正弦函数的图像与性质教案

《正弦函数的图像与性质》

教学目标：1、理解正弦函数的周期性；

2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图；

3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质；

4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间；

教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像；

2、利用函数图像观察正弦函数的性质；

3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想

教学难点：正弦函数性质的理解和应用 教学过程： Ⅰ 知识回顾

终边相同角的诱导公式：

)(sin )2sin(Z ∈=+k k απα

所以正弦函数是周期函数，即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期，其中π2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为π2

Ⅱ 新知识

1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象

x y sin =，[]π2,0∈x

（1）、列表

（2）、描点

（3）、连线

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…，

[][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ，…与x y sin =，[]π2,0∈x 的图像相

同

2、正弦函数的奇偶性

由诱导公式x x sin )sin(-=-，R x ∈得： ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=-

所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称） 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得： 正弦函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-

ππ

ππ

k k 22,

22

是增函数，在⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为[]1,1-

Ⅲ 知识巩固

例1 作下列函数的简图 （1）

x y sin =，[]π2,0∈x （2）x y sin 1+=，[]π2,0∈x

解：（1）①列表

②描点

③连线

（2）①列表

②描点 ③连线

例2 求下列函数的单调区间

（1）)sin(x y -= （2）)4

sin(π

-=x y

解：（1）因

x x y sin )sin(-=-=

所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-

ππ

ππ

k k 22,

22

是减函数，在⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是增函数 （2）由题知：ππ

π

ππ

k x k 22

4

22

+≤

-≤+-

ππππ

k x k 24

3

24

+≤

≤+-

⇒ πππ

ππ

k x k 2234

22

+≤

-

≤+ππππk x k 24

7243+≤≤+⇒ 所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-

ππππ

k k 243,24是增函数，在⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++ππππk k 247,243是减函数

求函数)4

sin(π

+=x y 的单调性

解：由题知：

ππ

π

ππ

k x k 22

4

22

+≤

+

≤+-

ππ

ππk x k 24

243+≤≤+-

⇒ πππ

ππ

k x k 2234

22

+≤

+

≤+ππππk x k 24

5

24+≤≤+⇒ 所以函数在⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++-

ππππk k 24,243是增函数，在⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++ππππk k 245,24是减函数

Ⅳ 小结

用“五点法”作正弦函数的图像，利用正弦函数的简图可以观察到正弦函数的一些基本性质，如奇

偶性、单调性、周期性等

正弦函数的图象与性质（二）

目标：

1、理解振幅的定义；理解振幅变换和周期变换的规律;

2、会用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象；会用图象变换的方法画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象； 重点：掌握函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)图象的作法和性质 一、基础梳理：

1、形如sin()y A x ωϕ=+的函数，通常叫做正弦型函数，其周期T=__________，频率f=_________，初相为________，值域为________，_________也称为振幅，振幅反映了sin()y A x ωϕ=+的波动幅度的大小。

2、正弦型函数图象的变换方式

（1）振幅变换：当A 发生变化时称为振幅变换，它改变的是图象上各点的____________. （2）周期变换：当ω发生变化时称为周期变换，它改变的是图象上各点的____________. （3）相位变换：当ϕ发生变化时称为相位变换，它改变的是这个图象左右的位置。

（4）上下平移变换：对于函数y=sinx+b 的图象，可以看做是把y=sinx 的图象上所有的点_____(当b>0时)或_______(当b<0时)平行移动b 个单位而得到，y=sinx+b 的值域是_______________.

3、正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的性质：定义域__________，值域___________，周期_______,单调增区间由_________x ωϕ≤+≤_________求得，单调减区间由_________x ωϕ≤+≤_________求得。 练习：