梁的内力计算回顾
梁内力计算技巧
集中力作用处
集中力偶作用处
发生突变
Q图
＋
－
＋
P －
无变化
M图
斜直线
二次抛物线
凸向即q指向
出现尖点
尖点指向即P的指向
发生突变mຫໍສະໝຸດ 两直线平行备 注Q=0区段M图 平行于轴线
Q=0处，M 达到极值
集中力作用截 面剪力无定义
集中力偶作用面 弯矩无定义
在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面 弯矩等于零；有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶
3-1
单跨静定梁
1.单跨静定梁
2.内力及其正负号规定
轴力：以受拉为正，截面的外法线方向画出； 剪力：以绕隔离体顺时针方向为正，截面的切线方向画出； 弯矩：不规定正负号，画在杆件受拉纤维一侧。
MA NA VA VB
MB NB
3-1
梁的内力计算的回顾
3．截面内力的计算方法——截面法
1
结论：
1. 轴力等于该截面一侧 所有的外力沿杆轴切 线方向的投影代数和； 2. 剪力等于该截面一侧 所有外力沿杆轴法线 方向的投影代数和； 3. 弯矩等于该截面一侧 所有外力对截面形心 的力矩的代数和。
1
M FN M FN FV
1）截开----在所求内力的截面处截开，任取一部分作为隔离体 2）代替----用相应内力代替该截面的应力之和 3）平衡----利用隔离体的平衡条件，确定该截面的内力
FV
4.荷载与内力之间的关系
微分关系给出了内力图的形状特征；增量关系说明了内力图的突变特征 无何载区段 平行轴线 均布荷载区段
几种典型弯矩图和剪力图
P m
q
l /2
l /2
结构力学——静定多跨梁讲解
静定平面刚架(frame)
悬臂刚架
静
定
A
D
刚
简支刚架
架
B
C
三铰刚架
D
E
刚架--具有刚结点的由 直杆组成的结构。
有基、附关系的刚架
超静定刚架
一个多余约束
三个多余约束
刚结点处的 变形特点
保持角度不变
平面刚架受力分析
结构特点：
PB
C
PB
C
A
D
B、C—铰结点
（受力简单，空间小 ）
A
D
B、C —刚结点
组 成 例 子
F2 F1
F2
F1
分析顺序：先附属部分，后基本部分。 荷载仅在基本部分上，只基本部分受力，附属 部分不受力； 荷载在附属部分上，除附属部分受力外，基本 部分也受力。
例
18
叠层关系图
先附属，后基本，区段叠加
10
10 5
12
例
例：图示多跨静定梁全长受均布荷载 q，各跨长度均为 l。欲使梁上最大正、负弯矩的绝对值相等，试确 定铰 B、E 的位置。
FAy ql / 2 M / l FAy
FBy
MB ql2 / 2 M FAyl 0 FBy ql / 2 M / l M A ql2 / 2 M FByl 0
理力、材力相关内容复习
悬臂梁AB受图示荷载作用，试求A的支
座反力。
MA
q
M
Fx FAx 0 FAx A
刚体上一个力系的等效平移
理力、材力相关内容复习
y 坐标单位 m
FP1
FP1 10 2 kN (FP1, i ) 450
结构力学第3章
B C YC A C
Q
q P
D
XD (b) C YC XC XC
q
Q
B YB A YA XA
(c)
刚架指定截面内力计算
与梁的指定截面内力计算方法相同（截面法）.
注意未知内力正负号的规定（未知力先假定为正）
注意结点处有不同截面（强调杆端内力） 注意正确选择隔离体（选外力较少部分）
注意利用结点平衡（用于检验平衡，传递弯矩） 连接两个杆端的刚结点,若结点上无外力偶作用, 则两个杆端的弯矩值相等,方向相反
刚架内力图的绘制
弯矩图
取杆件作隔离体
剪力图
轴力图
取结点作隔离体
静定刚架的内力图绘制方法： 一般先求反力，然后求控 制弯矩，用区段叠加法逐杆 绘制，原则上与静定梁相同。
例一、试作图示刚架的内力图
求反力
(单位：kN . m)
48 192
144 126
12
48 kN
42 kN
22 kN
例一、试作图示刚架的内力图
计算关键
正确区分基本结构和附属结构 熟练掌握单跨静定梁的绘制方法
多跨度梁形式
并列简支梁
多跨静定梁
超静定连续梁
为何采用 多跨静定梁这 种结构型式?
作内力图
例
叠层关系图
先附属，后基本， 先求控制弯矩，再区段叠加
18 10 10
5
12
例
9
12
18
+ 9 9
4
其他段仿 此计算 5
5
2.5 FN 图（kN）
l
q
A
ql2 8 l
B
a m l m A b m l a b l B
梁的内力
MA=0
MC=FA×2=30×2kN·m=60kN·m
CD段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定MC和MD左 MD左=FA×4-F×2=(30×4-20×2)kN·m=80kN·m
D截面：有逆时针方向的集中力偶M作用，弯矩图向上突变M=40kN·m
MD右=MD左-M=(80-40)kN·m=40kN·m
截面上必有弯矩M，且M=FAC。当左段梁若平衡，横截面 上必有两个内力分量：平行于横截面的竖向内力Fs以及位 于荷载作用面的内力偶M。内力Fs称梁横截面内的剪力， 而内力偶M称为梁横截面内的弯矩。
Fs
C
A
M
FA
x
若以右段梁为研究对象，由作用力与反作用力定律可知，
右段梁横截面上的内力值仍为Fs和M，指向与左段梁横截面
MBF0
F 6 M q 4 2 F A 8 0
解之得：
FA 30kN FB 30kN
（2）画剪力图
从左向右作图，全梁分为A端、AC段、C端、CD段、DB段和B端。
31
FA=30kN AC段：没有均布荷载作用，剪力图为一条水平线：FC左=FA右=30kN C端：有向下的集中力F作用，剪力图向下突变F=20kN
Mx=FA x-qx2/2= 81/32qa2
BC段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定MB和MC。
MC 0
29
剪力图与弯矩图
30
[例] 如图所示，试画出该梁的剪力图和弯矩图。
F=20kN M=40kN
FA
FB
解：（1）计算支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程得：
MAF0
F B 8 M F 2 q 4 6 0
M144 kNm
受静载荷梁的内力及变位计算公式
受静载荷梁的内力及变位计算公式1.集中力的作用下的受静载荷梁内力计算公式：(1)弯矩(M)的计算公式：M=F*x其中，M是梁的弯矩，F是集中力，x是集中力作用点到支点的距离。
(2)剪力(V)的计算公式：V=F其中，V是梁的剪力，F是集中力。
2.均布力的作用下的受静载荷梁内力计算公式：(1)弯矩(M)的计算公式：M=w*x^2/2其中，M是梁的弯矩，w是均布力的单位长度的大小，x是梁上的任意一点到支点的距离。
(2)剪力(V)的计算公式：V=w*x其中，V是梁的剪力，w是均布力的单位长度的大小，x是梁上的任意一点到支点的距离。
3.其他外力作用下的受静载荷梁内力计算公式：当存在多个外力作用在梁上时，我们可以将其分解为集中力和均布力的叠加。
然后可以使用前面提到的公式来计算相应的内力。
变位计算公式主要有两种方法，分别是力偏心法和位移法。
4.力偏心法：利用力偏心引起的弯矩和剪力，根据梁的弹性理论和材料的本构关系，可以计算出梁的变位。
其中，弯矩引起的变位可由以下公式计算：δ=M*l^2/(2*E*I)其中，δ是梁的变形，M是梁上弯矩的最大值，l是梁的长度，E是梁的弹性模量，I是梁的截面惯性矩。
剪力引起的变位可由以下公式计算：δ=V*l/(G*A)其中，δ是梁的变形，V是梁上剪力的最大值，l是梁的长度，G是梁的剪切模量，A是梁的截面面积。
5.位移法：利用位移函数法，将梁的各个节点的位移表示为节点位移和激励项的组合，可以通过解线性代数方程组得到梁的节点位移。
其中，节点位移可以用来计算梁的变位。
综上所述，受静载荷梁的内力和变位计算可以通过公式和方法进行求解。
具体的计算公式和方法取决于梁的受力情况和边界条件。
在实际工程中，通常会采用数值分析方法，如有限元法等，来计算受静载荷梁的内力和变位。
受静载荷梁的内力及变位计算公式
受静载荷梁的内力及变位计算公式受静载荷梁的内力及变位计算公式符号意义及正负号规定简图P——集中载荷q——均布载荷R——支座反力，作用方向向上者为正Q——剪力，对邻近截面所产生的力矩沿顺时针方向者为正M——弯矩，使截面上部受压，下部受拉者为正θ——转角，顺时针方向旋转者为正f——挠度，向下变位者为正E——弹性模量I——截面的轴惯性矩a、b、c——见各栏图中所示简图支座反力、支座反力矩区段剪力弯矩挠度转角R B＝PM B＝-PlQ x＝-P M x＝-P xR B＝PM B＝-PbAC Q x＝0M x＝0CB Q x＝-P M x＝-P(x-a)R B＝nPR B＝qlQ x＝-qxR B＝qcM B＝-qcbAC Q x＝0M x＝0CD Q x＝-q(x-d)DB Q x＝-qc M x＝-qc(x-a)ACCBR B＝0M B＝M x＝-MQ x＝0M x＝-M?ω值见表梁分段的比值及ω的函数表；a、b、c——见各栏中所示简图支座反力、支座反力矩区段剪力弯矩挠度转角R A＝R B＝ACCBR A＝R B＝ACCBM x＝Pa(1-ξ)M C＝M max＝R A＝R B＝PAC Qx＝P M x＝PxCD Q x＝0M x＝M max＝PaCDDB若a＞c：当n为奇数：当n为偶数：当n为奇数：当n为偶数：当n为奇数：当n为偶数：当n为奇数：当n为偶数：R A＝R B＝qaAC Q x＝q(a-x)CD Q x＝0R A＝R B＝ACCDCDDBR A＝R B＝qcAC Q x＝qc M x＝qcxCDDE Q x＝0M x＝M max＝qcb当x＝ACACCB若a＞b，M x＝M(1-ξ)M max＝MM0＝M2-M1若M1＞M2：M max＝M1ACM x＝MξM C左＝MαCBM x＝-MζM C右＝-Mβ?ω值见表梁分段的比值及ω的函数表；——见各栏图中所示简图支座反力、支座反力矩区段剪力弯矩挠度转角???ACCB当x＝：AC Q x＝R A M x＝R A xCB Q x＝R A-P M x＝R Ax-P(x-a)Q MCD Qx＝R A-P M x＝R A x-P(x-a)DB Q x＝R A-2P M x＝R A x-P(2x-l)M C＝M max＝R A a当x＝：R B＝qc-R AM B＝R A l-qcbAC Q x＝R A M x＝R A xCD Qx＝R A-q(x-d)DB Qx＝R A-qc M x＝R A x-qc(x-a)当x＝：M max＝当x＝：当x＝：M max＝当x＝：AC当x＝：M max＝当x＝：M A＝M max＝MAC?Q x＝R ACBM C右＝M max＝M+M C左?ω值见表梁分段的比值及ω的函数表；a、b、c——见各栏图中所示简图支座反力、支座反力矩区段剪力弯矩挠度转角AC反弯点在及处R A＝R B＝PAC Qx＝P M x＝Pl(ξ-ωRα)CD Q x＝0AC Q x＝R A M x＝M A+R A xCB Q x＝R A-P M x＝M A+R A x-P(x-a)若当n为奇数：当n为偶数：当n为奇数：当n为偶数：当n为奇数：当n为偶数：当n为奇数：当n为偶数：反弯点在x＝及x＝处R A＝R B＝qaACCD Qx＝0ACCDAC Q x＝R A M x＝M A+R A xR B＝qc＝R ACD Q x＝R A-q(x-d )DB Q x＝R A-qc M x＝M A+R Ax-qc(x-a)当x＝：M max＝当x＝：ACACCDACQ x＝R AM x＝M A+R A xCB Mx＝M A+R A x+M?5．带悬臂的梁简图支座反力、支座反力矩区段剪力弯矩挠度转角R A＝P(1+λ)AC Q x＝-P M x＝-PxRM AB QM(1+当R A＝R B＝PM A＝M B＝-PmAC Q x＝-P M x＝-Px当x＝m+时：AB Q x＝0M x＝-PmACABQ x＝-qxQ x＝R A-qxAC Qx＝-qx当x＝m+时：ABR A＝R B＝qmAC Q x＝-qx当x＝m+时：AB Q x＝0M A＝-PmAC Q x＝-P M x＝-Px：ABMx＝-Px+R A(x-m)ACABQ x＝-qxQ x＝R A-qx当m＝时：M B＝0AC Qx＝-qxAB Q x＝RA-qxM A＝MAC Q x＝0M x＝MAB M x＝-RA(x-m)+M6．双跨、三跨梁OAM O＝M B＝0DE＝AC＝FG＝两支点中间：x＝处：R A＝(q1l1+q2l2)-(R O+R B)OAM O＝M B＝0M O＝M C＝0OAABM O＝M D＝0x＝处：R B＝P1+P2-(R O+R2)M O＝M D＝0 ?。
4.4.3静定梁的内力方程及内力图
4.4.3
梁的内力方程及 内力图
剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程
• 若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的 位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示 为坐标x的函数，即 • Q=Q(x) • M=M(x) • 以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线 的变化规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩 方程。
பைடு நூலகம் x=0，MA=0
x=l/2，MC=ql2/8 x=l，MB=0 弯矩图如图9.15(c)所示。 从所作的内力图可知，最大剪力发生在梁端，其值为｜Qmax｜=ql/2，最 大弯矩发生在剪力为零的跨截面，其值为｜Mmax｜=ql2/8。
【例 9.6】简支梁受集中力P作用如图9.16(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩 图。 【解】(1) 求支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程求支座反力。 ∑mB(F)= 0，-RAl+Pb=0 RA=Pb/l ∑Fy=0，RA+RB-P=0 RB=Pa/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力P作用，AC段和CB段所受的外力不同，其剪力方 程和弯矩方程也不相同，需分段列出。取梁左端A为坐标原点
剪力图和弯矩图
为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律， 把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图 和弯矩图。 剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相 似，用平行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置， 用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。
在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方， 负剪力画在x轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负弯 矩画在x轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。
3-1 梁的内力计算回顾(拓展内容简支斜梁)
斜梁的内力图（补充内容）
应用：梁式楼梯、板式楼梯、屋面斜梁及具有斜杆的刚架。
1、两种荷载形式：①水平向均匀荷载：活载（人群、雪载）
②沿杆轴线均布q '：恒载(自重)，
2、水平向均匀荷载q ，斜角α （1）支座反力：考虑整体平衡：)(2/,0↑===ql F F F By Ay Ax
（2）求截面K 的内力方程：取AK 段隔离体，把力沿着N 方向和S 方向分解：
0=∑S
F , ααcos 2cos )(⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-=qx ql qx V F A S （l x ≤≤0） 0=∑K M , 222
qx x ql M K -= l x ≤≤0（与相应水平简支梁完全一样） 0=∑N
F ,αsin 2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=qx ql F N l x ≤≤0 （3）作内力图。
（4）几点说明：①横截面有轴力。
②与等跨简支梁弯矩图相同：（由于竖向支座反力相同，而水平
反力均为零。
）
而F N 图和F Q 图有如下关系：
αsin 0
Q N F F -=
αcos 0Q Q F F =
③若将B 支座换成与梁轴垂直的支座如何（思考：）
3、沿斜向荷载q '：楼梯自重
等效转换：根据同一微段上合力相等原则，换算成水平方向均布荷载：
qdx ds q ='
，αcos ''q dx
ds q q ==
结论：沿杆轴方向均布荷载作用下简支斜梁的内力图等于水平向均布荷载作用
下内力图除以αcos 即可
4、斜梁的区须叠加法
5、例题：
图 3-4e
28
1ql。
工程力学梁的内力及其求法
取梁分析，受力如图b
? MC ? 0
解得
? MB ? 0
FB
l
?
F
l 2
?
0
F FB ? ? 2
?? ?
3l , ? FC l ? F 2 ? 0
F (a) A
l/2
C l/2
F (b) A
C FC
D
B
l/2
B FB
解得
FC
?
3F 2
（2）计算D截面上的剪力 FSD和弯矩MD
? Fy ? 0 , FC ? F ? FSD ? 0
F
(a) A
CLeabharlann DB得FSD
?
FC
?
F
?
F 2
l/2
l/2
l/2
对截面D的形心O取矩
F (c) A
C
D
F SD MD
? MO ? 0,
?
FC
l 2
?
Fl
?
MD
?
0
FC
MD D
B
F SD
FB
l Fl
得
MD
? ? Fl ? FC
?? 2
4
（上侧纤维受拉）
简便法：
(1) 横截面上的剪力，在数值上等于该截面任意一侧（左侧或右侧）脱离体 上所有外力沿该截面投影的代数和。如果外力对截面有顺时针转动的趋势则为 正，反之为负。
§9-2 梁的内力及其求法
一、梁的剪力和弯矩
(a) A FA
F m
m x
l
(b) A
FS M
FA F
(c)
M
FS
梁在竖向荷载作用下，其横截面上的内力有剪 力和弯矩。
3-1_梁的内力计算与多跨静定梁
2、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平衡。两杆相交刚结 点无 m 作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。
3、具有定向连结的杆端剪力等于零，如无横向荷载作用，该端弯矩为零。 4.无何载区段 5.均布荷载区段 ↓↓↓↓↓↓
＋
－
6.集中力作用处 发生突变
F ＋ －
7.力偶作用处
FQ图
平行轴线
无变化
l-x
B q(l-x)/2 q B C FyC
D
FyD
x 2 6lx l 2 0
对于BD杆：
1 1 2 1 FyD ( ql 0.414215ql 0.17157l q [0.17157l ]2 ) 0.414215ql l 2 2
CD跨最大弯矩为：
M
x 0.17157l , M C M E 0.085787ql 2
20
10 40
M 图（kN· m）
例3-2-3 求 x 的值，使梁正、负弯矩相等。 解：BD跨为基本部分， A E B AB跨为附属部分。
q
C x l D
AB跨跨中弯矩 ME 为： 1 q M E q(l x )2 8 A E BD跨支座C负弯矩 MC 为： 1 1 q(l-x)/2 M C q(l x ) x qx 2 2 2 令 ME = MC 得： 1 1 1 q(l x)2 q(l x) x qx 2 8 2 2
FRA 17kN
17
m=16kNm
F G B
1m 1m FyB 7kN
⑵ 求控制截面的内力值 取AC部分为隔离体，可计算得：
A C FQC
9
+
C D E F G B
MC
3-1 梁内力计算&静定多跨梁
第3章 静定结构的受力分析
防 灾 科 技 学 院
五、分段叠加法作弯矩图
MA
q
MB
P
q
YA YB M 假定：在外荷载作用下，结构 A
分段叠加法的理论依据：
M
A
B
B
A
q
MB
NB q Y B MB
构件材料均处于线弹性阶段。 NA
MA MB
M 图中：OA段即为线弹性阶段
MAYA
AB段为非线性弹性阶段 M
A G B C D E F q
l/2 MG=ql2/12
ql2/24 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MG=ql2/8
由于多跨静定梁设置了带伸臂的基本部分，这不仅使 中间支座处产生了负弯矩，它将降低跨中正弯矩;另外减少 了附属部分的跨度。因此多跨静定梁较相应的多个简支梁 弯矩分布均匀，节省材料，但其构造要复杂一些！！
qa qa/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
2qa
qa/2
q
qa/2
-3qa/4
9qa/4
第3章 静定结构的受力分析
防 灾 科 技 学 院
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa
a
a
2qa
qa
－ ＋
a 3qa/4 qa qa/4
2a
a 9qa/4
qa/2
－ ＋
a
a qa/2
qa/2
7qa/4
－
qa qa2
qa/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
q
G
B
C
D
E
F
受静载荷梁的内力与变位计算公式
受静载荷梁的内力与变位计算公式受静载荷作用的梁是工程中常见的结构元素，它所受的静载荷会引起梁内力和变形。
在工程设计及分析过程中，需要通过计算来确定梁的内力和变位，以评估梁的安全性和可靠度。
静载荷作用下的梁内力和变位计算公式可以通过静力平衡和材料力学的基本原理推导得出。
下面，我们将分别介绍受集中力、均布载荷和弯矩作用下梁的内力和变位计算公式。
1.受集中力作用下的梁内力和变位计算公式：当在梁上施加一个集中力作用时，梁会发生弯曲变形，产生弯矩和剪力。
(1)弯矩(M)计算公式：弯矩是梁上各截面在弯曲过程中的力矩，可以通过以下公式计算：M=F*x其中，M为弯矩，单位为N·m；F为施加的集中力，单位为N；x为梁上距离集中力施加点的距离，单位为m。
(2)剪力(V)计算公式：剪力是沿梁截面的作用力，可以通过以下公式计算：V=F其中，V为剪力，单位为N。
(3)变位(δ)计算公式：变位是梁在受集中力作用下产生的位移量，可以通过以下公式计算：δ=F*L/(E*I)其中，δ为变位，单位为m；L为梁的长度，单位为m；E为梁的弹性模量，单位为Pa；I为梁的截面惯性矩，单位为m^42.受均布载荷作用下的梁内力和变位计算公式：当在梁上施加一个均布载荷时，梁会在横向受力的作用下产生弯曲变形，产生弯矩和剪力。
(1)弯矩(M)计算公式：弯矩可以通过以下公式计算：M=(q*L^2)/8其中，M为弯矩，单位为N·m；q为均布载荷的大小，单位为N/m；L 为梁的长度，单位为m。
(2)剪力(V)计算公式：剪力可以通过以下公式计算：V=(q*L)/2其中，V为剪力，单位为N；q为均布载荷的大小，单位为N/m；L为梁的长度，单位为m。
(3)变位(δ)计算公式：变位可以通过以下公式计算：δ=(5*q*L^4)/(384*E*I)其中，δ为变位，单位为m；q为均布载荷的大小，单位为N/m；L 为梁的长度，单位为m；E为梁的弹性模量，单位为Pa；I为梁的截面惯性矩，单位为m^43.受弯矩作用下的梁内力和变位计算公式：当在梁上施加一个弯矩时，梁会在截面处产生竖向力和剪力。
受静载荷梁的内力及变位计算公式
受静载荷梁的内力及变位计算公式静载荷梁是最常见的结构，其在工程中的应用非常广泛。
在设计和分析静载荷梁时，我们需要了解其内力和变位的计算公式。
下面将介绍受静载荷梁的内力和变位计算公式。
静载荷梁的内力计算是静力学的基础，其结果将有助于工程设计和结构分析。
在计算内力时，我们需要考虑外部的集中力、均布力和分布力。
1.集中力作用下的内力计算当外部有一个集中力作用到梁上时，我们可以使用以下公式计算其内力：A.弯矩(M)和剪力(V)的计算公式：弯矩(M)：M=F×x剪力(V)：V=F其中，F表示集中力的大小，x表示集中力作用点到梁一端的距离。
B.支反力计算公式：支反力(R)：R=F其中，F表示集中力的大小。
2.均布力作用下的内力计算当外部有一个均布力作用到梁上时，我们可以使用以下公式计算其内力：A.弯矩(M)和剪力(V)的计算公式：弯矩(M)：M=0（在梁的两端）,M=q×x²/2（在梁上的其他位置）剪力(V)：V=q×x其中，q表示均布力大小，x表示距离梁一端的距离。
B.支反力计算公式：支反力(R)：R=q×L/2其中，q表示均布力大小，L表示梁的长度。
3.分布力作用下的内力计算当外部有一个分布力作用到梁上时A.弯矩(M)和剪力(V)的计算公式：弯矩(M)：M = -∫(M(x))dx剪力(V)：V = -∫(V(x))dx其中，M(x)和V(x)是分布力的弯矩和剪力函数。
B.支反力计算公式：支反力(R)：R = ∫(V(x))dx其中，V(x)是分布力的剪力函数。
静载荷梁的变位计算是结构分析的一个重要方面，用于评估结构的变形。
当外部有载荷作用到梁上时，其变位可以使用以下公式进行计算：变位(δ)：δ=(w×x²)/(24×E×I)其中，w表示均布载荷大小，x表示距离梁一端的距离，E表示材料的弹性模量，I表示梁的惯性矩。
(完整版)梁的内力计算
第四章梁的内力第一节工程实际中的受弯杆受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。
图 4 —i中列举了例子并画出了它们的计算简图。
如图（a表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结构，其中支撑楼板的大梁AB受到由楼板传递来的均布荷载口；图（b）表示的是一种简易挡水结构，其支持面板的斜梁AC受到由面板传递来的不均匀分布水压力；图（c）表示的是- 小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d）表示的是机械中的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m的作用。
1.1 梁的受力与变形特点综合上述杆件受力可以看出：当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形形式称为弯曲.。
在工程实际中受弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。
1.2 平面弯曲的概念工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴，该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对..称面（如图4 —2）,当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴线变形后的曲线也在此纵向对称面内，这种弯曲称为平面弯曲.。
它是工程中最常见也最基本的弯曲问题。
1.3 梁的简化一一计算简图的选取工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样，较为复杂。
为计算方便，必须对实际梁进行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图...。
选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2）尽可能使力学计算简便。
a房屋建筑中的大梁c小跨度公路桥地纵梁图4-1b简易挡水结构中的斜梁图4-2 梁的平面弯曲一般从梁本身、支座及荷载等三方面进行简化：（1） 梁本身简化一一以轴线代替梁，梁的长度称为跨度； （2） 荷载简化一一将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等； （3） 支座简化——主要简化为以下三种典型支座：（a ） 活动铰支座（或辊轴支座），其构造图及支座简图如图4— 3 （a ）所示。
第四章 梁的内力
q=2kN/m MC B
M C ( F ) 0
l ql 2 M C FB 4.5kN m 2 8
l/4 FSC
FSC
l/2
FB
图4.11
三、用直接法求剪力、弯矩 F=5kN
直接法：梁任一横
截面上的剪力在数 值上等于该截面一
(a)
q=2kN/m
F=5kN
A C l/4 FA l/4
F
A
B
x
例题：作悬臂梁的剪
x
l FS
x
力图和弯矩图。
解：建立坐标系，将坐 标原点取在梁的左端， 写出梁的剪力方程和弯 矩方程 ：
FS图
F
FS (x) F
x
(0 x l) (0 x l)
M(x) Fx
M
M图
x 0时，M(0) 0 x l时， M(l) Fl
FRA
A
x
q
FRB
例题：作如图简支梁
的剪力图和弯矩图。
解：先求两个支反力
FRA FRB ql 2
B
l
FRA
A
q
M(x) FS (x)
建立坐标系，梁的剪力
x
方程和弯矩方程为：
ql FS (x) FRA qx qx (0 x l) 2 x qlx qx 2 M(x) FRA x qx (0 x l) 2 2 2
FRA
A
x
q
FRB
由弯矩方程得弯矩图为一 条二次抛物线。
B
l
x 0,
M 0
ql 2
x =l ,
解：1、求截面C的剪力和弯矩
第六章：梁弯曲时的内力和应力
剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标， 按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解 决梁的弯曲强度和刚度问题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础。
第三节：剪力图和弯矩图
5-5 截面
FS5 q 2 FB 5.5 kN
1 23 4
5
1 23 4
5
M5 (q 2)1 8 kN m
第三节：剪力图和弯矩图
第三节：剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
剪力方程和弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁轴线变化的情况，沿梁 轴线选取坐标 x 表示梁截面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解 析表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。
M 为常数，即对应弯矩图应为水平直线； 其他两段的弯矩图则均为斜直线。
第三节：剪力图和弯矩图
3）判断剪力图和弯矩图形状 AC、CD、DB 各段梁的剪力图均为水 平直线。在 CD 段，弯矩 M 为常数，对 应弯矩图应为水平直线；其他两段的弯 矩图则均为斜直线。
4）作剪力图和弯矩图
剪力图 弯矩图
第四节：弯曲时的正应力
第一节：梁的计算简图 第二节：弯曲时的内力计算 第三节：剪力图和弯矩图 第四节：弯曲时的正应力 第五节：正应力强度计算 第六节：弯曲切应力 第七节：提高梁弯曲强度的一些措施
第一节：梁的计算简图
第一节：梁的计算简图
一、梁的支座 梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三种形式。 1、固定铰支座：如图 a)所示，固定铰支座限制梁在支承处任何方向的 线位移，其支座反力可用两个正交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和 垂直于梁轴线方向的 FAy 。
受静载荷梁的内力及变位计算公式
Qx＝RA
Mx＝RAx
CB
Qx＝RA-P
Mx＝RAx-P(x-a)
AC
Qx＝RA
Mx＝RAx
CD
Qx＝RA-P
Mx＝RAx-P(x-a)
DB
Qx＝RA-2P
Mx＝RAx-P(2x-l)
MC＝Mmax＝RAa
当x＝0.422l：
RB＝qc-RA
MB＝RAl-qcb
AC
Qx＝RA
Mx＝RAx
CD
Qx＝RA-q(x-d)
DB
Qx＝RA-qc
Mx＝RAx-qc(x-a)
当x＝0.447l：
Mmax＝0.0298ql2
当x＝0.447l：
当x＝0.329l：
Mmax＝0.0423ql2
当x＝0.402l：
AC
当x＝0.415l：
Mmax＝0.0475ql2
当x＝0.430l：
MA＝Mmax＝M
AC
Qx＝RA
CB
MC右＝Mmax
＝M+MC左
ω值见表梁分段的比值及ω的函数表；
a、b、c——见各栏图中所示
简图
支座反力、
支座反力矩
区段
剪力
弯矩
挠度
转角
AC
反弯点在
及 处
RA＝RB＝P
AC
Qx＝P
Mx＝Pl(ξ-ωRα)
CD
Qx＝0
AC
Qx＝RA
Mx＝MA+RAx
CB
Qx＝RA-P
Mx＝MA+RAx-P(x-a)
若a＞b，当 ：
当n为奇数：
受静载荷梁的力及变位计算公式
符号意义及正负号规定
第三章1 静定结构受力分析(多跨梁)
2、集中力矩作用点
M图有一突变，力矩 为顺时针向下突变；
M图有一夹角，荷载向
下夹角亦向下； Q 图有一突变，荷载 向下突变亦向下。
3、均布荷载作用段 M图为抛物线，荷载向 下曲线亦向下凸；
Q 图没有变化。
Q 图为斜直线，荷载向
下直线由左向右下斜
1.无荷载分布段(q=0),FQ图 为水平线,M图为斜直线. Pl M图 FQ图
M图
FQ图
例: 作内力图 铰支座有外 力偶,该截面弯矩 等于外力偶.
M图 FQ图 无剪力杆的 弯矩为常数. M图 自由端有外 力偶,弯矩等于外 力偶
FQ图
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
四.叠加法作弯矩图
注意:
是竖标相加,不是 图形的简单拼合.
练习:
ql A
q
D↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ E 2
ql2/8
B
ql2/4
F
ql /2
ql
l/2
ql
l/2
ql M图
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/4 qL ql2/8
＋
－ Q图 qL
10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓
2m 2m
60kN.m
15kN
2m
2m
55
30 20 30 5 m/2 m m/2 M 图 (kN.m) 30
M图 FQ图
ql / 2
2
A支座的反力 大小为多少, 方向怎样? M图
FQ图
M图
FQ图
1.无荷载分布段(q=0), FQ图为水平线,M图为斜直线. 2.均布荷载段(q=常数), FQ图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同. 3.集中力作用处, FQ图有突变,且突变量等于力值; M 图有尖点,且指向与荷载相同. 4.集中力偶作用处, M图有突变,且突变量等于力偶 值; FQ图无变化.
结构力学 静定结构——梁
q B
L Mk
q FNk FQk
A
FYA x
k
q
M F YA
0 0 k
F
0 Qk
§3-2 斜梁
d、画内力图
2
B
A qLcosα 2
＋
qL 2
弯矩图 qL sinα
＋
B
－
2 B
A
qLcosα 2
－
剪力图
A qL sinα 2
轴力图
§3-3 多跨静定梁
1）多跨静定梁(statically determinate multi-span beam) 的组成 由若干根梁用铰联接后跨越几个相连跨度的静定结 构——称为多跨静定梁，如图所示：
第3章 静定结构内力计算
主要内容
§3-1 梁的内力计算回顾 §3-2 斜梁 §3-3 多跨静定梁 §3-4 静定刚架 §3-5 桁架 §3-6 组合结构 §3-7 三铰拱
§3-1 梁的内力计算回顾
首先回顾一下梁的内力计算。 1、计算方法
利用力的平衡原理，对每个隔离体可建立三个平衡方程：
FX 0, FY 0,
Fp q(x) M
y
p(x)
dx
x
dFQ dFN dM FQ , q( x ) , p( x ) dx dx dx
M FN
q(x)
M+dM
dx
FQ
FN+d FN P(x) F ＋dF Q Q
§3-1 梁的内力计算回顾
无何载区段 均布荷载区段
↓↓↓↓↓↓
集中力作用处 发生突变
集中力偶作用处
A C 26 E 30 8 8 G
2
弯矩图
第3章-1内力计算
4）画轴力图 要求某杆件的轴力，通常是以剪力图为基础， 要求某杆件的轴力，通常是以剪力图为基础， 取出节点把已知的剪力标上， 取出节点把已知的剪力标上，利用两个方程即 可求出轴力。 可求出轴力。
4
＋
4 C ＋
B
FNBC
B 4 － A
-4
FNBA
+4
剪力图
D
∑X =0
FNBC = −4
∑Y = 0
FNBA = −4
件右侧受拉为正。 件右侧受拉为正。
§3-1 梁的内力计算回顾
正 MAB
NAB QAB A端
杆端内力
B端
MBA
正
NBA QBA
弯矩图习惯绘在杆件受拉的一侧， 弯矩图习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正 负号。轴力和剪力图可绘在杆件的任一侧，但需 负号。轴力和剪力图可绘在杆件的任一侧， 标明正负号。 标明正负号。
2）画弯矩图
区段叠加法
3）画剪力图 要求杆件上某点的剪力， 要求杆件上某点的剪力，通常是以弯矩图为 基础，取一隔离体（要求剪力的点为杆端）， 基础，取一隔离体（要求剪力的点为杆端）， 把作用在杆件上的荷载及已知的弯矩标上， 把作用在杆件上的荷载及已知的弯矩标上，利 用取矩方程或水平或竖向的平衡方程即可求出 所要的剪力。 所要的剪力。 求图示杆件的剪力图。 例：求图示杆件的剪力图。
A 2 8 C 26 E 30 8 G
弯矩图
6、内力计算及内力图 步骤：求反力 步骤： 1）求反力 画弯矩图 画剪力图 画轴力图
（1）上部结构与基础的联系为3个时，对整体利用3个 上部结构与基础的联系为3个时，对整体利用3 平衡方程，就可求得反力。 平衡方程，就可求得反力。 例：
4m 4kN B C 1kN/m A 2m D 2m
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q
M
q
P=qL
L
qL2 2
L
qL 2 2
L L
L
L
(8) (7)
5qL 2
2 2 qL 2
(9)
pL
3qL2 2
2P L L
M=PL
pL qL 2
2
q P=qL
q
P=qL
L
qL2 8
qL 2 M=qL2 L 2 L
(10)
(11)
(12)
大连大学
X
∑M
A
= 0 FBY = 20 × 4 × 6 ÷ 8 = 60kN
=0
∑F
Y
FAY = 20 × 4 − 60 = 20kN
A 4m
6m
B 4m
取右半部分为隔离体： 取右半部分为隔离体： ∑ M C = 0 FAX = 20 × 4 ÷ 8 = 10kN 由式1： 由式 ： FBX = 10kN
一、梁
q
qL /8
2
M=qL
2
2PL
P
PL PL
2 9qL 2
q
qL 8
2
2PL L L/2
L
qL 2 4
L L L
P=2qL
(1)
(2)
(3)
PL P L P L L
2
q
P
2P
(4)
qL 4
qL 8 L
2
4pL L 3
L
5pL 3 L
(5)
(6)
qL
2
大连大学
(5)
qL 2 + M 2
(6)
qL 2
大连大学
梁的内力计算回顾
区段叠加法画弯矩图的具体步骤如下： 区段叠加法画弯矩图的具体步骤如下： 首先把杆件分成若干段， ▲ 首先把杆件分成若干段，求出分段点上的弯矩 值，按比例标在杆件相应的点上，然后每两点间 按比例标在杆件相应的点上， 连以直线。 连以直线。
▲ 如果分段杆件的中间没有荷载作用这直线就是
A B
= +
qL2/8 MB
MA
+
MA
=
qL2/8
MB
B
A
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梁的内力计算回顾
例2： ：
MA L/2 MA FP L/2 MB
B A
结论 把两头的弯矩标在杆 并连以直线， 端，并连以直线，然 后在直线上叠加上由 集中荷载单独作用在 简支梁上时的弯矩图
MA FPL/4 MB
FP
MB
FPL/4
大连大学
大连大学
梁的内力计算回顾
首先回顾一下梁的内力计算。 首先回顾一下梁的内力计算。 1、计算方法 利用力的平衡原理， 利用力的平衡原理，对每个隔离体可建立三个 平衡方程： 平衡方程：
ΣX = 0, ΣY = 0, ΣM = 0
由此就可求得每个结构的反力和每根构件的内力。 由此就可求得每个结构的反力和每根构件的内力。 2、内力正负号的规定 轴力F 轴力 N —拉力为正 剪力V 剪力 —使隔离体顺时针方向转动者为正 弯矩M 弯矩 —使梁的下侧纤维受拉者为正
1m 17 A C 8 1m B 26 FQBA
大连大学
梁的内力计算回顾
1m 17 A C 8 1m B
17
26 FQBA
9
+
由： ∑MA = 0 F = (−8×1+ 26) ÷2 = 9kN QBA 也可由： Y 也可由： ∑ = 0
F =17 −8 = 9kN QCA
剪力图要注意以下问题： 剪力图要注意以下问题： 集中力处剪力有突变； ▲ 集中力处剪力有突变； 没有荷载的节间剪力是常数； ▲ 没有荷载的节间剪力是常数； 均布荷载作用的节间剪力是斜线； ▲ 均布荷载作用的节间剪力是斜线； 集中力矩作用的节间剪力是常数。 ▲ 集中力矩作用的节间剪力是常数。
大连大学
梁的内力计算回顾
取AC为隔离体 为隔离体
1m
8
1m
A 17
C
MC FQCA
∑M
C
=0
M C = 17 × 2 − 8 × 1 = 26kN ⋅ m
取EG为隔离体 为隔离体
ME
16kN·m
∑M
E
=0
E
FQEG
1m
1m
G FYG=7
M E = 7 × 2 + 16 = 30kN ⋅ m
大连大学
4m 4kN B C 1kN/m A 2m D 2m
∑F
X
=0
A
FAX = 1× 4 = 4kN
∑M
= 0 FDY = 4 × 2 − 1× 4 × 2 = 0
FAY = 4kN
∑F
Y
=0
大连大学
梁的内力计算回顾
C
2m
（2）上部结构与基础的联系多于三个时，不仅要对 ）上部结构与基础的联系多于三个时， 整体建立平衡方程，而且必须把结构打开， 整体建立平衡方程，而且必须把结构打开， 取隔离体补充方程。 取隔离体补充方程。 由整体： 由整体： 例： 20kN/m ∑ F = 0 FAX = FBX
剪力图 水平线
无 影 响
一般 弯矩图 为斜 直线
有突变 （突变 为零 值=M） ）
大连大学
四、剪力、弯矩与外力间的关系
外 力
无外力段
q=0
均布载荷段
q>0 q<0
集中力
F
集中力偶
Me
Fs 图 Fs 特 征 M 图 特 征
水平直线
Fs Fs
斜直线
Fs x
增函数 减函数
自左向右突变
Fs x Fs1 x
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梁的内力计算回顾
4）画轴力图 要求某杆件的轴力，通常是以剪力图为基础， 要求某杆件的轴力，通常是以剪力图为基础， 取出节点把已知的剪力标上， 取出节点把已知的剪力标上，利用两个方程即 可求出轴力。 可求出轴力。
4
＋
4 C ＋
B
FNBC
B 4 － A
-4
FNBA
+4
剪力图
D
∑X =0
FNBC = −4
大连大学
梁的内力计算回顾
正 MAB
FNAB VAB A端
杆端内力
B端
MBA
正
FNBA VBA
弯矩图习惯绘在杆件受拉的一侧， 弯矩图习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正 负号。轴力和剪力图可绘在杆件的任一侧，但需 负号。轴力和剪力图可绘在杆件的任一侧， 标明正负号。 标明正负号。
大连大学
梁的内力计算回顾
大连大学
梁的内力计算回顾
q
2）画弯矩图 （1）几种简单荷载的弯矩图 ）
▲ 简支梁在均布荷载
qL2/8 FP
作用下的弯矩图
FPL/4
▲ 简支梁在集中力作
L/2
M/2
L/2
M
用下的弯矩图
▲ 简支梁在集中力矩作
用下的弯矩图
M/2
L/2
L/2
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2）用叠加法画简支梁在几种简单荷载共同作用下 ） 的弯矩图 MB q q 例1： MA ：
3、直杆内力的微分关系
q(x) Fp y p(x) dx M x
dM dV dFN = V, = − q( x ), = − p( x ) dx dx dx
q(x)
M dx FN V
M+dM
FN+d FN
P(x) V+dV
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4、剪力图与弯矩图之间的关系
梁上 无外力 情况 均布力作用 向下) (q向下) 向下 斜 直 线 抛物 线下 凸 为 零 处 有 极 值 集中力作用 向下) 处(FP向下) 有突 变(突 变值= 变值 FP) 有尖 角(向 下） 变 无变化 号 有 极 值 集中力 偶M作 作 用处 铰处
MB
FQBA
q MA
A B A FYA
MB
MA
B
MB
FYB
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Fp
A
q
L B
M
因此上图梁中AB段的弯矩图可以用与简支梁 因此上图梁中 段的弯矩图可以用与简支梁 相同的方法绘制，即把M 标在杆端， 相同的方法绘制，即把 A和MB标在杆端，并连 以直线， 以直线，然后在此直线上叠加上节间荷载单独作 用在简支梁上时的弯矩图，为此必须先求出M 用在简支梁上时的弯矩图，为此必须先求出 A 和MB。
∑Y = 0
FNBA = −4
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6、用区段叠加法画弯矩图 对图示简支梁把其 中的AB段取出 段取出， 中的 段取出，其隔 离体如图所示： 离体如图所示： 把AB隔离体与相 隔离体与相 应的简支梁作一对 比： 显然两者是完全 相同的。 相同的。
Fp
A
q
L B
M
q MA
A FQAB B
无变化
Fs x
x
Fs<0
x
Fs>0 M x
FS2 FS1–FS2=F M
斜直线
M x M
曲线
M x x
自左向右折角 自左向右突变
x x M
M2
M1
增函数
减函数
凹
凸
Me = M1 −M2
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5、内力计算及内力图 步骤：求反力 步骤： 1）求反力 画弯矩图 画剪力图 画轴力图
（1）上部结构与基础的联系为3个时，对整体利用3个 上部结构与基础的联系为3个时，对整体利用3 平衡方程，就可求得反力。 平衡方程，就可求得反力。 例：