劳斯判据总结
自动控制原理第四章-1-劳斯稳定性判据
04
劳斯稳定性判据的优缺点
优点
简单易行
劳斯稳定性判据是一种直接的方法，用于确定系统的稳定 性。它不需要求解系统的极点，只需要检查劳斯表格的第 一列。
普遍适用性
劳斯稳定性判据适用于所有线性时不变系统，无论系统是 单输入单输出（SISO）还是多输入多输出（MIMO）。
数学基础
劳斯稳定性判据基于数学中的因式分解和不等式性质，具 有坚实的数学基础。
劳斯稳定性判据的局限性在于它只能判断系统 的稳定性，无法给出系统动态性能的评估和优 化。
对自动控制原理的展望
随着科技的发展，自动控制原理的应用领域不断扩大，涉及到工业、交通、医疗、 农业等多个领域。
未来，自动控制原理将与人工智能、机器学习等先进技术相结合，实现更加智能化、 自适应的控制方案。
自动控制原理的理论体系也将不断完善和发展，以适应不断变化的应用需求和技术 环境。
2
在航空航天领域，为了确保飞行器的安全和稳定， 需要利用劳斯稳定性判据对飞行控制系统进行稳 定性分析和设计。
3
在化工领域，为了确保生产过程的稳定和安全， 需要利用劳斯稳定性判据对工业控制系统进行稳 定性分析和设计。
02
劳斯稳定性判据的基本原理
线性系统的稳定性
线性系统
01
在自动控制原理中，线性系统是指系统的数学模型可以表示为
缺点
01
对初始条件的敏感性
劳斯稳定性判据对系统的初始条件非常敏感。即使系统在大部分时间内
是稳定的，如果初始条件设置不正确，可能会导致错误的稳定性判断。
02
数值稳定性问题
在计算劳斯表格时，可能会遇到数值稳定性的问题，例如数值溢出或数
值不精确。这可能会影响判据的准确性。
劳斯判据判定稳定性
劳斯判据即Routh-Hurwitz判据一、系统稳定的必要条件判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
于是表的计算无法继续。
为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。
若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。
此时，系统为临界稳定系统。
2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。
此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。
这样，表中的其余各元就可以计算下去。
出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。
这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。
三、相对稳定性的检验对于稳定的系统，运用判据还可以检验系统的相对稳定性，采用以下方法：1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s=z-（（（为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程。
劳斯判据
(3.63)
假如所有的根均在左半平面，即 p j <0，s i<0 ，则p j >0 ，s i >0 。所以将各因子项相乘展开后，式（3.63）的所 有系数都是正数。 根据这一原则，在判别系统的稳定性时，可首先检查系 统特征方程的系数是否都为正数，假如有任何系数为负数或 等于零（缺项），则系统就是不稳定的。但是，假若特征方 程的所有系数均为正数，并不能肯定系统是稳定的，还要做 进一步的判别。因为上述所说的原则只是系统稳定性的必要 条件，而不是充分必要条件。
an 3 b2 an 5 b3 an 7 b4
按此规律一直计算到n -1行为止。在上述计算过程中，为 了简化数值运算，可将某一行中的各系数均乘一个正数，不 会影响稳定性结论。 3. 考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列表中第 一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的 根均位于根平面的左半平面。假若第一列系数有负数，则第 一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。 例3.3 系统特征方程为
线性闭环系统的稳定性可以根据闭环极点在S平面内的位 置予ห้องสมุดไป่ตู้确定。假如单输入单输出线性系统由下述的微分方程 式来描述，即
an c ( n ) an 1c ( n 1) a1c (1) a0c bm r ( m ) bm1r ( m1) b1r (1) b0 r
2 2
s4 1 s3 6
例3.4 已知系统特征方程式为
s5 3s 4 2s3 s 2 5s 6 0
解 列写劳斯阵列表 5 1 2 5 s s4 3 1 6 s3 5 9 （各系数均已乘3） 2 s -11 15 （各系数均已乘5/2） 1 （各系数均已乘11） s 174 s0 15 劳斯阵列表第一列有负数，所以系统是不稳定的。由于第 一列系数的符号改变了两次(5→－11→174)，所以，系统特 征方程有两个根的实部为正。
第三章劳斯判据1
大范围稳定
小范围稳定
图示用曲线表示稳定性的概念和定义
2
劳斯阵列
设系统的特征方程为 D( s) a0 s n a1s n 1 a2 s n 2 ... an 1s an 0 第一列符号改变的次数等于特征方程正实部根的个数
sn s n 1 s
n 2
a0 a1
a2 a3
a4 a5
s n 3
s0
a 1a 2 a 0 a 3 a 1a 4 a 0 a 5 a 1a 6 a 0 a 7 c 13 c 23 c 33 a1 a1 a1 c 13a 3 a 1c 23 c 13a 5 a 1c 33 c 13a 7 a 1c 43 c 14 c 24 c 34 c 13 c 13 c 13
③ 解辅助方程得对称根: 错啦!!! s1,2=±j
劳斯阵列出现全零行:
大小相等符号相反的实根
系统在s平面有对称分布的根
共轭虚根
对称于实轴的两对共轭复根
注意两种特殊情况的处理：
1）某行的 第一列项为0 ，而其余各项不为0或
不全为0。用因子（s+a）乘原特征方程（其中a为任
意正数），或用很小的正数代替零元素，然后对新特 征方程应用劳斯判据。
解辅助方程可得共轭纯虚根：
F (s) 2s 8s 4 0
4
2
s1.2 j 0.586 j0.766 s3.4 j 3.414 j1.848
劳斯判据总结
3-1 稳定性1、稳定性的概念2、判别系统稳定性的基本原则线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。
当有一个根落在右半部，系统不稳定。
当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
3-2 劳斯稳定判据劳斯判据劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：553(00122110->=++⋅⋅⋅+++---a a S a S a S a S a n n n n n检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。
可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。
2）按系统的特征方程式列写劳斯表3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、a 1、b 1、c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。
通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
※※ 劳斯判据特殊情况· I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
· II ）劳斯表中出现全零行表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。
这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
劳斯判据特征方程
劳斯判据特征方程1. 劳斯判据的定义劳斯判据是一种用于判断线性时不变系统稳定性的方法。
在控制系统理论中，稳定性是一个重要的概念，它决定了系统的可控性和可观性。
劳斯判据通过特征方程的系数，判断系统的稳定性。
2. 特征方程的定义特征方程是描述线性时不变系统的动态特性的方程。
对于一个n阶线性时不变系统，其特征方程可以表示为：a n s n+a n−1s n−1+...+a1s+a0=0其中，s是复变量，a n,a n−1,...,a1,a0是特征方程的系数。
特征方程的根决定了系统的稳定性和动态响应。
3. 劳斯判据的推导劳斯判据是通过特征方程的系数来判断线性时不变系统的稳定性的方法。
它的推导过程如下：1.将特征方程的系数按照奇偶次数分成两组，分别记为A和B。
如果特征方程的次数是奇数，则A包含所有系数，B为空集。
如果特征方程的次数是偶数，则A包含所有偶次系数和常数项，B包含所有奇次系数。
2.构造劳斯表，表格的第一行是特征方程的系数，从左到右依次排列。
第二行是A的系数，从左到右依次排列。
第三行是B的系数，从右到左依次排列。
3.从第四行开始，按照以下规则填写劳斯表的每一行：–第一列的元素是特征方程的次数。
–第二列的元素是A的系数除以第一列的元素。
–其余列的元素是通过以下公式计算得到：d1d3−d2d2d1其中，d1是上一行第二列的元素，d2是上一行第三列的元素，d3是上一行第二列以后的元素。
4.继续填写劳斯表的下一行，直到最后一行。
如果最后一行的元素都是正数或都是负数，则系统是稳定的。
如果最后一行的元素既有正数又有负数，则系统是不稳定的。
4. 劳斯判据的应用劳斯判据可以用于判断线性时不变系统的稳定性。
它可以帮助工程师设计控制系统，保证系统的稳定性。
在实际应用中，劳斯判据可以通过计算特征方程的系数，构造劳斯表，然后根据劳斯表的填写规则来判断系统的稳定性。
这个过程可以通过计算机软件来实现，提高计算的准确性和效率。
5.2 Routh(劳斯)稳定判据
例 控制系统特征方程如下，判断系统稳定性。
2 s 2 s 8s 3s 2 0
4
3
2
Routh表为
s4 2 8 2
s3
s2
2
3
0
0
2 2 2 0 28 23 2 5 2 2
s1
5 3 2 2 11 5 5
0
0
s0
2
0
0
故系统稳定。
例3
s4 1
Sn S n 1 S n2 S n 3 S2 S1 S0
a0 a1 b1 c1
a2 a3 b2 c2
a4 a5 b3 c3
a6 a7 a4
d1 e1 f1
d2 e2
d3
2. Routh稳定判据
• Routh判据
– Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系 统特征方程具有正实部特征根的个数。
s3 5 s2 4.8
s 5s 8s 16 s 20 0
8
16
5 8 1 16 24 4. 8 5 5
4.8 16 5 20 4.83 4.8
4
3
2
20
0 0 0 0
20 0 0
s1 –4.83 s0 20
第一列符号改变两次，说明有两个根在右半 平面，系统不稳定。
必要条件
• 定理：对特征方程
an sn an1sn1 a1s a0 0
• 系统稳定的必要条件是：特征方程各项系 数为正，且不缺项。
二、系统稳定的充要条件
• 1. Routh表 • 将式(5.2.1)所示的系统特征方程式的系数按下列形式排 列成Routh表：
劳斯判据
来代替这个零，从而使劳斯阵列表可以继续运算下去（否则
下一行将出现∞）。如果e的上下两个系数均为正数，则说 明系统特征方程有一对虚根，系统处干临界状态；如果e的
上下两个系数的符号不同，则说明这里有一个符号变化过程， 则系统不稳定，不稳定根的个数由符号变化次数决定。
s1
↓求导数
1
16
10
160
0
0
s0
20s + 0
20
0
160
辅助多项式
s2
构成新行
SUCCESS
THANK YOU
2020/2/4
从上表第一列可以看出，各系数均未变号，所以没有
特征根位于右半平面。由辅助多项式知道10s 2 + 160 = 0有 一对共轭虚根为±j4。
例3.7 特征方程式为
s5 2s4 3s3 6s2 4s 8 0
的。
(4) 只要-pi中有一个为零，或-s i中有一个为零
（即有一对虚根），则式(3.60)不满足。当t→∞时，系统 输出或者为一常值，或者为等幅振荡，不能恢复原平衡状态， 这时系统处于稳定的临界状态。
总结上述，可以得出如下结论：
线性系统稳定的充分必要条件
是它的所有特征根均为负实数，或
具有负的实数部分。
ansn an1sn1 L a1s a0 0
设上式有k个实根-pi （i=1，2，…，k），r对共轭
复数根(-s i±jw i ) (i=1，2，…，r)，k+2r=n，则齐次方
程式(3.59)解的k 一般式r为
c(t) Cie pit eit ( Ai cosit Bi sin it)
劳斯判据
三、劳斯判据
根据稳定的充要条件来判别系统的稳定性， 需要求出系统的全部特征根。对于高阶系 统，求跟的工作量很大，因此，希望使用 一种间接判断系统特征根是否全部位于s左 半平面的代替方法。 劳斯和赫尔维茨分别于1877年和1895年独立 提出了判断系统稳定的代数判据，称为劳 斯-赫尔维茨稳定判据。
注意：该判据为稳定的必要条件，故通常用来判断系 统不稳定的情况，而不能判断系统稳定。
D( s) a0 s a1s
n
n 1
... an1s an 0
三、劳斯判据
2、劳斯判据（1977年由Routh提出的代数判据） ①系统的特征方程 D(s) a0 s n a1s n1 ... an1s an 0 各项系数均为正； ②按特征方程的系数列些劳斯表 s | a a a a a a a s | a a a a a a a b s | b b b b a a s | c c c a a a | a b b b b s | c c b b s |
三、劳斯判据
1、赫尔维茨判据 设线性系统的特征方程为 则使线性系统稳定的必要条件是：上式各项系数为正。 证明： D( s) a0 s n a1s n1 ... an1s an K (s p1 )( s p2 )...( s pn ) 若所有的特征根均在s平面左边，则有 p j 0 或者说 p j 0 ，那么他们的多项式相乘后，系数一定也大于零。
二、系统稳定的充要பைடு நூலகம்件
M ( s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s) D( s) a0 s n a1s n 1 ... an 1s an 由于 (t ) 的拉氏变换为1，设 si (i 1,2....n)为特征根 n Ai M ( s ) 所以输出的拉氏变换为 C (s) 1 G(s) D( s) i 1 s si
劳斯判据
劳斯判据：
劳斯判据，Routh Criterion，又称为代数稳定判据。
劳斯于1877年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。
由此劳斯获得了亚当奖。
劳斯判据，这是一种代数判据方法。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性.由于不必求解方程，为系统的稳定性的判断带来了极大的便利。
定义
假若劳斯阵列表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面。
假若第一列系数有负数，则第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。
劳斯判据总结
3-1 稳定性1、稳定性的概念2、判别系统稳定性的基本原则线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。
当有一个根落在右半部，系统不稳定。
当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
3-2 劳斯稳定判据劳斯判据劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：553(00122110->=++⋅⋅⋅+++---a a S a S a S a S a n n n n n检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。
可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。
2）按系统的特征方程式列写劳斯表3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、a 1、b 1、c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。
通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
※※ 劳斯判据特殊情况· I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
· II ）劳斯表中出现全零行表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。
这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
最新9第九讲劳斯判据根轨迹幅值和相角方程汇总
特征方程:
1+ G(s)H (s) = 0
R+ E G
C
-
或 GH ( s ) = - 1 + 0 j
C′ H
图.8.1 一般的反馈控制系统
写出其幅值和相角方程：
| GH ( s ) |= 1
GH ( s ) = - 180 o
s n-3 : c1 c2 c3 c4 L
s n-4 : d1 d2 d3 d4 L
M M M M M MMM
d1
=
c1b2 - b1c2 c1
d2
=
c1b3 - b1c3 c1
d3
=
c1b4
- b1c4 c1
s 2 : e1 e2 e3 s1 : f1 f2 . s0 : g1 . .
.L .L .L
-0.5
K=0.5
-0.5
图.9.7 随着增益变化的闭环极点的位置
例2
GH (s43;1) + 2)(s + 3)
解:
1 画出s平面； 2 将开环极点和零点标记在s平面上； 3 找出实轴上的根轨迹； 4 计算根轨迹上特定闭环极点的增益值。
5 确定根轨迹的起始点和终止点位置。 ( k = 0 )
2
s4 + 3s3 + s2 + 3s +1 = 0
s4
1
11
s3
3
s2
3
某行有一个系数
1 为零,用无穷小数
s1
3 - 3
0
ε代替,最后取极 限
s0
1
可见第1列的符号改变了2次，有2个根位于
系统稳定性分析—劳斯稳定判据
© BIP
图7 K=15时系统的单位阶跃响应曲线
No.16
© BIP
图8 K=20时系统的单位阶跃响应曲线
No.17
© BIP
例题2：液位控制系统的稳定性分析。
进水
阀门
进水阀门的 传递函数K3
减速器
+ 电位器
-
连杆
执行电机和 减速器的传
递函数
K2/S(TS+1)
电动机
放大器
控制对象水箱的
No.8
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三、代数稳定判据
劳斯稳定判据 赫尔维滋稳定判据
No.9
© BIP
1、劳斯稳定判据的描述
设闭环系统特征方程为：D(s) a0sn a1sn1 an1s an ， s1, s2,sn 为系统特征方程的根。
要使所有的特征根全部具有负实部，劳斯判据给出系统 稳定的充要条件是：
0
x0 k 8
要使系统稳定，必须
①系数皆大于0，k 8
②劳斯阵第一列皆大于0
有
18 k
5
0
k
18 8
k
18
k 8
所以，此时k的取值范围为: 8 k 18
© BIP
No.30
课程小结：
系统稳定性的基本概念及稳定条件； 劳斯判据的判断对象、方法及步骤； 如何应用劳斯判据进行系统绝对稳定性和相 对稳定性的分析。
（1）特征方程的各项系数 a0 0, a1 0,, an 0 ； （2）劳斯阵列中第一列的所有元素均为正数。
No.10
© BIP
D(s) aosn a1sn1 a2sn2 an1s an
劳斯判据判定稳定性
劳斯判据判定稳定性劳斯判据即Routh-Hurwitz判据一、系统稳定的必要条件判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
于是表的计算无法继续。
为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。
若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。
此时，系统为临界稳定系统。
2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。
此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。
这样，表中的其余各元就可以计算下去。
出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。
这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。
三、相对稳定性的检验对于稳定的系统，运用判据还可以检验系统的相对稳定性，采用以下方法：1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s=z-（（（为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程。
5.2 Routh(劳斯)稳定判据
• Routh判据是基于方程式根和系数的关系建 立的。 • 通过对系统特征方程式的各项系数进行代 数运算，得出全部根具有负实部的条件， 从而判断系统的稳定性。 • 这种稳定判据又称代数判据。
一、系统稳定的必要条件
• 设系统特征方程为：
(5.2.1)
• 将式<5. 2. 1)中各项同除以Qn并分解因式，得
• 例4设系统的特征方程为 D(s)=s5+2s4+24s3+48s2-25s-50=0 试判别系统的稳定性。 解 根据特征方程的各项系数，列出Routh表：
• 由于第一列各元符号不完全一致，所以系 统不稳定。第一列各元符号改变次数为2， 因此有两个具有正实部的根。 • 其实，从特征方程各项系数不全为正，即 可知系统是不稳定的。 • 若ε 上下各元符号不变，且第一列元符号 均为正，则有共扼虚根，此时系统是临界 稳定的，而非渐近稳定。
• 式（5.2. 7）中，由a1a2-a0a3＞0可看出，在a3,a2和a0均为正 的情况下，若a1为负，则不能满足上式，因此必须a1＞0,其 实，这就是a3,a2,a1,a0均应大于零。 • 式(5.2.7)中，充要条件之一a1a2-a0a3 ＞0可改写为 a1a2＞a0a3 • 它表示中间二项系数之积应大于前后两项系数之积。 • 因此，对于三阶系统，只要校验其特征方程的系数，若不满 足上述条件，就可立即判断为不稳定；若满足上述条件，且 各项系数均为正，则为稳定。
• 例3设某系统的特征方程
• 试确定待定参数λ 及μ ，以便使系统稳定。 • 解根据特征方程的各项系数，列出Routh表：
• 根据Routh表，由系统稳定的充要条件，有
• 所以，使系统稳定的叔产的取值范围为 λ ＞0及μ ＞1
劳斯判据辅助方程
劳斯判据辅助方程劳斯判据（Routh–Hurwitz criterion）是一种用于判断线性时不变系统的稳定性的方法。
它是由爱德华·约瑟夫·劳斯（Edward John Routh）和安恩斯·亨利·赫尔维兹（Aneurin Bevan Hurwitz）分别在1895年和1877年提出的。
劳斯判据的基本思想是通过构造一个与原方程相关的辅助多项式来判断原方程的根的位置。
我们考虑一个线性时不变系统的传递函数如下：H(s) = a_ns^n + a_{n-1}s^{n-1} + ... + a_1s + a_0其中s是复变量，a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0是实数系数。
我们的目标是判断这个系统是否稳定，也就是判断H(s)的根的位置是否都在左半平面。
为了达到这个目标，我们首先构造一个与原方程相关的辅助多项式如下：F(s) = a_ns^n-1 + a_{n-2}s^{n-3} + ... + a_2s^0辅助多项式F(s)的系数可以通过一些规则来计算。
首先，我们计算F(s)的第一行系数：b_1=a_{n-1}b_2=a_{n-3}b_3=a_{n-5}...b_k=a_{n-(2k-1)}...然后，我们计算F(s)的剩余行系数：c_1 = b_{2} - \frac{a_{n-1}b_1}{a_n}c_2 = b_{4} - \frac{a_{n-1}b_2}{a_n}c_3 = b_{6} - \frac{a_{n-1}b_3}{a_n}...c_k = b_{2k} - \frac{a_{n-1}b_k}{a_n}...这样得到的辅助多项式F(s)的各行系数分别为b_1,c_1,b_2,c_2,b_3,c_3,...。
然后，我们可以根据劳斯判据的规则进行判断：1.如果F(s)的所有系数都是非零实数，那么系统是稳定的。
2.如果F(s)的其中一行全部是零，那么系统是不稳定的。
3.2劳斯判据
3. 劳斯判据
必要
代数判据
特征方程中各项系数>0
充分
劳斯阵列中第一列所有项>0
劳斯判据的两种特殊情况：
1、某一行第一个元素为零，而其余各 元素均不为零、或部分不为零； 解决 用一个很小的正数 代替这个等 方法 于0的元素
2、某一行所有元素均为零。 解决 方法 将该行的上一行元素构成辅助多 项式，并求导，用其系数代替全 为零的行；
G2
s s
1 G1 sG2
m 1 n1
b0 s
m n
b1 s a1s
s 0
n
bm 1 s bm a n1 s a n
n1
a0s
a
a1s
m
a n1 s a n X
o
s
b0 s
b1 s
m 1
a——稳定的平衡点
d
a
Байду номын сангаас
e
b、c——不稳定平衡点
控制系统的稳定性的另一种定义：
若控制系统在任何足够小的初始 偏差作用下，其过渡过程随着时间的 推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复 原平衡状态的性能，则称该系统稳定。 否则，称该系统不稳定。
控制理论中所讨论的稳定性 其实都是指自由振荡下的稳定性
也就是讨论输入为零，仅存 在初始偏差时的稳定性，即 讨论自由振荡是收敛的还是 发散的。
系统特征方程为：
3 2
有： 6 K 0 K 0
D s s 3 s 2 s K 0
系统稳定的充要条件： 必要条件： K 6 0 K 0
劳斯判据的两种特殊情况：
Routh稳定判据
s = s +1 第24页
用Matlab进行两个多项式的乘积：
D( s ) = 0.025s3 + 0.35s2 + s + K = 0
第2问中，设z=s+1,也就是s=z-1
D( z ) = 0.025(z − 1)3 + 0.35(z − 1)2 + (z − 1) + K = 0
s2 D1 D2 s1 E1 s0 F1
A1
=
an−1an−2 − anan−3 an−1
A2
=
an−1an−4 − anan−5 an−1
A3
=
an−1an−6 − anan−7 an−1
一直进行到其余的值全部等于零为止。第四行各元由下式计 算：
第8页
sn an an−2 an−4 an−6 sn−1 an−1 an−3 an−5 an−7 sn−2 A1 A2 A3 A4 sn−3 B1 B2 B3 B4
s3
08
906 0 即8和96代替，继续进行运算
s2
24 − 50 0
s1 112.7 0
s
− 50
符号变化一次
此表第一列各元符号改变次数为1，因此断定该系统包
含一个具有正实部的特征根，系统是不稳定的。
解辅助方程 2s4 + 48s2 − 50 = 0 s=±1；s=±j5
即得出两组数值相同、符号相异的根。这两对根是原方程
an 0,an−1 0,...,a1 0,a0 0
第5页
当然，由式还可看出，仅仅有各项系数ai >0，还不一定能 判定s1, s2,…, sn均具有负实部，也许特征根中有正有负，它 们组合起来仍能满足各式。上述条件仅仅是必要条件。
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3-1 稳定性
1、稳定性的概念
2、判别系统稳定性的基本原则
线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。
当有一个根落在右半部，系统不稳定。
当有根落在虚轴上（不包括原点），此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
3-2 劳斯稳定判据
劳斯判据
劳斯判据步骤如下：
1）列出系统特征方程：
a o S n - a i S nd a^ 0 a。
0 （3-55
检查各项系数是否大于0,若是，进行第二步。
可见，a
i，i =12川是满足系统稳定的必要条件。
2）按系统的特征方程式列写劳斯表
3 ）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a。
、
a l、
b l、
c l、的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳
定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。
通常a o 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征
方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
探※劳斯判据特殊情况
•I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零用一个很小的正数；来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表
如果第一列；上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程
中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
•I I )劳斯表中出现全零行
表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行，完成劳斯表的排列。
这些大小相等、符号相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
例如：控制系统的特征方程为
s6 2s5 8s412s320s216s 16 = 0 列劳斯表
S6 1 8 20 16 S5 2 12 16 0 S4 2 12 16
S30 0 0
8 24
S2 6 16
S18
0 3
S016
由于s3这一行全为0，用上- -行组成辅助多项式
d［⑸=8s324s，由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方ds
程在S右半平面上没有特征根。
令F(s)=0，
F (s)二2s4 12s2 16s 二2(s46s2 8) = 2(s2 2)(s2 4) = 0 得岂2二- j「2, S3,4二- j2 .求得两对大小相等、符号相反的根
_ j2
，显然这个系统处于临界稳定状态
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