最新高中数学竞赛模拟题1-5

全国高中数学联赛模拟试题一

一试

一．填空题（每小题8分，共64分）

1．函数2

54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 ．

2. 函数x

x x

x y cos sin 1cos sin ++=

的值域是 ．

3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于 ．

4．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1

(1)

n n n S a n n -+=+，1,2,n = ，则通项n a = ．

5.已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>与直线1x y +=交于M,N 两点,且OM ON ⊥,(O 为

原点),当椭圆的离心率2

e ∈时,椭圆长轴长的取值范围是 ．

6．函数 y =的最大值是 ．

7．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为

.

),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等，其

中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为 ．

8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ． 二.解答题（共56分）

9.（16分） 已知定义在R 上的函数()f x 满足：5

(1)2

f =，且对于任意实数x y 、，总有()()()()f x f y f x y f x y =++-成立.

（1）若数列{}n a 满足2(1)()(1,2,3,)n a f n f n n =+-= ，求数列{}n a 的通项公式； （2）若对于任意非零实数y ，总有()2f y >.设有理数12,x x 满足12||||x x <，判断1()

f x 和2()f x 的大小关系，并证明你的结论.

10.（20分）设0b >，数列{}n a 满足1a b =，1

122

n n n nba a a n --=+-(2)n ≥．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n ，1

112

n n n b a ++≤+．

11.（20分）若a 、b 、c R +∈，且满足22)4()(c b a b a c

b a kabc

++++≤++，求k 的最

大值。

加试

一．（40分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：2

14

y x =

．实数,p q 满足 24p q -≥0，12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记12(,)max{,}p q x x ϕ=．

（1）过点2

001(,)4

A p p 0(0)p ≠作L 的切线交y 轴于点

B ．证明：对线段AB 上的

任一点(,)Q p q ，有0

(,)2p p q ϕ=；

（2）设{(,)|D x y y =≤1x -，y ≥2

15(1)}44

x +-．当点(,)p q 取遍D 时，求

(,)p q ϕ的最小值 （记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）.

二．（40分）如图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠< ，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．

（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆； （Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O

的弧ＡＢ上一点，满足：

AE AB =

，1BC

EC =，1

2

ECB ECA ∠=∠，又,DA DC

是圆Ｏ的切线，AC ()f P 的最小值．

二题图

三．（50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。

四．（50分）求证：对1,2,3,i =均有无穷多个正整数n ，使得,2,28n n n ++中恰有i 个可表示为三个正整数的立方和。

模拟试题一参考答案

第一试

一． 填空题（每小题8分，共64分）

1.2．当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+--

-2≥2=，当且仅当122x x

=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在

(,2)-∞上的最小值为2．

2. 11,11,22⎡⎫⎛⎤-

--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦

设t =s inx +co s x =).4sin(2cos 22sin 222π+=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+x x x 因为,1)4

s i n

(1≤+≤-πx 所以.22≤≤-t 又因为t 2=1+2s inxco s x ,所以s inxco s x =212-t ，所以21121

2-=+-=

t t x y ，所以.2

12212-≤≤--y 因为t ≠-1，所以121

-≠-t ，所以y ≠-1. 所以函数值域为.212,11,212⎥⎦⎤

⎝

⎛--⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-+-∈ y 3. 8161。

甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92

=81个。由不等式a −2b +10>0得2b

61

81135745=++++。

4.

112

(1)n n n -+。111

1

(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++， 即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=

+)

1(1

11)2)(1(221

=)

1(1

)2)(1(2++

+++-n n a n n n ， 由此得 2)

1(1

))2)(1(1(1++

=++++n n a n n a n n ．