机械优化设计复习题及答案
《机械优化设计》试卷及答案 新 全
《机械优化设计》复习题及答案
一、选择题
1、下面 方法需要求海赛矩阵。
A 、最速下降法
B 、共轭梯度法
C 、牛顿型法
D 、DFP 法
2、对于约束问题
()()()()2212221122132min 44
g 10
g 30
g 0f X x x x X x x X x X x =+-+=--≥=-≥=≥
根据目标函数等值线和约束曲线，判断()1[1,1]T X =为 ，()251[,]22
T
X =为 。
A ．内点；内点
B. 外点；外点
C. 内点；外点
D. 外点；内点
3、内点惩罚函数法可用于求解__________优化问题。
A 无约束优化问题
B 只含有不等式约束的优化问题
C 只含有等式的优化问题
D 含有不等式和等式约束的优化问题
4、对于一维搜索，搜索区间为[a ，b]，中间插入两个点a 1、b 1，a 1
A [a 1，b 1]
B [ b 1，b]
C [a1，b]
D [a，b1]
5、_________不是优化设计问题数学模型的基本要素。
A设计变量
B约束条件
C目标函数
D 最佳步长
6、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k-αk H k▽f(x k)，下列不属于H k必须满足的条件的是
________。
A. H k之间有简单的迭代形式
B.拟牛顿条件
C.与海塞矩阵正交
D.对称正定
7、函数)
(X
f在某点的梯度方向为函数在该点的。
A、最速上升方向
B、上升方向
C、最速下降方向
D、下降方向
8、下面四种无约束优化方法中，__________在构成搜索方向时没有使用到目标函数的
一阶或二阶导数。
A 梯度法
B 牛顿法
(完整版)机械优化设计试卷期末考试及答案
第一、填空题
1.组成优化设计的数学模型的三要素是 设计变量 、目标函数 和 约束条件 。
2.可靠性定量要求的制定，即对定量描述产品可靠性的 参数的选择 及其 指标的确定 。
3.多数产品的故障率随时间的变化规律，都要经过浴盆曲线的 早期故障阶段 、 偶然故障阶段 和 耗损故障阶段 。
4.各种产品的可靠度函数曲线随时间的增加都呈 下降趋势 。
5.建立优化设计数学模型的基本原则是在准确反映 工程实际问题 的基础上力求简洁 。
6.系统的可靠性模型主要包括 串联模型 、 并联模型 、 混联模型 、 储备模型 、 复杂系统模型 等可靠性模型。
7. 函数f(x 1,x 2)=2x 12 +3x 22-4x 1x 2+7在X 0=[2 3]T 点处的梯度为 ，Hession
矩阵为 。
（2.）函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵为2442-⎡⎤⎢⎥
-⎣⎦
8.传统机械设计是 确定设计 ；机械可靠性设计则为 概率设计 。 9.串联系统的可靠度将因其组成单元数的增加而 降低 ，且其值要比可靠
度 最低 的那个单元的可靠度还低。
10.与电子产品相比，机械产品的失效主要是 耗损型失效 。 11. 机械可靠性设计 揭示了概率设计的本质。
12. 二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ∇=必要条件是该点处的海赛矩阵正定。
13.对数正态分布常用于零件的 寿命疲劳强度 等情况。
14.加工尺寸、各种误差、材料的强度、磨损寿命都近似服从 正态分布 。 15.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向，
机械优化设计期末考试试卷
机械优化设计期末复习题
一、填空题
1。组成优化设计数学模型的三要素是设计变量、目标函数、约束条件。
2。函数在点处的梯度为，海赛矩阵为
3。目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数。4。建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映工程实际问题，的基础上力求简洁。
5。约束条件的尺度变换常称规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
6。随机方向法所用的步长一般按加速步长法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例递增的方法。
7.最速下降法以负梯度方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为
梯度法,其收敛速度较慢。
8。二元函数在某点处取得极值的必要条件是, 充分条件是该点处的海赛矩阵正定
9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题，这种方法又被称为升维法。
10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩
11坐标轮换法的基本思想是把多变量的优化问题转化为单变量的优化问题
12．在选择约束条件时应特别注意避免出现相互矛盾的约束,，另外应当尽量减少不必要的约束。
13．目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1，空间中描述出来，为了在n维空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。
14。数学规划法的迭代公式是,其核心是建立搜索方向，和
计算最佳步长。
15协调曲线法是用来解决设计目标互相矛盾的多目标优化设计问题的。
16。机械优化设计的一般过程中，建立优化设计数学模型是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。
《机械优化设计》试卷及答案
《机械优化设计》复习题及答案
一、填空题
1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，
第一步迭代的搜索方向为[-47;-50] 。
2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向 二是计算最佳步长因
子 。
3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间
点和终点，它们的函数值形成 高-低-高 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
6、函数 C X B HX X T T ++21的梯度为 HX+B 。
7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，
则d 0、d 1之间存在_共轭_____关系。
8、 设计变量 、 约束条件 、 目标函数 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条
件是 梯度为零 ，充分条件是 海塞矩阵正定 。
10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯
度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间
]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36,2.36] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量 、约束条件 目标函数 、
机械优化设计习题及答案
机械优化设计习题及参考答案
1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12T
n x x x x =使 ()min f x →
且满足约束条件
()0
(1,2,
)k h x k l ==
()0
(1,2,
)j g x j m ≤=
2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？
答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂+∂∂=
∂∂2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f
令xo
T
x f x f x f x f
x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇21]21[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。
（1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。 （2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ∇方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ∇方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。
2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最
大的方向和数值。
解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p
表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ∇。求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：
《机械优化设计》试题及答案解析
《机械优化设计》复习题及答案
一、填空题
1、用最速下降法求f(X)=100(X2- X12) 2+(1- x i) 2的最优解时，设X(°)=[-0.5,0.5]T，第一
步迭代的搜索方向为卜47;-50] ______________ 。
2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因
子 ________ 。
3、当优化问题是—凸规划______ 的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和
终点，它们的函数值形成高-低-高___________ 趋势。
5、包含n个设计变量的优化问题，称为__n _______ 维优化问题。
1
6、函数—X T HX B T X C的梯度为HX+B 。
2
7、设G为n>n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d°, d1，满足(d°)T Gd—=0, 则d0、d1之间存在—共轭 ______ ■关系。
8、设计变量、约束条件______________ 、目标函数________________ 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数f(X1,X2)，若在X°(X10,X20)点处取得极小值，其必要条件是_梯度为
零，充分条件是海塞矩阵正定 ______________ 。
10、 ________________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作
用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数f (xHx2 -10x 36的极小点，初始搜索区间
《机械优化设计》试卷及答案
《机械优化设计》试卷及答案
《机械优化设计》复习题及答案
、填空题
1、用最速下降法求f(X)=100(x2- X12) 2+(1- x i) 2的最优解时，设X (°)=[-0.5,0.5]T，第一
步迭代的搜索方向为[-47;-50]_________________ 。
2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因
子 ________ 。
3、当优化问题是—凸规划______ 的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和
终点，它们的函数值形成高-低-高___________ 趋势。
5、包含n个设计变量的优化问题，称为__n _______ 维优化问题。
1
6、函数—X T HX B T X C的梯度为HX+B 。
2
7、设G为n>n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d0，d1，满足(d°)T Gd—=0, 则d0、d1之间存在—共轭______ ■关系。
8、设计变量、约束条件______________ 、目标函数________________ 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数f(X1,X2)，若在X°(X10,X20)点处取得极小值，其必要条件是_梯度为
零，充分条件是海塞矩阵正定 ______________ 。
10、________________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作
用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数f (x) x2 10x 36的极小点，初始搜
《机械优化设计》复习题 答案 (2)
机械优化设计复习题解答
一、填空题
1、用最速下降法求fX=100x 2- x 12 2+1- x 1 2的最优解时,设X 0＝,T ,第一步迭代的搜索方向为 -47,-50T ;
2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是寻找搜索方向,二是计算最优步长;
3、当优化问题是凸规划的情况下,任何局部最优解就是全域最优解;
4、应用进退法来确定搜索区间时,最后得到的三点,即为搜索区间的始点、中间点和终点,它们的函数值形成 高－低－高 趋势;
5、包含n 个设计变量的优化问题,称为 n 维优化问题;
6、函数
C X B HX X T T
++2
1的梯度为B ; 7、设G 为n×n 对称正定矩阵,若n 维空间中有两个非零向量d 0,d 1,满足d 0T Gd 1=0,则d 0、d 1之间存在共轭关系;
8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素;
9、对于无约束二元函数),(21x x f ,若在),(x 20100x x 点处取得极小值,其必要条件是
f(x 10,x 20)=0 ,充分条件是
2
fx 10,x 20)=0正定 ;
10、 K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合; 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点,初始搜索区间]10,10[],[-=b a ,经第一次区间消去后得到的新区间为 10 ; 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件;
13、牛顿法的搜索方向d k = ,
《机械优化设计》复习题-答案讲解
《机械优化设计》复习题解答
一、填空题
1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为 [-47,-50]T 。
2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是寻找搜索方向，二是计算最优步长。
3、当优化问题是凸规划的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高－低－高 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
6、函数 C X B HX X T T ++2
1的梯度为HX+B 。 7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在共轭关系。
8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 错误!未找到引用源。 ，充分条件是 错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。正定 。
10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间
]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36 10] 。
12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件。
机械优化设计复习题及答案
机
械优化设计复习题
一.单项选择题
1．一个多元函数()F X 在X
附近偏导数连续;则该点位极小值点的充要条件为
A ．()*0F X ∇= B. ()*0F X ∇=;()*H X 为正定 C ．()*0H X = D. ()*0F X ∇=;()*H X 为负定
2.为克服复合形法容易产生退化的缺点;对于n 维问题来说;复合形的顶点数K 应
A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数Fx=4x 21+5x 22;具有等式约束;其等式约束条件为hx=2x 1+3x 2-6=0;则
目标函数的极小值为
A ．1
B ． 19.05
C ．0.25
D ．0.1
4.对于目标函数FX=ax+b 受约束于gX=c+x ≤0的最优化设计问题;用外点罚函数法求解时;其惩罚函数表达式ΦX;M k 为 .. A. ax+b+M k {min0;c+x}2;M k 为递增正数序列 B. ax+b+M k {min0;c+x}2;M k 为递减正数序列 C. ax+b+M k {maxc+x;0}2;M k 为递增正数序列hn D. ax+b+M k {maxc+x;0}2;M k 为递减正数序列
1.B
2.C
3.B
4.B
5.A
6.B
7.D
8.B
9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 0.186 C
6.FX 在区间x 1;x 3上为单峰函数;x 2为区间中一点;x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点..如x 4-x 2>0;且Fx 4>Fx 2;那么为求FX 的极小值;x 4点在下一次
大学期末考试机械优化设计复习题及其答案
大学期末考试机械优化设计复习题及其答案1化问题的三要素：设计变量，约束条件，目标函数。
2机械优设计数学规划法的核心：一、建立搜索方向，二、计算最佳步长因子
3外推法确定搜索区间，函数值形成高-低-高区间
4数学规划法的迭代公式是，其核心是建立搜索方向，和计算最佳步长
5若n维空间中有两个非零向量d0，d1，满足(d0)TGd1=0，则d0、d1之间存在_共轭关系
6，与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值不变方向。
外点；内点的判别
7那三种方法不要求海赛矩阵：最速下降法共轭梯度法变尺度法
8、那种方法不需要要求一阶或二阶导数：坐标轮换法
9、拉格朗日乘子法是升维法P37
10、惩罚函数法又分为外点惩罚函数法、内点惩罚函数法、混合惩罚函数法三种
11，.函数在点处的梯度为，海赛矩阵为
12.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用
来评价设计的优劣，同时必须是设计变量的可计算函数。
13.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映工程实际问题，的基础上力求简洁。
14.约束条件的尺度变换常称规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
15，.随机方向法所用的步长一般按加速步长法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例递增的方法。
16.最速下降法以负梯度方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为梯度法，其收敛速度较慢。
17二元函数在某点处取得极值的充分条件是必要条件是该点处的海赛矩阵正定
18.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束优化问题变成无
约束优化问题，这种方法又被称为升维法。
机械优化设计试题及答案
机械优化设计试题及答案
试题一：
1. 请简述机械优化设计的定义及重要性。
答案：机械优化设计是通过数学模型和计算机仿真技术，以最优化的方式对机械结构进行设计和改进的过程。机械优化设计的重要性在于能够提高机械产品的性能和效率，降低成本和能源消耗，并且缩短产品开发周期。
2. 请阐述机械优化设计的基本步骤及流程。
答案：机械优化设计的基本步骤包括：问题定义、数学建模、解的搜索、结果评价和优化、最优解验证等。具体流程如下：
(1) 问题定义：明确机械优化设计的目标和约束条件，例如提高某项指标、降低成本等。
(2) 数学建模：通过将机械系统抽象为数学模型，建立与优化目标和约束条件相关的函数关系。
(3) 解的搜索：采用合适的搜索算法，寻找函数的最优解或近似最优解。
(4) 结果评价和优化：对搜索得到的解进行评价和分析，进一步进行调整和改进，以得到更好的解。
(5) 最优解验证：通过实验或仿真验证最优解的可行性和有效性。
试题二：
1. 请简述梯度下降法在机械优化设计中的应用原理。
答案：梯度下降法是一种常用的优化算法，其原理是通过求解函数
的梯度向量，并采取沿着梯度方向逐步迭代优化的方法。在机械优化
设计中，可以将需要优化的机械结构的性能指标作为目标函数，通过
梯度下降法不断调整结构参数，以寻找最优解。
2. 请列举至少三种机械优化设计的常用方法。
答案：常见的机械优化设计方法包括：遗传算法、粒子群优化算法、模拟退火算法等。其中：
(1) 遗传算法通过模拟生物进化过程，通过选择、交叉和变异等操作，逐渐优化机械结构，以达到最优解。
《机械优化设计》习题与答案
《机械优化设计》习题与答案
机械优化设计习题及参考答案
1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、⽬标函数之后，优化设计问题就可以表⽰成⼀般数学形式。求设计变量向量[]12T
n x x x x =L 使 ()min f x →且满⾜约束条件
()0
(1,2,)k h x k l ==L ()0
(1,2,)j g x j m ≤=L
2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？
答：⼆元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的⽅向导数的表达式可以改写成下⾯的形式：??
=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f
ρ
令xo T
x f x f x f x f
x f ??
=????=?21]21[)0(，则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。
（1）梯度⽅向是函数值变化最快⽅向，梯度模是函数变化率的最⼤值。（2）梯度与切线⽅向d 垂直，从⽽推得梯度⽅向为等值⾯的法线⽅向。梯度)0(x f ?⽅向为函数变化率最⼤⽅向，也就是最速上升⽅向。负梯度-)0(x f ?⽅向为函数变化率最⼩⽅向，即最速下降⽅向。
2-2.求⼆元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最
⼤的⽅向和数值。
解：由于函数变化率最⼤的⽅向就是梯度的⽅向，这⾥⽤单位向量p
表⽰，函数变化率最⼤和数值时梯度的模)0(x f ?。求f （x1，x2）在x0点处的梯度⽅向和数值，计算如下：
机械优化设计考题参考答案
机械优化设计考题2参考答案
一．选择题
1．C 2.D 3.B 4.C 5.A
二．填空题
1．[]b x 2 ,ε<-a b ? 2.必要3.混合 4.n+1 5.()[]
()k k k k x f x f x ∇∇--12α 三．简答题
1.
[]()
()
q k h p j x g t s f f R
x x F V k j T n ,,2,10,,2,10)(.,min )(min 21⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=≤⋅⋅⋅=∈- 2． ()T n x f x f x f x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⋅⋅⋅∂∂∂∂=∇21
3．根据共轭方向的性质：从任意初始点出发顺次沿n 个G 的共轭方向进行一维搜索，最多经过n 次迭代就可找到二次函数的极小点，具有二次收敛性。
4．选点原则是插入点应按0.618分割区间。因为这样选点可以保持两次迭代区间的相同比例分布，具有相同的缩短率。
四．计算题
1. [解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：
[][][]9
35
120101-=⇒==⇒=-=⇒=030302023314f x f x f x
经判断，各顶点均为可行点，其中，为最坏点。
为最好点，0203x x 2）计算去掉最坏点 02x 后的复合形的中心点：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑≠=3325.221132
1003312i i i c x L x
3）计算反射点1R x （取反射系数3.1=α）
20.69
3.30.551422.51.322.5)(1102001-=⎥⎦⎤⎢⎣
《机械优化设计》习题及答案1
机械优化设计习题及参考答案
1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12T
n x x x x =使 ()min f x →
且满足约束条件
()0
(1,2,
)k h x k l ==
()0
(1,2,
)j g x j m ≤=
2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？
答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂+∂∂=
∂∂2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f
令xo
T
x f x f x f x f
x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇21]21[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。
（1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。 （2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ∇方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ∇方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。
2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最
大的方向和数值。
解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p 表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ∇。求f （x1，x2）在
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机械优化设计复习题
.单项选择题
1. 一
个多元函数F X 在X*附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为( )
A. i F X =0
B. F X = 0, H X 为正定
C. H X* R0
D. 'F X* ]=0, H X* 为负定
2. 为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于
n 1 乞K 乞2n D. n 乞K 乞2n — 1
A . K _n 1 B. K _2n C.
n维问题来说，复合形的顶点数K应()
3. 目标函数F ( x) =4x2+5X；，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x计3x2-6=0,则目标函数的极小值为( )
A 1 B. 19.05 C. 0.25 D. 0.1
4. 对于目标函数 F(X)=ax+b受约束于g(X)=c+x _0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解
时，其惩罚函数表达式①(X,M(k))为()。
A. ax+b+M (k){min :0,c+x : }2, MT 为递增正数序列
B. ax+b+M (k){min :0,c+x : }2, MT 为递减正数序列
C. ax+b+M (k){max [c+x,0 ] }2, M(k)为递增正数序列 hn
D. ax+b+M (k){max [c+x,0 ] }2, MT 为递减正数序列
1.B
2.C
3.B
4.B
5.A
6.B
7.D
8.B
9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A
19. B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B
5. 黄金分割
法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是( )。 A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.816
6.F(X)在区间[X1,X3] 上为单峰函数，X2为区间中一点，X4为利用二次插值法公式求得的近
似极值点。如 X4- X2>0,且 F(X4)>F(X 2),那么为求F(X) 的极小值，X4点在下一次搜索区间内将作为( )°
A.x 1
B.x 3
C.X 2
D.X4
7.已知二元二次型函数F(X)= 】X T AX ，其中A=12, 则该二次型是()的。
2 _2 4
A. 正定
B. 负定
C. 不定
D. 半正定
8. 内点罚函数法的罚因子为( )。
A. 递增负数序列
B. 递减正数序列
C.递增正数序列
D. 递减负数序列
9. 多元函数 F(X)在点X*附近的偏导数连续，'、F(X*)=0且H(X*)正定，则该点为 F(X)的
( )。 A. 极小值点 B. 极大值点 C. 鞍点 D. 不连续点
10. F(X)为定义在n维欧氏空间中凸集D上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则
称F(X)为定义在凸集D上的( ))
A. 凸函数
B. 凹函数
C. 严格凸函数
D. 严格凹函数
1.B
2.C
3.B
4.B
5.A
6.B
7.D
8.B
9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A
19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B
11. 在单峰搜索区间[X 1 X 3]（X 1 若X2>X4,并且其函数值F （X4） A. [X 1 X 4] B. [X 2 X 3] C. [X 1 X 2] D. [X 4 X 3] 12. 用变尺度法求一n元正定二次函数的极小点，理论上需进行一维搜索的次数最多为 （） A. n 次 B. 2n 次 C. n+1 次 D. 2 次 13. 在下列特性中，梯度法不具有的是（）。 A.二次收剑性 B. 要计算一阶偏导数 C.对初始点的要求不高 D. 只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向 14. 外点罚函数法的罚因子为（）。 A.递增负数序列 B. 递减正数序列 C.递增正数序列 D. 递减负数序列 15. 内点惩罚函数法的特点是（）。 A .能处理等式约束问题 B. 初始点必须在可行域中 C. 初始点可以在可行域外 D. 后面产生的迭代点序列可以在可行域外 q 16. 约束极值点的库恩一塔克条件为'F（X）=「二％Ig j（X）,当约束条件g（X） < i吕 0（i=1,2,…,m）和入i》0时，贝U q应为（）。 A.等式约束数目； B.不等式约束数目； C.起作用的等式约束数目 D. 起作用的不等式约束数目 17 已知函数 F（X）=- 2x f *2x1X2-X；2x1，判断其驻点（1 , 1）是（）。 A . 最小点 B. 极小点 C. 极大点 D. 不可确定 18. 对于极小化F（X）,而受限于约束g,（X） <0（卩=1,2,…• ,m）的优化问题，其内点罚函数表 达式为（)