6.7-1定积分的元素法
定积分的元素法
平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长，功，
水压力等．
5
A
y=ƒ(x)
D H
B
o a
E
F x x+Δx
b x
求曲边梯形 AabB 的面积 A 的方法为:
(1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],并求出总量 A 的
微分dA = ƒ(x)dx ; (面积元素(微元))
(2) 以微分表达式 ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 (面积元素(微元)进行求和累加)
在区间 [a, b]的任一个子区间[x, x+Δx] 上， 部分量ΔU≈f (x)Δx．
4
二
定积分的元素法
设 U 是可用定积分表达的量，则计算量 U 的步骤为： • 选择函数 f(x)，并确定自变量 x 的变化区间[a, b]; • 在[a, b]内考虑小区间[x, x+dx]，求出相应于这个小 区间的部分量ΔU的近似值 f(x)dx。称f(x)dx为量U的 元素，记为dU= f(x)dx． • 计算 U=a f ( x )dx 应用方向：
A dA f ( x )dx
a a
3
bU具有以下特点： 量U与函数 f(x)及x的变化区间 [a, b]有 关．
若 f(x)≡常数，则 U= f(x)(b－a)．
量U对区间具有可加性。即：把[a,b]分成若干部
分区间， 则 U相应地被分成了许多部分量之和．
第六章 定积分的应用
基本要求
1 掌握用定积分来求一些几何量和物理量的方法(元素法) 2 会建立一些简单的几何量与物理量的积分表达式 (如面积，体积，弧长、功、水压力等)
1
§6.1 定积分的元素法
定积分的元素法平面图形的面积PPT课件
1
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法 第二节 平面图形的面积 第三节 体积 第四节 平面曲线的弧长 第五节 功 水压力和引力 第六节 平均值
2
第一节 定积分的元素法
求由 x a, x b, y 0 和 y f ( x) 所围成的曲边梯形的
x 1( y)
y dy
x 2( y)
y
A
d c
2
(
y
)
1
(
y
)dy
c
x穿出 x穿入
Y型
x
8
例１计算由 y2 x , y x2
解 解方程组
y2 x
y
x2
所围成的图形的面积。
y
(1,1) 1
得抛物线的两个交点 (0,0)和 (1,1)
取x为积分变量，积分区间为 0,1,
P(r, ) y
x
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
x2 y2 a2
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos r 2a cos r 2 2a r cos x 2 y 2 2ax
20
二. 极坐标情形
之间，一般没有一一对应的关系。
但若规定r 0,0 2 ，除极点O外，平面上的点与极坐标
之间就一一对应了。
在通常情况下,我们规定: r 0 ，而极角可以取任意实数。
17
2．极坐标方程
曲线上点的极坐标 r 与 之间的关系可以用式 r r 表示， 称 r r 为曲线的极坐标方程。
6.1 定积分的元素法
（4）则所求的量 Q 的值可用定积分表示为：
Q＝ dQ ＝ f ( x)dx
a a
b
b
Q＝ dQ lim f ( x) x
b a
0
y f ( x)
f ( x) dQ
a
x x
b
我们将用微元法建立平 面图形的面积、体积、 平面曲线的弧长、功、 水压力、引力等的积分 模型．
Revised May, 2004 May, 2003
y f ( x)
A
a
v v(t )
s
b
T1
Revised May, 2004
T2
May, 2003
（2）量 Q 具有区间可加性：
Q Qi Q
i 1
n
y f ( x)
Q2
Qi
Qn
Q
Q1
a
b
Revised May, 2004 May, 2003
（3）Q 可以近似表示为 f ( x)x
6.1 定积分的元素法
Revised May, 2004 May, 2003
定积分的微元法 在定积分的应用中，我们经常采用 微元法（也称为元素法）. 微元法是用来化实际问题为定积分 问题的一种简便方法，是物理学、力 学、工程技术中建立积分模型时普遍 采用的方法.
Revised May, 2004 May, 2003
Hale Waihona Puke 用微元法建立定积分模型的步骤如下： （1）所求的某量 Q 与定义在一个区间 [a, b]上的连续函数 f(x) 有关.
如区间[a, b]上的一曲线 y=f(x) 与 x 轴所围成的曲 边梯形的面积 A 与函数 f(x) 有关； 以 速 度 v=v(t) 作 变 速 直 线 运 动 的 物 体 在 区 间 [T1, T2]上所经过的路程 s 与速度函数 v(t) 有关.
定积分的元素法
二、元素法 1. 能用定积分计算的量，应满足下列三个条件 (1) U 与变量人的变化区间［a ,b ］有关； (2) U 对于区间［a ,b ］具有可加性； (3) U 部分量A U .可近似地表示成f (& i) •电i 。
2. 写出计算U 的定积分表达式步骤 (1) 根据问题，选取一个变量x 为积分变量，并确定它的变化区间［a , b ］； (2) 设想将区间［a ，b ］分成若干小区间，取其中的任一小区间任，x + d ］, 求出它所对应的部分量A U 的近似值 A U 机f (x )dx ( f (x )为［a ,b ］上一连续函数) 则称f (x ')dx 为量U 的元素，且记作dU = f (x )dx 。
(3) 以U 的元素dU 作被积表达式，以［a , b ］为积分区间，得 U = f f (x )dx a 这个方法叫做元素法，其实质是找出U 的元素dU 的微分表达式 dU = f (x )dx (a < x < b ) 因此，也称此法为元素法。
课后作业教学后记 教学过程二、 体积1. 旋转体的体积求由曲线y = f (x ),直线x = a , x = b 及x 轴所围的曲边梯形绕x 轴旋转 一周而成的旋转体体积。
V =兀卜平2(y )dy 例5求y = x 3, x = 1及x 轴所围图形分别绕x 、y 轴旋转一周而成的旋转体体 积。
例6求y = sin x 和它在x = y 处的切线及x =兀所围图形绕x 轴旋转而成的 旋转体体积。
2. 截面积为已知的立体的体积 某立体的垂直于x (或y )轴的截面面积为已知，体积V = j b A(x)dx a 例7求以半径为R 的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h 的正劈 锥体的体积。
三、 平面曲线的弧长 1. 直角坐标情形 s — j b %：1 + (y 心dx a 例8求y — ln x 对应于13 < x 〈胰一段弧长。
§6.1定积分的元素法§6.2几何应用(面积、体积)(2015)
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
x
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例4. 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
解:
A
2
0
1 (a )2 d
2
02
y
ox
R x
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微分的几何意义与切线段的长度
dy f (x)dx
y y f (x)
y
ds dy dx
o
x
x
切线段的长度
x dx
此直角三角形称为： 微分三角形
ds (d x)2 (d y)2 1 f 2 (x)dx （弧微分公式）
曲线 y f (x) C[a,b], s b 1 f 2 (x)dx.
4 3 a2
3
对应 从 0 变
2 a
o
x
d
例5. 计算心形线
所围图形的面积 .
解:
1 (1 cos )2 d
2
2
2
1 (3cos
)2
d
2
3
5.
4
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与圆
(
3
,
(利用对称性)
)
23
d
o
2x
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二、体积
１．平行截面面积为已知函数的立体体积
§6 定积分的应用
§6.1 定积分的元素法（微元法） §6.2 几何应用 §6.3 物理应用
6.1 元素分析法
一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ?
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一、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “分割 近似求和 取极限” 分割, 近似求和, 取极限” 分割 表示为
U = ∫a f (x) dx
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 ) 元素法 微元分析法
b
第二节 目录
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定积分定义
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二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 根据具体问题，选取一个变量例如x作为 积分变量，并确定它的变化区间[a, b]. 第二步 任意选取[a,b]内的一个小区间[x, x+dx], 并 求出U在这个小区间上的近似值dU. 第三步 如果 dU = f (x) dx ，那么
定积分元素法课件
02
确定被积函数
03
建立积分方程
根据物理或工程问题的数学模型 ，确定被积函数，即需要求解的 未知函数。
根据定积分的定义和性质，将问 题转化为数学模型中的积分方程 。
离散化方程的推导
离散化方法
将连续的积分元素离散化为有限个离散点，常用的离散化方法有矩形法、三角形法等。
离散化方程推导
根据离散化方法和定积分的性质，推导离散化方程，即将积分方程转化为有限元方程。
二维问题的求解
总结词
定积分元素法在解决二维问题时，通过 将二维平面离散化为网格，将复杂的二 维积分运算转化为一系列的一维积分运 算，降低了求解难度。
VS
详细描述
二维问题涉及平面上的形状、面积、体积 等的求解。定积分元素法将二维平面离散 化为网格，每个网格点上的积分值相等。 通过求解每个网格点的积分值，再求和得 到整体解。这种方法简化了二维积分运算 ，提高了计算精度和效率。
三维问题的求解
总结词
定积分元素法在解决三维问题时，通过将三 维空间离散化为体素，将复杂的三维积分运 算转化为一系列的二维积分运算，降低了求 解难度。
详细描述
三维问题涉及空间中的形状、体积等的求解 。定积分元素法将三维空间离散化为体素， 每个体素上的积分值相等。通过求解每个体 素的积分值，再求和得到整体解。这种方法 简化了三维积分运算，提高了计算精度和效 率。
步骤 1. 将问题分解为若干个元素或单元；
定积分元素法的应用场景
物理问题
定积分元素法广泛应用于物理问题的求解 ，如静力学、动力学、热力学等领域。
工程问题
在土木工程、机械工程、航空航天等领域 ，定积分元素法也被广泛应用。
数值分析
在数值分析中，定积分元素法是数值求解 微分方程的重要方法之一。
定积分元素法课件
元素法的应用范围
01 02 03
适用于被积函数为连续函数的定积 分计算。
适用于被积函数为分段函数的定积 分计算。
适用于被积函数为周期函数的定积 分计算。
03
元素法的具体应用
求解定积分的具体方法
01
矩形法
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，用
矩形近似代替该小区间上的曲线，求出矩形面积之和，即得定积分的近
计算方法则是通过数值计算方法（如梯形法、辛普森法等）来求解近似值。 • 两者都可以得到较为精确的结果，但数值计算方法需要更多的计算量。
元素法与物理方法的比较研究
元素法是通过数学模型和数值计 算方法来得到近似解，而物理方 法则是通过实验测量数据来得到 近似解。
在求解积分问题时，物理方法通 常是通过实验测量数据来得到近 似解。
元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积 函数，从而将积分转化为求和。
微积分提供了一般的理论框架，而元素法是一种具体的计算方法，两者相辅相成。
元素法与数值计算方法的比较研究
• 数值计算方法是一种通过数值计算求解数学问题的方法，包括数值积分、数值微分、数值求解方程等。 • 元素法与数值计算方法在求解积分问题时，都采用了近似代替的方法。 • 元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积函数，从而将积分转化为求和。而数值
近似方法的选取
根据具体问题的特点，选择合适的近 似方法（矩形法、梯形法或辛普森法 ），以保证近似值的精度和计算效率 。
求解定积分的实例分析
计算定积分$\int_{0}^{1}e^{x}dx$
通过矩形法、梯形法和辛普森法分别计算该定积分的近似值，并比较其精度和计算效率 。
定积分的元素法
课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课 时 计 划 ( 教 案 ) 一、()()=n y f x 型的微分方程 解法: 积分n 次 1)1()(C dx x f y n +=⎰-, 21)2(])([C dx C dx x f y n ++=⎰⎰-, …… 例1 求微分方程y '''=e 2x cos x 的通解.。
例2 求微分方程x x y cos sin -=''满足初始条件1)0(,2)0(='=y y 的特解。
二、),(y x f y '=''型的微分方程 解法: 设y '=p 则方程化为 p '=f (x , p ). 设p '=f (x , p )的通解为p =(x ,C 1), 则 ),(1C x dx dy ϕ=. 原方程的通解为21),(C dx C x y +=⎰ϕ. 例3 求微分方程 (1x 2)y ''=2xy 满足初始条件 y |x =0=1, y '|x =0=3的特解. 例4设由一质量分布均匀，柔软的细绳，其两端固定，求它在自身重力作用下的曲线方程．三、),(y y f y '=''型的微分方程 解法: 设y '=p ,有dy dp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==''. 原方程化为 ),(p y f dydp p =. 设方程),(p y f dy dp p =的通解为y '=p =(y , C 1), 则原方程的通解为21),(C x C y dy +=⎰ϕ. 例5 求微分yy ''y '2=0的通解。
四、习题讲解329P Ex2（5）（6），4五、课堂小结、布置作业课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )。
定积分的元素法解析
面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间 [a , b] 分成n个长度分别为 x i 的小区间，
那么相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形， 第 i 个小窄曲边梯形的面积为
Ai , 则A Ai .
i 1
n
（2）计算Ai 的近似值
Ai f ( i )xi
（3） 求和，得A的近似值
对于区间
如果把区间
a , b 具有可加性，就是说， a , b 分成许多部分区间，则U相
应地分成许多部分量，而 U等于所有部分量之
和.
（3）部分量U i 的近似值可表示为 f ( i )x i ；
U 就可以考虑用定积分来表达这个量
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元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间 [a, b]；
dU ，即 dU f ( x)dx；
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3）以所求量 U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在
区间 [a , b] 上作定积分，得
即为所求量 U 的积分表达式.
U f ( x)dx.
a
b
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等．
2）设想把区间 [a , b] 分成n个小区间，取其中任
一小区间并记为 [ x , x dx ]，求出相应于这小区 间的部分量 U 的近似值.如果 U 能近似地表示 为 [a , b]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积, 就把 f ( x )dx 称为量 U 的元素且记作
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定积分的元素法
定积分的元素法定积分的元素法一、问题的提出回顾：曲边梯形求面积的问题曲边梯形由连续曲线)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成。
面积表示为定积分的步骤如下（1）把区间],[b a 分成n 个长度为i x ?的小区间，相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第i 个小窄曲边梯形的面积为i A ?，则∑=?=n i i A A 1 （2）计算i A ?的近似值（3）求和，得A 的近似值（4）求极限，得A 的精确值若用A ? 表示任一小区间],[x x x ?+上的窄曲边梯形的面积，则∑?=A A ，并取dx x f A )(≈?，于是∑≈dx x f A )(ab i i i x f A ?≈?)(ξi i x ?∈ξ.)(1i i n i x f A ?≈∑=ξi i n i x f A ?=∑=→)(lim 10ξλ?=b a dx x f )(∑=dx x f A )(lim.)(?=ba dx x f当所求量U 符合下列条件：（1）U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的量；（2）U 对于区间[]b a ,具有可加性，就是说，如果把区间[]b a ,分成许多部分区间，则U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之和；（3）部分量i U ?的近似值可表示为i i x f ?)(ξ；就可以考虑用定积分来表达这个量U元素法的一般步骤：1) 根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a2）设想把区间],[b a 分成n 个小区间，取其中任一小区间并记为],[dx x x +，求出相应于这小区间的部分量U ?的近似值.如果U ?能近似地表示为],[b a 上的一个连续函数在x 处的值)(x f 与dx 的乘积，就把dx x f )(称为量U 的元素且记作dU ，即dx x f dU )(=；3）以所求量U 的元素dx x f )(为被积表达式，在区间],[b a 上作定积分，得?=ba dx x f U )(，即为所求量U 的积分表达式.这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．§6. 2 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1．直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为dx x f x f S ba ?-=)]()([下上.类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为-=dc dy y y S )]()([左右??.例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积.解 (1)画图.(2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1].(3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上.(4)计算积分31]3132[)(10323102=-=-=?x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积.解 (1)画图.(2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4].(3)确定左右曲线: 4)( ,21)(2+==y y y y 右左??. (4)计算积分--+=422)214(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+by a x所围成的图形的面积. 解设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ?=aydx S 04. 椭圆的参数方程为:x =a cos t , y =b sin t ,于是 ?=a ydx S 04?=02)cos (sin 4πt a td b-=022sin 4πtdt ab ?-=20)2cos 1(2πdt t ab ππab ab =?=22.2．极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素:由曲线ρ=?(θ)及射线θ =α, θ =β围成的图形称为曲边扇形. 曲边扇形的面积元素为θθ?d dS 2)]([21=. 曲边扇形的面积为=βαθθ?d S 2)]([21. 例4. 计算阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)上相应于θ从0变到2π 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解: ?=πθθ202)(21d a S 32203234]31[21πθπa a ==. 例5. 计算心形线ρ=a (1+cos θ ) (a >0) 所围成的图形的面积.解: ?+=πθθ02]cos 1([212d a S ?++=πθθθ02)2cos 21cos 221(d a πθθθπ20223]2sin 41sin 223[a a =++=.二、体积1．旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴.常见的旋转体: 圆柱、圆锥、圆台、球体.旋转体都可以看作是由连续曲线y =f (x )、直线x =a 、a =b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体.设过区间[a , b ]内点x 且垂直于x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x ), 当平面左右平移dx 后, 体积的增量近似为?V =π[f (x )]2dx , 于是体积元素为dV = π[f (x )]2dx ,旋转体的体积为dx x f V ba 2)]([π?=.例1 连接坐标原点O 及点P (h , r )的直线、直线x =h 及x 轴围成一个直角三角形. 将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体. 计算这圆锥体的体积.解: 直角三角形斜边的直线方程为x hr y =. 所求圆锥体的体积为dx x h r V h 20)(π?=h x h r 0322]31[π=231hr π=. 例2. 计算由椭圆12222=+by a x所成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积. 解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 22x a ab y -= 及x 轴围成的图形绕x 轴旋转而成的立体. 体积元素为dV = π y 2dx ,于是所求旋转椭球体的体积为--=aa dx x a ab V )(2222πa a x x a a b --=]31[3222π234ab π=. 例2 求星形线323232a y x =+)0(>a 绕x 轴旋转构成旋转体的体积. 解：323232x a y -=332322???? ??-=∴x a y ],[a a x -∈旋转体的体积dx x a V a a 33232???? ??-=?-π.105323a π=例3 计算由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱, 直线y =0所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积.解所给图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为=a x dx y V ππ202?-?-=ππ2022)cos 1()cos 1(dt t a t a-+-=ππ20323)cos cos 3cos 31(dt t t t a=5π 2a 3.所给图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差. 设曲线左半边为x =x 1(y )、右半边为x =x 2(y ). 则-=a a y dy y x dy y x V 20212022)()(ππ --?-=πππππ022222sin )sin (sin )sin (tdt a t t a tdt a t t a--=ππ2023sin )sin (tdt t t a =6π 3a 3 .2．平行截面面积为已知的立体的体积设立体在x 轴的投影区间为[a , b ], 过点x 且垂直于x 轴的平面与立体相截, 截面面积为A (x ), 则体积元素为A (x )dx , 立体的体积为dx x A V ba )(?=.例4 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角α. 计算这平面截圆柱所得立体的体积.解: 取这平面与圆柱体的底面的交线为x 轴, 底面上过圆中心、且垂直于x 轴的直线为y 轴. 那么底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 立体中过点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形. 两个直角边分别为22x R -及αtan 22x R -. 因而截面积为αtan )(21)(22x R x A -=. 于是所求的立体体积为dx x R V R R αtan )(2122-=?-ααtan 32]31[t an 21332R x x R R R =-=-. 例5. 求以半径为R 的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积.解: 取底圆所在的平面为x O y 平面, 圆心为原点, 并使x 轴与正劈锥的顶平行. 底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 过x 轴上的点x (-R <="" 轴的平面,="">. 这截面的面积为22)(x R h y h x A -=?=.于是所求正劈锥体的体积为--=R R dx x R h V 22h R d h R 2202221c o s 2πθθπ==? . 三、平面曲线的弧长设A , B 是曲线弧上的两个端点. 在弧AB 上任取分点A =M 0, M 1, M 2, ? ? ? , M i -1, M i , ? ? ?, M n -1, M n =B , 并依次连接相邻的分点得一内接折线. 当分点的数目无限增加且每个小段M i -1M i 都缩向一点时, 如果此折线的长∑=-ni i i M M 11||的极限存在, 则称此极限为曲线弧AB 的弧长, 并称此曲线弧AB 是可求长的.定理光滑曲线弧是可求长的.1．直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程y =f (x ) (a ≤x ≤b )给出, 其中f (x )在区间[a , b ]上具有一阶连续导数. 现在来计算这曲线弧的长度.取横坐标x 为积分变量, 它的变化区间为[a , b ]. 曲线y =f (x )上相应于[a , b ]上任一小区间[x , x +dx ]的一段弧的长度, 可以用该曲线在点(x , f (x ))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替. 而切线上这相应的小段的长度为dx y dy dx 2221)()('+=+,从而得弧长元素(即弧微分)dx y ds 21'+=. 以dx y 21'+为被积表达式, 在闭区间[a , b ]上作定积分, 便得所求的弧长为'+=ba dx y s 21. 在曲率一节中, 我们已经知道弧微分的表达式为dx y ds 21'+=, 这也就是弧长元素. 因此例1. 计算曲线2332x y =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度. 解: 21x y =', 从而弧长元素dx x dx y ds +='+=112.因此, 所求弧长为b a b a x dx x s ])1(32[123+=+=?])1()1[(322323a b +-+=. .2．参数方程情形设曲线弧由参数方程x =?(t )、y =ψ(t ) (α≤t ≤β )给出, 其中?(t )、ψ(t )在[α, β]上具有连续导数.因为)()(t t dx dy ?ψ''=, dx =?'(t )d t , 所以弧长元素为 dt t t dt t t t ds )()()()()(12222ψψ'+'='''+=. 所求弧长为'+'=βαψ?dt t t s )()(22. 例2．计算摆线x =a (θ-sin θ), y =a (1-cos θ)的一拱(0 ≤θ ≤2π )的长度.解: 弧长元素为θθθd a a ds 2222sin )cos 1(+-=θθd a )cos 1(2-=θθd a 2sin 2=.所求弧长为=πθθ202sin 2d a s πθ20]2cos 2[2-=a =8a . 3．极坐标情形设曲线弧由极坐标方程ρ=ρ(θ) (α ≤ θ ≤ β )给出, 其中r (θ)在[α, β]上具有连续导数. 由直角坐标与极坐标的关系可得x =ρ(θ)cos θ , y =ρ(θ)sin θ(α ≤θ ≤ β ).于是得弧长元素为θθθd y x ds )()(22'+'=θθρθρd )()(22'+=.从而所求弧长为'+=βαθθρθρd s )()(22.例14. 求阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)相应于θ 从0到2π 一段的弧长.解: 弧长元素为θθθθd a d a a ds 22221+=+=.于是所求弧长为+=πθθ2021d a s )]412ln(412[222ππππ++++=a .。
元素法定积分的应用(面积)
面积的计算方法
直接计算法
对于规则图形，直接使用公式计 算其面积。
微元法
将不规则图形划分为若干个小的规 则图形，然后分别计算其面积，最 后求和得到总面积。
积分法
将不规则图形划分为若干个小的规 则图形，然后对每个小图形的面积 进行积分，最后求和得到总面积。
05
元素法在面积计算中的应用
面积计算的难点
元素法可以处理不规则和 复杂几何形状的面积计算， 使得计算更加灵活和实用。
高精度计算
通过将整体划分为多个小 部分，元素法可以获得更 高的计算精度。
适用范围广
元素法不仅适用于二维面 积计算，还可以扩展到三 维和其他更高维度的计算中的贡献
简化计算过程
应用广泛
元素法将复杂的积分或面积计算分解 为更小、更易于处理的部分，从而简 化了计算过程。
元素法的原理是将积分区间分成若干个小区间，每个小区间上的函数值可以近似为一个常数或已知函数，从而 将积分转化为求和问题。
元素法的应用范围
元素法适用于不规则区域和复杂几何形状的面积计算。通过将面积划分为若干个 小的矩形或平行四边形，我们可以近似计算出整个区域的面积。
除了面积计算，元素法还可以应用于体积计算、曲线长度计算等其他类型的积分 问题。
元素法的优势
元素法的优点在于其简单易行，能够将复杂 问题转化为简单问题，降低了解决问题的难 度。
元素法具有广泛的应用范围，可以用于解决 各种类型的积分问题，尤其是不规则区域和 复杂几何形状的面积和体积计算。
元素法还具有直观性和可操作性强的特点， 能够通过图形直观地展示计算过程和结果。
03
元素法在积分中的应用
背景介绍
在实际应用中，许多复杂图形的面积 无法直接计算，如不规则的多边形、 曲线围成的区域等。
定积分的应用元素法
3πa2
2πa x
直角坐标系下平面图形面积的计算
y y f (x)
y
y f2(x)
o a x x xb x 曲边梯形的面积
b
A a f ( x)dx
oa
y f1( x)
xx b x
曲边梯形的面积
b
A a | f2 ( x) f1( x) | dx
2. 极坐标情形
求由曲线
及
在区间
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
Vx
2 a π y2 dx
0
2
a
π
y2
dx
0
y O πa 2πa x
2 π π a2 (1 cos t)2 a(1 cost) d t 0
利用对称性
2 π a3 π (1 cos t)3 d t 16 π a3 π sin6 t d t (令 u t )
图形 A 绕直线 x 2 旋转一周所得旋转体的体积 .
提示：选 x 为积分变量.
y yx
旋转体的体积为
V 2 π
1
(2 x)(
2x x2 x)dx
0
1 π2 2 π
23
1
y
O x 1 2x
若选 y 为积分变量, 则
V π 1 2 (1 1 y2 ) 2dy π 1 (2 y)2 dy
围成的曲边扇形的面积 . 上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
O
x
例5. 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
计算定积分的方法
计算定积分的方法定积分是微积分中的一个重要概念，用来描述曲线下方的面积。
计算定积分的方法通常包括几何法、零散法、换元法和分部积分法等。
一、几何法几何法是通过几何图形的性质计算定积分。
常用的几何法计算定积分的方法有：1. 面积法：将曲线下方的区域分割成许多个简单几何形状，如矩形、三角形等，然后计算每个几何形状的面积，并将所有面积相加得到总面积。
2. 折线法：将曲线下方的区域近似地用折线连接起来，然后计算每段折线的长度，并将所有长度相加得到总长度。
二、零散法零散法是将曲线下方的面积进行分割求和的方法。
常用的零散法计算定积分的方法有：1. 矩形法：将曲线下方的区域分割成若干个矩形，然后计算每个矩形的面积，并将所有面积相加得到总面积。
2. 梯形法：将曲线下方的区域分割成若干个梯形，然后计算每个梯形的面积，并将所有面积相加得到总面积。
3. 辛普森法则：将曲线下方的区域分割成若干个小区间，在每个小区间上使用二次多项式逼近曲线，然后使用辛普森公式进行近似计算。
三、换元法换元法是通过变量替换的方式将复杂的积分转化成简单的积分，从而简化计算。
常用的换元法计算定积分的方法有：1. 对换元法：将被积函数中的自变量替换成新的自变量，通过求出新的积分变量和原积分变量的关系，将原来的积分变量带入进行计算。
2. 三角换元法：将被积函数中的自变量表示成三角函数形式，通过选择合适的三角变换，将原函数转化成更简单的形式进行计算。
四、分部积分法分部积分法是微积分中的一个重要定理，可以将一个积分问题转化为另一个积分问题，从而简化计算。
常用的分部积分法计算定积分的方法有：1. 正比换元法：将被积函数中的一项作为导数，另一项作为原函数，通过求出原函数和导数的关系，将积分变换为另一个积分。
2. 对数换元法：将被积函数中的一项取导数，另一项取倒数，通过求出导数和倒数的关系，将积分变换为另一个积分。
以上是计算定积分的常用方法，通过几何法、零散法、换元法和分部积分法可以解决各种类型的定积分计算问题。
第六章 第一讲 定积分的元素法
第六章定积分的应用第一讲定积分的元素法回顾曲边梯形求面积的问题⎰=ba dx x f A )(曲边梯形由连续曲线)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成。
a b x y o )(x f y =面积表示为定积分的步骤如下：（1）把区间],[b a 分成n 个长度为i x ∆的小区间，相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第i 个小窄曲边梯形的面积为i A ∆，则∑=∆=ni i A A 1. （2）计算i A ∆的近似值i i i x f A ∆≈∆)(ξii x ∆∈ξ（3）求和，得A 的近似值.)(1i i ni x f A ∆≈∑=ξa b xy o )(x f y =（4）求极限，得A 的精确值i i n i x f A ∆=∑=→)(lim 10ξλ⎰=ba dx x f )(提示：若用A ∆ 表示任一小区间[,]x x dx +上的窄曲边梯形的面积，则∑∆=A A ，并取dx x f A )(≈∆，于是∑≈dx x f A )( ∑=dx x f A )(lim .)(⎰=b a dx x f x dx x +dA 面积元素（一）什么问题可以用定积分解决?1) 所求量U是与区间[a, b]上的某分布f(x) 有关的一个整体量;2) U对区间[a, b] 具有可加性,即可通过“分割, 近似，求和，取极限”表示为定积分定义（二）如何应用定积分解决问题?第一步利用“化整为零, 以常代变”求出积分微元表达式xx f U d )(d =第二步利用“积零为整, 无限累加”求出整体量的积分表达式=U x x f b ad )(⎰这种分析方法成为元素法(或元素分析法)微元的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳等上局部量的近似值精确值[,]U x x dx +在。