常微分方程基本概念PPT讲稿
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微分方程PPT(罗兆富等编)第一章 常微分方程的基本概念
,y )0
( n)
(1.1.09)
10
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y ( n) f ( x, y, y, y,
, y ( n 1) )
从这两个例子可见, 常微分方程的解可以不包含任何 常数, 也可以包含几个任意常数. 若n阶常微分方程(1.1.09)的解 y ( x, C1 , C2 ,
( x))
F ( x, y, y, y,
,y )0
( n)
(1.1.09)
9
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y ( n) f ( x, y, y, y,
, y ( n 1) )
常微分方程的主要问题之一是求方程的解. 所谓求 方程的解就是在某区间I内寻求满足方程 (1.1.09)
,y )0
( n)
(1.1.09)
12
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y ( n) f ( x, y, y, y,
, y ( n 1) )
二、数学问题：初值问题
一个常微分方程的通解的用途不是很广, 而真正有用 的是特解, 特解就是满足事先给出的某些附加条件的确 定了任意常数的解, 这样的附加条件称为初始条件, 一个 常微分方程配上初始条件就构成一个初值问题, 初值问 题也称为柯西问题(Cauchy problem).
如果自变量的个数为两个或两个以上, 即未知函数 是多元函数的这种微分方程称为偏微分方程. 常微分方程的一般形式是
F ( x, y, y, y,
,y )0
( n)
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(1.1.09)
2
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方 程 的 阶
未 自 知 变 函 量 数
未 知 函 数 的 一 阶 导 数
常微分方程的一般概念.ppt
条件为：
1 dP k P dt P t 0(1790 年 ) P0
20
从而得出人口按指数规律增加：
P P0e kt
评价 l相对增长率等于常数这一假设只在一
个较短的时间间隔对问题的模拟较好；
l按指数模型，人口将无限增长下去, 但这是不可能的。
21
2. Logistic 模型(人口增长模型 )
32
Ž C 0 情况，对应
R 2GM0 , R
设初:条 t0件 时 R0，
通过解这个一阶方程, 得
2R2 3 3
2GM 0 tC,
再利用初条件， R3 得 92G到M 0t2
33
这个公式被称为“扁平宇宙模型” (flat universe model) , 试问此 模型就宇宙膨胀可以给出什么预言？
二、近代以来交通、通讯工具的进步对人们社会生活的影 响
(1)交通工具和交通事业的发展，不仅推动各地经济文化交 流和发展，而且也促进信息的传播，开阔人们的视野，加快 生活的节奏，对人们的社会生活产生了深刻影响。
(2)通讯工具的变迁和电讯事业的发展，使信息的传递变得 快捷简便，深刻地改变着人们的思想观念，影响着人们的社 会生活。
请见以下各种微分方程：
(1) dy f(x) dx
(2) dd22 xtad dx tbx0
11
(3) m d d22 ythyd d y tk yF (t) ( 4 )y P (x )y Q (x ) (5 ) xd ys xixnd 0y
( 6 )x 3 y x 2 y 4 x y 3 x 2 (7 ) (y)2 4 y 3 x 0
dt
k
分离变量并积分
rdt
dx
x(1
第7常微分方程1-PPT精品文档
称它为微分方程的积分曲线．也被称为微分方程 初值问题的几何意义．
通解是一组平行的曲线簇．
d x 例1 验 证 x C1 cos kt C2 sin kt 是 2 k 2 x 0 的 dt
2
解，其中 C1 , C2 为任意常数．并求满足初始条件
dx 0 的特解． x t 0 A ， dt t 0 dx 解: k1 C sin k tk 2 C cos kt dt 2 dx 2 2 2 k C cos kt k C sin kt k C cos kt C sin kt 1 2 1 2 2 dt d2x d 2x 2 将 2 , x 代入方程 2 k x 0 得： dt dt 2 2 k C c o s k t C s i n k t 0 k C cos kt C sin kt 1 2 1 2
t 0
M0
又由 M
t 0
M 0 得： C M 0
所以所求变化规律为： M M 0 e t ．
2、齐次方程
若一阶微分方程 y f x, y 中的函数 f x, y y y y 可化为 的函数 ，即： f x, y ，称 x x x 该方程为齐次方程．
故 ln y x2 C1
y e
x2C 1
C1 x2
x2
e e
Ce
即方程的通解为 y Ce
x2
例3 求微分方程 x xy 2 dx x 2 y y dy 0 满足
1 的特解． x y 解：原方程变形为： 2 d x d y 2 x 1 1y 1 x2 1 1 2 1 2 ln x 1 ln y 1 C C 1 ln 2 1 2 2 2 y 1 2 即： x 1 C y2 1 1 y |x 1 C 0 2 x2 1 1 故所求特解为： 2 y 1 2
常微分方程PPT
解 设降落伞下落速度为v(t) 时伞所受空气阻力为
− kv（ 负号 表示 阻力与运动方向相反 k 为常数） 另外， ， 为常数） 另外， ．
受重力P = mg作用 故由牛顿 作用， 伞在下降过程中还 ， 第二定律 dv v 初始条件： 于是， 初始条件： |t=0 = 0于是， 得m = mg − kv且有 所给问题归 dt 结为求解初值问题 dv m = mg − kv, dt v |t=0 = 0,
(2)
两边积分得 ln y = ln x + lnC
所以,齐次方程（ 所以,齐次方程（2） 的通解为
,即 ,即
y = Cx
ln y = lnCx
(3)
C 将通解中的任意常数C 换成待定函数 (x) ,即令 y = C(x)x 为方程（1）的通解,将其代入方程(1)得 为方程（ 的通解,将其代入方程(1) (1)得 xC '(x) = ln x.于是
所以
1 ′(x) = ln x, C x ln x 1 C(x) = ∫ dx = ∫ ln xdln x = (ln x)2 + C, x 2
求 (3), 原 程 通 为 将所 的C(x)的 入 (3),得 方 的 解 代 式
x y = (ln x)2 + Cx. 2
二、可降阶的高阶微分方程
1. y(n) = f (x)型的微分方程
所以， 是所给微分方程的解． 所以，函数y = C1ex +C2e2x 是所给微分方程的解．又因 ， 个 中 两 独 的 意 数， 为 这 解 有 个 立 任 常 ， 方 的 数 数 与 程 阶 相 所以它是所给微分方程的通解． 同，所以它是所给微分方程的通解 ．
始 件 由初 条 y(0) = 0， 们 C1 +C2 = 0 ， 初始 件 我 得 由 条
− kv（ 负号 表示 阻力与运动方向相反 k 为常数） 另外， ， 为常数） 另外， ．
受重力P = mg作用 故由牛顿 作用， 伞在下降过程中还 ， 第二定律 dv v 初始条件： 于是， 初始条件： |t=0 = 0于是， 得m = mg − kv且有 所给问题归 dt 结为求解初值问题 dv m = mg − kv, dt v |t=0 = 0,
(2)
两边积分得 ln y = ln x + lnC
所以,齐次方程（ 所以,齐次方程（2） 的通解为
,即 ,即
y = Cx
ln y = lnCx
(3)
C 将通解中的任意常数C 换成待定函数 (x) ,即令 y = C(x)x 为方程（1）的通解,将其代入方程(1)得 为方程（ 的通解,将其代入方程(1) (1)得 xC '(x) = ln x.于是
所以
1 ′(x) = ln x, C x ln x 1 C(x) = ∫ dx = ∫ ln xdln x = (ln x)2 + C, x 2
求 (3), 原 程 通 为 将所 的C(x)的 入 (3),得 方 的 解 代 式
x y = (ln x)2 + Cx. 2
二、可降阶的高阶微分方程
1. y(n) = f (x)型的微分方程
所以， 是所给微分方程的解． 所以，函数y = C1ex +C2e2x 是所给微分方程的解．又因 ， 个 中 两 独 的 意 数， 为 这 解 有 个 立 任 常 ， 方 的 数 数 与 程 阶 相 所以它是所给微分方程的通解． 同，所以它是所给微分方程的通解 ．
始 件 由初 条 y(0) = 0， 们 C1 +C2 = 0 ， 初始 件 我 得 由 条
常微分方程全册ppt课件
z z (5) z ; x y
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
都是偏微分方程 注: 本课程主要研究常微分方程，同时把常微分方程简称 为微分方程或方程
微分方程的阶 定义 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为 微分方程的阶数.
z z (5) z ; x y
2 3
(2) xdy ydx 0 ;
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t ; 4 dt dt
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
常微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样 的微分方程称为常微分方程
两种群竞争模型
Lorenz方程
Lorenz吸引子，蝴蝶效应
对初值的敏感性
分形（fractal）
吸引盆
总结
微分方程反映量与量之间的关系，与时间有关，是一个动态系 统 从已知的自然规律出发，考虑主要因素，构造出由自变量、未 知函数及其导数的关系史，即微分方程，从而建立数学模型 数学模型的建立有多种方式 研究微分方程的解和解结构的性质，检查是否与实际相吻合， 不断改进模型 由微分方程发现或预测新的规律和性质
如:
dy (1) 2x dx
是一阶微分方程
(2) xdy ydx 0
d 2x dx (3) tx x 0 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
3
是二阶微分方程
是四阶微分方程
n阶微分方程的一般形式为
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教学课件
常微分方程
常微分方程ppt
1.微分方程的基本概念 2.一阶常微分方程 3.二阶线性微分方程
学科背景
十七世纪末，力学、天文学、物理 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题。在这些问题中，函数关 系不能直接写出来，而要根据具体问 题的条件和某些物理定律，首先得到 一个或几个含有未知函数的导数的关 系式，即微分方程，然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解: 根据牛顿第二定律列方程
dv m mg kv
dt
初始条件为 v t 0 0
对方程分离变量, 然后积分 :
得
( 此处 mg k v 0 )
利用初始条件, 得 C 1 ln ( mg )
分离变量
cot u du dx x
两端积分
ln| sinu | ln| x | C1
sinu eC1x Cຫໍສະໝຸດ (C 0)由此又得到 y x arcsinC( x) (C 0)
注意: y 0 也是原方程的一个解, 所以可以有C 0
通解
y x arcsinC( x) (C R)
[例2] dy x y dx x y
特权福利
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学科背景
十七世纪末，力学、天文学、物理 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题。在这些问题中，函数关 系不能直接写出来，而要根据具体问 题的条件和某些物理定律，首先得到 一个或几个含有未知函数的导数的关 系式，即微分方程，然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解: 根据牛顿第二定律列方程
dv m mg kv
dt
初始条件为 v t 0 0
对方程分离变量, 然后积分 :
得
( 此处 mg k v 0 )
利用初始条件, 得 C 1 ln ( mg )
分离变量
cot u du dx x
两端积分
ln| sinu | ln| x | C1
sinu eC1x Cຫໍສະໝຸດ (C 0)由此又得到 y x arcsinC( x) (C 0)
注意: y 0 也是原方程的一个解, 所以可以有C 0
通解
y x arcsinC( x) (C R)
[例2] dy x y dx x y
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常微分方程PPT课件
8.1 常微分方程的基本概念
例
【例8-2】列车在平直线路上以20 m/s的速度行驶,当其制动时获得的加速度为 -0.4 m/s2 时，问开始制动后多长时间列车才能停住?在这段时间内列车行驶了多少路程? 解 设把列车刹车时的时刻记为t=0.设制动后t时刻列车行驶了s.显然直接求s=s（t）是困 难的,但由导数的物理意义可知d2s/dt2=-0.4 两端积分,得ds/dt=∫（-0.4）dt=-0.4t+C1 两端再积分,得s=-0.2t2+C1t+C2 其中C1,C2都是任意常数.现在需要确定C1,C2的值,根据题意知,未知函数s=s（t）满足 s0=0,v（0）=s′0=20 代入上面的两式,得C1=20,C2=0,因此s(t)=-0.2t2+20t 由于列车刹住时的速度为零,即s′(t)=-0.4t+20=0 求得t=50 s,于是列车所走的路程为s（50）=-0.2×502+20×50=500（m）
8.1 常微分方程的基本概念
上述两个实例讨论的都是已知未知函数导数（或微分）所满足的方程，求解未知函数的问 题，这就是微分方程问题.
定义8.1 含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微 分方程称为常微分方程,简称为微分方程或方程;未知函数是多元函数的微分方程称 为偏微分方程.本书只讨论常微分方程.例8-1和例8-2中所建立的方程都是常微分方 程. 不同类型的微分方程在解法上有很大的差异.因此,在解微分方程之前必须正确识别 微分方程的类型.所谓微分方程的类型主要指方程的阶、线性与非线性、变系数与常 系数、齐次与非齐次等.
8.1 常微分方程的基本概念
例如 可以验证例8-1中,函数y=x2+C和y=x2+1都是方程dy/dx=2x的解,其中 y=x2+C是微分方程dy/dx=2x的通解,y=x2+1是微分方程dy/dx=2x的特解;例8-2 中的通解为s（t）=-0.2t2+C1t+C2,特解为s(t)=-0.2t2+20t. 在通解中说任意常数是独立的,其含义是指它们不能合并而使得任意常数的个 数减少.例如,函数y=C1sin x+C2sinx形式上有两个任意常数,但这两个常数并 不是独立的,事实上它可以写成y=（C1+C2）sinx=Csinx（其中C=C1+C2）,因此 本质上它只含有一个任意常数. 显然,微分方程的通解给出了解的一般形式,若用未知函数及其各阶导数在某 个特定点的值将通解中的任意常数确定下来,就得到微分方程的特解.
常微分方程主要内容复习.ppt
1.先求
dy dx
P(x)y
0
(2)
的通解：
分离变量后得
dy P(x)dx y
任意常数写成ln C的形式，得
ln y P(x)dx ln C，
化简后，方程(2)的通解为
y Ce ， P(x)dx (3)
其中C为任意常数.
2.利用“常数变易法”求线性非齐次方程(1)的通解：
设 y C(x)e P(x)dx，
不包含任意常数的解为微分方程特解.
可分离变量的微分方程
1．定义 形如
dy f x g y (1)
dx
的方程称为可分离变量的方程.
特点 -- 等式右端可以分解成两个函数之积，
其中一个只是x的函数，另一个只是y的函数
2．解法:
分离变量得
1
g y
dy
f
x dx
g y 0
两端积分得通解:
g
是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、 1或2。
❖ 当 f (x) Pm (x)ex cosx
或 f (x) Pm (x)ex sin x
时，
❖ 由欧拉公式知道，
❖ 分别是
Pm (x)ex cosx
和 Pm (x)ex的sin实x部
和虚部。Pm (x)e(i)x Pm (x)ex (cosx i sinx)
1
y
dy
f
x dx
齐次方程
如果一阶微分方程
dy dx
f
(x,
y)
可以化成
dy dx
y x
的形式，则称此方程为齐次微分方程．
这类方程的求解分三步进行：
（1）将原方程化为方程
dy dx
常微分方程主要内容复习.ppt
y'' py' qy 0
的两个根r1,r2 两个不相等的实根
r1 r2 两个相等的实根 r1 r2
一对共轭复根
的通解
y C1er1x C2er2 x
y (C1 C2 x)er1x
y ex (C1 cos x
r1,2 i ( 0)
C2 sin x)
二阶常系数非齐次线形微分方程
1.先求
dy dx
P(x)y
0
(2)
的通解：
分离变量后得
dy P(x)dx y
任意常数写成ln C的形式，得
ln y P(x)dx ln C，
化简后，方程(2)的通解为
y Ce ， P(x)dx (3)
其中C为任意常数.
2.利用“常数变易法”求线性非齐次方程(1)的通解：
设 y C(x)e P(x)dx，
y C1y1(x) C2 y2(x) (C1,C2为任意常数)
就是方程(3)的通解.
求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤： 1.写出特征方程，并求出特征方程的两个根； 2 .根据两个特征根的不同情况，按照公式(6)、(7)或(8)写出 微分方程的通解.可使用下表:
特征方程:
微分方程:
r2 pr q 0
二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线性微分方程 二、 常系数线性齐次微分方程解的结构 三、 二阶常系数线性齐次微分方程的解法
形如 y'' P(x)y' Q(x)y f (x)
(1)
的方程，称为二阶线性微分方程.当 f (x) 0 时，
方程(1)成为 y'' P(x)y' Q(x)y 0
(4)
常微分方程总结 PPT
2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . y 3 .齐次方程的求解方法: 令 u , x
8
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 )
线性无关概念.
23
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定义: 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类
偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F ( x, y, y,, y ( n ) ) 0
或
y ( n ) f ( x, y, y,, y ( n 1) ) ( n 阶显式微分方程)
y p( x) y q( x) y f ( x) ,
y
( n) ( n 1)
为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
a1 ( x) y an 1 ( x) y an ( x) y f ( x) f ( x) 0 时, 称为非齐次方程 ;
f ( x) 0 时, 称为齐次方程.
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx
8
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 )
线性无关概念.
23
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定义: 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类
偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F ( x, y, y,, y ( n ) ) 0
或
y ( n ) f ( x, y, y,, y ( n 1) ) ( n 阶显式微分方程)
y p( x) y q( x) y f ( x) ,
y
( n) ( n 1)
为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
a1 ( x) y an 1 ( x) y an ( x) y f ( x) f ( x) 0 时, 称为非齐次方程 ;
f ( x) 0 时, 称为齐次方程.
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx
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的解.
y + 2y + y = 0
解 求 y = 3e – x – xe – x 的导数， 得
y = - 4e – x + xe - x, y = 5e – x - xe - x,
将 y，y 及 y 代入原方程的左边，有 (5e – x - xe - x) + 2(- 4e – x + xe - x) + 3e – x – xe – x = 0， 即函数 y = 3e – x – xe – x 满足原方程，所以该函数是 所给二阶微分方程的解.
语言. 2020/8/21
2
一、微分方程
定义 1 凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程， 称为微分方程，有 时 简 称 为 方 程 ， 未 知 函 数 是 一 元 函数的微分方程称做常微分方程，未 知 函 数 是 多 元 函数的微分方程称做偏微分方程. 本教材仅讨论常微 分方程，并简称为微分方程.
2020/8/21
4
二、微分方程的解
定义 2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的 函数，都叫做该方程的解. 若微分方程的解中含有 任意常数的个数与方程的阶数相同，且 任 意 常 数 之 间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解). 当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称 为方程的特解.
2020/8/21
7
例 2 验证方程 y 2 y 的通解为 y = Cx2 (C 为
x
任意常数)，并求满足初始条件 y|x = 1 = 2 的特解.
解 由 y = Cx2 得 y = 2Cx,
将 y 及 y 代入原方程的左、右两边，左边有 y= 2Cx，
而右边 2 y 2Cx, 所以函数 y = Cx2 满足原方程.
解 首先建立坐标系：取 A 点为坐标原点， 物体运动方向为坐标轴的正方向(如图)， 并设物体
在时刻 t 到达 M 点，其坐标为 s(t). 显然，s(t) 是时 间 t 的函数，它表示物体的运动规律，是本题中待 求的未知函数，s(t) 的导数 s(t) 就是物体运动的速度
v(t). 由题意，知
v(t) = 2t ， ①
x
又因为该函数含有一个任意常数，所以 y = Cx2 是一
阶微分方程 y 2 y 的通解.
x
将初始条件 y|x = 1 = 2 代入通解，得 C = 2，故所 求特解为 y = 2x2 .
2020/8/21
8
例 3 设一个物体从 A 点出发作直线运动， 在任一时刻的速度大小为运动时间的两倍. 求物体 运动规律 (或称运动方程)
0
(g, l 为常数).
微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，
称为微分方程的阶. 例如，方程 (1) - (3) 为一阶微 分方程，方程 (4) - (5) 为二阶微分方程. 通常，n 阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y, , y(n)) = 0，
其中 x 是自变量， y 是未知函数，F(x, y, y, , y(n)) 是已知函数，而且一定含有 y(n).
例如，下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为
未知函数).
(1) y= kx, k 为常数；
(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；
(3) mv(t) = mg - kv(t)；
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(4) y 1 1 y2 ; a
(5)
d2q
dt 2
g sinq
l
例如方程 y = 2x 的解 y = x2 + C 中含有一个任意 常数且与该方程的阶数相同，因此，这个解是方程的 通解；如果求满足条件 y(0) = 0 的解，代入通解 y = x2 + C 中，得 C = 0，那么 y = x2 就是方程 y = 2x 的特解.
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用来确定通解中的任意常数的附加条件一般称 为初始条件. 通常一阶微分方程的初始条件是
y |xx0 y0 , 即 y( x0 ) y0 . 二阶微分方程的初始条件是
y |xx0 y0 及 y |xx0 y0 , 即 y(x0) = y0 与 y(x0) = y0， 一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为 初值问题. 求解某初值问题，就是求方程的特解.
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例 1 验证函数 y = 3e – x – xe Biblioteka x 是方程以及A
M
S
s(0) = 0.
②
O
s(t)
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因为 v(t) = s(t)，因此，求物体的运动方程已化 成了求解初值问题
s(t) 2t, s |t0 0,
积分后，得通解 s(t) = t2 + C . 再将初始条件 ② 代入通解中，得 C = 0，故初值问题的解为 s(t) = t2， 也是本题所求的物体的运动方程.
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例 4 已知直角坐标系中的一条曲线通过点
(1, 2)，且在该曲线上任一点 P(x, y) 处的切线斜率
等于该点的纵坐标的平方，求此曲线的方程.
解 设所求曲线的方程为 y = y(x)，根据导数的
几何意义及本题所给出的条件， 得
y = y2，
即
dx dy
1 y2
,
积分得
x 1 C.
常微分方程基本概念课件
• 300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布
尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人
类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发
展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为，微积
分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动
规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识
清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，
运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常
在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容
易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出
来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程
的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你
看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学
又由于已知曲线过点
y
(1, 2)，代入上式，得
C
3. 2
所以，求此曲线的方程为 x 3 1 .
2y
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一般地，微分方程的每一个解都是一个一元 函数 y = y(x) ， 其图形是一条平面曲线，我们称 它为微分方程的积分曲线. 通解的图形是平面上的 一族曲线，称为积分曲线族， 特解的图形是积分 曲线族中的一条确定的曲线. 这 就 是 微 分 方 程 的 通解与特解的几何意义.