2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第2章+基本初等函数(1)和答案
第2章 第1节 函数的概念及表示-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
►考向二 求函数的解析式[师生共研]
[例 2] (1)已知 f(x)是一次函数，且 f[f(x)]＝4x＋3，则 f(x) 的解析式为_f(_x_)＝__－__2_x_－__3__或__f_(_x)_＝__2_x_＋；1.
(2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，则 f(x)的解析式为_f(_x_)_＝__x_2－__1_(；x≥1)
►规律方法 求函数解析式的常用方法
(1)换元法：已知复合函数 f[g(x)]的解析式，可用换元法， 此时要注意新元的取值范围.
(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)， 可用待定系数法.
(3)配凑法：由已知条件 f[g(x)]＝F(x)，可将 F(x)改写成关 于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式.
►规律方法 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解 析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等 式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 (1) 若 已 知 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 [a ， b] ， 则 复 合 函 数 f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义 域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.
命题点 2 求抽象函数的解析式
[例 1－2] 已知函数 f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则 f(2x
－1)的定义域为( C )
A.(－1，0)
B.(－2，0)
C.(0，1)
－1，0 D. 2
[自主解答] ∵函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)， 即－2＜x＜0，∴－1＜x＋1＜1， 则f(x)的定义域为(－1，1)， 由－1＜2x－1＜1，得0＜x＜1， ∴f(2x－1)的定义域为(0，1).故选C.
广东省2020年高中数学学业水平测试(小高考)复习课件 第二章 函数概念及基本性质(共99张PPT
A.[-2,2]
B.(-1,2]
C.[-2,0)∪(0,2]
D.(-1,0)∪(0,2]
������ + 1 > 0,
【解析】要使函数有意义,x 应满足 ������ + 1 ≠ 1,解得-1<x<0 或 4-������2 ≥ 0,
0<x≤2,故函数的定义域为:(-1,0)∪(0,2],故选D. 1
2
方法二:∵f(2x+1)=3(2x+1)+2,∴f(x)=3x+2.
2.已知g(x-1)=2x+6,则g(3)= 14 .
【解析】方法一:∵g(x-1)=2x+6,令x-1=t,则x=t+1, ∴g(t)=2(t+1)+6=2t+8.∴g(x)=2x+8. ∴g(3)=2×3+8=14. 方法二:∵g(x-1)=2x+6,∴g(3)=g(4-1)=2×4+6=14.
第二章
赢在考情精析 赢在考点训练 章末综合测试
-9-
考点1
考点2
考点3
针对训练1
1.(2019·广东肇庆学业水平模拟)函数 f(x)=
1-������
+
1的定义域为
������
(C )
A.(-∞,1]
B.(-∞,0)
C.(-∞,0)∪(0,1]
D.(0,1]
【解析】要使函数有意义,则
1-������ ≥ 0, ������ ≠ 0,
系 一个数 x ,在集合 B 中 任意 一个元素 x,在集合
f:A→B 都有唯一确定的数 f(x)和它对 B 中都有唯一确定的元素 y
应
高中数学知识点总结(第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节 函数及其表示)
第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一 函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln1－x x ＋1＋1x的定义域是( ) A ．[－1,0)∪(0,1) B ．[－1,0)∪(0,1] C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [题组训练] 1.函数f (x )＝1lnx ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln x ＋1≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． 答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f x ＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f x ＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f x －1，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2， ∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f 2x ＋1log 2x ＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f 2x ＋1log 2x ＋1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1. 所以该函数的定义域为(0,1]．答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________. 解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2. 答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，－x －12，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故所求x 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0. (2)函数f (x )的图象如图所示．。
高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数Ⅰ第4节二次函数与幂函数课件理新人教A版
第四节 二次函数与幂函数
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3 课 时 ·跟 踪 检 测
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解幂函数的概念.
2.结合函数 y＝x，y＝x2，y
幂函数一般不单独命题，常与指数、对数
＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，函数交汇命题；二次函数的图象与应用仍是 1.逻辑推理
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
图象
定义域 值域
(－∞，＋∞) 4ac4－a b2，＋∞
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
(－∞，＋∞) －∞，4ac4－a b2
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
单调性
在－∞，－2ba上单调递减； 在 6 ___－__∞__，__－__2b_a__上单调递增； 在 5 ___－__2b_a_，__＋__∞___上单调递 在－2ba，＋∞上单调递减 增
考点二 二次函数的图象与性质 |题组突破|
4．如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，图象过点 A(－3，0)，对称轴为 x ＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的 是( )
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
解析：选 B 因为图象与 x 轴交于两点，所以 b2－4ac>0，即 b2>4ac，①正确；对称 轴为 x＝－1，即－2ba＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象知，当 x＝－1 时，y>0，即 a －b＋c>0，③错误；由对称轴为 x＝－1 知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以 a<0，所 以 5a<2a，即 5a<b，④正确．故选 B．
届数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第3节函数的奇偶性与周期性教学案含解析
第3节函数的奇偶性与周期性考试要求1。
结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;2。
会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识梳理1。
函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f（x)的定义域内任意一个x,都有f（－x)＝f（x），那么函数f(x）是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x）的定义域内任意一个x，都有f(－x）＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2。
函数的周期性（1）周期函数：对于函数y＝f(x),如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x＋T)＝f(x），那么就称函数y＝f（x)为周期函数,称T为这个函数的周期。
（2)最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期。
[常用结论与微点提醒]1。
(1)如果一个奇函数f(x）在原点处有定义，即f（0）有意义，那么一定有f（0)＝0.(2）如果函数f（x）是偶函数，那么f(x)＝f（|x|).2。
奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.3。
函数周期性常用结论对f（x）定义域内任一自变量的值x：(1)若f（x＋a)＝－f（x），则T＝2a（a>0）.(2)若f（x＋a)＝错误!，则T＝2a（a>0)。
（3)若f（x＋a)＝－错误!，则T＝2a（a〉0）.(4)若f(x＋a）＋f(x）＝c,则T＝2a(a〉0，c为常数).4。
对称性的三个常用结论（1)若函数y＝f（x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若对于R上的任意x都有f（2a－x）＝f（x）或f（－x)＝f(2a ＋x)，则y＝f(x）的图象关于直线x＝a对称.(3)若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f(x）的图象关于点(b,0）中心对称.诊断自测1。
2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数课件新人教A版必修1
(A)2
(B)1
(C) 1 2
(D)0
解析:(1)因为函数 f(x)=ax2a+1+b+1 是幂函数,
所以
a b
1, 1
0,
即
a b
1, 1,
所以 a+b=0,故选 D.
(2)(2018·福建龙岩期中)若函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且图象与坐
标轴无交点,则f(x)( )
.
24
解析:(2)因为幂函数 f(x)=xa 的图象过点( 1 , 1 ), 24
所以( 1 )a= 1 ,解得 a=2, 24
所以 loga8=log28=3. 答案:(2)3
题型二 幂函数的图象 [例 2] (1)与下列幂函数对应的图象序号正确的一组是( )
a.y=x5;b.y=
x
4 3
;c.y=
(A)是偶函数
(B)是奇函数
(C)是单调递减函数 (D)在定义域内有最小值
解析:(2)幂函数f(x)=(m2-m-1)xm的图象与坐标轴无交点,可得m2-m1=1,且m≤0,解得m=-1,则函数f(x)=x-1,所以函数是奇函数,在定义 域上不是减函数,且无最值,故选B.
易错警示
(1)幂函数解析式的结构特征:①解析式是单项式;②幂指数为常数, 底数为自变量,系数为1. (2)幂函数y=xα的图象与坐标轴无交点,则α≤0,而不是α<0.
3
2
(4)4. 15
,3.
8
2 3
和(-1.9)
3 5
.
2
2
解:(4)因为幂函数 y= x 5 在(0,+∞)上为增函数,且 4.1>1,所以 4.15 >1,
高中数学二轮讲义：专题1 第2讲 基本初等函数、函数与方程(教师版)
专题一第2讲基本初等函数、函数与方程【要点提炼】考点一基本初等函数的图象与性质1．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同．2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．【热点突破】【典例】1 (1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( )A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值【答案】 C【解析】画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x)．综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．(2)已知函数f(x)＝e x＋2(x<0)与g(x)＝ln(x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e B ．(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e 【答案】 B【解析】 由题意知，方程f(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解， 即e －x＋2－ln(x ＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y ＝e －x与y ＝ln(x ＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点． 函数y ＝ln(x ＋a)可以看作由y ＝ln x 左右平移得到， 当a ＝0时，两函数有交点，当a<0时，向右平移，两函数总有交点，当a>0时，向左平移，由图可知，将函数y ＝ln x 的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，把(0,1)代入y ＝ln(x ＋a)，得1＝ln a ，即a ＝e ，∴a<e.【方法总结】 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化． 【拓展训练】1 (1)函数f(x)＝ln(x 2＋2)－ex －1的大致图象可能是( )【答案】 A【解析】 当x →＋∞时，f(x)→－∞，故排除D ；函数f(x)的定义域为R ，且在R 上连续，故排除B ；f(0)＝ln 2－e －1，由于ln 2>ln e ＝12，e －1<12，所以f(0)＝ln 2－e －1>0，故排除C.(2)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－12的解集是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－1] C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)【答案】 A【解析】 当x>0时，f(x)＝1－2－x>0. 又f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(x)<－12的解集和f(x)>12的解集关于原点对称，由1－2－x >12得2－x <12＝2－1，即x>1，则f(x)<－12的解集是(－∞，－1)．故选A.【要点提炼】考点二 函数的零点 判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在性定理判断法． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．考向1 函数零点的判断【典例】2 (1)(2020·长沙调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧xe x，x ≤0，2－|x －1|，x>0，若函数g(x)＝f(x)－m 有两个不同的零点x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( )A ．2B ．2或2＋1eC ．2或3D ．2或3或2＋1e【答案】 D【解析】 当x ≤0时， f ′(x)＝(x ＋1)e x， 当x<－1时，f ′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上单调递减， 当－1<x ≤0时，f ′(x)>0， 故f(x)在(－1,0]上单调递增，所以x ≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝－1e.又当x ≥1时，f(x)＝3－x ，当0<x<1时，f(x)＝x ＋1.作出f(x)的图象，如图所示．因为g(x)＝f(x)－m 有两个不同的零点，所以方程f(x)＝m 有两个不同的根，等价于直线y ＝m 与f(x)的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x 1，x 2，由图可知1<m<2或m ＝0或m ＝－1e .若1<m<2，则x 1＋x 2＝2； 若m ＝0，则x 1＋x 2＝3；若m ＝－1e ，则x 1＋x 2＝－1＋3＋1e ＝2＋1e.(2)设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝f(2－x)，当x ∈[－2,0]时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，则关于x 的方程f(x)－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 C【解析】 对于任意的x ∈R ，都有f(2＋x)＝f(2－x)， ∴f(x ＋4)＝f[2＋(x ＋2)]＝f[2－(x ＋2)]＝f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)是一个周期函数，且T ＝4.又∵当x ∈[－2,0]时，f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，且函数f(x)是定义在R 上的偶函数， 且f(6)＝1，则函数y ＝f(x)与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，根据图象可得y ＝f(x)与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点，即f(x)－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根．【特点突破】考向2 求参数的值或取值范围 【典例】3 (1)已知关于x 的方程9－|x －2|－4·3－|x －2|－a ＝0有实数根，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 [－3,0) 【解析】 设t ＝3－|x －2|(0<t ≤1)，由题意知a ＝t 2－4t 在(0,1]上有解，又t 2－4t ＝(t －2)2－4(0<t ≤1)， ∴－3≤t 2－4t<0，∴实数a 的取值范围是[－3,0)．(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x>a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，若函数g(x)＝f(x)－2x 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为____________________． 【答案】 [－3，－1)∪[3，＋∞)【解析】 由题意得g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3－2x ，x>a ，x 2＋6x ＋3－2x ，x ≤a ，即g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x>a ，x 2＋4x ＋3，x ≤a ，如图所示，因为g(x)恰有两个不同的零点， 即g(x)的图象与x 轴有两个交点．若当x ≤a 时，g(x)＝x 2＋4x ＋3有两个零点， 则令x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1， 则当x>a 时，g(x)＝3－x 没有零点，所以a ≥3. 若当x ≤a 时，g(x)＝x 2＋4x ＋3有一个零点， 则当x>a 时，g(x)＝3－x 必有一个零点， 即－3≤a<－1，综上所述，a ∈[－3，－1)∪[3，＋∞)．【方法总结】 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法【拓展训练】2 (1)已知偶函数y ＝f(x)(x ∈R )满足f(x)＝x 2－3x(x ≥0)，若函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，－1x，x<0，则y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4 【答案】 B【解析】 作出函数f(x)与g(x)的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y ＝f(x)－g(x)有3个零点．(2)(多选)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2a ，x<0，x 2－ax ，x ≥0，若关于x 的方程f(f(x))＝0有8个不同的实根，则a 的值可能为( ) A ．－6 B ．8 C ．9 D ．12 【答案】 CD【解析】 当a ≤0时，f(x)仅有一个零点x ＝0，故f(f(x))＝0有8个不同的实根不可能成立．当a>0时，f(x)的图象如图所示，当f(f(x))＝0时，f 1(x)＝－2a ，f 2(x)＝0，f 3(x)＝a.又f(f(x))＝0有8个不同的实根，故f 1(x)＝－2a 有三个根，f 2(x)＝0有三个根，f 3(x)＝a 有两个根，又x 2－ax ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－a24，所以－2a>－a24且a<2a ，解得a>8且a>0，综上可知，a>8. 专题训练一、单项选择题1．(2020·全国Ⅰ)设alog 34＝2，则4－a等于( ) A.116 B.19 C.18 D.16 【答案】 B【解析】 方法一 因为alog 34＝2， 所以log 34a＝2， 所以4a＝32＝9， 所以4－a＝14a ＝19.方法二 因为alog 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4log 94-＝14log 94-＝9－1＝19.2．函数f(x)＝ln x ＋2x －6的零点一定位于区间( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5) 【答案】 B【解析】 函数f(x)＝ln x ＋2x －6在其定义域上连续且单调， f(2)＝ln 2＋2×2－6＝ln 2－2<0， f(3)＝ln 3＋2×3－6＝ln 3>0，故函数f(x)＝ln x ＋2x －6的零点在区间(2,3)上．3．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax 和g(x)＝log a (x ＋2)(a>0且a ≠1)的大致图象可能为( )【答案】 A【解析】 由题意知，当a>0时，函数f(x)＝2－ax 为减函数．若0<a<1，则函数f(x)＝2－ax 的零点x 0＝2a ∈(2，＋∞)，且函数g(x)＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为减函数；若a>1，则函数f(x)＝2－ax 的零点x 0＝2a ∈(0,2)，且函数g(x)＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为增函数．故A 正确．4．(2020·广东省揭阳三中模拟)已知a ，b ，c 满足4a ＝6，b ＝12log 4，c 3＝35，则( )A ．a<b<cB ．b<c<aC ．c<a<bD ．c<b<a【答案】 B【解析】 4a ＝6>4，a>1，b ＝12log 4＝－2，c 3＝35<1,0<c<1，故a>c>b.5．(2020·全国Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病典例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e－0.23t －53，其中K 为最大确诊病典例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( ) A ．60 B ．63 C ．66 D ．69 【答案】 C【解析】 因为I(t)＝K1＋e－0.23t －53，所以当I(t *)＝0.95K 时，*0.23531et K ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+＝0.95K ，即*0.235311et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+＝0.95，即1＋*0.2353et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝10.95， 即*0.2353et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝10.95－1， ∴*0.2353et ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝19，∴0.23(t *－53)＝ln 19， ∴t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.6．(2020·泉州模拟)若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )A ．1<a<2B ．0<a<2，a ≠1C ．0<a<1D ．a ≥2【答案】 A【解析】 令u(x)＝x 2－ax ＋1，函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，∴a>1，且u(x)min >0，∴Δ＝a 2－4<0，∴1<a<2，∴a 的取值范围是1<a<2.7．(2020·太原质检)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x>0，－2x 2＋4x ＋1，x ≤0(e 为自然对数的底数)，若函数g(x)＝f(x)＋kx 恰好有两个零点，则实数k 等于( ) A ．－2e B ．e C ．－e D ．2e 【答案】 C【解析】 g(x)＝f(x)＋kx ＝0，即f(x)＝－kx ，如图所示，画出函数y ＝f(x)和y ＝－kx 的图象，－2x 2＋4x ＋1＝－kx ，即2x 2－(4＋k)x －1＝0， 设方程的两根为x 1，x 2，则Δ＝(4＋k)2＋8>0，且x 1x 2＝－12，故g(x)在x<0时有且仅有一个零点， y ＝－kx 与y ＝f(x)在x>0时相切．当x>0时，设切点为(x 0，－kx 0)，f(x)＝e x， f ′(x)＝e x，f ′(x 0)＝0e x ＝－k ，0e x ＝－kx 0，解得x 0＝1，k ＝－e.8．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，x ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x|＋1，x ≠0，若关于x 的方程2f 2(x)－(2a ＋3)f(x)＋3a ＝0有五个不同的解，则a 的取值范围是( )A ．(1,2)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 【答案】 D【解析】 作出f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x|＋1，x ≠0的图象如图所示．设t ＝f(x)，则原方程化为2t 2－(2a ＋3)t ＋3a ＝0， 解得t 1＝a ，t 2＝32.由图象可知，若关于x 的方程2f 2(x)－(2a ＋3)f(x)＋3a ＝0有五个不同的实数解，只有当直线y ＝a 与函数y ＝f(x)的图象有三个不同的交点时才满足条件， 所以1<a<2.又方程2t 2－(2a ＋3)t ＋3a ＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝(2a ＋3)2－4×2×3a ＝(2a －3)2>0， 解得a ≠32，综上，得1<a<2，且a ≠32.二、多项选择题9．(2020·临沂模拟)若10a＝4,10b＝25，则( ) A ．a ＋b ＝2 B ．b －a ＝1 C ．ab>8lg 22 D ．b －a>lg 6【答案】 ACD【解析】 由10a＝4,10b＝25，得a ＝lg 4，b ＝lg 25，则a ＋b ＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故A 正确；b －a ＝lg 25－lg 4＝lg 254>lg 6且lg 254<1，故B 错误，D 正确；ab ＝lg 4·lg25＝4lg 2·lg 5>4lg 2·lg 4＝8lg 22，故C 正确．10．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)，g(x)＝log a (1－x)，a>0，a ≠1，则( ) A ．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1) B ．函数f(x)＋g(x)的图象关于y 轴对称 C ．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0 D ．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数 【答案】 AB【解析】 ∵f(x)＝log a (x ＋1)，g(x)＝log a (1－x)，a>0，a ≠1，∴f(x)＋g(x)＝log a (x ＋1)＋log a (1－x)，由x ＋1>0且1－x>0得－1<x<1，故A 对；由f(－x)＋g(－x)＝log a (－x ＋1)＋log a (1＋x)＝f(x)＋g(x)，得函数f(x)＋g(x)是偶函数，其图象关于y 轴对称，B 对；∵－1<x<1，∴f(x)＋g(x)＝log a (1－x 2)，∵y ＝1－x 2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a<1时，函数f(x)＋g(x)在[0,1)上单调递增，有最小值f(0)＋g(0)＝log a (1－0)＝0；当a>1时，函数f(x)＋g(x)在[0,1)上单调递减，无最小值，故C 错；∵f(x)－g(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，当0<a<1时，f(x)＝log a (x ＋1)在(0,1)上单调递减，g(x)＝log a (1－x)在(0,1)上单调递增，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递减；当a>1时，f(x)＝log a (x ＋1)在(0,1)上单调递增，g(x)＝log a (1－x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递增，故D 错．11．(2020·淄博模拟)已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有f(x ＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x ∈[0,2)时，f(x)＝2x－1.给出下列结论，其中正确的是( ) A ．f(2)＝0B ．点(4,0)是函数y ＝f(x)图象的一个对称中心C ．函数y ＝f(x)在区间[－6，－2]上单调递增D ．函数y ＝f(x)在区间[－6,6]上有3个零点 【答案】 AB【解析】 对于A ，因为f(x)为奇函数且对任意x ∈R ，都有f(x ＋4)＝f(x)＋f(2)，令x ＝－2，则f(2)＝f(－2)＋f(2)＝0，故A 正确；对于B ，由A 知，f(2)＝0，则f(x ＋4)＝f(x)，则4为f(x)的一个周期，因为f(x)的图象关于原点(0,0)成中心对称，则(4,0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故B 正确；对于C ，因为f(－6)＝0，f(－5)＝f(－5＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，－6<－5，而f(－6)>f(－5)，所以f(x)在区间[－6，－2]上不是单调递增的，故C 错误；对于D ，因为f(0)＝0，f(2)＝0，所以f(－2)＝0，又4为f(x)的一个周期，所以f(4)＝0，f(6)＝0，f(－4)＝0，f(－6)＝0，所以函数y ＝f(x)在区间[－6,6]上有7个零点，故D 错误． 12．对于函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x ∈[0，2]，12f x －2，x ∈2，＋∞，则下列结论正确的是( )A ．任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤1B ．函数y ＝f(x)在[4,5]上单调递增C ．函数y ＝f(x)－ln(x －1)有3个零点D ．若关于x 的方程f(x)＝m(m<0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝132【答案】 ACD【解析】 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x ∈[0，2]，12f x －2，x ∈2，＋∞的图象如图所示，当x ∈[2，＋∞)时，f(x)的最大值为12，最小值为－12，∴任取x 1，x 2∈[2，＋∞ )，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤ 1恒成立，故A 正确；函数y ＝f(x)在[4,5]上的单调性和在[0,1]上的单调性相同，则函数y ＝f(x)在[4,5]上不单调，故B 错误；作出y ＝ln(x －1)的图象，结合图象，易知y ＝ln(x －1)的图象与f(x)的图象有3个交点，∴函数y ＝f(x)－ln(x －1)有3个零点，故C 正确；若关于x 的方程f(x)＝m(m<0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 1＋x 2＝3，x 3＝72，∴x 1＋x 2＋x 3＝132，故D 正确．三、填空题13．(2019·全国Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e ax.若f(ln 2)＝8，则a ＝________. 【答案】 －3【解析】 当x>0时，－x<0，f(－x)＝－e －ax.因为函数f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln 2)＝e－aln 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＝8，所以a ＝－3. 14．已知函数f(x)＝|lg x|，若f(a)＝f(b)(a ≠b)，则函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋22x ＋5，x ≤0，ax 2＋2bx，x>0的最小值为________．【答案】 2 2【解析】 因为|lg a|＝|lg b|，所以不妨令a<b ， 则有－lg a ＝lg b ，所以ab ＝1，b ＝1a(0<a<1)，所以g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋22＋3，x ≤0，ax ＋2ax ，x>0，当x ≤0时，g(x)＝(x ＋2)2＋3≥3，取等号时x ＝－2； 当x>0时，g(x)＝ax ＋2ax≥2ax ·2ax＝22，当且仅当x ＝2a时，等号成立， 综上可知，g(x)min ＝2 2.15．定义在R 上的奇函数f(x)，当x ≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞，则函数F(x)＝f(x)－1π的所有零点之和为________．【答案】11－2π【解析】 由题意知，当x<0时， f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x ，x ∈－1，0，|x ＋3|－1，x ∈－∞，－1]，作出函数f(x)的图象如图所示，设函数y ＝f(x)的图象与y ＝1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝11－2π，所以函数F(x)＝f(x)－1π的所有零点之和为11－2π.16．对于函数f(x)与g(x)，若存在λ∈{x ∈R |f(x)＝0}，μ∈{x ∈R |g(x)＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)＝ex －2＋x －3与g(x)＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 [3,4]【解析】 由题意知，函数f(x)的零点为x ＝2， 设g(x)的零点为μ，满足|2－μ|≤1， 因为|2－μ|≤1，所以1≤μ≤3. 方法一 因为函数g(x)的图象开口向上， 所以要使g(x)的至少一个零点落在区间[1,3]上，则需满足g(1)g(3)≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，g 3>0，Δ≥0，1<a ＋12<3，解得103≤a ≤4，或3≤a<103，得3≤a ≤4.故实数a 的取值范围为[3,4]．方法二 因为g(μ)＝μ2－a μ－μ＋4＝0， a ＝μ2－μ＋4μ＝μ＋4μ－1，因为1≤μ≤3，所以3≤a ≤4. 故实数a 的取值范围为[3,4]．。
高中数学知识点总结(第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第二节 函数的单调性与最值)
第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )＋g (x )是减函数； (3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数； (4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f x的单调性相反；(7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 考点一 确定函数的单调性区间)[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x <0.画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1.由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：导数法 f ′(x )＝ax ′x －1－ax x －1′x －12＝ax －1－ax x －12＝－ax －12.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数；当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二 求函数的值域最值)[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52(3)4[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练]1．函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________．解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号； 当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4， 即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1， 因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减，所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9. 答案：6 －93．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减， ∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3， 又∵a ≤1，∴－3<a ≤1. 答案：(－3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)． [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] [－1，＋∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测]A 级1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25. 12．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2. 任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a. 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0，所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1.所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 级1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2m x ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(0,1]B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2m x 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.又a>0，所以a>3.答案：(3，＋∞)3．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数;(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．。
2019年广东省初中学业水平考试数学科目考试大纲
2019年广东省初中学业水平考试数学科目考试大纲（标红为修改部分）一、考试性质初中学业水平考试数学科目考试是义务教育阶段数学科目的终结性考试，目的是全面、准确地反映初中毕业生的数学学业水平．考试的结果既是评定我省初中毕业生数学学业水平是否达到毕业标准的主要依据，也是高中阶段学校招生的重要依据之一．二、指导思想（一）初中学业水平考试数学科目考试要体现《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）的评价理念，有利于引导数学教学全面落实《标准》所设立的课程目标，有利于改善学生的数学学习方式，有利于减轻过重的学业负担．（二）初中学业水平考试数学科目考试既要重视对学生学习数学知识与技能的结果和过程的评价，也要重视对学生在数学思考能力和解决问题能力方面发展状况的评价，还应当重视对学生数学认识水平的评价．（三）初中学业水平考试数学科目考试命题应当面向全体学生，根据学生的年龄特征、个性特点和生活经验编制试题，力求公正、客观、全面、准确地评价学生通过义务教育阶段的数学学习所获得的相应发展.三、考试依据（一）教育部2002年颁发的《关于积极推进中小学评价与考试制度改革的通知》．（二）教育部2011年颁发的《义务教育数学课程标准（2011年版）》．（三）广东省初中数学教学的实际情况，四、考试要求（一）以《标准》中的“课程内容”为基本依据，不拓展知识与技能的考试范围，不提高考试要求，选学内容不列入考试范围．（二）试题主要考查如下方面：基础知识和基本技能；数学活动经验；数学思考；对数学的基本认识；解决问题的能力等．（三）突出对学生基本数学素养的考查，注重考查学生掌握适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能的情况，对在数学学习和应用数学解决问题过程中最为重要的、必须掌握的核心概念、思想方法和常用的技能重点考查．（四）试卷内容大致比例：代数约占60分；几何约占50分；统计与概率约占10分．五、考试内容第一部分数与代数1．数与式(1)有理数⑧能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．(2)不等式与不等式组①结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质.②会解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集.③能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题．3．函数(1)函数①通过简单实例中的数量关系，了解常量、变量的意义．②结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例．③能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.④能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值.⑤能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系．⑥结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论．(2)一次函数①结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式．②会利用待定系数法确定一次函数的表达式．③能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式y=kx+ b（k≠0）探索并理解k>0或k<0时，图象的变化情况．④理解正比例函数.⑤体会一次函数与二元一次方程的关系.⑥能用一次函数解决简单实际问题．(3)反比例函数①结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式．②能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式y =（k≠0）探索并理解k>0或k<0时，图象的变化情况．③能用反比例函数解决某些实际问题．(4)二次函数①通过对实际问题情境的分析，体会二次函数的意义．②会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象了解二次函数的性质．③会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标、开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题．④会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.第二部分空间与图形1．图形的认识(1)点、线、面、角①通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等．②会比较线段的长短，理解线段的和、差以及线段中点的意义.③掌握基本事实：两点确定一条直线.④掌握基本事实：两点之间线段最短．⑤理解两点间距离的意义，能度量两点间距离．⑥理解角的概念，能比较角的大小．⑦认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单换算，并会计算角的和、差．(2)相交线与平行线①理解对顶角、余角、补角的概念，探索并掌握对顶角相等，同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质．②理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线．③理解点到直线距离的意义，能度量点到直线的距离．④掌握过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直.⑤识别同位角、内错角、同旁内角；掌握平行线概念：掌握两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．⑥掌握过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．⑦掌握两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.⑧能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．⑨探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行；探索并证明平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）．⑩了解平行于同一条直线的两条直线平行．(3)三角形①理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性．②探索并证明三角形内角和定理，掌握该定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．证明三角形的任意两边之和大于第三边.③理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．④掌握两边及其夹角分别相等的两个三角形全等、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等、三边分别相等的两个三角形全等等基本事实，并能证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．⑤探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上．⑥理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反之，到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上.⑦了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等，底边上的高线、中线及顶角平分线重合，探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个底角相等的三角形是等腰三角形．探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°．探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形．⑧了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形．⑨探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题：探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.⑩了解三角形重心的概念．(4)四边形①了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和与外角和公式．②理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性．③探索并证明平行四边形的有关性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.④了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离．⑤探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．正方形具有矩形和菱形的一切性质．⑥探索并证明三角形中位线定理．(5)圆①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念：探索并了解点与圆的位置关系．②探索圆周角与圆心角及其所对的弧的关系，了解并证明圆周角及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．③知道三角形的内心和外心．④了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线．⑤会计算圆的弧长、扇形的面积．⑥了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.(6)尺规作图①能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．②会利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边和底边上的高作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形．③会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；会作三角形的外接圆、内切圆，作圆的内接正方形和正六边形．④在尺规作图中，了解尺规作图的道理，保留作图痕迹，不要求写作法．(7)定义、命题、定理①通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义.②结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立．③知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程中可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式.④了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．⑤通过实例体会反证法的含义．2．图形与变换(1)图形的轴对称①通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．②能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形.③了解轴对称图形的概念：探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质．④认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形．(2)图形的旋转①通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等，②了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.③探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质．④认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形．(3)图形的平移①通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．②认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用．(4)图形的相似①了解比例的性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．②通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比．③掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.④了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．⑤了解两个三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似．⑥了解图形的位似，知道利用位似将一个图形放大或缩小.⑦会用图形的相似解决一些简单的实际问题．⑧利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A），知道30°、45°、60°角的三角函数值．⑨会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．⑩能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题．(5)图形的投影①通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念．②会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述简单的几何体．③了解直棱柱、圆柱体圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作立体模型.④通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用．3．图形与坐标(1)坐标与图形位置①结合实例进一步体会有序数对可以表示物体的位置．②理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标.③在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置.④对给定的正方形，会选择适当的直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形．⑤在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置．(2)坐标与图形运动①在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系．②在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系.③在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化．④在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的.第三部分统计与概率1．抽样与数据分析(1)经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据．(2)体会抽样的必要性，通过实例了解简单随机抽样．(3)会制作扇形统计图，能用条形统计图、折线统计图、扇形统计图直观、有效地描述数据．(4)理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述．(5)体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差．(6)通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息．(7)体会样本与总体的关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数和总体方差．(8)能解释统计结果，根据结果做出简单的判断和预测，并能进行交流．(9)通过表格等感受随机现象的变化趋势．2．事件的概率(1)能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率．(2)知道大量的重复试验，可以用频率来估计概率．六、考试方式和试卷结构（一）考试方式采用闭卷、笔答形式．（二）试卷结构1．由地级市组织命题的试卷，其结构由组织单位自行确定．2．广东省教育考试院命制的试卷，结构如下：(1)考试时间为100分钟．全卷满分120分．(2)试卷结构：选择题10道，共30分；填空题6道，共24分；解答题（一）3道，共18分；解答题（二）3道，共21分；解答题（三）3道，共27分．五类合计25道题．选择题为四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果．解答题（一）（二）包括：计算题[在下列四种形式中任选：数值计算、代数式运算、解方程（组）、解不等式（组）]；计算综合题（在下列三种形式中任选：代数计算综合题、几何计算综合题、统计概率计算综合题）；证明题（在下列两种形式中任选：几何证明、简单代数证明）；简单应用题[包括实际应用和非实际应用．在下列三种形式中任选：方程（组）应用题、不等式应用题、解三角形应用题、函数应用题]；作图题仅限尺规作图．解答题（三）包括：“代数综合题”“几何综合题”和“代数与几何综合题”，各1道．解答题都应根据题目的要求，写出文字说明、演算步骤或推证过程．(3)试卷分为试题和答题卡，分开印刷，试题不留答题位置，答案必须填涂或写在答题卡上．答题方式由各地级市确定并公布.。
2019-2020学年高中数学人教A版必修一阶段质量检测：第二章 基本初等函数(Ⅰ) 含解析
阶段质量检测(二)基本初等函数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(lg 9－1)2等于()A．lg 9－1 B．1－lg 9C．8 D．2 2解析：因为lg 9<lg 10＝1，所以(lg 9－1)2＝1－lg 9.答案：B解析：方法一当a>1时，y＝x a与y＝log a x均为增函数，但y＝x a 增较快，排除C；当0<a<1时，y＝x a为增函数，y＝log a x为减函数，排除由于y＝x a递增较慢，所以选D.＝x a的图象不过(0,1)点，故A的图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝xB错，D对；C项中由对数函数x)＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，2⎝⎭4a ＝±3，又a >0，∴a ＝ 3.答案：A12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14x ，x ≥1，a x ，x <1，在R 上为减函数，则实数的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∴f(x)的减区间为(－∞，1]．答案：(－∞，1]16．若函数f(x)＝(m－1)xα是幂函数，则函数g(x)＝log a(x－m)(其中a>0≠1)的图象过定点A的坐标为________．解析：若函数f(x)＝(m－1)xα是幂函数，则m＝2，则函数g(x)＝log a(x－m)＝log a(x－2)(其中a>0，a≠1)，令x－2＝1，则x＝3，g(x)＝0，其图象过定点A的坐标为(3,0)．答案：(3,0)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)43所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3423>⎝ ⎛⎭⎪⎫2323，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3423>⎝ ⎛⎭⎪⎫2334.19．(12分)已知f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(1－x )． (1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并加以说明；(3)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22的值．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，1－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >－1x <1，即－1<x <1.⎩⎪g (x )，f (x )>g (x )，解析：(1)设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以(2)2，解得α＝2，即f (x )＝x 2.设g (x )＝x β，因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12在幂函数g (x )的图象上，所以2β＝12，解得＝－1，即g (x )＝x －1.(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －1的图象，可得函数h (x )的图象如图所示．的解析式及图象可知，函数h (。
基本初等函数讲义(全)
基本初等函数讲义(全)一、一次函数一次函数可以表示为y=kx+b（k不等于0），其中k表示斜率，b表示截距。
当k大于0时，函数图像随着x的增大而增大，当k小于0时，函数图像随着x的增大而减小。
当b大于0时，函数图像在y轴上方，当b小于0时，函数图像在y轴下方。
当b等于0时，函数图像经过原点。
二、二次函数1）二次函数有三种解析式形式：一般式、顶点式和两根式。
一般式为f(x)=ax^2+bx+c（a不等于0），顶点式为f(x)=a(x-h)^2+k（a不等于0），两根式为f(x)=a(x-x1)(x-x2)（a不等于0）。
2）求二次函数解析式的方法有三种情况：已知三个点坐标时，宜用一般式；已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式；若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便。
3）二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a。
-Δ/4a)。
当a大于0时，抛物线开口向上，函数在(-∞。
-b/2a)上递增，在[-b/2a。
+∞)上递减，最小值为f(-b/2a)；当a小于0时，抛物线开口向下，函数在(-∞。
-b/2a]上递增，在[-b/2a。
+∞)上递减，最大值为f(-b/2a)。
三、幂函数1）幂函数可以表示为y=x^α，其中x为自变量，α是常数。
2）所有的幂函数在(0.+∞)都有定义，并且图像都通过点(1,1)。
四、指数函数1）根式的概念是指，如果xn=a，a属于实数，x属于实数，n大于1，且n属于正整数，那么x叫做a的n次方根。
2）正数的正分数指数幂的意义是，a的n次方根的正分数指数幂等于a的n次方。
正数的负分数指数幂没有意义。
非奇非偶函数指的是在定义域为(0.+∞)上的减函数。
对于loga x，当x>1时，函数值递增；当x<1时，函数值递减；当x=1时，函数值为0.在第一象限内，a越大，函数图像越靠低；在第四象限内，a越大，函数图像越靠高。
高考数学(广东专用,文)大一轮复习课件：第二章函数与基本初等函数I.4
数学粤（文）要点梳匕知识回顾理清教材/ 、1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：心)=aF + bx+c(dMO).②顶点式：f(Q="(x—.③零点式：f(Q=心rig吃)(心0).(2)二次函数的图象和性质解析式/(x)=ax2+^x+c(a>0)f(x)=ux2-\-bx-^-c(a<0)图象1y/ /°仁TV11定义域(—8, +8)(—8, +8)值域~4ac—W | \4「+°°)(00严一厂\ ' 4a要点梳理知识回顾理清教材在XG —8, — j 上单调在兀丘一8, — j 上单要点梳理知识回顾理清教材单调性递减递增 =1调递增;对称性在皿 、+ °°上单调7在X W 、+ 8上单调递减函数的图象关于兀=一刍对称基础知识•自主学习知识回顾理清教材2.寡函数⑴定义：形如I WR)的函数称为幕函数，其中兀是自变量，。
是常数.(2)幕函数的图象比校l=j(3)幕函数的性质比较基础知识■自主学习夯实基础题号答案解析;(1)X (2) X (3) X (4) X (5) X (6) X[1,2]5 1或2题型一二次函数的图象和性质【例1］已知函数f(x)=x2+2ax+3, x^[—4,6].⑴当。
=—2时，求金)的最值;⑵求实数0的取值范围，使⑶当0 = 1时，求/(Ixl)的单调区间.y =/(兀)在区间［—4,6］上是单调函数；⑶当0 = 1时，求/(Ixl)的单调区间.思维启迪解析思维升华题型一 二次函数的图象和性质⑶当0 = 1时，求/(Ixl)的单调区间.【例1】已知函数f(x)=x 2+2ax思维启迪 解析思维升华+3, x^[—4,6].⑴当。
=—2时，求金)的最值; ⑵求实数0的取值范围，使 y=/(兀)在区间［—4,6］上是单调 函数；对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于 (3),应先将函数化为分段函 数，再求单调区间，注意函数 定义域的限制作用.⑶当0 = 1时，求/(Ixl)的单调区间.思维启迪解析思维升华(2)由于函数/(兀)的图象开口向上，对称轴是兀=—a,所以要使几劝在［—4,6］上是单调函数，应有一°£一4或一“26, 即aW — 6 或既不是奇函数，也不是偶函数.(3)当a=l时，【例1］已知函数f(x)=x2+2ax +3,兀曰—4,6].⑴当。
2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第2章+基本初等函数(1)和答案
考纲展示考情汇总备考指导(1)指数函数①了解指数函数模型的实际背景.②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.(2)对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.③了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，a≠1).(3)幂函数①了解幂函数的概念.②结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，了解它们的变化情况.2017年1月T92018年1月T22019年1月T7本章的重点是指数、对数的运算与性质，指数函数，对数函数、幂函数的图象、性质及其应用，难点是幂、指、对函数的图象、性质的应用，学习本章时要注意控制难度，掌握基本知识即可.指数与指数函数的图象和性质指数函数(1)有理指数幂的含义及其运算性质a＞0，b＞0且r，s，t∈Q.a s·a t＝a s＋t；(a s)t＝a st；(ab)r＝a rb r.(2)函数y＝a x(a＞0且a≠1)叫做指数函数．(3)指数函数的图象和性质y＝a x0＜a＜1a＞1图象性质定义域R值域(0，＋∞)定点过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1.a＞1，当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1.0＜a＜1，当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1.单调性在R上是减函数在R上是增函数对称性y＝a x和y＝a－x关于y轴对称.1．(2017·1月广东学考)下列等式恒成立的是( )＝x－23 (x≠0)B．(3x)2＝3x2C．log3(x2＋1)＋log32＝log3(x2＋3)D．log313x＝－xD[＝x－13 (x≠0)；B.(3x)2＝32x；(x2＋1)＋log32＝log32(x2＋1)．]2．(2019·1月广东学考)已知a>0，则a3a2＝( )A ．a 12B ．a 32C ．a 23D ．a 13D [a3a 2＝aa 23)＝a1－23)＝a 13.]指数函数的性质及应用问题解题策略：(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法． (2)简单的指数方程或不等式的求解问题，解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．[最新模拟快练]1．(2018·汕头市高一期中)函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图象一定经过点( )A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(0,1)A [对于任意a >0且a ≠1，由x －1＝0可得x ＝1，当x ＝1时，f (1)＝3，所以函数f (x )＝a x －1＋2的图象一定经过点(1,3)，本题选择A 选项．]2．计算：(6a 9)4·(3a 6)4等于( ) A ．a 16 B ．a 14 C ．a 8 D ．a 2B [将根式化为分数指数幂的运算可得结果为a 14.]3．(2019·东莞学考模拟题)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在区间[－2,2]上的最小值是( )A ．－14C ．－4D ．4B [函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在定义域R 上单调递减，∴f (x )在区间[－2,2]上的最小值为f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.]4．(2018·汕头市高一期中)函数y ＝a x －a (a >0，a ≠1)的图象可能是( )C [由于当x ＝1时，y ＝0，即函数y ＝a x －a 的图象过点(1,0)，故排除A 、B 、D.故选C.]5．(2019·中山学考模拟题)已知a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 三者的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >b >aC [a ＝＜0，b ＝＞1，c ＝， ∴a ＜c ＜b .]6．(2019·广州高一期中)已知函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]上的最大值和最小值的和为6，则a ＝________.2 [当x ＝1时，f (x )取得最大值，那么x ＝2取得最小值，或者x ＝1时，f (x )取得最小值，那么x ＝2取得最大值．∴a ＋a 2＝6，∵a ＞0，a ≠1，∴a ＝2.]7．(2019·深圳高一期末)已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x 2x ＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)用定义证明f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数； [解] (1)因为f (x )为R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，b ＝1. 又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1. 经检验a ＝1，b ＝1符合题意． (2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 12x 1＋1－1－2x 22x 2＋1＝1－2x12x2＋1－1－2x22x1＋12x1＋12x2＋1＝22x2－2x12x1＋12x2＋1.因为x1<x2，所以2x2－2x1>0，又因为(2x1＋1)(2x2＋1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x)为R上的减函数．对数运算与对数函数的图象和性质[基础知识填充]对数及对数函数(1)对数的概念：一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数．记作：x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)对数的运算性质：如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么：log a a＝1；log a1＝0；a log a N＝N；log a M＋log a N＝log a(MN)；log a M－log a N＝log a M N ；log a M n＝n log a M(n∈R)；换底公式：log a b＝log c blog c a(a＞0且a≠1，c＞0且c≠1)，log a b·log b a＝1.(3)对数函数的图象和性质y＝logax0＜a＜1a＞1图象性质定义域(0，＋∞)值域R定点过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0.同正异负，即0＜a＜1,0＜x＜1或a＞1，x＞1时，log a x＞0；0＜a＜1，x＞1或a＞1,0＜x＜1时，log a x＜0.单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数[学考真题对练](2018·1月广东学考)对任意的正实数x，y，下列等式不成立的是( )A．lg y－lg x＝lg y xB．lg(x＋y)＝lg x＋lg y C．lg x3＝3lg xD．lg x＝ln x ln 10B[对于B项，令x＝y＝1，则lg(x＋y)＝lg 2，而lg x＋lg y＝0，显然不成立，故选B.]应用对数型函数的图象可求解的问题：(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[最新模拟快练]1．(2019·佛山学考模拟题)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )A[由于函数为偶函数又过(0,0)，所以直接选A.]2．(2019·深圳学考模拟题)设a＝，b＝lg 52，c＝log3910，则a，b，c的大小关系是( )A．b>c>a B．a>c>bC．b>a>c D．a>b>cD[∵>20＝1＝lg10>lg 52>0>log3910，∴a>b>c.]3．(2018·广州市学考模拟题)计算log 318－log 32＝________. 2 [log 318－log 32＝log 3182＝log 39＝2.] 4．(2019·中山高一期中)已知函数f (x )＝4－log 2x ，x ∈[2,8]，则f (x )的值域是________．[1,3] [∵函数f (x )＝4－log 2x 在x ∈[2,8]时单调递减，∴当x ＝2时函数取最大值4－log 22＝3，当x ＝8时函数取最小值4－log 28＝1，∴函数f (x )的值域为[1,3]．]5．(2018·中山高一期末)已知f (x )＝log 3(3＋x )＋log 3(3－x )． (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由． [解] (1)根据题意可得⎩⎨⎧3＋x >03－x >0，解不等式可得－3<x <3，∴定义域为(－3,3)．(2)∵定义域为(－3,3)关于原点对称，∴f (－x )＝log 3(3－x )＋log 3(3＋x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数.幂函数的有关性质[基础知识填充]幂函数(1)函数y ＝x α叫做幂函数(只考虑α＝1,2,3，12，－1的图象)．(2)画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象(如图)，观察它们的性质：1．(2019·揭阳学考模拟题)已知幂函数f (x )＝x n 的图象经过点(3，3)，则f (9)的值为( )A ．3B ．±3D ．33A [∵幂函数f (x )＝x n 的图象经过点(3，3)，∴f (3)＝3n ＝3，解得n ＝ 12，∴f (x )＝x 12，∴f (9)＝912＝3.]2．(2019·云浮学考模拟题)函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )C ．4D ．－4C [易知y ＝x －2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，所以当x ＝12时，函数y ＝x －2的最大值是⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4.] 3．(2019·佛山学考模拟题)如图，函数y ＝x 23的图象是( )D [幂函数y ＝x 23是偶函数，图象关于y 轴对称，所以可排除选项A ，B ，C ，选D.]4．(2018·韶关市高一月考)已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)－m5<(5－2a ) －m 5的a 的取值范围．[解] 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3，又m ∈N *，所以m ＝1,2.因为函数的图象关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1，则原不等式可化为(a ＋3)－15<(5－2a )－15，因为y ＝x－15在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋3>5－2a >0或5－2a <a ＋3<0或a ＋3<0<5－2a ，解得23<a <52或a <－3.一、选择题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则f (2)的值为( )B ．－2C ．2D ．－2A [设幂函数y ＝f (x )＝x α，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入可得22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，即f (x )＝x 12，故f (2)＝212＝2，故选A.]2．log 42－log 48等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2B [log 42－log 48＝log 428 ＝log 44－1＝－1，故选B.]3．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝－x B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝lg xD ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC [f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，f (x )＝－x ，f (x )＝1x ，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上是减函数，故选C.]4．函数f (x )＝log a (2x －1)(a >0且a ≠1)的定义域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)A [要使函数有意义，需满足2x －1>0，解得x >0，即函数的定义域为(0，＋∞)，故选A.]5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >02x，x ≤0，若f (a )＝12，则a 的值是( )A ．－1B ．－1或12C ．－1或 2C [当log 2x ＝12，解得x ＝2，当2x ＝12，解得x ＝－1，故选C.]6．已知x －23＝4，则x 等于( )A ．±18B ．±8D ．±232A [由题意，可知x －23＝4，可得13x 2＝4，即3x 2＝14，所以x 2＝164，解得x ＝±18.故选A.]7．已知f (x )＝log 5x ，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，下列关系中成立的是( )A ．f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )B ．f (ab )＝f (a )＋f (b )C ．f (a ＋b )＝f (a )f (b )D ．f (ab )＝f (a )f (b )B [∵f (x )＝log 5x ，a ，b ∈(0，＋∞)，∴f (ab )＝log 5 (ab )＝log 5a ＋log 5b ＝f (a )＋f (b )．故选B.]8．函数f (x )＝log 2(1－x )的图象为( )A [观察四个图的不同发现，A 、C 图中的图象过原点，而当x ＝0时，y ＝0，故排除B 、D ；剩下A 和C.又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除C.故选A.]9．设实数a ＝log 312，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜c ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．a ＜b ＜cA [∵a ＝log 312＜log 31＝0，b ＝＞20＝1,0＜c ＝＜＝1.∴a ＜c ＜b ，故选A.]10．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y ＝x 12的图象是( )A ．①B ．② C．③ D ．④D [幂函数y ＝x 12为增函数，且增加的速度比较缓慢，只有④符合．故选D.] 11．已知2a ＞2b ＞1，则下列不等关系式中正确的是( ) A ． sin a ＞sin bB ． log 2a ＜log 2ba＞⎝ ⎛⎭⎪⎫13ba＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13bD [∵2a＞2b＞1，∴a ＞b ＞0，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 成立，故选D.]12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜aC [a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝f (log 32)，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43.∵0＜log 32＜1,1＜43＜3，∴3＞43＞log 32.∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴a ＞c ＞b .] 13．函数f (x )＝|log 2x |的图象是( )A [结合y ＝log 2x 可知，f (x )＝|log 2x |的图象可由函数y ＝log 2x 的图象上不动下翻得到，故A 正确．]14．已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a >0)的最小值为8，则( ) A ．a ∈(5,6) B ．a ∈(7,8) C ．a ∈(8,9)D ．a ∈(9,10)A[因为f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min ＝f(0)＝a＋log2a＝8, 令g(a)＝a＋log2a－8，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，又g(5)＝5＋log25－8<0，g(6)＝6＋log26－8>0，所以存在零点a∈(5,6)．故选A.]15．已知函数f(x)＝3－x－1，则( )A．它的定义域是R，值域是RB．它的定义域是R，值域是(0，＋∞)C．它的定义域是R，值域是(－1，＋∞)D．以上说法都不对C[f(x)＝3－x－1＝13x－1＞－1，故选C.]二、填空题16．34________36.(填“>”或“<”)．< [由y＝3x为增函数可得34<36.]17．计算＋log26－log23的值是________．1．3[＋log26－log23＝×14＋log22＋log23－log23＝＋1＝.]18．关于x的不等式2x≤2x＋1－12的解集是________．{x|x≥－1}[令2x＝t，则原不等式可化为t≤2t－12，解得t≥12，即2x≥12＝2－1，由指数函数y＝2x单调递增可得x≥－1.]19．下列说法中，正确的是________．(填序号)①任取x＞0，均有3x＞2x；②当a＞0，且a≠1时，有a3＞a2；③y＝(3)－x是增函数；④y＝2|x|的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称．①④⑤[对于①，可知任取x＞0,3x＞2x一定成立．对于②，当0＜a＜1时，a3＜a2，故②不一定正确．对于③，y ＝(3)－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x，因为0＜33＜1，故y ＝(3)－x是减函数，故③不正确．对于④，因为|x |≥0，∴y ＝2|x |的最小值为1，正确． 对于⑤，y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称是正确的．] 三、解答题 20．化简或求值：(1)(27)－13＋－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫279－3e 0；(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋|lg 2－2|.[解] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12713＋100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－3＝13＋100＋53－3＝99.(2)原式＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋(2－lg 2)＝lg 2＋(2－lg 2)＝2. 21．已知函数f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )． (1)判断并证明函数f (x )的奇偶性； (2)若f (m )－f (－m )＝2，求实数m 的值． [解] (1)f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )是奇函数． 证明：f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )的定义域为(－1,1)， 设任意x ∈(－1,1)，则－x ∈(－1,1)，f (－x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )＝－[ln(1－x )－ln(1＋x )]＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(2)由(1)知，f (x )是奇函数，则f (－m )＝－f (m ) ∴f (m )－f (－m )＝f (m )＋f (m )＝2f (m )＝2， 即f (m )＝1，∴ln 1－m 1＋m ＝1，即1－m 1＋m ＝e ，解得m ＝1－e 1＋e.。
最新年广东省普通高中学业水平考试数学科考试大纲资料
2017 年广东省普通高中学业水平考试数学科考试大纲I.考试性质广东省普通高中学业水平考试是衡量普通高中学生是否达到高中毕业要求的水平测试.考试成绩可作为普通高中学生毕业、高中同等学力认定和高职院校分类提前招生录取的依据.n .命题指导思想命题以中华人民共和国教育部2003 年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》和本大纲为依据.试题适用于使用经全国中小学教材审定委员会初审通过的各版本普通高中课程标准实验教科书的考生.试题符合水平性的考试规律和要求，体现普通高中新课程的理念，反映数学学科新课程标准的整体要求，突出考查数学学科基础知识、基本技能和基本思想方法，考查初步应用数学学科知识与方法分析问题、解决问题的能力.关注数学学科的主干知识和核心内容，关注数学学科与社会的联系，贴近学生的生活实际.皿.考核目标与要求1．知识要求知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）中所规定的必修课程、选修课程系列1 的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能.各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明.对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次.（1）了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等（2）理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想像，比较、判别，初步应用等.（3）掌握：要求能够对所列的知识内容能够推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决.这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等.2．能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.（1）空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.（2）抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论.（3）推理论证能力：推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成；论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程.推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明.（4）运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算（5）数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并做出判断.（6）应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明. 应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.（7）创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.3．个性品质要求个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生具有一定的数学视野，数学的认识科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义.IV. 考试范围、考试内容与要求依据《课程标准》，确定数学学业水平考试的范围为必修课程的五个模块和选修课程系列1，以考查必修课程内容为主.具体如下：1．集合（1）集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的属于关系.②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.②在具体情境中，了解全集与空集的含义.（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.③能使用韦恩图（Venn ）表达集合的关系及运算.2 •函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幕函数）（1）函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.③了解简单的分段函数，并能简单应用.④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质.（2）指数函数①了解指数函数模型的实际背景•②理解有理指数幕的含义，了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点（3 ）对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用•②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点③了解指数函数y = a x与对数函数y=log a x互为反函数（a • 0, a = 1）.（4）幕函数①了解幕函数的概念•2 3 1 1②结合函数y=x, y=x,y=x,y ,y = X的图像，了解它们的变化情况•x（5）函数与方程①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数•3 •立体几何初步（1）空间几何体①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构•②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图③会用平行投影与中心投影两种方法，画出三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式•④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）•⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（2）点、直线、平面之间的位置关系①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理♦公理1 :如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内♦公理2:过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面♦公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线•♦公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行•♦定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理. ♦如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.♦如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.♦如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.♦如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理.♦如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行.♦如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.♦垂直于同一个平面的两条直线平行.♦如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.4．平面解析几何初步（1）直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.（2）圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.（3）空间直角坐标系①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.②会推导空间两点间的距离公式.5．统计（1）随机抽样①理解随机抽样的必要性和重要性.②会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法（2）用样本估计总体①了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.②理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.③能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释④会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题6．概率（1）事件与概率①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.②了解两个互斥事件的概率加法公式.（2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式.②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.（3）随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.②了解几何概型的意义.7•基本初等函数n （三角函数）（1）任意角的概念、弧度制① 了解任意角的概念•② 了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化 •(2)三角函数① 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.n② 能利用单位圆中的三角函数线推导出，n -■的正弦、余弦、正切的诱导公2式，能画出y =sin x, y =cosx,y =tanx 的图像，了解三角函数的周期性.③ 理解正弦函数、余弦函数在区间 与x 轴的交点等).理解正切函数在区间④ 理解同角三角函数的基本关系式：2 2sin x cos x =1,⑤ 了解函数y 参数A^ /对函数图像变化的影响⑥ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实 际问题•8. 平面向量(1) 平面向量的实际背景及基本概念 ① 了解向量的实际背景•② 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义 •③ 理解向量的几何表示• (2) 向量的线性运算① 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义• ② 掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义 ③ 了解向量线性运算的性质及其几何意义 •(3) 平面向量的基本定理及坐标表示 ① 了解平面向量的基本定理及其意义 ② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示[0, 2n 的性质(如单调性、最大值和最小值以及'--,n i 的单调性. .2,2si nx , t arx .能画出 y =Asin(‘x •的图像，了解co sc二Asin(・•「)的物理意义;③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算•④理解用坐标表示的平面向量共线的条件•(4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义•② 了解平面向量的数量积与向量投影的关系.③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（5）向量的应用① 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.② 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.9．三角恒等变换（1）和与差的三角函数公式① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.② 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.（2）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.10．解三角形（1）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.11．数列（1）数列的概念和简单表示法① 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.② 了解数列是自变量为正整数的一类函数.（2）等差数列、等比数列① 理解等差数列、等比数列的概念.② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式.③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.12．不等式(1)不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景(2)一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系•③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组•②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决勺+ b ■—(4) ----------------------------- 基本不等式：A. ab ( a > 0, b > 0 )2①了解基本不等式的证明过程•②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题•13. 常用逻辑用语(1)命题及其关系①理解命题的概念•②了解若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系•③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，(2)简单的逻辑联结词了解逻辑联结词或”且”非”的含义•(3)全称量词与存在量词①理解全称量词与存在量词的意义•②能正确地对含有一个量词的命题进行否定•14. 圆锥曲线与方程(1)圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质•④理解数形结合的思想•⑤了解圆锥曲线的简单应用•15. 数系的扩充与复数的引入(1)复数的概念①理解复数的基本概念•②理解复数相等的充要条件•③了解复数的代数表示法及其几何意义•(2 )复数的四则运算①会进行复数代数形式的四则运算•②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义V .考试形式考试采用闭卷、答卷形式，考试时间为90分钟，试卷满分为100分.VI .试卷结构与题型全卷包括单项选择题、填空题和解答题，共21题•其中:单项选择题15题，每题4分，共60分；填空题4题，每题4分，共16分；解答题2题，共24分•W .题型示例、选择题1•设i为虚数单位，则复数(3 4i)i =A. -4-3iB. -4 3iC.4 3iD.4-3i2.已知集合A =〔1, 2,3,4f, B 4, 6，则萌B =9. 在样本X 1, X 2, X 3, X 4, X 5中，若X 1, X 2, X 3的均值为80， %, X 5的均值为90，则X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 的均值是10. 已知角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若P(4, 3)是角终边上的一点,则 tan 71 =A.；1,2B.(2,4C.l 2,6l13.函数f (x) ：的定义域是1 - xA. 1,亠 |B. 1,亠 |C. |, 1]4.log 212「log 2 3 二1 A. -2 B. 0C.-25. 直线x 3y • 3 = 0的斜率是1 1A. B.—C.-3336. 设向量 a = (2sinr,2cosr)，则 |a | =A.8B.4C.27. 下列函数在其定义域内单调递减的是D. S, 3?D. 一：：，1D.2D.3D.1A. y =B. y = 2x28.各项均为正数的等比数列 F 中，3^1，A. 2B. -2(1 f C. y y 22D. y 二 xa^4，贝V a 3 二C. JD.- 三A.80B.84C.85D.9012.已知 a ，R ，贝V a 2 ”是 a 2 2a ”的A •充分不必要条件D •既不充分也不必要条件13•设D, E, F 分别为△ ABC 的三边BC, CA, AB 的中点，则1 1—*A. ADB. —ADC. BCD.—BC22x y < 114•已知变量x, y 满足约束条件x-y < 1,则z = x ，2y 的最小值为 x 1 > 0A. 3B. 1C. -5D. -615•设I 为直线，：•，［是两个不同的平面，下列命题中正确的是A.若 I //〉，I // :，则〉II -B.若 I 」二，I 」，则〉/ / ■C.若 I _〉，I // ，则--//^D.若驀」■：',丨〃〉，则 I _ 1二、填空题16•已知一个球的表面积为 8 n cm 3,则它的半径等于 ______________ cm .17.以点(2, -1)为圆心且与直线x ^6相切的圆的方程是 ____________________A.35B.-5C.43"x 2 +1, x < 111.设函数f(x) =2 ，则 f (f (2))二, x 1 xA.1B.2C.3D.-4D.4B.必要不充分条件C.充要条件18•将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为__________ .19. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(-2、、3, 0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率e二___________ .三、解答题n20. 在厶ABC中，角A , B , C对应的边分别为a , b , c,且A B .3(1) 求sin AcosB cosAsin B 的值;(2) 若a =1, b =2，求c的值；(3)求三角形ABC的面积•21•如图，在直三棱柱ABC -AB1G中，AC =3,BC =4, AB = 5,点D是AB的中点•(1) 证明：AC _ BCj；(2) 证明:AC1//平面CDB1;(3) 求三棱锥B -BQD的体积.。
2019_2020年高考数学学业水平测试一轮复习专题二函数的概念与基本初等函数Ⅰ第8讲函数的图象课件
4．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x) ＝－logax的图象可能是( )
解析：当0<a<1时，函数f(x)＝xa(x≥0)为增函数， 且图象变化越来越平缓，g(x)＝－logax的图象为增函 数，
当a>1时，函数f(x)＝xa(x≥0)为增函数，且图象变 化越来越快，g(x)＝－logax的图象为减函数，
专题二 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第8讲 函数的图象
1．描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解 析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、 最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 (1)平移变换．
(2)对称变换． ①y＝f(x)―关―于―x―轴―对―称→y＝________； ②y＝f(x)―关―于―y―轴―对―称→y＝________； ③y＝f(x)―关―于―原―点―对―称→y＝________；
易知c＝1，且方程f(x)＝c的一根为0，令lg|x|＝1，解得x
＝－10或10，故方程f(x)＝c的另两根为－10和10，所以
x1＋x2＋x3＝0.
答案：0
②y＝f(x) a―＞―1，―纵――坐―标―伸―长―为―原―来―的――a倍―，―横――坐―标―不→变 y
0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变
＝________． 答案：(1)f(x＋h) f(x)＋k f(x)－k f(x－h) (2)－f(x) f(－x) －f(－x) logax(a＞0 且 a≠1) |f(x)|
3．函数图象的应用 已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值； (2)作出函数f(x)的图象； (3)根据图象指出f(x)的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集； (5)求当x∈[1，5)时函数的值域． 解：(1)因为f(4)＝0， 所以4|m－4|＝0，即m＝4.
2021广东省高三数学学业水平合格考试总复习学业达标集训基本初等函数(Ⅰ)含解析
一、选择题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则f (2)的值为( )A ． 2B ．－ 2C ．2D ．－2A [设幂函数y ＝f (x )＝x α，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入可得22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，即f (x )＝x 12，故f (2)＝212＝2，故选A ．]2．log 42－log48等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2B [log 42－log 48＝log 428 ＝log 44－1＝－1，故选B ．] 3．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝－x B ．f (x )＝1x C ．f (x )＝lg xD ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC [f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，f (x )＝－x ，f (x )＝1x ，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上是减函数，故选C ．]4．函数f (x )＝log a (2x －1)(a >0且a ≠1)的定义域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)A [要使函数有意义，需满足2x －1>0，解得x >0，即函数的定义域为(0，＋∞)，故选A ．]5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >02x ，x ≤0，若f (a )＝12，则a 的值是( )A ．－1B ．－1或12 C ．－1或 2D ． 2C [当log 2x ＝12，解得x ＝2，当2x ＝12，解得x ＝－1，故选C ．] 6．已知x －23＝4，则x 等于( ) A ．±18 B ．±8C ．344D ．±232 A [由题意，可知x －23＝4，可得13x 2＝4，即3x 2＝14，所以x 2＝164，解得x ＝±18.故选A ．]7．已知f (x )＝log 5x ，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，下列关系中成立的是( ) A ．f (a ＋b )＝f (a )＋f (b ) B ．f (ab )＝f (a )＋f (b ) C ．f (a ＋b )＝f (a )f (b ) D ．f (ab )＝f (a )f (b )B [∵f (x )＝log 5x ，a ，b ∈(0，＋∞)，∴f (ab )＝log 5 (ab )＝log 5a ＋log 5b ＝f (a )＋f (b )．故选B ．]8．函数f (x )＝log 2(1－x )的图象为( )A [观察四个图的不同发现，A 、C 图中的图象过原点，而当x ＝0时，y ＝0，故排除B 、D ；剩下A 和C ．又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除C ．故选A ．]9．设实数a ＝log 312，b ＝20.1，c ＝0.932，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜c ＜b B ．c ＜b ＜a C ．b ＜a ＜cD ．a ＜b ＜cA [∵a ＝log 312＜log 31＝0，b ＝20.1＞20＝1,0＜c ＝0.932＜0.90＝1. ∴a ＜c ＜b ，故选A ．]10．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y ＝x 12的图象是( )A ．①B ．②C ．③D ．④D [幂函数y ＝x 12为增函数，且增加的速度比较缓慢，只有④符合．故选D ．] 11．已知2a ＞2b ＞1，则下列不等关系式中正确的是( )A ． sin a ＞sin bB ． log 2a ＜log 2bC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＞⎝ ⎛⎭⎪⎫13bD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13bD [∵2a ＞2b ＞1，∴a ＞b ＞0，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 成立，故选D ．]12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜aC [a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝f (log 32)，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43.∵0＜log 32＜1,1＜43＜3，∴3＞43＞log 32.∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴a ＞c ＞b .] 13．函数f (x )＝|log 2x |的图象是( )A [结合y ＝log 2x 可知，f (x )＝|log 2x |的图象可由函数y ＝log 2x 的图象上不动下翻得到，故A 正确．]14．已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a >0)的最小值为8，则( ) A ．a ∈(5,6) B ．a ∈(7,8) C ．a ∈(8,9)D ．a ∈(9,10)A [因为f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (0)＝a ＋log 2a ＝8, 令g (a )＝a ＋log 2a －8，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (5)＝5＋log 25－8<0，g (6)＝6＋log 26－8>0，所以存在零点a ∈(5,6)．故选A ．]15．已知函数f (x )＝3－x －1，则( ) A ．它的定义域是R ，值域是R B ．它的定义域是R ，值域是(0，＋∞) C ．它的定义域是R ，值域是(－1，＋∞)D ．以上说法都不对C [f (x )＝3－x －1＝13x －1＞－1，故选C ．] 二、填空题16．34 36.(填“>”或“<”)． < [由y ＝3x 为增函数可得34<36.]17．计算0.008114＋log 26－log 23的值是 ．1.3 [0.008114＋log 26－log 23＝0.34×14＋log 22＋log 23－log 23＝0.3＋1＝1.3.] 18．关于x 的不等式2x ≤2x ＋1－12的解集是 ．{x |x ≥－1} [令2x ＝t ，则原不等式可化为t ≤2t －12，解得t ≥12，即2x ≥12＝2－1，由指数函数y ＝2x 单调递增可得x ≥－1.] 19．下列说法中，正确的是 ．(填序号) ①任取x ＞0，均有3x ＞2x ； ②当a ＞0，且a ≠1时，有a 3＞a 2； ③y ＝(3)－x 是增函数； ④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称． ①④⑤ [对于①，可知任取x ＞0,3x ＞2x 一定成立． 对于②，当0＜a ＜1时，a 3＜a 2，故②不一定正确．对于③，y ＝(3)－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x，因为0＜33＜1，故y ＝(3)－x 是减函数，故③不正确．对于④，因为|x |≥0，∴y ＝2|x |的最小值为1，正确． 对于⑤，y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称是正确的．]三、解答题 20．化简或求值：(1)(27)－13＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5－3e 0；(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋|lg 2－2|.[解] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12713 ＋100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－3＝13＋100＋53－3＝99.(2)原式＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋(2－lg 2)＝lg 2＋(2－lg 2)＝2. 21．已知函数f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )． (1)判断并证明函数f (x )的奇偶性； (2)若f (m )－f (－m )＝2，求实数m 的值． [解] (1)f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )是奇函数． 证明：f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )的定义域为(－1,1)， 设任意x ∈(－1,1)，则－x ∈(－1,1)，f (－x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )＝－[ln(1－x )－ln(1＋x )]＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(2)由(1)知，f (x )是奇函数，则f (－m )＝－f (m ) ∴f (m )－f (－m )＝f (m )＋f (m )＝2f (m )＝2， 即f (m )＝1，∴ln 1－m 1＋m ＝1，即1－m 1＋m ＝e ，解得m ＝1－e1＋e.。
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指数函数(1)有理指数幂的含义及其运算性质a＞0，b＞0且r，s，t∈Q.a s·a t＝a s＋t；(a s)t＝a st；(ab)r＝a rb r.(2)函数y＝a x(a＞0且a≠1)叫做指数函数．(3)指数函数的图象和性质1．(2017·1月广东学考)下列等式恒成立的是()A.13x＝x－23(x≠0)B．(3x)2＝3x2C．log3(x2＋1)＋log32＝log3(x2＋3)D．log313x＝－xD[A.13x＝x－13(x≠0)；B.(3x)2＝32x；C.log3(x2＋1)＋log32＝log32(x2＋1)．]2．(2019·1月广东学考)已知a>0，则a3a2＝()A ．a 12B ．a 32C ．a 23D ．a 13D [a 3a 2＝aa23)＝a 1－23)＝a 13.]指数函数的性质及应用问题解题策略：(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题，解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．[最新模拟快练]1．(2018·汕头市高一期中)函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图象一定经过点( )A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(0,1)A [对于任意a >0且a ≠1，由x －1＝0可得x ＝1，当x ＝1时，f (1)＝3，所以函数f (x )＝a x －1＋2的图象一定经过点(1,3)，本题选择A 选项．]2．计算：(6a 9)4·(3a 6)4等于( ) A ．a 16 B ．a 14 C ．a 8 D ．a 2B [将根式化为分数指数幂的运算可得结果为a 14.]3．(2019·东莞学考模拟题)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在区间[－2,2]上的最小值是( )A ．－14B.14C ．－4D ．4B [函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在定义域R 上单调递减，∴f (x )在区间[－2,2]上的最小值为f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.]4．(2018·汕头市高一期中)函数y ＝a x －a (a >0，a ≠1)的图象可能是( )C [由于当x ＝1时，y ＝0，即函数y ＝a x －a 的图象过点(1,0)，故排除A 、B 、D.故选C.]5．(2019·中山学考模拟题)已知a ＝log 30.2，b ＝30.2，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >b >aC [a ＝log 30.2＜0，b ＝30.2＞1，c ＝0.30.2∈(0,1)， ∴a ＜c ＜b .]6．(2019·广州高一期中)已知函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]上的最大值和最小值的和为6，则a ＝________.2 [当x ＝1时，f (x )取得最大值，那么x ＝2取得最小值，或者x ＝1时，f (x )取得最小值，那么x ＝2取得最大值．∴a ＋a 2＝6，∵a ＞0，a ≠1，∴a ＝2.]7．(2019·深圳高一期末)已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x 2x ＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)用定义证明f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数； [解] (1)因为f (x )为R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，b ＝1. 又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1.经检验a＝1，b＝1符合题意．(2)任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝1－2x12x1＋1－1－2x22x2＋1＝(1－2x1)(2x2＋1)－(1－2x2)(2x1＋1)(2x1＋1)(2x2＋1)＝2(2x2－2x1) (2x1＋1)(2x2＋1).因为x1<x2，所以2x2－2x1>0，又因为(2x1＋1)(2x2＋1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x)为R上的减函数．对数及对数函数(1)对数的概念：一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N 的对数．记作：x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)对数的运算性质：如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么：log a a＝1；log a1＝0；a log a N＝N；log a M＋log a N＝log a(MN)；log a M－log a N＝log a M N；log a M n＝n log a M(n∈R)；换底公式：log a b＝log c blog c a(a＞0且a≠1，c＞0且c≠1)，log a b·log b a＝1.(3)对数函数的图象和性质(2018·1月广东学考)对任意的正实数x ，y ，下列等式不成立的是( ) A ．lg y －lg x ＝lg y x B ．lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y C ．lg x 3＝3lg x D ．lg x ＝ln xln 10B [对于B 项，令x ＝y ＝1，则lg(x ＋y )＝lg 2，而lg x ＋lg y ＝0，显然不成立，故选B.]应用对数型函数的图象可求解的问题：(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[最新模拟快练]1．(2019·佛山学考模拟题)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )A [由于函数为偶函数又过(0,0)，所以直接选A.]2．(2019·深圳学考模拟题)设a ＝20.1，b ＝lg 52，c ＝log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >c >aB ．a >c >bC ．b >a >cD ．a >b >cD [∵20.1>20＝1＝lg10>lg 52>0>log 3910，∴a >b >c .]3．(2018·广州市学考模拟题)计算log 318－log 32＝________. 2 [log 318－log 32＝log 3182＝log 39＝2.]4．(2019·中山高一期中)已知函数f (x )＝4－log 2x ，x ∈[2,8]，则f (x )的值域是________．[1,3] [∵函数f (x )＝4－log 2x 在x ∈[2,8]时单调递减，∴当x ＝2时函数取最大值4－log 22＝3，当x ＝8时函数取最小值4－log 28＝1，∴函数f (x )的值域为[1,3]．]5．(2018·中山高一期末)已知f (x )＝log 3(3＋x )＋log 3(3－x )． (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由．[解] (1)根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3＋x >03－x >0，解不等式可得－3<x <3，∴定义域为(－3,3)．(2)∵定义域为(－3,3)关于原点对称，∴f (－x )＝log 3(3－x )＋log 3(3＋x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数.幂函数(1)函数y＝xα叫做幂函数(只考虑α＝1,2,3，12，－1的图象)．(2)画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1的图象(如图)，观察它们的性质：1．(2019·揭阳学考模拟题)已知幂函数f(x)＝x n的图象经过点(3，3)，则f(9)的值为()A．3 B．±3C.12D．3 3A[∵幂函数f(x)＝x n的图象经过点(3，3)，∴f(3)＝3n＝3，解得n＝1 2，∴f (x )＝x 12，∴f (9)＝912＝3.]2．(2019·云浮学考模拟题)函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )A.174 B.14 C ．4D ．－4C [易知y ＝x －2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，所以当x ＝12时，函数y ＝x －2的最大值是⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4.] 3．(2019·佛山学考模拟题)如图，函数y ＝x 23的图象是( )D [幂函数y ＝x 23是偶函数，图象关于y 轴对称，所以可排除选项A ，B ，C ，选D.]4．(2018·韶关市高一月考)已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)－m5<(5－2a )－m 5的a 的取值范围．[解] 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3，又m ∈N *，所以m ＝1,2.因为函数的图象关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1，则原不等式可化为(a ＋3)－15<(5－2a )－15，因为y ＝x －15在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋3>5－2a >0或5－2a <a ＋3<0或a ＋3<0<5－2a ，解得23<a <52或a <－3.一、选择题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则f (2)的值为( )A. 2 B ．－ 2 C ．2D ．－2A [设幂函数y ＝f (x )＝x α，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入可得22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，即f (x )＝x 12，故f (2)＝212＝2，故选A.]2．log 42－log 48等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2B [log 42－log 48＝log 428 ＝log 44－1＝－1，故选B.] 3．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝－x B ．f (x )＝1x C ．f (x )＝lg xD ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC [f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，f (x )＝－x ，f (x )＝1x ，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上是减函数，故选C.]4．函数f (x )＝log a (2x －1)(a >0且a ≠1)的定义域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)A [要使函数有意义，需满足2x －1>0，解得x >0，即函数的定义域为(0，＋∞)，故选A.]5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >02x ，x ≤0，若f (a )＝12，则a 的值是( )A ．－1B ．－1或12 C ．－1或 2D. 2C [当log 2x ＝12，解得x ＝2，当2x ＝12，解得x ＝－1，故选C.] 6．已知x －23＝4，则x 等于( ) A ．±18 B ．±8 C.344D ．±232 A [由题意，可知x －23＝4，可得13x 2＝4，即3x 2＝14，所以x 2＝164，解得x ＝±18.故选A.]7．已知f (x )＝log 5x ，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，下列关系中成立的是( ) A ．f (a ＋b )＝f (a )＋f (b ) B ．f (ab )＝f (a )＋f (b ) C ．f (a ＋b )＝f (a )f (b ) D ．f (ab )＝f (a )f (b )B [∵f (x )＝log 5x ，a ，b ∈(0，＋∞)，∴f (ab )＝log 5 (ab )＝log 5a ＋log 5b ＝f (a )＋f (b )．故选B.]8．函数f (x )＝log 2(1－x )的图象为( )A [观察四个图的不同发现，A 、C 图中的图象过原点，而当x ＝0时，y ＝0，故排除B 、D ；剩下A 和C.又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除C.故选A.]9．设实数a ＝log 312，b ＝20.1，c ＝0.932，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜c ＜b B ．c ＜b ＜a C ．b ＜a ＜cD ．a ＜b ＜cA [∵a ＝log 312＜log 31＝0，b ＝20.1＞20＝1,0＜c ＝0.932＜0.90＝1. ∴a ＜c ＜b ，故选A.]10．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y ＝x 12的图象是( )A ．①B ．②C ．③D ．④D [幂函数y ＝x 12为增函数，且增加的速度比较缓慢，只有④符合．故选D.]11．已知2a ＞2b ＞1，则下列不等关系式中正确的是( ) A ． sin a ＞sin bB ． l og 2a ＜log 2b C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫13b D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13bD [∵2a ＞2b ＞1，∴a ＞b ＞0，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 成立，故选D.]12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜aC [a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝f (log 32)，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43.∵0＜log 32＜1,1＜43＜3，∴3＞43＞log 32.∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴a ＞c ＞b .] 13．函数f (x )＝|log 2x |的图象是( )A [结合y ＝log 2x 可知，f (x )＝|log 2x |的图象可由函数y ＝log 2x 的图象上不动下翻得到，故A 正确．]14．已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a >0)的最小值为8，则( ) A ．a ∈(5,6) B ．a ∈(7,8) C ．a ∈(8,9)D ．a ∈(9,10)A [因为f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (0)＝a ＋log 2a ＝8, 令g (a )＝a ＋log 2a －8，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (5)＝5＋log 25－8<0，g (6)＝6＋log 26－8>0，所以存在零点a ∈(5,6)．故选A.]15．已知函数f (x )＝3－x －1，则( ) A ．它的定义域是R ，值域是R B ．它的定义域是R ，值域是(0，＋∞)C ．它的定义域是R ，值域是(－1，＋∞)D ．以上说法都不对C [f (x )＝3－x －1＝13x －1＞－1，故选C.] 二、填空题16．34________36.(填“>”或“<”)． < [由y ＝3x 为增函数可得34<36.]17．计算0.008114＋log 26－log 23的值是________． 1．3 [0.008114＋log 26－log 23＝0.34×14＋log 22＋log 23－log 23＝0.3＋1＝1.3.]18．关于x 的不等式2x ≤2x ＋1－12的解集是________．{x |x ≥－1} [令2x ＝t ，则原不等式可化为t ≤2t －12，解得t ≥12，即2x ≥12＝2－1，由指数函数y ＝2x 单调递增可得x ≥－1.] 19．下列说法中，正确的是________．(填序号) ①任取x ＞0，均有3x ＞2x ； ②当a ＞0，且a ≠1时，有a 3＞a 2； ③y ＝(3)－x 是增函数； ④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称． ①④⑤ [对于①，可知任取x ＞0,3x ＞2x 一定成立． 对于②，当0＜a ＜1时，a 3＜a 2，故②不一定正确．对于③，y ＝(3)－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x，因为0＜33＜1，故y ＝(3)－x 是减函数，故③不正确．对于④，因为|x |≥0，∴y ＝2|x |的最小值为1，正确．对于⑤，y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称是正确的．] 三、解答题 20．化简或求值： (1)(27)－13＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5－3e 0；(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋|lg 2－2|.[解] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12713＋100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－3＝13＋100＋53－3＝99.(2)原式＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋(2－lg 2)＝lg 2＋(2－lg 2)＝2. 21．已知函数f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )． (1)判断并证明函数f (x )的奇偶性； (2)若f (m )－f (－m )＝2，求实数m 的值． [解] (1)f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )是奇函数． 证明：f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )的定义域为(－1,1)， 设任意x ∈(－1,1)，则－x ∈(－1,1)，f (－x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )＝－[ln(1－x )－ln(1＋x )]＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(2)由(1)知，f (x )是奇函数，则f (－m )＝－f (m ) ∴f (m )－f (－m )＝f (m )＋f (m )＝2f (m )＝2， 即f (m )＝1， ∴ln1－m 1＋m ＝1，即1－m 1＋m ＝e ，解得m ＝1－e1＋e.。