ．21y 0y <<C ．12y y 0<<D ．12y 0y <<9．半径为r 的圆的内接正六边形边长为( )A ．1r 2B C ．r D ．2r10．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，以B 为圆心，AB 为半径作AC ，在扇形BAC 内作⊙O 与AB 、BC 、AC 都相切，则⊙O 的周长等于（ ）A ．49πB ．23π C ．43π D ．π11．在平面直角坐标系中，将A(﹣1，5)绕原点逆时针旋转90°得到A′，则点A′的坐标是( ) A ．(﹣1，5)B ．(5，﹣1)C ．(﹣1，﹣5)D ．(﹣5，﹣1)12．某校九年级3月份中考模拟总分760分以上有300人，同学们在老师们的高效复习指导下，复习效果显著，在4月份中考模拟总分760分以上人数比3月份增长5%，且5,6月份的760分以上的人数按相同的百分率x 继续上升，则6月份该校760分以上的学生人数（ ）. A ．()()30015%12x ++人 B ．()()230015%1x ++人 C ．()()3005%3002++人 D ．()30015%2x ++人二、填空题13．十九大报告指出：十八大以来，我国就业状况持续改善，城镇新增就业年均一千三百万人以上，一千三百万人用科学计数法表示为__________人.14．某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为_____度．15．已知|a ﹣=a ，则a ﹣20072的值是_____．16．直线22y x =+沿y 轴向下移动6个单位长度后，与x 轴的交点坐标为_______ 17．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝3， BC ＝2，tanA ＝43，则CD ＝_____．18．如图，直线l 1与l 2相交于点O ，OM ⊥l 1，若α＝52°，则β的度数是_____度．三、解答题19．如图是一张锐角三角形纸片，AD 是BC 边上的高，BC=40cm ，AD=30cm ，现从硬纸片上剪下一个长是宽2倍的周长最大的矩形，则所剪得的矩形周长为_____________cm ．20．先化简，再求值：211211a a a a ⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭，其中1a =．21．某校举行了一次古诗词朗读竞赛，满分为10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格．达到9分或10分为优秀．这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩统计分析表和成绩分布的折线统计图如图所示．（1）求出成绩统计分析表中a的值．（2）小英说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察成绩统计分析表判断，小英是甲、乙哪个组的学生．（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．试写出两条支持乙组同学观点的理由．（4）从这次参加学校古诗词朗诵竞赛的甲、乙两组成绩优秀的学生中，随机抽取两名学生参加全市古诗词朗诵竞赛，恰好是乙组学生的概率是多少？（画树状图或列表求解）22．抛物线L：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（常数a≠0）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且x1•x2＜0，AB＝4，当直线l：y＝﹣3x+t+2（常数t＞0）同时经过点A，C时，t＝1．（1）点C的坐标是；（2）求点A，B的坐标及L的顶点坐标；（3）在如图2 所示的平面直角坐标系中，画出L的大致图象；（4）将L向右平移t个单位长度，平移后y随x的增大而增大部分的图象记为G，若直线l与G有公共点，直接写出t的取值范围．23．为了掌握我区中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师选取一个水平相当的初三年级进行调研，将随机抽取的部分学生成绩(得分为整数，满分为130分)分为5组：第一组55∼70；第二组70∼85；第三组85∼100；第四组100∼115；第五组115∼130，统计后得到如图所示的频数分布直方图(每组含最小值不含最大值)和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：(1)本次调查共随机抽取了__ _名学生；(2)补全频数分布直方图；(3)将得分转化为等级，规定：得分低于70分评为“D”，70∼100分评为“C”，100∼11评为“B”，115∼130分评为“A”，根据目前的统计，请你估计全区该年级4500名考生中，考试成绩评为“B”级及其以上的学生大约有多少名?24．在如图菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别是AB、BC的中点．求证：OE＝OF．25．问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．问题解决：如果△ABC的边长等于，AD＝2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD 的长．【参考答案】***一、选择题二、填空题 13．3×10714．90 15．2008 16．（2,0） 17．5618．38 三、解答题 19．72cm 【解析】 【分析】设所剪得的矩形的长为2xcm ，宽为xcm ，根据相似三角形的对应高的比等于相似比即可列方程求解. 【详解】解：设所剪得的矩形的长为2xcm ，宽为xcm ，由题意得2304030x x -=或3024030x x -= 解得x=12或12011x =则周长为()2412272cm +⨯=或2401207202cm 111111⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭因为7207211>所以所剪得的矩形周长为72cm. 故答案为：72cm 【点睛】相似三角形的应用相似三角形的应用是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.20．11a +，2. 【解析】 【分析】原始第一项先化简括号里面的，再利用除法法则变形，约分后利用同分母分式得到最简结果，将a 的值代入即可 【详解】 解：21(1)211a a a a ÷-+++ ＝211(1)1a a a a +-÷++＝21(1)a a a a ++＝1+1a，当a＝2．【点睛】此题考察分式的化简求值，关键在于约分21．（1）中位数a＝6；（2）小英属于甲组学生；（3）①乙组的总体平均水平高；②乙组的成绩比甲组的成绩稳定；（4）随机抽取两名学生参加全市古诗词朗诵竞赛，恰好是乙组学生的概率为1 10．【解析】【分析】（1）由折线图中数据，根据中位数的定义求解可得；（2）根据中位数的意义求解可得；（3）可从平均数和方差两方面阐述即可；（4）首先根据题意列表，然后求得所有等可能的结果与两名学生恰好是乙组的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）由折线统计图可知，甲组成绩从小到大排列为：3、6、6、6、6、6、7、9、9、10，∴其中位数a＝6，（2）∵甲组的中位数为6，乙组的中位数为7.5，而小英的成绩位于小组中上游，∴小英属于甲组学生；（3）乙组学生成绩的平均分b＝（5×2+6×1+7×2+8×3+9×2）÷10＝7.2；①乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高；②乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定；（4）列表得：∵共有20种等可能的结果，两名学生恰好是乙组的有2种情况，∴随机抽取两名学生参加全市古诗词朗诵竞赛，恰好是乙组学生的概率＝21= 2010．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A的概率．也考查了折线统计图以及中位数与方差的定义．22．(1) 点C的坐标是（0，3）; （2）A（1，0），B（﹣3，0），L的顶点坐标为（﹣1，4）；(3)见解析；（4）t≥1 2【解析】【分析】(1)把t＝1代入y＝﹣3x+t+2，令x＝0，求得相应的y值，即可得到点C的坐标；(2)根据待定系数法，可得函数解析式；(3)根据描点法，可得函数图象；(3)根据平移规律，可得G的解析式，根据函数与不等式的关系，可得答案．【详解】(1)直线的解析式为y＝﹣3x+3，当x＝0时，y＝3，即C点坐标为(0，3)，故答案为：(0，3)；(2)当y＝0时，﹣3x+3＝0，解得x1＝1，即A(1，0)，由点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1•x2＜0，AB＝4，得1﹣x2＝4，解得x2＝﹣3，即B(﹣3，0)；L：y＝a(x﹣1)(x+3)，将C(0，3)坐标代入L，得a＝﹣1，∴L的解析式为y＝﹣(x﹣1)(x+3)，即y＝﹣(x+1)2+4，∴L的顶点坐标为(﹣1，4)；(3)函数图象如图所示：；(4)L向右平移t个单位的解析式为y＝﹣(x+1﹣t)2+4，a＝﹣1＜0，当x t﹣1时，y随x的增大而增大．若直线l与G有公共点时，则有当x＝﹣1+t时，G在直线l的上方，即﹣(t﹣1+1﹣t)2+4≥﹣3(t﹣1)+t+2，解得t≥12．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是利用自变量与函数值的对应关系；解(2)的关键是待定系数法；解(3)的关键是描点法，解(4)的关键是利用函数值的大小得出不等式，还利用了函数图象平移的规律．23．(1) 50；(2)见解析;(3) 1620.【解析】【分析】（1）根据第三组的数据，用人数除以百分数得出结论即可；（2）根据抽取的总人数减去前4组的人数，即可得到第五组的频数，并画图；（3）用样本中考试成绩评为“B”级及其以上的学生数占抽取的总人数的百分比，乘上全区该年级4500名考生数，即可得出结论．【详解】解：（1）20÷40%=50名，故答案为：50；（2）50-4-8-20-14=4，画图如下：(3)(4+14)÷50×4500=1620.答：估计全区该年级4500名考生中，考试成绩评为“B”级及其以上的学生大约有1620名．【点睛】本题主要考查了直方图和扇形图以及用样本估计总体的知识，根据直方图和扇形图中都有的数据求出抽取的学生总数是解决此题的关键．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．24．证明见解析【解析】【分析】根据菱形ABCD，可得AC⊥BD，所以可得△AOB、△BOC为直角三角形，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明OE＝OF．【详解】解：∵AC⊥BD，∴△AOB、△BOC为直角三角形，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴OE＝12AB，OF＝12BC，∵AB＝BC，∴OE＝OF．【点睛】本题主要考查菱形的性质，应当熟练掌握，这是重点知识.25．问题发现：BD＝CE；拓展探究：结论仍然成立，见解析；问题解决：BD的长为2和【解析】【分析】问题发现：如图1，由平行线分线段成比例定理可得BD＝CE；拓展探究：如图2，证明△BAD≌△CAE，可得BD＝CE；问题解决：分两种情况：①如图3，在直角三角形中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DG＝1，由勾股定理求出AG BG，从而计算出BD的长．②如图4，求EF的长和CF的长，根据勾股定理在Rt△EFC中求EC的长，所以BD＝EC＝【详解】解: 问题发现：如图1,BD=CE,理由是∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∵DE∥BC,∴BD=CE,拓展探究：结论仍然成立,如图2,由图1得,△ADE是等边三角形,∴AD=AE,由旋转得∠BAD=∠CAE,△BAD≌△CAE,(旋转的性质)∴BD=CE,问题解决：当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时,设垂足为点F,此时有两种情况:①如图3,∵△ADE是等边三角形,AF⊥DE,∴∠DAF=∠EAF=30°,∴∠BAD=30°,过D作DG⊥AB,垂足为G,∵AD=2,∴∵∴∴BD=2（勾股定理）,②如图4,同理得△BAD≌△CAE, ∴BD=CE,∵△ADE是等边三角形, ∴∠ADE=60°,∵AD=AE,DE⊥AC,∴∠DAF=∠EAF=30°,∴EF=FD=12AD=1,∴∴,在Rt△EFC中===∴综上所述,BD的长为2和【点睛】本题是几何变换的综合题，考查了等边三角形、全等三角形的性质与判定；在几何证明中，如果出现等边三角形，它所得出的结论比较多，要准确把握需要利用哪些结论进行证明；此类题的解题思路为：证明两个三角形全等或利用勾股定理求边长；如果有平行的关系，可以考虑利用平行相似来证明．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，直角三角板的直角顶点A 在直线上，则∠1与∠2（ ）A ．一定相等B ．一定互余C ．一定互补D ．始终相差10°2．如图，已知直线y ＝334x -，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ，则△PAB 面积的最小值是（ ）A.6B.5.5C.5D.4.5 3．如图，ABC ∆为O 的内接三角形，1tan 2ACB ∠=，且2AB =，则O 的半径为（ ）A B C ．D ．4．如图，在▱ABCD 中，AB ＝6，AD ＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG ＝4，则△CEF 的周长为（ ）A.8B.9.5C.10D.11.55．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x ，则x 满足的方程是（ ）A ．（1+x ）2＝1110B ．（1+x ）2＝109C ．1+2x ＝1110D ．1+2x ＝1096．某颗人造地球卫星绕地球运行的速度是7．9×103m／s，那么这颗卫星绕地球运行一年（一年以3．2×107 s计算）走过的路程约是（）A．1.1×1010m B．7.9×1010m C．2.5×1010m D．2.5×1011m7．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有( )A．16个B．15个C．13个D．12个8．某同学做了四道题：①3m+4n=7mn；②（﹣2a2）3=﹣8a6；③6x6÷2x2=3x3；④y3•xy2=xy5，其中正确的题号是（）A．②④B．①③C．①②D．③④9．若一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则其第三边长（）A．13 B C．5 D．1510．在一次数学竞赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则这组数据的众数、中位数、方差分别是（）A．5、3、4.6 B．5、5、5.6 C．5、3、5.6 D．5、5、6.611．如图，直线y=-x+2分别交x轴、y轴于点A，B，点D在BA的延长线上，OD的垂直平分线交线段AB 于点C．若△OBC和△OAD的周长相等，则OD的长是( )A．2 B．C．2D．412．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是25，则矩形ABCD的面积是（）A．235B．5 C．6 D．254二、填空题13．函数6x y x =-中，自变量x 的取值范围是_______. 14．如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD ．E 、F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ．若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为_____．15．如图所示，已知A 点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x 轴的正方向运动，经过t 秒后，以O 、A 为顶点作菱形OABC ，使B 、C 点都在第一象限内，且∠AOC ＝60°，又以P （0，4）为圆心，PC 为半径的圆恰好与OA 所在的直线相切，则t ＝_____．16在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________． 17．已知a ∥b ，某学生将一直角三角板放置如图所示，如果∠1＝35°，则∠2的度数为_____．18．如果分式有意义，那么x 的取值范围是_____．三、解答题 19．解不等式组211,?331x x x ①②+-⎧⎨+-⎩…… 请结合题意填空，完成本题的解答。
初中考数学专题总复习《三角形》与角平分线有关的问题
第2题图
方法三 利用角平分线，构造对称图形 方法解读 (1)截取：如图，点P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点， 连接AP.
【结论】△OPB≌△OPA
(2)延长：如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于点P. 【结论】△AOB是等腰三角形，AP＝BP，Rt△AOP≌Rt△BOP.
方法应用 3. 如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点D.若BD ＝4，BC＝9，则AC＝___5_____.
第3题图
4. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1， BC＝3，则AC的长为____5____．
第4题图
与角平分线有关的问题
微专题 与角平分线有关的问题
方法一 过角平分线上的点向角两边作垂线 方法解读 已知点P是∠MON平分线上的一点，PA⊥OM于点A.
【结论】BP＝AP，Rt△AOP≌Rt△BOP.
方法应用 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，过 点D作DE⊥AB于点E.若AB＝6，则△DEB的周长为__6______．
第1题图
方法二 角平分线遇平行线，构造(找)等腰三角形 方法解读 (1)如图，点P在∠AOB的平分线上．
【结论】OQ＝PQ，△POQ是等腰三角形．
【结论】OD＝OE，△EOD是等腰三角形．
方法应用 2. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BE平分∠ABC交 AC于点E，过E作EF∥BC交AB于点F.若EC＝1，则BF＝____2____．
中考数学复习--角平分线问题
A.2
B.3
C.4
D.5
2.（2018 枣庄）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为 D，AF 平分∠CAB，交 CD 于点
E，交 CB 于点 F，若 AC=3，AB=5，则 CE 的长为------------------------------------------------------------（ ）
（1分∠ACO，交 x 轴于点 D，求直线 CD 的函数关系式。
类型二、角平分线+角平分线的垂线→等腰三角形 当题目中有垂直于角平分线的线段时，通过延长该线段构造等腰三角形加以求解。
第5题
第6题
第7题
5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠BAC，BD⊥AD，若 BD=2，则 AE=
16.（2018 广州）如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD。 （1）利用尺规作∠ADC 的平分线 DE，交 BC 于点 E，连接 AE（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下， ①证明：AE⊥DE； ②若 CD=2，AB=4，点 M，N 分别是 AE，AB 上的动点，求 BM+MN 的最小值。
1
类型三、由角平分线作对称→全等三角形 如图，若点 P 是∠MON 平分线上一点，点 A 是边 OM 上任意一点，可以考虑在边 ON 上截取 OB=OA， 连接 PB，构造△OPB≌△OPA，从而将一些线段或角转化到到另一侧，进而达到解题目的。
8.如图，在菱形 ABCD 中，P 是 AB 上一个动点且不与 A，B 重合，连接 DP 交对角线 AC 于点 E，连接 BE，求证：∠APD=∠CBE。
9.如图，在△ABC 中，∠C=2∠B，AD 平分∠BAC，求证：AB=AC+CD。
中考数学专题复习三角形问题(双角平分线型)
中考数学专题复习三角形问题（双角平分线型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、单选题1．如图，ABD ∠，ACD ∠的角平分线交于点P ，若48A ∠=︒，10D ∠=︒，则P ∠的度数（ ）A ．19︒B ．20︒C ．22︒D ．25︒2．如图，BE 平分ABD ∠，CF 平分ACD ∠，BE 与CF 交于点G ，若140BDC ∠=︒，100BGC ∠=︒，则A ∠=（ ）A ．80°B ．75°C ．60°D ．45°3．如图所示，在ABC 中，,ABC ACB ∠∠的平分线,BE CD 相交于点F ，若且∠ABC =42°，60A ∠=︒，则BFC ∠等于（ ）．A ．121︒B ．120︒C ．119︒D ．118︒4．如图，ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：∠BDF 和CEF △都是等腰三角形 ∠DE BD CE =+； ∠BF CF >；∠若80A ∠=︒，则130BFC ∠=︒． 其中正确的有（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．45．在ABC ∆中，70A ∠=︒ ，若B C ∠∠、的平分线BE CF 、交于点O ，则BOC ∠的度数是（ ） A ．115︒ B ．125︒C ．135︒D ．110︒评卷人 得分二、填空题 6．如图，1BA 和1CA 分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的平分线，2CA 是1A CD ∠的平分线，3BA 是2A BD ∠的平分线，3CA 是2A CD ∠的平分线，……以此类推，若A α∠=，则2020A ∠=_______．7．如图，五边形ABCDE 在,BCD EDC ∠∠处的外角分别是,,,FCD GDC CP DP ∠∠分别平分FCD ∠和GDC ∠且相交于点P ．若160,80,90A B E ∠=︒∠=︒∠=︒，则CPD ∠=________．8．如图，在∠ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠BOC ＝130°，则∠D ＝_____9．如图，在ABC ∆中，A θ∠=，ABC ∠和ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，1A BC ∠和1A CD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠；⋯；2019A BC ∠和2019A CD ∠的平分线交于点2020A ，则2020A ∠=__．（用θ表示）10．如图，已知ABC 的两条高BD 、CE 交于点F ，ABC ∠的平分线与ABC 外角ACM ∠的平分线交于点G ，若8BFC G ∠=∠，则A ∠=________︒．11．如图，ABC 的角平分线OB 、OC 相交于点O ，40A ∠︒＝，则BOC ∠＝______．12．如图在∠ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，交于O ，CE 为外角∠ACD 的平分线，交BO 的延长线于点E ，记1BAC ∠=∠，2BEC ∠=∠，则以下结论∠122∠=∠，∠32BOC ∠=∠，∠901BOC ∠=︒+∠，∠902BOC ∠=︒+∠，正确的是________．（把所有正确的结论的序号写在横线上）13．∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点An ． 设∠A ＝θ．则1A ∠＝_________，∠A 2021＝____________．评卷人 得分三、解答题 14．如图1，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动（不与点O 重合），AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，BC 延长线交OM 于点G ． （1）若∠MON =60°，则∠ACG = ；（直接写出答案） （2）若∠MON =n °，求出∠ACG 的度数；（用含n 的代数式表示）（3）如图2，若∠MON =80°，过点C 作CF ∠OA 交AB 于点F ，求∠BGO 与∠ACF 的数量关系．15．如图，在∠ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数．（2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？16．已知BC∠OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：（1）如图（1），求证：OB∠AC．（2）如图（2），若点E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，试求∠EOC的度数．（3）在图（2）的条件下，若平行移动AC，如图（3），那么∠OCB∠∠OFB的值是否会发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．17．（1）如图所示，在ABC中，,BO CO分别是ABC∠和ACB∠的平分线，证明：1902BOC A∠=+∠︒．（2）如图所示，ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，证明：1902BDC A-︒∠=∠．（3）如图所示，ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，证明：12D A∠=∠．18．我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如图1，EF 为一镜面,AO 为入射光线，入射点为点O ，ON 为法线（过入射点O 且垂直于镜面EF 的直线），OB 为反射光线,此时反射角BON ∠等于入射角AON ∠，由此可知BOF ∠等于AOE ∠．（1）两平面镜OP 、OQ 相交于点O ，一束光线从点A 出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点B ．∠如图2，当POQ ∠为多少度时，光线//AM NB ？请说明理由．∠如图3，若两条光线AM 、NB 所在的直线相交于点E ，延长MN 发现MO 和NO 分别为MEN 一个内角和一个外角的平分线，则POQ ∠与MEN ∠之间满足的等量关系是_______．（直接写出结果）（2）三个平面镜PM 、MN 、NQ 相交于点M 、N ，一束光线从点A 出发,经过平面镜三次反射后，恰好经过点E ，请直接写出M ∠、N ∠、BCD ∠与BFD ∠之间满足的等量关系．19．如图，已知60BAC ∠=︒，AD 是角平分线且10AD =，作AD 的垂直平分线交AC 于点F ，作DE AC ⊥，则DEF 周长为________．20．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE BE、分别是BAO∠和ABO∠角的平分线，点A B、在运动的过程中，AEB∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB∠的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD AD BC，、分别是BAP∠和ABM∠的角平分线，又DE CE、分别是ADC∠和BCD∠的角平分线，点A B、在运动的过程中，CED∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出CED∠的度数．（3）如图3，延长BA至G，已知BAO OAG∠∠、的角平分线与BOQ∠的角平分线及反向延长线相交于E F、，在AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，则ABO∠的度数为____（直接写答案）（2）如图∠，,AP CP分别平分,BAD BCD∠∠，若36,16ABC ADC∠=︒∠=︒，求P∠的度数．（3）如图∠，直线AP平分BAD∠的外角,FAD CP∠平分BCD∠的外角BCE∠，若,ABC ADCαβ∠=∠=，则P∠=________用αβ、的代数式表示）22．如图1，,AD BD分别是ABC的内角,BAC ABC∠∠的平分线，过点A作AE AD⊥，交BD的延长线于点E．（1）求证：12E C∠=∠；（2）如图2，如果AE AB=，且:2:3BD DE=，求cos ABC∠的值；（3）如果ABC∠是锐角，且ABC与ADE相似，求ABC∠的度数，并直接写出ADEABCSS∆∆的值．23．（1）如图∠，∠ABC中，点D、E在边BC上，AE平分∠BAC，AD∠BC，∠C＝40°，∠B＝60°，求：∠∠CAE的度数；（2）如图∠，若把（1）中的条件“AD∠BC”变成“F为AE延长线上一点，且FD∠BC”，其他条件不变，求出∠DFE的度数．（3）在∠ABC中，AE平分∠BAC，若F为EA延长线上一点，FD∠BC，且∠C＝α，∠B＝β（β＞α），试猜想∠DFE的度数（用α，β表示），请自己作出对应图形并说明理由．24．如图∠所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”．（1）求证：ADC DAB DCB ABC∠∠∠∠=++；（2）如图∠所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若120EDF∠=︒，求A B C G E F∠∠∠∠∠∠+++++的度数．25．平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小．求∠ANC ．26．如图，四边形ABCD 中，ABC ∠和BCD ∠的平分线交于点O ．（1）如果130A ∠=︒，110D ∠=︒，求BOC ∠的度数；（2）请直接写出BOC ∠与A D ∠+∠的数量关系．27．如图，已知ABC ∠、ACB ∠的平分线相交于点O ，EF 过点O 且//EF BC ．（1）若50ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，求BOC ∠的度数；（2）若130BOC ∠=︒，1:22:3∠∠=，求ABC ∠、ACB ∠的度数．28．如图，∠CBF ，∠ACG 是∠ABC 的外角，∠ACG 的平分线所在的直线分别与∠ABC ，∠CBF 的平分线BD ，BE 交于点D ，E ．（1）若∠A=70°，求∠D 的度数；（2）若∠A=a ，求∠E ；（3）连接AD ，若∠ACB=β，则∠ADB= ．29．（1）问题发现：如图1，在ABC 中，40A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，则BPC ∠的度数是______（2）类比探究：如图2，在ABC 中，ABC ∠的平分线和ACB ∠的外角ACE ∠的角平分线交于P ，则BPC ∠与A ∠的关系是______，并说明理由．（3）类比延伸：如图3，在ABC 中，ABC ∠外角FBC ∠的角平分线和ACB ∠的外角BCE ∠的角平分线交于P ，请直接写出BPC ∠与A ∠的关系是______．30．如图，ABC ∆的角平分线BD CE 、相交于点P ．（1）若50,70ABC ACB ∠=︒∠=︒，则A ∠=________︒；（2）试探究DPC ∠与A ∠之间的数量关系并说明理由．参考答案：1．A【解析】【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF ＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P．法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋12∠ACD＝∠A＋12∠ABD，代入计算即可．【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，∠∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∠∠AFB＝∠PFC，∠∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，∠∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，∠∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，∠2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD，∠PB、PC是角平分线∠∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∠2∠P＝∠A−∠D∠∠A＝48°，∠D＝10°，∠∠P＝19°．法二：延长DC，与AB交于点E．∠∠ACD 是∠ACE 的外角，∠A ＝48°，∠∠ACD ＝∠A ＋∠AEC ＝48°＋∠AEC ．∠∠AEC 是∠BDE 的外角，∠∠AEC ＝∠ABD ＋∠D ＝∠ABD ＋10°，∠∠ACD ＝48°＋∠AEC ＝48°＋∠ABD ＋10°，整理得∠ACD −∠ABD ＝58°．设AC 与BP 相交于O ，则∠AOB ＝∠POC ，∠∠P ＋12∠ACD ＝∠A ＋12∠ABD ，即∠P ＝48°−12（∠ACD −∠ABD ）＝19°．故选A .【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 2．C【解析】【分析】连接,BC 先求解,DBC DCB ∠+∠ 再求解,GBC GCB ∠+∠ 可得,GBD GCD ∠+∠ 再利用角平分线的定义可得：,ABD ACD ∠+∠ 从而可得：,ABC ACB ∠+∠ 再利用三角形的内角和定理可得A ∠的大小.【详解】解：连接,BC 140,BDC ∠=︒18014040,DBC DCB ∴∠+∠=︒-︒=︒100,BGC ∠=︒18010080,GBC GCB ∴∠+∠=︒-︒=︒40,GBD GCD GBC GCB DBC DCB ∴∠+∠=∠+∠-∠-∠=︒BE 平分ABD∠，CF 平分ACD ∠，()280,ABD ACD GBD GCD ∴∠+∠=∠+∠=︒+8040120,ABC ACB ABD ACD DBC DCB ∴∠+∠=∠∠+∠+∠=︒+︒=︒()18060.A ABC ACB ∴∠=︒-∠+∠=︒故选：.C【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.3．B【解析】【分析】由∠ABC =42°，∠A =60°，根据三角形内角和等于180°，可得∠ACB 的度数，又因为∠ABC 、∠ACB 的平分线分别为BE 、CD ，所以可以求得∠FBC 和∠FCB 的度数，从而求得∠BFC 的度数．【详解】解：∠4260180ABC A ABC A ACB ∠=︒∠=︒∠+∠+∠=︒，，．∠180426078ACB ∠=︒-︒-︒=︒．又∠∠ABC 、∠ACB 的平分线分别为BE 、CD ． ∠1212FBC ABC ∠=∠︒＝，1392FCB ACB ∠=∠︒＝． 又∠180FBC FCB BFC ∠+∠+∠=︒．∠1802139120BFC ∠=︒-︒-︒=︒．故选：B ．本题考查三角形内角和和角平分线的相关知识，关键是可以根据题目中的信息，灵活变化求出相应问题的答案．4．C【解析】【分析】根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求解．【详解】解：∠∠BF是∠ABC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线，∠∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，∠DE∠BC，∠∠CBF=∠BFD，∠BCF=∠EFC（两直线平行，内错角相等），∠∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠EFC，∠DB=DF，EF=EC，∠∠BDF和△CEF都是等腰三角形，∠∠选项正确，符合题意；∠∠DE=DF+FE，∠DB=DF，EF=EC，∠DE=DB+CE，∠∠选项正确，符合题意；∠根据题意不能得出BF＞CF，∠∠选项不正确，不符合题意；∠∠若∠A=80°，∠∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，∠∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，×100°=50°，∠∠CBF+∠BCF=12∠∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°，∠∠选项正确，符合题意；故∠∠∠正确．【点睛】等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系，解题关键是逐个判断选项即可得出正确答案．5．B【解析】【分析】由A∠的度数可以求出ABC∠与ACB∠的和，由角平分线的性质可以得出1=2∠∠，3=4∠∠，即可得出2∠与4∠的和，即可得出BOC∠的度数．【详解】∠70A∠=︒，∠ABC∠+ACB∠=110°，∠BE CF、为ABC∠与ACB∠的平分线，∠1=2∠∠，3=4∠∠，∠2∠+4∠=110÷2=55°，∠BOC∠=180°－55°=125°．故选：B．【点睛】本题主要考查角平分线的性质以及三角形的内角和定理，熟记相关概念是解题关键．6．20202α【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解112A A ∠=∠，同理求出∠A 2，∠A 3，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】∠A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∠∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，又∠∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，∠12（∠A +∠ABC ）=12∠ABC +∠A 1， ∠∠A 1=12∠A ，∠∠A =α．∠A 1=12∠A =12α，同理可得∠A 2=12∠A 1=212α， 根据规律推导，∠2020A ∠=20202α， 故答案为20202α．【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．7．105°【解析】【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出∠BCD ＋∠CDE 的度数，从而求出∠PCD ＋∠PDC 的度数，运用三角形内角和定理即可求出∠CPD 的度数．【详解】解：∠∠A ＝160°，∠B ＝80°，∠E ＝90°，∠∠BCD ＋∠CDE ＝（5−2）×180°−160°−80°−90°＝210°，∠∠PCD ＋∠PDC ＝12（180°×2−210°）＝75°，在∠CPD 中，∠CPD ＝180°−（∠PCD ＋∠PDC ）＝180°−75°＝105°，故答案为：105°．【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出∠BCD ＋∠CDE 的度数是解题的关键．8．40°【解析】【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∠∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，∠∠ACO=12∠ACB ，∠CD 平分∠ACE ，∠∠ACD=12∠ACE ，∠∠ACB+∠ACE=180°，∠∠OCD=∠ACO+∠ACD=12（∠ACB+∠ACE ）=12×180°=90°， ∠∠BOC ＝130°，∠∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．9．20202【解析】【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A 1=12∠A ，由于∠A 1=12∠A ，∠A 2=12∠A 1=212∠A ，…，以此类推可知∠A 2020即可求得． 【详解】∠A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，∠∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CA=12∠ACD ， ∠∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，即12∠ACD=∠A 1+12∠ABC ，∠∠A 1=12（∠ACD-∠ABC ）， ∠∠A+∠ABC=∠ACD ，∠∠A=∠ACD-∠ABC ，∠∠A 1=12∠A ，以此类推∠A 2=12∠A 1=12•12∠A=212∠A, ∠A 3=12∠A 2=21122⨯∠A=312∠A ，……， 所以∠A n =12n A ∠， 202020202020122A A θ∴∠=∠=． 故答案为：20202θ．【点睛】 本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A n =12nA ∠. 10．36【解析】【分析】 首先根据三角形的外交性质求出2A G ∠=∠，结合三角形的高的知识得到G ∠和A ∠之间的关系，进而可得结果；【详解】由图知：ACM A ABC ∠=∠+∠，∠CG 是ACM ∠的角平分线，∠2ACM GCM ∠=∠，∠2A ABC GCM ∠+∠=∠，∠BG 是ABC ∠的角平分线，∠12GBC ABC ∠=∠， ∠GBC G GCM ∠+∠=∠，即12ABC G GCM ∠+∠=∠， ∠22ABC G GCM ∠+∠=∠，∠2ABC G A ABC ∠+∠=∠+∠，∠2A G ∠=∠，∠ABC 的两条高BD 、CE 交于点F ，∠CE AB ⊥，BD AC ⊥，∠90AEF ADF ∠=∠=︒，∠在四边形AEFD 中有：180A DFE ∠+∠=︒，∠DFE BFC ∠=∠，∠180A BFC ∠+∠=︒，∠18842BFC G A A ∠=∠=⨯∠=∠， ∠45180A BFC A A A ∠+∠=∠+∠=∠=︒，∠180536A ︒∠=÷=︒．【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键．11．110︒．【解析】【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB 的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC 的度数．【详解】解：∠OB 、OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∠∠OBC+∠OCB= 111() 222ABC ACB ABC ACB ∠+∠=∠+∠∠∠A=40°，∠∠OBC+∠OCB= 1(18040)2︒︒-=70°，∠∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-70°=110°．故答案是110．【点睛】本题主要利用角平分线的定义和三角形内角和定理求解，熟记概念和定理是解题的关键．12．∠∠【解析】【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°＋12∠1，∠BOC＝90°＋∠2，再分析判断．【详解】∠CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∠∠DCE＝12∠ACD，∠DBE＝12∠ABC，又∠∠DCE是∠BCE的外角，∠∠2＝∠DCE−∠DBE＝12（∠ACD−∠ABC）＝12∠1，故∠正确；∠BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∠∠OBC＝12ABC，∠OCB＝12∠ACB，∠∠BOC＝180°−（∠OBC＋∠OCB）＝180°−12（∠ABC＋∠ACB）＝180°−12（180°−∠1）＝90°＋12∠1，故∠、∠错误；∠OC 平分∠ACB ，CE 平分∠ACD ，∠∠ACO ＝12∠ACB ，∠ACE ＝12∠ACD ， ∠∠OCE ＝12（∠ACB ＋∠ACD ）＝12×180°＝90°， ∠∠BOC 是∠COE 的外角，∠∠BOC ＝∠OCE ＋∠2＝90°＋∠2，故∠正确；故答案为：∠∠．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．13． 2θ 20212θ 【解析】【分析】据角平分线的定义可得∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可求出∠A 1的度数，同理求出∠A 2，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】解：∠A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∠∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ， 又∠∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，∠12（∠A+∠ABC ）=12∠ABC+∠A 1， ∠∠A 1=12∠A ，∠∠A=θ， ∠∠A 1=2θ， 同理可得：∠A n =2n θ， ∠∠A 2021=20212θ，故答案为：2θ，20212θ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的12是解题的关键．14．（1）60°；（2）90°-12n °；（3）∠BGO -∠ACF =50° 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAO +∠ABO ，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案；（2）仿照（1）的解法解答；（3）根据平行线的性质得到∠ACF =∠CAG ，根据（2）的结论解答．【详解】解：（1）∠∠MON =60°，∠∠BAO +∠ABO =120°， ∠AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∠∠CBA =12∠ABO ，∠CAB =12∠BAO ， ∠∠CBA +∠CAB =12（∠ABO +∠BAO ）=60°， ∠∠ACG =∠CBA +∠CAB =60°，故答案为：60°；（2）∠∠MON =n °，∠∠BAO +∠ABO =180°-n °，∠AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∠∠CBA =12∠ABO ，∠CAB =12∠BAO ， ∠∠CBA +∠CAB =12（∠ABO +∠BAO ）=90°-12n °， ∠∠ACG =∠CBA +∠CAB =90°-12n °； （3）∠CF ∠OA ，∠∠ACF =∠CAG ，∠∠BGO -∠ACF =∠BGO -∠CAG =∠ACG ，由（2）得：∠ACG =90°-12×80°=50°． ∠∠BGO -∠ACF =50°．【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．15．（1）115︒；（2）36A ∠=︒【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义，求得PBC ∠，PCB ∠，再根据三角形内角和定理即可求得BPC ∠；（2）根据（1）的方法求得BPC ∠，再结合条件∠BPC ＝3∠A ，解方程即可求得∠A ．【详解】（1）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠， ∠ABC +∠ACB ＝130°， 1()652PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒， 180()18065115BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，（2）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠， 1()2PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠， 180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠，1902PBC PCB A ∴∠+∠=︒-∠， 180()BPC PBC PCB1180(90)2A =︒-︒-∠ 1902A =+∠︒∠BPC ＝3∠A13902A A ∴∠=︒+∠， 36A ∴∠=︒．【点睛】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．16．（1）见解析；（2）40°；（3）不发生变化，12【解析】【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行证明；（2）由∠FOC =∠AOC ，并且OE 平分∠BOF 得到∠EOC =∠EOF +∠FOC =12（∠BOF +∠FOA ）=12∠BOA ，算出结果；（3）先得出结论：∠OCB ：∠OFB 的值不发生变化，理由为：由BC 与AO 平行，得到一对内错角相等，由∠FOC =∠AOC ，等量代换得到一对角相等，再利用外角性质等量代换即可得证．【详解】解：（1）∠BC ∠OA ，∠∠B +∠O =180°，又∠∠B =∠A ，∠∠A +∠O =180°，∠OB ∠AC ；（2）∠∠B +∠BOA =180°，∠B =100°，∠∠BOA =80°，∠OE 平分∠BOF ，∠∠BOE =∠EOF ，又∠∠FOC =∠AOC ，∠∠EOC =∠EOF +∠FOC =12（∠BOF +∠FOA ）=12∠BOA =40°；（3）结论：∠OCB ：∠OFB 的值不发生变化．理由为：∠BC ∠OA ，∠∠FCO =∠COA ，又∠∠FOC =∠AOC ，∠∠FOC =∠FCO ，∠∠OFB =∠FOC +∠FCO =2∠OCB ，∠∠OCB ：∠OFB =1：2=12． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，平移的性质，以及角的计算，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．17．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】【详解】（1）设,ABO OBC x ACO BCO y ∠=∠=∠=∠=．由ABC 的内角和为180︒，得22180A x y ︒∠++=．∠由BOC 的内角和为180︒，得180BOC x y ∠++=︒．∠由∠得180x y BOC +=-∠︒．∠ 把∠代入∠，得()2180180A BOC ∠+-∠=︒︒，即2180BOC A ∠=︒+∠，即1902BOC A ∠=+∠︒ （2）∠BD 、CD 为△ABC 两外角∠ABC 、∠ACB 的平分线，∠()()1122BCD A ABC DBC A ACB ∠=∠+∠∠=∠+∠、， 由三角形内角和定理得，180BDC BCD DBC ∠=︒-∠-∠，=180°-12[∠A +（∠A +∠ABC +∠ACB ）]，=180°-12（∠A +180°），=90°-12∠A ；（3）如图：∠BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D∠∠1=∠2，∠5=1（∠A+2∠1），∠3=∠4，2在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∠∠1+∠3=180°-∠A∠（∠A+2∠1），在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-12即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A∠，∠A．把∠代入∠得∠D=12【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．18．（1）∠90°，理由见解析；∠∠MEN=2∠POQ；（2）2（∠M+∠N）-∠BCD=360°-∠BFD 【解析】【分析】（1）∠设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，根据∠AMN+∠BNM=180°，可得α+β=90°，再根据三角形内角和定理进行计算即可；∠设∠AMP=∠NMO=α，∠BNO=∠MNQ=β，根据三角形外角性质可得∠MEN=2（β-α），再根据三角形外角性质可得∠POQ=β-α，进而得出∠MEN=2∠POQ；（2）分别表示出∠M，∠N，∠BCD，利用四边形内角和表示出∠BFD，再将∠M，∠N，∠BCD进行运算，变形得到∠BFD，即可得到关系式．【详解】解：（1）∠设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，当AM∠BN时，∠AMN+∠BNM=180°，即180°-2α+180°-2β=180°，∠180°=2（α+β），∠α+β=90°，∠∠MON中，∠O=180°-∠NMO-∠MNO=180°-（α+β）=90°，∠当∠POQ为90度时，光线AM∠NB；∠设∠AMP=∠NMO=α，∠BNO=∠MNQ=β，∠∠AMN=180°-2α，∠MNE=180°-2β，∠∠AMN是∠MEN的外角，∠∠MEN=∠AMN-∠MNE=（180°-2α）-（180°-2β）=2（β-α），∠∠MNQ是∠MNO的外角，∠∠POQ=∠MNQ-∠NMO=β-α，∠∠MEN=2∠POQ；（2）设∠PBE=∠MBC=∠1，∠MCB=∠NCD=∠2，∠CDN=∠ADQ=∠3，可知：∠M=180°-∠1-∠2，∠N=180°-∠2-∠3，∠BCD=180°-2∠2，∠∠CBA=180°-2∠1，∠CDA=180°-2∠3，∠∠BFD=360°-∠CDA-∠CBA-∠BCD=360°-（180°-2∠1）-（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠1+∠2+∠3）-180°又∠2（∠M+∠N）-∠BCD=2（180°-∠1-∠2+180°-∠2-∠3）-（180°-2∠2）=540°-2（∠1+∠2+∠3）=360°-[2（∠1+∠2+∠3）-180°]=360°-∠BFD∠2（∠M+∠N）-∠BCD=360°-∠BF D．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质以及多边形内角和定理的综合应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 19．553+ 【解析】 【分析】知道60BAC ∠=︒和AD 是角平分线，就可以求出30DAE ∠=︒，AD 的垂直平分线交AC 于点F 可以得到AF =FD ，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE ，得到DEF C DE EF AF AE DE =++=+△．【详解】解： AD 的垂直平分线交AC 于点F ，∴ DF AF =（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） ∠DEF C DE EF AF AE DE =++=+△ ∠60BAC ∠=︒，AD 是角平分线 ∠30DAE ∠=︒ ∠10AD =∠5DE =，53AE = ∠553DEF C =+△ 【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键．20．（1）不发生变化，∠AEB=135°；（2）不发生变化，∠CED=67.5°；（3）60°或45°【解析】【分析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线得出∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）延长A D、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠P AB+∠MBA=270°，再由A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°，进而得出结论；（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在∠AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．【详解】解：（1）∠AEB的大小不变，∠直线MN与直线PQ垂直相交于O，∠∠AOB=90°，∠∠OAB+∠OBA=90°，∠AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∠∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，∠∠BAE+∠ABE=12（∠OAB+∠ABO）=45°，∠∠AEB=135°；（2）∠CED的大小不变．延长A D、BC交于点F．∠直线MN与直线PQ垂直相交于O，∠∠AOB=90°，∠∠OAB+∠OBA=90°，∠∠P AB+∠MBA=270°，∠A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∠∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，∠∠BAD+∠ABC=12（∠P AB+∠ABM）=135°，∠∠F=45°，∠∠FDC+∠FCD=135°，∠∠CDA+∠DCB=225°，∠DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∠∠CDE+∠DCE=112.5°，∠∠CED =67.5°；（3）∠∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∠∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，∠∠E=∠EOQ-∠EAO=12（∠BOQ-∠BAO）=12∠ABO，∠AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∠∠EAF=90°．在∠AEF中，∠有一个角是另一个角的3倍，故有：∠∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；∠∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍弃）；∠∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；∠∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍弃）．∠∠ABO为60°或45°．故答案为：60°或45°．【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．21．（1）证明见解析；（2）26P ∠=︒；（3）1()2P αβ∠=+． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；（2）设∠BAP =∠PAD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；（3）表示出∠P AD 和∠PCD ，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解． 【详解】解：（1）∠∠A +∠B +∠AOB =180°，∠C +∠D +∠COD =180゜， ∠∠A +∠B +∠AOB =∠C +∠D +∠COD ． ∠∠AOB =∠COD ， ∠∠A +∠B =∠C +∠D ；（2）∠,AP CP 分别平分,BAD BCD ∠∠， 设∠BAP =∠P AD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，则有x ABC y P x P y ADC +∠=+∠⎧⎨+∠=+∠⎩，∠∠ABC -∠P =∠P -∠ADC ，∠11()(3616)2622P ABC ADC ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）如图，∠AP 平分∠BAD 的外角∠F AD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∠∠1=∠2，∠3=∠4，∠∠P AD =180°-∠2=180°-∠1，∠PCD =180°-∠3，∠∠P +（180°-∠1）=∠ADC +（180°-∠3）， ∠P +∠1=∠ABC +∠4， ∠2∠P =∠ABC +∠ADC ， ∠,ABC ADC αβ∠=∠=，∠11()()22P ABC ADC αβ∠=∠+∠=+．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观． 22．（1）证明见解析；（2）23；（3）30ABC ∠=︒，23ADEABCS S∆∆=-或45ABC ∠=︒，22ADEABCS S ∆∆=-． 【解析】 【分析】（1）由题意：90E ADE =︒-∠∠，根据三角形外内角性质和三角形内角和可得11()9022ADE ABC BAC C ∠=∠+∠=︒-∠，由此即可解决问题．（2）延长AD 交BC 于点F ．证明//AE BC ，可得90AFB EAD ==︒∠∠，BF BD AE DE=，由:2:3BD DE =，可得2cos 3BF BF ABC AB AE ===∠． （3）因为ABC 与ADE 相似，90DAE ∠=︒，所以ABC ∠中必有一个内角为90︒因为ABC ∠是锐角，推出90ABC ∠≠︒．接下来分两种情形分别求解即可．【详解】（1）证明：如图1中，AE AD ⊥，90DAE ∴∠=︒，90E ADE =︒-∠∠，AD平分BAC∠，BD平分ABC∠的，12BAD BAC∴∠=∠，12ABD ABC∠=∠，ADE BAD DBA∠=∠+∠，180BAC ABC C+=︒-∠∠∠，11()9022ADE ABC BAC C∴∠=∠+∠=︒-∠，1190(90)22E C C∴∠=︒-︒-∠=∠．（2）解：延长AD交BC于点F．AB AE=，ABE E∴∠=∠，又∠ABE EBC∠=∠，E CBE∴∠=∠，//AE BC∴，90AFB EAD∴∠=∠=︒，BF BDAE DE=，:2:3BD DE=，2cos3BF BFABCAB AE∴∠===．（3）ABC与ADE相似，90DAE∠=︒，ABC∴∠中必有一个内角为90︒ABC∠是锐角，90ABC∴∠≠︒．∠当ABC AED时，90BAC DAE∠=∠=︒，12E C∠=∠，12ABC E C∴∠=∠=∠，90ABC C∠+∠=︒，30ABC ∴∠=︒，如图，过B 点作BH ∠AE ，∠90BAC ∠=︒，AD 平分∠BAC ， ∠∠BAH =45°，∠AH =BH ，2AB BH =， ∠E 30∠=︒， ∠3tan BHHE BH E==∠，∠(31)AE HE AH BH =-=-， ∠ABCAED ，∠2231232ADE ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫-⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∠当ABC EDA ~时，即90C DAE ==︒∠∠时，1452E C ==︒∠∠，45EDA ∴=︒∠，45ABC EDA ∴∠=∠=︒，如解图（3）-2；过B 点作BH ∠AE ，45ABC BAC ∠==︒，,AD BD 分别是ABC 的内角,BAC ABC ∠∠的平分线，∠ABD BAD ∠=∠，∠BD =AD ， 又∠45E ∠=︒，∠2DE AE =，2BE HE =， ∠(12)BE BD BE AE =+=+， ∠222HE AE +=， ∠22AH HE AE AE =-=， ∠在Rt ABH 中，()2222222222222AB BH AH AE AE AE ⎛⎫⎛⎫+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠()()22222222ADE ABC AES DE S EA AB ∆∆⎛⎫=+=⎪⎭=⎝- 综上所述，30ABC ∠=︒，23ADEABCS S ∆∆=-或45ABC ∠=︒，22ADEABCS S ∆∆=-． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 23．（1）∠40°；∠10°；（2）10°；（3）∠DFE ＝12（β﹣α），见解析 【解析】 【分析】（1）如图1中，求出∠BAD ，∠BAE ，根据∠DAE ＝∠BAE ﹣∠BAD 即可解决问题． （2）如图2中，作AH∠BC 于H ．利用（1）中结论，再证明∠DFE ＝∠HAE 即可． （3）结论：∠DFE ＝12（∠B ﹣∠C ）．如图3中，作AH∠BC 于H ，FD∠BC 于D ．由∠HAE ＝∠EAB ﹣∠BAH ，∠BAH ＝90°﹣∠B ，∠BAE ＝12（180°﹣∠B ﹣∠C ）推出∠HAE＝90°﹣12∠B ﹣12∠C ﹣（90°﹣∠B ）＝12（∠B ﹣∠C ），由AH∠FD ，推出∠DFE ＝∠HAE ，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图（1）．∠AD∠BC，∠∠ADB＝90°，∠∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∠∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，而AE平分∠BAC，∠∠CAE=∠BAE＝12∠BAC＝12×80°＝40°，∠∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°；（2）如图2中，作AH∠BC于H．由（1）可知∠HAE＝10°，∠AH∠EF，∠∠DFE＝∠HAE＝10°（3）结论：∠DFE＝12（∠B﹣∠C）．理由如下：如图3中，作AH∠BC于H，FD∠BC于D．∠∠HAE ＝∠EAB ﹣∠BAH ，∠BAH ＝90°﹣∠B ，∠BAE ＝12（180°﹣∠B ﹣∠C ）， ∠∠HAE ＝90°﹣12∠B ﹣12∠C ﹣（90°﹣∠B ）＝12（∠B ﹣∠C ）， ∠AH∠FD ， ∠∠DFE ＝∠HAE ， ∠∠DFE ＝12（β-α）． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．三角形内角和主要用在求三角形中角的度数．也考查了三角形外角性质． 24．（1）见解析；（2）240° 【解析】 【分析】（1）延长CD 交AB 于点E ，根据三角形外角性质可证ADC DAE AED ∠=∠+∠，AED DCB ABC ∠=∠+∠，运用角的等量转换即可证明．（2）根据三角形外角性质，运用第（1）题的方法可证A B C BDC ∠+∠+∠=∠，E G F EDF ∠+∠+∠=∠，BDC ∠和EDF ∠是对顶角，可推出A B C G E F ∠∠∠∠∠∠+++++的度数等于2倍EDF ∠的度数，计算得出答案．【详解】（1）证明：延长CD 交AB 于点E ，如图：∠ADC ∠是ADE 的外角，∠ADC DAE AED ∠=∠+∠．∠AED ∠是CEB △的外角，∠AED DCB ABC ∠=∠+∠，∠ADC DAE DCB ABC DAB DCB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠．（2）解：∠EDF ∠和BDC ∠是对顶角，∠120BDC EDF ∠=∠=︒．由（1）的结论可知BDC A B C ∠=∠+∠+∠，EDF E G F ∠=∠+∠+∠，∠240A B C E G F DCB EDF ∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒．【点睛】本题考查了三角形外角性质，灵活运用三角形外角性质是解题关键．25．（1）33°；（2）123°【解析】【分析】（1）AM 与BC 交于E ，AD 与MC 交于F ，利用角平分线性质和三角形外角性质可得，BEM ∠是ABE △和MCE 的外角，MFD ∠是MAF △和FCD 的外角，列出关于AMC ∠的方程组，计算得出AMC ∠的度数．（2）AN 与BC 交于点G ，AD 与BC 交于点F ，根据角平分线性质和三角形外角性质可得，BFD ∠是ABF 和FCD 的外角，AGC ∠是NGC 和ABG 的外角，列出关于ANC ∠的方程组，计算得出ANC ∠的度数．【详解】解：（1）AM 与BC 相交于E ，AD 与MC 相较于F ，如图：∠MA 和MC 是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，∠设∠BAM=∠MAD=a ，∠BCM=∠MCD=b ，∠∠BEM 是∠ABE和∠MCE 的外角，∠∠M+∠BCM=∠B+∠BAM ，即：∠M+b=24°+a∠，又∠∠MFD 是∠MAF 和∠CDF 的外角，可得∠M+a=42°+b∠，∠式＋∠式得2∠M=24°+42°，解得：∠M=33°，∠=33AMC ∠︒．（2）AN 与BC 相交于G ，AD 与BC 相较于F ，如图:∠NA 和NC 是∠EAD 和∠BCD 的角平分线，∠设∠EAN=∠NAD=m ，∠BCN=∠NCD=n ， ∠∠BFD 是∠ABF 和∠FCD 的外角，∠∠B+∠BAD=∠D+∠BCD ，即：24°+(180°-2m ）=42°+2n ，可得m+n=81°∠，又∠∠AGC 是∠NGC 和∠ABG 的外角，可得∠N+n=24°+(180°-m ），得∠N=204°-（m+n ）∠，∠式代入∠式，得∠N=204°-81°=123°，∠123ANC ∠=︒．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角性质，用设未知数列方程组的方法计算角度是解题关键．26．（1）120°；（2）1()2BOC A D ∠=∠+∠【分析】（1）先由四边形内角和定理求出∠ABC+∠DCB=120°，再由角平分线定义得出∠OBC+∠OCB=60°，最后根据三角形内角和定理求出∠O=120°即可；（2）方法同（1）【详解】解：（1）∠∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°，∠∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D ）=360°-240°=120°，∠OB ，OC 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，∠∠OBC+∠OCB=111(221)1206220AB ABC DC C BCD B ∠+∠=⨯+∠︒=∠=︒ ， ∠∠O=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-60°=120°；（2）1()2BOC A D ∠=∠+∠ 证明：在四边形ABCD 中，360A B C D ∠+∠+∠+∠=︒∠360()ABC DCB A D ∠+∠=︒-∠+∠∠OB ，OC 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，∠∠OBC+∠OCB=1111((222)180)2ABC BCD AB D A C D CB ∠+∠=︒-∠∠=+∠∠+ ∠180(1)()2O BOC BC OCB A D ∠+∠=︒-∠=∠+∠ 【点睛】此题主要考查了四边形内角和定理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角．27．（1）125° （2）60°；40°【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可求得∠OBC=25°，∠OCB=30°，再利用三角形的内角和定理求解即可；（2）由已知条件易求∠1，∠2的度数，根据平行线的性质即可得∠OBC ，∠OCB 的度数，利用角平分线的定义可求解；解：（1）∠ABC ∠和ACB ∠的平分线BO 与CO 相交于点O ，∠12EBO OBC ABC ∠=∠=∠，12FCO OC ACB ∠=∠=∠， 又50ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，∠25OBC ∠=︒，30OCB ∠=︒，∠180125BOC OBC OCB ∠=-∠-∠=︒︒；（2）∠130BOC ∠=︒，∠1250∠+∠=︒，∠1:23:2∠∠=，∠3150305∠=⨯︒=︒，2250205∠=⨯︒=︒，∠//BF BC ，∠130OBC ∠=∠=︒，220OCB ∠=∠=︒，∠ABC ∠和ACB ∠的平分线BO 与CO 相交于点O ，∠60ABC ∠=︒，40ACB ∠=︒．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．28．（1）35°；（2）90°-12α；（3）12β【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=12∠ACG ，∠DBC=12∠ABC ，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=12∠ABC ，∠CBE=12∠CBF ，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=12∠A ，根据三角形的内角和得到∠E=90°-12α；（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=12∠ABC ，∠DAM=12∠MAC ，再利用三角形外角的性质可求解．【详解】解：（1）∠CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∠∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，∠∠ACG=∠A+∠ABC，∠2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∠∠DCG=∠D+∠DBC，∠2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∠∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∠∠D=12∠A=35°；（2）∠BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∠∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，∠∠DBC+∠CBE=12（∠ABC+∠CBF）=90°，∠∠DBE=90°，∠∠D=12∠A，∠A=α，∠∠D=12α，∠∠DBE=90°，∠∠E=90°-12α；（3）如图，∠BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∠AD平分∠MAC，∠ABD=12∠ABC，∠∠DAM=12∠MAC，∠∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，∠∠ADB=12∠ACB=12β．故答案为：12β．【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．29．（1）110°；（2）12BPC A ∠=∠；（3）1902BPC A ∠=︒-∠ 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A 、∠PCE=∠PBC+∠BPC ，根据角平分线的定义解答；（3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可．【详解】解：（1）∠40A ∠=︒，∠18040ABC ACB ∠+∠=︒-，∠ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，∠12PBC ABC ∠=∠，12PCB ACB ∠=， ∠()118090202BPC ABC ACB ∠=︒-∠+=︒+︒ 故答案为110° （2）12BPC A ∠=∠， 证明：∠ACE ∠是ABC 的外角，PCE ∠是PBC 的外角，∠ACE ABC A ∠=∠+∠PCE PBC BPC ∠=∠+∠，∠BP 平分ABC ∠，CP 平分ACE ∠，∠1122PBC ABC PCE ACE ∠=∠∠=∠，∠1122ACE ABC BPC ∠=∠+∠， ∠()111222BPC ABC ACE ABC ACE ∠=∠-∠=∠-∠， ∠12BPC A ∠=∠， 故答案为：12BPC A ∠=∠； （3）由（1）得，1902BPC A ∠=︒-∠， 故答案为：1902BPC A ∠=︒-∠． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用以及角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°和三角形外角性质是解题的关键．30．（1）60；（2）1902︒-∠A ，见解析． 【解析】【分析】（1）直接利用三角形的内角和定理求解即可；（2）先根据角平分线的定义得到∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ACB ，再根据三角形内角和定理得∠BPC=180°-∠1-∠2=180°-12（∠ABC+∠ACB ），加上∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，易得∠BPC=90°+12∠A ，再根据平角的定义解答即可． 【详解】（1）∠∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠∠A=180°-50°-70°=60°．故答案为60．（２）∠DPC=90°-12∠A ，理由：,ABC ACB ∠∠的平分线相交于点P ，111,222ABC ACB ∴∠=∠∠=∠， ()11118012180180222BPC ABC ACB ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠ 180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠()111801809022BPC A ∴∠=︒-︒-∠A =︒+∠，。
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
2.角平分线的性质：①平分角。
②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。
3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。
4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。
如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。
如图②。
③连接OP，OP即为角的平分线。
5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。
②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。
8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。
如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。
如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。
2021年九年级数学中考复习小专题突破训练：角平分线性质的应用
2021年九年级数学中考复习小专题突破训练：角平分线性质的应用（附答案）1．如图，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若P A＝3，则PQ的最小值为（）A．B．2C．3D．22．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD ＝8，则点P到BC的距离是（）A．8B．6C．4D．23．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（）A．3B．4C．5D．64．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：55．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（）A．15B．30C．45D．606．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为（）A．6B．5C．4D．37．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11B．5.5C．7D．3.58．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED ＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③9．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于（）A．1B．2C．4D．810．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（）A．1B．2C．D．411．在Rt△ABC中，如图所示，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，点D到AB 的距离DE＝3.8cm，则BC等于（）A．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm12．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD ＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24B．30C．36D．4213．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）A．OE是∠AOB的平分线B．OC＝ODC．点C、D到OE的距离不相等D．∠AOE＝∠BOE14．如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是（）A．20B．25C．30D．3516．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是．18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD为的∠BAC角平分线，与BC相交于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是．19．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，如果要求油库到这三条公路的距离都相等，则油库的位置有个．20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是．22．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是．23．如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE＝2，BC ＝5，则△BCE的面积为．24．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若△ABC的面积为21cm2，AB＝8cm，AC＝6cm，则DE的长为cm．25．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝°．26．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的三条内角平分线交于点O，OM⊥AB于M，若OM＝4，S△ABC＝180，则△ABC的周长是．27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是．28．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：（1）CF＝EB．（2）AB＝AF+2EB．29．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．30．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD＝AC．31．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD ＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．32．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB 上的点，且PF＝PG，DF＝EG．求证：OC是∠AOB的平分线．33．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．34．如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：CE＝DE．35．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．参考答案1．解：过点P作PB⊥OM于B，∵OP平分∠MON，P A⊥ON，P A＝3，∴PB＝P A＝3，∴PQ的最小值为3．故选：C．2．解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，P A⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴P A＝PE，PD＝PE，∴PE＝P A＝PD，∵P A+PD＝AD＝8，∴P A＝PD＝4，∴PE＝4．故选：C．3．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD，∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，解得DE＝3，∴CD＝3．故选：A．4．解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵点O是内心，∴OE＝OF＝OD，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，5．解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C＝90°，∴DE＝CD，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×15×4＝30．故选：B．6．解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，∴PE＝PD，∵PD＝6，∴PE＝6，即点P到OB的距离是6．故选：A．7．解：作DM＝DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，∴DM＝DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴S△MDG＝S△ADG﹣S△ADM＝50﹣39＝11，S△DNM＝S△EDF＝S△MDG＝×11＝5.5．故选：B．8．解：过E作EF⊥AD于F，如图，∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴Rt△AEF≌Rt△AEB∴BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；而点E是BC的中点，∴EC＝EF＝BE，所以③错误；∴Rt△EFD≌Rt△ECD，∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；∴AD＝AF+FD＝AB+DC，所以④正确；∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确．故选：A．9．解：作PE⊥OA于E，如图，∵CP∥OB，∴∠ECP＝∠AOB＝30°，在Rt△EPC中，PE＝PC＝×4＝2，∵P是∠AOB平分线上一点，PE⊥OA，PD⊥OB，∴PD＝PE＝2．故选：B．10．解：作PE⊥OA于E，∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE＝PD＝2，故选：B．11．解：∵∠C＝90°，∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，在Rt△BDE中，BD＝2DE＝7.6，又∵AD平分∠CAB，∴DC＝DE＝3.8，∴BC＝BD+DC＝7.6+3.8＝11.4．故选：C．12．解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•DH+BC•CD＝×6×4+×9×4＝30，故选：B．13．解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．A、OE是∠AOB的平分线，A正确；B、OC＝OD，B正确；C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；D、∠AOE＝∠BOE，D正确．故选：C．14．解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE＝OF＝OD＝3，∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝3，∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×3＝×20×3＝30，故选：C．16．解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，∵BD⊥CD，即∠BDC＝90°，又∠A＝90°，∴∠A＝∠BDC，又∠ADB＝∠C，∴∠ABD＝∠CBD，又DA⊥BA，DP⊥BC，∴AD＝DP，又AD＝4，∴DP＝4．故答案为：4．17．解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝4，∴△ABD的面积＝×AB×DE＝30，故答案为：30．18．解：作DE⊥AB于E，∵AD为的∠BAC角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝3，∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×10×3＝15，故答案为：15．19．解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示．故答案为：420．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．21．解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离＝CD＝2，∴△ABD的面积是5×2÷2＝5．故答案为：5．22．解：作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OD＝OE＝OF，∴S△ABC＝S△OBC+S△OAC+S△OAB＝×OD×BC+×OE×AC+×OF×AB＝×OD×（BC+AC+AB）＝×3×21＝31.5．故答案为：31.5．23．解：作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴S△BCE＝BC•EF＝×5×2＝5．故答案为：5．24．解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∴×AB×DE+×DF×AC＝21，即×8×DE+×DE×6＝21，∴DE＝3（cm）．故答案为3．25．解：作MN⊥AD于N，∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN＝MC，∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB＝∠DAB＝35°，故答案为：3526．解：∵点O是三角形三条角平分线的交点，OM⊥AB于点M，∴点O到三边的距离等于OM的长，∵S△ABC＝180，∴（AB+BC+CA）•OM＝180，即（AB+BC+CA）×4＝180，∴AB+BC+CA＝90，故答案为：90．27．解：作DE⊥AB于E，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝3，∴S△ABD＝×8×3＝12．故答案为12．28．证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，在Rt△CDF和Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．∴CF＝EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE．在Rt△ADC与Rt△ADE中，，∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE，∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．29．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，设BE＝x，则CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．30．证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD＝90゜，OA平分∠BAC，∴OB＝OE，∵点O为BD的中点，∴OB＝OD，∴OE＝OD，∴OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°，∴OA⊥OC；（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE，同理可得CD＝CE，∵AC＝AE+CE，∴AB+CD＝AC．31．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．在Rt△CDF与Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ACD与Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．32．证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD＝PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．33．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在△DCF和△DEB中，，∴△DCF≌△DEB，（SAS），∴BD＝DF．34．解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°．∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠CAB．同理可得∠EBA＝∠ABD．∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°；（2）如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS）．∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°，∴∠DEB＝∠FEB．在△DEB和△FEB中∴△DEB≌△FEB（ASA）．∴ED＝EF．∴ED＝CE．35．（1）证明：连接BP、CP，∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∵AP是∠DAC的平分线，∴DP＝EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中，，∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE；（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），∴AD＝AE，∵AB＝6cm，AC＝10cm，∴6+AD＝10﹣AE，即6+AD＝10﹣AD，解得AD＝2cm．。
微专题8 角平分线常见问题及辅助线作法++++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
【解析】(1)在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,
∵AD=AD,∴△ABD≌△AED(SAS),
∴∠B=∠AED,BD=DE,
∵∠B=2∠C,
∴∠AED=2∠C,∠AED=∠C+∠EDC,∴∠C=∠EDC,
∴DE=CE,
∴BD=EC,
∵AE+EC=AC,
BE和MN分别平分∠ABC和∠EMC.下列结论不正确的是
A.∠MBE=∠MEB
B.MN∥BE
C.S△BEM=S△BEN
D.∠MBN=∠MNB
(D )
4
2.(2024·东营河口区模拟)如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,
过点O作EF∥AB交BC于F,交AC于E,过点O作OD⊥BC于D,下列四个结论:
1
①∠AOB=90°+ ∠C;
2
②AE+BF=EF;
③当∠C=90°时,E,F分别是AC,BC的中点;
④若OD=a,CE+CF=2b,则S△CEF=ab.
其中正确的是 ( C )
A.①②
B.③④
C.①②④
D.①③④
5
3.(2023·枣庄市中区模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE
12
类型3
特点
相遇角平分线的垂线,联想“三线合一”
从角一边上的一点作角平分线的垂线,构造等腰三角形利用“三线合一”
解题
示例
P是∠MON的平分线上一点,A是射线OM上一点,AP⊥OP于点P,延长AP
结论 交ON于点B,Rt△AOP≌Rt△BOP,
△AOB是等腰三角形
中考数学真题分类汇编及解析(二十一)角平分线、线段垂直平分线、中位线
（2022•广东中考）如图，在△ABC 中，BC ＝4，点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则DE ＝（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【解析】选D ．因为点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，BC ＝4，所以DE 是△ABC 的中位线，所以DE =12BC =12×4＝2.（2022•南充中考）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，DE ∥AB ，交AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，DE ＝5，DF ＝3，则下列结论错误的是（ ）A ．BF ＝1B ．DC ＝3 C ．AE ＝5D ．AC ＝9【解析】选A ．因为AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°，DF ⊥AB ， 所以∠1＝∠2，DC ＝FD ，∠C ＝∠DFB ＝90°，因为DE ∥AB ，所以∠2＝∠3，所以∠1＝∠3，所以AE ＝DE ， 因为DE ＝5，DF ＝3，所以AE ＝5，CD ＝3，故选项B 、C 正确； 所以CE =√DE 2−CD 2=4，所以AC ＝AE +EC ＝5+4＝9，故选项D 正确； 因为DE ∥AB ，∠DFB ＝90°， 所以∠EDF ＝∠DFB ＝90°， 所以∠CDF +∠FDB ＝90°， 因为∠CDF +∠DEC ＝90°， 所以∠DEC ＝∠FDB ， 因为∠C ＝∠DFB ，CD ＝FD ， 所以△ECD ≌△DFB （AAS ）， 所以CE ＝BF ＝4，故选项A 错误；（2022•德阳中考）如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，则下列结论一定正确的是（ ）A ．四边形EFGH 是矩形B ．四边形EFGH 的内角和小于四边形ABCD 的内角和C ．四边形EFGH 的周长等于四边形ABCD 的对角线长度之和 D ．四边形EFGH 的面积等于四边形ABCD 的面积的14【解析】选C ．A ．如图，连接AC ，BD ，在四边形ABCD 中，因为点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，所以EH ∥BD ，EH =12BD ，FG ∥BD ，FG =12BD ，所以EH ∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EFGH 是平行四边形，故A 选项错误；B ．因为四边形EFGH 的内角和等于360°，四边形ABCD 的内角和等于360°，故B 选项错误；C ．因为点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，所以EH =12BD ，FG =12BD ，所以EH +FG ＝BD ， 同理：EF +HG ＝AC ，所以四边形EFGH 的周长等于四边形ABCD 的对角线长度之和，故C 选项正确； D ．四边形EFGH 的面积不等于四边形ABCD 的面积的14，故D 选项错误．A ．12B ．9C ．6D ．3√2【解析】选B ．因为AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，所以BD ＝CD =12BC ＝3，AD ⊥BC ，在Rt △EBD 中，∠EBC ＝45°， 所以ED ＝BD ＝3，所以S △EBC =12BC •ED =12×6×3＝9（2022•河北中考）如图，将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，展开后得到折痕l ，则l 是△ABC 的（ ）A ．中线B ．中位线C ．高线D ．角平分线【解析】选D ．由已知可得，∠1＝∠2，则l 为△ABC 的角平分线.2101（2022•宜昌中考）如图，在△ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若AB ＝7，AC ＝12，BC ＝6，则△ABD 的周长为（ ）A ．25B ．22C ．19D ．18【解析】选C ．由题意可得，MN 垂直平分BC ，所以DB ＝DC ， 因为△ABD 的周长是AB +BD +AD ，所以AB +BD +AD ＝AB +DC +AD ＝AB +AC ， 因为AB ＝7，AC ＝12，所以AB +AC ＝19，所以△ABD 的周长是19.A ．△ABC 是等边三角形B ．AB ⊥CDC ．AH ＝BHD ．∠ACD ＝45°【解析】选ABC ．由作法得CD 垂直平分AB ，AC ＝BC ＝AB ，所以△ABC 为等边三角形，AB ⊥CD ，AH ＝BH ，所以A 、B 、C 选项符合题意； 所以∠ACD =12∠ACB ＝30°．所以D 选项不符合题意（2022•眉山中考）在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，AC ＝8，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，则△DEF 的周长为（ ） A ．9B ．12C ．14D ．16【解析】选A.如图，点E ，F 分别为各边的中点， 所以DE 、EF 、DF 是△ABC 的中位线，所以DE =12BC ＝3，EF =12AB ＝2，DF =12AC ＝4， 所以△DEF 的周长＝3+2+4＝9（2022•毕节中考）在△ABC 中，用尺规作图，分别以点A 和C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ．作直线MN 交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．则下列结论不一定正确的是（ ）A ．AB ＝AE B ．AD ＝CDC ．AE ＝CED ．∠ADE ＝∠CDE 【解析】选A ．由作图可知，MN 垂直平分线段AC ， 所以AD ＝DC ，EA ＝EC ，∠ADE ＝∠CDE ＝90°， 故选项B ，C ，D 正确．②作直线PQ 交AB 于点D ；③以点D 为圆心，AD 长为半径画弧交PQ 于点M ，连接AM 、BM ． 若AB ＝2√2，则AM 的长为（ ）A ．4B ．2C ．√3D ．√2【解析】选B ．由作图可知，PQ 是AB 的垂直平分线，所以AM ＝BM ， 因为以点D 为圆心，AD 长为半径画弧交PQ 于点M ，所以DA ＝DM ＝DB ， 所以∠DAM ＝∠DMA ，∠DBM ＝∠DMB ，因为∠DAM +∠DMA +∠DBM +∠DMB ＝180°，所以2∠DMA +2∠DMB ＝180°， 所以∠DMA +∠DMB ＝90°，即∠AMB ＝90°，所以△AMB 是等腰直角三角形，所以AM =√22AB =√22×2√2=2．（2022•怀化中考）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝ 8 ．【解析】因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点， 所以DE ：BC ＝1：2，DE ∥BC ， 所以△ADE ∽△ABC ， 所以S △ADE S △ABC =(DE BC)2=14，即2S △ABC=14，所以S △ABC ＝8． 答案：8（2022•株洲中考）如图所示，点O 在一块直角三角板ABC 上（其中∠ABC ＝30°），OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥BC 于点N ，若OM ＝ON ，则∠ABO ＝ 15 度．【解析】方法一：因为OM ⊥AB ，ON ⊥BC ，OM ＝ON ， 所以点O 在∠ABC 的平分线上，（2022•扬州中考）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′于点P．若BC＝12，则MP+MN＝6．【解析】如图2，由折叠得：AM＝MD，MN⊥AD，AD⊥BC，所以GN∥BC，所以AG＝BG，所以GN是△ABC的中位线，所以GN=12BC=12×12＝6，因为PM＝GM，所以MP+MN＝GM+MN＝GN＝6．答案：61【解析】设MN 交BC 于D ，连接EC ，如图：由作图可知：MN 是线段BC 的垂直平分线， 所以BE ＝CE ＝4， 所以∠ECB ＝∠B ＝45°， 所以∠AEC ＝∠ECB +∠B ＝90°， 在Rt △ACE 中，AE =√AC 2−CE 2=√52−42=3， 所以AB ＝AE +BE ＝3+4＝7， 答案：7．（2022•达州中考）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝20°，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠CAD 的度数为 50° ．【解析】因为∠C ＝90°，∠B ＝20°， 所以∠CAB ＝90°﹣∠B ＝90°﹣20°＝70°， 由作图可知，MN 垂直平分线段AB ， 所以DA ＝DB ，所以∠DAB ＝∠B ＝20°，所以∠CAD ＝∠CAB ﹣∠DAB ＝70°﹣20°＝50°， 答案：50°【解析】因为CD ＝AD ，CE ＝EB ，所以DE 是△ABC 的中位线，所以AB ＝2DE ， 因为DE ＝10m ，所以AB ＝20m ， 答案：20．（2022•苏州中考）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，过M ，N 两点作直线，与BC 交于点E ，与AD 交于点F ，连接AE ，CF ，则四边形AECF 的周长为 10 ．【解析】因为AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4， 所以BC =√AB 2+AC 2=5，由作图可知，MN 是线段AC 的垂直平分线， 所以EC ＝EA ，AF ＝CF ，所以∠EAC ＝∠ACE ， 因为∠B +∠ACB ＝∠BAE +∠CAE ＝90°， 所以∠B ＝∠BAE ，所以AE ＝BE ， 所以AE ＝CE =12BC ＝2.5， 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ＝BC ＝5，CD ＝AB ＝3，∠ACD ＝∠BAC ＝90°， 同理证得AF ＝CF ＝2.5，所以四边形AECF 的周长＝EC +EA +AF +CF ＝10， 答案：10（2022•衡阳中考）如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交CB 于点D ，连接AD ．若AC ＝8，BC ＝15，则△ACD 的周长为 23 ．【解析】根据作图过程可知：MN 是线段AB 的垂直平分线，（2022•台州中考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为10 ．【解析】因为E，F分别为BC，CA的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF=12AB，所以AB＝2EF＝20，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，AB＝20，所以CD=12AB＝10，答案：10（2022•福建中考）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为6．【解析】因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE为△ABC的中位线，所以DE=12BC=12×12＝6．答案：6．（2022•荆州中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE=13AE＝1，则CD＝√6．【解析】如图，连接BE，因为CE=13AE＝1，所以AE＝3，AC＝4，而根据作图可知MN为AB的垂直平分线，所以AE＝BE＝3，在Rt△ECB中，BC=√BE2−CE2=2√2，所以AB=√AC2+BC2=2√6，因为CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线，所以CD =12AB =√6． 答案：√6．（2022•梧州中考）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是AB ，AC 边上的中点，连接CD ，DE ．如果AB ＝5m ，BC ＝3m ，那么CD +DE 的长是 4 m ．【解析】因为点D ，E 分别是AB ，AC 边上的中点，所以DE 是△ABC 的中位线，所以DE =12BC ， 因为BC ＝3m ，所以DE ＝1.5m ，因为∠ACB ＝90°，所以CD =12AB ， 因为AB ＝5m ，所以CD ＝2.5m ，所以CD +DE ＝2.5+1.5＝4（m ）. 答案：4．（2022·牡丹江中考）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，AC ＝6，BC ＝8，CD ＝ 3 ．【解析】如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ， 因为∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8， 所以AB =√AC 2+BC 2=√62+82=10， 因为AD 平分∠CAB ， 所以CD ＝DE ，所以S △ABC =12AC •CD +12AB •DE =12AC •BC ， 即12×6•CD +12×10•CD =12×6×8，解得CD ＝3．答案：3（2022•吉林中考）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是边AD 的中点，点F 在对角线AC 上，且AF =14AC ，连接EF ．若AC ＝10，则EF ＝ 52 ．【解析】在矩形ABCD 中，AO ＝OC =12AC ，AC ＝BD ＝10，因为AF =14AC ，所以AF =12AO ，所以点F 为AO 中点，所以EF 为△AOD 的中位线，所以EF =12OD =14BD =52．答案：52（2022•广东中考）如图，已知∠AOC ＝∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ．求证：△OPD ≌△OPE ．【证明】因为∠AOC ＝∠BOC ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，所以PD ＝PE ，在Rt △OPD 和Rt △OPE 中，{OP =OP PD =PE，所以Rt △OPD ≌Rt △OPE （HL ）． （2022•赤峰中考）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，BC ＝5．（1）作BC 的垂直平分线，分别交AB 、BC 于点D 、H ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接CD ，求△BCD 的周长．【解析】（1）如图，DH 为所作；。
【中考数学】《角的平分线》专项练习题2套含答案
角的平分线第1课时角的平分线的性质01基础题知识点1角的平分线的作法1．如果要作已知∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(C)①作射线OC；②在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；③分别以D、E为圆心，大于12DE长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C. A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①2．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(A)A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等3．已知△ABC，用尺规作图作出∠ABC的角平分线，保留作图痕迹，不写作法．解：作图略．知识点2角的平分线的性质4．(茂名中考)如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P 到边OB的距离为(A)A ．6B ．5C ．4D ．35．(怀化中考)如图，OP 为∠AOB 的角平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C ，D ，则下列结论错误的是(B )A ．PC ＝PDB ．∠CPD ＝∠DOPC ．∠CPO ＝∠DPOD ．OC ＝OD6．已知：如图所示，点O 在∠BAC 的平分线上，BO ⊥AC ，CO ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，求证：OB ＝OC.证明：∵点O 在∠BAC 的平分线上，BO ⊥AC ，CO ⊥AB ， ∴OE ＝OD ，∠BEO ＝∠CDO ＝90°. 在△BEO 和△CDO 中，⎩⎨⎧∠BEO ＝∠CDO ，OE ＝OD ，∠EOB ＝∠DOC ，∴△BEO ≌△CDO(ASA )． ∴OB ＝OC.知识点3 文字命题的证明7．命题“全等三角形对应边上的高相等”的已知是两个三角形全等，结论是这两个三角形对应边上的高相等．8．(咸宁中考)证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC ＝∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ． 求证：PD ＝PE ．请你补全已知和求证，并写出证明过程.证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴∠PDO ＝∠PEO ＝90°. 在△PDO 和△PEO 中，⎩⎨⎧∠PDO ＝∠PEO ，∠AOC ＝∠BOC ，OP ＝OP ，∴△PDO ≌△PEO(AAS )． ∴PD ＝PE. 02 中档题9．(淮安中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积为(B )A ．15B ．30C ．45D ．6010．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A) A．M点B．N点C．P点D．Q点11．(湖州中考)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(C)A．8 B．6 C．4 D．212．已知，如图，△ABC的角平分线AD交BC于D，BD∶DC＝2∶1，若AC＝3 cm，则AB＝6_cm．13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝10 cm，求△DEB的周长．解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE.又∵AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED.∴AE＝AC.∴△DEB 的周长为DE ＋DB ＋EB ＝CD ＋DB ＋BE ＝BC ＋BE ＝AC ＋BE ＝AE ＋BE ＝AB ＝10 cm .14．求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．已知：如图，在△ABC 和△A′B′C′中，∠B ＝∠B′，∠BAC ＝∠B′A′C′，AD ，A ′D ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的平分线，且AD ＝A′D′.求证：△ABC ≌△A′B′C′.证明：∵∠BAC ＝∠B′A′C′，AD ，A ′D ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的角平分线， ∴∠BAD ＝∠B′A′D′. ∵∠B ＝∠B′，AD ＝A′D′， ∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(AAS )． ∴AB ＝A′B′.在△ABC 和△A′B′C′中，⎩⎨⎧∠B ＝∠B′，AB ＝A′B′，∠BAC ＝∠B′A′C′，∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA )． 03 综合题15．(长春中考)感知：如图1，AD 平分∠BAC ，∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝90°.易知：DB ＝DC.探究：如图2，AD 平分∠BAC ，∠ABD ＋∠ACD ＝180°，∠ABD ＜90°.求证：DB ＝DC.证明：过点D 分别作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. ∵DA 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.∵∠B ＋∠ACD ＝180°， ∠ACD ＋∠FCD ＝180°， ∴∠B ＝∠FCD. 在△DFC 和△DEB 中，⎩⎨⎧∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DE ，∴△DFC ≌△DEB. ∴DC ＝DB.第2课时 角的平分线的判定01 基础题知识点1 角的平分线的判定1．如图，OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB.下列条件中：①∠AOC ＝∠BOC ；②PD ＝PE ；③OD ＝OE ；④∠DPO ＝∠EPO ，能判定OC 是∠AOB 的角平分线的有(D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，∠AOB ＝70°，QC ⊥OA 于点C ，QD ⊥OB 于点D ，若QC ＝QD ，则∠AOQ ＝35°．3．如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是∠BAC 的平分线．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠BED ＝∠DFC ＝90°.在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，⎩⎨⎧BE ＝CF ，DB ＝DC ，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC.∴DE ＝DF. ∴AD 是∠BAC 的平分线．4．如图，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE ，CD 相交于点O.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB ＝OC ； (2)当OB ＝OC 时，∠1＝∠2.证明：(1)∵∠1＝∠2，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴OE ＝OD ，∠ODB ＝∠OEC ＝90°. 在△BOD 和△COE 中，⎩⎨⎧∠BOD ＝∠COE ，OD ＝OE ，∠ODB ＝∠OEC ，∴△BOD ≌△COE(ASA )． ∴OB ＝OC.(2)在△BOD 和△COE 中，⎩⎨⎧∠ODB ＝∠OEC ，∠BOD ＝∠COE ，OB ＝OC ，∴△BOD ≌△COE(AAS )． ∴OD ＝OE.又∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴AO 平分∠BAC ，即∠1＝∠2.知识点2 三角形的角平分线5．到△ABC 的三条边距离相等的点是△ABC 的(B )A ．三条中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条高的交点D ．以上均不对6．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO ＝4∶5∶6．知识点3角的平分线的性质与判定的实际应用7．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．解：图略．提示：∠AOB的平分线与AB的交点即为点M的位置．8．如图，某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭子，供人们休息，而且要使小亭中心到三条公路的距离相等，试确定小亭的中心位置．解：△ABC的角平分线的交点就是小亭的中心位置，图略．02中档题9．(永州中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△＝S△PCD，则满足此条件的点P(D)PABA．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)10．如图，已知△ABC的周长是20 cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3 cm，则△ABC的面积为30_cm2．11．如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线．证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F.又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴DE＝DF，DG＝DF.∴DE＝DG.∴AD平分∠EAC，即AD是∠BAC的外角平分线．12．如图所示，△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上一动点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则当D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC，请说明理由．解：当D移动到BC的中点时，AD恰好平分∠BAC.理由：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.又∵∠B ＝∠C ，∴△DEB ≌△DFC(AAS )．∴DE ＝DF.又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC.03 综合题13．如图，在四边形ABDC 中，∠D ＝∠B ＝90°，O 为BD 的中点，且AO 平分∠BAC.求证：(1)CO 平分∠ACD ；(2)OA ⊥OC ；(3)AB ＋CD ＝AC.证明：(1)过点O 作OE ⊥AC 于点E ，∵∠B ＝90°，AO 平分∠BAC ，∴OB ＝OE.∵点O 为BD 的中点，∴OB ＝OD.∴OE ＝OD.又∵∠D ＝90°，∠OEC ＝90°.∴CO 平分∠ACD.(2)在Rt △ABO 和Rt △AEO 中，⎩⎨⎧AO ＝AO ，OB ＝OE ，∴Rt △ABO ≌Rt △AEO(HL )．∴∠AOB ＝∠AOE ＝12∠BOE. 同理，∠COD ＝∠COE ＝12∠DOE.∵∠AOC ＝∠AOE ＋∠COE ，∴∠AOC ＝12∠BOE ＋12∠DOE ＝12×180° ＝90°.∴OA ⊥OC.(3)∵Rt △ABO ≌Rt △AEO ，∴AB ＝AE.同理可得CD ＝CE.∵AC ＝AE ＋CE ，∴AB ＋CD ＝AC.。
中考数学复习指导：与角平分线有关的基本题型
与角平分线有关的基本题型在认识平面几何(二)中，角平分线在三角形的三条重要线段中尤其重要.它就像几何中的“变形金刚”，会时不时呈现一种它的新的形态.但俗话说的好，万变不离其宗，笔者带你了解一下它的基本形态，相信你就能了解它的各种变化了.我们来认识一下它的四种基本题型，记住结论，你可以迅速解决一类填空选择题;掌握方法，你可以对付它的任何变形.一、两条内角平分线的夹角与顶角的关系例 1 如图1，在ABC ∆中,BE 平分,ABC CE ∠平分ACB ∠.若80A ∠=°，则BEC ∠= ;若A n ∠=°，求BEC ∠用含n 的代数式表示)分析 已知顶角，则根据三角形内角和为180°可以求出两底角的和，再由角平分线的性质得到EBC ∠与EBC ∠的和为两底角和的一半，结合三角形内角和等于180°，求出BEC ∠.在ABC ∆中，A n ∠=°Q ,180180ABC BCA A n ∴∠+∠=°−∠=°−°.BE Q 平分ABC ∠ , CE 平分ACB ∠, 11()9022EBC ECB ABC BCA n ∴∠+∠=∠+∠=°−°, ∴在EBC ∆中，1180()902BEC EBC ECB n ∠=°−∠+∠=°−°. 结论 两条内角平分线的夹角等于90度加上顶角的一半(即1902BEC A ∠=°+∠). 变形 如图2 , 84MON ∠=°，点,A B 分别在射线,OM ON 上移动，AOB ∆的角平分线AC 与BD 交于点P .试问:随着点,A B 位置的变化，APB ∠的大小是否会变化?若保持不变，请求出APB ∠的度数.若发生变化，请说明理由.解 APB ∠的大小不变，始终为132°.Q 在OAB ∆中，84MON ∠=°,18096OAB OBA MON ∴∠+∠=°−∠=°,AOB ∴∆的角平分线AC 与BD 交于点P ,1()482PAB PBA OAB OBA ∴∠+∠=∠+∠=°， ∴在PAB ∆中，180()132APB PAB PBA ∴∠=°−∠+∠=°.二、两条外角平分线的夹角与顶角的关系例2 如图3，在ABC ∆中，BO 平分外角,CBD CO ∠平分外角BCE ∠.若A n ∠=°，求BOC ∠.分析 因为涉及到三角形的两个外角，所以用三角形的外角和为360°来表示DBC ECB ∠+∠简单一些.解 ,A n ∠=°∴Q 与A ∠相邻的外角为180n °−°.根据三角形的外角和为360°,360(180)180DBC ECB n n ∴∠+∠=°−°−°=°+°.又BO Q 平分外角,CBD CO ∠平分外角BCE ∠,11()9022OBC OCB DBC ECB n ∴∠+∠=∠+∠=°+°， ∴在BOC ∆中，1180()902BOC OBC OCB n ∠=°−∠+∠=°−°. 结论 两条外角平分线的夹角等于90度减去顶角的一半(即1902BOC A ∠=°−∠). 为了便于同学们区分这两个结论，笔者用“内优外患”来记，内优:内角平分线是90度加上顶角的一半;外患:外角平分线是90度减去顶角的一半.“优”就是“加”，“患”就是“减”. 变形 如图4，垂直相交的两直线OA 与OB 相交于点O ，连接并延长BA 至E ，在ABO ∠的内部作射线BF 交AO 于点C .若,,EAC FCA ABC ∠∠∠的平分线交于点G ，过点G 作BE 的垂线，垂足为H ，试问,AGH BGC ∠∠的大小关系如何?请写出你的结论并证明.分析 AG 和CG 是ABC ∆的两条外角平分线，则1902AGC ABC ∠=°−∠. 由GH BE ⊥，得190902HGB HBG ABC AGC ∠=°−∠=°−∠=∠. 所以HGB BGA AGC BGA ∠−∠=∠−∠,即AGH BGC ∠=∠.三、一条内角平分线一条外角平分线的夹角与顶角的关系例3 如图5，在ABC ∆中，BE 平分ABC ∠, CE 平分外角ACM ∠.若A n ∠=°，求BEC ∠.分析 由三角形的外角性质，可知ACM ABC BAC ∠=∠+∠ , ECM EBC BEC ∠=∠+∠;再由角平分线的性质得到BEC ∠和A ∠的关系.解 ACM ABC BAC ∠=∠+∠Q ,ECM EBC BEC ∠=∠+∠,又BE Q 平分ABC ∠, CE 平分外角ACM ∠,12EBC ABC ∴∠=∠，12ECM ACM ∠=∠, 1122BEC A n ∴∠=∠=°. 结论 三角形的一条内角平分线和一条外角平分线的夹角等于顶角的一半(即12BEC A ∠=∠). 变形 如图6 , ABC ∆中，ABC ∠的角平分线与ACB ∠的外角ACD ∠的平分线交于1A .(1)①探索A ∠与1A ∠之间数量关系并证明你的结论;②若1A BC ∠的角平分线与1A CD ∠的角平分线交于2A , 2A BC ∠与2A CD 的平分线交于3A ，如此继续下去可得4,,n A A ⋅⋅⋅请你直接写出n A ∠与A ∠的数量关系 .(2)如图7，若E 为BA 延长线上一动点，连,EC AEC ∠与ACE ∠的角平分线交于Q ，随着点E 的运动，1Q A ∠+∠的值是否变化?若变化，请说明理由;若不变，请求出其值. 解 (1)①112A A ∠=∠. ACD ABD BAC ∠−∠=∠Q , 11,BA CA 是ABC ∠的角平分线与ACB ∠的外角ACD ∠的平分线，11112A ACD A BD BAC ∴∠=∠−∠=∠. ②1()2n n A A ∠=∠.(2) ACD ABD BAC ∠−∠=∠Q , 11,BA CA 是ABC ∠的角平分线与ACB ∠的外角ACD ∠的平分线，11112A ACD A BD BAC ∴∠=∠−∠=∠. ,,AEC ACE BAC EQ CQ ∠+∠=∠Q 是,AEC ACE ∠∠的角平分线，11()22QEC QCE AEC ACE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠, 1180()1802Q QEC QCE BAC ∴∠=°−∠+∠=°−∠, 1180Q A ∴∠+∠=°.四、顶角平分线与一条高线的夹角与两底角的关系例4 如图8 , ABC ∆中，AD 平分BAC ∠ ,BE AC ⊥于点E ，交AD 于点F ，试说明12()2ABC C ∠=∠+∠.解 180ABC C BAC ∠+∠=°−∠Q ,又AD Q 平分BAC ∠,21BAC ∴∠=∠.,1902,2(902)BE AC BAC ⊥∴∠=°−∠∴∠=°−∠Q ,22ABC C ∴∠+∠=∠’ 即12()2ABC C ∠=∠+∠. 例5 在ABC ∆中，C B ∠>∠.如图9, AD BC ⊥于点,D AE 平分BAC ∠，试说明 1()2EAD C B ∠=∠−∠.解 180()BAC B C ∠=°−∠+∠Q ,又AE Q 平分BAC ∠,12EAC BAC ∴∠=∠. ,90AD BC DAC C ⊥∴∠=°−∠Q ,又EAD EAC DAC ∠=∠−∠Q ,1()2EAD C B ∴∠=∠−∠. 结论 顶角平分线和同顶点高线的夹角等于两底角差的一半;顶角平分线和不同顶点高线的夹角等于两底角和的一半.变形 在ABC ∆中，C B ∠>∠,AD BC ⊥于点,D AE 平分BAC ∠.(1)如图10(1), AE 平分BAC ∠, F 为AE 上的一点，且FD BC ⊥于点D ，这时EFD ∠与,B C ∠∠有何数量关系?请说明理由;(2)如图10(2) , AE 平分BAC ∠, F 为AE 延长线上的一点,FD BC ⊥于点D ，请你写出这时AFD ∠与,B C ∠∠之间的数量关系(只写结论，不必说明理由).(提示:过点A 作BC 的垂线段AM ，再利用垂直于同一直线的两直线平行得到EFD EAM ∠=∠，其理由如顶角平分线和同顶点高线的题例)纵观各地试题，有的给基础习题添加新问题，有的给基本模型创设“新情境”，有的给核心概念赋予新视角.希望同学们能抓住问题的本质，灵活运用与角平分线有关的基本题型，提升自己的解题水平.。
中考数学专题训练(附详细解析)：角平分线
中考数学专题训练（附详细解析）角平分线1、（专题•雅安）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为（）2、（专题•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．3、（专题•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）4、（专题•曲靖）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，若∠BOD=40°，OA 平分∠COE ，则∠AOE= 40° ．5、（专题成都市）如图，B 30∠=，若AB ∥CD ，CB 平分ACD ∠，则ACD=∠______度.答案：60°解析：∠ACD=2∠BCD=2∠ABC=60°6、（专题安徽省14分、23 ）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。
如图1，四边形ABCD 即为“准等腰梯形”。
其中∠B=∠C 。
（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）。
（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD 中，∠B=∠C ，E 为边BC 上一点，若AB ∥DE ，AE ∥DC ，求证：ECBE DC AB（3）在由不平行于BC 的直线截ΔPBC 所得的四边形ABCD 中，∠BAD与∠ADC 的平分线交于点E ，若EB=EC ，请问当点E 在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由）7、（专题•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．==10ADB=AB DE=8、（专题•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．。
备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_三角形_角平分线的性质-综合题专训及答案
备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_三角形_角平分线的性质-综合题专训及答案角平分线的性质综合题专训1、(2017葫芦岛.中考真卷) 如图，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM 交于点D和点E．（1）如图1，当点C在射线AN上时，①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；（2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，AC= ，请直接写出线段AD和DF的长．2、(2012沈阳.中考真卷) 已知，如图①，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB=4 ，在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°．（1）求AP的长；（2）求证：点P在∠MON的平分线上．（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．3、(2015丹东.中考真卷) 在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN 中，∠MPN=90°．（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°＜α＜45°）．①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②如图2，在旋转过程中，当∠DOM=15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；③如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=m•BP时，请直接写出PE与PF的数量关系．4、(2019上海.中考真卷) 如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE上AD，交BD的延长线于点E.（1）求证：∠E＝∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值.5、(2016漳州.中考真卷) 现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？（4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说明）6、(2016福州.中考真卷) 如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．7、(2017高唐.中考模拟) 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；（2）若AB=6，AD=5，求AF的长．8、(2017微山.中考模拟) 已知：如图，AD是△ABC的中线，∠ACE是△ABC的外角．（1）读下列语句，尺规作图，保留作图痕迹．①作∠ACE的角平分线，交BA延长线于点F；②过点D作DH∥AC，交AB于点H，连接CH．（2）依据以上条件，解答下列问题．①与△AHD面积相等的三角形是；②若∠B=40°，∠F=30°，求∠BAC的度数．9、(2017深圳.中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E 做EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）如果AB=6，AD=8，求tan∠ADP的值．10、(2019防城.中考模拟) 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是底边BC的中点，作DE⊥AB 于E，DF⊥AC于F求证：DE＝DF.证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C①.在△BDE和△CDF中，∠B＝∠C，∠BED＝∠CFD，BD＝CD，∴△BDE≌△CDF②.∴DE ＝DF③.（1）上面的证明过程是否正确？若正确，请写出①、②和③的推理根据. （2）请你写出另一种证明此题的方法.11、(2018安顺.中考真卷) 如图，在中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D.（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；（2）若，AB=12，求半圆O所在圆的半径.12、(2020通州.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的角平分线．AE的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交AB于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC＝2，tanB＝，求⊙O的半径r的值．13、(2020杭州.中考模拟) 数学阅读：古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S= ，其中p= （a+b+c）.这个公式称为“海伦公式”.数学应用：如图1，在△ABC中，已知AB=9，AC=8，BC=7.（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高h2，求h1+h2的值；（3）如图2，AD、BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为I，求△ABI的面积.14、(2020城.中考模拟) 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．15、(2021镇江.中考模拟) 如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB 于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A=90°，∠C=30°，BD=12，求菱形BEDF的面积．角平分线的性质综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
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角平分线中的阅读题
一、阅读选择题
例1：如图1，已知∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使P到∠AOB 两边OA、OB的距离都等于a。
请认真阅读下面的作法，选择其中的作图依据。
作法：①作OB的垂线NH，使NH=a，垂足为H；
②过N作MN∥OB
③作∠AOB的平分线OP，交于MN于P点；
④点P即为所求。
其中③的依据是( )
A.平行间的距离处处相等
B.到角的两边等距离的点在角的平分线上
C.角的平分线上的点到角的两边等距离
D.到线段两端点等距离的点在线段的垂直平分线上
析解：由作图可知，点P到∠AOB的一边OB的距离为NH=a，又知点P在∠AOB的平分线上，根据角平分线定理可知，点P到∠AOB的另一边OA的距离等于a，所以选择C。
点评：将作图题改为阅读选择题，形式新颖，重在考查学生对角平分线定理的理解与掌握。
二、阅读改错题
例1：阅读下面的证明过程：
已知：如图1，D是⊿ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB=EC，∠BAE=∠CAE。
求证：∠ABE=∠ACE
证明：在⊿ABE和⊿ACE中
AE AE ⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
EB=EC BAE=CAE
∴⊿ABE ≌⊿ACE
∴∠ABE=∠ACE
请问上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请写出你认为正确的证明过程。
解：上面的证明过程有错误。
根据题目给的条件，不能用“SSA”判定两个三角形全等。
正确的证明过程如下：
过E 点分别作EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AC 于G(如图2)
∵AE 平分∠BAC ∴ EF=EG
在Rt ⊿BEF 和Rt ⊿CEG 中， ∵EB=EC EF=EG
∴Rt ⊿BEF ≌Rt ⊿CEG(HL)
∴∠ABE=∠ACE
点评：本题在解题中设置障碍，制造错误，有利于加强学生对三角形全等方法掌握，有利于增强学生的辨别能力和防错意识，提高“免疫力”。
解决这类问题应认真分析给出的证明过程的每一步，先看是否有理有据，然后再做出判断。
三、阅读说理题
例3：没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗？下面是小彬与小红的做法，他们的画法正确吗？请说明理由．
(1) 小彬的做法
如图3，角平分线刻度尺画法：
①利用刻度尺在∠AOB 的两边上，分别取OD ＝OC ．
②连结CD ，利用刻度尺画出CD 的中点E ．
③画射线OE ．
所以射线OE 为∠AOB 的角平分线．
(2) 小红的做法
图3
如图4，角平分线三角板画法：
①利用三角板在∠AOB 的两边上，分别取OM＝ON．
②分别过M、N画OM、ON的垂线，交点为P．
③画射线OE．
所以射线OP为∠AOB的角平分线．
析解：小彬的画法正确。
∵OD=OC，CE=DE ，OE=OE ∴⊿OCE≌⊿DOE
∴∠COE=∠DOE 即OE平分∠AOB
小红的画法也正确
在Rt⊿OPM和Rt⊿OPN中，
∵OM=ON OP=OP ∴Rt⊿OPM ≌Rt⊿OPN(HL)
∴∠POM=∠PON
即OP为∠AOB的角平分线。
点评：本题增加了题目的趣味性，有创意，有利于培养学生的思维逻辑能力，有利于提高学生的证明能力和创新意识。