劳斯判据总结

3-1 稳定性

1、稳定性的概念

2、判别系统稳定性的基本原则

线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。

由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s平面的左半平面。

显然，稳定性与零点无关。当有一个根落在右半部，系统不稳定。当有根落在虚轴上（不包括原点），此时为临界稳定，系统产生持续振荡。3-2 劳斯稳定判据

劳斯判据

劳斯判据步骤如下：

1）列出系统特征方程：

a o S n - a i S nd a^ 0 a。0 （3-55

检查各项系数是否大于0,若是，进行第二步。

可见，a

i，i =12川是满足系统稳定的必要条件。

2）按系统的特征方程式列写劳斯表

3 ）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a。、

a l、

b l、

c l、的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳

定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。

通常a o 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。

如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征

方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。

探※劳斯判据特殊情况

•I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零用一个很小的正数；来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表

如果第一列；上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程

中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。

•I I )劳斯表中出现全零行

表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。

利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行，完成劳斯表的排列。这些大小相等、符号相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。

例如：控制系统的特征方程为

s6 2s5 8s412s320s216s 16 = 0 列劳斯表

S6 1 8 20 16 S5 2 12 16 0 S4 2 12 16

S30 0 0

8 24

S2 6 16

S18

0 3

S016

由于s3这一行全为0，用上- -行组成辅助多项式

d［⑸=8s324s，由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方ds

程在S右半平面上没有特征根。令F(s)=0，

F (s)二2s4 12s2 16s 二2(s46s2 8) = 2(s2 2)(s2 4) = 0 得岂2二- j「2, S3,4二- j2 .求得两对大小相等、符号相反的根

_ j2

，显然这个系统处于临界稳定状态

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