郑州二中2015~2016学年新高二分科考试数学试题
河南省郑州二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)
河南省郑州二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）不等式2x2﹣x≤1的解集为（）9．（5分）若不等式a＞b与同时成立，则必有（）A．a＞b＞0 B．C．a＞0＞b D．考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的性质即可得出．解答：解：∵，∴，又∵a＞b，∴b﹣a＜0．∴ab＜0．∴a＞0＞b．故选C．点评：本题考查了不等式的性质，属于基础题．10．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：直接利用正弦定理以及已知条件判断即可．解答：解：由正弦定理可知⇒=，∵△ABC中，∠A，∠B，∠C均小于180°，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，∴a，b，sinA，sinB都是正数，∴“a≤b”⇔“sinA≤sinB”．∴“a≤b”是“sinA≤sinB”的充分必要条件．故选：A．点评：本题考查三角形中，角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用，基本知识的考查．11．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得的最小值为（）A．B．C．D．考点：基本不等式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由a7=a6+2a5求得q=2，代入求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．解答：解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，可得，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2．∵，∴q m+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6，∴，当且仅当=时，等号成立．故的最小值等于，故选A．点评：本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于基础题．12．（5分）已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（）A．有最大值e B．有最大值C．有最小值e D．有最小值考点：等比数列的性质；对数的运算性质．专题：计算题．分析：先利用等比数列等比中项可知•lny=可得lnx•lny=，再根据lnxy=lnx+lny≥2可得lnxy的范围，进而求得xy的范围．解答：解：依题意•lny=∴lnx•lny=∴lnxy=lnx+lny≥2=1xy≥e故选C点评：本题主要考查了等比中项的性质．即若a，b，c成等比数列，则有b2=ac．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分（共4小题，满分20分）13．（5分）当x＞﹣1时，不等式x+﹣1≥a恒成立，则实数a的最大值是0．考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：根据基本不等式的性质求出x+﹣1的最小值为0，再根据当x＞﹣1时，不等式x+﹣1≥a恒成立，求出a的范围，继而问题得以解决．解答：解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴x+﹣1=x+1+﹣2≥2﹣2=2﹣2=0，当且仅当x=0时取等号，∴x+﹣1的最小值为0，∵不等式x+﹣1≥a恒成立，∴a≤0，∴实数a的最大值是0．故答案为：0．点评：本题考查函数恒成立问题，关键是利用基本不等式，注意等号成立的条件，属于中档题．14．（5分）在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若a2+b2﹣c2+ab=0，则角C 的大小为．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosC，把已知等式变形后代入求出cosC的值，即可确定出C的度数．解答：解：∵△ABC中，a2+b2﹣c2+ab=0，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC===﹣，则C=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题关键．15．（5分）等差数列{a n}中，S n是它的前n项之和，且S6＜S7，S7＞S8，则：①此数列的公差d＜0②S9一定小于S6③a7是各项中最大的一项④S7一定是S n中的最大值．其中正确的是①②④（填入你认为正确的所有序号）考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知可得a7＞0，a8＜0，再对选项进行判断即可．解答：解：由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0，∴a8﹣a7=d＜0①正确；S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，故正确；由于d＜0，所以a1最大，∴错误；由于a7＞0，a8＜0，S7最大，∴正确；故答案为：①②④．点评：本题考查等差数列的性质，逐个验证是解决问题的关键，属中档题．16．（5分）已知正实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：利用基本不等式，根据xy≤，把题设等式整理成关于x+y的不等式，求得其范围，则x+y的最大值可得．解答：解：∵x2+y2+xy=1∴（x+y）2=1+xy∵xy≤∴（x+y）2﹣1≤，整理求得﹣≤x+y≤，∴x+y的最大值是．故答案为：．点评：本题主要考查了基本不等式．应熟练掌握如均值不等式，柯西不等式等性质．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）数列{a n}的通项公式是a n=n2﹣7n+6．（1）这个数列的第4项是多少？（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？（3）该数列从第几项开始各项都是正数？考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}的通项公式是a n=n2﹣7n+6求解．解答：解：（1）∵a n=n2﹣7n+6，∴=﹣6．∴这个数列的第4项是﹣6．（2）解方程n2﹣7n+6=150，得n=16，或n=﹣9，∵n∈N*，∴150是这个数列的项，它是第16项．（3）由a n=n2﹣7n+6≥0，得n≤1，或n≥6．∴数列从第7项开始各项都是正数．点评：本题考查数列的通项公式的性质的应用，解题时要认真审题，是基础题．18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：综合题；解三角形．分析：（Ⅰ）先求出sinB=，再利用正弦定理求sinA的值；（Ⅱ）由△ABC的面积S△ABC=4求c的值，利用余弦定理求b的值．解答：解：（Ⅰ）∵cosB=∴sinB=，∵a=2，b=4，∴sinA===；（Ⅱ）S△ABC=4=×2c×，∴c=5，∴b==．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（12分）已知f（x）=|x|﹣|x+1|．（1）求不等式f（x）≤0的解集A；（2）若不等式mx+m﹣1＞0对任何x∈A恒成立，求m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）不等式f（x）≤0，即|x|≤|x+1|，平方求得不等式的解集．（2）由题意可得当x≥﹣时，m＞恒成立．利用单调性求得函数y=在﹣，+∞）．（2）由题意可得当x≥﹣时，mx+m﹣1＞0恒成立，即m＞恒成立．由于函数y=在2，+∞）．点评：本题主要考查分式不等式的解法，函数的恒成立问题．利用单调性求函数的最值，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cos（B﹣C）+1=4cosBcosC．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为2，求b+c．考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；解三角形．分析：（I）利用三角恒等变换，化简已知等式可得cos（B+C）=，结合三角形内角的范围算出B+C=，再利用三角形内角和即可得到A的大小；（II）根据三角形面积公式，结合△ABC的面积为2算出bc=8．再由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，代入数据化简可得（b+c）2﹣bc=28，两式联解即可算出b+c的值．解答：解：（Ⅰ）∵2cos（B﹣C）+1=4cosBcosC，∴2（cosBcosC+sinBsinC）+1=4cosBcosC，即2（cosBcosC﹣sinBsinC）=1，可得2cos（B+C）=1，∴cos（B+C）=．∵0＜B+C＜π，可得B+C=．∴A=π﹣（B+C）=．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ），得A=．∵S△ABC=2，∴bcsin=2，解得bc=8．①由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得（2）2=b2+c2﹣2bccos，即b2+c2+bc=28，∴（b+c）2﹣bc=28．②将①代入②，得（b+c）2﹣8=28，∴（b+c）2=36，可得b+c=6．…（12分）点评：本题给出三角形的角满足的条件，求A的大小，并在已知三角形面积的情况下求边长．着重考查了三角恒等变换、正余弦定理和三角形面积公式等知识，属于中档题．21．（12分）已知数列{a n}与{b n}，若a1=3且对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）依题意知，{a n}是以3为首项，公差为2的等差数列，从而可求得数列{a n}的通项公式；当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2n+1，对b1=4不成立，于是可求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1==，当n≥2时，利用裂项法可求得=（﹣），从而可求T n．解答：解：（Ⅰ）∵对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，∴{a n}是公差为2的等差数列，又a1=3，∴a n=2n+1；当n=1时，b1=S1=4；当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n+1）﹣=2n+1，对b1=4不成立．∴数列{b n}的通项公式：b n=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1==，当n≥2时，==（﹣），∴T n=+=+（﹣）=+，当n=1时仍成立．∴T n=+对任意正整数n成立．点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与递推关系的应用，突出考查裂项法求和，属于中档题．22．（12分）如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N （异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．考点：解三角形的实际应用．专题：综合题；解三角形．分析：设∠AMN=θ，在△AMN中，求出AM，在△APM中，利用余弦定理，建立函数，利用辅助角公式化简，即可得出结论．解答：解：设∠AMN=θ，在△AMN中，=．因为MN=2，所以AM=sin（120°﹣θ）．…2分在△APM中，cos∠AMP=cos（60°+θ）．…6分AP2=AM2+MP2﹣2AM•MP•cos∠AMP=sin2（120°﹣θ）+4﹣2×2×sin（120°﹣θ）cos（60°+θ）…8分=sin2（θ+60°）﹣sin（θ+60°）cos（θ+60°）+4=﹣sin（2θ+120°）+4=﹣+=﹣sin（2θ+150°），θ∈（0，120°）．…12分当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…14分点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数的化简，正确构建函数是关键．。
2015-2016高二期末考试理科数学试卷题(含答案)
2015-2016学年第一学期宝安区期末调研测试卷高二理科数学2016.1本试卷共6页，22小题，满分150分•考试用时120分钟.注意事项：1 •答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用 0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自 己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答 题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损2 •选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求 填涂的，答案无效.3 .非选择题必须用 0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先 划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求 作答无效. 4 •作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.漏涂、错涂、多涂的答案无效.一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，满分 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .不等式X 2-2x -5 - 2x 的解集是（)A .| x 亠 5或 x _ -1 匚B .^x | x 5或 x ：：： -1C . ：x|-1 ：： x ：：5；—&—¥■—FD—►.| - 仁 x 二 5』 2.已知向量a =（-1,0,2）,b = （1,1,0），且a kb 与2b -a 相互垂直，则k 值为（ ）2 24.若方程E ：-上 y 1表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为1 -m m -2（） A . 1,2 B .：,1） （2, ：： C . （-：：,2） D . （1,：：）5.在=ABC 中,a = 2、3,b= 2、2,B = 45，则角 A 等于（）7 3 A .B .-553.“ x 2 = y 2”是“ x = y ”的()A .充分不必要条件C .必要不充分条件C .丄D . 15B .充分必要条件D .既不充分也不必要条件A. 30 B . 60 C . 60 或120 D . 30 或1506•已知-14盘,8成等差数列，—1,b ib ,b 3,-4成等比数列，那么 岂空 的值为( )b 255A • 5B • -5C •D •-227.若动点M(x, y)始终满足关系式.x 2 (y 2)^ . x 2 (y-2)2=8，则动点M 的轨迹方程为()2 2 2 2 2 2 2 2xy, xy, xy, xy,A •1 B •1 C •1 D • 116 12 12 16 12 16 16 128 •已知等差数列:a n [的前n 项和S n ,且满足S n 1 =n 2 -n -2,则a ^：()A • 4B • 2C • 0D • -2x - y _ 09•已知x, y 满足约束条件《x + yE2，若z = x + ay 的最大值为4,则a=()、y 兰0A • 3B • 2C • -2D • -310 •在 ABC 中，a =2,c =1，则角C 的取值范围是()(八31A •陀丿B • —,—<6 3 .丿C •—,— 丨 <6 2丿D • (0,611 •已知直线l :^kx 2k 1与抛物线C : y 2 = 4x ，若I 与C 有且仅有一个公共点，则实数k 的取值集合为()尸r f1 IA • J -1,- >B • {-1,。
2016年郑州二测数学文科参考答案
» 22．解： （Ⅰ）由题可知 BD 是以为 A 圆心， DA 为半径作圆，而 ABCD 为正方形， ∴ ED 为圆 A 的切线. 依据切割线定理得 ED 2 EF EB . ………………………………2 分 ∵圆 O 以 BC 为直径，∴ EC 是圆 O 的切线， 同样依据切割线定理得 EC 2 EF EB .……………………………4 分 故 EC ED . ∴ E 为 CD 的中点. ……………………………5 分
1 1 3k (k 4) x 3kx 0. , x1 x2 2 4 ， …………6 分 ∴ x1 x2 2 4 k 4 k 4
2 2
…………8 分
3
河南微高考!
1 3 k2 k ( 3k ) 1 3 4 2 2 0 ∴ 2 2 k 4 k 4 k 4 4
（Ⅱ）连结 CF ，∵ BC 为圆 O 的直径， ∴ CF BF ………………………………6 分 由
1 1 BC BE CE BF 2 2 1 1 S BCE BC CE BE CF 2 2 1 2 2 5 …………………………8 分 得 CF 5 5 S BCE
'
x0
2 x0 1 0 3 2
所以 m( x) 在 1, x0 上单调递减，在 x 0 , 单调递增 …………10 分 所以 m( x ) m( x 0 ) e
x0 2 2 x0 x0 2 x0 1 x0 x0 x0 x0 1 2
2 2
3 4
1 4
化简得 sin A
2 3 ，故 A 或 ．………………………………5 分 3 3 2
b c a 2 ，得 b 2sin B, c 2sin C ，…7 分 sin B sin C sin A 2 因为 b a ，所以 B ， B ，………9 分 6 6 2 3 3 2 故 2b c 4sin B 2sin C 4sin B 2sin( B) = 3sin B 3 cos B 3
2017郑州市二中高二分班考试数学试题及详解
郑州二中2017年开学考试数学试题及详解一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A ={x |x ＜1}，B ={x |3x＜1}，则（ ）A ．A ∩B ={x |x ＜0} B ．A ∪B =RC ．A ∪B ={x |x ＞1}D ．A ∩B =∅ 2. 如果角α的终边过点(2sin 60,2cos60)︒-︒，则sin α的值等于( )1133. . . .2223A B C D --- 3. 设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为−2π B ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 4. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月 至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D. 各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 5. 设偶函数f(x)的定义域为R ，在区间（-∞，0]上f(x)是单调递减函数，则f(-2),f(π)， f(-3)的大小关系是（ ）A. f(-3)＞f(-2)＞f(π)B. f(π)＞f(-2)＞f(-3)C. f(-2)＞f(-3)＞f(π)D. f(π)＞f(-3)＞f(-2)6. 为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班 随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班 某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )A. 160B. 163C.166D. 170 7. 给出如下四对事件： ①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”； ②甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”； ③甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”； ④甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”， 其中属于互斥事件的有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对8. 如果下边程序执行后输出的结果是990，那么在程序中UNTIL后面的“条件”应为( ) A. i>10 B. i<8 C. i<=9 D. i<9 9. 如图所示，已知AB ，CD 是圆O 中两条互相垂直的直径，两个 小圆与圆O 以及AB ，CD 均相切，则往圆O 内投掷一个点，该 点落在阴影部分的概率为（ ）A ．12﹣8B ．3﹣2C ．8﹣5D ．6﹣410.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为 锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+， 则下列等式成立的是( )A. 2a b =B. 2b a =C. 2A B =D. 2B A = 11.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin （2x +），则下面结论正确的是（ ）A ． 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B ． 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2C ． 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2i=11 s=1DOs=s*i i=i-1 LOOP UNTIL “条件” PRINT S ENDD ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 212.在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）A.3B. 22C. 5D.2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知12,e e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值 是14.在[]0,2π上任取一个实数x ，则2sin 2x ≥的概率为 15.已知一组数据132x +，123432,32,32,32x x x x ++++的平均数为8，第二组数据22221234,,,x x x x 的平均数为6，则第三组数据1234,,,x x x x 的方差为 .16.关于函数f （x ）=tan （2x ﹣），有以下命题：①函数f （x ）的定义域是{x |x ≠k π+，k ∈Z}；②函数f （x ）是奇函数； ③函数f （x ）的图象关于点（，0）对称；④函数f （x ）的一个单调递增区间为（﹣，）．其中，正确的命题序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分。
河南省郑州市2015-2016学年高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年河南省郑州市高二下期末数学试卷（文）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的）1．复数4﹣3i虚部为（）A．﹣3i B．﹣3 C．3i D．3【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的概念进行求解即可．【解答】解：在复数4﹣3i中实部是4，虚部是﹣3，故选：B2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【考点】反证法与放缩法．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．3．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①【考点】演绎推理的基本方法．【分析】根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”⇒“结论”，分析即可得到正确的次序．【解答】解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y=cosx（（x∈R ）是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y=cosx（（x∈R ）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③故选B4．在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是（）A． B．C．D．【考点】散点图．【分析】观察两个变量的散点图，样本点成直线形带状分布，则两个变量具有相关关系，若带状从左向右上升，是正相关，下降是负相关，由此得出正确的选项．【解答】解：A中两个变量之间是函数关系，不是相关关系；在两个变量的散点图中，若样本点成直线形带状分布，则两个变量具有相关关系，对照图形：B中样本点成直线形带状分布，且从左到右是上升的，∴是正相关关系；C中样本点成直线形带状分布，且从左到右是下降的，∴是负相关关系；D中样本点不成直线形带状分布，相关关系不明显．故选：B．[选修4-4：坐标系与参数方程]6．极坐标方程2ρcos2θ﹣sinθ=0表示的曲线是（）A．双曲线B．椭圆 C．圆D．抛物线【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】极坐标方程2ρcos2θ﹣sinθ=0即2ρ2cos2θ﹣ρsinθ=0，利用即可化为直角坐标方程．【解答】解：极坐标方程2ρcos2θ﹣sinθ=0即2ρ2cos2θ﹣ρsinθ=0，化为直角坐标方程：2x2﹣y=0，化为：y=2x2，表示抛物线．故选：D．[选修4-5：不等式选讲]7．不等式＞1的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣4，+∞）C．（﹣4，2）D．（﹣4，﹣1）【考点】其他不等式的解法．【分析】先移项化简分式不等式，再转化为一元二次不等式，求出不等式的解集．【解答】解：由得，则，所以（x+4）（x+1）＜0，解得﹣4＜x＜﹣1，∴不等式的解集是（﹣4，﹣1），故选：D．8．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（）A．①﹣综合法，②﹣分析法B．①﹣分析法，②﹣综合法C．①﹣综合法，②﹣反证法D．①﹣分析法，②﹣反证法【考点】流程图的概念．【分析】根据综合法和分析法的定义，可知由已知到可知进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，进而得到答案．【解答】解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①﹣综合法，②﹣分析法，故选：A9．如图是某同学为求50个偶数：2，4，6，…，100的平均数而设计的程序框图的部分内容，则在该程序框图中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是（）A． B．C．D．【考点】循环结构．【分析】由已知得本程序的作用是求50个偶数：2，4，6，…，100的平均数，由于第一次执行循环时的循环变量初值为0，计数变量为1，步长为1，最后一次执行循环进循环变量值为100，我们根据利用循环结构进行累加的方法，不难给出结论．【解答】解：本程序的作用是求50个偶数：2，4，6，…，100的平均数，由于第一次执行循环时的循环变量x初值为0，计数变量i为1，步长为1，最后一次执行循环进循环变量值为100，故判断框：i＞50；执行框：x=．故选A．[选修4-4：坐标系与参数方程]11．若点P为曲线（θ为参数）上一点，则点P与坐标原点的最短距离为（）A．B．C．D．2【考点】参数方程化成普通方程．【分析】将曲线方程化为普通方程，根据几何意义得出最短距离．【解答】解：曲线的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴曲线表示以（1，1）为圆心，以1为半径的圆．∴曲线的圆心到原点得距离为，∴点P与坐标原点的最短距离为．故选：A．[选修4-5：不等式选讲]12．已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，﹣2），B（3，2）是其图象上的两点，记不等式|f（x+2）|＜2的解集M，则∁R M=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据已知f（0）=﹣2，f（3）=2，从而由|f（x+2）|＜2便得f（0）＜f（x+2）＜f （3），根据f（x）为增函数便得0＜x+2＜3，这样便可得到M，求补集即可得出∁R M．【解答】解：由条件，f（0）=﹣2，f（3）=2；由|f（x+2）|＜2得﹣2＜f（x+2）＜2；∴f（0）＜f（x+2）＜f（3）；∵f（x）是R上的增函数；∴0＜x+2＜3；∴﹣2＜x＜1；即M=（﹣2，1）；∴∁R M=（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．故选C．13．以下判断正确的个数是（）①相关系数r，|r|值越小，变量之间的相关性越强．②命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“不存在x∈R，x2+x﹣1≥0”．③“p∨q”为真是“￢p”为假的必要不充分条件．④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是=1.23x+0.08．A．4 B．2 C．3 D．1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据相关系数r的大小与相关性强弱的关系进行判断．②特称命题的否定是全称命题进行判断③根据复合命题与充分条件和必要条件的定义进行判断，④根据回归方程的性质代入进行求解判断．【解答】解：①相关系数|r|值越小，变量之间的相关性越弱，故错误．②命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1≥0”，故错误．③“p∨q”为真时，“¬p”为假不一定成立，故“p∨q”为真是“¬p”为假的不充分条件，“¬p”为假时，“p”为真，“p∨q”为真，故“p∨q”为真是“¬p”为假的必要条件，故“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件，故正确；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则a=5﹣1.23×4=0.08，则回归直线方程是=1.23x+0.08，故正确；故选：B14．已知a，b＞0，a+b=5，则+的最大值为（）A．18 B．9 C．3D．2【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】利用柯西不等式，即可求出+的最大值．【解答】解：由题意，（ +）2≤（1+1）（a+1+b+3）=18，∴+的最大值为3，故选：C．15．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx ﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031 B．4031 C．﹣8062 D．8062【考点】函数的值；抽象函数及其应用．【分析】利用函数对称中心的性质得到当x1+x2=2时，恒有f（x1）+f（x2）=﹣4，能此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=x+sinπx﹣3，∴当x=1时，f（1）=1+sinπ﹣3=﹣2，∴根据对称中心的定义，可得当x1+x2=2时，恒有f（x1）+f（x2）=﹣4，∴=2015[f（）+f（）]+f（）=2015×（﹣4）﹣2=﹣8062．故选：C．[选修4-4：坐标系与参数方程]17．直线（t为参数）被曲线所截的弦长为（）A．B．C．D．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【分析】先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离d，再利用关系：l=2即可求出弦长l．【解答】解：直线（t为参数）化为普通方程：直线3x+4y+1=0．∵曲线，展开为ρ=cosθ﹣sinθ，∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，化为普通方程为x2+y2=x﹣y，即，∴圆心C，．圆心C到直线距离d==，∴直线被圆所截的弦长=．故选C．[选修4-5：不等式选讲]18．不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤2a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[2，+∞）D．a∈R【考点】绝对值三角不等式；其他不等式的解法．【分析】令f（x）=|x+3|﹣|x﹣1|，写出分段函数，求得f（x）的最大值4，由2a≥4求得实数a的取值范围．【解答】解：令f（x）=|x+3|﹣|x﹣1|=，作出图象如图，∴f（x）≤4，∵不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤2a对任意实数x恒成立，∴2a≥4，得a≥2．∴实数a的取值范围是[2，+∞）．故选：C．二.填空题：（本大题共4题，每小题5分，共20分）19．若复数z满足（2﹣i）z=4+3i（i为虚数单位），则z=1+2i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（2﹣i）z=4+3i，得，再利用复数代数形式的乘除运算化简则答案可求．【解答】解：由（2﹣i）z=4+3i，得=，故答案为：1+2i．20．具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如下表所示：X 0 1 2 3y ﹣1 1 m 8若y与x的回归直线方程为=3x﹣，则m的值是4．【考点】线性回归方程．【分析】利用平均数公式计算预报中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得答案．【解答】解：由题意，=1.5，=，∴样本中心点是坐标为（1.5，），∵回归直线必过样本中心点，y与x的回归直线方程为=3x﹣，∴=3×1.5﹣1.5，∴m=4故答案为：4．21．已知a n=log n（n+2）（n∈N*），观察下列算式：+1a1•a2=log23•log34=•=2；a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•=••…•=3…；若a1•a2•a3…a m=2016（m∈N*），则m的值为22016﹣2．【考点】归纳推理．【分析】根据已知中的等式，结合对数的运算性质，可得a1•a2•a3•…•=n（n≥2），进而得到答案．【解答】解：∵a n=log n（n+2）（n∈N*），+1∴a1•a2=log23•log34=•=2；a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•=••…•=3；…归纳可得：a1•a2•a3•…•=n（n≥2），若a1•a2•a3•…•a m=2016，则m=22016﹣2，故答案为：22016﹣2[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，把代入可得直角坐标方程．曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8x．联立解出即可．【解答】解：曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，化为直角坐标方程：x+y+2=0．曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8x．联立，解得，则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）．故答案为：（2，﹣4）．[选修4-5：不等式选讲]24．设a，b，m，n∈R，且a2+b2=3，ma+mb=3，则的最小值为．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．【解答】解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=3，ma+nb=3，∴（m2+n2）≥3∴的最小值为．故答案为：．三．解答题（本大题共1小题，共70分，解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤）[选修4-4：坐标系与参数方程]26．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且只有一个公共点，求a．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的充要条件即可得出．【解答】解：曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），即ρ2=2aρcosθ（a＞0），∴x2+y2=2ax，配方可得：C的直角坐标方程为（x﹣a）2+y2=a2．直线l：ρcos（θ﹣）=，展开为+=，可得直角坐标方程：．由直线与圆相切可得：，a＞0．解得：a=1．[选修4-5：不等式选讲]27．已知函数f（x）=+，求f（x）的最大值．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】直接利用柯西不等式，即可求f（x）的最大值．【解答】解：由柯西不等式有…当且仅当，即x=1时，等号成立．…所以，f（x）最大值的是3．…28．复数z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i（a∈R），（1）若z=，求|z|；（2）若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围．【考点】复数求模；复数的基本概念．【分析】（1）根据z=，确定方程即可求|z|；（2）利用复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i=a2﹣3a+2+（1﹣a2）i，（1）由知，1﹣a2=0，故a=±1．当a=1时，z=0；当a=﹣1时，z=6．（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即，即，所以﹣1＜a＜1．29．某学校研究性学习小组对该校高二学生视力情况进行调查，在高二的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？年级名次1～50 951～1000是否近视近视41 32不近视9 18P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879附：K2=．【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）利用直方图中前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，求出视力在5.0以下的频率，即可估计全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设各组的频率为f i（i=1，2，3，4，5，6），由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，…因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27，24，21，18…所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人，故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×=820．…（Ⅱ）K2==≈4.110＞3.841．…因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．…30．观察下面的解答过程：已知正实数a，b满足a+b=1，求+的最大值．解：∵•≤=a+，•≤=b+，相加得•+•=•（+）≤a+b+3=4，∴+≤2，等号在a=b=时取得，即+的最大值为2．请类比以上解题法，使用综合法证明下题：已知正实数x，y，z满足x+y+z=3，求++的最大值．【考点】类比推理．【分析】利用基本不等式，结合类比思想，再相加，即可求++的最大值．【解答】证明：∵，…．…．…∴…因为x+y+z=3，所以．…当且仅当等号在x=y=z=1时取得．即得最大值为．…31．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70（1）求回归直线方程；（2）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？（3）在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率．（，a=﹣b）【考点】线性回归方程．【分析】（1首先求出x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点满足线性回归方程，代入已知数据求出a的值，写出线性回归方程．（2当自变量取10时，把10代入线性回归方程，求出销售额的预报值，这是一个估计数字，它与真实值之间有误差．（3）确定基本事件的个数，求出两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的事件，即可得出结论．【解答】解：（1）===5，===50，∴===6.5，因此，所求回归直线方程为y=6.5x+17.5…（2）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，=6.5×10+17.5=82.5（万元），即这种产品的销售收入大约为82.5万元．…（3）x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 7030.5 43.5 50 56.5 69.5基本事件：（30，40），（30，60），（30，50），（30，70），（40，60），（40，50），（40，70），（60，50），（60，70），（50，70）共10个．两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5有（60，50），所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为1﹣=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]33．已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点M（3，0），倾斜角为．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于AB两点，求|MA|+|MB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，利用代入即可得出．由直线l过点M（3，0），倾斜角为，可得参数方程．（2）把直线l代入圆的直角坐标方程x2+y2﹣4x=0，得，化简后利用韦达定理可求t1+t2，t1t2的值，由|MA|+|MB|=|t1﹣t2|=即可求值得解．【解答】（本题满分10分）解：（1）对于C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∵，∴x2+y2=4x，∴对于l：有．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2将直线l的参数方程带入圆的直角坐标方程x2+y2﹣4x=0，得，化简得，[选修4-5：不等式选讲]34．设f（x）=|x﹣1|﹣|x+3|（1）解不等式f（x）＞2；（2）若不等式f（x）≤kx+1在x∈[﹣3，﹣1]上恒成立，求实数k的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）去掉绝对值符号，将函数化为分段函数的形式，解不等式f（x）＞2即可；（2）由于不等式f（x）≤kx+1在x∈[﹣3，﹣1]上恒成立，可得﹣2x﹣2≤kx+1在x∈[﹣3，﹣1]上恒成立，分离参数求最小值即可求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=|x﹣1|﹣|x+3|，∴x≤﹣3时，f（x）=﹣x+1+x+3=4＞2，∴x≤﹣3；﹣3＜x＜1时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣3=﹣2x﹣2＞2，∴x＜﹣2，∴﹣3＜x＜﹣2；x≥1时，f（x）=x﹣1﹣x﹣3=﹣4＞2，不成立．综上，不等式的解集为{x|x＜﹣2}；（2）x∈[﹣3，﹣1]时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣3=﹣2x﹣2，由于不等式f（x）≤kx+1在x∈[﹣3，﹣1]上恒成立，∴﹣2x﹣2≤kx+1在x∈[﹣3，﹣1]上恒成立，∴k≤﹣2﹣∵g（x）=﹣2﹣在x∈[﹣3，﹣1]上为增函数，∴﹣1≤g（x）≤1∴k≤﹣1．。
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在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（ A．①﹣综合法，②﹣分析法 C．①﹣综合法，②﹣反证法 B．①﹣分析法，②﹣综合法 D．①﹣分析法，②﹣反证法
）
9． （5 分）如图是某同学为求 50 个偶数：2，4，6，…，100 的平均数而设计的程序框图的 部分内容，则在该程序框图中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是（ ）
①相关系数 r，|r|值越小，变量之间的相关性越强． ②命题“存在 x∈R，x +x﹣1＜0”的否定是“不存在 x∈R，x +x﹣1≥0” ． ③“p∨q”为真是“￢p”为假的必要不充分条件． ④ 若回归直线的斜率估计值是 1.23 ，样本点的中心为（ 4 ， 5 ） ，则回归直线方程是 1.23x+0.08． A．4 B．2 + C．3 的最大值为（ C．3 D．1 ） D．2 ＝
17．直线
（t 为参数）被曲线
所截的弦长为（
）
A． [选修 4-5：不等式选讲]
B．
C．
D．
18．不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤2 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ A． （﹣∞，﹣2] C．[2，+∞） B． （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） D．a∈R
a
）
二.填空题： （本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分） 19． （5 分）若复数 z 满足（2﹣i）z＝4+3i（i 为虚数单位） ，则 z＝ 20． （5 分）具有线性相关关系的变量 x，y，满足一组数据如下表所示： X y 0 ﹣1 1 1 2 m 3 8 ． ．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD．8062
[选修 4-1：几何证明选讲] 16． （5 分）如图，锐角三角形 ABC 中，以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 D、E，则
2015-2016学年河南省郑州一中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年河南省郑州一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．存在x0∈R，使得x02＜0B．对任意x∈R，使得x2＜0C．存在x0∈R，都有D．不存在x∈R，使得x2＜02．（5分）抛物线y＝2x2的准线方程为（）A．B．C．D．3．（5分）以棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B1B对角线交点的坐标为（）A．（0，）B．（）C．（）D．（）4．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8＝16，则a2+a6+a10＝（）A．12B．16C．20D．245．（5分）在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A．b＝7，c＝3，C＝30°B．a＝20，b＝30，C＝30°C．b＝4，c＝2，C＝60°D．b＝5，c＝4，C＝45°6．（5分）有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③7．（5分）已知F是双曲线C：y2﹣mx2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．C．D．8．（5分）数列{a n}，已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+a n＝2n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2B．C．D．4n﹣19．（5分）已知△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac sin A＜，则（）A．△ABC是钝角三角形B．△ABC是锐角三角形C．△ABC是直角三角形D．无法判断10．（5分）设x，y满足约束条件，若x2+4y2≥m恒成立，则实数m的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得＝4a1，且a6＝a5+2a4，则的最小值是（）A．B．2C．D．12．（5分）设F1、F2分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN ＝120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且＝2x•+3y•+4z•，则2x+3y+4z＝．14．（5分）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为．15．（5分）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2＝4，且C＝60°，则a+b的最小值为．16．（5分）把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n}，若a n＝2015，则n＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）＝ax2﹣c满足﹣4≤f（1）≤﹣1，﹣1≤f（2）≤5，求f（3）的取值范围．18．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A＝，b sin（+C）﹣c sin（+B）＝a，（1）求证：B﹣C＝（2）若a＝，求△ABC的面积．20．（12分）已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，a3是a1，a7的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设T n为数列的前n项和，若对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．21．（12分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，P A⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．（1）证明：PF⊥FD；（2）判断并说明P A上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；（3）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值．22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等差数列，点M（1，1），求S△ABM的最大值．2015-2016学年河南省郑州一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得：命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“∃x0∈R，使得”．故选：A．2．【解答】解：抛物线的方程可变为x2＝y故p＝，其准线方程为y＝﹣，故选：D．3．【解答】解：由题意如图，平面AA1B1B对角线交点是横坐标为AB的中点值，竖坐标为AA1的中点值，纵坐标为0，所以平面AA1B1B对角线交点的坐标为（）．故选：B．4．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a4+a8＝16，∴a4+a8＝2a6＝16，解得a6＝8，∴a2+a6+a10＝3a6＝24．故选：D．5．【解答】解：对于A，∵b＝7，c＝3，C＝30°，∴由正弦定理可得：sin B＝＝＝＞1，无解；对于B，∵a＝20，b＝30，C＝30°，∴由余弦定理可得c＝＝＝，有一解；对于C，∵b＝4，c＝2，C＝60°，∴由正弦定理可得：sin B＝＝＝1，B＝90°，A＝30°，有一解；对于D，∵b＝5，c＝4，C＝45°，∴由正弦定理可得：sin B＝＝＝，又B为三角形的内角，∴B∈（45°，180°），可得B有2解，本选项符合题意；故选：D．6．【解答】解：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；所以不正确．反例：如果有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选：C．7．【解答】解：双曲线C：y2﹣mx2＝3m（m＞0）即为﹣＝1，可得a2＝3m，b2＝3，c2＝a2+b2＝3m+3，设F（0，），一条渐近线方程为y＝x，则点F到C的一条渐近线的距离为＝．故选：A．8．【解答】解：∵a1+a2+a3+…+a n＝2n﹣1…①∴a1+a2+a3+…+a n﹣1＝2n﹣1﹣1…②，①﹣②得a n＝2n﹣1，∴a n2＝22n﹣2，∴数列{a n2}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴a12+a22+a32+…+a n2＝＝，故选：C．9．【解答】解：△ABC中，ac sin A＜，∴ac sin A＜ca cos B，即sin A＜cos B，∴sin A＜sin（﹣B），∴A＜﹣B，∴A+B＜，∴C＞，∴△ABC是钝角三角形．故选：A．10．【解答】解：设a＝x，b＝2y，则不等式x2+4y2≥m等价为a2+b2≥m，则约束条件等价为，作出不等式组对应的平面区域如图：设z＝a2+b2，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离，由图象知O到直线2a+b＝2的距离最小，此时原点到直线的距离d＝，则z＝d2＝，即m≤，即实数m的最大值为，故选：C．11．【解答】解：在等比数列中，∵a6＝a5+2a4，∴，即q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣1（舍去），∵＝4a 1，∴，即2m+n﹣2＝16＝24，∴m+n﹣2＝4，即m+n＝6，∴，∴＝（）＝，当且仅当，即n＝2m时取等号．故选：A．12．【解答】解：不妨设圆与y＝x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣x0，﹣y0），联立y0＝x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），又A（﹣a，0）且∠MAN＝120°，所以由余弦定理得4c2＝（a+a）2+b2+b2﹣2•b cos 120°，化简得7a2＝3c2，求得e＝．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：∵＝2x•+3y•+4z•，∴＝﹣2x•﹣3y•﹣4z•，∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1∴2x+3y+4z＝﹣1故答案为：﹣114．【解答】解：∵F是抛物线y2＝x的焦点F（，0）准线方程x＝﹣设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|＝x1++x2+＝3解得x1+x2＝∴线段AB的中点横坐标为∴线段AB的中点到y轴的距离为故答案为：．15．【解答】解：∵（a+b）2﹣c2＝4，∴c2＝a2+b2+2ab﹣4①∵△ABC中，C＝60°，∴c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣ab②由①②得：3ab＝4，ab＝．∴a+b≥2＝2＝（当且仅当a＝b＝时取“＝”）．∴a+b的最小值为．故答案为：．16．【解答】解：分析图乙，可得①第k行有k个数，则前k行共有个数，②第k行最后的一个数为k2，③从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列，又由442＝1936，452＝2025，则442＜2015＜452，则2015出现在第45行，第45行第一个数为442+1＝1937，这行中第＝40个数为2015，前44行共有＝990个数，则2015为第990+40＝1030个数．故答案为：1030．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】解：∵f（x）＝ax2﹣c，∴f（1）＝a﹣c，f（2）＝4a﹣c，f（3）＝9a﹣c则由题意可得，，作出其平面区域如下图：则过点A（0，1），B（3，7）时，有f（3）有最值，f（3）min＝0﹣1＝﹣1，f（3）max＝9×3﹣7＝20．故f（3）的取值范围为[﹣1，20]．18．【解答】解：（1）a＝1时，命题p：x2﹣4x+3＜0⇔1＜x＜3命题q：⇔⇔2＜x≤3，p∧q为真，即p和q均为真，故实数x的取值范围是2＜x＜3（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．由（1）知命题q：2＜x≤3，命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0⇔（x﹣a）（x﹣3a）＜0由题意a＞0，所以命题p：a＜x＜3a，所以，所以1＜a≤219．【解答】解：（1）证明：由b sin（+C）﹣c sin（）＝a，由正弦定理可得sin B sin （+C）﹣sin C sin（）＝sin A．sin B（）﹣sin C（）＝．整理得sin B cos C﹣cos B sin C＝1，即sin（B﹣C）＝1，由于0＜B，C，从而B﹣C＝．（2）解：B+C＝π﹣A＝，因此B＝，C＝，由a＝，A＝，得b＝＝2sin，c＝＝2sin，所以三角形的面积S＝＝cos sin＝．20．【解答】解：（I）设公差为d，∵S4＝14，a3是a1，a7的等比中项∴，解得：或（舍去），∴a n＝2+（n﹣1）＝n+1；（II）∵，∴T n＝﹣+﹣+…+＝﹣＝，∵对一切n∈N*恒成立，∴∴∀n∈N*恒成立，又≥16，∴λ≤16∴λ的最大值为16．21．【解答】解法一：（Ⅰ）∵P A⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，1，0），D（0，2，0）．（2分）不妨令P（0，0，t）∵，∴，即PF⊥FD．（4分）（Ⅱ）设平面PFD的法向量为，由，得，令z＝1，解得：．∴．（6分）设G点坐标为（0，0，m），，则，要使EG∥平面PFD，只需，即，得，从而满足的点G即为所求．（8分）（Ⅲ）∵AB⊥平面P AD，∴是平面P AD的法向量，易得，（9分）又∵P A⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得∠PBA＝45°，P A＝1，平面PFD的法向量为（10分）∴，故所求二面角A﹣PD﹣F的余弦值为．（12分）解法二：（Ⅰ）证明：连接AF，则，，又AD＝2，∴DF2+AF2＝AD2，∴DF⊥AF（2分）又P A⊥平面ABCD，∴DF⊥P A，又P A∩AF＝A，∴（4分）（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有（5分）再过点H作HG∥DP交P A于点G，则HG∥平面PFD且，∴平面GEH∥平面PFD（7分）∴EG∥平面PFD．从而满足的点G即为所求．（8分）（Ⅲ）∵P A⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，且∠PBA＝45°．∴P A＝AB＝1（9分）取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面P AD，在平面P AD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A﹣PD﹣F的平面角（10分）∵Rt△MND∽Rt△P AD，∴，∵，且∠FMN＝90°∴，，∴（12分）22．【解答】解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），则∵椭圆离心率，点在椭圆C上，∴，解得a＝2，b＝1，∴椭圆方程为；（2）设直线n的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），（x2，y2），则∵k OA、k、k OB成等差数列，∴m（x1+x2）＝0，∴m＝0，∴直线n的方程为y＝kx代入椭圆方程得（1+4k2）x2＝4，∴|AB|＝．∵M到y＝kx的距离为d＝∴S＝•＝∴S2＝，∴（S2）′＝，∴k，（S2）′＞0，﹣＜k＜1，（S2）′＜0，k＞1，（S2）′＞0，∴k＝﹣时，S取得最大值．。
河南省郑州市2015-2016学年高二数学下学期期末试卷理(含解析)
2015-2016学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题所给的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z满足z+3i﹣3=6﹣3i，则z=（）A．9 B．3﹣6i C．﹣6i D．9﹣6i2．函数f（x）=2x+1在（1，2）内的平均变化率（）A．3 B．2 C．1 D．03．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A．50 B．60 C．120 D．904．在2013年9月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x 9 9.5 10 10.5 11销售量y 11 10 8 6 5由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：y=﹣3.2x+a，则a=（）A．﹣24 B．35.6 C．40.5 D．405．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好6．设（2﹣x）6=a0+a1x+a2x+…+a6x6则|a1|+|a2|+…+|a6|的值是（）A．665 B．729 C．728 D．637．若x=2是函数f（x）=x（x﹣m）2的极大值点，则m的值为（）A．3 B．6 C．2或6 D．28．由曲线y2=2x和直线y=x﹣4所围成的图形的面积（）A．21 B．16 C．20 D．189．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（）A．B．C．D．10．对于R上的可导函数f（x），若a＞b＞1且有（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（a）+f（b）＜2f（1）B．f（a）+f（b）≤2f（1）C．f（a）+f（b）≥2f（1）D．f（a）+f（b）＞2f（1）11．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×2201412．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）= ．14．已知函数f（x）=+x+1有两个极值点，则实数a的取值范围是．15．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种．16．观察下列等式：+=1+++=12+++++=39…则当m＜n且m，n∈N时， =（最后结果用m，n表示）三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知（+）n展开式中的倒数第三项的系数为45．求：（1）含x5的项；（2）系数最大的项．18．已知数列{a n}满足S n+a n=2n+1．（1）写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．19．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．20．已知函数f（x）=x3+（1﹣a） x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上不单调，求a的取值范围．21．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．患心肺疾病不患心肺疾病合计男 5女10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 22．已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题所给的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z满足z+3i﹣3=6﹣3i，则z=（）A．9 B．3﹣6i C．﹣6i D．9﹣6i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接移向变形得答案．【解答】解：由z+3i﹣3=6﹣3i，得z=6﹣3i+3﹣3i=9﹣6i．故选：D．2．函数f（x）=2x+1在（1，2）内的平均变化率（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】变化的快慢与变化率．【分析】求出在区间（1，2）上的增量△y=f（2）﹣f（1），再利用平均变化率的公式，求出平均变化率．【解答】解：函数f（x）在区间（1，2）上的增量为：△y=f（2）﹣f（1）=2×2+1﹣3=2，所以f（x）在区间（1，2）上的平均变化率为：==2．故选：B．3．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A．50 B．60 C．120 D．90【考点】计数原理的应用．【分析】本题属于排列问题，全排即可．【解答】解：5本不同的数学用书，全排列，故有A55=120种，故选：C4．在2013年9月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x 9 9.5 10 10.5 11销售量y 11 10 8 6 5由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：y=﹣3.2x+a，则a=（）A．﹣24 B．35.6 C．40.5 D．40【考点】线性回归方程．【分析】先求出横标和纵标的平均数，根据a=y﹣bx，把所求的平均数和方程中出现的b的值代入，求出a的值，题目中给出公式，只要代入求解即可得到结果．【解答】解： ==10，==8，∵y=﹣3.2x+a，∴a=3.2x+y=3.2×10+8=40．故选D．5．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好【考点】相关系数．【分析】A根据相关关系的定义，判断命题A正确；B线性回归分析的相关系数r的绝对值越接近1，线性相关性越强，判断命题B错误；C一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断命题C正确；D用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，由此判断命题D正确．【解答】解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．故选：B．6．设（2﹣x）6=a0+a1x+a2x+…+a6x6则|a1|+|a2|+…+|a6|的值是（）A．665 B．729 C．728 D．63【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6，把x=﹣1，x=0代入已知式子计数可得结果．【解答】解：∵（2﹣x）6=a0+a1x+a2x+…+a6x，由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，令x=﹣1可得：∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6=（2+1）6=729，x=0时，a0=26=64．∴|a1|+|a2|+…+|a6|=665．故选：A．7．若x=2是函数f（x）=x（x﹣m）2的极大值点，则m的值为（）A．3 B．6 C．2或6 D．2【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意可知：求导，f′（2）=0，求得m的值，再分别利用函数极值的判断，求得m的值．【解答】解：f（x）=x（x﹣m）2=x3﹣2mx2+m2x，则f′（x）=3x2﹣4mx+m2，x=2是函数f（x）的极大值点，f′（2）=0，12﹣8m+m2=0，解得m=2或6，当m=2时，f（x）=x（x﹣2）2，f′（x）=3x2﹣8x+4，f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜，f′（x）＜0，解得：＜x＜2，∴f（x）的单调递增区间为：（﹣∞，），（2，+∞），单调递减区间为：（，2），∴x=是f（x）的极大值，x=2是f（x）的极小值；当m=6时，f（x）=x（x﹣6）2，f′（x）=3x2﹣24x+36，f′（x）＞0，解得：x＞6或x＜2，f′（x）＜0，解得：2＜x＜6，∴f（x）的单调递增区间为：（﹣∞，2），（6，+∞），单调递减区间为：（2，6），∴x=2是f（x）的极大值，x=6是f（x）的极小值；所以m=6，故答案选：B．8．由曲线y2=2x和直线y=x﹣4所围成的图形的面积（）A．21 B．16 C．20 D．18【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先求出曲线y2=2x 和直线y=x﹣4的交点坐标，从而得到积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可．【解答】解：由解得曲线y2=2x 和直线y=x﹣4的交点坐标为：（2，﹣2），（8，4）选择y为积分变量∴由曲线y2=2x 和直线y=x﹣4所围成的图形的面积S=（y+4﹣y2）=（y2+4y﹣y3）|﹣24=18，故选：D．9．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】因为第一次抽出正品，所以剩下的9件中有5件正品，所以第二次也摸到正品的概率是，据此解答即可．【解答】解：设“第一次摸出正品”为事件A，“第二次摸出正品”为事件B，则事件A和事件B相互独立，在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率为：P（B|A）===．故选：D．10．对于R上的可导函数f（x），若a＞b＞1且有（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（a）+f（b）＜2f（1）B．f（a）+f（b）≤2f（1）C．f（a）+f（b）≥2f（1）D．f（a）+f（b）＞2f（1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由不等式，通过分类讨论可以得出f（x）的单调性，即可得出f（a），f（b），f （1）的大小关系．【解答】解：由（x﹣1）f′（x）≥0可以得知，若（x﹣1）f′（x）＞0，则有以下两种情况：①当x＞1时，有f′（x）＞0；②当x＜1时，有f′（x）＜0，∴可以得知当x＞1时，f（x）单调递增，当x＜1时，f（x）单调递减，∵a＞b＞1，∴f（a）＞f（b）＞f（1）∴f（a）+f（b）＞2f（1），而当（x﹣1）f′（x）=0时，可以得知，f（a）=f（b）=f（1），∴f（a）+f（b）=2f（1），综上，可得f（a）+f（b）≥2f（1），故选：C．11．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×22014【考点】归纳推理．【分析】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故第1行的第一个数为：2×2﹣1，第2行的第一个数为：3×20，第3行的第一个数为：4×21，…第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，第2016行只有M，则M=（1+2016）•22014=2017×22014故选：B．12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）= 0.8413 ．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量ξ～N（2，1），得到正态曲线关于x=2对称，由P（ξ＞1）=P（ξ＜3），即可求概率．【解答】解：∵随机变量ξ～N（2，1），∴正态曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞3）=0.1587，∴P（ξ＞1）=P（ξ＜3）=1﹣0.1587=0.8413．故答案为：0.841314．已知函数f（x）=+x+1有两个极值点，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．【解答】解：函数f（x）=+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2﹣4＞0，解得，a＞1或a＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）15．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36 种．【考点】排列、组合的实际应用；排列、组合及简单计数问题．【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足A、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案．【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，故满足条件的摆法有48﹣12=36种．故答案为：36．16．观察下列等式：+=1+++=12+++++=39…则当m＜n且m，n∈N时， = n2﹣m2（最后结果用m，n表示）【考点】归纳推理．【分析】通过观察，第一个式子为m=0，n=1．第二个式子为m=2，n=4．第三个式子为m=5，n=8，然后根据结果值和m，n的关系进行归纳得到结论．【解答】解：当m=0，n=1时，为第一个式子+=1，此时1=12﹣0，当m=2，n=4时，为第二个式子+++=12，此时12=42﹣22当m=5，n=8时，为第三个式子+++++=39，此时39，=82﹣52由归纳推理可知， =n2﹣m2．故答案为：n2﹣m2三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知（+）n展开式中的倒数第三项的系数为45．求：（1）含x5的项；（2）系数最大的项．【考点】二项式定理的应用．【分析】（1）由题意知=45，求得 n=10，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得k的值，可得含x3的项．（2）本题即求二项式系数最大的项，利用通项公式求得结果．【解答】解：（1）由题意知=45，∴n=10，T k+1=•，令=5，得k=2．所以含x3的项为 T3=•x3=45x3．（2）系数最大的项，即二项式系数最大的项，即T6=•=252•．18．已知数列{a n}满足S n+a n=2n+1．（1）写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．【考点】数列递推式；数学归纳法．【分析】（1）取n=1，2，3，分别求出a1，a2，a3，然后仔细观察，总结规律，猜测a n的值．（2）用数学归纳法进行证明，①当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即a k=2﹣，当n=k+1时，a1+a2+…+a k+a k+1+a k+1=2（k+1）+1，a k+1=2﹣，当n=k+1时，命题成立．故a n=2﹣都成立．【解答】解：（1）当n=1，时S1+a1=2a1=3∴a1=当n=2时，S2+a2=a1+a2+a2=5∴a2=，同样令n=3，则可求出a3=∴a1=，a2=，a3=猜测a n=2﹣（2）①由（1）已得当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即a k=2﹣，当n=k+1时，a1+a2+…+a k+2a k+1=2（k+1）+1，且a1+a2+…+a k=2k+1﹣a k∴2k+1﹣a k+2a k+1=2（k+1）+1=2k+3，∴2a k+1=2+2﹣，即a k+1=2﹣，即当n=k+1时，命题成立．根据①②得n∈N+，a n=2﹣都成立．19．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列为：X 0 1 2 3PE（X）=3×=．20．已知函数f（x）=x3+（1﹣a） x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上不单调，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】（Ⅰ）先求导数：f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2），再利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b等式解之，从而问题解决．（Ⅱ）根据题中条件：“函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，”等价于“导函数f′（x）在（﹣1，1）既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数”，由于导函数是一个二次函数，有两个根，故问题可以转化为到少有一根在区间（﹣1，1）内，先求两根，再由以上关系得到参数的不等式，解出两个不等式的解集，求其并集即可；【解答】解析：（Ⅰ）由题意得f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）又，解得b=0，a=﹣3或a=1（Ⅱ）函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，等价于导函数f′（x）[是二次函数]，在（﹣1，1有实数根但无重根．∵f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）=（x﹣a）[3x+（a+2）]，令f′（x）=0得两根分别为x=a与x=若a=即a=﹣时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，当两者不相等时即a≠﹣时有a∈（﹣1，1）或者∈（﹣1，1）解得a∈（﹣5，1）且a≠﹣综上得参数a的取值范围是（﹣5，﹣）∪（﹣，1）21．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．患心肺疾病不患心肺疾病合计男 5女10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【考点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病的概率为，可得患心肺疾病的人数，即可得到列联表；（2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．（3）在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ服从超几何分布，即可得到ξ的分布列、数学期望以及方差．【解答】解：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病生的概率为，可得患心肺疾病的为30人，故可得列联表补充如下患心肺疾病不患心肺疾病合计男20 5 25女10 15 25合计30 20 50（2）因为 K2=，即K2==，所以 K2≈8.333又 P（k2≥7.879）=0.005=0.5%，所以，我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．（3）现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行胃病的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ=0，1，2，3．故P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=，则ξ的分布列：ξ0 1 2 3P则Eξ=1×+2×+3×=0.9，Dξ=×（0﹣0.9）2+×（1﹣0.9）2+×（2﹣0.9）2+×（3﹣0.9）2=0.4922．已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性．（2）利用（1）的结论，求函数f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它们之间的关系证明不等式．（3）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a．【解答】解：（1）因为，所以当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．当1＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极小值为f （1）=1．（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．又，所以当0＜x＜e时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增．所以g（x）的最大值为g（e）=，所以，所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+．（3）假设存在实数a，使f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，则，①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，，（舍去），此时函数f（x）的最小值不是3．②当0时，f（x）在（0，]上单调递减，f（x）在（，e]上单调递增．所以f，满足条件．③当时，f（x）在（0，e]上单调递减，，（舍去），此时函数f（x）的最小值是不是3．综上可知存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3．。
郑州市2015-2016学年下期期末考试高二数学(理)试题(含答案)
，
当 n 1 时， a 1 2
3 2
, 结论成立..........................................................6 分 1 2
k
假设当 n k k 1, k N * 时结论成立，即 a k 2
，.........................7 分
1
48 125
2
125
3
1 125
...................12 分 20.解：（1）因为函数 f x 的图像过原点，则 b 0 ，
所以 f x x 3 1 a x 2 a a 2 x ，又 f ' x 3 x 2 2 1 a x a a 2 由 f ' 0 3 ， - a a 2 3, 即 a 3 或 a 1 ...............................5 分 （2）由 f ' 0 0 得 x1 a , x 2 若a 若a
1 2
k
，
a k 1 2
，所以当 n k 1 时结论也成立.
由知对于任意的正整数 n ，结论都成立.............................................12 分
19.解： （1）设事件 A1 为“从 1 号箱中摸出的 1 个球是红球” ， A 2 为“从 2 号箱中摸 出 1 个球是红球” ， B 1 为“顾客抽奖 1 次获一等奖” ， B 2 为“顾客抽奖 1 次获二等奖” ，C 为“顾客抽奖 1 次能获奖” . .....................2 分
2015-2016学年河南省郑州一中高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年河南省郑州一中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）下列命题是全称命题的是（）A．存在x∈R，使x2﹣x+1＜0B．所有2的倍数都是偶数C．有一个实数x，使|x|≤0D．有的三角形是等边三角形2．（5分）抛物线y2＝2x的准线方程是（）A．y＝B．y＝﹣C．x＝D．x＝﹣3．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝7a1，则数列{a n}的公比q的值为（）A．2B．3C．2或﹣3D．2或34．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8＝16，则a2+a6+a10＝（）A．12B．16C．20D．245．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝2a，则（）A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定6．（5分）椭圆ax2+by2＝1与直线y＝1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m8．（5分）在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形9．（5分）已知数列{a n}：，+，++，…，+++…+，…，那么数列b n＝的前n项和S n为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|＜﹣1}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＞1} 11．（5分）正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得＝4a1，且a6＝a5+2a4，则的最小值是（）A．B．2C．D．12．（5分）设F1、F2分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN ＝120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知直线y＝kx+1与曲线y＝x3+ax+b切于点（1，3），则a，b的值分别为．14．（5分）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为．15．（5分）若x，y满足约束条件，且z＝kx+y取最小值时的最优解有无数个，则k＝．16．（5分）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2＝4，且C＝60°，则a+b的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）等差数列{a n}中，a2＝4，a4+a7＝15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．18．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）如图，货轮在海上以50浬/时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为155°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125°．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80°．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最简根号）．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A＝，b sin（+C）﹣c sin（+B）＝a，（1）求证：B﹣C＝（2）若a＝，求△ABC的面积．21．（12分）若椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等差数列，又有点M（1，1），求S△ABM的面积（结果用k表示）；（3）求出（2）中S△ABM的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x．（1）求f（x）的单调区间及最大值；（2）若不等式xf（x）+x2﹣kx+k＞0对∀x∈（2，+∞）恒成立，求实数k的最大值；（3）若数列{a n}的通项公式为，试结合（1）中有关结论证明：a1•a2•a3…a n＜e（e为自然对数的底数）．2015-2016学年河南省郑州一中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．【解答】解：对于A，C，D中，分别含有特称量词“有一个”，“有的”，“存在”，故A，C，D都是特称命题；对于B，含有全称量词“所有”，故B是全称命题．故选：B．2．【解答】解：∵抛物线的方程为y2＝2x，∴2p＝2，得＝，可得抛物线的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣．故选：D．3．【解答】解：由S3＝7a1，则a1+a2+a3＝7a1，即a1+a1q+a1q2＝7a1，由a1≠0，化简得：1+q+q2＝7，即q2+q﹣6＝0，因式分解得：（q﹣2）（q+3）＝0，解得q＝2或q＝﹣3，则数列{a n}的公比q的值为2或﹣3．故选：C．4．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a4+a8＝16，∴a4+a8＝2a6＝16，解得a6＝8，∴a2+a6+a10＝3a6＝24．故选：D．5．【解答】解：由题意得，∠C＝120°，c＝2a，根据正弦定理得，sin C＝2sin A，即2sin A＝，所以sin A＝，又∠C＝120°，所以A＜30°，又B＝180°﹣C﹣A＝60°﹣A＞30°＝A，所以b＞a，故选：B．6．【解答】解：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2＝1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1＝0，A（x1，y1），B（x2，y2），，y1+y2＝1﹣x1+1﹣x2＝2﹣＝，AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k＝＝＝．故选：A．7．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为＝0，∴点F到C的一条渐近线的距离为＝．故选：A．8．【解答】解：由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac，又b2＝ac，∴a2+c2﹣ac＝ac，∴（a﹣c）2＝0，∴a＝c，∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC的形状是等边三角形．故选：D．9．【解答】解：由题意，数列{a n}的通项为a n＝＝∴b n＝＝4（）∴S n＝4（1﹣++…+）＝4（）＝故选：A．10．【解答】解：设g（x）＝f（x）﹣﹣，则函数的g（x）的导数g′（x）＝f′（x）﹣，∵f（x）的导函数f′（x）＜，∴g′（x）＝f′（x）﹣＜0，则函数g（x）单调递减，∵f（1）＝1，∴g（1）＝f（1）﹣﹣＝1﹣1＝0，则不等式f（x）＜+，等价为g（x）＜0，即g（x）＜g（1），则x＞1，即f（x）＜+的解集{x|x＞1}，故选：D．11．【解答】解：在等比数列中，∵a6＝a5+2a4，∴，即q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣1（舍去），∵＝4a 1，∴，即2m+n﹣2＝16＝24，∴m+n﹣2＝4，即m+n＝6，∴，∴＝（）＝，当且仅当，即n＝2m时取等号．故选：A．12．【解答】解：不妨设圆与y＝x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣x0，﹣y0），联立y0＝x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），又A（﹣a，0）且∠MAN＝120°，所以由余弦定理得4c2＝（a+a）2+b2+b2﹣2•b cos 120°，化简得7a2＝3c2，求得e＝．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：把（1，3）代入直线y＝kx+1中，得到k＝2，求导得：y′＝3x2+a，所以y′|x＝1＝3+a＝2，解得a＝﹣1，把（1，3）及a＝﹣1代入曲线方程得：1﹣1+b＝3，则b的值为3．故答案为：﹣1和3．14．【解答】解：∵F是抛物线y2＝x的焦点F（，0）准线方程x＝﹣设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|＝x1++x2+＝3解得x1+x2＝∴线段AB的中点横坐标为∴线段AB的中点到y轴的距离为故答案为：．15．【解答】解：∵z＝kx+y则y＝﹣kx+z，z为直线y＝﹣x+在y轴上的截距，要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，则截距最小时的最优解有无数个．把z＝kx+y平移，使之与可行域中的边界AC，或BC重合即可，∵A（2，2），B（﹣1，2），C（1，0），∴﹣k＝＝2或﹣k＝解得k＝2或k＝﹣1，故答案为：2或﹣1．16．【解答】解：∵（a+b）2﹣c2＝4，∴c2＝a2+b2+2ab﹣4①∵△ABC中，C＝60°，∴c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣ab②由①②得：3ab＝4，ab＝．∴a+b≥2＝2＝（当且仅当a＝b＝时取“＝”）．∴a+b的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，解得，所以a n＝3+（n﹣1）＝n+2；（Ⅱ）b n＝+n＝2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10＝（2+1）+（22+2）+…+（210+10）＝（2+22+...+210）+（1+2+ (10)＝+＝2101．18．【解答】解：（1）当a＝1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p 真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]19．【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝155°﹣125°＝30°，∠BCA＝180°﹣155°+80°＝105°，∠BAC＝180°﹣30°﹣105°＝45°，BC＝×50＝25，由正弦定理，得∴AC＝＝（浬）答：船与灯塔间的距离为浬．20．【解答】解：（1）证明：由b sin（+C）﹣c sin（）＝a，由正弦定理可得sin B sin （+C）﹣sin C sin（）＝sin A．sin B（）﹣sin C（）＝．整理得sin B cos C﹣cos B sin C＝1，即sin（B﹣C）＝1，由于0＜B，C，从而B﹣C＝．（2）解：B+C＝π﹣A＝，因此B＝，C＝，由a＝，A＝，得b＝＝2sin，c＝＝2sin，所以三角形的面积S＝＝cos sin＝．21．【解答】解：（1）设椭圆方程为+＝1（a＞b＞0），由点在椭圆C上，知+＝1 ①又e＝＝＝②联立①②解得，a＝2，b＝1，所以椭圆方程为+y2＝1；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线n的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0．△＝64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＝16（4k2﹣m2+1）＞0，且x1+x2＝﹣，因为直线OA，AB，OB的斜率依次成等差数列，所以+＝2k，即x1y2+x2y1＝2kx1x2，又y＝kx+m，所以kx1x2+mx2+kx1x2+mx1＝2kx1x2，即为m（x1+x2）＝0，即m＝0，联立易得A（，），B（﹣，﹣），弦AB的长为，又点M到直线y＝kx的距离d＝，所以S△ABM＝••＝；（3）令f（k）＝，则f′（k）＝，易知f（k）在（﹣∞，﹣），（1，+∞）上单调递增，在（﹣，1）上单调递减．又f（﹣）＝5，且x→+∞时，f（k）→1．所以当k＝﹣时，f（k）取最大值5，此时，S△ABM的面积取最大值．22．【解答】（1）解因f（x）＝ln x﹣x，所以f′（x）＝﹣1＝．当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．所以f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．（2）解：令g（x）＝＝，则g′（x）＝，令h（x）＝x﹣ln x﹣1，则h′（x）＝1﹣，x＞2时h′（x）＞0，故h（x）在（2，+∞）上单调递增，而h（x）＞h（2）＝1﹣ln 2＞0，h（x）＞0，即g′（x）＞0，所以g（x）在（2，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（2）＝＝2ln 2．由题意有k≤2ln 2，所以k的最大值是2ln 2．（3）证明：由（1）知，当x＞0时，f（x）＜f（1）＝﹣1，即ln x＜x﹣1．因为a n＝1+（n∈N*），所以ln a n＝ln（1+）＜．令k＝1，2，3，…+，n，这n个式子相加得：ln a1+ln a2+…+ln a n＜+++…＝1﹣＜1．即ln（a1a2a3…+a n）＜1，所以a1a2a3…a n＜e．。