[精品]2019学年高中数学第一章集合与函数概念单调性与最大小值第1课时函数的单调性练习49
高中数学第一章集合与函数概念1
.
∵0<x1<x2,∴x 2-x1>0,x 2+x1>0,12 22 >0.
∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2).
1
∴函数 f(x)= 2 在区间(0,+∞)上是减函数.
第29页
出函数草图,再结合图象“升降”给出单调区间.
解:(1)函数y=3x-2单调区间为R,其在R上是增函数.
1
(2)函数y=- 单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0)及(0,+∞)上均
为增函数.
(3)函数y=-x2+2x+3图象对称轴为x=1,而且开口向下,其单调区间
为(-∞,1],(1,+∞),其在(-∞,1]上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.
1.3.1 第1课时 函数单调性
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学 习 目 标
思 维 脉 络
1.理解增函数和减函数的定义.
2.理解函数单调性的含义,掌握利用定义
证明函数的单调性的方法.
3.能够利用定义或图象求函数的单调区
间,能够利用函数的单调性解决有关问题.
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1.增函数和减函数
增函数
减函数
定
义
一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区
典例若函数f(x)=x2+2(a-1)x+4单调递减区间是(-∞,4],则实数a取
值集合是
.
错解:函数f(x)图象对称轴为直线x=1-a,因为函数在区间(-∞,4]上
单调递减,所以1-a≥4,即a≤-3.故实数a取值集合为{a|a≤-3}.
错因分析:错解中把单调区间误认为是在区间上单调.
高中数学_第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性课件 新人教版必修1
答案
知识点二 函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这 一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间. 思考 若函数f(x)在定义域内的两个区间D1，D2上都是减函数，那么f(x) 的减区间能写成D1∪D2吗？ 答 单调区间不能取并集，如 y＝1x在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也 递减，但不能说 y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减.
－1<1－a<1， 正解 由题意可知－1<2a－1<1， 解得 0<a<1.①
又f(x)在(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，
∴1－a>2a－1，即 a<23.②
由①②可知，0<a<23，即所求
a
的取值范围是
2 0<a<3.
易错警示
解析答案
解析答案
(2)函数 y＝x－1 1的单调递减区间是_(_－__∞__，__1_)，__(_1_，__＋__∞__)_. 解析 y＝x－1 1的图象可由函数 y＝1x的图象向右平移一个单位得到，如图 所示，其单调递减区间是(－∞，1)和(1，＋∞).
解析答案
例2 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间. 解 y＝－ －xx22＋ －22xx＋ ＋11， ，xx≥ ＜00， ， 即 y＝－－xx＋－1122＋＋22，，xx＜≥00.， 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区 间为[－1,0]，[1，＋∞).
高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大小值1.3.1.1函数的单调性
|新知预习| 知识点一 定义域为 I 的函数 f(x)的增减性
知识点二 单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数， 那么就说函数 y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的单 调区间．
2．单调性的证明方法 证明 f(x)在区间 D 上的单调性应按以下步骤：①设元：设 x1， x2∈D 且 x1<x2.②作差：将函数值 f(x1)与 f(x2)作差．③变形：将上述 差式(因式分解、配方等)变形．④判号：对上述变形的结果的正、 负加以判断．⑤定论：对 f(x)的单调性作出结论．其中变形为难点， 变形一定要到位，即变形到能简单明了地判断符号的形式为止，切 忌变形不到位就定号．
【解析】 因为函数 f(x)是增函数，且 a＋3>a－2，所以 f(a＋ 3)>f(a－2)． 【答案】 C
2．函数 y＝x2－6x 的减区间是( A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
)
【解析】 y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3]． 【答案】 D
【解析】 由于①中的 x1， x2 不是任意的， 因此①不正确； ②③④ 显然不正确． 【答案】 A
2．函数 y＝(2m－1)x＋b 在 R 上是减函数，则( 1 1 A．m>2 B．m<2 1 1 C．m>－2 D．m<－2
)
【解析】 使 y＝(2m－1)x＋b 在 R 上是减函数，则 2m－1<0， 1 即 m<2. 【答案】 B
2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1.1 单调性与最大(小)值学案(含解析)新人教版必修1
1.3.1 单调性与最大(小)值(第一课时)学习目标①使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法;②通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力;③通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程.合作学习一、设计问题,创设情境德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850~1909),他以自己为实验对象,共做了163次实验,每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次,达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,得到了一些数据.观察这些数据,可以看出:记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量(时间间隔t)逐渐增大时,你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗?描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的?你能用数学符号来刻画吗?通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?二、自主探索,尝试解决记忆量y随时间间隔t的增大而增大;以时间间隔t为x轴,以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系,描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图所示.遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律.随着时间的推移,记忆保持量在递减,刚开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理解和记忆.问题1:如图所示为一次函数y=x、二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?问题2:函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义?问题3:如何理解图象是上升的?问题4:在数学上规定:函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义?三、信息交流,揭示规律1.增函数的定义问题5:增函数的定义中,把“当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”改为“当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2)”,这样行吗?问题6:增函数的定义中,“当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?函数的图象有什么特点?问题7:类比增函数的定义,请给出减函数的定义及其几何意义?2.减函数的定义减函数的几何意义:问题8:函数y=f(x)在区间D上具有单调性,说明了函数y=f(x)在区间D上的图象有什么变化趋势?四、运用规律,解决问题【例1】如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体【例2】物理学中的玻意耳定律p=kV积V减少时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之.【例3】(1)画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象;(2)证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数;(3)当函数f(x)在区间(-∞,m]上是增函数时,求实数m的取值范围.五、变式演练,深化提高1,已知函数f(x)是R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x).(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数;,0)成中心对称图形.(2)证明函数y=F(x)的图象关于点(a22.(1)写出函数y=x2-2x的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(3)定义在[-4,8]上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(4)由以上你发现了什么结论?试加以证明.3.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(2a2+a+1)<f(3a2-4a+1)成立,则a的取值范围是.六、反思小结,观点提炼1.本节课你有哪些收获?函数的单调性概念明白了吗?常用的判断、证明方法有哪些?2.你对自己本节课的表现有何评价?3.你在与同学的交流中有何感受?4.你对本节课还有哪些困惑和建议?七、作业精选,巩固提高课本P39习题1.3 A组第2,3,4题.参考答案问题1:函数y=x的图象从左向右看是上升的;函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的;函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的,在y轴右侧是下降的.问题2:函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.问题3:按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.问题4:增函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.问题5:可以.增函数的定义:由于当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),即都是相同的不等号“<”,也就是说前面是“<”,后面也是“<”,步调一致;“当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2)”都是相同的不等号“>”,也就是说前面是“>”,后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为:步调一致增函数.问题6:函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.2.减函数定义(板书)一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为:步调不一致减函数.减函数的几何意义:从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势:函数值随着自变量的增大而减小.问题8:函数y=f(x)在区间D上函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小),几何意义:从左向右看,图象是上升(下降)的.四、运用规律,解决问题【例1】解:函数y=f(x)的单调区间是[-5,2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中函数y=f(x)在区间[-5,2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.点评:本题主要考查函数单调性的几何意义,以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象,通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片,我们能根据人的照片来估计其身高,同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.图象法求函数单调区间的步骤是:第一步,画函数的图象;第二步,观察图象,利用函数单调性的几何意义写出单调区间.【例2】证明:设V1,V2∈(0,+∞)且V1<V2,则p1=kV1,p2=kV2.p1-p2=kV1-kV2=k(V2-V1)V1V2.∵k>0,V1<V2,V1>0,V2>0.∴k(V2-V1)V1V2>0,∴p1>p2.根据减函数的定义知p=kV在(0,+∞)上是减函数.点评:本题主要考查函数的单调性,以及定义法判断函数的单调性.定义法判断或证明函数的单调性的步骤是:第一步,在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1<x2;第二步,比较f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号;第三步,再归纳结论.定义法的步骤可以总结为:一“取(去)”、二“比”、三“再(赛)”,因此简称为“去比赛”.【例3】解:(1)函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图所示.(2)设x1,x2∈(-∞,1],且x1<x2,则有f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)=(x22-x12)+2(x1-x2)=(x1-x2)(2-x1-x2).∵x1,x2∈(-∞,1],且x1<x2,∴x1-x2<0,x1+x2<2.∴2-x1-x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2).∴函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数.(3)函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1,在对称轴的左侧是增函数,那么当区间(-∞,m]位于对称轴的左侧时满足题意,则有m≤1,即实数m的取值范围是(-∞,1].五、变式演练,深化提高1.解:(1)设x1,x2∈R,且x1<x2.则F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(a-x1)]-[f(x2)-f(a-x2)]=[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)].又∵函数f(x)是R上的增函数,x1<x2,∴a-x2<a-x1.∴f(x1)<f(x2),f(a-x2)<f(a-x1).∴[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]<0.∴F(x1)<F(x2).∴F(x)是R上的增函数.,0)的对(2)设点M(x0,F(x0))是函数F(x)的图象上任意一点,则点M(x0,F(x0))关于点(a2称点为M'(a-x0,-F(x0)).又∵F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0))=f(a-x0)-f(x0)=-[f(x0)-f(a-x0)]=-F(x0),∴点M'(a-x0,-F(x0))也在函数F(x)的图象上,又∵点M(x0,F(x0))是函数F(x)的图象上任意一点,,0)成中心对称图形.∴函数y=F(x)的图象关于点(a22.解:(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线x=1;区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线x=1对称,而函数在此两区间上的单调性相反.(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线x=0对称,而函数在此两区间上的单调性相反.(3)函数y=f(x),x∈[-4,8]的图象如图所示:函数y=f(x)的单调递增区间是[-4,-1],[2,5];单调递减区间是[5,8],[-1,2];区间[-4,-1]和区间[5,8]关于直线x=2对称,而函数在此两区间上的单调性相反,区间[-1,2]和区间[2,5]关于直线x=2对称,而函数在此两区间上的单调性相反.(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间[a,b]上是增函数,区间[a,b]关于直线x=m的对称区间是[2m-b,2m-a].由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x).设2m-b≤x1<x2≤2m-a,则b≥2m-x1>2m-x2≥a,f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).又∵函数y=f(x)在[a,b]上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).∴函数y=f(x)在区间[2m-b,2m-a]上是减函数.∴当函数y=f(x)在对称轴x=m 的一侧一个区间[a,b]上是增函数时,其在[a,b]关于直线x=m 的对称区间[2m-b,2m-a]上是减函数,即单调性相反.因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m 对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.3.解析:∵f(x)的定义域是(0,+∞),∴{2a 2+a +1>0,3a 2-4a +1>0.解得a<13或a>1.∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴2a 2+a+1>3a 2-4a+1.∴a 2-5a<0.∴0<a<5.∴0<a<13或1<a<5,即a 的取值范围是(0,13)∪(1,5). 答案:(0,13)∪(1,5)。
高中数学第一章集合与函数概念1.3.1.1单调性与最大(小)值(第1课时)课件新人教a必修1
要点2 单调性和单调区间 如果一个函数在某个区间D上是增函数或减函数就说这个函 数在这个区间D上具有单调性，区间D称为单调区间.
1.画出函数y＝1x的图像，结合图像探讨下列说法是否正确？ (1)函数y＝1x是减函数； (2)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).
答：(1)是错误的，从左向右看，函数y＝
得函数的单调递减区间是(－∞，－3)和(－3，＋∞).
方法二：利用已知函数的单调性：f(x)的图像是由y＝
5 x
的图
像先向左平移3个单位，再向下平移一个单位得到的，
∴y＝5x在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数.
∴f(x)＝2x＋－3x在(－∞，－3)及(－3，＋∞)上也是减函数.
方法三：定义法(略).
探究1 (1)证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性 的定义.其步骤是：①取值：在给定区间上任取两个自变量.②作 差变形：将f(x1)－f(x2)进行代数恒等变形，一般要出现乘积形 式，且含有x1－x2的因式.③判断符号：根据条件判断f(x1)－f(x2) 变形后的正负.④得出结论.
(2)在“作差变形”中，我们尽量化成几个最简因式乘积的 形式，也可以把其中的因式化成几个完全平方式和差的形式， 例如(x＋1)2＋2，－(x＋1)2－3等，这也是值得学习的解题技巧.
题型三 含参数的函数的单调性 例3 已知f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减函数， 求实数a的取值范围.
【思路】 由于f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝(x＋a－1)2－(a－1)2＋ 2，所以在区间(－∞，1－a]上单调递减，故有(－∞，4]⊆(－∞，1 －a]，可求a的值.
思考题1
(1)已知函数f(x)＝
人教版高中数学必修1第一章集合与函数的概念-《1.3.1单调性与最大(小)值》教案(1)
1.3.1单调性与最大（小）值（第一课时）教材分析单调性与最大（小）值这节内容选自人教版A版《普通高中课程标准试验教科书必修1》第一章1.3节函数的基本性质的内容。
函数是描述事物运动变化规律的数学模型，学习函数的变化规律能把握事物的变化规律，因此研究函数的性质非常关键。
学生在此之前已经学习了函数的概念及函数的三种表示法，并且学生学会了从集合的角度来认识函数。
本次课的学习是函数的基本性质的第一课时，研究函数的单调性与最大最小值问题，这一性质是函数最直观的一个性质。
也是为后续学习函数的奇偶性等相关性质奠定基础。
因此，本次课的教学尤为关键。
本次课在教学上我将采取两个课时的时间，在第一课时内完成函数单调性概念的教学并掌握判断简单函数单调性的方法，在第二课时内完成最大（小）值概念的教学，并且能进一步掌握部分函数单调性的判断技巧。
教学目标●知识与技能：了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法；●过程与方法：经历情景引入、直观感知、知识形成等过程，掌握数形结合的数学方法，同时学会从直观的图像上发现问题并且掌握作差法，培养学生严谨的数学思维能力；●情感态度与价值观感受数学符号以及图形的魅力，培养学生能从辩证的角度看问题，感受数学与现实生活的联系，体会数学的强大实用功能；教学重难点教学重点：函数单调性的概念以及判断简单函数单调性的方法；教学难点：判断简单函数单调性的方法；重难点突破：学生在学习函数单调性概念的过程中，教师通过引入具体事例加以分析，首先让学生直观感受函数的单调性，进而通过引导探究认识函数的单调性；在判断简单函数的单调性的过程中，教师引导学生通过直接看图像以及做差这两种方法来判断函数的单调性。
教法学法分析新课标的教学理念认为学生是天生的学习者，学生已经具备了一定的生活经验，具备一定数学知识和数学经验。
在教学中力求通过教师的引导，学生根据已有的生活经验进行自主探究，发现数学规律，掌握数学知识，并且能进一步把知识运用到实践中；而教师是学生学习中的引导者、组织者和合作者，教师应该给予学生足够的空间感受数学本身的魅力，感受数学的使用功能。
高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性aa高一数学
【解析】∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 ＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2， ∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]. ∵f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴对称轴x＝1－a必须在直线(zhíxiàn)x＝4的右侧或与其重合. ∴1－a≥4，解得a≤－3. 故实数a的取值范围为[－∞，－3].
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函数单调性的证明(zhèngmíng)与判断
【例 1】证明：函数 y＝x＋9x在区间(0,3]上单调递减. 【解题探究】 取值 → 作差 → 变形 → 判断符号 → 得结论 【证明】设 0＜x1＜x2≤3， 则有 y1－y2＝x1＋x91－x2＋x92 ＝(x1－x2)－9xx11－x2x2＝(x1－x2)1－x19x2.
值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；(2)作差变形：作差 f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易 判断正负的式子；(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；(4)结论：根据f(x1) －f(x2)的符号及定义判断单调性.
2．证明抽象函数的单调性时，因为抽象函数不知道解析(jiě
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4.已知函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数
(shìshù)m的取值范围是( )
A．(－∞，－3)
B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
【答案】C
【解析】因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，
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2.作出函数 f(x)＝－ x－x－232＋，3x≤，1x＞，1 的图象，并指出函数
高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值教学设计新人教A版必修
1.3.1 单调性与最大(小)值第1课时整体设计教学目标1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．重点难点教学重点：函数单调性的概念、判断及证明．教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．教学方法教师启发讲授，学生探究学习．教学手段计算机、投影仪．教学过程创设情境，引入课题课前布置任务：(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况．课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事．下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图．图1引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．问题：观察图形，能得到什么信息？预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低．在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣．归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中时同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义．1．借助图象，直观感知问题1：分别作出函数y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，y ＝x 2，y ＝1x的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？图2预案：(1)函数y ＝x ＋2在整个定义域内y 随x 的增大而增大；函数y ＝－x ＋2在整个定义域内y 随x 的增大而减小．(2)函数y ＝x 2在[0，＋∞)上y 随x 的增大而增大，在(－∞，0)上y 随x 的增大而减小．(3)函数y ＝1x在(0，＋∞)上y 随x 的增大而减小，在(－∞，0)上y 随x 的增大而减小． 引导学生进行分类描述(增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？预案：如果函数f (x )在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们说函数f (x )在该区间上为增函数；如果函数f (x )在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们说函数f (x )在该区间上为减函数．教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观认识．【设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．2．探究规律，理性认识问题1：下图是函数y ＝x ＋2x(x ＞0)的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？图3学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．【设计意图】使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．问题2：如何从解析式的角度说明f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数？预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12＜22，所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数．(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数．(3)任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，因为x 12－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＜0，即x 12＜x 22，所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数．对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x 1，x 2.【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性的高度，完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好了铺垫．3．抽象思维，形成概念问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗？师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念判断题：①已知f (x )＝1x，因为f (－1)＜f (2)，所以函数f (x )是增函数． ②若函数f (x )满足f (2)＜f (3)，则函数f (x )在区间[2,3]上为增函数．③若函数f (x )在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f (x )在区间(1,3)上为增函数．④因为函数f (x )＝1x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，所以f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．通过判断题，强调三点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A ，B 上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在A ∪B 上是增(或减)函数．思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识．掌握证法，适当延展【例】证明函数f (x )＝x ＋2x在(2，＋∞)上是增函数． 1．分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．证明：任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1＜x 2，设元f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 2求差 ＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－2x 2 ＝(x 1－x 2)＋2(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－2x 1x 2，变形 ∵2＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞2，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，断号∴函数f (x )＝x ＋2x在(2，＋∞)上是增函数．定论 2．归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．练习：证明函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．问题：要证明函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＞0可以吗？ 引导学生分析这种叙述与定义的等价性，让学生尝试用这种等价形式证明函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．1．小结(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．2．作业书面作业：课本习题1.3 A 组第1,2,3题．课后探究：(1)证明：函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数当且仅当对任意的x ，x ＋h ∈(a ，b )，且h ≠0有f (x ＋h )－f (x )h＞0. (2)研究函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的单调性，并结合描点法画出函数的草图． 设计说明1．教学内容的分析函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：(1)要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；(2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．2．教学目标的确定根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．3．教学方法和教学手段的选择本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．4．教学过程的设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：(1)在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入．(2)在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．(3)可对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．第2课时作者：方诚心整体设计教学目标1．知识与技能(1)使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用．(2)启发学生学会分析问题、认识问题和创造性地解决问题．2．过程与方法(1)通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育．(2)探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确．3．情感、态度与价值观理性描述生活中的最大(小)、最多(少)等现象．重点难点教学重点：函数最大(小)值的定义和求法．教学难点：如何求一个具体函数的最值．教学过程导入新课思路1．某工厂为了扩大生产规模，计划重新建造一个面积为10 000 m 2的矩形新厂址，新厂址的长为x m ，则宽为10 000xm ，所建围墙y m ，假如你是这个工厂的厂长，你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地，使得新厂址的围墙y 最短？学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ，x ＞0的最小值．引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的．那么什么是函数的最值呢？这就是我们今天学习的课题．用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题．思路2．画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？①f (x )＝－x ＋3；②f (x )＝－x ＋3，x ∈[－1,2]；③f (x )＝x 2＋2x ＋1；④f (x )＝x 2＋2x ＋1，x ∈[－2,2]．学生回答后，教师引出课题：函数的最值．推进新课 新知探究提出问题(1)如图4所示是函数y ＝－x 2－2x 、y ＝－2x ＋1，x ∈[－1，＋∞)、y ＝f (x )的图象．观察这三个图象的共同特征．图4(2)函数图象上任意点P(x，y)的坐标与函数有什么关系？(3)你是怎样理解函数图象最高点的？(4)问题(1)中，在函数y＝f(x)的图象上任取一点A(x，y)，如图5所示，设点C的坐标为(x0，y0)，谁能用数学符号解释：函数y＝f(x)的图象有最高点C?图5(5)在数学中，形如问题(1)中函数y＝f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y＝f(x)的最大值．谁能给出函数最大值的定义？(6)函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，这个不等式反映了函数y＝f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？(7)函数最大值的几何意义是什么？(8)函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)有最大值吗？为什么？(9)点(－1,3)是不是函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的最高点？(10)由问题(9)你发现了什么值得注意的地方？讨论结果：(1)函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C.也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点．(2)函数图象上任意点P的坐标(x，y)的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小．(3)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．(4)由于点C是函数y＝f(x)图象上的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x0)，也就是对函数y＝f(x)的定义域内任意x，均有f(x)≤f(x0)成立．(5)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．．．．．(6)f(x)≤M反映了函数y＝f(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.(7)函数图象上最高点的纵坐标．(8)函数y ＝－2x ＋1，x ∈(－1，＋∞)没有最大值，因为函数y ＝－2x ＋1，x ∈(－1，＋∞)的图象没有最高点．(9)不是，因为该函数的定义域中没有－1.(10)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点．提出问题(1)类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.(2)类比上面问题(9)，你认为讨论函数最小值应注意什么？活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义．最高点类比最低点，不等号“≤”类比不等号“≥”．函数的最大值和最小值统称为函数的最值．讨论结果：(1)函数最小值的定义是：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的最小值．．．．．函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标．(2)讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点．应用示例例1 求函数y ＝2x －1在区间[2,6]上的最大值和最小值． 活动：先思考或讨论，再到黑板上书写．当学生没有解题思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值．根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值．利用变换法画出函数y ＝2x －1的图象，只取在区间[2,6]上的部分．观察可得函数的图象是上升的．解：设2≤x 1＜x 2≤6，则有 f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[(x 2－1)－(x 1－1)](x 1－1)(x 2－1)＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1). ∵2≤x 1＜x 2≤6， ∴x 2－x 1＞0，(x 1－1)(x 2－1)＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)，即函数y ＝2x －1在区间[2,6]上是减函数．∴当x ＝2时，函数y ＝2x －1在区间[2,6]上取得最大值f (2)＝2； 当x ＝6时，函数y ＝2x －1在区间[2,6]上取得最小值f (6)＝25.图6由图象得，函数的图象在区间(－∞，－1)和[0,1]上是上升的，在＋∞)上是下降的，最高点是(±1,4)，1)，[0,1]上是增函数；函数在[－1,0]，如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m) 活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错．并对学生的板书及时评价．将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值．“烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18取得最大值；“这时距地面的高度是多少(精确到1 m)”就是函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的最大值；转化为求函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的最大值及此时自变量t的值．解：作出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象，如图7所示，图7显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．由二次函数的知识，对于函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，我们有： 当t ＝－14.72×(－4.9)＝1.5时，函数有最大值h ＝4×(－4.9)×18－14.724×(－4.9)≈29.即烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29 m.点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力．解应用题的步骤是：①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论．注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合．知能训练课本本节练习5. 【补充练习】某厂2013年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与去年促销费m (万元)(m ≥0)满足x ＝3－2m ＋1.已知2013年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费m (万元)的函数； (2)求2013年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？分析：(1)年利润＝销售价格×年销售量－固定投入－促销费－再投入，销售价格＝1.5×每件产品平均成本；(2)利用单调法求函数的最大值．解：(1)每件产品的成本为8＋16xx元，故2013年的利润为y ＝1.5×8＋16xx×x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝28－16m ＋1－m (万元)(m ≥0)．(2)可以证明当0≤m ≤3时，函数y ＝28－16m ＋1－m 是增函数，当m ＞3时，函数y ＝28－16m ＋1－m 是减函数，所以当m ＝3时，函数y ＝28－16m ＋1－m 取最大值21万元． 拓展提升问题：求函数y ＝1x 2＋x ＋1的最大值．解：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图8所示，故图象最高点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，43.图8则函数y ＝1x 2＋x ＋1的最大值是43.(方法二)函数的定义域是R ，可以证明当x ＜－12时，函数y ＝1x 2＋x ＋1是增函数；当x ≥－12时，函数y ＝1x 2＋x ＋1是减函数．则当x ＝－12时，函数y ＝1x 2＋x ＋1取最大值43，即函数y ＝1x 2＋x ＋1的最大值是43.(方法三)函数的定义域是R ， 由y ＝1x 2＋x ＋1，得yx 2＋yx ＋y －1＝0.∵x ∈R ，∴关于x 的方程yx 2＋yx ＋y －1＝0必有实数根．当y ＝0时，关于x 的方程yx 2＋yx ＋y －1＝0无实数根，即y ＝0不属于函数的值域． 当y ≠0时，则关于x 的方程yx 2＋yx ＋y －1＝0是一元二次方程， 则有Δ＝(－y )2－4×y (y －1)≥0.∴0＜y ≤43.∴函数y ＝1x 2＋x ＋1的最大值是43.点评：方法三称为判别式法，形如函数y ＝ax 2＋bx ＋cdx 2＋ex ＋f(d ≠0)，当函数的定义域是R (此时e 2－4df ＜0)时，常用判别式法求最值，其步骤是：①把y 看成常数，将函数解析式整理为关于x 的方程的形式mx 2＋nx ＋k ＝0；②分类讨论m ＝0是否符合题意；③当m ≠0时，关于x 的方程mx 2＋nx ＋k ＝0中有x ∈R ，则此一元二次方程必有实数根，得n 2－4mk ≥0，得关于y 的不等式，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧n 2－4mk ≥0，m ≠0.此不等式组的解集与②中y 的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值．课堂小结本节课学习了：(1)函数的最值；(2)求函数最值的方法：①图象法，②单调法，③判别式法；(3)求函数最值时，要注意函数的定义域．作业课本习题1.3A 组 5,6.设计感想为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下措施：1．在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数最值定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入．2．在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用图象和单调法求函数最值的方法和步骤．备课资料 基本初等函数的最值1．正比例函数：y ＝kx (k ≠0)在定义域R 上不存在最值．在闭区间[a ，b ]上存在最值，当k ＞0时，函数y ＝kx 的最大值为f (b )＝kb ，最小值为f (a )＝ka ；当k ＜0时，函数y ＝kx 的最大值为f (a )＝ka ，最小值为f (b )＝kb .2．反比例函数：y ＝k x(k ≠0)在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不存在最值．在闭区间[a ，b ](ab ＞0)上存在最值，当k ＞0时，函数y ＝k x 的最大值为f (a )＝k a ，最小值为f (b )＝k b；当k ＜0时，函数y ＝k x 的最大值为f (b )＝k b ，最小值为f (a )＝k a.3．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0)在定义域R 上不存在最值．在闭区间[m ，n ]上存在最值，当k ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的最大值为f (n )＝kn ＋b ，最小值为f (m )＝km ＋b ；当k ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的最大值为f (m )＝km ＋b ，最小值为f (n )＝kn ＋b .4．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在定义域R 上有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝－b 2＋4ac 4a ，无最大值；当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在定义域R 上有最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝－b 2＋4ac 4a ，无最小值．二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最值可能出现以下三种情况：(1)若－b2a ＜p ，则f (x )在区间[p ，q ]上是增函数，则f (x )min ＝f (p )，f (x )max ＝f (q )．(2)若p ≤－b2a ≤q ，则f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，此时f (x )的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：①当p ≤－b 2a ＜p ＋q2时，则f (x )max ＝f (q )；②当p ＋q 2＝－b 2a 时，则f (x )max ＝f (p )＝f (q )； ③当p ＋q2＜－b2a＜q 时，则f (x )max ＝f (p )． (3)若－b2a ≥q ，则f (x )在区间[p ，q ]上是减函数，则f (x )min ＝f (q )，f (x )max ＝f (p )． 由此可见，当－b2a ∈[p ，q ]时，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最大值是f (p )和f (q )中的最大值，最小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ；当－b2a ∉[p ，q ]时，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最大值是f (p )和f (q )中的最大值，最小值是f (p )和f (q )中的最小值．。
高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性
-(-1)2 + 4, ≥ 0,
即 f(x) =
-( + 1)2 + 4, < 0.
(2)函数图象如图所示.
(3)函数 f(x)的图象在(-∞,-1]和[0,1]上是上升的,在(-1,0)和(1,+∞)
上是下降的,所以 f(x)的单调递增区间是(-∞,-1],[0,1],单调递减区间
1
∴f(x)=x+ 在(0,1)内是减函数.
12/12/2021
第十五页，共二十八页。
=
(1 -2 )(1 2 -1)
.
1 2
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HONGNAN JVJIAO
D典例透析
证明:设 x1,x2 是区间(0,1)内的任意两个实数,且 x1<x2,则
1
1
f(x1)-f(x2) = 1 +
− 2 +
1
2
2 -1
1
=(x1-x2) +
= (x1-x2) 11 2
1 2
∵0<x1<x2<1,
∴x1x2-1<0,x 1-x2<0,x 1x2>0.
∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2).
间 D 上的任意两个自变量的值 x 1,x2,当 x 1<x2 时,都有
f(x1)>f(x2)
定 f(x1)<f(x2)
人教A版必修一第一章1.3.1 第1课时单调性与最大(小)值
k≠0)与一次函数(y＝ kx＋b，k≠0)
k＜0
无
R
反比例函数 (y＝kx，k≠0)
k＞0
无
k＜0 (－∞，0)和 (0，＋∞)
(－∞，0)和 (0，＋∞)
无
二次函数 (y＝ax2＋bx＋c，
a≠0)
a＞0 a＜0
[－2ba，＋∞) (－∞，－2ba]
(－∞，－2ba] [－2ba，＋∞)
• 1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，
• 『规律方法』 利用函数的单调性解函数值的不等式就是 利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转
化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件， 以防出错．
• 〔跟踪练习3〕 • 已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，求
实数t的取值范围．
[解析] ∵g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)， ∴t>1－2t，∴t>13，即所求t的取值范围为(13，＋∞)．
• 『规律方法』 1.函数单调性的证明方法——定义法 • 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
• 2．用定义证明函数单调性时，作差f(x1)－f(x2)后，若f(x)为 多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f(x)是 分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f(x)解析式是 根式，则先“分子有理化”再分解因式．
(2)设x1>x2>－1， 则x1－x2>0，x1＋1>0， x2＋1>0， y1－y2＝x12＋x11－x22＋x21 ＝x12＋x11－xx2＋2 1>0， ∴y1>y2， ∴函数y＝x＋2x1在(－1，＋∞)上为增函数．
高中数学第一章 集合与函数概念 131 单调性与最大小值 第1课时 函数的单调性课件 新人教A版必修
1.(1)下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的
是( C )
①y＝|x|＋1；②y＝|xx|；③y＝－|xx2|；④y＝x＋|xx|.
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
(2)已知函数 f(x)＝2x－ ＋x1，证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为
减函数．
函数单调区间的两种求法 (1)图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间． (2)定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( × ) (2)函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3)．( √ ) (3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量” 改为“存在两个自变量”．( × )
2．函数 y＝－x2 的单调递减区间为( B )
大家好
1
第一章 集合与函数概念
1 . 3 函数的基本性质
1. 3 . 1 单调性与最大(小)值
第 1 课时 函数的单调性
1．定义域为 I 的函数 f(x)的增减性
2．函数的单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是__增__函__数__或__减__函__数__，就说函 数 y＝f(x)在区间 D 上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x) 的__单__调__区__间__．
解：函数 f(x)＝x2－2ax－3 的图象开口向上，对称轴为直 线 x＝a，画出草图如图所示．
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性， 因此要使函数 f(x)在区间[1，2]上具有单调性，只需 a≤1 或 a≥2，
从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.1.1 函数的单调性
[规律方法] 1.本题逆用函数单调性，将函数值的不等关系，转 化为与之等价的代数不等式组，但一定注意定义域．
2．设x1，x2∈D，且x1＜x2： (1)f(x1)＜f(x2)⇔f(x)在D上是增函数； (2)f(x1)＞f(x2)⇔f(x)在D上是减函数．
【活学活用 3】 已知函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且 f(x)在区 间[－2,2]上是增函数，f(1－m)＜f(m)，求实数 m 的取值范围． 解 ∵f(x)在[－2,2]上是增函数，且 f(1－m)＜f(m)，
类型二 求函数的单调区间 【例 2】 画出函数 y＝－x2＋2|x|＋1 的图象并写出函数的单调 区间． [ 思 路 探 索 ] 去绝对值 → 化为分段函数 → 作图象 → 求单调区间
解 y＝－－xx22＋－22xx＋＋11，，xx≥＜00，， 即 y＝－ －xx－ ＋1122＋ ＋22， ，xx≥ ＜00，. 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]， 单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
高一数学必修一
第一章 集合与函数概念 1．3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性
【课标要求】 1．理解函数的单调性的概念． 2．掌握判断函数单调性的一般方法． 【核心扫描】 1．单调性的概念．(重点、难点) 2．判断函数的单调性及函数单调性的应用．(重点)
新知导学 1．定义域为I的函数f(x)的增减性
探究点3 若函数f(x)在定义域内的两个区间A、B上都是减(增) 函数，你能认为f(x)在区间A∪B上是减(增)函数吗？ 提示 不能．如f(x)＝在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上 也是减函数，但不能说它在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是 减函数，如取x1＝－1＜1＝x2，有f(－1)＝－1＜1＝f(1)，不 满足减函数．
高中数学第1章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值(第1课时)函数的单调性aa高一数学
那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减
结论
函数
函数
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图示 思考 1：增(减)函数定义中的 x1，x2 有什么特征？
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[提示] 定义中的 x1，x2 有以下 3 个特征 (1)任意性，即“任意取 x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特 殊代替一般； (2)有大小，通常规定 x1<x2； (3)属于同一个单调区间．
(－∞，1) [因为 f(x)＝x2－2x＋3 是图象开口向上的二次函数，其对称轴为 x ＝1，所以函数 f(x)的单调减区间是(－∞，1)．]
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[合 作 探 究·攻 重 难]
求函数的单调区间 例 1 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减 函数． (1)f(x)＝－1x；(2)f(x)＝52－x＋x，1，x<x≥1；1， (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
作差：fx1－fx2 ―变―形→ 判号：fx1>fx2 ―结―论→ 减函数
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[证明] 设 x1，x2 是区间(0,1)上的任意两个实数，且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x11
－
x2＋x12
＝
(x1
－
x2)
＋
x11－x12
＝
(x1
－
x2)
＋
x2－x1 x1x2
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[规律方法] 1．求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要 根据函数的自变量的取值范围分段求解； (2)利用函数的图象，如本例(3)． 2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要 用“,”隔开，如本例(3)．
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1.3.1 单调性与最大（小）值
第1课时 函数的单调性
A 级 基础巩固
一、选择题
1．函数f (x )在R 上是减函数，则有( )
A ．f (－1)<f (3)
B ．f (－1)≤f (3)
C ．f (－1)>f (3)
D ．f (－1)≥f (3)
解析：因为函数f (x )在R 上是减函数，且－1<3，所以f (－1)>f (3)．
答案：C
2．下列命题正确的是( )
A ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1<x 2时有f (x 1)<f (x 2)，则f (x )在(a ，b )上为增函数
B ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1<x 2时有f (x 1)<f (x 2)，则f (x )在(a ，b )上为增函数
C ．若f (x )在区间A 上为减函数，在区间B 上也为减函数，则f (x )在A ∪B 上也为减函数
D ．若f (x )在区间I 上为增函数且f (x 1)<f (x 2)(x 1，x 2∈I )，则x 1<x 2
解析：由函数单调性定义知，选项D 正确．
答案：D
3．若函数f (x )＝(3a ＋2)x －5在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23
B.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，＋∞ 解析：依题意得3a ＋2>0，所以a >－23
. 答案：D
4．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是( )
A ．y ＝1
B ．y ＝－1x ＋2
C ．y ＝－x 2－2x －1
D ．y ＝1＋x 2
解析：函数y ＝1不具备单调性；函数y ＝－x 2－2x －1在(－∞，1)上单调递增；函数y ＝1＋x 2在(－∞，0)单
调递减；只有函数y ＝－1x
＋2在(－∞，0)上为增函数． 答案：B
5．函数y ＝x 2
－6x ＋10在区间(2，4)上是( )
A ．递减函数
B ．递增函数
C ．先递减再递增
D ．先递增再递减 解析：该函数图象的对称轴为x ＝3，根据图象(图略)可知函数在(2，4)上是先递减再递增的.
答案：C
二、填空题
6．函数f (x )＝2x 2
－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (－1)＝________． 解析：因为f (x )＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －m 42＋3－m 28，由题意m 4＝2，所以m ＝8. 所以f (－1)＝2×(－1)2－8×(－1)＋3＝13.
答案：13
7．已知函数f (x )在定义域[－2，3]上单调递增，则满足f (2x －1)>f (x )的x 取值范围是__________． 解析：依题意有－2≤x <2x －1≤3，解得1<x ≤2.
答案：(1，2]
8．函数f (x )＝|x －3|的单调递增区间是_______，单调递减区间是________．
解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥3，－x ＋3，x <3，其图象如图所示，则f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)，单调递减区间是(－∞，3]．
答案：[3，＋∞) (－∞，3]
三、解答题
9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－a 2x －1，x ≤1. (1)若f (2)＝f (1)，求a 的值；
(2)若f (x )是R 上的增函数，求实数a 的取值范围．
解：(1)因为f (2)＝f (1)，所以22＝4－a 2
－1， 所以a ＝－2. (2)因为f (x )是R 上的增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2>0，4－a 2－1≤1，
解得4≤a <8.
10．判断并证明函数f (x )＝－1x
＋1在(0，＋∞)上的单调性．
解：函数f (x )＝－1x
＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2
， 由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0，又由x 1<x 2，
得x 1－x 2<0.
于是f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．
所以f (x )＝－1x
＋1在(0，＋∞)上是增函数． B 级 能力提升
1．函数f (x )＝ax 2
＋2(a －3)x ＋1在区间[－2，＋∞)上递减，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3]
B ．[－3，0]
C ．[－3，0)
D ．[－2，0] 解析：a ＝0时，函数f (x )为R 上的减函数，所以在[－2，＋∞)上也是减函数；a ≠0时，二次函数的对称轴为
x ＝－a －3a ，依题意有⎩
⎪⎨⎪⎧a <0，－a －3a ≤－2， 解得－3≤a <0.综上知－3≤a ≤0.
答案：B
2．函数f (x )＝ax ＋1x ＋a
在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析：f (x )＝ax ＋1x ＋a ＝a －a 2－1x －（－a ）
， 若f (x )在(－2，＋∞)为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2
－1>0，－a ≤－2， 解得a ≥2.
答案：[2，＋∞)
3．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5.
(1)求f (2)的值；
(2)解不等式f (m －2)≤3.
解：(1)因为f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5，
所以f (2)＝3.
(2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)．
因为f (x )是(0，＋∞)上的减函数，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧m －2≥2，m －2>0，解得m ≥4.
所以不等式的解集为{m|m≥4}．。