【创新设计】2011届高三数学一轮复习第4单元 4.2 向量的分解及坐标运算随堂训练理

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平面向量的正交分解及坐标运算

混合积的坐标运算
$overset{longrightarrow}{AB} cdot (overset{longrightarrow}{AC} times overset{longrightarrow}{BC}) = (x_{2}x_{1})(y_{3}-y_{1}) - (x_{3}-x_{1})(y_{2}-
以另一个向量的模。
03 平面向量的坐标运算
向量的加法运算
总结词
向量加法是向量运算中的基本运算之一，其结果仍为向量，且满足平行四边形法则。
详细描述
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量。向量加法满足平行四边形法则，即以两个不共线的向量为邻边作平行四边形，其对角线所表示的向量即为这两个向量的和。
向量的模
表示向量大小的长度，记作$|overrightarrow{a}|$ 或$a$，计算公式为$a = sqrt{x^2 + y^2}$。
数乘
实数与向量的乘法，表示为$lambda overrightarrow{a}$，其中$lambda$为实数，表示将向量$overrightarrow{a}$按比例放大或缩小。
04 平面向量的向量积运算
向量积的定义
向量积的定义
向量积是一个向量运算，其结果为一个向量，记作$vec{A} times vec{B}$。它垂直于作为运算对象的两个向量$vec{A}$和$vec{B}$，并且其模长为$|vec{A} times vec{B}| = |A||B|sintheta$，其中$theta$为 $vec{A}$和$vec{B}$之间的夹角。
未来发展方向和挑战
算法优化
随着计算技术的发展，平面向量的正交分解及坐标运算的算法优化成为研究热点，以提高运算效率和精度。

高中数学_平面向量的正交分解及坐标运算教学设计学情分析教材分析课后反思

2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算一、导1.轴上向量坐标及其运算2.平面向量基本定理3.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作向量的正交分解。

我们通常放在直角坐标系中研究向量的正交分解。

4.以O 为起点,P(3,2)为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？二、思（按照下面的导学提纲阅读教材，自学深思，完成下列问题。

）1.在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O 的向量如何用坐标来表示?2.如何判断两个向量是互相垂直？3.什么叫做正交基底？4.什么叫做正交分解？5.向量的直角坐标运算),a ,a (21=)b ,b (21=，=+_______；=-_______； =λ--------------1122a e e λλ=+6. 已知),y ,x (B ),y ,x (A 2211求向量的坐标。

7. 在直角坐标系中xOy 中，已知点),y ,x (B ),y ,x (A 2211求线段AB 中点的坐标。

8. 在直角坐标系xOy 中，已知点)4,2-(B ),2,3(A ，求向量+的坐标和长度。

9. 已知平行四边形ABCD 的三个顶点,4,3C ,3,1-B ,12-A ）（）（），（求顶点D 的坐标。

三、议讨论“思”中的问题。

四、展我展示！我补充！我质疑！五、评1.如果两个向量的基线互相垂直，则称两个向量互相垂直。

2.若基底的两个基向量互相垂直，则称该基底为正交基底。

3.在正交基底下分解向量，叫做正交分解。

4.若)a ,a (A 21，)b ,b (B 21，则)a -b ,a -b (2211=，AB 中点坐标为)2b b ,2a a (2121++ 六．检课本103页练习A 第2题、第4题七、练1、《同步练习册》第52页基础巩固、第53页能力提升2、整理笔记当堂检测向量的正交分解与坐标运算1.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=( )A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b2设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为( )A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)3.已知2a+b=(-4,3),a-2b=(3,4),求向量a+b的坐标。

苏教版高三数学复习课件4.2 向量的坐标表示

【知识拓展】
线段的定比分点如果点P满足，点P叫做有向线段的定比分
点．当P1、P2的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)且λ≠－1时，则P的坐标(x，y) 可由下面的公式求
出
这个公式叫做线段的定比分点公式．
1．平面向量基本定理及坐标表示
(1)平面向量基本定理

定理：如果e1，e2是同一平面内的两个
整理得，k＝ ∴kmax＝
，当且仅当t＝，即t＝1时取等号，
(2)假设存在正实数k，t，使x∥y，则
化简得
＝0，即t3＋t＋k＝0.
(2)因为k、t为正实数，故不存在正数k使上式成立，从而不存在k、t，使 x∥y.,
【状元笔记】
向量的模与数量积．向量的模与数量积之间有关系式|a|2＝a2＝a· a，这是一个简单而重要但又容易用错的地方，由这个关系还可以得到如
也为
点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法．解题时要注
意共线向
量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造
函数和方

【例3】向量
＝(k,12)，
＝(4,5)，
＝(10，k)，
当k为何值时，A、B、C三点共线．

思路点拨：根据向量共线的充要条件，若A、B、C三点共线，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②
【规律方法总结】
1．向量平行的充要条件是建立向量的坐标及其运算的理论依据；平面向
量的基本定理是平面向量坐标表示的基础．
2．利用平面向量的基本定理，可将几何问题转化为向量问题，其具体过程大致为： (1)适当选择基底(两个彼此不共线向量)； (2)用基底显示几何问题的条件和结论； (3)利用共线向量的充要条件、向量垂直的充要条件，通过向量的运算解决平行、

高考数学知识点之空间向量的正交分解及坐标

高考数学知识点之空间向量的正交分解及坐标空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。

向量的大小叫做向量的长度或模。

下面小编给大家介绍空间向量的正交分解及坐标，赶紧来看看吧!空间向量的正交分解的定义：对空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量，使，如果两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解。

空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系O—xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使,初中学习方法，有序实数组(x，y，z)叫作向量A 在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记作A(x，y，z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。

空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使。

若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使。

基底在向量中的应用：(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一.(2)在空间中选择基底主要有以下几个特点：①不共面;②有公共起点;③其长度及两两夹角已知.(3)用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。

用已知向量表示未知向量：用已知向量表示未知向量，一定要结合图像，可从以下角度如手：(1)要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来;(2)把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系;(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求向量共线，可用数乘。

高考数学一轮复习 4.2 平面向量的基本定理及坐标表示课件理新人教A版

第三十三页，共59页。
解得 x＝4＋
5 5
或 x＝4－
5 5
.
y＝1＋2 5 5
y＝1－2
5 5
∴d＝20＋5 5，5＋52 5或 d＝20－5 5，5－52 5.
第三十四页，共59页。
(2013·北京西城期末)已知向量 a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝ (3,2)．若向量 c 与向量 ka＋b 共线，则实数 k＝________.
第九页，共59页。
问题探究 1：平面内任一向量用两已知不共线向量 e1、e2 表示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量 a、b 都能作一组基底吗？
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能作基底．
问题探究 2：向量的坐标与点的坐标有何不同？提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点 O 为起点的向量O→A的坐标与点 A 的坐标相同．
第三页，共59页。
考情分析
平面向量的坐标表示是通过坐标运算将几何问题转化为代数问题来解决．特别地，用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点，属中低档题目，如 2013 年辽宁卷 3、重庆卷 10，常与向量的数量积、运算等交汇命题．注重对转化与化归、函数与方程思想的考查，如 2013 年江苏卷 15、天津卷 12 等．
则x<0 y>0
且(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，
∴xy＝＝12＋＋33tt ，∴12＋＋33tt<>00 ，∴－23<t<－13.
第二十八页，共59页。
(2)因为O→A＝(1,2)，P→B＝O→B－O→P＝(3－3t,3－3t)，若四边形 OABP 为平行四边形，则O→A＝P→B. ∵33－－33tt＝＝12 ，无解， ∴四边形 OABP 不可能为平行四边形.

《创新设计》2014-2015学年高中数学同步系列(湘教版,必修二)：4.4向量的分解与坐标表示

高中数学· 必修2· 湘教版
第 4章
向量
4.4 向量的分解与坐标表示
预习导学
• [学习目标] • 1 ．理解向量的线性组合及其意义，会用基表示向量． • 2．掌握向量的坐标表示及其坐标运算． • 3．掌握向量平行的坐标表示及其应用． • 4．理解并掌握平面向量基本定理．
预习导学
[知识链接] 1．如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量 → ，CD → ，EF → ，GH → ，HG → ，a. AB
•规律方法 (1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合． •(2) 将向量 c 用 a ， b 表示，常采用待定系数法，其基本思路是设 c ＝ xa ＋ yb ，其中 x ， y∈R ，然后得到关于x，y的方程组求解．
课堂讲义
要点一向量的坐标运算例1 已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)．求：
1 1 (1)3a＋4b；(2)a－3b；(3) a－ b. 2 4 解 (1)3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－
6,19)． (2)a－3b＝(2,1)－3(－3,4)＝(2,1)－(－9,12)＝(11，－11)．
课堂讲义
跟踪演练5 如图，在△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，D是 → → → 将 OB 分成2∶1的一个分点，DC和OA交于点E，设 OA ＝a， OB ＝b.
→ ，DC →； (1)用a，b表示向量OC → → (2)若OE＝λOA，求实数λ的值．
课堂讲义
解
(1)∵A为BC中点，
→ 1 → → → ∴OA＝2(OB＋OC)，OC＝2a－b. 2 5 → → → → 2→ DC＝OC－OD＝OC－3OB＝2a－b－3b＝2a－3b.

最新人教版高中数学必修4第二章《平面向量的正交分解及坐标表示

最新人教版高中数学必修4第二章《平面向量的正交分解及坐标表示教学设计整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．于是，平面内的任一向量a都可由某、y唯一确定，而有序数对(某，y)正好是向量a的终点的坐标，这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想．三维目标1．通过探究活动，能推导并理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达．3．了解向量的夹角与垂直的概念，并能应用于平面向量的正交分解中，会把向量正交分解，会用坐标表示向量．重点难点教学重点：平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示．教学难点：平面向量基本定理的运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v，可分解为沿水平方向的速度vcoα和沿竖直方向的速度vinα.从这两个实例可以看出，把一个向量分解到两个不同的方向，特别是作正交分解，即在两个互相垂直的方向上进行分解，是解决问题的一种十分重要的手段．如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，那么a与e1、e2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底，是否会给我们带来更方便的研究呢？思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理．教师可以通过对多个向量进行分解或者合成，在黑板上给出图象进行演示和讲解．如果条件允许，用多媒体教学，通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？②如图1，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系．图1→→→活动：如图1，在平面内任取一点O，作OA＝e1，OB＝e2，OC＝a.过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点→→→→N.由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM＝λ1e1，ON＝λ2e2.由于OC＝OM＋→ON，所以a＝λ1e1＋λ2e2.也就是说，任一向量a都可以表示成λ1e1＋λ2e2的形式．由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来．当e1、e2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便．由此可得：平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.定理说明：(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一．讨论结果：①可以．②a＝λ1e1＋λ2e2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动：引导学生结合向量的定义和性质，思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的，结合图形来总结规律．教师通过提问来了解学生总结的情况，对回答正确的学生进行表扬，对回答不全面的学生给予提示和鼓励．然后教师给出总结性的结论：不共线向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：→→已知两个非零向量a和b(如图2)，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．图2显然，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．因此，两非零向量的夹角在区间[0°，180°]内．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2，使a＝λ1a1＋λ2a2.在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．例如，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形．在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便．讨论结果：①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°，180°]内；向量与直线的夹角不一样．②可以．提出问题①我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数即它的坐标表示.对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？②在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？活动：如图3，在平面直角坐标系中，分别取与某轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数某、y，使得图3a＝某i＋yj.①这样，平面内的任一向量a都可由某、y唯一确定，我们把有序数对(某，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(某，y)．②其中某叫做a在某轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示．显然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．教师应引导学生特别注意以下几点：(1)向量a与有序实数对(某，y)一一对应．(2)向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其→相对位置有关系．如图所示，A1B1是表示a的有向线段，A1、B1的坐标分别为(某1，y1)、(某2，y2)，则向量a的坐标为某＝某2－某1，y＝y2－y1，即a的坐标为(某2－某1，y2－y1)．(3)为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点，这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定了，即点A的坐标就是向量a的坐标，流程表示如下：→a＝某i＋yja的坐标为某，ya＝OA，A某，y讨论结果：①平面内的任一向量a都可由某、y唯一确定，我们把有序数对(某，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(某，y)．②是一一对应的．应用示例思路11→→例1如图4，在ABCD中，AB＝a，AD＝b，H、M是AD、DC的中点，F 使BF＝BC，3→→以a，b为基底分解向量AM与HF.图4活动：教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解，让学生自己动手、动脑．教师可以让学生到黑板上板书步骤，并对书写认真且正确的同学提出表扬，对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励．解：由H、M、F所在位置，有1→→→→1→→1→AM＝AD＋DM＝AD＋DC＝AD＋AB＝b＋a.222→→→→→→→1→1→HF＝AF－AH＝AB＋BF－AH＝AB＋BC－AD321→1→1→＝AB＋AD－AD＝a－b.326→→→→点评：以a、b为基底分解向量AM与HF，实为用a与b表示向量AM与HF.变式训练已知向量e1、e2(如图5(1))，求作向量－2.5e1＋3e2.图5→→作法：(1)如图5(2)，任取一点O，作OA＝－2.5e1，OB＝3e2.(2)作OACB.→故OC就是求作的向量.例2如图6，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标．图6活动：本例要求用基底i、j表示a、b、c、d，其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合．一种方法是把a正交分解，看a在某轴、y轴上的分向量的大小．把向量a用i、j表示出来，进而得到向量a的坐标．另一种方法是把向量a移到坐标原点，则向量a终点的坐标就是向量a的坐标．同样的方法，可以得到向量b、c、d的坐标．另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a与b关于y轴对称，a与c关于坐标原点中心对称，a与d关于某轴对称等．由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标．→→解：由图可知，a＝AA1＋AA2＝某i＋yj，∴a＝(2,3)．同理，b＝－2i＋3j＝(－2,3)；c＝－2i－3j＝(－2，－3)；d＝2i－3j＝(2，－3)．点评：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标.变式训练→→→i，j是两个不共线的向量，已知AB＝3i＋2j，CB＝i＋λj，CD＝－2i＋j，若A、B、D三点共线，试求实数λ的值．→→→解：∵BD＝CD－CB＝(－2i＋j)－(i＋λj)＝－3i＋(1－λ)j，又∵A、B、D三点共线，→→→→∴向量AB与BD共线．因此存在实数υ，λ)j.∵i与j是两个不共线的向量，33,故(1)2,1,∴∴当A、B、D三点共线时，λ＝3.3.例3下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中图6活动：本例要求用基底i、j表示a、b、c、d，其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合．一种方法是把a正交分解，看a在某轴、y轴上的分向量的大小．把向量a用i、j表示出来，进而得到向量a的坐标．另一种方法是把向量a移到坐标原点，则向量a终点的坐标就是向量a的坐标．同样的方法，可以得到向量b、c、d的坐标．另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a与b关于y轴对称，a与c关于坐标原点中心对称，a与d关于某轴对称等．由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标．→→解：由图可知，a＝AA1＋AA2＝某i＋yj，∴a＝(2,3)．同理，b＝－2i＋3j＝(－2,3)；c＝－2i－3j＝(－2，－3)；d＝2i－3j＝(2，－3)．点评：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标.变式训练→→→i，j是两个不共线的向量，已知AB＝3i＋2j，CB＝i＋λj，CD＝－2i＋j，若A、B、D三点共线，试求实数λ的值．→→→解：∵BD＝CD－CB＝(－2i＋j)－(i＋λj)＝－3i＋(1－λ)j，又∵A、B、D三点共线，→→→→∴向量AB与BD共线．因此存在实数υ，λ)j.∵i与j是两个不共线的向量，33,故(1)2,1,∴∴当A、B、D三点共线时，λ＝3.3.例3下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中。

向量的分解知识点总结

向量的分解知识点总结一、向量的基本概念向量是向量代数中的基本概念之一，它是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

向量可以在数学、物理、工程等领域中广泛应用，是研究力、速度、位移、位矢等物理量的重要工具。

在二维空间中，向量通常用坐标表示，如向量a=(a1,a2)表示在x轴方向的分量为a1，在y轴方向的分量为a2。

在三维空间中，向量可以用三个坐标表示，如向量a=(a1,a2,a3)表示在x轴、y轴和z轴方向的分量分别为a1、a2和a3。

除了用坐标表示，向量还可以用向量的模和方向角表示。

向量的模表示向量的大小，用|a|或||a||表示，向量的方向角表示向量与坐标轴之间的夹角，通常用α、β、γ表示。

二、向量的线性组合向量的线性组合是向量代数中的一个重要概念，它是指将若干个向量按照一定的比例相加得到的新向量。

设有n个向量a1,a2,...,an，实数λ1,λ2,...,λn，称向量b=λ1a1+λ2a2+...+λnan 为向量a1,a2,...,an的线性组合，其中λ1,λ2,...,λn称为向量a1,a2,...,an的系数。

向量的线性组合具有以下性质：1. 交换律：对于任意向量a,b，有a+b=b+a。

2. 结合律：对于任意向量a,b,c，有a+(b+c)=(a+b)+c。

3. 数乘结合律：对于任意向量a,实数λ,μ，有(λμ)a=λ(μa)。

4. 数乘分配律：对于任意向量a,b,实数λ,μ，有λ(a+b)=λa+λb。

5. 向量加法和数乘运算满足分配律。

三、向量的分解向量的分解是指将一个向量分解成若干个向量的线性组合，常见的向量分解有向量的基底分解和向量的正交分解。

1. 向量的基底分解设有向量a和一组线性无关的向量b1,b2,...,bn，如果向量a可以表示为向量b1,b2,...,bn的线性组合，即a=λ1b1+λ2b2+...+λnbn，则称向量a关于向量b1,b2,...,bn的基底分解。

初中数学知识点向量的坐标与分解

初中数学知识点向量的坐标与分解初中数学知识点：向量的坐标与分解向量是初中数学中重要的概念之一，它具有方向和大小，可以表示物体的位移、速度和力等物理量。

在向量的研究中，了解向量的坐标与分解是非常重要的。

本文将介绍向量的坐标表示方法和向量的分解技巧。

一、向量的坐标表示方法向量的坐标是用有序数对表示的，通常用(a, b)表示。

其中，a表示向量在水平方向，即x轴上的投影长度；b表示向量在垂直方向，即y 轴上的投影长度。

例如，假设有向量AB，点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，则向量AB的坐标表示为(Bx - Ax, By - Ay)。

其中，Bx和By分别表示点B的水平和垂直坐标，Ax和Ay分别表示点A的水平和垂直坐标。

二、向量的坐标操作1. 向量的相反向量向量的相反向量是指方向相反、大小相等的向量。

将一个向量的坐标中的元素取相反数，即可得到该向量的相反向量。

例如，向量AB的坐标为(a, b)，则向量BA的坐标为(-a, -b)。

2. 向量的相加向量的相加是指将两个向量的坐标分别相加，得到一个新的向量。

例如，设向量AB的坐标为(a₁, b₁)，向量CD的坐标为(a₂, b₂)，则向量AB + CD的坐标为(a₁ + a₂, b₁ + b₂)。

3. 向量的数乘向量的数乘是指将向量的坐标中的每个元素都乘以一个实数，得到一个新的向量。

例如，设向量AB的坐标为(a, b)，实数k表示一个常数，则向量kAB的坐标为(ka, kb)。

三、向量的分解向量的分解是指将一个向量拆解成两个分量的和，其中一个分量在某个方向上，另一个分量在该方向的垂直方向上。

1. 向量的水平和垂直分量设向量AB的坐标为(a, b)，将向量AB分解成水平和垂直分量的和。

水平分量的坐标为(a, 0)，垂直分量的坐标为(0, b)。

2. 向量的分解定理向量的分解定理是指将一个向量拆解成两个分量的和的公式表示。

设向量AB的坐标为(a, b)，将向量AB分解成向量AC和向量CB的和。

高考数学第一轮复习第四篇第2讲平面向量基本定理及坐标表示课件理新人教A版

3．平面向量(xiàngliàng)共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 a≠b 则 a∥b⇔ _x_1_y_2－__x_2_y_1＝__0___.
第三页，共18页。
1．对平面向量基本(jīběn)定理的理解
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) (3)(2013·广东卷改编)已知 a 是已知的平面向量且 a≠0.关于向量 a
1234 A.5 B.5 C.5 D.5
解析因为A→B＝A→N＋N→B ＝A→N＋C→N (x＝jiīě)A→N＋(C→A＋A→N)＝2A→N＋C→M＋M→A
＝所2A以→NA→－B＝14A→85BA→－NA－→M45A，→M，所以 λ＋μ＝45. 答案 D
第十页，共18页。
平面(píngmiàn)向量的
考
坐标运算
点
【例 2】已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设A→B＝a，
B→C＝b， C→A＝c，且C→M＝3c， C→N＝－2b.
(1)求 3a＋b－3c；(2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n；
(3)求 M，N 的坐标及向量M→N的坐标．
解析由已知得 a=(5,-5), b=(-6,-3), c=(1,8)
点
【例 3】平面内给定三个向量 a＝(3,2)，
审题路线
b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k；
（1）分别求出(a＋kc)
(2)若 d 满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ 5，与(2b－a)的坐标
求 d 的坐标．

2016届高考数学文科一轮复习课件：4-2平面向量的分解, 及向量的坐标表示

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二、平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底.由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 a 可表示成 a＝xi＋yj，由于 a 与数对（x，y）是一一对应的，因此把（x， y）叫做向量 a 的坐标，记作 a＝
(x，y) ，其中 x 叫做 a 在 x 轴上
(x2－x1，y2－y1) .
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课前自修
六、两个向量平行(共线)的充要条件
符号语言：若 b≠0，则 a∥b⇔ a＝λb . 坐标语言：设 a＝（x1， y1）， b＝（x2， y2 ）， b≠0，则 a∥b⇔(x1，y1)
x1＝λx2 ，＝λ(x2，y2)，即或 y ＝ λy 2 1
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λa 与 a 异向； λ＝
0 时，λa＝0
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五、向量坐标与点坐标的关系
当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若 A （x， y）， → ＝ ( x， y ) ；则OA → 坐标为终点坐标减去起点坐标，当向量起点不在原点时，向量AB →＝即若 A（x1，y1），B（x2，y2），则AB
a＋b＝(x1＋x2， → ＋BC → ＝AC → y1＋y2) (b＋c)，AB →
a－b＝a＋(－b)，AB＝－BA， ( x － x ， 1 2 a－b＝ → －OA → ＝AB → y1－y2) OB
→
λa 是一个向量．满
足： λ >0 时， λ a 数乘向量法与 a 同向； λ<0 时， λa＝(λx，λy) λ(μa)＝ (λμ)a， (λ＋μ)a＝ λa＋ μa ， λ(a ＋ b) ＝ λa ＋ λb ， a∥b a＝λb(b≠0)

4.2向量的分解与坐标运算名师课件

交点P的坐标。
P(3, 3)
例4. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足 OC αOA βOB ，其中α, β∈R，且 α+β=1，则点C的轨迹方程为（）D A．3x+2y－11=0 B．(x－1)2+(y－2)2=5 C．2x－y=0 D．x+2y－5=0
D
C
P
A
M
B
(1)设点 C 的坐标为(x0，y0)，
AC AD DB (3, 5) (6, 0) (9, 5) (x01, y05)
得 x0＝10 y0＝6 即点 C(10，6)
(2) ∵ AB AD
∴点 D 的轨迹为(x－1)2＋(y－1)2＝36 (y≠1) ∵M 为 AB 的中点 ∴P 分 BD 的比为 1
4.2向量的分解与坐标运算
中国人民大学附属中学
（1）平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底. 由平面向量的基本定理知，该平面内的任一
向量a 可表示成 a xi yj ，由于 a与数对 (x, y)是一一对应的，因此把(x, y)叫做向量a 的坐标，记作 a =(x, y)，其中x叫作 a 在x 轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标
因此， x n 0 ，也即 x 的取值范围是 ,0
当 x 1 时， y m n m 1 ，所以，
2
2
此时， y 的取值范围是 (1 , 3) ． 22
④若a x1, y1,b x2, y2 ,则 a // b x1y2 x2 y1 0
例1.已知平面向量a=(x, 1) ，b=(－x, x2)，则向量a+b ( C )

高中数学人教A版必修4.2-.3平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算课件

B、(i-m,j-n) D、(m+n,i+j)
高中数学人教A版必修4 .2-.3平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算课件
课堂总结:
1.向量的坐标的概念: 2.对向量坐标表示的理解:
(1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系； (3)相等的向量有相等的坐标.
-2
c
-3
-4
-5
A2
a
A
A1
i1 2 3 4 x
d
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解：
高中数学人教A版必修4 .2-.3平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算课件高中数学人教A版必修4 .2-.3平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算课件
22
22
22
22
5、已知a= 3,-1 ,b= -1,2 ,那么-3a-2b等于 B
A、7,1 B、-7，-1 C、-7,1 D、7，-1
6、已知B的坐标是m,n,AB 的坐标为(i,j),则点A
的坐标为 A
A、(m-i,n-j) C、(m+i,n+j)
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3.平面向量的坐标运算:
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A(x1, y1 )
y A(x1, y1 )
Oห้องสมุดไป่ตู้
x
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高三数学单元课时设计复习课件第37讲向量的分解与坐标运算

3答案
b 例 4[解](1)由已知得 A( ,0), B(0, b), k b b 则 AB ={ , b},于是 =2, b=2. ∴ k=1, b=2. k k 2 (2)由 f( x)> g( x),得 x+2> x - x-6, 即( x+2)( x-4)<0, 2 1 x x5 g( x ) 1 得-2< x<4, = = x+2+ -5 x2 x2 f ( x)
答案
例 2. 如图 , △ ABC 三个顶点的坐标分别为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , G 是 △ ABC 的重心,求点 G 的坐标.
解 :连结 CG 并延长交 AB 于点 D,则 CG=2GD,D 是 AB 的中点 .
例 2. 如图 , △ ABC 三个顶点的坐标分别为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , G 是 △ ABC 的重心,求点 G 的坐标.
分析 :连结 CG 并延长交 AB 于点 D, 则 CG=2GD, D 是 AB 的中点 . 利用向量的坐标分析 .
第 37 讲向量的分解与坐标运算
知识点拨
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1
例2
例3
练习巩固
第 37 讲向量的分解与坐标运算
平面向量基本定理:
e1 e2 e1
xe1
c
e2
方向进行分解, 并且这种分解是唯一的.
ye 2
平面内任一向量都可以按两个不共线向量 e1 , e2 的
把一个向量分解为两个互相垂直的向量 ,叫做向量正交分解,且基底取单位向量更好.

【创新设计】2011届高三数学一轮复习第4单元4.2向量的分解及坐标运算随堂训练理新人教B版

1， 3
1 2cosx
，且
a∥ b，则锐角
x 为(
)
π A.6
π B.4
π C. 3
5 D.12π
解析： ∵ a＝
3 Байду номын сангаасin x， 4 ， b＝
11 3， 2cosx
，且
a∥
b，
∴
1 2sin
xcos
x－
34×
1 3＝
0，
即 14sin 2x－ 14＝ 0， ∴sin 2x＝ 1.又 ∵ x 为锐角，
解析：设 D(x， y)，因为 AB∥ DC， AD∥ BC，所以
,
而 8(x－ 8)－ 8(y－ 6)＝ 0，
，所以
－ 2(x＋ 2)－ 2y＝ 0. 解之得 x＝ 0，y＝－ 2，故 D (0，－ 2)．
答案： (0，－ 2)
7．已知向量
＝ (5－ m，－ 3－ m)，若点 A、 B、 C 能构成三角形，
(2)四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的
t 值；若不能，请说明理由．
解答： (1)
＝ (1＋ 3t,2＋ 3t)．若 P 在 x 轴上，只需 2＋ 3t＝ 0， t＝－ 2； 3
若 P 在第二、四象限角平分线上，则
1＋ 3t＝－ (2＋ 3t)， t＝－ 12；
若 P 在第二象限，则需
解得
λ＋ μ＝ 2.
μ＝－ 1，
∴ c＝3a－ b.
答案： B 2． (2009 ·广东 )已知平面向量 a＝ (x,1)， b＝ (－x， x2)，则向量 a＋ b( )
A．平行于 x 轴
B ．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于 y 轴

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D C (3x,4y)
D
由ABD， C 得
(1 ,2 ) (3 x ,4 y )
2 1
3 4
x y
x y
2 2
顶 D的点坐标 2， 2）为（
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练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
(1)a(1,2)
. 解： y A (1, 2 )
a
o
x
(2)b(1,2)
y
B(1,2. )
b
ox
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x
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定。
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。
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小结平面向量的正交分解平面向量的坐标表示
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y
yj yj
a
j O i xi
向量a、b有什么关系? a＝b