几种递推数列模型的应用
数列-递推公式求通项的十大模型
递推公式求通项的十种类型类型1.等差数列：相邻两项递推形式：d d a a n n ，（=--1为常数，+∈≥N n n 且2）或者相邻三项递推形式：)2(211++-∈≥=+N n n a a a n n n 且.这种递推形式下，直接用等差数列的通项公式：即可解决！例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =1=，则n a =（）A．21n -B．nC．21n +D．12n -解析：∵11a ==1，∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，(1)11(1)1n n n =-⨯=+-⨯=，即2n S n =，∴()221121n n n a S S n n n -=-=--=-（2n ≥）.当1n =时，11a =也适合上式，∴21n a n =-.故选：A.注1：在等差数列中，有一类比较特殊的递推类型，即b kn a a n n +=++1，它可以得到两个子数列分别是公差为k 的等差数列.例2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()142n n a a n n +++=+∈N ，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2021项的和为()A．20212022B．20202021C．20192020D．10101011解析：∵12a =，()142n n a a n n +++=+∈N ，∴216a a +=，解得24a =．142n n a a n ++=+ ，∴2146n n a a n +++=+，两式相减，得24n na a +-=，∴数列{}n a 的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列，∴当n 为偶数时，2(1)422n n a a n =+-⨯=．当n 为奇数时，1n +为偶数，∴根据上式和(*)知1422n n a n a n +=+-=，数列{}n a 的通项公式是2n a n =，易知{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，故()()2212n n nS n n +==+，()111111n S n n n n ==-++，设1n S ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为n T ，则20211111112021112232021202220222022T =-+-++-=-= ．故选：A．例3．数列{}n a 中，112,21,N n n a a a n n *+=+=+∈．求{}n a 的通项公式；解析：（1）由121++=+n n a a n ①2123n n a a n ++⇒+=+②，②-①22n n a a +⇒-=，∴{}n a 的奇数项与偶数项各自成等差数列，由11223a a a =⇒+=，∴21a =，∴2112(1)2n a a n n -=+-=，∴1n a n =+，n 为奇数，212(1)21n a n n =+-=-，∴1n a n =-，n 为偶数．∴()()**1,21,N 1,2,Nn n n k k a n n k k ⎧+=-∈⎪=⎨-=∈⎪⎩.类型2.等比数列：相邻两项递推：)2,0,0(1+-∈≥≠≠=N n n a q qa a n n n且且或q a a n n=-1.或者相邻三项递推：)2(211≥∈=+-+n N n a a a n n n 且.注2：在等比数列应用中，有一类比较特殊的递推类型，即++∈∀⋅=N n m a a a n m m n ,,，我们可以对其赋值得到一个等比数列.例4．数列{}n a 中，112a =，对任意,N m n *∈有m n m n a a a +=，若19111k k k a a a +++++ 15522=-，则k =（）A．2B．3C．4D．5解析：由任意,m n *∈N 都有m n m n a a a +=，所以令1m =，则11n n a a a +=，且112a =，所以{}n a 是一个等比数列，且公比为12，则1910155191112222222k k k k k k k k a a a ++++++++=+++=-=- 所以5k =，故选：D.例5．已知数列{}n a 满足22,2,n n n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数且11a =，22a =．求通项n a ；解析：当n 为奇数时，由22n n a a +-=知数列{}21k a -是公差为2的等差数列，()2111221k a a k k -=+-⨯=-，∴n a n =，n 为奇数；当n 为偶数时，由22n n a a +=知数列{}2k a 是公比为2的等比数列，1222k kk a a q -==，∴22nn a =，n 为偶数∴2,2,n n n n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.类型3.)(1n f a a n n =--累加型例6．若数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +-=．求{}n a 的通项公式.解析：因为12n n a a n +-=，11a =，所以()()()1122112(1)2(2)21n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=-+-+++2222(1)112n n n n -+⋅-+=-+=，故21n a n n =-+.类型4.)(1n f a a n n=-(2≥∈+n N n 且)累乘型.例7．数列{}n a 及其前n 项和为n S 满足：11a =，当2n ≥时，111n n n a a n -+=-，则12320231111a a a a ++++= （）A．20211011B．40442023C．20231012D．40482025解析：当2n ≥时，111n n n a a n -+=-，即111n n a n a n -+=-，所以3124123213451,,,,,12321n n n n a a a a a n n a a a a n a n ---+=====-- 累乘得：()113451123212n n n a n n a n n ++=⨯⨯⨯⨯=-- ，又11a =，所以()12n n n a +=所以()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭则1232023111111111111222212233420232024a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭14046202321202420241012⎛⎫=-== ⎝⎭.故选：C.类型5.d ca a n n +=-1型（待定系数法）一般形式：1(,n n a ca d c d -=+为常数，0,1,0)c c d ≠≠≠，可以构造一个等比数列，只要在每一项同加上一个常数即可，且常数1dx c =-，1()n n a x c a x -+=+，令n n b a x =+，则n b 为等比数列，求出n b ，再还原到n a ，1)1(11--⋅-+=-c dc cd a a n n .例8．在数列{}n a 中，12a =，()*1432,N n n a a n n -=-≥∈．求{}n a 的通项公式.解析：依题意，数列{}n a 中，12a =，()*1432,N n n a a n n -=-≥∈，所以()()1*N 1412,n n a a n n --=-≥∈，所以数列{}1n a -是首项为111a -=，公比为4的等比数列.例9.(2014年新课标全国1卷)已知数列{}n a 满足13,111+==+n n a a a ，证明⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式.解析：显性构造：13,111+==+n n a a a ，)21(3211+=++n n a a ，)13(21-=n n a .类型6.nn n b m qa a ⋅+=+1型例10．已知数列{}n a 的首项1=6a ，且满足1142n n n a a ++=-．求数列{}n a 的通项公式；解析：∵1142n n n a a ++=-，∴112122n n n n a a ++=⋅-，∴1112122n n n n a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又∵1122a -=，故12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列．112222n nn n a --=⋅=，则42n n n a =+．类型7.)1)((1≠+=+p n f pa a n n 型.方法1.数学归纳法.方法2.1111)()(+++++=⇒+=n n n n n n n p n f p a p a n f pa a ，令n n n p a b =，则11)(++=-n n n pn f b b ，用累加法即可解决！（公众号：凌晨讲数学）例11.(2020年新课标全国3卷)设数列{}n a 满足31=a ，n a a n n 431-=+.（1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明；（2）求数列{}n na 2的前n 项和n S .解析：方法1：归纳法.（1）235,7,a a ==猜想21,n a n =+得1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+，1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+方法2：构造法.由n a a n n 431-=+可得：1113433+++-=-n n n n n n a a ，累加可得：123123+=⇒+=n a n a n n n n .（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯ .①23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ .②-①②得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯ ，1(21)2 2.n n S n +=-+类型8.)0(1≠⋅+=+q p qpa ta a n nn 型例12．已知数列{}n a 满足11a =，*1,N 1nn n a a n a +=∈+，求数列{}n a 的通项公式.因为*1,N 1n n n a a n a +=∈+，所以1111n na a +=+，即1111n n a a +-=，又11a =，所以111a =，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为1，公差为1的等差数列，所以()1111n n n a =+-⨯=，故1n a n =，所以数列{}n a 的通项公式为1n a n=.类型9.已知n S 与n a 关系，求n a .（公众号：凌晨讲数学）解题步骤：第1步：当1=n 代入n S 求出1a ；第2步：当2≥n ，由n S 写出1-n S ；第3步：1--=n n n S S a （2≥n ）；第4步：将1=n 代入n a 中进行验证，如果通过通项求出的1a 跟实际的1a 相等，则n a 为整个数列的通项，若不相等，则数列写成分段形式，.)2()1(1⎩⎨⎧≥==n a n a a n n 在本考点应用过程中，具体又可分为三个角度，第一，消n S 留n a ，第二个角度，消n a 留n S ，第三个角度，级数形式的前n 项和，下面我们具体分析.例13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，112n n n S S a ++⋅=-.证明：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.证明：∵112n n n S S a ++⋅=-，∴112n n n n S S S S ++⋅=-，易知0n S ≠，∴111112n n n n n nS S S S S S +++-=-=⋅，∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列.例14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1=2a ，()*123N n n n a S n +=+∈.求n S .解析：因为()*123N n n n a S n +=+∈,所以11233,3n nn n n n n S S S S S ++-=+=+∴，则111111,333333n n n n n n n n S S S S ++++-=+=，11233S =，即{}3n n S 为首项为23，公差为13的等差数列，则211(1)(1)3333n n S n n =+-=+，故1(1)3n n n S -=+⋅.例15．已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++----…．求数列{}n a 的通项公式.解析：123123252525253n n na a a a +++=----…，①当1n =时，14a =．当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++----…，②由①-②，得()3522n n a n +=≥，因为14a =符合上式，所以352n n a +=．例16.（2022新高考1卷）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11=a ，{}n n S a 是公差为13的等差数列．求{}n a 得通项公式.解析：111==S a ，所以111=S a ，所以{}n n S a 是首项为1，公差为13的等差数列，所以121(1)33+=+-⋅=n n S n n a ，所以23+=n n n S a ．当2n 时，112133--++=-=-n n n n n n n a S S a a ，所以1(1)(1)--=+n n n a n a ，即111-+=-n n a n a n （2n ）；累积法可得：(1)2+=n n n a （2n ），又11=a 满足该式，所以{}n a 得通项公式为(1)2+=n n n a ．类型9：已知前n 项积求n a .例17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=．（1）证明：数列{}n b 是等差数列;（2）求{}n a 的通项公式．解析：由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠,取1n =,由11S b =得132b =,由于n b 为数列{}n S 的前n 项积，所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---，所以111221n n n nb b b b +++=-,由于10n b +≠，所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈，所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列.（2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列，()3111222n n b n ∴=+-⨯=+,22211n n n b n S b n +==-+,当n =1时，1132a S ==,当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立,∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.类型10.特征方程法（强基层次）：n n n ba aa a +=++12型.求解方程：02=--b a λλ，根据方程根的情况，可分为：（1）若特征方程有两个相等的根，则nn x b An a 0)(+=（2）若特征方程有两个不等的根，则n nn Bx Ax a 21+=例18．已知数列{}n a 满足12a =，28a =，2143n n n a a a ++=-.求数列{}n a 的通项公式；解析：2143n n n a a a ++=-，变形为：()2113n n n n a a a a +++-=-，216a a -=，∴数列{}1n n a a +-是等比数列，首项为6，公比为3.∴116323n nn n a a -+-=⨯=⨯，变形为：1133n n n n a a ++-=-，131a -=-，∴31n n a -=-，∴31n n a =-例19.已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解析：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩，1322n n n a --∴=．例20.已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a ．解析：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++由12,a =得245a =，可得13c =-，∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n n n n na --∴=+-．。
常见递推数列通项的求法七种
常见递推数列通项的求法类型1、 ()n g a a n n +=+1型解题思路：利用累差迭加法，将)1(1-=--n g a a n n ，--1n a 2-n a =)2(-n g ，…，-2a 1a =)1(g ,各式相加，正负抵消，即得n a . 例1、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a . 解：原递推式可化为：1111+-+=+n na a n n则,211112-+=a a 312123-+=a a413134-+=a a ，……，nn a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.例2．在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项na .解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n ，把以上各式相加，得()()()21232113231-=-+-=-+++=n n n n a n【评注】由递推关系得，若()n g 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若n n a a -+1非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列n a 不是等差数列，将递推式中的n 分别用2,3,4,,2,1 --n n 代入得1-n 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得n a ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。
例3、已知数列}a {n 满足3a 132a a 1nn 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。
解：由132a a nn 1n +⋅+=+得132a a nn 1n +⋅=-+则112232n 1n 1n n na )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---3)1n ()3333(23)132()132()132()132(122n 1n 122n 1n +-+++++=++⋅++⋅+++⋅++⋅=----所以1n 32n 31332a nnn-+=++--⋅=评注：本题解题的关键是把递推关系式132a a n n 1n +⋅+=+转化为132a a nn 1n +⋅=-+，进而求出112232n 1n 1n n a )a a ()a a ()a a ()a a (+-+-++-+---- ，即得数列}a {n 的通项公式。
数列递推关系
数列递推关系数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中的每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。
在数学和应用数学中，数列递推关系被广泛用于解决各种问题，比如计算机科学、物理学、经济学等领域。
数列递推关系有两种形式：线性递推和非线性递推。
线性递推是指数列中的每个元素都是前几个元素的线性组合。
比如斐波那契数列就是一个著名的线性递推数列，它的每个元素都是前两个元素的和。
非线性递推则指数列中的每个元素与它前几个元素之间存在非线性关系，比如几何数列和指数数列。
线性递推关系可以通过数学公式来描述，比如斐波那契数列的公式为An = An-1 + An-2，其中An表示数列中第n个元素，An-1表示第n-1个元素，An-2表示第n-2个元素。
这个公式表达了斐波那契数列中每个元素与前两个元素之间的关系。
非线性递推关系则无法用简单的公式来表示，通常需要通过递归或迭代的方式来计算。
比如几何数列的递推关系为An = An-1 * r，其中r为公比，表示数列中每个元素与前一个元素的比值。
这个递推关系说明了几何数列中每个元素与前一个元素之间的关系。
数列递推关系在实际问题中的应用非常广泛。
比如在计算机科学中，递推关系常被用于算法设计和性能分析。
在物理学中，递推关系可以描述连续物理系统的运动规律。
在经济学中，递推关系可以解释市场供求关系和经济变量之间的相互作用。
总之，数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。
它可以通过线性递推和非线性递推两种形式来表示。
数列递推关系在各个学科中都有广泛的应用，对于理解和解决实际问题都具有重要意义。
数列递推公式的九种方法
求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0∵n n a a ++1＞0，11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……，nn a a n n 11-=-逐项相乘得：na a n 11=，即n a =n 1.三、换元法例3已知数列{n a }，其中913,3421==a a ，且当n≥3时，)(31211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）.解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为：}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b 31()31(9131(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：nn a )31(2123-=.例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。
几类常见递推数列的解题方法
类型一：累加法 形如a 1+n ＝a n + f (n )， 其中f (n ) 为关于n 的多项式或指数形式（a n ）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消．类型二： 累积法 形如)(1n f a a n n =+.其中f (n ) =ppc mn b mn )()(++ （p ≠0，m ≠0,b –c = km ,k ∈Z ）或 n n a a 1+=kn （k ≠0）或nn a a 1+= km n ( k ≠ 0, 0＜m 且m ≠ 1)．类型三：形如1+n n a a = 1++n n qa pa ，（pq ≠ 0）．且0≠n a 的数列，——可通过倒数变形为基本数列问题．当p = －q 时，则有：p a a n n 1111=-+ 转化为等差数列； 当p ≠ －q 时，则有：p pa q a n n 111+-=+．同类型五转化为等比数列． 类型四：特征根法 形如a 1+n ＝pa n + q ,pq ≠0 ，p 、q 为常数．当p ＝1时，为等差数列；当p ≠1时，可在两边同时加上同一个数x ，即a 1+n + x = pa n + q + x⇒a 1+n + x = p (a n + p x q +)， 令x =px q + ∴x =1-p q 时，有a 1+n + x = p (a n + x )， 从而转化为等比数列 {a n +1-p q } 求解． 类型五：形如a 1+n ＝pa n + f (n )，p ≠0且 p 为常数，f (n )为关于n 的函数．当p ＝1时，则 a 1+n ＝a n + f (n ) 即类型一．当p ≠1时，f (n )为关于n 的多项式或指数形式（a n）或指数和多项式的混合形式．⑴若f (n )为关于n 的多项式（f (n ) = kn + b 或kn 2+ bn + c ，k 、b 、c 为常数），——可用待定系数法转化为等比数列．⑵若f (n )为关于n 的指数形式（a n ）．①当p 不等于底数a 时，可转化为等比数列；②当p 等于底数a 时，可转化为等差数列．。
数列与函数的递推关系及应用
数列与函数的递推关系及应用数列和函数是数学中常见的概念，它们有着密切的关联，可以通过递推关系来描述它们之间的联系。
本文将探讨数列与函数的递推关系，并介绍其在实际问题中的应用。
一、数列的递推关系数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数称为该数列的项。
数列的递推关系指的是用前一项或前几项来表示后一项的关系式。
常见的数列递推关系有等差数列和等比数列。
1. 等差数列等差数列是一种数列，其中每一项与前一项之差相等。
数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
通过递推关系，我们可以快速求解等差数列的任意项。
例如，考虑以下等差数列：1, 3, 5, 7, 9, ...首项a1 = 1，公差d = 2。
根据递推关系an = a1 + (n-1)d，我们可以得到第n项的表达式。
2. 等比数列等比数列是一种数列，其中每一项与前一项的比值相等。
数列的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
通过递推关系，我们可以快速求解等比数列的任意项。
例如，考虑以下等比数列：2, 4, 8, 16, 32, ...首项a1 = 2，公比r = 2。
根据递推关系an = a1 * r^(n-1)，我们可以得到第n项的表达式。
二、函数的递推关系函数是一种将自变量映射到因变量的关系。
函数的递推关系指的是用前一项或前几项来表示后一项的函数式。
常见的函数递推关系有线性函数和指数函数。
1. 线性函数线性函数是一种函数，其中因变量与自变量之间呈现线性关系。
线性函数的递推关系可以表示为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
通过递推关系，我们可以根据已知项求解函数的其他项。
例如，考虑以下线性函数：f(x) = 2x + 1根据递推关系f(x) = ax + b，我们可以得到f(x)的表达式。
2. 指数函数指数函数是一种函数，其中自变量以指数形式出现。
数列递推公式
数列递推公式数列是数学中非常重要的概念，它描述了一组按照特定规律排列的数字。
数列常常通过递推公式来定义，递推公式表达了每一项与前一项之间的关系。
在本文中，我们将探讨数列递推公式的定义、性质以及应用。
一、数列递推公式的定义数列是由一组按照特定规律排列的数字所组成的序列。
数列中的每一项通常用a1, a2, a3等符号来表示，其中an代表第n个数字。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
对于有限数列，其最后一项是确定的；而对于无限数列，其具体项数是无穷大。
数列递推公式是数列中的每一项用其前一项表示的关系式。
数列递推公式常常写成an = f(an-1)，其中f是一个确定的函数。
递推公式表达了每一项与前一项之间的关系，通过这个关系，我们可以根据已知的前几项，推导出后面的项。
二、数列递推公式的性质1. 逐差性质：对于数列 {an}，如果有递推公式an = an-1 + d，其中d是常数，那么这个数列就具有逐差性质。
也就是说，每一项与前一项之差都是相等的。
2. 叠加性质：如果数列 {an} 和 {bn} 都有递推公式an = f(an-1) 和bn = g(bn-1)，那么它们的和的递推公式为cn = f(cn-1) + g(cn-1)。
3. 乘法性质：如果数列 {an} 有递推公式an = f(an-1)，那么其倍数的递推公式为an = kf(an-1)，其中k是常数。
三、数列递推公式的应用数列递推公式在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
以下是数列递推公式的一些应用示例：1. 斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 斐波那契数列是一个经典的数列，满足递推公式an = an-1 + an-2。
它在自然界中常常出现，比如花瓣的排列、兔子的繁殖等。
2. 等差数列：1, 4, 7, 10, 13, ... 等差数列是一个对应项之差都相等的数列，满足递推公式an = an-1 + 3。
等差数列在代数学中经常出现，用于解方程、求和等问题。
数列递推公式的九种方法
数列递推公式的九种方法1.等差数列递推公式：在等差数列中，相邻两项之间存在相同的差。
如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，可以求得递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中n为第n项。
2.等比数列递推公式：在等比数列中，相邻两项之间的比值相同。
如果已知等比数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。
3. 几何数列递推公式：几何数列是一种特殊的等比数列，其公比是常数项。
如果已知几何数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。
4. 斐波那契数列递推公式：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。
5. 回型数列递推公式：回型数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由周围的四个数字决定的。
回型数列的递推公式为an = an-1 + 8 * (n-1)，其中n为第n项，a1为第一项。
6. 斯特恩-布洛特数列递推公式：斯特恩-布洛特数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的约数个数决定的。
斯特恩-布洛特数列的递推公式为an = 2 * an-1 - an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。
7. 阶乘数列递推公式：阶乘数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前一项的阶乘。
阶乘数列的递推公式为an = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1，其中n为第n项，a1为第一项。
8. 斯特林数列递推公式：斯特林数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之积的和决定的。
斯特林数列的递推公式为an = an-1 * n + 1，其中n为第n项，a1为第一项。
9. 卡特兰数列递推公式：卡特兰数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的乘积决定的。
卡特兰数列的递推公式为an = (4*n - 2) / (n + 1) * an-1，其中n为第n项，a1为第一项。
最新几类常见递推数列的解法
几类递推数列通项公式的常见类型及解法江西省乐安县第二中学 李芳林 邮编 344300 已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出a n 的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项．第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高．第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解．在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法．一、a a d n n +=+1型形如d a a n n +=+1（d 为常数）的递推数列求通项公式，将此类数列变形得a a d n n +-=1，再由等差数列的通项公式()a a n d n =+-11可求得a n .例1： 已知数列{}a n 中()a a a n N n n 1123==+∈+,，求n a 的通项公式.解： ∵a a n n +=+13 ∴a a n n +-=13∴ {}a n 是以a 12=为首项，3为公差的等差数列. ∴()a n n n =+-=-21331为所求的通项公式. 二、)(1n f a a n n +=+型形如a 1+n ＝a n + f (n )， 其中f (n ) 为关于n 的多项式或指数形式（a n）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消．例2：已知数列｛a n ｝,a 1＝0,n ∈N +，a 1+n ＝a n ＋（2n －1），求通项公式a n ． 解：∵a 1+n =a n ＋（2n －1）∴a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 2－a 1 =1 、a 3－a 2=3 、…… a n －a 1-n =2n －3 ∴a n = a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a 1-n )=0＋1＋3＋5＋…＋(2n －3)=21[1＋(2n －3)]( n －1)=( n －1)2 n ∈N + 三、n n a q a ⋅=+1型形如n n a q a ⋅=+1（q 为常数）的递推数列求通项公式，将此类数列变形得q a a nn =+1，再由等比数列的通项公式11-⋅=n n q a a 可求得a n . 例3 ： 已知数列{}a n 中满足a 1=1，n n a a 21=+，求n a 的通项公式. 解：∵n n a a 21=+ ∴21=+nn a a∴ {}a n 是以11=a 为首项，2为公比的等比数列. ∴12-=n n a 为所求的通项公式.四、n n a n f a ⋅=+)(1型 形如n n a n f a ⋅=+)(1可转化为)(1n f a a n n =+.其中f (n ) =ppc mn b mn )()(++ （p ≠0，m ≠0,b –c = km ,k ∈Z ）或nn a a 1+=kn （k ≠0）或n n a a 1+= km n ( k ≠ 0, 0＜m 且m ≠ 1)．例4：已知数列｛a n ｝, a 1=1，a n ＞0,( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0，求a n ． 解：∵( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0 ∴ [(n ＋1) a 1+n －na n ](a 1+n ＋a n )= 0 ∵ a n ＞0 ∴ a 1+n ＋a n ＞0 ∴ (n ＋1) a 1+n －na n =0∴11+=+n n a an n∴nn n n n nn a a a a a a a a a a n n n n n n n 11212312111232211=⨯⨯⨯--⨯--⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯=-----五、a 1+n = f (a n ) 型形如a 1+n = f (a n )，其中f (a n )是关于a n 的函数.-—需逐层迭代、细心寻找其中规律．例5：已知数列｛a n ｝，a 1=1, n ∈N +，a 1+n = 2a n ＋3 n ,求通项公式a n ． 解： ∵a 1+n = 2 a n ＋3 n∴ a n =2 a 1-n ＋3 n -1 =2(2 a 2-n ＋3 n -2)＋3 n -1 = 22(2 a 3-n ＋3 n -3)＋2·3 n -2＋3 n -1 =……=2 n -2(2 a 1＋3 )＋2 n -3·3 2＋2 n -4·3 3＋2 n-5·3 4＋…＋22·3 n-3＋2·3 n -2＋3 n-1 =2 n -1＋2 n -2·3 ＋2 n -3·3 2＋2 n-4·3 3＋…＋22·3 n -3＋2·3 n -2＋3 n -1 n n n n 2323123121-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-六、a 1+n ＝pa n + q 型形如a 1+n ＝pa n + q ,pq ≠0 ，p 、q 为常数． 当p ＝1时，为等差数列；当p ≠1时，可在两边同时加上同一个数x ，即a 1+n + x = pa n + q + x⇒a 1+n + x = p (a n +p x q +)， 令x =p x q + ∴x =1-p q时，有a 1+n + x = p (a n + x )， 从而转化为等比数列 {a n +1-p q} 求解．例6：已知数列{a n }中，a 1=1，a n = 21a 1-n + 1，n = 1、2、3、…，求通项a n ． 解：∵ a n = 21a 1-n + 1 ⇒ a n －2 =21(a 1-n －2)又∵a 1－2 = -1≠0 ∴数列{ a n －2}首项为-1，公比为21的等比数列．∴ a n －2 = -11)21(-⨯n 即 a n = 2 －2n -1 n ∈N +七、a 1+n ＝pa n + f (n )型形如a 1+n ＝pa n + f (n )，p ≠0且 p 为常数，f (n )为关于n 的函数． 当p ＝1时，则 a 1+n ＝a n + f (n ) 即类型二．当p ≠1时，f (n )为关于n 的多项式或指数形式（a n ）．⑴若f (n )为关于n 的多项式（f (n ) = kn + b 或kn 2+ bn + c ，k 、b 、c 为常数），——可用待定系数法转化为等比数列．例7：已知数列{ a n }满足a 1=1，a 1+n = 2a n ＋n 2，n ∈N +求a n ． 解：令a 1+n + x [a (n +1)2+ b (n +1) + c ] = 2(a n + an 2+ bn + c )即 a 1+n = 2 a n + (2a –ax )n 2+ (2b -2ax – bx )n +2c –ax –bx – cx 比较系数得：⎪⎩⎪⎨⎧=---=--=-0202212cx bx ax c bx ax b ax a ⇒ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-=-=x bx ax c x ax b x a 22221 ⇒ 令x = 1，得：⎪⎩⎪⎨⎧===321c b a ∴ a 1+n + (n +1)2+2(n +1) + 3 = 2(a n + n 2+2n + 3) ∵ a 1+1+2×1+3 = 7令b n = a n + n 2+2n + 3 则 b 1+n = 2b n b 1= 7 ∴数列{ b n }为首项为7，公比为2的等比数列 ∴ b n = 7× 21-n 即 a n + n 2+2n + 3 = 7× 21-n∴ a n = 7× 21-n －( n 2+2n + 3 ) n ∈N +⑵若f (n )为关于n 的指数形式（a n）．①当p 不等于底数a 时，可转化为等比数列； ②当p 等于底数a 时，可转化为等差数列． 例8：若a 1=1，a n = 2 a 1-n + 31-n ，(n = 2、3、4…) ，求数列{a n }的通项a n ．解: ∵ a n = 2 a 1-n + 31-n ∴ 令a n + x ×3n= 2(a 1-n +x ×31-n ) 得 a n = 2 a 1-n －x ×31-n令-x ×3n= 3n⇒x = -1 ∴ a n －3n= 2(a 1-n －31-n ) 又 ∵ a 1－3 = - 2∴数列{nn a 3-}是首项为-2,公比为2的等比数列．∴n n a 3-=-2·21-n 即a n = 3n -2nn ∈N +例9：数列{ a n }中,a 1=5且a n =3a 1-n + 3n -1 (n = 2、3、4…) 试求通项a n ． 解： a n =3a 1-n + 3n -1 ⇒ a n +-=--)21(3211n a 3n⇒132132111+-=---n n n n a a ⇒{n n a 321-}是公差为1的等差数列． ⇒n n a 321-=3211-a +(1-n ) = 3215-+(1-n ) = n +21 ⇒a n = (213)21+⨯+n n n ∈N +八、a 2+n = p a 1+n + q a n 型解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ，t 满足⎩⎨⎧-==+q st pt s解法二(特征根法)：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。
利用几类经典的递推关系式求通项公式
利用几类经典的递推关系式求通项公式经典的递推关系式是一种常见的数学问题，其中通项公式是递推关系式的一般解。
在数学中，几类经典的递推关系式包括等差数列、等比数列以及斐波那契数列。
一、等差数列等差数列是一种常见的数列，每一项与前一项之差保持不变。
等差数列的递推关系式如下：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
利用等差数列的递推关系式可以求得通项公式：an = a1 + (n-1)d二、等比数列等比数列是一种常见的数列，每一项与前一项之比保持不变。
等比数列的递推关系式如下：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
利用等比数列的递推关系式可以求得通项公式：an = a1 * r^(n-1)三、斐波那契数列斐波那契数列是一种著名的数列，每一项是前两项之和。
斐波那契数列的递推关系式如下：fn = fn-1 + fn-2其中，fn表示第n项，f1和f2分别表示斐波那契数列的前两项。
利用斐波那契数列的递推关系式可以求得通项公式：fn = [(1+sqrt(5))^n - (1-sqrt(5))^n] / (2^n * sqrt(5))其中，sqrt(5)表示5的平方根。
四、其他递推关系式除了等差数列、等比数列和斐波那契数列，还有许多其他经典的递推关系式。
例如，阶乘数列是一种常见的递推关系式，每一项是前一项与当前项之积。
阶乘数列的递推关系式如下：an = an-1 * n其中，an表示第n项，n表示当前项。
利用阶乘数列的递推关系式可以求得通项公式：an = n!其中，n!表示n的阶乘。
总结起来，利用等差数列、等比数列、斐波那契数列以及其他经典递推关系式，可以推导出它们的通项公式。
这些递推关系式和通项公式在数学问题中具有广泛的应用，能够帮助我们快速计算数列中任意项的数值。
递推数列和多级数列
递推数列和多级数列递推数列是一种数学表达式，其中每个后续项都由前面的项计算而来。
它通常由首项和递推公式组成，递推公式描述了如何计算每个后续项。
递推数列在数学、计算机科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
以下是一些常见的递推数列及其性质：1. 斐波那契数列：以0和1作为首两项，每个后续项都是前两项之和。
其前几项依次为0、1、1、2、3、5、8、13、21、34…… 斐波那契数列在数学、自然和艺术中都有着广泛的应用，包括植物的分枝、音乐的节奏、黄金分割等。
2. 等差数列：递推公式为an = an-1 + d，其中d为公差。
等差数列是每项与前一项之差相等的数列。
其常见的例子包括1、3、5、7、9……和10、20、30、40、50……等。
3. 等比数列：递推公式为an = an-1 × q，其中q为公比。
等比数列是每项与前一项之比相等的数列。
其常见的例子包括1、2、4、8、16……和5、10、20、40、80……等。
多级数列是由多个递推数列组成的复合数列，其中每个递推数列的首项由其上一级递推数列的最后一项确定。
多级数列的组合和嵌套可以形成复杂的数学模型，用于描述各种自然和社会现象。
以下是一些常见的多级数列：1. 帕多瓦三角数列：帕多瓦三角是一种由组合学产生的数字三角形，其中上一级的数字可以通过相邻的两个数字之和计算而来。
帕多瓦三角数列可以描述组合问题中的一些特定情况，如二项式定理和概率分布等。
2. 泰波那契数列：泰波那契数列是一种以0、0、1作为首三项的递推数列，每个后续项都是前三项之和。
其前几项依次为0、0、1、1、2、4、7、13、24、44……泰波那契数列可以描述某些生物种群和经济现象中的增长和衰退规律。
3. 文件长度限制数列：文件长度限制是指在给定的文件系统中对文件大小进行限制。
文件长度限制数列是由多个递推数列组成的复合数列，其中每个递推数列表示不同类型的文件大小限制。
文件长度限制数列可以用于描述文件系统中的存储容量和使用率等。
数学中的数列递推公式
数学中的数列递推公式数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的。
数列中的每个数被称为数列的项，而数列中的规律则由递推公式来描述。
递推公式是指通过已知的前几项来确定后续项的关系式，它在数学中起着至关重要的作用。
一、斐波那契数列斐波那契数列是数学中最为著名的数列之一，它的递推公式是每一项等于前两项的和。
斐波那契数列的前几项为0、1、1、2、3、5、8、13、21……，可以通过递推公式F(n) = F(n-1) + F(n-2)来计算后续项。
斐波那契数列在自然界中有着广泛的应用，例如植物的分枝规律、蜂窝的排列方式等。
同时，斐波那契数列还与黄金分割有着密切的关系，相邻两项的比值趋近于黄金分割比例1.618。
二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。
它的递推公式为An = A1 + (n-1)d，其中An表示第n项，A1表示首项，d表示公差。
等差数列的性质十分有趣。
首先，等差数列的前n项和可以通过递推公式Sn = (A1 + An)n/2来求得。
其次，等差数列中的任意三项可以构成一个等差数列。
最后，等差数列还有一个重要的性质是任意项与其对称项的和都相等。
等差数列在数学中有广泛的应用，例如物理中的等速直线运动、经济学中的增长模型等。
同时，等差数列还可以通过图形的方式来进行可视化，有助于理解数列的规律。
三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定的数列。
它的递推公式为An = A1 * r^(n-1)，其中An表示第n项，A1表示首项，r表示公比。
等比数列的特点是每一项与其前一项之间的比值都相等。
这意味着等比数列中的项之间的增长趋势是呈现指数级别的，增长速度非常快。
等比数列在数学中也有着广泛的应用。
例如在金融领域中，复利的计算就可以用到等比数列的概念。
此外，等比数列还与几何图形中的比例关系有着密切的联系。
四、斐波那契数列与等差数列的关系斐波那契数列和等差数列在数学中有着一定的联系。
根据递推关系求数列通项公式的几种方法
一、定义法 例 1、已知数列an 的递推公式，求an
1)a1 3, an1 an 2
1 2)a1 2, an 1 an 3
等差数列
等比数列
二、累加相消法（累加法）
形如：a1 a, an1 an f n
当所给数列每依次相邻两项之间的差 组成等差或等比数列时，就可用累加 法进行消元。
p 1 , 求a n ?
构造等比数列an ， 使an 1 p(an ),
an 2 1
n
则q （p 1 ） ，
q 即 p1
4）a1 2, an1 2an 3
an 2
n1
an1 3 2(an 3)
2 an 5 4n
例6、已知数列an 的递推关系为： an 1 a ，a1 3，求an
2 n
两边同取常用对数
an 3
2 n1
当一个数列每依次相邻两项之商构成 一个等比数列或其它数列时，就可用 累乘法进行消元。
例3、已知数列an 的递推公式，求an
1）a1 2, an1 3 an
n
an 2 3
n n 1 2
n 2）a1 1, an 1 an n 1
1 an n
四、换元法
通过“换元”，构造一个等差或等比的 新数列，利用等差或等比的知识解决 问题。
3
1 5）a1 1, an 1 an 6 2
1 an 1 4 (an 4) 2
1 an 5 2
n 1
4
例5、已知数列an 的递推关系为： an 1 an 2an 1an，a1 2，an 0, 求an
几种由递推式求数列通项的方法介绍
几种由递推式求数列通项的方法介绍求数列通项通常可以通过递推式来实现，即通过之前的项推导出后一项。
下面介绍几种常见的方法：1.直接法：直接法是最基本的一种方法，即通过观察数列中的规律，找出递推式，然后根据递推式求解通项。
这种方法适用于简单的数列，如等差数列、等比数列等。
例如，求等差数列1, 3, 5, 7, ...的通项。
由观察可知，每一项与前一项的差值为2，即递推式为an = an-1 + 2、再根据首项a1 = 1，得到an = 2n-12.假设法：假设法是一种通过假设通项形式来求解递推式的方法。
通过猜测通项的形式，并将它代入递推式中，得到一个等式，再通过递推式和等式求解未知系数。
例如，求Fibonacci数列的通项。
观察Fibonacci数列的前几项0, 1, 1, 2, 3, 5, ...，可以猜测通项形式为an = A * φ^n + B * (1-φ)^n，其中A和B为待定系数，φ为黄金分割比。
将该通项代入Fibonacci数列的递推式an = an-1 + an-2，得到A = 1/√5，B = -1/√5、因此，Fibonacci数列的通项为an = (1/√5) * (φ^n - (1-φ)^n)，其中φ约等于1.6183.代数法：代数法是通过代数运算来求解通项。
将数列的递推式变形为一个方程，再通过方程求解通项。
例如，求等比数列1, 2, 4, 8, ...的通项。
观察可知，每一项与前一项的比值为2，即递推式为an = 2 * an-1、变形方程为an = 2 * an-1，将an-1代入等式中得到an = 2^n。
因此，等比数列的通项为an =2^n。
4.积分法：积分法适用于一些特殊的数列，如等差递减数列、等比递减数列等。
通过对递推式进行积分，可以得到一个通项形式的积分表达式。
例如，求等差递减数列1, 4/3, 1, ...的通项。
观察可知，每一项与前一项的差值为-1/3，即递推式为an = an-1 - 1/3、对递推式进行积分得到通项的积分表达式∫an dn = ∫(-1/3) dn，即an = C - n/3，其中C为常数。
解数列的十种思想
解数列的十种思想数列是高中数学的重要内容之一，又是高考数学的重点，由于数列涉及到的运算多，技巧性强，如果没有一些数学思想与方法引领，，学生容易进入繁难的运算中，甚至半途而废，本文结合一些高考题，或一些模拟题浅谈几种解数列的思想方法，供大家参考。
一、递推思想用递推关系解题的思想方法叫递推思想。
主要有递推求和、递推求积及反向递推法。
用递推关系求数列的通项公式问题是数列的一种重要内容，它能使繁琐的问题简化并一般化。
类型一：1()n n a a f n +-= 方法：叠加法（或累加法） 取1,2,3,4,n =，得n-1个式子，21321(1),(2),,a (1)n n a a f a a f a f n --=-=-=-且(1)(2)(1)f f f n +++-可求得时，两边累加得通项n a例1已知数列{}n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥，求证：1(31)2nn a =- 证明：由已知得2,3,4,n =23121324313,3,3,,3n n n a a a a a a a a --=+=+=+=+将这n-1个式子相加得23113333(2)n n a a n -=+++++≥113(13)13n a --=+- 3311(31)222n n =-+=-而11a =，也满足上式。
故1(31)2n n a =-，（n N *∈）类型二：1()n na f n a += 方法：叠乘法（或累乘法） 取1,2,3,4,n =，得n-1个式子，3212(1),(2),,a a f f a a ==1(1)nn a f n a -=-，(1)(2)(1)f f f n -将这n-1个式子相乘得n a例2已知数列{}n a 满足11a = ，12n n a na n +=+，求数列{}n a 的通项公式 解：取1,2,3,4,n =得n-1个式子，32121121,,,341n n a a a n a a a n --===+将这n-1个式子相乘得3241231123213451n n a a a a n n a a a a n n ---=+，112(1)n a a n n =+，2(1)n a n n =+(2)n ≥而11a =，也满足上式。
递推数列的概念与性质
递推数列的概念与性质数列是数学中重要的概念之一，而递推数列是数列中常见的一种形式。
本文将介绍递推数列的概念与性质，并通过例子来说明其应用。
一、递推数列的概念递推数列是一种由前一项或前多项推出后一项的数列。
其基本形式可以表示为：给定数列的首项$a_1$和递推关系$f(n)$，则数列的通项公式可以表示为：\[ a_n = f(a_{n-1}) \]其中$n$表示数列的位置。
递推数列常见的表示方法有三种：显式表示、隐式表示和递归定义。
显式表示是通过给定递推公式得到数列项的直接表达式，而隐式表示是通过给定递推公式得到数列项的关系式。
递归定义则是通过给定数列的首项和递推关系逐步推导后一项。
二、递推数列的性质1. 有界性：递推数列可以是有界或无界的。
有界数列是指存在一个实数$M>0$，使得对于所有的$n\in\mathbb{N}$，都有$|a_n|\leq M$。
无界数列则是相反的情况。
2. 单调性：递推数列可以是单调递增或单调递减的。
单调递增数列是指对于所有$n\in\mathbb{N}$，都有$a_n\leq a_{n+1}$。
单调递减数列则是相反的情况。
3. 整体性：递推数列可以是整体有序或整体无序的。
整体有序数列是指对于所有的$m,n\in\mathbb{N}$，如果$m<n$，则有$a_m\leq a_n$。
整体无序数列则是相反的情况。
4. 极限性：递推数列可以是收敛或发散的。
收敛数列是指存在一个有限的实数$L$，使得数列中的所有项都无限接近$L$。
发散数列则是相反的情况。
三、递推数列的应用举例1. 斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的递推数列，其前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项之和。
其显式表示为：\[ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \]2. 几何数列几何数列是一个常见的递推数列，其首项$a_1$和公比$q$确定后，每一项都是前一项乘以公比。
其显式表示为：\[ a_n = a_{n-1} \cdot q \]递推数列在数学中有着广泛的应用，例如在金融领域的复利计算、物理学中的运动学问题等。
递推（二）：递推法的应用
递推（⼆）：递推法的应⽤下⾯通过⼀些典型实例及其扩展来讨论递推法的应⽤。
【例2】⾻牌铺⽅格在2×n的⼀个长⽅形⽅格中，⽤⼀种2×1的⾻牌铺满⽅格。
输⼊n（n<=40），输出铺放⽅案的总数。
例如n=3时，为2×3⽅格，⾻牌的铺放⽅案有三种，如下图1所⽰。
图1 2×3⽅格的⾻牌铺放⽅案（1）编程思路。
设f[i]为铺满2*n⽅格的⽅案数，则有 f[i]=f[i-1]+f[i-2]。
其中，f[i-1]为铺满2*(n-1)⽅格的⽅案数（既然前⾯的2*(n-1)的⽅格已经铺满，那么最后⼀个只能是竖着放）。
f[i-2]为铺满2*(n-2)⽅格的⽅案数（如果前⾯的2*(n-2)的⽅格已经铺满，那么最后的只能是横着放两块，否则会重复）。
初始情况为：f[1]=1，f[2]=2。
（2）源程序。
#include <iostream>using namespace std;int main(){int i,n,f[41];cin>>n;f[1]=1;f[2]=2;for(i=3;i<=n;i++)f[i]=f[i-1]+f[i-2]; // 按递推关系实施递推cout<<f[n]<<endl;return 0;}（3）问题扩展。
有⼀个⼤⼩是2×n的长⽅形⽅格，现⽤2种规格的⾻牌铺满，⾻牌规格分别是 2×1和2×2。
输⼊n（n<=30），输出铺放⽅案的总数。
（4）扩展问题编程思路。
铺⽅格的⾻牌规格多了⼀种，递推公式做相应变化。
设f[i]为铺满2*n⽅格的⽅案数，则有 f[i]=f[i-1]+2*f[i-2]。
其中，f[i-1]为铺满2*(n-1)⽅格的⽅案数（既然前⾯的2*(n-1)的⽅格已经铺满，那么最后⼀个只能是竖着放）。
f[i-2]为铺满2*(n-2)⽅格的⽅案数（如果前⾯的2*(n-2)的⽅格已经铺满，那么最后的2*2⽅格或者横着放两块2*1的⾻牌，或者放1块2*2的⾻牌）。
数列与数列递推公式的应用
数列与数列递推公式的应用数列是数学中经常出现的一种特殊的数集，它是由一系列具有规律性的数字组成。
数列递推公式则是用来描述数列中每个数与前面数之间的关系的表达式。
数列与数列递推公式广泛应用于各个领域，例如数学、物理、计算机科学等。
本文将探讨数列与数列递推公式的一些常见应用场景和实际问题解决方法。
1. 斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的数列，每个数都是前两个数之和。
数列的前几项为0、1、1、2、3、5、8、13......这个数列在自然界中也有广泛的应用，例如描述植物的茎叶排列、蜂巢的构造等。
斐波那契数列可以使用递推公式来表示，即第n项等于第n-1项与第n-2项之和。
2. 等差数列等差数列是数列中每个数与前一个数之间的差值恒定的数列。
等差数列的递推公式可以表示为：第n项等于第n-1项加上一个常数d，其中d为公差。
等差数列经常用于描述各种增长、递减的情况，例如财务数据的分析、人口统计等。
3. 等比数列等比数列是数列中每个数与前一个数之比恒定的数列，也就是各项之间的比值相等。
等比数列的递推公式可以表示为：第n项等于第n-1项乘以一个常数q，其中q为公比。
等比数列广泛应用于各类增长、衰减、复利等情况的描述，例如利息计算、人口增长等。
4. 数列递推公式在物理中的应用数列递推公式在物理学中也有很多应用。
例如，质点匀加速运动的位移可以用等差数列来表示，其中递推公式为：第n项等于初始位移加上n倍的加速度乘以时间间隔。
又如，弹性碰撞中两个质点的速度变化可以用数列递推公式来描述，其中递推公式为：第n项等于第n-1项的相反数。
5. 数列递推公式在计算机科学中的应用数列递推公式也被广泛应用于计算机科学中的算法设计。
例如，斐波那契数列的计算可以用递归的方式实现，即每个数等于前两个数的和。
又如，动态规划算法中的状态转移方程往往可以用数列递推公式来表示，从而解决各种最优化问题。
总结起来，数列与数列递推公式在数学、物理、计算机科学等领域都有广泛应用。
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几种递推数列模型的应用数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题.高考对应用题的考查已逐步成熟，数学应用是数学最终价值的体现，而以递推数列作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系.下面面分类举例说明.一、a n +1﹣a n =C 或a n +1a n=C (C 为常数)型 等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解.在应用题中的具体表现形式为a n +1﹣a n =C 或a n +1a n=C (C 为常数). 例1 化工厂的某容器的容积为Vcm 3，装满了浓度为100%的纯酒精，现欲使其稀释，从中倒出110后用清水兑满，再从中倒出110，又用清水兑满，为此反复进行了n 次，所得的溶液为多少？欲使浓度不超过50%，至少要进行多少次操作？解：设操作k 次后的浓度为a k (k =1，2，…)，则操作k +1次后的浓度为a k +1=a k ×910，a k +1a k =910. 故数列{a n }是首项为90%，公比为910的等比数列，那么操作n 次后的浓度为a k =(910)n ， 要使(910)n ≤50%，只要n ≥﹣lg 22lg 3-1≈6.6.故至少操作7次.例2 流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。
某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。
由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。
解析：设11月n 日这一天新感染者最多，且设从11月1日到n 日，每天新感染的人数构成数列{a n }，从n +1日到30日，每天新感染者构成另一个数列{b n }.这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数.由题意可知a n +1﹣a n =50，∴从11月1日到n 日每天新感染者人数构成一等差数列；a 1=20，d 1=50，11月n 日新感染者人数a n =50n —30；又由题意可知b n +4﹣b n =﹣30，∴从n +1日到30日，每天新感染者构成数列{b n }也是一个等差数列. 从n +1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列b n ，b 1=50n -60,d 2=—30，b n =(50n －60)+(n ﹣1)(－30)=20n －30,11月30日新感染者人数为b 30－n =20(30－n )－30=－20n +570.故共感染者人数为：(20+50n -30)n 2+[50n -60+(-20n +570)](30-n )2=8670， 化简得：n 2-61n +588=0,解得n =12或n =49(舍)，即11月12日这一天感染者人数最多，为570人.二、a n +1=C ·a n +B (C 、B 为常数，且C ≠0，B ≠0)型：对于应用题中所涉及的递归数列的模型为a n +1=C ·a n +B (C 、B 为常数，且C ≠0，B ≠0)，一般常采用两种转化方法：①利用待定系数法等方法转化为a n +1﹣p =C ·(a n ﹣p )形式；②将a n +1=C ·a n +B 与a n =C ·a n －1+B 相减可得a n +1﹣a n =C ·(a n ﹣a n －1).例3 某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？（lg 2=0.3）。
分析：设经过n 年后，该项目的资金为a n 万元，则容易得到前后两年a n 和a n -1之间的递推关系：a n =a n -1（1+25%）-200（n ≥2），对于这类问题的具体求解，一般可利用“待定系数法”：解析：由题，a n =a n -1（1+25%）-200（n ≥2），即a n =54a n -1-200， 设a n +λ=54（a n -1+λ），展开得a n =54a n -1+14λ，14λ=-200，λ=-800，∴a n -800=54（a n -1-800）， ∴{a n -800}成一个等比数列，a 1=1000(1+25%)﹣200=1050，a 1﹣800=250，∴a n -800=250（54）n -1，a n =250（54）n -1+800， 令a n ≥4000，得（54）n ≥16，解得n ≥12, 即至少要经过12年才能达到目标.例4 某林场的木材以每年25%的增长率逐年递增，但每年的砍伐量是d .如果木材的原储量为a ，从今年开始，计划在20年后使木材储量翻两番，求砍伐量的最大值.(lg 2=0.3)解析：设每年木材存在量构成数列，则a 1=a ,a n +1=54a n -d ,则(a n -m )=54(a n -1-m ),取m =4d ,即(a n -4d )=54(a n -1-4d ), ∴{a n -4d }构成公比为54的等比数列，其中a 1=a -4d ,a n -4d =(a 1-4d )·(54)n -1, 即a n =4d +(a -4d )(54)n -1,a 21=4d +(a -4d )(54)20, ∵lg 2=0.3, ∴(54)20=100, ∴a 21=100a -396d ,由a 21≥4a 得 100a -396d ≥4a ，解得d ≤833a . 所以砍伐量的最大值为833a .三、a n －a n －1=B ·q n (A 、B 为常数，且B ≠0) 型：有的应用题中的数列递推关系，a n 与a n -1的差（或商）不是一个常数，但是所得的差f (n )本身构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度.通常采用累差法或迭代法.例5 某产品具有一定的时效性，在这个时效期内,由市场调查可知,在不作广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件.若作广告宣传,广告费为n 千元时比广告费为（n ﹣1）千元时多卖出b 2n 件，（n ∈N *）。
（1）试写出销售量s 与n 的函数关系式；（2）当a =10,b =4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？分析：对于(1)中的函数关系，设广告费为n 千元时的销量为s n ,则s n -1表示广告费为(n ﹣1)千元时的销量，由题意，s n －s n -1=b 2n ，可知数列{s n }不成等差也不成等比数列，但是两者的差b 2n 构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：解法一：直接列式：广告费为1千元时，s =b +b 2； 广告费为2千元时，s =b +b 2+b 22； ……………广告费为n 千元时s =b +b 2+b 22+b 23+…+b 2n 由题，s =b +b 2+b 22+b 23+…+b 2n =b (2﹣12n ) 解法二：（累差叠加法）设s 0表示广告费为0千元时的销售量，由题：⎩⎪⎨⎪⎧S 1﹣S 0=b 2S 2﹣S 1=b 22 ……S n ﹣S n －1=b 2n ，相加得S n -S 0=b 2+b 22+b 23+…+b 2n即s = b +b 2+b 22+b 23+…+b 2n =b (2﹣12n )。
（2）b =4000时，s =4000(2﹣12n ).设获利为t ，则有 t =s ·10﹣1000n =40000(2﹣12n )－1000n . 欲使T n 最大，则：⎩⎨⎧ T n ≥T n +1T n ≥T n －1，得⎩⎨⎧ n ≥5n ≤5，故n =5,此时s =7875. 即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大.例6 将四边形的每条边都涂以红、黄、蓝三种颜色中的一种，要使得相邻的边的颜色互不相同，有多少种不同的涂色方法？解析：本题从表面上看是排列组合的问题，与数列没有关系，但直接考虑并不简单，为此，我们考虑更一般的问题（即对于n 边形的涂色问题），并建构如下递推数列的模型：设n 边形（各边依次为a 1，a 2，…，a n ）满足条件的涂色方法有b n 种．考虑n ＋1边形的涂法： 从边a 1开始考虑，对于a 1，有3种涂法；对于边a 2，由于要不同于边1a ，故有2种涂法；……；对于a n ，有2种涂法；最后考虑边a n +1，如果不考虑这条边是否与边a 1同色，则也应该有2种涂法，故涂法种数为3×2n ．上述涂色的方法中，包括两种,第一种是边a n +1与边a 1的颜色不同，这种涂色方法恰好符合题意，其总数应该为b n +1；第二种是边a n +1与边a 1的颜色相同，对于这一种涂色方法，如果我们把边a n +1与边a 1看作是同一条边，则其涂色方法也满足题目中对于n 边形的要求，故涂色方法总数应该为b n ．由此，不难得出：b n +1+b n =3×2n ．所以，b n +1－b n －1=3×2n －1．另一方面，显然有b 3=3×2×1=6．所以，b 2k +1=(b 2k +1－b 2k －1)+(b 2k －1－b 2k －3)+…+(b 5－b 3)+b 3=3×22k －1+3×22k －3+…＋3×23+3×2=3×22k +1﹣2b 2k =3×22k ﹣b 2k +1=22k ＋2，(k ∈N ，且k ≥2)显然，b 4=18．四、a n +1=a n (1+B ·q n )，(B 为非零常数，且B ≠1)型对于具有递推关系a n +1=a n (1+B ·q n )，(B 为非零常数，且B ≠1)的应用题，一般是与不等关系相联系的比较型应用题，评分是利用a n +1与a n 的大小关系来确定不等关系，从而使问题获解.例7某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量为a ，(1)写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年的产量，并写出第n 年与第n -1年(n ≥2,n ∈N )的产量之间的关系式.(2)由于存在池塘老化及环境污染等因素，估计每年将损失年产量的10%，照这样下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高的？若是请给予证明；若不是，请说明从第几年起，产量将不如上一年.(lg 2=0.3010,lg 3=0.4771)解：(1)设改进饲养技术后，第n 年的产量为a n (n ∈N *),则a 1=a (1+200%)=3a ,a 2=a (1+200%)(1+100%)=6a ,a 3=a 2(1+50%)=6a ·32=9a , ∴第n 年与第n -1年的产量之间的关系式是a n =a n -1·(1+12n －2)(n ≥2, n ∈N ), (2)若考虑损失因素，则第n 年与第n -1年的产量之间的关系式是a n =a n -1·(1+12n -2)(1-10%)= a n -1·(1+12n -2)·0.9,(n ≥2),∴a n a n -1=0.9(1+12n -2), 令a n ≤a n -1，则0.9(1+12n -2)≤1，即1+12n -2≤109，∴12n -2≤19，∴2n -2≥9, 即n -2≥2lg 3lg 2,∴n ≥5.17,n ≥6. ∴以后每年的产量不是始终逐年提高，从第6年起，产量将不如上一年.五、二个（或多个）不同数列之间的递推关系有的应用题中还会出现多个不同数列相互之间的递推关系，对于该类问题，要正确处理数列间的相互联系，整体考虑。